角平分线定理(2)
三角形角平分线定理
三角形角平分线定理三角形角平分线定理是指：三角形内一条角的角平分线把这条角分成两个相等角，并且这条角平分线所在的边与三角形外一边的两个对边的比等于被分角的两边的比。
三角形角平分线定理是一个重要且有用的几何定理，它可以帮助我们推导解决许多与三角形相关的问题。
本文将详细介绍三角形角平分线定理以及其应用。
一、三角形角平分线定理的定义与性质三角形角平分线定理可以描述为：设三角形ABC中，AD是角BAC的角平分线，则有以下两个性质成立：1. 角BAD与角DAC的度数相等，即∠BAD = ∠DAC。
2. AB/BC = BD/DC。
角平分线的定义是指一条线段或射线从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角。
根据角平分线的定义，我们可以得出性质1。
性质2则是说明了角平分线所在边与三角形外一边的两个对边的比例关系。
这个比例关系在解决一些三角形相关问题时非常有用，比如计算未知边长或角度大小等。
二、三角形角平分线定理的证明现在我们来证明三角形角平分线定理中的性质2。
首先，我们假设角BAD = α，角CAD = β，角DAC = α，角BDA = β。
根据正弦定理，我们可以得到以下两个等式：sinα/BD = sinβ/AB (1)sinα/DC = sinβ/AC (2)将(1)除以(2)，可以得到：(AB/BD)/(AC/DC) = sinα/sinα = 1由于左边等式的分数形式是BD/DC的比，因此我们可以得出：AB/BC = BD/DC这就证明了三角形角平分线定理中的性质2。
三、三角形角平分线定理的应用三角形角平分线定理有着广泛的应用，特别是在解决与三角形相关的题目时，可以通过应用该定理得到简洁而准确的答案。
以下是三个典型的应用案例：1. 求角平分线所分角的大小已知三角形ABC中，BD为角BAC的角平分线，要求角BAD的大小。
根据三角形角平分线定理的性质1，我们知道角BAD与角DAC的大小相等，即∠BAD = ∠DAC。
三角形角平分线有关的定理
三角形角平分线有关的定理1.引言1.1 概述概述部分内容：在我们的日常生活和几何学中，三角形是一种常见的几何图形。
它由三条边和三个顶点组成。
而在三角形中，角平分线是一种非常重要的概念。
角平分线是指从一个顶点出发，将一个角平分为两个相等的角的直线或线段。
在本篇文章中，我们将探讨与三角形角平分线相关的一些重要定理。
这些定理涉及到角平分线的定义、性质以及在几何学中的重要应用。
首先，我们将详细介绍角平分线的定义和性质。
通过理解角平分线的定义，我们可以更好地掌握它的特点和作用。
同时，探究角平分线的性质也能够帮助我们在解决相关几何问题时提供有力的依据。
其次，我们将重点讨论角平分线在几何学中的重要应用。
通过具体的实例和问题，我们将展示角平分线在解决三角形相关问题时的作用和意义。
这些应用包括角平分线的角度关系、角平分线与三角形边长的关系等。
通过学习这些应用，我们可以更好地理解角平分线在解决实际问题中的应用及其重要性。
最后，我们将对本文进行总结，并展望未来对于三角形角平分线相关定理的深入研究。
通过对这些定理的理解和应用的进一步探索，我们有望为几何学的发展做出更多的贡献。
同时，针对目前存在的问题和难点，我们也可以提出一些新的研究方向和解决思路。
通过本文的阅读和学习，我们将更深入地了解三角形角平分线相关的定理，并能够灵活运用于实际问题的解决中。
同时，我们也将对几何学的研究有更深入的认识，为今后的学习和研究打下坚实的基础。
希望读者能够通过本文的阅读，对三角形角平分线有一个全面而深入的了解。
1.2文章结构文章结构部分是用来概述和介绍整篇文章的组织结构和内容安排。
在本文中，文章结构包括引言、正文和结论三个部分。
引言部分主要是对整篇文章进行概述，介绍了本文讨论的主题是三角形角平分线有关的定理。
文章将从定义和性质、重要应用两个方面进行论述。
此外，介绍了本文的目的是为了深入研究和了解三角形角平分线的基本原理和应用。
正文部分分为两个部分，分别是定理一和定理二。
直角三角形 角平分线定理
直角三角形角平分线定理
直角三角形的角平分线定理是指：在一个直角三角形中，如果从直角顶点引一条线段，将对角线分成两段，那么这条线段所在的直线就是这个直角顶点的两个相邻角的平分线。
具体来说，设一个直角三角形ABC，其中∠C=90度，AD为BC的中线，DE是AC的垂线，则AD是∠A和∠B的平分线，即∠CAD=∠BAD=∠A/2，∠CBD=∠ABD=∠B/2。
这个定理的证明可以利用几何知识进行证明，例如相似三角形、角度和定理等。
但简单来说，我们可以利用三角函数的定义，根据正弦、余弦、正切等函数来计算证明。
总之，直角三角形的角平分线定理在几何学中有着重要的应用价值，可以帮助我们更好地理解和应用三角形的相关知识。
角平分线定律
角平分线定律一、什么是角平分线定律角平分线定律是解决几何问题中常用的一个定理。
简而言之，角平分线定律说明了一个角的平分线可以将对立的两边分成相等的两部分。
这个定律在三角形中特别有用，可以用于计算角度或边长的比例关系。
