10二次函数的图像和性质复习

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二次函数图像与性质完整归纳

二次函数图像与性质完整归纳二次函数的图像与性质二次函数是高中数学中的重要内容之一，掌握其图像与性质是必不可少的。

二次函数的基本形式是y=ax^2，其中a表示开口方向和抛物线开口大小，x^2表示自变量的平方。

根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点的坐标可以得到不同的性质。

当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴。

在y=ax^2的基础上，加上常数项c可以得到y=ax^2+c的形式，其中c表示抛物线在y轴上的截距。

根据a和c的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。

当a>0，c>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a>0，c0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a<0，c<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴。

除了基本形式和加上常数项的形式，二次函数还有一种顶点式的形式y=a(x-h)^2+k，其中（h，k）表示顶点坐标。

根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点坐标可以得到不同的性质。

当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。

在顶点式的基础上，加上常数项k可以得到y=a(x-h)^2+k的形式。

根据a和k的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。

当a>0，k>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a>0，k0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0，k<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。

二次函数图象的平移二次函数的图像可以通过平移来得到新的图像。

平移的步骤是先确定顶点坐标，然后根据顶点坐标的变化来确定平移方向和距离。

(整理)第10讲二次函数图象和性质

第10讲二次函数（一）专题一：二次函数的图像与性质（一）知识点梳理1. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和性质 a ＞02. 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成()k h x a y +-=2的形式，其中 h ＝， k ＝ .3. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和2ax y =图像的关系.4. 二次函数c bx ax y ++=2中c b a ,,的符号的确定. 5、图象的平移：将二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象进行平移，可得到y=ax 2＋c ，y=a(x －h)2，y=a(x －h)2＋k 的图象．⑴ 将y=ax 2的图象向上(c ＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax 2＋c 的图象．其顶点是（0,c ）形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax 2相同． ⑵ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x －h)2的图象．其顶点是（h ，0），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．⑶ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x －h)2 +k 的图象，其顶点是（h ，k ），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．（二）：经典考题精讲例1、二次函数y=ax 2＋bx 2＋c 的图象如图所示，则a 0，b 0，c 0.（填“＞”或“＜”＝．）例2、二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与一次函数y=ax ＋c 在同一坐标系中的图象大致是图中的（）例3、在同一坐标系中，函数y=ax 2＋bx 与y=xb的图象大致是图中的（）例4、如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=0．0225x 2＋0．9x ＋10表示，而且左右两条抛物线关于y 轴对称，你能写出右面钢缆的表达式吗？例5、图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax 2＋（a ＋c ）x ＋c 与一次函数y=ax ＋c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（）例6、抛物线y=ax 2＋bx ＋c 如图所示，则它关于y 轴对称的抛物线的表达式是．例7、已知二次函数y=（m －2）x 2＋（m ＋3）x ＋m ＋2的图象过点（0，5）（1）求m 的值，并写出二次函数的表达式；（2）求出二次函数图象的顶点坐标、例8、如图所示，有一边长为5cm 的正方形ABCD 和等腰三角形PQR ，PQ=PR=5cm ，QR=8cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一直线ι上．当CQ 两点重合时，等腰△PQR 以1cm/秒的速度沿直线ι按箭头所示方向开始匀速运动，t 秒后，正方形ABCD 与等腰△PQR 重合部分的面积为Scm 2．解答下列问题：（1）当t=3秒时，求S 的值；（2）当t=5秒时，求S 的值；三：拓展与应用1. 抛物线()22-=x y 的顶点坐标是 .2．将抛物线23y x =-向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是．3. 如图所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+- 的图象，那么a 的值是．4.二次函数2(1)2y x =-+的最小值是（） A.－2 B.2 C.－1 D.15. 请写出一个开口向上，对称轴为直线x ＝2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式 .6.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如右图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为．7.已知函数y=x 2-2x-2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x 的取值范围是（）A ．-1≤x≤3B ．-3≤x≤1C ．x≥-3D ．x≤-1或x≥38. 二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图象如图所示，则下列结论： ①a ＞0； ②c ＞0； ③ b 2-4a c ＞0，其中正确的个数是( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个第3题图第6题图9. 已知二次函数243y ax x=-+的图象经过点（－1，8）.（1）求此二次函数的解析式；（2）根据（1）填写下表.在直角坐标系中描点，并画出函数的图象；（3）根据图象回答：当函数值y<0时，x的取值范围是什么？专题二：二次函数与一元二次方程（一）：【知识梳理】1．二次函数与一元二次方程的关系：（1）一元二次方程ax2+bx+c=0就是二次函数y=ax2+bx+c当函数y的值为0时的情况．（2）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根．（3）当二次函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有两个交点时，则一元二次方程y=ax2+bx+c 有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根；当二次函数y＝ax2+ bx+c的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程y=ax2+bx+c没有实数根（二）：【经典考题剖析】1.已知二次函数y=x2－6x+8，求：（1）抛物线与x轴J轴相交的交点坐标；（2）抛物线的顶点坐标；（3）画出此抛物线图象，利用图象回答下列问题：①方程x2－6x＋8=0的解是什么？②x取什么值时，函数值大于0？③x取什么值时，函数值小于0？2.已知抛物线y＝x2－2x－8，（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积．3.如图所示，直线y=-2x+2与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，∠BAC=90o，过C 作CD ⊥x 轴，垂足为D （1）求点A 、B 的坐标和AD 的长（2）求过B 、A 、D 三点的抛物线的解析式4.如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，回答下列问题：（1）设运动后开始第t （单位：s ）时，五边形APQCD 的面积为S（单位：cm 2），写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围（2）t 为何值时S 最小？求出S 的最小值5. 如图，直线334y x k=+(0)k >与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点P 是线段AB 的中点，抛物线283y x bx c =-++经过点A 、P 、O （原点）。

