第四章 连续系统的振动
理论力学 第四章
(m
(m
2J r
2
) x kxx 0 x
) kx 0 x
2J r
2
－－自由振动微分方程
系统的固有频率为
0
k r2 mr 2 2 J
§ 4－2 计算固有频率的能量法
如图所示无阻尼振动系统
当系统作自由振动时，运动规律为
x A sin(0t )
2
2
当圆柱体作微振动时， 可认为 sin
2
2
1 V mg ( R r ) 2 2
设系统作自由振动时θ的变化规律为 A sin(0 t )
3m 2 ( R r ) 2 0 A 2 则系统的最大动能 Tmax 4 1 2 系统的最大势能 Vmax mg ( R r ) A 2 由机械守恒定律 有 Tmax Vmax
2 0
k m
0
k m
0 只与表征系统本身特性的质量m和刚度k有关
而与运动的初始条件无关
它是振动系统固有的特性
所以称为固有角（圆）频率（一般也称固有频率） m=P/g
k P / st
0
g
0
k m
st
（2）振幅与初相角
x A sin( 0 t )
速度为
dx v 0 A cos(0t ) dt
在瞬时t 物块的动能为
1 2 1 2 T mv m0 A2 cos2 (0t ) 2 2
若选平衡位置为零势能点，有
1 2 V k[( x st ) 2 st ] Px 2
k st P
1 2 1 2 V kx kA sin 2 (0 t ) 2 2
第四章(第1节) 两自由度系统的振动
(4.1-1)
方程 (4.1-1)就是图4.1-1所示的两自由度系统自由振动的 微分方程，为二阶常系数线性齐次常微分方程组。 方程(4.1-1)可以使用矩阵形式来表示，写成
x1 k1 k2 m1 0 0 m 2 x2 k2
取加速度的正方向与坐标轴的正方向一致，根据牛 顿运动定律有
m1 x 1 k1x1 k2 ( x2 x1 ) m2 x 2 k2 ( x2 x1 ) k3 x2
4.1 自由振动
两自由度系统的微分方 程 移项得
m1 x 1 (k1 k2 ) x1 k2 x2 0 m2 x （k2 k3 ) x2 0 2 k2 x1
4.1 自由振动
有趣的“同步化” 现象
最早观察到同步化现象的科学家
是荷兰的物理学家克里斯蒂安 · 惠更斯 (Christian Huygens 1629-1695) 。根据 伽利略 (Galileo Galilei 1564-1642)发现 的钟摆的等时性原理，他于 1656 年把 单摆引入了机械钟，研制成第一个摆 钟。 1665 年 2 月的一天，因为身体不适，他躺在家里休 养。闲来无事只得盯着墙壁发呆。然而却意外地在他自 己发明的摆钟上，发现了一个有趣的现象。
方程(4.1-12)称为特征方程或频率方程， 它是2的二次方程，其根为 12 1 m1k22 m2 k11 2 m1m2 2 2
2 1 m1k22 m2 k11 k11k22 k12 4 2 m1m2 m1m2 2
(4.1-12)
(4.1-13)
式中1和2唯一地决定于振动系统的质量和弹簧刚度， 称为系统的固有频率。1为第一阶固有频率，简称为基 频；2为第二阶固有频率。
连续系统
2
(4.3.9)
( y ) C1 sin t C2 cos y a a
(4.3.10)
其中， C1 与 C2 是待定系数，它们由轴的边界条件决定。常见的扭转振动时轴的边界条件 为： 自由端：
y 0 时，GJ (0, t ) GJ (0)T (t ) 0 ，即 (0) 0 y l 时，GJ (l , t ) GJ (l )T (t ) 0 ， 即 (l ) 0
3
但是在工程中有实际意义的，只有有限个低阶频率。
X i ( x) Ai sin
前三阶主振型如图 4.2-3(a)所示。
(2i 1) x 2l
(i 1, 2,3,)
(1) (2) (3)
f (1) f (2) f (3)
(a)
图 4.2-3
(b)
如果 k ，该边界相当于固定边界，频率方程为
(4.3.8)
关于（4.3.6）式，只有某些典型的轴，如 I ( y ) / GJ ( y ) 可按某种函数形式表达时，才可 假定 1/ a I ( y ) / GJ ( y ) ， 则 （4.3.6） 能找到精确解答。 对于均匀轴，I ( y ) 与 GJ ( y ) 是常数，
2
式可改写成：
( y ) ( y ) 0 a
( y, t ) ( y, t ) I ( y )
（4.3.2）
( y, t ) 代表扭转角加速度。 其中， I ( y ) 代表单位长度的梁对扭转轴的转动惯量；
