八下数学第三章第三章
北师大版八年级下册数学第三章 图形的平移与旋转第2节《图形的旋转(1)》教学设计
第三章图形的平移与旋转2．图形的旋转（一）一、学生起点分析学生在七年级下学期已经学习了“生活中的轴对称”一节，而且在本章的第一节，学生又经历了探索图形平移性质的过程，已经积累了相当的图形变换的数学活动经验，同时八年级学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力、记忆能力和想象能力也在迅速发展，他们有强烈的独立思考、自主探索的愿望，这些对本节的学习都会有帮助。
但旋转是三种变换中难度较大的一种，图形也比较复杂，因此，学生对旋转图形的形成过程的理解仍会有一定的困难。
二、教学任务分析图形的旋转是继平移、轴对称之后的又一种图形基本变换，是义务教育阶段数学课程标准中图形变换的一个重要组成部分。
教材从学生实际接触、观察到的一些现象出发，从具体到抽象，从感性到理性，从实践到理论，再用理论检验实践，循序渐进地指导学生认识自然界和生活中的旋转，进而探索其性质。
因此，旋转是培养学生思维能力、树立运动变化观点的良好素材；同时“图形的旋转”也为本章后续学习对称图形、中心对称图形做好准备，为今后学习“圆”的知识内容做好铺垫。
教学目标知识与能力：通过具体事例认识旋转，理解旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等的性质.过程与方法：经历对生活中与旋转现象有关的图形进行观察、分析、欣赏、以及动手操作、画图等过程，掌握有关画图的操作技能，发展初步的审美能力，增强对图形欣赏的意识.情感态度价值观：引导学生用数学的眼光看待有关问题，发展学生的数学观，学到活生生的数学.重点：类比平移与旋转的异同，掌握旋转的定义和基本性质，并利用数学知识解释生活中的旋转现象.难点：探索旋转的性质，特别是，对应点到旋转中心的距离相等.三、教学过程设计第一环节创设情境，引入新知演示俄罗斯方块游戏，构成游戏的模块均是由一个小正方形平移变换而来，通过学生玩游戏，发现除了平移运动之外还有旋转运动.引导学生列举出一些具有旋转现象的生活实例，引出课题：“生活中的旋转”。
部编版(人教版)八年级数学下册目录
部编版(人教版)八年级数学下册目录1. 第一章有理数- 1.1 有理数的概念与表示- 1.2 有理数的加减法- 1.3 有理数的乘除法- 1.4 有理数的应用2. 第二章美的光影——相似与全等- 2.1 图形的旋转- 2.2 图形的翻转- 2.3 相似与全等的基本概念- 2.4 相似三角形的判定与性质- 2.5 海伦公式及应用3. 第三章数据的亲戚——概率- 3.1 随机事件与概率- 3.2 等可能事件与概率- 3.3 互斥事件与相关事件的概率- 3.4 概率的运算与应用4. 第四章陶菲利尼调色法——等比与菱形二层结构- 4.1 等比数列的基本性质- 4.2 等比数列的求和与应用- 4.3 菱形二层结构的应用5. 第五章平面直角坐标系- 5.1 平面直角坐标系的引入与标识- 5.2 点的坐标与坐标的表示- 5.3 直线与方程- 5.4 解直线方程6. 第六章相遇于“二”- 6.1 二次根式的引入和计算- 6.2 一元二次方程- 6.3 一元二次方程的应用- 6.4 平方差公式7. 第七章旅游地图——平行四边形与三角形- 7.1 平行四边形的性质- 7.2 平行四边形的判定- 7.3 三角形的基本概念与性质- 7.4 三角形的判定与性质8. 第八章立体几何的魅力- 8.1 空间几何的基本概念与性质- 8.2 锥体与棱柱- 8.3 球与圆的性质与计算以上是部编版(人教版)八年级数学下册的目录。
本册的内容涵盖有理数、相似与全等、概率、等比与菱形二层结构、平面直角坐标系、一元二次方程、平行四边形与三角形以及立体几何等主题。
每一章节都包含了相关的概念、性质、计算和应用。
北师大版八年级下册数学各章知识要点总结
北师大版八年级下册数学各章知识要点总结北师大版八年级下册数学各章学问要点总结北师大版八年级数学下册各章学问要点总结第一章一元一次不等式和一元一次不等式组一、一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。
1、能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2、不等式的解不唯一，把全部满意不等式的解集合在一起，构成不等式的解集.3、求不等式解集的过程叫解不等式.4、由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等式组5、不等式组的解集:一元一次不等式组各个不等式的解集的公共局部。
6、等式根本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式.根本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0)，所得的结果仍是等式.二、不等式的根本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.（注：移项要变号，但不等号不变。
