(高一新教材第二册配套学案) 向量的数量积
向量的数量积-高一下学期数学湘教版(2019)必修第二册
2
2
C． 2
)
B．1
D．2
答案：B
解析：如图，因为ABCD是边长为1的正方形，所以AC＝AB + AD，
AB·AC＝AB·AB + AD ＝AB2＋AB·AD＝1.
3．已知e为单位向量，|a|＝4，当向量e，a的夹角等于30°时，向量a
在向量e上的投影向量为(
)
A．2 3e
B．2 2e
C．2e
高中数学湘教版必修第二册
第一章
平面向量及其应用
1.5 向量的数量积
1.5.1 数量积的定义及计算
教材要点
要点一 数量积的定义
(1)设a，b是任意两个向量，〈a，b〉是它们的夹角，则定义a·b＝
a||b|cos〈a，b〉
______________为a与b的数量积．
(2)a·b＝0⇔________．
为0.
要点三 数量积的运算律
设a，b，c是任意向量，λ是任意实数，则
(1)交换律：a·b＝________；
b·a
(2)与数乘的结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)分配律：(a＋b)·c＝________．
a·c＋b·c
状元随笔 (1)向量的数量积不满足消去律；若a，b，Ԧc 均为非零向
易错辨析 忽视向量共线的特殊情况出错
例7 设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若
向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，求实数t的取值范围．
解析：由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，得
cos θ＝
2t1 +72 · 1 +t2
6.2.4向量的数量积教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
课题：
科目：
班级：
课时：计划1课时
教师：
单位：
一、教学内容分析
本节课的主要教学内容为人教A版(2019)必修第二册6.2.4节的向量数量积。内容包括向量数量积的定义、性质以及计算方法。这部分内容与学生已有知识的联系在于，学生在之前的学习中已经掌握了向量的基本概念、线性运算以及坐标表示，这些知识为理解向量数量积提供了基础。向量数量积是向量乘法的一种特殊形式，它将两个向量的长度与它们夹角的余弦值联系起来，有助于学生深化对向量几何意义的理解，并为后续学习向量叉乘等更复杂概念打下基础。
解答：
由正方形性质知，向量OA与向量OC相等，向量OB与向量OD相等。
设向量OC = (x, y)，则有：
OA + OC = OB
(3, 4) + (x, y) = (5, 0)
解得：
x = 2, y = -4
所以向量OC的坐标为(2, -4)。
八、教学反思
在本次向量数量积的教学中，我发现学生们对向量概念的理解较为扎实，能够较好地跟上课堂节奏。但在讲解向量数量积的性质和计算方法时，部分学生显得有些吃力。为此，我做了以下几点反思：
1. 教学方法的选择：在讲解向量数量积的定义和性质时，我应该更多地采用直观的图形演示，帮助学生形象地理解向量数量积的几何意义。此外，通过实际案例引入，让学生感受向量数量积在解决实际问题中的作用，以提高他们的学习兴趣。
2. 课堂互动的加强：在讲解典型例题时，我应该鼓励学生积极参与，大胆提出自己的疑问。在解答问题时，可以让学生先尝试解答，然后我再进行点评和讲解，以培养学生的独立思考能力。
【教案】向量的数量积教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
§6.2.4向量的数量积一、内容和内容解析内容：向量的数量积．内容解析：本节是高中数学人教A版必修2第六章第2节的第四课时内容．教材以物理中力作功为背景引入向量的数量积，与向量的加法、减法、数乘运算一样有明显的几何意义，用途广泛，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量.会计算两个向量的数量积，提升数学抽象的核心素养.通过探究投影向量的表达式，进而得到数量积的几何意义，提升直观想象，逻辑推理的核心素养.二、目标和目标解析目标：（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．（2）通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．（3）会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．目标解析：（1）能从物理中“功”的具体实例中，引出向量的数量积的概念，能依据数量积的概念计算平面向量的数量积，并能像了解实数的运算律一样，通过具体实例了解向量数量积的性质．（2）能从图形中判断向量投影与投影向量，知道向量投影是一种正交变换，并能表示投影向量与原向量之间的关系，能借助向量投影与投影向量体会向量数量积的几何意义．（3）知道两个平面向量的垂直等价于其数量积为零，并能用这一结论进行向量运算．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：两个向量夹角的定义是指同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因此向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些常见的误区．同时利用向量的数量积，可以解决两向量垂直问题，要深刻理解两向量垂直的充要条件，应用的时候才能得心应手．解决方案：数形结合让学生体验夹角的概念，强调夹角一定是共起点的最小角.2．教学问题二：向量的数量积是一种新的向量运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样，它也有明显的物理意义、几何意义，用途广泛．但与向量的线性运算不同的是，它的运算结果不是向量而是数量，正是这个不同点沟通了向量运算与数量之间的关系．解决方案：强调两个非零向量的数量积是数量，而不是向量，它的值是两个向量的长度与两个向量夹角的余弦的乘积.3．教学问题三：对于向量的数量积运算，学生容易受实数乘法运算性质的负迁移的影响，可能出现一些错误，教师要尽可能地引导学生举一些反例，纠正错误．解决方案：引导学生借助画图、举反例来澄清认识，体会向量运算与实数运算的差异．基于上述情况，本节课的教学难点定为：数量积的性质及其应用．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．数量积的概念既是本节课的重点，也是难点.为了突破这一难点，首先无论是在概念的引入还是应用过程中，物理中“功”的实例都发挥了重要作用.其次，作为数量积概念延伸的性质和运算律，不仅能够使学生更加全面深刻地理解概念，同时也是进行相关计算和判断的理论依据.最后，无论是数量积的性质还是运算律，都希望学生在类比的基础上，通过主动探究来发现，因而对培养学生的抽象概括能力、推理论证能力和类比思想都无疑是很好的载体.在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视数量积的概念和运算律，让学生在类比的基础上体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图创设情境引入新知[问题1]我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？[问题2]我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？[问题3]当力F与运动方向成某一角度时，力F对物体所做的功等于多少呢？教师1：提出问题1．学生1：学生思考．教师2：提出问题2．学生2：学生思考．物理模型→概念→性质→运算律→应用.教师3：提出问题3．学生3：cosW FSθ=使学生在与向量加法类比的基础上明了本节课的研究方法和顺序，为教学活动指明方向.探寻规律，明[问题4]向量的夹角该如何定义？它的范围是什么？教师4：提出问题4．学生4：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB=b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角.范围是：[0,]π教师5：我们可以用图来表示：通过此环节不仅使学生认识到数量积的结果与线性运算的结果有着本确概念[问题5]你能用文字语言来表述功的计算公式吗?如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？[问题6]向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？例1.已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=23π，求a⋅b．例2.设|a|=12，|b|=9，a⋅b=542-，求a与b的夹角θ．当=0，a与b同向；当=，a与b反向；当=2，a与b垂直教师6：提出问题5．学生5：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；两个向量的大小及其夹角余弦的乘积.教师7：明确概念：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为α，我们把数量︱a︱︱b︱cosα叫做a与b的数量积（或内积），记作：a b⋅，即：a b⋅ =︱a︱︱b︱cosα.