北师大版九年级数学下册 二次函数 二次函数的应用 时
北师大版九年级数学下册《二次函数的应用》教案及教学反思
北师大版九年级数学下册《二次函数的应用》教案及教学反思教学目标1.理解二次函数的概念及特性2.掌握二次函数应用实例3.培养学生分析问题、解决问题的能力教学内容1. 二次函数的概念与特性（1）定义二次函数是指自变量的二次方作为函数的函数，它的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。
（2）基本特征•定义域：实数集•值域：当 a > 0 时，二次函数的最小值为 c - (b^2) / (4a) ；当 a < 0 时，二次函数的最大值为 c - (b^2) / (4a)。
•对称轴：x = -b / (2a)•开口方向：当 a > 0 时，二次函数开口向上，当 a < 0 时，二次函数开口向下。
•零点：f(x) = 0 时的 x 值即为二次函数的零点。
2. 二次函数的应用实例（1）求最大值或最小值当一个物理问题能够用二次函数来表达时，可以利用二次函数的特性，求出物理量的最大值或最小值。
（2）求交点二次函数和直线之间的交点可以用来解决几何问题，如交点为两柱面相切的圆的半径等。
教学方法•解释法：通过示例或铺垫讲解二次函数的定义及特性。
•运用法：通过做一些典型题目，让学生理解二次函数的不同特性。
•发散法：通过一些拓展题目，让学生探究二次函数的应用及实际问题的解决。
教学过程1. 拓展题目（10分钟）请学生观察以下二次函数图像，思考不同函数的特点。
当学生了解了不同二次函数的特性并掌握了如何求解二次函数的基本问题后，开始进入二次函数应用问题实战。
2. 例题练习（30分钟）请学生在教师指导下，完成以下例题练习： 1. 某工程公司定价方案为：一个工程的成本为 10000 元，每增加 1 万的工程量，成本额外增加 2400 元。
如果公司想最多减少亏损，最多赚多少？ 2. 在 xy 平面内，一个圆心坐标为 (2, 3)，一点坐标为 (0, 1)。
当圆与直线 y=2 x-1 相切时，圆的半径为多少？ 3. 有一个与 x 轴成 45 度角的光线通过点 P(6, 2) 射向 y 轴的一面镜子，反射之后定位在 Q(0, y) 处，求 y的值。
北师大版九年级数学下册：2.4《二次函数的应用》说课稿
北师大版九年级数学下册：2.4《二次函数的应用》说课稿一. 教材分析北师大版九年级数学下册2.4《二次函数的应用》这一节主要介绍了二次函数在实际生活中的应用，通过学习，学生能够理解二次函数在实际生活中的意义，掌握二次函数解决实际问题的方法。
教材通过实例引导学生利用二次函数解决实际问题，培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为二次函数问题，因此，在教学过程中，教师需要引导学生将实际问题抽象为二次函数模型，并运用二次函数的知识解决实际问题。
三. 说教学目标1.让学生理解二次函数在实际生活中的应用，体会数学与生活的联系。
2.培养学生将实际问题转化为二次函数模型，并运用二次函数解决实际问题的能力。
3.提高学生的数学思维能力，培养学生的数学素养。
四. 说教学重难点1.教学重点：让学生掌握二次函数解决实际问题的方法，培养学生的数学应用能力。
2.教学难点：如何引导学生将实际问题转化为二次函数模型，并运用二次函数的知识解决实际问题。
五.说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中发现数学问题，运用数学知识解决实际问题。
2.利用多媒体教学手段，展示二次函数在实际生活中的应用实例，增强学生的直观感受。
3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论中思考，培养学生的团队合作能力。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些实际问题，如抛物线形的物体运动、最大利润问题等，引导学生发现这些问题都可以用二次函数来解决，激发学生的学习兴趣。
2.新课导入：介绍二次函数在实际生活中的应用，引导学生理解二次函数的实际意义。
3.实例讲解：通过具体实例，讲解如何将实际问题转化为二次函数模型，并运用二次函数解决实际问题。
4.课堂练习：让学生尝试解决一些实际问题，巩固所学知识。
5.总结提升：引导学生总结二次函数解决实际问题的方法，提高学生的数学应用能力。
2.4 二次函数的应用 第2课时(教案)-北师大版数九年级下册
第2课时利用二次函数解决利润问题1.经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程,体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,并感受数学的应用价值.2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值,发展解决问题的能力.1.经历销售中最大利润问题的探究过程,让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.2.发展学生运用数学知识解决实际问题的能力.1.体会数学与人类社会的密切联系,了解数学的价值,增进对数学的理解和学好数学的信心.2.认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具,了解数学对促进社会进步和人类发展的作用.【重点】1.探索销售中最大利润问题,从数学角度理解“何时获得最大利润”的意义.2.引导学生将简单的实际问题转化为数学问题,并运用二次函数知识求出实际问题的最大(小)值,从而得到解决某些实际生活中最大(小)值问题的思想方法.【难点】能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并能利用二次函数知识解决某些实际生活中的最大(小)值问题.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习关于销售的相关量之间的关系及二次函数最值的求法.导入一:【引入】如果你是某企业老总,你最关心的是什么?是的,当然是利润,因为它是企业生存的根本,并且每个企业都想在限定条件内获得更大利润.本节课我们就来探究形如最大利润的问题.[设计意图]开门见山,直入正题,让学生对本节课所要了解的知识一目了然,使他们的学习更有针对性.导入二:请同学们思考下面的问题:某工厂生产一种产品的总利润L(元)是产量x(件)的二次函数L=-x2+2000x-10000,则产量是多少时总利润最大?最大利润是多少?学生分析数量关系:求总利润最大就是求二次函数L=-x2+2000x-10000的最大值是多少.即L=-x2+2000x-10000=-(x2-2000x+10002-10002)-10000=-(x-1000)2+990000.∴当产量为1000件时,总利润最大,最大利润为99万元.【引入】显然我们可以通过求二次函数最大值来确定最大利润,你能利用这种思路求解下面的问题吗?[设计意图]让学生通过对导入问题的解答,进一步强化将实际问题转化为数学模型的意识,使学生感受到“何时获得最大利润”就是在自变量取值范围内,此二次函数何时取得最大值问题.服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元.根据市场调查,以单价13元批发给经销商,经销商愿意经销5000件,并且表示单价每降价0.1元,愿意多经销500件.请你帮助分析,厂家批发单价是多少时可以获利最多?思路一教师引导学生思考下面的问题:1.此题主要研究哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?生审题后回答:批发价为自变量,所获利润为因变量.2.此题的等量关系是什么?3.若设批发价为x元,该服装厂获得的利润为y元,请完成下面的填空题:(1)销售量可以表示为;(2)每件T恤衫的销售利润可以表示为;(3)所获利润与批发价之间的关系式可以表示为.4.求可以获得的最大利润实质上就是求什么?【师生活动】教师启发学生依次探究问题,根据引导要求学生独立解答后,小组交流,共同解决所发现的问题.解:设批发价为x元,该服装厂获得的利润为y元.由题意得y=(x-10)=(70000-5000x)(x-10)=-5000(x-12)2+20000.∴当x=12时,y=20000.最大∴厂家批发价是12元时可以获利最多.思路二【思考】此题还有其他的解法吗?可以不直接设批发价吗?【师生活动】学生进行小组讨论,师巡视并参与到学生的讨论之中去.组长发言,师生共同订正.解:设降价x元,该服装厂获得的利润为y元.则y=(13-10-x)=(5000+5000x)(3-x)=-5000(x-1)2+20000,=20000.∴当x=1时,y最大13-1=12.∴厂家批发价是12元时可以获利最多.【教师点评】在利用二次函数解决利润的问题时,可以直接设未知数,也可以间接设未知数.[设计意图]让学生回顾列一元二次方程解决“每件商品的销售利润×销售这种商品的数量=总利润”这种类型的应用题,做好知识的迁移,为下一环节的教学做好准备,以便降低学生接受知识的(教材例2)某旅馆有客房120间,每间房的日租金为160元时,每天都客满.经市场调查发现,如果每间客房的日租金增加10元,那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素,旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高?〔解析〕此题的等量关系是:客房日租金总收入=提价后每间房的日租金×提价后所租出去的房间数.如果设每间房的日租金提高x个10元,那么提价后每间房的日租金为(160+10x)元,提价后所租出去的房间数为(120-6x)间.