一类数列极限的矩阵解法

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求极限的12种方法总结及例题

求极限的12种方法总结及例题求极限的12种方法总结及例题1. 引言在数学学习中，求极限是一个重要的概念，也是许多数学题解的基础。

在学习求极限的过程中，有许多不同的方法可以帮助我们理解和解决问题。

本文将总结12种方法，帮助我们更全面地理解求极限的概念，并提供相应的例题进行演示。

2. 利用极限的定义我们可以利用极限的定义来求解问题。

根据定义，当x趋向于a时，函数f(x)的极限为L，即对于任意的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。

利用这个定义，可以求得一些简单的极限，如lim(x→0) sinx/x=1。

3. 利用夹逼准则夹逼准则是求极限常用的方法之一。

当我们无法直接求出某个函数的极限时，可以利用夹逼准则来找到该函数的极限值。

要求lim(x→0) xsin(1/x)的极限，可以通过夹逼准则来解决。

4. 利用极限的四则运算极限的四则运算法则是求解复杂函数极限的基本方法之一。

利用这个法则，我们可以将复杂的函数分解成简单的部分，再进行求解。

要求lim(x→0) (3x^2+2x-1)/(x+1)，可以利用极限的四则运算法则来求解。

5. 利用洛必达法则当我们遇到不定型的极限时，可以利用洛必达法则来求解。

洛必达法则可以帮助我们求出不定型极限的值，例如0/0、∞/∞、0*∞等形式。

通过洛必达法则，我们可以将求解不定型极限的过程转化为求解导数的问题，从而得到极限的值。

6. 利用泰勒展开泰勒展开是求解复杂函数极限的有效方法之一。

当我们遇到无法直接求解的函数极限时，可以利用泰勒展开将其转化为无穷级数的形式，然后再进行求解。

通过泰勒展开，我们可以将复杂函数近似为一个多项式，从而求得函数的极限值。

7. 利用换元法换元法是求解复杂函数极限的常用方法之一。

通过适当的变量替换，可以将复杂的函数转化为简单的形式，然后再进行求解。

对于lim(x→∞) (1+1/x)^x，可以通过换元法将其转化为e的极限形式来求解。

矩阵分析与计算--08-矩阵极限与级数

4.矩阵序列Cauchy收敛准则
设 A1 , A1 , Ak , 0 是矩阵空间V中的元素序列，如果存在x V , 使得
k
lim Ak A0

则称序列{Ak }按 -范数收敛于A0
(k ) (0) 记Ak （aij ） , A （ a l p 0 ij ） l p
由数列Cauchy收敛准则，有
det(uE ( E A)) 0
det((u 1) E A) (1)n det((1 u) E A)
det((1 u) E A) 0
令1 u ,这说明为A的一特征值
0< μ <2 → μ ≠ 0
1 ( E A ) ( E A) 的行列式不为零,
A 称为其部分和, 称矩阵序列
k k=1
S1 , S2 ,
为矩阵级数的部分和序列
, Sk ,
若矩阵部分和序列 Sk 收敛,且有极限 S, 则称该级数收敛,且有极限 S. 记为
A =S
k k=1

若矩阵级数
A 的所有元素 a
k k=1 k=1

(k ) ij
均
绝对收敛,则称该级数为绝对收敛
0 0 i U =
1 r r C 0 0
r-i-1
(1 i r ),U k 0 (k r )
示例
0 0 0 0
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
1i n j 1 n
行范数
3）从属于向量的2-范数的算子范数为 A 2 1
—范数
谱范数
1是方阵AH A的最大特征值

数列极限的几种求解方法

数列极限的几种求解方法张宇（渤海大学数学系辽宁锦州121000 中国）摘要在髙等数学中极限是一个重要的基本概念。

高等数学中其他的一些重要概念，如微分、积分、级数等都是用极限来定义的。

本文主要研究了求极限问题的若干种方法。

在纷繁众多的求极限方法中，同学们往往在求解极限时不知如何下手。

文章内容包括对求解简单极限问题的各种常用方法的总结：利用迫敛性：利用单调有界定理；利用柯西准则证明数列极限：这些方法对解决一般数列极限问题都很适用。

还包括在此基础上探索出来的解决各种复杂极限问题的特姝方法，例如：利用数列的构造和性质求数列的极限：利用定积分定义求数列极限以及利用压缩映射原理等特殊方法求数列极限，这些特殊方法对解决复杂极限有很重要的意义，而且还比较方便。

在实际求解过程中，要灵活运用以上各种方法。

关键词：数列，极限，槪念，泄理。

Solution of the limitAbstract : In the higher mathematics limit is an important basic concepts・ In the higher mathematics, some important concepts of other, such as the differential and integration. series are used to define the limit. This paper mainly studies the problem of several limit .In the numerous and numerous limit method. students often in solving limit doesn't know how to start. Tlie contents include the limit for solving all kinds of simple method using the summary: popularizes forced convergence property. Monotone have defined Daniel, Using the proof of cauchy criterion sequence limit. These methods of solving problems are generally sequence limit. Also included on the basis of exploring the problem solving complex limit methods, such as special stnictures and properties of invariable; the sequence limit, Using the integral definition for sequence limit and use the banach cotraction principle as a special method. these special method sequence limit to solve complex limit is important, but also more convenient. In the actual solving process, using various above methods・Key words: Series, limit, the concept, the theorem.引言极限的概念与运算贯穿了高等数学的始终。

高考高等数学复习攻略矩阵计算技巧

高考高等数学复习攻略矩阵计算技巧在高考的高等数学中，矩阵计算是一个重要的知识点，也是许多同学感到头疼的部分。

但其实，只要掌握了正确的方法和技巧，矩阵计算就能变得轻松易懂。

接下来，就让我们一起深入探讨高考高等数学中矩阵计算的技巧，为你的高考数学加分助力。

一、矩阵的基本概念首先，我们要清楚矩阵的定义。

矩阵是一个按照长方形排列的数表，比如一个 m 行 n 列的矩阵，我们就记作 A(m×n)。

其中的每一个数都称为矩阵的元素。

在高考中，常见的矩阵类型有二阶矩阵和三阶矩阵。

比如二阶矩阵a b; c d ，三阶矩阵 ab c; d e f; g h i 。

二、矩阵的运算1、矩阵的加法矩阵的加法要求两个矩阵的行数和列数都相同，然后将对应位置的元素相加。

例如，矩阵 A ＝ 1 2; 3 4 ，B ＝ 5 6; 7 8 ，那么 A ＋ B ＝ 6 8; 10 12 。

2、矩阵的数乘一个数乘以一个矩阵，就是将这个数乘以矩阵中的每一个元素。

比如，k 乘以矩阵 A ，记作 kA ，如果 A ＝ 1 2; 3 4 ，那么 2A ＝ 2 4; 6 8 。

3、矩阵的乘法矩阵的乘法相对复杂一些，要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

比如，矩阵 A(m×n) 乘以矩阵 B(n×p) ，得到的结果是一个 m行 p 列的矩阵 C 。

具体计算时，C 矩阵的第 i 行第 j 列的元素等于 A 矩阵的第 i 行元素与 B 矩阵的第 j 列对应元素乘积之和。

例如，A ＝ 1 2; 3 4 ，B ＝ 5 6; 7 8 ，那么 AB ＝ 1×5 ＋ 2×7 1×6 ＋2×8; 3×5 ＋ 4×7 3×6 ＋ 4×8 ＝ 19 22; 43 50 。

三、矩阵的转置将矩阵的行与列互换，得到的新矩阵就是原矩阵的转置矩阵。

比如，矩阵 A ＝ 1 2 3; 4 5 6 ，那么它的转置矩阵 A^T ＝ 1 4; 2 5; 3 6 。

数列极限求解步骤

数列极限求解步骤极限是数学中的重要概念，它在微积分、数学分析以及其他数学领域中具有广泛的应用。

在本文中，将介绍数列极限的求解步骤，并通过实例演示如何应用这些步骤来求解数列的极限。

首先，我们需要了解数列的定义。

数列是一系列按照特定顺序排列的数的集合。

我们可以用如下的方式表示一个数列：\[a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots\]其中$a_n$表示数列中的第n个数。

数列的极限就是当n趋近于无穷大时，数列中数的趋势或稳定值。

下面，我们将介绍数列极限求解的步骤：步骤1：观察数列的趋势。

首先，我们需要观察数列中的数的变化趋势。

我们可以计算数列的前几项，观察它们之间是否有规律。

这有助于我们猜测数列的极限值。

步骤2：猜测极限值。

根据数列的趋势，我们可以猜测出数列的极限值。

这个猜测不一定是准确的，但它可以帮助我们进一步分析并找到正确的极限值。

步骤3：证明极限值的存在性。

为了确保我们的猜测是正确的，我们需要证明极限值的存在性。

这可以通过使用数学定义和极限的性质来完成。

具体地，我们需要证明对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，当n大于N时，数列中的数与极限值之间的差的绝对值小于ε。

步骤4：求解极限值。

一旦我们确定了极限值的存在性，我们可以使用数学方法求解极限值。

这可能涉及到运用一些数学工具和技巧，如求极限的基本运算、极限的定义、洛必达法则或级数收敛等。

根据数列的特点和题目要求，我们可以选择适合的方法来求解极限值。

步骤5：验证极限值。

我们在求解极限值之后，需要验证这个解是否符合数列的趋势和特点。

如果符合，则我们的计算是正确的；如果不符合，则需要重新检查题目或求解过程中是否存在错误。

接下来，我们通过一个实例来演示数列极限求解的步骤。

假设有一个数列：\[a_n = \frac{n}{n^2+1}\]步骤1：观察数列的趋势。

我们可以计算数列的前几项：\[a_1 = \frac{1}{2}, a_2 = \frac{2}{5}, a_3 = \frac{3}{10}, a_4 =\frac{4}{17}, \ldots\]从这些计算结果可以发现，随着n的增大，数列中的数逐渐趋近于0。

