圆锥曲线方程
圆锥曲线公式大全
圆锥曲线知识考点一、直线与方程1、倾斜角与斜率：1212180＜α≤0(tan x x y y --==）α2、直线方程：⑴点斜式：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k ： ()00x x k y y -=- ⑵斜截式：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b ：b kx y += ⑶两点式：已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠：121121y y y y x x x x --=-- ⑷截距式：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ： 1x y a b += ⑸一般式：0=++C By Ax （A 、B 不同时为0， 斜率BAk -=，y 轴截距为B C -）(6)k 不存在⇔a x b a x o=⇔⇔=）的直线方程为过（轴垂直,90α3、直线之间的关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+=⑴平行：{⇔⇔≠=21212121//b b k k k k l l 且都不存在，212121C C B B A A ≠=⑵垂直：{⇔⇔⊥-=⇔-==21212111.021k k k k k k l l 不存在，02121=+B B A A⑶平行系方程：与直线0=++C By Ax 平行的方程设为：0=++m By Ax ⑷垂直系方程：与直线0=++C By Ax 垂直的方程设为：0=++n Ay Bx⑸定点(交点)系方程：过两条直线:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 的交点的方程设为：0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ反之直线0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ中，λ取任何一切实数R ，则直线一定过定点),(0yx ，即:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 两条直线的交点),(0y x4、距离公式： （1）两点间距离公式：两点),(),,(222211y x P x x P ：()()21221221y y x x P P -+-=（2）点到直线距离公式:点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为2200BA CBy Ax d +++=（3）两平行线间的距离公式：1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 平行，则2221BA C C d +-=二、圆与方程 1、圆的方程：⑴标准方程：()()222r b y a x =-+- 其中圆心为(,)a b ，半径为r .⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x (0422>-+F E D)其中圆心为(,)22D E --，半径为22142r D E F =+-.2、直线与圆的位置关系 点),(0y x 和圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种：222222222)()()(rb y a x r b y a x rb y a x >-+-⇔=-+-⇔<-+-⇔）（点在圆外）（点在圆上）（点在圆内直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .切线方程：（1）当点),(00y x P 在圆222r y x =+上⇔200r y y x x =+圆222)()(r b y a x =-+-⇔200))(())((r b y b y a x a x =--+--（2）当点),(00y x P 在圆222r y x =+外，则设直线方程()00x x k y y -=-，并利用d=r求出斜率，即可求出直线方程【备注：切线方程一定是两条，考虑特殊直线k 不存在】 ④弦长公式：222||d r AB -=2212121()4k x x x x =+--3、两圆位置关系：21O O d =⑴外离：r R d +> ⇔有4条公切线 ⑵外切：r R d += ⇔有3条公切线 ⑶相交：r R d r R +<<- ⇔有2条公切线 ⑷内切：r R d -= ⇔有1条公切线 ⑸内含：r R d -< ⇔有0条公切线三、圆锥曲线与方程1．椭圆 焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b+=>> 第一定义到两定点21F F 、的距离之和等于常数2a ， 即21||||2MF MF a +=（212||a F F >）第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ，即(01)MFe e d=<< 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A()1,0b B -、()2,0b B2．双曲线轴长 长轴的长2a = 短轴的长2b = 对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距222122()F F c c a b ==- 离心率22222221(01)c c a b b e e a a a a-====-<<准线方程 2a x c=±2a y c=±焦半径0,0()M x y左焦半径：10MF a ex =+ 右焦半径：20MF a ex =-下焦半径：10MF a ey =+ 上焦半径：20MF a ey =-焦点三角形面积12212tan()2MF F S b F MF θθ∆==∠021s 21y c in PF PF •=••=θ 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径： ab 22焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210,0x y a b a b -=>> ()222210,0y x a b a b -=>> 第一定义到两定点21F F 、的距离之差的绝对值等于常数2a ， 即21||||2MF MF a -=（2102||a F F <<）第二定义与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ，即(1)MFe e d=>【备注】1、双曲线和其渐近线得关系：由双曲线求渐进线：x a by a x b y a x b y b y a x b y a x ±=⇒±=⇒=⇒=-⇒=-22222222222201由渐进线求双曲线：λ=-⇒=-⇒=⇒±=⇒±=2222222222220by a x b y a x a x b y a x b y x a b y2．等轴双曲线⇔实轴和虚轴等长的双曲线⇔其离心率e ＝2⇔渐近线x ±=y⇔方程设为λ=-22y x2、求弦长的方法： ①求交点，利用两点间距离公式求弦长；②弦长公式3.抛物线图形） （消 ） （消x y y y y ky y k y x x x x k x x k l ]4))[(11(||11]4))[(1(1212212212212212212-++=-+=-++=-+=五、.直线与圆锥曲线的关系 1、直线与圆锥曲线的关系如：直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2+y 2b2＝1 (a >b >0)的位置关系：直线与椭圆相交⇔⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x 2a 2＋y2b 2＝1⇔有2组实数解，即Δ>0.直线与椭圆相切⇔⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x 2a 2＋y2b 2＝1⇔有1组实数解，即Δ=0，直线与椭圆相离⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y2b2＝1⇔没有实数解，即Δ<【备注】（1）韦达定理（根与系数的关系）{AB x AC x C By Ax x -=+=⇔=++2121x .x 210x 的两根方程和则有21221214)(||xx x x x x -+=-（2）{b kx y bkx y +=+=1122则有下列结论b x x k y y ++=+)(2121)(2121x x k y y -=-22121221)(bx x k x x k y y +++=③、与弦的中点有关的问题常用“点差法”：把弦的两端点坐标代入圆锥曲线方程，作差→弦的斜率与中点的关系；0202y a x b k -=（椭圆） 0202y a x b k =（双曲线）3、关于抛物线焦点弦的几个结论（了解）设AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦，1122(,)(,)A x y B x y 、，直线AB 的倾斜角为θ，则⑴ 221212,;4p x x y y p ==- ⑵ 22;sin p AB θ=⑶ 以AB 为直径的圆与准线相切； ⑷ 焦点F 对A B 、在准线上射影的张角为2π；⑸ 112.||||FA FB P+=。
圆锥曲线公式大全
