第四章 连续系统的振动



1
S

p(x,t)

（2）弦的横向振动

2 y t 2



a0 2

2 y x 2



1


p(x,t)

（3）轴的扭转振动

 2
t 2

 a02

 2
x2



1
I p

p( x, t )

虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微 分方程是类同的，都属于一维波动方程 。

连续系统的振动 / 杆的纵向振动

(x) 杆上距原点 x 处的截面的纵向振动振幅

代入，得：

q(t) q(t)



a02

 ( x) (x)





连续系统的振动 / 杆的纵向振动

q(t) q(t)



a02

 '' (x) (x)





记：  2

q(t)   2q(t)  0





(

x)



(


a0

)2



(

x)



0

通解： q(t)  a sin(t  )



(

x)



c1

sin

x
a0



c2

cos

x
a0

c1, c2 , 由杆的边界条件确定 （确定杆纵向振动的形态，称为模态 ）

与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连续函数 ，表示各坐标振幅的相对比值

由频率方程确定的固有频率 有i 无穷多个 （下面讲述）
（2）材料均匀连续；各向同性。 （3）振动满足微振动的前提 。

连续系统的振动 / 一维波动方程
 一维波动方程
• 动力学方程 • 固有频率和模态函数 • 主振型的正交性 • 杆的纵向强迫振动

连续系统的振动 / 一维波动方程

• 动力学方程

（1）杆的纵向振动

p( x, t )

x
讨论等截面细直杆的纵向振动 0
• 在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差 别，连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度系 统是完全类似的。

教学内容
 一维波动方程  梁的弯曲振动  集中质量法  假设模态法  模态综合法  有限元法

说明
（1）本章讨论的连续体都假定为线性弹性 体，即在弹性范围内服从虎克定律。

连续系统的振动 / 杆的纵向振动

2u t 2



a0 2

2u x2

u(x,t)  (x)q(t)

q(t)  a sin(t  )

(x)



c1

sin

x
a0



c2

cos

x
a0

i

一一对应

i (x)

第 i 阶主振动：
u(i) (x, t)  aφi i (x) sin(it  i ),

杆的纵向强迫振动方程

对于等直杆，ES 为常数

有：

2u t 2



a0 2

2u x 2



1
S

p(x,t)

a0  E /  弹性纵波沿杆的纵向传播速度

连续系统的振动 / 一维波动方程

（2）弦的横向振动

y

y( x, t )

弦两端固定，以张力 F 拉紧

F
o

在分布力作用下作横向振动

x

 单位长度弦的质量

振型函数： i (x)



ci

sin


a0

x

u(x,t)  (x)q(t)

(x)



c1

sin

x
a0



c2

cos

x
a0

连续系统的振动 / 杆的纵向振动

例：

一均质杆，左端固

定，右端与一集中 0

质量M固结。

l

推导系统的频率方程。

x
M

边界条件：

u(0,t)  0

M

2u t 2

(l , t )



ES

u x

(l , t )

自己推导！

连续系统的振动 / 杆的纵向振动
主振型的正交性

只对具有简单边界条件的杆讨论主振型的正交性

杆可以是变截面或匀截面的

即质量密度 及截面积 S 等都可以是 x 的函数

杆的动力方程 ：

S

 2u t 2



 x

(ES

u )  x

p( x, t )

自由振动： 主振动 ：



p(x,t)dx

并考虑到：  y
x

得：

2 y t 2



a0 2

2 y x 2



1


p(x,t)

a0 弹性横波的纵向传播速度

弦的横向强迫振动方程

连续系统的振动 / 一维波动方程

（3）轴的扭转振动
细长圆截面等直杆在分布 扭矩作用下作扭转振动

p( x, t )

0

x dx

x

杆参数：截面的极惯性矩 Ip

i
i (


x)

ia0
l
 ci

,
cos

(i
ix
l



0,1,2,) (i  0,1,2,)