浅谈数列极限与函数极限在解题中的区别和联系

浅谈数列极限与函数极限在解题中的区别和联系摘要在数学分析中，极限的知识体系包括数列极限和函数极限。

在求解数列极限的方法中，我们从极限的定义出发，根据极限的性质以及相关的定理法则，例如单调有界收敛来论证极限；在求解函数极限时，其方法与数列极限有着相同之处，同时又有所区别。

本文重点在于分析数列极限与函数极限在解题中的相似之处与不同之处，同时研究数列极限与函数极限的关系。

关键词：数列极限；函数极限；区别；联系目录1 数列极限与函数极限在解题中的相似之处 (3)1.1 定义法在极限解题中的应用 (3)1.1.1 定义法概述 (3)1.1.2 定义法解题实例分析 (3)1.2 迫敛性在极限解题中的应用 (4)1.2.1 迫敛性概述 (4)1.2.2 迫敛性解题实例分析 (4)1.3 积分中值定理在极限解题中的应用 (5)1.3.1 积分中值定理概述 (5)1.3.2 积分中值定理实例分析 (6)1.4 本章小结 (6)2 数列极限与函数极限在解题中的不同之处 (7)2.1 存在条件不同 (7)2.1.1 数列极限存在条件 (7)2.1.2 函数极限存在条件 (9)2.2 特殊形式的极限 (10)2.2.1 数列极限的特殊解法研究 (10)2.2.3 两个重要形式的函数极限解法研究 (12)3数列极限与函数极限的关系 (13)3.1海涅定理 (13)3.2海涅定理的应用 (14)4 结论 (16)1 数列极限与函数极限在解题中的相似之处数列极限与函数极限在解题过程中，存在着很多的相似之处。

主要表现在数列极限与函数极限的解题过程中，其方法的运用方面存在着很多的共同点。

下面将重点分析进行数列极限与函数极限的解题过程中，定义法以及利用数列迫敛性在数列极限与函数极限中的运用。

1.1 定义法在极限解题中的应用 1.1.1 定义法概述数列极限的N ε-定义：设{}n a 为数列，a 为定数，若对任给的正数ε，总存在正数N ，使得当n N >时，有n a a ε-<，则称数列{}n a 收敛于a 。