二、角平分线定律的表述角平分线定律可以用以下两个等式表达：•在一个三角形中，角的平分线将对立边上的长度成比例分割，即：AB/BC = AC/CD•在一个三角形中，角的平分线将对立角所对的弦分成相等的两部分，即：BD/DC = AB/AC其中，A、B、C是三角形的三个顶点，AB、BC、AC是三角形的三条边，CD是角ABC 的平分线，BD、DC是对立角所对的弦。
三、角平分线定律的证明角平分线定律的证明可以通过几何推理或使用三角函数进行推导。
这里我们以几何推理的方式进行证明。
证明过程：步骤一：假设我们假设在三角形ABC中，角ABC的平分线CD将边AB和AC分别分割成AD和AE 两部分，如下图所示：B/ \/ \A ---- C ---- E\ /\ /D步骤二：证明∠CAD ≌ ∠BAD由于CD是角ABC的平分线，根据平分线的定义，我们可以得出∠CAD ≌ ∠BAD。
步骤三：证明△ACD ≌ △ABD根据步骤二，我们知道∠CAD ≌ ∠BAD，而∠CAD 和∠BAD 是三角形ACD和ABD的共同角。
另外，根据假设，我们已知AD ≌ AD，因此根据ASA（边-边-角）准则，我们可以得出△ACD ≌ △ABD。
步骤四：证明AD/BD = AE/CE根据步骤三，我们知道△ACD ≌ △ABD，因此对应的边也成比例。
即AD/BD =AE/CE。
至此，我们完成了角平分线定律的证明。
四、角平分线定律的应用角平分线定律在解决各种几何问题时非常有用。
下面是一些常见的角平分线定律的应用示例：1. 计算角度的比例关系在一个三角形ABC中，角ABC的平分线AD将边AB和AC分割成AD和AE两部分。
已知AD/BD = 2/5，求∠BAD 和∠CAD 之间的比例关系。
三角形中的角平分线定理
角形中的角平分线定理
角平分线定理（Angle Bisector Theorem）是几何学中的一个重要定理，它涉及到角的平分线和角内部的边的比例关系。
具体表述如下：
在一个三角形中，如果一条线段从某个顶点的角的两边中间穿过，并将该角分为两个相等的角，那么这条线段被称为该角的角平分线。
角平分线将对边（即与该角相对的边）分成两个部分，它们的比例等于另外两边的比例。
具体来说，设在三角形ABC中，角BAC的角平分线通过顶点A，与边BC相交于点D。
那么有以下比例关系成立： AB/BD = AC/CD 其中，AB和AC是角BAC的两条边，BD和CD是角平分线AD所分割的对边BC的两段。
这个定理可以用于解决一些与角平分线和边比例有关的问题，例如根据已知比例求解未知边长，或者根据已知边长求解未知比例等。
在解题时，可以利用角平分线定理来建立比例方程，并通过求解方程得到所需的结果。
需要注意的是，角平分线定理只适用于三角形中的角，而且前提条件是角的平分线将角分成两个相等的角。
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角平分线(第2课时)
证三条直线交于一点
命题:三角形三个角的平分线相交于一点.
基本想法是这样的:我们知道,两条直线 相交只有一个交点.要想证明三条直线相 交于一点,只要能证明两条直线的交点在 A 第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚 ND 刚学到的逆定理. P 如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别是 B E,F,D. E ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上, ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 同理,PE=PF. ∴PD=PF. ∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,且到 角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上). ∴△ABC的三条角平分线相交于一点P.
HE
老师提示:
这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一
这个交点叫做三角形的内心.
1．三角形的角平分线的性质定理 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边
相等 ． 的距离________
2．三角形三角置
性质
三角形三边的垂直 三角形内部，或外 到三角形三个顶点 平分线 部，或一边上(外心） 的距离相等
挑战自我
A
E C B
D
例1,AD,BE为△ABC的角平分线交于点I, （1）若CD=CE,判断IE与ID的数量关系并证明 （2）若∠C=60°,判断IE与ID的数量关系并证明
小结
拓展
回味无穷
A D 1 2 E B P
定理 角平分线上的点到这个 角的两边距离相等. O 逆定理 在一个角的内部,且到 角的两边距离相等的点,在这 个角的平分线上. 定理:三角形的三条角平分线 相交于一点,并且这一点到三 边的距离相等(这个交点叫做 三角形的内心).