）性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向转变.不等式的根本性质、若a>b,则ac>bc；、若a>b,c>0则ac>bc，若cc,则a>c四、一元一次不等式与一次函数五、一元一次不等式组※1.定义：由含有一个一样未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组.※2.一元一次不等式组中各个不等式解集的公共局部叫做不等式组的解集.假如这些不等式的解集无公共局部，就说这个不等式组无解.几个不等式解集的公共局部，通常是利用数轴来确定.※3.解一元一次不等式组的步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；（2）利用数轴求出这些解集的公共局部，（3）写出这个不等式组的解集.两个一元一次不等式组的解集的四种状况（a、b为实数，且a找公因式的一般步骤：（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；（2）取一样的字母，字母的指数取较低的；（3）取一样的多项式，多项式的指数取较低的.（4）全部这些因式的乘积即为公因式.四、分解因式的一般步骤为:（1）若有“-”先提取“-”，若多项式各项有公因式,则再提取公因式.（2）若多项式各项没有公因式,则依据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.五、形如a+2ab+b或a-2ab+b的式子称为完全平方式.六、分解因式的方法：1、提公因式法。
八年级下学期数学知识点总结
八年级下学期数学知识点总结第一章勾股定理定义：如果直角三角形两条直角边分别为a，b，斜边为c，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
判定：如果三角形的三边长a，b，c满足a +b = c ，那么这个三角形是直角三角形。
定义：满足a +b =c 的三个正整数，称为勾股数。
第二章实数定义:任何有限小数或无限循环小数都是有理数。
无限循环小数称为无理数(有理数总是可以用有限循环小数或无限循环小数来表示)一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x 就叫做a的算术平方根。
特别地，我们规定0的算术平方根是0。
一般地，如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根(也叫二次方根) 一个正数有两个平方根;0只有一个平方根，它是0本身;负数没有平方根。
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。
一般地，如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根(也叫做三次方根)。
正数的立方根是正数;0的立方根是0;负数的立方根是负数。
求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫做被开方数。
有理数和无理数统称为实数，即实数可以分为有理数和无理数。
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
即实数和数轴上的点是一一对应的。
在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。
第三章图形的平移与旋转定义:在一个平面内，一个图形沿着一定的方向移动一定的距离，这样的图形移动称为平移。
平移不会改变图形的形状和大小。
经过平移，对应点所连的线段平行也相等;对应线段平行且相等，对应角相等。
在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称旋转中心，转动的角称为旋转角。
旋转不改变图形的大小和形状。
任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。
第四章四边形性质探索定义：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离。
北师大版八年级下册数学 第三章 图形的平移与旋转 简单的图案设计
探究新知
方法总结 图案形成过程的分析方法
解这类题首先要仔细观察图形,找出构成该图形的基本 图案,这些基本图案一般都会重复多次出现,然后结合几 种图形变换的概念和性质看这些基本图案通过怎样的 变换才能最终得到所给图形.
巩固练习
变式训练
如图,甲、乙、丙、丁四个图中的图2是由图1经过轴对称、平移、 旋转这三种运动变换而得到的,请分别分析出它们是如何运动变 换的.图中每个方格的单位长度为1.
探究新知
方法总结
设计图案时要注意两点: 一是要把设计的图案当作一个整体,即整体构思; 二是作图的过程中可以把图案中几个相邻的基本图案当作 一个新的基本图案,要明确图案设计及作图的要求,图案作 完后,一定要检验图形是否符合题意.
巩固练习
变式训练
下列四个图形中,若以其中一部分作为基本图案,无论用旋转
还是平移都不能得到的图形是(
)
C
探究新知
知识点 4
图案设计欣赏
运动美
探究新知
运动美
探究新知
探究新知
★★★
★★★
★★★★★ ★★★★★
★★★★★★★★★★★
★★★★★★★★★
★★★★★★★
★★★★★
★★★
组合美
★
连接中考
（2020·枣庄）如图的四个三角形中，不能 由△ABC经过旋转或平移得到的是 ( B )
正方形组成.
课堂检测
能力提升题
1.为了美化环境,需在一块正方形的空地上分别种植四种不同的 花草.现要将这块空地分割成4块全等图形,且分割后整个图形成 中心对称图形.现给出一种画法(如图①),请按上述要求,再画出3 种不同的画法.
