课程资料14
交通工程概论课程复习资料

《交通工程概论》课程复习资料一、名词解释:1.交通工程学2.交通流3.交通流特性4.交通量5.第30小时交通量(30HV)6.小时设计交通量7.交通量的方向分布8.交通量的时间分布9.地点车速或点速度 10.行驶车速 11.行程车速 12.运行车速或营运车速13.临界车速 14.设计车速 15.车流密度 16.车头间距17.占有度 18.延误 19.固定延误 20.运行延误21.停车延误 22.排队延误 23.引道延误 24.引道延误段25.引道时间 26.道路通行能力或称交通容量 27.道路条件28.交通条件 29.基本通行能力 30.可能通行能力 31.实用通行能力32.服务水平 33.饱和流量 34.道路交通标志和标线 35.交通管理36.信号相位 37.信号周期 38.最佳周期时间 39.最短周期时40.绿信比 41.绿灯间隔时间 42.最短信号周期 43.最佳周期44.绿信比 45.道路交通事故 46.轻微事故 47.一般事故48.重大事故 49.特大事故 50.可听阀 51.痛阈52.声压 53.声压级 54.声波的频率 55.声的频谱56.响度 57.响度级二、填空题:1.交通控制通常分为三种:即______、______和______。
2.用来描述车流的______、______、______的变量称为车流基本参数。
3.交通流调查包括______、______、______、______和______。
4.交通量调查是调查道路各点交通量在时间上分布的特点以及各路段交通量在空间上分布的特点,包括车辆组成的______和______、______和______。
5.速度调查主要指车速调查,包括______、______、______、______。
6. OD调查即出行起止点调查,包括调查______,______以及______等。
7.预测的交通量主要由______、______和______三部分组成:。
14级国际贸易实务课程实训项目指导书

实训项目指导书课程名称:国际贸易实务适用年级:14级适用专业:国贸编写:彭扬审核:江卫华广州松田职业学院目录实训项目一: 贸易术语案例分析 (1)实训项目二: 出口报价的核算 (2)实训项目三: 国际货物运输案例分析、班轮运费的计算、提单的填写 (1)实训项目四: 国际货物运输保险案例分析,保险费的计算 (5)实训项目五: 信用证结算方式案例分析,信用证的翻译 (6)实训项目六: 进出口商品合同的履行 (8)实训项目一:贸易术语案例分析一、实训课时:10二、实训教学目标:认知各种贸易术语、掌握各种贸易术语如何划分进出商的风险、责任和费用,在使用贸易术语时需要注意的事项。
在实际操作时能够恰当选择正确的贸易术语,能正确分析案例。
三、实训要求了解国际贸易术语的作用、掌握《2010年国际贸易术语解释通则》中的11种国际贸易术语熟悉。
四、实训教学组织、场地和资料准备1、多媒体教室。
2、学生要准备好实训报告和学习用笔。
五、实训相关知识要点国际贸易术语的种类,国际惯例。
六、实训过程内容及注意事项1、要求学生提前复习贸易术语的相关知识点。
2、提前将材料发给学生并要求学生打印。
3、提前通知学生上课带齐纸质的实训报告。
七、实训项目小结学生操作认真,基本达到实训目标。
模板使用说明:1、根据专业实训特点,本模板所列出项目可有增删;实训项目的数量要和课时相匹配。
2、篇幅一般为A4版面,能提供图片视频资料的可以电子版超链接方式给出。
3、正文部分全部采用五号,宋体,固定行距20磅。
4、实训指导书必须具有一定的可操作性,重复性,多设计能力训练型实训,淡化验证性实训。
B类和C类课程全部必须编制实训项目指导书,包括顶岗实习和毕业综合训练。
5、目录为自动生成,编制完正文后,可以鼠标右键点击目录,点击更新域,选择更新整个目录。
实训项目二:出口报价的核算一、实训课时:8二、实训教学目标:1、掌握成本核算2、掌握佣金的核算3、掌握不同贸易术语的价格改报三、实训要求1、根据所给的信息进行成本核算,报价给外商,并按外商要求核算佣金和进行价格改报。
2024一年级语文上册 全部课程

2024一年级语文上册全部课程2024一年级语文上册(人教版)课程资料。
一、汉语拼音。
1. 单韵母。
- a:张大嘴巴aaa。
可通过图片,如小女孩张大嘴巴唱歌的画面来帮助记忆。
- o:公鸡打鸣ooo。
联想公鸡打鸣时的口型。
- e:白鹅倒影eee。
借助池塘里白鹅的倒影形状记忆。
- i:牙齿对齐iii。
观察牙齿对齐时的口型。
- u:乌鸦喝水uuu。
想象乌鸦喝水时的样子。
- ü:小鱼吐泡üüü。
看小鱼吐泡泡的形象。
2. 声母。
- b:像个6字bbb。
可以用与数字6的形状对比来记忆。
- p:右上半圆ppp。
与b对比,一个不送气,一个送气,可通过吹纸实验感受送气与不送气的区别。
- m:两个门洞mmm。
联系生活中的门洞形状。
- f:一根拐棍fff。
想象爷爷的拐棍形状。
- d:左下半圆ddd。
与b的半圆方向区分开来。
- t:伞把朝下ttt。
与f对比,也是送气与不送气的区别。
- n:一个门洞nnn。
与m对比,m是两个门洞。
- l:一根小棒lll。
形象记忆。
- g:9字加钩ggg。
和数字9联系起来。
- k:蝌蚪游水kkk。
想象蝌蚪的形状。
- h:一把椅子hhh。
像椅子的形状。
- j:竖左弯加点jjj。
独特的形状记忆。
- q:左上半圆qqq。
与p对比半圆方向。
- x:一个叉叉xxx。
简单的形状记忆。
- z:像个2字zzz。
与数字2形状相似。
- c:半圆加竖ccc。
独特形状。
- s:半个8字sss。
像半个8的形状。
- zh:z加h,翘舌音zhzhzh。
先学会z,再加上h发翘舌音。
- ch:c加h,翘舌音chchch。
与zh对比学习。
- sh:s加h,翘舌音shshsh。
- r:像棵小苗rrr。
独特的记忆形象。
3. 复韵母。
- ai:挨在一起aiai。
如小朋友挨在一起的画面。
- ei:欸,打雷了eiei。
联想打雷时的发音情景。
- ui:围巾uiui。
联系生活中的围巾。
- ao:棉袄aaoo。
专题14 海洋地理(精品讲义)-备战2023地理一轮复习全考点精讲练(浙江)(解析版)

专题14海洋地理一、课程标准深解读【课程标准】1. 运用图表等资料,说明海水性质和运动对人类活动的影响;2. 运用世界洋流分布图,说明世界洋流的分布规律,并举例说明洋流对地理环境和人类活动的影响;3. 运用图表,分析海一气相互作用对全球水热平衡的影响,解释厄尔尼诺、拉尼娜现象对全球气候和人类活动的影响。
4.结合实例,说明国家海洋权益、海洋发展战略及其重要意义。
【核心素养】综合思维:运用图表等资料,归纳海水温度、盐度、密度的分布规律及影响因素。
区域认知:利用海洋资源分布图,正确认识海洋资源的分布特点。
人地协调观:根据所学知识和原理,关注海洋污染和生态破坏问题,增强环保意识,树立正确的环境观。
地理实践力:通过网络、报刊书籍等方式查阅相关资料,交流我国新时期建设海洋强国的发展战略。
二、必备知识当堂清考点1. 海水的性质1、海水的温度:(1)影响海水温度的因素:(2)海水温度的分布规律:2、海水的盐度:(1)影响海水盐度的因素:(2)海水盐度的分布规律:3、海水的密度:(1)影响因素:温度、盐度和压力等。
(2)分布规律①水平方向:大洋表层海水密度随纬度的增高而增大,最大密度出现在寒冷的极地海区。
②垂向分布:海水密度随深度的增加而增大,低纬度海区垂向变化较大,高纬度海区垂向变化很小。
考点2. 海水运动1.波浪(1)动力:常见的波浪是由风力作用产生的。
(2)风浪:风吹拂海面,引起海水的波动,形成风浪。
(3)涌浪:风浪离开源地向远处继续传播的海浪,或在风浪区域内的风已平息而继续存在的海浪(4)对地理环境和人类活动的影响:①有利影响:一种重要的海洋能资源(塑造海岸地貌的主要动力)②不利影响:巨大波浪对防波堤、港口、码头等水工建筑物会造成严重破坏(波浪造成的颠簸,对海上航行、海洋工程、渔业作业等都有影响)。
2、潮汐(1)概念:指海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象。
(2)对人类的影响①蕴藏着极为巨大的能量。
课程论复习资料

课程概念:课程是学生通过学校教育环境获得的旨在促进其身心发展的教育性经验。
它具有经验性、统整性、目的性、综合型必修课程:指同一学年的所有学生都必须学习的公共课程或教学科目,它体现了国家对各阶段学生的学生发展的共同的基本要求。
选修课程:是指学习开设的课程,并不要求学生人人都学,但学生可以根据自己的需要、兴趣和能力有一定选择自由的教学科目选择自由度核心课程:核心课程是指所有学生都要学习的共同学科,是学校所设课程中最重要、最基础的部分,是核心学科、共同基础课的同义语。
学科课程:在有限的时间内,传授给学生根据一定规则,进行体系化后的知识的教学科目。
活动课程:是指学生通过各种有计划、有组织、有目的的活动而获得促进其身心全面发展的教育性经验。
分科课程:课程内容仅由某一学科领域的内容构成。
综合课程:课程内容由两个或两个以上的学科领域的内容构成。
科学研究发展的大趋势、儿童的认知特点、适用的学段与课时比例知识中心课程理论:关注的是学科知识本身,重点探讨学校教育应该选择什么知识、如何组织知识等问题。
永恒主义课程理论、要素主义课程理论、结构主义课程理论学习者中心课程理论:强调以学生个人的需要和兴趣组织课程与教学。
经验自然主义课程理论、人本主义课程理论。
社会中心课程理论:强调以社会问题为中心,通过对社会问题的分析来进行课程设计。
社会改造主义课程理论依据特定课程的名义性开发主体,可以分出国家本位课程、地方本位课程、学校本位课程从以群体共性为参照到针对具体情境中特定群体的特殊需要都在国家整体的课程规划之列。
国家对于地方[本位]课程、[学]校本[位]课程只进行有限的硬性规定隐性课程:学校通过教育环境有意或无意地传递给学生的非公开性教育经验。
具有隐含性、依附性、持久性。
显性课程:校内课程VS校外课程:依据课程的存在场域课程并不仅仅存在于学校这个教育场域就像教育并不仅限于在学校中开展一样课程结构:纵向组织和横向组织;直线式组织与螺旋式组织;逻辑顺序组织与心理顺序组织;渐进性组织与跨越性组织。
全民国家安全教育日主题课程资料(18篇通用)