角平分线的定义和意义的区别
⾓平分线的定义和意义的区别 ⾓平分线的判定是怎样的，有同学了解过吗?没有的话，快来⼩编这⾥瞧瞧。
下⾯是由店铺⼩编为⼤家整理的“⾓平分线的判定是怎样的”，仅供参考，欢迎⼤家阅读。
⾓平分线的判定是怎样的 从⼀个⾓的顶点引出⼀条射线，把这个⾓分成两个完全相同的⾓，这条射线叫做这个⾓的⾓平分线(bisector of angle)。
三⾓形三条⾓平分线的交点叫做三⾓形的内⼼。
三⾓形的内⼼到三边的距离相等，是该三⾓形内切圆的圆⼼。
性质定理 1.⾓平分线将此⾓分为⼀对等⾓。
2.在⾓平分线上的点到这个⾓的两边距离相等。
证明如下： 已知：如下图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB。
求证：PC=PD。
证明：∵OP平分∠AOB， ∴∠AOP=∠BOP。
∵PC⊥OA，PD⊥OB。
∴∠OCP=∠ODP。
在△CPO和△DPO中， ∠OCP=∠ODP， ∠AOP=∠BOP， OP=OP，(注：三个条件⽤左⼤括号括住。
) ∴△CPO≌△DPO(AAS)。
∴PC=PD。
拓展阅读：⾓平分线上的点到⾓两边的距离相等 ⾓平分线上的点到⾓两边的距离相等”是正确的，这句话是⾓平分线定理1，也可看作是⾓平分线的性质。
⾓平分线定理2是将⾓平分线放到三⾓形中研究得出的线段等⽐例关系的定理，由它以及相关公式还可以推导出三⾓形内⾓平分线⻓与各线段间的定量关系。
三⾓形垂⼼有什么特点 主要有： 1、锐⾓三⾓形的垂⼼在三⾓形内;直⾓三⾓形的垂⼼在直⾓顶点上;钝⾓三⾓形的垂⼼在三⾓形外; 2、三⾓形的垂⼼是它垂⾜三⾓形的内⼼;或者说,三⾓形的内⼼是它旁⼼三⾓形的垂⼼; 3、垂⼼关于三边的对称点，均在三⾓形的外接圆上; 4、锐⾓三⾓形的垂⼼到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍; 5、锐⾓三⾓形的垂⼼是垂⾜三⾓形的内⼼;锐⾓三⾓形的内接三⾓形中，垂⾜三⾓形的周⻓最短。
角平分线(1-2)
§1．4．1角平分线（一）教学目标（一）知识目标1．角平分线的性质定理的证明。
2．角平分线的判定定理的证明。
3．用尺规作已知角的角平分线。
（二）能力目标1．进一步发展学生的推理证明意识和推理能力，培养学生将文字语言转化为符号语言，图形语言的能力。
2．体验解决问题策略的数学思想方法，提高实践能力。
教学重点1．角平分线的性质和判定定理的证明。
2．用尺规作已知角的角平分线并说明理由。
教学难点1．正确地表述角平分线性质定理的逆命题。
2．正确地将文字语言转化成符号语言和图形语言，对几何命题加以证明。
教学过程1、创设问题情境：〖思考与探索〗有一种蜘蛛网的主网线是它相邻的主网线构成的角平分线(如图)，如果蜘蛛在∠AOB 平分线OC上一点P处,为尽快爬到OA或OB上控制猎物,它应该选择什么路线,两条路线长度关系怎样?（蜘蛛实例的思考与探索，实际上既复习了点到直线的距离这一概念，又发现了角平分线上的点到角两边的距离相等这一性质定理。
）2、新课引入问题：（1）还记得角平分线的概念吗？（2）还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？（3）你是怎样理解结论的？（4）以前我们用折纸的方法得到了一个结论，我们能进行严格意义的证明吗？师：（板演:画出一个角平分线；然后在平分线上任取一点，作出这一点到角两边的距离。
）问：你能否将蜘蛛实例的结论转化为一个命题，写出以知与求证进行证明？已知：OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E.求证：PD=PE.（注：将文字语言转化成符号语言和图形语言由师生共同完成）证明∵AC 平分∠AOB ，∴∠AOC=∠BOC=21∠AOB 。
又∵∠AOC=∠BOC=RT ∠,OC=OC ∴△AOC ≌△BOC （HL ）∴CD=CE(全等三角形的对应边相等)(请学生回答蜘蛛控制猎物的方法、两条路线长度关系) 定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等。
角平分线定理2证明
角平分线定理2证明角平分线定理2：一个角的平分线将角分为两个相等的角。
证明：设在∠A上的一条平分线AO.构造平行线l和m,其中l过A，m过O.则∠A等于两个直角∠BAC和∠CAE,(∠ACE和∠CAD互不相等)而辅助线AC与l平行，AB与m平行，且隔平行线的直角互为补角，所以当∠ACE等于90°时，∠BAD和∠DAB之和也等于90度.得到∠DAB = ∠BAD = 90/2 = 45°.所以通过A点的平分线将角A分为两个相等的角。
参考内容：1. 数学分析与证明：- 使用几何图形和形状来证明平分线定理2，使用直观的观察和推理来解释为什么平分线将角分为两个相等的部分。
- 使用几何原理和定理来进行证明，如垂直线的性质、平行线的性质和角度的定义。
- 通过构造合适的辅助线和辅助角来帮助证明，如构造平行线、垂直线和等角。
2. 角度的定义和性质：- 角度的定义、角度的度量和度数的旋转。
- 角度的补角、余角和互补角的定义和性质。
3. 平行线的性质和定理：- 平行线的定义和基本性质。
- 平行线的判定定理和性质，如同位角、内错角和外错角的性质。
- 平行线和角度的关系，如平行线交割定理和平行线夹角定理。
4. 使用辅助线的方法：- 如何构造合适的辅助线来帮助证明定理，特别是平分线的定理。
- 使用辅助线的目的和意义，如通过构造垂直线、平行线和等角来证明定理。
- 如何选择合适的辅助线，以及如何进行推理和证明。
5. 角度的性质和性质：- 角度的性质和度量，如直角、锐角和钝角的定义和性质。
- 角度的加法和减法，角度的乘法和除法的性质。
- 角度的三等分和四等分的定义和性质。
三角形的角平分线几何语言
三角形的角平分线几何语言三角形的角平分线是指从三角形的顶点出发，将对应的角分成两个相等的角的直线。
这条直线称为角平分线。
角平分线是三角形的重要性质之一，它在几何学中有着广泛的应用。
我们来看一下角平分线的定义和性质。
设ABC为一个三角形，角A 的角平分线交边BC于点D。
则有以下性质：1. 角BAD和角CAD是相等的，即角BAD=角CAD。
2. 点D在边BC上。
接下来，我们来探讨一些与角平分线相关的重要定理。
一、角平分线定理角平分线定理是指：如果一条直线分别平分一个角的两个相邻边所对应的两个内角，那么这条直线就是该角的角平分线。
证明：设角BAD和角CAD是相等的，点D在边BC上。
我们需要证明角BAD和角CAD所对应的两个内角相等。
1. 证明角BAD和角CAD所对应的两个内角相等。
由三角形内角和定理可知，角BAD+角BDA+角ADB=180°，角CAD+角CDA+角ADC=180°。
而角BDA和角CDA是相等的，因为它们都是直角，即角BDA=角CDA。
所以，角BAD+角BDA+角ADB=角CAD+角CDA+角ADC。
将已知条件代入，即有角BAD+角BAD+角ADB=角CAD+角CAD+角ADC。
