定积分练习题
定积分练习题(打印版)
定积分练习题（打印版）一、基础计算题1. 计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\)。
2. 计算定积分 \(\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx\)。
3. 计算定积分 \(\int_{0}^{2} (3x - 2) dx\)。
二、换元积分题1. 计算定积分 \(\int e^{2x} dx\)，其中上下限为 \(0\) 到 \(\ln 2\)。
2. 计算定积分 \(\int \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} dx\)，其中上下限为 \(0\) 到 \(1\)。
三、分部积分题1. 计算定积分 \(\int x e^x dx\)，上下限为 \(0\) 到 \(1\)。
2. 计算定积分 \(\int \sin x \cos x dx\)，上下限为 \(0\) 到\(\pi\)。
四、几何应用题1. 利用定积分计算圆 \(x^2 + y^2 = 1\) 在第一象限内围成的面积。
2. 利用定积分计算抛物线 \(y = x^2\) 与直线 \(y = 4\) 所围成的面积。
五、物理应用题1. 假设一物体的加速度 \(a(t) = 2t\)，计算从 \(0\) 到 \(1\) 秒内物体的位移。
2. 假设一物体的力 \(F(x) = 3x + 1\)，计算从 \(0\) 到 \(2\) 米内物体所做的功。
六、综合题1. 利用定积分计算函数 \(y = \sqrt{x}\) 与 \(x\) 轴，以及直线\(x = 1\) 所围成的面积。
2. 利用定积分计算函数 \(y = \ln x\) 与 \(x\) 轴，以及直线 \(x = e\) 所围成的面积。
七、挑战题1. 计算定积分 \(\int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x \cos x dx\)。
2. 计算定积分 \(\int_{0}^{1} \frac{\ln x}{x} dx\)。
答案提示：- 对于基础计算题，可以直接应用定积分的基本公式进行计算。
专升本定积分练习题
专升本定积分练习题### 专升本定积分练习题#### 一、基础练习题1. 题目一：计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\)。
- 解答：首先找出原函数，即 \(F(x) = \frac{x^3}{3}\)。
然后计算 \(F(1) - F(0)\) 得到 \(\frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}\)。
2. 题目二：求定积分 \(\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx\)。
- 解答：原函数是 \(F(x) = \ln|x|\)。
计算 \(F(2) - F(1)\) 得到 \(\ln 2 - \ln 1 = \ln 2\)。
3. 题目三：计算定积分 \(\int_{0}^{1} e^x dx\)。
- 解答：原函数为 \(F(x) = e^x\)。
计算 \(F(1) - F(0)\) 得到\(e - 1\)。
#### 二、中等难度练习题4. 题目四：求定积分 \(\int_{0}^{2\pi} \sin(x) dx\)。
- 解答：原函数为 \(F(x) = -\cos(x)\)。
计算 \(F(2\pi) -F(0)\) 得到 \(-1 - (-1) = 0\)。
5. 题目五：计算定积分 \(\int_{0}^{1} (2x + 1) dx\)。
- 解答：原函数为 \(F(x) = x^2 + x\)。
计算 \(F(1) - F(0)\) 得到 \(1 + 1 - 0 = 2\)。
6. 题目六：求定积分 \(\int_{-1}^{1} x^3 dx\)。
- 解答：原函数为 \(F(x) = \frac{x^4}{4}\)。
计算 \(F(1) -F(-1)\) 得到 \(\frac{1}{4} - (-\frac{1}{4}) = \frac{1}{2}\)。
#### 三、高难度练习题7. 题目七：计算定积分 \(\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx\)。
定积分练习题
第九章 定 积 分练 习 题§1定积分概念习 题1．按定积分定义证明：⎰-=ba ab k kdx ).(2．通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集{}i ξ，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分：（1）⎰∑=+=1012233)1(41:;ni n n i dx x 提示 （2）⎰10;dx e x （3）⎰ba x dx e ; （4）2(0).(:bi adxa b xξ<<=⎰提示取§2 牛顿一菜布尼茨公式1．计算下列定积分：（1）⎰+10)32(dx x ； （2）⎰+-102211dx x x ； （3）⎰2ln e e x x dx ；（4）⎰--102dx e e xx ； （5）⎰302tan πxdx （6）⎰+94;)1(dx xx（7）⎰+40;1x dx（8）⎰eedx x x12)(ln 1 2．利用定积分求极限： （1）);21(1334lim n nn +++∞→ （2）;)(1)2(1)1(1222lim⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++∞→n n n n n n （3）);21)2(111(222lim nn n n n +++++∞→ （4）)1sin 2sin (sin 1lim nn n n n n -+++∞→ ππ3．证明：若f 在[a,b]上可积，F 在[a,b]上连续，且除有限个点外有F ＇（x ）=f (x),则有()()().ba f x dx Fb F a =-⎰§3 可积条件1．证明：若T ˊ是T 增加若干个分点后所得的分割，则∑∑∆≤∆'.''T Ti i i i χωχω2．证明：若f 在[a,b]上可积，[][][]上也可积在则ββ,,,,a f b a a ⊂.3.设f ﹑g 均为定义在[a,b]上的有界函数。