考研：求数列极限的十五种解法

求数列极限的十五种方法1．定义法N ε-定义：设{}n a 为数列，a 为定数，若对任给的正数ε，总存在正数N ，使得当n N >时，有n a a ε-<，则称数列{}n a 收敛于a ；记作：lim n n a a →∞=，否则称{}n a 为发散数列．例1．求证：1lim 1nn a →∞=，其中0a >．证：当1a =时，结论显然成立．当1a >时，记11n a α=-，则0α>，由()1111(1)nn a n n ααα=+≥+=+-，得111n a a n--≤，任给0ε>，则当1a n N ε->=时，就有11n a ε-<，即11na ε-<，即1lim 1nn a →∞=．当01a <<时，令1b a=，则1b >，由上易知：1lim 1nn b →∞=，∴111lim 1lim n n nn a b→∞→∞==．综上，1lim 1nn a →∞=，其中0a >．例2．求：7lim !nn n →∞．解：变式：77777777777771!1278917!6!n n n n n n=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≤⋅=⋅-；∴77710!6!n n n -≤⋅， ∴0ε∀>，7716!N ε⎡⎤∃=⋅⎢⎥⎣⎦，则当n N >时，有77710!6!n n n ε-≤⋅<；∴7lim 0!nn n →∞=． 2．利用柯西收敛准则柯西收敛准则：数列{}n a 收敛的充要条件是：0ε∀>，∃正整数N ，使得当n m N >、时，总有：n m a a ε-<成立．例3．证明：数列1sin (1, 2, 3, )2nn kk kx n ===⋅⋅⋅∑为收敛数列．证：11111sin(1)sin 111112()122222212n mn m m n m n m m m n x x m -+++-+-=+⋅⋅⋅+≤+⋅⋅⋅+<<<-， 0ε∀>，取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n m N >>时，有n m x x ε-<，由柯西收敛准则，数列{}n x 收敛．例4．（有界变差数列收敛定理）若数列{}n x 满足条件：11221n n n n x x x x x x M ----+-+⋅⋅⋅-≤，(1, 2, )n =⋅⋅⋅，则称{}n x 为有界变差数列，试证：有界变差数列一定收敛．证：令1112210, n n n n n y y x x x x x x ---==-+-+⋅⋅⋅-，那么{}n y 单调递增，由已知可知：{}n y 有界，故{}n y 收敛，从而0ε∀>，∃正整数N ，使得当n m N >>时，有n m y y ε-<；此即1121n m n n n n m m x x x x x x x x ε---+-≤-+-+⋅⋅⋅-<；由柯西收敛准则，数列{}n x 收敛．注：柯西收敛准则把N ε-定义中的n a 与a 的关系换成了n a 与m a 的关系，其优点在于无需借用数列以外的数a ，只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性． 3．运用单调有界定理单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限．例5．证明：数列n x =n 个根式，0a >，1, 2, n =）极限存在，并求lim nn x →∞．证：由假设知n x =；①用数学归纳法可证：1, n n x x k N +>∈；② 此即证{}n x 是单调递增的．事实上，10n x +<<<1=；由①②可知：{}n x 单调递增有上界，从而lim nn x l →∞=存在，对①式两边取极限得：l解得：l =l （舍负）；∴lim n n x →∞．4．利用迫敛性准则（即两边夹法）迫敛性：设数列{}n a 、{}n b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数N ，当n N >时，有：n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim nn c a →∞=．例6．求：22212lim()12n nn n n n n n n→∞++⋅⋅⋅+++++++．解：记：2221212n n x n n n n n n n =++⋅⋅⋅+++++++，则：2212121n n nx n n n n n ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤≤++++； ∴22(1)(1)2(2)2(1)n n n n n x n n n n ++≤≤+++；从而22(1)1(1)lim lim 2(2)22(1)n n n n n n n n n n →∞→∞++==+++， ∴由迫敛性，得：222121lim()122n n n n n n n n n →∞++⋅⋅⋅+=++++++．注：迫敛性在求数列极限中应用广泛，常与其他各种方法综合使用，起着基础性的作用．5．利用定积分的定义计算极限黎曼积分定义：设为()f x 定义在[, ]a b 上的一个函数，J 为一个确定的数，若对任给的正数0ε>，总存在某一正数δ，使得对[, ]a b 的任意分割T ，在其上任意选取的点集{}i ξ，i ξ∈[]1,i i x x -，只要T δ<，就有1()niii f x Jξε=∆-<∑，则称函数()f x 在[, ]a b 上（黎曼）可积，数J 为()f x 在[, ]a b 上的定积分，记作()b aJ f x dx =⎰．例7．求：()()11lim !2!n n n n n n --→∞⎡⎤⋅⋅⎣⎦．解：原式n n =112lim (1)(1)(1)n n n n n n →∞⎡⎤=++⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦ 11exp lim ln(1)nn i i nn →∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑()()1expln(1)exp 2ln 21x dx =+=-⎰．例8．求：2sin sin sin lim 1112n n n n n n n n n πππ→∞⎛⎫⎪++⋅⋅⋅+ ⎪+ ⎪++⎪⎝⎭．解：因为：222sinsinsin sin sin sin sin sin sin 111112n n n nn n n n n n n n n n n n n n nπππππππππ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+<+++++，又：2sinsinsin 12lim lim (sin sin sin )11n n n n n nn n n n n n n n ππππππππ→∞→∞++⋅⋅⋅+⎡⎤=⋅⋅++⋅⋅⋅+⎢⎥++⎣⎦∴02sin sinsin 12limsin 1n n nn n xdx n ππππππ→∞++⋅⋅⋅+=⋅=+⎰；同理：2sinsinsin 2lim1n n nn n n nππππ→∞++⋅⋅⋅+=+；由迫敛性，得：2sin sin sin 2lim 1112n n n n n n n n n ππππ→∞⎛⎫ ⎪++⋅⋅⋅+= ⎪+ ⎪++⎪⎝⎭．注：数列极限为“有无穷多项无穷小的和的数列极限，且每项的形式很规范”这一类型问题时，可以考虑能否将极限看作是一个特殊的函数定积分的定义；部分相关的数列极限直接利用积分定义可能比较困难，这时需要综合运用迫敛性准则等方法进行讨论．6．利用（海涅）归结原则求数列极限归结原则：0lim ()x xf x A →=⇔对任何0 ()n x x n →→∞，有lim ()n n f x A →∞=．例9．求：11lim 1n n e n →∞-．解：11001lim lim ()1110n nxx n n e e e e n n=→∞→∞--'===-．例10．计算：211lim 1nn n n →∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭．解：一方面，2111(1)(1) ()n n e n n n n+-<+→→∞；另一方面，2221112221111(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n n -------+-=+≥+；由归结原则：（取2, 2, 3, 1n n x n n ==⋅⋅⋅-），22222111222211111lim(1)lim(1)lim(1)lim(1)lim(1)n n n x n n n n n n n x n n n n e x n n n n -----→∞→∞→∞→∞→∞----+=+⋅+=+=+=；由迫敛性，得：211lim(1)nn e n n →∞+-=．注：数列是一种特殊的函数，而函数又具有连续、可导、可微、可积等优良性质，有时我们可以借助函数的这些优良性质将数列极限转化为函数极限，从而使问题得到简化和解决． 7．利用施托尔茨（stolz ）定理求数列极限stolz 定理1：()∞∞型：若{}n y 是严格递增的正无穷大数列，它与数列{}n x 一起满足：11lim n n n n n x x l y y +→∞+-=-，则有lim n n nxl y →∞=，其中l 为有限数，或+∞，或-∞．stolz 定理2：0()0型：若{}n y 是严格递减的趋向于零的数列，n →∞时，0n x →且11lim n n n n n x x l y y +→∞+-=-，则有lim n n nxl y →∞=，其中l 为有限数，或+∞，或-∞．例11．求：112lim ()p p pp n n p N n +→∞++⋅⋅⋅+∈．解：令112, , p p p p n n x n y n n N +=++⋅⋅⋅+=∈，则由定理1，得：112lim p p pp n n n +→∞++⋅⋅⋅+=11(1)lim (1)p p p n n n n ++→∞+=+-1(1)1lim (1)1(1)12p n p p n p p p p n n →∞-+=+⋅++-+⋅⋅⋅+．注：本题亦可由方法五（即定积分定义）求得，也较为简便，此处略．例12．设02ln nk nk n CS n ==∑，求：lim n n S →∞．解：令2n y n =，则{}n y 单调递增数列，于是由定理2得：lim n n S →∞=02ln lim nkn k n C n =→∞∑110022ln ln lim (1)n nk k n nk k n C C n n ++==→∞-=+-∑∑01ln 1lim 21nk n n n k n =→∞+-+=+∑11(1)ln(1)ln lim 21n k n n n k n +=→∞++-=+∑ 1ln()(1)ln(1)ln ln(1)1limlim 2122nn n n n n n n n n n →∞→∞+++--+===+．注：stolz 定理是一种简便的求极限方法，特别对分子、分母为求和型，利用stolz 定理有很大的优越性，它可以说是求数列极限的洛必达（L'Hospita ）法则． 8．利用级数求和求数列极限由于数列与级数在形式上的统一性，有时数列极限的计算可以转化为级数求和，从而通过级数求和的知识使问题得到解决．例13．求：212lim()n n na a a→∞++⋅⋅⋅+，(1)a >．解：令1x a =，则1x <，考虑级数：1nn nx ∞=∑．∵11(1)lim lim 1n n n n n n a n x x a nx ++→∞→∞+==<，∴此级数是收敛的．令1()nn S x nx ∞==∑11n n x nx∞-==⋅∑，再令11()n n f x nx ∞-==∑，∵10011()xxn n n n f t dt nt dt x ∞∞-=====∑∑⎰⎰1xx-；∴21()()1(1)x f x x x '==--；而2()()(1)x S x x f x x =⋅=-；因此，原式=1112()(1)a S a a ---==-．9．利用级数收敛性判断极限存在由于级数与数列在形式上可以相互转化，使得级数与数列的性质有了内在的密切联系，因此数列极限的存在性及极限值问题，可转化为研究级数收敛性问题．例14．设00x >，12(1)2n n nx x x ++=+(0, 1, 2, )n =⋅⋅⋅，证明：数列{}n x 收敛，并求极限lim nn x →∞．证：由00x >，可得：0n x >(0, 1, 2, )n =⋅⋅⋅，令2(1)(), (0)2x f x x x+=>+，则2210'()(2)2f x x <=<+，且12(1)(), 0, (0, 1, 2, )2n nn n n x f x x x n x ++==>=⋅⋅⋅+，考虑级数：10n n n x x ∞+=-∑；由于11n n n n x x x x +--=-11()()n n n n f x f x x x ---=-11'()()12n n n n f x x x x ξ---<-；所以，级数10n n n x x ∞+=-∑收敛，从而10()n n n x x ∞+=-∑收敛．令()10nn k k k S x x +==-∑10n x x +=-，∵lim n n S →∞存在，∴10lim lim n n n n x x S l +→∞→∞=+=（存在）；对式子：12(1)2n n n x x x ++=+，两边同时取极限：2(1)2l l l+=+，∴l =l =lim n n x →∞．例15．证明：111lim(1ln )23n n n →∞++⋅⋅⋅+-存在．（此极限值称为Euler 常数）．证：设1111ln 23n a n n=++⋅⋅⋅+-，则1n n a a --=[]1ln ln(1)n n n ---；对函数ln y n =在[1, ]n n -上应用拉格朗日中值定理，可得：1ln ln(1) (01)1n n n θθ--=<<-+，所以1211111(1)(1)n n a a n n n n n θθθ---=-=<-+-+-；因为221(1)n n ∞=-∑收敛，由比较判别法知：12n n n a a ∞-=-∑也收敛，所以lim n n a →∞存在，即111lim(1ln )23n n n→∞++⋅⋅⋅+-存在． 10．利用幂级数求极限利用基本初等函数的麦克劳林展开式，常常易求出一些特殊形式的数列极限．例16．设11sin sin , sin sin(sin ) (2, 3, )n n x x x x n -===⋅⋅⋅，若sin 0x >，求：sin n n x →∞．解：对于固定的x ，当n →∞时，1sin n x单调趋于无穷，由stolz 公式，有： 2222111lim sin lim lim 111sin sin sin n n n n n n n n n n x x x x →∞→∞→∞++-==-221lim 11sin (sin )sin n n n x x→∞=-46622220002244221()1sin 3lim lim lim 111sin (())sin 3t t t t t o t t t t t t t t o t t t +++→→→-⋅+⋅===----+46622004411()1()33lim lim 311()(1)33t t t t o t t o t t o t o ++→→-⋅+-⋅+===++． 11．利用微分中值定理求极限拉格朗日中值定理是微分学重要的基本定理，它利用函数的局部性质来研究函数的整体性质，其应用十分广泛．下面我们来看一下拉格朗日中值定理在求数列极限中的应用．例17．求：2lim (arctanarctan )1n a a n n n →∞-+，(0)a ≠．解：设()arctan f x x =，在[, ]1a an n+上应用拉格朗日中值定理，得：21()()(), [, ]1111a a a a a af f n n n n n nξξ-=-∈++++，故当n →∞时，0ξ→，可知：原式22lim 11n a nn a n ξ→∞=⋅⋅=++． 12．巧用无穷小数列求数列极限引理：数列{}n x 收敛于a 的充要条件是：数列{}n x a -为无穷小数列．注：该引理说明，若lim n n x a →∞=，则n x 可作“变量”替换：令n n x a α=+，其中{}n α是一个无穷小数列．定理1：若数列{}n α为无穷小数列，则数列{}n α也为无穷小数列，反之亦成立．定理2：若数列{}n α为无穷小数列，则数列12{}nn ααα++⋅⋅⋅+也为无穷小数列．推论1：设数列{}n α为无穷小数列，则数列12{}nnααα++⋅⋅⋅+也为无穷小数列．例18．（算术平均收敛公式）设lim n n x a →∞=，求极限12limnn x x x n→∞++⋅⋅⋅+．解：由lim n n x a →∞=，作“变量”代换，令n n x a α=+，其中{}n α是一无穷小数列；由定理2的结论有：12limn n x x x n →∞++⋅⋅⋅+12()()()lim n n a a a nααα→∞++++⋅⋅⋅++= 1212()()lim lim 0n n n n na a a a n nαααααα→∞→∞+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==+=+=．此题还可以用方法1（定义法）证明，也可通过方法7（stolz 公式）求得，此处略．例19．设lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，求极限1211lim n n n n x y x y x y n-→∞++⋅⋅⋅+．解：由lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，作“变量”代换，令n n x a α=+，n n y b β=+，其中{}n α，{}n β都是一无穷小数列，故1211limn n n n x y x y x y n -→∞++⋅⋅⋅+11()()()()lim n n n a b a b nαβαβ→∞+++⋅⋅⋅+++= 1111lim n n n n n ab b a n n n ααββαβαβ→∞+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦因为0n β→()n →∞，所以{}n β有界数列，即n M β≤，从而结合上述推论1，有：12110 ()nn n M n nnααααβαβ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅≤⋅→→∞，再根据定理1，即有：110 ()n n n nαβαβ+⋅⋅⋅→→∞；又由定理2，可知：10na nββ+⋅⋅⋅+⋅→，10 ()nb n nαα+⋅⋅⋅+⋅→→∞；∴1211limn n n n x y x y x y ab n-→∞++⋅⋅⋅+=．注：利用无穷小数列求数列极限通常在高等数学和数学分析教材中介绍甚少，但却是一种很实用有效的方法．用这种方法求某类数列的极限是极为方便的． 13．利用无穷小的等价代换求某些函数列的极限定理：设函数()f x 、()g x 在0x =的某个领域有意义，()0g x >，0()lim1()x f x g x →=，且当n →∞时， 0mn a →(1, 2, 3, )m =⋅⋅⋅，11lim ()lim ()nnmn mn n n m m f a g a →∞→∞===∑∑，则在右端极限存在时成立．例20．求极限1lim 1)nn i →∞=∑．解：令()1f x =，1()3g x x =，当0x →1x ~，由定理1，得：2111111lim 1)lim 3326nnn n i i i n →∞→∞===⋅=⋅=∑∑．例21．求：2231lim (1)nn i i a n →∞=+∏，（a 为非零常数）．解：原式2331exp lim ln(1)nn i i a n →∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑；令()ln(1)f x x =+，当0x →时，ln(1)x x +~，由定理1，得：22333311lim ln(1)lim nnn n i i i i a a n n →∞→∞==+=∑∑223(1)(21)1lim 63n n n n a a n →∞++==； ∴2231lim (1)nn i i a n →∞=+=∏21exp()3a ．注：我们知道，当0x →时，函数sin , tan , arcsin , arctan , 1, ln(1)x x x x x e x -+都x 与等价，倘若熟悉这些等价函数，观察它们与本文定理中的()f x 的关系，把求某些函数列极限问题转化为求熟知的数列极限问题，这样就会起到事半功倍的效果． 14．利用压缩映射原理求数列极限定义1：设()f x 在[, ]a b 上有定义，方程()f x x =在[, ]a b 上的解称为()f x 在[, ]a b 上的不动点．定义2：若存在一个常数k ，且01k ≤<，使得[, ]x y a b ∀∈、有()()f x f y k x y -≤-，则称()f x 是[, ]a b 上的一个压缩映射．压缩映射原理：设称()f x 是[, ]a b 上的一个压缩映射且0x ∈[, ]a b ，1()n n x f x +=，对n N ∀∈，有[, ]n x a b ∈，则称()f x 在[, ]a b 上存在唯一的不动点c ，且lim nn x c →∞=．例22．设12ax =，212n n a x x ++=(01)a <<，1, 2, n =⋅⋅⋅，求lim nn x →∞．解：考察函数2()22a x f x =+，1[0,]2ax +∈，易见对1[0, ]2a x +∀∈，有：21()2n n n a x x f x ++==，11[0, ]22a a x +=∈，1()12af x x +'=≤<；所以，()f x 是压缩的，由压缩映射原理，数列{}n x 收敛．设lim n n x c →∞=，则c 是222a x x =+在1[0, ]2a+的解，解得1c =，即lim 1n n x →∞=例23．证明：数列n x =n 个根式，14a >，1, 2, n =⋅⋅⋅）极限存在，并求lim nn x →∞．解：易知：n x =，考察函数：()f x =[0, )x ∈+∞且在[0, )+∞上有：()1f x '=≤<，因此，()f x 在[0, )+∞上是压缩的；1[0, )x =+∞，1()n n x f x +=，由压缩映射原理，数列{}n x 收敛且极限为方程：()x f x ==解得：lim n n x →∞．本题也可通过方法三（单调有界定理）解得，此处略．注：压缩映射原理在实分析中有着十分广泛的应用，如用它可十分简单的证明稳函数存在定理、微分方程解的存在性定理，特别的在求一些数列极限中有着十分重要的作用，往往可以使数列极限问题得到简便快速的解决．15．利用矩阵求解一类数列的极限（1）若数列的递推公式形如：12n n n x px qx --=+且已知01x x 、，其中p q 、为常数且0p ≠，0q ≠，2, 3, n =⋅⋅⋅；解：可将递推公式写成矩阵形式，则有1111201010n n n n n x x x p q p q x x x ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2, 3, n =⋅⋅⋅，从而可利用线性代数知识求出n x 的表达式，并进一步求出lim nn x →∞．（2）若数列的递推公式形如：11n n n ax bx cx d--+=+且已知0x ，其中0c ≠且ad bc ≠，1, 2, n =⋅⋅⋅，解法1：令211n n n y cx d y ---+=，则1121()n n n y x d c y ---=-，11()n n n yx d c y -=-，从而有：121211()(())n n n n n n y yy a d d b c y c y y ------=-+⋅，整理得：12()()n n n y a d y bc ad y --=++-，再由（1）可以求解．解法2：设与关系式010ax b x cx d +=+对应的矩阵为a b A c b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由关系式11n n n ax b x cx d --+=+；逐次递推，有00n nn n n a x b x c x d +=+，其对应的矩阵为nn nn a b B c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用数学归纳法易证得n B A =，通过计算n A 可求出n x 的表达式，并进一步求出lim nn x →∞．例24．证明：满足递推公式11(1)n n n x x x αα+-=+-(01)α<<的任何实数序列{}n x 有一个极限，并求出以α、0x 及1x 表示的极限．解：由已知可得：111111200111010n n n n n n x x x x A x x x x αααα-------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（110A αα-⎛⎫= ⎪⎝⎭）；矩阵A 的特征值121, 1λλα==-，对应的特征向量分别为：''12(1, 1), (1, 1)ξξα==-；令1211(, )11P αξξ-⎛⎫== ⎪⎝⎭，则11001P AP α-⎛⎫= ⎪-⎝⎭，从而有：()()111111011111111120101n n n A P P ααααα----⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()()()111111121111n nn n ααααααα--⎛⎫---+- ⎪= ⎪----+-⎝⎭；于是，101(1(1))(1(1))2n n n x x x αααα=--+-+-⎡⎤⎣⎦-．因为11α-<，所以lim(1)0n n α→∞-=，从而[]011lim (1)2n n x x x αα→∞=-+-．例25．已知斐波那契数列定义为：1101 (1, 2, 1)n n n F F F n F F +-=+=⋅⋅⋅==；；若令1n n n F x F +=，01x =且111n n x x -=+，(1, 2, )n =⋅⋅⋅，证明极限lim nn x →∞存在并求此极限．解：显然1011x x =+，相应矩阵0111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭的特征值12 λλ=，对应的特征向量分别为：''12 1), 1)ξξ==；令()21121211, 111111P λλλλξξ⎛⎫--⎛⎫ ⎪==== ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭，11211P λλ-⎫⎪--⎭；则有：11200P AP λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭；于是11112121112121200nn n n n nn n n n n A P P λλλλλλλλλλ---++--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭；从而，()111212111212, 1, 2, n n n nn n n n n x n λλλλλλλλ--++-+-==⋅⋅⋅-+-，由于211λλ<，上式右端分子、分母同时除以1n λ，再令n →∞，则有：1lim lim n n n n n F x F →∞→∞+==．注：求由常系数线性递推公式所确定的数列的极限有很多种方法，矩阵解法只是其一，但与之相关的论述很少，但却简单实用．。