圆锥曲线知识考点一、直线与方程1、倾斜角与斜率：1212180＜α≤0(tan x x y y --==）α2、直线方程：⑴点斜式：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k ： ()00x x k y y -=- ⑵斜截式：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b ：b kx y += ⑶两点式：已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠：121121y y y y x x x x --=-- ⑷截距式：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ： 1x y a b += ⑸一般式：0=++C By Ax （A 、B 不同时为0， 斜率BAk -=，y 轴截距为B C -）(6)k 不存在⇔a x b a x o=⇔⇔=）的直线方程为过（轴垂直,90α3、直线之间的关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+=⑴平行：{⇔⇔≠=21212121//b b k k k k l l 且都不存在，212121C C B B A A ≠=⑵垂直：{⇔⇔⊥-=⇔-==21212111.021k k k k k k l l 不存在，02121=+B B A A⑶平行系方程：与直线0=++C By Ax 平行的方程设为：0=++m By Ax ⑷垂直系方程：与直线0=++C By Ax 垂直的方程设为：0=++n Ay Bx⑸定点(交点)系方程：过两条直线:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 的交点的方程设为：0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ反之直线0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ中，λ取任何一切实数R ，则直线一定过定点),(0yx ，即:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 两条直线的交点),(0y x4、距离公式： （1）两点间距离公式：两点),(),,(222211y x P x x P ：()()21221221y y x x P P -+-=（2）点到直线距离公式:点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为2200BA CBy Ax d +++=（3）两平行线间的距离公式：1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 平行，则2221BA C C d +-=二、圆与方程 1、圆的方程：⑴标准方程：()()222r b y a x =-+- 其中圆心为(,)a b ，半径为r .⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x (0422>-+F E D)其中圆心为(,)22D E --，半径为22142r D E F =+-.2、直线与圆的位置关系 点),(0y x 和圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种：222222222)()()(rb y a x r b y a x rb y a x >-+-⇔=-+-⇔<-+-⇔）（点在圆外）（点在圆上）（点在圆内直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .切线方程：（1）当点),(00y x P 在圆222r y x =+上⇔200r y y x x =+圆222)()(r b y a x =-+-⇔200))(())((r b y b y a x a x =--+--（2）当点),(00y x P 在圆222r y x =+外，则设直线方程()00x x k y y -=-，并利用d=r求出斜率，即可求出直线方程【备注：切线方程一定是两条，考虑特殊直线k 不存在】 ④弦长公式：222||d r AB -=2212121()4k x x x x =+--3、两圆位置关系：21O O d =⑴外离：r R d +> ⇔有4条公切线 ⑵外切：r R d += ⇔有3条公切线 ⑶相交：r R d r R +<<- ⇔有2条公切线 ⑷内切：r R d -= ⇔有1条公切线 ⑸内含：r R d -< ⇔有0条公切线三、圆锥曲线与方程1．椭圆 焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b+=>> 第一定义到两定点21F F 、的距离之和等于常数2a ， 即21||||2MF MF a +=（212||a F F >）第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ，即(01)MFe e d=<< 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A()1,0b B -、()2,0b B【备注】1、双曲线和其渐近线得关系：由双曲线求渐进线：x a by a x b y ax b y b y a x b y a x ±=⇒±=⇒=⇒=-⇒=-22222222222201由渐进线求双曲线：λ=-⇒=-⇒=⇒±=⇒±=2222222222220by a x b y a x a x b y a x b y x a b y2．等轴双曲线⇔实轴和虚轴等长的双曲线⇔其离心率e ＝2⇔渐近线x ±=y⇔方程设为λ=-22y x2、求弦长的方法： ①求交点，利用两点间距离公式求弦长； ②弦长公式） （消 ） （消x y y y y ky y k y x x x x k x x k l ]4))[(11(||11]4))[(1(1212212212212212212-++=-+=-++=-+=五、.直线与圆锥曲线的关系图形标准方程22y px =()0p >22y px =- ()0p >22x py = ()0p >22x py =-()0p >开口方向向右向左向上向下定义与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线l 上)顶点 ()0,0离心率 1e =对称轴 x 轴y 轴范围0x ≥0x ≤0y ≥ 0y ≤ 焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭准线方程 2px =-2p x =2p y =-2p y =焦半径0,0()M x y 02p MF x =+02p MF x =-+02p MF y =+02p MF y =-+通径 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2HH p '=焦点弦长 公式 12AB x x p =++参数p几何意义参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔1、直线与圆锥曲线的关系如：直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2+y 2b 2＝1 (a >b >0)的位置关系： 直线与椭圆相交⇔⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1⇔有2解，即Δ>0.直线与椭圆相切⇔⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1⇔有1组实数解，即Δ=0，直线与椭圆相离⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1⇔没有实数解，即Δ<【备注】（1）韦达定理（根与系数的关系）{AB x AC x C By Ax x -=+=⇔=++2121x .x 210x 的两根方程和则有21221214)(||xx x x x x -+=-（2）{b kx y bkx y +=+=1122则有下列结论b x x k y y ++=+)(2121)(2121x x k y y -=-22121221)(bx x k x x k y y +++=③、与弦的中点有关的问题常用“点差法”：把弦的两端点坐标代入圆锥曲线方程，作差→弦的斜率与中点的关系；0202y a x b k -=（椭圆） 0202y a x b k =（双曲线）3、关于抛物线焦点弦的几个结论（了解）设AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦，1122(,)(,)A x y B x y 、，直线AB 的倾斜角为θ，则⑴ 221212,;4p x x y y p ==- ⑵ 22;sin p AB θ=⑶ 以AB 为直径的圆与准线相切； ⑷ 焦点F 对A B 、在准线上射影的张角为2π；⑸ 112.||||FA FB P+=。
圆锥曲线全部公式及概念
1. 椭圆l τ + ∑- = i(a>b>O)的参数方程是V Cr Zr 2,2»2准线到中心的距离为L ,焦点到对应准线的距离(焦准距)p =—・通径的一半(焦参数)：丄.C Ca2 22. 椭圆∆τ + l τ = l(rt >∕7>θ)焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积： Cr Zr| PF l | = e(x + —) = a+ ex , ∖PF 21 = e(-— X) = U-ex ↑ S 斗严；=b 2 tan '丫 F22 223.椭圆的的内外部：(1)点PesyO)在椭圆丄v + L = l(α>b>0)的内部O⅛- + ⅛<l. Cr 泸Cr b'2 2 2 2(2)点 P(X o o to)在椭圆上τ +丄r = l(α>b>O)的外部 <≠>⅛ + ⅛>ι.Cr Zr Cr Zr的距离(焦准距)P = — •通径的一半(焦参数)：— C a5. 双曲线的内外部：(1)点P(X o o tO)在双曲线=Cr Ir/2 2 2 2 ⑵点P(X (P y 0)在双曲线一一二~ = l(α > 0,b > 0)的外部o —⅛■-汙V1・Cr IrCr Zr6. 双曲线的方程与渐近线方程的关系：(1)若双曲线方程为二一二=1二>渐近线方程：Δ1-22 = O^> y = ±-χ・α~ Ir Cr 少a-> 2A χ∙ V r β,V*⑵若渐近线方程为y = ±-x<=>-±- = O=>¾曲线可设为r — — = λ・ a a b Cr Zr2 22 2⑶若双曲线与亠一亠=1有公共渐近线，可设为=T 一亠=λCr XCr Ir(λ>0,焦点在X 轴上；九<0,焦点在y 轴上)・ (4)焦点到渐近线的距离总是b ∙7. 抛物线y 2= 2px 的焦半径公式：拋物线y 2=2px(p>0)焦半径ICFI = X O + -^・ 过焦点弦长IcQl = “+上+心+ £ = “+“ + 〃 . 2 2 28. 拋物线y 2 = IPX JL 的动点可设为P(±-,儿)或P(2∕"[2p∕) P(x , V ),其中y 2= 2PX ・2 P '•、 b A ,ac — b~9. 二次函数y = ax 1 +bx + c = a(x + —)2+ ------------- (a ≠ 0)的图象是抛物线：(1 )顶点坐标为Ia 4aZb 4“C — b~ z. .. ... I . . h ^CIC — /?" +1、 Z -S Λ /V ∙ z t , CT^CIC — b~ — 1 ,—:——)：(2)焦点的坐标为,——； ---------------- ):(3)准线万程是y = IABl = 5J(1+^2)(X 2 "ΛI )2 =I 比 _兀21 Vl +tan 2 a =I y l _y 21 √l + c^t 2ay = kx + b . .