化简得2角BAD+角ADB=2角CAD+角ADC。
进一步化简可得2角BAD=2角CAD+角ADC-角ADB。
由已知条件可知角ADC=角ADB+角BDA，代入上式得2角BAD=2角CAD+角ADB+角BDA-角ADB。
化简得2角BAD=2角CAD+角BDA。
再次化简可得角BAD=角CAD+角BDA。
这就证明了角BAD和角CAD所对应的两个内角相等。
2. 证明点D在边BC上。
由角平分线的定义可知，直线AD是角A的角平分线，即角BAD=角CAD。
而根据角BAD和角CAD所对应的两个内角相等的证明可知，角BAD=角CAD+角BDA。
将已知条件代入，即有角CAD=角CAD+角BDA。
化简得角BDA=0。
(完整版)角平分线定理
角平分线定理角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
■ 三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。
【注】三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。
角的平分线是射线。
■拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。
■定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。
■逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
■定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，如：在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC提供四种证明方法：已知，如图，AM为△ABC的角平分线，求证AB／AC=MB／MC已知和证明1图证明：方法1：（面积法）S△ABM=(1/2)·AB·AM·sin∠BAM,S△ACM=(1/2)·AC·AM·sin∠CAM,∴S△ABM：S△ACM=AB:AC又△ABM和△ACM是等高三角形，面积的比等于底的比，证明2图即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM ∴AB／AC=MB／MC方法2（相似形）过C作CN‖AB交AM的延长线于N则△ABM∽△NCM∴AB/NC=BM/CM又可证明∠CAN=∠ANC∴AC=CN∴AB／AC=MB／MC证明3图方法3（相似形）过M作MN‖AB交AC于N则△ABC∽△NMC,∴AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC又可证明∠CAM=∠AMN∴AN=MN∴AB/AC=AN/NC∴AB／AC=MB／MC方法4（正弦定理）作三角形的外接圆，AM交圆于D，由正弦定理，得，证明4图AB/sin∠BMA=BM/sin∠BAM,∴AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM又∠BAM=∠CAM，∠BMA+∠AMC=180°sin∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC, ∴AB／AC=MB／MC。
中考数学常见几何模型角平分线的基本模型(二)非全等类
专题08 角平分线的重要模型（二）非全等类角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。
模型1.双角平分线模型（导角模型） 【模型解读】双角平分线模型（导角模型）指的是当三角形的内角（外角）的平分线相交时，可以导出平分线的夹角的度数。
【模型图示】条件：BD ，CD 是角平分线.结论：1902BDC A∠=︒+∠1902BDC A ∠=︒-∠12BDC A ∠=∠ 1．（2022·广东·九年级专题练习）BP 是∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的邻补角的平分线，∠ABP =20°，∠ACP =50°，则∠P =（ ）4231AFCB4321DAA．30°B．40°C．50°D．60°【答案】A【分析】据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P 的度数．【详解】∠BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∠∠ABP=∠CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°，∠∠PCM是△BCP的外角，∠∠P=∠PCM−∠CBP=50°−20°=30°，故选：A．【点睛】本题考查三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．2．（2022·山东·济南中考模拟）如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．∠ABC；(1)求证：∠AOC＝90°＋12(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．∠MK=ML，角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC 与∠A的数量关系，并说明理由．（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝°，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝°．【分析】（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠E与∠1表示出∠2，于是得到结论；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC与∠ECB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（4）结合（1）（2）（3）的解析即可求得．【解答】解：（1）∵PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB（角平分线的性质），∴∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形内角和定理），∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（12∠ABC+12∠ACB）＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°−12（180°﹣∠A）＝180°﹣90°+12∠A＝90°+12∠A＝90°+12×64°＝122°．