高中数学数列极限的计算方法及解题技巧

高中数学数列极限的计算方法及解题技巧数列是高中数学中的重要概念，而数列的极限更是数学分析的基础。

在高中数学中，我们经常会遇到需要计算数列极限的题目。

本文将介绍数列极限的计算方法及解题技巧，并通过具体的题目进行说明，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用。

一、数列极限的定义在开始讨论数列极限的计算方法之前，首先需要了解数列极限的定义。

数列极限是指当数列的项数趋于无穷大时，数列的值趋于的一个确定的值。

数列极限常用符号"lim"表示，例如lim(n→∞)an = L，表示当n趋于无穷大时，数列an的极限为L。

二、数列极限的计算方法1. 常见数列的极限计算方法常见的数列包括等差数列、等比数列、阶乘数列等。

对于这些数列，我们可以利用其特殊的性质来计算极限。

例如，对于等差数列an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

当n趋于无穷大时，数列的极限为无穷大，即lim(n→∞)an = +∞。

对于等比数列an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。

当|r| > 1时，数列的极限为无穷大，即lim(n→∞)an = +∞；当|r| < 1时，数列的极限为0，即lim(n→∞)an = 0。

2. 利用数列的递推关系计算极限有些数列的递推关系可以帮助我们计算极限。

例如，对于递推数列an = an-1 + 1/n，其中a1 = 1。

我们可以通过递推关系计算数列的前几项，发现数列逐渐趋近于ln2。

因此，当n趋于无穷大时，数列的极限为ln2，即lim(n→∞)an = ln2。

三、数列极限的解题技巧1. 注意数列的特殊性质在解题过程中，我们需要注意数列的特殊性质，例如等差数列和等比数列的性质。

通过分析数列的特点，可以更好地确定数列的极限。

2. 利用数列的性质进行变形有时候，我们可以通过对数列进行变形来简化计算。

例如，对于数列an =(n+1)/(n-1)，我们可以将分子和分母同除以n，得到an = (1+1/n)/(1-1/n)。

数列极限常见题型及解法

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由于归结原则（海涅定理），数列极限可以看做x趋于+∞的函数极限。

（n换成x就行，其实也没什么）函数相比于数列，有着连续的优点，这样就能名正言顺的用洛必达，泰勒等方法（不然可能会扣过程分）。

纯粹从为了作出题的目的来说，泰勒公式最为关键。

撇开常用等价无穷小的证明过程，等价无穷小可以说道就是泰勒公式的精简版。

写下任一泰勒公式的前几项，将公式结尾的高阶无穷小舍弃，=变为～，就能够获得各种等价无穷小。

举个例子e^x=1+x+1/2 x^2+o（x^2）：从中就能够得出结论e^x-1～x，e^x-1-x～1/2 x^2当然还能一直写下去，只要你愿意。

当领到一道音速题时，尽量把整个式子拆毁分为若干个因式的秦九韶的样子，对每一个因式都先试试等价无穷小。

另外，如果存有非零因式可以轻易做为常数明确提出至音速号外。

再说一些题型吧：第一种就是拎根号的题，尤其以两个根号相乘居多。

通常方法就是搞存有化学，上下同除以共轭根式（也就是负号变小加号），这样搞一是能够消解旧有的根号，二就是后乘坐的因式多为一个非零常数可以轻易带进排序；首先从命题角度来说，含有根号的因式的极限多为0或无穷，否则直接带入数字就失去了命题的意义。

当然也有些题能直接带入，但往往都是一个很复杂的式子，只是为了考验你对非零因式的提取。

但是利用等价无穷小中的（（1+x）^a ）—1～ax，当a=1/2时就呈现了根号的样子，可以做为另一种解题思路，必须搞的事情就是一个字：兎。

只有一个根号时，假设根号里的极限是1（也就是根号之后会有个减一），那就写成√（1+｛一串极限为零的式子｝）-1，套等价就行了；如果极限变成2，只要在整个式子中提出一个√2，也就一样了。

接着就是双根号，双根号就是在原来的基础上将乘以的常数替代为另一个根式。

第一步，还是整体明确提出一个常数，先确保两个根号内的音速就是1，然后分别在两个根号之后迁调上—1，就能够获得两个无穷小，同时对他们用等价替代后，也能够达至回去根号的效果。

高考数学中的矩阵解析技巧

高考数学中的矩阵解析技巧矩阵是高中数学中的一个重要知识点，也是高考数学必考内容之一。

矩阵不仅在数学中有着重要应用，还被广泛应用于物理、化学、工程等领域。

因此，掌握矩阵的解析技巧不仅有助于高考成绩的提升，也能为今后的学习和工作打下坚实的基础。

本文将就高考数学中的矩阵解析技巧进行详细的阐述和探讨。

一、矩阵的定义和基本运算矩阵由一组数排成的矩形数组组成，通常用大写字母表示。

矩阵的行数与列数分别称为矩阵的行数和列数。

例如，A=[a_ij ]表示一个m行n列的矩阵，其中a_ij是矩阵A的第i行第j列的元素。

矩阵中的元素可以是实数、复数、方程等。

矩阵的基本运算有加法、数乘、乘法三种。

加法：设A=[a_ij ]，B=[b_ij ]是两个m行n列的矩阵，则矩阵A与B的和C=[c_ij ]定义为C=A+B，其中c_ij=a_ij+b_ij。

数乘：设k为实数，A=[a_ij ]是一个m行n列的矩阵，则k乘以矩阵A的结果为D=[d_ij ]，其中d_ij=k×a_ij。

乘法：设A=[a_ij ]是一个m行n列的矩阵，B=[b_ij ]是一个n 行r列的矩阵，则A乘以B的积C=[c_ij ]定义为：c_ij=a_i1×b_1j+a_i2×b_2j+···+a_in×b_nj其中1≤i≤m,1≤j≤r，c_ij是矩阵C的第i行第j列的元素。