α(弦端点ACv 1,y 1X B(X^y 2),由方程<消去y 得到αL +bx + c = O 9 Δ>0, α为直线AB 的圆锥曲线X = Cl COS θ 亠 亠 C• 离心率£ =—= y = bs ∖nθ aV»*■ C 4. 双曲线亠一 — = 1(« > 0.Z? > 0)的离心^e =— a ∕Γa • 2ι2 「，准线到中心的距离为∙，焦点到对应准线 焦半径公式\PF }\ =I e(x + —) I=I a + <?xI, ∖PF 2∖ =I e(-^x) I=I a-ex ∖9 C 两焦半径与焦距构成三角形的面积S λj.ιp l .y = b 2 COt 'F'] F .2 22L = l(">0d>0)的内部 o ⅛-4>l. • - Cr Zr2a 4a2a 4a" 4a10. 以抛物线上的点为圆心，焦半径为半径的圆必与准线相切：以拋物线焦点弦为直径的圆，必与准线相切; 以抛物线的焦半径为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切・11. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：IABI = √(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2或F(x,y) = O倾斜角，&为直线的斜率，I召I= J(XI +心)‘ _4召心・12.圆锥曲线的两类对称问题：(1)曲线F(X,y) = O关于点P(X o,儿)成中心对称的曲线是F(2x0-x t2y0 -y)=0.(2)曲线F(X,y) = 0关于直线Av + Bv + C = O成轴对称的曲线是—2A(Ar + By+ C) 2B(Ax + By + C)x CFa ------ —R——、y --------- -V———)=0・√Γ+歹A" + B'特别地，曲线F(X9 y) = 0关于原点O成中心对称的曲线是F(-x,-y) = 0・曲线F(X9 y) = 0关于直线X轴对称的曲线是F(X^y) = 0.曲线F(X9 y) = 0关于直线y轴对称的曲线是F(-x, y) = 0・曲线F(X9 y) = 0关于直线y = x轴对称的曲线是F{y.x) = 0.曲线F(X,y) = 0关于直线y = -x轴对称的曲线是F(-y,-x) = 0・13 •圆锥曲线的第二定艾：动点M到定点F的距离与到定直线/的距离之比为常数£,若0 VfVl, M的轨迹为椭圆；若e = ∖9 M的轨迹为抛物线；若e>∖9 M的轨迹为双曲线.注意：J还记得圆锥曲线的两种定义吗解有关题是否会联想到这两个定狡2、还记得圆锥曲线方程中的：2(1)在椭圆中：α是长半轴，〃是短半轴，C是半焦距，其中b2 =a2-C29 f = (Ovwvl)是离心率，—a C• 2. 2是准心距，-L是准焦距，-L是半通径.C a2(2)在双曲线中："是实半轴，b是虚半轴，C是半焦距，其中b2 =c2-a29 e = -∖e>l)是离心率，L是a C准心距，伫是准焦距，冬是半通径.C a(3)在抛物线中：0是准焦距，也是半通径.3、在利用圆锥曲线统一定狡解题吋，你是否注意到定艾中的定比的分子分母的顺序(到定点的距离比到定直线的距离)4、离心率的大小与曲线的形状有何关系(圆扁程度，张口大小)等轴双曲线的离心率是多少(0 = √Σ)5、在用圖锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零判别式A 2 0的限制. (求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在Δ >0下进行).注意：尤其在求双曲线与直线的交点时：当A>0时：直线与双曲线有两个交点(包括直线与双曲线一支交于两点和直线与双曲线两支各交于一点两种情况)：当A = O时，直线与双曲线有且只有一个交点(此时称指向与双曲线相切)，反之，当直线与双曲线只有一个交点时，直线与双曲线不一定相切，此时直线与双曲线的一条渐近线平行，当AvO时，直线与双曲线没有交点.6、椭圆中，注意焦点.中心.短轴端点所组成的直角三角形•此时Cr =b2+c2・7、通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.(想一想在双曲线中的结论)8、你知道椭圆、双曲线标准方程中aj∖c之间关系的差异吗9、如果直线与双曲线的渐近线平行吋，直线与双曲线相交，只有一个交点；如果直线与拋扬线的轴平行时，直线与抛物线相交，只有一个交点•此时两个方程联立，消元后为方程变为一次方程.椭圆练习1・过椭圆二+二=1 (a>b>O)的左焦点F I任做一条不与长轴重合的弦AB, F2为椭圆的右焦点，則AABA的周长是/ b^( )(A)2a (B)4a (C)2b (D) 4b2•设a,beR.a2+2b2 =6,则α + b 的最小值是( )(A) - 2√2 (B)-垃(0-3 (D)-2323. 椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点，是一个含60°角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为( )(A)丄 (B)遇 (C)遇 (D)丄或遇2 23 2 24. 设常数m>0,椭圆x 2+m 2y 2=m 2的长轴是短轴的两倍，則m 的值等于( )(A) 2(B) √2(C) 2 或丄 (D) √Σ 或空2 22 25. 过椭圆二+ L = l(°>b> 0)的左焦点片作X 轴的垂线交椭圆于点P,化为右焦点，若ZF i PF. = 60 ,则Cr "椭圆的离心率为()(A)^⑻迟 (C)I(D)I23236. 如果椭圆的两个焦点将长轴分成三等份，那么这个椭圆的两条准线间的距离是焦距的() (A) 18 倍 (B) 12 倍 (C) 9 倍 (D) 4 倍7. 当关于X, y 的方程X 2Sin^ -y 2COSCr=I 表示的曲线为椭圆时，方程(x+cos α)'+(y+ Sinaf)Jl 所表示的圆的國心在()(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限8. 已知椭圆的焦点为F b F 2,P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 卩到Q,使得I PQ I=I PF 2I,那么动点Q 的轨迹是( )(A)圆 (B)椭圆 (C)直线 (D)其它9. 已知椭圆—÷-= 1与圆(χ-a)⅛Λ=9有公共点，则a 的取值范围是()9 4 (A)-6<a<6(B)0<a≤5(C)a 2<25(D) ∣a∣≤610•设椭圆的两个焦点分别为F-、F 2,过F?作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若AFPFz 为等腰直角三角形，则椭 圆的离心率是()(A)YZ(B)幺二！ (C) 2-√2(D) √2-l2 2SS11. 在椭圆—÷γ-≈ 1上取三点，其横坐标满足X I +×3=2X 2,三点依次与某一焦点连结的线段长为r b r 2, r 3,则有 α∙ b・I I 7()(A) r b r 2, r 3成等差数列 (B)丄+丄=二 (C) r b r 2,r 3^等比数列 (C)以上都不对 12•已知椭圆C ι- + y 2= 1的右焦点为F,右准线为/,点Ae/ ,线段4F 交C 于点B,若FA = 3FB, »■]2伍若椭圆之+「I 的离心率是、则W*16 •椭圆X 2COs 2 α +y 2=1 (0< a <ΛR, a≠ y )的半长轴= ------- ,半短轴= -------- ,半焦距= -------- ,离心率= ----------------- = --------- ,則该椭圆的离心率的取值范围为 ____________________ ・(A) (0.1)(B) (0.1)(0(0,#)(D)哼,1)13.已知片、耳是椭國的两个焦点，满足・"庁=0的点M 总在椭圆内部•则椭圆离心率的取值范围是()14. 一个椭圆中心在原点，焦点斤、C 在X 轴上，P (2, √J)是椭圆上一点，且1卩斤1、1斥巴I 、IP 耳I 成等差数列，則椭圆方程为()(A) ⅞4- ⑻护汀<C) ⅜÷⅞ = ∙ I 丽二()(A) √2 (B) 2 (C)^(D) 317.已知椭圆⅛4= ↑(a>b>O)的左、 右焦点分别为斤(一c,0),耳(c,0), 若椭圆上存在一点P 使Sin PI71F2 Sin PF l F X是椭圆二+ 2_ = i上的一A,F I,F2是椭圆的焦点，且ZF I MF2=9O o,则ZkFNF?的面积等于9 419•与圆(x+1)2+y2=1相外切，且与IS(X-I)2÷y2=9相内切的动圆圆心的轨迹方程是X = 4COSa , …Ir20•设椭圆( L (□为参数)上一点P与X轴正向所成角ZPOx=-, 点P的坐标是y = 2√3 Sin a 321.在平面直角坐标系.9y中，椭E)4÷4 = 1G∕>∕7>O)的焦距为2c,以0为圆心，为半径作圆M ,若过P(Qe) Cr Iy C作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为 _________________22•已知直线/ : y=mx+b,椭圆C: (A ^.I)÷y2=1,若对任意实数叫/与C总有公共点，則a, b应满足的条件“是 _________ •23•椭圆F=4cos0 (。
圆锥曲线的方程与性质
圆锥曲线的方程与性质圆锥曲线是数学中研究的重要内容之一，它是由一个固定点（焦点）和到这个点的固定距离之比保持不变的点（动点）所生成的曲线。
根据固定点与动点之间的位置关系，圆锥曲线可分为椭圆、双曲线和抛物线三类。
本文将介绍圆锥曲线的方程与性质。
一、椭圆椭圆是圆锥曲线中最基本的一种形式，它具有以下方程：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$其中，a和b分别代表椭圆的长半轴和短半轴。
椭圆具有以下性质：1. 椭圆是一个对称图形，其对称轴是x轴和y轴。
2. 椭圆的中心位于原点(0,0)。
3. 椭圆的焦点位于x轴上，距离中心的距离为c，满足$c^2 = a^2 -b^2$。
4. 椭圆上任意一点到焦点和到直线半长轴的距离之和是一个常数，满足Kepler定律。
二、双曲线双曲线是另一种常见的圆锥曲线，它具有以下方程：$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$其中，a和b分别代表双曲线的长半轴和短半轴。
