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【2016版】新步步高 人教A版 大一轮复习讲义 数学(理)精品课件：第十二章 第2节古典概率
第十二章 概率、随机变量及其分布
§12.2 古典概型
基础知识·自主学习 题型分类·深度剖析 思想方法·感悟提高 练出高分
基础知识·自主学习
1.基本事件的特点
知识梳理
(1)任何两个基本事件是 互斥 的．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成 基本事件 的和． 2.古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典 概型． (1)试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个 ． (2)每个基本事件出现的可能性 相等 ．
题型分类·深度剖析
思维点拨 解析 思维升华
题型一 基本事件与古典概型的判断 例1 袋中有大小相同的5个白球，3 个黑球和3个红球，每球有一个区别 于其他球的编号，从中摸出一个球. (1) 有多少种不同的摸法？如果把每 个球的编号看作一个基本事件建立 概率模型,该模型是不是古典概型？
题型分类·深度剖析
解
由于11 个球共有3种
颜色，因此共有 3个基本 事件，分别记为 A ： “ 摸
到白球”，
B：“摸到黑球”，
C：“摸到红球”，
题型分类·深度剖析
思维点拨 解析 思维升华
例1
(2) 若按球的颜色为划分
又因为所有球大小相同 , 所以 一次摸球每个球被摸中的可能 1 性均为 ，而白球有 5 个， 11
故一次摸球摸到白球的可能 5 性为 ， 11
的元素个数为 n ，所有的基本事件构成集合 I ，且集合 I 中元素个 n 数为m，则事件A的概率为 .( √ ) m
基础知识·自主学习 题号
1
考点自测
答案
D
A
2 3 2 5
解析
2
3
4
高二数学人教B版选修讲义1-1全册课件1-3-1推出与充分条件、必要条件
第一章 常用逻辑用语 (选修1-1)
[规律方法] 一般情况下，若条件甲为x∈A，条件乙
为x∈B.
当且仅当A⊆B时，甲为乙的充分条件；
当且仅当B⊆A时，甲为乙的必要条件；
人 教
B
当且仅当A＝B时，甲为乙的充要条件；
版 数
学
当且仅当 A B 时，甲为乙的充分不必要条件；
当且仅当 A B 时，甲为乙的必要不充分条件．
版 数
条件，若q⇒p为真，则p是q成立的必要条件．
学
(2)注意利用“成立的证明，不成立的举反例”的数学
方法技巧来作出判断．
(3)关于充要条件的判断问题，当不易判断p⇒q真假时，
也可从集合角度入手进行判断．
第一章 常用逻辑用语 (选修1-1)
(2010·广东理，5)“m<14”是“一元二次方程 x2＋x＋
[例2] 设命题甲为：0<x<5，命题乙为：|x－2|<3，那
么甲是乙的
()
A．充分不必要条件
人 教
B
B．必要不充分条件
版 数
C．充要条件
学
D．既不充分也不必要条件
[解析] 解不等式|x－2|<3得－1<x<5，
∵0<x<5⇒－1<x<5但－1<x<5⇒/ 0<x<5，
∴甲是乙的充分不必要条件，故选A.
第一章 常用逻辑用语 (选修1-1)
人 教 B 版 数 学
第一章 常用逻辑用语 (选修1-1)
本节内容比较抽象，在学习中应注意以下几个方面：
1．学习本节内容要多从分析实例入手理解概念，利用
集合的观点加深理解．
2．(1)从不同角度，运用从特殊到一般的思维方法，
高中数学选修2-1步步高全书配套课件学案第一章1.1.1-1.1.2
高中数学选修2-1步步高全书配套课件学案第一章1.1.1-1.1.21.1.1 集合的基本概念1.集合的定义集合是指一些确定的个体的总体。
这些个体叫做集合的元素。
用大写字母A、B、C……表示集合，用小写字母a、b、c……表示集合的元素。
2.集合的表示方法集合可以通过3种方式表示： - 列举法：直接列出集合的所有元素。
- 描述法：用一个性质或一个条件来描述集合的元素。
- 公式法：利用一个公式来表示集合的元素。
3.集合的关系•包含关系：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，那么这个集合就是另一个集合的子集。
•相等关系：两个集合含有的元素完全相同，则这两个集合是相等的。
4.空集、全集和个体集•空集：不含任何元素的集合，用符号∅表示。
•全集：包含研究的一切元素的集合，用符号ξ表示。
•个体集：只含有一个元素的集合，用符号{x}表示。
1.1.2 集合间的关系和运算1.集合间的关系•包含关系：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，则称前一个集合被包含在后一个集合中，用符号⊆表示。
•不相交关系：如果两个集合没有公共元素，则这两个集合是不相交的，用符号∩表示。
•相交关系：两个集合有公共元素，则这两个集合是相交的，用符号∪表示。
2.集合的运算•并集：将两个集合中的所有元素放在一起形成的一个新集合，用符号∪表示。
•交集：两个集合中共同存在的元素所组成的集合，用符号∩表示。
•差集：从一个集合中去掉另一个集合中的元素所得到的集合，用符号－表示。
•补集：在全集中减去一个集合中的元素所得到的集合，用符号’表示。
3.集合的运算律•交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A•结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)，(A∩B)∩C = A∩(B∩C)•分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)•吸收律：A∪(A∩B) = A，A∩(A∪B) = A4.集合的运算性质•并集的性质：A∪全集 = 全集，A∪∅ = A，A∪A’ = ξ•交集的性质：A∩全集 = A，A∩∅ = ∅，A∩A’ = ∅•差集的性质：A－∅ = A，A－A = ∅，A－A’ = A•补集的性质：A∪A’ = 全集，A∩A’ = ∅，(A’)’ = A以上是高中数学选修2-1步步高全书配套课件学案第一章1.1.1-1.1.2的内容，希望对你的学习有所帮助！。
【2016版】新步步高 人教A版 大一轮复习讲义 数学(理)精品课件：第一章 1.2命题及其关系、充分条件与必要
将原命题的条件与结论互换
即得逆命题，故原命题的逆
命题为“若一个数的平方是
正数，则它是负数”.
题型分类·深度剖析
例1 (2)命题“若一个数是负数，则 它的平方是正数”的逆命题是( B )
解析 答案 思维升华
A.“若一个数是负数，则它的平方不 思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时，需注意： 是正数” “若p，则q”形式的命题，需先改写； ①对于不是 B. “若一个数的平方是正数，则它是 ②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提 . 负数 ” (2) 判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是 C. “若一个数不是负数，则它的平方 假命题，只需举出反例 . 不是正数 (3) 根据“” 原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同 D. “ 若一个数的平方不是正数，则它 假 ” 这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判 不是负数” 断其等价命题的真假 .