需要注意的是，两个矩阵相乘的前提是它们的行列数符合要求，即一个矩阵的列数等于另一个矩阵的行数。

二、矩阵的性质矩阵有一些重要的性质，掌握这些性质有助于更深入地理解矩阵并应用于实际问题的解决中。

1.矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行和列调换位置得到的结果。

设A=[a_ij ]为一个m行n列的矩阵，A的转置记作A^T，其中A^T=[b_ij ]，b_ij=a_ji。

即将A的第i行变为A^T的第i列，A的第j列变为A^T的第j行。

利用矩阵方法计算数列通项公式

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方法与技巧
利用矩阵方法计算数列通项公式
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(完整版)极限的解法与技巧_汇总

极限的求法与技巧极限是解决数学问题的一种有效的工具。

以下列举种方法，并附有例题。

1.运用极限的定义例：用极限定义证明:1223lim 22=-+-→x x x x 证: 由244122322-+-=--+-x x x x x x ()2222-=--=x x x0>∀ε 取εδ= 则当δ<-<20x 时,就有ε<--+-12232x x x由函数极限δε-定义有:1223lim 22=-+-→x x x x 2.利用单调有界准则求极限预备知识：若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列，即存在正数M ，使得对一切正整数n ，有 M a n ≤.此方法的解题程序为：1、直接对通项进行分析或用数学归纳验证数列{}n a 单调有界；2、设{}n a 的极限存在，记为A a n n =∞→lim 代入给定的表达式中，则该式变为A 的代数方程，解之即得该数列的极限。

例：若序列{}n a 的项满足)0(1>>a a a 且),2,1(,211Λ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+n a a a a n n n ,试证{}n a 有极限并求此极限。

解由 a a >1a a aa a a a a a a a =>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12112111222121 用数学归纳法证明 a a k > 需注意a a a a a a a a a a a k k k kk k k =>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2222121. 又 022121>-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--n nn n n n a a a a a a a a ∴ {}n a 为单调减函数且有下界。

令其极限为A 由 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+n n n a a a a 211有： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+∞→n n n n a a a a 21lim 1即 ⎪⎭⎫⎝⎛+=A a A A 21∴ a A =2∴ a A = )0(>A从而 a a n n =∞→lim. 3.利用等价无穷小替换常用的等价无穷小关系：,~arctan ~arcsin ,~tan ,~sin ,0x x xx x x x x x → ,~1x e x -,ln ~1a x a x -,ln ~)1(log a x x a+,1~11x nx n-+等价无穷小代换法设'',,,ββαα 都是同一极限过程中的无穷小量，且有： ''~,~ββαα，''lim βα 存在，则 βαlim 也存在，且有βαlim = ''lim βα例:求极限2220sin cos 1lim x x x x -→ 解: ,~sin 22x x 2)(~cos 1222x x -∴ 2220sin cos 1lim x x x x -→=212)(2222=x x x 注：在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数” 4．利用极限的四则运算法则极限的四则运算法则叙述如下：若 A x f x x =→)(lim 0B x g xx =→)(lim 0(I)[]=±→)()(lim 0x g x f x x )(lim 0x f x x →±B A x g xx ±=→)(lim 0(II)[]B A x g x f x g x f xx x x x x ⋅=⋅=⋅→→→)(lim )(lim )()(lim 0(III)若 B≠0 则：BAx g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim 000 ,~)1ln(x x +,21~11x x -+,~1)1(x x αα-+（IV ）cA x f c x f c xx x x =⋅=⋅→→)(lim )(lim 0（c 为常数）上述性质对于时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,,总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。

高中数学中的数列极限定义及其求解法则

高中数学中的数列极限定义及其求解法则数列极限是高中数学课程中的一个重要内容，也是大学数学中的基础概念之一。

在高中阶段，我们需要学习数列极限的定义、判定和求解法则，理解其本质和应用，为进一步深入学习数学打好基础。

一、数列的极限定义在数学中，数列是按照一定规律排列的数的序列，表示为{an}，其中an表示数列中第n个数。

如1，2，3，4……即为一个自然数数列。

当数列中的数逐渐趋向于一个确定的数L时，我们称L为该数列的极限，也称数列的极限存在。

数学上表示为：lim（n→∞）an = L其中lim表示“当n无限趋近于正无穷时的极限值”，an表示数列中的第n个数，L为数列的极限值。

二、常用的数列极限判定法则1. 夹逼准则夹逼准则是求解数列极限的常用方法，其核心思路是通过夹逼使得数列趋近于某个范围内的值。

具体来说，对于数列{an}，如果有：an ≤ bn ≤ cn,且lim（n→∞）an = lim（n→∞）cn = L，则有lim（n→∞）bn= L。

其中，an和cn是分别代表着L的下限和上限的数列。

该方法的原理是利用如果一个数列逼近L，同时另外两个数列且夹在中间，则这两个数列同样逼近L。

例如：求解数列an =（n+2）/（2n+1）的极限。

将分子分母同时除以n，得到an = 1/2+3/（4n+2）。

由于lim（n→∞）3/（4n+2）= 0，所以an的极限等于lim（n→∞）1/2=1/2。

2. 单调有界准则单调有界准则是指如果数列{an}单调递增（或递减），且有一个数M使得|an|≤ M对于所有n成立，则该数列有极限。

此时，数列的极限就是其单调递增（或递减）的极限。

例如：求解数列an =（n+1）/n²的极限。

由于当n≥1时，有an ≤（n+1）/n，所以an为单调递减的数列。

同时，1/n是单调递减的有界数列，其最小值为0，所以an也是单调有界的。

因此，数列an有极限，其极限值等于an的单调递减极限：lim（n→∞）an=lim（n→∞）（n+1）/n²=0。

一类特殊矩阵行列式的解法

Ａ＝Ａ×Ｐ（Ａ），Ｑ（Ａ）＝（一１）ｌＡｌＥ。
即（一１）Ｐ（Ａ） × Ａ＝Ａ × （一１）Ｐ（Ａ）＝ｆＡｆＥ，对任何ｎ阶方阵Ａ，有Ａ × Ａ＝Ａ × Ａ＝ｌＡｆＥ，
例１设４＝１０２２ｌ，求的伴随矩阵。
ｏ０３
ｆ，１２２１
ｊ
解析：我们不难发现Ａ是可逆矩阵，可以利用可逆矩阵来求解伴随矩阵。
例２设３阶方阵Ａ的特征值为１，０，一１，矩阵Ｂ＝Ｅ一３Ａ，其中Ａ是Ａ的伴随矩阵，求ｌＢｌ。
Ａ一６Ａ＋１１，由定理得Ａ＝（一１） “ Ｐ（Ａ）＝Ａ一６Ａ＋１１Ｅ，两种方法求得结果相同。
一
些好方法，方可提高计算水平。
１问题提出
在教学过程中，曾有同学请教如下两道填空题，两题具有一定代表性。例１可以利用可逆矩阵来求解伴随矩阵。对于例２其中涉及到奇异矩阵，对于这类问题，一般教材中没有给出相关的公式和求解方
法。本文总结了这类问题的解法。对广大同学们来说也有重要的启示作用。
根据伴随矩阵唯一性，所以Ａ＝（一１）Ｐ（Ａ）。定理证毕。
方法１：由Ａ可逆，故Ａ＝ＩＡｌ４～＝Ｊ０３ — ２Ｊ．
００２
ｆｌ，６ — ６０］ｌ
ｊ
方法２：方阵Ａ的特征多项式为Ａ）＝（Ａ一１）（Ａ一２）（Ａ一３）＝Ａ。一６Ａ＋１１Ａ一６，令Ｐ（Ａ）＝

探析如何巧用矩阵法解数列的极限

所以递增是ｌ，ａ）单调区间 ÷ ＋。。
正确的命题是：。若为可导函数ｆｘ的极值点，（）＝０【）则， ‰ 评注：函数的单调性是函数性质的核心，高考必考内容，是强导（）若厂（。３：ｌ＝０则函数ｆｘ在 ‰ 处一定有极值吗？，（）调求函数的单调区间时．不要忘记先求定义域。诊：定。反例：不一函数Ｙ＝有，（）＝０而ｆｘ０，（）在＝０导（）用导数解含参数的函数在某区间上的单调性问题８：
难。
诊：导数定义是，＿ｏ时，』生当＋式子厂
例３求函数厂＝２一ｌ的单调递增区间。：（）ｘ眦
・，：，（：・，病因：）
（２ｘ＋１２一１）＞０）（ｘ
中的中分子与分母的变
土
二；厂（＞０令）
量△ 应保持一致。它可以一／， △ｘｘ是２Ｘ ÷ ｘ等。
正确答案： △ ＋当＿０时．二二：一ｚ１厂（）：一
Ｌｌ
所（１）（，）所单递区是以一，ｕ÷ ＋以调增间ｏ２ｏ：ｌｇ（÷０（，）一，和丁＋。）１评注：用导数定义求相关式子的值时要注意分子分母中各量
恒成立。因此ａ＞３。选ｃ
正确的命题是：函数单调性的充分条件ｌ在区间（，】上，（。ｂ＿）＞是ｆｘ在该区间上为增函数的充分而不必要条件；函厂（０（）（

