(完整word版)高二下册数学(沪教版)知识点归纳

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(完整word版)数学教育概论知识点

乔治?波利亚是美籍匈牙利数学家。

他有著名的三本书：《怎样解题》（1944）、《数学的发现》（1954）、《数学与猜想》（1961）。

其中《怎样解题》一书被译成17种文字。

波利亚提供的“怎样解题”表(第48-49页)分四步：1.了解问题；2.拟订计划；3.实行计划；4.回顾。

弗赖登塔尔认识的数学教育有五个主要特征1.情境问题是教学的平台；2.数学化是数学教育的目标；3.学生通过自己努力得到的结论和创造是教育内容的一部分；4.“互动”是主要的学习方式；5.学科交织是数学教育内容的呈现方式。

这些特征可以用三个词来概括——现实、数学化、再创造。

数学化：人们在观察、认识和改造客观世界的过和中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程。

再创造：强调学生学习数学是一个经验、理解和反思的过程，是以学生为主体的学习，其核心过程是数学过程再现。

高等师范院校面临新挑战答：高中的新课程标准让广大的高中数学教师有些望而生畏，他们感到许多选修课的内容他们并没有学过，许多课程他们没法开设。

比如，高中选修课系列3涉及高等数学，包括数学史选讲，信息安全与密码，球面上的几何，对称与群，欧拉公式与闭曲面分类，三等分角与数域扩充等。

由于新一轮的课程改革强调要让学生主动参与教学，要鼓励学生积极展开讨论，探索数学知识的来龙去脉和提出问题，因此学生提出的问题中，有许多使教师感到难堪，有的他们没法回答，有的他们回答不清楚。

基本活动经验的类型1.直接数学活动经验；3.间接数学活动经验；3.专门设计的数学活动经验；4.意境联结性数学活动经验。

基础教育部分一.“标准”有哪些改革目标？1.指导思想：以邓小平同志的“教育要面向现代化，面向世界，面向未来”和江泽民同志“三个代表”重要思想为指导。

2.教育目标方面：培养爱国精神和“四有新人”等。

3.课程内容：改变课程内容“难、繁、偏、旧”和过于注重书本知识的现状。

4.课程结构方面：改变过于强调学科本位、科目过多和缺乏整合的现状，设置综合课程。

(完整word版)数学简易逻辑-知识点归纳+题型

原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互文科数学选修1—1 第一章简易逻辑一．四种命题及关系1。

命题:__________的语句；2。

分类：①简单命题：不含有逻辑联结词的命题;②复合命题：由_________和逻辑联结词“___”、“___"、“____”构成的命题；构成复合命题的形式：p 或q 记作______；p 且q 记作____；非p 记作_____。

3。

命题的四种形式与相互关系原命题：若p 则q ；逆命题：________；否命题:________; 逆否命题:________.注:①互为_____关系的两个命题同真假．②命题中一些关键词的否定：1、下列说法：①若一个命题的否命题是真命题，则这个命题不一定是真命题;②若一个命题的逆否命题是真命题，则这个命题是真命题；③若一个命题的逆命题是真命题，则这个命题不一定是真命题；④若一个命题的逆命题和否命题都是真命题，则这个命题一定是真命题；其中正确的说法是 ( ）A 。

①②B 。

①③④C 。

②③④D 。

①②③2、已知m ，n 是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是（） A 、若α，β垂直于同一个平面，则α//β B 、若m,n 平行于同一个平面,则m//nC 、若α，β不平行，则α内不存在与β平行的直线D 、若m,n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一个平面3．原命题：“设a ，b ，c ∈R ，若a 〉b ，则ac 2〉bc 2"，在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( ）4．有四个命题：①“若0x y +=，则x 、y 互为相反数"的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题;③“若1q ≤,则关于x 的方程220x x q ++=有实根"的逆命题；④“A B B =,则A B ⊇”的逆否命题。

(完整word版)高考数学题型归纳完整版

第一章集合与常用逻辑用语第一节集合题型1-1 集合的基本概念题型1-2 集合间的基本关系题型1-3 集合的运算第二节命题及其关系、充分条件与必要条件题型1-4 四种命题及关系题型1-5 充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明题型1-6 求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数取值范围第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词题型1-7 判断命题的真假题型1-8 含有一个量词的命题的否定题型1-9 结合命题真假求参数的取值范围第二章函数第一节映射与函数题型2-1 映射与函数的概念题型2-2 同一函数的判断题型2-3 函数解析式的求法第二节函数的定义域与值域（最值）题型2-4 函数定义域的求解题型2-5 函数定义域的应用题型2-6 函数值域的求解第三节函数的性质——奇偶性、单调性、周期性题型2-7 函数奇偶性的判断题型2-8 函数单调性（区间）的判断题型2-9 函数周期性的判断题型2-10 函数性质的综合应用第四节二次函数题型2-11 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系题型2-12 二次方程的实根分布及条件题型2-13 二次函数“动轴定区间”“定轴动区间”问题第五节指数与指数函数题型2-14 指数运算及指数方程、指数不等式题型2-15 指数函数的图象及性质题型2-16 指数函数中恒成立问题第六节对数与对数函数题型2-17 对数运算及对数方程、对数不等式题型2-18 对数函数的图象与性质题型2-19 对数函数中恒成立问题第七节幂函数题型2-20 求幂函数的定义域题型2-21 幂函数性质的综合应用第八节函数的图象题型2-22 判断函数的图象题型2-23 函数图象的应用第九节函数与方程题型2-24 求函数的零点或零点所在区间题型2-25 利用函数的零点确定参数的取值范围题型2-26 方程根的个数与函数零点的存在性问题第十节函数综合题型2-27 函数与数列的综合题型2-28 函数与不等式的综合题型2-29 函数中的信息题第三章导数与定积分第一节导数的概念与运算题型3-1 导数的定义题型3-2 求函数的导数第二节导数的应用题型3-3 利用原函数与导函数的关系判断图像题型3-4 利用导数求函数的单调性和单调区间题型3-5 函数的极值与最值的求解题型3-6 已知函数在区间上单调或不单调，求参数的取值范围题型3-7 讨论含参函数的单调区间题型3-8 利用导数研究函数图象的交点和函数零点个数问题题型3-9 不等式恒成立与存在性问题题型3-10 利用导数证明不等式题型3-11 导数在实际问题中的应用第三节定积分和微积分基本定理题型3-12 定积分的计算题型3-13 求曲边梯形的面积第四章三角函数第一节三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式题型4-1 终边相同角的集合的表示与识别题型4-2 α2是第几象限角题型4-3 弧长与扇形面积公式的计算题型4-4 三角函数定义题型4-5 三角函数线及其应用题型4-6 象限符号与坐标轴角的三角函数值题型4-7 同角求值——条件中出现的角和结论中出现的角是相同的题型4-8 诱导求值与变形第二节三角函数的图象与性质题型4-9 已知解析式确定函数性质题型4-10 根据条件确定解析式题型4-11 三角函数图象变换第三节三角恒等变换题型4-12 两角和与差公式的证明题型4-13 化简求值第四节解三角形题型4-14 正弦定理的应用题型4-15 余弦定理的应用题型4-16 判断三角形的形状题型4-17 正余弦定理与向量的综合题型4-18 解三角形的实际应用第五章平面向量第一节向量的线性运算题型5-1 平面向量的基本概念题型5-2 共线向量基本定理及应用题型5-3 平面向量的线性运算题型5-4 平面向量基本定理及应用题型5-5 向量与三角形的四心题型5-6 利用向量法解平面几何问题第二节向量的坐标运算与数量积题型5-7 向量的坐标运算题型5-8 向量平行（共线）、垂直充要条件的坐标表示题型5-9 平面向量的数量积题型5-10 平面向量的应用第六章数列第一节等差数列与等比数列题型6-1 等差、等比数列的通项及基本量的求解题型6-2 等差、等比数列的求和题型6-3 等差、等比数列的性质应用题型6-4 判断和证明数列是等差、等比数列题型6-5 等差数列与等比数列的综合第二节数列的通项公式与求和题型6-6 数列的通项公式的求解题型6-7 数列的求和第三节数列的综合题型6-8 数列与函数的综合题型6-9 数列与不等式综合第七章不等式第一节不等式的概念和性质题型7-1 不等式的性质题型7-2 比较数（式）的大小与比较法证明不等式第二节均值不等式和不等式的应用题型7-3 均值不等式及其应用题型7-4 利用均值不等式求函数最值题型7-5 利用均值不等式证明不等式题型7-6 不等式的证明第三节不等式的解法题型7-7 有理不等式的解法题型7-8 绝对值不等式的解法第四节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题题型7-9 二元一次不等式组表示的平面区域题型7-10 平面区域的面积题型7-11 求解目标函数中参数的取值范围题型7-12 简单线性规划问题的实际运用第五节不等式综合题型7-13 不等式恒成立问题中求参数的取值范围题型7-14 函数与不等式综合第八章立体几何第一节空间几何体的表面积与体积题型8-1 几何体的表面积与体积题型8-2 球的表面积、体积与球面距离题型8-3 几何体的外接球与内切球第二节空间几何体的直观图与三视图题型8-4 直观图与斜二测画法题型8-5 直观图、三视图题型8-6 三视图⟹直观图——简单几何体基本量的计算题型8-7三视图⟹直观图——简单组合体基本量的计算题型8-8 部分三视图⟹其余三视图第三节空间点、直线、平面之间的关系题型8-9 证明“线共面”、“点共面”或“点共线”题型8-10 异面直线的判定第四节直线、平面平行的判定与性质题型8-11 证明空间中直线、平面的平行关系第五节直线、平面垂直的判定与性质题型8-12证明空间中直线、平面的垂直关系第六节空间向量及其应用题型8-13 空间向量及其运算题型8-14 空间向量的立体几何中的应用第七节空间角与距离题型8-15 空间角的计算题型8-16 点到平面距离的计算第九章直线与圆的方程第一节直线的方程题型9-1 倾斜角与斜率的计算题型9-2 直线的方程第二节两条直线的位置关系题型9-3 两直线位置关系的判定题型9-4 有关距离的计算题型9-5 对称问题第三节圆的方程题型9-6 求圆的方程题型9-7 与圆有关的轨迹问题题型9-8 点与圆位置关系的判断题型9-9 圆的一般方程的充要条件题型9-10 与圆有关的最值问题题型9-11 数形结合思想的应用第四节直线与圆、圆与圆的位置关系题型9-12 直线与圆的位置关系的判断题型9-13 直线与圆的相交关系题型9-14 直线与圆的相切关系题型9-15 直线与圆的相离关系题型9-16 圆与圆的位置关系第十章圆锥曲线方程第一节椭圆题型10-1 椭圆的定义与标准方程题型10-2 离心率的值及取值范围题型10-3 焦点三角形第二节双曲线题型10-4 双曲线的标准方程题型10-5 双曲线离心率的求解及其取值范围问题题型10-6 双曲线的渐近线题型10-7 焦点三角形第三节抛物线题型10-8 抛物线方程的求解题型10-9 与抛物线有关的距离和最值问题题型10-10 抛物线中三角形、四边形的面积问题第四节曲线与方程题型10-11 求动点的轨迹方程第五节直线与圆锥曲线位置关系题型10-12 直线与圆锥曲线的位置关系题型10-13 中点弦问题题型10-14 弦长问题第六节圆锥曲线综合题型10-15 平面向量在解析几何中的应用题型10-16 定点问题题型10-17 定值问题题型10-18 最值问题第十一章算法初步题型11-1 已知流程图，求输出结果题型11-2 根据条件，填充不完整的流程图题型11-3 求输入参数题型11-4 算法综合第十二章计数原理第一节计数原理与简单排列组合问题题型12-1 分类计数原理与分步计数原理题型12-2 排列数与组合数的推导、化简和计算题型12-3 基本计数原理和简单排列组合问题的结合第二节排列问题题型12-4 特殊元素或特殊位置的排列问题题型12-5 元素相邻排列问题题型12-6 元素不相邻排列问题题型12-7 元素定序问题题型12-8 其他排列：双排列、同元素的排列第三节组合问题题型12-9 单纯组合应用问题题型12-10 分选问题和选排问题题型12-11 平均分组问题和分配问题第四节二项式定理题型12-12 证明二项式定理题型12-13 T r+1的系数与x幂指数的确定题型12-14 二项式定理中的系数和题型12-15 二项式展开式的二项式系数与系数的最值题型12-16 二项式定理的综合应用第十三章排列与统计第一节概率及其计算题型13-1 古典概型题型13-2 几何概型的计算第二节概率与概率分布题型13-3 概率的计算题型13-4 离散型随机变量的数学期望与方差题型13-5 正态分布第三节统计与统计案例题型13-6 抽样方法题型13-7 样本分布题型13-8 频率分布直方图的解读题型13-9 线性回归方程题型13-10 独立性检验第十四章推理与证明第一节合情推理与演绎推理题型14-1 归纳猜想题型14-2 类比推理第二节直接证明和间接证明题型14-3 综合法与分析法证明第三节数学归纳法题型14-4 数学归纳法的完善题型14-5 证明恒等式题型14-6 整除问题题型14-7 不等式证明题型14-8 递推公式导出{a n}通项公式的猜证及有关问题的证明第十五章复数题型15-1 复数的概念、代数运算和两个复数相等的条件题型15-2 复数的几何意义第十六章选讲内容第一节几何证明选讲（选修4-1）题型16-1 圆和直角三角形中长度和角的计算题型16-2 证明题题型16-3 空间图形问题转化为平面问题第二节坐标系与参数方程（选修4-4）题型16-4 参数方程化为普通方程题型16-5 普通方程化为参数方程题型16-6 极坐标方程化为直角坐标方程第三节不等式选讲（选修4-5）题型16-7含绝对值的不等式题型16-8 不等式的证明题型16-9 一般综合法和分析法（含比较法）题型16-10 数学归纳法。