课堂检测 解:答案不唯一.如图所示:
八年级数学北师大版初二下册--第三单元 3.3《中心对称》(第二课时)课件
知1－讲
例2 如图，在下列图形中，中心对称图形有( C ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
导引：这些图形绕某一点旋转一定角度都能与原图形完 全重合，但旋转180°后能与原图形重合的有3个， 只有最后一个图形不重合．
总结
知1－讲
正多边形图案是否为中心对称图形的识别方法： 边数为偶数的正多边形图案是中心对称图形，
知识点 1 中心对称图形的定义
知1－导
问题
（1）如图，将线段AB绕它的中点旋转180°，你 有什么发现？
A
B
可以发现：线段AB绕它的中点旋转180°后与 它BCD 绕它的两条对角线的交点O旋
转180°，你有什么发现？
A
D
O
B
C
Y 可以发现： ABCD 绕它的两条对角线的交点O旋
第三章 图形的平移与旋转
3.3 中心对称
第2课时 中心对称图形
1 课堂讲解 2 课时流程
中心对称图形的定义 中心对称图形的性质 中心对称图形的作图
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
我们上节课学习了中心对称的相关知识，中心对 称是指两个图形的关系，而把这两个图形看作一个整 体是什么图形呢？是我们这节课所要学习的中心对称 图形.
相应地，与边数为偶数的正多边形具有类似的特 征的图形是中心对称图形；边数为奇数的正多边 形或具有类似的特征的图形一定不是中心对称图 形．
1 下列哪些图形是中心对称图形？
知1－练
解：中心对称图形有(1)(2)(3)．
（来自《教材》）
知1－练
2 下面扑克牌中，哪些牌的牌面是中心对称图形？
解：第一张和第三张牌的牌面是中心对称图形．
(2)本题还有其他分割方法，请分割试一试．
浙教版八下数学各章节知识点以及重难点
关注：梯形中常见的几种辅助线的画法.
补充：梯形的中位线定理，尤其关注其证明方法.
二.重点和难点：
重点：解方程的方法。
难点：建立方程模型解决实际问题。
第三章频数及其分布
一.知识点：
1.频数：所考察的对象出现的次数称为频数。频数的和等于总数。
2.频率：频数与总数的比值称为频率。频率的和等于1.
3.频数分布直方图：横半轴表示组别，纵半轴表示频数，用宽相等的长方形表示不同的频数分布情况，这样的图形称为频数分布直方图。
1）中心对称图形的定义以及常见的中心对称图形
定义：如果一个图形绕着某个点旋转180°后能和原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形。常见的中心对称图形有：平行四边形，英文大写字母S、Z。
2）经过对称中心的直线一定把中心对称图形的面积二等分，对称点的连线段一定经过对称中心且被对称中心平分.
4.三角形的中位线以及中位线定理
被开方数不含有开得尽方的数，所含因式是一次式（就是字母的次数是一次），被开方数不含分母。满足这三个条件的二次根式称为最简二次根式。
4.同类二次根式：
化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式称为同类二次根式。
5.二次根式的运算
（1）（减）法：先化简，再合并。
（2）乘（除）法：先乘除，再化简。
6．分母有理化：
3）菱形+有一个角是直角
注意：其他还有一些判定正方形的方法，但都不能作为定理使用.
5.梯形:一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形。
等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个底角相等；等腰梯形的对角线相等.
等腰梯形的判定：1）定义:两腰相等的梯形叫等腰梯形。
八年级数学下目录
八年级数学下第一章三角形证明1.等腰三角形2.直角三角形3.线段的垂直平分线4.角平分线4在中考中会出1道大题，分值在8—10分，还会和其他知识点结合出现；1—2道选择题或填空题，分值在3—8分，主要考察等腰三角形的相关概念、性质和判定，线段垂直平分线的性质，直角三角形的勾股定理及其逆定理，角平分线的性质。
不定第二章一元一次不等式与一元一次不等式组1.不等式关系2.不等式的基本性质3.不等式的解集4一元一次不等式5.一元一次不等式与一次函数6.一元一次不等式组4在中考中会出现1道选择题或填空题，分值在3—4分，主要考察不等式及其性质，一元一次不等式组及其解法，一元一次不等式的应用。
3-4分第三章图形的平移与旋转1.图形的平移2.图形的旋转3.中心对称4.简单的图案设计2在中考中最多出一道选择题或填空题，分值3—4分，主要考察图形的平移、旋转，中心对称3-4分第四章因式分解1.因式分解2.提公因式法3.公式法3中考中会出现1道填空题或在计算题中出现，分值4分，主要考察用提公因式法和公式法进行因式分解不定第五章分式与分式方程1.认识分式2.分式的乘除法3.分式的加减法4.分式方程4中考中会出现1道填空题，分值在4分，主要考察通分和约分以及分式的计算4分第六章平行四边形1.平行四边形的性质2.平行四边形的判定3.三角形的中位线4.多边形的内角和与外角和4中考中会出现1—2道大题，分值在8—20分；1—2道选择题或填空题分值在3—8分，主要考察平行四边形的概念和性质以及平行四边形的判定不定。