双曲线具有以下性质：1. 双曲线是一个对称图形，其对称轴是x轴和y轴。
2. 双曲线的中心位于原点(0,0)。
3. 双曲线的焦点位于x轴上，距离中心的距离为c，满足$c^2 = a^2 + b^2$。
4. 双曲线上任意一点到焦点和到直线半长轴的距离之差是一个常数。
三、抛物线抛物线是圆锥曲线中最特殊的一种形式，它具有以下方程：$$y^2 = 4ax$$其中，a代表抛物线的焦点到抛物线的距离。
抛物线具有以下性质：1. 抛物线是一个对称图形，其对称轴是y轴。
2. 抛物线的焦点位于焦点到抛物线的距离上方的点(a, 0)。
3. 抛物线的开口方向由系数a的正负决定，当a>0时开口向右，当a<0时开口向左。
4. 抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到直线准线的距离。
总结圆锥曲线是一类重要的数学曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
它们都具有特殊的方程和性质，通过研究这些方程和性质，可以更加深入地理解曲线的形态和特性。
圆锥曲线公式及知识点总结
圆锥曲线公式及知识点总结圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的商是常数e的点的轨迹。
数学里有很多公式，为了帮助大家更好的学习数学，小编特地为大家整理了圆锥曲线公式及知识点总结，希望对大家的数学学习有帮助。
圆锥曲线公式：椭圆1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：其中x²/a²+y²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：y²/a²+x²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²参数方程：x=acosθ;y=bsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)圆锥曲线公式：双曲线1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：x²/a-y²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：y²/a²-x²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².参数方程：x=asecθ;y=btanθ(θ为参数)圆锥曲线公式：抛物线参数方程:x=2pt²；y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特别地，t可等于0直角坐标:y=ax²+bx+c(开口方向为y轴，a≠0)x=ay²+by+c(开口方向为x轴，a≠0)离心率椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
且当01时为双曲线。
圆锥曲线公式知识点总结圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)y²=2px(p>0)范围x∈[-a,a]x∈(-∞，-a]∪[a,+∞)x∈[0,+∞)y∈[-b,b]y∈Ry∈R对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)焦点(c,0),(-c,0)(c,0),(-c,0) (p/2,0)【其中c²=a²-b²】【其中c²=a²+b²】准线x=±a²/cx=±a²/cx=-p/2渐近线——————y=±(b/a)x—————离心率。
利用圆锥曲线的参数方程解题
利用圆锥曲线的参数方程解题圆锥曲线是数学中常见的曲线类型，它可以通过参数方程来进行描述和求解。
利用圆锥曲线的参数方程，我们可以解决各种与这类曲线相关的问题。
本文将介绍圆锥曲线的参数方程及其解题方法。
一、圆锥曲线的参数方程圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
它们的参数方程可以分别表示如下：1. 椭圆的参数方程设椭圆的长半轴为a，短半轴为b，则椭圆的参数方程为：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中，t为参数，范围为[0, 2π)。
2. 双曲线的参数方程双曲线有两种类型：横双曲线和纵双曲线。
它们的参数方程分别为：横双曲线：x = a * sec(t)y = b * tan(t)纵双曲线：x = a * tan(t)y = b * sec(t)其中，t为参数，范围为(-∞, +∞)。
3. 抛物线的参数方程设抛物线的焦点为F，准线为l，焦点到准线的距离为p，则抛物线的参数方程为：x = 2 * p * ty = p * t^2其中，t为参数，范围为(-∞, +∞)。
二、利用圆锥曲线的参数方程解题方法利用圆锥曲线的参数方程解题时，一般需要根据题目给出的条件来确定参数的具体取值范围，并通过参数方程的形式将曲线转化为参数的函数。
然后，可以利用参数方程进行曲线的绘图、求解焦点、顶点、直线与曲线的交点等问题。
下面以一个具体的例子来说明如何利用圆锥曲线的参数方程解题。
例题：已知椭圆的长半轴为2，短半轴为1，求椭圆上与直线y=x+1相交的点的坐标。
解：根据椭圆的参数方程可知：x = 2 * cos(t)y = sin(t)将直线方程代入参数方程中，得：sin(t) = 2 * cos(t) + 1经过一系列的化简与变形，可求得参数t的解。
然后，将参数t的解代入参数方程，即可求得与直线相交的点的坐标。
三、实例分析通过以上的介绍，我们可以看到，利用圆锥曲线的参数方程解题需要对参数方程进行化简、求解方程等操作。
圆锥曲线方程知识点总结
圆锥曲线方程知识点总结一、圆锥曲线的基本方程椭圆的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > b > 0)$$其中椭圆的长轴为$2a$，短轴为$2b$，焦距为$\sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$c/a$。
双曲线的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > 0, b > 0)$$其中双曲线的两个分支的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$。
抛物线的标准方程如下：$$x^2 = 4ay. (a > 0)$$其中抛物线的焦点为$(0, a)$，顶点为$(0, 0)$。
二、圆锥曲线的参数方程圆锥曲线还可以用参数方程表示。
以椭圆为例，其参数方程为：$$\begin{cases}x = a \cos \theta, \\y = b \sin \theta. \\\end{cases}$$其中$\theta$的取值范围为$[0, 2\pi]$。
双曲线和抛物线的参数方程也可以类似地表示。
三、圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线还可以用极坐标方程表示。
以椭圆为例，其极坐标方程为：$$r = \frac{ab}{\sqrt{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}}.$$其中$r$为极径，$\theta$为极角。
双曲线和抛物线的极坐标方程也可以类似地表示。
四、圆锥曲线的性质1. 圆锥曲线关于坐标轴的对称性：- 椭圆关于$x$轴和$y$轴都对称；- 双曲线关于$x$轴和$y$轴都对称；- 抛物线关于$y$轴对称。
2. 圆锥曲线的焦点、直径、离心率等：- 椭圆的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 双曲线的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 抛物线的焦点到中心的距离为$c = a$，离心率为$e = 1$。
圆锥曲线 公式
圆锥曲线公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：圆锥曲线是解析几何中的重要概念，它是平面上一类特殊曲线的总称，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
在数学中，圆锥曲线的研究具有深远意义，它们在解决各种实际问题中发挥着重要作用。
本文将详细介绍圆锥曲线的公式及其性质，帮助读者更好地理解这些曲线在数学中的应用。
首先我们来看圆的公式。
圆是一种特殊的圆锥曲线，它被定义为平面上所有到某一点（圆心）距离相等的点的集合。
圆的标准方程为：(x-a)² + (y-b)² = r²其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。
这个方程描述了平面上所有满足条件的点，构成了一个圆。
圆的性质包括与坐标轴的交点、圆心、半径等，这些性质在几何中有着重要的应用。
其中a和b分别为x轴和y轴上的半轴长。
椭圆在坐标轴上的形状、焦点位置等，都可以由这个方程来描述。
双曲线是另一种圆锥曲线，它由满足到两个定点（焦点）的距离之差为常数的点的集合构成。
双曲线的标准方程为：第二篇示例：圆锥曲线是数学中重要的曲线之一，它包括抛物线、椭圆、双曲线和圆。
在二维平面几何中，这些曲线可以用一般形式的方程表示。
本文将讨论圆锥曲线的公式和性质。
1. 抛物线的方程抛物线是一种平面曲线，其形状呈现对称性，并且可以看作是一个点到一条固定直线的距离等于一个常数的轨迹。
一般来说，抛物线的方程可以表示为：y=ax^2+bx+c其中a、b和c为常数，且a不为0。
这种形式的抛物线称为标准形式的抛物线方程。
抛物线的开口方向取决于系数a的正负性。
2. 椭圆的方程椭圆是另一种常见的圆锥曲线，它与抛物线不同的是，椭圆是一个点到两个固定点（焦点）的距离之和等于一个常数的轨迹。
椭圆的方程可以表示为：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1其中a和b为正常数，且a和b之间的大小关系可以决定椭圆的长短轴方向。
3. 双曲线的方程双曲线也是圆锥曲线的一种类型，它的形状类似两条平行的直线。
专题六 第2讲 圆锥曲线的方程与性质
易错提醒
求圆锥曲线的标准方程时的常见错误 双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参 数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线 中的关系式为c2＝a2＋b2；圆锥曲线方程确定时还要注意 焦点位置.
