鲁甸县外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

鲁甸县外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|=5，若以MF 为直径的圆过点（0，2），则C 的方程为（ ）A ．y 2=4x 或y 2=8xB ．y 2=2x 或y 2=8xC ．y 2=4x 或y 2=16xD ．y 2=2x 或y 2=16x2． 某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P （单位：毫克/升）与时间t （单位：小时）间的关系为0e k tP P -=（0P ，k 均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了消除27.1%的污染物，则需要（ ）小时. A.8B.10C. 15D. 18【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用，体现“数学是有用的”的新课标的这一重要思想.3． 单位正方体（棱长为1）被切去一部分，剩下部分几何体的三视图如图所示，则（ ）A ．该几何体体积为B ．该几何体体积可能为C ．该几何体表面积应为+D ．该几何体唯一4． 已知x ，y 满足时，z=x ﹣y 的最大值为（ ） A ．4B ．﹣4C ．0D ．25． 设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若2＋a i1＋i ＝3＋b i ，则a －b 为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．06． 记集合T={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，M=，将M 中的元素按从大到小排列，则第2013个数是（ ）A ．B ．C ．D ．7． 已知等差数列{a n }满足2a 3﹣a +2a 13=0，且数列{b n } 是等比数列，若b 8=a 8，则b 4b 12=（ ）A ．2B ．4C ．8D ．168． 函数()f x 在定义域R 上的导函数是'()f x ，若()(2)f x f x =-，且当(,1)x ∈-∞时，'(1)()0x f x -<，设(0)a f =，b f =，2(lo g 8)c f =，则（ ）A ．a b c <<B ．a b c >>C ．c a b <<D ．a c b <<9． 过点（0，﹣2）的直线l 与圆x 2+y 2=1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．10．特称命题“∃x ∈R ，使x 2+1＜0”的否定可以写成（ ） A ．若x ∉R ，则x 2+1≥0B ．∃x ∉R ，x 2+1≥0C ．∀x ∈R ，x 2+1＜0D ．∀x ∈R ，x 2+1≥011．二项式（x 2﹣）6的展开式中不含x 3项的系数之和为（ ） A ．20 B ．24C ．30D ．3612．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x 的值是（ ）A ．2B ．C ．D ．3二、填空题13．设有一组圆C k ：（x ﹣k+1）2+（y ﹣3k ）2=2k 4（k ∈N *）．下列四个命题： ①存在一条定直线与所有的圆均相切； ②存在一条定直线与所有的圆均相交；③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点．其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．14．函数y=sin2x﹣2sinx的值域是y∈．15．用描述法表示图中阴影部分的点（含边界）的坐标的集合为．16．已知||2=a，||1=b，2-a与13b的夹角为3π，则|2|+=a b．17．已知（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中没有常数项，且2≤n≤8，则n=．18．已知α为钝角，sin（+α）=，则sin（﹣α）=．三、解答题19．已知，数列{a n}的首项（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为S n，求使S n＞2012的最小正整数n．20．计算下列各式的值：（1）（2）（lg5）2+2lg2﹣（lg2）2．21．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、E分别是AB、BB1的中点，AB=2，（1）证明：BC1∥平面A1CD；（2）求异面直线BC1和A1D所成角的大小；（3）求三棱锥A1﹣DEC的体积．22．已知函数f（x）=|x﹣2|．（1）解不等式f（x）+f（x+1）≤2（2）若a＜0，求证：f（ax）﹣af（x）≥f（2a）23．函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜）的一段图象如图所示．