九年级数学下册北师大版专训：第二章专训1二次函数图象信息题的四种常见类型
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北师大版九年级数学下册第二章二次函数的图像与性质复习
环节二：二次函数的图象及性质（分）
；
自行车行驶10s和26s时，拱梁的高度相同，则小
则它们之间的大小关系是
。
（是3）求。抛(5物线)若关于x当、y轴x或某≤点-对3称时的抛，物 y随x的增大而减小，则m__≤__3__。
（1，a+b+c），（-1，a-b+c）；
y
y
b 2a
,
4acb2 4a
O
x
b 2a
,
4acb2 4a
抛物线 顶点坐标
对称轴 开口方向
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4acb2 4a
直线x b
2a
a>0, 开口向上
增减性 最值
在对称轴的左侧, y 随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y 随着x的增大而增大.
当 x2ba时 ,y最 小 值 为 4ac4a b2
（1，a+b+c），（-1，a-b+c）；
（1）判断函数的增减性；
其他的呢？ 2、二次函数的图象与性质
请总结本节课所学习的主要内容。 (3)若抛物线的对称轴为y轴，则m______;
当ab>0时，对称轴在y轴左侧，
y=ax2+bx+c(a<0)
（2）y=0；y＞0；y＜0问题（与一元二次方 环节二：二次函数的图象及性质（分）
第二章《二次函数》 《二次函数的图象与性质》复习
全章内容呈现
1、二次函数的定义 2、二次函数的图象与性质 3、二次函数解析式的确定 4、二次函数的应用 5、二次函数与一元二次方程
Байду номын сангаас
二次函数的三种常见表现形式
；
自行车行驶10s和26s时，拱梁的高度相同，则小
则它们之间的大小关系是
。
（是3）求。抛(5物线)若关于x当、y轴x或某≤点-对3称时的抛，物 y随x的增大而减小，则m__≤__3__。
（1，a+b+c），（-1，a-b+c）；
y
y
b 2a
,
4acb2 4a
O
x
b 2a
,
4acb2 4a
抛物线 顶点坐标
对称轴 开口方向
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4acb2 4a
直线x b
2a
a>0, 开口向上
增减性 最值
在对称轴的左侧, y 随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y 随着x的增大而增大.
当 x2ba时 ,y最 小 值 为 4ac4a b2
（1，a+b+c），（-1，a-b+c）；
（1）判断函数的增减性；
其他的呢？ 2、二次函数的图象与性质
请总结本节课所学习的主要内容。 (3)若抛物线的对称轴为y轴，则m______;
当ab>0时，对称轴在y轴左侧，
y=ax2+bx+c(a<0)
（2）y=0；y＞0；y＜0问题（与一元二次方 环节二：二次函数的图象及性质（分）
第二章《二次函数》 《二次函数的图象与性质》复习
全章内容呈现
1、二次函数的定义 2、二次函数的图象与性质 3、二次函数解析式的确定 4、二次函数的应用 5、二次函数与一元二次方程
Байду номын сангаас
二次函数的三种常见表现形式
北师版九年级下册数学课件第2章2.5.3二次函数图象信息题的四种常见类型
类型
【点拨】①由抛物线的开口向上知 a＞0， ∵对称轴位于 y 轴的右侧，∴b＜0.∵抛物线与 y 轴交于负半轴， ∴c＜0，∴abc＞0；故①错误； ②对称轴为直线 x＝－2ba＜1，得 2a＞－b，即 2a＋b＞0，故② 错误；
类型
③当 x＝－2 时，y＞0，即 4a－2b＋c＞0，故③正确； ④∵当 x＝－1 时，y＝0， ∴0＝a－b＋c＜a＋2a＋c＝3a＋c，即 3a＋c＞0.故④正确． 综上所述，有 2 个结论正确．故选 B.