规定：零向量与任一向量的数量积均为0.教师8：提出问题6．学生6：数量积的结果是数，线性运算的结果是向量.学生7：影响因素有：模长和夹角.教师9：完成表格：角α的范围00090α≤<090α=0090180α<≤a b⋅的符号学生8：学生思考，完成表格.教师10：追问：你能用数量积的概念解决以下问题吗？学生9：学生思考，完成例题.教师11：引入投影向量：如图，设a,b是两个非零向量，AB＝a，CD＝b，作如下变换：过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到11AB，质的不同，而且认识到向量的夹角是决定数量积结果的重要因素，为下面更好地理解数量积的性质和运算律做好铺垫.通过例题巩固数量积的概念．这样做不仅让学生从“形”的角度重新认识数量积的概念，从中体[问题7]如图，在平面内任取一点O，作OM=a,ON=b,设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则1OM等于什么？[问题8]数量积的几何意义是什么？【练习】已知非零向量a与b 的夹角为45°，|a|=2，与b方向相同的单位向量为e,向量a在向量b上的投影向量为c,则c= .[问题9]根据数量积的概念，数量积有哪些性质？[问题10]类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪我们称上述变换为向量a向向量b投影，11AB叫做向量a在向量b上的投影向量.教师12：提出问题7.学生10：1OM=|a|cos e.教师13：提出问题8.学生11：a b⋅=b⋅a在b上的投影向量.教师14：完成练习学生12：c=|a|cos45°e=222e=2e.教师15：提出问题9：师生共同总结数量积的性质：(1) a⋅e=e⋅a=| a|cos.(2)a⊥b⇔a⋅b＝0.(3)当a与b同向时，a⋅b＝|a||b|；当a与b反向时，a⋅b＝－|a|b|.(4) a·a＝a2=|a|2或|a|＝a·a＝a2.(5)| a⋅b|≤|a||b|.(6)cosθ＝a·b|a||b|.学生结合数量积的定义自己尝试推证上述性质，教师会数量积与向量投影的关系，同时也更符合知识的连贯性.结合数量积、投影的概念和几何意义，让学生自己尝试得到数量积些运算律？能否证明一下？给予必要的补充和提示，学生在推导过程中理解并记忆这些性质.教师16：提出问题10：学生13：教师17：表格中的结论有没有问题？学生14：数量积的结合律一般不成立，因为(a·b)·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b是一个与b共线的向量，两者一般不同．教师18：向量数量积的运算律交换律a·b＝b·a对数乘的结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c 的性质，培养学生独立思考的能力．有了运算方法就有运算律，通过问题让学生理解平面向量数量积运算律，并运用投影向量的性质证明数量积的分配律．典例探究落实巩固1.求投影向量例3.已知|a|＝4，e为单位向量，它们的夹角为2π3，则向量a在向量e上的投影向量是______；向量e在向量a上的投影向量是________．2.利用数量积解决向量的夹角和垂直问题例4.已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为()教师19：完成例3学生15：向量a在向量e上的投影向量是|a|cosθe=4cos2π3e=－2e.因为与向量a方向相同的单位向量为aa=14a，所以向量e在向量a上的投影向量是|e|cosθaa=cos2π314a=－18a.教师20：完成例4学生16：由题意，得a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，即a·b通过例题，让学生熟悉向量数量积的运算．A ．π3B ．π2C ．2π3D ．5π63利用数量积求向量的模例5.已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |的值．[课堂练习1] 设向量a ，b 满足|a +b|=10|a -b|=6，则 a·b =（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．5 [课堂练习2]设向量a ，b 满足|a |=|b |=1，a·b =14-,则|a +2b|=_____.＝－2a 2，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－2a 24a 2＝－12，所以θ＝2π3，故选C ．教师21：完成例5学生17：因为a 2＝|a |2＝25，b 2＝|b |2＝25，a·b ＝|a||b |cos θ＝5×5×cos π3＝252，所以|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝25＋25＋25＝53，|a －b |＝(a －b )2＝a 2＋b 2－2a·b ＝25＋25－25＝5.教师18：布置课堂练习1、2． 学生16：完成课堂练习，并订正答案．课堂练习1：考查学生对平面向量数量积运算的掌握情况课堂练习2： 考查学生通过平面向量数量积运算求向量的模的能力． 课堂小结[问题11]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1.若|m |＝4，|n |＝6，m 与n 的夹角为135°，则m ·n ＝( ) A ．12 B ．12 2教师19：提出问题11． 学生17：思考.教师20：布置课后练习师生共同回顾总结：引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．升华认知 C．－12 2 D．－122.若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为()A．2B．4C．6 D．123.已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝k a－4b，c与d垂直，则k的值为()A．－6 B．6C．3 D．－34.已知|b|＝5，a·b＝12，则向量a在向量b上的投影向量为________．学生18：学生课后进行思考，并完成课后练习．答案：C，C，B，1225b课后练习：巩固定理，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．。
向量的数量积学案 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
OA=a，OB=b，。
，，过AB的起点CD所在a bAB CD==|a b≤__________【知识点五】向量数量积的运算律；。
5,4,a b==当a与b的夹角θa b⋅为（B.-10C.20D.-2012,9,a b==542a b⋅=-，则a与b的夹角θ为（B.34π- C.4πD.4π-2a=，4b=，向量a与向量b的夹角为120，则向量a在向量b上的投影的数量等于（B.-1C.32D.32-若向量a为单位向量，向量4b=，a b⋅=8，则向量a在向量b上的投影的数量等于（B.-1C. 2D. -2ABC中，AB a=，BC b=，当0a b⋅>时，则ABC的形状为（）．直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D.二、合作探究深度学习学习目标一：向量数量积概念的形成如上图，物体在力F 的作用下产生位移S ，那么力F 所做的功||||cos W F S F S θ=⋅=.其中，力是向量，位移是向量，功是数量，θ 是F S 与的夹角.1.2类比物理背景，形成概念①两向量的夹角1.定义：已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA→＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角．注意：①当θ＝0时，向量a 与b ；②当θ＝π2时，向量a 与b ，记作a ⊥b ；③当θ＝π时，向量a 与b ．注意：只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC 不是向量CA →与AB →的夹角．作AD →＝CA →，则∠BAD 才是向量CA →与AB →的夹角．②向量的数量积已知两个 向量a 与b ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的 (或 )，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ(θ为a ，b 的夹角)．规定：零向量与任一向量的数量积为 .注意：(1)“·”是数量积的运算符号，既不能省略不写，也不能写成“×”；(2)数量积的结果为数量，不再是向量；(3)向量数量积的正负由两个向量的夹角θ决定：当θ是锐角时，数量积为正；当θ是钝角时，数量积为负；当θ是直角时，数量积等于零．③归纳总结：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把||||cos a b θ称为a 与b 的数量积（或内积），记作a b ⋅，即a b ⋅=||||cos a b θ规定：0⋅a =0，对比向量的线性运算发现，线性运算的结果是向量，而数量积的运算结果则是数量，这个数量的大小不仅和向量a 与b 模的大小有关，还和它们的夹角有关．学习目标二：向量的投影若与b 方向相同的单位向量为e ，a 与b 的夹角为θ，则向量a 在向量b 上的投影向量为|a|cos θ e. 当θ＝0时，投影向量为 ；当θ＝π2时，投影向量为 ； 当θ＝π时，投影向量为 .小结：对于任意的[0π]θ∈，，都有||cos a b a e θ=向量在向量上的投影向量.学习目标三：向量数量积的性质小组合作探究：从上面的探究我们看到，两个非零向量a 与b 相互平行或垂直时，向量a 在向量b 上的投影向量具有特殊性，这时，它们的数量积小结：由向量数量积的定义，可以得到如下重要性质：a b ，是非零向量，它们的夹角是e 是与b 方向相同的单位向量，则1）||cos a e e a a θ==.2）（2）0a b a b ⊥⇔=. 3）当a 与b 同向时，||||a b a b =；当a 与b 反向时，||||a b a b =-.）特别地，2||a a a =或||a a a =.注：当两个向量的相等时，这两个向量的数量积等于平面向量的模的平方，因此可以用于求向量的|cos |1θ≤还可以得到||||||a b a b ≤.32π，求b a ⋅。
