张量分析

eijk有27个量，其中 个不为零。其标号中，每相 个量， 个不为零。 个量 其中6个不为零 其标号中， 邻两个互换一次位置，改变一次正负号。 邻两个互换一次位置，改变一次正负号。位置变 换偶次，不改变它的正负号；标号位置变换奇次， 换偶次，不改变它的正负号；标号位置变换奇次， 它将改变正负号。 它将改变正负号。如
AB BA [C ij ] = [C ij ]T
r r 则有(板书演示 板书演示) 因为 eiA ⋅ e jA = δ ij ，则有 板书演示
AB BA C ik C kj = δ ij
或
AB BA [C ij ][C ij ] = [ I ]
BA 根据 [C ijAB ] = [C ij ]T ，可见
r r r ei × e j = eijk ek
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r r r r r A × B = Ai ei × B j e j = Ai B j eijk ek
eijk = −ejik r r r r A× B = −B × A
易证
r r r ei ⋅ (e j × ek ) = eijk
上式亦可作为e 的定义。 上式亦可作为 ijk的定义。
aij b j = aik bk
ϕ ,i dxi = ϕ ,k dxk
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如果标号不是字母，而是数字， 如果标号不是字母，而是数字，则不适用求和约 定，如
σ ii = σ 11 + σ 22 + σ 33 = σ x + σ y + σ z(求和约定 求和约定) 求和约定
不求和) 其中 σ 11 = σ x , σ 22 = σ y , σ 33 = σ z (不求和 不求和 另外 (σ x + σ y + σ z )(σ x + σ y + σ z ) 应写成 σ iiσ jj ，不 因为后者的标号重复了4次 能写作σ iiσ ii，因为后者的标号重复了 次。 两矢量的点乘积应写成 r r r r A ⋅ B = Ai ei ⋅ B j e j
1.7 一阶基矢及其坐标变换 1.8 一阶张量 一阶张量——不变量 不变量 1.9 二阶基矢及其坐标变换 1.10 二阶张量 二阶张量——不变量 不变量 1.11 张量的记法
(续) 续
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1.1 字母标号
为了书写简洁，便于采用求和约定， 为了书写简洁，便于采用求和约定，在张量记法 中均采用字母标号， 中均采用字母标号，即将某一物理量的所有分量 用同一个字母表示，并用标号(指标 区别其中的 用同一个字母表示，并用标号 指标)区别其中的 指标 各个分量。 各个分量。例如 写成x 表示； 将x, y, z写成 1, x2, x3, 用xi(i=1, 2, 3)表示； 写成 表示 r r r r r r 用r 表示； i , j , k → e1 , e2 , e3 , ei ( i = 1,2,3) 表示；
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r r r ∂r ∂ ( x j e j ) = = δ ji e j = ei ∂x i ∂x i
AB 称为正常 正向)正交矩阵 正常(或 正交矩阵； 当 det[C ij ] = 1 时，称为正常 或正向 正交矩阵； AB 称为非正常 负向)正交矩阵 非正常(或 正交矩阵。 当 det[C ij ] = −1 时，称为非正常 或负向 正交矩阵。
⇒克罗内克尔代尔塔(Kronecker δ)。它与另一个带 克罗内克尔代尔塔 。 字母的量(包括自身 相乘时， 包括自身)相乘时 字母的量 包括自身 相乘时，将该量中的求和标 中的另一标号代入。 号丢掉而用δij中的另一标号代入。因此
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①
δ ijδ ij = δ ii ( or δ jj ) = 3 δ ijδ jk = δ ik δ ijδ jkδ km = δ im
∂ϕ 位移→ 应力→ 应变→ 位移→ui；应力→σij；应变→εij； gradϕ → ∂x i
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1.2 求和标号 求和约定
在同一项中，重复出现两次的字母标号，称为求 在同一项中，重复出现两次的字母标号，称为求 和标号，它表示将该标号依次取为1,2,3时所得的 时所得的 和标号，它表示将该标号依次取为 各项之和，这就是求和约定 求和约定。 各项之和，这就是求和约定。例如
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eijk = − e jik = −( − e jki ) = e jki = − ekji
r 叉积的定义， 根据 ei 叉积的定义，有 r ek r r r ei × e j = − ek 0
当i, j, k为顺循环 为顺循环 当i, j, k为逆循环 为逆循环 当i, j, k为非循环 为非循环
或
a′ = aerst = a ir a is ait eijk
得
6a = a ir ais a it eijk erst