类型
6．(中考·阜新)如图，二次函数 y＝ax2＋bx＋3 的图象经过点 A(－1，0)，B(3，0)，那么关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＝0 的根是__x_1＝__0_，__x_2_＝__2____．
类型
7．(2020·泰安)在同一平面直角坐标系内，二次函数 y＝ax2＋bx ＋b(a≠0)与一次函数 y＝ax＋b 的图象可能是( )
－m＝0 的解为 x1，x2(x1＜x2)，则下列结论正确的是( )
A．x1＜－1＜2＜x2
B．－1＜x1＜2＜x2
C．－1＜x1＜x2＜2
D．x1＜－1＜x2＜2
类型 【点拨】关于 x 的一元二次方程(x＋1)(x－2)－m＝0 的解 x1，x2， 可以看作二次函数 y＝(x＋1)(x－2)的图象与直线 y＝m(m＞0)交 点的横坐标． ∵二次函数 y＝(x＋1)(x－2)的图象与 x 轴的交点坐标为(－1，0)， (2，0)，∴当 m＞0 时，就是抛物线位于 x 轴上方的部分，此时 x＜－1 或 x＞2.又∵x1＜x2，∴x1＜－1＜2＜x2. 【答案】A
类型
【点拨】根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与 y 轴的关系 即可得出 a，b 的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限， 再与函数图象进行对比即可得出结论．
北师版九年级数学下册作业课件 第二章 二次函数 专题训练(四) 二次函数的应用
(二)在区间的端点处求最值 5．某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价 每千克不高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量y(kg)与每千克的售价x(元) 之间满足一次函数关系，部分数据如下表： (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当每千克山野菜的售价定为多少元时批发商每日销售这批山野菜所获得的利润 最大？最大利润为多少元？
润z(万元)与销售价格x之间的函数关系式为z＝－
1 10
x2＋12x－320(2)当z＝－
1 10
(x－60)2＋40＝17.5时，解得x1＝45，x2＝75，∵－
1 10
＜0，∴当
z≥17.5时，45≤x≤75.又∵y＝－
1 10
x＋9中的－
每千克的售价x/元 日销售量y/kg
… 20 22 24 … … 66 60 54 …
12k＋b＝500， 解 ：(1) 设 y 与 x 之 间的 函数 关系 式 为 y ＝kx ＋b ， 则 14k＋b＝400， 解 得 k＝－50， b＝1 100， ∴y 与 x 之间的函数关系式为 y＝－50x＋1 100 (2)由题意，得 w＝(x－10)y＝(x－10)(－50x＋1 100)＝－50x2＋1 600x－11 000＝ －50(x－16)2＋1 800，∵12≤x≤15，且 x 为整数，∴当 x＝15 时，w 最大值＝－50×(15 －16)2＋1 800＝1 750，∴当销售单价为 15 元时每周所获利润最大，最大利润是 1 750 元
(三)在分段函数中求最值 7．某商场销售一种进价为每件30元的商品，销售过程中发现月销售量y(件)与销售 单价x(元)之间的关系如图所示． (1)根据图象直接写出y与x之间的函数关系式； (2)设这种商品的月利润为W(元)， 求W与x之间的函数关系式； (3)这种商品的销售单价定为多少元时月利润最大？ 最大月利润是多少？
数学北师大版九年级下册中考二次函数图像信息题专题复习
故①正确由图象可知：对称轴x=﹣ =﹣1，∴2a﹣b=0，故②错误；
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0
由图象可知：当x=1时y=0，∴a+b+c=0；故③错误；由图象可知：当x=﹣1时y＞0，
∴点B（﹣ ，y1）、C（﹣ ，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，故④正确．故选B
点评：此题考查二次函数的性质，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
2．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：
①b2＞4ac；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④若点B（﹣ ，y1）、C（﹣ ，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，其中正确结论是（ ）
☆初三数学总复习☆课堂教学设计☆
授课班级初三年级☆☆授课时间☆☆主备人鱼卫东哦
复习内容
中考二次函数图像信息题专题复习
课型