向量的数量积(第1课时)学案 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
6.2.4 向量的数量积（第1课时）● 学习目标：1.理解并掌握平面向量的数量积的定义，会求平面向量的数量积；2.熟记平面向量数量积的性质，能运用数量积的性质解决数学问题. 一、创设情境 引入新课问题1：我们已经学习了向量的哪些运算？运算的结果是向量，还是数量？问题2：向量与向量能否相乘呢？运算的结果是向量，还是数量？ 问题3：如果能，向量的乘法该如何定义？__________4 =W F s F s F 所做的功的夹角，则力与位移力是，的作用下产生位移体在力：物理上，如果一个物问题θ二、探究本质 得出新知探究一：向量的夹角.5 17夹角的概念页中间部分，找出向量：阅读课本问题P.,,,0,,, ><≤≤=∠==→→→→→→→→→→b a b a AOB b OB a OA O b a 记作的夹角）叫做向量（则作是平面上的任意一点，，已知两个非零向量πθθ问题6：两向量夹角的取值范围是什么？分别是什么关系？时，向量，，：当问题→→=b a , 180 90 07θ 的范围 θ︒=0 θ ︒<<︒900θ ︒=90 θ ︒<<︒01890θ ︒=180 θ图形● 小结：_________________________________________________._____)3(_____,)2(_____,1,,8的夹角的大小为与的夹角的大小为与的夹角的大小为与）（中点，分别为、、是等边三角形，：若问题→→→→→→∆EB DE EF DE DF DE AC BC AB F E D ABC● 小结：求两向量夹角，要将两向量平移到________.探究二：向量的数量积θcos |s ||F |=W 仿照物理中的公式：在数学中，可得公式：____________________.917数量积的概念页中下部分，找出向量：阅读课本问题P.cos |||| cos ||||, θθθ→→→→→→→→→→→→=⋅⋅b a b a b a b a b a b a ，即记作的数量积（或内积），与向量叫做，我们把数量它们的夹角为与已知两个非零向量● 规定：零向量与任一向量的数量积为0.● 注意：______________________________________________________问题10:两个向量的数量积是数量还是向量？其大小与哪些量有关？.43)3(;)2( ;//1,2||1,||11的数量积与；分别求的夹角为与）当（：若已知问题→→→→→→→→→→⊥==b a b a b a b a b a π.-44,||2,||12θ的夹角与，求：若问题→→→→→→=⋅==b a b a b a.||21- -105,||13 →→→→→→=⋅=b b a b a a ，求的余弦值为夹角与，：若问题θ● 小结：_________________________________________________.________BC 6 14=⋅∆→→AB ABC 的正三角形，则是边长为：已知问题________,,215=⋅+⋅+⋅====∆→→→→→→→→→→→→a c c b b a b CA a BC c AB BC ABC Rt 则，，中，斜边：在等腰问题小结：_________________________________________________.03.02.01,,16的形状时，试判断）当（的形状时，试判断）当（的形状时，试判断）当（中，：已知问题ABC b a ABC b a ABC b a b AC a AB ABC ∆>⋅∆<⋅∆=⋅==∆→→→→→→→→→→共线与，则若共线，则与若，或，则，且若，则或若或，则若）确的是（（多选）：下列命题正问题→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→⋅=⋅⋅=⋅===⋅∈=⋅=====⋅b a b a b a b a b a b a b b b a b a b a b a A ||||E. ||||D.00k 0k R k C.000B. 000 . 17.____________ 0:18条件的是问题=⋅⊥→→→→b a b a.______________||||:19条件的共线是与问题→→→→→→⋅=⋅b a b a b a探究三：向量数量积的性质||||____||41|cos |.||||________________)3(.________)2(._______1,.202→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→⋅⋅≤⋅==⋅=⋅=⋅⇔⊥=⋅=⋅b a b a a a a a a a b a b a b a b a b a a e e a b e b a ）（还可以得到此外，由或特别地，；反向时，与；当同向时，与当）（则方向相同的单位向量，是与，角为是非零向量，它们的夹设的如下重要性质，可以得到向量数量积：由向量数量积的定义问题θθ________3||2,||22_________,32,||4,|| 2122的最大值为：，则：若问题的夹角为与则：问题→→→→→→→→→→→→⋅==⋅=-==b a b a b a b a a b b a三、归纳小结 提高认识1. 本节课学习了什么知识点？2. 本节课涵盖了什么数学思想？四、学生练习 加强理解2. 1. 1. 2. ,3|2|,3||,1||,32022 1.D C B A b a b a b a b a --=⋅=-==⋅→→→→→→→→）（则满足题）已知向量第年全国乙卷理科（ 3519.3517. 3519. 3531. ,cos -66||,5||,)630202( .2D C B A b a a b a b a b a -->=+<=⋅==⋅→→→→→→→→→）（则，，满足已知题第卷年高考课标 65. 32. 3.6. )||2||)711920( .3ππππD C B A b a b b a b a b a ）的夹角为（与，则（，且，满足，已知非零向量题第卷年全国→→→→→→→→→⊥-=⋅_______2||||,1||0 )2 2120( .4=⋅+⋅+⋅====++→→→→→→→→→→→→→a c cb b ac b a c b a 则，，已知向量卷年新高考全国 _______45 )2 2020( .5=-⋅︒→→→→→k a b a k b a 垂直，则与，的夹角为，已知单位向量卷年高考课标_______2 3||,1||31 ) 2220( .6=⋅+==→→→→→→→b b a b a b a ）（，则，且夹角的余弦值为，设向量甲卷数学年高考全国。
高一下学期数学人教A版必修第二册向量的数量积(一)课件
（2） ⊥ ⇔ ∙ = 0．
（3）当a与b同向时， ∙ = ||||；当a与b反向时， ∙ = −||||；
特别地， ∙ = ||2 ，或 = ∙ = ．
（4）| ∙ | ≤ ||||．
乘积再乘以夹角的余弦值．
追问2 向量数量积的运算结果是向量还是数量？
答案：是数量．因为表达式 ∙ = ||||cos中，||，||，cos都是数
量，所以三者的乘积也是数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其
夹角有关．
新知探究
追问3 两非零向量a与b数量积的符号由什么决定？
在定义式 ∙ = ||||cos中，因为||，||均为正值，所以 ∙
角形的形状．
解：因为 ∙ = ∙ = ∙ ∙ cos∠ < 0,
而 > 0， > 0,
π
2
所以cos∠ < 0,从而∠ ∈ ( ，π)，△ABC为钝角三角形．
梳理总结
问题6 本环节我们学习了向量的哪种运算？其定义是如何得到的？它又
有哪些性质？
答案：本环节我们学习了向量的数量积运算，即设向量 ， 的夹角为 ，
②上述过程中得到的向量1 1 就叫做向量a在向量b上的投影向量．
新知探究
追问1 若在平面内任取一点O，作 = ， = ，此时向量a又如何
向向量b作投影？投影向量又是谁？
答案：与前面的过程类似，此时因为两向量共起点，
故只需过点M作直线ON的垂线，记垂足为M1，得到的
向量1 就是向量a在向量b上的投影向量．
则定义它们的数量积为 ∙ = cos，也就是说两个向量的数量积
就．数量积的定义是类比物理中功的概念得到的．
6.2.4向量的数量积(两个课时)课件-高一下学期新教材高中数学必修第二册(人教A版)
