萧山六、八、九三校2011届高三5月联考试题数学理

2011届高三六、八、九三校5月联考试题卷学科：高三数学（理）试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间120分钟. 试卷总分为150分。

请考生按规定用笔将所用试题的答案涂、写在答题纸上第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数=⎪⎭⎫⎝⎛-+213i i （ ▲ ）A. 34i --B. 34i -+C. 34i -D. 34i +2．已知实数a ，b ，则ab ≥2是a 2＋b 2≥4的 （ ▲ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．阅读右面的程序框图，则输出的k = （ ▲ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 74．从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字 的三位数，这个数不能被3整除的概率为 （ ▲ ）（A ）1954 （B ）3554 （C ）3854 （D ）4160 5.设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是 （ ▲ ） A ．若//a b ，//a α，则//b α B ．若αβ⊥，//a α，则a β⊥ C ．若αβ⊥，a β⊥，则//a α D ．若a b ⊥，a α⊥，b β⊥，则αβ⊥6.若实数x ，y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩且x y +的最大值为9，则实数m = （ ▲ ）A. 2-B. 1-C. 1D. 2 7．若sin cos tan (0),2πααααα+=<<∈则（ ▲ ）A ．)6,0(πB ．)4,6(ππ C ．)3,4(ππ D ．)2,3(ππ 8．已知10<<a ，则方程|log |||x a a x =的实根个数为n ，且11(1)(1)n x x +++210110121011(2)(2)(2)(2)a a x a x a x a x =+++++++++ ，则=1a （ ▲ ）A ．9B ．10-C ．11D. 12-9．设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点，其中12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，且12||2||PF PF =，则双曲线的离心率为（ ▲ ）ABCD ．10. 已知()f x 是定义在[],a b 上的函数，其图像是一条连续的曲线，且满足下列条件：① ()f x 的值域为G ，且[],G a b ⊆；② 对任意的[],,x y a b ∈，都有()()f x f y x y -<-.那么，关于x 的方程()f x x =在区间[],a b 上根的情况是 （ ▲ ）A ．没有实数根 B. 有且仅有一个实数根 C. 恰有两个实数根 D. 有无数个不同的实数根第Ⅱ卷二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分。

把答案填在答题卷的相应位置。

11．设,a b 是两个非零向量，且||||a b == ||a b +，则向量b 与a b -的夹角为 ▲ ．12. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 ▲ . 13．随机变量ξ的分布列如下：其中a b c ，，成等差数列， 若1.3E ξ=则D ξ的值是 ▲ ．14、过抛物线2y ＝2px(p>0)的焦点F的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若AF ＝FB ，BA ·BC＝48，则p 的值为______▲_____。

15．把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{}n a ，若2011n a =，则n =____▲______．16. 由0，1，2，3，4组成的四位数中，含有数字0，且恰有2个数位上的数字重复的四位数个数是___________。

（用数字作答）17．如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=3,E 为DC 边的中点，沿AE 将ADE ∆折起，使二面角D-AE-B 为60，则直线AD 与面ABCE 所成角的正弦值为 ▲ ．三、解答题：本大题有5小题，共72分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边为c b a ,,，已知 A b a sin 2=，b c 3=． （1）求B 的值；（2）若ABC ∆的面积为32，求b a ,的值． 19．（本小题满分14分）首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 7＝－2，S 5＝30．(1) 求a 1及d ； (2) 若数列{b n }满足a n ＝12323nb b b nb n++++ (n ∈N *)，求数列{b n }的通项公式． 20．（本题满分15分）如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠= ，E F ，分别是BC PC ，的中点．（Ⅰ）证明：AE PD ⊥； （Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD所成最大角的正切值为E AF C --的余弦值．AE DB CC E PBECDFA (第20题)21．（本题满分15分）设椭圆C 1：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是F 1、F 2，下顶点为A ，线段OA 的中点为B （O 为坐标原点），如图．若抛物线C 2：21y x =-与y 轴的交点为B ，且经过F 1，F 2点．（Ⅰ）求椭圆C 1的方程； （Ⅱ）设M （0，45-），N 为抛物线C 2上的一动点，过点N 作抛物线C 2的切线交椭圆C 1于P 、Q 两点，求MPQ ∆面积的最大值．22．（本题满分14分）设函数f （x ）＝x 3＋ax 2－（2a +3）x + a 2 , a ∈R ．（Ⅰ）若x ＝1是f （x ）的极大值点，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）设函数g （x ）＝bx 2－（2b ＋1）x ＋ln x （b ≠0,b ∈R ）,若函数f （x ）有极大值，且g （x ）的极大值点与f （x ）的极大值点相同．当3->a 时，求证：g （x ）的极小值小于－1．(第21题)理科数学答案（18）满分14分。