证明：若仅在[a,b]中有限个点处()(),χχg f ≠则当f 在[a,b]上可积时，g 在[a,b]上也可积，且()().χχχχd g a bd f a b ⎰⎰=3．设f 在[a,b]上有界，{}[],,b a a n ⊂.lim c ann =∞→证明：在[a,b]上只有() ,2,1=n a n 为其间断点，则f 在[a,b]上可积。
定积分求面积专升本练习题
定积分求面积专升本练习题### 定积分求面积专升本练习题#### 练习题一：计算曲线下的面积设函数 \( f(x) = 2x - x^2 \)，求该函数在区间 \([0, 2]\) 上的面积。
解题步骤：1. 确定积分区间：\([0, 2]\)。
2. 写出积分表达式：\(\int_{0}^{2} (2x - x^2) dx\)。
3. 计算积分：\(\int (2x - x^2) dx = x^2 - \frac{1}{3}x^3 +C\)。
4. 代入积分区间的上下限：\(\left[ x^2 - \frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{2} = (4 - \frac{8}{3}) - (0 - 0) = \frac{4}{3}\)。
5. 得出结果：面积为 \(\frac{4}{3}\) 平方单位。
#### 练习题二：计算曲线与x轴围成的面积设函数 \( g(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \)，求该函数在区间 \([0, 3]\) 上与x轴围成的面积。
解题步骤：1. 确定积分区间：\([0, 3]\)。
2. 写出积分表达式：\(\int_{0}^{3} (x^3 - 3x^2 + 2) dx\)。
3. 计算积分：\(\int (x^3 - 3x^2 + 2) dx = \frac{1}{4}x^4 -x^3 + 2x + C\)。
4. 代入积分区间的上下限：\(\left[ \frac{1}{4}x^4 - x^3 + 2x\right]_{0}^{3} = (20.25 - 27 + 6) - (0 - 0 + 0) = 1.25\)。
5. 得出结果：面积为 \(1.25\) 平方单位。
#### 练习题三：计算曲线与y轴围成的面积设函数 \( h(x) = \sqrt{4 - x^2} \)，求该函数在区间 \([-2, 2]\) 上与y轴围成的面积。
解题步骤：1. 确定积分区间：\([-2, 2]\)。
常用积分练习题
常用积分练习题积分是微积分中重要的概念，它在求取函数面积、曲线长度、物理量等方面有广泛的应用。
为了帮助大家更好地理解和掌握积分运算，以下是一些常见的积分练习题，希望对大家的学习能有所帮助。
【题目一】计算下列定积分：(1) $\int_0^1 (2x^2+3x+1)dx$(2) $\int_1^2 \frac{1}{x}dx$【解答一】(1)$$\int_0^1 (2x^2+3x+1)dx =\left.\frac{2}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2+x\right|_0^1 =\frac{2}{3}+\frac{3}{2}+1 - (0) = \frac{13}{6}$$(2)$$\int_1^2 \frac{1}{x}dx = \left.\ln|x|\right |_1^2 = \ln|2| - \ln|1| = \ln 2$$【题目二】计算下列定积分：(1) $\int_0^{\pi} \sin xdx$(2) $\int_0^{\pi} \cos^2 xdx$【解答二】(1)$$\int_0^{\pi} \sin xdx = \left. -\cos x\right |_0^{\pi} = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 2$$(2)$$\int_0^{\pi} \cos^2 xdx = \left. \frac{1}{2}(x+\sin x\cos x)\right|_0^{\pi} = \frac{1}{2}(\pi+\sin(\pi)\cos(\pi)) - (0+\sin(0)\cos(0)) =\frac{\pi}{2}$$【题目三】利用积分计算长度，计算曲线$y=x^3$在区间$[0, 1]$上的长度。
【解答三】曲线$y=x^3$在区间$[0, 1]$上的长度可以用积分来表示：$$\text{长度} = \int_0^1 \sqrt{1+(f'(x))^2}dx$$其中$f'(x)$表示曲线对应的导数。
定积分练习题
定积分 练习题一、填空题1.由定积分的几何意义可知，定积分⎰-102d 1x x 的值是 .2.由定积分的几何意义知a x -=⎰_ _______.3.由定积分的几何意义知21d x x -=⎰__ ______. 4.由定积分的几何意义知sin d x x ππ-=⎰__ ______.5.一物体以速度23()v t t m s =+做直线运动，则物体在0t =到3t =这段时间内行进的路程为__ ______.6.比较大小，120d x x ⎰ _______130d x x ⎰.（用“≤”、“≥”或“=” 填空）7.比较大小，1x ⎰ ______1x ⎰.（用“≤”、“≥”或“=” 填空） 8.比较大小，20sin d x x π⎰____320sin d x x π⎰.（用“≤”、“≥”或“=” 填空） 9.比较大小，53ln d x x ⎰ _____523(ln )d x x ⎰.