核心素养 1．通过平面向量的物理背景给出向
1．平面向量的数量积．(重点) 量数量积的概念和几何意义的学习，
2．投影向量的概念．(难点) 培养数学建模和数学抽象的核心素
3．向量的数量积与实数的乘法 养．
的区别．(易混点)
2．通过向量数量积的运算学习，提
升数学运算和数据分析的核心素养.
素养目标
学法指导
1．对于向量的学习，关键是用好类比，
1．理解平面向量的数量积的定 即类比数的运算以及类比物理中矢量的
义.(数学抽象)
运算.
2．了解投影向量的概念.(直观 2．物理中功的模型有助于我们更好地理
想象)
解向量的数量积运算.
3．了解向量的数量积与实数的 3．在研究向量的数量积运算时，类似于
乘法的区别.(数学运算)
3．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4
B．3
C．2
D．0
4．已知|a|＝4，|b|＝3，且(2a-3b)·(2a+b)＝61，求a与b的夹角θ .
5．已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝ 10，则|b|=______.
6．在边长为1的正三角形ABC中，设 BC 2BD，CA 3CE，则 AD BE _－_14___
7．已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2 的夹角为锐角，则k的取值范围为________．
数量积的运算律证明：
(1)a·b＝b·a.
左边 a b | a || b | cos 右边 b a | b || a | cos
交换律成立
数量积的运算律证明：
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
6.2.4向量的数量积教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
- 可以用于求解最小二乘问题。
4. 向量数量积与解析几何
- 可以用于求解直线、平面之间的距离。
- 可以用于求解点到直线、点到平面的距离。
- 可以用于求解直线、平面的夹角。
5. 向量数量积与物理
- 可以用于求解力的合成、分解。
- 可以用于求解物体在力的作用下的位移、速度、加速度。
3. 成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
四、学生小组讨论（用时10分钟）
1. 讨论主题：学生将围绕“向量数量积在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2. 引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3. 重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调向量数量积的定义和计算方法这两个重点。对于难点部分，我会通过图示和实际例题来帮助大家理解。
三、实践活动（用时10分钟）
1. 分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与向量数量积相关的实际问题。
2. 实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的向量数量积的实验操作。这个操作将演示向量数量积的基本原理。
- 向量模与夹角余弦值：A·B=|A||B|cosθ，其中θ为向量A与向量B的夹角。
4. 向量数量积的性质：
- 交换律：A·B=B·A。
- 分配律：(A+B)·C=A·C+B·C。
- 向量数量积与零向量：若A为零向量，则A·B=0。
- 向量数量积与向量模：|A·B|≤|A||B|。
5. 向量数量积的应用：
5. 题型五：向量数量积与物理
6.2.4向量的数量积教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
教学设计课题名称向量的数量积（一）课时计划：课时第课时授课日期：教学目标1．通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．2．通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．3．理解向量数量积的运算律，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，并会表示向量的夹角与模．重点难点重点：平面向量的数量积．难点：投影向量的概念.教学方法教师讲授、师生互动、学生主导科组模式板书设计作业布置课后反思教 学 设 计教学环节 教师活动(可附带学生活动)一、两向量的夹角例1 已知|a |＝|b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，则a ＋b 与a 的夹角是多少？a －b 与a 的夹角又是多少？跟踪训练1 在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12AB ，则AB →与BC →的夹角是( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°二、两向量的数量积知识梳理1．已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.2．向量数量积的性质设a ，b 是非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，则(1)a ·e ＝e ·a ＝|a |cos θ. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0. (3)当a ∥b 时，a ·b ＝⎩⎪⎨⎪⎧|a ||b |，a 与b 同向，－|a ||b |，a 与b 反向.特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a .(4)|a ·b |≤|a |·|b |. (5)cos θ＝a ·b |a ||b |. 注意点：(1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写．(2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0.(3)a ·b ＝0不能推出a 和b 中至少有一个零向量．(4)|a |＝a ·a 是求向量的长度的工具．(5)区分0·a ＝0与0·a ＝0．(6)a ·b >0是a 与b 夹角为锐角的必要不充分条件；a ·b <0是a 与b 夹角为钝角的必要不充分条件．例2 已知正△ABC 的边长为1，求：(1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →.跟踪训练2 (1)在等腰Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝4，则AB →·BC →＝________，BC →·CA →＝______，CA →·AB →＝________.(2)设|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝1，则a 与b 的夹角为________．三、投影向量知识梳理1.如图，设a ，b 是两个非零向量，AB →＝a ，CD →＝b ，我们考虑如下的变换：过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1—→，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，A 1B 1—→叫做向量a 在向量b 上的投影向量．2.如图，在平面内任取一点O ，作OM →＝a ，ON →＝b ，过点M 作直线ON 的垂线，垂足为M 1，则OM 1—→就是向量a 在向量b 上的投影向量．设与b 方向相同的单位向量为e ，a 与b 的夹角为θ，则OM 1—→与e ，a ，θ之间的关系为OM 1—→＝|a |cos θe .注意点： (1)向量a 在向量b 上的投影向量是与向量b 平行的向量．(2)如果向量a 与向量b 平行或垂直，向量a 在向量b 上的投影向量具有特殊性．(3)由定义可知，投影是一个过程，而投影向量是一个结果．例3 已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，与b 同向的单位向量为e .(1)求a ·b ；(2)求a 在b 上的投影向量．跟踪训练3 已知向量a ，b 满足|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的投影向量的模是________．1．知识清单：(1)向量的夹角．(2)向量数量积的定义．(3)投影向量．(4)向量数量积的性质．2．方法归纳：数形结合法．3．常见误区：向量夹角共起点；a·b>0⇏两向量夹角为锐角，a·b<0⇏两向量夹角为钝角．。
2021高一数学【新教材】第二册教学设计 6.2.4 向量的数量积 第2课时 向量的向量积
6.2.4 向量的数量积第2课时向量的向量积本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节内容教材共分为两课时,其中第一课时主要研究数量积的概念,第二课时主要研究数量积的运算律,本节课是第二课时，本节课主要学习平面向量的数量积的运算律及其运用。
向量的数量积是继向量的线性运算(加法、减法、向量的数乘)后的又一种新的运算,它的内容很丰富。