全民国家安全教育日主题课程资料(18篇通用)1. 国家安全意识的重要性- 国家安全意识的定义和内涵- 培养国家安全意识的必要性和紧迫性- 全民参与国家安全的重要角色2. 国家安全法律法规- 国家安全法的基本原则和内容- 《反恐怖主义法》、《网络安全法》等相关法律法规的主要内容- 全民了解并遵守国家安全法律法规的重要性3. 国家安全威胁与挑战- 国内外对我国国家安全的威胁和挑战- 涉及国家安全的常见问题和案例分析- 全民应对国家安全威胁和挑战的策略与方法4. 情报安全与保密工作- 情报安全的重要性和作用- 保密工作的原则和措施- 全民参与情报安全与保密工作的方式和途径5. 国家安全与经济建设- 国家安全与经济发展的关系- 经济领域存在的安全风险和威胁- 全民参与国家安全与经济建设的方式和途径6. 突发事件应急管理- 突发事件应急管理的重要性- 常见突发事件类型和应对措施- 全民参与突发事件应急管理的角色和责任7. 基础设施安全与保护- 基础设施安全的概念和范畴- 基础设施安全存在的风险和挑战- 全民参与基础设施安全与保护的方式和途径8. 网络安全与个人防护- 网络安全的重要性和意义- 常见网络安全威胁和攻击手段- 全民参与网络安全与个人防护的策略和方法9. 国际安全合作与交流- 国际安全合作的意义和价值- 我国在国际安全合作中的角色和贡献- 全民参与国际安全合作与交流的途径和方法10. 全民国家安全责任与义务- 国家安全责任与义务的内涵和范畴- 全民应承担的国家安全责任与义务- 全民参与国家安全工作的方式和途径11. 反间谍与反恐怖主义工作- 反间谍与反恐怖主义的重要性和紧迫性- 常见的间谍和恐怖主义活动手段- 全民参与反间谍与反恐怖主义工作的策略和方法12. 军事安全与军事建设- 军事安全对国家安全的重要意义- 我国军事建设的现状和发展趋势- 全民关注和支持军事安全与军事建设的方式和途径13. 社会稳定与维护- 社会稳定的重要性和意义- 社会稳定面临的主要挑战和问题- 全民参与社会稳定与维护的策略和方法14. 文化安全与传媒监管- 文化安全的概念和内涵- 传媒监管的重要性和必要性- 全民参与文化安全与传媒监管的方式和途径15. 边境安全与边防建设- 边境安全对国家安全的重要性- 我国边防建设的现状和成就- 全民关注和支持边境安全与边防建设的方式和途径16. 环境安全与生态保护- 环境安全的意义和价值- 环境污染对国家安全的影响- 全民参与环境安全与生态保护的策略和方法17. 科技安全与创新发展- 科技安全的概念和内涵- 科技安全面临的主要威胁和挑战- 全民参与科技安全与创新发展的方式和途径18. 法治国家与国家安全- 法治国家对国家安全的保障作用- 法治国家建设面临的主要问题和挑战- 全民参与法治国家与国家安全建设的策略和方法。
课程资料:大学生创新创业(精华版)期末考试

大学生创新创业(精华版)朱恒源课程评价一、单选题(题数:30,共30.0 分)1“全国有5000万中产阶级,假如每个中产阶级买我公司一个包,就有5000万的市场规模”这样的推论经不起()。
1.0 分A、合理性检验B、逻辑性检验C、数字性检验D、以上都不是我的答案:B2具有前期创业经历的创业者,拥有的优势在于:()。
1.0 分A、收获了经验B、丢失了人脉C、获得了资金积累D、获得了关键员工我的答案:A3有人说:创业的过程是十分艰苦又富于挑战的,有关这一说法解读错误的是:()。
1.0 分A、创业成功率低B、投入大回报低C、创业者要承受较大压力D、创业过程持续时间长我的答案:B4创业者的主要创业动机说法正确的是:()。
1.0 分A、创业者难以和他人相处B、创业者难以接受领导权威C、创业者实现自我创意D、创业者讨厌朝九晚五我的答案:C5关于资源整合的描述错误的是:()。
1.0 分A、要有利益基础B、要有信任关系C、要有共赢机制D、要有行业相关性我的答案:D6关于企业内部融资和外部融资的说法正确的是:()。
1.0 分A、内部融资成本高于外部融资B、内部融资往往不能满足企业的融资需求C、内部融资需要获得政府批准D、内部融资需获得全体员工同意我的答案:B7社交平台估值时通常采用()。
1.0 分A、市盈率B、市梦率D、用户价值我的答案:D8创业团队成员往往来自于:()。
1.0 分A、朋友圈B、猎头C、招聘公司D、招聘会我的答案:A9对于平台型商业模式而言,()。
1.0 分A、客户规模是关键B、市场容量是关键C、重复购买是关键D、单件价差是关键我的答案:A10在资源整合中,拼凑不包括:()。
1.0 分A、巧用身边资源B、“变废为宝”C、不惜一切代价获得最优资源D、挑选最合适的资源我的答案:C11尽职调查主要用于下列哪项场景:()。
1.0 分A、天使投资人对于新创企业的投资B、风险投资人对被投资企业C、工商局对新创企业D、税务部门对纳税人我的答案:B12关于企业盈亏平衡点,下列说法错误的是:()。
校本课程材料(1)

花卉栽培
目录索引
序号
材料名称
数量
1
教师自我介绍
1
2
课程实施活动方案
1
3
优秀教学设计
2
4
学生点名册
1
5
学生学习评价表
1
6
学生心得ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ会
6
7
活动剪影
2
8
校本课程教学总结
1
9
10
课程名称:执教者:
姓名
出勤情况
孔家庄子小学校本课程学生学习评价表
课程名称:评价时间:
姓
名
出勤
课堂学习
创新能力
考查
总
成绩
自评
师评
自评
师评
自评
师评
自评
师评
校本课程档案资料
1、封皮设计(课程名称及目录索引)
2、教师自我介绍包括学历、特长、课程实施的思路等
3、课程纲要或计划(包括指导思想、学习内容、重难点、教学措施、教学时间安排等内容)
4、优秀教学设计2篇
教学随笔1篇
5、学生点名册
6、学生学习评价表
7、学生心得体会
8、活动剪影
9、成果资料(若有)
10、总结
第14课第二节八年级

世界第一只克隆羊多利
克隆牛
转基因体细胞克隆牛“岩娃”
思考
• 可以用克隆技术拯救濒危动物种类吗? • 现代生命科学能够克隆人吗? • 人应该克隆吗? • 为什么?
DNA双螺旋结构
人类基因组计划
人类基因组计划
• 人类基因组计划 (Human Genome Project,HGP)是一 项规模宏大,跨国跨学科的科学探索工程。其宗旨在于测 定组成人类染色体(指单倍体)中所包含的30亿个碱基对 组成的核苷酸序列,从而绘制人类基因组图谱,并且辨识 其载有的基因及其序列,达到破译人类遗传信息的最终目 的。基因组计划是人类为了探索自身的奥秘所迈出的重要 一步,是继曼哈顿计划和阿波罗登月计划之后,人类科学 史上的又一个伟大工程。截止到2005年,人类基因组计划 的测序工作已经基本完成(92%)。其中,2001年人类基 因组工作草图的发表(由公共基金资助的国际人类基因组 计划和私人企业塞雷拉基因组公司各自独立完成,并分别 公开发表)被认为是人类基因组计划成功的里程碑。
间谍卫星图片
卫星天线
卫星地图
卫星拍摄的沙尘暴
气象卫星
人类第一个宇航员——(苏)加加 林1961
第一个登月者
第一个登月者阿姆斯特空间站
神舟八号
嫦娥一号
天宫一号与神八对接
长征系列火箭
美国航天飞机
与现代科技有关的新名词
• 1、太空学:太空行走、绕月飞行、航天飞 机...
• 2、生物工程学:转基因食品、克隆技术、 基因图谱...
• 3、医学:核磁共振、内窥镜(胃镜、气管 镜、肠镜、子宫镜)、器官移植...
• 4、网络学:网恋、网聊、软件、内存、微 软、奔腾、网迷、网络语言....
• 5、通讯学:手机、充值、短信、漫游...
课程资料:复习题-国际结算

国际结算题库一、单项选择题1.福费廷业务中的远期汇票应得到()。
A、进口商担保B、进口商银行担保C、出口商担保D、出口商银行担保2.根据UCP600的规定,信用证项下汇票的付款人应是()。
A、开证行B、议付行C、通知行D、开证申请人3.签发联运提单(Through B/L)的承运人其责任是()。
A、必须对全程运输负责B、只对第一程运输负责C、只对第二程运输负责D、只对第一程与第二程交接部分负责。
4.当信用证上出现如下字样时,该信用证为即期付款信用证()。
A、by sight paymentB、by deferred paymentC、by acceptanceD、by negotiation5.指示性抬头的汇票()。
A、须经背书方可转让B、不能通过背书转让C、无须背书仅凭交付即可转让D、以上都不对6.汇款人与汇出行之间是()。
A、代理关系B、债权债务关系C、委托与被委托关系D、账户关系7.国际汇兑从狭义上讲是()。
A、国际托收业务B、国际银行间的汇款业务C、货币兑换业务D、国与国之间债权债务清偿业务8.担保行在保函项下拥有的合法权益不包括()。
A、监督受益人履行合约B、在垫付款项后,要求申请人偿还C、要求申请人提供反担保D、在必要时,要求处置担保品9.跟单信用证的卖方,在()价格条件下,必须提供保险凭证。
A、CIFB、CFRC、FOBD、以上三项10.根据下列汇票的抬头,指出需要背书转让的汇票()。
A、pay B company not transferableB、pay bearerC、pay M company onlyD、pay to the order of ourselves11.使用L/C、D/P、D/A三种支付方式结算货款,就卖方的收汇风险而言,从小到大依次排序为()。
A、D/A、D/P和L/CB、D/P、D/A和L/CC、L/C、D/P和D/AD、L/C、D/A和D/P12.在汇票背书转让过程中,只有()。
传媒2020年7月《人像摄影》课程 参考资料