解:设每间房的日租金提高10x元,则每天客房出租数会减少6x间.设客房日租金总收入为y元,则y=(160+10x)(120-6x),即y=-60(x-2)2+19440.∵x≥0,且120-6x>0,∴0≤x<20.=19440,当x=2时,y最大这时每间客房的日租金为160+10×2=180(元),因此,每间客房的日租金提高到180元时,客房总收入最高,最高收入为19440元.[设计意图]让学生通过对例题的解答,进一步熟悉和掌握本课所学知识,拓宽知识面,使其解题能力和应用能力得到进一步提升.二、利用二次函数图象解决实际问题课件出示:【议一议】还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗?我们得到表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式y=(600-5x)(100+x)=-5x2+100x+60000.问题(1):利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.请同学们在课本第49页图2-11中画出二次函数y=-5x2+100x+60000的图象.要求:同伴合作,画出图象.师课件出示函数图象,供学生参考.问题(2):增种多少棵橙子树,可以使橙子的总产量在60400个以上?看一看:从图象中你们可以发现什么?增种多少棵橙子树,可以使橙子的总产量在60400个以上?请同学们开始小组讨论交流.学生积极思考,合作交流.请代表展示他们的讨论成果:结论1:当x<10时,橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加;当x=10时,橙子的总产量最大;当x>10时,橙子的总产量随增种橙子树的增加而减少.结论2:由图象可知,增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵,都可以使橙子总产量在60400个以上.能力提升:在分析的过程中,用到了什么数学思想方法?学生迅速得出:用到了数形结合的数学思想方法.[设计意图]让学生绘制该二次函数图象,并利用图象进行直观分析,体会数形结合的思想方法,并感受自变量的取值范围.用二次函数知识解决实际问题的基本思路:(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系;(3)用数学的方式表示它们之间的关系;(4)利用二次函数求解;(5)检验结果的合理性.1.某商店经营2014年巴西世界杯吉祥物,已知所获利润y(元)与销售的单价x(元)之间的关系为y=-x2+24x+2956.则获利最多为()A.3144元B.3100元C.144元D.2956元解析:利润y(元)与销售的单价x(元)之间的关系为y=-x2+24x+2956,∴y=-(x-12)2+3100.∵-1<0,∴当x=12时,y有最大值,为3100.故选B.2.某旅社有100张床位,每床每晚收费10元时,床位可全部租出;若每床每晚收费提高2元,则减少10张床位租出;若每床每晚收费再提高2元,则再减少10张床位租出.以每次提高2元的这种方法变化下去,为了投资少而获利大,每床每晚收费应提高()A.4元或6元B.4元C.6元D.8元解析:设每床每晚收费应提高x个2元,获得利润为y元,根据题意得y=(10+2x)(100-10x)=-20x2+100x+1000=-20+1125.∵x取整数,∴当x=2或3时,y最大,当x=3时,每床收费提高6元,床位最少,即投资少,∴为了投资少而获利大,每床每晚收费应提高6元.故选C.3.某产品进货单价为90元,按100元一件出售时,能售500件,如果这种商品每涨1元,其销售量就减少10件,为了获得最大利润,其单价应定为.解析:设应涨价x元,则所获利润为y=(100+x)(500-10x)-90×(500-10x)=-10x2+400x+5000=-10(x2-40x+400)+9000=-10(x-20)2+9000,可见当涨价20元,即单价为100+20=120元时获利最大.故填120元.4.(2014·沈阳中考)某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30-x)件.若使利润最大,每件的售价应为元.解析:设最大利润为w元,则w=(x-20)(30-x)=-(x-25)2+25.∵20≤x≤30,x为整数,∴当x=25时,w 有最大值,为25.故填25.5.每年六、七月份,南方某市荔枝大量上市,今年某水果商以5元/千克的价格购进一批荔枝进行销售,运输过程中质量损耗5%,运输费用是0.7元/千克,假设不计其他费用.(1)水果商要把荔枝售价至少定为多少才不会亏本?(2)在销售过程中,水果商发现每天荔枝的销售量m(千克)与销售单价x(元)之间满足关系:m=-10x+120,那么当销售单价定为多少时,每天获得的利润w最大?解:(1)设购进荔枝k千克,荔枝售价定为y元/千克时,水果商才不会亏本,由题意,得y·k(1-5%)≥(5+0.7)k.∵k>0,∴95%y≥5.7,∴y≥6.∴水果商要把荔枝售价至少定为6元/千克才不会亏本.(2)由(1)可知,每千克荔枝的平均成本为6元,由题意得w=(x-6)m=(x-6)(-10x+120)=-10(x-9)2+90,∵a=-10<0,∴当x=9时,w有最大值.∴当销售单价定为9元时,每天可获利润w最大.第2课时用二次函数知识解决实际问题的基本思路:(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系;(3)用数学的方式表示它们之间的关系;(4)利用二次函数求解;(5)检验结果的合理性.一、教材作业【必做题】1.教材第49页随堂练习.2.教材第50页习题2.9第1,2题.【选做题】教材第50页习题2.9第3题.二、课后作业【基础巩固】1.学校商店销售一种练习本所获得的总利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式为y=-2(x-2)2+48,则下列叙述正确的是()A.当x=2时,利润有最大值48元B.当x=-2时,利润有最大值48元C.当x=2时,利润有最小值48元D.当x=-2时,利润有最小值48元2.一件工艺品进价为100元,按标价135元售出,每天可售出100件.若每降价1元出售,则每天可多售出4件.要使每天获得的利润最大,每件需降价()A.5元B.10元C.12元D.15元3.某民俗旅游村为接待游客住宿需要,开设了有100张床位的旅馆,当每张床位每天收费100元时,床位可全部租出.若每张床位每天收费提高20元,则相应地减少了10张床位租出.如果每张床位每天以20元为单位提高收费,为使租出的床位少且租金高,那么每张床位每天最合适的收费是元.4.(2015·营口中考)某服装店购进单价为15元的童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为25元时,平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元,平均每天能多售出4件,当每件的定价为元时,该服装店平均每天的销售利润最大.【能力提升】5.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y (单位:万元)与销售量x (单位:辆)之间分别满足:y 1=-x 2+10x ,y 2=2x ,若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车,则能获得的最大利润为()A.30万元B.40万元C.45万元D.46万元6.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜,以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价0.1元/千克,每天可多售出40千克.另外,每天的房租等固定成本共24元,为了减少库存,该经营户要想每天盈利200元,应将每千克小型西瓜的售价降低()A.0.2元或0.3元B.0.4元C.0.3元D.0.2元7.某商场购进一种每件价格为100元的新商品,在商场试销发现:销售单价x(元)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系.(1)求出y与x之间的函数关系式;(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式.若你是商场负责人,会将售价定为多少,来保证每天获得的利润最大?最大利润是多少?8.(2015·汕尾中考)九年级数学兴趣小组经过市场调查,得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表:售价/(元/100110120130件)…月销量/200180160140件…已知该运动服的进价为每件60元,设售价为x元.(1)请用含x的式子表示:①销售该运动服每件的利润;②月销量.(2)设销售该运动服的月利润为y元,那么售价为多少时,当月的利润最大?最大利润是多少?【拓展探究】9.(2015·舟山中考)某企业接到一批粽子生产任务,按要求在15天内完成,约定这批粽子的出厂价为每只6元,为按时完成任务,该企业招收了新工人,设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只,y与x 满足下列关系式:y=(1)李明第几天生产的粽子数量为420只?(2)设第x天粽子的成本是p元/只,p与x之间的关系可用如图所示的函数图象来刻画.若李明第x 天创造的利润为w元,求w与x之间的函数表达式,并求出第几天的利润最大,最大利润是多少元?