江苏省镇江中学2015-2016学年高二(上)期中数学试卷(解析版)

合集下载

江苏省镇江市高二上学期期中数学试卷

江苏省镇江市高二上学期期中数学试卷

江苏省镇江市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题;共24分)1. (2分) (2016高一下·武邑期中) 某几何体的三视图,如图所示,则这个几何体是()A . 三棱锥B . 三棱柱C . 四棱锥D . 四棱柱2. (2分)过点且倾斜角为的直线方程为()A .B .C .D .3. (2分)在空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,且DA⊥平面ABC,则△ABC的形状是()A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 不能确定4. (2分)已知直线l方程为2x-5y+10=0,且在轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,则|a+b|等于()A . 3B . 7C . 10D . 55. (2分)若a∥α,b⊂α,则a和b的关系是()A . 平行B . 相交C . 平行或异面D . 以上都不对6. (2分) (2015高二上·西宁期末) 若直线l1:ax+3y+1=0与l2:2x+(a+1)y+1=0互相平行,则a的值是()A . ﹣3B . 2C . ﹣3或2D . 3或﹣27. (2分)以点为圆心且与x轴相切的圆的标准方程是()A .B .C .D .8. (2分)如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,BB1=BC,P为C1D1上一点,则异面直线PB与B1C所成角的大小()A . 是45°B . 是60°C . 是90°D . 随P点的移动而变化9. (2分)过点作圆的弦,其中弦长为整数的共有()A . 16条B . 17条C . 32条D . 34条10. (2分)(2013·山东理) 过点(3,1)作圆(x﹣1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB 的方程为()A . 2x+y﹣3=0B . 2x﹣y﹣3=0C . 4x﹣y﹣3=0D . 4x+y﹣3=011. (2分) (2016高二下·汕头期末) 一个几何体的三视图及尺寸如图所示,则该几何体的外接球半径为()A .B .C .D .12. (2分) (2016高二上·襄阳开学考) 若直线ax﹣by+1=0平分圆C:x2+y2+2x﹣4y+1=0的周长,则ab的取值范围是()A .B .C .D .二、填空题 (共4题;共4分)13. (1分) (2017高二上·常熟期中) 已知正三棱锥的体积为9 cm3 ,高为3cm.则它的侧面积为________ cm2 .14. (1分) (2017高二上·南通开学考) 已知直线l1的方程为3x+4y-7=0,直线l2的方程为6x+8y+1=0,则直线l1与l2的距离为________.15. (1分)已知点A(1,1),B(2,4),则直线AB的方程为________16. (1分) (2017高二上·芜湖期末) 若圆x2+y2﹣ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=x﹣l对称,过点C (﹣a,a)的圆P与y轴相切,则圆心P的轨迹方程为________.三、解答题 (共6题;共45分)17. (5分)如图,已知等边△ABC中,E,F分别为AB,AC边的中点,M为EF的中点,N为BC边上一点,且CN= BC,将△AEF沿EF折到△A'EF的位置,使平面A'EF⊥平面EFCB.(Ⅰ)求证:平面A'MN⊥平面A'BF;(Ⅱ)设BF∩MN=G,求三棱锥A'﹣BGN的体积.18. (5分)已知△ABC的三个顶点分别为A(2,3),B(1,﹣2),C(﹣3,4),求(1)BC边上的中线AD所在的直线方程;(2)△ABC的面积.19. (10分)(2016·新课标Ⅲ卷文) 如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明MN∥平面PAB;(2)求四面体N﹣BCM的体积.20. (5分) (2016高二上·万州期中) 已知四棱锥A﹣BCDE,其中AB=BC=AC=BE=1,CD=2,CD⊥面ABC,BE∥CD,F为AD的中点.(Ⅰ)求证:EF∥面ABC;(Ⅱ)求证:平面ADE⊥平面ACD;(Ⅲ)求四棱锥A﹣BCDE的体积.21. (10分) (2017高一上·马山月考) 如图,是的直径,点在圆上,且四边形是平行四边形,过点作的切线,分别交延长线与延长线于点,连接 .(1)求证:是的切线;(2)已知圆的半径为2,求的长.22. (10分) (2019高三上·西湖期中) 已知四棱锥的底面ABCD是直角梯形,AD//BC ,, E为CD的中点,(1)证明:平面PBD 平面ABCD;(2)若,PC与平面ABCD所成的角为,试问“在侧面PCD内是否存在一点N,使得平面PCD?”若存在,求出点N到平面ABCD的距离;若不存在,请说明理由.参考答案一、选择题 (共12题;共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题;共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题;共45分)17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。