(完整word版)高中数学参数方程知识点大全

高考复习之参数方程一、考纲要求1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数方程或极坐标方程求两条曲线的交点.二、知识结构 1.直线的参数方程(1)标准式过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是⎩⎨⎧+=+=a t y y at x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=ab的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=bty y atx x 00(t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2+b 2=1,②即为标准式，此时，｜ t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2≠1，则动点P 到定点P 0的距离是22b a +｜t ｜.直线参数方程的应用设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=a t y y a t x x sin cos 00 （t 为参数）若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜;(3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则 t=221t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜221t t +｜ (4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则 t 1+t 2=0.2.圆锥曲线的参数方程(1)圆圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos r b y r a x (φ是参数)φ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图)(2)椭圆椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (φ为参数)椭圆 12222=+by a y (a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos a y b x (φ为参数) 3.极坐标极坐标系在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫做极轴.①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.点的极坐标设M 点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示射线Ox 到OM 的角度，那么ρ叫做M 点的极径，θ叫做M 点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M 点的极坐标.(见图)极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式⎩⎨⎧=='sin cos θρθρy x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(222x x ytg y x θρ 三、知识点、能力点提示(一)曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化例1 在圆x 2+y 2-4x-2y-20=0上求两点A 和B ，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.解：将圆的方程化为参数方程：⎩⎨⎧+=+=θθsin 51cos 52y x （θ为参数）则圆上点P 坐标为(2+5cos θ，1+5sin θ)，它到所给直线之距离d=223430sin 15cos 120+++θθ故当cos(φ-θ)=1，即φ=θ时，d 最长，这时，点A 坐标为(6，4)；当cos(φ-θ)=-1,即θ=φ-π时，d 最短，这时，点B 坐标为(-2，2).(二)极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化说明这部分内容自1986年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现.例2 极坐标方程ρ=θθcos sin 321++所确定的图形是（） A.直线B.椭圆C.双曲D.抛物线解： ρ=)6sin(1211)]cos 2123(1[21πθθ++⋅=++(三)综合例题赏析例3 椭圆的两个焦点坐标是是参数)(sin 51cos 3Φ⎩⎨⎧Φ+-=Φ+=y x （）A.(-3，5)，(-3，-3)B.(3，3)，(3，-5)C.(1，1)，(-7，1)D.(7，-1)，(-1，-1)解：化为普通方程得125)1(9)3(22=++-y x ∴a 2=25,b 2=9,得c 2＝１６,c=4.∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)∴在xOy 坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5). 应选B.例4 参数方程表示)20()sin 1(212sin 2cos πθθθθ<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x A.双曲线的一支，这支过点(1，21) B.抛物线的一部分，这部分过(1，21)C.双曲线的一支，这支过(-1，21) D.抛物线的一部分，这部分过(-1，21) 解：由参数式得x 2=1+sin θ=2y(x ＞0) 即y=21x 2(x ＞0). ∴应选B. 例5 在方程⎩⎨⎧==θθcos sin y x (θ为参数)所表示的曲线一个点的坐标是( )A.(2,-7)B.（31，32）C.(21，21) D.(1，0)解：y=cos2θ=1-2sin2θ=1-2x 2 将x=21代入，得y=21∴应选C.例6 下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2-y=0表示同一曲线的方程是( )A.⎩⎨⎧==ty t x B.⎩⎨⎧==t y t x 2cos cos C.⎪⎩⎪⎨⎧-+==t t y tgtx 2cos 12cos 1D.⎪⎩⎪⎨⎧+-==t t y tgtx 2cos 12cos 1解：普通方程x 2-y 中的x ∈R ，y ≥0，A.中x=｜t ｜≥0，B.中x=cost ∈〔-1,1〕，故排除A.和B.C.中y=tt 22sin 2cos 2=ctg 2t=2211x t tg ==，即x 2y=1，故排除C. ∴应选D.例7 曲线的极坐标方程ρ=４sin θ化成直角坐标方程为( ) A.x 2+(y+2)2=4 B.x 2+(y-2)2=4 C.(x-2)2+y 2=4 D.(x+2)2+y 2=4解：将ρ=22y x +，sin θ=22y x y +代入ρ=4sin θ，得x 2+y 2=4y ，即x 2+(y-2)2=4.∴应选B.例8 极坐标ρ=cos(θπ-4)表示的曲线是( )A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆解：原极坐标方程化为ρ=21(cos θ+sin θ)⇒22ρ=ρcos θ+ρsin θ，∴普通方程为2(x 2+y 2)=x+y ，表示圆.应选D.例9 在极坐标系中，与圆ρ=4sin θ相切的条直线的方程是( ) A.ρsin θ=2 B.ρcos θ=2C.ρcos θ=-2D.ρcos θ=-4例9图解：如图.⊙C 的极坐标方程为ρ=4sin θ，CO ⊥OX,OA 为直径，｜OA ｜=4,l 和圆相切， l 交极轴于B(2，0)点P(ρ,θ)为l 上任意一点，则有 cos θ=ρ2=OPOB ，得ρcos θ=2，∴应选B.例10 4ρsin 22θ=5 表示的曲线是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线解：4ρsin 22θ=5⇔4ρ·.5cos 2221cos -=⇔-θρρθ把ρ=22y x + ρcos θ=x ，代入上式，得 222y x +=2x-5. 平方整理得y 2=-5x+.425.它表示抛物线. ∴应选D.例11 极坐标方程4sin 2θ=3表示曲线是( )A.两条射线B.两条相交直线C.圆D.抛物线解：由4sin 2θ=3,得4·222yx y +＝3,即y 2=3 x 2，y=±x 3,它表示两相交直线. ∴应选B.四、能力训练 (一)选择题 1.极坐标方程ρcos θ=34表示( ) A.一条平行于x 轴的直线B.一条垂直于x 轴的直线C.一个圆D.一条抛物线2.直线：3x-4y-9=0与圆：)(,sin 2cos 2为参数θθθ⎩⎨⎧==y x 的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心3.若(x ，y)与(ρ，θ)(ρ∈R)分别是点M 的直角坐标和极坐标，t 表示参数，则下列各组曲线：①θ=6π和sin θ=21；②θ=6π和tg θ=33，③ρ2-9=0和ρ= 3；④⎩⎨⎧+=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x ty t x 322213222和其中表示相同曲线的组数为( )A.1B.2C.3D.44.设M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)两点的极坐标同时满足下列关系：ρ1+ρ2=0 ，θ1+θ2=0，则M ，N 两点位置关系是( )A.重合B.关于极点对称C.关于直线θ=2πD.关于极轴对称5.极坐标方程ρ=sin θ+2cos θ所表示的曲线是( )A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线6.经过点M(1，5)且倾斜角为3π的直线，以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是( )A ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 235211 B.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 235211C.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t y t x 235211 D.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t x t y 215231 7.将参数方⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++⋅=+++⋅=2222222222m m m b y m m mm a x (m 是参数，ab ≠0)化为普通方程是( )A.)(12222a xb y a x ≠=+B.)(12222a x b y a x -≠=+ C.)(12222a x by a x ≠=-D.)(12222a x by a x -≠=- 8.已知圆的极坐标方程ρ=2sin(θ+6π)，则圆心的极坐标和半径分别为( ) A.(1,3π),r=2 B.(1,6π),r=1 C.(1, 3π),r=1 D.(1,-3π),r=2 9.参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=21y t t x (t 为参数)所表示的曲线是( )A.一条射线B.两条射线C.一条直线D.两条直线10.双曲线⎩⎨⎧+=+-=θθsec 212y tg x (θ为参数)的渐近线方程为( )A.y-1=)2(21+±x B.y=x 21± C.y-1=)2(2+±xD.y+1=)2(2-±x11.若直线⎩⎨⎧=+=bty at x 4( (t 为参数)与圆x 2+y 2-4x+1=0相切，则直线的倾斜角为( )A. 3πB.32πC.3π或32π D.3π或35π12.已知曲线⎩⎨⎧==pt y pt x 222(t 为参数)上的点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，且t 1+t 2=0，那么M ，N 间的距离为( )A.2p(t 1+t 2)B.2p(t 21+t 22) C.│2p(t 1-t 2)│ D.2p(t 1-t 2)213.若点P(x ，y)在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动，点M(-2xy ，y 2-x 2)也在单位圆上运动，其运动规律是( )A.角速度ω，顺时针方向B.角速度ω，逆时针方向C.角速度2ω,顺时针方向D.角速度2ω，逆时针方向14.抛物线y=x 2-10xcos θ+25+3sin θ-25sin 2θ与x 轴两个交点距离的最大值是( )A.5B.10C.23D.315.直线ρ=θθsin cos 23+与直线l 关于直线θ=4π(ρ∈R)对称，则l 的方程是( )A ．θθρsin cos 23-=B ．θθρcos cos 23-=C ．θθρsin 2cos 3-=D ．θθρsin 2cos 3+=(二)填空题16.若直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=ty t x 532543(t 为参数)，则过点(4，-1)且与l 平行的直线在y 轴上的截距为.17.参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=θθθθcos 1sin cos 1cos y x （θ为参数）化成普通方程为 .18.极坐标方程ρ=tg θsec θ表示的曲线是 . 19.直线⎩⎨⎧-=+-=ty tx 3231(t 为参数)的倾斜角为；直线上一点P(x ，y)与点M(-1，2)的距离为 .(三)解答题20.设椭圆⎩⎨⎧==θθsin 32cos 4y x (θ为参数) 上一点P ，若点P 在第一象限，且∠xOP=3π，求点P 的坐标.21.曲线C 的方程为⎩⎨⎧==pty pt x 222(p ＞0，t 为参数)，当t ∈［-1，2］时，曲线C 的端点为A ，B ，设F 是曲线C 的焦点，且S △AFB =14，求P 的值.22.已知椭圆222y x +=1及点B(0，-2)，过点B 作直线BD ，与椭圆的左半部分交于C 、D 两点，又过椭圆的右焦点F 2作平行于BD 的直线，交椭圆于G ，H 两点.(1)试判断满足│BC │·│BD │=3│GF 2│·│F 2H │成立的直线BD 是否存在?并说明理由 .(2)若点M 为弦CD 的中点，S △BMF2=2，试求直线BD 的方程.23.如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线⎩⎨⎧=+=θθtg y x 3sec 48(θ为参数)的左焦点和左顶点，且焦点到相应的准线的距离为49，求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离. 24.A ，B 为椭圆2222by a x +=1，(a ＞b ＞0) 上的两点，且OA ⊥OB ，求△AOB 的面积的最大值和最小值.25.已知椭圆162422y x +=1，直线l ∶812y x +=1，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且满足│OQ │·│OP │=│OR │2，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程.并说明轨迹是什么曲线.参考答案(一)1.B 2.D 3.C 4.C 5.B 6.A 7.A 8.C 9.B 10.C 11.C 12.C 13.C 14.C 15.D(二)16.-4；17.y ２=-2(x-21),(x ≤21);18.抛物线；19.135°,|32t| (三)20.(5154,558)；21.;332 22.(1)不存在，(2)x+y+2=0；23.51(27-341)；24.Smax=2ab ，s max=2222b a b a +;25.25)1(25)1(22-+-y x =1(x,y)不同时为零)。