跟踪演练1 (1)已知双曲线的渐近线方程为 y＝± 22x，实轴长为 4，则该双曲 线的方程为
cos∠AF1B＝|AF1|22＋|AF|B1F|·|1B|2F－1||AB|2 ＝4m22＋·29mm·23－m9m2＝13，
在△AF1F2中， cos∠F1AB＝|AF1|22＋·|A|AFF1|2·||2A－F|2F| 1F2|2 ＝4m22＋·2mm2·－m 4c2＝cos∠AF1B＝13，
即 cos∠NMM′＝|M|MMN′| |＝ 55，
所以 cos∠OFA＝cos∠NMM′＝ 55， p
而 cos∠OFA＝||OAFF||＝
2＝ 2p2＋22
55，解得
p＝2.
(2)( 多 选 )(2022·新 高 考 全 国 Ⅱ) 已 知 O 为 坐 标 原 点 ， 过 抛 物 线 C ： y2 ＝
对于 B，由选项 A 的分析，知直线 AB 的方程为 y＝2 6x－p2， 代入 y2＝2px，得 12x2－13px＋3p2＝0，解得 x＝34p 或 x＝13p， 所以 xB＝13p，所以 yB＝－ 36p，所以|OB|＝ x2B＋y2B＝ 37p≠|OF|，故 B 不正确；
对于C，由抛物线的定义及选项A，B的分析， 得|AB|＝xA＋xB＋p＝1123p＋p＝2152p>2p，即|AB|>4|OF|，故 C 正确； 对于 D，易知|OA|＝ 433p，|AM|＝54p，
在抛物线 C 上，射线 FM 与 y 轴交于点 A(0,2)，与抛物线 C 的准线交于
圆锥曲线的方程知识点总结
同学们，咱们在高中数学里，圆锥曲线的方程可是个重要的家伙！今天就来给大家好好唠唠。
先说椭圆，它的方程就像一个温柔的“大胖子”。
比如说，椭圆方程$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a>b>0$），这里的$a$和$b$可重要啦，决定了椭圆的形状和大小。
就像一个大西瓜，$a$是长半轴，$b$是短半轴。
再看双曲线，那可是个“调皮鬼”。
双曲线方程$\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1$，它有两支，一支向左跑，一支向右跑。
比如说，火箭发射的轨道，有时候就像双曲线。
还有抛物线，它是个“急性子”，总是一条线冲出去。
比如投篮的时候，篮球在空中划过的轨迹，就可能是抛物线，它的方程$y^2 =2px$（$p>0$），$p$决定了抛物线的开口大小和方向。
怎么样，同学们，圆锥曲线的方程是不是没那么可怕啦？多做几道题，咱们就能把它们拿下！圆锥曲线方程，你真的懂了吗？亲爱的小伙伴们，今天咱们来聊聊圆锥曲线的方程。
想象一下，椭圆就像一个压扁的圆，比如我们常见的操场跑道，有一部分就是椭圆形状的。
它的方程$\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} = 1$，告诉你怎么画出这个“压扁的圆”。
双曲线呢，像是两个背靠背的滑梯。
比如一些建筑的设计，就会用到双曲线的形状。
它的方程$\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1$，让我们能算出滑梯的样子。
抛物线就简单啦，像喷泉水柱往上喷，然后落下来的轨迹。
家里的手电筒照出的光，也近似抛物线。
它的方程$y^2 = 2px$，帮我们描述这个美丽的曲线。
好好琢磨琢磨这些例子，圆锥曲线方程就不再神秘啦！圆锥曲线方程：数学世界的奇妙之旅小伙伴们，让我们一起踏上圆锥曲线方程的奇妙之旅吧！先说椭圆，它的方程就像一个神奇的密码。
比如我们看太阳系里行星的轨道，很多就是近似椭圆的。
高中数学中的圆锥曲线方程
高中数学中的圆锥曲线方程圆锥曲线是高中数学中一个重要的概念，它是平面上由一个动点和一个定点到动点的距离之比保持不变的点的轨迹。
圆、椭圆、抛物线和双曲线都是圆锥曲线的特例。
在高中数学中，学生需要学习如何根据给定的条件确定圆锥曲线的方程。
本文将探讨高中数学中的圆锥曲线方程。
首先，让我们来看看圆的方程。
圆是最简单的圆锥曲线，它的方程可以表示为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)是圆心的坐标，r是半径的长度。
这个方程告诉我们，圆上的每一个点到圆心的距离都等于半径的长度。
通过给定圆心和半径的信息，我们可以轻松地确定圆的方程。
接下来，我们来讨论椭圆的方程。
椭圆是一个拉伸的圆，它的方程可以表示为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b是椭圆在x轴和y轴上的半长轴长度。
这个方程告诉我们，椭圆上的每一个点到椭圆中心的距离之比等于a 和b的比值。
通过给定椭圆的中心坐标和半长轴长度的信息，我们可以确定椭圆的方程。
抛物线是一个开口向上或向下的曲线，它的方程可以表示为y=ax²+bx+c，其中a、b和c是常数。
这个方程告诉我们，抛物线上的每一个点的y坐标都等于x的平方乘以一个常数，并加上另外两个常数。
通过给定抛物线上的三个点的坐标，我们可以确定抛物线的方程。
最后，我们来讨论双曲线的方程。
双曲线是一个开口向左和向右的曲线，它的方程可以表示为(x-h)²/a²-(y-k)²/b²=1，其中(h,k)是双曲线的中心坐标，a和b是双曲线在x轴和y轴上的半长轴长度。
这个方程告诉我们，双曲线上的每一个点到双曲线中心的距离之差等于a和b的比值。
通过给定双曲线的中心坐标和半长轴长度的信息，我们可以确定双曲线的方程。
总结起来，高中数学中的圆锥曲线方程是一个重要的概念。
圆锥曲线公式大全
圆锥曲线公式大全-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1圆锥曲线知识考点一、直线与方程1、倾斜角与斜率：1212180＜α≤0(tan x x y y --==）α 2、直线方程：⑴点斜式：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k ： ()00x x k y y -=- ⑵斜截式：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b ：b kx y += ⑶两点式：已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠：121121y y y y x x x x --=-- ⑷截距式：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ：1x y a b+= ⑸一般式：0=++C By Ax （A 、B 不同时为0， 斜率BAk -=，y 轴截距为BC -） (6)k 不存在⇔a x b a x o=⇔⇔=）的直线方程为过（轴垂直,90α3、直线之间的关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+=⑴平行：{⇔⇔≠=21212121//b b k k k k l l 且都不存在，212121C C B B A A ≠=⑵垂直：{⇔⇔⊥-=⇔-==21212111.021k k k k k k l l 不存在，02121=+B B A A⑶平行系方程：与直线0=++C By Ax 平行的方程设为：0=++m By Ax⑷垂直系方程：与直线0=++C By Ax 垂直的方程设为：0=++n Ay Bx⑸定点(交点)系方程：过两条直线:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 的交点的方程设为：0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ反之直线0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ中，λ取任何一切实数R ，则直线一定过定点),(00y x ，即:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 两条直线的交点),(0y x4、距离公式：（1）两点间距离公式：两点),(),,(222211y x P x x P ：()()21221221y y x x P P -+-=（2）点到直线距离公式:点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为2200BA CBy Ax d +++=（3）两平行线间的距离公式：1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 平行，则2221BA C C d +-=二、圆与方程 1、圆的方程：⑴标准方程：()()222r b y a x =-+- 其中圆心为(,)a b ，半径为r .⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x (0422>-+F E D ) 其中圆心为(,)22D E --，半径为r =2、直线与圆的位置关系 点),(00y x 和圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种：222222222)()()(rb y a x r b y a x rb y a x >-+-⇔=-+-⇔<-+-⇔）（点在圆外）（点在圆上）（点在圆内直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ;0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .切线方程：（1）当点),(00y x P 在圆222r y x =+上⇔200r y y x x =+ 圆222)()(r b y a x =-+-⇔200))(())((r b y b y a x a x =--+--（2）当点),(00y x P 在圆222r y x =+外，则设直线方程()00x x k y y -=-，并利用d=r 求出斜率，即可求出直线方程【备注：切线方程一定是两条，考虑特殊直线k 不存在】④弦长公式：222||d r AB -=2212121()4k x x x x =+-- 3、两圆位置关系：21O O d =⑴外离：r R d +> ⇔有4条公切线 ⑵外切：r R d += ⇔有3条公切线 ⑶相交：r R d r R +<<- ⇔有2条公切线 ⑷内切：r R d -= ⇔有1条公切线 ⑸内含：r R d -< ⇔有0条公切线三、圆锥曲线与方程1．椭圆焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b+=>> ()222210y x a b a b+=>> 第一定义到两定点21F F 、的距离之和等于常数2a ， 即21||||2MF MF a +=（212||a F F >）第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ，即(01)MFe e d=<< 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A()1,0b B -、()2,0b B轴长 长轴的长2a = 短轴的长2b = 对称性关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称2．双曲线焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 222122()F F c c a b ==-离心率 22222221(01)c c a b b e e a a a a-====-<<准线方程 2a x c=±2a y c=±焦半径 0,0()M x y 左焦半径：10MF a ex =+ 右焦半径：20MF a ex =-下焦半径：10MF a ey =+ 上焦半径：20MF a ey =-焦点三角形面积12212tan()2MF F S b F MF θθ∆==∠021s 21y c in PF PF •=••=θ 通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径： ab 22焦点的位置焦点在x 轴上 焦点在y 轴上图形标准方程()222210,0x y a b a b-=>> ()222210,0y x a b a b-=>> 第一定义到两定点21F F 、的距离之差的绝对值等于常数2a ， 即21||||2MF MF a -=（2102||a F F <<）第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ，即(1)MFe e d => 范围 或x a ≤-x a ≥，y R ∈y a ≤-或y a ≥，x R ∈顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A轴长 实轴的长2a = 虚轴的长2b =对称性关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称【备注】1、双曲线和其渐近线得关系：由双曲线求渐进线：x a b y a x b y a x b y b y a x b y a x ±=⇒±=⇒=⇒=-⇒=-22222222222201由渐进线求双曲线：λ=-⇒=-⇒=⇒±=⇒±=2222222222220by a x b y a x a x b y a x b y x a b y2．等轴双曲线⇔实轴和虚轴等长的双曲线⇔其离心率e ＝2⇔渐近线x ±=y⇔方程设为λ=-22y x2、求弦长的方法： ①求交点，利用两点间距离公式求弦长；②弦长公式） （消 ） （消x y y y y ky y k y x x x x k x x k l ]4))[(11(||11]4))[(1(1212212212212212212-++=-+=-++=-+=图形3.抛物线五、.直线与圆锥曲线的关系 1、直线与圆锥曲线的关系如：直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2+y 2b 2＝1 (a >b >0)的位置关系：直线与椭圆相交?⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1⇔有2组实数解，即Δ>0.直线与椭圆相切?⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1⇔有1组实数解，即Δ=0，直线与椭圆相离⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1⇔没有实数解，即Δ<【备注】（1）韦达定理（根与系数的关系）{AB x AC x C By Ax x -=+=⇔=++2121x .x 210x 的两根方程和则有21221214)(||xx x x x x -+=-（2）{b kx y bkx y +=+=1122则有下列结论b x x k y y ++=+)(2121)(2121x x k y y -=-22121221)(bx x k x x k y y +++=③、与弦的中点有关的问题常用“点差法”：把弦的两端点坐标代入圆锥曲线方程，作差→弦的斜率与中点的关系；0202y a x b k -=（椭圆） 0202y a x b k =（双曲线）3、关于抛物线焦点弦的几个结论（了解）设AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦，1122(,)(,)A x y B x y 、，直线AB 的倾斜角为θ，则⑴ 221212,;4p x x y y p ==- ⑵ 22;sin pAB θ=⑶ 以AB 为直径的圆与准线相切；⑷ 焦点F 对A B 、在准线上射影的张角为2π；⑸112.||||FA FB P +=。
圆锥曲线的参数方程和直角坐标方程
1）椭圆参数方程：X=acosθ Y=bsinθ (θ为参数 )直角坐标（中心为原点）：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 2）双曲线参数方程：x=X+asecθ y=Y+btanθ (θ为参数 )直角坐标（中心为原点）：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (开口方向为x轴） y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1 (开口方向为y轴）3）抛物线参数方程：x=2pt^2 y=2pt (t为参数)直角坐标：y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ）x=ay^2+by+c （开口方向为x轴, a<>0 )圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为ρ=ep/(1-e×cosθ)其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。
