单个球面的折射
1-3傍轴条件下的单球面折射成像资料
y ' ns ' #
y n's
f ' n' ，代入 #式，得 fn
f x'
x f'
2)
tan(u) h u Q
s
y
n
l -u
tan(u) h u s
P -s
代入#式，得：
y y
nu n u
-i A n’
h -i’ l’
d
u’
O rC
P’ -y’
s’
Q’
拉格朗日—亥姆霍兹不变式
y' y
P Q C ∽ P Q C , yP C s r
y P Cr s
由 物 像 公 式 n ' n n ' n ， 变 形 得 ： s r n s
s ' s r
s r n s
y' ns' #
y n's
12
1)利用s ( f x),s' ( f ' x'), 牛顿公式xx' ff ',
焦物距x：物方焦点到物点的距离
焦象距x'：象方焦点到象点的距离
n -x -f
•P F• -s
n'
f'
x' P’
F• ' •
s'
f f 1 s s
根据上面的定义, 有：s=x+f , s'=x'+f '
代入高斯公式，得
f ' f 1
f 'x' f x
整理得 xx'ff' ---牛顿公式(普适公式)
1-3傍轴条件下的单球面折 射成像
1单球面折射公式
f 0.12 1.2
即配戴焦度为7.5D的凸透镜。
32
3、散光眼
散光眼的角膜表面不是球 面，其角膜的各个方向子 午线的半径不相等，点物 发出的光线经角膜折射后 不能形成一清晰的点像， 既散光眼为非对称折射系 统。右图表示散光眼的角 膜及其成像。
散光眼的眼球纵向子午线半径最短，横向子午线的半径最长， 其它方向子午线半径介于二者之间。使得远处的平行光线经 角膜折射后，不能在一点成像。常把一点物看成一条很短的 线条，这就使他看物体时感到模糊不清。
n-n2 1 + 1 = (n -1)( 1 - 1 )
r2 u v
r1 r3 2
二、薄透镜组合
两个或两个以上薄透镜组成的共轴系统， 称为薄透镜组合，简称透镜组。
4
透镜组的成像公式：
二、薄透镜组合
1+1= 1 + 1 u v f1 f2
当υ=∞时，对应的u值即为透镜组的等效焦
距f，则
1= 1+ 1
复习
1、单球面折射公式
n1 + n2 = n2 - n1
2、光焦度 u u
r
f = n2 - n1
r
3、焦距
f1
=
n1 n2 - n1
r
f2
=
n2 n2 - n1
r
1
4、单球面折射成像的高斯公式 ：
f1 + f2 = 1
uu
5、 共轴球面系统：逐次成像法
2
6、 薄透镜公式
n1+ n2= n - n1 u v r1
于远视眼的近点较正视眼远些，因此，远视眼在看 眼前较近的物体时，所选择的凸透镜必须将此 物体的虚象成在远视眼的近视点处。
单球面反射和折射
5. 特例
（1）球面反射
n n'
1 1 2 p p' r
平行光线入射，p ，代入物像公式 1 1 2 得 pf'' 2r 2r，f ' 此时对应的像点叫焦点（fpocusp）' r 焦点到顶点的距离— 焦距（focal length）
物像公式为
11 1 p p' f '
（Gauss公式）
1.5 1.0
(8) (1)
1.2
,即成正立、放大的实像。
总的横向放大率
1
2
3
0.5 (
1) 1.2 3
为20cm和15cm，薄透镜折射率为1.5，在凸面 镀银。在球面前方40处的主轴上置一高为1cm 的物，求像的位置和成像的性质。
[解]（1）P经凹球面折射成像：
p1=-40cm，n=1.0，n’=1.5，r1=-20cm，代入
n' n n'n p1' p1 r1
1
np1 ' n' p1
1 2
,
1.5 1.0 0.5 p1' 40 20
三、傍轴球面折射的物象关系式
nn'n (u(' u in)) unn('(n'('niu'))') n
p
u
i o
n' h i' c u '
p'
u h p'
r
p
p'
u h p
h
n n nn
p' p r
物像关系式
r
定义 光焦度
Φ n'n r
光在单球面上的折射和反射-四川大学