（1）求f （x ）的解析式；（2）求f （x ）的单调减区间，并指出f （x ）的最大值及取到最大值时x 的集合；（3）把f （x ）的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数．24．（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为2sin c o s 10ρθρθ+=，将曲线1c o s :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩，（α为参数），经过伸缩变换32x x y y'=⎧⎨'=⎩后得到曲线2C ．（1）求曲线C的参数方程；2（2）若点M的在曲线C上运动，试求出M到曲线C的距离的最小值．2鲁甸县外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】解：∵抛物线C方程为y2=2px（p＞0），∴焦点F坐标为（，0），可得|OF|=，∵以MF为直径的圆过点（0，2），∴设A（0，2），可得AF⊥AM，Rt△AOF中，|AF|==，∴sin∠OAF==，∵根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，∴∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF==，∵|MF|=5，|AF|=∴=，整理得4+=，解之可得p=2或p=8因此，抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．故选：C．方法二：∵抛物线C方程为y2=2px（p＞0），∴焦点F（，0），设M（x，y），由抛物线性质|MF|=x+=5，可得x=5﹣，因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为=，由已知圆半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点（0，2），故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，即M（5﹣，4），代入抛物线方程得p2﹣10p+16=0，所以p=2或p=8．所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．故答案C．【点评】本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF，以MF为直径的圆交抛物线于点（0，2），求抛物线的方程，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题．2．【答案】15【解析】3．【答案】C【解析】解：由已知中三视图可得该几何体是由一个边长为1的正方体，截掉一个角（三棱锥）得到且该三棱锥有条过同一顶点且互相垂直的棱长均为1该几何体的表面积由三个正方形，有三个两直角边为1的等腰直角三角形和一个边长为的正三角形组成故其表面积S=3•（1×1）+3•（×1×1）+•（）2=．故选：C．【点评】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据三视图分析出该几何的形状及各边边长是解答本题的关键．4．【答案】A【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，得A （6，2），化目标函数z=x ﹣y 为y=x ﹣z ，由图可知，当直线y=x ﹣z 过点A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为4． 故选：A ．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5． 【答案】【解析】选A.由2＋a i1＋i＝3＋b i 得，2＋a i ＝（1＋i ）（3＋b i ）＝3－b ＋（3＋b ）i ， ∵a ，b ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝3－b a ＝3＋b ，即a ＝4，b ＝1，∴a －b ＝3（或者由a ＝3＋b 直接得出a －b ＝3），选A. 6． 【答案】 A【解析】进行简单的合情推理． 【专题】规律型；探究型．【分析】将M 中的元素按从大到小排列，求第2013个数所对应的a i ，首先要搞清楚，M 集合中元素的特征，同样要分析求第2011个数所对应的十进制数，并根据十进制转换为八进行的方法，将它转换为八进制数，即得答案．【解答】因为=（a 1×103+a 2×102+a 3×10+a 4），括号内表示的10进制数，其最大值为 9999； 从大到小排列，第2013个数为 9999﹣2013+1=7987所以a 1=7，a 2=9，a 3=8，a 4=7则第2013个数是故选A ．【点评】对十进制的排序，关键是要找到对应的数是几，如果从大到小排序，要找到最大数（即第一个数），再找出第n 个数对应的十进制的数即可．7． 【答案】D【解析】解：由等差数列的性质可得a 3+a 13=2a 8，即有a 82=4a 8，解得a 8=4（0舍去）， 即有b 8=a 8=4，由等比数列的性质可得b 4b 12=b 82=16．故选：D ．8． 【答案】C 【解析】考点：函数的对称性，导数与单调性．