2021届高考数学圆锥曲线中必考知识专题5 圆锥曲线中的弦长问题(解析版)

专题5：圆锥曲线中的弦长问题（解析版）

一、单选题

1．椭圆2

214

x y +=的两个焦点为1F 、2F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一

个交点为P ，则2PF =（ ） A ．

32

B ．3

C ．

72

D ．4

【答案】C 【解析】 试题分析：，所以当时，

，而

,

所以

,故选C.

考点：椭圆的性质

2．直线l 过抛物线22y x =的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点()11,A x y ，

()22,B x y ．若12 3x x +=，则弦AB 的长是（ ）

A ．4

B ．5

C ．6

D ．8

【答案】A 【分析】

由题意得1p =，再结合抛物线的定义即可求解. 【详解】 由题意得1p =，

由抛物线的定义知：121231422

p p

AB AF BF x x x x p =+=+++=++=+=， 故选：A 【点睛】

本题主要考查了抛物线的几何性质，考查抛物线的定义，属于基础题.

3．焦点为F 的抛物线2:4C y x =的对称轴与准线交于点E ，点P 在抛物线C 上，在

EFP △中，sin 2EFP FEP ∠=∠，则||EP 的值是（ ）

A ．22

B ．4

C ．2

D ．1

【答案】A 【分析】

过点P 作PH 垂直于准线于点H ，由双曲线的定义得cos PF PH m FEP ==∠，在

EFP △中利用正弦定理可求出FEP ∠，带入所给等式即可推出2

EFP π

∠=

，即可求

得PE 的值. 【详解】

如图所示，过点P 作PH 垂直于准线于点H ，

设PE m =，则cos PF PH m FEP ==∠， 在EFP △中，由正弦定理知

sin sin PF PE

PEF EFP

=∠∠，即

cos sin 2sin m FEP FEP FEP

∠=∠∠，

所以2

cos 2

FEP ∠=

，又()0,FEP π∠∈，所以4FEP π∠=，

则sin 21EFP FEP ∠=

∠=，又()0,EFP π∠∈，所以2

EFP π

∠=

，

在直角EFP △中，2EF =，4

FEP π

∠=，所以22PE =故选：A 【点睛】

本题考查抛物线的定义与几何性质、正弦定理解三角形，属于中档题.

4．椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，斜率为12的直线l

过左焦点1F 且交C 于A ，B 两点，且2ABF 的内切圆的周长是2π，若椭圆C 的离心

率为13,24e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则线段AB 的长度的取值范围是（ ） A ．45,253⎡⎢⎣ B ．85453⎡⎢⎣ C ．535,48⎣⎦ D ．535816⎣⎦

【答案】B 【分析】

先利用等面积法可得：121

1

4222

a r c y y ⨯⋅=

⨯⋅-，求解出12y y -的值，然后根据弦长公式1221

1AB y k

=+-的取值范围. 【详解】

设内切圆半径为r ，由题意得

1211

4222

a r c y y ⨯⋅=⨯⋅- 得1228,43y y e ⎡⎤-=∈⎢⎥⎣⎦，121221

8515453AB y y y k ⎡=+-=-∈⎢

⎣. 故选：B. 【点睛】

本题考查椭圆焦点三角形问题，考查弦长的取值范围问题，难度一般.解答时，等面积法、弦长公式的运用是关键.

5．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若4PF FQ =，则QF =（ ） A ．3 B ．

5

2

C ．

32

D ．

32或52

【答案】B 【分析】

设点()1,P t -，利用4PF FQ =求得点Q 的横坐标，利用抛物线的定义可求得QF . 【详解】

抛物线C 的焦点为()1,0F ，准线l 的方程为1x =-.

设点()1,P t -、(),Q x y ，则()2,PF t =-，()1,FQ x y =-，

4PF FQ =，可得()412x -=，解得32

x =

，

由抛物线的定义可得35122

QF =+=. 故选：B. 【点睛】

本题考查利用抛物线的定义求焦半径，求出点Q 的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.

二、填空题

6．已知P 为椭圆221164

x y +=上的一个动点，过点P 作圆()2

211x y -+=的两条切

线，切点分别是A ，B ，则AB 的最小值为_______.

.【答案】422

11

. 【分析】

连接PC ，交AB 于H ，可得H 为AB 中点，求得圆心和半径，连接AC ，BC ，可得

,AC PA BC PB ⊥⊥，运用勾股定理和三角形面积公式可得AB ，设

()4cos ,2sin P θθ，[]0,2θπ∈，运用两点的距离公式和同角的平方关系，结合配方

和二次函数的最值求法，可得所求最小值. 【详解】

如图，连接PC ，交AB 于H ，可得H 为AB 中点， 圆()2

211x y -+=的圆心为()1,0C ，半径1r =，

连接AC ，BC ，可得,AC PA BC PB ⊥⊥，