传媒2020年7月《人像摄影》课程1 单选题1 适用于较复杂的光线环境的测光方式为______。
A 点测光B 边缘测光C 裂像测光D 局部测光2 镜头的最佳光圈一般位于____左右。
A F2.8B F16C F4D F83 人像摄影创作中摄影师关心人物的表情、动作和身体姿态,此外还应注意_____。
A 人物美感B 光线的使用C 增加拍摄的创意D 腰部曲线4 在进行室内灯光房的冷调人像拍摄时,可以将白平衡设置______于光源色温,制造冷调效果。
A 高于B 等于C 低于D 无关5 为拍摄出自然优美的正面人像,不可以通过以下_____方式进行拍摄。
A 利用侧光增强立体感B 利用大光比表现情绪C 通过画面造型改变效果D 利用深色前景增强纵深感6 在环形光的基础上,将灯位______可以使得环形的阴影向下颌骨方向延伸,成为“近环形光”。
A 升高B 降低C 向一侧移动D 向相机移动7 拍摄中间调人像时,光线采用_________。
A 柔光B 硬光C AB都对D AB都不对8 电子闪光灯的色温为______。
A 5500KB 1600KC 2300KD 7700K9 下列关于背景的描述,正确的是_______。
A 背景是在主体之后,烘托主体的景物B 背景的选择不是决定画面的关键因素之一C 背景能够反映的信息量不大D 背景不能突显主体的优势10 更能全面、直观地表现被摄主体的是_____。
A 正面人像B 七分面人像C 三分面人像D 俯拍人像11 比较适合拍摄特写人像的镜头焦段是_____。
A 24~105mmB 24~70mmC 85~135mmD 70~200mm12 拍摄躺姿人物时,人物在画面中表现简洁的线条,突出躺姿人物美丽的轮廓线条,可以采用_________。
A 顺光拍摄B 逆光拍摄C 侧面角度D 正面角度13 前侧光是指光线从相机后方一侧与镜头光轴呈______夹角的方向投射被摄者的照明光线。
A 0~10度B 90度C 30~60度D 180度。
学霸讲义中考提分课程第14讲:数据的分析讲义