将（4.3.2）式代入（4.3. 1b ）式中，并引用扭角与力矩 M 的关系式，得到扭转自由振 动的微分方程：
2 [GJ ( y ) ] I ( y ) 2 0 y y t
振动力学4.1
得很紧，F变化很小，视为常量（仅方向变化），以变形前弦的方向为 x 轴，横向挠度为 y( x, t ) ， y
x
则微段 dx 依据达朗贝尔原理得：
2 y y l 2 F t x x
2 y l dx 2 F sin( dx) F sin 0 t x
- 2 的合理性，否则解 q(t )将趋于无穷；它与单自由度线性振动方
程相同，其通解为
q(t ) A sin(t )
" ( x) ( x) 0 a
2
(简谐振动。 ）
解 (x) 确定杆纵向振动的形态—模态 其一般形式为
( x) C1 sin
2 2 u( x, t ) ( x)q(t ) 代入方程 u ( x, t ) a 2 u ( x, t ) 由分离变量法，令 2 2
t
x
( x)q(t ) a 2 q(t )" ( x)
q(t ) 2 " ( x) a 2 q(t ) ( x)
2u 2u Adx 2 EA 2 dx 0 t x
2 u ( x, t ) 2 u ( x, t ) a2 t 2 x 2
称为一维波动方程
a
E
为弹性纵波沿杆的纵向传播速度。
2.
弹性弦横向振动 设弦两端固定且为张力F所拉紧，弦的长度单位质量为 l ，因弦绷
解:
设
x
坐标如图
等截面直杆纵向振动偏微分方程为
A
2u 2u dx 2 EA 2 dx g t x
2u Eg 2u 2 t x 2
( x) C1 sin x
9连续系统的振动之集中质量法、假设模态法、模态综合法和有限元法
l 0
p(x,
t)i
(
x)dx
qi
n
按照广义力的定义:
W (t) Qiqi
i 1
比较，得：
l
Qi (t) 0 p(x,t)i (x)dx
矩阵形式: Q(t) [Q1(t), Q2 (t), , Qn (t)]T Rn1
L T V
连续系统的振动 / 假设模态法
T 1 qT Mq 2
V 1 qT Kq 2
强迫振动方程: Mq Kq Q(t)
l
Qi (t) 0 p(x,t)i (x)dx
连续系统的振动 / 假设模态法
梁的稳态响应:
3
ix
y(x, t) qi (t) sin
i 1
l
离散化强迫振动方程: Mq Kq Q(t)
3 0 2
M
Sl
2
0
1
0
2 0 3
1 5.6825
EI
解:
y
P0 sin t
若对第三阶固有频率的精 0
Ma
度要求不高, 取 n＝3
x
l/2
l/2
模态函数阵:
Φ [1(x),
2 (x),
3
(
x)]
[s
in
x
l
,
sin 2x ,
l
sin 3x ]
l
质量阵:
3 0 2
M
Sl
2
0
1
0
2 0 3
刚度阵:
K
4EI
2l 3
1 0
0 16
0
0
0 0 81
d dt
L qi
L qi
《汽车振动基础》课程教学大纲
《汽车振动基础》课程教学大纲一、课程基本信息课程类别：专业选修课适用专业：汽车车辆工程专业先修课程：汽车构造、汽车诊断与维修总学时：56学分：3二、课程教学目的与基本要求本课程主要任务是，学习汽车机械振动力学的基本理论和方法及分析振动问题的数学方法。
主要内容包括：单自由度系统的振动、两个自由度系统的振动、多自由度系统的振动，连续系统的振动，并介绍了求解特征值问题和系统响应的近似方法及数值计算方法，简要叙述了非线性振动和随机振动的基本概念和理论。
三、教学时数分配四、教学内容与要求第一章绪论（一）教学目的：理解机械振动的概念，了解振动系统研究方法，掌握振动的分类，会分析振动问题并提出解决方法。
（二）教学内容：1 基本要素 2 研究方法 3 分类和表示方法（三）重点：振动系统基本要素（四）难点：振动系统分类和表示方法第二章单自由度系统的振动（一）本章教学目的：理解单自由度系统的自由振动的概念，掌握单自由度系统的强迫振动，掌握汽车车身单自由度系统的振动。
（二）教学内容：1 自由振动 2 强迫振动 3 非简谐激励下的强迫振动4 汽车车身单自由度系统的振动（三）重点：单自由度系统的自由振动（四）难点：汽车车身单自由度系统的振动第三章二自由度系统的振动（一）教学目的：了解二自由度系统的运动微分方程，掌握无阻尼二自由度系统的振动，有阻尼二自由度振动系统和汽车的二自由度系统的振动。