(完整word版)高中数学公式及知识点总结大全(精华版)

高中文科数学公式及知识点速记一、函数、导数1、函数的单调性(1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔>-上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.2、函数的奇偶性对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数；对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数。

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。

3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.*二次函数：（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a-+- 4、几种常见函数的导数①'C 0=；②1')(-=n n nxx ； ③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=；⑤a a a xx ln )('=；⑥xx e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧xx 1)(ln '= 5、导数的运算法则（1）'''()u v u v ±=±. （2）'''()uv u v uv =+. （3）'''2()(0)u u v uv v v v -=≠. 6、会用导数求单调区间、极值、最值7、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值．指数函数、对数函数分数指数幂(1)m na =0,,a m n N *>∈，且1n >）.(2)1m nm naa-==（0,,a m n N *>∈，且1n >）.根式的性质（1）当na =；当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.有理指数幂的运算性质(1) r sa a⋅=(2) ()r s rsa a=(3)()r rab a b=注：若a＞0，指数幂都适用..(0,1,0)a a N>≠>..1a≠,0m>,且1m≠,0N>).对数恒等式：).推论logmnab).常见的函数图象822sin cosθθ+9απ±kα看成锐角时该函数的符号；αππ±+2kα看成锐角时该函数的符号。

(完整word版)考研高等数学知识点总结

高等数学知识点总结导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμxxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ΛΛΛ中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。

(完整word版)高中数学三角函数基础知识点及答案(2),推举文档

(完整word版)高中数学三角函数基础知识点及答案(2),推举文档高中数学三角函数基础知识点及答案1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一具位置旋转到另一具位置所的图形。

按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一具零角。

射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。

2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就讲那个角是第几象限的角。

假如角的终边在坐标轴上，就以为那个角别属于任何象限。

3. 终边相同的角的表示：(1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k kαθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角别一定相等.如与角ο1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。

弧度：一周的弧度数为2πr/r=2π，360°角=2π弧度，所以，1弧度约为57.3°，即57°17'44.806''，1°为π/180弧度，近似值为0.01745弧度，周角为2π弧度，平角（即180°角）为π弧度，直角为π/2弧度。

（答：25-o；536π-）(2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k kαθπ=+∈Z . (3)α终边与θ终边对于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边对于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边对于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z .(6)α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z πα=∈.如α的终边与6π的终边对于直线x y =对称，则α＝____________。

(完整word版)高中数学必修1-2知识点归纳及公式大全(1)(1)

高一数学常用公式及结论必修1：一、集合1、含义与表示:（1）集合中元素的特征:确定性,互异性，无序性 (2）集合的分类；有限集，无限集 (3）集合的表示法:列举法,描述法，图示法2、集合间的关系：子集：对任意x A ∈，都有 x B ∈，则称A 是B 的子集。

记作A B ⊆ 真子集:若A 是B 的子集，且在B 中至少存在一个元素不属于A ，则A 是B 的真子集, 记作A ≠⊂B 集合相等:若：,A B B A ⊆⊆，则A B =3. 元素与集合的关系：属于∈ 不属于：∉ 空集：φ4、集合的运算:并集：由属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫并集,记为 A B交集：由集合A 和集合B 中的公共元素组成的集合叫交集，记为A B补集：在全集U 中，由所有不属于集合A 的元素组成的集合叫补集，记为U C A5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；6。

常用数集：自然数集：N 正整数集：*N 整数集：Z 有理数集:Q 实数集：R 二、函数的奇偶性1、定义：奇函数〈=> f （– x ） = – f ( x ），偶函数〈=〉 f (–x ) = f ( x ）（注意定义域）2、性质：（1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形；（2)偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形；（3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；（4）如果一个函数的图象关于y 轴对称,那么这个函数是偶函数．二、函数的单调性1、定义：对于定义域为D 的函数f （ x )，若任意的x 1， x 2∈D,且x 1 〈 x 2① f （ x 1 ） < f （ x 2 ) 〈=〉 f （ x 1 ） – f ( x 2 ) < 0 <=> f （ x ）是增函数 ② f （ x 1 ) 〉 f ( x 2 ） <=〉 f ( x 1 ) – f （ x 2 ) 〉 0 〈=> f ( x ）是减函数 2、复合函数的单调性：同增异减三、二次函数y = ax 2 +bx + c （0a ≠)的性质1、顶点坐标公式：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22，对称轴：a b x 2-=，最大（小）值：a b ac 442-2.二次函数的解析式的三种形式(1）一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠； (2）顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠； (3)两根式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠。

上海数学高二知识点总结.docx

数列：1.数列的有关概念:(1) 数列：按照一定次序排列的一列数。

数列是有序的。

数列是定义在自然数N*或它的有限子集｛1,2,3,∙∙ ∙,n ｝上的函数。

(2)通项公式：数列的第n 项a ∩与n 之间的函数关系用一个公式来表示，这个公式即是该数列的通项公式。

2如：a n = 2 n -1。

(3)递推公式：已知数列｛a n ｝的第1项（或前几项），且任一项 a n 与他的前一项a n -1 （或前几项）可以用一个公式来表示，这个公式即是该数列的递推公式。

如：aι=1,a2= 2,a n=an 」，an_2（n 2）2 •数列的表示方法：（1）列举法：如1, 3, 5, 7, 9,…（2）图象法：用（n, a n ）孤立点表示。

1、 a-b O = a b ； a -b =0 = a =b ； a-b ： 0= a ： b .2、不等式的性质： ① a ∙ b = b : a ；② a b,b ■ C= a C ；③ a b= a C b c ； ④ a b, c 0= ac bc , a b,c ：： 0= ac ：： be :⑤ a b,c d = a C b d ； ⑥ a b 0, c d 0= ac bd ；⑦ ab 0= a n b n n - !, n 1 ；⑧ ab 0 = n anb n ：=；」，n 1 .小结：代数式的大小比较或证明通常用作差比较法：作差、化积(商)、判断、结论。

在字母比较的选择或填空题中，常采用特值法验证。

（3）解析法：用通项公式表示3.数列的分类:按项数丿'有穷数列I无穷数列按单调性4.数列｛a n ｝及前n 项和之间的关系：S n =aι ■ a 2 ■ a 3■ an「常数列a ∏ = 2递增数列:a n = 2 n + 1, a n = 2n '递减数列:a n = -n 2 十 1 摆动数列:a n = ( —1)n 2 nS i , (n = 1)-2)（4）递推法：用递推公式表a nSn -S n 1 , ( n L —5.等差数列与等比数列对比小结:（三）不等式3、一元二次不等式解法：_ 2（1）化成标准式：ax bx c ∙0,（a ■ 0）；（2）求出对应的一元二次方程的根;（3）画出对应的二次函数的图象；（4）根据不等号方向取出相应的解集。

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高中数学必修 + 选修知识点概括必修 1 数学知识点第一章：会合与函数观点1、会合三因素：确立性、互异性、无序性。

2、常有会合：正整数会合：N*或N，整数会合：Z ，有理数会合： Q，实数会合： R.3、并集 . 记作：A B.交集.记作： A B.全集、补集C U A { x | x U ,且 x A}(C U A)∩( C U B) = C U(A∪B) (C U A)∪( C U B) = C U(A∩B)；A B B B A；简略逻辑：或：有真为真，全假为假。

且：有假为假，全真为真。

非：真假相反原命题互逆逆命题若 p则 q互若 q 则 p否为互逆互否为逆否否互否命题逆否命题若┐q则┐p若┐p则┐q互逆原命题：若 P则 q；抗命题：若q 则 p；否命题：若┑ P 则┑q；逆否命题：若┑ q 则┑ p。

常用变换：① f ( x y) f ( x) f ( y) f ( x y) f ( x).f ( y)证f ( x y)f ( y)f( )[()]() ( )f ( x)x f x y y f x y f y② f (x) f ( x) f (y) f (x y) f ( x) f ( y)y证：x xf()f()f() f (y)yy4、设 A、B 是非空的数集，假如依据某种确立的对应关系 f ，使对于会合A中的随意一个数 x ，在会合B中都有唯一确立的数 f x和它对应，那么就称 f : A B 为会合A到会合B的一个函数，记作： y f x , x A .分母不等于零5、定义域被开方大于等于零对数的幂大于零，底大于零不等于1值域：利用函数单一性求出所给区间的最大值和最小值，6、函数单一性：(1)定义法：设x1、x2[ a, b], x1 x2那么f (x1 ) f ( x2 )0 f ( x)在[ a, b] 上是增函数；f (x1 ) f ( x2 )0 f ( x)在[ a, b] 上是减函数.步骤：取值—作差—变形—定号—判断(2)导数法：设函数 y f ( x) 在某个区间内可导，若f (x) 0 ，则f ( x)为增函数；若f ( x)0 ，则 f ( x)为减函数 .7、奇偶性f x 为偶函数：f x f x 图象对于y 轴对称.函数 f x 为奇函数f x f x 图象对于原点对称 .若奇函数y f x 在区间0,上是递加函数，则y f x 在区间,0 上也是递加函数．若偶函数 yf x 在区间 0,上是递加函数，则yf x 在区间 ,0 上是递减函数．函数的几个重要性质：① 如果函数 yf x 对于一切 x R ，都有f ax f ax 或 f （ 2a-x ） =f （ x ），那函数 y f x 的图象对于直线 x a 对称 .②函数 yf x 与函数 y fx 的图象对于直线x 0对称；函数 yf x 与函数 y f x 的图象对于直线y 0 对称；函数 yf x 与函数 yf x的图象对于坐标原点对称 .二、函数与导数1、几种常有函数的导数① C '0 ；② ( x n )' nx n 1 ；③ (sin x) ' cos x ； ④ (cos x) ' sin x ； ⑤ ( a x ) 'a xln a ； ⑥ ( e x) 'e x； ⑦ (log a x)'1 ；⑧ (ln x) ' 1x ln ax2、导数的运算法例（ 1） (u v)'u ' v '.（ 2） (uv)' u 'v uv ' .（ 3） ( u)'u 'v uv ' (v 0) .vv 23、复合函数求导法例复合函数 yf (g (x)) 的导数和函数y f (u), u g ( x) 的导数间的关系为 y x y u u x ，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 .解题步骤 :分层—层层求导—作积复原导数的应用：1、 yf ( x) 在点 x 0 处的导数的几何意义：函数 yf (x) 在点 x 0 处的导数是曲线yf ( x) 在P(x 0 , f (x 0 )) 处的切线的斜率 f (x 0 ) ，相应的切线方程是 yy 0 f (x 0 )(xx 0 ) .切线方程 : 过点 P x 0 , y 0 的切线方程，设切点为x 1, y 1 ，则切线方程为 y y 1 f ' x 1 x x 1 ，再将 P 点带入求出 x 1 即可 2、函数的极值 (---- 列表法 )(1) 极值定义：极值是在 x 0 邻近全部的点，都有f ( x) ＜ f ( x 0 ) ，则 f ( x 0 ) 是函数 f (x) 的极大值；极值是在 x 0 邻近全部的点，都有 f ( x) ＞ f (x 0 ) ，则 f ( x 0 ) 是函数 f (x) 的极小值 .(2) 鉴别方法：①假如在 x 0 邻近的左边 f ' (x) ＞ 0，右边 f ' (x) ＜ 0，那么 f ( x 0 ) 是极大值；②假如在 x 0 邻近的左边 f ' (x) ＜ 0，右边 f ' (x) ＞ 0，那么 f ( x 0 ) 是极小值 .3、求函数的最值(1) 求 y f (x) 在 (a, b) 内的极值（极大或许极小值）(2) 将 y f (x) 的各极值点与 f (a), f (b) 比较，此中最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。

(完整word版)高中数学(沪教版)知识点归纳

高中数学知识点归纳高一 ( 上 ) 数学知识点归纳第一章会集与命题1.主要内容：会集的基本看法、空集、子集和真子集、会集的相等；会集的交、并、补运算。

四种命题形式、等价命题；充足条件与必要条件。

2.基本要求：理解会集、空集的意义，会用列举法和描述法表示会集；理解子集、真子集、会集相等等看法，能判断两个会集之间的包括关系或相等关系；理解交集、并集，掌握会集的交并运算，知道有关的基本运算性质，理解全集的意义，能求出已知会集的补集。