八年级数学下册第三章图形的平移与旋转知识总结北师大版
第三章图形的平移与旋转一、平移定义和规律1平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.关键：a. 平移不改变图形的形状和大小(也不会改变图形的方向，但改变图形的位置)。
b. 图形平移三要素：原位置、平移方向、平移距离。
2平移的规律（性质）：经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等、对应角相等。
注意：平移后，原图形与平移后的图形全等。
3简单的平移作图：平移作图要注意：①方向；②距离。
整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动。
二、旋转的定义和规律1旋转的定义：在平面内，将一个图形饶一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。
这个定点称为旋转中心；转动的角称为旋转角.关键：a。
旋转不改变图形的形状和大小（但会改变图形的方向，也改变图形的位置）。
b。
图形旋转四要素：原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角。
2旋转的规律（性质）：经过旋转,图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等.(旋转前后两个图形的对应线段相等、对应角相等。
）注意:旋转后,原图形与旋转后的图形全等.3简单的旋转作图：旋转作图要注意：①旋转方向;②旋转角度。
整个旋转作图，就是把整个图案的每一个特征点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动。
三、中心对称1．中心对称的有关概念：中心对称、对称中心、对称点把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。
2．中心对称的基本性质：（1)．成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。
（2)．成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分。
3．中心对称图形的有关概念:中心对称图形、对称中心把一个平面图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形.这个点就是它的对称中心。
初中数学_3.3中心对称教学设计学情分析教材分析课后反思
八年级下册3.3《中心对称》教学设计一、教学目标：☆知识与技能：了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它的基本性质.☆过程与方法经历有关中心对称的观察、操作、欣赏和设计的过程，进一步积累数学活动经验，增强动手实践能力，发展空间观念.☆情感态度价值观发现生活中的数学美，欣赏自然界的中心对称图形;二、教学重点：了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它的基本性质教学难点：在参与活动中发展学生观察问题、分析问题、解决问题的科学探究能力；三、教学时间：（ 1学时）四、教学过程一、【复习引入】：[活动过程]：1.通过几何画板的动画演示，带领学生回顾旋转的定义以及性质；2.提出问题：当旋转哪些特殊角度会使旋转前后图形有特殊的位置关系？师生互动引出课题；[活动目的]：利用几何画板的演示，教师的提问、追问让学生体会中心对称与旋转之间的从属关系，为后续学习做铺垫；二、【探究新知】☞知识点1：两成中心对称★两图形成中心对称定义：关于这个点对称或中心对称[活动过程]：教师提问：图中两组图形通过怎样的图形变换能够重合？师生互动后利用几何画板演示总结定义，引导学生找出定义中的关键词；[活动目的]：引入定义以后，通过学生找关键词，体会成中心对称是旋转的一种特殊情况；☞知识点2：探索成中心对称两图形的性质★动手画图，探究中心对称的性质请自己画一个图形，选取一个旋转中心，把所画的图形绕旋转中心旋转180°，连接旋转前后一组对应点，你发现了什么？再选几组对应点试一试，并与同伴交流。
★中心对称的性质：[活动过程]：教师提出问题，引导学生通过小组合作画出旋转以后的图形，通过小组作品的展示，总结两图形成中心对称的性质，教师通过几何画板演示，以及学生说理进一步验证，最后学生动手画图；[活动目的]：通过学生的动手操作，经历探索性质的过程，通过几何画板直观演示，加深对性质的认识，最后通过推理证明，让学生感受数学的严谨性，在学生小组合作过程中，培养学生的团队意识.☞知识点3：中心对称图形先独立观察，再小组交流归纳：中心对称图形：[设计过程]：教师提出问题：通过怎样的变换图形能与原图形重合？师生互动总结定义，通过两组练习题进行训练，加深学生对中心对称图形的认识，并进一步举例我们所学过的平面图形中的中心对称图形.[活动目的]：通过几何画板直观演示认识定义，在总结定义关键词时，教师引导学生对比其与两图形成中心对称的区别与联系，发展学生类比学习的意识，通过练习、举例进一步加深学生对知识的理解.