（二）教学内容：1 二自由度系统的运动微分方程2 无阻尼二自由度系统的振动3 有阻尼二自由度振动系统4 汽车的二自由度系统的振动（三）重点：无阻尼二自由度系统的振动（四）难点：汽车的二自由度系统的振动第四章多自由度系统的振动（一）本章教学目的：理解多自由度振动系统的运动微分方程，掌握固有振型的正交性、模态坐标和正则坐标和汽车多自由度振动模型。
（二）教学内容：1 多自由度振动系统的运动微分方程2 固有振型的正交性、模态坐标和正则坐标3 多自由度系统的响应4 拉格朗日方程在振动分析中的应用5 汽车多自由度振动模型（三）重点：固有振型的正交性、模态坐标和正则坐标（四）难点：汽车多自由度振动模型第五章随机振动理论（一）教学目的：了解随机振动概述及随机振动的统计特性，线性振动系统的随机响应计算。
连续系统振动(b)-梁的弯曲振动
m( x, t )
x
讨论梁的自由振动
2 x2
[EI
2
y(x, x2
t)
]
S
2
y( x, t ) t 2
0
根据对杆纵向振动的分析，梁的主振动可假设为：
y(x,t) (x)q(t) (x)a sin( t )
代入自由振动方程： (EI) 2S 0
f (x,t)
m( x, t )
x
等截面梁的动力学方程：
EI
4y x4
S
2y t 2
f (x,t)
m(x,t) x
5
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
固有频率和模态函数
变截面梁：
2 x2 [EI
2
y(x, x2
t
)
]
S
2 y(x,t) t 2
f (x,t)
7
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
常见的约束状况与边界条件
（1）固定端
y(x,t) 0
(x) 0 （2）简支端
y(x,t) 0
(x) 0
挠度和截面转角为零
y(x,t) 0 x
(x) 0
x0 或 l
挠度和弯矩为零
M EI 2 y(x,t) 0 x 0 或 l x2
《振动力学》
3
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
力平衡方程 ：
Sdx
2 y t 2
(Fs
Fs x
dx)
Fs
f
( x, t )dx
0
《课程名称：振动力学》课程教学大纲(本科)
课程名称：振动力学Fundamentals of Vibrations课程代码：24410079学分：3学时：48 （课堂教学学时：48；实验学时：0；上机学时：0；课程实践学时：0）先修课程：理论力学、材料力学、常微分方程、偏微分方程适用专业：工程力学教材：《振动力学》，谢官模，国防工业出版社，2011年第2版一、课程性质与课程目标（一）课程性质振动是自然界最普遍的现象之一。
大至宇宙，小至原子粒子，无不存在着振动。
人类本身也离不开振动：心脏的搏动，耳膜和声带的振动等。
工程中的振动更是比比皆是，例如：建筑结构和桥梁在风或地震载荷下的振动，机械系统运行中所产生的振动，刀具切削过程中的振动，飞机机翼的颤振等等。
振动力学借助于刚体力学与变形体力学的许多基本原理和方法、物理学的许多基本原理以及大量的数学工具，探讨各种振动现象的机理，描述和阐明振动的基本力学与物理规律，以便克服振动的消极有害的因素，利用其积极有利的因素，为合理解决实践中遇到的各种振动问题提供理论依据。
该课程是工程力学专业的一门主要专业基础课。
其任务是使学生掌握固有频率、振型及振动响应等基本概念及常用的求解方法，为学习有关后继课程准备必要的基础，并为将来学习和掌握新的科学技术创造条件；使学生初步学会应用振动力学的理论和方法分析、解决工程实际问题。
（二）课程目标课程目标1:掌握离散系统和连续体系统振动方程建立的方法；课程目标2：掌握振动力学固有频率、周期、阻尼、振型等的基本概念，以及会采用经典的方法求解固有频率、振型与强迫振动响应；课程目标3：掌握数值计算大型结构的固有频率、振型与强迫振动响应的常用方法的数学原理, 并采用数学软件编写程序进行数值运算；课程目标4：了解隔振与测振的基本原理。
（三）课程目标与专业毕业要求指标点的对应关系本课程支撑专业培养计划中毕业要求指标点3、4、5、6,对应关系如下：课程目标1:掌握工程力学所需的数学、物理学等基本内容，了解机械工程、材料工程等相关领域的基础知识和挑战，初步具备从中提炼关键力学问题并利用基本力学思维和方法解决问题的能力。
机械振动第4章连续系统2-1.ppt
T i T
L2
(i 1, 2, )