复习课
计划课时
1课时
复
习
目
标
1、二次函数图像和性质的应用
2、二次函数图像和系数及代数式的关系
学
习
目
标
会用二次函数图像和性质讨论
关系式中系数及代数式的正负
复习
重点
由二次函数图像判断字母及代数式的正负
解答：解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0
由图象可知：当x=1时y=0，∴a+b+c=0；故③错误；由图象可知：当x=﹣1时y＞0，
∴点B（﹣ ，y1）、C（﹣ ，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，故④正确．故选B
点评：此题考查二次函数的性质，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
2．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：
①b2＞4ac；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④若点B（﹣ ，y1）、C（﹣ ，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，其中正确结论是（ ）
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复习内容
中考二次函数图像信息题专题复习
课型
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计划课时
1课时
复
习
目
标
1、二次函数图像和性质的应用
2、二次函数图像和系数及代数式的关系
学
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目
标
会用二次函数图像和性质讨论
关系式中系数及代数式的正负
复习
重点
由二次函数图像判断字母及代数式的正负
解答：解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；
二次函数图象信息题的四种常见类型
抛物线开口向上的图像
1
特点
图像开口朝上，a>0。
2
性质在抛物ຫໍສະໝຸດ 的中心处，函数取得最小值，也称为“顶点”，坐标为(f(g),-h(f(g)))。
3
例题
如果抛物线y=ax^2+bx+c的顶点是(-1,4)，则方程的形式是什么？
抛物线开口向下的图像
特点
图像开口朝下，a<0。
性质
函数的最大值位于抛物线的中心 处，其坐标为(f(g),-h(f(g)))。
二次函数图象信息题的四 种常见类型
在学习二次函数时，掌握常见的四种图像类型对于学生们是非常重要的。这 个幻灯片将介绍这些类型，以及如何轻松应对与它们相关的信息问题。
什么是二次函数？
1 定义
二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a，b，c为常数，a不等于零。图像为开口朝 上或朝下的轮廓类似于一个U形。
例题
如果抛物线y=ax^2+bx+c的最大 值点是(2,5)，则a的值是多少？
两个实根的图像
特点
图像与x轴有两个交点（实 根），a>0。
性质
当x趋近于正无穷或负无穷时， 二次函数趋近于无穷大。此 外，抛物线的轴线是根的平 均值。
例题
给定二次函数y=-2(x-4)(x-3)， 求它的零点是多少？
无实根的图像
1
特点
图像可以用a(x-h)^2+k的形式表示，其中a<0。
2
性质
在抛物线的中心处，函数达到最大值。图像完全位于或高于x轴上方。
3
例题
二次方程y=x^2+4x+13有实根吗？如果不是，图像是什么样子的？
北师大版九年级数学下册 第二章 2.5.3二次函数图象信息题的四种常见类型【名校课件】
42kk＋ ＋bb＝ ＝230，，解得kb＝＝34－，23，∴直线 AB 的表达式为 y＝34x－32.∵点 D 为线段
AB 上的一个动点，∴设 Dx，43x－32(0＜x＜4)，∵DE∥y 轴，∴Ex，x6.∴S△ODE ＝12x·6xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ34x＋32＝－38x2＋34x＋3＝－38(x－1)2＋287. ∴当 x＝1 时，△ ODE 的面积有最大值，最大值为287.
(2)若 y2 随着 x 的增大而增大，且 y1 与 y2 都经过 x 轴上的同一点， 求 y2 的表达式．
解：①当 y1＝－x2－2x 时，解－x2－2x＝0，得 x＝0 或 x＝－2， ∴抛物线与 x 轴的交点坐标是(0，0)和(－2，0)， ∵y2 随着 x 的增大而增大，且 y2 过点 A(－1，5)， ∴y1 与 y2 都经过 x 轴上的同一点(－2，0)． 把 点 ( － 1 ， 5) ， ( － 2 ， 0) 的 坐 标 分 别 代 入 y2 ＝ kx ＋ b ， 得 － －k2＋ k＋b＝b＝5，0，解得kb＝ ＝51， 0，∴y2＝5x＋10.