x′ f′
y′ f =− y x
从 Q 作 O 点的入射线 QO ，其折射线是 OQ′ 。由图可知，得
ny n′y′ =− −s s′
或 讨论：
β=
y′ ns′ = y n′s
(1) β > 0 时， y′ 与 y 同号。物正立时像也是正立的。即物是实物时，像必定是虚像，反之， 当物是虚物时，像必定是实像。 (2) 当 β < 0 时，物和像在主光轴的异侧，而且当物是实物时，生成的像也是实像，当物是虚 物时，生成的像也是虚像。 总之，当 β > 0 时，物和像一定是一实一虚； 当 β < 0 时，物和像的虚实相同。
n n’ P n n’
P’
P’ P
虚物成实像
虚物成虚像
n′ n n′ − n − = s′ s r f′ f + =1 s′ s xx′ = ff ′
1 1 2 + = s′ s r 1 1 1 + = s′ s f xx′ = f 2
φ=
f′=
n′ r n′ − n n f =− r n′ − n
n′ − n r
φ=
f′ n′ =− f n
β=
ns′ n′s
N
P
F
(e) 轴上物点成像作图法
图 作图法的几个例子
四川大学精品课程《光学》
六．球面反射镜 1．方法：将反射看作是折射的特殊情况 2．球面反射的物像距公式：
1 1 2 + = s′ s r
i = −i′ ； n′ = −n
3． 单球面折射饿球面反射镜公式对比
球面折射和球面反射公式对照表 球面折射成像 球面反射成像 公式 公式 物 像 距 焦距和光焦度 横向放 大率
符号法则、单个折射球面成像
随着计算机技术的发展，符号法 则的计算效率和精度将得到提升， 为更精确的光学设计提供支持。
符号法则的理论研究将进一步深 入，为解决更复杂的光学问题提
供理论支持。
单个折射球面成像的改进方向
提高成像质量
01
通过优化光学设计和制造工艺，提高单个折射球面成像的清晰
度和分辨率。
扩大应用范围
符号法则的原理
基于几何光学和波动光学的原理，当 光线通过折射球面时，像点的位置和 符号可以通过光线在入射和出射介质 中的速度比值来确定。
符号法则的应用
01
02
03
透镜设计
符号法则是透镜设计中的 基础，用于确定透镜的焦 距、光心位置等参数。
光学仪器制造
符号法则在光学仪器制造 中用于校准和调整光学系 统，确保成像质量。
单个折射球面成像在科学实验中的应用
光学实验
单个折射球面成像在光学实验中 具有重要应用，如透镜成像、光
波导等。
生物显微镜
在生物显微镜中，折射球面成像用 于将微小物体放大以便观察。
天文学观测
在天文学观测中，折射球面成像用 于将遥远星体的光线聚焦并成像。
符号法则与单个折射球面成像在工业生产中的应用
自动化生产线
03
符号法则与单个折射球面 成像的关系
符号法则对单个折射球面成像的影响
确定折射方向
符号法则可以用来判断折射后光 线的方向，从而确定折射球面的 成像位置。
提高成像质量
符号法则有助于理解光线在折射 过程中的变化规律，优化折射球 面的设计，提高成像质量。
单个折射球面成像对符号法则的补充
实际应用验证
单个折射球面成像可以作为符号法则在实际光学系统中的应用实例，验证其正确 性和实用性。
单个球面的折射
+ －
UIIiii'
Ui'
U1'
U2'
Um'【U'】
2、近轴区光路计算列表－共轴球面光学系统
球面1(i=1) 球面2 (i=2) 球面i 球面k (i=m)
ni
ni’
ri
Di
－ × ÷
li－rurliiii ri×Biblioteka ÷inni ii'
× ÷ +
irurii'ii'
－ ldi'i
li＋1
+ －
uiiiii’
单个折射球面 光路计算公式
Lk+1= Lk'- dk Uk+1= Uk' k=k+1
k=m
否
是
U
'
U
' m
L' L'm
例题－共轴球面光学系统
例题1 一个玻璃球直径为40mm，折射率为1.5， 一束平行光入射到玻璃球上，其汇聚点在什 么位置？如果在玻璃球前25mm处放置一个 高为1mm的物体,试求解像的位置和大小.