理解四种命题的形式及其互有关系，能写出一个简单命题的抗命题、否命题与逆否命题；理解充足条件、必要条件与充要条件的意义，能在简单问题的情况中判断条件的充足性、必要性或充足必要性。

3.重难点：重点是会集的看法及其运算，充足条件、必要条件、充要条件。

难点是对会集有关的理解，命题的证明，充足条件、必要条件、充要条件的鉴识。

4.会集之间的关系： (1) 子集：若是 A 中任何一个元素都属于 B，那么 A 是 B 的子集，记作 A B.(2) 相等的会集 : 若是 A B, 且 B A，那么 A=B.(3). 真子集：A B 且 B 中最少有一个元素不属于 A，记作 A B.5. 会集的运算： (1) 交集： A B { x x A且 x B}.(2)并集: A B { x x A或x B}. （3）补集： C U A { x x U且 x A}.6.充足条件、必要条件、充要条件若是 P Q ,那么P是Q的充足条件，Q是P的必要条件。

若是 P Q ,那么P是Q的充要条件。

也就是说，命题P与命题Q是等价命题。

有关看法：1. 我们把能够确实指定的一些对象组成的整体叫做会集。

2.数集有：自然数集 N，整数集 Z，有理数集 Q, 实数集 R。

3.会集的表示方法有列举法、描述法和图示法。

4.用平面地域来表示会集之间关系的方法叫做会集的图示法，所用图叫做文氏图。

5.真子集，交集，并集，全集，补集。

高二下册数学(沪教版)知识点归纳

高二数学下册知识点梳理第11章坐标平面上的直线1、内容要目：直线的点方向式方程、直线的点法向式方程、点斜式方程、直线方程的一般式、直线的倾斜角和斜率等。

点到直线的距离，两直线的夹角以及两平行线之间的距离。

2、基本要求：掌握求直线的方法，熟练转化确定直线方向的不同条件（例如：直线方向向量、法向量、斜率、倾斜角等）。

熟练判断点与直线、直线与直线的不同位置，能正确求点到直线的距离、两直线的交点坐标及两直线的夹角大小。

3、重难点：初步建立代数方法解决几何问题的观念，正确将几何条件与代数表示进行转化，定量地研究点与直线、直线与直线的位置关系。

根据两个独立条件求出直线方程。

熟练运用待定系数法（1）图形与方程（2）直线的几何特征与二元一次方程的代数特征（3）直线的已知条件与所选直线方程的形式(4)两直线的位置关系：h :八• b i (i =1,2).b |b 2 cos ： I22- 2 2.a !d 、. a 2 b 2(7)直线的倾斜角:-的范围是0乞v 二，当直线|的斜率不存在时，直线的倾斜角为二2第12章圆锥曲线1、内容要目：直角坐标系中，曲线 C 是方程F (x,y )=0的曲线及方程F (x,y )=0是曲线C 的方程，圆的标准方程及圆的一般方程。

椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及它们的性质。

2、基本要求：理解曲线的方程与方程的曲线的意义，利用代数方法判断定点是否在曲线上及求曲线的交点。

掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义和求这些曲线方程的基本方法。

求曲线的交点之间的距离及交点的中点坐标。

禾U 用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定，确定它们的位置关系并利用解析法解决相应的几何问题。