焦点到最近的准线的距离等于ex±a。
圆锥曲线的焦半径（焦点在x轴上，F1 F2为左右焦点，P（x，y），长半轴长为a）椭圆：椭圆上任一点和焦点的连线段的长称为焦半径。
|PF1|=a+ex |PF2|=a-ex双曲线：P在左支，|PF1|=－a-ex |PF2|=a-exP在右支，|PF1|=a+ex |PF2|=－a+exP在下支，|PF1|= －a-ey |PF2|=a-eyP在上支，|PF1|= a+ey |PF2|=－a+ey圆锥曲线的切线方程：圆锥曲线上一点P（x0,y0）的切线方程以x0x代替x^2,以y0y代替y^2;以(x0+x)/2代替x,以(y0+y)/2代替y^2即椭圆:x0x/a^2+y0y/b^2=1;双曲线：x0x/a^2+y0y/b^2=1；抛物线:y0y=p(x0+x)圆锥曲线中求点的轨迹方程。
圆锥曲线推导过程
圆锥曲线推导过程要推导圆锥曲线，我们首先需要了解什么是圆锥。
圆锥是由一个圆在一个点上沿着一条直线平移而生成的曲面。
在数学中，圆锥曲线是圆锥与一个平面的交线。
现在我们来推导圆锥曲线的具体过程。
1.圆锥的定义：假设我们有一个圆心为O，半径为r的圆C以及一个点V，且OV的长度为h，V在与圆C不在同一平面上。
接下来，我们沿着OV的方向以圆C为基准，平移V点，从而生成圆锥曲线。
2.圆锥曲线的参数方程：设V点的坐标为(x,y,z)。
由于平移是沿着OV的方向进行的，所以可以得到以下关系式：x=k*ry=k*rz=k*h其中，k为比例因子。
3.圆锥曲线的一般方程：将参数方程转化为一般方程。
我们可以用x，y和z来代替r和h的关系，从而得到一般方程：(x/a)^2+(y/b)^2=(z/c)^2其中，a=r^2/h，b=r^2/h，c=r。
4.圆锥曲线的分类：根据参数方程或一般方程的形式，我们将圆锥曲线分为四类：椭圆、抛物线、双曲线和直线。
当a=b=c时，我们得到的方程为x^2+y^2=z^2，这是一个圆锥面。
当a=b≠c时，我们得到的方程为x^2+y^2=kz^2，这是一个椭圆锥面。
当a=b≠c时，我们得到的方程为x^2y^2=kz^2，这是一个双曲线锥面。
当a=0或b=0时，我们得到的方程为y=kx^2，这是一个抛物线。
5.圆锥曲线在平面上的投影：将圆锥曲线投影到平面上可以得到不同的曲线。
椭圆的投影是一个椭圆或一个圆，抛物线的投影是一个抛物线，双曲线的投影是一个双曲线或两个直线，直线的投影仍然是一条直线。
6.圆锥曲线在几何中的应用：圆锥曲线在几何学中有着广泛的应用。
椭圆轨道用于描述行星在太阳系中的运动，抛物线轨道用于描述天体的抛物运动，双曲线轨道用于描述一些天文现象，如彗星的路径等。
以上就是推导圆锥曲线的过程。
通过了解圆锥的定义和参数方程，我们可以得到一般方程，并根据方程的形式将圆锥曲线进行分类。
圆锥曲线在几何学中有着重要的应用，我们可以通过研究它们的特性来更好地理解和描述各种现象。
圆锥曲线标准方程
圆锥曲线标准方程圆锥曲线是平面上的一类重要的曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
它们在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在本文中，我们将重点讨论圆锥曲线的标准方程，以及如何通过标准方程来描述和分析这些曲线。
首先，让我们来看看圆的标准方程。
圆的标准方程可以写为：(x h)² + (y k)² = r²。
其中 (h, k) 是圆心的坐标，r 是圆的半径。
这个方程告诉我们，圆上的每一个点到圆心的距离都是半径 r，这正是圆的定义。
通过这个方程，我们可以轻松地求解圆的性质，比如半径、直径、周长和面积等。
接下来，我们来看椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程可以写为：(x h)²/a² + (y k)²/b² = 1。
其中 (h, k) 是椭圆的中心坐标，a 和 b 分别是椭圆在 x 轴和 y 轴上的半轴长度。
通过这个方程，我们可以得到椭圆的中心、长轴、短轴、焦点、离心率等重要性质。
双曲线也是圆锥曲线的一种，它有两支分别向 x 轴和 y 轴无限延伸的分支。
双曲线的标准方程可以写为：(x h)²/a² (y k)²/b² = 1。
或者。
(y k)²/a² (x h)²/b² = 1。
其中 (h, k) 是双曲线的中心坐标，a 和 b 分别是 x 轴和 y 轴上的半轴长度。
这个方程告诉我们双曲线的中心、焦点、渐近线等重要性质。
最后，我们来看抛物线的标准方程。
抛物线的标准方程可以写为：y = ax² + bx + c。
或者。
x = ay² + by + c。
其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。
抛物线是一种非常常见的曲线，它有着许多重要的性质，比如焦点、直径、焦距等，这些性质可以通过标准方程轻松地求解。
通过以上的讨论，我们可以看到，圆锥曲线的标准方程是描述和分析这些曲线的重要工具。
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圆 锥 曲 线圆锥曲线一章是高考和教学中的重点内容，蕴涵着多种数学思想、方法，教学中应遵循重基础、抓共性、讲通法、善变化的原则，使基础知识、基本技能、基本方法得到巩固，提高学生知识和方法的运用能力。
一、基本思想和基本方法⒈基本思想：运动与联系、特殊与一般、函数与方程、转化与类比 ⒉基本方法：代数方法、几何方法、向量方法、三角代换 ⒊基本问题：①由性质求轨迹方程 ②由方程研究性质二、常见的几种题型 ⒈ 求轨迹方程⒉ 弦长公式极其应用 ⒊ 垂直半径的问题⒋ 弦的中点与斜率的关系⒌ 圆锥曲线上关于直线的对称点问题 ⒍ 圆锥曲线的切线问题⒎ 圆锥曲线中的不等式问题三、几组公式：㈠三类弦长（e 表示离心率,p 表示焦准距,α弦所在直线的倾斜角）： 1．焦点弦的弦长：椭圆： |AB|=α22cos 12e ep-；双曲线：|AB|=|cos 1|222αe ep -；当α22cos 1e -＞0时，AB 是内点弦，当 α22cos 1e -＜0时，AB 是外点弦．抛物线：|AB|=α2sin 2p．说明：利用圆锥曲线的统一定义证明． 2．中心弦的弦长：椭圆： |AB|=α22cos 12e b -； 双曲线：|AB|=1cos 222-αe b ．说明：可结合圆锥曲线的参数方程证明．3．顶点弦的弦长（这里的顶点在长轴、实轴上）：椭圆： |AB|=α22cos 12e ep-|cos α|；双曲线： |AB|=|cos 1|222αe ep -|cos α|； 抛物线： |AB|=α2sin 2p|cos α|．说明：可利用直线、圆锥曲线的参数方程证明．㈡ 与圆锥曲线离心率相关的几个角（以椭圆为例）：⒈ 命题1：设P （x ，y ）是椭圆2222by a x +=1（a ＞b ＞0）上一点，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，∠F 1PF 2=α，则y=±b 时，max α＝2arctg bc， 简证：由△PF 1F 2的面积为S=b 2 tg 2α =c|y|，所以tg 2α =2by c ．（或由均值定理）．2．命题2.设P （x ，y ）是椭圆2222by a x +=1（a ＞b ＞0）上一点。
∠A 1PA 2=α，∠B 1ＰB 2=β，则当y=±b 时，b a arctg 2max =α；当x=±a 时，ab arctg 2max =β．简证：设PA 1、PA 2的斜率分别为K 1、K 2，则K 1=a +x y ，K 2=a-x y； 可得：K 1K 2 ＝－22ab ；由到角公式和均值定理既可证明．⒊命题3：设P 、Q 是椭圆2222by a x +=1（a ＞b ＞0）的左焦点弦，倾斜角为α，O 是原点，∠POQ=β，则当α=900时，acb arctg 2min2=β．⒋命题4：设P ，Q 是椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左焦点弦，倾斜角为α，O 是原点，A 1，A 2是椭圆长轴的两个顶点。