第4章 连续系统 4.3 杆的纵向振动 振动微分方程 从连续系统直接导出
设长度为L 、两端固定的杆上受均布轴向力 f (x, t) ，杆上x处的轴向刚度与单位长度质量分 别为E A (x) 和m (x) 。
取杆的微段dx，隔离体受力分析图
根据材料力学，任一瞬时作用在杆微段两端 的轴向内力与轴的应变成正比
x x
x2
t2
或
T
(x)
y
(x, t)
f
(x, t)
(x)
2
y
(x, t)
x
x
t2
0 x L
0 x
第4章 连续系统 4.2 弦振动 自由振动 特征值问题
方程
T
(x)
y
(x,
t)
(x)
2y
(x,
t)
x
x
t2
0 x L
边界条件 y ( 0, t ) y ( L, t ) 0
i
(t )
w
2
i
i
(t)
0
(i 1, 2 ,)
解为 i (t) C i cos ( w i t i ) (i 1, 2 ,)
常数C i 和 i 由初始条件得到。
自由振动
第4章 连续系统 4.2 弦振动
例 4.1 图示均匀弦两端固定，弦中的张力为 常数，求解系统的特征值问题，画出系统前 四个特征函数，并验证正交性。
连续系统与离散系统的关系
连续系统与离散系统是同一物理系统的两个数学模型。
简化、离散化
连续系统
离散系统
自由度n 趋向于无穷
连续系统与离散系统的区别
高等结构动力学4_连续体2_固有频率的变分式
EJY ¢¢d (Y ¢¢ ) = -( EJY ¢¢ )¢ dY ¢ + ( EJY ¢¢dY ¢ )¢ é ù¢ ¢¢ ¢ = ( EJY ¢¢ ) dY - ê ( EJY ¢¢ ) dY ú + ( EJY ¢¢dY ¢ )¢ êë úû
l l ö 2 1 æ ÷ ç EJ (Y ¢¢ ) dx ÷ = ( EJY ¢¢ )¢¢ dYdx - ( EJY ¢¢ )¢ dY dç ÷ è ò0 ø ò0 2 ç l 0
固有频率的变分式
证明等价性
æ l ö æ l ö 2 2 2 ÷ ÷ ç ç =0 dç EJ (Y ¢¢ ) dx ÷ r AY d x ÷ - w dç ÷ ç ò ò ÷ ç è 0 ø è 0 ø d EJ (Y ¢¢ )
(
2
) = 2EJY ¢¢d (Y ¢¢ )
d ( rAY 2 ) = 2rAY dY
EI 1 5.6825 Sl 4
EI 2 39.4784 Sl 4 EI 3 68.9944 Sl 4
正则化特征向量：
ψ (1) 0.5742 2 0 Sl 0.0048 ψ ( 2) 0 2 1 Sl 0 ψ ( 3) 0.5199 2 0 Sl 0.7746
= ååkijaia j = a Ka
T i =1 j =1 l l n n
kij = ò EJ fi¢¢(x )fj¢¢ (x )dx
0
l
n æ n öæ ö ÷ ÷ ç ç 2 ÷ ÷ ç ç = r AY d x r A a f ( x ) a f ( x ) dx ÷ ÷ å å ç i i j j ò0 ò0 ç ÷ ÷ ç ç j =1 ÷ ÷ è i =1 øè ø
连续系统振动-杆的纵向振动PPT课件
达朗贝尔原理：
2019年10月15日
Sdx
2u t 2
(F
F x
dx) F
p(x,t)dx
7
p( x, t )
0 x dx l
连续系统的振动 / 一维波动方程
x
u(x,t)
杆上距原点 x 处截面
在时刻 t 的纵向位移
横截面上的内力： F ES ES u
x
达朗贝尔原理：
a02
2u x 2
1
S
p(x,t)
（2）弦的横向振动 （3）轴的扭转振动
2y t 2
a02
2y x 2
1
p(x,t)
2
t 2
a02
2
x2
1
Ip
p( x, t )
虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微 分方程是类同的，都属于一维波动方程
2019年10月15日 12
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
• 固有频率和模态函数
p( x, t ) x
0
以等直杆的纵向振动为对象
l
2u t 2
a02
2u x 2
1
S
p(x,t)
a0 E /
2u t 2
a02
2u x 2
自由振动
假设杆的各点作同步运动： u(x,t) (x)q(t)
圆截面杆的扭转振动强迫振动方程 等直杆，抗扭转刚度 GIp 为常数
I
p
dx
2
t 2
2019年2t210月 1a5日02
2
x2