面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个
平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两
个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一
个平面也不垂直.其中，为真命题的是(
A.①和② B.②和③ C.③和④
)
D.②和④
题型分类·深度剖析 题型一 四种命题及真假判断
例1 (1)给定下列四个命题： 解析 (1)只有一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行 ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平
基础知识·自主学习
2.四种命题及相互关系
若p，则q
若q，则p
知识梳理
若綈p,则綈q
若綈q,则綈p
基础知识·自主学习
3.四种命题的真假关系
人教版九年级数学上下册培优讲义机构辅导资料(共30讲)
九年级讲义目录专题01 二次根式的化简与求值阅读与思考二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧.有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是：1、直接代入直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值.数学思想：数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展.=x , y , n 都是正整数）例题与求解【例1】 当x =时，代数式32003(420052001)x x --的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、20032-（绍兴市竞赛试题）【例2】 化简（1(ba b ab b -÷-- （黄冈市中考试题）（2（五城市联赛试题）（3（北京市竞赛试题）（4（陕西省竞赛试题）解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解.思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度.【例3】比6大的最小整数是多少？（西安交大少年班入学试题）解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y==想一想：设x=求432326218237515x x x xx x x--++-++的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题）的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.【例4】 设实数x ，y 满足(1x y =，求x ＋y 的值.（“宗泸杯”竞赛试题）解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.【例5】 （1的最小值.（2的最小值.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：对于（1）的几何意义是直角边为a ，b 的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2），设y =，设A （x ，0），B (4，5)，C (2，3)相当于求AB ＋AC 的最小值，以下可用对称分析法解决.方法精髓：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式.【例6】 设2)m a =≤≤，求1098747m m m m m +++++-的值.解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值.能力训练A级1.化简：7()3“希望杯”邀请赛试题）2.若x y x y+=-=，则xy＝_____(北京市竞赛试题)3.+（“希望杯”邀请赛试题）4.若满足0＜x＜y=x，y）是_______（上海市竞赛试题）5.2x－3，则x的取值范围是（）A.x≤1B. x≥2C. 1≤x≤2D. x＞06）A．1B C. D. 5（全国初中数学联赛试题）7．a，b，c为有理数，且等式a+=成立，则2a＋999b＋1001c的值是（）A．1999 B. 2000 C. 2001D. 不能确定（全国初中数学联赛试题）8、有下列三个命题甲：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ+-是无理数；乙：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ-+是无理数；丙：若α，β其中正确命题的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个（全国初中数学联赛试题）9、化简：（1（2（3（4（天津市竞赛试题）（5（“希望杯”邀请赛试题）10、设52x=，求代数式(1)(2)(3)(4)x x x x++++的值.（“希望杯”邀请赛试题）117x=，求x的值.12、设x x ==（n 为自然数），当n 为何值，代数式221912319x xy y ++的 值为1985？B 级1.已知3312________________x y x xy y ==++=则. (四川省竞赛试题)2.已知实数x ，y 满足(2008x y =，则2232332007x y x y -+--＝＿＿＿＿（全国初中数学联赛试题）3.已知42______1x x x ==++2x 那么. （重庆市竞赛试题）4.a =那么23331a a a ++＝＿＿＿＿＿. （全国初中数学联赛试题）5. a ，b 为有理数，且满足等式14a +=++则a ＋b ＝（ ）A .2B . 4C . 6D . 8(全国初中数学联赛试题)6． 已知1,2a b c ===，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ）.Aa b c << B . b ＜a ＜c C . c ＜b ＜c D . c ＜a ＜b(全国初中数学联赛试题)7.=） A . 1a a -B .1a a - C . 1a a+ D . 不能确定 8. 若[a ]表示实数a 的整数部分，则等于（ ）A .1B .2C .3D . 4（陕西省竞赛试题）9． 把(1)a - ）A .B C. D .（武汉市调考题）10、化简：（1 （“希望杯”邀请赛试题）（210099++（新加坡中学生竞赛试题）（3（山东省竞赛试题）（4 （太原市竞赛试题）11、设01,x << 1≤<.（“五羊杯”竞赛试题）12的最大值.13、已知a , b , c为有理数，证明：222a b c a b c ++++为整数.专题02 从求根公式谈起阅读与思考一元二次方程是解数学问题的重要工具，在因式分解、代数式的化简与求值，应用题，各种代数方程，几何问题、二次函数等方面有广泛的应用.初学一元二次方程，需要注意的是： 1、熟练求解解一般形式的一元二次方程，因式分解法是基础，它体现了“降次求解”的基本设想，公式法具有一般性，是解一元二次方程的主要方法，对于各项系数较大的一元二次方程，可以先从分析方程的各项系数特征入手，通过探求方程的特殊根来求解，常用的两个结论是：① 若0=++c b a ，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有一根为1. ② 若0=+-c b a ，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有一根为1-.2、善于变形解有些与一元二次方程相关的问题时，直接求解常给解题带来诸多不便，若运用整体思想，构造零值多项式，降次变形等相关思想方法，则能使问题获得简解.思想精髓一元二次方程的求根公式为1,22b x a-±=这个公式形式优美，内涵丰富：① 公式展示了数学的抽象性，一般性与简洁美； ② 公式包含了初中阶段所学过的全部六种代数运算；③ 公式本身回答了解一元二次方程的全部的三个问题，方程有没有实数根？有实根时共有几个？如何求出实根？例题与求解例1 阅读下列的例题解方程： 2||20x x --=解：①当x ≥0时，原方程化为220x x --=，解得122,1x x ==-(舍)① 当0<x 时，原方程化为220x x +-=，解得11=x (舍)，22-=x 请参照例题解方程：2|3|30x x ---=，则方程的根是＿＿＿＿（晋江市中考试题）解题思路：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解.例2 方程2|1|(42)x x -=-+的解的个数为（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个（全国初中数学联赛试题）解题思路：通过去绝对值，将绝对值方程转化为一元二次方程求解.例3 已知m ，n 是二次方程2199970x x ++=的两个根，求22+19986)(20008)m m n n +++（的值.（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：若求出m ，n 值或展开待求式，则计算繁难，由方程根的定义可得关于m ，n 的等式，不妨从变形等式入手.反思：一元二次方程常见的变形方法有：①把20(0)ax bx c a ++=≠变形为2ax bx c =--②把20(0)ax bx c a ++=≠变形为2ax bx c +=-③把20(0)ax bx c a ++=≠变形为cax b x+=- 其中①②体现了“降次”代换的思想；③则是构造倒数关系作等值代换. 例4 解关于x 的方程：2(1)(21)30m x m x m -+-+-=解题思路：因未指明关于x 的方程的类型，故首先分01=-m 及1-m ≠0两种情况，当1-m ≠0时，还考虑就24b ac -的值的三种情况加以讨论.例5 已知三个不同的实数a ，b ，c 满足3=+-c b a ,方程012=++ax x 和02=++c bx x ，有一个相同的实根，方程02=++a x x 和02=++b cx x 也有一个相同的实根，求a ，b ，c 的值.解题思路：这是一个一元二次方程有公共根的问题，可从求公共根入手.方法指导：公共根问题是一元二次方程常见问题，解这类问题的基本方法是： ①若方程便于求出简单形式的根，则利用公共根相等求解. ②设出公共根，设而不求，消去二次项.例6 已知a 是正整数，如果关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根.（全国初中数学联赛试题） 解题思路：本题有两种解法，由方程系数特点发现1为隐含的根，从而将试题进行降次处理，或变更主元，将原方程整理为关于a 的较低次数的方程.能力训练 A 级1、已知方程062=+-q x x 可以配成()72=-p x 的形式，那么262=+-q x x 可以配成＿＿＿＿＿_________的形式.（杭州市中考试题）2、若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于＿＿＿＿.（天津市中考试题）3、设方程2199319940,x x +-=和2(1994)1993199510x x -⋅-=的较小的根分别为α，β，则βα⋅＝＿＿＿.4、方程2|45|62x x x +-=-的解应是＿＿＿＿（上海市竞赛试题） 5、方程23(1)1x x x ++-=的整数解的个数是＿＿＿＿.A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个（山东省选拔赛试题）6、若关于x 的一元二次方程22(1)5320m x x m m -++-+=的常数项为0，则m 的值等于（ ） A 、1 B 、2 C 、1或2 D 、0（德州市中考试题）7、已知a , b 都是负实数，且1110a b a b+-=-，那么ba 的值是（ ）A 、12+ B 、12- C 、12- D 、12+- （江苏省竞赛试题）8、方程2||10x x --=的解是（ ）A 、12± B 、12- C 、12±或12- D 、12-± 9、已知a 是方程2199910x x -+=的一个根，求22199919981a a a -++的值.10、已知2410a a ++=且42321322a ma a ma a--=++，求m 的值. （荆州市竞赛试题）11、是否存在某个实数m ，使得方程220x mx ++=和220x x m ++=有且只有一个公共根？