（用“≤”、“≥”或“=” 填空）10.120d sin d d x x x =⎰ .11.2dsin d d x x x =⎰ .12.20d sin d d xt t x =⎰ .13.02d sin d d x x x x =⎰ .14.220d sin d d x t t x =⎰ .15.()2de d x t t -=⎰________________________.16.1sin d d x t t t ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰_________________________.17.20d d t t ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰_________________________.18.求极限211e d limln x t x tx→=⎰____________________.19.求极限203sin d limx x t t x→=⎰____________________.20.求极限203arctan d limxx t t x→=⎰.21.若11(2+)d 3ln 2a x x x=+⎰，则a 的值等于____________________.22.若(21)d 4a ax x --=⎰，则a =___________________.23.已知20()d 3f x x =⎰，则2[()+3]d f x x =⎰______________.24.由不等式222x y a +≤所确定区域的面积A = .25.由椭圆22221x y a b+=所围成图形的面积A = .26.由圆y =与直线0y =所围成图形的面积A = . 27.由圆x =0x =所围成图形的面积A = . 28.由曲线y x =，0x =，与直线2y =所围成图形的面积A = . 29.由曲线sin y x =与直线0y =,0,x x π==所围成图形的面积A = . 30.由曲线cos y x =与直线0y =,0,2x x π==所围成图形的面积A = .31.由不等式2214x y ≤+≤所确定区域的面积A = .二、单项选择题1.定积分1212ln d x x x ⎰值的符号为（ ）.（A ）大于零； （B ）小于零； （C ）等于零； （D ）不能确定.2.下列等于1的积分是（ ）.（A ）10d x x ⎰； （B ）10(1)d x x +⎰； （C ）11d x ⎰； （D ）101d 2x ⎰.3.1(+)d x x e e x -=⎰（ ）.（A ）1e e +； （B ）2e ； （C ）2e ； （D ）1e e -.4.220(sin +cos )d 22x xx π=⎰（ ）.（A ）2π； （B ）12π+； （C ）2π-； （D ）0,5.1(2+)d 2x k x =⎰，则k =（ ）.（A ）0； （B ）-1； （C ）1； （D ）2.6.10d x m e x =⎰与11d en x x=⎰的大小关系是（ ）. （A ）m n >； （B ）m n <； （C ）m n =； （D ）无法确定.7.下列式子中，正确的是（ ）.（A ）11230d d x x x x ≤⎰⎰； （B ）22211ln d ln d x x x x ≤⎰⎰；（C ）22211d d x x x x ≤⎰⎰； （D ）11d d xx e x e x -≤⎰⎰.8.已知自由落体运动的速度v gt =，则落体运动从0t =到0t t =所走的路成为（ ）.（A ）203gt ； （B ）20gt ； （C ）202gt ； （D ）206gt .9.积分中值定理()d ()()ba f x x fb a ξ=-⎰，其中（ ）.（A ）ξ是[,]a b 内任一点； （B ）ξ是[,]a b 内必定存在的某一点； （C ）ξ是[,]a b 内唯一的某一点； （D ）ξ是[,]a b 的中点. 10.设()f x 在[,]a b 连续，()()d xa x f t t ϕ=⎰，则（ ）.（A ）()x ϕ是()f x 在[,]a b 上的一个原函数；（B ）()f x 是()x ϕ的一个原函数；（C ）()x ϕ是()f x 在[,]a b 上唯一的原函数； （D ）()f x 是()x ϕ在[,]a b 上唯一的原函数. 11.设()d 0ba f x x =⎰且()f x 在[,]ab 连续，则（ ）.（A ）()0f x ≡；（B ）必存在x 使()0f x =； （C ）存在唯一的一点x 使()0f x =； （D ）不一定存在点x 使()0f x =.12.函数()f x 在[,]a b 上连续是()f x 在[,]a b 上可积的（ ）.（A ）必要条件； （B ）充分条件； （C ）充要条件； （D ）无关条件.13.下列各积分中能够直接应用牛顿—莱布尼茨公式的是（ ）.（A ）311d 2x x-⎰； （B ）30ln d x x ⎰；（C ）04tan d x x π⎰； （D ）22cot d x x ππ-⎰.14.极限0sin d limd xx x t tt t→=⎰⎰（ ）.（A ）-1； （B ）0； （C ）1； （D ）2.15.02sin xd t dt dx =⎰（ ）.（A ）2sin x ； （B ）2sin x -； （C ）22sin x x -； （D ）2sin t -. 16.定积分()()d ba x a xb x --=⎰（ ）.（A ）3()6b a -； （B ）3()6a b -；（C ）3()3b a -； （D ）336b a -.17.设函数()f x 在[,]a a -上的连续，则()d aa f x x -=⎰ （ ）.（A ）02()d af x x ⎰； （B ）0；（C ）0[()()]d a f x f x x +-⎰； （D ）0[()()]d af x f x x --⎰.18.已知()f x 为偶函数且60()d 8f x x =⎰，则66()d f x x -=⎰ （ ）.（A ）0； （B ）4； （C ）8； （D ）16. 19.222d x e x --=⎰（ ）.