高中数学矩阵解题技巧

高中数学矩阵解题技巧矩阵是高中数学中一个重要的概念，它不仅在数学理论中有广泛的应用，也在实际问题中起到了重要的作用。

在高中数学考试中，矩阵解题是一个常见的题型，掌握一些解题技巧可以帮助我们更好地应对这类题目。

本文将介绍一些高中数学矩阵解题技巧，并通过具体的例题进行说明和分析。

一、矩阵的基本运算在解题过程中，我们经常会遇到需要进行矩阵的加法、减法和乘法运算的情况。

对于矩阵的加法和减法，我们只需要对应位置上的元素进行相加或相减即可。

而矩阵的乘法则需要注意一些规则，例如两个矩阵相乘时，第一个矩阵的列数要等于第二个矩阵的行数。

在具体计算时，我们可以利用矩阵的行向量和列向量的性质，将矩阵乘法转化为向量的内积运算，从而简化计算过程。

例如，我们来看一个例题：已知矩阵A=（1 2 3，4 5 6），矩阵B=（7 8，9 10，11 12），求矩阵C=AB。

解题思路：根据矩阵乘法的规则，我们可以得知矩阵A的列数等于矩阵B的行数，因此可以进行乘法运算。

首先，我们需要确定矩阵C的行数和列数，根据乘法规则，矩阵C的行数等于矩阵A的行数，列数等于矩阵B的列数。

所以，矩阵C的维数为2×2。

然后，我们可以根据矩阵的行向量和列向量的性质，将矩阵乘法转化为向量的内积运算。

具体计算过程如下：C11 = (1×7) + (2×9) + (3×11) = 58C12 = (1×8) + (2×10) + (3×12) = 64C21 = (4×7) + (5×9) + (6×11) = 139C22 = (4×8) + (5×10) + (6×12) = 154因此，矩阵C=（58 64，139 154）。