频率方程和固有频率两端固定杆的情况相同

零固有频率对应的常值模态为杆的纵向刚性位移

(x)



c1

sin

x
a0



c2

cos

x
a0

u(x,t)  (x)q(t)

连续系统的振动 / 杆的纵向振动

（3）一端固定，一端自由

q(t)不能恒为零 故： (0)  0  (l)  0

代入模态函数 得： 无穷多个固有频率：

c2  0 sin

i



ia0
l

,

l  0（杆的纵向振动频率方程 ）
a0
(i  0,1,2,)

模态函数 ：

i

(x)



ci

sin

ix
l

(i  0,1,2,)

由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去

p(x,t) 单位长度弦上分布的作用力

p( x, t )
dx
dx pdx

F
x
F
   dx x

建立坐标系 xoy
y(x,t) 弦上距原点 x 处的横截面在 t 时刻的横向位移



F

dx

2 t

y
2

微段受力情况
令：a0  E / 

达朗贝尔原理：

dx

2 t

y
2



F (




x

dx)  F

sin

x
a0



c2

cos

x
a0

u(x,t)  (x)q(t)

连续系统的振动 / 杆的纵向振动

x

x

0

0

l

l

(0)  0 (l)  0

边界条件

cos l  0
a0

频率方程

i



i 2

a
l

,

i  1,3,5,...

固有频率

i (x)



ci

sin(

i
2l

x),

i  1,3,5,...

p( x, t )

• 固有频率和模态函数

x

0

以等直杆的纵向振动为对象

方程：

2u t 2



a02

2u x2
ห้องสมุดไป่ตู้


1
S

p(x,t)

l
a0  E / 

纵向自由振动方程：

2u t 2



a0 2

2u x2

假设杆的各点作同步运动，即设 ： u(x,t)  (x)q(t)

q(t) 表示运动规律的时间函数

u(x,t) 杆上距原点 x 处截面在时刻 t 的纵向位移

微段应变：





(u



u x

dx)



u



u

dx

x

Sdx

2u x 2

横截面上的内力： F  ES  ES u
x

由达朗贝尔原理：

Sdx

2u t 2

 (F  F dx)  F  p(x,t)dx x

连续系统的振动 / 一维波动方程

p( x, t )
0 x dx l

x

u(x,t)

杆上距原点 x 处截面在时刻 t 的纵向位移

横截面上的内力： F  ES  ES u

x

由达朗贝尔原理：

Sdx

2u t 2



(F



F x

dx)  F



p(x,t)dx

代入，得：

S

2u t 2



 x

(ES

u ) x



p(x,t)

S

 2u t 2



 x

(ES

u ) x

u(x,t)  (x)a sin(t  )

代入，得 ： (ES )   2 S

连续系统的振动 / 杆的纵向振动

(ES )   2 S

杆的简单边界 ： 固定端 (x)  0 自由端 ES(x)  0

(i  1,2)

系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：

 u(x, t)  ai i sin(it  i ) i 1

连续系统的振动 / 杆的纵向振动

几种常见边界条件下的固有频率和模态函数

（1）两端固定

0

特征：两端位移为零

x
l

边界条件： u(0,t)  (0)q(t)  0 u(l,t)  (l)q(t)  0

 i (ESi)

l 0



l 0

ESi j dx

  杆的任一端上总有  0 或者  0 成立

l 0



j

(

ESi)dx





l 0

ESi

j

dx

  得：

达朗贝尔原理：

I

p

dx

 2
t 2

 (T



T x

dx)  T



pdx

0

x

即：

I p

 2
t 2



T x



p( x, t )

材料力学：

T



GI p


x

代入，得： I p

 2
t 2



 x (GI p

 ) 
x

p( x, t )