（A ）4222d u eu --⎰； （B ）22d te t --⎰；（C ）222d x e x -⎰； （D ）222d x e x --⎰. 20.由椭圆22194x y +=所围成图形的面积A =（ ）. (A) 6π； (B) 9π； (C) 12π； (D) 36π.21.由圆y =与直线0y =所围成图形的面积A =（ ）.(A) π； (B) 2π； (C) 3π； (D) 4π.22.由圆x =与直线0x =所围成图形的面积A =（ ）.(A)212a π； (B) 213a π； (C) 214a π； (D) 2a π. 23.由曲线sin y x =与x 轴，直线0x =，2x π=所围成图形的面积A =（ ）.(A)12； (B) 1； (C) 2； (D) 3． 24.由不等式22224a x y a ≤+≤所确定区域的面积A =（ ）.(A) 2a π； (B) 22a π； (C) 23a π； (D) 24a π. 25.设ln 1()()xx F x f t dt =⎰，其中()f x 为连续函数，则()F x '=（ ）.（A ）2111(ln )()f x f x x x +； （B ）1(ln )()f x f x +； （C ）2111(ln )()f x f x x x -； （D ）1(ln )()f x f x -.26.下面命题中错误的是（ ）.（A ）若()f x 在(,)a b 上连续，则()d ba f x x ⎰存在；（B ）若()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上必有界； （C ）若()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上必可积； （D ）若()f x 在[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在[,]a b 上必可积.27.下列积分值为零的是（ ）.（A ）222cos d x x x ππ-⎰； （B ）220cos d x x x π⎰；．（C ）222sin d x x x ππ-⎰； （D ）022cos d x x x π-⎰.28.下列反常积分收敛的是（ ）.（A ）1x +∞⎰； （B ）211d x x +∞⎰； （C ）11d x x+∞⎰； （D ）1d x e x +∞⎰.29.下列反常积分收敛的是（ ）.（A ）ln d e x x x +∞⎰； （B ）1d lne x x x+∞⎰；（C ）21d (ln )ex x x +∞⎰； （D ）e x +∞⎰. 30.1211dx x -=⎰（ ）. （A ）2； （B ）-1； （C ）； （D ）不存在.三、判断题1.定积分的定义()()01lim nbi i a i f x dx f x λξ→==∆∑⎰中要求[,]a b 是任意分割，但i ξ必须是1[,]i i x x -的中点. （ ）2.定积分的几何意义是相对应的各曲边梯形面积之和. （ ）3.220sin 22sin 2xxdx x xdx πππ-=⎰⎰. （ ）4.定积分的值是一个确定的常数. （ ）5.若函数(),()f x g x 在区间[,]a b 上可积，且()()f x g x <，则()()bbaaf x dxg x dx <⎰⎰.（ ）6.若[,][,]c d a b ⊂，则()()d bcaf x dx f x dx <⎰⎰. （ ）7.若函数()f x 在区间[,]a b 上可积，则函数()f x 在区间[,]a b 上有界.（ ）8. 11211112dx x x --=-=-⎰. （ ）9.2200xdx ππ==⎰⎰. （ ）10.若被积函数是连续的奇函数，积分区间关于原点对称，则定积分必等于零.（ ）四、计算题1.10(23)d x x +⎰． 2.2211()d x x x x-+⎰． 3.0(cos )d x x e x π-+⎰．4.x x x d )123(1024⎰-+．5.x a x a x a d ))((0⎰+-．6.x xx d )11(94+⎰．7.x x d 1123⎰--+． 8.3sin()d 3x x πππ+⎰． 9.(sin cos )d x x x π-⎰．10.3(sin sin 2)d x x x π-⎰． 11.x x d )sin 21(0⎰-π． 12.222cos d x x ππ-⎰．13.2(1cos )d πθθ-⎰． 14．π220cosd 2θθ⎰． 15.40sec tan d x x x π⎰．16.⎰+33/121d x x ． 17.⎰-21021d x x ．18.10⎰．19.221d 4x x +⎰． 20.2120d 1x x x +⎰．21.322d x ⎰． 22.x x x d 12134⎰-． 23.4120d 1x x x +⎰．24.212212d (1)x x x x ++． 25.11d (21)ex x x +⎰．26.221d (1)xx x + 27.251(1)d x x -⎰． 28.⎰-324)28(d x x． 29.x x x d 1sin /3/22⎰ππ．30.41x ⎰． 31.120arctan d 1xx x +⎰． 32.1d e x x⎰． 33.ln30 d 1xx e x e +⎰．34.2d x xe x ． 35.⎰+302d 1x x x ． 36.20sin cos d t t t π⎰．37.x x x d sin cos 04⎰π．38.20x π⎰． 39.102d x x e x ⎰．40.51x ⎰．41.41x ⎰． 42.x x xd 191⎰+．43.x xx d 4511⎰--． 44.x x d tan 302⎰π． 45.224cot d x x ππ⎰．五、证明题1．证明下列不等式：x x x x d cos d sin 4040⎰⎰≤ππ． 2．证明下列不等式：x x x x d )1(d e 11⎰⎰+≥．3．证明：当0=x 时，函数t t x I xt d e )(02⎰-=取得最小值.4.