2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试卷-有答案-通用版

2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试卷-有答案-通用版

2015年秋季学期期中质量调研考试高二数学(理科)试题一、选择题:本大题共8个小题;每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{2,0,1,4}A =,集合{04,R}=<≤∈B x x x ,集合C A B = .则集合C 可表示为A .{2,0,1,4}B . {1,2,3,4}C .{1,2,4}D . {04,R}x x x <≤∈2.复数z 满足(1i)1z -=(其中i 为虚数单位),则z =A .11i22- B .11i 22+ C .11i 22-+ D .11i 22-- 3.下列函数中,为奇函数的是A .122xx y =+ B .{},0,1y x x =∈C .sin y x x =⋅D .1,00,01,0x y x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩4.下面几种推理中是演绎推理....的为A .由金、银、铜、铁可导电,猜想:金属都可导电;B .猜想数列111,,,122334⋅⋅⋅⨯⨯⨯的通项公式为1(1)n a n n =+()n N +∈; C .半径为r 圆的面积2S r π=,则单位圆的面积S π=;D .由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=,推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=5.已知()()32213af x x a x=+-+,若()18f '-=,则()1f -= A .4 B .5 C .2- D .3- 6.“1ω=”是“ 函数()cos f x x ω=在区间[]0,π上单调递减”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 7.如图1,在矩形OABC 内:记抛物线21y x =+ 与直线1y x =+围成的区域为M (图中阴影部分). 则区域M 面积与矩形OABC 面积之比为 A .118 B .112C .16 D .1311+8. 已知可导函数()f x ()x ÎR 满足()()f x f x ¢>,则当0a >时,()f a 和e (0)a f 大小关系为A. ()<e (0)a f a fB. ()>e (0)a f a fC. ()=e (0)a f a fD. ()e (0)a f a f ≤ 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,满分30分. 9.函数f x =()的定义域为 .10.某几何体的三视图如图3所示,其正视图是边长为2 的正方形,侧视图和俯视图都是等腰直角三角形,则此几 何体的体积是 .11.已知双曲线2222:1x y C a b -=与椭圆22194x y+=有相同的焦点,且双曲线C 的渐近线方程为2y x =±,则双曲线C 的方程为 .12. 设实数,x y 满足,102,1,x y y x x ≤⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩向量2,x y m =-()a ,1,1=-()b .若// a b ,则实数m 的最大值为 .13.在数列{}n a 中,已知24a =, 315a =,且数列{}n a n +是等比数列,则n a = . 14. 已知111()1()23f n n n+=+++鬃??N ,且27)32(,3)16(,25)8(,2)4(,23)2(>>>>=f f f f f ,推测当2n ≥时,有__________________________.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15.(本小题满分12分)已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像经过点π(,1)12. (1)求ϕ的值;(2)在ABC ∆中,A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ,若222a b c ab +-=,且π()212A f +=.求sin B .16.(本小题满分12分)已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足:2222n n n na a S a -+=,且0,.n a n +>∈N(1)求123,,;a a a(2)猜想}{n a 的通项公式,并用数学归纳法证明17.(本小题满分14分)如图3所示,平面ABCD ⊥平面BCEF ,且四边形ABCD 为 矩形,四边形BCEF 为直角梯形,//BF CE ,BC CE ⊥, 4DC CE ==,2BC BF ==.(1)求证://AF 平面CDE ;(2)求平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的余弦值; (3)求直线EF 与平面ADE 所成角的余弦值.18.(本小题满分14分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足24(1)(1)(2)(N )n n n S n a n *++=+∈. (1)求1a ,2a 的值; (2)求n a ; (3)设1n n n b a +=,数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证:34n T <.19.(本小题满分14分)设双曲线C :12222=-by a x (a >0,b >0)的一个焦点坐标为(3,0),离心率e =A 、B 是双曲线上的两点,AB 的中点M (1,2).(1)求双曲线C 的方程; (2)求直线AB 方程;(3)如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点,那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆?为什么?20.(本小题满分14分)设函数3211()(0)32a f x x x ax a a -=+-->. (1)若函数)(x f 在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a 的取值范围; (2)当a =1时,求函数)(x f 在区间[t ,t +3]上的最大值.ADBCFE图3参考答案9. {2}x x ≥; 10. 83; 11.2214y x -=; 12.6;13.123n n -⋅-; 14.2(2)2n n f +>;三、解答题15.解:(1)由题意可得π()112f =,即πsin()16ϕ+=. ……………………………2分0πϕ<< ,ππ7π666ϕ∴<+<, ππ62ϕ∴+=, π3ϕ∴=. ……………5分(2)222a b c ab +-= ,2221cos 22a b c C ab +-∴==, (7)分sin C ∴==. …………………………………………8分 由(1)知π()sin(2)3f x x =+,π(+)sin()cos 2122A f A A π∴=+==()0,A π∈ , sin A ∴==, ……………………………10分 又sin sin(π())sin()B A C A C =-+=+ ,1sin sin cos cos sin 2B A C A C ∴=+==12分 16. (1)1111112a a S a ==+-,所以,11a =-?,又∵0n a >,所以11a =.221221=12a S a a a +=+-, 所以2a =, 3312331=12a S a a a a ++=+- 所以3a =(2)猜想n a =证明: 1o 当1n =时,由(1)知11a =成立.2o 假设()n k k +=?N 时,k a =成立1+11111=(1)(1)22k k k k k k ka a a S S a a +++-=+--+- 1112k k a a ++=+-所以21120k k a +++-=1k a +=所以当1n k =+时猜想也成立.综上可知,猜想对一切n +ÎN 都成立.17.解:(法一)(1)取CE 中点为G ,连接DG 、FG ,//BF CG 且BF CG =,∴ 四边形BFGC 为平行四边形,则//BC FG 且BC FG =. ∴ …………2分四边形ABCD 为矩形, //BC AD ∴且BC AD =,//FG AD ∴且FG AD =,∴四边形AFGD 为平行四边形,则//AF DG . DG ⊂ 平面CDE ,AF ⊄平面CDE ,//AF ∴平面CDE . ……………………………………………………4分(2)过点E 作CB 的平行线交BF 的延长线于P ,连接FP ,EP ,AP ,////EP BC AD ,∴A ,P ,E ,D 四点共面.四边形BCEF 为直角梯形,四边形ABCD 为矩形,∴EP CD ⊥,EP CE ⊥,又 CD CE C = ,EP ∴⊥平面CDE ,∴EP DE ⊥,又 平面ADE 平面BCEF EP =,∴DEC ∠为平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的平面角.……………………7分4DC CE ==,∴cos CE DEC DE ∠==. 即平面ADE 与平面BCEF . ……………………9分 (3)过点F 作FH AP ⊥于H ,连接EH ,根据(2)知A ,P ,E ,D 四点共面,////EP BC AD ,∴BC BF ⊥,BC AB ⊥,AD BC FEP又 AB BF B = , BC ∴⊥平面ABP , ∴BC FH ⊥,则FH EP ⊥.又 FH AP ⊥, FH ∴⊥平面ADE .∴直线EF 与平面ADE 所成角为HEF ∠. ……………………………11分4DC CE ==,2BC BF ==,∴0sin 45FH FP ==EF ==HE =,∴cos HE HEF EF ∠===. 即直线EF 与平面ADE. ……………………………14分 (法二)(1) 四边形BCEF 为直角梯形,四边形∴BC CE ⊥,BC CD ⊥, 又 平面ABCD ⊥平面BCEF ,且 平面ABCD 平面BCEF BC =,DC ∴⊥平面BCEF .以C 为原点,CB 所在直线为x 轴,CE 所在直线为y CD 所在直线为z 轴建立如图所示空间直角坐标系.根据题意我们可得以下点的坐标:(2,0,4)A ,(2,0,0)B ,(0,0,0)C ,(0,0,4)D ,(0,4,0)E ,(2,2,0)F , 则(0,2,4)AF =- ,(2,0,0)CB =. ………………2分BC CD ⊥ ,BC CE ⊥, CB ∴为平面CDE 的一个法向量.又0220(4)00AF CB ⋅=⨯+⨯+-⨯=,//AF ∴平面CDE . …………………………………………………………4分(2)设平面ADE 的一个法向量为1111(,,)n x y z = ,则110,0.AD n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩(2,0,0)AD =- ,(0,4,4)DE =-,∴11120440x y z -=⎧⎨-=⎩, 取11z =,得1(0,1,1)n = . ……………………………6分 DC ⊥ 平面BCEF ,∴平面BCEF 一个法向量为(0,0,4)CD =,设平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小为α,则cos α= 因此,平面ADE 与平面BCEF. …………………9分 (3)根据(2)知平面ADE 一个法向量为1(0,1,1)n =,(2,2,0)EF =- ,1111cos ,2EF n EF n EF n ⋅∴<>===-⋅,………12分 设直线EF 与平面ADE 所成角为θ,则cos sin ,EF n θ=<因此,直线EF 与平面ADE. ………………………14分 【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系,二面角及三角函数及空间坐标系等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,考查用向量方法解决数学问题的能力.18. 解:(1)当=1n 时,有2114(11)(+1=1+2a a ⨯+)(),解得1=8a .当=2n 时,有21224(21)(1)(22)a a a ⨯+++=+,解得2=27a .……………2分(2)(法一)当2n ≥时,有2(2)4(1)1n n n a S n ++=+, ……………①211(1)4(1)n n n a S n--++=. …………………② ①—②得:221(2)(1)41n n n n a n a a n n-++=-+,即:331(1)=n n a n a n -+.…………5分 ∴1223333===1(1)(1)3n n n a a a a n n n --==+-….∴ 3=(1)n a n + (2)n ≥.………………………………………8分 另解:33333121333121(1)42(1)(1)3n n n n n a a a n n a a n a a a nn ---+=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=+- . 又 当=1n 时,有1=8a , ∴3=(1)n a n +. …………………………8分(法二)根据1=8a ,2=27a ,猜想:3=(1)na n +. ………………………………3分用数学归纳法证明如下:(Ⅰ)当1n =时,有318(11)a ==+,猜想成立. (Ⅱ)假设当n k =时,猜想也成立,即:3=(1)k a k +.那么当1n k =+时,有2114(11)(1)(12)k k k S k a +++++=++,即:211(12)4(1)11k k k a S k +++++=++,………………………①又 2(2)4(1)1kk k a S k ++=+, …………………………②①-②得:22223111(3)(2)(3)(2)(1)4=2121k k k k k a k a k a k k a k k k k ++++++++=--++++, 解,得33+1(2)(11)k a k k =+=++. ∴当1n k =+时,猜想也成立. 因此,由数学归纳法证得3=(1)n a n +成立.………………………………………8分(3) 211111=(1(11n n n b a n n n n n +=<=-+++)), .................................10分 ∴1231=n n n T b b b b b -+++++ (22222)11111=234(1)n n ++++++ (2)11111<22323(1)(1)n n n n +++++⨯⨯-+… 111111111=()()()()4233411n n n n +-+-++-+--+… 1113=4214n +-<+.………………………………………14分19.解:(1)依题意得⎪⎩⎪⎨⎧===33a ce c ,解得a =1. (1分) 所以222312b c a =-=-=, (2分)故双曲线C 的方程为2212y x -=. (3分) (2)设1122(,),(,)A x y B x y ,则有221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩. 两式相减得:121212121()()()()2x x x x y y y y -+=-+ , (4分) 由题意得12x x ≠,221=+x x ,421=+y y , (5分) 所以1)(221212121=++=--y y x x x x y y ,即1=AB k . (6分)故直线AB 的方程为1y x =+. (7分) (3)假设A 、B 、C 、D 四点共圆,且圆心为P. 因为AB 为圆P 的弦,所以圆心P 在AB 垂直平分线CD 上;又CD 为圆P 的弦且垂直平分AB ,故圆心P 为CD 中点M . (8分) 下面只需证CD 的中点M 满足|MA |=|MB |=|MC |=|MD |即可.由22112y x y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得:A (-1,0),B (3,4). (9分)由(1)得直线CD 方程:3y x =-+, (10分)由22312y x y x =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩得:C (-3+52,6-52),D (-3-52,6+52), (11分)所以CD 的中点M (-3,6). (12分) 因为102364||=+=MA ,102436||=+=MB ,1022020||=+=MC ,1022020||=+=MD , (13分)所以||||||||MD MC MB MA ===,即 A 、B 、C 、D 四点在以点M (-3,6)为圆心,102为半径的圆上. (14分) 20.解:(1)∵3211()(0)32a f x x x ax a a -=+--> ∴()2()1(1)()f x x a x a x x a '=+--=+-, (1分) 令()0f x '=,解得121,0x x a =-=> (2分) 当x 变化时,)(x f ',)(x f 的变化情况如下表:故函数)(x f 的单调递增区间为(-∞,-1),(a ,+∞);单调递减区间为(-1,a );(4分) 因此)(x f 在区间(-2,-1)内单调递增,在区间(-1,0)内单调递减,要使函数)(x f 在区间(2,0)-内恰有两个零点,当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧<>-<-0)0(0)1(0)2(f f f , (5分)解得103a <<, 所以a 的取值范围是(0,31). (6分) (2)当a =1时,131)(3--=x x x f . 由(1)可知,函数)(x f 的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞);单调递减区间为(-1,1);31)1()(-=-=f x f 极大值. (7分)①当t +3<-1,即t <-4时,因为)(x f 在区间[t ,t +3]上单调递增,所以)(x f 在区间[t ,t +3]上的最大值为583311)3()3(31)3()(233max +++=-+-+=+=t t t t t t f x f ; (9分) ②当231≤+≤-t ,即14-≤≤-t 时,因为)(x f 在区间(]1,-∞-上单调递增,在区间[-1,1]上单调递减,在区间[1,2]上单调递增,且31)1()2(-=-=f f ,所以)(x f 在区间(]2,∞-上的最大值为31)1()2(-=-=f f . (10分)由231≤+≤-t ,即14-≤≤-t 时,且-1 [t ,t +3],所以)(x f 在[,3]t t +上的最大值为31)1()(max -=-=f x f ; (11分) ③当t +3>2,即t >-1时, 由②得)(x f 在区间(]2,∞-上的最大值为31)1()2(-=-=f f . 因为)(x f 在区间(1,+∞)上单调递增,所以)2()3(f t f >+,故)(x f 在[],3t t +上的最大值为58331)3()(23max +++=+=t t t t f x f . (13分) 综上所述,当a =1时,)(x f 在[t ,t +3]上的最大值⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤≤--->-<+++=)14(31)14(58331)(23max t t t t t t x f 或. (14分)。

江苏省镇江市高三数学上学期期中试卷(含解析)

江苏省镇江市高三数学上学期期中试卷(含解析)

2015-2016学年江苏省镇江市高三(上)期中数学试卷一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分。

不需要写出解答过程,请把答案直接填在答题卡相应位置上。

1.设集合U={0,1,2,3},A={x|x2﹣x=0},则∁U A= .2.从甲、乙、丙3名候选学生中选2名作为青年志愿者,则甲被选中的概率为.3.若复数为纯虚数,则m= .4.根据如图所示的伪代码,最后输出的实数a的值为.5.在△ABC中,如果sinA:sinB:sinC=2:3:4,那么tanC= .6.方程lgx=sinx的解的个数为.7.函数f(x)=的定义域是.8.若函数f(x)=sin(x+φ)cosx(0<φ<π)是偶函数,则φ的值等于.9.实系数一元二次方程ax2+bx+c=0,则“ac<0”是“该方程有实数根”的条件(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选择一个合适的填写).10.若实数x、y满足x>0,y>0,且log2x+log2y=log2(x+2y),则2x+y的最小值为.11.若4x﹣5×2x+6≤0,则函数f(x)=2x﹣2﹣x的值域是.12.已知函数f(x)=,若0<a<b<c,满足f(a)=f(b)=f(c),则的范围为.13.设α、β,且sinαcos(α+β)=sinβ,则tanβ的最小值是.14.函数f(x)=a x﹣xlna(0<a<1),若对于任意x∈[﹣1,1],不等式f(x)≤e﹣1恒成立,则实数a的取值范围是.二、解答题:本大题共6小题,共计90分。

请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.在△ABC中,角A、B、C所对应的边分别是a、b、c.(1)若sin(A+)=,求A的值;(2)若cosA=,sinB+sinC=2sinA,试判断△ABC的形状,并说明理由.16.已知函数.(1)解不等式f(x)>0;(2)当x∈[1,4]时,求f(x)的值域.17.已知a∈R,函数f(x)=.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若a>1,函数y=f(x)在[0,a+1]上最大值是f(a+1),求实数a的取值范围.18.已知函数f(x)=sin2x﹣2asin(x+)+2,设t=sinx+cosx,且x∈(﹣,)(1)试将函数f(x)表示成关于t的函数g(t),并写出t的范围;(2)若g(t)≥0恒成立,求实数a的取值范围;(3)若方程f(x)=0有四个不同的实数根,求a的取值范围.19.广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画,根据该设施的外观,设计成的平面图由半径为2m的扇形AOB和三角区域BCO构成,其中C,O,A在一条直线上,∠ACB=,记该设施平面图的面积为S(x)m2,∠AOB=xrad,其中<x<π.(1)写出S(x)关于x的函数关系式;(2)如何设计∠AOB,使得S(x)有最大值?20.记函数f(x)=e x的图象为C,函数g(x)=kx﹣k的图象记为l.(1)若直线l是曲线C的一条切线,求实数k的值.(2)当x∈(1,3)时,图象C恒在l上方,求实数k的取值范围.(3)若图象C与l有两个不同的交点A、B,其横坐标分别是x1、x2,设x1<x2,求证:x1x2<x1+x2.2015-2016学年江苏省镇江市高三(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分。

