中考复习二次函数综合题精选(教师版)

中考复习《二次函数的综合》精选

1．如图，二次函数c x y +-=221的图象经过点D ⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-29,3，与x 轴交于A 、B 两点．

⑴求c 的值；

⑵如图①，设点C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点，直线AC 将四边形ABCD 的面积二等分，试证明线段BD 被直线AC 平分，并求此时直线AC 的函数解析式； ⑶设点P 、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P 、Q ，使△AQP ≌△ABP ？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用）

解：⑴ ∵抛物线经过点D (2

9

,3-)

∴29)3(212=+-⨯-c

∴c=6.

⑵过点D 、B 点分别作AC 的垂线，垂足分别为E 、F ，设AC 与BD 交点为M ， ∵AC 将四边形ABCD 的面积二等分，即：S △ABC =S △ADC ∴DE =BF 又∵∠DME =∠BMF ， ∠DEM =∠BFE ∴△DEM ≌△BFM

∴DM =BM 即AC 平分BD

∵c =6. ∵抛物线为621

2+-=x y

∴A （0,32-）、B （0,32） ∵M 是BD 的中点 ∴M （

4

9

,23） 设AC 的解析式为y =kx +b ，经过A 、M 点

∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-49

2

3032b k b k 解得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧==59

1033b k ∴直线AC 的解析式为5

9

1033

+=x y . ⑶存在．设抛物线顶点为N (0，6)，在Rt △AQN 中，易得AN =43，于是以A 点为圆心，AB =43为半径作圆与抛物线在x 上方一定有交点Q ，连接AQ ，再作∠QAB 平分线AP 交抛物线于P ，

连接BP 、PQ ，此时由“边角边”易得△AQP ≌△ABP ．

2．已知一次函数y ＝121+x 的图象与x 轴交于点A ．与y 轴交于点B ；二次函数c

bx x y ++=221

图象与一次函数y ＝12

1

+x 的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点且D 点的坐标为)0,1(

（1）求二次函数的解析式； （2）求四边形BDEF 的面积S ；

（3）在x 轴上是否存在点P ，使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求

出所有的点P ，若不存在，请说明理由。

【答案】解：（1）∵ 由题意知:当x=0时,y=1, ∴B （0，1）,当y=0时,x =－2, ∴A （－2，0）

∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=0211c b c 解得⎪⎩

⎪

⎨⎧-==231

b c ,所以123212+-=x x y

（2）当y=0时,

0123

212=+-x x ,解得x 1=1,x 2=2, ∴D(1,0) E(2,0) ∴AO =3,AE =4. S =S △CAE －S △ABD ，S =OB AD AE ⨯-⨯2

1

321，S=4.5, (3)存在点P (a,0),当P 为直角顶点时,如图,过C 作CF ⊥x 轴于F , ∵Rt △BOP ∽Rt △PFC ,

由题意得，AD ＝6，OD ＝1，易知，AD ∥BE ，

∴

CF OP PF BO =．即3

41a a =-,整理得:a 2

－4a －3=0,解得a =1或a =3,所以所求P 点坐标为(1,0)

或(3,0).综上所述,满足条件的点P 有两个.

3．如图（1），抛物线42y x x =+-与y 轴交于点A ，E （0，b ）为y 轴上一动点，过点E 的直线y x b =+与抛物线交于点B 、C .

4b >-时，上述关系还b ；若不

解：

（

1）将x =0，代入抛物线解析式，得点A 的坐标为（0，－4） （2）当b ＝0时，直线为y x =，由2

4y x y x x =⎧⎨=+-⎩解得112x y =⎧⎨⎩，22x =-⎧⎨ 所以B 、C 的坐标分别为（－2，－2），（2，2） 14242ABE S =⨯⨯=，1

4242ACE S =⨯⨯=

所以ABE

ACE

S

S

=（利用同底等高说明面积相等亦可） 当4b >-时，仍有ABE

ACE

S S

=成立. 理由如下

由2

4y x b y x x =+⎧⎨=+-⎩，解得11x y b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，22x y b

⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以B 、C b ），b ）， 作BF y ⊥轴，CG y ⊥轴，垂足分别为F 、G ，则BF CG == 而ABE 和ACE 是同底的两个三角形， 所以ABE

ACE

S

S

=.

（3）存在这样的b .

因为90BF CG,BEF CEG,BFE CGE =∠=∠∠=∠=︒ 所以BEF CEG ≅

所以BE CE =，即E 为BC 的中点

所以当OE =CE 时，OBC 为直角三角形 因为44GE b b b b GC =++-=+= 所以 24CE b =⋅+，而OE b =

所以24b b ⋅+=，解得124,2b b ==-， 所以当b ＝4或－2时，ΔOBC 为直角三角形.

4． 如图，在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，-3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点.

（1）求这个二次函数的表达式． （2）连结PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP /

C ， 那么是否存在点P ，使四边形POP /

C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）当点P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积.

【答案】解：（1）将B 、C 两点的坐标代入得⎩

⎨⎧-==+30

3c c b

解得：⎩⎨⎧-=-=3

2

c b

所以二次函数的表达式为：322--=x x y

（2）存在点P ，使四边形POP /

C 为菱形．设P 点坐标为（x ，

322--x x ），

PP /

交CO 于E

若四边形POP /

C 是菱形，则有PC ＝PO ．

连结PP / 则PE ⊥CO 于E ，