圆截面杆的扭转振动强迫振动方程

对于等直杆，抗扭转刚度 GIp 为常数
材料密度  切变模量 G
p(x,t) ：单位长度杆上分布的外力偶矩
假定振动过程中各横截面仍保持为平面

微段 dx 受力

pdx

T

T

T  dx x

 (x,t) 为杆上距离原点 x 处的截面在时 刻 t 的角位移

I

p

dx

 2
t 2

截面处的扭矩为 T

I pdx ：微段绕轴线的转动惯量

连续系统的振动 / 一维波动方程

x=0或l

x=0或l

设：  i i (x)

j

 j (x)

代入： (ESi)  i2Si

(ESj )  2j Sj

  乘  j (x)并沿杆长对 x 积分：

l 0



j

(

ESi)dx



i2

l
0 Si jdx

  利用分部积分：

l
0  j (ESi)dx

x
l

边界条件 ： u(l,t)  0 得： (l)  0 (0)  0

ES u(0,t)  0 x c1  0

cos l  0
a0

固有频率：

i



i a ,
2l

i  1,3,5,...

模态函数：

i (x)



ci

sin(

i
2l

x),

i  1,3,5,...

(x)



c1
第四章 连续系统

连续系统的振动连续系统的振动

• 实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量 与弹性，因而又称连续系统或分布参数系统。
• 由于确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标， 因此连续体是具有无限多自由度的系统。
• 连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运 动方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程组 ，它是偏微分方程。

(x)



c1

sin

x
a0



c2

cos

x
a0

连续系统的振动 / 杆的纵向振动

（2）两端自由

0

x

特征：自由端的轴向力为零

l

边界条件 ： ES u(0,t)  0 ES u(l,t)  0

x

x

得： (0)  0

(l)  0

得出： c1  0

cos l  0
a0

固有频率： 模态函数：

p( x, t )

dx

x

微段 dx 受力

pdx

T

T

T  dx x

I

p

dx

 2
t 2

有：

 2
t 2



a02

 2
x2

1 
I p

p( x, t )

a0 

G


剪切弹性波的 纵向传播速度

连续系统的振动 / 一维波动方程

小结：
（1）杆的纵向振动

2u t 2



a0 2

2u x 2

0

特征：固定端位移为零 自由端轴向力为零

x
l

边界条件 ： u(0,t)  0 得： (0)  0 (l)  0

ES u(l,t)  0 x
c2  0

cos l  0
a0

固有频率： i



( 2i 1) a
2l

,

i  1,2,...

或：

i



i 2

a
l

,

i  1,3,5,...

l

杆参数：杆长 l

截面积 S

材料密度  弹性模量 E

假定振动过程中各横截面仍保持为平面 忽略由纵向振动引起的横向变形 p(x,t) 单位长度杆上分布的纵向作用力

微段分析
0
x

连续系统的振动 / 一维波动方程
dx

p( x, t ) x
dx l

u  u dx x
u p(x,t)dx
F

F  F dx x

模态函数

(l)  0 (0)  0

cos l  0
a0

i



i 2

a
l

,

i  1,3,5,...

i (x)



ci

sin(

i
2l

x),

i  1,3,5,...

*例：

连续系统的振动 / 杆的纵向振动

一均质杆，左端固

定，右端与一弹簧 0

连接。

l

推导系统的频率方程。

kx

连续系统的振动 / 杆的纵向振动

模态函数： i (x)  ci sin(

2i 1 
2l

x),

i  1,2,...

i (x)



ci

sin(

i
2l

x),

i  1,3,5,...

(x)



c1

sin

x
a0



c2

cos

x
a0

u(x,t)  (x)q(t)

连续系统的振动 / 杆的纵向振动

左端自由，右端固定
0
特征：固定端位移为零 自由端轴向力为零

解：

边界条件：

0

u(0,t)  0 ku(l,t)  ES u (l,t)

l

x

(0)  0

k(l)  ES  (l,t)
x

得出： c2  0

l

 l

k sin  ES cos

a0

a0

a0

kx

tg(l / a0 )   ES  常数

l / a0

kl

频率方程