方差和标准差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小.方差(或标准差)越大,数据的历算程度越大,稳定性越小;反之,则离散程度越小,稳定性越好.16.随机事件(1)确定事件事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件,事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件,必然事件和不可能事件都是确定的.(2)随机事件在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件,称为随机事件.(3)事件分为确定事件和不确定事件(随机事件),确定事件又分为必然事件和不可能事件,其中,①必然事件发生的概率为1,即P(必然事件)=1;②不可能事件发生的概率为0,即P(不可能事件)=0;③如果A为不确定事件(随机事件),那么0<P(A)<1.17.利用频率估计概率(1)大量重复实验时,事件发生的频率在某个固定位置左右摆动,并且摆动的幅度越来越小,根据这个频率稳定性定理,可以用频率的集中趋势来估计概率,这个固定的近似值就是这个事件的概率.(2)用频率估计概率得到的是近似值,随实验次数的增多,值越来越精确.(3)当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多,或各种可能结果发生的可能性不相等时,一般通过统计频率来估计概率.二:典型例题例1.(2015•玉林)学校抽查了30名学生参加“学雷锋社会实践”活动的次数,并根据数据绘制成了条形统计图,则30名学生参加活动的平均次数是()A.2 B.2.8 C.3 D.3.3【考点】加权平均数;条形统计图.【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和,然后除以数据的总个数.注意本题不是求3,5,11,11这四个数的平均数.【解答】解:(3×1+5×2+11×3+11×4)÷30=(3+10+33+44)÷30=90÷30=3.故30名学生参加活动的平均次数是3.故选:C.【点评】本题考查加权平均数,条形统计图和利用统计图获取信息的能力;利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题.例2.(2015•益阳)某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示,关于“劳动时间”的这组数据,以下说法正确的是()劳动时间(小时) 3 3.5 4 4.5人数 1 1 2 1A.中位数是4,平均数是3.75 B.众数是4,平均数是3.75C.中位数是4,平均数是3.8 D.众数是2,平均数是3.8【考点】中位数;加权平均数;众数.【分析】根据众数和中位数的概念求解.【解答】解:这组数据中4出现的次数最多,众数为4,∵共有5个人,∴第3个人的劳动时间为中位数,故中位数为:4,平均数为:=3.8.故选C.【点评】本题考查了中位数、平均数、众数的知识,解答本题的关键是掌握各知识点的概念.例3.(2015•茂名模拟)某校九年级学生开展踢毽子比赛活动,每班派5名同学参加,按团体总分多少排列名次,在规定时间内每人踢100个以上(含100)为优秀,下表是成绩最好的甲班和乙班5名学生的比赛数据(单位:个).1号2号3号4号5号总分甲班100 98 110 89 103 500乙班89 100 95 119 97 500统计发现两班总分相等,此时有同学建议,可以通过考查数据中的其他信息作为参考,请你解答下列问题:(1)计算两班的优秀率;(2)求两班比赛数据的中位数;(3)估计两班比赛数据的方差哪一个小?(4)根椐以上三条信息,你认为应该把冠军奖状发给哪一个班?简述理由.【考点】方差;统计表;中位数.【分析】(1)甲班优秀学生数为3,乙班优秀学生数为2,优秀率=优秀学生数÷学生总数×100%;(2)根据中位数是按次序排列后的第3个数即可;(3)根据方差的计算公式得到数据的方差即可;(4)根椐以上三条信息,综合分析即可.【解答】解:(1)甲班的优秀率是×100%=60%;乙班的优秀率是×100%=40%;(2)甲班5名学生比赛成绩的中位数为100(个);乙班5名学生成绩的中位数为97(个);(3)甲=×500=100(个),乙=×500=100(个);S2甲=[(100﹣100)2+(98﹣100)2+(110﹣100)2+(89﹣100)2+(103﹣100)2]=46.8,S2乙=[(89﹣100)2+(100﹣100)2+(95﹣100)2+(119﹣100)2+(97﹣100)2]=103.2;(4)因为甲班5人比赛成绩的优秀率比乙班高、中位数比乙班大、方差比乙班小,应该把冠军奖状发给甲班.【点评】此题考查了方差,用到的知识点是:将一组数据从小到大依次排列,把中间数据(或中间两数据的平均数)叫做中位数.平均数=总数÷个数,以及方差的算法等,需注意方差小了表示成绩稳定.一:例题精讲例1.(2015春•天津期末)在一次演讲比赛中,某个选手想知道自己在所有选手中处于什么水平,应该选取中位数进行比较.(从平均数,中位数,众数中选一项填空)【考点】统计量的选择.【分析】此题是中位数在生活中的运用,知道自己的成绩以及全部成绩的中位数就可知道自己处于什么水平.【解答】解:在演讲比赛中,某个选手想知道自己到底处于什么水平,只要找到这组参赛选手成绩的中位数就可知道自己处于什么水平.故答案为:中位数.【点评】考查了中位数的意义.中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(或最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数.例2.(2015•无锡)某种蔬菜按品质分成三个等级销售,销售情况如表:等级单价(元/千克)销售量(千克)一等 5.0 20二等 4.5 40三等 4.0 40则售出蔬菜的平均单价为 4.4元/千克.【考点】加权平均数.【分析】利用售出蔬菜的总价÷售出蔬菜的总数量=售出蔬菜的平均单价,列式解答即可.【解答】解:(5×20+4.5×40+4×40)÷(20+40+40)=(100+180+160)÷100=440÷100=4.4(元/千克)答:售出蔬菜的平均单价为4.4元/千克.故答案为:4.4.【点评】此题考查加权平均数的求法,利用总数÷总份数=平均数列式解决问题.例3.(2015•温州)某公司需招聘一名员工,对应聘者甲、乙、丙从笔试、面试、体能三个方面进行量化考核.甲、乙、丙各项得分如下表:笔试面试体能甲83 79 90乙85 80 75丙80 90 73(1)根据三项得分的平均分,从高到低确定三名应聘者的排名顺序.(2)该公司规定:笔试,面试、体能得分分别不得低于80分,80分,70分,并按60%,30%,10%的比例计入总分.根据规定,请你说明谁将被录用.【考点】加权平均数.【分析】(1)代入求平均数公式即可求出三人的平均成绩,比较得出结果;(2)由于甲的面试成绩低于80分,根据公司规定甲被淘汰;再将乙与丙的总成绩按比例求出测试成绩,比较得出结果.【解答】解:(1)甲=(83+79+90)÷3=84,=(85+80+75)÷3=80,乙=(80+90+73)÷3=81.丙从高到低确定三名应聘者的排名顺序为:甲,丙,乙;(2)∵该公司规定:笔试,面试、体能得分分别不得低于80分,80分,70分,∴甲淘汰;乙成绩=85×60%+80×30%+75×10%=82.5,丙成绩=80×60%+90×30%+73×10%=82.3,乙将被录取.【点评】本题考查了算术平均数和加权平均数的计算.平均数等于所有数据的和除以数据的个数.例4.(2015•吉林)要从甲、乙两名同学中选出一名,代表班级参加射击比赛,如图是两人最近10次射击训练成绩的折线统计图.(1)已求得甲的平均成绩为8环,求乙的平均成绩;(2)观察图形,直接写出甲,乙这10次射击成绩的方差s甲2,s乙2哪个大;(3)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在7环左右,本班应该选乙参赛更合适;如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右,本班应该选甲参赛更合适.【考点】方差;折线统计图;算术平均数.【分析】(1)根据平均数的计算公式和折线统计图给出的数据即可得出答案;(2)根据图形波动的大小可直接得出答案;(3)根据射击成绩都在7环左右的多少可得出乙参赛更合适;根据射击成绩都在9环左右的多少可得出甲参赛更合适.【解答】解:(1)乙的平均成绩是:(8+9+8+8+7+8+9+8+8+7)÷10=8(环);(2)根据图象可知:甲的波动大于乙的波动,则s甲2>s乙2;(3)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在7环左右,本班应该选乙参赛更合适;如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右,本班应该选甲参赛更合适.故答案为:乙,甲.【点评】本题考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定.例5.(2015•河北)某厂生产A,B两种产品,其单价随市场变化而做相应调整.营销人员根据前三次单价变化的情况,绘制了如表统计表及不完整的折线图.A,B产品单价变化统计表第一次第二次第三次A产品单价(元/件) 6 5.2 6.5B产品单价(元/件) 3.5 4 3并求得了A产品三次单价的平均数和方差:=5.9,s A2=[(6﹣5.9)2+(5.2﹣5.9)2+(6.5﹣5.9)2]=(1)补全如图中B产品单价变化的折线图.B产品第三次的单价比上一次的单价降低了25%(2)求B产品三次单价的方差,并比较哪种产品的单价波动小;(3)该厂决定第四次调价,A产品的单价仍为6.5元/件,B产品的单价比3元/件上调m%(m>0),使得A产品这四次单价的中位数是B产品四次单价中位数的2倍少1,求m的值.【考点】方差;统计表;折线统计图;算术平均数;中位数.【分析】(1)根据题目提供数据补充折线统计图即可;(2)分别计算平均数及方差即可;(3)首先确定这四次单价的中位数,然后确定第四次调价的范围,根据“A产品这四次单价的中位数是B产品四次单价中位数的2倍少1”列式求m即可.【解答】解:(1)如图2所示:B产品第三次的单价比上一次的单价降低了=25%,(2)=(3.5+4+3)=3.5,==,∵B产品的方差小,∴B产品的单价波动小;(3)第四次调价后,对于A产品,这四次单价的中位数为=;对于B产品,∵m>0,∴第四次单价大于3,∵﹣1>,∴第四次单价小于4,∴×2﹣1=,∴m=25.【点评】本题考查了方差、条形统计图、算术平均数、中位数的知识,解题的关键是根据方差公式进行有关的运算,难度不大.二:达标检测1.(2016•重庆模拟)2015年7月份,某市一周空气质量报告中某项污染指数的数据是:31,35,31,33,30,33,31.則下列关于这列数据表述正确的是()A.众数是30 B.中位教是31 C.平均数是33 D.极差是35【考点】极差;加权平均数;中位数;众数.【分析】根据极差、众数、平均数和中位数的定义对每一项进行分析即可.【解答】解:A、31出现了3次,出现的次数最多,则众数是31,故本选项错误;B、把这些数从小到大排列为30,31,31,31,33,33,35,最中间的数是31,则中位数是31,故本选项正确;C、这组数据的平均数是(30+31+31+31+33+33+35)÷7=32,故本选项错误;D、极差是:35﹣30=5,故本选项错误;故选B.【点评】本题考查了极差、众数、平均数和中位数的定义.用到的知识点:一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数;求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值.2.(2015•宁波)在端午节到来之前,学校食堂推荐了A,B,C三家粽子专卖店,对全校师生爱吃哪家店的粽子作调查,以决定最终向哪家店采购,下面的统计量中最值得关注的是()A.方差 B.平均数C.中位数D.众数【考点】统计量的选择.【考点】算术平均数;折线统计图.【分析】从统计图中得到数据,再运用求平均数公式:即可求出.【解答】解:由折线统计图知,这5天的平均用水量为:=32(吨).故答案为:32【点评】此题考查了算术平均数,要熟悉统计图,读懂统计图,熟练掌握平均数的计算方法,是解题的关键.6.(2015•玄武区一模)若李老师六个月的手机上网流量(单位:M)分别为526,600,874,480,620,500,则李老师这六个月平均每个月的手机上网流量为600M.【考点】算术平均数.【分析】只要运用求平均数公式:即可求出答案.【解答】解:根据题意得:(526+600+874+480+620+500)÷6=600(M);答:李老师这六个月平均每个月的手机上网流量为600M;故答案为:600.【点评】本题考查的是算术平均数的求法.熟记公式是解决本题的关键.7.(2015•甘孜州)某校学生会决定从三名学生会干事中选拔一名干事,对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试,三人的测试成绩如下表所示:测试项目测试成绩/分甲乙丙笔试75 80 90面试93 70 68根据录用程序,学校组织200名学生采用投票推荐的方式,对三人进行民主测评,三人得票率(没有弃权,每位同学只能推荐1人)如扇形统计图所示,每得一票记1分.(1)分别计算三人民主评议的得分;(2)根据实际需要,学校将笔试、面试、民主评议三项得分按4:3:3的比例确定个人成绩,三人中谁的得分最高?【考点】加权平均数;统计表;扇形统计图;算术平均数.(2)假设鲜奶店在这30天内每天购进28瓶,则这30天的日利润的平均数是:(26×5+27×8+28×7+28×6+28×4)×6﹣28×30×3=2412(元),(3)设每天的需求量为x瓶时,日利润不低于81元,根据题意得:6x﹣28×3≥81,解得:x≥27.5,则在这记录的30天内日利润不低于81元的概率为:=.【点评】此题考查了众数、加权平均数和利用频率估计概率,掌握这些基本概念才能熟练解题.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.9.(2015•江宁区一模)某校为了解五年级女生体能情况,抽取了50名五年级女学生进行“一分钟仰卧起坐”测试.测试的情况绘制成表格如下:个数 6 12 15 18 19 20 25 27 30 32 35 36人数 2 1 7 18 1 9 5 2 1 1 1 2(1)通过计算得出这组数据的平均数是20,请你直接写出这组数据的众数和中位数,它们分别是18、18;(2)被抽取的五年级女生小红在“一分钟仰卧起坐”项目测试中的成绩是19次,小红认为成绩比平均数低,觉得自己成绩不理想,请你根据(1)中的相关数据分析小红的成绩;(3)学校根据测试数据规定五年级女学生“一分钟仰卧起坐”的合格标准为18次,已知该校五年级有女生250名,试估计该校五年级女生“一分钟仰卧起坐”的合格人数是多少?【考点】众数;用样本估计总体;加权平均数;中位数.【分析】(1)根据众数和中位数的概念求解;(2)根据(1)中可得,19高于众数和中位数,进行分析;(3)根据50人中,有40人符合标准,进而求出250名初中毕业女生参加体育中考成绩合格的人数即可.【解答】解:(1)这组数据中18出现的次数最多,故众数为18,∵共有50名学生,∴第25和26名学生的成绩为中位数,即中位数为=18;(2)尽管低于平均数,但高于众数和中位数,所以还有比较好的;(3)由(1)得,该项目测试合格率为80%,则合格人数为:250×80%=200(人).故答案为:18,18.【点评】本题考查了众数和中位数的知识,一组数据中出现次数最多的数据叫做众数;将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.一:能力培养例1.(2015•泗洪县校级模拟)某中学开展演讲比赛活动,九(1)、九(2)班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛,两个班各选出的5名选手的复赛成绩(满分为100分)如下图所示.(1)根据图填写下表;(2)结合两班复赛成绩的平均数和中位数、极差、方差,分析哪个班级的复赛成绩较好?(3)如果在每班参加复赛的选手中分别选出2人参加决赛,你认为哪个班的实力更强一些,说明理由.平均分(分)中位数(分)众数(分)极差方差九(1)班 85 8585 2570九(2)班 85 80 10030160【考点】方差;条形统计图;加权平均数;中位数;众数.【分析】(1)根据统计图中的具体数据以及中位数、平均数和众数的概念分别进行计算即可;(2)观察数据发现:平均数相同,虽九(1)班的中位数较低,但是极差与方差均比九(2)班小,所以九(1)班的复赛成绩较好;(3)分别计算前两名的平均分,比较其大小.【解答】解:(1)九(1)班的成绩,按从小到大的顺序排列为75、80、85、85、100,第3个数是85,即九(1)班的中位数是85,极差是:100﹣75=25;九(2)班的成绩为:70、100、100、75、80,出现次数最多的是100,则九(2)班的成绩的众数是100,极差是:100﹣70=30,方差是:S2=[(70﹣85)2+(100﹣85)2+(100﹣85)2+(75﹣85)2+(80﹣85)2]=160;填表如下:平均分(分)中位数(分)众数(分)极差方差九(1)班 85 85 85 25 70九(2)班 85 80 100 30 160(2)∵两班的平均数相同,九(1)班的中位数较低,但是极差与方差均比九(2)班小,∴九(1)班的复赛成绩较好;(3)∵九(1)班、九(2)班前两名选手的平均分分别为92.5分,100分,∴在每班参加复赛的选手中分别选出2人参加决赛,九(2)班的实力更强一些.故答案为85,25,100,30,160.【点评】此题考查了条形统计图,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.理解平均数、中位数、众数、极差与方差的概念,并能根据它们的意义解决问题.二:能力检测1.(2015•丹东模拟)为了了解学生关注热点新闻的情况,“两会”期间,小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查,调查结果统计如图所示(其中男生收看3次的人数没有标出).根据上述信息,解答下列各题:(1)该班级女生人数是20,女生收看“两会”新闻次数的中位数是3;(2)对于某个群体,我们把一周内收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”.如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低5%,试求该班级男生人数;(3)为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点,小明给出了男生的部分统计量(如表).统计量平均数(次)中位数(次)众数(次)方差…该班级男生3 3 4 2 …根据你所学过的统计知识,适当计算女生的有关统计量,进而比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动大小.【考点】方差;折线统计图;算术平均数;中位数;众数.【专题】图表型;数形结合.【分析】(1)将柱状图中的女生人数相加即可求得总人数,中位数为第10与11名同学的次数的平均数.(2)先求出该班女生对“两会”新闻的“关注指数”,即可得出该班男生对“两会”新闻的“关注指数”,再列方程解答即可.(3)较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动大小,需要求出女生的方差.【解答】解:(1)20,3;(2)由题意:该班女生对“两会”新闻的“关注指数”为所以,男生对“两会”新闻的“关注指数”为60%设该班的男生有x人则,解得:x=25答:该班级男生有25人.(3)该班级女生收看“两会”新闻次数的平均数为,女生收看“两会”新闻次数的方差为:因为2>,所以男生比女生的波动幅度大.【点评】本题考查了平均数,中位数,方差的意义.平均数平均数表示一组数据的平均程度.中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(或最中间两个数的平均数);方差是用来衡量一组数据波动大小的量.课后作业1.(2015•呼和浩特一模)已知一组数据1,7,10,8,x,6,0,3,若,则x应等于()A.6 B.5 C.4 D.2【考点】算术平均数.【分析】本题需先根据已知条件和算术平均数的定义列出式子,解出得数即可求出答案.【解答】解:(1+7+10+8+x+6+0+3)÷8=535+x=40,x=5.故选B.【点评】本题主要考查了算术平均数,在解题时要根据已知条件列出式子解出得数是本题的关键.2.(2015•浙江模拟)假期里小菲和小琳结伴去超市买水果,三次购买的草莓价格和数量如下表:从平均价格看,谁买得比较划算?()价格/(元/kg)12 10 8 合计/kg小菲购买的数量/kg 2 2 2 6小琳购买的数量/kg 1 2 3 6A.一样划算 B.小菲划算 C.小琳划算 D.无法比较【考点】加权平均数.【分析】根据加权平均数的计算公式先分别求出小菲、小琳购买的平均价格,再进行比较即可.【解答】解:∵小菲购买的平均价格是:(12×2+10×2+8×2)÷6=10(元/kg),小琳购买的平均价格是:(12×1+10×2+8×3)÷6=(元/kg),∴小琳划算;故选C.【点评】本题考查的是加权平均数的求法,熟记加权平均数的计算公式是本题的关键,是一道基础题.3.(2015•安徽)某校九年级(1)班全体学生2015年初中毕业体育考试的成绩统计如下表:成绩(分)35 39 42 44 45 48 50人数(人) 2 5 6 6 8 7 6根据上表中的信息判断,下列结论中错误的是()A.该班一共有40名同学B.该班学生这次考试成绩的众数是45分C.该班学生这次考试成绩的中位数是45分D.该班学生这次考试成绩的平均数是45分【考点】众数;统计表;加权平均数;中位数.【分析】结合表格根据众数、平均数、中位数的概念求解.【解答】解:该班人数为:2+5+6+6+8+7+6=40,得45分的人数最多,众数为45,第20和21名同学的成绩的平均值为中位数,中位数为:=45,平均数为:=44.425.故错误的为D.故选D.【点评】本题考查了众数、平均数、中位数的知识,掌握各知识点的概念是解答本题的关键.4.(2015•菏泽)下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数与方差s2:甲乙丙丁平均数(cm)561 560 561 560方差s2(cm2) 3.5 3.5 15.5 16.5根据表中数据,要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛,应该选择()A.甲B.乙C.丙D.丁【考点】方差;算术平均数.【分析】根据方差和平均数的意义找出平均数大且方差小的运动员即可.【解答】解:∵甲的方差是3.5,乙的方差是3.5,丙的方差是15.5,丁的方差是16.5,∴S甲2=S乙2<S丙2<S丁2,∴发挥稳定的运动员应从甲和乙中选拔,∵甲的平均数是561,乙的平均数是560,∴成绩好的应是甲,∴从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛,应该选择甲;故选A.【点评】本题考查了方差和平均数.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定.5.(2015•云南)为加快新农村试点示范建设,我省开展了“美丽乡村”的评选活动,下表是我省六个州(市)推荐候选的“美丽乡村”个数统计结果:州(市) A B C D E F推荐数(个)36 27 31 56 48 54在上表统计的数据中,平均数和中位数分别为()A.42,43.5 B.42,42 C.31,42 D.36,54【考点】中位数;加权平均数.【分析】根据平均数的公式求得上表统计的数据中的平均数,将其按从小到大的顺序排列中间的那个是中位数.【解答】解:P=(36+27+31+56+48+54)=42,把这几个数据按从小到大顺序排列为:27,31,36,48,54,56,中位数W=(36+48)=42.故选B.【点评】本题考查了平均数和中位数的知识,属于基础题,解答本题的关键是熟练掌握平均数和中位数的定义.6.(2015•北京)某市6月份日平均气温统计如图所示,则在日平均气温这组数据中,众数和中位数分别是()A.21,21 B.21,21.5 C.21,22 D.22,22【考点】众数;条形统计图;中位数.【专题】数形结合.【分析】根据条形统计图得到各数据的权,然后根据众数和中位数的定义求解.【解答】解:这组数据中,21出现了10次,出现次数最多,所以众数为21,第15个数和第16个数都是22,所以中位数是22.故选C.【点评】本题考查了众数的定义:一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.也考查了条形统计图和中位数.7.(2015•黄石模拟)有13位同学参加学校组织的才艺表演比赛,已知他们所得的分数互不相同,共设7个获奖名额,某同学知道自己的比赛分数后,要判断自己能否获奖,在这13名同学成绩的统计量中只需知道一个量,它是中位数(填众数或方差或中位数或平均数)【考点】统计量的选择.【分析】由于比赛设置了7个获奖名额,共有13名选手参加,故应根据中位数的意义分析.【解答】解:因为7位获奖者的分数肯定是13名参赛选手中最高的,而且13个不同的分数按从小到大排序后,中位数及中位数之后的共有7个数,故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了.故答案为:中位数.【点评】此题主要考查统计的有关知识,主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义.反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等,各有局限性,因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用.8.(2015•湖州)在“争创美丽校园,争做文明学生”示范校评比活动中,10位评委给某校的评分情况下表所示:评分(分)80 85 90 95评委人数 1 2 5 2则这10位评委评分的平均数是89分.【考点】加权平均数.【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和,然后除以数据的总个数.【解答】解:这10位评委评分的平均数是:(80+85×2+90×5+95×2)÷10=89(分).故答案为89.【点评】本题考查的是加权平均数的求法.本题易出现的错误是求80,85,90,95这四个数的平均数,对平均数的理解不正确.9.(2015•南京)某工程队有14名员工,他们的工种及相应每人每月工资如下表所示:工种人数每人每月工资/元电工 5 7000木工 4 6000瓦工 5 5000。
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第15章 傅里叶级数 §15.1 傅里叶级数一 基本内容一、傅里叶级数 在幂级数讨论中1()nn n f x a x ∞==∑,可视为()f x 经函数系线性表出而得.不妨称2{1,,,,,}n x x x 为基,则不同的基就有不同的级数.今用三角函数系作为基,就得到傅里叶级数.1 三角函数系函数列{}1, cos , sin , cos 2, sin 2, , cos , sin ,x x x x nx nx 称为三角函数系.其有下面两个重要性质.(1) 周期性 每一个函数都是以2π为周期的周期函数; (2) 正交性 任意两个不同函数的积在[,]ππ-上的积分等于 零,任意一个函数的平方在上的积分不等于零.对于一个在[,]ππ-可积的函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:,定义两个函数的内积为(),()()()d bn m n m au x u x u x u x x=⋅⎰,如果0 (),() 0 n m l m nu x u x m n ≠=⎧=⎨≠⎩,则称函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:为正交系.由于1, sin 1sin d 1cos d 0nx nx x nx x ππππ--=⋅=⋅=⎰⎰;所以三角函数系在[],ππ-上具有正交性,故称为正交系. 利用三角函数系构成的级数称为三角级数,其中011,,,,,,n n a a b a b 为常数2 以2π为周期的傅里叶级数定义1 设函数()f x 在[],ππ-上可积, 称为函数()f x 的傅里叶系数,而三角级数 称为()f x 的傅里叶级数,记作这里之所以不用等号,是因为函数()f x 按定义1所得系数而获得的傅里叶级数并不知其是否收敛于()f x .二、傅里叶级数收敛定理定理1 若以2π为周期的函数()f x 在[,]ππ-上按段光滑,则其中,n n a b 为()f x 的傅里叶系数.定义2 如果()[, ]f x C a b '∈,则称()f x 在[,]a b 上光滑.若 [,),(0),(0)x a b f x f x '∀∈++存在;(,],(0)x a b f x ∀∈-,(0)f x '-存在,且至多存在有限个点的左、右极限不相等,则称()f x 在[,]a b 上按段光滑.几何解释如图.按段光滑函数图象是由有限条光滑曲线段组成,它至多有有限个第一类间断点与角点.推论 如果()f x 是以2π为周期的连续函数,且在[,]ππ-上按 段光滑,则x R ∀∈,有()01()c o s s i n 2n nn a f x a nx b nx ∞==++∑.定义3 设()f x 在(,]ππ-上有定义,函数称()f x 为的周期延拓.二 习题解答1 在指定区间内把下列函数展开为傅里叶级数 (1) (),(i) , (ii) 02f x x x x πππ=-<<<<;解:(i)、()f x =x ,(,)x ππ∈-作周期延拓的图象如下. 其按段光滑,故可展开为傅里叶级数. 由系数公式得 当1n ≥时,11cos d d(sin )n a x nx x x nx n ππππππ--==⎰⎰所以11sin ()2(1)n n nxf x n ∞+==-∑,(,)x ππ∈-为所求. (ii)、()f x =x ,(0,2)x π∈作周期延拓的图象如下.其按段光滑,故可展开为傅里叶级数. 由系数公式得 当1n ≥时, 所以1sin ()2n nxf x n π∞==-∑,(0,2)x π∈为所求. (2) 2()(i) (ii) 02f x =x , -π<x <π,<x <π;解:(i)、()2f x =x ,(,)x ππ∈-作周期延拓的图象如下. 其按段光滑,故可展开为傅里叶级数. 由系数公式得 当1n ≥时,所以221sin ()4(1)3nn nxf x n π∞==+-∑,(,)x ππ∈-为所求.解:(ii)()2f x =x (0,2)x ∈当n ≥所以1n f =)为所求.(3) 0()(,0,0)0ax x f x a b a b bx x ππ-<≤⎧=≠≠≠⎨<<⎩.解:函数()f x ,(,)x ππ∈-作周期延拓的图象如下.其按段光滑,故可展开为傅里叶级数.由系数公式得 当1n ≥时,所以21()2()1()cos(21)4(21)n b a b a f x n xn ππ∞=--=+--∑11sin ()(1)n n nxa b n ∞+=++-∑,(,)x ππ∈-为所求.2 设f 是以2π为周期的可积函数,证明对任何实数c ,有证:因为()f x ,sin nx ,cos nx 都是以2π为周期的可积函数,所以令2t x π=+有 从而2 1()cos d c n ca f x nx xππ+=⎰同理可得3 把函数04()04x f x x ππππ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩展开成傅里叶级数,并由它推出(1)11114357π=-+-+;(2) 111111357111317π=+--+-+;(3)11111157111317=-+-+-+.解:函数()f x ,(,)x ππ∈-作周期延拓的图象如下.其按段光滑,故可展开为傅里叶级数. 由系数公式得 当1n ≥时, 故11()sin(21),(,0)(0,)21n f x n x x n ππ∞==-∈--∑为所求.(1) 取2x π=,则11114357π=-+-+; (2) 由11114357π=-+-+得于是111111341257111317πππ=+=+--+-+;(3) 取3x π=,则111111457111317π⎫=-+-+-+⎪⎝⎭,所以11111157111317=-+-+-+.4 设函数()f x 满足条件()()f x f x π+=-,问此函数在(),ππ-内的傅里叶级数具有什么特性.解:因为()f x 满足条件()()f x f x π+=-,所以(2)()()f x f x f x ππ+=-+=,即()f x 是以2π为周期的函数. 于是由系数公式得 当1n ≥时,故当()()f x f x π+=-时,函数()f x 在(),ππ-内的傅里叶级数的特性是20k a =,20k b =.5 设函数()f x 满足条件:()()f x f x π+=,问此函数在(),ππ-内的傅里叶级数具有什么特性.解:因为()f x 满足条件()()f x f x π+=,所以(2)()()f x f x f x ππ+=+=,即()f x 是以2π为周期的函数.于是由系数公式得 当1n ≥时,故当()()f x f x π+=时,函数()f x 在(),ππ-内的傅里叶级数的特性是210k a -=,210k b -=.6 试证函数系cos , 0,1,2,nx n =和sin , 1,2,nx n =都是[0, ]π上的正交函数系,但他们合起来的却不是[0, ]π上的正交函数系.证:就函数系{1,cos ,cos2,,cos ,}x x nx ,因为n ∀,1,1d x ππ==⎰, 又01,cos cos d 0nx nx x π==⎰;,m n ∀,m n ≠时, 所以{1,cos ,cos2,,cos ,}x x nx 在[0, ]π上是正交系. 就函数系{sin ,sin 2,,sin ,}x x nx ,因为n ∀,又,m n ∀,m n ≠时,所以{sin ,sin 2,,sin ,}x x nx 在[0, ]π上是正交系. 但{1,sin ,cos ,sin 2,cos2,,sin ,cos ,}x x x x nx nx 不是 [0, ]π上的正交系. 实因:1,sin sin d 10x x x π==≠⎰.7 求下列函数的傅里叶级数展开式(1)(),022xf x x ππ-=<<; 解:(),02x f x x ππ-=<<当n 所以1n n =,(0,2)x π∈为所求. (2) ()f x x ππ-≤≤;解:()f x x ππ=-≤≤作周期延拓的图象如下.其按段光滑,故可展开为傅里叶级数.因为2()2xxf xxxππ-≤<=⎨⎪≤≤⎪⎩,所以由系数公式得当1n≥时,所以211()cos41nf x nxn∞==-,(,)xππ∈-.而xπ=±时,(0)(0)()2f ffπππ±-+±+±,故211()cos41nf x nxn∞==-,[,]xππ∈-为所求.(3) 2(), (i) 02, (ii)f x ax bx c x xπππ=++<<-<<;解:(i)由系数公式得当1n≥时,故224()3af x ax bx c b cππ=++=++21442cos sin,(0,2)na a bnx nx xn nππ∞=++-∈∑为所求.(ii)由系数公式得当1n≥时,故222()3af x ax bx c cπ=++=+2142(1)cos(1)sin,(,)n nna bnx nx xn nππ∞=+---∈-∑为所求.(4) ()ch,f x x xππ=-<<;解:由系数公式得当1n≥时,所以22sh(1)(1)nnanππ=-+.所以0nb=,故21211()ch sh(1)cos21nnf x x nxnππ∞=⎡⎤==+-⎢⎥+⎣⎦∑,(,)xππ∈-为所求.(5) ()sh,f x x xππ=-<<.解:由系数公式得当1n≥时,1sh cos d0na x nx xπππ-==⎰.所以122sh(1)(1)nnn xbnπ+=-+,故1212sh ()sh (1)sin (1)n n n f x x nxn ππ∞+===-+∑,(,)x ππ∈-为所求.8 求函数221()(362)12f x x x ππ=-+的傅里叶级数展开式并应用它推出22116n n π∞==∑.解:由224()3a f x ax bx c b cππ=++=++21442cos sin ,(0,2)n a a b nx nx x n n ππ∞=++-∈∑得而2(00)(20)6f f ππ+=-=,故由收敛定理得9 设()f x 为[],ππ-上光滑函数,()()f f ππ-=.且,n n a b 为()f x 的傅里叶系数,,n n a b ''为()f x 的导函数()f x '的傅里叶系数.证明00,,(1,2,)n n n n a a nb b na n '''===-= .证:因为()f x 为[],ππ-上光滑函数,所以()f x '为[],ππ-上的连续函数,故可积.由系数公式得 当1n ≥时,1()cos d na f x nx xπππ-''=⎰故结论成立.10 证明:若三角级数01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑中的系数,n n a b 满足关系{}33sup ,n n nn a n b M≤,M 为常数,则上述三角级数收敛,且其和函数具有连续的导函数.证:设0()2a u x =,()cos sin n n n u x a nx b nx =+,1,2,n =.则0n ∀≥,()n u x 在R 上连续,且0()0u x '=,()sin cos nn n u x na nx nb nx '=-+亦在R 上连续. 又x R ∀∈,()sin cos nn n u x n a nx n b nx '≤+ 而22Mn∑收敛,所以()()cos sin nn n u x nb nx na nx '=-∑∑在R 上一致收敛.故设01()(cos sin )2n n n a s x a nx b nx ∞==++∑,则且1()(cos sin )n n n s x na nx nb nx ∞='=-+∑在R 上连续.§15. 2 以2l 为周期的函数的展开一 基本内容一、以2l 为周期的函数的傅里叶级数设()f x 是以2l 为周期的函数,作替换ltx π=,则()lt F t f π⎛⎫= ⎪⎝⎭是以2π为周期的函数,且()f x 在(, )l l -上可积()F t ⇔在(,)ππ-上可积. 于是 ()01()c o s s i n2n n n a F t a nt b nt ∞=++∑, 其中 1()cos d ,n a F t nt t πππ-=⎰ 1()sin d n b F t nt tπππ-=⎰.令x t l π=得 从而 01()cos sin 2n n n a n x n x f x a b l l ππ∞=⎛⎫++ ⎪⎝⎭∑.其中1()cos ,l n l n x a f x dx l l π-=⎰上式就是以2l 为周期的函数()f x 的傅里叶系数.在按段光滑的条件下,亦有 其只含余弦项,故称为余弦级数.同理,设()f x 是以2l 为周期的奇函数,则()cos f x nx 奇,()sin f x nx 偶.于是 1()cos d 0l n l n x a f x x l l π-==⎰, 从而01()sin2n n a n x f x a l π∞=+∑其只含正弦项,故称为由此可知,函数要展开为余弦级数必须作偶延拓.偶延拓() (0,)()() (,0)f x x l f x f x x l ∈⎧=⎨-∈-⎩函数(),(0,)f x x l ∈要展开为正弦级数必须作奇延拓. 奇延拓二 习题解答1 求下列周期函数的傅里叶级数展开式 (1) ()cos f x x =(周期π);解:函数()cos f x x =,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥由于()f x )是偶函数,故其展开式为余弦级数.因2l π=,所以由系数公式得2222故121241()cos (1)cos241n n f x x nxn ππ∞+===+--∑,(,)x ∈-∞+∞为所求.(2) ()[]f x x x =-(周期1);解:函数()[]f x x x =-,11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦延拓后的函数如下图. 由于()f x 按段光滑,所以可展开为傅里叶级数.因12l =,所以由系数公式得 当1n ≥时,故1111()[]sin 22n f x x x n xn ππ∞==-=-∑,(,)x ∈-∞+∞为所求. (3) 4()sin f x x =(周期π);解:函数4()sin f x x =,,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦延拓后的函数如下图. 由于()f x 按段光滑,所以可展开为傅里叶级数,又()f x 是偶函数,故其展开式为余弦级数.因2l π=,所以由系数公式得 当1n ≥时,故4311()sin cos2cos4828f x x x x==-+,(,)x ∈-∞+∞为所求.(4) ()sgn(cos )f x x = (周期2π).解:函数()sgn(cos )f x x =,(,)x ππ∈-延拓后的函数如下图.由于()f x 按段光滑,所以可展开为傅里叶级数,又()f x 是偶函数,故其展开式为余弦级数.因l π=,所以由系数公式得当1n ≥时,2sgn(cos )cos d n a x nx xππ=⎰故14cos(21)()sgn(cos )(1)21nn n xf x x n π∞=+==-+∑,(,)x ∈-∞+∞. 2 求函数 01() 1 123 23x x f x x x x ≤≤⎧⎪=<<⎨⎪-≤≤⎩的傅里叶级数并讨论其收敛性.解:函数()f x ,(0,3)x ∈延拓后的函数如下图.由于()f x 按段光滑,所以可展开为傅里叶级数,又()f x 是偶函数,故其展开式为余弦级数.因32l =,所以由系数公式得故2221231122()cos cos333n n n x f x n n πππ∞=-⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∑,(,)x ∈-∞+∞为所求. 3 将函数()2f x xπ=-在[0,]π上展开成余弦级数.解:函数()2f x xπ=-,[0,]x π∈作偶延拓后的函数如下图.由于()f x 按段光滑,所以可展开为傅里叶级数,又()f x 是偶函数,故其展开式为余弦级数.由系数公式得 当1n ≥时,故2141()cos(21),[0,]2(21)n f x x n x x n πππ∞==-=-∈-∑.4 将函数()cos2xf x =在[0,]π上展开成正弦级数. 解:函数()cos2xf x =,[0,]x π∈作偶延拓后的函数如下图. 由于()f x 按段光滑,所以可展开为傅里叶级数,又()f x 是奇函数,故其展开式为正弦级数.由系数公式得0,0,1,2,n a n ==.故在[0, ]π上218()cos sin 241n x nf x nxn π∞===-∑为所求. 5 把函数102()324x x f x x x -<≤⎧=⎨-<<⎩ 在(0, 4)上展开成余弦级数.解:函数()f x ,(0,4)x ∈延拓后的函数如下图.由于()f x 按段光滑,所以可展开为傅里叶级数,又()f x 是偶函数,故其展开式为余弦级数.因4l =,所以由系数公式得当1n ≥时,402()cos d 44n n xa f x x π=⎰所以102()324x x f x x x -<≤⎧=⎨-<<⎩22181(21)cos (21)2n n xn ππ∞=-=-∑为所求.6 把函数()2()1f x x =-在(0, 1)上展开成余弦级数,并推出解:函数()f x ,(0,1)x ∈延拓为以2为周期的函数如下图.由于()f x 按段光滑,所以可展开为傅里叶级数,又()f x 是偶函数,故其展开式为余弦级数.因4l =,所以由系数公式得当1n ≥时,1202(1)cos d n a x n x xπ=-⎰所以2221141(1)cos ,[0,1]3n x nx x n π∞=-=+∈∑.令0x =得22114113n n π∞==+∑,即22116n n π∞==∑. 7 求下列函数的傅里叶级数展开式 (1) ()arcsin(sin )f x x =;解:函数()arcsin(sin )f x x =是以2π为周期的函数如下图.由于()f x 按段光滑,所以可展开为傅里叶级数,又()f x 是奇函数,故其展开式为正弦级数.由系数公式得所以214(1)()arcsin(sin )sin(21)(21)nn f x x n x n π∞=-==--∑,x R ∈.(2) ()arcsin(cos )f x x =.解:函数()arcsin(cos )f x x =是以2π为周期的函数如下图.由于f 是偶函数,故其展开式为余弦级数.当n ≥所以2141()arcsin(cos )cos(21)(21)n f x x n xn π∞===--∑,x R ∈.8 试问如何把定义在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的可积函数()f x 延拓到区间(),ππ-内,使他们的傅里叶级数为如下的形式(1)211cos(21)n n an x∞-=-∑; (2) 211sin(21)n n bn x∞-=-∑.解:(1)先把()f x 延拓到[0,]π上,方法如下:再把()f x 延拓到[0,2]π上,方法如下:其图象如下.由于()f x 按段光滑,所以可展开为傅里叶级数,又()f x 是偶函数,故其展开式为余弦级数.由系数公式得 当1n ≥时,201()sin d 0n b f x nx x ππ==⎰.所以211()cos(21)0,2n n f x a n x x π∞-=⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭∑. (2) 先把()f x 延拓到[0,]π上,方法如下.再把()f x 延拓到[0,2]π上,方法如下.)x 是偶函数,故其展开式为余弦级数.由系数公式得 当1n ≥时,201()cos d 0n a f x nx x ππ==⎰所以211()sin(21)0,2n n f x b n x x π∞-=⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭∑. §15. 3 收敛定理的证明一 基本内容一、贝塞尔(Bessel)不等式定理1 设()f x 在[,]ππ-上可积,则 其中,n n a b 为()f x 的傅里叶系数.推论1 设()f x 在[,]ππ-上可积,则推论2 设()f x 在[,]ππ-上可积,则定理2 设以2π为周期的函数()f x 在[,]ππ-上可积,则此称为()f x 的傅里叶级数的部分和的积分表达式.二、收敛性定理的证明定理3 (收敛性定理) 设以2π为周期的函数()f x 在[,]ππ-上按段光滑,则定理4 如果()f x 在[,]ππ-上有有限导数,或有有限的两个单侧导数,则定理5 如果()f x 在[,]ππ-按段单调,则二 习题解答1 设()f x 以2π为周期且具有二阶连续的导函数,证明()f x 的傅里叶级数在(,)-∞+∞上一致收敛于()f x .证:由题目设知()f x 与()f x '是以2π为周期的函数,且光滑,故 01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑, 且1()d a f x x πππ-''=⎰()1()()0f f πππ=--=.当1n ≥时,1()cos d na f x nx xπππ-''=⎰于是2222111122n nn n nn a b a b a b nn n n ''⎛⎫⎛⎫''+=+≤+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由贝塞尔不等式得221()nn n a b ∞=''+∑收敛,又211n n ∞=∑收敛,从而()012n n n a a b ∞=++∑收敛, 故01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑在(,)-∞+∞上一致收敛.2 设f 为[],ππ-上可积函数,证明:若f 的傅里叶级数在[,]ππ-上一致收敛于f ,则成立贝塞尔(Parseval)等式这里,n n a b 为f 的傅里叶系数.证:设()01cos sin 2mm n n n a S a nx b nx ==++∑,因为()f x 的傅里叶级数在[,]ππ-上一致收敛于()f x ,所以0,0N ε∀>∃>,于是2(),()m m f x S f x S ε--<.而所以m N >时,故 ()2222011()d 2n n n a a b f x xπππ∞-=++=∑⎰.3 由于贝塞尔等式对于在[,]ππ-上满足收敛定理条件的函数也成立.请应用这个结果证明下列各式.(1) 22118(21)n n π∞==-∑;(2) 22116n n π∞==∑; (3) 44190n π=∑. 解:(1) 取04()04x f x x ππππ⎧--<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩,由§1习题3得由贝塞尔等式得22111d 16(21)n x n ππππ∞-==-∑⎰, 即22118(21)n n π∞==-∑.(2) 取(),(,)f x x x ππ=∈-,由§1习题1 (1)得由贝塞尔等式得21211(1)2d n n x x n πππ+∞-=⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑⎰,故22116n n π∞==∑.(3) 取2(),[,]f x x x ππ=∈-,由§1习题1 (2)得由贝塞尔等式得22242111(1)4d 23n n x x n ππππ∞-=⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑⎰,故44190n π=∑. 4 证明:若,f g 均为[,]ππ-上可积函数,且他们的傅里叶级数在[,]ππ-上分别一致收敛于f 和g ,则其中,n n a b 为f 的傅里叶系数,,n n αβ为g 的傅里叶系数.证:由题设知01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑,于是 1()()d (),()f xg x x f x g x πππ-=⎰而001(),cos sin ,222n n n a f x a nx b nx αα∞==++∑ 所以 00 11()()d ()2n n n n n a f x g x x a b ππααβπ∞-==++∑⎰.5 证明若f 及其导函数f '均在[,]ππ-上可积,()d 0f x x ππ-=⎰, ()()f f ππ-=,且成立贝塞尔等式,则证:因为()f x 、()f x '在[],ππ-上可积,()d 0f x x ππ-=⎰,()()f f ππ-=,设01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑,由系数公式得 当1n ≥时,1()cos d na f x nx xπππ-''=⎰于是由贝塞尔等式得 总练习题151 试求三角多项式的傅里叶级数展开式.解:因为01()(cos sin )2nn k k k A T x A kx B kx ==++∑是以2π为周期的光滑函数,所以可展为傅里叶级数,由系数公式得 当1k ≥时,故在(,)-∞+∞,01()(cos sin )2nn k k k A T x A kx B kx ==++∑的傅里叶级数就是其本身.2 设f 为[,]ππ-上可积函数,0,,(1,2,,)k k a a b k n =为f 的傅里叶系数,试证明,当00,,(1,2,,)k k k k A a A a B b k n ====时,积分[]2()()d n f x T x x ππ--⎰取最小值,且最小值为上述()n T x 是第1题中的三角多项式,0,,k k A A B 为它的傅里叶系数.证:设()01()cos sin 2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑,且00,,(1,2,,)k k k k A a A a B b k n ====,因为[]2()()d n f x T x xππ--⎰而()001()()d 2nn k k k k k A a f x T x x A a B b ππππ-==++∑⎰,所以[]2()()d n f x T x x ππ--⎰故当00,,(1,2,,)k k k k A a A a B b k n ====时,积分[]2()()d n f x T x xππ--⎰取最小值,且最小值为3 设f 为以2π周期,且具有二阶连续可微的函数,若级数n b ''∑绝对收敛,则证:因为()f x 为以2π周期,且具有二阶连续可微的函数,所以1()sin d nb f x nx xπππ-''''=⎰即211,n nn b b n ''∀≥=⋅,从而2111,2n n b n ⎛⎫''∀≥+ ⎪⎝⎭又n b ''∑绝对收敛,21n ∑收敛,所以n ∞=故结论成立.4 设周期为2π的可积函数()x ϕ与()x ψ满足以下关系式(1) ()()x x ϕψ-=; (2) ()()x x ϕψ-=-. 试问ϕ的傅里叶系数,n n a b 与ψ的傅里叶系数,n n αβ有什么关系?解:设()01()cos sin 2n n n a x a nx b nx ϕ∞==++∑,(1) 则当()()x x ϕψ-=时, 0n ∀≥,(2) 当()()x x ϕψ-=-时,0n ∀≥,5 设定义在[,]a b 上的连续函数列{}()n x ϕ满足关系 对于在[,]a b 上的可积函数f ,定义 证明21nn a∞=∑收敛,且有不等式 22 1[()]d bn an a f x x∞=≤∑⎰.证:在[,]a b 上的所有可积函数构成的集合中定义内积为则函数列{}()n x ϕ为标准正交系.令1()(),1,2,mm n n n S x a x m ϕ===∑,则,(),()n n n a f x x ϕ∀=,又 2 [()()]d b m af x S x x-⎰而11(),()(),()(),()mmn n n n n n n f x S x f x a x a f x x ϕϕ====∑∑于是222 1()d [()()]d 0mbn m an f x x a f x S x x ππ-=-=-≥∑⎰⎰,所以22 11,[()]d mbn a n m a f x x=∀≥≤∑⎰,即{}()m S x 有上界.故21nn a∞=∑收敛,且22 1[()]d bn an a f x x∞=≤∑⎰.。
新人教版小学美术1-6年级课程目录资料讲解