(3) 物像参量
(a) 物像高度： y2＝y1' ，y3＝y2' ，……，ym＝y' m－1;
(b) 物像距： l2=l1' －d1，l3=l2' －d2，……，lm=l' m-1'－dm-
1。
n1 n1' n2 n2'
nm nm'
y1
r1
-r2
A
o1 -y1' -y2 o2
rm
///
om
单球面折射成像公式(一)
单球面折射成像公式(一)单球面折射成像公式及其相关公式1. 折射定律•公式：n1d1+n2d2=n2−n1R•解释：折射定律描述了光线从一个介质经过界面进入另一个介质时的折射行为，其中n1和n2为光线所在介质的折射率，d1和d2为入射光线和折射光线与法线的夹角的正切值，R为介质间的曲率半径。
2. 维梅尔公式•公式：n1v1−n2v2=(n2−n1)R•解释：维梅尔公式是折射定律的一种形式，其中n1和n2为介质的折射率，v1和v2为光线在介质中的光速，R为介质间的曲率半径。
3. 焦距与物距、像距的关系•公式：1f =(n−1)(1r1−1r2)•解释：该公式描述了球面透镜的焦距与物距、像距之间的关系，其中f为焦距，n为透镜的折射率，r1和r2分别为透镜两个表面的曲率半径。
4. 薄透镜成像公式•公式：1f =1d o+1d i•解释：薄透镜成像公式描述了薄透镜对光线的成像行为，其中f 为透镜的焦距，d o为物体距离透镜的距离，d i为像距。
5. 球面镜成像公式凸透镜成像公式•公式：1f =1d o+1d i•解释：凸透镜成像公式描述了凸透镜对光线的成像行为，其中f 为透镜的焦距，d o为物体距离透镜的距离，d i为像距。
凹透镜成像公式•公式：1f =1d o−1d i•解释：凹透镜成像公式描述了凹透镜对光线的成像行为，其中f 为透镜的焦距，d o为物体距离透镜的距离，d i为像距。
6. 求物距、像距和焦距的公式物距公式•公式：1d i −1f=1d o•解释：物距公式描述了物体距离透镜和像距之间的关系，其中f 为透镜的焦距，d o为物体距离透镜的距离，d i为像距。
像距公式•公式：1d i +1f=1d o•解释：像距公式描述了物体距离透镜和像距之间的关系，其中f 为透镜的焦距，d o为物体距离透镜的距离，d i为像距。
焦距公式•公式：f=d o⋅d id o+d i•解释：焦距公式描述了透镜的焦距与物距、像距之间的关系，其中d o为物体距离透镜的距离，d i为像距。
第二章球面和共轴球面系统分析
首要问题：用什么量（怎样）来决定光线在空间中的位置？
对AEC应用正弦定理得 L r r Lr 即 sin I sin U 可求出I sin I sin （ U） r n 据折射定律 sin I ` sin I 可求出I ` n` 对AEC和A`EC应用外角定理 U I U ` I ` U ` U I I ` 可得到U ` sin I ' sin U ' sin I 在A ' EC中 ，利用正弦定律 L ' rr L ' r r sin U
从光轴起算，光轴转向光线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。
入射角、折射角 从光线起算，光线转向法线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。 ③ 光轴与法线的夹角（如） 从光轴起算，光轴转向法线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。
二、实际光线经过单个折射球面的光路计算
已知：折射球面曲率半径r，介质折射率n和n′，及物方坐标L和U。 求：像方L ′和 U ′。
共轴球面系统由许多单个球面构成，当计算出第一面后， 其折射光线就是第二面的入射光线。
U 2 U1; L2 L1 d1
再由相邻两折射球面间的关系，求出下一个球面的折 射光线。
第四节 球面反射镜成像
n n n n 成像公式： l l r
n n
1 1 2 l l r
1.5 光在单球面上的反射和折射
B y A
n
i
n
A
o
i
C
s
B
y
s
y i . s
在上图的折射系统中, 由几何关系,得
AB 是 AB 的像.
y i , s
近轴条件下，在入射点 O 处，由折射定律:
ni ni
物理科学与信息工程学院 21
将
y y i , i s s
(1) 物和像的虚实
< 0 物像互为倒立实物实像或虚物虚像,
> 0物像互为正立, 实物虚像或虚物实像.
(2) 像的放大和缩小
> 1，像放大； <1，像缩小；
= 1，物象等大.
物理科学与信息工程学院 25
（2）角放大率
B
u
A
h
C
u s
A' B'
s
和
在上图折射系统中, A和A是一对共轭物像点,
物理科学与信息工程学院 14
2、近轴光线条件下，球面折射的物象公式
在近轴光线条件下， 很小，在一级近似下， cos1，
• P
n u
s
i
A
i
C
n
n
O
u
P'
•
r
B
因此
s
l [r (r s )]2 s
l ' [r ( s ' r )]2 s '
u 是一对共轭角. 我们定义角放大率为 u , u
u
物理科学与信息工程学院 26
由上图可得
u s , u s
光学——球面反射和折射
-u
u`
P
O
r
C
P`
-s
s`
P C s r r sP C s rA C r
nsin i1n sin i2
15
P C s i n u P C s i n u n r s s i n u s r s i n u n
已知:s1 5cm,r1 2cm,
n` P n1,n' 1.6
’ 1
O2
O1
P2’
n=1,n’=1.6 由折射成像公式：
n n n n s1 s1 r1
-s1
s1’
代入数据，可求得s1’.
-s2 -s2’
2、P1’为物对球面O2折射成像
s 2 2 0 1 6 4 c m , r 2 2 c m , n 1 . 6 , n ' 1
s — 物距 s’— 象距 r — 球面曲率半径
令 s=－∞ ，则 s’= r/2 = f’ ， f’ — 象方焦距 令 s’=－∞，则 s = r/2 = f ， f — 物方焦距 反射球面特点: f ’ = f , 物方焦点F 和象方焦点F’重合.