求证：1212141≤+≤⎰dx x. 5．证明不等式4/1022e 2d e e 22---≤≤-⎰x xx．6.设()f x 是以l 为周期的连续函数，证明：()d a l af x x +⎰的值与a 无关.7.设n 4 0()tan f n xdx π=⎰（n 为正整数），证明：1(3)(5)4f f +=． 8．若函数)(x f 连续，证明⎰⎰-=aa x x a f x x f 0d )(d )(.9．若函数)(x f 连续，证明⎰⎰=2020d )(cos d )(sin ππx x f x x f10．若函数)(x f 连续，证明⎰⎰+=+x x x x x x/112121d 1d )0(>x .11．若函数)(x f 连续，证明⎰⎰-=-110d )1(d )1(x x x x x x m n n m .12．证明等式0()d [()()]d a aaf x x f x f x x -=-+⎰⎰13．⎰⎰=πππd )(sin 2d )(sin x x f x x xf ．14．设函数)(x f 在闭区间]10[，连续，且1)(<x f ，证明方程-x 21d )(0=⎰x t t f 在开区间)10(，有且仅有一个实根. 15.设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()0f x '≤，1()()d xa F x f t t x a=-⎰，证明在(,)a b 内()0F x '≤. 16.已知()f x 是连续函数，证明：20()d [()(2)]d a af x x f x f a x x =+-⎰⎰．17.设连续函数()f x 是奇函数，证明： 0() d x f t t ⎰是偶函数．18.若()x f ''在[]π,0连续，()20=f ，()1=πf ，证明：()()0sin d 3f x f x x x π''+=⎡⎤⎣⎦⎰．19.设01()0()0xt f t dtx F x xx ⎧>⎪=⎨⎪=⎩⎰，其中()f x 在[)0,+∞上连续，单调递增，且(0)0f ≥，证明：()F x 在[)0,+∞上连续且单调递增。
(完整版)定积分练习题
一、选择题1. 设连续函数f (x )>0，则当a <b 时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的符号( ) A ．一定是正的 B ．一定是负的C ．当0<a <b 时是正的，当a <b <0时是负的D ．以上结论都不对解析： 由⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义及f (x )>0，可知⎠⎛a b f (x )d x 表示x ＝a ，x ＝b ，y ＝0与y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积．∴⎠⎛ab f (x )d x >0.答案：A 2. 若22223,,sin a x dx b x dx c xdx ===⎰⎰⎰，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b解析：a ＝13x 3 |20＝83，b ＝14x 4 |20＝4，c ＝－cos x |20＝1－cos2，∴c <a <b . 答案：D3. 求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案] B[解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .4.11(sin 1)x dx -+⎰的值为( )A. 2B.0C.22cos1+D. 22cos1- 【答案】A 【解析】[][]1111(sin 1)cos (cos11)cos(1)12x dx x x --+=-+=-+----=⎰5. 由曲线22y x x =+与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 （ ）A ．16B ．13C ．56D ．23【答案】 A由22,x x x +=解得两个交点坐标为（-1,0）和（0,0）， 利用微积分的几何含义可得封闭图形的面积为:23201111111((2)()|().32326S x x x dx x x --=-+=--=--=⎰ 二、填空题6. 已知f (x )＝⎠⎛0x(2t －4)d t ，则当x ∈[－1,3]时，f (x )的最小值为________．解析： f (x )＝⎠⎛0x(2t －4)d t ＝(t 2－4t )| x 0＝x 2－4x ＝(x －2)2－4(－1≤x ≤3)，∴当x ＝2时，f (x )min ＝－4.答案： －47. 一物体以v (t )＝t 2－3t ＋8(m/s)的速度运动，在前30 s 内的平均速度为________． 解析：由定积分的物理意义有：s ＝3020(38)t t dt -+⎰＝(13t 3－32t 2＋8t )|300＝7890(m)．∴v ＝s t ＝789030＝263(m/s)．答案：263 m/s 三、解答题8.求下列定积分：(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ；(2)(cos e )d x x x π-⎰＋；(3)⎠⎛49x (1＋x )d x ；(4)⎠⎛0πcos 2x 2d x .解析： (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ＝⎠⎛12x d x －⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛121x d x ＝x 22| 21－x 33| 21＋ln x |21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (2)(cos e )d x x x π-⎰＋＝00cosxd e d x x x ππ--+⎰⎰＝sin x ||0－π＋e x 0－π＝1－1eπ. (3)⎠⎛49x (1＋x )d x ＝⎠⎛49(x 12＋x )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫23x 32＋12x 249＝23×932－23×432＋12×92－12×42＝4516. (4)⎠⎛πcos 2x 2d x ＝⎠⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |0π＋12sin x |0π＝π2.9. 