☞知识点4：旋转对称图形观看微视频，学习旋转对称图形定义[设计过程]：1.学生自主学习微课，了解旋转对称图形定义；2.举例说明旋转对称图形与中心对称图形之间的联系；[活动目的]：学习新知识的过程中，对比其与中心对称图形的联系，了解二者之间的从属关系，加深对中心对称图形的认识，发展类比学习的意识；三、【效果检测】1．下列图形中，中心对称图形有A. 个B. 个C. 个D. 个2.下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )A. B. C. D.3．如图，与关于成中心对称，下列结论中不成立的是A. B. C. D.4．如图所示是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为．5如图，在平面直角坐标系中，点，，，的坐标分别为，，，．Ⅰ请在图中画出，使得与关于点成中心对称；Ⅱ直接写出（1）中的三个顶点坐标．第3题第4题知者加速；我们把图（1）称作正六边形的基本图，将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图（2），图（3），，如此进行下去，直至得图（n）．（1）将图（n）放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心的坐标为，则；（2）图（n）的对称中心的横坐标为．[活动过程]：学生学习完主要知识后是否达成了本节课的学习目标呢？教师通过效果检测来掌握.同时效果检测完成后教师应及时公布答案，组织学生通过“小组互帮进行对组内学习有困难的同学进行个别帮扶”，及时解决组内个别同学存在的问题.[活动目的]：通过学生自学、小组互帮、教师个别点拨等方式使学生养成独立思考、合作交流、反思质疑的学习习惯，再此过程中教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性.四、【自主建网】★1.通过本节课的学习：你有哪些收获与感悟？2.展示两图形成轴对称实例，体会二者之间联系；[活动过程]：学生回答，教师引导，串联本节课所学知识点；类比轴对称，体会二者之间的联系与区别，发展学生类比学习的意识；【因人作业】必做题：课本84页----1，2，3选做题：课本84页-----4[设计说明]：通过因人作业的设置，让不同层次的学生都能学有所获，能享受到成功的喜悦.《中心对称》学情分析《中心对称》是八下年级数学第三章《图形的平移与旋转》的第三节；学生的知识与技能基础：学生在小学阶段已经学习过平移、旋转.按照课标要求，小学阶段学习平移、旋转应该达到的水平是：通过实例，在方格纸上认识图形的平移，能在方格纸上按水平或垂直方向将简单图形平移；通过实例，在方格纸上认识图形的旋转，能在方格纸上将简单图形旋转90°，升入初中之后，学生在七年级下学期已经学习了轴对称，积累了一定的图形变换的数学活动经验.本章在此基础上，让学生进行观察、分析、画图等活动丰富学生对图形变换的认识；在本节课学习之前，学生已经学习了图形的旋转，掌握了旋转的定义与基本性质，立足于小学的基础和已经有的生活经验，本节课将探索中心对称的相关性质因为学生的基础和学力是有差异的，所以在上课的过程中应该遵循“为了每个学生”的教育教学理念。
北师大版8年级下数学课本目录(最新版)
第一章三角形的证明
1.等腰三角形
2.直角三角形
3.线段的垂直平分线
4.角平分线
第二章一元一次不等式与一元一次不等式组
1.不等关系
2.不等式的基本性质
3.不等式的解集
4.一元一次不等式
5.一元一次不等式与一次函数
6.一元一次不等式组
第三章图形的平移与旋转
1.图形的平移
2.图形的旋转
⊙平面图形的镶嵌
3.中心对称
4.简单的图案设计
第四章因式分解
1.因式分解
2.提公因式法
3.公式法
第五章分式与分式方程
1.认识分式
2.分式的乘除1.平行四边形的性质
2.平行四边形的判定
3.三角形的中位线
4.多边形的内角和与外角和
总复习
综合与实践
⊙生活中的“一次模型”
综合与实践
八下数学章节考点详细解析(学生版)
八下数学章节考点详细解析姓名第一章不等式与不等式组（六）一次函数图像与不等式1．如图2，已知函数y ＝3x ＋b 和y ＝ax －3的图象交于点P(－2，－5)，则根据图象可得不等式3x ＋b ＞ax －3的解集是_______________。
2.如图，直线y kx b =+经过(21)A ，，(12)B --，两点，则不等式122x kx b >+>-的解集为 ．3.如图，直线y kx b =+经过A （－2，－1）和B （－3，0）两点，则不等式组102x kxb <+<的解集为 ．4.(2010年山东聊城)如图一次函数y kx b =+的图象与正比例函数y ＝2x 的图象相交于点P ，与y 轴交于（0，3）（1）关于x 的方程kx+b=2x 的解为 ． （图表信息题）1.七（２）班共有50名学生，老师安排每人制作一件A 型或B 型的陶艺品，学校现有甲种制作材料36kg ，（2）请你根据学校现有材料，分别写出七（2）班制作A 型和B 型陶艺品的件数． 2.下表给出甲、乙、丙三种食物的维生素A,B 的含量及成本：某食物营养研究所将三种食物混合成110千克的混合物，使之至少需含48400单位 的维生素A 及52 800单位的维生素B ．