故答案为：122°；（2）∵BE是∠ABD的平分线，CE是∠ACB的平分线，∴∠ECB=12∠ACB，∠ECD=12∠ABD．∵∠ABD是△ABC的外角，∠EBD是△BCE的外角，∴∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，∴∠EBD=12∠ABD=12（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB，即12∠A+∠ECB＝∠ECB+∠BEC，∴∠BEC=12∠A=12α；（3）结论∠BQC＝90°−12∠A．∵∠CBM与∠BCN是△ABC的外角，∴∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∵BQ，CQ分别是∠ABC与∠ACB外角的平分线，∴∠QBC=12（∠A+∠ACB），∠QCB=12（∠A+∠ABC）．∵∠QBC+∠QCB+∠BQC＝180°，∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠EQB＝180°−12（∠A+∠ACB）−12（∠A+∠ABC），＝180°−12∠A−12（∠A+∠ABC+∠ACB）＝180°−12∠A﹣90°＝90°−12∠A；（4）由（3）可知，∠BQC＝90°−12∠A＝90°−12×64°=58°，由（1）可知∠BPC＝90°+12∠BQC＝90°+12×58°=119°；由（2）可知，∠R=12∠BQC＝29°故答案为119，29．【点评】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．4．（2022·辽宁沈阳·九年级期中）阅读下面的材料，并解决问题(1)已知在∠ABC中，∠A=60°，图1-3的∠ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接写出下列角度的度数，如图1，∠O＝；如图2，∠O＝；如图3，∠O＝；∠A(2)如图4，点O是∠ABC的两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+12(3)如图5，在∠ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．模型2.角平分线加平行线等腰现（角平分线+平行线）【模型解读】1）过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形；2）有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边的直线于一点，也可构造等腰三角形。
角平分线的三个定理推导
角平分线的三个定理推导英文回答：To prove the three theorems of angle bisectors, let's start with the first theorem.The First Theorem of Angle Bisectors states that an angle bisector divides the opposite side of a triangle into segments that are proportional to the adjacent sides. In other words, if we have a triangle ABC with angle bisector AD, then AD/DB = AC/CB.To prove this theorem, we can use the Law of Sines.Let's consider triangle ABC again, and let angle BAC be denoted as angle A, angle ABC as angle B, and angle BCA as angle C. According to the Law of Sines, we have AC/sin B = BC/sin A. Now, let's draw the angle bisector AD. We can use the Law of Sines again on triangle ABD and triangle ACD. We have AD/sin B = BD/sin A and AD/sin C = CD/sin A.Dividing these two equations, we get AD/BD = CD/AD. Since BD = CD, we can substitute this into the equation, and we have AD/BD = AD/AD, which simplifies to AD/BD = 1.Now, let's move on to the second theorem.The Second Theorem of Angle Bisectors states that the three angle bisectors of a triangle are concurrent, meaning they intersect at a single point. This point is called the incenter of the triangle.To prove this theorem, we can use the concept of angle bisectors dividing the opposite sides proportionally. Let's consider triangle ABC again, with angle bisectors AD, BE, and CF. According to the First Theorem of Angle Bisectors, we have AD/DB = AC/CB, BE/EC = BA/AC, and CF/FA = CB/BA.Now, let's take the reciprocal of these equations and add them up. We have 1/(AD/DB) + 1/(BE/EC) + 1/(CF/FA) =1/(AC/CB) + 1/(BA/AC) + 1/(CB/BA). Simplifying this, we get DB/AD + EC/BE + FA/CF = CB/AC + AC/BA + BA/CB.Using the concept of common denominators, we canrewrite the equation as (DB+EC+FA)/AD + (EC+FA+DB)/BE + (FA+DB+EC)/CF = (CB+AC+BA)/AC. Since DB+EC+FA = AC,EC+FA+DB = BA, and