2016年 江苏省 高二上数学 期中测试卷2

2016年  江苏省 高二上数学  期中测试卷2

2016年 江苏省 高二上数学 期中测试卷2一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答题卡相....应位置上..... 1. 直线l 在平面α内,可以用符号“ ▲ ”表示.2. 若△ABC 在平面α 外,它的三条边所在的直线分别交α于P 、Q 、R ,则点Q ▲直线PR (用符号表示它们的位置关系).3. 直线y x m =+的倾斜角为 ▲ .4. 长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,异面直线AB ,A 1D 1所成的角等于 ▲ .5. 点2(,5)P m 与圆x 2+y 2=24的位置关系是 ▲ . 6. 棱长都是1的三棱锥的表面积为 ▲ .7. 已知{(x ,y )|ax +y +b =0}∩{(x ,y )|x +y +1=0}=∅,则a ,b 所满足的条件是 ▲ . 8. 两直线l 1:ax +2y +b =0;l 2:(a -1)x +y +b =0.若l 1∥l 2,且l 1与l 2的距离为2,则 a b ⋅= ▲ .9. 不论m 取什么实数,直线(21)(3)(11)0m x m y m --+--=恒过定点 ▲ .10.如图,在三棱柱111A B C ABC -中,D ,E F ,分别是AB ,1AC AA ,的中点,设三棱锥F ADE -的体积为1V ,三棱柱111A B C ABC -的体积为2V ,则12:V V = ▲ .11.光线从点M (-2,3)射到x 轴上一点P (1,0)后被x 轴反射,则反射光线所在的直线方程为▲ .12.设m ,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题正确的是 ▲ .①若m ⊥n ,m ⊥α,n ∥β,则α∥β; ②若m ∥α,n ∥β,α∥β,则m ∥n ; ③若m ⊥α,n ∥β,α∥β,则m ⊥n ; ④若m ∥n ,m ∥α,n ∥β,则α∥β.13.已知两点(1,0)A -、(0,2)B ,点P 是圆22(1)1x y -+=上任意一点,则PA PB ⋅的最大值是 ▲ .14.已知圆22:4O x y +=与曲线:3||C y x t =-,曲线C 上两点(,)A m n ,(,)B s p (m 、n 、s 、p 均为正整数),使得圆O 上任意一点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值k(1)k >,则s p m n -= ▲ .二、解答题:本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域.......内作答. 解答时应写出(第10题)文字说明、证明过程或演算步骤.15.(1)过原点作直线l 的垂线,若垂足为A (-2,3),求直线l 的方程;(2)三角形三个顶点是A (4,0),B (6,7),C (0,3),求AB 边上的高所在的直线方程.16.求经过P (-2,4),Q (3,-1)两点,并且在x 轴上截得的弦长等于6的圆的方程.17.如图,在三棱锥S ABC -中,平面SAB ⊥平面SBC ,AB BC ⊥,AS AB =,过A作AF SB ⊥,垂足为F ,点E G ,分别是棱SA ,SC 的中点. (1)求证:平面EFG ∥平面ABC ; (2)求证:BC SA ⊥.18.如图,为保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC ,同时设立一个圆形保护区.规划要(第17题)求:新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆.经 测量,点A 位于点O 正北方向60 m 处,点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸), tan∠BCO =43.(1)当点M 与A 重合时,求圆形保护区的面积;(2)若古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m .当OM 多长时,点 M 到直线BC 的距离最小?19.如图,在棱长均为4的三棱柱111ABC A B C -中,D 、1D 分别是BC 和11B C 的中点.(1)求证:11A D ∥平面1AB D ;(2)若平面ABC ⊥平面11BCC B ,160B BC ∠=,求三棱锥1B ABC -的体积.20.在平面直角坐标系xOy 中,圆O :x 2+y 2=1,P 为直线l :x =43上一点.(第18题)(第19题)(1)若点P 在第一象限,且OP =53,求过点P 圆O 的切线方程;(2)若存在过点P 的直线交圆O 于点A ,B ,且B 恰为线段AP 的中点,求点P 纵坐标的取值范围;(3)设直线l 动点Q ,⊙Q 与⊙O 相外切,⊙Q 交于M 、N 两点,对于任意直径MN ,平面上是否存在不在直线上的定点A ,使得∠MAN 为定值?若存在,直接写出点A 的坐标;若不存在,请说明理由.l l2016—2017学年度第一学期高二数学期中参考答案一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答题卡相....应位置上..... 1.l α⊆ 2. ∈3. 4π4. 2π5. 在圆外 7. 1a =且1b ≠ 8. 4- 9. (2,3) 10. 1:24 11. 10x y --= 12. ③ 13.314. 0二、解答题:本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域.......内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分14分)解: (1)∵32OA k =-,且OA ⊥l ,∴l 的斜率为23k =.于是l 的方程为23(2)3y x =-+.整理得2x -3y +13=0. (7分)(2)∵72AB k =,∴设所求直线方程 2x +7y +m =0, 代入点C 坐标得m =-21.(也可由点斜式求,由23(0)7y x =---,得2x +7y -21=0.)∴AB 边上的高所在的直线方程为2x +7y -21=0. (7分)16. (本小题满分14分)解:设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0,将P 、Q 点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧2D -4E -F =20,①3D -E +F =-10.②又令y =0,得x 2+Dx +F =0.③ 设x 1、x 2是方程③的两根, 由|x 1-x 2|=6有D 2-4F =36.④由①②④解得D =-2,E =-4,F =-8或D =-6,E =-8,F =0. 故所求圆的方程为x 2+y 2-2x -4y -8=0或x 2+y 2-6x -8y =0.17. (本小题满分14分)证明:(1)∵AS AB =,AF SB ⊥∴F 分别是SB 的中点∵E ,F 分别是SA ,SB 的中点 ∴EF ∥AB又∵EF ⊄平面ABC , AB ⊆平面ABC ∴EF ∥平面ABC 同理:FG ∥平面ABC又∵EF FG =F ,EF ⊆平面ABC ,FG ⊆平面ABC ∴平面//EFG 平面ABC (7分) (2)∵平面SAB ⊥平面SBC ,平面SAB平面SBC =BCAF ⊆平面SAB ,AF ⊥SB∴AF ⊥平面SBC 又∵BC ⊆平面SBC∴AF ⊥BC又∵AB BC ⊥, AB AF =A , AB ⊆平面SAB ,AF ⊆平面SAB ∴BC ⊥平面SAB又∵SA ⊆平面SAB ,∴BC ⊥SA . (14分)18. (本小题满分16分)解: (1)以O 为坐标原点,OC 所在直线为x 轴,建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0,60),C (170,0), 直线BC 的斜率43BC k =-又因为AB ⊥BC ,所以直线AB 的斜率34AB k = 设点B 的坐标为(a ,b ),则041703BC b k a -==--,60304AB b k a -==-解得a =80,b =120所以圆形保护区半径100r AB == 则圆形保护区面积为10000π2m .(8分)(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m ,OM =d m(060d ≤≤)由条件知,直线BC 的方程为y =-43(x -170),即4x +3y -680=0由于圆M 与直线BC 相切,故点M (0,d )到直线BC 的距离是r 即r =|3d -680|42+32=680-3d 5因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ,所以⎩⎪⎨⎪⎧r -d ≥80,r -(60-d )≥80,解得10≤d ≤35则当d =10,即OM =10m 时,M 到直线BC 的距离最小.(16分)19. (本小题满分16分)证明:(1)如图,连结1DD ,在三棱柱111ABC A B C -中,因为1,D D 分别是BC 与11B C 的中点,所以11//B D BD ,且11B D BD =. 所以四边形11B BDD 为平行四边形, 所以11//BB DD ,且11BB DD = 又因为1111//,AA BB AA BB =, 所以1111//,AA DD AA DD =,所以四边形11AA D D 为平行四边形,所以11//A D AD又11A D ⊄平面1AB D ,AD ⊂平面1AB D ,故11//A D 平面1AB D (8分)解: (2)在ABC ∆中,因为AB AC =,D 为BC 的中点,所以AD BC ⊥因为平面ABC ⊥平面11B C CB ,交线为BC ,AD ⊂平面ABC , 所以AD ⊥平面11B C CB ,即AD 是三棱锥1A B BC -的高.在ABC ∆中,因为4AB AC BC ===,得AD = 在1B BC ∆中,114,60B B BC B BC ==∠=,所以1B BC ∆的面积124B BC S ∆== 所以三棱锥1B ABC -的体积,即三棱锥1A B BC -的体积,111833B BC V S AD ∆=⨯⋅=⨯.(16分)20. (本小题满分16分)解:(1)设点P 的坐标为(43,y 0).因OP =53,所以(43)+y 02=(53)2,解得y 0=±1.又点P 在第一象限,所以y 0=1,即P 的坐标为(43,1).易知过点P 圆O 的切线的斜率必存在,可设切线的斜率为k , 则切线为y -1=k (x -43),即kx -y +1-43k =0,于是有|1-43k |k 2+1=1,解得k =0或k =247. 因此过点P 圆O 的切线为:y =1或24x -7y -25=0.(5分)(2)设A (x ,y ),则043(,)22x y y B ++.因为点A ,B 均在圆上,所以有⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 2=1,(x +432)2+(y +y 02)2=1.即⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 2=1,(x +43)2+(y +y 0)2=4. 该方程组有解,即圆x 2+y 2=1与圆(x +43)2+(y +y 0)2=4有公共点.于是1≤169 +y 02≤3,解得-65 3≤y 0≤65 3, 即点P 纵坐标的取值范围是[-65 3,653].(10分) (3)存在,点A 的坐标为.(16分)(写出存在两字给2分)。

江苏省镇江市高二上学期期中数学试卷(理科)

江苏省镇江市高二上学期期中数学试卷(理科)

江苏省镇江市高二上学期期中数学试卷(理科)姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题;共24分)1. (2分) (2016高二下·洛阳期末) 已知双曲线﹣y2=1(a>0)的离心率为,则该双曲线的渐近线方程为()A . y=± xB . y=± xC . y=± xD . y=±2x2. (2分)设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集,命题P:∀x∈A,2x∈B,则命题P的否定是()A . ∃x∈A,2x∈BB . ∃x∉A,2x∉BC . ∃x∈A,2x∉BD . ∀x∉A,2x∉B3. (2分)已知椭圆的左焦点为,则()A .B .C .D .4. (2分)若命题p:a>0,q:方程表示双曲线,则p是q的()A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. (2分)圆C:(x+2)2+y2=32与抛物线y2=2px(p>0)相交于A、B两点,若直线AB恰好经过抛物线的焦点,则p等于()A .B . 2C . 2D . 46. (2分)若m是2和8的等比中项,则圆锥曲线的离心率是()A .B .C . 或D . 或7. (2分) (2018高三上·河北月考) 已知双曲线与抛物线的交点为点A,B,且直线AB过双曲线与抛物线的公共焦点F,则双曲线的实轴长为()A .B .C .D .8. (2分) (2017·上海) 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1: =1和C2:x2+ =1.P为C1上的动点,Q为C2上的动点,w是的最大值.记Ω={(P,Q)|P在C1上,Q在C2上,且 =w},则Ω中元素个数为()A . 2个B . 4个C . 8个D . 无穷个9. (2分) (2016高二上·怀仁期中) 已知正三棱锥P﹣ABC的高PO为h,点D为侧棱PC的中点,PO与BD 所成角的余弦值为,则正三棱锥P﹣ABC的体积为()A .B .C .D .10. (2分)设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么双曲线的离心率是()A .B .C .D .11. (2分)在区间内任取两个数a,b,则使方程的两个根分别作为椭圆与双曲线的离心率的概率为()A .B .C .D .12. (2分)已知分别是双曲线的左右焦点,以坐标原点0为圆心,为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P,则当的面积等于时,双曲线的离心率为()A .B .C .D . 2二、填空题 (共4题;共4分)13. (1分) (2017高二下·湘东期末) 已知F是抛物线x2=4y的焦点,P是抛物线上的一个动点,且A的坐标为(0,﹣1),则的最小值等于________.14. (1分) (2018高二上·长安期末) 做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是,且用料最省,则圆柱的底面半径为________ .15. (1分) (2017高二上·长泰期末) 双曲线的渐近线方程为________.16. (1分) (2017高三上·北京开学考) 抛物线x2=ay的准线方程是y=2,则a=________.三、解答题 (共6题;共55分)17. (5分) (2016高二上·唐山期中) 已知圆心在y轴上的圆C经过点A(1,2)和点B(0,3).(Ⅰ)求圆C的方程;(Ⅱ)若直线l在两坐标轴上的截距相等,且被圆C截得的弦长为,求l的方程.18. (10分) (2016高一上·绍兴期中) 已知函数f(x)=9x﹣3x+1+c(其中c是常数).(1)若当x∈[0,1]时,恒有f(x)<0成立,求实数c的取值范围;(2)若存在x0∈[0,1],使f(x0)<0成立,求实数c的取值范围.19. (10分) (2016高二上·如东期中) 求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程:(1)焦点坐标为(,0),准线方程为x= 的椭圆;(2)过点(,2),渐近线方程为y=±2x的双曲线.20. (10分)(2017·太原模拟) 已知椭圆C:的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点,点D 在椭圆C上,直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A、P两点,与x轴、y轴分别相交于点N 和M,且PM=MN,点Q是点P关于x轴的对称点,QM的延长线交椭圆于点B,过点A、B分别作x轴的垂涎,垂足分别为A1、B1(1)求椭圆C的方程;(2)是否存在直线l,使得点N平分线段A1B1?若存在,求求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.21. (10分)已知抛物线C顶点在坐标原点,准线垂直于x轴,且过点M(2,2),A,B是抛物线C上两点,满足MA⊥MB,(1)求抛物线C方程;(2)证明直线AB过定点.22. (10分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为4,且点(1,)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过P作斜率为的直线l交椭圆C于A、B两点,求证:|PA|2+|PB|2为定值.参考答案一、选择题 (共12题;共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题;共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题;共55分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。