求三种食物所需量与成本的关系式．（说明理由型）甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价9折优惠．设顾客预计累计购物x 元（x >300）．(1) 请用含x 代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用； (2) 试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由．（混合夹逼型）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有—个小朋友分不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．（方案选择型）例6．（黑龙江省）某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元，售价14.5万元，•每件乙种商品进价8万元，售价10万元，且它们的进价和售价始终不变，现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不低于190万元，不高于200万元． （1）该公司有哪几种进货方案？（2）该公司采用哪种进货方案可获得最大利润？最大利润是多少？（3）若用（2）中所求得的利润再次进货，请直接写出获得最大利润的进货方案．※一元一次不等式的解法易错点归纳1.去括号时，错用乘法分配律【例1】解不等式3x+2（2-4x）＜19. 错解：去括号，得3x+4-4x＜19，解得x＞-15.诊断: 错解在去括号时，括号前面的数2没有乘以括号内的每一项.正解: 去括号，得3x+4-8x＜19，-5x＜15，所以x＞-3.2.去括号时，忽视括号前的负号【例2】解不等式5x-3（2x-1）＞-6. 错解：去括号，得5x-6x-3＞-6，解得x＜3.诊断：去括号时，当括号前面是“-”时，去掉括号和前面的“-”，括号内的各项都要改变符号.错解在去括号时，没有将括号内的项全改变符号.正解:去括号，得5x-6x+3＞-6，所以-x＞-9，所以x＜9.3.移项时，不改变符号【例3】解不等式4x-5＜2x-9.错解：移项，得4x+2x<-9-5，即6x<-14，所以诊断:一元一次不等式中的移项和一元一次方程中的移项一样,移项就要改变符号，错解忽略了这一点.正解:移项，得4x-2x<-9+5，解得2x<-4，所以x<-2.4.去分母时，忽视分数线的括号作用【例4】解不等式错解：去分母，得，解得：诊断: 去分母时，如果分子是一个整式，去掉分母后要用括号将分子括起来.错解在去掉分母时，忽视了分数线的括号作用.正解:去分母，得6x-（2x-5）＞14，去括号，得5.不等式两边同除以负数，不改变方向【例5】解不等式3x－6＜1+7x. 错解：移项，得3x－7x＜1+6，即－4x＜7，所以诊断：将不等式－4x＜7的系数化为1时，不等式两边同除以－4后，根据不等式的基本性质：不等式两边同乘以或同除以同一个负数，不等号要改变方向，因此造成了错解.正解：移项，得3x－7x＜1+6，即－4x＜7，所以所以x＞6.去分母时，漏乘不含分母的项【例6】解不等式错解：去分母，得x-2（x-1）＞3x+1，去括号，解得诊断: 去分母时，要用最简公分母去乘不等式两边的每一项.而错解只乘了含有分母的项，漏乘了不含有分母的项.正解:去分母，得6x-2（x-1）＞3x+6，去括号，得6x-2x+2＞3x+6，解得x＞4.7.忽视对有关概念的理解【例7】求不等式的非负整数解.错解：整理，得3x≤16，所以故其非负整数的解是1，2，3，4正解：非负整数的解是0，1，2，3，4,58.在数轴上表示解集时出现错误【例8】解不等式：3（1－x）≥2（x+9），并把它的解集在数轴上表示出来.错解：整理，得－5x≥15，所以x≤－3，在数轴上表示如图1所示.诊断：本题求得的解集并没错，问题出在将解集在数轴上表示出来时出现了错误，即有两处错误：一是方向表示错误，不应该向右，而应该向左；二是不应用空心圆圈表示，而应用实心圆圈表示.正解：整理，得－5x≥15，所以x≤－3，在数轴上表示如图2所示.注：上述三例告诉我们解一元一次不等式时一定要认真分析题目的结构特征，灵活运用解一元一次不等式的步骤，正确理解有关概念，才能及时避开陷阱，准确、快速的求解.9.不等式组解集忽视等号【例9】若不等式组的解集为x＞2，则a的取值范围是（）.A. a＜2B. a≤2C. a＞2D. a≥2错解：原不等式组可化简为得a＜2，故选A.诊断：当a=2时，原不等式组变为解集也为x＞2.正解：应为a≤2 ，故选B.10.忽视了字母的范围【例10】解关于x的不等式m（x-2）＞x-2.错解：化简，得（m-1）x＞2（m-1），所以x＞2.诊断:错解在默认为m-1＞0，实际上m-1还可能小于或等于0.正解:化简，得（m-1）x＞2（m-1），①当m-1＞0时，x＞2；②当m-1＜0时，x＜2；③当m-1=0时，无解.【例11】解不等式（a－1）x＞3.错解：系数化为1，得.诊断：此题的未知数系数含有字母，不能直接在不等式两边同时除以这个系数，应该分类讨论.正解：①当a－1＞0时，；②当a＝1时，0³x＞3，不等式无解；③当a－1＜0时，.11.