(高一新教材第二册配套学案) 向量的数量积

6.2.4向量的数量积

学习目标核心素养

1．平面向量的数量积．(重点)

2．投影向量的概念．(难点)

3．向量的数量积与实数的乘法的区

别．(易混点)

1．通过平面向量的物理背景给出向量

数量积的概念和几何意义的学习，培养

数学建模和数学抽象的核心素养．

2．通过向量数量积的运算学习，提升

数学运算和数据分析的核心素养.

大力士拉车，沿着绳子方向上的力为F，车的位移是s，力和位移的夹角为θ.

问题：该大力士所做的功是多少？

1．两向量的夹角

(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA

→

＝a，OB

→

＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．

(2)特例：①当θ＝0时，向量a，b同向．

②当θ＝π时，向量a，b反向．

③当θ＝

π

2时，向量a，b垂直，记作a⊥b.

2．平面向量数量积的定义

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|·cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.

规定：零向量与任一向量的数量积为0.

思考1：向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？ [提示] 两个向量数量积的运算结果是一个数量，向量线性的结果是向量． 3．投影向量

设a ，b 是两个非零向量，AB →＝a ，CD →＝b ，过AB →

的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1→

，这种变换为向量a 向向量b 投影，A 1B 1→

叫做向量a 在向量b 上的投影向量．

4．向量数量积的性质

设a ，b 是非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，则 (1)a·e ＝e·a ＝|a |cos θ. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0.

(3)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b |； 当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b |. 特别地，a·a ＝|a |2或|a |＝a·a . (4)|a·b|≤|a||b |.

5．向量数量积的运算律 (1)a·b ＝b·a .

(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .

思考2：a ·(b ·c )＝(a ·b )·c 成立吗？

[提示] (a ·b )·c ≠a ·(b ·c )，因为a ·b ，b ·c 是数量积，是实数，不是向量，所以(a ·b )·c 与向量c 共线，a ·(b ·c )与向量a 共线．因此，(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )在一般情况下不成立．

拓展：

1．两个向量a，b的夹角为锐角时，a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b 的夹角为钝角时，a·b<0且a，b不共线．

2．数量积的定义中要注意两向量的夹角一定要同起点．两向量夹角的范围是[0，π]．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若a·b＝0，则a＝0或b＝0. ()

(2)若λa＝0，则λ＝0或a＝0. ()

(3)若a2＝b2，则a＝b或a＝－b. ()

(4)若a·b＝a·c，则b＝c. ()

[答案](1)×(2)√(3)×(4)×

2．已知单位向量a，b，夹角为60°，则a·b＝()

A．1

2B．

3

2C．1D．－

1

2

A[a·b＝1×1×cos 60°＝1 2.]

3．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为()

A．π

6B．π

4C．

π

3D．

π

2

C[由条件可知，cos θ＝a·b

|a||b|

＝2

1×4

＝1

2

，

又∵0≤θ≤π，∴θ＝π

3.]

4．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，且a与b的夹角为60°，那么a·b＝________.

3[a·b＝|a||b|cos 60°＝2×3×1

2

＝ 3.]

平面向量的数量积运算

【例1】 (1)已知|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，求(a ＋2b )·(a ＋3b )． (2)如图，在▱ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →

|＝3，∠DAB ＝60°，求：

①AD →·BC →；②AB →·DA →. [解] (1)(a ＋2b )·(a ＋3b ) ＝a·a ＋5a·b ＋6b·b ＝|a |2＋5a·b ＋6|b |2 ＝|a |2＋5|a ||b |cos 60°＋6|b |2

＝62＋5×6×4×cos 60°＋6×42＝192. (2)①因为AD →∥BC →

，且方向相同， 所以AD →与BC →

的夹角是0°，

所以AD →·BC →＝|AD →||BC →|·cos 0°＝3×3×1＝9. ②因为AB →与AD →

的夹角为60°， 所以AB →与DA →

的夹角为120°， 所以AB →·DA →＝|AB →||DA →|·cos 120° ＝4×3×⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－12＝－6.

求平面向量数量积的步骤

(1)求a 与b 的夹角θ，θ∈[0，π]． (2)分别求|a |和|b |.

(3)求数量积，即a·b ＝|a ||b |cos θ，要特别注意书写时a 与b 之间用实心圆点