如果存在，求出这个实数m 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由.12、已知关于x 的方程2(4)(8)(8012)320k k x k x ----+=的解都是整数，求整数k 的值.B 级1、已知α、β是方程2(2)10x m x +-+=的两根，则22(1)(1m )m ααββ++++的值为＿＿＿ 2、若关于x 的方程20x px q ++=与20x qx p ++=只有一个公共根，则1999(p q)+＝＿＿＿3、设a , b 是整数，方程20x ax b ++=，则b a +=_________(全国通讯赛试题)4、用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程22[]30x x --=解的个数为（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 5、已知1||1a a-=，那么代数式1||a a +=（ ）A 、2 B 、2- C 、 D 6、方程||3||20x x x -+=的实根的个数为（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个7、已知2519910x x --=，则代数式42(2)(1)1(1)(2)x x x x -+----的值为（ ）A 、1996B 、1997C 、1998D 、19998、已知三个关于x 的一元二次方程2220,0,0ax bx c bx cx a cx ax b ++=++=++=恰有一个公共实根，则222a b c bc ca ab++的值为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3（全国初中数学联赛试题）9、已知x =，求4322621823815x x x x x x --++-+的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题）10、设方程2|21|40x x ---=，求满足该方程的所有根之和.（重庆市竞赛试题）11、首项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++= ①及222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++= ②（其中a ， b 为正整数）有一个公共根，求b ab aa b a b --++的值.（全国初中数学联赛试题）12、小明用下面的方法求出方程30=的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，专题04 根与系数关系阅读与思考根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的．韦达定 理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在： 1．求方程中字母系数的值或取值范围； 2．求代数式的值；3．结合根的判别式，判断根的符号特征； 4．构造一元二次方程； 5．证明代数等式、不等式．当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找 到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足判别式△≥0．例题与求解【例1】设关于x 的二次方程22(4)(21)10m x m x -+-+=(其中m 为实数)的两个实数根的倒数和为s ，则s 的取值范围是_________.【例2】 如果方程2(1)(2)0x x x m --+=的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数m 的取值范围是_________.A ．01m ≤≤B ．34m ≥C ．314m <≤D ．314m ≤≤【例3】已知α，β是方程2780x x -+=的两根，且αβ>．不解方程，求223βα+的值．【例4】 设实数,s t 分别满足22199910,99190s s t t ++=++=并且1st ≠，求41st s t++的值．【例5】（1）若实数,a b 满足258a a +=，258b b +=，求代数式1111b a a b --+--的值； （2）关于,,x y z 的方程组32236x y z axy yz zx ++=⎧⎨++=⎩有实数解(,,)x y z ，求正实数a 的最小值；（3）已知,x y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2266x y xy +=，求432234x x y x y xy y ++++的值．【例6】 ,,a b c 为实数，0ac <0++=，证明一元二次方程20ax bx c ++=有大于1的根．能力训练A 级1．已知m ，n 为有理数，且方程20x mx n ++=有一个根是52-，那么m n += ．2．已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为 ． 3．当m = 时，关于x 的方程228(26)210x m m x m -+-+-=的两根互为相反数； 当 时，关于x 的方程22240x mx m -+-=的两根都是正数；当 时，关于m 的方程23280x x m ++-=有两个大于2-的根．4．对于一切不小于2的自然数n ．关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两根记为,n n a b (2)n ≥则223320072007111(2)(2)(2)(2)(2)(2)a b a b a b +++=------ ．5．设12,x x 是方程222(1)(2)0x k x k -+++=的两个实根，且12(1)(1)8x x ++=，则k 的值为（ ）A ．31-或B ．3-C ．1D ．12k ≥的一切实数 6．设12,x x 是关于x 的一元二次方程22x x n mx ++-=的两个实数根，且1210,30x x x <-<，则 （ ） A ．12m n >⎧⎨>⎩ B ．12m n >⎧⎨<⎩ C ．12m n <⎧⎨>⎩ D ．12m n <⎧⎨<⎩7．设12,x x 是方程220x x k +-=的两个不等的实数根，则22122x x +-是（ ）A ．正数B ．零C ．负数D ．不大于零的数8．如图，菱形ABCD 的边长是5，两对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，那么m 的值是（ ）A ．3-B ．5C ．53-或D ．53-或9．已知关于x 的方程：22(2)04m x m x --=． （1）求证：无论m 取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若这个方程的两个根是12,x x ，且满足212,x x =+求m 的值及相应的12,x x ．10．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程2430kx x +-=的两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）是否存在这样的实数k ，使12123222x x x x +-=成立？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．11．如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，过C 点作CD ⊥AB 于D ，设AD ＝m ，BD ＝n ，且AC 2：BC 2＝2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值．DBAC12．已知,m n 是正整数，关于x 的方程2()0x mnx m n -++=有正整数解，求,m n 的值．B 级1．设1x ，2x 是二次方程032=-+x x 的两根，则3212419x x -+= ．2．已知1ab ≠，且有25199580a a ++=及28199550b b ++=则ab= ． 3．已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=的两个实数根是12,x x ，且221224x x +=，则k = ．4．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程22x ax a ++=的两个实数根，则1221(2)(2)x x x x --的最大值为 ．5．如果方程210x px ++=（p ＞0）的两根之差为1，那么p 等于（ ）A ．2B ．4CD 6．已知关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12,x x ，且22127x x +=，则212()x x -的值是 ( )A ．1B ．12C ．13D ．257．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是 ( ) A ．23 B ．25C ．5D ．2 8．设213a a +=，213b b +=且a b ≠，则代数式2211a b+的值为（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．119．已知,a b 为整数，a b >，且方程233()40x a b x ab +++=的两个根,αβ满足关系式(1)(1)(1)(1)ααββαβ+++=++．试求所有整数点对(,)a b ．10．若方程2310x x ++=的两根,αβ也是方程620x px q -+=的两根，其中,p q 均为整数，求,p q 的值．11.设,a b 是方程2310x x -+=的两根，c ，d 是方程2420x x -+=的两根，已知a b c dM b c d c d a d a b a b c+++=++++++++．求证：（1）222277a b c d M b c d c d a d a b a b c +++=-++++++++； （2）33334968a b c d M b c d c d a d a b a b c+++=-++++++++．12．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的一元二次方程222(2)310x m x m m +-+-+=有两个不相等实数根12,x x ．（1）若22126x x +=，求m 的值；（2）求22121211mx mx x x +--的最大值．13．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值．专题06 转化与化归----特殊方程、方程组阅读与思考特殊方程、方程组通常是指高次方程（组）（次数高于两次）、结构巧妙而富有规律性的方程、方程组.降次与消元是解特殊方程、方程组的基本策略，而降次与消元的常用方法是： 1、因式分解； 2、换元； 3、平方； 4、巧取倒数；5、整体叠加、叠乘等.转化是解各类特殊方程、方程组的基本思想，而化归的途径是降次与消元，而化归的方向是一元二次方程，这也可以说是“九九归宗”.例题与求解【例1】已知方程组⎩⎨⎧=+=+233522y x y x 的两组解是),(11y x 与),(22y x ，则1221y x y x +的值是_______ （北京市竞赛题）解题思路：通过消元，将待求式用同一字母的代数式表示，运用根与系数的关系求值.【例2】方程组⎩⎨⎧=+=+2363yz xz yz xy 的正整数解的组数是（ ）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组解题思路:原方程组是三元二次，不易消元降次，不妨从分析常数的特征入手．【例3】 解下列方程:（1） 42)113(1132=+-++-x xx x x x ； （“祖冲之杯”邀请赛试题） （2）121193482232222=+-++-++x x x x x x x x ； （河南省竞赛试题） （3） 1)1998()1999(33=-+-x x ； （山东省竞赛试题） （4） 222222)243()672()43(+-=+-+-+x x x x x x （“祖冲之杯”邀请赛试题） 解题思路：注意到方程左边或右边项与项的结构特点、内在联系，利用换元法求解.【例4】 解下列方程组:（1） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+-+;612,331y y x y x y x （山东省竞赛试题）（2） ⎩⎨⎧=++=++;2454,144)53)(1(2y x x y x x x （西安市竞赛试题）（3） ⎩⎨⎧+-=+-=.23,23232232y y y x x x x y （全苏数学奥林匹克试题） 解题思路：观察发现方程组中两个方程的特点和联系，用换元法求解或整体处理.