第9章简谐振动的合成

§9- 3 阻尼振动、受迫振动和共振
一、阻尼振动： 振幅随时间而减小的振动叫做阻尼振动。 1、阻尼的分类 a、摩擦阻尼：机械能转化为热能。 b、辐射阻尼：能量辐射出去，形成波（音叉、乐器等）。 2、阻尼振动的动力学方程： 实验表明当速度不太大时：
k
x
m o
F
fr
m
p
x
dx 为阻力系数。 粘滞阻力： f r v dt 2 d dx 动力学方程： m x kx 2 dt dt
(2t 2 ) (1t 1 ) (2 1 )t ( 2 1 )
设两振动的振幅相同，初相相同。
x1 (t ) A cos(1t ) x2 (t ) A cos( 2t )
合振动的运动方程为：
x(t ) A cos(1t ) A cos(2t )
k 令 m
2 0


2m
d2 x dx 2 2 0 x 0 2 dt dt
固有角频率 0 阻尼因子
k m 由系统本身的性质决定。
2m 由阻力系数决定。
3、 阻尼振动的动力学方程的解： ① 0 时，阻尼较小（欠阻尼）， 此方程的解：
x(t ) Ae t cos(t )
讨 论：
A
A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 1 2 2
1） 2 1 2k
k 0,1,2,
A
A A1 A2 同相， 合振幅最大
当A 1 A 2时，A 2 A 1
2）
A1
A2
2 1 (2k 1)
k 0,1,2,
t 0, v0 v M / 2, v0 A sin v M / 2
1 5 sin , , , 2 6 6
这时x 0, x A cos (t 0） / 6
4.无阻尼自由简谐振动的周期和频率由 对于给定的简谐振动系统其振幅、初相位由 振动系统本身的性质 初始条件 所决定。 决定。
C1 , C 2 是由初始条件
欠阻尼 临界阻尼 过阻尼
决定的积分常数。
o
t
二、受迫振动： 1、 受迫振动的定义： 系统在周期性外力持续作用下所发生的振动。 策动力： F F0 cost 阻尼力: 弹性力:
v
kx
kx
m
F
x
2、 受迫振动的运动微分方程：
f
d2 x m 2 kx v F0 cos t dt d2 x dx m 2 kx F0 cos t dt dt
( 2 1 )
2k (k 0、 1、 2....)
（ 2k 1 ） (k 0、 1 、 2....)
A t
M
反相:
5、旋转矢量法：

t
o
t0 A p x
§9 - 3 简谐振动的合成 A2 一、同方向同频率谐振动的合成：
四、两个相互垂直的Fra Baidu bibliotek同频率简谐振动的合成
x A1 cos(1t 1 ) y A2 cos(2t 2 )
一般情况下，合振动轨道不是封闭曲线，但当频率有简 单的整数比关系时，形成稳定的封闭曲线，称为李萨如图 形（P246）。
x A1 cos(1t 1 ) y A2 cos( 2t 2 )
x2 y2 轨迹： 2 2 1 A1 A2
y 比x 位相滞后/2，椭圆轨道运动的方向时逆时针， 即左旋的。
x A1 cos(t 1 ) y A2 cos(t 1 3 / 2)
3 2
两 相 互 垂 直 同 频 率 不 同 相 位 差
简 谐 运 动 的 合 成 图
1 2 1 1 2 2 E kA , E k ( 2 A) 4( kA ) 4 E 2 2 2
3.用余弦函数描述一些振子的振动，若 速度---时间函数关系如图，则振动的初 相位为①π/6；②π/3；③π/2；④5π/6
2 0
v
vM / 2 vM
0
t
vM / 2 x vM
5.A、B两弹簧的倔强系数分别为kA, kB,其质量均可忽略不计， 今将二弹簧连接起来并竖直悬挂，当系统静止时，而弹簧的弹 性势能EpA与EpB之比
①
E pA
E pA E pB
E pA k B kA E pA k B 2 kA ② 2 ③ ④ E pB k B kB E pB k A E pB k A 2
A
2 x0
2
2 v0