2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题2

2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题2

2015-2016学年第一学期高二期中考试数学试题及答案考试时间:120分钟 总分:160分一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分 1.直线),(03为常数a R a a y x ∈=+-的倾斜角是 .2.过点(0,1),且与直线2x +y -3=0平行的直线方程是____________ .3.已知直线1:20l ax y a -+=,2:(21)0l a x ay a -++=互相垂直,则实数a 的值是 4.已知空间点),,(和点432)2,1,(B x A ,且62=AB ,则点A 到的平面yoz 的距离是 .5.圆1C :2(1)x ++2(1)y -=1,圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称,则圆2C 的标准方程为__________ .6.已知a 、b 是不同的直线,α、β、γ是不同的平面,给出下列命题: ①若α∥β,a ⊂α,则a ∥β ②若a 、b 与α所成角相等,则a ∥b ③若α⊥β、β⊥γ,则α∥γ ④若a ⊥α, a ⊥β,则α∥β 其中正确的命题的序号是________________ .7. 直线:1l y kx =+与圆0422222=--+-+a a ax y x 恒有交点,则实数a 的取值范围是 .8.如图,在三棱锥ABC P -中,⊥PA 底面ABC ,90=∠ABC ,1===BC AB PA ,则PC 与底面ABC 所成角的正切值...为 .9.已知,x y 满足204x y ≤≤-,则23y x --的取值范围是 .10.空间四个点P 、A 、B 、C 在同一球面上,PA 、PB 、PC 两两垂直,且PA=PB=PC=a ,那么这个球的表面积是 .11.设圆222(3)(5)(0)x y r r -++=>上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离等于1,则圆半径r 的取值范围____________ .12.圆2221:4440C x y ax a +++-=和圆2222:210C x y b y b +-+-=相内切,若,a b R ∈,且0ab ≠,则2211a b +的最小值为 _________ .13.如图,一个圆锥形容器的高为a ,内装有一定量的水. 如果将容器倒置,这时所形成的圆锥的高恰为2a(如图2-②), PAB C(第8题)2-①2-②a则图2-①中的水面高度为 .14.直线03=++y tx 与圆422=+y x 相交于A 、B 两点,若AB OB OA >+,则实数t的范围二、解答题:(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.已知直线经过点(1,2)A ,求分别满足下列条件的直线方程: (1)倾斜角的正弦为513; (2)与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为4.16.已知圆22:()(2)4(0)C x a y a -+-=>及直线:30l x y -+=. 当直线l 被圆C 截得的弦长为22时, 求(1)a 的值; (2)求过点(3,5)并与圆C 相切的切线方程.17.如图,在四面体ABCD 中,CD CB =,BD AD ⊥,点E ,F 分别是AB ,BD 的中点.(1) EF ∥平面ACD(2)求证:平面EFC ⊥平面BCD ;(3)若平面ABD ⊥平面BCD ,且1===BC BD AD ,求三棱锥ADC B -的体积. 18.(本题为选做题,文科生做第1道,理科生做第2道) 1.已知半径为5的圆的圆心在x 轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线43290x y +-= 相切.(1)求圆的标准方程;(2)设直线50ax y -+=(0)a >与圆相交于,A B 两点,求实数a 的取值范围;(3) 在(2)的条件下,是否存在实数a ,使得弦AB 的垂直平分线l 过点(2, 4)p -, 2.已知⊙O :221x y +=和定点(2,1)A ,由⊙O 外一点(,)P a b 向⊙O 引切线PQ ,切点为Q ,且满足PA PQ =.(1) 求实数a b 、间满足的等量关系; (2) 求线段PQ 长的最小值;(3) 若以P 为圆心所作的⊙P 与⊙O 有公共点,试求半径取最小值时的⊙P 方程.19.如图,直三棱柱111ABC A B C -中,D 、E 分别是棱BC 、AB 的中点,点F 在棱1CC 上,已知AB AC =,13AA =,2BC CF ==.(1)求证:1//C E 平面ADF ; (2)设点M 在棱1BB 上,当BM 为何值时,平面CAM ⊥平面ADF ?20.如图,已知圆O 的直径AB=4,定直线L 到圆心的距离为4,且直线L ⊥直线AB 。

2015—2016学年高二上册期中试题集锦(各科)

2015—2016学年高二上册期中试题集锦(各科)

2015—2016学年高二上册期中试题集锦(各科)》》》高二语文高二年级语文期中考试题(附答案)上学期高二语文期中试题高二语文上学期期中试题(附答案)2016第一学期高二语文期中试题》》》高二数学高二数学上学期期中试题(理)2016年高二数学上册期中试题高二数学上学期期中试题2016高二数学第一学期期中试卷》》》高二英语2016学年高二级英语上学期期中试题高二英语上学期期中试题高二英语第一学期期中试卷(附答案)高二英语第一学期期中考试》》》高二生物高二生物上学期期中试题(附答案)高二第一学期生物期中试卷高二生物上学期期中试题及答案高二生物学科期中试卷(附答案)》》》高二地理2016高二级地理上学期期中试卷第一学期期中考试高二级地理试卷重庆一中高二年级地理上学期期中试题高二地理文科第一学期期中考试题》》》高二物理高二物理第一学期期中考试评测卷集高二物理理科第一学期期中试卷重庆市高二物理上学期期中试题2015年秋学期高二物理期中考试题》》》高二化学高二化学上学期期中检测考试题精编新人教高二上学期化学期中测试题高二理科化学上学期期中试题高二年级化学理科第一学期期中考试题》》》高二政治高二年级秋学期政治必修期中试卷高中二年级政治学科期中试题2015年高二秋季学期政治期中考试题高二政治第一学期期中考试题》》》高二历史高二年级历史文科第一学期期中考试题高二上学期历史期中联考试卷高中二年级历史期中考试试题(含答案)高二历史第一学期期中考试题2015-2016学年高二上册期中试题集锦就分享到这里了,更多高二期中试题请继续关注高中频道!想要查看更多高二期中试题的同学们,大家可以点击进入高二期中试题专栏~。

江苏省镇江市丹阳高中2015_2016学年高二数学上学期期中试卷(实验班,含解析)

江苏省镇江市丹阳高中2015_2016学年高二数学上学期期中试卷(实验班,含解析)