3、重难点：建立数形结合的概念，理解曲线与方程的对应关系，掌握代数研究几何的方法，掌握把已知条件转化为等价的代数表示，通过代数方法解决几何问题。

4、椭圆、双曲线和抛物线及其标准方程表格(5)点到直线的距离公式ax o by 。

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第一章实数集与函数§1实数授课章节：第一章实数集与函数——§1 实数教学目的：使学生掌握实数的基本性质．教学重点：(1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；(2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）教学难点：实数集的概念及其应用．教学方法：讲授．（部分内容自学）教学程序：引言上节课中，我们与大家共同探讨了《数学分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始．[问题]为什么从“实数”开始．答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质．一、实数及其性质⎪1、实数⎧有理数: 任何有理数都可以用分数形式 q ( p , q 为整数且q ≠ 0) 表示，⎪p ⎨也可以用有限十进小数或无限十进小数来表示. ⎪⎩ 无理数: 用无限十进不循环小数表示.R = {x | x 一一一 }- - 一一一一一一一．[问题]有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定：例：2.001 → 2.0009999 ； 3 → 2.9999 ； -2.001 → -2.009999 -3 → -2.9999利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．在此规定下，如何比较实数的大小？2、两实数大小的比较1）定义 1 给定两个非负实数x = a 0 .a 1 a n ， y = b 0 .b 1 b n . 其中对于正有限小数x = a 0 .a 1a 2 a n , 其中0 ≤ a i ≤ 9, i = 1, 2, , n , a n ≠ 0, a 0为非负整数，记x = a 0 .a 1 a n -1 (a n -1)9999 ；对于正整数x = a 0 , 则记x = (a 0 -1).9999 ；对于负有限小数（包括负整数） y ，则先将- y 表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号．0 表示为 0＝ 0.0000a 0 ,b 0 为非负整数， a k , b k (k = 1, 2, ) 为整数， 0 ≤ a k ≤ 9, 0 ≤ b k ≤ 9 ．若有a k = b k , k = 0,1, 2, ，则称 x 与 y 相等，记为 x = y ；若a 0 > b 0 或存在非负整数l ，使得a k = b k , k = 0,1, 2, , l ，而a l +1 > b l +1 ，则称x 大于 y 或 y 小于x ，分别记为 x > y 或 y < x ．对于负实数 x 、 y ，若按上述规定分别有-x = - y 或-x > - y ，则分别称为x = y 与x < y （或 y > x ）．规定：任何非负实数大于任何负实数．2）实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．定义 2（不足近似与过剩近似）： x = a 0 .a 1 a n 为非负实数，称有理数 x = a .a a 为实数 x 的n 位不足近似； x = x + 1称为实数 xn0 1nn n10n的n 位过剩近似， n = 0,1, 2, .对于负实数 x = -a .a a，其n 位不足近似 x = -a .a a - 1； 0 1 nn 位过剩近似x n = -a 0 .a 1 a n .n 0 1 n10n注：实数 x 的不足近似 x n 当n 增大时不减，即有 x 0 ≤ x 1 ≤ x 2 ≤ ；过剩近似 x n 当 n 增大时不增，即有x 0 ≥ x 1 ≥ x 2 ≥ ．命题：记 x = a 0 .a 1 a n ， y = b 0 .b 1 b n 为两个实数，则 x > y 的等价条件是：存在非负整数 n ，使x n > y n （其中x n 为x 的n 位不足近似，y n 为 y 的n 位过剩近似）．命题应用例 1．设x , y 为实数， x < y ，证明存在有理数r ，满足x < r < y ．证明：由 x < y ，知：存在非负整数 n ，使得x < y ．令r =1(x+ y )，nn则 r 为有理数，且x ≤ x n < r < y n ≤ y ．即x < r < y ．2nn⎩3、实数常用性质（详见附录Ⅱ． P 289 - P 302 ）．1）封闭性（实数集R 对+, -,⨯, ÷ ）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为 0）仍是实数．2）有序性： ∀a , b ∈ R ，关系a < b , a > b , a = b ，三者必居其一，也只居其一.3）传递性： ∀a ，b ，c ∈ R ，若a > b , b > c ，则a > c ．4）阿基米德性： ∀a , b ∈ R , b > a > 0 ⇒ ∃n ∈ N 使得na > b ．5）稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．6）一一对应关系：实数集R 与数轴上的点有着一一对应关系．例 2．设∀a , b ∈ R ，证明：若对任何正数，有a < b +，则a ≤ b ．（提示：反证法．利用“有序性”，取= a - b ）二、绝对值与不等式1、绝对值的定义实数a 的绝对值的定义为| a |= ⎧ a ,a ≥ 0 ．⎨-a a < 02、几何意义从数轴看，数a 的绝对值| a | 就是点a 到原点的距离．| x - a | 表示就是数轴上点x 与a 之间的距离．3、性质1）| a |=| -a |≥ 0;| a |= 0 ⇔ a = 0 （非负性）；2） - | a |≤ a ≤| a | ；3）| a |< h ⇔ -h < a < h ，| a |≤ h ⇔ -h ≤ a ≤ h .(h > 0) ；abn (1 + x )n n 4）对任何a , b ∈ R 有| a | - | b |≤| a ± b |≤| a | + | b |（三角不等式）；5）| ab |=| a | ⋅ | b |；6）= | a |（ b ≠ 0 ）．| b |三、几个重要不等式1、a 2 + b 2 ≥ 2 ab ,sin x ≤ 1. sin x ≤ x .2、均值不等式:对∀a 1, a 2 , , a n ∈ R + , 记M (a ) =a 1 + a 2 + + a n =1∑na ,(算术平均值)in n i i =11 ⎛ n ⎫ nG (a i ) = = ∏ a i ⎪ , (几何平均值)H (a ) =⎝ i =1 ⎭n = 1= n .(调和平均值) i1 + 1 + + 1 1 ∑n 1 ∑ 1 a 1 a2 a n n i =1 a i i =1 a i有平均值不等式: H (a i ) ≤ G (a i ) ≤ M (a i ), 即：n ≤≤ a 1 + a 2 + + a n1 + 1 + + 1 na 1 a 2 a n等号当且仅当a 1 = a 2 = = a n 时成立.3、Bernoulli 不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)∀x > -1, 有不等式(1+ x )n ≥ 1+ nx ,n ∈ N .当x > -1且 x ≠ 0 , n ∈ N 且n ≥ 2 时,有严格不等式(1 + x )n > 1 + nx .证：由1 + x > 0 且1 + x ≠ 0, ⇒ (1 + x )n + n - 1 = (1 + x )n + 1 + 1 + + 1 >> n = n (1 + x ). ⇒ (1 + x )n > 1 + nx .4、利用二项展开式得到的不等式:对∀h > 0, 由二项展开式n a 1a 2 a n⎨二绝对值与不等式 (1 + h )n = 1 + nh +n (n -1) h 2 +n (n -1)(n - 2)h 3 + + h n ,2!3!有(1 + h )n > 上式右端任何一项.［练习］P4．5 ［课堂小结］：实数： ⎧一实数及其性质.⎩[作业]P4．1．(1)，2．(2)、(3)，3§2 数集和确界原理授课章节：第一章实数集与函数——§2 数集和确界原理教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念. 教学要求：(1) 掌握邻域的概念；(2) 理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）. 教学难点：确界的定义及其应用. 教学方法：讲授为主.教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课.引言上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章§1 实数的相关内容.下面，我们先来检验一下自学的效果如何！1 、证明：对任何x ∈R 有： (1)| x -1| + | x -2 |≥ 1 ； (2)| x -1| + | x - 2 | + | x - 3 |≥ 2 .（（1） x-1=1+(x-2)≥1-x-2,∴x-1+x-2≥1）（（2）x -1 +x - 2 ≥1, x - 2 +x - 3 ≥1, x - 2 +x - 3 ≥ 2.三式相加化简即可）2、证明：| x | - | y | ≤| x -y |.3、设a,b∈R，证明：若对任何正数有a+b<，则a≤b.4、设x, y ∈R, x >y ，证明：存在有理数r 满足y <r <x .[引申]：①由题 1 可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用.提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具.本节主要内容：1、先定义实数集 R 中的两类主要的数集——区间与邻域；2、讨论有界集与无界集；3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）.一、区间与邻域1、区间（用来表示变量的变化范围）⎧有限区间设a, b ∈R 且a <b .区间⎨，其中⎩无限区间⎨⎪ ⎨ ⎪ + +⎧ ⎪ ⎪ ⎪有限区间⎪⎪ ⎪ 开区间: {x ∈ R | a < x < b } = (a , b ) 闭区间: {x ∈ R | a ≤ x ≤ b } = [a , b ]⎧⎪闭开区间: {x ∈ R | a ≤ x < b } = [a , b ) ⎪半开半闭区间⎨⎩⎪⎪⎩开闭区间: {x ∈ R | a < x ≤ b } = (a , b ]⎧ {x ∈ R | x ≥ a } = [a , +∞).⎪{x ∈ R | x ≤ a } = (-∞, a ]. 无限区间⎪{x ∈ R | x > a } = (a , +∞).⎪{x ∈ R | x < a } = (-∞, a ). ⎪⎩{x ∈ R | -∞ < x < +∞} = R .2、邻域联想：“邻居”.字面意思：“邻近的区域”.与a 邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a 的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？（1） a 的邻域：设a ∈ R ,> 0 ，满足不等式| x - a |< 的全体实数x的集合称为点a 的邻域，记作U (a ;) ，或简记为U (a ) ，即U (a ;) = {x | x - a |< } = (a -, a +) .其中a 称为该邻域的中心，称为该邻域的半径. （2）点a 的空心邻域U o (a ;) = {x 0 <| x - a |< } = (a -, a ) ⋃ (a , a +) U o (a ) .（3） a 的右邻域和点a 的空心右邻域U + (a ;) = [a , a +) U + (a ) = {x a ≤ x < a +};U 0 (a ;) = (a , a +) U 0 (a ) = {x a < x < a +}. （4）点a 的左邻域和点a 的空心左邻域U - (a ;) = (a -, a ] U - (a ) = {x a -< x ≤ a }; U(a ;) = (a -, a ) U 0 (a ) = {x a -< x < a }.-+⎨ ⎬ （5） ∞ 邻域， + ∞ 邻域， -∞ 邻域U (∞) = {x | x |> M }, （其中 M 为充分大的正数）； U (+∞) = {x x > M }, U (-∞) = {x x < -M }二、有界集与无界集1、定义 1（上、下界）：设S 为R 中的一个数集.若存在数M (L ) ，使得一切 x ∈ S 都有x ≤ M (x ≥ L ) ，则称 S 为有上（下）界的数集.数M (L ) 称为 S 的上界（下界）；若数集 S 既有上界，又有下界，则称 S 为有界集.闭区间[a , b ] 、开区间(a , b ) (a , b 为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 E = {yy = sin x , x ∈( - ∞ , + ∞ )}也是有界数集.若数集 S 不是有界集，则称 S 为无界集.( - ∞ , + ∞ ) , ( - ∞ , 0 ) , ( 0 , + ∞ ) 等都是无界数集,集合 E = ⎧ y ⎩ y = 1 , x x ∈ ( 0 ,1 )⎫也是无界数集.⎭注：1）上（下）界若存在，不唯一；2）上（下）界与 S 的关系如何？看下例：例 1 讨论数集N + = {n | n 为正整数} 的有界性. 解：任取n 0 ∈ N + ，显然有n 0 ≥ 1 ，所以 N + 有下界 1；但 N + 无上界.因为假设 N + 有上界 M,则 M>0，按定义，对任意n 0 ∈ N + ，都有 n 0 ≤ M ，这是不可能的，如取n 0 = [M ] +（1 符号[M ]表示不超过M 的最大整数）则n 0 ∈ N + ，且n 0 > M .综上所述知：N+是有下界无上界的数集，因而是无界集.例 2 证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集.[问题]：若数集S 有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一，有无穷多个).三、确界与确界原理1、定义定义 2（上确界）设S 是R 中的一个数集，若数满足：(1) 对一切x∈S,有x≤（即是S 的上界）; (2) 对任何<，存在x0∈S ，使得x0>（即是S 的上界中最小的一个），则称数为数集S 的上确界，记作= sup S.从定义中可以得出：上确界就是上界中的最小者.命题 1 M = sup E 充要条件1）∀x ∈E, x ≤M ；2）∀>o, ∃x0∈S, 使得x>M -.证明：必要性，用反证法 .设 2）不成立，则∃0>0,使得∀x∈E,均有x≤M-o，与M是上界中最小的一个矛盾.充分性（用反证法），设M不是E的上确界，即∃M是上界，但M>M0.令=M-M>0，由 2），∃x∈E，使得x>M-=M，与M是E 的上界矛盾.定义 3（下确界）设S 是R 中的一个数集，若数满足：（1）对一切x∈S,有x≥（即是S 的下界）；（2）对任何>，存在x0∈S ，使得x0<（即是S 的下界中最大的一个），则称数为数集 S 的下确界，记作=inf S.从定义中可以得出：下确界就是下界中的最大者.⎝ ⎭ ⎝ ⎭命题 2 = inf S 的充要条件：1） ∀x ∈ E , x ≥ ；2） ∀＞0， x 0 ∈ S ,有x 0 ＜+.上确界与下确界统称为确界.⎧ (-1 )n ⎫例 3（1） S = ⎨1 +⎩⎬, 则sup S = 1 ； inf S = 0 . n ⎭ （ 2） E = {y y = sin x , x ∈ (0,)}. 则sup S =1； inf S =0 .注：非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.命题 3：设数集 A 有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一的.证明：设= sup A ，' = sup A 且≠' ，则不妨设<'= sup A ⇒ ∀x ∈ A 有x ≤' = sup A ⇒ 对<' ， ∃ x 0 ∈ A 使< x 0 ，矛盾.例： sup R - = 0 ， sup ⎛n ⎫= 1， inf ⎛n ⎫ = 1n ∈Z + n +1 ⎪ n ∈Z + n +1 ⎪ 2E = {-5, 0, 3, 9,11} 则有inf E = -5 .开区间(a , b ) 与闭区间[a , b ]有相同的上确界b 与下确界a例 4 设S 和 A 是非空数集，且有S ⊃ A . 则有sup S ≥ sup A , inf S ≤ inf A ..例 5 设 A 和 B 是非空数集.若对 ∀x ∈ A 和 ∀y ∈ B , 都有 x ≤ y , 则有sup A ≤ inf B .证明： ∀y ∈ B , y 是 A 的上界, ⇒ sup A ≤ y . ⇒ sup A 是 B 的下界,⇒ sup A ≤ inf B.例 6 A 和B 为非空数集, S =A B. 试证明: inf S = min{inf A , inf B }.证明：∀x ∈S, 有x ∈A 或x ∈B, 由inf A 和inf B 分别是A 和B 的下界,有x ≥ inf A 或x ≥ inf B. ⇒x ≥ min{inf A , inf B }.即min{inf A , inf B }是数集S 的下界,⇒ inf S ≥ min{inf A , inf B }.又S ⊃A, ⇒ S 的下界就是 A 的下界,inf S 是S 的下界, ⇒ inf S 是 A 的下界, ⇒ inf S ≤ inf A; 同理有inf S ≤ inf B.于是有inf S ≤ min{inf A , inf B }.综上,有inf S = min{inf A , inf B }.1.数集与确界的关系:确界不一定属于原集合.以例3⑵为例做解释.2.确界与最值的关系:设 E 为数集.（1）E 的最值必属于E ,但确界未必,确界是一种临界点.（2）非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值.（3）若max E 存在,必有max E = sup E. 对下确界有类似的结论.4.确界原理:T h1.1(确界原理).设S 非空的数集.若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界.这里我们给一个可以接受的说明 E ⊂R, E 非空，∃x ∈E ，我们可以找到一个整数p ，使得p 不是E 上界，而p +1是E 的上界.然后我们遍查p.1 , p.2 , , p.9 和p + 1 ，我们可以找到一个q0 ，0 ≤q0 ≤ 9 ，使得p.q0 不是E 上界，p.(q0 + 1) 是E 上界，如果再找第二位小数q1 ， , 如此下10k去，最后得到 p .q 0 q 1q 2 ，它是一个实数，即为E 的上确界.证明：（书上对上确界的情况给出证明，下面讲对下确界的证明）不妨设S 中的元素都为非负数，则存在非负整数n ，使得1） ∀x ∈ S ，有x > n ；2）存在x 1 ∈ S ，有x ≤ n + 1 ；把区间(n , n + 1] 10 等分，分点为 n.1，ｎ.2，．．,ｎ.9, 存在n 1 ，使得 1） ∀ ∈ S ，有； x > n .n 1 ；2）存在x ∈ S ，使得x 2 ≤ n .n 1 + 1 ．210再对开区间(n .n , n .n + 1] 10 等分，同理存在n ，使得111021）对任何x ∈ S ，有x > n .n 1n 2 ；2）存在 x 2 ，使x 2 ≤ n .n 1n 2 + 1102继续重复此步骤，知对任何k = 1,2, ，存在n k 使得1）对任何 x ∈ S ， x > n .n 1n 2 n k - 1； 2）存在x k ∈ S ， x k ≤ n .n 1n 2 n k ．因此得到= n .n 1n 2 n k ．以下证明= inf S ．（ⅰ）对任意x ∈ S ， x >；（ⅱ）对任何>，存在x ' ∈ S 使> x ' ．［作业］：P9 1（1），（2）； 2； 4（2）、（4）；７§3 函数概念授课章节：第一章实数集与函数——§3 函数概念教学目的：使学生深刻理解函数概念. 教学要求：（１）深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示法；（２）牢记基本初等函数的定义、性质及其图象.会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系.教学重点：函数的概念.教学难点：初等函数复合关系的分析.教学方法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可自学.教学程序：引言关于函数概念，在中学数学中已有了初步的了解.为便于今后的学习，本节将对此作进一步讨论.一、函数的定义１．定义１设D, M ⊂R ，如果存在对应法则f ，使对∀x ∈D ，存在唯一的一个数y ∈M 与之对应，则称 f 是定义在数集D 上的函数，记作f : D →Mx |→y .数集D 称为函数 f 的定义域，x 所对应的y ，称为f 在点x 的函数值，记为 f (x) .全体函数值的集合称为函数 f 的值域，记作 f (D) .即 f (D) ={y | y =f (x), x ∈D}.２．几点说明（1）函数定义的记号中“ f : D →M ”表示按法则 f 建立D 到M 的函数关系，x |→y 表示这两个数集中元素之间的对应关系，也记作x |→f (x) .习惯上称x 自变量，y 为因变量.（2）函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域.当对应法则和定义域确定后，值域便自然确定下来.因此，函数的基本要素为两个：定义域和对应法则.所以函数也常表示为：y =f (x), x ∈D .由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则.例如：1）f (x) =1, x ∈R,g(x) = 1, x ∈R \ {0}. （不相同，对应法则相同，定义域不同）2）(x) =| x |, x ∈R , (x) = x2 , x ∈R.（相同，只是对应法则的表达形式不同）.（3）函数用公式法（解析法）表示时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的全体，通常称为存在域（自然定义域）.此时，函数的记号中的定义域可省略不写，而只用对应法则 f 来表示一个函数.