k m

g l
③周期 T 和频率 ：
T 2

2
m k
T 2
l g
1 T 2
④相位( t + ) 和 初相 ： ⑤相位差 ：
v0 tg x0
(2t 2 ) (1t 1 )
同相:
上式是个椭圆方程，具体形状由 ( 20 10 ) 相位差决定。 质点的运动方向与 有关。当 0 时， 质点沿顺时针方向运动；当 2 时， 质点沿逆时针方向运动。 当 A1 A2 时，正椭圆退化为圆。
2 2
4)
2 1 3 / 2
• 两振动的频率成整数比时，轨迹称为李萨如图形。
李 萨 如 图
1 0
π π 3π π 2 0, , , , 8 4 8 2
1 m 2 n
测量振动频率 和相位的方法
1.一弹簧振子作谐振动，总能量为E，如果谐振动振幅增加 为原来的两倍，重物的质量增为原来的4倍，则它的总能量 E变为 A: E/4; B: E/2; C: 2E; D: 4E
E pA
2
2 1 1 mg ( mg ) 2 2 k A (x A ) k A ( ) 2 2 kA 2k A
kA kB
A B
m
E pB
2 1 1 mg ( mg ) k B (x B )2 k B ( )2 2 2 kB 2k B
E pA E pB
kB kA
6.在t=0时，周期为T振幅为A的单摆分别处于图a、b、c三种状 态，若选单摆的平衡位置为x轴的原点，x轴指向右方，则单摆 作小角度摆动的振动表达式（用余弦表示）分别为
( 2 1 )t ( 2 1 )t 2 A cos cos[ ] 2 2 2 1 2 1 2 A cos （ 2 t ) cos( 2 t ) 2 2
两振动的相位差随时间变化。 一般情况下，合振动不再是简谐振动。
讨论:
两频率都较大， 而频率差很小的情况。 当 1与2都很大，且相差甚微时，可将 | 2 A cos(2 1 ) t / 2 | 视为振幅变化部分，合成振动是以 (2 1 ) / 2 为角频率的 周期振动。
A2
2 1
A1 A2 2 A1 A cos( 1 ) 10cm
2
A A2 A
2
2
(10 3) 10 400
2 2
A2
30

20
10 3
A
A2 A1 , 1 2 / 2
A1
二、两个同方向不同频率谐振动的合成：
x1 (t ) A1 cos(1t 1 ) x2 (t ) A2 cos(2t 2 )
合振幅出现时大时小的现象 — 拍现象
三、方向垂直、同频率简谐振动的合成 设一个质点同时参与了两个振动方向相互 垂直的同频率简谐振动，即
Perpendicular Direction
x A1 cos(t 10 ); y A2 cos(t 20 ) x cost cos10 sin t sin 10 A1 y cost cos 20 sin t sin 20 A2 解出 sin t cost 并平方后相加可得质点的轨迹方程 x y cos 20 cos10 sin t sin( 20 10 ) A1 A2
复习
1、简谐振动的定义式：
d2 x 2 x0 2 dt
或：
x A cos(t )
2、简谐振动的动力学特征： 物体受力与位移成正比而方向相反。
3、简谐振动的运动学特征：
f kx
k x m
物体的加速度与位移成正比而方向相反。 a
4、描述简谐振动的物理量: ① 振幅A： ② 角频率 ：
式中：
2 0 2
x
A0e t cos(t )
A0e t
o
t
欠阻尼特点：
振幅随时间 t 作指数衰减。 近似为简谐振动。 阻尼振动周期比系统的固有周期长。
② 0 时，为临界阻尼，此方程的解：
x(t ) (C1 C2t )e t
C1 , C 2 是由初始条件
反相， 合振幅最小
A | A1 A2 |
A
A2 A1
当A1 = A2 时，质点静止。 3） 一般情况（相位差任意）
2 1 k
A2
A
A1 A2
A A1 A2
A1
相位差在同频率简谐振动合成中起决定性作用
例题：两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅其合 振幅为20cm,与第一简谐振动的相位差为φ---φ1=π/6,若第一个简 谐振动的振幅为 10 3cm 17.3cm 则第二个谐振动的振幅为 cm, 。 第一、二两个谐振动的相位差φ2---φ1= 解：由矢量合成法则：
临界阻尼：物体不作往复运动的极限。 决定的积分常数。 从周期运动变为非周期振动 。 阻尼装置用于减振或仪器指针调节。 ③ 0 时，阻尼较大（过阻尼），此方程的解：
x (t ) C1e
2 ( 2 0 )t
C2 e
(
2 2 0 )t
无振动发生、非周期运动 x
合成结果仍为简谐运动 合振动与分振动在同一方向，且有相同频率。
几何方法
Y
A
A2
2
A2 sin 2
A1
1
A2 cos 2
A1 sin 1
X
A1 cos1
A
2 A12 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
A1 sin 1 A2 sin 2 arctg A1 cos1 A2 cos 2
A
A1
x1 A1 cos(t 1 )
x2 A2 cos(t 2 )
合振动的运动方程：
2
o x2 x x1 x2 A cos(t )
2 1 2
1
x1
x
x
A
A A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
A1 sin 1 A2 sin 2 arctg A1 cos 1 A2 cos 2
a : t 0, x0 0, v v0 0, x0 A cos 0,
t a : x A cos(2 ) T 2 t b : x A cos(2 ) T 2 t c : x A cos(2 ) T
v0
v0
v0 0
/ 2,3 / 2, v A sin 0, 3 / 2即 - /2 b : t 0, x0 0, v v0 0, x0 A cos 0, / 2,3 / 2, v A sin 0, / 2
k F 2 令 0 ; ；h 0 m 2m m
d2 x dx 2 2 0 x h cost 2 dt dt
x y cos 20 cos10 sint sin( 20 10 ) A1 A2
x y sin 20 sin 10 cost sin( 20 10 ) A1 A2
x y 2 xy 2 cos sin 2 2 A1 A2 A1 A2