新人教版1——6年级课程目录(1、2年级为改版新教材,3、4、5、6为旧教材)第1课认识美术工具影子的游戏第2课大家都来做走进大自然第3课彩线连彩点花地毯第4课下雨啦分一分变一变第5课五彩的烟花有趣的半圆形第6课美丽的印纹摸一摸画一画第7课小挂饰纸风铃第8课鱼儿游游瓢虫的花衣裳第9课我在空中飞生活中的趣事第10课我的新朋友泡泡飞呀飞第11课花儿寄深情太空里的植物第12课我做的“文具”妈妈的节日第13课会动的小纸人各式各样的水果第14课繁忙的大街可爱的动物第15课乘上列车去画画乘上大船游世界第16课童话里的小屋打开的柜门第17课会滚的玩具会摇的玩具第18课电脑美术电脑美术第19课过年啦化装舞会第20课美丽的植物和动物汉字中的象形文字第1课流动的颜色纸片插接第2课染色游戏重重叠叠第3课装饰自己的名字点、线、面第4课彩泥世界快乐多漂亮的包装纸第5课奇妙的电话机五味瓶第6课花花衣得奖啦第7课对折剪纸美丽孔雀第8课对印的图形叶子上的小“血管第9课蜻蜓飞飞漂亮的花边第10课画出你的想象脚印的联想第11课儿歌变画蔬果变变变第12课巧用瓶盖小鸟的家第13课回家的路动物的故事第14课做一道拿手“菜”友谊卡第15课我和马儿在一起家乡变了样第16课风来了我的老师第17课会转的玩具会爬的玩具第18课电脑美术——复制粘贴真神奇电脑美术──复制翻转画花边第19课指偶剧场娃娃家第20课丰富多彩的玩具五彩缤纷的生活第1课魔幻的颜色水墨游戏第2课万花筒重重复复第3课大人国与小人国曲曲直直第4课前前后后平平稳稳第5课天然的斑纹感受声音第6课校园里的花迷彩服第7课最受尊敬的人彩色玻璃窗第8课今天我值日我的同学页第9课有趣的鞋家乡的桥和塔第10课团包手工我设计的一本书第11课巧巧手绒线绕绕第12课变废为宝甜蜜的梦第13课梦幻中的城堡金色的浮雕第14课我设计的自行车变幻无穷的形象第15课星空的联想我们的节日第16课新颖的电脑二十二世纪的建筑第17课电脑美术电脑美术第18课会响的玩具会飞的玩具第19课美术小记者保护珍稀野生动物第20课迷人的动画片民间玩具第1课色彩的冷与暖聚聚散散第2课线条的动与静小圆点的魅力第3课美术的节奏黑与白第4课变一变主体与背景第5课色彩的对比冰川与晚霞第6课快乐的回忆画嗅觉第7课登山游戏卡通画第8课校徽设计双胞胎第9课精美的邮票藏书票第10课做年历我和我的小伙伴第11课星座的联想那一刻的我第12课窗外的景色愉快的春游第13课我心中的未来哪些是相同的第14课假如我是汽车设计师千变万化的帽子第15课梦幻之国漂来漂去的小岛第16课纸带穿编迷宫第17课电脑美术电脑美术第18课会走的玩具会游的玩具第19课我们的生日聚会光的魅力第20课漫画与动漫欣赏珍爱国宝──秦始皇陵兵马俑第1课万绿丛中一点红形的魅力第2课色彩的和谐形体的组合第3课美丽的纹样抽象雕塑第4课礼物的外套多样与统一第5课趣味文字静物写生第6课地球的新生喜怒哀乐第7课古朴精美的华表夸张的脸第8课鸟语花香十二生肖第9课陶泥的世界学画山水画第10课诗请画意风的魅力第11课为解放军叔叔画张像微观世界第12课会跳的玩具会亮的玩具第13课电脑美术电脑美术第14课美术学习记录袋旅游节第15课元宵节里挂彩灯舞台布景第16课珍爱国宝──古代的陶瓷艺术珍爱国宝──古代的青铜艺术第1课远近的奥秘明与暗第2课风景写生寻找美的踪迹第3课心中的风景泥浮雕第4课会动的剪影画扇面第5课水墨画──动物我设计的服装第6课形体切挖图文并茂第7课我们做乐器奇思妙想第8课宇宙之旅世界奥林匹克日第9课保护文物二十年后的学校第10课爱护古建筑我们即将毕业第11课电脑美术电脑美术第12课中国画与油画我国古代建筑艺术。
《课程与教学论》复习资料