2015-2016学年江苏省镇江市丹阳高中高二(上)期中数学试卷(实验班)一.填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合A={﹣1,0,1},B={0,1,2},则A∩B=.2.若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件,则a的最大值为.3.函数f(x)=1﹣2sin2x的最小正周期为.4.已知向量与的夹角是120°,且满足,,则||= .5.直线ax+2y+6=0与直线x+(a﹣1)y+(a2﹣1)=0平行,则a= .6.下列说法正确的序号有.(1)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.(2)m,n为异面直线,过空间任意一点P,一定能作一条直线l与m,n都垂直.(3)m,n为异面直线,过空间任意一点P,一定能作一条直线l与m,n都相交.(4)m,n为异面直线,过空间任意一点P,一定存在与直线m,n都平行的平面.7.已知函数f(x)=mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数,则实数m范围为.8.若圆锥的高是底面半径和母线长的等比中项,则称此圆锥为“完美圆锥”,已知一完美圆锥的侧面积为2π,则这个圆锥的高为.9.已知方程cos2x+4sinx﹣a=0有解,则a的取值范围是.10.已知椭圆的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF、BF,若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=,则C的离心率e= .11.等比数列{a n}的首项为2,公比为3,前n项和为S n,若log3[a n(S4m+1)]=9,则+的最小值是.12.已知圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=1和两点A(﹣m,0),B(m,0)(m>0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的取值范围是.13.已知函数f(x)满足f(x)=f(),当x∈[1,3]时,f(x)=lnx,若在区间[,3]内,函数g(x)=f (x)﹣ax与x轴有三个不同的交点,则实数a的取值范围是.14.若实数a≥0,b≥1且,则2a+2b+1的取值范围为.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在直角坐标系xOy中,以原点O为圆心作一个单位圆,角α和角β的终边与单位圆分别交于A、B两点,且||=.若0<α<,﹣<β<0,sinβ=﹣.(1)求△AOB的面积;(2)求sinα的值.16.已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,侧面SAB是等边三角形,侧面SCD是以CD为斜边的直角三角形,E为CD的中点,M为SB的中点.(1)求证:CM∥平面SAE;(2)求证:SE⊥平面SAB;(3)求三棱锥S﹣AED的体积.17.(文科)已知数列{a n}的前n项的和为S n,点P(n,S n)(n∈N*)在函数f(x)=﹣x2+7x的图象上.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式及S n的最大值;(Ⅱ)令b n=(n∈N*),求数列{nb n}的前n项的和T n;(Ⅲ)设c n=,数列{c n}的前n项的和为R n,求使不等式R n>对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值.18.为响应新农村建设,某村计划对现有旧水渠进行改造,已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧,顶点为水渠最底端(如图),渠宽为4m,渠深为2m.(1)考虑到农村耕地面积的减少,为节约水资源,要减少水渠的过水量,在原水渠内填土,使其成为横断面为等腰梯形的新水渠,新水渠底面与地面平行(不改变渠宽).问新水渠底宽为多少时,所填土的土方量最少?(2)考虑到新建果园的灌溉需求,要增大水渠的过水量,现把旧水渠改挖(不能填土)成横断面为等腰梯形的新水渠,使水渠的底面与地面平行(不改变渠深),要使所挖土的土方量最少,请你设计水渠改挖后的底宽,并求出这个底宽.19.椭圆=1(a>b>0)的离心率为,左焦点F到右准线l的距离为10,圆G:(x﹣1)2+y2=1.(1)求椭圆的方程;(2)若P是椭圆上任意一点,过点P作圆G的切线,切点为Q,过点P作右准线l的垂线,垂足为H,求的取值范围;(3)是否存在以椭圆上的点M为圆心的圆M,使得过圆M上任意一点N作圆G的切线(切点为T)都满足?若存在,请求出圆M的方程;若不存在,请说明理由.20.已知函数f(x)=lnx+a(x﹣1)2,其中a∈R.(1)若f(x)在x=e处的切线斜率为1,求a;(2)若a>0,g(x)=f(x)﹣x+1,求g(x)在区间[1,2]的最小值;(3)令h(x)=f(x)﹣ax2,对y=h(x)上任意不同的两点,A(x1,y1),B(x2,y2)直线AB的斜率为k,若x1+x2+k>0恒成立,求实数a的取值范围.2015-2016学年江苏省镇江市丹阳高中高二(上)期中数学试卷(实验班)参考答案与试题解析一.填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合A={﹣1,0,1},B={0,1,2},则A∩B={0,1} .【考点】交集及其运算.【专题】集合.【分析】利用交集的性质求解.【解答】解:∵集合A={﹣1,0,1},B={0,1,2},∴A∩B={0,1}.故答案为:{0,1}.【点评】本题考查集合的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集的性质的合理运用.2.若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件,则a的最大值为﹣1 .【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【专题】计算题.【分析】因x2>1得x<﹣1或x>1,又“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件,知“x<a”可以推出“x2>1”,反之不成立.由此可求出a的最大值.【解答】解:因x2>1得x<﹣1或x>1,又“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件,知“x<a”可以推出“x2>1”,反之不成立.则a的最大值为﹣1.故答案为﹣1.【点评】本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断,解题时要认真审题,仔细解答.3.函数f(x)=1﹣2sin2x的最小正周期为π.【考点】三角函数的周期性及其求法;二倍角的余弦.【专题】计算题.【分析】先利用二倍角公式对函数解析式进行化简整理,进而利用三角函数最小正周期的公式求得函数的最小正周期.【解答】解:f(x)=1﹣2sin2x=cos2x∴函数最小正周期T==π故答案为:π.【点评】本题主要考查了二倍角的化简求值和三角函数的周期性及其求法.考查了三角函数的基础的知识的应用.4.已知向量与的夹角是120°,且满足,,则||= 2.【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.【专题】向量法;平面向量及应用.【分析】由题意可得向量的模长,由夹角公式可得.【解答】解:向量与的夹角是120°,且满足,∴||==,又∵,∴||cos120°=﹣,解得||=2故答案为:【点评】本题考查平面向量的数量积和夹角,属基础题.5.直线ax+2y+6=0与直线x+(a﹣1)y+(a2﹣1)=0平行,则a= ﹣1 .【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.【专题】计算题.【分析】根据两直线平行,直线方程中一次项系数之比相等,但不等于常数项之比,由此求得a的值.【解答】解:∵直线ax+2y+6=0与直线x+(a﹣1)y+(a2﹣1)=0平行,∴≠,解得 a=﹣1,故答案为﹣1.【点评】本题主要考查两直线平行的性质,两直线平行,直线方程中一次项系数之比相等,但不等于常数项之比,属于基础题.6.下列说法正确的序号有(2).(1)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.(2)m,n为异面直线,过空间任意一点P,一定能作一条直线l与m,n都垂直.(3)m,n为异面直线,过空间任意一点P,一定能作一条直线l与m,n都相交.(4)m,n为异面直线,过空间任意一点P,一定存在与直线m,n都平行的平面.【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.【专题】计算题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离.【分析】在(1)中,如果两个平面有共线的三个公共点,则这两个平面相交;在(2)中,一定能作一条且只能作一条直线l与m,n都垂直;在(3)和(4)举出反例,能得到(3)和(4)都不正确.【解答】解:(1)如果两个平面有不共线的三个公共点,则这两个平面重合,故(1)错误.(2)m,n为异面直线,过空间任意一点P,一定能作一条且只能作一条直线l与m,n都垂直,故(2)正确.(3)过直线m存在一个与直线n平行的平面,当点P在这个平面内且不在直线m上时,就不满足结论,故(3)错误;.(4)过直线m存在一个与直线n平行的平面,当点P在这个与直线n平行的平面内时,不满足结论,故(4)错误.故答案为:(2).【点评】本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用.7.已知函数f(x)=mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数,则实数m范围为.【考点】函数单调性的性质.【专题】计算题.【分析】求出f′(x)=2mx+﹣2,因为函数在定义域内是增函数,即要说明f′(x)大于等于0,分离参数求最值,即可得到m的范围.【解答】解:求导函数,可得f′(x)=2mx+﹣2,x>0,函数f(x)=mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数,所以f′(x)≥0成立,所以2mx+﹣2≥0,x>0时恒成立,所以,所以﹣2m≤﹣1所以m≥时,函数f(x)在定义域内是增函数.故答案为.【点评】考查学生利用导数研究函数单调性的能力,会找函数单调时自变量的取值范围,属于基础题8.若圆锥的高是底面半径和母线长的等比中项,则称此圆锥为“完美圆锥”,已知一完美圆锥的侧面积为2π,则这个圆锥的高为.【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台).【专题】计算题;函数思想;待定系数法;空间位置关系与距离;立体几何.【分析】设出圆锥的底面半径高、母线,由题意列出关系,求出圆锥的高即可.【解答】解:设出圆锥的底面半径为r,高为h,母线为L,由题意可知:h2=Lr,并且×2πr×L=2π,∴h2=2,∴h=,故答案为:【点评】本题考查旋转体的侧面积,等比中项的知识,是基础题.9.已知方程cos2x+4sinx﹣a=0有解,则a的取值范围是[﹣4,4] .【考点】同角三角函数基本关系的运用.【专题】三角函数的求值.【分析】已知方程利用同角三角函数间基本关系化简表示出a,根据方程有解,利用二次函数的性质即可确定出a的范围.【解答】解:方程cos2x+4sinx﹣a=0,变形得:1﹣sin2x+4sinx﹣a=0,即a=﹣sin2x+4sinx+1=﹣(sinx﹣2)2+5,∵﹣1≤sinx≤1,∴﹣4≤﹣(sinx﹣2)2+5≤4,则a的取值范围为[﹣4,4].故答案为:[﹣4,4].【点评】此题考查了的同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键.10.已知椭圆的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF、BF,若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=,则C的离心率e= .【考点】椭圆的简单性质.【专题】计算题;压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】设椭圆右焦点为F',连接AF'、BF',可得四边形AFBF'为平行四边形,得|AF|=|BF'|=6.△ABF中利用余弦定理算出|BF|=8,从而得到|AF|2+|BF|2=|AB|2,得∠AFB=90°,所以c=|OF|=|AB|=5.根据椭圆的定义得到2a=|BF|+|BF'|=14,得a=7,最后结合椭圆的离心率公式即可算出椭圆C的离心率.【解答】解:设椭圆的右焦点为F',连接AF'、BF'∵AB与FF'互相平分,∴四边形AFBF'为平行四边形,可得|AF|=|BF'|=6∵△ABF中,|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=,∴由余弦定理|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB|×|BF|cos∠ABF,可得62=102+|BF|2﹣2×10×|BF|×,解之得|BF|=8由此可得,2a=|BF|+|BF'|=14,得a=7∵△ABF中,|AF|2+|BF|2=100=|AB|2∴∠AF B=90°,可得|OF|=|AB|=5,即c=5因此,椭圆C的离心率e==故答案为:【点评】本题给出椭圆经过中心的弦AB与左焦点构成三边分别为6、8、10的直角三角形,求椭圆的离心率.着重考查了椭圆的定义与标准方程、椭圆的简单几何性质等知识,属于中档题.11.等比数列{a n}的首项为2,公比为3,前n项和为S n,若log3[a n(S4m+1)]=9,则+的最小值是 2.5 .【考点】等比数列的通项公式;基本不等式.【专题】等差数列与等比数列;不等式的解法及应用.【分析】根据等比数列{a n}的首项为2,公比为3,前n项和为S n,可得a n=2•3n﹣1;S n=3n﹣1,由log3[a n•(S4m+1)]=9,可得n+4m=10,进而利用“1”的代换,结合基本不等式,即可得出结论.【解答】解:∵等比数列{a n}的首项为2,公比为3,前n项和为S n,∴a n=2•3n﹣1;S n=3n﹣1,∵log3[a n•(S4m+1)]=9,∴(n﹣1)+4m=9,∴n+4m=10,∴+=(n+4m)(+)=(17+)≥(17+8)=2.5,当且仅当m=n=2时取等号,∴+的最小值是2.5.故答案为:2.5.【点评】本题考查等比数列的通项与性质,考查对数运算,考查基本不等式,确定n+4m=3,进而利用“1”的代换,结合基本不等式是关键,属于中档题.12.已知圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=1和两点A(﹣m,0),B(m,0)(m>0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的取值范围是[4,6] .【考点】圆的标准方程.【专题】计算题;直线与圆.【分析】C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=1的圆心C(3,4),半径r=1,设P(a,b)在圆C上,则=(a+m,b),=(a﹣m,b),由已知得m2=a2+b2=|OP|2,m的最值即为|OP|的最值.