机械振动连续系统的振动轴的扭转振动
GpJ (xx,t)xLI2(tx2,t)x0, GpJd d(L x)2I(L).
Gp a Jco a L s2Isi n a L. aLtanaLGa2pJIL
LJ I
p
.
8 14
LtanLJpL记作 .
aaI
L
记作
kt(0)GJpdd(xx) , x0
kt(L)GJpdd(xx) . xL
5 14
(4)惯性载荷端：
I2(tx2,t)x0GpJ(xx,t)x0, I2(tx2,t)xLGpJ (xx,t)xL.
因为系统的线性，系统的全解由无限多阶固有模态叠加而成：
作业：
15 14
x2 Jp
14
a G
剪切弹性波的 纵向传播速度
3
等直轴的扭转自由振动：
2
t 2
a2
2
x2
a G
f (x,t)
0
x dx
x
方程形式与弦的横向振动、杆的纵向振动方程一样，
因此也有相同形式的解 ：
(x,t)(x)F(t) C si n xD co xs (A si tn B co t)s
O0
G
x
L
解：建立坐标系
(x)Csi nxDcoxs
一端固定一端自由的边界条件：
a
a
(0,t)0, (0)0 D0
(L,t) 0,
x
d(L) 0,
dx
CcosL0.
aa
得频率方程： cosL0.
a
aiL2i21，i22 i L1a. (i1,2 )
(Bi 0)
i 1si(n2i2 L 1)xAi (2i2 L 1)a，
【干货】基于ANSYS的悬臂梁模态分析
【干货】基于ANSYS的悬臂梁模态分析1、连续系统的振动实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量与弹性，因而又称连续系统或分布参数系统。
由于确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此连续体是具有无限多自由度的系统。
连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程组，它是偏微分方程。
在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差别，连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度系统是完全类似的。
2、说明(1) 本章讨论的连续体都假定为线性弹性体，即在弹性范围内服从虎克定律。
(2) 材料均匀连续；各向同性。
(3) 振动满足微振动的前提。
3、梁的弯曲振动动力学方程考虑细长梁的横向弯曲振动梁参数：ρ单位体积梁的质量E弹性模量I截面对中性轴的惯性距S 梁横截面积外部力：m(x,t): 单位长度梁上分布的外力矩f(x,t): 单位长度梁上分布的外力假设：(1) 梁各截面的中心惯性轴在同一平面xoy内(2) 外载荷作用在该平面内(3) 梁在该平面作横向振动（微振）(4) 这时梁的主要变形是弯曲变形(5) 在低频振动时可以忽略剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响伯努利－欧拉梁（Bernoulli-Euler Beam）令：y(x,t):距原点x处的截面在t时刻的横向位移微段受力分析力平衡方程：4、悬臂梁的固有频率和模态函数5、两端固定杆的纵向模态分析问题描述：一悬臂梁截面为矩形，如图1所示，几何尺寸及材料特性如下，分析其前三阶固有频率及振型。
GUI操作如下：一、菜单建模分析过程第一步，清除内存准备分析1) 清除内存：选择菜单Utility Menu>File>Clear& Start New，单击OK按钮。
2) 更换工作文件名：选择菜单Utility Menu>File>ChangeJobname，输入vibration of cantilever，单击OK按钮。
第四章多自由度系统(21-24)
(1) 影响系数法
}和系统的质量 x 设各个自由度的加速度为{ 矩阵为[M]，则各个自由度上所受到的外力 为： } { f } [ M ]{ x
定义质量矩阵[M]的元素Mij：如果系统的第j个 自由度沿其坐标正方向有一个单位加速度，其 余各个自由度的加速度保持为零，为保持系统 这种变形状态需要在各个自由度施加外力，其 中在第i个自由度上施加的外力就是Mij。 mij是使系统仅在第j个坐标上产生单元加速度 而相应于第i个坐标上所需施加的力
0 x 若
静力加载 K x P(t )