(利润=出厂价-成本)(3)设(2)小题中第m天利润达到最大值,若要使第(m+1)天的利润比第m天的利润至少多48元,则第(m+1)天每只粽子至少应提价几元?【答案与解析】1.A(解析:在y=-2(x-2)2+48中,当x=2时,y有最大值,是48.)2.A(解析:设每件降价x元,利润为y元,每件的利润为(135-100-x)元,每天售出的件数为(100+4x)件,=3600.)由题意,得y=(135-100-x)(100+4x)=-4x2+40x+3500=-4(x-5)2+3600,∵a=-4<0,∴当x=5时,y最大3.160(解析:设每张床位提高x个20元,每天收入为y元.则有y=(100+20x)(100-10x)=-200x2+1000x+10000.当x=-==2.5时,可使y有最大值.又x为整数,则当x=2时,y=11200;当x=3时,y=11200.故为使租出的床位少且租金高,每张床收费100+3×20=160(元).)4.22(解析:设定价为x 元,根据题意得平均每天的销售利润y =(x -15)·[8+2(25-x )]=-2x 2+88x -870,∴y =-2x 2+88x -870=-2(x -22)2+98.∵a =-2<0,∴抛物线开口向下,∴当x =22时,y 最大值=98.故填22.)5.D (解析:设在甲地销售x 辆,则在乙地销售(15-x )辆,根据题意得出:W =y 1+y 2=-x 2+10x +2(15-x )=-x 2+8x +30=-(x -4)2+46,∴最大利润为46万元.)6.C (解析:设应将每千克小型西瓜的售价降低x 元.根据题意,得(3-2-x )-24=200.解这个方程,得x 1=0.2,x 2=0.3.∵要减少库存,且200+>200+,∴应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元.)7.解:(1)设y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b (k ≠0),由所给函数图象可知解得故y 与x 的函数关系式为y =-x +180.(2)∵y =-x +180,∴W =(x -100)y =(x -100)(-x +180)=-x 2+280x -18000=-(x -140)2+1600.∵a =-1<0,∴当x =140时,W 最大=1600,∴售价定为140元/件时,每天获得的利润最大,最大利润为1600元.8.解:(1)①销售该运动服每件的利润是(x -60)元.②设月销量w 与x 的关系式为w =kx +b ,由题意得解得∴w =-2x +400.∴月销量为(-2x +400)件.(2)由题意得y =(x -60)(-2x +400)=-2x 2+520x -24000=-2(x -130)2+9800,∴售价为130元时,当月的利润最大,最大利润是9800元.9.解:(1)设李明第n 天生产的粽子数量为420只,由题意可知30n +120=420,解得n =10.答:第10天生产的粽子数量为420只.(2)由图象得当0≤x ≤9时,p =4.1;当9≤x ≤15时,设p =kx +b ,把点(9,4.1),(15,4.7)代入,得解得∴p =0.1x +3.2.①当0≤x ≤5时,w =(6-4.1)×54x =102.6x ,当x =5时,w 最大=513(元);②当5<x ≤9时,w =(6-4.1)×(30x +120)=57x +228,∵x 是整数,∴当x =9时,w 最大=741(元);③当9<x ≤15时,w =(6-0.1x -3.2)×(30x +120)=-3x 2+72x +336,∵a =-3<0,∴当x =-=12时,w 最大=768元.综上所述,第12天的利润最大,最大利润为768元.(3)由(2)可知m =12,m +1=13,设第13天每只粽子提价a元,由题意得w=[6+a-(0.1×13+3.2)](30×13+120)=510(a+1.5),∴510(a+1.5)-768≥48,解得a≥130.1.答:第13天每只粽子至少应提价0.1元.本节课设计了以生活场景引入问题,通过探索思考解决问题的教学思路.由于本节课较为抽象,学生直接解决比较困难,因此,在导入问题中,让学生初步接触“何时获得最大利润”这一问题,引导学生分析问题,初步掌握数学建模的方法,然后再放手给学生自主解决问题,并充分发挥小组的合作作用,以“兵教兵”的方式突破难点.在教学过程中,重点关注了学生能否将实际问题表示为函数模型,是否能运用二次函数知识解决实际问题并对结果进行合理解释,加强了学生在教师引导下的独立思考和积极讨论的训练,并注意整个教学过程中给予学生适当的评价和鼓励,收到了非常好的教学效果.对学情估计不足.原本认为学生的计算能力不错,但实际在解题过程中却出现了很多问题.今后还要在计算方法和技巧方面对学生多加以指导,加强学生建立函数模型的意识.随堂练习(教材第49页)解:设销售单价为x元(30≤x<50),销售利润为y元,则y=(x-20)[400-20(x-30)]=-20x2+1400x-20000=-20(x-35)2+4500.当x=35时,y=4500.所以当销售单价为35元时,半月内可以获得的利润最大,最大最大利润为4500元.习题2.9(教材第50页)1.解:设旅行团的人数是x人,营业额为y元,则y=[800-10(x-30)]x=-10x2+1100x=-10(x-55)2+30250,当x=55时,y=30250.答:当旅行团的人数为55人时,旅行社可以获得最大的营业额,为30250元.最大值2.解:设销售单价为x(x≥10)元,每天所获销售利润为y元,则y=(x-8)[100-10(x-10)]=-10x2+280x-=360.答:将销售单价定为14元,才能使每天所获销售利润1600=-10(x-14)2+360,所以当x=14时,y最大值最大,最大利润为360元.3.解:y=x2-13x+42.25+x2-11.8x+34.81+x2-12x+36+x2-13.4x+44.89+x2-9x+20.25=5x2-59.2x+178.2=5(x2-11.84x+35.64)=5[(x-5.92)2+0.5936]=5(x-5.92)2+2.968,当x=5.92时,y的值最小,所以大麦穗长的最佳近似长度为5.92cm.利润问题之前已经有所接触,所以学生课前要熟练掌握进价、销售价、利润之间的关系.找出实际问题中的等量关系是前提,会把二次函数的一般式转化为顶点式是保障,而能熟练运用转化的数学思想方法把实际问题转化为数学问题是运用二次函数解决实际应用问题的关键,所以在解题的过程中要及时总结归纳出用二次函数知识解决实际问题的基本思路,并总结出销售利润问题的数学模型,提高解决此类问题的综合能力.某班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表:时间x/天1≤x<5050≤x≤90售价/(元/x+4090件)每天销量/200-2x件已知该商品的进价为每件30元,设销售该商品的每天利润为y元.(1)求出y与x的函数关系式;(2)销售该商品第几天时,当天销售利润最大?最大利润是多少?(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于4800元?请直接写出结果.〔解析〕(1)根据(售价-进价)×数量=利润,可得答案.(2)根据分段函数的性质,可分别得出最大值,根据有理数的比较,可得答案.(3)根据二次函数值大于或等于4800,一次函数值大于或等于4800,可得不等式组,然后解不等式组,可得答案.解:(1)当1≤x<50时,y=(200-2x)(x+40-30)=-2x2+180x+2000.当50≤x≤90时,y=(200-2x)(90-30)=-120x+12000.综上所述,y=(2)当1≤x<50时,二次函数的图象开口向下,二次函数图象的对称轴为直线x=45,=-2×452+180×45+2000=6050.当x=45时,y最大当50≤x≤90时,y随x的增大而减小,=6000.当x=50时,y最大综上所述,销售该商品第45天时,当天销售利润最大,最大利润是6050元.(3)当20≤x≤60时,即共41天,每天销售利润不低于4800元.。
北师大版九年级数学下册二次函数的应用(课件)
随堂练习
5.每年六、七月份某市荔枝大量上市,今年某水果商以5元 /kg的价格购进一批荔枝进行销售,运输过程中质量损耗5%, 运输费用是0.7元/kg,假设不计其他费用.(1)水果商要把荔枝 售价至少定为 6元 才不会亏本; (2)在销售过程中,水果商发现每天荔枝的销售量m(kg)与销 售单价x(元/kg)之间满足关系:m=-10x+120,那么当销售单价 定为 9元 时,每天获得的利润w最大.
∵-5000＜0 ∴抛物线有最高点，函数有最大值． 当销售单价为 12 元时,可以获得最大利润,最大利润 是 20000 元.
探究新知
例2.某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元时， 每天都客满，经市场调查发现，如果每间客房的日租金 每增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间.不考虑 其他因素，旅社将每间客房的日租 金提高到多少元时，客房日租金的 总收入最高？
销售额可表示为: x(70000-5000x)=70000x-5000x2 元;
(70000x-5000x2)-10(70000-5000x)
所获利润可表示为: ＝-5000x2+120000x-700000
元;
探究新知
y＝-5000x2+120000x-700000 =-5000(x- 12)2+20000.