【解答】解:圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=1的圆心C(3,4),半径r=1,设P(a,b)在圆C上,则=(a+m,b),=(a﹣m,b),∵∠APB=90°,∴⊥,∴•=(a+m)(a﹣m)+b2=0,∴m2=a2+b2=|OP|2,∴m的最大值即为|OP|的最大值,等于|OC|+r=5+1=6.最小值为5﹣1=4,∴m的取值范围是[4,6]故答案为:[4,6].【点评】本题考查实数的最大值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意圆的性质的合理运用.13.已知函数f(x)满足f(x)=f(),当x∈[1,3]时,f(x)=lnx,若在区间[,3]内,函数g(x)=f(x)﹣ax与x轴有三个不同的交点,则实数a的取值范围是[,).【考点】根的存在性及根的个数判断.【专题】函数的性质及应用;导数的综合应用.【分析】根据已知即可求得f(x)在[,1]上的解析式为f(x)=﹣lnx,从而可画出f(x)在上的图象,而容易知道g(x)与x轴交点个数便是y=f(x)与y=ax交点个数.通过图象可以看出直线y=ax在其与f (x)=lnx的切点和曲线y=f(x)的右端点之间,从而分别求出相切时a的值和经过右端点时a的值即可.【解答】解:设x∈,则∈[1,3];∴根据条件;g(x)与x轴有三个不同的交点即表示函数y=f(x)和函数y=ax有三个不同交点,如图所示:由图可看出当直线y=ax与曲线f(x)=lnx,x∈[1,3],相切时直线y=ax和曲线y=f(x)有两个公共点;若直线y=ax再向下旋转便有三个交点,直到y=ax经过曲线y=f(x)的右端点,再向下旋转便成了两个交点;设切点为(x0,lnx0),∴,又,∴;∴此时lnx0=1,x0=e;∴此时a=;y=f(x)的右端点坐标为(3,ln3);∴直线y=ax经过右端点时,a=;∴实数a的取值范围是.故答案为:[).【点评】考查通过将定义域转变到已知函数的定义域上求函数解析式的方法,数形结合解题的方法,以及直线和曲线相切时的斜率和曲线在切点处导数的关系.14.若实数a≥0,b≥1且,则2a+2b+1的取值范围为[7,9] .【考点】有理数指数幂的化简求值.【专题】计算题;转化思想;综合法;函数的性质及应用.【分析】由已知得(2a﹣1)2=2b(4﹣2b)≥0,从而得到1≤b≤2,由此能求出2a+2b+1的取值范围.【解答】解:∵实数a≥0,b≥1且,∴(2a)2+(2b)2=2×2a+4×2b﹣1,∴(2a﹣1)2=2b(4﹣2b)≥0,∴4﹣2b≥0,解得1≤b≤2,∴4≤2b+1≤8,∵(2a﹣1)2=2b(4﹣2b)≥0,∴b=1时,2a=3,2a+2b+1=7,b=2时,2a=1,2a+2b+1=9,∴7≤2a+2b+1≤9,∴2a+2b+1的取值范围为[7,9].故答案为:[7,9].【点评】本题考查有理数指数幂代数和的取值范围的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意有理数指数幂的运算法则的合理运用.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在直角坐标系xOy中,以原点O为圆心作一个单位圆,角α和角β的终边与单位圆分别交于A、B两点,且||=.若0<α<,﹣<β<0,sinβ=﹣.(1)求△AOB的面积;(2)求sinα的值.【考点】余弦定理;正弦定理.【专题】计算题;转化思想;数形结合法;解三角形;平面向量及应用.【分析】(1)根据题意设出,,利用向量法则根据﹣表示出,利用向量模的定义列出关系式,整理后利用两角和与差的余弦函数公式即可求出cos(α﹣β)的值,由α与β的范围求出α﹣β的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出sin(α﹣β),由三角形面积公式即可得解.(2)可先求cosβ的值,所求式子变形后,利用两角和与差的正弦函数公式化简,将各自的值代入计算即可求出值.【解答】解:(1)根据题意设=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ),∴=﹣=(cosβ﹣cosα,sinβ﹣sinα),∴||2=(cosβ﹣cosα)2+(sinβ﹣sinα)2=,即2﹣2(cosβcosα+sinβsinα)=,∴cos(α﹣β)=cosβcosα+sinβsinα=;∵0<α<,﹣<β<0,∴0<α﹣β<π,∴sin∠AOB=sin(α﹣β)==,又∵|OA|=1,|OB|=1,∴S△AOB=|OA|•|OB|sin∠AOB==.(2)∵sinβ=﹣,∴cosβ==,则sinα=sin[(α﹣β)+β]=sin(α﹣β)cosβ+cos(α﹣β)sinβ=×﹣×=.【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式,以及同角三角函数间的基本关系,考查了平面向量的运算,熟练掌握公式是解本题的关键,属于中档题.16.已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,侧面SAB是等边三角形,侧面SCD是以CD为斜边的直角三角形,E为CD的中点,M为SB的中点.(1)求证:CM∥平面SAE;(2)求证:SE⊥平面SAB;(3)求三棱锥S﹣AED的体积.【考点】直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定.【专题】计算题;证明题;空间位置关系与距离.【分析】(1)取SA的中点N,连接MN.△ASB中利用中位线定理,证出MN∥AB且MN=AB,而正方形ABCD中E为CD中点,可得CE∥AB且CE=AB,从而得到CENM为平行四边形,得CM∥EN.最后用线面平行的判定定理,即可证出CM∥平面SAE;(2)Rt△SCD中,E为斜边中点,可得SE=CD=1.△ESA中算出SE2+SA2=5=AE2,从而得到ES⊥SA,同理△ESB中证出ES⊥SB,结合SA、SB是平面SAB内的相交直线,可证出SE⊥平面SAB.(3)根据正方形的性质可得S△AED=S△ABE,从而得到V S﹣AED=V S﹣AEB=V E﹣SAB,由(2)得SE是三棱锥E﹣SAB的高,从而算出V E﹣SAB=,由此即可得到V S﹣AED=V E﹣SAB=.【解答】解:(1)取SA的中点N,连接MN,EN∵M为SB的中点,N为SA的中点,∴MN∥AB,且MN=AB,又E是CD的中点,∴CE∥AB,且CE=AB,∴MN∥CE,且MN=CE,∴四边形CENM为平行四边形,∴CM∥EN,又EN⊂平面SAE,CM⊄平面SAE,∴CM∥平面SAE.(2)∵侧面SCD为直角三角形,∠CSD=90°,E为CD的中点,∴SE=CD=1,又∵SA=AB=2,AE=,∴SE2+SA2=5=AE2,可得ES⊥SA,同理可证ES⊥SB,∵SA∩SB=S,SA、SB⊂平面SAB,∴SE⊥平面SAB.(3)根据题意,得V S﹣AED=V S﹣AEB=V E﹣SAB,∵SE⊥平面SAB,可得SE是三棱锥E﹣SAB的高∴V E﹣SAB=S△SAB×SE==因此,三棱锥S﹣AED的体积为V S﹣AED=V E﹣SAB=×=.【点评】本题在四棱锥中证明线面平行、线面垂直,并求三棱锥的体积.着重考查了空间直线与平面平行的判定定理、直线与平面垂直的判定定理和锥体体积公式等知识,属于中档题.17.(文科)已知数列{a n}的前n项的和为S n,点P(n,S n)(n∈N*)在函数f(x)=﹣x2+7x的图象上.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式及S n的最大值;(Ⅱ)令b n=(n∈N*),求数列{nb n}的前n项的和T n;(Ⅲ)设c n=,数列{c n}的前n项的和为R n,求使不等式R n>对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值.【考点】数列的求和;数列的函数特性.【专题】等差数列与等比数列.【分析】(1)由于点P(n,S n)(n∈N)在函数f(x)=﹣x2+7x的图象上.可得S n.利用当n≥2时,a n=S n﹣S n,当n=1时,a1=S1,即可得出a n.再利用二次函数的单调性即可得出S n的最值;﹣1(2)利用“错位相减法”即可得出;(3)利用“裂项求和”得出R n,求出其最小值即可.【解答】解:(1)∵点P(n,S n)(n∈N)在函数f(x)=﹣x2+7x的图象上.∴,当n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1=﹣2n+8当n=1时,a1=S1=6满足上式,∴a n=﹣2n+8.又=,且n∈N*∴当n=3或4时,S n取得最大值12.(2)由题意知∴数列{nb n}的前n项的和为∴,相减得,∴.(3)由(1)得=∴=易知R n在n∈N*上单调递增,∴R n的最小值为不等式对一切n∈N*都成立,则,即k<19.所以最大正整数k的值为18.【点评】本题考查了利用“当n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1,当n=1时,a1=S1”得出a n、二次函数的单调性、“错位相减法”、“裂项求和”、恒成立问题等基础知识与基本技能方法,属于难题.18.为响应新农村建设,某村计划对现有旧水渠进行改造,已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧,顶点为水渠最底端(如图),渠宽为4m,渠深为2m.(1)考虑到农村耕地面积的减少,为节约水资源,要减少水渠的过水量,在原水渠内填土,使其成为横断面为等腰梯形的新水渠,新水渠底面与地面平行(不改变渠宽).问新水渠底宽为多少时,所填土的土方量最少?(2)考虑到新建果园的灌溉需求,要增大水渠的过水量,现把旧水渠改挖(不能填土)成横断面为等腰梯形的新水渠,使水渠的底面与地面平行(不改变渠深),要使所挖土的土方量最少,请你设计水渠改挖后的底宽,并求出这个底宽.【考点】函数最值的应用.【专题】应用题;导数的综合应用.【分析】(1)建立坐标系,设抛物线的方程为x2=2py(p>0).由已知点P(2,2)在抛物线上,推导出抛物线的方程,可得梯形APQB面积,利用导数可得结论.(2)为了使挖掉的土最少,等腰梯形的两腰必须与抛物线相切,设切点M(t, t2),t>0.则函数在点M的切线方程为y﹣t2=t(x﹣t),由此能推导出设计改挖后的水渠的底宽为m时,可使用权所挖土的土方量最少.【解答】解:(1)建立如图的坐标系,设抛物线的方程为x2=2py(p>0).由已知点P(2,2)在抛物线上,得p=1,∴抛物线的方程为x2=2y,设A(t, t2),则此时梯形APQB面积为S(t)=(2t+4)(2﹣t2),∴S′(t)=﹣,t=,t∈(0,),S′(t)>0,t∈(,2),S′(t)<0∴t=,S max(t)=,∴新水渠底宽为m时,所填土的土方量最少;(2)为了使挖掉的土最少,等腰梯形的两腰必须与抛物线相切,如图,设切点M(t, t2),t>0.则函数在点M的切线方程为y﹣t2=t(x﹣t),令y=0,y=2,得A(t,0),B(,2),∴此时梯形OABC的面积为S(t)=(t+)•2=t+≥2,当且仅当t=时,等号成立,此时|OA|=,∴设计改挖后的水渠的底宽为m时,土方量最少.【点评】本题考查函数在生产生活中的实际应用,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化,注意导数知识、基本不等式的合理运用.19.椭圆=1(a>b>0)的离心率为,左焦点F到右准线l的距离为10,圆G:(x﹣1)2+y2=1.(1)求椭圆的方程;(2)若P是椭圆上任意一点,过点P作圆G的切线,切点为Q,过点P作右准线l的垂线,垂足为H,求的取值范围;(3)是否存在以椭圆上的点M为圆心的圆M,使得过圆M上任意一点N作圆G的切线(切点为T)都满足?若存在,请求出圆M的方程;若不存在,请说明理由.【考点】椭圆的简单性质.【专题】压轴题;探究型;转化思想;数形结合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】(1)由题意可得,解方程组得到a,c的值,结合隐含条件求得b,则椭圆方程可求;(2)圆G:(x﹣1)2+y2=1的圆心在椭圆的右焦点上,把转化为含椭圆离心率与PH的式子,求出PH的范围可得答案;(3)设圆M:(x﹣m)2+(y﹣n)2=r2(r>0)满足条件,N(x,y),可知点(m,n)满足,化圆的方程为一般式,由得x2+y2﹣6x﹣1=0,代入圆的方程可得2(m﹣3)x+2ny﹣m2﹣n2﹣1+r2=0对圆M上点N(x,y)恒成立,由系数为0求得m,n,r的值,验证满足后可得答案.【解答】解:(1)由题意可得,解得a=3,c=1,∴b2=a2﹣c2=8.则椭圆方程为;(2)圆G:(x﹣1)2+y2=1的圆心在椭圆的右焦点上,∴,∵e=,PH∈[]=[6,12],∴ [],则∈[];(3)设圆M:(x﹣m)2+(y﹣n)2=r2(r>0)满足条件,N(x,y),其中点(m,n)满足,则x2+y2=2mx+2ny﹣m2﹣n2+r2,,要使即NF2=2NT2,即x2+y2﹣6x﹣1=0,代入x2+y2=2mx+2ny﹣m2﹣n2+r2,得2(m﹣3)x+2ny﹣m2﹣n2﹣1+r2=0对圆M上点N(x,y)恒成立,只要使,得,经检验m=3,n=0满足,故存在以椭圆上点M为圆心的圆M,使得过圆M上任意一点N作圆G的切线(切点为T)都满足,圆M的方程为(x﹣3)2+y2=10.【点评】本题考查椭圆的简单性质,考查了圆与圆锥曲线的位置关系,对于(3)的求解是该题的难点所在,与恒成立问题进行了交汇,试题设置难度较大.20.已知函数f(x)=lnx+a(x﹣1)2,其中a∈R.(1)若f(x)在x=e处的切线斜率为1,求a;(2)若a>0,g(x)=f(x)﹣x+1,求g(x)在区间[1,2]的最小值;(3)令h(x)=f(x)﹣ax2,对y=h(x)上任意不同的两点,A(x1,y1),B(x2,y2)直线AB的斜率为k,若x1+x2+k>0恒成立,求实数a的取值范围.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值.【专题】导数的概念及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用.【分析】(1)求得导数,求出切线的斜率,解方程可得a:(2)化简g(x),求得导数,讨论当a≥时,当0<a≤时,当<a<时,由单调区间,即可得到最小值;(3)运用斜率公式,化简整理,即有m(x)=lnx+x2﹣a(2x﹣1)在(0,+∞)上递增,运用导数判断单调性,结合恒成立思想,计算即可得到a的范围.【解答】解:(1)函数f(x)=lnx+a(x﹣1)2的导数为f′(x)=+2a(x﹣1),f(x)在x=e处的切线斜率为1,即有+2a(e﹣1)=1,解得a=;(2)g(x)=f(x)﹣x+1=lnx+a(x﹣1)2﹣x+1,g′(x)=+2a(x﹣1)﹣1=,当a≥时,在[1,2]上g′(x)>0,g(x)递增,即有x=1处取得最小值,且为0;当0<a≤时,在[1,2]上g′(x)<0,g(x)递减,即有x=2处取得最小值,且为ln2+a﹣1;当<a<时,g(x)在[1,)递减,在(,2)递增,即有x=处取得最小值,且为﹣ln(2a)+a(﹣1)2﹣+1;(3)h(x)=f(x)﹣ax2=lnx﹣a(2x﹣1),x1+x2+k>0恒成立,即为x1+x2+>0恒成立,即有>0,即为m(x)=lnx+x2﹣a(2x﹣1)在(0,+∞)上递增,即有m′(x)=+2x﹣2a≥0恒成立,即为2a≤2x+的最小值,由2x+≥2=2(当且仅当x=,等号成立),则2a≤2,解得a≤.【点评】本题考查导数的运用:求切线的方程和单调区间、极值和最值,考查不等式恒成立问题的解法,注意运用单调性的定义和构造函数的方法,属于中档题.。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