即“函数y =f (x) ”或“函数 f ”.（4）“映射”的观点来看，函数f 本质上是映射，对于a ∈D ，f (a)称为映射 f 下a 的象. a 称为 f (a) 的原象.（5）函数定义中，∀x ∈D ，只能有唯一的一个y 值与它对应，这样定义的函数称为“单值函数”，若对同一个x值，可以对应多于一个y 值，则称这种函数为多值函数.本书中只讨论单值函数（简称函数）.二、函数的表示方法1主要方法：解析法（公式法）、列表法（表格法）和图象法（图示法）.2可用“特殊方法”来表示的函数.1）分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示.⎨ ⎩⎨0,当x 为无理数, ⎨ F (x ) = f (x ) + g (x ), x ∈ D ； G (x ) = f (x ) - g (x ), x ∈ D ；H (x ) = f (x )g (x ), x ∈ D .⎧ 1, x > 0 例如sgn x = ⎪0, x = 0 ，（符号函数）⎪-1, x < 0（借助于 sgnx 可表示 f (x ) =| x |, 即 f (x ) =| x |= x sgn x ）.2）用语言叙述的函数.（注意；以下函数不是分段函数）例１） y = [x ] （取整函数）比如： [3.5]=3, [3]=3, [-3.5]=-4.常有 [x ] ≤ x < [x ] +1 , 即0 ≤ x -[x ] < 1.与此有关一个的函数 y = x -[x ] {x } （非负小数函数）图形是一条大锯，画出图看一看.２）狄利克雷（Dirichlet ）函数D (x ) = ⎧1,当x 为有理数, ⎩这是一个病态函数，很有用处，却无法画出它的图形.它是周期函数，但却没有最小周期，事实上任一有理数都是它的周期.３）黎曼（Riemman ）函数⎧ 1,当x = p ( p , q ∈ N , p为既约分数) ,R (x ) = ⎪ q q+ q ⎪⎩0,当x = 0,1和(0,1)内的无理数. 三函数的四则运算给定两个函数 f , x ∈ D 1 , g , x ∈ D 2 ，记D = D 1 D 2 ，并设D ≠ ，定义 f 与 g 在D 上的和、差、积运算如下：若在 D 中除去使 g (x ) = 0 的值，即令 D = D \ {x g (x ) ≠ 0, x ∈ D 2 } ≠ ，⎬ 可在D 上定义 f 与 g 的商运算如下； L (x ) =f (x ), x ∈ D . g (x )注：１）若D = D 1 D 2 =，则 f 与 g 不能进行四则运算.２）为叙述方便，函数 f 与 g 的和、差、积、商常分别写为：f +g , f - g , fg ,f .g四、复合运算１．引言在有些实际问题中函数的自变量与因变量通过另外一些变量才建立起它们之间的对应关系.例：质量为 m 的物体自由下落，速度为 v ，则功率E 为E = 1 mv 2 ⎫12 v = gt ⎪ ⇒ E = ⎪⎭mg 2t 2 . 2抽去该问题的实际意义，我们得到两个函数 f (v ) = 1mv 2 , v = gt ，把2v (t ) 代入 f ，即得f (v (t )) = 1mg 2t 2 .2这样得到函数的过程称为“函数复合”，所得到的函数称为“复合函数”.[问题] 任给两个函数都可以复合吗？考虑下例；y = f (u ) = arcsin u , u ∈ D = [-1,1], u = g (x ) = 2 + x 2 , x ∈ E = R .就不能复合，结合上例可见，复合的前提条件是“内函数”的值域与“外函数”的定义域的交集不空（从而引出下面定义）.2.定义（复合函数）设有两个函数 y = f (u ), u ∈ D , u = g (x ), x ∈ E ，⎛ 1 ⎫ 2 x E = {x f (x ) ∈ D } E ，若 E ≠ ，则对每一个 x ∈ E ，通过 g 对应 D 内唯一一个值u ，而u 又通过 f 对应唯一一个值 y ，这就确定了一个定义在E 上的函数，它以 x 为自变量， y 因变量，记作 y = f (g (x )), x ∈ E 或y = ( f g )(x ), x ∈ E .简记为 f g .称为函数 f 和 g 的复合函数，并称 f 为外函数， g 为内函数， u 为中间变量.3.例子例y = f (u ) = u , u = g (x ) = 1 - x 2 . 求( f g )(x ) = f [g (x ).]并求定义域. 例⑴f (1 - x ) = x 2 + x + 1,f (x ) =.⑵f x + = x + 1. 则⎪⎝ ⎭f (x ) = ()A . x 2 ,B . x 2 + 1,C . x 2 - 2,D .x 2 + 2.例讨论函数 y = f (u ) = u , u ∈[0, +∞) 与函数u = g (x ) = 1- x 2 , x ∈ R 能否进行复合，求复合函数.4 说明１）复合函数可由多个函数相继复合而成.每次复合，都要验证能否进行？在哪个数集上进行？复合函数的最终定义域是什么？例如： y = sin u , u = v , v = 1- x 2 ，复合成：y = sin 1- x 2 , x ∈[-1,1] .２）不仅要会复合，更要会分解.把一个函数分解成若干个简单函x 2a 数，在分解时也要注意定义域的变化.①y = log a 1- x 2 , x ∈(0,1) → y = log u ,u = z , z = 1- x 2.② y = arcsin → y = arcsin u , u = v , v = x 2 +1.③ y = 2sin 2x → y = 2u , u = v 2 , v = sin x .五、反函数１.引言在函数 y = f (x ) 中把 x 叫做自变量， y 叫做因变量.但需要指出的是，自变量与因变量的地位并不是绝对的，而是相对的，例如：f (u ) = u , u = t 2 +1,那么u 对于 f 来讲是自变量，但对t 来讲， u 是因变量.习惯上说函数 y = f (x ) 中x 是自变量， y 是因变量，是基于 y 随x 的变化现时变化.但有时我们不仅要研究 y 随x 的变化状况，也要研究x随 y 的变化的状况.对此，我们引入反函数的概念. ２.反函数概念定义设 f : X → R 是一函数，如果∀ x 1 ， x 2 ∈ X , 由x 1 ≠ x 2 ⇒ f (x 1 ) ≠ f (x 2 )(或由 f (x 1 ) = f (x 2 ) ⇒ x 1 = x 2 )，则称 f 在 X 上是 1-1 的.若 f : X → Y ，Y = f ( X ) ，称 f 为满的.若 f : X → Y 是满的 1-1 的，则称 f 为 1-1 对应.f : X → R 是1-1 的意味着 y = f (x ) 对固定 y 至多有一个解x ， f : X → Y 是 1-1 的意味着对 y ∈Y ， y = 仅有一个解x .f (x ) 有且 x 2 +1y 2 +1 ⎨定义设 f : X → Y 是1-1 对应. ∀y ∈Y , 由 y = f (x ) 唯一确定一个 x ∈ X , 由这种对应法则所确定的函数称为y = f (x ) 的反函数，记为x = f -1( y ) .反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域f : X → Yf -1 : Y → X显然有f -1 f= I : X → X(恒等变换）f f -1 = I : Y → Y (恒等变换)( f -1 )-1 = f : X → Y .从方程角度看，函数和反函数没什么区别，作为函数，习惯上我们还是把反函数记为 y = f -1(x ) , 这样它的图形与 y = f (x ) 的图形是关于对角线 y = x 对称的. 严格单调函数是 1-1 但 1-1 例子 f (x ) =⎧ x ,0 ≤ x < 1 ⎩3 - x ,1 ≤ x ≤ 2它的反函数即为它自己.实际求反函数问题可分为二步进行：1. 确定 f : X → Y 的定义域 X 和值域Y ，考虑 1-1 对应条件.固定 y ∈Y ，解方程 f (x ) = y 得出 x = f -1( y ) .2. 按习惯，自变量x 、因变量 y 互换，得y = f -1(x ) . 例求 y = sh (x ) = e x - e - x2：R → R 的反函数.解固定 y ，为解 e x - e - x ，令2e x = z ，方程变为 2zy = z 2 -1 z 2 - 2zy -1 = 0 z = y ±( 舍去 y - )得x = ln( y + y 2 +1) ，即 y = ln(x + x 2 +1) = sh -1(x ) ，称为反双曲正弦. 定理给定函数 y = f (x ) ，其定义域和值域分别记为 X 和Y ，若在Y 上存在函数g ( y ) ，使得 g ( f (x )) = x , 则有g ( y ) = f -1( y ) .y 2 +1y =分析：要证两层结论：一是y =f (x) 的反函数存在，我们只要证它是 1-1 对应就行了；二是要证g( y) = f -1( y) .证要证y =f (x) 的反函数存在，只要证 f (x) 是X 到Y 的 1-1 对应.∀x1，x2∈X ，若f (x1) = g( f (x1)) =x1f (x2 ) ，则由定理条件，我们有g( f (x2 )) =x2⇒x1 =x2，即 f : X →Y是 1-1 对应.再证g( y) = f -1 ( y) .∀y ∈Y ，∃x ∈X ，使得y = f (x) .由反函数定义x =f -1( y) ，再由定理条件g( y) =g( f (x)) =x . ⇒g( y) = f -1( y)例 f : R →R ，若f ( f (x)) 存在唯一（∃| ）不动点，则f (x) 也∃|不动点.证存在性，设x * = f [ f (x *)]，f (x *) = f f [ f (x * )]，即f (x * ) 是f f 的不动点，由唯一性 f (x * ) =x *，即存在f (x) 的不动点x *.唯一性：设x = f (x) ，x = f (x) = f ( f (x)) ，说明x 是 f f 的不动点，由唯一性，x = x *.从映射的观点看函数.设函数y =f (x), x ∈D .满足：对于值域 f (D) 中的每一个值y ，Ｄ中有且只有一个值x ，使得f (x) =y ，则按此对应法则得到一个定义在 f (D) 上的函数，称这个函数为 f 的反函数，记作f -1 : f (D) →D,( y |→x) 或x =f -1( y), y ∈f (D) .３、注释a)并不是任何函数都有反函数，从映射的观点看，函数 f 有反函数，意味着 f 是Ｄ与 f (D) 之间的一个一一映射，称 f -1为映射 f 的逆映射，它把 f (D) →D ；b) 函数 f 与f -1 互为反函数，并有: f -1( f (x)) ≡x, x ∈D, f ( f -1(x)) ≡y, y ∈f (D).c)在反函数的表示x =f -1( y), y ∈f (D) 中，是以y 为自变量，x 为因变量.若按习惯做法用x 做为自变量的记号，y 作为因变量的记号，则函数 f 的反函数 f -1可以改写为y =f -1(x), x ∈f (D).应该注意，尽管这样做了，但它们的表示同一个函数，因为其定义域和对应法则相同，仅是所用变量的记号不同而已.但它们的图形在同一坐标系中画出时有所差别.六、初等函数1.基本初等函数（６类）常量函数y=C（Ｃ为常数）；幂函数y =x(∈R) ；指数函数y =a x(a > 0, a ≠ 1) ；对数函数y = logx(a > 0, a ≠ 1) ；a三角函数y = sin x, y = cos x, y =tgx, y = c tgx ；反三角函数y = arcsin x, y = arccos x, y =arctgx, y =arcctgx .注：幂函数y =x(∈R) 和指数函数y =a x(a > 0, a ≠ 1) 都涉及乘幂，而在中学数学课程中只给了有理指数乘幂的定义.下面我们借助于确界来定义无理指数幂，便它与有理指数幂一起构成实指数乘幂，并保持有理批数幂的基本性质.定义２．给定实数a > 0, a ≠ 1 ，设x 为无理数，我们规定：⎨ ⎩ { } sin( ), y a ⎧ a x = ⎪sup {a r | r 为有理数},当a > 1时, r < x ⎪i nf a r | r 为有理数 ,当0 < a < 1时. r <x这样解决了中学数学仅对有理数ｘ定义a x 的缺陷．[问题]：这样的定义有意义否？更明确一点相应的“确界是否存在呢？”２．初等函数定义３．由基本初等函数经过在有限次四则运算与复合运算所得到的函数，统称为初等函数如： y = 2 sin x + cos 2 x , y = 1 = l o g x + x e sinx -1 x 2, y =| x | . 不是初等函数的函数，称为非初等函数.如 Dirichlet 函数、Riemann 函数、取整函数等都是非初等函数.注：初等函数是本课程研究的主要对象.为此，除对基本初等函数的图象与性质应熟练掌握外，还应常握确定初等函数的定义域.确定定义域时应注意两点.例２．求下列函数的定义域.（１） y =（２） y = ln | sin x | . 3. 初等函数的几个特例: 设函数 f (x ) 和 g (x ) 都是初等函数, 则（1） f (x ) 是初等函数, 因为 f (x ) = ( f (x ))2 .（2） Φ(x ) = max {f (x ) , g (x )} 和 (x ) = min {f (x ) , g (x )}都是初等函数, 因为 Φ(x ) = max {f (x ) , g (x )} =1 [f (x ) + g (x ) +2 f (x ) - g (x ) ] , (x ) = min {f (x ) , g (x )} = 1 [f (x ) + g (x ) - 2f (x ) -g (x ) ] . x x -1（3）幂指函数(f(x))g ( x)(f (x) > 0)是初等函数,因为(f(x))g(x)=e ln(f ( x) )g(x)=e g ( x) ln f ( x) .［作业］P：3；4:（２）、（３）；5:（２）；7:（３）；11 15§4具有某些特性的函数授课章节：第一章实数集与函数——§4 具有某些特性的函数教学目的：熟悉与初等函数性态有关的一些常见术语.教学目的：深刻理解有界函数、单调函数的定义；理解奇偶函数、周期函数的定义；会求一些简单周期函数的周期.教学重点：函数的有界性、单调性.教学难点：周期函数周期的计算、验证.教学方法：有界函数讲授，其余的列出自学题纲，供学生自学完成. 教学程序：引言在本节中，我们将介绍以后常用的几类具有某些特性的函数，如有界函数、单调函数、奇偶函数与周期函数.其中，有些概念在中学里已经叙述过，因此，这里只是简单地提一下.与“有界集”的定义类似，先谈谈有上界函数和有下界函数.一、有界函数1、有上界函数、有下界函数的定义定义 1 设f 为定义在 D 上的函数，若存在数M (L) ，使得对每一个x ∈D 有f (x) ≤M ( f (x) ≥L) ，则称f 为D 上的有上（下）界函数，M (L) 称为f 在D 上的一个上（下）界.注：（1）f 在D 上有上（下）界，意味着值域f (D) 是一个有上（下）界的数集；（2又）若M(L)为f在D 上的一个（上下）界则，任何大于（Ｍ小于Ｌ）的数也是 f 在D 上的上（下）界.所以，函数的上（下）界若存在，则不是唯一的，例如：y=sin x，1 是其一个上界，下界为－1，则易见任何小于－1 的数都可作为其下界；任何大于 1 的数都可作为其上界；（3）任给一个函数，不一定有上（下）界；6 5 x 5 2 6（4）由（1）及“有界集”定义，可类比给出“有界函数” 定义：f 在 D 上有界⇔ f (D ) 是一个有界集⇔ f 在 D 上既有上界又有下界⇔ f 在 D 上的有上界函数，也为 D 上的有下界函数.2、有界函数定义定义 2 设 f 为定义在 D 上的函数.若存在正数Ｍ，使得对每一个 x ∈ D 有| f (x ) |≤ M ，则称 f 为 D 上的有界函数.注：（1）几何意义： f 为 D 上的有界函数，则 f 的图象完全落在 y = M 和 y = -M 之间；（2） f 在 D 上有界⇔ f 在 D 上既有上界又有下界；例子： y = sin x , y = cos x ；（3）关于函数 f 在 D 上无上界、无下界或无界的定义.3、例题例 1 证明 f : X → R 有界的充要条件为： ∃ M , m ，使得对∀x ∈ X , m ≤ f (x ) ≤ M . 证明如果 f : X → R 有界，按定义∃ M >0，∀x ∈ X 有f (x ) ≤ M ，即 -M ≤ f (x ) ≤ M ,取m = -M ,M = M 即可. 反之如果∃ M , m 使得∀x ∈ X , m ≤ f (x ) ≤ M ，令M 0 = max { M +1, m }，则 f (x ) ≤ M 0 ，即∃ M 0 > 0 ，使得对∀x ∈ X 有界.f (x ) ≤ M 0 ，即 f : X → R 有例 2．证明例 3．设 f (x ) = 1 为(0,1] 上的无上界函数. x f ,g 为 D 上的有界函数 . 证明：（ 1）inf f (x ) + inf g (x ) ≤ inf { f (x ) + g (x )} ；x ∈D x ∈D x ∈D（2） s up { f (x ) + g (x )} ≤ sup f (x ) + sup g (x ) .x ∈D x ∈D x ∈D例 4 验证函数 f (x ) = 5x 2x 2+ 3在R 内有界. 解法一由2x 2 + 3 = ( 2x )2 + ( 3)2 ≥ 2 2x ⋅ = 2 x , 当x ≠ 0 时,有f (x ) = = 2x 2 + 3 ≤ = ≤ 3. f (0) ∴ 对 = 0 ≤ 3 ,∀x ∈ R , 总有 f (x ) ≤ 3,即 f (x ) 在R 内有界.解法二令实数根.y =5x , ⇒ 2x 2 + 3 关于x 的二次方程 2 yx 2 - 5x + 3y = 0 有 3 5x 2x 2 + 3 5 x 2 6 x5 3 tgt 3 2 tg 2t + 1 5 sin t 16 cos t sec 2 t 5 2 6 2 2 ∴ ∆ = 52 - 24 y 2 ≥ 0, ⇒ y 2 ≤ 25 ≤ 4, ⇒ 24 y ≤ 2. 解法三令 x = 3tgt , t ∈ ⎛- ⎫ 对应x ∈ ( - ∞ , + ∞ ). 于是f (x ) = 2 5x = 2x 2 + 3 ⎛ 3 , ⎪ ⎝ ⎭= = = ⎫2 2 tgt ⎪ + 3⎝ 2 ⎭= sin 2t , ⇒ f (x ) = sin 2t ≤ 5 . 2 6二、单调函数定义 3 设 f 为定义在 D 上的函数， ∀x 1 , x 2 ∈ D , x 1 < x 2 , （ 1）若 f (x 1 ) ≤ f (x 2 ) ，则称 f 为 D 上的增函数；若 f (x 1 ) < f (x 2 ) ，则称 f 为 D 上的严格增函数.（ 2）若 f (x 1 ) ≥ f (x 2 ) ，则称 f 为 D 上的减函数；若 f (x 1 ) > f (x 2 ) ，则称 f 为 D 上的严格减函数.例 5．证明： y = x 3 在(-∞, +∞) 上是严格增函数.证明：设x < x ， x 3 - x 3 = (x - x )(x 2 + x x + x 2 ) 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2如x x < 0 ，则x > 0 > x ⇒ x 3 < x 3 1 2 2 1 1 2如x x > 0 ，则x 2 + x x + x 2 > 0, ⇒ x 3 < x 3 1 2 1 1 2 2 1 2故x 3 - x 3 < 0 即得证. 1 2例 6．讨论函数 y = [x ] 在R 上的单调性.∀x 1, x 2 ∈ R ，当x 1 < x 2 时，有[x 1] ≤ [x 2 ] ，但此函数在R 上的不是严格增函数.注：1）单调性与所讨论的区间有关.在定义域的某些部分， f 可能单调，也可能不单调.所以要会求出给定函数的单调区间；2）严格单调函数的几何意义：其图象无自交点或无平行于x 轴的部分.更准确地讲：严格单调函数的图象与任一平行于 x 轴的直线至多有一个交点.这一特征保证了它必有反函数.总结得下面的结论：定理 1．设 y = f (x ), x ∈ D 为严格增（减）函数，则 f 必有反函数 f -1 ，且 f -1 在其定义域 f (D ) 上也是严格增（减）函数. 证明：设 f 在D 上严格增函数.对∀y ∈ f (D ), 一x ∈ D , 一f (x ) = y .下面证明这样的 x 只有一个.事实上，对于D 内任一 x 1 ≠ x , 由于 f 在D 上严格增函数，当 x 1 < x 时 f (x 1 ) < y ，当 x 1 > x 时 f (x 1 ) > y ，总之 f (x 1 ) ≠ y .即 5 3tgt 2 5 2 6⎨ ∀y ∈ f (D ), 一一一一一一一一x ∈ D , 一一 f (x ) = y ，从而例 7 讨论函数 y = x 2 在(-∞, +∞) 上反函数的存在性；如果 y = x 2 在 (-∞, +∞) 上不存在反函数，在(-∞, +∞) 的子区间上存在反函数否？结论：函数的反函数与讨论的自变量的变化范围有关.例8 证明： y = a x 当a > 1 时在Ｒ上严格增，当0 < a < 1时在R 上严格递减.三、奇函数和偶函数定义 4. 设 D 为对称于原点的数集， f 为定义在 D 上的函数.若对每一个 x ∈ D 有（1） f (-x ) = - f (x ) ，则称 f 为 D 上的奇函数；（2） f (-x ) = f (x ) ，则称 f 为 D 上的偶函数.注：（1）从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称（中心对称），偶函数的图象关于 y 轴对称；（2）奇偶性的前提是定义域对称，因此 f (x ) = x , x ∈[0,1] 没有必要讨论奇偶性.⎧ ⎪ （3）从奇偶性角度对函数分类： ⎪ 奇函数: y=si nx 偶函数: y=sgnx ；⎪非奇非偶函数: y=si nx+cosx⎩⎪ 既奇又偶函数: y ≡ 0（4）由于奇偶函数对称性的特点，研究奇偶函数性质时，只须讨论原点的左边或右边即可四、周期函数1、定义设 f 为定义在数集 D 上的函数，若存在> 0 ，使得对一切x ∈ D 有 f (x ±) = f (x ) ，则称 f 为周期函数，称为 f 的一个周期.2、几点说明：（1）若是 f 的周期，则n (n ∈ N + ) 也是 f 的周期，所以周期若存在，则不唯一.如 y = sin x ,= 2, 4, .因此有如下“基本周期”的说法，即若在周期函数 f 的所有周期中有一个最小的周期，则称此最小周期为 f 的“基本周期”，简称“周期”.如 y = sin x ，周期为2；（2）任给一个函数不一定存在周期，既使存在周期也不一定有基本周期，如：1） y = x +1，不是周期函数；2） y = C （Ｃ为常数），任何正数都是它的周期.第二章数列极限引言为了掌握变量的变化规律，往往需要从它的变化过程来判断它的。