随堂练习
4.将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖 出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售 量就增加1件，为了获得最大利润，决定降价x元，则单件的利润为 _(_3_0_-x_)_元，每日的销售量为__(2_0_+__x)_件，则每日的利润y(元)关于 x(元)的函数关系式是y=_-_x_2+__1_0_x+__6_0_0 (不要求写自变量的取值范围)，所以每件降价_5__元时，每日获得 的最大利润为_6_2_5_元．
北师大版初三下册数学 2.4 二次函数的应用 教案(教学设计)
2.4.1 二次函数的应用一、教学目标1.掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．2.学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．二、课时安排1课时三、教学重点掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．四、教学难点运用二次函数的知识解决实际问题．五、教学过程（一）导入新课引导学生把握二次函数的最值求法：(1)最大值：(2)最小值：（二）讲授新课活动1：小组合作如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD ，其中AB 和AD 分别在两直角边上.(1)设矩形的一边AB=xm,那么AD 边的长度如何表示？(2)设矩形的面积为ym 2,当x 取何值时,y 的值最大？最大值是多少?解：()31AD bm,b x 30.4==-+设易得 ()2332(30)3044y xb x x x x ==-+=-+()2320300.4x =--+ 24:20,300.24b ac b x y a a-=-===最大值或用公式当时 活动2：探究归纳先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值.（三）重难点精讲例题：某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x 等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?解：4715.y x x ++π=由 157.4x x y --π=得 2215722()242x x x x S xy x π--ππ=+=+窗户面积 271522x x =-+ 2715225().21456x =--+ 2b 154ac b 225x 1.07,s 4.02.2a 144a 56-=-=≈==≈最大值当时 即当x≈1.07m 时，窗户通过的光线最多.此时窗户的面积为4.02m 2.（四）归纳小结“最大面积” 问题解决的基本思路：1.阅读题目，理解问题.2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系.3.用数量的关系式表示出它们之间的关系.4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.5.检验结果的合理性.（五）随堂检测1．将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是cm2．2．用长度为20m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2x m．当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积．3．学校计划用地面砖铺设教学楼前的矩形广场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米，图案设计如图所示：广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都是小正方形的边长，阴影部分铺设绿色地面砖，其余部分铺设白色地面砖．（1）要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米？（2）如图铺设白色地面砖的费用为每平方米30元，铺设绿色地面砖的费用为每平方米20元，当广场四角小正方形的边长为多少米时，铺设广场地面的总费用最少？最少费用是多少？4．如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B，C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与线段BA交于点F，设CE=x，BF=y．（1）求y关于x的函数关系式.（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若12y，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？m5.如图，东梅中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形的宽为x ，面积为y ．（1）求y 与x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围.（2）生物园的面积能否达到210平方米？说明理由．【答案】1.12.52. 根据题意可得：等腰三角形的直角边为2x m 矩形的一边长是2xm,其邻边长为((20422x1022x,2-+=-(121022222S x x x x ⎡⎤=•-++⎣⎦所以该金属框围成的面积 30202,.322x ==-+当时金属框围成的图形面积最大 )((()2x 602m ,1022103210210m .=--+⨯-=此时矩形的一边长为另一边长为 )2S 3002002m .=-最大3.解： （1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x 米，根据题意得4x 2＋（100－2x ）（80－2x ）＝5 200，整理，得x 2－45x ＋350＝0，解得：x 1＝35，x 2＝10，经检验x 1＝35，x 2＝10均适合题意，所以，要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米，则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或者10米．（2）设铺设矩形广场地面的总费用为y 元，广场四角的小正方形的边长为x 米，则 y ＝30[4x 2＋(100－2x)(80－2x)]＋20[2x(100－2x)＋2x(80－2x)]即y ＝80x 2－3 600x ＋240 000，配方，得y ＝80（x －22．5）2＋199 500.当x ＝22．5时，y 的值最小，最小值为199 500.所以当矩形广场四角的小正方形的边长为22．5米时，铺设矩形广场地面的总费用最少，最少费用为199 500元．4. ⑴在矩形ABCD 中，∠B=∠C=90°，∴在Rt△BFE 中， ∠1+∠BFE=90°，又∵EF⊥DE， ∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠BFE，∴Rt△BFE∽Rt△CED， ∴BF BE CE CD =, ∴8y x x m-= 即28x x y m -=.⑵当m=8时，28,8x x y -=化成顶点式: ()21428y x =--+ （3）由12y m =，及28x x y m-=得关于x 的方程: 28120x x -+=，得1226x x ==，.∵△DEF 中∠FED 是直角，∴要使△DEF 是等腰三角形，则只能是EF=ED ，此时， Rt△BFE≌Rt△CED.∴当EC=2时，m=CD=BE=6；当EC=6时，m=CD=BE=2.即△DEF为等腰三角形，m的值应为6或2.5. 解：（1）依题意，得y=(40-2x)x．∴y=-2x2+40x．x的取值范围是0< x <20．（2）当y=210时，由（1）可得，-2x2+40x=210．即x2-20x+105=0．∵ a=1，b=-20，c=105，∴2--⨯⨯<(20)411050,∴此方程无实数根，即生物园的面积不能达到210平方米．六．板书设计2.4.1二次函数的应用探究：例题：“最大面积” 问题解决的基本思路：1.阅读题目，理解问题.2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系.3.用数量的关系式表示出它们之间的关系.4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.5.检验结果的合理性.2.4.2二次函数的应用一、教学目标1.经历探索T恤衫销售过程中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,感受数学的应用价值.2.掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．二、课时安排1课时三、教学重点运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．四、教学难点运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．五、教学过程（一）导入新课某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天销售量是50件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出10件. 若设降价后售价为x元，每天利润为y元，则y与x之间的函数关系是怎样的？（二）讲授新课活动1：小组合作二次函数y=a(x-h)2+k(a 0)，顶点坐标为（h,k）,则①当a>0时，y有最小值k；②当a<0时，y有最大值k【探究】某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在一段时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.请你帮助分析，销售单价是多少时,可以获利最多?【解析】设销售单价为x (x≤13.5)元,那么销售量可以表示为: 件；每件T恤衫的利润为: 元；所获总利润可以表示为: 元；即y=-200x 2+3 700x-8 000=-200(x-9.25)2+9 112.5∴当销售单价为 元时,可以获得最大利润,最大利润是 元.活动2：探究归纳先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值.（三）重难点精讲例题2.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x 元（x 为10的整数倍）．(1)设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围.(2)设宾馆一天的利润为w 元，求w 与x 的函数关系式.(3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？【解析】（1）y=50-10x ； （2）w=（180+x-20）y=（180+x-20）（50-10x ）=2x 34x 8 000.10-++ （3）因为w=2x 34x 8 000,10-++ 所以x=b -2a=170时，w 有最大值，而170>160,故由函数性质知，x=160时，利润最大，此时订房数y=50- 10x =34，此时的利润为10 880元.例题3 某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克.（1）现该商场要保证每天盈利1 500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最多？【解析】（1）设每千克应涨价x元，列方程，得(5+x)(200－10x)=1 500，解得x1=10，x2=5.因为要顾客得到实惠，5＜10，所以x=5. 答：每千克应涨价5元.（2）设商场每天获得的利润为y元，则根据题意，得y=( x +5)(200－10x)= －10x2+150x+1 000，当x=1507.522(10)ba-=-=⨯-时,y有最大值.因此，这种水果每千克涨价7.5元，能使商场获利最多（四）归纳小结“何时获得最大利润” 问题解决的基本思路.1.根据实际问题列出二次函数关系式.2.根据二次函数的最值问题求出最大利润（五）随堂检测1.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-（x-2）2+4（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是( )A.4米B.3米C.2米D.1米2.为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5 000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次性购买100个以上，则购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3 500元/个．乙商家一律按原价的80℅销售．现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2元.（1）分别求出y1，y2与x之间的函数关系式.（2）若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？3.桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在距离OA 1m处达到最大高度2.25m.如果不计其他因素,那么水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不致落到池外？4．某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可近似地看作一次函数：（1）设李明每月获得利润为w （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）【答案】1. 【解析】选A. 抛物线的顶点坐标为（2,4），所以水喷出的最大高度是4米.2. 【解析】（1）由题意可知，当x ≤100时，购买一个需5 000元，故y 1=5 000x当x>100时，因为购买个数每增加一个，其价格减少10元但售价不得低于3 500元/个，所以x ≤ 5 000 3 50010025010-+= 即100<x≤250时，购买一个需5 000-10(x-100)元，故y 1=6 000x-10x 2；当x>250时，购买一个需3 500元，故y 1=3 500x;21 5 000x,y 6 000x 10x ,3 500x,⎧⎪=-⎨⎪⎩所以 0x 100100x 250x 250≤≤<≤> 2500080%4000.y x x =⨯=(2) 当0≤x ≤100时，y 1=5 000x ≤500 000<1 400 000；当100<x ≤250时，y 1=6 000x -10x 2=-10(x -300)2+900 000<1 400 000；∴由35001400000x = 得到x=400由40001400000x = 得到350400x =<故选择甲商家，最多能购买400个太阳能路灯3.【解析】建立如图所示的坐标系,根据题意，得,点A(0,1.25),顶点B(1,2.25).设抛物线的表达式为y=a(x-h)2+k,由待定系数法可求得抛物线表达式为：y=-(x-1)2+2.25. 当y=0时,得点C(2.5,0);同理,点D(-2.5,0).根据对称性,那么水池的半径至少要2.5m,才能使喷出的水流不致落到池外.4.解析：（1）由题意，得：w = (x －20)·y=(x －20)·(-10x+500)=-10x 2+700x-10 000 当352b x a=-=时，w 有最大值. 答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．（2）由题意，得21070010 000 2 000.x x -+-=解这个方程，得x 1 = 30，x 2 = 40．答：李明想要每月获得2 000元的利润，销售单价应定为30元或40元.（3）∵10a =-<0∴抛物线开口向下.∴当30≤x≤40时，w≥2 000．∵x≤32，∴当30≤x≤32时，w≥2 000． 设成本为P （元），由题意，得P=20（-10x+500)=-200x+10 000, ∵k=-200＜0，∴P 随x 的增大而减小.∴当x = 32时，P 最小＝3 600.答：想要每月获得的利润不低于2 000元，每月的成本最少需要3 600元．六．板书设计2.4.2二次函数的应用探究：例题2：例题3：“何时获得最大利润” 问题解决的基本思路.1.根据实际问题列出二次函数关系式；2.根据二次函数的最值问题求出最大利润.。
下册第二章第10课二次函数的应用——最值问题-北师大版九年级数学全一册课件
当31≤x≤50时，W＝ x2+160x+1 850
（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）求当x为多少时，y有最小值，
（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使
销售这种土特产每日的利润最大，每袋的销售
价应定为多少元？最大利润是多少元？
（2）依题意，设利润为W元， 得W＝（x-10）（-x+40）＝-x2+50x-400， 整理，得W＝-（x-25）2+225. 当x＝25时，W取得最大值，最大值为225. 故要使销售这种土特产每日的利润最大，每袋的 销售价应定为25元，最大利润是225元.