套用解方程组的方法解不等式组【例12】不等式组的解集为___________.错解：两个不等式相加，得 x-1＜0，所以x＜1.诊断： 这是解法上的错误，它把解不等式组与解一次方程组的方法混为一谈，不等式组的解法是分别求出不等式组中各个不等式的解集，然后在数轴上表示出来，求得的公共部分就是不等式组的解集，而不能用解方程组的方法来求解.正解：解不等式组，得在同一条数轴上表示出它们的解集，如图，所以不等式组的解集为：.【例13】 解不等式组错解：因为5x-3＞4x+2，且4x+2＞3x-2， 所以 5x-3＞3x-2. 移项，得5x-3x ＞-2+3.解得.诊断： 上面的解法套用了解方程组的方法，是否正确，我们可以在的条件下，任取一个x 的值，看是否正确.如取x ＝1，将它代入5x-3＞4x+2，得2＞6（不成立）.可知不是原方程组的解集，其造成错误的原因是由原不等式组变形为一个新的不等式时，改变了不等式的解集. 正解：由5x-3＞4x+2，得x ＞5. 由4x+2＞3x-2，得x ＞－4.综合x ＞5和x ＞－4，得原不等式组的解集为x ＞5.第二章 因式分解考点考点一、因式分解的意义例1．一次课堂练习，小敏同学做了如下4道因式分解题，你认为小敏做得不够完整的一题是（ ）A.x 3－x ＝x (x 2－1)B.x 2－2xy ＋y 2＝(x －y )2C.x 2y －xy 2＝xy (x －y )D.x 2－y 2＝(x －y )(x ＋y ) 考点二、直接提公因式分解例2．分解因式2a (b -c )-3c (b -c ).考点三、用公式法分解因式 例3．分解因式:(1)25-2161m ; (2)-(a -b )2+4(a -b )-4.考点四、确定多项式的公因式例4．多项式ax 2－4a 与多项式x 2－4x +4的公因式是＿＿＿.考点五、换元法例5．(x 2－1)2－5(x 2－1)＋4＝0例6．计算2005+20052-20062.考点六、开放型问题例7．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，便记忆．理由是：如对于多项式44y x -，因式分解的结果是))()((22y x y x y x ++-，若取x =9，y =9时，则各个因式的值是：(x －y )=0，(x +y )=18，(x 2+y 2)=162，于是就可以把“018162”作为一六位数的密码．对于多项式234xy x -，取x =10，y =10时，用上述方法产生的密码是： (写出一个即可)．例8 甲、乙两生解同一个一元二次方程式，甲将x 项的系数看错，解得两根为－4与8；乙将常数项看错，解得两根为－4与10，此外无其它错误，试求正确的方程式考点七 十字相乘法例9 设x 、y 为正数，且x 2－3xy －4y 2＝0，则x ：y 的比值＝ 。
八下数学各章节知识点总结
八年级下册数学各章节知识点总结第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组一、不等关系1、 一般地,用符号“<"(或“≤"), “〉"（或“≥”）连接的式子叫做不等式。
2、区别方程与不等式：方程表示是相等的关系，不等式表示代数式之间的不相等的关系。
列不等式的方法:从题目的问题出发==>找出题目中涉及的各种量==>分析它们的数量关系（相等或不等关系）==>然后根据题意列出等式或不等式，解决问题.3、准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数 〈===> 大于等于0(≥0) 〈===〉 0和正数 <===〉 不小于0 非正数 <===〉 小于等于0（≤0) <===〉 0和负数 〈===> 不大于0二、不等式的基本性质1、掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:（1） 不等式的两边加上（或减去)同一个整式,不等号的方向不变 即：如果a 〉b,那么a+c>b+c ， a —c 〉b-c.(2) 不等式的两边都乘以（或除以)同一个正数，不等号的方向不变 即如果a 〉b ，并且c 〉0，那么ac 〉bc,cbc a >. (3) 不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 即：如果a>b ，并且c<0,那么ac<bc ，cb c a <2、比较大小：（a、b分别表示两个实数或整式）一般地:如果a〉b,那么a—b是正数;反过来,如果a-b是正数，那么a>b；如果a=b，那么a—b等于0；反过来，如果a-b等于0，那么a=b;如果a<b,那么a-b是负数;反过来，如果a-b是负数,那么a<b；即：a>b <===> a—b>0a=b <===> a-b=0a<b <===> a—b〈0(由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差是否大于零就可以做出判断.三、不等式的解集:1、能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解组成的集合叫做这个不等式的解集，不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每个值都是不等式的解。