【例5】 若关于x 的方程xkx x x x x k 1122+=---只有一个解（相等的解也算一个）.试求k 的值与方程的解.（江苏省竞赛试题）【例6】 方程02006322=+++-y x xy x 的正整数解有多少对？解题思路：确定主元，综合利用整除及分解因式等知识进行解题.能力训练A 级1．方程1)1(3)1(222=+-+xx x x 的实数根是_____________. 2．()()()22222224367243+-=+-+-+x xx x x x ，这个方程的解为x =_________________.3．实数z y x ,,满足⎩⎨⎧=+-+-=,0223,362z xy y x y x 则zy x +2的值为_______________.（上海市竞赛题） 4． 设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0,0,01222b ax x a x bx bx ax 有实数解，则.________1=++b a（武汉市选拔赛试题）5．使得()()()()7823142222+-++=--x x x x x x 成立的x 的值得个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个（“五羊杯”竞赛试题）6．已知方程组⎩⎨⎧=-=+1,22z xy y x 有实数根，那么它有（ ）A ．一组解B ．二组解C ．三组解D ．无数组解（“祖冲之杯”邀请赛试题） 7．设a a 312=+，b b 312=+且b a ≠，则代数式2211b a +的值为（ ）A ．5B ．7C ．9D ．11 8．已知实数y x ,满足20,922=+=++xy y x y x xy ，则22y x +的值为（ ）A ．6B ．17C ．1D ．6或179．已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧=-+=-222)(3,p y x p xy p y x 有整数解()y x ,，求满足条件的质数p .10．已知方程组⎩⎨⎧=+-=++-01,022y x a y x 的两个解为⎩⎨⎧==,,11y y x x ⎩⎨⎧==,,22y y x x 且21,x x 是两个不等的正数.（1）求a 的取值范围；（2）若116832212221--=-+a a x x x x ，试求a 的值.（南通市中考试题）11．已知b a ,是方程012=--t t 的两个实根，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=++=+.1,1y ayb x x b ya x（“祖冲之杯”邀请赛试题）12．已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实数根为q p ,，且满足关系式()⎩⎨⎧=+=++,6,5122pq q p p q p 试求这个一元二次方程.（杭州市中考试题）B 级1．方程组⎪⎩⎪⎨⎧==++++=++43251z y x z y x z y x 的解是___________________.2．已知x x x x x 71357139722=+-+++，则x 的值为______________.（全国初中数学联赛试题）3．已知实数00,y x 是方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==11x y xy 的解，则._________00=+y x （全国初中数学联赛试题）4．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=3411,9y xxy 的解是_________________. （“希望杯”邀请赛试题）5．若二元二次方程组()⎩⎨⎧+-==-12,122x k y y x 有唯一解，则k 的所有可能取值为______________. （《学习报》公开赛试题）6．正数654321,,,,,x x x x x x 同时满足1165432=x x x x x x ，2265431=x x x x x x ，3365421=x xx x x x ，4465321=x x x x x x ，6564321=x x x x x x ，9654321=x xx x x x . 则654321x x x x x x +++++的值为________.（上海市竞赛试题）7．方程06623=+--x x x 的所有根的积是（）A ．3B ．-3C ．4D ．-6E ．以上全不对（美国犹他州竞赛试题）8．设y x ,为实数，且满足()()()()⎩⎨⎧=-+--=-+-,1119991,111999133y y x x 则=+y x （ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2（武汉市选拔赛试题）9．已知⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=,3,2,1222z y x z y x xyz 则111111-++-++-+y zx x yz z xy 的值为（ ）A ．1B ．21-C ．2D ．32-10．对于实数a ，只有一个实数值x 满足等式012211112=-++++-+-+x a x x x x x ，试求所有这样的实数a 的和.（江苏省竞赛试题）11．解方程a x x x x =--+-+1212，其中0>a ，并就正数a 的取值，讨论此方程解的情况.（陕西省竞赛试题）12．已知c b a ,,三数满足方程组⎩⎨⎧=+-=+,4828,82c c ab b a 试求方程02=-+a cx bx 的根. （全国初中数学联赛试题）13．解下列方程（组）：（1）()1639322=-+x x x ； （武汉市竞赛试题）（2）()()()6143762=+++x x x ；（湖北省竞赛试题）（3）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+,414,414,414222222x z z z y y y x x （加拿大数学奥林匹克竞赛试题）专题08 二次函数阅读与思考二次函数是初中代数的重要内容，既有着应用非常广泛的丰富性质，又是进一步学习的基础，主要知识与方法有：1.二次函数解析式c bx ax y ++=2的系数符号，确定图象的大致位置.2.二次函数的图象是一条抛物线，抛物线的形状仅仅与a 有关，a b 2-与（ab2-，a b ac 442-）决定抛物线对称轴与顶点的位置.3.二次函数的解析式通常有下列三种形式： ①一般式：c bx ax y ++=2； ②顶点式n m x a y +-=2)(：；③交点式：))((21x x x x a y --=，其中1x ，2x 为方程02=++c bx ax 的两个实根. 用待定系数法求二次函数解析式，根据不同条件采用不同的设法，可使解题过程简捷.例题与求解【例1】 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，现有以下结论：①0>abc ；②c a b +<；③024>++c b a ；④b c 32<；⑤()()1≠+>+m b am m b a .其中正确的结论有（ ）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个 （天津市中考试题）解题思路：由抛物线的位置确定a ，b ，c 的符号，解题关键是对相关代数式的意义从函数角度理解并能综合推理.【例2】 若二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（－1，0），则c b a S ++=的值的变化范围是（ ）A .0＜S ＜1B . 0＜S ＜2C . 1＜S ＜2D . －1＜S ＜1 （陕西省竞赛试题） 解题思路：设法将S 表示为只含一个字母的代数式，求出相应字母的取值范围，进而确定S 的值的变化范围.【例3】 某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）. 在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面3210米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会失误.（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为533米.此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由. （河北省中考试题） 解题思路：对于（2），判断此次跳水会不会失误，关键时求出距池边的水平距离为533米时，该运动员与跳台的垂直距离.【例4】 如图，在直角坐标xOy 中，二次函数图象的顶点坐标为C （4，3-），且在x 轴上截得的线段AB 的长为6.（1）求二次函数的解析式；（2）在y 轴上求作一点P （不写作法），使PA ＋PC 最小，并求P 点坐标；（3）在x 轴的上方的抛物线上，是否存在点Q ，使得以Q ，A ，B 三点为顶点的三角形与△ABC 相似？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由. （泰州市中考试题） 解题思路：对于（1）、（2），运用对称方法求出A ，B ，P 点坐标；对于（3），由于未指明对应关系，需分类讨论.【例5】 如图，已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE ，其中AF ＝2，BF ＝1.试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积. （辽宁省中考试题） 解题思路：设DN ＝PM ＝x ，矩形PNDM 的面积为y ，建立y 与x 的函数关系式. 解题的关键是：最值点不一定是抛物线的顶点，应注意自变量的取值范围.PMF E DNCBA【例6】 将抛物线33:211+-=x y c 沿x 轴翻折，得抛物线2c ，如图所示.（1）请直接写出抛物线2c 的表达式.（2）现将抛物线1c 向左平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A ，B ；将抛物线2c 向右也平移移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D ，E .①当B ，D 是线段AE 的三等分点时，求m 的值；②在平移过程中，是否存在以点A ，N ，E ，M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由. （江西省中考试题） 解题思路：把相应点的坐标用m 的代数式表示，由图形性质建立m 的方程. 因m 值不确定，故解题的关键是分类讨论.能力训练A 级1.已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，则a 的值为__________.2.已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于B ，C 两点，且BC ＝2，ABC S ∆＝3，则b ＝____________. （四川省中考试题）3.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示. （1）这个二次函数的解析式是y ＝_________； （2）当x ＝________时，3=y ；（3）根据图象回答，当x _______时，0>y . （常州市中考试题） 4.已知二次函数的图象经过原点及点（21-，41-），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为_______________. （安徽省中考试题） 5.二次函数c bx ax y ++=2与一次函数c ax y +=在同一坐标系中的图象大致是（ ）A B C D6.由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数c bx x y ++=2的图象过点（1，0）……求证：这个二次函数的图象关于直线2=x 对称，根据现有信息，题中的二次函数图象不具有的性质是（ ）A .过点（3，0）B .顶点是（2，－2）C .在x 轴上截得的线段长度是2D .与y 轴的交点是（0，3） （盐城市中考试题） 7.如图，抛物线c bx ax y ++=2与两坐标轴的交点分别是A ，B ，E ，且△ABE 是等腰直角三角形，AE ＝BE ，则下列关系式不能总成立的是（ ） （大连市中考试题）A .0=bB . 2c S ABE =∆ C .1-=ac D .0=+c a第7题图 第8题图 8.