三级检测练
5 一级基础巩固练 8. 如图，用一段长为40 m的篱笆围成一边靠墙的草坪，
墙长16 m，当矩形的长BC为多少时，草坪面积最大？ 最大面积为多少？
解：设AB=x m，则BC=（40-2x）m（12≤x＜20）， 面积为S m2. 根据题意得，S＝x（40-2x）＝-2x2+40x ＝-2（x-10）2+200， 因此当x=12，即AB=12 m，BC=16 m时，矩形草坪的 面积最大，最大面积为16×12＝192（m2）.
（2）依题意，得W＝（y-18）·m.
故日销售量y（袋）与销售价x（元）的 （1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；
由题意列得，a+2b=80，2a+3b=135.
函数关系式为y＝-x+40. 根据题意得，S＝x（40-2x）＝-2x2+40x
∵
＜0，∴当x＝32时，W取最大值，
（1）确定k，b的值；
解：设AB=CD=x m，则AD=BC= （12-2x） m（0＜x＜6）. 这个花园的面积是S＝x（12-2x） ＝-2x2+12x＝-2（x-3）2+18. 当x ＝3时，S取得最大值， 此时S＝18. 即这个花园的最大面积为18 m2.
最新北师大版九年级数学下册《二次函数的应用(第1课时)》精品教学课件
y=x
坐标系,其函数的关系式为
25 ,当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时,这时水面宽度
AB为 ( C )
A.-20 m
B.10 m
C.20 m
D.-10 m
4.某广场有一个喷水池,水从地面喷出,如图,以水平地面为x轴,出水点为原点,建立平面
直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x(单位:米)的一部分,则水喷出的最
结合图象可知,点 C 的坐标为(6+2 15,0).
所以 OC=6+2 15≈13.75(米).
答:该男生把铅球推出去约 13.75 米.
第二章
第1课时
几何图形问题
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-6-
7.足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出,足球飞行的路线是一条抛物线,
不考虑空气阻力,足球距离地面的高度h(单位:m)与足球被踢出后经过的时间t(单位:s)
(2)求△PBQ的面积的最大值.
1
解:(1)∵S△PBQ=2PB·BQ,PB=AB-AP=18-2x,BQ=x,
1
∴y=2x(18-2x),即 y=-x2+9x(0<x≤4).
(2)由(1)知 y=-x2+9x,
9 2
81
∴y=- - 2 + 4 .
9
∵当 0<x≤2时,y 随
x 的增大而增大,又∵0<x≤4,
大高度为 ( A )
A.4米 B.3米
C.2米 D.1米
第二章
第1课时
几何图形问题
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-4-
北师大版九年级数学下册：第二章2.4.1《二次函数的应用》精品说课稿
北师大版九年级数学下册：第二章 2.4.1《二次函数的应用》精品说课稿一. 教材分析北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的应用》是学生在学习了二次函数的图象与性质的基础上进行的一节实践活动课。
本节课通过实例让学生了解二次函数在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教材中给出了两个实例：制作轴对称图案和确定顶点式二次函数的图象，教师可以在此基础上进行拓展，让学生更好地理解二次函数的应用。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本知识，对二次函数的图象与性质有了初步的了解。
但学生在应用二次函数解决实际问题时，往往因为不能将实际问题与数学知识很好地结合起来而遇到困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将实际问题转化为数学问题，培养学生运用二次函数解决实际问题的能力。
三. 说教学目标1.让学生了解二次函数在实际生活中的应用，培养学生的应用意识。
2.使学生掌握利用二次函数解决实际问题的方法，提高学生的数学素养。
3.培养学生合作学习、交流分享的习惯，增强学生的团队意识。
四. 说教学重难点1.教学重点：让学生了解二次函数在实际生活中的应用，培养学生运用二次函数解决实际问题的能力。
2.教学难点：如何将实际问题转化为数学问题，如何利用二次函数解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究二次函数在实际生活中的应用。
2.利用多媒体课件展示实例，直观地展示二次函数的图象与性质。
3.学生进行小组讨论，培养学生合作学习的能力。
4.教师进行适时点拨，帮助学生突破思维瓶颈。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示生活中的实例，引发学生对二次函数应用的思考，激发学生的学习兴趣。
2.探究新知：让学生自主探究教材中的实例，理解二次函数在实际生活中的应用。
3.小组讨论：让学生分组讨论，分享各自的想法，培养学生的合作意识。
4.教师讲解：针对学生的讨论，教师进行讲解，引导学生正确运用二次函数解决实际问题。
北师大版九年级下册数学《二次函数的应用》二次函数教学说课复习课件
探究活动
解：设少年宫人数为x人,营业额为y元,则 营业额 = 人数 x 票价 y=x[800-10(x-20)] =x[800-10x+200] =800x-10x2+200x =-10(x-50)2+25000答：当少年宫的人数为 50人时，少年宫可以获得最大的营业额。
导入新课
讲授新课
典例精析
例1 写出下列抛物线的最值.（1）y=x2-4x-5;
解：(1)∵a=1＞0，对称轴为x=2,顶点坐标为（2，-9）, ∴当x=2时，y取最小值，最小值为-9;
(2)y=-x2-3x+4.
(2)∵a=-1＜0，对称轴为x= ,顶点坐标为（ ， ）, ∴当x= 时，y取最大值，最大值为 ;
最大利润问题
问题分析
总利润=每件商品利润×销售数量每件商品利润=售价-进价
【解析】 (1) 设：每件商品的售价为x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元。上涨后每件利润：(50+x-40)=(x+10)元，销售量为(210-10x)件商品（2) 根据题意可知y=(50+x-40)(210-10x)=(10+x)(210-10x) =-10(x-5.5)2+2402.5, 当x=5.5时，y有最大值, ymax = 2402.5（3) 设y=2200,解得x的值。然后分情况讨论解决
-3
(-2,-2) ●
● (2,-2)
4米
讲授新课
解：建立如图所示坐标系,
由抛物线经过点（2，-2），可得
● (2,-2)
设二次函数解析式为
讲授新课
知识要点
解决拱桥问题的一般步骤
(1)根据题意建立适当的直角坐标系；(2)把已知条件转化为点的坐标；(3)合理设出函数解析式；(4)利用待定系数法求出函数解析式；(5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算.