《课程与教学论》复习资料《课程与教学论》复习资料⼀、单项选择题1.课程作为独⽴研究领域诞⽣的标志是( A )A.博⽐特《课程》的出版B.博⽐特《怎样编制课程》的出版C.查特斯《课程编制》的出版D.夸美纽斯《⼤教学论》的出版14.罗杰斯“⾮指导性教学”相应的学习观是( C )A.有意义发现学习B.有意义接受学习C.有意义经验学习D.有意义机械学习10.柏拉图把“有德性的⽣活”视为教育的终极⽬标,亚⾥⼠多德认为教育的终极⽬的是“幸福”,昆体良认为“受过教育的⼈”的理想是“⼤演说家”。
这种⽬标定位⽅式反映的是课程与教学⽬标的( A )A.普遍性⽬标取向B.⽣成性⽬标取向C.⾏为⽬标取向D.表现性⽬标取向12.斯⾦纳的程序教学模式的理论基础是( C )A.经典性条件反应和强化原理B.经典性条件反应和平衡原理C.操作性条件反应和强化原理D.操作性条件反应和平衡原理2.被誉为“现代课程理论圣经”的课程著作是( C )A.《⼉童与课程》B.《怎样编制课程》C.《课程与教学的基本原理》D.《课程》13.被看作是课程开发的经典模式、传统模式的是( B )A.情境模式B.⽬标模式C.批判模式D.过程模式4.理论化、系统化的教学论的创⽴者是( A )A.夸美纽斯B.赫尔巴特C.卢梭D.裴斯泰洛齐11.布鲁姆等⼈的教育⽬标分类学包括( A )A.认知领域、情感领域、动作技能领域B.智⼒技能、认知策略、⾔语信息C.智⼒技能、态度、动作技能D.认知领域、态度、⾔语信息6.“隐性课程”这⼀概念最早出现在杰克逊的⼀本著作中,这本著作是( C )A.《⽼师,再见!》B.《爱的教育》C.《班级⽣活》D.《隐性课程论》15.最早实⾏选修制的国家是( C )A.法国B.美国C.德国D.英国14.在⾮指导性教学中,教师的⾓⾊变成了( C )A.引领者B.管理者C.促进者D.指导者4.在传统教学中,教师是作为先知者把知识传授给学⽣,这显然不符合⾮指导性教学的要求。
皮肤管理课程(资料)