假定有这样一组外力，使系统只在第j个坐标上产生单位位移， 而在其他方向都不产生位移，即产生如下的单位向量：
x x1 0
0 1 0 0 T
x j1
xj
x j1 xn T
{P(t )} [ K ]{x} [ K ]{e j } k11 k12 k k 21 22 ki1 ki 2 k k n 1 n2 k1n 0 k1 j k2 j k2n 0 k 2j kij kin 1 kij k nj k nn 0 k nj k1 j
可见所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵K的第j列，其中 Kij(i=1,…,n)是在第i个坐标上施加的力，Kij是使系统仅在第j 个坐标上产生单元位移而相应于第i个坐标上所需施加的力
m11 m 21 m n1
m12 m22 mn 2
1 k11 m1n x k 2 m2 n x 21 mnn x n k n1
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连续系统的振动 / 杆的纵向振动
2u t 2
a0 2
2u x2
u(x,t) (x)q(t)
q(t) a sin(t )
(x)
c1
sin
x
a0
c2
cos
x
a0
i
一一对应
i (x)
第 i 阶主振动：
u(i) (x, t) aφi i (x) sin(it i ),
p( x, t )
0 x dx l
x
u(x,t)
杆上距原点 x 处截面在时刻 t 的纵向位移
横截面上的内力： F ES ES u
x
由达朗贝尔原理：
Sdx
2u t 2
(F
F x
dx) F
p(x,t)dx
代入，得：
S
2u t 2
x
(ES
u ) x
p(x,t)
模态函数
(l) 0 (0) 0
cos l 0
a0
i
i 2
a
l
,
i 1,3,5,...
i (x)
ci
sin(
i
2l
x),
i 1,3,5,...
*例：
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
一均质杆，左端固
定，右端与一弹簧 0
连接。
l
推导系统的频率方程。
kx
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
解：
边界条件：
0
u(0,t) 0 ku(l,t) ES u (l,t)
l
x
(0) 0
k(l) ES (l,t)
x
得出： c2 0
l
l
k sin ES cos
a0
a0
a0
kx
tg(l / a0 ) ES 常数
l / a0
kl
频率方程
(x)
c1
sin
x
a0
c2
cos
x
a0
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
（2）两端自由
0
x
特征：自由端的轴向力为零
l
边界条件 ： ES u(0,t) 0 ES u(l,t) 0
x
x
得： (0) 0
(l) 0
得出： c1 0
cos l 0
a0
固有频率： 模态函数：
p(x,t)dx
并考虑到： y
x
得：
2 y t 2
a0 2
2 y x 2
1
p(x,t)
a0 弹性横波的纵向传播速度
弦的横向强迫振动方程
连续系统的振动 / 一维波动方程
（3）轴的扭转振动
细长圆截面等直杆在分布 扭矩作用下作扭转振动
p( x, t )
0
x dx
x
杆参数：截面的极惯性矩 Ip
S
2u t 2
x
(ES
u ) x
u(x,t) (x)a sin(t )
代入，得 ： (ES ) 2 S
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
(ES ) 2 S
杆的简单边界 ： 固定端 (x) 0 自由端 ES(x) 0
达朗贝尔原理：
I
p
dx
2
t 2
(T
T x
dx) T
pdx
0
x
即：
I p
2
t 2
T x
p( x, t )
材料力学：
T
GI p
x
代入，得： I p
2
t 2
x (GI p
)
x
p( x, t )
圆截面杆的扭转振动强迫振动方程
对于等直杆，抗扭转刚度 GIp 为常数
振型函数： i (x)
ci
sin
a0
x
u(x,t) (x)q(t)
(x)
c1
sin
x
a0
c2
cos
x
a0
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
例：
一均质杆，左端固