北师大版数学九年级下册2.4《二次函数应用》说课稿1
北师大版数学九年级下册2.4《二次函数应用》说课稿1一. 教材分析北师大版数学九年级下册2.4《二次函数应用》这一节的内容，是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行授课的。
本节课的主要内容是让学生学会如何运用二次函数解决实际问题，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教材通过引入实际问题，引导学生运用二次函数的知识进行解答，培养学生的数学应用意识。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数的概念和性质有了初步的了解。
但是，学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为数学问题，运用二次函数进行解答。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将实际问题与数学知识相结合，提高学生的数学应用能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握二次函数在实际问题中的应用方法，提高学生运用二次函数解决实际问题的能力。
2.过程与方法目标：通过解决实际问题，培养学生将实际问题转化为数学问题，运用二次函数进行解答的能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，提高学生学习数学的积极性。
四. 说教学重难点1.教学重点：让学生掌握二次函数在实际问题中的应用方法。
2.教学难点：如何引导学生将实际问题转化为数学问题，运用二次函数进行解答。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法，引导学生通过解决实际问题，学会运用二次函数进行解答。
2.教学手段：利用多媒体课件，展示实际问题，引导学生进行思考和解答。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示一个实际问题，引发学生的思考，引出本节课的主题。
2.讲解新课：引导学生将实际问题转化为数学问题，运用二次函数进行解答。
在此过程中，教师要注意讲解二次函数在实际问题中的应用方法。
3.巩固新课：通过一些练习题，让学生巩固所学知识，提高运用二次函数解决实际问题的能力。
4.课堂小结：对本节课的内容进行总结，让学生明确二次函数在实际问题中的应用方法。
二次函数的应用ppt课件
∴Q的坐标为(4,0);∠GCF=90°不存在,
综上所述,点Q的坐标为(4,0)或(9,0).
2.4
二次函数的应用(2)
北师大版 九年级数学下册
目
录
00 名师导学
01 基础巩固
02 能力提升
C O N TA N T S
数学
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◆ 名师导学 ◆
知识点 最大利润问题
(一)这类问题反映的是销售额与单价、销售量以及利润与每
(3)存在.∵y= x +2x+1= (x+3) -2,∴P(-3,-2),
3
3
∴PF=yF-yP=3,CF=xF-xC=3,
∴PF=CF,∴∠PCF=45°.
同理,可得∠EAF=45°,∴∠PCF=∠EAF,
∴在直线AC上存在满足条件的点Q.
设Q(t,1)且AB=9 2,AC=6,CP=3 2.
∵以C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似,
数学
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①当△CPQ∽△ABC时,
+6 3 2
∴ = ,∴ = ,∴t=-4,∴Q(-4,1);
6
9 2
②当△CQP∽△ABC时,
+6 3 2
∴ = ,∴ = ,∴t=3,∴Q(3,1).
9 2
6
综上所述,在直线AC上存在点Q,使得以C,P,Q为顶点的三角形
数学
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◆ 基础巩固◆
一、选择题
1.在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为 x(0<x<1)的小
正方形,如果设剩余部分的面积为y,那么y关于x的函数表达式
B
为
(
)
2
2
北师大版数学初三下册第二章《二次函数》二次函数的应用教学设计
①若设w总为补贴后的商家总利润，试确定w总与x的函数关系式。
②为使得降价在0≤x≤4时,商家月总利润仍旧呈上升势态，试确定k的取值范畴。
教师通过多媒体演示关心明白得,适时的引导他们。解决问题时要关注学生对方法的明白得.
教学重点
利用建立二次函数的数学模型解决实际问题.
教学难点
利用二次函数的图象解决解决问题
教具
多媒体课件
教学方法
诱思探究
教学模式
经典再现——质疑、释疑——变式提高——应用与拓展
教学过程
备注
一、经典再现：
某商店经销一批成本为40元/kg的惠农商品，标价为60元/kg。现需降价处理，据市场调查分析月销量y（kg）与降价x（元/kg）之间的关系如下表：在确保盈利的情形下，回答下列问题：
（1）认真分析上表中的数据，结合所学过的函数知识，猜想并确定y与x元的函数关系式，并确定自变量x的取值范畴。
（2）确定月利润W(元)与降价x元/kg之间的函数关系式。
（3）试确定当每千克降价多少元时月利润最大？最大月利润为多少元？
从题目中猎取准确信息,探究出解决问题的思路和方法，并进行归纳总结:
二、自主探究,合作交流
北师大版数学初三下册第二章《二次函数》2
课题
二次函数的应用
总课时数பைடு நூலகம்
2
第1课时
课型
复习课
教
学
目
标
知识与技能：从实际问题中猎取有用的信息,建立二次函数的模型,进而利用二次函数的性质与图象解决实际问题.
过程与方法：经历建立二次函数的模型的过程,提高解决问题的能力.
北师大版九年级数学下册：2.4《二次函数的应用——何时利润最大》教案
北师大版九年级数学下册：2.4《二次函数的应用——何时利润最大》教案一. 教材分析《二次函数的应用——何时利润最大》这一节内容，主要让学生了解二次函数在实际生活中的应用，学会利用二次函数解决实际问题。
通过本节课的学习，学生能够掌握二次函数在利润最大化问题中的应用，提高他们运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，将二次函数应用于实际问题中，求解利润最大值，可能对学生来说较为复杂。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将实际问题转化为数学问题，利用已学的二次函数知识进行求解。
三. 教学目标1.让学生了解二次函数在实际生活中的应用，体会数学与生活的紧密联系。
2.培养学生运用二次函数解决实际问题的能力。
3.提高学生分析问题、解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际问题中的应用，求解利润最大值。
2.难点：将实际问题转化为数学问题，利用二次函数求解利润最大值。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生感受二次函数在实际问题中的应用。
2.启发式教学法：引导学生主动思考，分析问题，解决问题。
3.小组合作学习：让学生在小组内讨论、交流，共同解决问题。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次函数在实际问题中的应用。
2.练习题：准备一些相关的练习题，让学生在课堂上进行操练。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如一家企业的利润与销售量之间的关系，引出二次函数在实际问题中的应用。
让学生感受数学与生活的紧密联系。
2.呈现（10分钟）呈现一个具体的利润最大化问题，如一家企业的利润与生产成本、销售价格之间的关系。
引导学生将实际问题转化为数学问题，列出二次函数的表达式。
3.操练（10分钟）让学生在小组内讨论、交流，共同解决问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些类似的练习题，巩固所学知识。
新北师大版九年级数学二次函数知识点归纳总结
九年级数学中的二次函数是一个非常重要的内容，主要包括函数定义、图像和性质、解析式、根与系数之间的关系、应用等方面的知识。
下面对这些知识点进行归纳总结。
1. 二次函数的定义：二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
2.二次函数的图像和性质：-当a>0时，二次函数的图像是一个开口向上的抛物线，顶点在最低点；当a<0时，二次函数的图像是一个开口向下的抛物线，顶点在最高点。
-顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中-b/2a为对称轴的横坐标，f(-b/2a)为对称轴上的纵坐标。
-当函数的a值较大时，抛物线开口越大，图像越扁平；当a值较小时，抛物线开口越小，图像越瘦高。
-当函数的c值为正时，图像在y轴上方；当c值为负时，图像在y轴下方。
-二次函数的对称轴与x轴交点为顶点坐标的x坐标。
-二次函数的图像关于对称轴对称。
3. 二次函数的解析式：二次函数的一般形式是f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，可以用来表示二次函数的解析式。
4.根与系数之间的关系：- 二次函数的根是函数f(x) = ax^2 + bx + c的解，即使得f(x) = 0的x值。
二次函数的根可能有两个、一个或没有。
-当二次函数有两个根时，即存在两个解x1和x2，那么二次函数可以表示为f(x)=a(x-x1)(x-x2)。
-二次函数的根与系数之间的关系可由韦达定理得到。
设二次函数的两个根为x1和x2，则有以下关系：-x1+x2=-b/a-x1*x2=c/a5.二次函数的应用：-二次函数可以应用于描述各类抛物线问题，如求抛物线的顶点、根、对称轴等。
-二次函数可以用来表示抛物线轨迹的运动问题，如抛物线运动的高度、时间等。
总结：二次函数是九年级数学中的重要内容，掌握二次函数的定义、图像和性质、解析式、根与系数之间的关系以及应用可以帮助我们更好地理解和解决与抛物线相关的问题。
北师版九年级数学下册课件 第二章 二次函数 二次函数的应用 第1课时 二次函数在几何及生活中的应用
7
4
4
4
6 7
)2＋9 7
，∵0＜x＜172
，∴当 x＝67
时，S 最大值＝97
＞1.05，∴与例题比较，改变窗
户形状后窗户透光面积的最大值变大了
6－1－1－1－1
解：(1)由已知可得 AD＝
2
＝5
，则 S＝AB·AD＝1×5
＝5
(m2)
2
4
44
(2)设
AB＝x
m，则
6－3x
AD＝
－12x
＝(3－7
x) m．∵x＞0，3－7
x＞0，∴0＜x
2
4
4
＜12 .设窗户透光面积为 S m2，则 S＝AB·AD＝x(3－7 x)＝－7 x2＋3x＝－7 (x－
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为 0.35 m 时，透光面积最大值约为 1.05 m2. 我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图②，材料 总长仍为 6 m，利用图③，解答下列问题： (1)若 AB 为 1 m，求此时窗户的透光面积； (2)与例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算 说明．
A．第 8 秒 B．第 10 秒 C．第 12 秒 D．第 15 秒
9．将一条长为 20 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一 25
个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是___2_____cm2.