10
焦点:沿主轴方向的平行光束经球面反射后会聚
§1.4 球面反射和折射
• 符号法则 • 球面反射 • 球面折射 • 理想成象的两个普适公式
1
E
(1)线段 y
A
C
Or
-y’
-s
s’
以单球面折射系统为例, 从顶点算起： 沿轴线段
A、光线与主轴交于顶点右方者,线段长度为正； 光线与主轴交于顶点左方者,线段长度为负；
B、物点或像点至主轴的距离在主轴上方为正，
光在球面上的反射和折射
§3-5 光在球面上的反射和折射单独一个球面不仅是一个简单的光学系统，而且是组成光学仪器的基本元件，研究光经由球面的反射和折射，是一般光学系统成象的基础。
一、符号法则为了研究光线经由球面反射和折射后的光路，必须先说明一些概念以及规定一些适当的符号法则，以便使所得的结果能普遍适用。
(图3－12)图3-12中的AOB 所示球面的一部分，这部分球面的中心点O 称为顶点，球面的球心C 称为曲率中心，球面的半径称为曲率半径，连接顶点的曲率中心的直线CO 称为主轴，通过主轴的平面称为主截面，主轴对于所有的主截面具有对称性，因而我们只须讨论一个主截面内光线的反射。
图3-12表示球面的一个主截面。
在计算任一条光线的线段长度和角度时，我们对符号作如下规定。
（1）光线和主轴交点的位置都从顶点算起，凡在顶点右方者，其间距离的数值为正；凡在顶点左方者，其间距离的数值为负，物点或象点至主轴的距离，在主轴上方为正，在下方为负。
（2）光线方向的倾斜角度都从主轴（或球面法线）算起，并取小于2π的角度，由主轴（或球面法线）转向有关光线时，若沿顺时针方向转，则该角度的数值为正；若沿逆时针方向转动的，则该角度的数值为负（在考虑角度的符号时，不必考虑组成该角度两边的线段的符号）。
（3）在图中出现的长度和角度（几何量）只用正值，例如s 表示的某线段值是负的，则应用()s -来表示该线值的几何长度。
以下讨论的都是假定光线自左向右进行。
二、球面反射对光束单心性的破坏在图3-12中，一个从点光源P 发出的光波从左向右入射到曲率中心为C ，顶点为O ，曲率半径为γ的一个凹球面镜上，光线PA 经球面镜AOB 反射后，在'P 点与主轴相交，令 '',,'',ττ==-=-=AP PA s O P s PO半径AC 与主轴的夹角为ϕ，则光线'PAP 的光程为 (')'P A P n n ττ=+ 在PAC ∆和'ACP ∆中应用余弦定理，并注意c o s c o s ()()()'()(')',P C sr r s C P r s s r ϕπϕ=--=---=-=---=- 从而可得()()()()[]2122cos 2ϕs r r s r r l --+-+-=（3-10）以及()()()()[]2122'cos '2'ϕr s r r s r l ----+-= （3-11）因此，光线'PAP 的光程可写成12221222(')()()2()()cos ()(')2()(')cos PAP n r r s r r s n r s r r s r ϕϕ⎡⎤=-+-+--⎣⎦⎡⎤+-+----⎣⎦（3－12）由于当A 点在镜面上移动时，半径r 是常数，而ϕ才是位置的变量，根据费马原理，物象间的光程应取稳定值，为此，把（3-12）式对ϕ求导，并令其等于零，即()()[]()[]0sin '21sin 21''=-+--=ϕϕϕr s r ln s r r l n d PAP d 由此可得 0''=---l rs l s r 或者⎪⎭⎫⎝⎛+=+l s l s r l l ''111'（3-13） 如果发光点P 至O 点的距离s 为已知，从此式即可算出任一反射线和主轴的交点'P 到 O 点的距离's 的值，显然's 的值将随着所取入射线的倾斜角u ，亦即角ϕ的变化而变化，这就是说，从物点发散的单心光束经球面反射后，将不再保持单心（即使平等光束入射时也不例外），关于这一点可说明如下：PC A 1A 2OP 2P'P 3 (图3－13)图3-13中，相应于1PA 及2PA 两入射光线的反射线分别交主轴于1P 和2P 两点，且相交于'P 点，把该图绕主轴PO 转过一个小角度，使三角形12PA A 展成一单心的空间光束，此时'P 点描出一条很短的弧线，它垂直于图面即反射光束的子午象线，而图面中的12PP 则为弧矢象线。
光在球面上的反射和折射
n(r s) n'(s'r) 0
l