设∠PA 2Q=β，∠PA 1Q=γ， 则当α=900时，ca ep arctg +=2minβ；当α=900时，c a ep arctg -=2max γ．说明：命题在双曲线、抛物线形式略有变化，研究方法相同．㈢ 圆锥曲线中的三角形： ⒈ 焦点三角形：① 面积：S=c|y|/2=b 2tg 2θ=b 221b r r -② 离心率：e=βαβαsin sin )sin(++⒉ 与焦点弦有关的三角形：S=αα22cos 1sin e epc - S= αα22cos 1sin 2e epc - S=αα22cos 1sin )(e c a ep -+⒊ 与准线有关的三角形EF 1平分∠QEP ，S=αα222cos 1sin e ep -； FQ ⊥OQ ，S=abp/c ．四、例题讲解㈠轨迹方程的求法例题⒈（坐标法）点A 是直线l 外一点，点A 到直线l 的距离为p ，MN 为l 上的定长线段，且|MN|=2p ，⑴当|MN|在直线l 上滑动时，求△AMN 外心C 的轨迹E 。
⑵当圆心C 在E 上什么位置时，|AM|+|AN|=23p ？说明：一般步骤：① 选择适当的直角坐标系．②设所求点为P （x ，y ），并写出相关点的坐标． ③ 出一个含已知点和所求点的等式．④用坐标表示这个等式，并化简整理． ⑤ 去“坏”点．例题⒉ （判断轨迹法）已知⊙O 的方程为x 2+y 2=4；定点A （4，O ）；求过定点A 且与⊙O 相切的动圆圆心P 的轨迹方程．答案：（x-2）2-y 2/3=1 说明：一般步骤：① 根据条件判断是否为学过的点的轨迹方程．②判断轨迹的位置． ③利用已知的方程形式，设出待定系数求解．④整理检验．例题⒊（转移法）F 1、F 2是椭圆x 2/2+y 2=1的两个焦点，P 是抛物线y=x 2上的动点，求三角形F 1PF 2的重心轨迹方程．答案：y=3x 2（消参法，交轨法） 说明：一般步骤①设所求点为P （x ，y ），相关点为Q （x 0，y 0）。
②建立P 、Q 坐标的关系式，解出x 0，y 0 ；③代入F （x ，y ）=0。
④整理检验。
例题⒋已知三点A （-4，0）、B （4，0）、F （8，0），直线l 的方程为x=2，过F 作互相垂直的两条直线，分别交l 于M 、N 点，直线AM 、BN 交于P 点，求P 点的轨迹方程．答案：（x 2/16-y 2/48=1）说明：一般步骤：①若所求动点P （x ，y ）的坐标关系不易找到，也没有相关点可以利用，可先考虑将x 、y 用一个或几个参数来表示，然后再消去参数，建立普通方程．②参数的选择丰富多彩，常用的有变角、变斜率、有向线段数量等等．㈡直线与圆锥曲线：例题⒈ （弦长公式、垂直应用）⒈ 直线l ：y=5/3（x-C ）交双曲线C ：x 2-y 2/3=1于A 、B 点，OA ⊥OB ，求|AB|． 答案：4⒉ 已知抛物线y 2=2x ，直线l 在y 轴上的截距为2，且与抛物线交于P 、Q 两点，以|PQ|为直径的圆过原点，求该直线的方程。
答案：y=-x+2例题⒉ （弦的中点与斜率的关系）⑴ 已知椭圆()012222 b a by a x =+与直线x+y=1交于A 、B 两点，|AB|=22，AB的中点M 与椭圆中心连线的斜率为2/2，求椭圆的方程。
答案：（Ax 2+By 2=1；x 2+2y 2/=3）⑵ 双曲线C ：x 2/4-y 2/2=1。
①过M （1，1）的直线，交双曲线于A 、B 两点，求直线AB 的方程。
②是否存在直线l ，使N （1，1/2）为l 被双曲线所截弦的中点，若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由。
答案：x-2y+1=0；不存在，因为直线与双曲线无公共点。
例题⒊ (圆锥曲线中的对称问题)⑴ 若抛物线y=ax 2-1（a ＞0）上存在关于直线x+y=0对称的两个点，求a 的取值范围。
答案：a ＞3/4（提示：由交点弦的中点在x+y=0上及△＞0求出；或由弦的中点在内部求出）⑵ 已知椭圆方程为C ：x 2/4+y 2/3=1。
试确定m 的范围，使得椭圆C 上存在着不同的两个点，关于直线l ：y=4x+m 对称。
答案：M ∈（-213/13，213/13）㈢圆锥曲线的切线问题例⒈（江苏理本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0,)C c 任作一直线，与抛物线2y x =相交于AB 两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c =-交于,P Q ，（1）若2OA OB ⋅=，求c 的值；（2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。
解：（1）设过C 点的直线为y k x c =+，所以()20x kx c c =+>，即20x k x c --=，设A ()()1122,,,x yB x y ，OA =()11,x y ，()22,OB x y =，因为2OA OB ⋅=，所以 12122x x y y +=，即()()12122xx k x c k x c +++=，()221212122x x k x x kc x x c +-++= 所以222c k c kc k c --++=，即220,c c --=所以()21c c ==-舍去 （2）设过Q 的切线为()111y y k x x -=-，/2y x =，所以112k x =，即2211111222y x x x y x x x =-+=-，它与y c =-的交点为M 11,22x cc x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又21212,,2222x x y y k k P c ⎛⎫++⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以Q ,2k c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为12x x c =-,所以21c x x -=，所以M 12,,222x x k c c ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以点M 和点Q 重合，也就是QA 为此抛物线的切线。
（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q ,2k c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为PQ ⊥x 轴，所以,2P k P y ⎛⎫⎪⎝⎭因为1222x x k+=，所以P 为AB 的中点。
例⒉（安徽文本小题满分14分）设F 是抛物线G :x 2=4y 的焦点. （Ⅰ）过点P （0，-4）作抛物线G 的切线，求切线方程：（Ⅱ）设A 、B 为势物线G 上异于原点的两点，且满足0·=,延长AF 、BF 分别交抛物线G 于点C ,D ，求四边形ABCD 面积的最小值.解：（I ）设切点204x Q x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．由2xy '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ，故所求切线方程为2000()42x xy x x -=-．即20424x x y x =-．因为点(0)P -4，在切线上．所以2044x -=-，2016x =，04x =±．所求切线方程为24y x =±-． （II ）设11()A x y ，，22()C x y ，．由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k >． 因直线AC 过焦点(01)F ，，所以直线AC 的方程为1y kx =+．点A C ，的坐标满足方程组214y kx x y =+⎧⎨=⎩，，得2440x kx --=，由根与系数的关系知121244.x x k x x +=⎧⎨=-⎩，24(1)AC k ===+．因为AC BD ⊥，所以BD 的斜率为1k -，从而BD 的方程为11y x k=-+． 同理可求得22214(1)41k BD k k ⎛⎫+⎛⎫=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 2222218(1)18(2)322ABCDk S AC BD k k k+===++≥． 当1k =时，等号成立．所以，四边形ABCD 面积的最小值为32．例3（06全国卷I ）在平面直角坐标系xOy中，有一个以(10,F和(2FC ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x y 、轴的交点分别为A 、B ，且向量OM OA OB =+。