如图，某中学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米处高各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为（精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计）（ ）A .9.2米B .9.1米C .9米D .5.1米 （吉林省中考试题）9.如图，是某防空部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图. 在地面O ，A 两个观测点测得空中固定目标C 的仰角分别为α和β，OA ＝1千米，tan α＝289, tan β＝83,位于O 点正上方35千米D点处的直升机向目标C 发射防空导弹，该导弹运行到达距地面最大高度3千米时，相应的水平距离为4千米（即图中E 点）.（1）若导弹运行为一抛物线，求抛物线的解析式；（2）说明按（1）中轨道运行的导弹能否击中目标的理由.（河北省中考试题）10.如图，已知△ABC 为正三角形，D ，E 分别是边AC 、BC 上的点（不在顶点），∠BDE ＝60°. （1）求证：△DEC ∽△BDA ；（2）若正三角形ABC 的边长为6，并设DC ＝x ，BE ＝y ，试求出y 与x 的函数关系式，并求BE 最短时，△BDE 的面积.CEDBA11.如图，在平面直角坐标系中，OB ⊥OA 且OB ＝2OA ，点A 的坐标是（－1，2）. （1）求点B 的坐标；（2）求过点A ，O ，B 的抛物线的解析式；（3）连结AB ，在（2）中的抛物线上求出点P ，使ABO ABP S S ∆∆=.(陕西省中考试题)12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线n mx x y ++=2经过点A （3，0），B （0，－3）两点，点P 是直线AB 上一动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M .设点P 的横坐标为t ；（1）分别求直线AB 和这条抛物线的解析式；（2）若点P 在第四象限，连结BM ，AM ，当线段PM 最长时，求△ABM 的面积；（3）是否存在这样的点P ，使得以点P ，M ，B ，O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由. （南宁市中考试题）B 级1.已知二次函数c x x y +-=62的图象顶点与坐标原点的距离为5，则c ＝________.2.如图，四边形ABCD 是矩形，A ，B 两点在x 的正半轴上，C ，D 两点在抛物线x x y 62+-=上.设OA 的长为m (0＜m ＜3).矩形ABCD 的周长为l ，则l 与m 的函数解析式为__________________.（昆明市中考试题）第2题图 第3题图 第4题图3.如图，在⊙O 的内接△ABC 中，AB ＋AC ＝12，AD ⊥BC ，垂足为D （点D 在边BC 上），且AD ＝3，当AB 的长等于________时, ⊙O 的面积最大，最大面积为___________.4.如图，已知二次函数)0(21≠++=a c bx ax y 与一次函数)0(2≠+=k m kx y 的图象相交于点A （－2，4），B （8，2），则能使21y y >成立的x 的取值范围时______________. (杭州市中考试题) 5.已知函数c bx ax y ++=2的图象如下图所示，则函数c ax y +=的图象只可能是（ ）（重庆市中考试题）A B C D6.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列6个代数式：ab ，ac ，c b a ++，c b a +-，b a +2，b a -2中，其值为正的式子个数为 ( )A .2个B .3个C .4个D .4个以上 （全国初中数学联赛试题）7.已知抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）的对称轴是2=x ，且经过点P (3,0)则c b a ++的值为（ ） A .－1 B .0 C .1 D .2 8.已知二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的对称轴是2=x ，且当0,,2321===x x x π时，二次函数y 的值分别时321,,y y y ，那么321,,y y y 的大小关系是（ ）A . 321y y y >>B . 321y y y <<C . 312y y y <<D . 312y y y >>9.已知抛物线4)343(2++-=x m mx y 与x 轴交于两点A ，B ，与y 轴交于C 点，若△ABC 是等腰三角形，求抛物线的解析式. （“新世纪杯”初中数学竞赛试题） 10.如图，已知点M ，N 的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P 是抛物线241x y =上的一个动点. （1）判断以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线1-=y 的位置关系； （2）设直线PM 与抛物线241x y =的另一个交点为Q ，连结NP ，NQ ，求证：∠PNM ＝∠QNM . （全国初中数学竞赛试题）11.已知函数122--=x x y 的图象与x 轴相交于相异两点A ，B ，另一抛物线c bx ax y ++=2过点A ，B ，顶点为P ，且△APB 是等腰直角三角形，求a ，b ，c 的值. （天津市竞赛试题）12.如图1，点P 是直线22:--=x y l 上的点，过点P 的另一条直线m 交抛物线2x y =于A ，B 两点.（1）若直线m 的解析式为2321+-=x y ，求A ，B 两点的坐标； （2）如图2，①若点P 的坐标为（－2，t ），当PA ＝AB 时，请直接写出点A 的坐标；②试证明：对于。
2012年明师教育秋季六年级数学(下册)保证班专用教材终
广州明师教育机构数学2012年秋季班六年级保证班（下册）广州明师教育机构出版目录第九讲圆的认识与周长 (3)第十讲圆的面积与综合练习 (9)第十一讲百分数 (16)第十二讲浓度与利润专项练习 (23)第十三讲折扣、利率、纳税 (30)第十四讲统计与数学广角 (36)第十五讲附加-期末考试模拟题 (41)第九讲圆的认识与周长修炼目标：1．掌握圆各部分特征与关系2．掌握圆周长公式的实际生活应用3．能解决“操场问题”有关周长的计算修炼重点：周长公式的灵活处理与应用修炼难点：理解操场问题中关于半径的变化而造成周长的变化九阴真经：① C＝πd＝2πr；π≈3.14（圆周率≠3.14，π＞3.14）②半圆周长公式＝πr＋2r＝πr＋d经典招式：1．如果圆的半径扩大2倍，那么圆的直径扩大（）倍，那么圆的周长扩大（）倍。
见招拆招：只要能牢记半径，直径和周长之前的变化关系，则能快速完成。
2．一条小巷长米，小明在小巷上滚铁环，铁环直径为30厘米，从小巷的一端滚到另一端，铁环要转多少圈？见招拆招：题目是通过圆的周长与路程，圈数的数量关系进行计算得出答案，注意圆的周长的公式变化，并且在实际生活题目中，有时要注意“进一”和“去尾”的一些特殊问题。
3．用一条长20米的绳子围绕一棵树干绕了6圈，还余下米，这可树干上的直径大约是多少米？见招拆招：先确定圆的周长是多少，再通过公式逆运算求出直径。
葵花宝典：一、我会填1．★画圆时，（ ）决定圆的位置，（ ）决定圆的大小。
2．★用圆规画一个周长是18.84厘米的圆，那么圆规两脚之间的距离应是（ ）厘米。
3．★圆的（ ）和（ ）的比值，就是圆周率，用字母（ ）表示，它是一个（ ）的小数。
4．★★长方形有（ ）条对称轴；正方形有（ ）条对称轴；圆有（ ）条对称轴；正三角形有（ ）条对称轴。
5．★★把一个圆平均分成若干份后，能够拼成一个近似于长方形的图形，这个长方形的长相当于圆周长的（ ），宽相当于圆的（ ）。
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第十章 §10.4 事件的相互独立性与条件概率、全概率公式
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第十章§10.4 事件的相互独立性与条件概率、全概率公式1.了解两个事件相互独立的含义.2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率.第一部分 落实主干知识第二部分 探究核心题型课时精练第一部分落实主干知识1.相互独立事件P(A)P(B)(1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.B2.条件概率(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.(2)两个公式①利用古典概型：P(B|A)＝；P(A)P(B|A)②概率的乘法公式：P(AB)＝ .(3)条件概率的性质条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设P (A )>0，则①P (Ω|A )＝；②如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝ .③设 和B 互为对立事件，则P ( |A )＝ .1P (B |A )＋P (C |A )1－P (B |A )3.全概率公式一般地，设A1，A2，…，A n是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪A n ＝Ω，且P(A i)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝.常用结论1.如果事件A1，A2，…，A n相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n).2.*贝叶斯公式：设A1，A2，…，A n是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪A n＝Ω，且P(A i)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，自主诊断1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立.( )(2)P (B |A )表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，P (AB )表示事件A ，B 同时发生的概率.( )(3)抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”为事件A ，“第二枚正面朝上”为事件B ，则A ，B 相互独立.( )(4)若事件A 1与A 2是对立事件，则对任意的事件B ⊆Ω，都有P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2).( )×√√√√设“甲独立地破解出谜题”为事件A，“乙独立地破解出谜题”为事件B，3.(选择性必修第三册P46例1改编)在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现不放回地从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是√4.智能化的社区食堂悄然出现，某社区有智能食堂A，人工食堂B，居民甲第一天随机地选择一食堂用餐，如果第一天去A食堂，那么第二天去A食堂的概率为0.6；如果第一天去B食堂，那么第二天去A食堂的概率为0.550.5，则居民甲第二天去A食堂用餐的概率为________.由题意得，居民甲第二天去A食堂用餐的概率P＝0.5×0.6＋0.5×0.5＝0.55.返回第二部分探究核心题型命题点1 事件相互独立性的判断例1 (多选)(2024·滁州模拟)已知A ，B 为两个随机事件，且P (A )＝0.4，P (B )＝0.6，则A.P (A ＋B )<1B.若A ，B 为互斥事件，则P (AB )＝0C.若P (AB )＝0.24，则A ，B 为相互独立事件题型一 相互独立事件的概率√√√若A，B为互斥事件，又P(A)＋P(B)＝1，则A∩B＝∅且A＋B＝Ω，故P(A＋B)＝1，P(AB)＝0，故A错误，B正确；若P(AB)＝0.24，即P(AB)＝P(A)P(B)，故A，B为相互独立事件，故C 正确；命题点2 相互独立事件的概率例2 (多选)(2023·新高考全国Ⅱ)在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1,0,1，则译码为1).A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的概率为 (1－α)(1－β)2B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1,0,1的概率为β(1－β)2C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3D.