运筹学课程08-存贮论

39
NEUQ
存贮量 斜率 = P-R 斜率 = -R
Ｔ
t
决策变量: t 和 Q 在[0,T]区间内存贮以P-R 速度增加，在[T,t]内存贮以R 速度减少。且有PT = Rt， Ｔ 天数 所以 T t = Rt/P 又因 Q = PT，所以 Q = Rt
40
NEUQ
存贮量 斜率 = P-R 斜率 = -R
“订购点”(或称订货点)
例：某商店经售甲商品，成本单价500元。 年存贮费用为成本的20%，年需求量365 件，需求速度为常数．甲商品的定购费 为20元，提前期为十天，求 E.O.Q．及 最低费用。
35
NEUQ
存贮量
解：此例应与模型一相同，只需在 存贮降至零时提前十天订货即可保 证需求。 由于提前期为10天，10天 内的需求为10单位甲商品，因此只 要当存贮降至10就要订货。一般设 t1为提前期，R为需求速度，当存贮 t1 L = Rt 降至 Ｔ1 时订货． t1 L称为“订购 天数 t t 点”(或称订货点)
存储策略的类型： t -循环策略: 每隔 T补充存储量 Q。
(t, S)策略: 当存量 x>S 时不补充, 当存量
x S 时, 补充量 Qi = S - x。 (t, s, S)策略: 每隔 T时间检查存储量, 当存 量 x > s 时不补充, 当存量 x 量 Q = S - x。 s时 , 补充
NEUQ
存贮论 Inventory Theory
需求与供给是一对矛盾
1
本章主要内容
一、问题的提出
NEUQ
二、发展概况
三、存贮论的基本概念
四、 确定性存贮模型
五、 随机性存贮模型
2
NEUQ
一、问题的提出

商店存货问题 水库蓄水问题 生产用料问题
？
？ ？

…………
3
NEUQ
例如，为了保证正常生产，工厂不可避免地要存储一 些原材料和半成品。当销售不畅时，工厂也会形成一 定的产成品存储（积压）；商品流通企业为了其经营 活动，必须购进商品存储起来；但对企业来说，如果 物资存储过多，不但占用流动资金，而且还占用仓储 空间，增加保管成本，甚至还会因库存时间延长而使 存货出现变质和失效带来损失。反之，若物资存储过 少，企业就会由于缺少原材料而被迫停产，或失去销 售机会而减少利润，或由于缺货需要临时增加人力和 成本。
结构、目标函数以及所采用的存贮策略．决策 者通过何时订货、订多少货来对系统实施控制 ．
21
NEUQ
四、 确定性存贮模型
模型1: 不允许缺货，生产时间很短
（ 经济订购批量 or E.O.Q
Economic ordering quantity ）
22
NEUQ
假设


缺货费用无穷大； 当存贮降至零时，可以得到立即补充； 需求是连续的、均匀的； 每次订货量不变，订购费用不变（每次 生产量不变，装配费不变）； 单位存贮费不变。
13
NEUQ
缺货费：指当存贮不能满足需求而造成的损失
费．如停工待料造成的生产损失、因货物脱销 而造成的机会损失(少得的收益)、延期付货所 支付的罚金以及因商誉降低所造成的无形损失 等． 在有些情况下是不允许缺货的。如战争中缺少 军械、弹药等将造成人员重大伤亡乃至战败， 血库缺血将造成生命危害等，这时的缺货费可 视为无穷大。
28
2C1C3 R
某轧钢厂每月按计划需产角钢3000吨，每吨每月需存储
费5.3元，每次订购共需准备费2500元，问：全年总费用? 按E.O.Q公式计算每次订购批量
NEUQ
Q* 2 C3 (订购费) R(需求速度) C （存储费） 1 2 2500 3000 5.3 1682 (吨)
括生产费、订货费、存贮费、缺货费及另外相关的费
用．
生产费: 自行生产所需存贮物资的费用。生产费是装配
费与货物费之和，装配费是生产前进行组织准备，生
产后进行清洗保养等费用的总和，只与生产次数相关， 而与每次生产的数量无关，货物费与生产的数量有关， 如原材料和零配件成本，直接加工费等。
12
NEUQ
19
NEUQ
存贮类型
存储模型
确定性存贮模型
随机性存贮模型 在存贮模型中，目标函数是选择最优策略的准 则．常见的目标函数是关于总费用或平均费用或 折扣费用(或利润)的．最优策略的选择应使费用 最小或利润最大。
20
NEUQ
综上所述，一个存贮系统的完整描述需要知
道需求、供货滞后时间、 缺货处理方式、费用
补充
存
贮
需求
7
需求