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象如图：直线y ＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274，求f (x )．解：由f (0)＝0得c ＝0， f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 由f ′(0)＝0得b ＝0， ∴f (x )＝x 3＋ax 2＝x 2(x ＋a )，由∫－a 0[－f (x )]d x ＝274得a ＝－3. ∴f (x )＝x 3－3x 2.10.已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2. (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值． 解析： (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ＝2b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－ab ＝0.∴f (x )＝ax 2＋(2－a )．又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01[ax 2＋(2－a )]d x＝⎣⎡⎦⎤13ax 3＋(2－a )x | 10＝2－23a ＝－2， ∴a ＝6，∴c ＝－4. 从而f (x )＝6x 2－4.(2)∵f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]， 所以当x ＝0时，f (x )min ＝－4； 当x ＝±1时，f (x )max ＝2.B 卷：5+2+2一、选择题1. 已知f (x )为偶函数且61(),2f x dx =⎰则66()f x dx -⎰等于( )A ．2B ．4C ．1D ．-1解析：∵f (x )为偶函数，∴661()(),2f x dx f x dx -==⎰⎰∴6660()2() 1.f x dx f x dx -==⎰⎰答案：C2. (改编题)A ． 3 B. 4 C. 3.5 D. 4.5 【答案】C【解析】2220202101102,0()2,()(2)(2)(2)|(2)|2,02232 3.5.2x x x x f x x f x dx x dx x dx x x x x ----≥⎧=-=∴=++-=++-⎨+<⎩=+=⎰⎰⎰3. 已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分的面积为92，则k 等于( )A ．2B ．1C ．3D ．4答案：C解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝kx 消去y 得x 2－kx ＝0，所以x ＝0或x ＝k ，则阴影部分的面积为 ∫k 0(kx －x 2)d x ＝(12kx 2－13x 3) |k 0＝92. 即12k 3－13k 3＝92，解得k ＝3. 4. 一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10 (0≤x ≤2)3x ＋4 (x >2)(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )作的功为( )A ．44B ．46C ．48D ．50解析： W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝10x | 20＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x | 42＝46.答案：B5. 函数()x f 满足()00=f ，其导函数()x f '的图象如下图，则()x f 的图象与x 轴所围成的A ．31 B ．34 C ．2 D ．38 【答案】B【解析】由导函数()x f '的图像可知，函数()x f 为二次函数，且对称轴为1,x =-开口方向向上，设函数2()(0),(0)0,0.()2,f x ax bx c a f c f x ax b '=++>=∴==+因过点（-1,0）与（0,2），则有2(1)0,202,1, 2.a b a b a b ⨯-+=⨯+=∴==2()2f x x x ∴=+， 则()x f 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为232032-22114(2)()|=2)(2).333S x x dx x x -=--=--⨯+-=⎰（- 二、填空题6.（改编题）设20lg ,0(),3,0ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰若((1))1,f f =则a 为 。
定积分练习题