包括定义、几何意义、性质与运算律,而且在物理和几何中具有广泛的应用。
向量数量积是代数、几何与三角的结合点,很好地体现了数形结合的数学思想。
但它与向量的线性运算有着本质的区别,运算结果是一个数量。
A.掌握数量积的运算律；B.利用数量积的运算律进行化简、求值；1.教学重点：数量积的运算律；2.教学难点：利用数量积的运算律化简、求值。
多媒体一、复习回顾，温故知新 1.向量的数乘的运算律【答案】设a 、b 为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：（1） a a )()(λμμλ=（2）a a a μλμλ+=+)(（3）b a b a λλλ+=+)(2.平面向量的数量积定义：θcos ||||b a b a =⋅平面向量的数量积的结果是数量。
二、探索新知1.平面向量数量积的运算律探究：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？平面向量数量积的运算律证明：（1）因为θcos ||||b a b a =⋅，θcos ||||a b a b =⋅所以，a b b a ⋅=⋅。
（2）当的夹角与的夹角、与时，b a b a λλ0>一样。
因为)(cos ||||cos ||||)(b a b a b a b a ⋅===⋅λθλθλλ，)(cos ||||cos ||||)(b a b a b a b a ⋅===⋅λθλθλλ同理，当)()()(0b a b a b a λλλλ⋅=⋅=⋅<时，成立。
2021高一数学【新教材】第二册教学设计 6.2.4 向量的数量积的物理背景和数量积
6.2.4向量的数量积第1课时向量的数量积的物理背景和数量积本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A 版）第六章《平面向量及其应用》，本节内容教材共分为两课时,其中第一课时主要研究数量积的概念,第二课时主要研究数量积的运算律,本节课是第一课时，本节课主要学习平面向量的数量积的定义、投影向量、数量积的性质。
向量的数量积是继向量的线性运算(加法、减法、向量的数乘)后的又一种新的运算,它的内容很丰富。
包括定义、几何意义、性质与运算律,而且在物理和几何中具有广泛的应用。
向量数量积是代数、几何与三角的结合点,很好地体现了数形结合的数学思想。
但它与向量的线性运算有着本质的区别,运算结果是一个数量。
课程目标学科素养A.理解并掌握平面向量的数量积的定义、投影向量；B.会求平面向量的数量积、投影向量；C.熟记平面向量数量积的性质；D.能运用数量积的性质解决问题；E.通过数量积的引入和应用，初步体会知识的发生、发展的过程过程，培养学生的思维习惯。
1.数学抽象：数量积的定义；2.逻辑推理：数量积的性质；3.数学运算：求平面向量的数量积；4.直观想象：投影向量。
1.教学重点：平面向量数量积的定义及投影向量；2.教学难点：平面向量数量积的定义的理解和对数量积的应用。
多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、复习回顾，温故知新1.向量的数乘的定义：【答案】一般地，我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a λ，它的长度与方向规定如下：（1）||||||a a λλ=；（2）当0>λ时，a λ的方向与a 的方向相同；当0<λ时，a λ的方向与a 的方向相反。
2.向量的数乘运算律：【答案】设a 、b 为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：（1）aa )()(λμμλ=（2）aa a μλμλ+=+)(（3）ba b a λλλ+=+)(二、探索新知思考1：一个物体在力F 的作用下产生的位移s，那么力F 所做的功应当怎样计算？【答案】θcos ||||S F W =思考2：功是一个矢量还是标量？它的大小由那些量确定？【答案】标量，大小由力、位移及它们的夹角确定。
高一数学必修第二册 2019(A版)_6.2.4_向量的数量积的物理背景和数量积_导学案(2)
1 / 76.2.4 向量的数量积第1课时 向量的数量积的物理背景和数量积1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
1.数学抽象：数量积相关概念的理解；2.逻辑推理：有关数量积的运算；3.数学运算：求数量积或投影；4.数学建模：从物理问题抽象出数学模型，数形结合，运用数量积解决实际问题.重点：平面向量数量积的含义与物理意义；难点：平面向量数量积的概念.一、 预习导入阅读课本17-21页，填写。
1、向量的夹角： 已知两个非零向量a 与b ，作OA =a ，OB =b ，∠AOB= θ（0°≤θ≤180°）叫作向量a 与b 的夹角。
当θ=______时，a 与b 同向；当θ=______时，a 与b 反向；当θ=______时，a 与b垂直，记作a⊥b。
规定：零向量可与任一向量垂直。
2、射影的概念2 / 7|b |cosθ叫作向量b 在a 方向上的射影。
注意：射影也是一个数量，不是向量。
3、数量积的定义：已知两个向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量____________叫做a 与b 的数量积（或内积），记作：a ·b ，即：a ·b = ____________.注意 a ∙b 不能写成a ×b 或ab 的形式 数量积的几何意义：____________________________________________________________________. 数量积的物理意义：力F 与其作用下物体位移s 的数量积F s •4、向量数量积的性质(1)e 是单位向量，a ∙e =e ∙a =|a |cosθ;(2)θ=90°⟺a ⊥b ⟺a ∙b =0;(3)a//b ⟺a ∙b =±|a||b|;特别地：a ∙a =|a |2或|a |=√a 2;(4)cosθ=____________,(|a ||b|≠0)(5)|a ∙b|≤|a ||b|(当且仅当a//b 时等号成立)5、运算定律：已知向量a 、 b 、c 和实数λ，则：(1).交换律：a ·b =______(2).数乘结合律：（a λ）·b =______= ______.(3).分配律： （a + b ）·c =____________.1．判断下列命题是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的数量积仍然是向量．( )(2)若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0.( )(3)若a ，b 共线⇔a ·b ＝|a ||b |.( )(4)若a ·b ＝b ·c ，则一定有a ＝c .( )2．若|m |＝4，|n |＝6，m 与n 的夹角为45°，则m ·n ＝( )3 / 7 A ．12 B ．122 C ．－122 D ．－123．已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 和b 的夹角为135°，则|b |＝( )A ．12B ．3C ．6D ．334．已知|a |＝5，向量a 与b 的夹角θ＝60°，则向量a 在b 方向上的射影为________．题型一 数量积的基本运算例1 已知|a |＝2，|b |＝5，若：①a ∥b ；②a ⊥b ；③a 与b 的夹角为30°，分别求a ·b .跟踪训练一1、已知点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值是________． 题型二 数量积的几何意义例2 已知|a |＝6，e 为单位向量，当它们之间的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，求出a 在e 方向上的投影，并画图说明．跟踪训练二1、已知|a |＝3，|b |＝4，a ·b ＝－6.(1)向量a 在向量b 方向上的投影为________．(1)向量b 在向量a 方向上的投影为________．2、在边长为2的正三角形ABC 中，AB →在BC →方向上的投影为______．题型三 向量的混合运算例3 (1)已知|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，求(a ＋2b )·(a -3b )=_____________．(2)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________．跟踪训练三1.已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________． 2．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝________.4 / 71．下列命题：(1)若a ≠0，a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；(2)(a ·b )·c ＝a·(b ·c )对任意向量a ，b ，c 都成立；(3)对任一向量a ，有a 2＝|a |2.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影是32，则a ·b 为( ) A.92 B ．3 C ．2 D.123．