NEUQ
存贮的目的是为了满足需求。因为未来的需求，必 须有一定的存贮。从存贮中取出一定数量，这将使 存贮数量减少，这就是存贮的输出。有的需求是间 断的，例如铸造车间每隔一段时间提供一定数量的 铸件给加工车间 ；有的需求是均匀连续的，例如在 自动装配线上每分钟装配若干件产品或部件；有的 需求是确定的，如公交公司每天开出数量确定的公 交车；有的需求是随机的，如商场每天卖出商品的 品种和数量；有的需求是常量，有的需求是非平稳 的。总之存储量因需求的满足而减少。
4
NEUQ
二、发展概况
1915年美国经济学家哈里斯(Harris F.）对商业中的 库存问题建立了一个简单模型，并求得了最优解，但未被 人们注意。1918年威尔逊（Wilson R.H)建立确定性库存 模型，并重新得出了哈里斯的公式，被称为威尔逊公式。 二次大战后开始研究随机性库存模型。50年代美国的经济 学家们研究了最优存储策略... 随着存储问题的日趋复杂，所运用的数学方法日趋多 样。其不仅包含了常见的数学方法，概率统计、数值计算 方法，而且也包括运筹学的其它分支，如排队论、动态规 划、马尔科夫决策规划等。随着企业管理水平的提高，存 储论将得到更广泛的应用。
将按照这一思路分别介绍，并从中得出相应的存贮策 略
15
常用主要变量
单位存贮费用
NEUQ
C1
C1
缺货费用
订购费用
C2
C3
需求速度 R 订货数量 Q 货物单价 K
订货时间间隔 t
总平均费用 C(t)
16
NEUQ
• 存贮策略
How Much? When ?
17
NEUQ
29
NEUQ
最佳生产批量
例1 :某厂按合同每年需提供 D 个产品，不 许缺货。假设每一周期工厂需装配费 C3 元。 存贮费每年每单位产品为 C1 元，问全年应 分几批供货才能使装配费、存贮费两者之 和最少？
30
NEUQ
设全年分 n 批供货，每批生产量 Q＝D／n，周期为 1/n 年(即每隔 1/n 年供 货一次)。
ห้องสมุดไป่ตู้18
NEUQ
确定存储策略时，首先是把实际问题抽象为数
学模型．在形成模型过程中，对一些复杂的条 件尽量加以简化，只要模型能反映问题的本质
就可以了．然后用数学的方法对模型进行求解，
得出数量的结论．这结论是否正确，还要到实 践中加以检验．如结论不符合实际，则要对模 型加以修改，重新建立、求解、检验，直到满 意为止。
5
NEUQ

存贮论所要解决的问题有两个：
（1）存贮多少数量最为经济 （2）间隔多长时间需要补充一次，以及补充多少 寻求合理的存贮量、补充量和补充周期是存贮论 研究的重要内容，由它们构成的方案叫存贮策略