定，右端与一集中 0
质量M固结。
l
推导系统的频率方程。
x
M
边界条件：
u(0,t) 0
M
2u t 2
(l , t )
u(x,t) 杆上距原点 x 处截面在时刻 t 的纵向位移
微段应变：
(u
u x
dx)
u
u
dx
x
Sdx
2u x 2
横截面上的内力： F ES ES u
x
由达朗贝尔原理：
Sdx
2u t 2
(F F dx) F p(x,t)dx x
连续系统的振动 / 一维波动方程
(i 1,2)
系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：
u(x, t) ai i sin(it i ) i 1
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
几种常见边界条件下的固有频率和模态函数
（1）两端固定
0
特征：两端位移为零
x
l
边界条件： u(0,t) (0)q(t) 0 u(l,t) (l)q(t) 0
（2）材料均匀连续；各向同性。 （3）振动满足微振动的前提 。
连续系统的振动 / 一维波动方程
一维波动方程
• 动力学方程 • 固有频率和模态函数 • 主振型的正交性 • 杆的纵向强迫振动
连续系统的振动 / 一维波动方程
• 动力学方程
（1）杆的纵向振动
p( x, t )
x
讨论等截面细直杆的纵向振动 0
(x) 杆上距原点 x 处的截面的纵向振动振幅
代入，得：
q(t) q(t)
a02
( x) (x)
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
q(t) q(t)
a02
'' (x) (x)
记： 2
q(t) 2q(t) 0
(
x)
(
a0
)2
(
x)
0
通解： q(t) a sin(t )
(
x)
c1
sin
x
a0
c2
cos
x
a0
c1, c2 , 由杆的边界条件确定 （确定杆纵向振动的形态，称为模态 ）
与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连续函数 ，表示各坐标振幅的相对比值
由频率方程确定的固有频率 有i 无穷多个 （下面讲述）
1
S
p(x,t)
（2）弦的横向振动
2 y t 2
a0 2
2 y x 2
1
p(x,t)
（3）轴的扭转振动
2
t 2
a02
2
x2
1
I p
p( x, t )
虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微 分方程是类同的，都属于一维波动方程 。
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
ES
u x
(l , t )
自己推导！
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
主振型的正交性
只对具有简单边界条件的杆讨论主振型的正交性
杆可以是变截面或匀截面的
即质量密度 及截面积 S 等都可以是 x 的函数
杆的动力方程 ：
S
2u t 2
x
(ES
u ) x
p( x, t )
自由振动： 主振动 ：
材料密度 切变模量 G
p(x,t) ：单位长度杆上分布的外力偶矩
假定振动过程中各横截面仍保持为平面
微段 dx 受力
pdx
T
T
T dx x
(x,t) 为杆上距离原点 x 处的截面在时 刻 t 的角位移
I
p
dx
2
t 2
截面处的扭矩为 T
I pdx ：微段绕轴线的转动惯量
连续系统的振动 / 一维波动方程
q(t)不能恒为零 故： (0) 0 (l) 0
代入模态函数 得： 无穷多个固有频率：
c2 0 sin
i
ia0
l
,
l 0（杆的纵向振动频率方程 ）
a0
(i 0,1,2,)
模态函数 ：
i
(x)
ci
sin
ix
l
(i 0,1,2,)
由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去
sin
x
a0
c2
cos
x
a0
u(x,t) (x)q(t)
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
x
x
0
0
l
l
(0) 0 (l) 0
边界条件
cos l 0
a0
频率方程
i
i 2
a
l
,
i 1,3,5,...
固有频率
i (x)
ci
sin(
i
2l