【点拨】∵反比例函数 y＝mx (x＞0)的图象经过点 A4，32，∴m＝ 4×32＝6，∵AB 交 x 轴于点 C，C 为线段 AB 的中点．∴C(2，0)．
(2)若点 D 为线段 AB 上的一个动点，过点 D 作 DE∥y 轴，交反 比例函数的图象于点 E，求△ ODE 面积的最大值．
解：设直线 AB 的表达式为 y＝kx＋b，把 A4，23，C(2，0)的坐标代入得
【点拨】将 A(－1，0)，B(3，0)的坐标代入 y＝ax2＋bx＋3 中可得a9－ a＋b＋ 3b＋3＝3＝0，0，解得ab＝ ＝－ 2，1， 代入 ax2＋bx＝0，得－x2＋2x＝0，解得 x1＝0，x2＝2.
AB 上的一个动点，∴设 Dx，43x－32(0＜x＜4)，∵DE∥y 轴，∴Ex，x6.∴S△ODE ＝12x·6xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ34x＋32＝－38x2＋34x＋3＝－38(x－1)2＋287. ∴当 x＝1 时，△ ODE 的面积有最大值，最大值为287.
(2)若 y2 随着 x 的增大而增大，且 y1 与 y2 都经过 x 轴上的同一点， 求 y2 的表达式．
解：①当 y1＝－x2－2x 时，解－x2－2x＝0，得 x＝0 或 x＝－2， ∴抛物线与 x 轴的交点坐标是(0，0)和(－2，0)， ∵y2 随着 x 的增大而增大，且 y2 过点 A(－1，5)， ∴y1 与 y2 都经过 x 轴上的同一点(－2，0)． 把 点 ( － 1 ， 5) ， ( － 2 ， 0) 的 坐 标 分 别 代 入 y2 ＝ kx ＋ b ， 得 － －k2＋ k＋b＝b＝5，0，解得kb＝ ＝51， 0，∴y2＝5x＋10.
【点拨】∵反比例函数 y＝mx (x＞0)的图象经过点 A4，32，∴m＝ 4×32＝6，∵AB 交 x 轴于点 C，C 为线段 AB 的中点．∴C(2，0)．
(2)若点 D 为线段 AB 上的一个动点，过点 D 作 DE∥y 轴，交反 比例函数的图象于点 E，求△ ODE 面积的最大值．
解：设直线 AB 的表达式为 y＝kx＋b，把 A4，23，C(2，0)的坐标代入得
【点拨】将 A(－1，0)，B(3，0)的坐标代入 y＝ax2＋bx＋3 中可得a9－ a＋b＋ 3b＋3＝3＝0，0，解得ab＝ ＝－ 2，1， 代入 ax2＋bx＝0，得－x2＋2x＝0，解得 x1＝0，x2＝2.
2020春北师大版数学九年级下册第二章 二次函数 专题二 二次函数图象信息题的四种常见类型
y=- 1 x2+ 5 x+4
分∠CAO.则此抛物线的函数表达式是 6 6
.
12.如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过A(1,0),B(0,2)两点,顶点为D.
(1)求抛物线的函数表达式;
解:(1)已知抛物线 y=x2+bx+c 经过 A(1,0),B(0,2),
所以
0 2
1 b c, 0 0 c,
②当四边形BCPQ为平行四边形时,由B(-1,0),C(0,-3),得 -1+m=0+x,0+m2-2m-3=-3+0, 解得m=0或2,x=-1或1. 当m=0时,x=-1, 所以Q(-1,0),P(0,-3)(舍去), 当m=2时,x=1, 所以Q(1,0),P(2,-3).
③当四边形 BQCP 是平行四边形时,由 B(-1,0),C(0,-3),得 -1+0=x+m,m2-2m-3+0=-3+0, 解得 m=0 或 2,x=-1 或-3. 当 m=0 时,x=-1,所以 Q(-1,0),P(0,-3)(舍去), 当 m=2 时,x=-3,所以 Q(-3,0),P(2,-3). 综上,存在以点 B,C,Q,P 为顶点的四边形是平行四边形,P 的坐标为 (1+ 7 ,3)或(1- 7 ,3)或(2,-3).