10．(2022·甘肃)如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小 球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h(单位：m)与飞行 时间 t(单位：s)之间具有函数关系：h＝－5t2＋20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞 行时间 t＝___2___s.
北师大版九年级数学下册：2.4《二次函数的应用》教学设计1
北师大版九年级数学下册：2.4《二次函数的应用》教学设计1一. 教材分析《二次函数的应用》是北师大版九年级数学下册第2章“函数、方程与不等式”的第4节内容。
本节课的主要内容是让学生掌握二次函数在实际生活中的应用，学会用二次函数解决实际问题。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生理解和掌握二次函数的应用。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为二次函数问题。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将实际问题与二次函数联系起来，提高学生的数学应用能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次函数在实际生活中的应用，学会用二次函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过解决实际问题，培养学生将现实问题转化为数学问题的能力，提高学生的数学建模能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学思维，使学生感受到数学在生活中的重要性。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际生活中的应用。
2.难点：如何将实际问题转化为二次函数问题，以及如何利用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过引导学生解决实际问题，让学生理解和掌握二次函数的应用。
同时，运用讨论法、案例分析法等教学方法，提高学生的参与度和积极性。
六. 教学准备1.教材：《北师大版九年级数学下册》。
2.教学课件：根据教学内容制作的课件。
3.练习题：针对本节课内容设计的练习题。
4.教学工具：黑板、粉笔、投影仪等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实际问题，如抛物线形的跳板，引导学生思考如何用数学模型来描述这个问题。
让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（15分钟）呈现教材中的例题，讲解二次函数在实际生活中的应用。
通过例题，让学生了解如何将实际问题转化为二次函数问题，以及如何利用二次函数解决实际问题。
北师大版九年级数学下册_二次函数在实际情景中的运用
二次函数在实际情景中的运用当我们在放假观光旅游享受大自然的美丽的风光之时，你可能被公园中人造喷泉喷出的抛物线型的水流所陶醉，当你来到潺潺的溪水边，你可能会发现河面建造的一座座美丽的石拱桥，……等等，这时你是否意识到其中蕴涵的数学问题？事实上喷泉形成的水柱，拱桥的形状都给我们以抛物线的形状，而我们知道它们与我们学过的二次函数密切相关.新课程标准明确指出：二次函数是反映现实世界的数量关系和变化规律的数学模型；因此我们可以从数学的视角，利用二次函数研究上述实际问题，从而初步体验数学中的“问题情景——建立模型——解释应用——回顾拓展”的探究方式，提高数学的建模意识、综合分析问题、解决问题的能力.本文从07年中考试题中采集几朵浪花加以剖析与读者共赏.例1、（永州市）如图所示是永州八景之一的愚溪桥，桥身横跨愚溪，面临潇水，桥下冬暖夏凉，常有渔船停泊桥下避晒纳凉.已知主桥拱为抛物线型，在正常水位下测得主拱宽24m ，最高点离水面8m ，以水平线AB 为x 轴，AB 的中点为原点建立坐标系.①求此桥拱线所在抛物线的解析式.②桥边有一船浮在水面部分高4m ，最宽处122m 的河鱼餐船，试探索此船能否开到桥下?说明理由.分析：题目已将实际问题（建立了平面直角坐标系）抽象成了二次函数的数学模型的雏形.①欲求二次函数的解析式，观察图形及条件（主拱离水面的最大高度为8米，主拱宽为24米），可知抛物线顶点的坐标为（0，8）因而可设抛物线所对应的函数关系式为y=ax 2+8，又抛物线过原点（12，0），所以有0= a×122+8，故181-=a ，所以抛物线的关系式为y=81812+-x ； ②欲判断船能否开到桥下，因为河鱼餐船最宽处为122m ，船如果沿主拱中间不能通行，则其它的方式则更无法开到桥下.现在我们来探究沿桥拱中央行驶的情形.当x=62时，代入抛物线的关系式为y=81812+-x 得y=8)26(1812+-=4米，所以从理论上讲，河鱼餐船刚好能驶入桥拱下纳凉.评注：解决具有实际问题情境的应用题，首先要将实际问题转化为数学问题，建立起相应的数学模型，然后在将实际问题中提供的数据转化为数学模型中的相关的数据.比如：实际问题中“主拱离水面的最大高度为8米，跨度为24米”可转化为抛物线顶点的坐标为（0，8），抛物线与x 轴交点坐标为（-12，0），（12，0）”等.最后利用学过相关的数学知识求得问题的答案.求解抛物线的解析式时，借助待定系数法常常有3种设法：①顶点式y=a （x-m ）2+n 其中（m ，n ）为抛物线顶点的坐标；②交点式y=a （x-x 1）（x-x 2）其中x 1、x 2为抛物线与x 轴交点的横坐标；③一般式y=ax 2+bx+c 是已知抛物线上任意（无特殊的关系）3点的坐标时采用.另外在解题过程中还要充分发挥待定系数法、配方法、数形结合思想、方程思想等数学思想的指导作用..例2、（浙江丽水） 廊桥是我国古老的文化遗产.如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为211040y x =-+，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB 高为8米的点E 、F 处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离EF （精确到1米）.分析：本题创设了一个以我国古老的文化遗产——廊桥为载体，考查二次函数及由已知函数值求平行于x 轴直线上两点之间距离的问题的数学模型.解决问题的关键是把实际问题中的条件转化为数学条件.由于两盏E 、F 距离水面都是8m ，因而两盏景观灯之间的水平距离就是直线y=8与抛物线两交点的横坐标差的绝对值.y O AE F B故有－401x 2+10 = 8，即x 2=80，x 1=54 x 2=－54 所以两盏警示灯之间的水平距离为|x 1－x 2|=|54－（－54）|=85≈18（m ）. 评注：上述两例都是以拱桥为载体，让学生根据实际问题先确定二次函数解析式，然后进一步利用函数关系式，进行自变量与函数值之间的转换，只不过是本题是由函数值求自变量的值去解决相应实际问题的.这样就将二次函数巧妙地与一元二次方程（组）联系在一起.在本例中运用了两个特殊点A 、B （在平行于x 轴的直线上）两个点之间的距离公式为|B A x x -|.例3、（武汉市课改实验区）连接着汉口集家咀的江汉三桥（晴川桥），是一座下承式钢管混凝土系杆拱桥.它犹如一道美丽的彩虹跨越汉江，是江城武汉的一道靓丽景观.桥的拱肋ACB 视为抛物线的一部分，桥面（视为水平的）与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，相邻系杆之间的间距均为5米（不考虑系杆的粗细），拱肋的跨度AB 为280米，距离拱肋的右端70米处的系杆EF 的长度为42米.以AB 所在直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立如图②所示的平面直角坐标系.（1）求抛物线的解析式；（2）正中间系杆OC 的长度是多少米？是否存在一根系杆的长度恰好是OC 长度的一半？请说明理由.分析：观察图形，若设抛物线的顶点的坐标为（0，c ），则抛物线的解析式可设为y=ax 2+c ，根据实际问题中提供的数据容易得到B （140，0），E （70，42），∴⎪⎩⎪⎨⎧+=+=c a 7042c a 140022，解之得a=3501-，c=56，所以y=2x 3501-+56 （2）OC 得长度事实上就是抛物线顶点的纵坐标，也就是抛物线与y 轴交y x A BE F C O点的坐标，所以当x=0时，y=3501 ×02+56=56，所以OC 的长度为56米. 设存在一个系杆的长度是OC 的一半，即这根系杆的长度是28 m.则28=－2x 3501+56，解得：x=±270. ∵相邻系杆之间的间距均为5m ，最中间系杆OC 在y 轴上，∴每根系杆上的点的横坐标均为整数.∴x=±270与实际不符.∴不存在一根系杆的长度恰好是OC 长度的一半.评注：本题选取晴川桥作为问题的实际情景，巧妙地将桥的拱肋与抛物线联系在一起，解决此类问题首先应转化为数学问题——二次函数的数学模型；可喜的是本题已经建立了平面直角坐标系（数学问题的半成品），（1）观察剖面图，因顶点在y 轴上，可根据顶点式借助待定系数法求抛物线的解析式；（2）是一个探索“存在性”的问题，所谓“存在性”的问题，就是要求应试者在给定的部分条件下，判断某种数学对象（线段的长度、变量的取值、点的坐标等）是否存在的命题，这种题型有利于测试学生的猜想、判断、逻辑推理等创造性解决问题的能力.解决此类问题的方法是：先对结论作出肯定存在的假设而后结合题设、方程的解法、定理等进行正确的计算或推理，若得出矛盾的（或不合实际意义）结果，则否定先前假设，说明结论不存在；若推出合理的结果，说明假设成立，进而知结论是存在的.欲求OC 的长度事实上是求抛物线顶点的纵坐标，由解析式容易求得，至于探究“是否存在一根系杆的长度恰好是OC 长度的一半”，也就是探索当y=0.5×56=28时，方程 28=－2x 3501+56的解的值，是否是5（相邻系杆之间的间距）的整数倍.其中渗透了二次函数与一元二次方程之间的相互转化关系.尝试探究：（徐州市）某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示.（1）以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式；（2）某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道？并说明理由.。