【名师点睛】函数的图象是研究函数性质的一个重要工具，通过函数的图象研究问题是数形结合思想应用的不可或缺的重要一环，因此掌握函数的图象的性质是我们在平常学习中要重点注意的，如函数()f x 满足：()()f a x f a x +=-或()(2)f x f a x =-，则其图象关于直线x a =对称，如满足(2)2()f m x n f x -=-，则其图象关于点(,)m n 对称． 9． 【答案】A【解析】解：若直线斜率不存在，此时x=0与圆有交点， 直线斜率存在，设为k ，则过P 的直线方程为y=kx ﹣2， 即kx ﹣y ﹣2=0，若过点（0，﹣2）的直线l 与圆x 2+y 2=1有公共点，则圆心到直线的距离d ≤1，即≤1，即k 2﹣3≥0，解得k≤﹣或k≥，即≤α≤且α≠，综上所述，≤α≤，故选：A．10．【答案】D【解析】解：∵命题“∃x∈R，使x2+1＜0”是特称命题∴否定命题为：∀x∈R，都有x2+1≥0．故选D．11．【答案】A【解析】解：二项式的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x12﹣3r，令12﹣3r=3，求得r=3，故展开式中含x3项的系数为•（﹣1）3=﹣20，而所有系数和为0，不含x3项的系数之和为20，故选：A．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．12．【答案】C解析：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面．则体积为=，解得x=．故选：C．二、填空题13．【答案】②④【解析】解：根据题意得：圆心（k﹣1，3k），圆心在直线y=3（x+1）上，故存在直线y=3（x+1）与所有圆都相交，选项②正确；考虑两圆的位置关系，圆k：圆心（k﹣1，3k），半径为k2，圆k+1：圆心（k﹣1+1，3（k+1）），即（k，3k+3），半径为（k+1）2，两圆的圆心距d==，两圆的半径之差R ﹣r=（k+1）2﹣k 2=2k+，任取k=1或2时，（R ﹣r ＞d ），C k 含于C k+1之中，选项①错误； 若k 取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误；将（0，0）带入圆的方程，则有（﹣k+1）2+9k 2=2k 4，即10k 2﹣2k+1=2k 4（k ∈N*），因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k 使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确． 则真命题的代号是②④． 故答案为：②④【点评】本题是一道综合题，要求学生会将直线的参数方程化为普通方程，会利用反证法进行证明，会利用数形结合解决实际问题．14．【答案】 [﹣1，3] ．【解析】解：∵函数y=sin 2x ﹣2sinx=（sinx ﹣1）2﹣1，﹣1≤sinx ≤1，∴0≤（sinx ﹣1）2≤4，∴﹣1≤（sinx ﹣1）2﹣1≤3．∴函数y=sin 2x ﹣2sinx 的值域是y ∈[﹣1，3]．故答案为[﹣1，3]．【点评】熟练掌握正弦函数的单调性、二次函数的单调性是解题的关键．15．【答案】 {（x ，y ）|xy ＞0，且﹣1≤x ≤2，﹣≤y ≤1} ．【解析】解：图中的阴影部分的点设为（x ，y ）则{x ，y ）|﹣1≤x ≤0，﹣≤y ≤0或0≤x ≤2，0≤y ≤1}={（x ，y ）|xy ＞0且﹣1≤x ≤2，﹣≤y ≤1}故答案为：{（x ，y ）|xy ＞0，且﹣1≤x ≤2，﹣≤y ≤1}．16．【答案】2【解析】解析：本题考查向量夹角与向量数量积的应用．a 与b 的夹角为23π，1⋅=-a b ，∴|2|+=a b 2==．17．【答案】 5 ．【解析】二项式定理．【专题】计算题．【分析】要想使已知展开式中没有常数项，需（x）n（n∈N+）的展开式中无常数项、x﹣1项、x﹣2项，利用（x）n（n∈N+）的通项公式讨论即可．【解答】解：设（x）n（n∈N+）的展开式的通项为T r+1，则T r+1=x n﹣r x﹣3r=x n﹣4r，2≤n≤8，当n=2时，若r=0，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠2；当n=3时，若r=1，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠3；当n=4时，若r=1，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠4；当n=5时，r=0、1、2、3、4、5时，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中均没有常数项，故n=5适合题意；当n=6时，若r=1，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠6；当n=7时，若r=2，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠7；当n=8时，若r=2，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠2；综上所述，n=5时，满足题意．