1.皮肤理论知识学习内容:认识皮肤结构/常见的皮肤问题及分析/避免错误治疗方法2.韩式医疗皮肤管理与中国传统美容区别学习内容:韩国皮肤管理的私人订制/韩国皮肤管理的概念及流程3.中国市场未来发展趋势4.韩国皮肤管理标准流程学习内容:韩国面部清洁标准手法/深层面部清洁/去角质/面部按摩/营养导入步骤/软膜选配和调用/光线管理5.水氧焕醒疗法6.焕颜白皙管理7.抗敏修复管理学习内容:Pure Aloe Gel 冷凝胶修复/LED绿光镇定/Cool冰膜+冷冻仪管理8.抗衰祛皱管理学习内容:REPAIR MTS养护/COOL SPOT紧致镇静9.祛痘管理学习内容:AHA8%深层洁面/茶树解决方案/MTS祛痘精华修复/LED蓝光光线管理/冰膜镇静管理10.深层毛孔、黑头管理学习内容:水漾活肤毛孔清洁/小气泡负压治疗/Ultrasonic声波导入/冷冻毛孔收缩管理/LED 光线治疗11.高周波全身曲线管理学习内容:淋巴排毒管理/HOT激活循环渗透/RF高周波负压塑形/EMS血液循环曲线管理/畅通气血全身面膜12.木乃伊V脸管理学习内容:塑形V脸/提拉紧致/深度美白补水13.螺旋藻新生管理学习内容:新生西班牙PEELING/Function安瓿疗法/三重面膜再生/螺旋藻修复镇静14.明星黄金焕肤学习内容:排除深层堆积重金属美白肌肤15.SNOW雪花焕肤学习内容:弹力胶原蛋白快速补充、抗衰祛皱16.植物干细胞疗法学习内容:敏感肤质调和/植物EXTRACT干细胞导入/微注养营养修复/Aloe 镇静面膜17.皮肤科学诊断学习内容:实战皮肤诊断/皮肤案例分析后疗程搭配18.仪器授课学习学习内容:小气泡/综合仪/水氧仪/高周波/皮肤检测仪/冷冻仪/MTS19.疗程设定及价格表学习内容:店内疗程设定/建议价格表设定20.开店指导学习内容:选址/店内功能区划分/装修风格/仪器配备/产品搭配21.IPL光子嫩肤学习内容:IPL面部美白/IPL全身美白/IPL面部脱毛/IPL全身脱毛22.专业皮肤咨询技巧学习内容:皮肤类型实例讲解、顾客类型分析、消费族群分析/单项消费及套餐制定培训23.顾客管理及拓客学习内容:基础顾客整合/老顾客推加新项目技巧/新顾客拓展技巧24.售后处理&自营皮肤中心经验分享1. 韩国皮肤管理系统理论知识2.皮肤管理与传统美容的区别及发展趋势3.皮肤管理的基本步骤4.皮肤的深层清洁管理5.淋巴排毒按摩手法6.祛痣仪器的使用及注意事项7.色斑皮肤的原因和种类及治疗方法8.痘痘肌的症状分析与系统管理(痤疮/痘印/粉刺)9.美白补水管理10.面部提升紧致管埋11.皮肤的再生管理12.嫰肤管理13.肥胖管理14.头皮管理15.脱毛管理16.孕妇管理17.新娘化妆皮肤管理18.颈部管理19.过敏管理20.皮肤的诊断21.皮肤管理顾客的商谈技巧与问题解答22.皮肤管理客户档案管理与套餐设定。
高考英语绝密资料14-15