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A t cm
P
B (6-t)cm
2014.12
问题解决
1.一根铝合金型材长为6m，用它制作一个“日”字型的窗框，如 果恰好用完整条铝合金型材，那么窗架的长、宽各为多少米时， 窗架的面积最大？
y 1(63x)x 2
x
2014.12
问题解决
3.如图，隧道的横截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是
（2）设五边形APQCD的面积为Scm2 ，写出S与t的函数关系式， t为何值时S最小？求出S的最小值。
（2）由题意得
D
C
S=12×6 -
1 2
×2t(6-t)
=t2-6t+72=(t-3)2+63
∵1>0 ∴当 t=3 时 S 最小值=63 即 t=3cm 时 S 有最小值 63cm2
Q 2t cm
由题知 24-4x>0 解得 x<6
A
D
∵x>0
∴x 的取值范围是 0<x<6
B
C
(2) ∵-4<0 ∴当 x=－2×2(4-4)＝3 时，
S 最大= -4×32+24×3=36 则当 x=3m 时，所围成的花圃面积最大，最大值为 36m2。
2014.12
变式练习2.如图，在一面靠墙的空地上用长为24m的篱笆，围成中 间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的AB=xm，面积为Sm2。
225 36
∵-
7 2<0
∴当
x=
15 14
≈1.07 时，S 最大=
225 36
≈4.02
即当 x≈1.07m 时，S 最大≈4.02m2，此时窗户通过的光线最多。
2014.12
例4.在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿 AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC 边向点C以2cm/秒的速度移动。如果P、Q两点在分别到达B、 C两点后就 停止移动，设运动时间为t秒（0<t<6)，回答下列 问题：（1）运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8cm2 ；
∴当x=4m时，S最大=- 4×42+24×4=32m2
即墙的最大可用长度为8米，围成花圃的最大面积是32m2。
2014.12
例2：如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB
和AD分别在两直角边上.
M
30cm
(1).设矩形的一边AB=xcm,那么AD
边的长度如何表示？
D
C
(2).设矩形的面积为ycm2,当x取何值
┐ xcm
A
B
40cm
N
∵四边形 ABCD 是矩形∴AB=CD=xcm
∴MD=(30-b)cm
∵CD∥AN∴∠MDC=∠MAN=90°, ∠N=∠MCD
∴△MCD∽△MAN∴MMDA
=
CD∴30-b AN 30
=
x 40
∴b=
-
3 4x + 30
∴AD=
-
3 4x + 30
(cm)
2014.12
例2：如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB
∴DEGA
=
FFQP∴5x0
=
2244-b∴b=(
-
12 25x + 24
)m∴AB=(-
12 25x + 24
)m
2014.12
变式练习3：如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，
其顶点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.
(1).设矩形的一边BC=xm,那么AB边的长 度如何表示？
E C P
A t cm
P
B (6-t)cm
2014.12
例4.在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿 AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC 边向点C以2cm/秒的速度移动。如果P、Q两点在分别到达B、 C两点后就 停止移动，设运动时间为t秒（0<t<6)，回答下列 问题：（1）运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8cm2 ；
变式练习2.如图，在一面靠墙的空地上用长为24m的篱笆，围成中 间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB=xm，面积为Sm2。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面积 .
解:(1)S=x(24-4x)= -4x2+24x
30m
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的
最大值是多少?
DQ
B
解 ： ( 1 ) A B = ( - 1 2 2 5 x + 2 4 ) m F ┐
A 40m
G
(2)y=x﹒b=x﹒(-
12 25x + 24
)=
-
2152(x-25)2
+300
(或用公式：当 x=
-
b 2a=25
时，y
最大值=300)
8m，宽是 2m，抛物线可以用 y 1 x2 4 表示。 4
（1）一辆货运车车高 4m，宽 2m，它能通过该隧道吗？ （2）如果该隧道内设双行道，中间遇车间隙为 0.4m，那么这 辆卡车是否可以通过？
2014.12
当x1时， y14152
4
4
所以能卡车能通过
2014.12
当 x2.2时y， 12.2242.792 2
时,窗户的面积是多少?
解：∵7x+4y+πx=15∴y=15-74x-πx
∵0<x<15,且
15-7x-πx 0< 4
<15∴0<x<1.479
设窗户的面积是 Sm2,则
xx y
S=
1 2
πx2+2xy=12
πx2+2x﹒15-74x-πx
=-
7 2
x2 +
15 2
x= -
7 2
(x -
15 14
)2 +
(1).设矩形的一边BC=xm,那么AB边的长度如何表示？
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?
解：过点 F 作 FP⊥EG，交 EG 于点 P，交 DA 于点 Q
∴在 Rt△EFG 中，EF = 30m，FG = 40m E
∴ EG= EF2+FG2 = 302+402 = 50m
((12))求当Sx取与何x的值函时数所关围系成式的及花自圃变面量积的最取大值，范最围大；值是S=多-4少x2？+24x (3)若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面积 .
24-4x≤8 (3)由题知24-4x>0 解得4≤x<6
A
D
x>0
∵-4<0且对称轴是直线x=3
B
C
∴当4≤x<6时，y随x增大而减少
所以卡车能通过
2014.12
问题解决 4. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面宽AB=20m， 如果水位上升3米，则水面宽CD=10m． （1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式； （2）有一条船以5km/h的速度向此桥驶来，当船距离此桥 35km是，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.25m当 水位到CD处时，将禁止船只通行，如果该船按原来的速度行驶， 那么它能否能安全通过此桥。
(1)求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围;
(2)y为何值时,△ADE的面积最大?最大面积是多少?
BD DE BC AC x DE 86 DE 3 x
4
能不能用正切来求DE？
B
x
10
8D
E
8-x
C
6
A
2014.12
北师大版九年级数学下册 2.4 二次函数的应用
（第1课时 最大面积）
2014.12
复习引入
1.二次函数表达式的顶点式是 y=a(x-h)2+k (a ≠0) ， 若a<0，则当x= h 时，y有最大值 k 。
2.二次函数表达式的一般式是 y=ax²+bx+c (a ≠0) ，
b
4ac b 2
若a<0，则当x= 2 a 时，y有最大值 4ac 。
∴当 x= -
b 2a
=20 时，y = 最大值 -
3 4
×202 + 30×20=300
[
或 y=
-
43x2+30x =
-
3 4
(x-20)+300
]
∵-
3 4<0
∴当 x=20cm 时，y 最大值=300(cm2)
2014.12
变式练习3：如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，
其顶点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.
2014.12
变式练习4：
如图,已知△ABC是一等腰三角形铁板余料,AB=AC=20cm,
BC=24cm.若在△ABC上截出一矩形零件DEFG,使得EF在BC
上,点D、G分别在边AB、AC上.问矩形DEFG的最大面积是
多少?
A
ADG ∽ ABC
AN DG AM BC
16 x DG
时,y的最大值是多少?
┐
A
B
N
40cm
2014.12
例和2A：D分如别图在,在两一直个角直边角上三.角形的内部作一M个矩形ABCD，其中AB
bc 3m0cm
(1).设矩形的一边AB=xcm,那么AD