(完整word版)中考数学知识点总结(完整版)(可编辑修改word版)

2 3 4 1中考数学总复习资料基础知识点：一、实数的分类：代数部分第一章：实数⎧ ⎧ ⎧正整数⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ 整数⎨零有理数⎪ ⎪负整数⎪有限小数或无限循环小数 ⎪ ⎨ ⎩ ⎬ 实数⎨ ⎪ ⎧正分数⎪⎪⎪分数⎨ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎩负分数⎪⎭ ⎪ ⎧正无理数⎫⎪无理数⎨ ⎬无限不循环小数 ⎩⎪⎩负无理数⎭ p 1、有理数：任何一个有理数总可以写成的形式，其中 p 、q 是互质的整q数，这是有理数的重要特征。

2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如、；特定结构的不限环无限小数，如 1.101001000100001……；特定意义的数，如π、sin 45 °等。

3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。

二、实数中的几个概念1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

（1）实数 a 的相反数是 -a ；（2）a 和 b 互为相反数⇔ a+b=0 2、倒数：（1）实数 a （a≠0）的倒数是；（2）a 和 b 互为倒数⇔ ab = 1；（3） a注意 0 没有倒数3、绝对值：（1）一个数 a 的绝对值有以下三种情况：a = ⎩⎧a , ⎪ a ⎨0, ⎪- a , a 0 a = 0 a 0（2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。

（3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。

4、n 次方根（1）平方根，算术平方根：设 a ≥0，称±叫 a 的平方根，叫 a 的算术平方根。

（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根。

（3）立方根： 3 a 叫实数 a 的立方根。

（4）一个正数有一个正的立方根；0 的立方根是 0；一个负数有一个负的立方根。

三、实数与数轴1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。

(完整word版)高二上册数学(沪教版)知识点归纳

高二上册数学知识点概括第七章数列与数学概括法1.内容要目：第 1 节数列：数列的观点，等差数列与等比数列的定义，等差中项与等比数列，等差数列与等比数列的通项公式。

第 2 节数学概括法：数学概括法的原理，数学概括法的一般步骤，数学概括法的应用。

第 3 节数列的极限：数列极限的观点，数列极限的运算法例，常用的数列极限公式，无量等比数列各项的和。

2.基本要求：第 1 节数列：理解数列的观点，掌握等差数列与等比数列的定义，会求等差中项与等比数列，理解数列通项公式的含义，掌握等差数列与等比数列的通项公式。

第 2 节数学概括法：会用数学概括法解决整除问题及证明某些与正整数相关的等式，领悟“概括—猜想—论证”的思想方法。

第 3 节数列的极限：掌握数列极限的运算法例，常用的数列极限公式，掌握无量等比数列前 n 项和的极限公式。

3.重难点：第 1 节数列：等差数列与等比数列的通项公式，数列的观点及由计算数列的前若干项，经过概括得出数列的通项公式，第 2 节数学概括法：用数学归纳法证明命题的步骤，数学概括法的应用及经过概括猜想命题的一般结论。

第 3 节数列的极限：无量等比数列各项和公式的应用。

公式：（ 1）等差数列 { a n } 的通项公式： a na 1 ( n 1) d .（2）等差数列 { a n } 的前 n(a 1 a n )n(n1).（3）等比数列 { a n } 的通项公式：n 项和公式： S nna 12d2a n a 1q n 1 .（4）等比数列 { a n } 的前 n 项和公式： S n na 1 ( q 1)a 1 (1 q n)a 1 a n q .(5)当 q1时，lim qn0 , lim1 S n或 S n( q 1)0 ( n )1 q1 qn(6)无量等比数列各项的和： Sa 1( q1) .1 q第 8 章平面向量的坐标表示1.内容要目：平面向量及其运算，平面向量的坐标表示及其运算，基向量、平面向量分解定理，平面向量的数目积及其坐标表示，平面向量的夹角，平面向量的平行和垂直。