通过这个例题，我们可以看到，矩阵的乘法运算可以通过向量的内积运算来简化计算过程，这是我们解题时可以利用的一个技巧。

一类线性递推数列极限的矩阵解法及应用

一类线性递推数列极限的矩阵解法及应用1.引言一般地，如果数列的通项公式给出，则可以按有关极限运算法则或数列的敛散性判别法求极限或判断敛散性．但我们还常会遇到不少数列只给出递推关系，不知道其通项公式，对这种类型的极限，一般教科书中均安排在极限存在准则之后去讨论，且仅对特殊类型进行讨论，其他的未能深入研究，这样使得学生对对这类问题的认识和掌握很不充分、全面，这一点甚是遗憾.在数学分析教材或硕士研究生入学考试中，求递推数列的极限是重点、难点，同样也是热点．如果说求极限问题是数学分析教材或硕士研究生入学考试中专家、教授们精心呵护的美丽花园的话，那么求递推数列的极限无疑是这座花园里的一朵奇葩.由此可见，递推数列在数学中占有很重要的一席之地，为此，本文就一元二阶线性递推关系数列和二元线性递推方程组，利用矩阵理论的知识给出一种直接用递推关系的系数所确定的特征方程的特征根判别敛散性的方法和具体的极限求法，并将利用矩阵理论的知识求解一元二阶线性递推关系数列的方法推广到求解一元r 阶线性递推关系数列通项公式，且举了几个例子加以说明.2.主要部分2.1一元二阶齐次线性递推数列2112n n n a k a k a ++=+（12,k k 是常数）的极限解法及定理设A ()112,,n n a k k B a +⎛⎫== ⎪⎝⎭，（1,2n = ），则2112n n n a k a k a ++=+可以表示为2n n a AB +=，再设1210k k C ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由矩阵的递推关系可得：21121n n n n B CB C B C B ---==== ，于是可得数列{}n a 的通项公式121n n a AC B -+=. （1）对于（1）式，我们用线性递推数列{}n a 的特征方程212k k λλ=+的特征根1λ，2λ作进一步的表示，下面分2种情况讨论：（i ）当12λλ≠时，由矩阵理论知，111n n CXDX ---=，其中1111200n n n Dλλ---⎛⎫= ⎪⎝⎭，矩阵X 是将1λ，2λ分别代入()0E C X λ-=即方程组112212()00k x k x x x λλ--=⎧⎨-+=⎩后所得的基础解系的行向量为行所构成的矩阵.这样可得数列{}n a 的通项公式为1121n n a AXD X B --+=，又因为11,,,A B X X -都是已知的，所以存在常数,p q ，使得11212.n n n a p q λλ--+=+ （2）（ii ）当120λλλ==时，由2120k k λλ--=得，21020,k k λλ==-，从而()()()1121200100210012101110n n n n n n kk n n C n n λλλλλλ-----⎛⎫--⎛⎫-⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()()()()120012112211001,11n n n n n n a n n a ACB k k a n n λλλλ--+--⎛⎫--⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ ()()()1210102201021112n n n n n k n k a n k n k a λλλλ---⎡⎤⎡⎤=+-+----⎣⎦⎣⎦()102011n n n a n a λλ+=+-.（3）由以上的讨论可知，具有线性递推关系2112n n n a k a k a ++=+的数列{}n a 的极限可由（2）、（3）式求得，其具体极限值取决于11,,,A B X X -和1λ，2λ的取值情况.由以上的讨论结果，我们可以得到如下判别数列{}n a 的敛散性的定理. 定理1：设12,λλ为线性递推数列{}n a 所确定的特征方程212k k λλ=+的特征根，则（1）当12,λλ为实数，且1i λ<()1,2i =时，数列{}n a 收敛，且lim 0n n a →∞=；（2）当12,λλ为一对共轭虚根，且1i λ<()1,2i =时，数列{}n a 收敛,且lim 0n n a →∞=；（3）当12,λλ不满足（1）、（2）的条件时，数列{}n a 可能收敛，也可能发散.证明：（1）当12,λλ为实数，且12λλ≠，1i λ<()1,2i =时，由（2）式可以得到 ()11212lim lim lim 0n n n n n n n a a p q λλ--+→∞→∞→∞==+=当12,λλ为实数，且120λλλ==，1i λ<时，由（3）式可以得到()120201lim lim lim 1n n n n n n n a a n a n a λλ++→∞→∞→∞⎡⎤==+-⎣⎦，而又因为()()10201201102011limlim 1n n n n n n n n n a n a a a n a n a λλλλλ++-→∞→∞++-==--，所以当01λ<时，数列 {}n a 收敛，且lim 0n n a →∞=；（2）当12,λλ为一对共轭虚根时由欧拉公式和莫弗隶公式有 ()()cos sin ,cos sin nn i i λλθθλλθθ=+=+，于是当1i λ<时，由（2）式知，数列{}n a 收敛，且lim 0n n a →∞=；（3）由数列的通项公式（2）知，当12,λλ不满足（1）、（2）的条件时，数列{}n a 可能收敛，也可能发散.如后面的例题4.例2.1.1设数列{}n a 的递推关系为211122n n n a a a ++=+（1,2,n = ），且122,3a a ==，试求lim n n a →∞.解：由特征方程21122λλ=+可解得特征根为1211,2λλ==-，将其分别代入方程组121211()0220x x x x λλ⎧--=⎪⎨⎪-+=⎩解得基础解系分别为11,12-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而求得 1211133,121133X X -⎛⎫- ⎪⎛⎫==⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎪⎝⎭. 又因为11110311,,,122202n n A B D --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎛⎫=== ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以lim n n a →∞()111121101131133lim lim 112112220233n n n n AXD X B ---→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎛⎫⎢⎥== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪--⎝⎭⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦43= 例2.1.2设数列{}n a 的递推关系为2111216n n n a a a ++=-，（1,2,n = ），12,a c a d ==试判断数列{}n a 的敛散性，如果收敛，求其极限. 解：由特征方程211216λλ=-可解得其二重根为114λ=<，故数列{}n a 收敛，且lim 0n n a →∞=.例2.1.3已知121,2a a ==，且211133n n n a a a ++=-（1,2,n = ），试判断数列{}n a 的敛散性，如果收敛，求其极限. 解：由特征方程21133λλ=-解得特征根为1111,6666λλ=+=-，而1λ=2113λ=<，所以由定理1，数列{}n a 收敛，且lim 0n n a →∞=.例2.1.4已知12,a c a d ==为不相等的非零实数，且2152n n n a a a ++=-（1,2,n = ），试判断数列{}n a 的敛散性.解：由特征方程2512λλ=-解得特征根为12121,2λλ=>=，所以不能立即应用定理1判断，只能实际解之.将1212,2λλ==代入方程组12125()02x x x x λλ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩，解得基础解系分别为21,12⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而求得1212133,121233X X -⎛⎫-⎪⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭，又因为1111205,1,,1202n n n d A B D c ---⎛⎫⎛⎫ ⎪⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以 lim n n a →∞()111lim n n AXD X B --→∞=11212021533lim 11121220233n n n d c --→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎛⎫⎢⎥=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦()263lim 222n n n c d d c →∞-⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦因此，当20d c -=时，数列{}n a 是收敛的，当20d c -≠时，数列{}n a 是发散的.由例4可以看出当满足线性递推关系2112n n n a k a k a ++=+的数列{}n a 所确定的特征方程212k k λλ=+的特征根12,λλ不满足1i λ<()1,2i =时，数列{}n a 可能收敛，也可能发散，此时对这种情况要进行全面分析，因为这时数列{}n a 的敛散性不仅与特征根有关，还与矩阵,,A B X 有关.以上的方法不难推广到一元r 阶齐次线性递推数列1122n r n r n r r n a k a k a k a ++-+-=++⋅⋅⋅+.这时只需设()12r A k k k = ，12n r n r n n a a B a +-+-⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，则n r n a AB +=，再设 1211000100010r r k k k k C -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则有21121n n n n B CB C B C B ---==== ，于是可得数列{}n a 的通项公式为11n n r a AC B -+=.再由矩阵的知识计算出最终的结果.2.2一元一般二阶线性递推数列21123n n n a k a k a k ++=++（123,,k k k 是常数）的极限解法及定理设()123A k k k =，11n n n a B a +⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，12310001k k k C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则有 21121n n n n B CB C B C B ---==== .再由矩阵的特征值理论，设11123000000C XDX X X λλλ--⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，其中D = 123000000λλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，()1,2,3i i λ=是矩阵C 的特征值，矩阵是将123,,λλλ代入 ()0E C X λ-=即方程组11223123()00(1)0k x k x k x x x λλλ---=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩所解得的特征值对应的线性无关的列特征向量所构成的矩阵，这样可得11111213000000n n n n C X X λλλ-----⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，n B =11112113000000n n n X X B λλλ----⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式为 1121n n a AXD X B --+= （4）由（4）可知，一元数列{}n a 的一般项完全由C 的特征值形成的对角矩阵所表示，从而其极限也有由特征值决定.下面来计算C 的特征值，I 表示单位矩阵.由()()12321210101k k k I C k k λλλλλλλ----=-=----，从而解得C 的特征值分别为1231,λλλ===由上述讨论的结果我们可以得到如下判别数列{}n a 的敛散性的定理. 定理2：设()1,2,3i i λ=是C 的特征值，由前面的计算结果可知11λ=，则（1）若(]()1,1,2,3i i λ∈-=，那么数列{}n a 收敛.（2）若i λ()2,3i =为共轭虚根，且1i λ<，那么数列{}n a 收敛. （3）若i λ()2,3i =不满足（1）（2）的条件，那么数列{}n a 可能收敛，也可能发散.证明：由（4）式1121n n a AXD X B --+=知11,,,A X X B -都是已知的，所以存在常数123,,ααα，使得1112112233n n n n a αλαλαλ---+=++，显然当1i λ<（i =1,2,3）时，数列{}n a 收敛. 若有1iλ=的实数，数列{}n a 也是收敛的.由数列的通项公式（4）知，当i λ()2,3i =不满足（1）（2）的条件时，无法判断数列{}n a 的敛散性.例2.2.1.设数列{}n a 由递推关系2151166n n n a a a ++=-+，求lim n n a →∞.解：由前面的分析，可设51166100001C ⎛⎫-⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，5116610001I C λλλλ---=--=()11123λλλ⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.从而解得C 的特征根为123111,,23λλλ===，由定理2知该数列收敛.将123111,,23λλλ===分别代入方程组1212351()10660(1)0x x x x x λλλ⎧-+-=⎪⎪-+=⎨⎪-=⎪⎩解得其对应的特征向量分别为121111,2,31003ηηη⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，从而得到1111231003X ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭，1003316213X -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，又51166A ⎛⎫=-⎪⎝⎭，1B 211a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭∴由（4）式得1121n n a AXD X B --+=()()1121211111336232233n n a a a a --⎛⎫⎛⎫=+--+-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴lim 3.n n a →∞=通过用矩阵表示数列的递推关系，并用矩阵的知识来解出数列的通项公式的方法不难推广到一般的一元r 阶线性递推数列11221n r n r n r r n r a k a k a k a k ++-+-+=++++这时只需设()121rr A k k k k += ，121n r n r n n a a B a +-+-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则n r n a AB +=，再设121110000010000010000001r rr k k k k k C -+⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则21121n n n n B CB C B C B ---==== ，再由矩阵的知识解得最终结果.对于一元一般二阶线性递推数列21123n n n a k a k a k ++=++（123,,k k k 是常数）的极限的求解还有另一种方法，也是通过矩阵的知识解得，虽然表示的方法有所不同，但却有异曲同工之妙.下面对这种方法作详细的讲解.我们将21123n n n a k a k a k ++=++写成方程组2112311n n n n n a k a k a k a a ++++=++⎧⎨=⎩的形式，并设221231101110,,,,10001n n n a a k k k B B A B E a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则方程组可用矩阵表示如下：10n n B AB B +=+ ()1,2,3,n =⋅⋅⋅ 由递推方法知：()12310n n n n B A B A A A E B ---=+++⋅⋅⋅++ 所以求解数列的通项公式就归结为求解矩阵A 的方幂，这可利用矩阵理论解决如下：因为 122121k k E A k k λλλλλ---==---记2124k k ∆=+，下面分两种情况讨论：（1）当0∆≠时，方阵A 有两个不同的特征根12,λλ，此时A 可对角化，为方便起见，取相应的特征向量：221211,1k X X k λλ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，且取22111k T k λλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭则11200A T T λλ-⎛⎫=⎪⎝⎭，11200n nn A T T λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭所以12111111012222010001n n n n n B T T B T T B λλλλλλ------⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅++=+ ⎪ ⎪+⋅⋅⋅++⎝⎭⎝⎭ 111100n TJ T B TJ T B ---=+（2）当0∆=时，设方阵A 有两个相同的特征根12λλλ==取101T c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，（ 122k c k =-）则12111102,102k k T T AT B c k --⎛⎫ ⎪⎛⎫===⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎪⎝⎭所以1211121002,,00202n n k k k A TBT A TB T B E k H k --⎛⎫ ⎪⎛⎫===+=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭注意到：200(2)00nnk H n ⎛⎫==≥ ⎪⎝⎭，所以 111120111112212222202nn n n n n n n n n n k k n k k k k B E k H C E C E k H k ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此()112110n n n B TB T B T B B E T B ----=++++()121221111221111101211111222200122n n i i n n i i n i n i k k k k n k k i T T B T T B k k -----==----=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑111100n TJ T B TJ T B ---=+由n B 我们很容易求出n a ，进而求出极限，如下面的例题.例2.2.2在数列{}n a 中，已知121a a ==且2165(1,2,)n n n a a a n ++=++=⋅⋅⋅，求l i mn n a →∞. 解：设20165,,60100A B E A λλλ⎛⎫⎛⎫==-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得两个不同的特征根123,2λλ==-∴162121,212610T T --⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∴()1111130621211212611002n n n TJ T B ----⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()11111211126110102326342n n n n ----***⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⋅-⋅+⋅-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭而()21100213106212512126010021n ii n ii TJ T B -=--=⎛⎫+ ⎪-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭-+ ⎪⎝⎭∑∑ ()11110251053233n n --*⎛⎫⎪= ⎪⋅+-- ⎪⎝⎭ ∴()()11111102563425321033n n n n n a ----⎛⎫=⋅+⋅-+⋅+-- ⎪⎝⎭ ()11111152315106n n --=⋅-+⋅- ∴lim n n a →∞=∞即数列{}n a 发散.同样，上述方法也可推广到一般的线性递推数列1122n r n r n r a k a k a ++-+-=++⋅⋅⋅1r n r k a k +++，此时需设()()''1101,,,,,0,,0n r n r n r n r B a a a B k +++-++== ，12110000010r r r rk k k k A -⨯⋅⋅⋅⎛⎫⎪⋅⋅⋅⎪= ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⋅⋅⋅⎝⎭则数列的通项可表示为 10n r n r B AB B ++-=+将上式反复迭代，则有 ()()2101n n n r r B A B E A A A B n -+=++++⋅⋅⋅+≥ 当矩阵E A -可逆时，由于()()1n n n n E A E A E A E A A --=-=-++⋅⋅⋅+所以()()11n nE A A E A E A --++⋅⋅⋅+=--从而()()1(1)n nn r r B A B E A E A B n -+=+--≥当10r k +=时，()'00,0,,0B =⋅⋅⋅，于是n n r r B A B +=所以求解数列的通项公式就归结为求解矩阵A 的方幂，这可利用矩阵理论解决.下面举例进行说明.例2.2.3 已知1233210,1,2,99n n n n a a a a a a a +++====+-，求n a .解：设199100010A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，由3299E A λλλλ-=--+，解得特征根为分别为1231,3,3λλλ===-，因123,,λλλ互不相同，故A 可对角化易求得1119011188100113391,,0303342400333911182899T T T AT --⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭从而()1100030003nnn A T T -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭()113211111324410n n n n n n a a A a +++++⎛⎫⎛⎫-++- ⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==* ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪*⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭∴()1131111344n n n a +++⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭即()221111344n n n a --⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭.2.3二元线性递推方程组1112n n n n n n x ax by t y cx dy t ++=++⎧⎨=++⎩（,,,a b c d 是常数）的极限解法及定理设()()111222,,,1001n n n x a b t A a b t A c dt u y E c d t ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有2111n n n n u Eu E u E u +-====假设(1,2,3)i i ω=是矩阵E 的特征根，Y 是特征根对应的线性无关的列特征向量构成的矩阵，那么有11111213000000n n n n n w u YW Y u Y w Y u w --+⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，其中 123000000n n n w W w w ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，从而12111221n n n n x AYW Y u y A YW Y u -+-+⎧=⎨=⎩ （5）由（5）可知，二元数列{}{},n n x y 的一般项完全由E 的特征值形成的对角矩阵所表示，从而其极限也有由特征值决定.下面来计算E 的特征值，I 表示单位矩阵.由()()1221001abt I C cdt a b ad bc ωωωωωωω---⎡⎤-=---=--++-⎣⎦-，解得E 的特征值分别为1231,ωωω===.由上述讨论的结果，我们可以得到如下判别数列{}{},n n x y 的敛散性的定理. 定理3：设()1,2,3i i ω=是矩阵E 的特征值，由前面的计算结果可知11ω=，则（1）若(]()1,1,2,3i i ω∈-=，那么数列{}{},n n x y 收敛.（2）若()2,3i i ω=为共轭虚根，且1i ω<，那么数列{}{},n n x y 收敛. （3）若()2,3i i ω=不满足（1）（2）的条件，那么数列{}{},n n x y 可能收敛，也可能发散.证明：类似定理2的证明过程，由（5）式知，存在常数(),1,2,3i i i βγ=，使得21122332112233,n n n n n nn n x y βωβωβωλωγωγω++=++=++，显然当1i ω<()2,3i =时数列{}{},n n x y 收敛，若有1i ω=的实数，数列{}{},n n x y 也收敛.当（1）（2）的条件不满足时，无法判断数列{}{},n n x y 的收敛性. 如下面的例6.例2.3.1设二元数列{}{},n n x y 满足线性关系115312122n nn n n n x x y y x y ++⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，试求lim ,lim n n n n x y →∞→∞.解：设53121122001E ⎛⎫- ⎪⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭，则()()1122I E ωωωω⎛⎫-=--+ ⎪⎝⎭，解得矩阵E 的特征值为12311,2,2ωωω===-，由定理3知数列{}{},n n x y 可能收敛，也可能发散.设特征值对应的特征向量分别为1238615,1,1300ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而得到11003861111511,5553001622555Y Y -⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪ ⎪⎪==-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪--⎪⎝⎭，又因为 1111251,31,12221x u y A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪==-=-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭，从而由（5）式得()()()()1211111112211111812111231822353025111442622310102nn n n nn nn x AYW Y u x y x y y A YW Y u x y x y -+-+⎧⎛⎫==+--+-+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪==+--+-+- ⎪⎪⎝⎭⎩，因此只有当11111040x y x y --=⎧⎨--=⎩，即111,0x y ==时，数列{}{},n n x y 收敛，且有85lim ,lim 33n n n n x y →∞→∞==，否则数列{}{},n n x y 都发散. 3.结束语本文就一元二阶线性递推关系数列和二元线性递推方程组，利用矩阵理论的知识给出一种直接用递推关系的系数所确定的特征方程的特征根判别敛散性的方法和具体的极限求法，并将利用矩阵理论的知识求解一元二阶线性递推关系数列的方法推广到求解一元r 阶线性递推关系数列通项公式.4.致谢本文的成稿在很大程度上得益于我的论文指导老师陈文略，没有他热情的指导和耐心的修改,是不可能完成的. 在此,向陈老师表示深深的谢意!参考文献:[1]王汝发等.高等数学解题方法引论.兰州大学出版社.1994年[2]北京大学数学力学系高等代数.北京人民教育出版社.1978年.[3]江声远线性代数的应用南昌：江西高校出版社1997.[4]林玲分式线性递归关系的代数解法[J]．数学通讯1996.[5]杨亦军递归数列求通项公式的一般方法[J]．数学通讯1999，(12).[6]杨华迪分式递归数列通项公式求法的探讨[J]．宁波教育学院学报2000.[7]刘亚递归数列通项浅谈．武陵学刊(自然科学版)[J]．1999，(3)：82—84.[8]舒阳春高等数学中的若干问题解析[M]．北京：科学出版社，2005.[9]周民强．数学分析习题演示[M]．北京：科学出版社，2006.[10][德]恩格尔．解决问题的策略[M]．舒五昌译．上海：上海教育出版社，2004.[11]李求杰等．数学奥林匹克的理论、方法、技巧[M]．长沙：湖南教育出版社，1990.[12]孔风哲．二元线性递推数列[J]．数学通讯，1989(11)：46-49.[13]东北师范大学微分方程教研室常微分方程高等教育出版社2005.[14]吴振奎．斐波那切数列[M]．长春：辽宁教育出版社，1987．33—53.[15]王萼芳石生明高等代数高等教育出版社2004.[16]卢开澄卢华明组合数学清华大学出版社2002.[17]谭雅芬．二元线性递推数列的通项公式[J]．数学通讯，1989(2)：19-2l.[18] D.Rechard. The college entrance examination reviews the printed lecture [J].Urumqi: Xinjiang young people publishing house .2007.4.168-170.[19] 仓平, Research on Clothing Retail Store Location in Shanghai Business StreetsWith Fuzzy Comprehensive Evaluation Method, JOURNAL OF DONGHUA UNIVERSITY. [20]Tom M.apostol. Mathematical Analysis(Second Edition). BeiJing:China MachinePress,2004。