Part I 先问词汇过没过【公众号:就势而学 免费分享】Part II 锦囊妙计手中握1. 听力出题核心原则:“_________________________”2. 短对话原则:○1 长对话原则: ○1○2 ○2 ○3 ○3 ○4 ○43. 做题流程【18,I ,9】13.Why does the woman meet the man?A .To look at an apartment.B .To deliver some furniture.C .To have a meal together.14.What does the woman like about the carpet? A .Its color. B .Its design. C .Its quality.4.我到底听什么?(1)名动数字最重要【18,I ,8】10.Where does the conversation probably take place? A .In an office. B .At home. C .At a restaurant.11.What will the speakers do tomorrow evening? A .Go to a concert. B .Visit a friend.15.What does the man say about the kitchen?A .It’s a good size.B .It’s newly painted.C .It’s adequately equipped.16.What will the woman probably do next? A .Go downtown. B .Talk with her friend. C .Make payment.【公众号:就势而学 免费分享】C.Work extra hours.12.Who is Alice going to call?A.Mike.B.Joan.C.Catherine.(2)重复原则巧破解__________________________________________________________________________________________________________________________ (3)并列转折意味多【18, II, 1】1.What does John find difficult in learning German?A.Pronunciation.B.V ocabulary.C.G rammar.(4) 语气转换出答案【16,II, 6】【公众号:就势而学 免费分享】6.What time is it now?A.1:45.B.2:10.C.2:15.7.What will the man do?A.Work on a project.B.See Linda in the library.C.M eet with Professor Smith.Part III 辨音能力要突破(2)重读的地方必为考点所在!【18,I ,1】 (1).What will James do tomorrow?A .Watch a TV program.B .Give a talk.C .Write a report.【18,I ,4】(2).How does the woman go to work?A .By car.B .On foot.C . By bike【18,I ,6】(3).What does the woman regret?A .Giving up her research.B .Dropping out of college.C .Changing her major.(4).What is the woman interested in studying now?A .Ecology.B .Education.C .Chemistry.Part IV 持之以恒巧提升1.破除几项误区。
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Shipment 2: Bill of Lading Definition and features of B/L Classification of B/L
Contents of B/L
Shipping documents are legal documents that are utilized in the process of international transporting goods from one country to another.
Shipping documents
Commercial invoice Packing
list
B/L C/O Insurance
policy
Definition
☆What is Bill of Lading (B/L) ?
●A Bill of Lading is a transportation document which is issued by an ocean carrier to a shipper with whom the carrier has entered into a contract for the carriage of goods.
●The B/L is normally made out in three sets, which means three originals.
Features of B/L Receipt of the goods (货物收据)Evidence of the contract of
carriage (运输契约)Document of title to the goods (物权所有)The B/L states the carrier and shipper’s duty and right
The goods has been loaded on board and the carrier will take charge of the goods.
The carrier should transfer the goods to the person rightfully in possession of the bill when the vessel reaches the port of destination. The holder (持有者)of B/L is entitled to possess, use and dispose of the goods by transferring the B/L to another party with endorsement (背书).
Classification of B/L
B/L
1.Shipped B/L
2.Receipt for
Shipment B/L 1.Clean B/L
2.Unclean/
Foul /claused
B/L
1.Straight B/L(记名)
2.Order B/L (指示)
On board
Being
received
No defective
goods
Defective
goods
Non-
transferable
Negotiated by
endorsement
●To order
●To shipper’s order
●To the order of ABC Bank
1.Carrier
2. Shipper
3.Consignee
4.Notify party of
vessel
2.Port of
loading
3.Port of
discharge
4.Place of
receipt
5. Place of
delivery
modity
2. Mark
3.Package
4. Quantity
5. GW and NW
1.Freight
2.B/L number
3.Date of
shipment
4.Date of issue
5.Signature
Basic parties Shipment Goods Others Contents of B/L
Description of the contents
集美大学航海学院 任律珍
Name of the shipper Name of the carrier Name of the ship
Name of the consignee
port of loading notify party
port of discharge
Place of receipt place of delivery
signature
payment of freight
Description of the goods, mark, number of packages or pieces, weight or quantity, and a statement as to the dangerous nature of the goods B/L number
Date of shipment
To order of abc ABC co. TO ORDER
SHIPPER
中国远洋运输集团公司
CONSIGNEE
COSCO NOTIFY PARTY
B/L PRE-CARRIAGE BY PLACE OF RECEIPT
OCEAN VESSEL VOY.NO . PORT OF LOADING
PORT OF DISCHARGE PLACE OF DELIVERY
MARKS&NO. QUANTITY DISCRIPTIONS OF GOODS GROSS WEIGHT MEASUREMENT
TOTAL NUMBER OF CONTAINERS (IN WORDS)
FREIGHT&CHARGES REVENUE TONS RATE PER PREPAID COLLECT PREPAID AT PA YABLE AT PLACE AND DATE OF ISSUE NUMBER OF ORIGINAL BS/L SIGNED FOR OR ON BEHALF OF THE MASTER AS AGENT HAN JIN ARTS AND CRAFT L/E CORP TIANJIN ,CHINA SCHLITER CO.BRESCHLITER MEN 3601 AW. HERO ROAD,BREMEN, GERMAN TIANJIN,XINGANG PAUL RICKMERS BREMEN SC BREMEN NO.1-50 150CTNS WILLON PRODUCTS 4200KGS 6CBM
SAY TOTAL PACKAGES IN ONE HUNDRED AND FIFTY ONLY FREIGHT PREPAID TIANJIN, XINGANG XINGANG,TIANJIN DATE:040801 B/L NO.:3588 中国远洋运输公司 李明
3 Detailed address。