FA+DB+EC = CB, the equation becomesAC/AD + BA/BE + CB/CF = (CB+AC+BA)/AC.Simplifying further, we have AC/AD + BA/BE + CB/CF = 1 + BA/AC + CB/AC. Rearranging the equation, we get AC/AD + BA/BE + CB/CF = AC/AC + BA/AC + CB/AC. This can be simplified to AC/AD + BA/BE + CB/CF = 1 + 1 + 1 = 3.From this equation, we can see that AC/AD + BA/BE +CB/CF = 3, which means that the three fractions must add up to 3. This can only happen if the three fractions are equal to 1. Therefore, AD/DB = BE/EC = CF/FA = 1. This implies that the three angle bisectors intersect at a single point, which is the incenter of the triangle.Finally, let's move on to the third theorem.The Third Theorem of Angle Bisectors states that the angle bisector of an exterior angle of a triangle dividesthe opposite side internally in the same ratio as the adjacent sides. In other words, if we have a triangle ABC with an exterior angle at vertex A, and the angle bisectorof this exterior angle intersects side BC at point D, then AD/DB = AC/CB.To prove this theorem, we can use the concept ofsimilar triangles. Let's consider triangle ABC again, with an exterior angle at vertex A and angle bisector AD. We can draw a line parallel to AD through point B, intersectingside AC at point E. Now, we have two similar triangles ABD and AEC.Since triangle ABD and triangle AEC are similar, wehave AD/AB = AE/AC. Rearranging this equation, we get AD/DB = AE/EC. But we know that AE = AC + CE, so we cansubstitute this into the equation. We have AD/DB = (AC + CE)/EC. Simplifying further, we have AD/DB = AC/EC + CE/EC. Since CE/EC = 1, the equation becomes AD/DB = AC/EC + 1.Now, let's consider triangle ABC again. According tothe First Theorem of Angle Bisectors, we have AC/CE = AB/BE.Rearranging this equation, we get AC/EC = AB/BE. Substituting this into the equation above, we have AD/DB = AB/BE + 1.Now, let's consider triangle ABE. According to theFirst Theorem of Angle Bisectors, we have AB/BE = AE/EC. Substituting this into the equation above, we have AD/DB = AE/EC + 1 = 1 + 1 = 2.From this equation, we can see that AD/DB = 2, which means that AD is twice as long as DB. This implies that the angle bisector of an exterior angle of a triangle divides the opposite side internally in the same ratio as the adjacent sides.中文回答：角平分线的三个定理推导如下：第一个角平分线定理，角平分线将三角形的对边分成与相邻边成比例的线段。
2022年初中数学精品教案《角平分线的判定 (2)》公开课专用
第2课时角平分线的判定一、新课导入1.导入课题：我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，反过来，到角的两边的距离相等的点是否在这个角的平分线上呢？这节课我们对这个问题进行探究.2.学习目标：（1）能说出角平分线的性质的逆定理，并能给予证明.（2）能够熟练地运用角平分线的性质的逆定理解决一些相关的数学问题.3.学习重、难点：重点：正确地区分角平分线的性质定理及逆定理的条件与结论.难点：角平分线定理和逆定理的互用.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：教材第49页下面的“思考”至例题之间的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：通过动手作图、观察、思考、论证、归纳得出结论.（4）自学参考提纲：①知识回顾：角平分线的性质定理是：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.