定积分练习题1基础题：一．选择题、填空题 1．下列等于1的积分是（ ）A ．dx x ⎰1B ．dx x ⎰+10)1(C ．dx ⎰101D ．dx ⎰10212．dx x |4|12⎰-=（ ）A ．321B ．322C ．323D ．325 3．曲线]23,0[,cos π∈=x x y 与坐标周围成的面积（ ）A ．4B ．2C ．25D ．3 4．dx e ex x⎰-+1)(=（ ）A ．ee 1+ B ．2e C ．e 2 D ．e e 1-5.若1xm e dx =⎰，11e n dx x =⎰，则m 与n 的大小关系是（ ）A ．m n >B ．m n <C ．m n =D ．无法确定6．由曲线21y x =-和x 轴围成图形的面积等于S ．给出下列结果： ①121(1)x dx --⎰；②121(1)x dx --⎰；③1202(1)x dx -⎰；④0212(1)x dx --⎰．则S 等于（ ）A ．①③B ．③④C ．②③D ．②④7.0(sin cos sin )xy t t t dt =+⎰，则y 的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．72-D ．08. 若()f x 是一次函数，且1()5f x dx =⎰，117()6xf x dx =⎰，那么21()f x dx x⎰的值是 ．9．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠⎰=0,0,)()(2x cx x dt t tf x F x,其中)(x f 在0=x 处连续，且0)0(=f 若)(x F 在 0=x 处连续，则=c （ ）。
(A).0=c ; (B).1=c ; (C).c 不存在； (D).1-=c .10．设⎪⎩⎪⎨⎧π<≤π=其余0x 3x sin )x (f ，则=⎰π02cos )(xdx x f ( ) （A ）43 （B ）43-（C ）1 （D ）－111．⎰202sin πdx x dxd =________ 12. 定积分 dx x x ⎰-π3sin sin 等于_______13. 定积分dx x x ⎰-π3cos cos 等于( )（A ） 0 （B ）23（C ） 34（D ） 34-14. 定积分⎰-2|cos sin |πdx x x 等于( )（A ） 0 （B ） 1 （C ） 12+ （D ） )12(2- 15.定积分dx x x ⎰-2223}1,,max{等于( )（A ） 0 （B ） 4 （C ）316（D ）129716.设,2arcsin )(,)1ln()(202dt tx g dt t x f xx ⎰⎰=+=则当0→x 时,)(x f 是)(x g 的( ) (A) 同阶无穷小,但不等价 (B) 等价无穷小 (C) 低价无穷小 (D) 高价无穷小17. ⎰-=xttdt ex F 0,cos )(则)(x F 在],0[π上有( )(A) )2(πF 为极大值,)0(F 为最小值(B) )2(πF 为极大值,但无最小值(C) )2(πF 为极小值,但无极大值 (D) )2(πF 为最小值,)0(F 为最大值 综合题：11222520022(1)(2)ln(1)(3)(4cos )2x dx x dxx x x x dx x x -+--+--⎰⎰⎰212(8)()[0,2](2)1'(2)0()4''(2)f x f f f x dx x f x dx===⎰⎰已知函数在上二阶可导，且：，及，求：221sin (13)lim()xxx t dt tdt xx→++⎰⎰求极限2330(15)()ln 40:xt dy y y x x e dt y dx-=-++=⎰设隐函数由方程所确定，求2202(1)0(16)(),()00'(0).x t e dt x f x A f x x x A x f ⎧-⎪≠==⎨⎪=⎩⎰设问当为何值时，在点处可导，并求出定积分练习题2一．计算下列定积分的值 （1）⎰--312)4(dx x x ；（2）⎰-215)1(dx x ； （3）dx x x ⎰+20)sin (π；（4）dx x ⎰-222cos ππ；（5）π220cos 2d θθ⎰（6）⎰+10)32(dx x ； （7）⎰+-102211dx x x ； （8）⎰2ln e e x x dx ；（9）⎰--102dx e e x x ； （10）⎰302t a n πx d x （11）⎰+94;)1(dx x x （12）⎰+40;1xdx（13）⎰eedx x x 12)(ln 1 （14）⎰205;2s i n c o s πx d x x （15）⎰20;s i n πx d x e x （16）⎰+202;s i n 1c o s πdx x x （17）⎰-+10;x x e e dx二．求下列极限：（1）⎰→x x dt t x 02;cos 1lim（2）.)(02222lim dte dt e x t xt x ⎰⎰∞→三．证明题1'()(,)(()'())()()xadf x x t f t d t f x f a dx-∞+∞-=-⎰（）设在上连续，证明：。
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定积分练习题一、选择题：1．下列等于1的积分是 （ ）。
A ．dx x ⎰1B ．dx x ⎰+1)1(C ．dx ⎰101 D ．dx ⎰10212．dx x |4|212⎰-=（ ）。
A ．321 B ．322 C ．323D ．3253．已知自由落体运动的速率gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的路程为（ ）。
A ．320gt B ．20gtC ．220gtD ．620gt4．曲线]23,0[,cos π∈=x x y 与坐标周围成的面积（ ）。
A ．4 B ．2C ．25D ．35．dx e e x x ⎰-+1)(=（ ）。
A ．ee 1+B ．2eC ．e2D ．ee 1-6．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ）。
A ．［0，2e ］B ．［0，2］C ．［1，2］D ．［0，1］ 7.如果1N 能拉长1cm,为了将弹簧拉长6cm,所耗费的功为 ( )。
A.0.18 JB.0.26 JC.0.12 JD.0.28 J 8.定积分dx x x ))1(1(12⎰---等于 ( )。
A.42-π B.12-π C. 41-π D. 21-π 9.已知)(x f 为偶函数且8)(6⎰=dx x f ，则⎰-=66)(dx x f （ ）。