若平面四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是( )A ．直角梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形 4．已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝4，⎝⎛⎭⎫12a ＋b ·(2a －3b )＝12，则|b |＝________；b 在a 方向上的投影等于________．5．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝________.6．已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 方向上的投影为－1.(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求(a －2b )·b ；5 / 7答案小试牛刀1. (1)×(2) ×(3)×(4)× 2．B.3．C.4. 52. 自主探究例1 【答案】①a ·b=－10. ②a ·b ＝0. ③a ·b ＝5 3.【解析】①当a ∥b 时，若a 与b 同向，则它们的夹角为0°.∴a ·b ＝|a ||b |cos0°＝2×5×1＝10.若a 与b 反向，则它们的夹角为180°.∴a ·b ＝|a ||b |cos180°＝2×5×(－1)＝－10.②当a ⊥b 时，它们的夹角为90°.∴a ·b ＝|a ||b |cos90°＝2×5×0＝0.③当a 与b 的夹角为30°时，a ·b ＝|a ||b |cos30°＝2×5×32＝5 3. 跟踪训练一1、【答案】－25．【解析】如图，根据题意可得△ABC 为直角三角形，且B ＝π2，cosA ＝35，cosC ＝45， ∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝BC →·CA →＋CA →·AB →＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A)6 / 7＝－20cosC －15cosA＝－20×45－15×35＝－25. 例2 【答案】 见解析【解析】如下图所示，当θ＝45°时，a 在e 方向上的正投影的数量为32；当θ＝90°时，a 在e 方向上的投影的数量为0； 当θ＝135°时，a 在e 方向上的投影的数量为－3 2.∴|a |·cos45°＝32，|a |·cos90°＝0，|a |·cos135°＝－3 2.跟踪训练二【答案】1、(1)－ 32 (2)－2. 2、－1.【解析】1、（1）a∙b |b |=−32,(2) a∙b|a |=−2.2、|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos120°=2×(−12)=−1. 例3 【答案】（1）-72. （2）2.【解析】(1)(a ＋2b )·(a -3b )＝a·a -a·b -6b·b＝|a |2-a·b -6|b |2＝|a |2-|a ||b |cos 60°-6|b |2＝62-6×4×cos 60°-6×42＝-72.7 / 7（2） AE →·BD →＝⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →·(AD →－AB →)＝AD →2－12AB →2＝22－12×22＝2. 跟踪训练三【答案】1、-6. 2、2．【解析】1、由题设知|e 1|＝|e 2|＝1且e 1·e 2＝12， 所以b 1·b 2＝(e 1－2e 2)·(3e 1＋4e 2)＝3e 21－2e 1·e 2－8e 22 ＝3－2×12－8＝－6. 2、因为b ·c ＝0，所以b ·[ta ＋(1－t )b ]＝0，即t a ·b ＋(1－t )·b 2＝0，又因为|a |＝|b |＝1，a ，b 的夹角为60°，所以12t ＋1－t ＝0，所以t ＝2. 当堂检测1-3.BAC4.2 15. 26. 【答案】(1)2π3. (2)－3. 【解析】(1)∵|a |＝2|b |＝2，∴|a |＝2，|b |＝1.又a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝－1，∴cos θ＝－12，∴θ＝2π3. (2)(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝－1－2＝－3.。
高一数学必修第二册 2019(A版)_《向量的数量积》教学设计一
《向量的数量积》教学设计一教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入问题1：我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？问题2：向量与向量能否“相乘”？教师提问，学生回顾所学的向量的加减运算、数乘运算教师提出关于向量之间能否相乘的问题.让学生复习已学过的知识，同时提出相关的新问题，在巩固旧知识的同时激发学生学习的兴趣.形成概念1思考1：在物理学中，我们学过功的概念，如果给出力的大小和位移的大小，能否求出功的大小？思考2：上述公式中的角是谁与谁的夹角？两个向量的夹角是如何定义的？向量夹角的定义：已知两个非零向量a,b(如图），O是平面上的任意一点，作OA⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b,则∠AOB=θ(0⩽θ⩽π)叫做向量a与b的夹角.思考3：你能用文字语言来表述功的计算公式吗？如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？向量数量积的定义：已知两个非零向量教师提出学生已学过的关于功的问题，让学生思考.学生作答：W=|F||s|·cosθ.教师提问，从而引出两向量夹角的定义学生指出：上述公式中的角是力与所发生的位移的夹角学生认识向量夹角的定义，教师指出：显然，当θ=0时,a与b同向;当θ=π时，，a与b反向.如果a与b的夹角是π2,我们说a与b垂直，记作a⊥b.教师提问，学生思考讨论.教师给出向量数量积的定义，要求学生识记.能够通过物理学中功的概念及求功公式中夹角的定义，得出向量夹角的定义，进而得出向量数量积的定义，提升学生的学习能力.a与b , 它们的夹角为θ ,我们把数量|a∥b|cosθ叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a⋅b,即a⋅b=|a∥b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.深化概念1思考4：向量的数量积运算与向量的线性运算的结果有什么不同？（两个向量的内积是数量还是向量？）思考5：两个非零向量数量积的计算结果的符号由公式中的哪个量决定？思考6：反过来，由向量数量积的正负能得到向量夹角的范围吗？教师提问，学生进行讨论，教师总结向量的数量积是一个实数，而向量线性运算的结果还是一个向量这是二者的显著区别教师让学生分小组讨论完成思考5和思考6，得出结论：1.a⋅b表示的是数量而不是向量，符号由cosθ决定.2.记法“a⋅b”中间的“·”不可以省略，也不可以用“×”代替3.向量夹角的范围是0⩽θ⩽π.让学生从“数”的角度认识向量数量积的概念，使学生不仅认识到向量的数量积与向量线性运算的结果有着本质的不同，而且认识到向量的夹角是决定向量数量积的重要因素，为后面更好地理解向量量积的性质打下基础.形成概念2 思考7：如图，设a，b是两个非零向量，AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a,CD⃗⃗⃗⃗⃗ =b,a与b的夹角为θ,你能在图中作出|a|cosθ的几何图形吗？学生作图思考，集体核对.教师给出投影向量的概念：如图，设a,b是两个非零向量，AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a,CD⃗⃗⃗⃗⃗ =b,我们考虑如下的变换：过AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的起点A和终点B，分别作CD⃗⃗⃗⃗⃗所在直线的垂线，垂足分别为 A1,B1, 得到 A1B1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,通过作图增强学生的数形结合意识，提升其直观想象核心素养.思考 8: 如图 ,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a,ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b, 过点 M 作直线ON 的垂线，垂足为M 1, 则OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1 就是向量 a 在向量b 上的投影向量.设与b 方向相同的单位向量为e ，a 与b 的夹角为θ, 那么 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1 与 e,a,θ之间有怎样的关系？ 提示：分θ为锐角、直角、钝角以及θ=0，θ=π 等情况进行说明.显然 ,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1 与 e 共线,于是 OM 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λe . 