l'
n' n n'n s' s r
上式右端仅与介质的折射率及球面的半径有关，定义为光焦度 (屈光度)， ＝(n’-n)/r－表征球面的光学特性；
此式同样适应凸球面折射成像；
物点P与像点P’是一对共轭点－－光线可逆；
规定：物空间－入射光行进的空间，像空间－折射（反射）光行
公式可写成 xx' f f ' 牛顿物像公式
例3.4
4/25/2020
第1章 光的干涉
例3.4 P133
n PO
P”
n’ P’
O’
s2’
-s1
s1’
s2
[分析]物点P经玻璃哑铃成像可分为二个过程：
P经左端面成像P’
P’经右端面成像P”
由物像公式
n' n n'n s' s r
P经左端面成像P’时有
l
l'
折射线与主轴的交点P’到O点的距离s’随入射线的倾角 u（亦即角）而变。
物点发出的单心光束经球面折射后，单心性也被破坏。
4/25/2020
第1章 光的干涉
3.3.5 近轴光线条件下球面折射的物像公式
近轴光线条件下，
角很小，在一级近似下，cos≈1，则有：l≈-s ，l’≈s’
物像公式
P’ -s’ O
研究点光源P所发光束经球面
-r
镜反射成像情况
-s
考虑光线P－A－P’的光程 PAP' nl nl'
n[(r)2 (r s)2 2(r)(r s) cos ]1 2
n[(r)2 (s'r)2 2(r)(s'r) cos ]1 2
符号法则单个折射球面成像
于一定的介质及一定形状的表面来说是一个不变量，它 表征球面的光学特征，称之为该面的光焦度，以表示：
n'n
(16)
r
当r以米为单位时， 的单位称为折光度，以字母D表 示。例如，n´=1.5，n=1.0，r=100mm的球面，= 5D.
单折射球面两焦距和光焦度之间的关系为
n'Байду номын сангаас n
f f
(17)
方光轴上无限远处，这时可认为由物体发出的 光束是平等于光轴的平等光束，即L=－∞，U=0， 如下图所示。此时，不能用（1）式计算入射角I， 而入射角应按下式计算
sin I h
(5)
r
h为光线的入射高度。
10
三.近轴光的光路计算公式
如果限制U角在一个很小的范围内，即从A点发出的 光线都离光轴很近，这样的光线称为近轴光。由于U 角很小，其相应的I、I´、U´等也很小，这时这些角 的正弦值可以用弧度来代替，用小写字母u,i,i´, u´来 表示。近轴光的光路计算公式可直接由（1）式～ （4）式得到
l l
2
1
该式表明，球面反射镜的轴向放大率永 为负值，当物体沿光轴移动时，像总以 相反的方向沿轴移动。当物体经偶数次 反射时，轴向放大率为正。
五.球面反射情况下的拉亥不变量 J uy uy
30
例题:一个点状物体放在离凹球面镜前0.05m处，凹球面镜的曲 率半径为0.20m，试确定象的位置和性质．
斯像。高斯像的位置由l´决定，通过高斯像点垂直于
光轴的像面，称为高斯像面。构成物像关系的这一
对点，称为共轭点。
显然，对于近轴点，如下关系成立：
h lu lu
(8)
12
§1.4 单个折射球面近轴区成像
证明单折射球面的主点球面顶点重合
证明单折射球面的主点球面顶点重合
设单折射球面的折射率为n，球心为O，球面上一点为P，球面顶点为V。
要证明主点球面顶点重合，即证明PV经过球心O。
根据折射定律，入射光线、法线和折射光线在同一平面内，且入射角i和折射角r满足Snell定律：
n1*sin(i) = n2*sin(r)
其中，n1为入射介质的折射率，n2为折射介质的折射率。
设入射光线OP与球面的交点为A，入射光线与法线的夹角为θ1，折射光线与法线的夹角为θ2。
根据几何关系，可得到OAP和OAV相似，即：
OA / OP = OV / OA
由此可得：
OA²= OP * OV
又根据三角形的正弦定理，可得：
OP / sin(θ1) = OA / sin(θ2)
将上述两个等式联立，可得：
OP * OV = OP * sin(θ1) / sin(θ2)
化简得：
OV = sin(θ1) / sin(θ2)
根据Snell定律，可得：
n1 * sin(θ1) = n2 * sin(θ2)
将上述等式代入前面的等式，可得：
OV = n1 / n2
由此可见，OV与折射率n1 / n2无关，即OV是一个常数。
因此，无论入射光线OP的位置如何变化，球面顶点V都位于PV上，即PV经过球心O。