当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用 单次传输方案译码为0的概率√√√对于A，依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1这3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为(1－β)(1－α)(1－β)＝(1－α)(1－β)2，故A正确；对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1,1,1，则依次收到1,0,1的事件是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1这3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为(1－β)β(1－β)＝β(1－β)2，故B正确；对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1,1,0；1,0,1；0,1,1和1,1,1这4个事件的和，对于D，三次传输，发送0，则译码为0的概率P＝(1－α)2(1＋2α)，单次传输发送0，则译码为0的概率P′＝1－α，而0<α<0.5，因此P－P′＝(1－α)2(1＋2α)－(1－α)＝α(1－α)(1－2α)>0，即P>P′，故D正确.概率问题中的递推数列在概率与统计的问题中，经常会出现概率统计与数列综合考查的问题，一般以压轴题的形式出现.主要有四种类型：(1)a n＝pa n－1＋q型；(2)a n＋1＝pa n＋f(n)型；(3)a n＋1＝a n f(n)型；(4)a n＋1＝pa n＋qa n－1型.典例 (多选)甲、乙、丙三人玩传球游戏，持球人把球传给另外两人中的任意一人是等可能的.从一个人传球到另一个人称传球一次.若传球开始时甲持球，记传球n次后球仍回到甲手里的概率为P n，则下列结论正确的是√√√A选项，第一次传球后到乙或丙手里，故P1＝0，思维升华求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积.(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算.跟踪训练1 (1)(多选)甲、乙两个口袋中装有除了编号不同以外其余完全相同的号签.其中，甲袋中有编号为1,2,3的三个号签；乙袋有编号为1,2,3,4,5,6的六个号签.现从甲、乙两袋中各抽取1个号签，从甲、乙两袋抽取号签的过程互不影响.记事件A：从甲袋中抽取号签1；事件B：从乙袋中抽取号签6；事件C：抽取的两个号签和为3；事件D：抽取的两个号签编号不同.则下列选项中，正确的是√√√对于B，样本点为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共18种，(2)某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制(有球队先胜三局则比赛结束).第一局独孤队获胜概率为0.4，独孤队发挥受情绪影响较大，若前一局获胜，下一局获胜概率增加0.1，反之降低0.1.则独0.236孤队不超过四局获胜的概率为________.设A i(i＝1,2,3,4)为独孤队第i局取胜，＝0.4×0.5×0.6＋0.4×0.5×0.4×0.5＋0.4×0.5×0.4×0.5＋0.6×0.3×0.4×0.5＝0.236.题型二 条件概率命题点1 条件概率例3 2023年8月31日贵南高铁实现全线贯通运营，我国西南和华南地区新增一条交通大动脉，黔桂两地间交通出行更加便捷、西南与华南地区联系将更加紧密.贵南高铁线路全长482公里，设计时速350公里，南宁东到贵阳东旅行时间由原来的5个多小时缩短至最快2小时53分.贵阳某调研机构调查了一个来自南宁的旅行团对贵阳两种特色小吃肠旺面和丝娃娃的喜爱情况，了解到其中有的人喜欢吃肠旺面，有的人喜欢吃丝娃娃，还有的人既不喜欢吃肠旺面也不喜欢吃丝娃娃.在已知该旅行团一游客喜欢吃肠旺面的条件下，他还喜欢吃丝娃娃的概率为√设喜欢吃肠旺面为事件A，喜欢吃丝娃娃为事件B，喜欢吃肠旺面或喜欢吃丝娃娃为事件A∪B，既喜欢吃肠旺面又喜欢吃丝娃娃为事件A∩B，命题点2 条件概率性质的应用√√因为A，B是互斥事件，P(AB)＝0，则根据条件概率公式P(B|A)＝0，而P(B)∈(0,1)，故D错误.命题点3 乘法公式的应用例5 经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.那么该射击运动员两次均击中9环的概率为√A.0.24B.0.36C.0.48D.0.75设该射击运动员“第一次击中9环”为事件A，“第二次击中9环”为事件B，由题意得P(A)＝0.6，P(B|A)＝0.8，所以该射击运动员两次均击中9环的概率为P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.6×0.8＝0.48.思维升华求条件概率的常用方法(3)缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解.跟踪训练2 (1)(多选)甲盒子中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙盒子中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲盒子中随机取出一球放入乙盒子，分别以A1，A2和A3表示由甲盒子取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙盒子中随机取出一球，以B表示由乙盒子取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是√√A选项，根据题意A1∩A2＝∅，A2∩A3＝∅，A1∩A3＝∅，故由互斥事件的定义可得A1，A2，A3两两互斥，故A正确；故P(B)＝P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)＋P(B|A3)P(A3)故P(B)P(A1)≠P(BA1)，所以事件B与事件A1不相互独立，故C错误.(2)(2023·北京模拟)从－2，－1,1,2,3这5个数中任取2个不同的数，记“两数之积为正数”为事件A，“两数均为负数”为事件B.则P(B|A)＝_____.题型三 全概率公式的应用例6 (1)(2024·银川模拟)长白飞瀑，高句丽遗迹，鹤舞向海，一眼望三国，伪满皇宫，松江雾凇，净月风光，查干冬捕，是著名的吉林八景.某人打算到吉林旅游，冬季来的概率是，夏季来的概率是，如果冬季来，则看不到长白飞瀑、鹤舞向海和净月风光，若夏季来，则看不到松江雾凇和查干冬捕.无论什么时候来，由于时间原因，只能在可去景点当中选择两处参观，则某人去了一眼望三国景点的概率为√设事件A1＝“冬季去吉林旅游”，事件A2＝“夏季去吉林旅游”，事件B＝“去了一眼望三国”，(2)(2023·石嘴山模拟)一堆苹果中大果与小果的比例为9∶1，现用一台水果分选机进行筛选.已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为5%，把小果筛选为大果的概率为2%.经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为√记事件A1：放入水果分选机的苹果为大果，事件A2：放入水果分选机的苹果为小果，记事件B：水果分选机筛选的苹果为“大果”，思维升华利用全概率公式解题的思路(1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件A i(i＝1,2，…，n).(2)求P(A i)和所求事件B在各个互斥事件A i发生条件下的概率P(A i)P(B|A i).(3)代入全概率公式计算.跟踪训练3 (2023·郴州模拟)已知颜色分别是红、绿、黄的三个大小相同的口袋，红色口袋内装有两个红球、一个绿球和一个黄球；绿色口袋内装有两个红球、一个黄球；黄色口袋内装有三个红球、两个绿球(球的大小质地相同).若第一次先从红色口袋内随机抽取1个球，然后将取出的球放入与球同颜色的口袋内，第二次从该口袋内任取一个球，则第二次取到黄球的概率为√。
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25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
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46、寓形宇内复几时，曷不委心任去 留。
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采菊东篱下，悠然见南山。
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48、啸傲东轩下，聊复得此生。
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49、勤学如春起之苗，不见其增，日 有所长 。
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50、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结 ，箪瓢 屡空， 晏如也 。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
著名机构优秀资料初中数学秋季班讲义初二状元别册(52P)
△PAB 的周长取最小值时，∠APB 的度数为（ ）度．
A． 40
B． 60
C． 100
D． 120
4．（2016-2017 南昌三中期中）如图，∠AOB=30°，点 P 为∠AOB 内一点，OP=10，点
M,N 分别在 OA,OB 上，求△PMN 周长的最小值.
12
第二部分 超级挑战
1．如图所示是一个小型的台球桌，四角分别有 A、B、C、D 四个球筐，桌面可以分成 12 个正方形的小区域，如果将在 P 点位置的球，沿着 PQ 的方向击球 Q，那么球 Q 最后落在 _________________筐．
3. 若 a，b，c 是△ABC 的三条边长，化简：|a-b-c|+|b-c-a|+|a+b-c|．
4. 如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D 是 AB 边上一点．通过度量 AB，DC，DB 的长度，
DB + DC
猜想 AB 与
的大小关系并证明．
2
5. 如图，点 P 是任意四边形 ABCD 内一点，求证： AP + BP + CP + DP > 1 ( AB + BC + CD + DA) ．
9
第三章 轴对称的性质与作图
第一部分：补救练习
第一关：轴对称的性质
关卡 1-1 轴对称图形的性质
1. 如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个
球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（ ）
A. 1 号袋
B. 2 号袋
C. 3 号袋
第一部分：补救练习
第一关：证全等模型
2019-2020年人教B版数学选修2-1讲义：第1章+1.3+1.3.1+推出与充分条件、必要条件