当 θ 为锐角时(如图(1)),OM 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 e 方向相同 ,λ=|OM 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|a|cosθ, 所以OM 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|OM 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |e =|a|cosθe; 当 θ 为直角时 ( 如图 (2)),λ=0, 所以OM 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0=|a|cosπ2e;我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 叫做向量a 在向量b 上的投影向量.学生分组进行讨论、思考，学生代表进行总结教师给予指导、总结.教师提示学生要把角θ分为各种情况进行讨论，不能一概而论.当θ=0时,λ=|a|,所以⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|a|e=|a|cos0e;OM1当θ=π时,λ=−|a|,所以⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−|a|e=|a|cosπeOM1从上面的讨论可知，对于任意的θ∈[0,π]，都有⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|a|cosθeOM1思考9：当两个非零向量a,b相互平行或垂直时，它们的数量积有怎样的特殊性？设a,b是非零向量，它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量，则(1)a⋅e=e⋅a=|a|cosθ(2)a⊥b⇔a⋅b=0（3）当a与b同向时，a⋅b=|a∥b|；当a与b反向时，a⋅b=−|a∥b|.特别地，a⋅a=|a|2或|a|=√a⋅a此外,由|cosθ|⩽1还可以得到(4)|a⋅b|⩽|a∥b|板书设计教学研讨本节内容围绕着几个思考展开，每一个思考下面都有相应的知识点，对于每一个思考，教师应该给予学生充分的讨论探究时间，这样设计有助于培养学生自主学习的能力.例题的设置是采用了教材上的例题，例题所对应的知识点很单一，如果时间允许，可以在教材例题的基础上再加一些经典题目，这样效果会更好.。
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6.2.4向量的数量积学习目标核心素养1．平面向量的数量积．(重点)2．投影向量的概念．(难点)3．向量的数量积与实数的乘法的区别．(易混点)1．通过平面向量的物理背景给出向量数量积的概念和几何意义的学习，培养数学建模和数学抽象的核心素养．2．通过向量数量积的运算学习，提升数学运算和数据分析的核心素养.大力士拉车，沿着绳子方向上的力为F，车的位移是s，力和位移的夹角为θ.问题：该大力士所做的功是多少？1．两向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．(2)特例：①当θ＝0时，向量a，b同向．②当θ＝π时，向量a，b反向．③当θ＝π2时，向量a，b垂直，记作a⊥b.2．平面向量数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|·cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.思考1：向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？ [提示] 两个向量数量积的运算结果是一个数量，向量线性的结果是向量． 3．投影向量设a ，b 是两个非零向量，AB →＝a ，CD →＝b ，过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1→，这种变换为向量a 向向量b 投影，A 1B 1→叫做向量a 在向量b 上的投影向量．4．向量数量积的性质设a ，b 是非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，则 (1)a·e ＝e·a ＝|a |cos θ. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b |； 当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b |. 特别地，a·a ＝|a |2或|a |＝a·a . (4)|a·b|≤|a||b |.5．向量数量积的运算律 (1)a·b ＝b·a .(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .思考2：a ·(b ·c )＝(a ·b )·c 成立吗？[提示] (a ·b )·c ≠a ·(b ·c )，因为a ·b ，b ·c 是数量积，是实数，不是向量，所以(a ·b )·c 与向量c 共线，a ·(b ·c )与向量a 共线．因此，(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )在一般情况下不成立．拓展：1．两个向量a，b的夹角为锐角时，a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b 的夹角为钝角时，a·b<0且a，b不共线．2．数量积的定义中要注意两向量的夹角一定要同起点．两向量夹角的范围是[0，π]．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若a·b＝0，则a＝0或b＝0. ()(2)若λa＝0，则λ＝0或a＝0. ()(3)若a2＝b2，则a＝b或a＝－b. ()(4)若a·b＝a·c，则b＝c. ()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×2．已知单位向量a，b，夹角为60°，则a·b＝()A．12B．32C．1D．－12A[a·b＝1×1×cos 60°＝1 2.]3．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为()A．π6B．π4C．π3D．π2C[由条件可知，cos θ＝a·b|a||b|＝21×4＝12，又∵0≤θ≤π，∴θ＝π3.]4．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，且a与b的夹角为60°，那么a·b＝________.3[a·b＝|a||b|cos 60°＝2×3×12＝ 3.]平面向量的数量积运算【例1】 (1)已知|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，求(a ＋2b )·(a ＋3b )． (2)如图，在▱ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝3，∠DAB ＝60°，求：①AD →·BC →；②AB →·DA →. [解] (1)(a ＋2b )·(a ＋3b ) ＝a·a ＋5a·b ＋6b·b ＝|a |2＋5a·b ＋6|b |2 ＝|a |2＋5|a ||b |cos 60°＋6|b |2＝62＋5×6×4×cos 60°＋6×42＝192. (2)①因为AD →∥BC →，且方向相同， 所以AD →与BC →的夹角是0°，所以AD →·BC →＝|AD →||BC →|·cos 0°＝3×3×1＝9. ②因为AB →与AD →的夹角为60°， 所以AB →与DA →的夹角为120°， 所以AB →·DA →＝|AB →||DA →|·cos 120° ＝4×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－6.求平面向量数量积的步骤(1)求a 与b 的夹角θ，θ∈[0，π]． (2)分别求|a |和|b |.(3)求数量积，即a·b ＝|a ||b |cos θ，要特别注意书写时a 与b 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省略．[跟进训练]1．(1)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角θ为60°，求：①a ·b ；②(2a －b )·(a ＋3b )．(2)设正三角形ABC 的边长为2，AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，求a ·b ＋b ·c ＋c ·a . [解] (1)①a ·b ＝|a ||b |cos θ＝2×3×cos 60°＝3. ②(2a －b )·(a ＋3b )＝2a 2＋5a ·b －3b 2＝2|a |2＋5a ·b －3|b |2＝2×22＋5×3－3×32＝－4.(2)∵|a |＝|b |＝|c |＝2，且a 与b ，b 与c ，c 与a 的夹角均为120°， ∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝2×2×cos 120°×3＝－3.