A.0B.4C.8D.16 10.⎰⎰==exdx xn dx e m 111与的大小关系是( ) A.m>n B. m< n C.m=n D. 无法确定11.设⎰=⎩⎨⎧∈-∈=202)(,]2,1[,2]1,0[,)(dx x f x x x x x f 则( )。
A.43 B. 54 C. 65D.不存在 12.根据⎰=π200sin xdx 推断,直线x y y x x sin 0,2,0====和正弦曲线π所围成的曲边梯形的面积时,正确结论为 ( )。
A.面积为0B.曲边梯形在x 轴上方的面积大于在x 下方的面积C.曲边梯形在x 轴上方的面积小于在x 下方的面积 B.曲边梯形在x 轴上方的面积等于在x 下方的面积13.如图,曲线23x y -=与直线y=2x 围成图形的面积是 ( )。
A. 32B.2-3C.332 D 335 14.定积分101dx ⎰的值是( )。
A. 0 B. 1 C.21D. 215.计算⎰=+202)2cos 2(sinπdx x x ( )。
A.2πB.12+πC. 2π-D. 0 16.曲线x y =与4,1==x x 所围成图形面积为( ) 。
A.314 B.35 C. 310 D. 316 17、由直线21=x ，x=2，曲线xy 1=及x 轴所围图形的面积是（ ）。
A. 415B. 417 C. 2ln 21 D. 2ln 218、定积分⎰1dx e x和⎰12dx e x 的大小关系是（ ）。
A 、⎰10dx e x＜⎰102dx e x B 、210⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰dx e x=⎰102dx e xC 、⎰1dx e x ＞⎰12dx e x D 、⎰10dx e x =⎰12dx e x二、填空题：第13题1、设函数f (x )=ax 2+c (a ≠0).若1()f x dx ⎰=0()f x ，0≤x 0≤1,则x 0的值为______.2、一物体以速度v=t 2+3t(m/s)做直线运动，则物体在t=0到t=3这段时间行进的路程为 。
3、若⎰+adx xx 1)12(=3+2ln ，则a 的值等于 。
4、若f(x)=x ，则⎰1)(dx x f +⎰21)(dx x f +⎰32)(dx x f +…+⎰10099)(dx x f = 。
三、解答题：1、设y=f(x)是二次函数，方程f(x)=0有两个相等实根，且22)(+='x x f 。
（1）求y=f(x)的表达式；（2）求y=f(x)的图象与两坐标轴所围成的图形面积。
2、已知经过原点的直线l 平分抛物线y=x 2-6x 与x 轴所围封闭区域的面积。
（1）求抛物线y=x 2-6x 与x 轴所围封闭区域的面积S 。
（2）求直线l 的方程。
3、过原点的直线l 与抛物线y=x 2-4x 所围成图形的面积为36，求直线l 的方程。
4、动点P在x轴与直线l：y=3之间的区域（含边界）上运动，且点P到点Ｆ(0,1)和直线l的距离之和为４.（１）求点Ｐ的轨迹Ｃ的方程。
（２）过点Q(0,-1)作曲线Ｃ的切线，求所作的切线与曲线Ｃ所围成的区域的面积。
定积分练习题参考答案一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C D D B A A D A 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 CDCBBADC4、如右图，区域1,2,3的面积相等，所以S=320cos xdx π⎰=3.8.dx x x ))1(1(12⎰---=1201(1)x dx --⎰-1xdx ⎰=1201(1)x dx --⎰-12。
设21(1)y x =--，则22(1)1x y -+=，且0y ≥。
1201(1)x dx --⎰=4π。
dx x x ))1(1(102⎰---=42-π。
13、解232y x y x ⎧=-⎨=⎩得两个交点为P(1,2),Q(-3,-6).如图,S=123[(3)2]x x dx ---⎰=123(32)x x dx ---⎰.原函数()F x =32133x x x --+。
S=332。
二、填空题： 1、33；2、245；3、2；4、5000 3、解：原函数2()ln F x x x =+。
∵⎰+adx xx 1)12(=3+2ln ，∴2(1)ln a a -+=3+2ln 。
∴2a =。
4、⎰1)(dx x f +⎰21)(dx x f +⎰32)(dx x f +…+⎰10099)(dx x f =100()f x dx ⎰=100xdx ⎰=5000.三、解答题：1、（1）解：∵22)(+='x x f ，∴可设2()2f x x x c =++。
∵方程f(x)=0有两个相等实根，∴∆=4-4c=0,c=1. 2()21f x x x =++. （2）S=21(21)x x dx -++⎰。
原函数()F x =3213x x x ++。
S=13。
2、（1）解260y x x y ⎧=-⎨=⎩得120,6x x ==。
Ｓ=62(6)x x dx --⎰=36．（2）直线l ：y kx =，带入26y x x =-得120,6x x k ==+。
18=620(6)k kx x x dx +-+⎰,3(6)186k +=⨯，解得6k =。
∴直线l ：6)y x =。
3、解：设直线l ：y kx =，带入24y x x =-得120,4x x k ==+。
36=420(4)k kx x x dx +-+⎰，2341(4)(4)23k k k ++-+=36.解得2k =。
∴直线l 的方程为：2y x =。
4、解：（1）设(,)P x y (3)4y -=。
化简得214y x =（x -≤≤）。
（2）如图，设切点为R,S 。
QS ：1y kx =-。
带入214y x =得 2440x kx -+=。
216160k ∆=-=。
解得1k =±。
QS ：1y x =-，QR ：1y x =--。
S （2,1）。
面积S=22201(1)4x x dx -+⎰=43。