6
NEUQ
三、存贮论的基本概念

存贮系统 是一个由补充、存贮、需求三个环节紧 密构成的运行系统。
8
NEUQ
Q
Q
S W
S W
t0
间断需求
T 连续需求
9
T
NEUQ
补 充

存贮因需求而减少，必须进行补充，否则会终因存贮 不足无法满足需求。 存贮论中的补充可以分为外部 订货和内部生产两种方式，不仅从外单位组织货源， 有时也由本单位组织生产或是车间之间、班组之间甚 至前后工序之间的产品交接，都可称为订货。 订货有当即订货就当即到货的，也有定货后需要一段 时间才能到货的。如果所需货物能一次性得到满足， 供应速率可以看成是无穷大，称为瞬时供货。
3000 12 n 21.4(次) * Q
*
两次订购相隔的时间t*=（365/21.4）≈17(天) 17天的单位存储费(5.3/30)×17=3.00(元/吨)，
共需费用5.3/30×17×1682+2500≈5025(元)。
按全年订购21.5次(两年订购43次)计算，全年共需费用 5025×21.5=108037(元/年)。
2C3 t C1 R
*
最佳订货批量
2C3 R Q Rt C1
* *
27
最佳费用
2C3 C1 R 1 KR C1 R 2C3 2 C1 R
NEUQ
C ( t ) C3
*
2C1C3 R KR
经济订购批量公式（EOQ）
C ( t ) C3
*
2C3 C1 R 1 C1 R 2C3 2 C1 R
每个周期内平均存贮量为(1/2)Q，
每个周期内的平均存贮费用为
1 1 Q C1 2 n
C1Q 2n
31
NEUQ
全年所需存贮费用
C1Q C1Q n 2n 2
全年所需装配费用
D C3 n C3 Q
32
NEUQ
全年总费用(以年为单位的平均费用)，
Q D C(Q) C1 C3 2 Q
存贮状态:
[0,T] ( P-R) I( ) ( P-R)T - R( - T ) [T , t ]
每一期的存贮量:

Ｔ
t
t
0
I( )d
Ｔ
1 ( P - R )Tt 2
每一期的存贮费 : 天数 t
1 C1 ( P - R )Tt 2
10

NEUQ

一般的，订货时要考虑从订货起到货物运到 之间的滞后时间。滞后时间分为两部分，从 开始订货到货物达到为止的时间称为拖后时
间，另一部分时间为开始补充到补充完毕为
止的时间。滞后的出现使库存问题变得复杂， 但存贮量总会因补充而增加。
11
存贮费用
NEUQ
存贮策略的衡量标准是考虑费用的问题，所以必须对 有关的费用进行详细分析，存贮系统中的费用通常包
25
NEUQ
存贮费 平均存贮量 : Rt/2 单位时间存储费: C1 平均存储费: RtC1/2 t时间内平均总费用： C3 1 C (t ) KR C1 Rt t 2 平均订货费
26
NEUQ
求极小值
C3 1 dC ( t ) 2 C1 R 0 dt t 2
最佳订货间隔（周期）
23
NEUQ
接收 订货
Q
存贮消耗 (需求率为Ｒ)
Q — 2
平均 存贮量
0
t0
24
NEUQ
假定每隔t时间补充一次存贮 • R -- 单位时间的需求量 • Rt -- t时间内的总需求量 • Q = Rt -- 订货量 订货费 C3 -- 订购费，K -- 货物单价 订货费为: C3 + KQ= C3+KRt 平均订货费: C3/t +KR
为求出 C(Ｑ)的最小值，把Ｑ看作连续的变量
dC(Q) Q D 令 (C1 C3 ) Q 0 dQ 2 Q C1 D C3 2 2 Q Q
*
2C3 D C1
33
NEUQ
最佳批次
n
最佳周期
*
D * Q t
*
C1 D 2C3
2C3 C1 D
t 取整数。
34
*
NEUQ
14
NEUQ
存贮问题是由“需求”，“补充”，“费用”三项构
成的，不同的“需求”，“补充”，“费用”自然会 构成不同的存贮问题。
比如，根据需求的不同，有确定型存贮问题与随机型
存贮问题；根据补充方式的不同，有批量定货问题与 批量生产问题；根据费用构成的不同，又可分为允许
缺货的存贮问题和不允许缺货的存贮问题，以下各节
36
NEUQ
模型2: 不允许缺货，生产需一定时间
37
NEUQ
假设




缺货费用无穷大； 不能得到立即补充，生产需一定时间； 需求是连续的、均匀的； 每次订货量不变，订购费用不变（每次 生产量不变，装配费不变）； 单位存贮费不变。
38
NEUQ
符号： Q -- 生产批量（订货量） T -- 生产时间 P = Q/T -- 生产速度 R -- 需求速度 (R < P) P - R -- 存贮速度 (生产时，同时也在消耗)
订货费：向外采购物资的费用。订货费等于订
购费与货物费之和。定购费是采购人员的差旅 费，手续费，最低起运费等费用之和，与定货 量无关，只与订货次数有关；货物费与订货量 有关，一般情况下它等于货物数量与货物单价 的乘积。 存贮费：包括仓库保管费(如用仓库的租金或 仓库设施的运行费、维修费、管理人员工资 等)、货物维修费、保险费、积压资金所造成 的损失(利息、资金占用费等)、存储物资变坏、 陈旧、变质、损耗及降价等造成的损失费。