10.已知二次函数 y= 1 x2+5x-10,设自变量的值分别为 x1,x2,x3,且-3<x1<x2<x3, 2
则对应的函数值 y1,y2,y3 的大小关系为 y1<y2<y3 .
根据函数图象确定函数表达式 11.如图,抛物线y=ax2+bx+4经过点A(-3,0),点B在抛物线上,CB∥x轴,且AB平
北师版九年级数学下册作业课件 第二章 二次函数 专题训练(七) 二次函数与几何图形的综合
1 2
x－2＝－2，∴
16a－2＋c＝0， 点A(－4，0)，点C(0，－2)，∴ c＝－2，
解得 a＝14， c＝－2，
∴抛物线的表达
式为y＝14 x2＋12 x－2
(2)显然∠PMC≠90°，∴可分如下两种情况讨论：①当∠MPC＝90°时，PC∥x
轴，∴yP＝yC＝－2，即
1 4
xP2＋
1 2
xP－2＝－2时，解得xP＝－2或0(舍去)，∴此时点
解：(1)根据题意可知抛物线的表达式为 y＝－2 (x＋1)(x－5)，即 y＝－2 x2＋8 x＋10
9
999
(2) ∵y＝－2 x2＋8 x＋10 ＝－2 (x－2)2＋2，∴点 C(2，2)，可设点 P(2，m)，∴
9 99
9
易得直线 BP 的函数表达式为 y＝－13
mx
＋5 3
m.又∵CE⊥PB，∴易得直线 CE 的函数表达
【思路点拨】(2)先设出点D的坐标为(m，am2＋bm＋c)，则可用字母m表示出 点F的坐标，进而可用m表示出线段DF的长，再结合二次函数的性质即可求出线段 DF长度的最大值；(3)根据Rt△DFG中DF与DG的关系可表示出DG的长．
a－b＋c＝0， 16a＋4b＋c＝0
a＝－12， b＝32，
解：(1)根据题意，得 c＝2，
，解得 c＝2， ∴该抛物线的函数表达
式为 y＝－1 x2＋3 x＋2 22
(2)易得直线 BC 的函数表达式为 y＝－1 x＋2，设点 D(m，－1 m2＋3 m＋2)，
2
2
2
0<m<4，则点 F(m，－1 m＋2)，∴DF＝－1 m2＋3 m＋2－(－1 m＋2)＝－1 m2＋
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专训1二次函数图象信息题的四种常见类型 名师点金：
利用图象信息解决二次函数的问题主要是运用数形结合思想将图象信息转换为数学语言，掌握二次函数的图象和性质是解决此类问题的关键．
根据抛物线的特征确定a ，b ，c 及与其有关的代数式的符号
1．【中考·孝感】如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝OC.则下列结论：
①abc ＜0；②b2－4ac 4a ＞0；③ac －b ＋1＝0；④OA·OB ＝－c a
.其中正确结论的个数是( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
(第1题)
(第2题)
利用二次函数的图象比较大小
2．二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象如图所示，若点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在此函数图象上，且x 1<x 2<1，则y 1与y 2的大小关系是( )
A ．y 1≤y 2
B ．y 1＜y 2
C ．y 1≥y 2
D ．y 1＞y 2
利用二次函数的图象求方程的解或不等式的解集
3．【中考·黄石】二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，则当函数值y ＞0时，x 的取值范围是( )
A ．x ＜－1
B ．x ＞3
C ．－1＜x ＜3
D ．x ＜－1或x ＞3
(第3题)
(第4题)
4．【中考·阜新】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)，那么一元二次方程ax2＋bx＝0的根是_______ _____．
根据抛物线的特征确定其他函数的图象
5．【中考·聊城】二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，那么一次函数y＝ax＋b的图象大致是( )
(第5题)
6．如图，A(－1，0)，B(2，－3)两点在一次函数y1＝－x＋m与二次函数y2＝ax2＋bx－3的图象上．
(1)求m的值和二次函数的表达式；
(2)设二次函数的图象交y轴于点C，求△ABC的面积．
(第6题)。