1．3充分条件、必要条件与命题的四种形式1．3.1推出与充分条件、必要条件1．充分条件与必要条件(1)当命题“如果p，则q”经过推理证明断定为真命题时，我们就说由p成立可推出q成立，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．这几种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已．(2)若p⇒q，但q p，称p是q的充分不必要条件，若q⇒p，但p q，称p是q的必要不充分条件．思考1：若p是q的充分条件，p是唯一的吗？[提示]不一定唯一，凡是能使q成立的条件都是它的充分条件，如x＞3是x＞0的充分条件，x＞5，x＞10等都是x＞0的充分条件．2．充要条件一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说，p是q的充分且必要条件，简称充要条件．p是q的充要条件，又常说成q当且仅当p，或p与q等价．思考2：若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件吗？[提示]是．因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r，所以p是r的充要条件．1．若α∈R，则“α＝0”是“sin α＜cos α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[当α＝0时，sin α＝0，cos α＝1，∴sin α＜cos α；而当sin α＜cos α时，－3π4＋2kπ＜α＜π4＋2kπ，k∈Z，故“α＝0”是“sin α＜cos α”的充分不必要条件．]2．“x>0”是“3x2＞0”成立的()A．充分条件B．必要条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件A[x>0显然能推出3x2＞0，而3x2＞0⇔|x|＞0⇔x≠0，不能推出x>0，故选A.]3．已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a－c>b－d”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[由a－c>b－d变形为a－b＞c－d，因为c>d，所以c－d>0，所以a－b>0，即a>b，∴a－c＞b－d⇒a＞b.而a>b并不能推出a－c＞b－d.所以a>b是a－c>b－d的必要不充分条件．故选B.]4．命题p：(x－1)(y－2)＝0；命题q：(x－1)2＋(y－2)2＝0，则命题p是命题q的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [命题p ：(x －1)(y －2)＝0⇒x ＝1或y ＝2.命题q ：(x －1)2＋(y －2)2＝0⇒x ＝1且y ＝2.由q ⇒p 成立，而由p q 成立．]A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |的”( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件(3)如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件(1)C (2)C (3)C [(1)设向量a ，b 的夹角为θ，则a·b ＝|a |·|b |cos θ，若|a·b |＝|a||b |⇒cos θ＝±1，则向量a ，b 的夹角θ为0或π，即a ∥b 为真；若a ∥b ，则向量a ，b 的夹角θ为0或π，|a·b |＝|a||b |，所以“|a·b |＝|a||b |”是“a ∥b ”的充要条件．特别地，当向量a 或b 为零向量时，上述结论也成立．故选C.(2)构造函数f (x )＝x |x |，则f (x )在定义域R 上为奇函数．因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，所以函数f (x )在R 上单调递增，所以a ＞b ⇔f (a )＞f (b )⇔a |a |＞b |b |.故选C.(3)设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A 的补集C ＝{(x ，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然C D，所以B A.于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．故选C.]充分条件和必要条件的两种判断方法(1)定义法：可按照以下三个步骤进行①确定条件p是什么，结论q是什么；②尝试由条件p推结论q，由结论q推条件p；③确定条件p和结论q的关系.(2)集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A B，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件.提醒：判断条件之间的充要关系要注意条件之间的语句描述，比如正确理解“p的一个充分不必要条件是q”应是“q推出p，而p不能推出q”.1．指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A＞∠B，q：BC＞AC；(2)对于实数x，y，p：x＋y＝8，q：x＝2且y＝6；(3)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B.[解](1)在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充要条件．(2)因为：x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，但x＋y＝8x＝2且y＝6，所以p是q的必要不充分条件．(3)取∠A＝120°，∠B＝30°，p q，又取∠A＝30°，∠B＝120°，q p，所以p是q的既不充分也不必要条件．n n n 为等比数列的充要条件为q＝－1.[思路探究]充分性：由q＝－1推出{a n}是等比数列；必要性：由{a n}是等比数列推出q＝－1.[证明](1)充分性：当q＝－1时，a1＝p－1，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝p n－1(p－1)，当n＝1时也成立．∵p≠0且p≠1，∴a n＋1a n＝p n(p－1)p n－1(p－1)＝p，即数列{a n}为等比数列．(2)必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝p n－1(p－1)．∵p≠0且p≠1，∴a n＋1a n＝p n(p－1)p n－1(p－1)＝p.∵{a n}为等比数列，∴a2a1＝p.∴p(p－1)p＋q＝p，∴q＝－1，即数列{a n}为等比数列的充要条件为q＝－1.证明“p 是q 的充要条件”时，要分别从“p ⇒q ”和“q ⇒p ”两个方面验证，即要分别证明充分性和必要性两个方面.但是，在表述中要注意两种句式的不同，分清充分性与必要性对应的关系.如证“p 是q 的充要条件”时，充分性是指“p ⇒q ”成立，必要性是指“q ⇒p ”成立.而证“p 成立的充要条件是q ”时，充分性是指“q ⇒p ”成立，必要性是指“p ⇒q ”成立.提醒：在充分性与必要性分别进行证明的试题中，需要分清命题的条件是什么，结论是什么；在一些问题中充分性和必要性可以同时进行证明，即用等价转化法进行推理证明.2．已知A ，B 是直线l 上的任意两点，O 是直线l 外一点，求证：点P 在直线l 上的充要条件是OP →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，且x ＋y ＝1.[证明] ①充分性：若点P 满足OP →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，且x ＋y ＝1，消去y ，得OP →＝xOA →＋(1－x )OB →＝x (OA →－OB →)＋OB →，∴OP →－OB →＝x (OA →－OB →)，即BP →＝xBA →.∴点P 在直线AB 上，即点P 在直线l 上．②必要性：设点P 在直线l 上，则由共线向量基本定理知，存在实数t ，使得AP →＝tAB →＝t (OB →－OA →)，∴OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋tOB →－tOA →＝(1－t )OA →＋tOB →.令1－t ＝x ，t ＝y ，则OP →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，且x ＋y ＝1.1．綈p 是綈q 的必要不充分条件的等价命题是什么？[提示] q 是p 的必要不充分条件．2．如何从集合的角度判断充分条件、必要条件、充要条件？[提示] A B B A B B 的必要条件【例3】 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围．[思路探究] 解出集合P ，把x ∈P 是x ∈S 的必要条件转化为集合间的包含关系，列不等式组求m 的取值范围．[解] 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．[解] 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．在涉及到求参数的取值范围又与充分、必要条件有关的问题时，常常借助集合的观点来考虑.注意推出的方向及推出与子集的关系.提醒：要注意区间端点值的检验.1．思考辨析(1)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( )(2)当p 是q 的充要条件时，也可说成q 成立当且仅当p 成立．( ) (3)若p 是q 的充分不必要条件，则綈p 是綈q 的必要不充分条件． ( )[提示] (1)√ (2)√ (3)√2．设a ，b 是实数，则“a >b ”是“a 2>b 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件D [可采用特殊值法进行判断，令a ＝1，b ＝－1，满足a >b ，但不满足a 2>b 2，即“a >b ”不能推出“a 2>b 2”；再令a ＝－1，b ＝0，满足a 2>b 2，但不满足a >b ，即“a 2>b 2”不能推出“a >b ”．故选D.]3．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是( )A ．m ＝－2B ．m ＝2C ．m ＝－1D ．m ＝1A [当m ＝－2时，f (x )＝x 2－2x ＋1的图象关于x ＝1对称，反之也成立．所以函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝－2.]4．下列命题中是假命题的是________．(填序号)①“x >2且y >3”是“x ＋y >5”的充要条件；②“A ∩B ≠∅”是“A B ”的充分条件；③“b 2－4ac <0”是“ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)的解集为R ”的充要条件；④“sin α<sin β”是“α>β”的充分条件；⑤“M >N ”是“log 2M >log 2N ”的充要条件．①②③④⑤ [当x >2且y >3时，x ＋y >5成立，反之，例如x ＝1，y ＝5，x ＋y >5，但x <2，故①为假命题；当A ＝{1,3}，B＝{1,2}，A ∩B ＝{1}，但A B ，故②为假命题；ax 2＋bx ＋c <0的解集为R 等价于⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝b 2－4ac ＜0，故③为假命题；当0>M >N 时，log 2M ，log 2N 无意义，故⑤为假命题．故填①②③④⑤.]。
2019版文科数学一轮复习高考帮全国版课件第15章数系的扩充与复数的引入(2019高考帮·数文)精选ppt版本
文科数学 第十五章：数系的扩充与复数的引 入
注意 (1)若一个复数是实数,则仅注重虚部等于0是 不够的,还需考虑它的实部是否有意义;(2)一个复数 为纯虚数,不仅要求实部为0,还需要求虚部不为0;(3) 两个不全是实数的复数不能比较大小;(4)复数集、 实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示.
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B考法帮∙题型全突破
考法1 与复数的概念、分类有关的问题 考法2 复数相等与共轭复数 考法3 复数的模 考法4 复数的几何意义 考法5 复数的四则运算
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考法1 与复数的概念、分类有关的问题 考法指导 与复数的概念、分类有关的问题的求解策略 先把复数化为代数形式z=a+bi(a,b∈R),然后列出实部、虚部应满足的方程 (组)或不等式(组)进行求解.
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再见
2019/11/30
5.复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面,叫作复平面.x轴叫作实轴,y轴叫作虚轴.
实轴上的点表示实数;除原点外,虚轴上的点表示纯虚数.
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文科数学 第十五章：数系的扩充与复数的引 入
注意 (1)复平面内虚轴上的单位长度是1,而不是i.(2)互为共轭复数的两个复 数在复平面内所对应的点关于实轴对称.实数和它的共轭复数在复平面内 所对应的点重合,且在实轴上.