这个定理的题设是一个点在一个角的平分线上，结论是这个点到这个角两边的距离相等，用几何语言表示：如右图，∵OP平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE②把角平分线的性质定理的题设与结论互换，就可以得到它的逆命题，试写出这个逆命题：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上用几何语言表示：如右图，∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE,∴点P在∠AOB的平分线上（OP平分∠AOB）,③小组合作完成教材第49页的思考：a.所建的集贸市场要符合哪些条件？到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.b.集贸市场应该建在什么位置？画一画，并说明理由.如图所示:P点即为所求，理由：P点在交叉口的角平分线上，所以P点到公路与铁路的距离相等.c.实际距离500米能否转换成图上距离？写出计算过程.，∴图上距离=0.025m=2.5cm.能,∵图上距离/500m=120000④结合上图自己写出角平分线性质定理的逆定理的证明过程.2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：学生已经具备了一些几何概念定理学习方法，对于性质定理的逆命题，学生能很快得出来，但在语言表达上还存在一定问题；教材第49页的“思考”对于八年级的学生来说还存在一定的难度.②差异指导：引导学生比较角平分线的性质定理和它的逆命题的题设与结论，认识它们的区别与联系，学会文字语言和几何语言的转换.(2)生助生：生生间互助交流.4.强化：（1）进一步明确角平分线的性质定理和它的逆定理的题设与结论的互换关系，以及文字语言向几何语言的转换方法.（2）角平分线的性质定理和它的逆定理，揭示了“角相等”和“线段相等”之间的一种特殊关系.这为今后我们证明角相等，线段相等提供了一种解题思路.1.自学指导：（1）自学内容：教材第50页例题.（2）自学时间：5分钟.（3）自学要求：思考辅助线的作用和为什么要这样作辅助线的道理.（4）自学参考提纲：研究例题，我知道了：①推出PD=PE的依据是角的平分线上的点到角的两边的距离相等；②“同理”这里省略的过程是∵CN是△ABC的角平分线，点P在CN上；③推出PE=PF的依据是角的平分线上的点到角的两边的距离相等；④推出PD=PE=PF的依据是等量代换；⑤由点P在∠A的内部，且PD=PF可知，点P在∠A的平分线上，其依据是角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上；⑥归纳：三角形的三条角平分线交于一点，而且这一点到三角形三边的距离相等.2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：看学生能否根据今天学习的内容很快完成例题的学习，看是否明白作辅助线的道理.②差异指导：例题中隐含有两个重要结论：一是三角形三条中线交于一点；二是确定到三角形三边的距离相等的点的方法.对此部分学生理解上存在困难，注意分类指导.(2)生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化：（1）三角形三条角平分线交于一点.（2）要在三角形的内部找到一点，使这一点到三角形的三边的距离都相等，这个点应如何确定？作其中任意两角的平分线，交点即为所要找的点.（3）教材第50页小练习.练习1：作∠BOA的平分线交于MN于P即可.练习2：证明：过P作PM⊥AC于M，过P作PN⊥BC于N，过P作PQ⊥AB于Q.∵CE为∠MCN的平分线，∴PM=PN，同理PN=PQ，∴点P到三边AB，BC，CA的距离相等.三、评价1.学生的自我评价：学生之间交谈自己的学习收获和学习体会.（1）表现性评价：对学生的学习态度、学习方法和成果进行点评.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）：本课时教学思路按操作、猜想、验证的学习过程，遵循学生的认知规律，充分体现了数学学习的必然性，教学时要始终围绕问题展开，先从出示问题开始，鼓励学生思考、探索问题中所包含的数学知识，再要求学生开展活动——折纸，体验三角形角平分线交于一点的事实，并得出进一步的猜想和开展新活动——尺规作图，从中猜想结论并思考证明的方法，整堂课以学生操作、探究、合作贯穿始终，并充分给学生思考留下足够的空间与时间，形成动手、合作、概括与解决问题的意识与能力.一、基础巩固（第1、2、3题每题10分，第4、5题每题20分，共70分）1.如右图，因为OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，所以PD=PE. 依据是角的平分线的性质.2.如右图，因为点P在∠AOB的内部，PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，所以OP平分∠AOB.即∠AOP=∠BOP.3.要在三角形内部找到一点，使这一点到三角形三边的距离都相等，这个点是三角形的三条角平分线的交点.4.如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（D）第4题图第5题图5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE垂直平分AB交AB于E.若DE=12AD=1.5cm，则BC=（D）二、综合应用（每小题10分，共20分）6.如图，点P是△ABC的外角∠CBE和外角∠BCF的平分线的交点，求证：AP平分∠BAC.证明：作PQ⊥BC,PM⊥AE,PN⊥AF,垂足分别为Q,M,N.∵P点在∠CBE和∠BCF的平分线上，∴PM=PQ,PN=PQ,∴PM=PN.∵P是AP上的点，∴AP平分∠BAC.7.如图,已知在△ABC中，∠C=90°,点D是斜边AB的中点，AB=2BC，DE⊥AB交AC于E．求证：DE=CE.证明：点D是AB的中点，AB=2BC,∴BD=12AB=BC.∵DE⊥AB,∴∠BDE=∠C=90°,在Rt△BDE和Rt△BCE中，BE=BE,BD=BC，∴Rt△BDE≌Rt△BCE（HL），∴DE=CE.三、拓展延伸（10分）8.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．连接EF，EF与AD交于G，AD与EF垂直平分吗？证明你的结论．解：AD垂直平分EF.证明如下：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠1=∠2,∠AED=∠AFD=90°,DE=DF.∴△AED≌△AFD(AAS).∴AE=AF,在△AEG和△AFG中，AE=AF,∠1=∠2,AG=AG,∴△AEG≌△AFG(SAS).∴∠AGE=∠AGF=90°,EG=FG.∴AD⊥EF.∴AD垂直平分EF.§2.3 轴对称图形【学习目标】1、能够认识轴对称图形，并能找出对称轴2、知道轴对称与轴对称图形的区别与联系3、经历观察生活中的轴对称现象和轴对称图形，探索它们的共同特征的活动过程，发展空间观念。
10角平分线(2)
用心想一想，马到功成
作三角形的三个内角角平分线，你发现 了什么?