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1.6 余弦变换矩阵
rA rA 分别为笛卡尔系， 设 ei 及 e j 分别为笛卡尔系，则 r A rB AB ei ⋅ e j = cosθ ijAB := C ij rA rA AB 间的夹角。:=表 定义为” θ ij 为 ei 与 e j 间的夹角。:=表为“定义为”；
δ ir δ is δ it ∗ δ jr δ js δ jt = ∆ = ∆ ′erst = eijk erst δ kr δ ks δ kt
由此可得e 由此可得 ijk和δij的关系为
eijk erst = δ ir (δ jsδ kt − δ jt δ ks ) + δ jr (δ ksδ it − δ ktδ is ) + δ kr (δ jt δ is − δ it δ js )
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1.3 自由标号
同一项内不重复出现的标号，叫做自由标号。 同一项内不重复出现的标号，叫做自由标号。可 自由标号 表任一个应力分量。 取1,2,3。如σij表任一个应力分量。 。 同一方程中，各项自由标号应相同， 同一方程中，各项自由标号应相同，而且应理解 (约定 为该方程对自由标号的约定域均成立。如 约定)为该方程对自由标号的约定域均成立 约定 为该方程对自由标号的约定域均成立。 ai=bijcj为下列方程的缩写

(g)
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1.5 排列 置换 符号 排列(置换 置换)符号
置换)符号的定义 ①排列(置换 符号的定义 排列 置换
eijk 1 = − 1 0
顺序时(顺循环 当i, j, k按1, 2, 3顺序时 顺循环 按 顺序时 顺循环) 顺序时(逆循环 当i, j, k按3, 2, 1顺序时 逆循环 按 顺序时 逆循环) 当i, j, k有重复标号时 非循环 有重复标号时(非循环 有重复标号时 非循环)
aij x j = bi
⇒同一方程中，不能任意改变其中一项或部分项的 同一方程中， 自由标号；若有必要， 自由标号；若有必要，须将各项的自由标号同时 改变。 改变。
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1.4 克罗内克尔代尔塔δij
δij表九个量，并规定 表九个量，
1, i = j δ ij = 0, i ≠ j
r r e 为笛卡尔坐标系的基矢， ⑤设 ei为笛卡尔坐标系的基矢， i′为该坐标系转动后 的基矢， 的基矢，令 r r ei ⋅ e j ′ = lij′ r r lij′ 为 ei 和 e j′ 夹角的余弦；则可证明 夹角的余弦；
lik′ l jk′ = δ ij
li′k l j′k = δ i′j′
Ax r r r A ⋅ ( B × C ) = Bx Cx
Ay By Cy
Az Bz Cz
则有
δ i1 δ i 2 δ i 3 r r r eijk = ei ⋅ (e j × ek ) = δ j 1 δ j 2 δ j 3 = ∆ ′ δ k1 δ k 2 δ k 3
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上式行列式中，列序号为顺循环； 上式行列式中，列序号为顺循环；若将其中的列 任意变换位置， 任意变换位置，所得到的新行列式为
张量分析
主要内容
1 基矢 张量 正交变换 2 二阶张量及其若干基本运算法则12:172来自1 基矢 张量 正交变换
1.1 字母标号 1.2 求和标号 求和约定 1.3 自由标号 1.4 克罗内克尔代尔塔δij 1.5 排列 置换 符号 排列(置换 置换)符号 1.6 余弦变换矩阵
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1 基矢 张量 正交变换
ai bi = a1b1 + a 2 b2 + a3 b3 aij b j = ai 1b1 + ai 2 b2 + a i 3 b3 aii = a11 + a 22 + a33
求和标号又称“哑标” 求和标号又称“哑标”或“伪标”。 伪标”
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求和标号已不是用以区分该标号所表示的各个分 而是一种约定的求和标志， 量，而是一种约定的求和标志，因此可选用任何 字母而不会改变其含义；亦即求和标号可任意变 字母而不会改变其含义； 换字母， 换字母，如 ai bi = a j b j
a1 = b11c1 + b12 c2 + b13c3 a2 = b21c1 + b22c2 + b23 c3 a3 = b31c1 + b32c2 + b33 c3
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下列方程组
a11 x + a12 y + a13 z = b1 a21 x + a22 y + a 23 z = b2 a31 x + a32 y + a 33 z = b3
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② eijk–δij恒等式
根据行列式的运算法则， 根据行列式的运算法则，可得