八年级数学上册第12章角平分线定理使用中的几种辅助线作法(人教版)

角平分线定理使用中的几种辅助线作法

一、已知角平分线，构造三角形

例题、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C，AD 是∠BAC 的平分线，BE⊥AD 于F 。

求证：1

()2

BE AC AB =-

证明：延长BE 交AC 于点F 。

因为角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线，

所以AD 为∠BAC 的对称轴， 又因为BE⊥AD 于Fs ， 所以点B 和点F 关于AD 对称， 所以BE=FE=

1

2

BF ，AB=AF ，∠ABF=∠AFB。 因为∠ABF＋∠FBC=∠ABC=3∠C，

∠ABF=∠AFB=∠FBC＋∠C， 所以∠FBC＋∠C＋∠FBC=3∠C， 所以∠FBC=∠C，所以FB=FC ，

所以BE=

12FC=12（AC －AF ）=1

2（AC －AB ）， 所以1

()2

BE AC AB =-。

二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段 如图所示，∠1=∠2，P 为BN 上的一点，并且PD⊥BC 于D ，AB ＋BC=2BD 。 求证：∠BAP＋∠BCP=180°。 证明：经过点P 作PE⊥AB 于点E 。 因为PE⊥AB，PD⊥BC，∠1=∠2， 所以PE=PD 。

在Rt△PBE 和Rt△PBC 中

BP BP

PE PD

=⎧⎨

=⎩ 所以Rt△PBE≌Rt△PBC（HL ），

2

1F E D

C

B A

N

P

E

D

C

B

A

所以BE=BD 。

因为AB ＋BC=2BD ，BC=CD ＋BD ，AB=BE －AE ， 所以AE=CD 。

因为PE⊥AB，PD⊥BC， 所以∠PEB=∠PDB=90°. 在△PAE 和Rt△PCD 中

PE PD PEB PDC AE DC =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

所以△PAE≌Rt△PCD， 所以∠PCB=∠EAP。 因为∠BAP＋∠EAP=180°， 所以∠BAP＋∠BCP=180°。

三、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段 例题、如图所示，在△ABC 中，PB 、PC 分别是∠ABC 的外角的平分线，求证：∠1=∠2

证明：过点P 作PE⊥AB 于点E ，PG⊥AC 于点G ，PF⊥BC 于点F ．

因为P 在∠EBC 的平分线上，PE⊥AB，PH⊥BC， 所以PE=PF 。 同理可证PF=PG 。 所以PG=PE ， 又PE⊥AB，PG⊥AC， 所以PA 是∠BAC 的平分线， 所以∠1=∠2。

2

1P

F

E

C

B

A