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第三章 数据分析初步
3.1 平均数
平均数：n 个数的算术平均数；
加权平均数：如果在一组数据中，有1n 个1x ，2n 个2x ，3n 个3x ，……k n 个k x ，
则
112212......k k
k
n x n x n x n n n +++++为加权平均数；
1n ，2n ，…k n 表示各相同数据的个数，称为权；权越大，对平均数影响就越大；
例题：
1、已知下面的一组数据：1，7，10，8，x ，6，0，3，它们的平均数是5，那么x 等于（ ）
A 、6
B 、5
C 、4
D 、3
2、有m 个数的平均数是x ，n 个数的平均数是y ，则这（m+n ）个数的平均数为：
A
2x y + B x y m n ++ C mx ny m n ++ D 2
mx ny
+
3、如果一组数据x 1，x 2，x 3，x 4的平均数是x ，那么另一组数据x 1，x 2＋1，x 3＋2，x 4＋3的平均数是（ ）
A. x
B. x ＋1
C. x ＋1. 5
D. x ＋6
4、某居民院内月底统计用电情况，其中3户用电45度，5户用电50度，6户用电42度，则平均每户用电（ ）
A. 41度
B. 42度
C. 45.5度
D. 46度
5、为了调查某一路口某时段的汽车流量，记录了15天同一时段通过该路口的汽车辆数，其中2天是142辆，2天是145辆，6天是156辆，5天是157辆，那么这15天在该时段通过该路口的汽车平均数为（ ）
A. 146
B. 150
C. 153
D. 600
6、某招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按60%，面试按40%计算加权平均数作为总成绩。
孔明笔试成绩90分，面试成绩85分，那么孔明总成绩为：
7、为推选一名同学参加学校演讲比赛，班里组织了一次选拔赛，由教师组成评委，
对甲、乙、丙三名候选人分别从演讲内容、语言表达能力和感染力三方面打分，评委打分的结果如下表：
（1）、如果按三项得分的算术平均数确定优胜者，谁是优胜者？
（2）、如果三项得分分别按25%，35%，40%的比例计算总成绩，谁是优胜者？
（3）、哪一种计算方法比较合理，你认为要选哪一个学生去参加比赛？
8、在杭州市中学生篮球赛中，小方共打了10场球.他在第6，7，8，9场比赛中分别
得了22，15，12和19分，他的前9场比赛的平均得分y比前5场比赛的平均得分x要高.如果他所参加的10场比赛的平均得分超过18分
（1）用含x的代数式表示y；
（2）小方在前5场比赛中，总分可达到的最大值是多少？
（3）小方在第10场比赛中，得分可达到的最小值是多少？
3.2 中位数和众数
中位数：一组数据位于最中间的一个数据（数据个数为奇数时）或最中间两个数据的平均数（数据个数为偶数时）；
众数：一组数据中出现次数最多的那个数据；
例题：
1、某地区连续5天的最高气温（单位：℃）分别是30,33,24,29,24.这组数据的中位
数是（）
A.29
B.28
C.24
D.9
2、某校男子男球队10名队员的身高（厘米）如下：179、182、170、174、188、172、
180、195、185、182，则这组数据的中位数和众数分别是（）
A．181,181 B．182,181 C．180,182 D．181,182
3、一组数据2,4，x，2,4,7的众数是2，则这组数据的平均数、中位数分别是
A．3.5,3 B．3,4 C．3,3.5 D． 4,3
4、右面的条形图描述了某车间工人日加工零件数的情况，则这些工人日加工零件数
的平均数、中位数、众数分别是（）
A、6.4，10，4
B、6，6，6
C、6.4，6，6
D、6，6，10
5、五箱苹果的质量分别为（单位：千克）：18，20，21，22，19．则这五箱苹果质量
的平均数和中位数分别为（）
A、19和20
B、20和19
C、20和20
D、20和21
3.3 方差和标准差
方差：各数据与平均数的差的平方的平均数；
()()()222
2121...n S x x x x x x n ⎡⎤=
-+-++-⎣
⎦ 方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定；
标准差：一组数据的方差的算术平方根；
S =
例题：
1、样本数据3,6，a ，4，2的平均数为5，则这个样本的方差是
A 、8
B 、5
C 、
D 、3
2、样本-1,2,0,1，-2的标准差为
A 、52
B C D 、2
3、在社会实践活动中，某同学对甲、乙、丙、丁四个城市一至五月份的白菜价格进行调查．四个城市5个月白菜的平均值均为3.50元，方差分别为S 甲2
＝18.3，S
乙
2
＝17.4，S 丙2＝20.1，S 丁2
＝12.5．一至五月份白菜价格最稳定的城市是（ ）
A 、甲
B 、乙
C 、丙
D 、丁
4、下面是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，则下 列说法正确的是（ ）
A、甲比乙的成绩稳定
B、乙比甲的成绩稳定
C、甲、乙两人的成绩一样稳定
D、无法确定谁的成绩更稳定。