综上所述，单折射球面的主点球面顶点重合。
单球面折射成像公式适用条件
单球面折射成像公式适用条件
一般情况下，球面折射是把光线从一个折射介质彻底的折射到另一个折射介质，这种现象也被称为球面折射。
为了精确计算出从一个介质折射到另一个介质的物理位移，并对空间进行准确的的定位，建立球面折射成像公式是非常重要的步骤。
当折射介质是光滑的，平滑的球面时，球面折射成像公式即适用。
它是以两个球面作折射面，一个球面为入射面，另一个球面为折射面，假定在这两个球面之间的距离是一定的。
球面折射成像公式定义了从一个球面折射到另一个球面时，光源和观察点所处的球面半径和位置之间的关系。
球面折射成像公式的主要使用场景是：在折射介质中折射得到完整的图像（如水面上望到的画面）、把光照射到另一个介质上得到另一种图像（如把镜子放入水中）。
在这些情况下，必须对球面形状，尤其是球面的曲率进行计算，并正确使用球面折射成像公式，才能获得准确的结果。
此外，在风景和音乐的形象化中，也可以利用球面折射成像公式，获得复杂的影像效果。
总之，球面折射成像公式是一个重要的光学技术，能够优秀的描述光的折射规律，并为复杂的图像效果奠定基础。
此外，只有当折射媒质是光滑平滑的球面时，球面折射成像公式才能适用，必须对球面形状，尤其是球面的曲率进行精确描述，才能精确地推导出正确的球面折射成像公式。
难点单球面折射成像的原理
透镜的像差——点光源或物体发出 的光经透镜后所成的像偏离了理想 的像的现象。
35
1、球面像差（球差）——远轴光线和近 轴光线经透镜折射后不能会聚于光轴上 一点的现象。
36
2、色像差 —— 不同波长的光通过透 镜后不能在同一点上成像的现象。
37
第三节 眼 睛 一、眼的光学结构
38
39
可应用单球面折射公式，采用逐次成像 法来求光通过共轴球面系统的像的位置。
[例题11-3] 玻璃球(n=1.5)的半径为 10cm，一点光源放在球前40cm处。求 近轴光线通过玻璃球后所成的像。
15
16
第二节 透 镜
透镜是具有两个折射面的共轴球面系统。 透镜分为薄透镜、厚透镜及柱面透镜。
一、 薄透镜公式
23
解：1、作图法
24
二、厚透镜
25
1、两焦点 ： F1——第一主焦点； F2——第二主焦点。
2、两主点 ： Hl——折射系统的第一主点， 平面B1HlAl——第一主平面。 H2——折射系统的第二主点， 平面B2H2A2——第二主平面。
26
从图11-7中可看出，无论光线在折
射系统中经过怎么样的曲折路径，在效
当υ=∞时，对应的u值即为透镜组的等 效焦距f，则
111
f
f1 f 2
紧密接触的透镜组的等效焦距的 倒数等于组成它的各透镜焦距的倒数 之和。
22
第一透镜、第二透镜和透镜组的 焦度之间的关系：
φ=φ1+φ2
这一关系常被用来测量透镜的焦度。
[例题11-4] 凸透镜L1和凹透镜L2的焦距 分 别 为 20cm 和 40cm ， L2 在 L1 右 边 40cm处。在透镜L1左边30cm处放置一 物体PQ，求经透镜组后所成的像。
光在球面上折射
8
9
二、球面折射公式
如图所示，AOB
是折射率分别为
A
n1和 n2的两种介 n1 S i
r S
n2
质的球面界面，
θ
φ
R为球面的曲率 S1 半径，O为曲率
C
O
R
B
S2
中心，C为球面
l1
l2
顶点，CO的延长线为球面的主轴。通过主轴的平面称为主截
面。主轴对于所有的主截面具有对称性。 设n2 > n1，光线 从点光源S1发出,经球面A点折射后与主轴交于S2 ,令：
得 ： l2= 10cm
最后的像是一个虚像，并落在哑铃中间。
26
例1 如图所示，一根折射率为1.50的玻璃棒，其一
端被磨成半径为20.0mm的半球面。若将它先后放在
折射率为1.00的空气中和折射率为1.33的水中，求在
这两种情况下，在棒轴上距离顶点80.0mm处的物点
的像距和像的横向放大率。
n1（空气；水）
ⅶ）还可以用于描述光线在平面上的折射和反射， 因为平面可以认为是曲率半径无限大的球面。
ⅷ）也可以作为研究各种情况下折射和反射成像规 律的基础。
凸面镜成像原理；凹面镜成像原理
19
三、高斯公式
引入焦点焦距的概念后，可得球面折射的另一种形
式，即高斯公式。
如果处于主光轴上的物点离开球面的距离为无限大，
即l1=∞，那么由它发出而投射到球面上的平行光线必