2015-2016学年江苏省镇江中学高二(上)期中数学试卷一、填空题(共14小题,每空5分,共70分)1.若集合A={x|﹣2≤x≤3},B={x|x<﹣1或x>4},则集合A∩B=.2.函数y=的定义域是.3.已知指数函数f(x)=(a﹣1)x在R上单调递减,则实数a的取值范围是.4.已知函数f(1﹣2x)=4x2+2x,则f(3)=.5.已知函数y=log a(x+3)﹣(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,则A的坐标是.6.若二次函数f(x)=x2﹣ax﹣a﹣1在[1,+∞)上单调递增,则a的取值范围为.7.已知函f(x)=,则f(f())=.8.计算:=.9.已知a=0.4﹣0.5,b=0.50.5,c=log0.22,将a,b,c这三个数按从小到大的顺序排列.(用“<”连接)10.函数f(x)=(x+1)(x﹣a)是偶函数,则f(2)=.11.若函数f(x)=log a(4﹣ax)在区间[1,2]上单调递减,则a的范围为.12.若函数f(x)同时满足:①对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(﹣x)=0;②对于定义域上的任意x1,x2,当x1≠x2时,恒有,则称函数f(x)为“理想函数”.给出下列四个函数中:(1)f(x)=(2)f(x)=x2(3)f(x)=(4)f(x)=,能被称为“理想函数”的有(填相应的序号).13.设已知函数f(x)=|log2x|,正实数m,n满足m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在区间[m,n2]上的最大值为4,则n+m=.14.函数f M(x)的定义域为R,且定义如下:(其中M是非空实数集).若非空实数集A,B满足A∩B=∅,则函数g(x)=f A∪B(x)+f A(x)•f B(x)的值域为.二.解答题(共6小题,共90分)15.画出下列函数的图象,(用虚线保留作图痕迹),并根据图象写出函数的单调区间:(1)f(x)=log2(x+1)(2)f(x)=x2﹣2|x|﹣3.16.已知函数f(x)=log2(x+1)的定义域为集合A,集合B={x|ax﹣1<0,a∈N*},集合C={y|y=,x∈A}.(1)求集合C;(2)若C⊈(A∩B),求a的值.17.函数f(x)是定义域为R的单调增函数,且f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=log2(1+x)(1)求f(x)的解析式;(2)解关于t的不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣5)<0.18.某跨国饮料公司对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5﹣8千美元的地区销售,该公司在对M饮料的销售情况的调查中发现:人均GDP处在中等的地区对该饮料的销售量最多,然后向两边递减.(1)下列几个模拟函数中(x表示人均GDP,单位:千美元;y表示年人均M饮料的销量,单位:升),用哪个来描述人均饮料销量与地区的人均GDP的关系更合适?说明理由;(A)f(x)=ax2+bx(B)f(x)=log a x+b(C)f(x)=a x+b(2)若人均GDP为2千美元时,年人均M饮料的销量为6升;人均GDP为4千美元时,年人均M饮料的销量为8升;把你所选的模拟函数求出来;(3)因为M饮料在N国被检测出杀虫剂的含量超标,受此事件影响,M饮料在人均GDP不高于3千美元的地区销量下降5%,不低于5千美元的地区销量下降5%,其他地区的销量下降10%,根据(2)所求出的模拟函数,求在0.5﹣8千美元的地区中,年人均M饮料的销量最多为多少?19.已知函数f(x)=|x|+﹣1(x≠0).(1)当m=2时,判断f(x)在(﹣∞,0)的单调性,并用定义证明.(2)若对任意x∈R,不等式f(2x)>0恒成立,求m的取值范围;(3)讨论f(x)零点的个数.20.一般地,若f(x)的定义域为[a,b],值域为[ka,kb],(a<b),则称[a,b]为函数f(x)的“k倍保值区间”.特别地,若f(x)的定义域为[a,b],值域也为[a,b],(a<b),则称[a,b]为函数f(x)的“保值区间”.(1)若[1,b]为g(x)=的保值区间,求常数b的值;(2)问是否存在常数a,b(a>﹣2)使函数h(x)=的保值区间为[a,b]?若存在,求出a,b的值,否则,请说明理由.(3)求函数p(x)=x2+的2倍保值区间[a,b].2015-2016学年江苏省镇江中学高二(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(共14小题,每空5分,共70分)1.若集合A={x|﹣2≤x≤3},B={x|x<﹣1或x>4},则集合A∩B={x|﹣2≤x<﹣1}.【考点】交集及其运算.【专题】集合.【分析】直接利用交集运算得答案.【解答】解:∵A={x|﹣2≤x≤3},B={x|x<﹣1或x>4},则集合A∩B={x|﹣2≤x≤3}∩{x|x<﹣1或x>4}={x|﹣2≤x<﹣1}.故答案为:{x|﹣2≤x<﹣1}.【点评】本题考查了交集及其运算,是基础的概念题.2.函数y=的定义域是[1,+∞).【考点】函数的定义域及其求法.【专题】转化思想;定义法;函数的性质及应用.【分析】由log2(4x﹣3)≥0,利用对数函数的单调性即可得出.【解答】解:由log2(4x﹣3)≥0,∴4x﹣3≥1,解得x≥1.∴函数y=的定义域是[1,+∞).故答案为:[1,+∞).【点评】本题考查了对数函数的单调性、根式函数的定义域,考查了计算能力,属于基础题.3.已知指数函数f(x)=(a﹣1)x在R上单调递减,则实数a的取值范围是(1,2).【考点】指数函数的单调性与特殊点.【专题】函数的性质及应用.【分析】对于指数函数y=a x(a>0且a≠1),当a>1时,单调递增;当0<a<1时,单调递减,由此可解.【解答】解:因为指数函数f(x)=(a﹣1)x在R上单调递减,所以有0<a﹣1<1,解得1<a<2.故答案为:(1,2).【点评】本题考查指数函数的单调性,对于指数函数y=a x(a>0且a≠1),其单调性受a的范围的影响.4.已知函数f(1﹣2x)=4x2+2x,则f(3)=2.【考点】函数解析式的求解及常用方法;函数的值.【专题】计算题;规律型;函数思想;函数的性质及应用.【分析】直接利用函数的解析式求解函数值即可.【解答】解:函数f(1﹣2x)=4x2+2x,则f(3)=f(1﹣2×(﹣1))=4﹣2=2故答案为:2.【点评】本题考查函数的解析式的应用,函数值的求法,考查计算能力.5.已知函数y=log a(x+3)﹣(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,则A的坐标是.【考点】对数函数的单调性与特殊点.【专题】计算题;函数思想;函数的性质及应用.【分析】由log a1=0,知x+3=1,求出x,y,由此能求出点P的坐标.【解答】解:∵log a1=0,∴x+3=1,即x=﹣2时,y=﹣,∴点P的坐标是P.故答案为:【点评】本题考查对数函数的性质和特殊点,解题时要认真审题,仔细解答,避免出错.6.若二次函数f(x)=x2﹣ax﹣a﹣1在[1,+∞)上单调递增,则a的取值范围为a≤2.【考点】二次函数的性质.【专题】转化思想;数学模型法;函数的性质及应用.【分析】若二次函数f(x)=x2﹣ax﹣a﹣1在[1,+∞)上单调递增,则≤1,解得答案.【解答】解:∵二次函数f(x)=x2﹣ax﹣a﹣1的图象是开口朝上,且以直线x=为对称轴的抛物线,若二次函数f(x)=x2﹣ax﹣a﹣1在[1,+∞)上单调递增,则≤1,即a≤2,故答案为:a≤2【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象和性质,是解答的关键.7.已知函f(x)=,则f(f())=.【考点】分段函数的应用;函数的值;对数的运算性质.【专题】函数的性质及应用.【分析】利用分段函数直接进行求值即可.【解答】解:由分段函数可知f()=,f(f())=f(﹣2)=.故答案为:.【点评】本题主要考查分段函数求值,比较基础.8.计算:=11.【考点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值.【专题】计算题.【分析】利用对数的运算法则、对数恒等式、指数幂的运算法则即可得出.【解答】解:原式=3++=3+4+22=11.故答案为:11.【点评】本题考查了对数的运算法则、对数恒等式、指数幂的运算法则,属于基础题.9.已知a=0.4﹣0.5,b=0.50.5,c=log0.22,将a,b,c这三个数按从小到大的顺序排列c<b<a.(用“<”连接)【考点】对数值大小的比较.【专题】函数的性质及应用.【分析】根据函数y=x0.5在(0,+∞)单调递增判断,和中间变量0,判断.【解答】解:∵y=x0.5在(0,+∞)单调递增,∴0<0.4﹣0.5<0.50.5,∴0<a<b,∵c=log0.22<0c<b<a故答案为:c<b<a【点评】本题考查了幂函数的单调性,对数的性质,属于容易题.10.函数f(x)=(x+1)(x﹣a)是偶函数,则f(2)=3.【考点】函数奇偶性的性质.【专题】计算题;综合法;函数的性质及应用.【分析】由题意可得,f(﹣x)=f(x)对于任意的x都成立,代入整理可得(a﹣4)x=0对于任意的x都成立,从而可求a,即可求出f(2).【解答】解:∵f(x)=(x+1)(x﹣a)为偶函数∴f(﹣x)=f(x)对于任意的x都成立即(﹣x+1)(﹣x﹣a)=(x+1)(x﹣a)∴x2+(a﹣1)x﹣a=x2+(1﹣a)x﹣a∴(a﹣1)x=0∴a=1,∴f(2)=(2+1)(2﹣1)=3.故答案为:3.【点评】本题主要考查了偶函数的定义的应用,属于基础试题11.若函数f(x)=log a(4﹣ax)在区间[1,2]上单调递减,则a的范围为(1,2).【考点】复合函数的单调性.【专题】计算题;函数思想;分析法;函数的性质及应用.【分析】由对数式的底数大于0可得内函数t=4﹣ax为减函数,结合复合函数的单调性可得a>1,求出内函数在[1,2]上的最小值,再由最小值大于0求得a的范围,取交集得答案.【解答】解:∵a>0,∴函数t=4﹣ax为减函数,要使函数f(x)=log a(4﹣ax)在区间[1,2]上单调递减,则外函数y=log a t为定义域内的增函数,∴a>1,又内函数t=4﹣ax为减函数,∴内函数t=4﹣ax在[1,2]上的最小值为4﹣2a.由4﹣2a>0,得a<2.∴a的范围为(1,2).故答案为:(1,2).【点评】本题考查与对数函数有关的复合函数的单调性,复合的两个函数同增则增,同减则减,一增一减则减,注意对数函数的定义域是求解的前提,考查学生发现问题解决问题的能力,是中档题.12.若函数f(x)同时满足:①对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(﹣x)=0;②对于定义域上的任意x1,x2,当x1≠x2时,恒有,则称函数f(x)为“理想函数”.给出下列四个函数中:(1)f(x)=(2)f(x)=x2(3)f(x)=(4)f(x)=,能被称为“理想函数”的有(4)(填相应的序号).【考点】函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明.【专题】证明题;新定义.