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第一章集合与常用逻辑用语第一节集合题型1-1集合的基本概念题型1-2集合间的基本关系题型1-3集合的运算第二节命题及其关系、充分条件与必要条件题型1-4四种命题及关系题型1-5充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明题型1-6求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数取值范围第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词题型1-7判断命题的真假题型1-8含有一个量词的命题的否疋题型1-9结合命题真假求参数的取值范围第二章函数第一节映射与函数题型2-1映射与函数的概念题型2-2同一函数的判断题型2-3函数解析式的求法第二节函数的定义域与值域（最值）题型2-4函数定义域的求解题型2-5函数定义域的应用题型2-6函数值域的求解第三节函数的性质一一奇偶性、单调性、周期性题型2-7函数奇偶性的判断题型2-8函数单调性（区间）的判断题型2-9函数周期性的判断题型2-10函数性质的综合应用第四节二次函数题型2-11二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系题型2-12二次方程的实根分布及条件题型2-13二次函数“动轴定区间”“定轴动区间”问题第五节指数与指数函数题型2-14指数运算及指数方程、指数不等式题型2-15指数函数的图象及性质题型2-16指数函数中恒成立问题第六节对数与对数函数题型2-17对数运算及对数方程、对数不等式题型2-18对数函数的图象与性质题型2-19对数函数中恒成立问题第七节幕函数题型2-20求幕函数的定义域题型2-21幕函数性质的综合应用第八节函数的图象题型2-22判断函数的图象题型2-23函数图象的应用第九节函数与方程题型2-24求函数的零点或零点所在区间题型2-25利用函数的零点确定参数的取值范围题型2-26方程根的个数与函数零点的存在性问题第十节函数综合题型2-27函数与数列的综合题型2-28函数与不等式的综合题型2-29函数中的信息题第三章导数与定积分第一节导数的概念与运算题型3-1导数的定义题型3-2求函数的导数第二节导数的应用题型3-3利用原函数与导函数的关系判断图像题型3-4利用导数求函数的单调性和单调区间题型3-5函数的极值与最值的求解题型3-6已知函数在区间上单调或不单调，求参数的取值范围题型3-7讨论含参函数的单调区间题型3-8利用导数研究函数图象的交点和函数零点个数问题题型3-9不等式恒成立与存在性问题题型3-10利用导数证明不等式题型3-11导数在实际问题中的应用第三节定积分和微积分基本定理题型3-12定积分的计算题型3-13求曲边梯形的面积第四章三角函数第一节三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式题型4-1终边相同角的集合的表示与识别题型4-2 a是第几象限角2题型4-3弧长与扇形面积公式的计算题型4-4三角函数定义题型4-5三角函数线及其应用题型4-6象限符号与坐标轴角的三角函数值题型4-7同角求值----- 条件中出现的角和结论中出现的角是相同的题型4-8诱导求值与变形第二节三角函数的图象与性质题型4-9已知解析式确定函数性质题型4-10根据条件确定解析式题型4-11三角函数图象变换第三节三角恒等变换题型4-12两角和与差公式的证明题型4-13化简求值第四节解三角形题型4-14正弦定理的应用题型4-15余弦定理的应用题型4-16判断三角形的形状题型4-17正余弦定理与向量的综合题型4-18解三角形的实际应用第五章平面向量第一节向量的线性运算题型5-1平面向量的基本概念题型5-2共线向量基本定理及应用题型5-3平面向量的线性运算题型5-4平面向量基本定理及应用题型5-5向量与三角形的四心题型5-6利用向量法解平面几何问题第二节向量的坐标运算与数量积题型5-7向量的坐标运算题型5-8向量平行（共线）、垂直充要条件的坐标表示题型5-9平面向量的数量积题型5-10平面向量的应用第六章数列第一节等差数列与等比数列题型6-1等差、等比数列的通项及基本量的求解题型6-2等差、等比数列的求和题型6-3等差、等比数列的性质应用题型6-4判断和证明数列是等差、等比数列题型6-5 等差数列与等比数列的综合第二节数列的通项公式与求和题型6-6数列的通项公式的求解题型6-7 数列的求和第三节数列的综合题型6-8 数列与函数的综合题型6-9 数列与不等式综合第七章不等式第一节不等式的概念和性质题型7-1 不等式的性质题型7-2 比较数（式）的大小与比较法证明不等式第二节均值不等式和不等式的应用题型7-3 均值不等式及其应用题型7-4 利用均值不等式求函数最值题型7-5 利用均值不等式证明不等式题型7-6 不等式的证明第三节不等式的解法题型7-7 有理不等式的解法题型7-8 绝对值不等式的解法第四节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题题型7-9 二元一次不等式组表示的平面区域题型7-10 平面区域的面积题型7-11 求解目标函数中参数的取值范围题型7-12 简单线性规划问题的实际运用第五节不等式综合题型7-13 不等式恒成立问题中求参数的取值范围题型7-14 函数与不等式综合第八章立体几何第一节空间几何体的表面积与体积题型8-1 几何体的表面积与体积题型8-2 球的表面积、体积与球面距离题型8-3 几何体的外接球与内切球第二节空间几何体的直观图与三视图题型8-4 直观图与斜二测画法题型8-5 直观图、三视图题型8-6 三视图? 直观图——简单几何体基本量的计算题型8-7 三视图? 直观图——简单组合体基本量的计算题型8-8 部分三视图? 其余三视图第三节空间点、直线、平面之间的关系题型8-9 证明“线共面”“、点共面” 或“点共线”题型8-10 异面直线的判定第四节直线、平面平行的判定与性质题型8-11 证明空间中直线、平面的平行关系第五节直线、平面垂直的判定与性质题型8-12 证明空间中直线、平面的垂直关系第六节空间向量及其应用题型8-13 空间向量及其运算题型8-14 空间向量的立体几何中的应用第七节空间角与距离题型8-15 空间角的计算题型8-16 点到平面距离的计算第九章直线与圆的方程第一节直线的方程题型9-1 倾斜角与斜率的计算题型9-2 直线的方程第二节两条直线的位置关系题型9-3 两直线位置关系的判定题型9-4 有关距离的计算题型9-5 对称问题第三节圆的方程题型9-6 求圆的方程题型9-7 与圆有关的轨迹问题题型9-8 点与圆位置关系的判断题型9-9 圆的一般方程的充要条件题型9-10与圆有关的最值问题题型9-11 数形结合思想的应用第四节直线与圆、圆与圆的位置关系题型9-12 直线与圆的位置关系的判断题型9-13 直线与圆的相交关系题型9-14 直线与圆的相切关系题型9-15 直线与圆的相离关系题型9-16 圆与圆的位置关系第十章圆锥曲线方程第一节椭圆题型10-1 椭圆的定义与标准方程题型10-2 离心率的值及取值范围题型10-3 焦点三角形第二节双曲线题型10-4 双曲线的标准方程题型10-5双曲线离心率的求解及其取值范围问题题型10-6 双曲线的渐近线题型10-7 焦点三角形第三节抛物线题型10-8 抛物线方程的求解题型10-9 与抛物线有关的距离和最值问题题型10-10 抛物线中三角形、四边形的面积问题第四节曲线与方程题型10-11 求动点的轨迹方程第五节直线与圆锥曲线位置关系题型10-12 直线与圆锥曲线的位置关系题型10-13 中点弦问题题型10-14 弦长问题第六节圆锥曲线综合题型10-15 平面向量在解析几何中的应用题型10-16 定点问题题型10-17 定值问题题型10-18 最值问题第十一章算法初步题型11-1 已知流程图，求输出结果题型11-2 根据条件，填充不完整的流程图题型11-3 求输入参数题型11-4 算法综合第十二章计数原理第一节计数原理与简单排列组合问题题型12-1 分类计数原理与分步计数原理题型12-2 排列数与组合数的推导、化简和计算题型12-3 基本计数原理和简单排列组合问题的结合第二节排列问题题型12-4 特殊元素或特殊位置的排列问题题型12-5 元素相邻排列问题题型12-6 元素不相邻排列问题题型12-7 元素定序问题题型12-8 其他排列：双排列、同元素的排列第三节组合问题题型12-9 单纯组合应用问题题型12-10 分选问题和选排问题题型12-11 平均分组问题和分配问题第四节二项式定理题型12-12 证明二项式定理题型12-13 ????+1的系数与??幂指数的确定题型12-14 二项式定理中的系数和题型12-15 二项式展开式的二项式系数与系数的最值题型12-16 二项式定理的综合应用第十三章排列与统计第一节概率及其计算题型13-1 古典概型题型13-2 几何概型的计算第二节概率与概率分布题型13-3 概率的计算题型13-4 离散型随机变量的数学期望与方差题型13-5 正态分布第三节统计与统计案例题型13-6 抽样方法题型13-7 样本分布题型13-8 频率分布直方图的解读题型13-9 线性回归方程题型13-10 独立性检验第十四章推理与证明第一节合情推理与演绎推理题型14-1 归纳猜想题型14-2 类比推理第二节直接证明和间接证明题型14-3 综合法与分析法证明第三节数学归纳法题型14-4 数学归纳法的完善题型14-5 证明恒等式题型14-6 整除问题题型14-7 不等式证明题型14-8 递推公式导出{???} 通项公式的猜证及有关问题的证明第十五章复数题型15-1 复数的概念、代数运算和两个复数相等的条件题型15-2 复数的几何意义第十六章选讲内容第一节几何证明选讲（选修4-1）题型16-1 圆和直角三角形中长度和角的计算题型16-2 证明题题型16-3 空间图形问题转化为平面问题第二节坐标系与参数方程（选修4-4）题型16-4 参数方程化为普通方程题型16-5 普通方程化为参数方程题型16-6 极坐标方程化为直角坐标方程第三节不等式选讲（选修4-5）题型16-7 含绝对值的不等式题型16-8 不等式的证明题型16-9 一般综合法和分析法（含比较法）题型16-10 数学归纳法。

完整word版)高中数学知识点总结(最全版)

完整word版)高中数学知识点总结(最全版)XXX Knowledge Chapter 1: n Concept1) Concept of n① Given two non-empty sets A and B。

if there is a certain correspondence rule f。

for any number x in set A。

there is a unique number f(x) in set B corresponding to it。

then such a correspondence (including sets A。

B。

and the correspondence rule f from A to B) is called a n from set A to set B。

denoted as f:A B.② The three elements of a n: domain。

range。

and correspondence rule.③ Only two ns with the same domain and correspondence rule are the same n.2) Concept and n of Interval① Given two real numbers a and b。

and a b。

the set of real numbers x satisfying a x b is called a closed interval。

denoted as [a,b]。

the set of real numbers x satisfying a x b is called an open interval。

denoted as (a,b)。

the set of real numbersx satisfying a x b or a x b is called a half-open interval。

沪教版高二下数学知识点

沪教版高二下数学知识点高二下学期是数学学科中的重点年级，学生需要巩固和拓展高一上、高一下学期所学的数学知识点。

本文将详细介绍沪教版高二下数学的知识点，帮助学生更好地理解和掌握相关内容。

一、函数与导数1. 函数的概念及性质- 函数的定义：函数是一种特殊的对应关系，每一个自变量对应唯一的因变量。

- 函数的分类：常见的函数有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

- 函数的性质：奇偶性、单调性、最值等。

2. 导数及导数的应用- 导数的定义：导数表示函数在某一点上的变化率。

- 导数的计算方法：基本导数公式、导数四则运算法则、链式法则等。

- 导数的应用：切线和法线、函数的单调性与极值等。

二、三角函数与向量1. 三角函数的基本概念- 弧度与角度的转换：弧度制和角度制的转换公式。

- 三角函数的定义：正弦函数、余弦函数、正切函数等。

- 三角函数的周期性：三角函数的周期和变化规律。

2. 三角函数的图像与性质- 三角函数的图像：正弦函数、余弦函数、正切函数的图像特点。

- 三角函数的性质：奇偶性、单调性、最值等。

3. 向量的基本概念与运算- 向量的定义：向量表示有大小和方向的量。

- 向量的运算：加法、减法、数量乘法等。

- 向量的模与方向角：向量的长度和向量与坐标轴的夹角。

三、数列与数项1. 等差数列与等差数列的前n项和- 等差数列的概念：等差数列是指一个数列中的每一项与其前一项的差都相等。

- 等差数列的通项公式与前n项和公式。

2. 等比数列与等比数列的前n项和- 等比数列的概念：等比数列是指一个数列中的每一项与其前一项的比值都相等。

- 等比数列的通项公式与前n项和公式。

3. 递推数列与通项公式- 递推数列的概念：递推数列是指每一项都由前一项经过一定规则推得的数列。

- 递推数列的通项公式：根据递推关系求解数列中的每一项。

四、平面向量与解析几何1. 平面向量的坐标表示与运算- 平面向量的坐标表示：平面向量的坐标与坐标轴的表示方式。