故答案为：5．【点评】本题考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式，突出考查分类讨论思想的应用，属于难题．18．【答案】﹣．【解析】解：∵sin（+α）=，∴cos（﹣α）=cos[﹣（+α）]=sin（+α）=，∵α为钝角，即＜α＜π，∴＜﹣，∴sin（﹣α）＜0，∴sin（﹣α）=﹣=﹣=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查运用诱导公式求三角函数值，注意不同角之间的关系，正确选择公式，运用平方关系时，必须注意角的范围，以确定函数值的符号．三、解答题19．【答案】【解析】解：（Ⅰ），，．数列是以1为首项，4为公差的等差数列．…，则数列{a n}的通项公式为．…（Ⅱ）．…①．…②②﹣①并化简得．…易见S n为n的增函数，S n＞2012，即（4n﹣7）•2n+1＞1998．满足此式的最小正整数n=6．…【点评】本题考查数列与函数的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减求和法的合理运用．20．【答案】【解析】解：（1）=…==5…（2）（lg5）2+2lg2﹣（lg2）2=（lg5+lg2）（lg5﹣lg2）+2lg2…=．…21．【答案】【解析】（1）证明：连接AC1与A1C相交于点F，连接DF，由矩形ACC1A1可得点F是AC1的中点，又D是AB的中点，∴DF∥BC1，∵BC1⊄平面A1CD，DF⊂平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD；…（2）解：由（1）可得∠A1DF或其补角为异面直线BC1和A1D所成角．DF=BC1==1，A1D==，A1F=A1C=1．在△A1DF中，由余弦定理可得：cos∠A1DF==，∵∠A1DF∈（0，π），∴∠A1DF=，∴异面直线BC1和A1D所成角的大小；…（3）解：∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，∵平面ABB1A1∩平面ABC=AB，∴CD⊥平面ABB1A1，CD==1．∴=﹣S△BDE﹣﹣=∴三棱锥C﹣A1DE的体积V=…【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线BC1和A1D所成角，是中档题，解题时要注意空间中线线、线面、面面间的位置关系及性质的合理运用．22．【答案】【解析】（1）解：不等式f（x）+f（x+1）≤2，即|x﹣1|+|x﹣2|≤2．|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的点x到1、2对应点的距离之和，而2.5 和0.5对应点到1、2对应点的距离之和正好等于2，∴不等式的解集为[0.5，2.5]．（2）证明：∵a＜0，f（ax）﹣af（x）=|ax﹣2|﹣a|x﹣2|=|ax﹣2|+|2﹣ax|≥|ax﹣2+2a﹣ax|=|2a﹣2|=f（2a﹣2），∴f（ax）﹣af（x）≥f（2a）成立．23．【答案】【解析】解：（1）由函数的图象可得A=3，T==4π﹣，解得ω=．再根据五点法作图可得×+φ=0，求得φ=﹣，∴f（x）=3sin（x﹣）．（2）令2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，k∈z，求得5kπ﹣π≤x≤5kπ+，故函数的增区间为[5kπ﹣π，5kπ+]，k∈z．函数的最大值为3，此时，x﹣=2kπ+，即x=5kπ+，k∈z，即f（x）的最大值为3，及取到最大值时x的集合为{x|x=5kπ+，k∈z}．（3）设把f（x）=3sin（x﹣）的图象向左至少平移m个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数[即y=3sin（x+）]．则由（x+m）﹣=x+，求得m=π，把函数f（x）=3sin（x﹣）的图象向左平移π个单位，可得y=3sin（x+）=3cos x 的图象．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的单调性和最值，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．24．【答案】（1）3c o s 2s in x y θθ=⎧⎨=⎩（为参数）；（2【解析】试题解析： （1）将曲线1c o s :sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），化为221x y+=，由伸缩变换32x x y y '=⎧⎨'=⎩化为1312x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，代入圆的方程211132x y ⎛⎫⎛⎫''+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到()()222:194x y C ''+=，可得参数方程为3c o s 2sin x y αα=⎧⎨=⎩；考点：坐标系与参数方程．。