ⅴ）上式对凸状球面和凹状球面都是适用的，只需 按照上面的规定调整球面曲率半径的符号就可以了。
18
ⅵ）上式也可以用于描述光线在各种球面上的反 射，这时除了应调整球面曲率半径的符号外，还需 令n2=﹣n1。物空间与像空间重合，且反射光线与 入射光线的传播方向恰恰相反。这种情况在数学处 理上可以认为像方介质的折射率等于物方介质折射 率的负值。（仅在数学上有意义）
7-2 单个折射球面的光路计算
l
－
r
l－r
×
u (h)
÷
r
i
×
n
÷
n’
i’
×r
÷ u’ (h’)
+
r
l’
u
+
i
－
i’
u’
光路1
光路2
光路3
i=(l-r)/r*u i’＝n/n’*i l’＝r+r*i’/u’ u’=i+u-i’
例题－§7.2 单个球面的折射
1、一根被空气包围的玻璃棒，折射率为1.5163，其左端磨 制成一个半径为20mm的左凸的半球，如在距离半球顶点 左侧60mm处放置一个点光源，试计算该点光源发出的同 心光束中，U＝－10、 －20和－30的三条光路。
U’=I+U-I’
例题
1、光路计算公式－折射球面近轴区光路计算
当光线限制在光轴附近时，取 sina ≈a，cosa ≈1
可得折射球面近轴区的光路计算公式
sinI=(L-r)/r×sinU sinI’＝n/n’×sinI U’=I+U-I’ L’＝r+r×sinI’/sinU’
i=(l-r)/r×u i’＝n/n’×i u’=i+u-i’ l’＝r+r×i’/u’
A 60mm
作业－§7.2 单个球面的折射
1、7－4 （将“求U＝－20的光路”更改为“求U＝－ 20的光路及近轴区光路”）
三、列表法－单个折射球面的光路计算
n
n’
r
光路1
L
－
r
L－r
× sinU (h)
÷
r
sinI
×
n
÷
n’
单球面折射成像
一、符号规则（2）
• 角度： 一律以锐角来ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ量，规定顺时针为正，
反之为负。 1. 起始轴和转动方向：
U、U ’ —— 由光轴起转到光线； I（入射角）、I ’ （折射角） —— 由光线起 转到法线；
符号规则的应用：
符号规则的意义：
• 可使某种情况下推出的公式普遍使用于各种情况。
符号规则会直接影响公式的形式，而应用一定 形式的公式时就必须遵守一定的符号规则。否则， 由于符号弄错了，即使公式和运算都正确，而其 所得的结果仍然是错误的。
屈光力和焦距的关系
n ' n • F= r
n′r f ′=
n′－ n
nr f =－
n′－ n
Fn'nn' n r f' f
Fn'nn' n r f' f
• f’>0时，像方焦点位于球面顶点右边， 为 实焦点，反之，f’<0时，为虚焦点。
• 焦距或屈光力的正负决定了折射面对光 束的会聚或发散特性
• F>0时，会聚；F<0时，发散，故凹透镜 度数为负，凸透镜度数为正
单球面成像的不完善性
当U很小时，U’ ，I与I’ 也相应很小， 则这些角度的正弦值可近似地用弧度值 来代替，并改用小写字母 u，u’ ，i，i’ 来表示。此时，其他各量均用相应小写 字母来表示。
当u角很小，光线很靠近光轴，这样的光线 称为近轴光线（或称傍轴光线）。近轴 光线所在的区域，称为近轴区（或称傍 轴区）(Paraxial region)。
符号规则的应用意义及注意点：
• 光路图中所有几何量一律以绝对值标注，负号则 表示该几何量的方位。
• 应用一定形式的公式可进行各种光路的正确计算。 • 推导公式时，也要使用符号规则，以便使导出的
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(y')
lm'
说明：
y' b b1b 2 b m y
-lm
(1) b>0成正立的像， b<0成倒立的像； (2) |b|>1成放大像， |b|<1成缩小像； (3) b ＝v’/v 。
2、轴向放大率－放大率
dl
y1
A -l1 o1
n1 r1
n1'
n2 -r2
n2'
nm nm' rm
例题—球面镜成像
例题3 有一个放映机，使用一个凹面反光镜进行 聚光照明，光源经过反光镜反射以后成像 在投影物平面上。光源长10mm，投影物高 为40mm，要求光源像等于投影物高，并且 反光镜离投影物平面距离为600mm，求该 反光镜的曲率半径等于多少?