【分析】先理解已知两条性质反映的函数性质,①f(x)为奇函数,②f(x)为定义域上的单调减函数,由此意义判断题干所给四个函数是否同时具备两个性质即可【解答】解:依题意,性质①反映函数f(x)为定义域上的奇函数,性质②反映函数f(x)为定义域上的单调减函数,(1)f(x)=为定义域上的奇函数,但不是定义域上的单调减函数,其单调区间为(﹣∞,0),(0,+∞),故排除(1);(2)f(x)=x2为定义域上的偶函数,排除(2);(3)f(x)==1﹣,定义域为R,由于y=2x+1在R上为增函数,故函数f(x)为R上的增函数,排除(3);(4)f(x)=的图象如图:显然此函数为奇函数,且在定义域上为减函数,故(4)为理想函数故答案为(4)【点评】本题主要考查了抽象表达式反映的函数性质,对新定义函数的理解能力,奇函数的定义,函数单调性的定义,基本初等函数的单调性和奇偶性及其判断方法,复合函数及分段函数的单调性和奇偶性的判断方法13.设已知函数f(x)=|log2x|,正实数m,n满足m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在区间[m,n2]上的最大值为4,则n+m=.【考点】函数的最值及其几何意义.【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.【分析】由题意可知﹣log2m=log2n,从而可得mn=1;从而解得.【解答】解:∵y=log2x在其定义域上单调递增,又∵f(x)=|log2x|,且m<n,f(m)=f(n),∴﹣log2m=log2n,∴mn=1;∵f(x)在区间[m,n2]上的最大值为4,∴2log2n=4,故n=4,m=,n+m=;故答案为:.【点评】本题考查了对数函数的性质应用及绝对值函数的应用.14.函数f M(x)的定义域为R,且定义如下:(其中M是非空实数集).若非空实数集A,B满足A∩B=∅,则函数g(x)=f A∪B(x)+f A(x)•f B(x)的值域为{0}.【考点】函数的值域.【专题】新定义.【分析】对g(x)中的x属于什么集合进行分类讨论,利用题中新定义的函数求出f(x)的函数值,从而得到g(x)的值域.【解答】解:当x∈A时,x∉B,但x∈(A∪B),∴f(x)=1,f A(x)=1,f B(x)=﹣1,(A∪B)∴g(x)=f A∪B(x)+f A(x)•f B(x)f B(x)=1+1×(﹣1)=0;当x∈B时,x∉A,但x∈(A∪B),∴f(x)=1,f A(x)=﹣1,f B(x)=1,(A∪B)∴g(x)=f A∪B(x)+f A(x)•f B(x)=1+(﹣1)×1=0;综上,g(x)的值域是{0}.故答案为:{0}.【点评】本题主要考查了函数的值域、分段函数,解题的关键是对于新定义的函数f M(x)的正确理解,是新定义题目.二.解答题(共6小题,共90分)15.画出下列函数的图象,(用虚线保留作图痕迹),并根据图象写出函数的单调区间:(1)f(x)=log2(x+1)(2)f(x)=x2﹣2|x|﹣3.【考点】函数的图象;函数单调性的性质.【专题】计算题;作图题;数形结合;函数的性质及应用.【分析】(1)作函数y=log2x的图象,向左平移1个单位即可,从而写出单调区间;(2)作函数f(x)=x2﹣2|x|﹣3的图象,从而写出单调区间.【解答】解:(1)作函数y=log2x的图象,向左平移1个单位即可,如下图;,f(x)=log2(x+1)的单调递增区间(﹣1,+∞);(2)作函数f(x)=x2﹣2|x|﹣3的图象如下,故函数的单调递增区间(﹣1,0)和(1,+∞),单调递减区间(﹣∞,﹣1)和(0,1).【点评】本题考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用,同时考查了图象的变换.16.已知函数f(x)=log2(x+1)的定义域为集合A,集合B={x|ax﹣1<0,a∈N*},集合C={y|y=,x∈A}.(1)求集合C;(2)若C⊈(A∩B),求a的值.【考点】交、并、补集的混合运算;集合的包含关系判断及应用.【专题】计算题;集合思想;不等式的解法及应用;集合.【分析】(1)由f(x)=log2(x+1)的定义域为集合A,求出A的集合,由集合B={x|ax﹣1<0,a∈N*},求出B的集合,然后再由指数函数的性质求出集合C.(2)由集合A,集合B求出A∩B,再由C⊈(A∩B),即可得到a的值.【解答】解:由函数f(x)=log2(x+1)的定义域为集合A,得A=(﹣1,+∞),集合B={x|ax﹣1<0,a∈N*}={x|},(1)集合C={y|y=,x∈A},在(﹣1,+∞)上单调递减,则,则C=;(2)由于a∈N*,B=,则,由C⊈(A∩B),得⇒a≤2.即a=1或2.【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算,考查了集合的包含关系判断及应用,是基础题.17.函数f(x)是定义域为R的单调增函数,且f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=log2(1+x)(1)求f(x)的解析式;(2)解关于t的不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣5)<0.【考点】奇偶性与单调性的综合.【专题】转化思想;定义法;函数的性质及应用.【分析】(1)根据函数奇偶性的性质进行求解即可.(2)根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可.【解答】解:(1)当x<0时,﹣x>0,f(x)=﹣f(﹣x)=﹣log2(1﹣x),…当x=0时,由于f(x)为奇函数,f(x)=0.综上,.…(少了x=0的情况得5分)(2)f(t2﹣2t)+f(2t2﹣5)<0⇒f(t2﹣2t)<﹣f(2t2﹣5),由于f(x)为奇函数,则f(t2﹣2t)<f(5﹣t2),…由于f(x)在R上单调递增,则t2﹣2t<5﹣2t2⇒3t2﹣2t﹣5<0…⇒.…【点评】本题主要考查函数解析式的求解以及不等式的求解,根据函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键.18.某跨国饮料公司对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5﹣8千美元的地区销售,该公司在对M饮料的销售情况的调查中发现:人均GDP处在中等的地区对该饮料的销售量最多,然后向两边递减.(1)下列几个模拟函数中(x表示人均GDP,单位:千美元;y表示年人均M饮料的销量,单位:升),用哪个来描述人均饮料销量与地区的人均GDP的关系更合适?说明理由;(A)f(x)=ax2+bx(B)f(x)=log a x+b(C)f(x)=a x+b(2)若人均GDP为2千美元时,年人均M饮料的销量为6升;人均GDP为4千美元时,年人均M饮料的销量为8升;把你所选的模拟函数求出来;(3)因为M饮料在N国被检测出杀虫剂的含量超标,受此事件影响,M饮料在人均GDP不高于3千美元的地区销量下降5%,不低于5千美元的地区销量下降5%,其他地区的销量下降10%,根据(2)所求出的模拟函数,求在0.5﹣8千美元的地区中,年人均M饮料的销量最多为多少?【考点】根据实际问题选择函数类型.【专题】综合题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.【分析】(1)考虑到A,B,C,D四个函数中只有A符合题意,因为B,C,D三个函数是单调函数.(2)用待定系数法求出A的解析式可得.(3)根据题中人均GDP的要求范围把x的取值分成三段,分别求出每一段的最大值,并比较去最大即可.【解答】解:(1)由于(B)、(C)、(D)三个函数,在[0.5,8]上均为单调函数,…而(A)为二次函数,不单调,故(A)更适合…(2)由题意a=﹣,b=4…则,x∈[0.5,8]…(3)设受事件影响后,各地区M饮料销售量为g(x),则当x∈[0.5,3]时,y=[﹣(x﹣4)2+8],在x∈[0.5,3]上递增,所以y max=当x∈[5,8]时,y=[﹣(x﹣4)2+8],在x∈[5,8]上递减,所以y max=当x∈(3,5)时,y=[﹣(x﹣4)2+8],4∈(3,5),所以y max=比较大小得:当x=4时,y max=答:当人均GDP在4千美元的地区,人均A饮料的销量最多为.【点评】考查学生会根据实际问题选择函数类型,会用不同的自变量取值求二次函数的最值及比较出最值.19.已知函数f(x)=|x|+﹣1(x≠0).(1)当m=2时,判断f(x)在(﹣∞,0)的单调性,并用定义证明.(2)若对任意x∈R,不等式f(2x)>0恒成立,求m的取值范围;(3)讨论f(x)零点的个数.【考点】函数恒成立问题;函数零点的判定定理;利用导数研究函数的单调性.【专题】函数的性质及应用.【分析】(1)当m=2时,利用函数单调性的定义即可判断f(x)在(﹣∞,0)的单调性,并用定义证明.(2)利用参数分离法将不等式f(2x)>0恒成立,进行转化,求m的取值范围;(3)根据函数的单调性和最值,即可得到结论.【解答】解:(1)当m=2,且x<0时,是单调递减的.证明:设x1<x2<0,则===又x1<x2<0,所以x2﹣x1>0,x1x2>0,所以所以f(x1)﹣f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),故当m=2时,在(﹣∞,0)上单调递减的.(2)由f(2x)>0得,变形为(2x)2﹣2x+m>0,即m>2x﹣(2x)2而,当即x=﹣1时,所以.(3)由f(x)=0可得x|x|﹣x+m=0(x≠0),变为m=﹣x|x|+x(x≠0)令作y=g(x)的图象及直线y=m,由图象可得:当或时,f(x)有1个零点.当或m=0或时,f(x)有2个零点;当或时,f(x)有3个零点.【点评】本题主要考查函数单调性的判断,以及不等式恒成立问题的求解,利用参数分离法是解决不等式恒成立问题的基本方法.20.一般地,若f(x)的定义域为[a,b],值域为[ka,kb],(a<b),则称[a,b]为函数f(x)的“k倍保值区间”.特别地,若f(x)的定义域为[a,b],值域也为[a,b],(a<b),则称[a,b]为函数f(x)的“保值区间”.(1)若[1,b]为g(x)=的保值区间,求常数b的值;(2)问是否存在常数a,b(a>﹣2)使函数h(x)=的保值区间为[a,b]?若存在,求出a,b的值,否则,请说明理由.(3)求函数p(x)=x2+的2倍保值区间[a,b].【考点】函数与方程的综合运用.【专题】新定义;分类讨论;分析法;函数的性质及应用.【分析】(1)求得g(x)的对称轴为x=1,可得g(x)在[1,b]上单调递增,即有b的方程,解方程可得b;(2)假设存在这样的a,b,由于a>﹣2,则h(x)在[a,b]上单调递减,可得a,b的关系式,解方程即可判断是否存在;(3)讨论①当a<b<0时,②当0<a<b时,③当a<0<b时,运用单调性,结合二次方程解方程可得a,b,进而得到所求区间.【解答】解:(1)g(x)=的对称轴为x=1,则g(x)在[1,b]上单调递增,可得⇒b=3或b=1,由于b>1,则b=3;(2)假设存在这样的a,b,由于a>﹣2,则h(x)在[a,b]上单调递减,则即有⇒(a+2)b=(b+2)a⇒a=b与a<b矛盾.故不存在这样的a,b;(3)①当a<b<0时,p(x)在[a,b]上单调递增,则即为则a,b0为方程的两个根.由于ab=﹣13<0(舍);②当0<a<b时,p(x)在[a,b]上单调递减,则即为,两式相减(舍);③当a<0<b时,,若(舍),若p(x)min=p(a)=﹣a2+=2a,解得a=﹣﹣2或﹣2(舍去),又,则,综上所述,或.即有2倍保值区间[a,b]为[1,3]或[﹣﹣2,].【点评】本题考查新定义的理解和运用,考查函数的性质和运用,主要考查单调性的运用,考查分类讨论的思想方法,考查运算能力,属于中档题.。

相关文档
最新文档