（18）解：（1）A b a sin 2=，⇒=A B A sin sin 2sin 21sin =B ， 30=B 或 150，b c >，所以 30=B ……………………6分（2）由30cos 2222ac c a b -+=解得⇒=+-03222a ab b b a =或b a 2=…………① …………9分又⇒==∆3230sin 21ac S ABC 38=ac …………② b c 3=…………③由①②③⎩⎨⎧==24b a 或22==b a …………14分（19）见样卷 （20）满分15分。

（Ⅰ）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=，可得ABC △为正三角形． 因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥． 又BC AD ∥，因此AE AD ⊥．因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥． 而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 且PA AD A = ， 所以AE ⊥平面PAD ．又PD ⊂平面PAD ，所以AE PD ⊥． …………………………………7分P BECFA HO S（Ⅱ）解：设2AB =，H 为PD 上任意一点，连接AH EH ，． 由（Ⅰ）知AE ⊥平面PAD ，则EHA ∠为EH 与平面PAD 所成的角． 在Rt EAH △中，AE = 所以当AH 最短时，EHA ∠最大， 即当AH PD ⊥时，EHA ∠最大．此时tan AE EHA AH ∠===因此AH =2AD =，所以45ADH ∠=，所以2PA =． ………………………………………10分解法一：因为PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ． 过E 作EO AC ⊥于O ，则EO ⊥平面PAC ，过O 作OS AF ⊥于S ，连接ES ，则ESO ∠为二面角E AF C --的平面角， 在Rt AOE △中，sin 30EO AE ==3cos302AO AE ==， 又F 是PC 的中点，在Rt ASO △中，sin 45SO AO ==又SE ===Rt ESO △中，cos 5SO ESO SE ∠===，即所求二面角的余弦值为5．……………14分 解法二： 由（Ⅰ）知AE AD AP ，，两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E F ，分别为BC PC ，的中点，所以(000)10)(020)A B C D -，，，，，，，，，，1(002)0)122P E F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，，，，，，所以10)122AE AF ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ ，，，，．B设平面AEF 的一法向量为111()x y z =，，m ，则00AE AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，，m m因此11110102x y z =++=，． 取11z =-，则(021)=-，，m ，因为BD AC ⊥，BD PA ⊥，PA AC A = ，所以BD ⊥平面AFC ，故BD为平面AFC 的一法向量．又(0)BD = ，，所以cos 5BD BD BD<>===，m m m ． 因为二面角E AF C --为锐角，．………………14分 （21）（Ⅰ）解：由题意可知B （0，-1），则A （0，-2），故b =2．令y =0得210x -=即1x =±，则F 1（-1，0），F 2（1，0），故c =1．所以2225a b c =+=．于是椭圆C 1的方程为：22154x y +=．…………5分 （Ⅱ）设N （2,1t t -），由于'2y x =知直线PQ 的方程为：2(1)2()y t t x t --=-．即221y tx t =--．……………………………7分 代入椭圆方程整理得：222224(15)20(1)5(1)200t x t t x t +-+++-=,222222400(1)80(15)[(1)4]t t t t ∆=+-++-=4280(183)t t -++,21225(1)15t t x x t ++=+ , 221225(1)204(15)t x x t +-=+,故12PQ x =-==．………………………………10分设点M 到直线PQ 的距离为d ，则d ==12分所以，MPQ ∆的面积S 12PQ d =⋅21t +===≤=………………14分当3t =±时取到“=”，经检验此时0∆>，满足题意． 综上可知，MPQ ∆．…………………………15分 （22）满分14分。