与向量模有关的问题(2)已知向量a 与b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a ＋b |＝10，求|b |. [思路探究] 灵活应用a 2＝|a |2求向量的模．(1)23 [|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋2·|a |·|2b |·cos 60°＋(2|b |)2 ＝22＋2×2×2×12＋22＝4＋4＋4＝12， 所以|a ＋2b |＝12＝2 3.] (2)[解] 因为|2a ＋b |＝10， 所以(2a ＋b )2＝10， 所以4a 2＋4a·b ＋b 2＝10.又因为向量a 与b 的夹角为45°且|a |＝1，所以4×12＋4×1×|b|×22＋|b|2＝10，整理得|b|2＋22|b|－6＝0，解得|b|＝2或|b|＝－32(舍去)．求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．(3)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．[跟进训练]2．若向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|a－2b|＝7，则|b|＝()A．12B．72C．1D．2C[设向量a，b的夹角为θ，因为|a－2b|2＝|a|2＋4|b|2－4|a||b|cos θ，又θ＝120°，|a|＝1，|a－2b|＝7，所以7＝1＋4|b|2＋2|b|，解得|b|＝－32(舍去)或|b|＝1.故选C．]与向量垂直、夹角有关的问题1．设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？[提示]a⊥b⇔a·b＝0.2．|a·b|与|a||b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？[提示]|a·b|≤|a||b|，设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ.两边取绝对值得：|a·b|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|.当且仅当|cos θ|＝1，即cos θ＝±1，θ＝0°或π时，取“＝”，所以|a·b|≤|a||b|，cos θ＝a·b|a||b|.【例3】(1)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋k e2与k e1＋e2的夹角为锐角，则k的取值范围为________．(2)已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．[思路探究](1)两个向量夹角为锐角等价于这两个向量数量积大于0且方向不相同．(2)由互相垂直的两个向量的数量积为0列方程，推出|a|与|b|的关系，再求a 与b的夹角．(1)(0,1)∪(1，＋∞)[∵e1＋k e2与k e1＋e2的夹角为锐角，∴(e1＋k e2)·(k e1＋e2)＝k e21＋k e22＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，∴k＞0.当k＝1时，e1＋k e2＝k e1＋e2，它们的夹角为0°，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围为k＞0且k≠1.](2)[解]由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋3b )·(7a －5b )＝0，(a －4b )·(7a －2b )＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧7a 2＋16a·b －15b 2＝0， ①7a 2－30a·b ＋8b 2＝0， ②②－①得23b 2－46a·b ＝0， ∴2a·b ＝b 2，代入①得a 2＝b 2， ∴|a |＝|b |，∴cos θ＝a·b |a ||b |＝12b2|b |2＝12. ∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.1．将本例(1)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k 的取值范围．[解] ∵e 1＋k e 2与k e 1＋e 2的夹角为钝角，∴(e 1＋k e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 21＋k e 22＋(k 2＋1)e 1·e 2＝2k ＜0， ∴k ＜0.当k ＝－1时，e 1＋k e 2与k e 1＋e 2方向相反，它们的夹角为π，不符合题意，舍去．综上，k 的取值范围是k ＜0且k ≠－1.2．将本例(1)中的条件“锐角”改为“π3”，求k 的值． [解] 由已知得|e 1＋k e 2|＝e 21＋2k e 1·e 2＋k 2e 22＝1＋k 2，|k e 1＋e 2|＝k 2e 21＋2k e 1·e 2＋e 22＝k 2＋1，(e 1＋k e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 21＋k e 22＋(k 2＋1)e 1·e 2＝2k ，则cos π3＝(e 1＋k e 2)(k e 1＋e 2)|e 1＋k e 2||k e 1＋e 2|＝2k 1＋k 2， 即2k 1＋k2＝12，整理得k 2－4k ＋1＝0， 解得k ＝4±122＝2±3.1．求向量夹角的方法(1)求出a·b ，|a |，|b |，代入公式cos θ＝a·b|a ||b |求解． (2)用同一个量表示a·b ，|a |，|b |，代入公式求解． (3)借助向量运算的几何意义，数形结合求夹角．2．要注意夹角θ的范围θ∈[0，π]，当cos θ＞0时，θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2；当cos θ＜0时，θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，当cos θ＝0时，θ＝π2.一、知识必备1．两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0,0≤θ＜π2时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0，π2＜θ≤π时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝π2时)．2．两非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a ·b ＝0，求向量模时要灵活运用公式|a |＝a 2. 二、方法必备1．求两个非零向量a ，b 的夹角θ或其余弦值一般采用夹角公式cos θ＝a·b |a||b |，根据题中条件分别求出|a |，|b |和a·b ，确定θ时要注意θ∈[0，π]．2．由夹角范围求参数的取值范围一般利用以下结论：对于非零向量a ，b ，其夹角为θ，则θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2⇔a·b ＞0；θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π⇔a·b ＜0，转化为不等式(组)求解．1．在▱ABCD 中，∠DAB ＝30°，则AD →与CD →的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°D [如图，AD →与CD →的夹角为∠ABC ＝150°.]2．已知单位向量a ，b ，则(2a ＋b )·(2a －b )的值为( ) A ． 3 B ． 5 C ．3D ．5C [由题意得(2a ＋b )·(2a －b )＝4a 2－b 2＝4－1＝3.]3．已知平面向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 的夹角为( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6C [因为a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝4＋2cos 〈a ，b 〉＝3，所以cos 〈a ，b 〉＝－12，又因为〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝2π3.]4．已知向量a 与b 的夹角是π3，且|a |＝1，|b |＝2，若(3a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝________.－3 [根据题意得a·b ＝|a |·|b |cos π3＝1，因为(3a ＋λb )⊥a ，所以(3a ＋λb )·a ＝3a 2＋λa ·b ＝3＋λ＝0，所以λ＝－ 3.]5．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，AB →·AC →＝8，则△ABC 的形状是________． 等边三角形 [因为AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ，即8＝4×4cos ∠BAC ，于是cos∠BAC＝12，所以∠BAC＝60°.又AB＝AC，故△ABC是等边三角形．]11/11。