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文科数学 第十五章：数系的扩充与复数的引 入
(1) 将复数化简成标准形式 → 由复数相等的充要条件求解 (2) 设出z → 求出z的标准代数形式 →
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1 / 21初数部分1．=∑-∑=-=101111011)1(1i i i 。
A ．100。
B ．101。
C ．102。
D ．103。
E ．410 2. 123246100200300234468200300400⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯ A. 59 B. 29 C. 79 D. 13E. 41 3． 求6000位数111……11（2000个）222……22（2000个）333……33（2000个）被多位数333……33（2000个）除所得商的各个数位上的数字的和为(A) 6002 (B) 5999 (C) 6005 (D) 5996 (E)以上均不正确4． 已知两个自然数的差为48，它们的最小公倍数为60，则这两个数的最大公约数为（A ）10 （B ）12 （C ）15 （D ）20 （E ）305. 已知（a ＋1）2＋（2b －3）2＋1-c =0,求c ab 3＋b c a -的值 （A ）611- （B ）-2 （C ）611 （D ）2 （E ）311- 6． 已知a 、b 为正实数，满足230b ab a ++=，则1ab的最小值为 （A ）118 （B ）19 （C ）12（D ）1 （E ）无最小值 7.已知函数错误！未找到引用源。
的图象恒过定点错误！未找到引用源。
，且点错误！未找到引用源。
在直线错误！未找到引用源。
上，若错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
的最小值为A.8B.9C.7D.11E.108． 一名外国游客到北京旅游。
他要么上午出去游玩，下午在旅馆休息；要么上午休息，下午出去游玩，而下雨天他只能一天都呆在旅馆里。
期间，不下雨的天数是12天，上午呆在旅馆的天数为8天，下午呆在旅馆的天数为12天，他在北京共呆了（A ）24天 （B ）22天 （C ）20天 （D ）16天 （E ）以上结论均不正确9． 某公司2004年的年利润为1000万元，2006年的年利润为1320万元。
已知2005年的年利润比上一年增长的百分率是2006年的年利润比上一年增长的百分率的一半。
则2006年的年利润比上一年增长的百分率为(A)10% (B)12% (C)18% (D)20% (E)22%10. 房间内有凳子和椅子若干个，每个凳子有3条腿，每个椅子有4条腿，当全部被坐2 / 21上后，共有43条腿（包括每人两条腿），则房间的人数为A.6B.7C.8D.9E.1011. 甲乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等，已知甲乙两人每天共加工35个玩具，求甲乙两天加工的零件相差多少个？A. 5B.6C.8D.12E.1012. 一项工作，甲、乙合作要12天完成。
若甲先做3天后，再由乙工作8天，共完成这件工作的512 。
则甲的工作效率是乙的多少倍？A. 1.5B.1.6C.1.8D.2E.2.213．甲、乙、丙三人完成某件工作。
甲单独做，完成工作所用时间是乙、丙两人合作所需时间的5倍；乙单独做，完成工作所用时间与甲、丙两人合作所需时间相等，则丙单独做，完成工作所用时间是甲、乙两人合作所需时间的多少倍。
（A ）35 （B ）57 （C ）2 （D ）511 （E ）3 14．甲、乙两人加工一批零件，已知甲单独加工要10小时完成，而甲和乙工作效率之比为58：，现两人同做了2小时之后，还剩下270个零件未加工，这批零件共有[ ](A)360个。
(B)400个。
(C)480个。
(D)540个 (E)600个15．三名工人甲、乙和丙分别加工200个零件。
他们同时开始工作，当乙加工200个零件的任务全部完成时，甲才加工了160个，丙还有48个没有加工。
当甲加工200个零件的任务全部完成时，丙还有 个零件没有加工。
（A ）10 （B ）20 （C ）3 0 （D ）40 （E ）以上结论均不正确16．甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整数天完成，并且结束工作的是乙。
若按乙、丙、甲的顺序每人一天轮流去做，则比原计划多用1/2天；若按丙、甲、乙的顺序每人一天轮流去做，则比原计划多用1/3天。
已知甲单独做需要9天。
则甲、乙、丙三人一起做这项工作，需要多少天完成?A ．2B ．3C ．4D ．5E ．617．A ，B ，C 三人进行乒乓球赛，两人比赛一人观战，每赛一场后胜者继续打，负者换另一个人上场，一直这样进行下去，结果A 胜了11场，B 胜了9场，C 胜了3场，那么C 总共打了 场。
（A ）9 (B ) 10 (C ) 11 (D ) 12 （E ）1318. 甲、乙两人在环形跑道上跑步，他们同时从起点出发，当方向相反时每隔48秒相遇一次，当方向相同时每隔10分钟相遇一次。
若甲每分钟比乙快40米，则甲、乙两人的跑步速度分别是（ ）米/分。
(A) 270,230 (B)380,340 (C) 370,330 (D) 280,24019. 两人在圆形跑道上从同一点A 出发，按相反方向运动，他们的速度分别是每秒5米和每秒9米，如果他们同时出发并当他们在A 点第一次再相遇的时候结束，那么他们总共相遇的次数是（ ）次.3 / 21A.13B.14C.15D.25E.2620．一个充气的救生圈的大部分水平放在一张桌子上，一只蚂蚁沿半径33厘米的救生圈上最高的圆周爬行，另一个蚂蚁沿垂直桌子的半径9厘米的圆周爬行。
他们同时从同一点出发，爬行速度相同，问小圆上的蚂蚁爬几圈第二次碰上大圆的蚂蚁？( )(A)99 (B) 66 (C)33 (D)22 (E)1121．队列长度是800米队伍的行军速度为每分钟100米，在队尾的某人以3倍于行军的速度赶到排头，并立即返回队尾所用的时间是(A) 2分钟. (B) 322分钟. (C) 4分钟. (D) 5分钟. (E)6分钟22、一船逆水而上，船上某人于大桥下面将水壶遗失被水冲走，当船回头时，时间已过20分钟.后来在大桥下游距离大桥2千米处追到了水壶.那么该河流速是每小时多少千米？A.1B.2C.1.5D. 3E.、2.523. 一艘小轮船上午8：00起航逆流而上（设船速和水流速度一定），中途船上一块木板落入水中，直到8：50船员才发现这块重要的木板丢失，立即调转船头去追，最终于9：20追上木板。
由上述数据可以算出木板落水的时间是（ ）。
(A) 8:35 (B) 8:30 (C) 8:25 (D) 8:2024、某国参加北京奥运会的男女运动员比例原为19：12，由于先增加若干名女运动员，使男女运动员比例变为20：13，后又增加了若干名男运动员，于是男女运动员的比例最终变为30：19。
如果后增加的男运动员比先增加的女运动员多3人，则最后运动员的总人数为（ ）A)686 B)637 C)700 D)661 E)60025、一个圆柱形的玻璃杯中盛有水，水面高2.5cm ，玻璃杯内侧的底面积是722cm ,在这个杯中放进棱长6cm 的正方体铁块后，水面没有淹没铁块，这时水面高多少厘米?（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （E ）526. 一个班有45个学生,统计借课外书的情况是:全班学生都借有语文或数学书.借语文书的有39人,借数学书的有32人.语文、数学两种书都借的有（ ）人.A.24B.23C.25D.27E.2627、申请驾照时必须参加理论考试和路考且两种考试均通过，若在同一批学员中有70%的人通过了理论考试，80%的人通过了路考，则最后领到驾驶执照的人有60%（1） 10%的人两种考试都没通过 （2）20%人仅通过了路考。
28．某中学高一（甲）班有学生50人，参加数学小组的有25人，参加物理小组的有32人，则既参加数学小组，又参加物理小组的人数的最大值与最小值分别为（ ）．A. 25，9B. 25，7C. 20，7D. 20，6E. 均错29. 据统计，去年某校参加高考的385名文，理科考生中，女生189人，文科男生41人，非应届男生28人，应届理科考生256人。
由此可见，去年在该校参加高考的考生中：4 / 21A .应届理科男生多于129人。
B .应届理科女生少于130人。
C .应届理科女生多于130人。
D .非应届文科男生多于20人。
E .非应届文科男生少于20人。
30 补条件充分性判断E:08.1.27、22ab cb <（1）实数,,a b c 满足0a b c ++=（2）实数,,a b c 满足a b c << 08.1.28、圆()22213:22c x y r ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭与圆：222:680c x x y y -+-=有交点。
（1）0<r<52 (2) r>152 08.10.18．113x -<≤。
（1）22211211x x x x--=++ （2）212133x x --= 08.10.26．整个队列的人数是57。
（1）甲、乙两人排队买票，甲后面有20人，而乙前面有30人（2）甲、乙两人排队买票，甲、乙之间有5人D: 已知数列}{n a 是等差数列(0d ≠)，且有125a =、179S S =，那么169n S =（1）13n = （2）数列}{n a 前n 项和的最大值为n S08.10.16．直线,y x y ax b ==+与0x =所围成的三角形的面积等于1。
（1）1,2a b =-=（2）1,2a b =-=- 08.10.27．2261040x mxy y y +---=的图形是两条直线。
（1）7m =（2）7m =- 已知1x 、2x 是方程0)1(222=++-m x m x 的两个实数根，则有12112x x += （1）(112m = （2）(112m =C: 08.1.23、一件含有25张一类贺卡和30张二类贺卡的邮包的总重量（不计包装重量）为700克。
（1）一类贺卡重量是二类贺卡重量的3倍5 / 21（2）一张一类贺卡与两张二类贺卡的总重量是1003克。
08.10.22．125x x -=-。
（1）2x < （2）3x <08.1.30、1b c c a a b a b c+++++=。
（1）实数,,a b c 满足0a b c ++=（2）实数,,a b c 满足0abc >。
将一骰子连续抛掷三次，则136p = （1）它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为p （2）它落地时向上的点数依次．．成等比数列的概率为p 5AB:08.10.16．方程()()2232440x b a c x ac b +-++-=⎡⎤⎣⎦有相等的实根。
（1）,,a b c 是等边三角形的三条边 （2）,,a b c 是等腰三角形的三条边08.10.30．张三以卧姿射击10次，命中靶子7次的概率是15128。