N
B
P
Q A
MC
如图，△ABC中，∠C=2∠B，∠BAD=∠CAD，求 证：AB=AC+CD.
A
C
B
D
在△ ABC中，角平分线交于一点 P ,PD=4cm, △ ABC的周长为25cm, 求△ ABC的面积。
A
D N
M F
P
B
GE
C
课后作业
•课本第32页习题1.10 第1、2、3题
∴AC=BC=CD+BD=(4+ 4 2 )cm．
展示与助学二
[例3]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°， AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E．
A
(1)已知CD=4 cm，求AC的长；
(2)求证：AB=AC+CD． (2)证明：由(1)的求解过程可知， E
B
D
C
(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB
∴DE=CD=4cm
∵AC=BC ∴∠B=∠BAC(等边对等角) ∵∠C=90°，∴∠B= ×1 90°=45°． ∴∠BDE=90°- 45°=425°．
∴BE=DE(等角对等边)．
在等腰直角三角形BDE中
BD 2DE2 4 2cm (勾股定理)，
D N
F M
P
B
第17课时 角的平分线(2)——性质定理的逆定理
A. 15°
B. 20°
C. 25°
D. 30°
2. （10分）如图X12-17-7，下列条件不能证明 △ABD≌△ACD的是（ B ） A. AB=AC，BD=CD B. ∠B=∠C，BD=CD C. ∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D. ∠ADB=∠ADC，DB=DC
课堂小测
3. （10分）如图X12-17-8，在△ABC中， ∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角 平分线，则∠ADC=__9_5_°___.
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
2. 如图X12-17-4，△ABC的角平分线BM，CN相交 于点O. 求证：点O到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明：如答图12-17-9所示，过点O作OD，OE，OF 分别垂直于三边AB，BC，CA，点D，E，F为垂足. ∵BM为△ABC的角平分线，OD⊥AB，OE⊥BC， ∴OD=OE. 同理可证OF=OE. ∴OD=OE=OF,即点O到三边AB,BC,CA的距离相等.
课堂小测
当堂高效测
1. (10分)如图X12-17-11，两条笔直的公路l1， l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个 加工厂 A，B，D，已知AB=BC=CD=DA=5km，村庄C
到公路l1的距离为4km，则村庄C到公路l2的距离 是( B )
A. 3km
B. 4km
C. 5km
D. 6km
思考
任务五:如图X12-17-5，三条公路分别相交于A， B，C三点，现计划修建一个加油站，要求该加油站 到三条公路的距离相等，用直尺和圆规作出加油站 O的位置.
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∴PD=PE
同理：PE=PF．∴PD=PF． ∴点P在∠BAC的平分线上
∴△ABC的三条角平分线相交于点P．
定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到 三边的距离相等. A
如图,在△ABC中,
∵BM,CN,AH分别是△ABC的 三条角平分线,且PD⊥AB, PE⊥BC,PF⊥AC(已知), B
作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三个内角的角平分 线交于一点．这一点到三角形三边
的距离相等．
命题:三角形三个角的平分线相交于一点. 已知：如图，设△ABC的角平分线． BM、CN相交于点P， 求证：P点在∠BAC的角平分线上． A M F E C
N
D P B
证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，
线,DE⊥AB,垂足为E. (1)如果CD=4cm,AC的长; (2)求证:AB=AC+CD. C D B
E
老师期望:你能正确地解答并规范地写出其过程.
独立作业 1
习题1.9
1.已知:如图,∠C=900, ∠B=300,AD是Rt△ABC的角平分 线. 求证:BD=2CD.
A
B
D
C
老师期望:你能写出规范的证明过程.
ND
P E
M F
C
∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF(三角形的三条角平
分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等).
老师提示:这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一
这个交点叫做三角形的内心.
随堂练习 1
Байду номын сангаас
挑战自我 A
如图,在△ABC中,已知
AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平分
独立作业 2 2.已知:如图,△ABC的外角∠CBDT和∠BCE的角平分线相 交于点F. 求证:点F在∠DAE的平分线上. A C F E
B D
老师期望:养成用数学解释生活的习惯.