矩阵的解谜之道高中数学矩阵问题的解题方法

矩阵的解谜之道高中数学矩阵问题的解题方法矩阵在数学中扮演着非常重要的角色，它是几何、线性代数、计算机等多个领域的基础。

在高中数学中，矩阵的学习内容主要包括矩阵的定义、矩阵的运算、矩阵的逆以及矩阵的应用等。

在这些内容中，矩阵的应用是相对重要的内容，这里我们重点介绍一下矩阵问题的解题方法，以更好的帮助同学们掌握这一部分的内容。

矩阵问题的求解可以分为两步走：第一步是列出矩阵方程组，第二步是求解矩阵方程组。

下面我们将结合实例详细介绍这两步的具体操作。

例1：有一组线性方程组如下:$$\begin{cases}2x+y=3 \\ x+3y=7\end{cases}$$请将其转换成矩阵方程组，并求出方程组的解。

解：将其转换成矩阵方程组，即为$$\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 1 &3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\7\end {bmatrix}$$然后，根据矩阵乘法的定义，求解该矩阵方程组，即为$$\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 1 &3\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}3\\7\end{bmatrix}$$其中，$\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 1 & 3\end{bmatrix}$ 的逆矩阵为$$\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 1 & 3\end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{5}\begin{bmatrix}3 & -1\\-1 & 2\end{bmatrix}$$所以，原矩阵方程组的解为$$\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 1 &3\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}3\\7\end{bmatrix}=\frac{1}{5}\begin{bmatrix}3 & -1\\-1 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 \\2\end{bmatrix}$$例2：某班级共有$n$名学生，其中英语、数学两门科目的成绩有如下统计结果：其中$p$位同学两门科目都及格，有$a$位同学数学及格但英语不及格，有$b$位同学英语及格但数学不及格，有$c$位同学两门科目均未及格。

求数列极限的24种方法及例题分析

18 幂级数
50
18.1 例题分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
19 微分中值定理
52
19.1 知识讲解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
10.2 例题分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
目录
– 2/65 –
11 Toeplitz 定理
32
11.1 知识讲解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
19.2 例题分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
20 Taylor 公式
54
20.1 知识讲解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
12.2 例题分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
13 Stirling 公式
36
13.1 知识讲解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

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＝
，１广
＋
２（ｑ为常数且Ｐ≠ ０ｑ０＝２３．），，，≠ ，，… ．
，（ｆ≠ ０且ａ ≠ ｂ一１２… ．）ｄｃ，，．
（）１
（）２
一
Ｃ，１十Ｘ广
两类数列｛的极限的求法．ｚ）
若。已知，，１且一，１ｒ＋，，有ｒ则２
列｛有一个极限，ｚ）并求出以ａｚ及ｚ，。表示的极限．解由题设可知
一
（（ｃ一。（一ｃ（口；Ｉｎ（）耋（Ａ；）Ｏ［１；一））－＂Ｃ１一＇）．
矩阵Ａ的特征值一１，：一口１对应的特征向量分别为 ∈ 一，＝（，）已＝（一１１Ｔ１１，口，）．
知ｌ一（／）ｎ，ｌ＝２．为１９年上海交通大学高等数学竞赛题．ｉｍｙ２３ｌ２故ｉｍｘ此９１
—
＋ ∞
— ∞
例２在三角形的各边上写上三个数ａ“ ，，。将它们擦去，ａａ。．而换上其余两个数的算术平
令＝，（Ｐ＝
＝
）＝一）而删（０，从
Ｐ０ｐ（１０（）一＿（－ｌ）
１ｆ１（一１一ａ）１一ａ（一１１＋ａ）
－一ｏ）
２一（一１－１＋（一１，ｊ一ａａ）一ａａ）．ｌ１－ｒ
－收稿日期：０６— ０ — ０．２０１４
基金项目：肥工业大学精品课程及安徽省重点教学研究项目资助合
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第１Ｏ卷第４期
苏化明，潘杰：一类数列极限的矩阵解法
１３０
于是
＝
［１（１” ＋（一口＋（１ｏ．（一口一））１１口一））］
—— ａ
因为ｌ一１ｌ１所以ｌ（１一０从而ｌ∞ 一一ａ＜，ｉ口一）ｍ，ｉｍｘ－
ａ
［１ａｘ＋１．（一）。］
苏化明
摘要
通过矩阵方法可求一类由常系数线性递推公式所确定的数列的极限．例演示其递推公式形实
如ｚ＝＋（ｑ非常）．：ｊｃ。 ≠ｃ两数｛）极的法．ｐ为零数和一嚣（，一，ｚ ≠ 且６的类列．的限求．）ｚ
为；）关式一ｎ次推ｏ．对的阵Ｂ（．Ａ（三由系‘ Ｃ｛逐递，一ｘｂ应矩为一）．竺．Ｔ．－１有ａ＋，．其耋
利用数学归纳法不难证日Ｂ＝．月［于是我们可通过计算求出ｆ的表达式，磊）进而求ｌ．ｉ．ｍｘ例１２令口（，）的一个数．明：足递推公式ｚ一（（一口ｚ的任何实数序［为Ｏ１内证满Ｉ＋１），Ｘ广
从而有（
— ）一［（旦
— ）］—－．理得一（＋）广＋（ｃａ，．＋６Ｙ— 整．２ｎ，ｂ — ｄ）广由此可：
见，２由（）式确定的数列（的极限问题可转化为由（）确定的数列ｆｚ）１ｚ）的极限问题．由（）２式确定的数列｛） ‘ 的极限也可用下面的方法求解．设与关系式ｚ一对应的矩阵
注（ｉ若取ａ一１２，当ｌ（＋Ｘ－）２Ｘ＝ａｌｂ，ｉ（＋２）３）／则：ｎ１／，ｏｔ－，＝时有ｌｍｘ一口ｂ／．
此为湖南大学１８９２年研究生入学试题．
注（ｉ若ｏ１ｌｉ）＝，＝２ｌ￣，（１２ …）可令ｙ＝ｌ从而由注（），件＝／ｒ一，，，ｌｆ，ｉｘｉ可
均值，即擦去ａ“ ，成（２１换口“ ＋铂“ ）２：ａ；／１擦去ａ“ ，２’ 换成（ “ ＋口 “）２ａ；去ａ “ ，ｌ／＝２擦３换成（／口“ ＋ａ“ ）２＝ａ，。将新的三个数再依上面的方式做下去，证明：ｍａ存在（＝１２３ …．ｌｉｚ，，）
关键词递推数列；限；阵极矩中图分类号０１１２Ｏ１２５．；７
有多种方法可求由常系数线性递推公式所确定的数列的极限．阵解法即是其一，与之相关矩但
的论述却比较稀少．文将着重展示这种解法，下受篇幅所限，仅介绍递推公式分别形如
一
（
，
二。（一
－ｄ，（）ｚ一－ｄ．）
从而利用线性代数知识可求出ｚ的表达式，进一步求ｌ并ｉ．ｍｘ
若ｚ已知，ｚ。且一 — — ｑｂ可令，＋一一－，＂－一（ａ．￣－ｘ＿－ ห้องสมุดไป่ตู้ 广Ｙ１则￣１．ｒｒ
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１２Ｏ
高等数学研究
ＳＴＵＤＩＮＥＳＩＣ０ＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＡＴＩＭＣＳ
Ｖｏ１０，．１ＮＯ．４
Ｊ１，０７ｕ．２０
一
类数列极限的矩阵解法
潘杰（合服肥工业大学理学院合肥２００）３０９