作业－§7.4共轴球面光学系统
1 7-7
2
已知一透镜的结构参数如下(单位mm)：r1＝ 10，r2＝－25，d＝7，n1＝1.0，n1'＝n2＝ 1.5163，n2'＝1.0，在光轴上距透镜前顶点L1 ＝-140mm处有一点光源，求(1)U＝－10的光 路； (2)在近轴近似下，试求该光源的像点的ym'um'
由转面公式可得
nyu ＝n1y1u1 ＝n2y2u2＝……＝nmymum＝n'y'u'
1、垂轴放大率－放大率
(y )
y1 A -l1 o1 n1 r1
n1'
n2 -r2
n2' /// d2 dm
nm nm' rm
om -ym'
-y1' -y2 o2 d1 l1' -l2 l2'
+ －
球面i
球面k (i=m)
Lm sinUm
sinI=(L-r)/r*sinU
sinI'=n/n'*sinI· L'r +r*sinI'/sinU' U'=I+U-I' Lm'【L'】 Li+1=Li'－di
Ui Ii Ii '
U i'
U 1'
U2'
Um'【U'】
2、近轴区光路计算列表－共轴球面光学系统
球面1(i=1) 球面2 (i=2) ni ni’ ri Di li ri li－ri ui ri ii ni ni ' ii' ri ui' ri li' di 球面i 球面k (i=m)
－
× ÷ × ÷ × ÷ +
l1【l】 u1 【 u】
l2
lm um
i=(l-r)/r*u
u2
i'＝n/n'*i l'＝r+r*i'/u'
-y1' -y2 o2 d1 l1' -l2 d2 l2'
///
dm -lm
om
-ym'
lm'
dl'
dl ' 1 2 m dl
说明： (1) >0，则dl和dl'同号，物像运动方向相同； (2) <0，则dl和dl'异号，物像运动方向相反； (3) ＝v'// /v//。
n1 y1 A o1 r1
n1'
n2 -r2
n2' /// d2 dm -lm
nm nm' rm om
-y1' -y2 o2 d1 l1' -l2 l'2
-y'm
lm'
-l1
二、拉赫不变量－共轴球面光学系统
由折射球面的拉赫不变量有 n1y1u1＝n1'y1'u1' n2y2u2＝n2'y2'u2'
§7.5 共轴球面光学系统
一、转面公式 二、拉赫不变量 三、放大率公式 1、垂轴放大率 2、轴向放大率 3、角放大率 四、光路计算 1、一般光路计算列表 2、近轴区光路计算列表 3、一般光路计算流程图
一、转面公式－基本参量－共轴球面光学系统
• 成像时涉及的参量
(1) 光学系统参量 (a) 各球面的曲率半径： r1，r2，……，rm； (b) 各球面两侧的折射率： n1，n1'，n2，n2' ，……，nm，nm' ； (c) 相邻两球面顶点的间距： d1，d2，……，dm-1。 (2) 光线参量 孔径角： u1，u1' ，u2，u2' ，……，um，um'。 (3) 物像参量 (a) 物像高度： y1，y1' ，y2，y2' ，……，ym，ym' ； (b) 物像距： l1， l1' ， l2， l2 ' ， ……，lm， lm' 。
l1'
－
l i＋ 1 ui + ii － ii ’
d1 l2
l2'
d2 l3
lm'【l'】
li+1=li'－di
u'=i+u-i'
um'【u'】
ui'
u1 '
u2 '
3、一般光路计算流程图－共轴球面光学系统
k 1 U1 U , L1 L
单个折射球面 光路计算公式
k=m 否
Lk+1= Lk'- dk Uk+1= Uk' k=k+1
3、角放大率－放大率
u' 1 2 m u
三种放大率的关系
n' 2 b n n n' b b
1、一般光路计算列表－共轴球面光学系统
球面1(i=1) 球面2 (i=2) ni ni’ ri di Li L1【L】 L2 － ri Li－ri × sinUi sinU1【 sinU】 sinU2 ÷ ri sinIi × ni ÷ ni ' sinIi' × ri ÷ sinUi' + ri Li’ L1’ L2’ － di d1 d2 L i＋ 1 L2 L3
n1 y1 A -l1 o1 r1
n1'
n2 -r2
n2 ' /// d2 dm
nm nm' rm om
-y1' -y2 o2 d1 l1' -l2 l2'
-ym'
lm'
-lm
一、转面公式－公式－共轴球面光学系统
• 转面公式
(1) 光学系统参量 折射率： n2＝n1' ，n3＝n2' ，……，nm＝n' m－1 。 (2) 光线参数 孔径角： u2＝u1' ，u3＝u2' ，……，um＝u' m－1。 (3) 物像参量 (a) 物像高度： y2＝y1' ，y3＝y2' ，……，ym＝y' m－1; (b) 物像距： l2=l1' －d1，l3=l2' －d2，……，lm=l' m-1'－dm-1。
是
' U ' Um L' L'm
例题－共轴球面光学系统
例题1 一个玻璃球直径为40mm，折射率为1.5，一 束平行光入射到玻璃球上，其汇聚点在什么 位置？如果在玻璃球前25mm处放置一个高 为1mm的物体,试求解像的位置和大小.
例题—球面镜成像
例题2 一凹球面反射境，半径r＝－12cm，当物 距分别为时-24cm，-12cm，-9cm，-2cm， 求像的位置和垂轴放大率。