二次函数的图像与性质(含答案)

九年级数学竞赛专题 ---二次函数的图像与性质一、内容概述二次函数有丰富的内容，下面从四个方面加以总结1．定义：形如函数2(0)y ax bx c a =++≠称为二次函数，对实际问题二次函数也有定义域.2．图像二次函数的图像为抛物线，一般作二次函数图像，取五个点，先确定顶点的横坐标，再以它为中心向左、向右对称取点.3．性质对2(0)y ax bx c a =++≠的图像来讲，（1）开口方向：当0a >时，抛物线开口向上；当0a <时，抛物线开口向下。

（2）对称轴方程：2bx a=-（3）顶点坐标：24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（4）抛物线与坐标轴的交点情况：若240bac -<，则抛物线与x 轴没有交点；若240b ac -=，则抛物线与x 轴有一个交点；若240b ac ->，则抛物线与x 轴有两个交点，分别为，；另外，抛物线与y 轴的交点为()0,c .（5）抛物线在x a=（6）y 与x 的增减关系：当0a >，2b x a >-时，y 随x 的增大而增大，2bx a <-时，y 随x 的增大而减小；当0a <，2b x a >-时，y 随x 的增大而减小，2bx a<-时，y 随x 的增大而增大.（7）最值：当0a >时，y 有最小值，当2b x a =-时，244ac b y a -最小值＝；当0a <时，y 有最大值，当2b x a =-时，244ac b y a-最大值＝（8）若抛物线与x 轴两交点的横坐标为1x 、2x （12x x <），则：当0a >时，12x x x <<时，0y <；12x x x x <>或时，0y >；当0a<时，12x x x <<时，0y >；12x x x x <>或时，0y <.4．求解析式抛物线的解析式常用的有三种形式：（1）一般式：2(0)y ax bx c a =++≠（2）顶点式：2()(0)y a x h k a =-+≠，其中(,)h k 是抛物线的顶点坐标。

初三数学：《二次函数的图象和性质》知识点归纳

二次函数图像的性质：1.二次函数(a≠0)的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点是原点(0,0)。

(1)二次函数图像怎么画作法：①列表：一般取5个或7个点，作为顶点的原点(0,0)是必取的，然后在y轴的两侧各取2个或3个点，注意对称取点;②描点：一般先描出对称轴一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点;③连线：按照自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线连接所描的点，两端无限延伸。

(2)二次函数与的图像和性质：2.二次函数(a，k是常数，a≠0)的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点坐标是( 0，k)，它与的图像形状相同，只是位置不同。

函数的图像是由抛物线向上(或下)平移|k|个单位得到的。

当a>0时，抛物线的开口向上，在对称轴的左边(x<0时)，曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小;在对称轴的右边(x>0时)，曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大。

顶点是抛物线的最低点，在顶点处函数y取得最小值，即当x=0时，y最小值=k 。

当a<0时，抛物线的开口向下，在对称轴的左边(x<0时)，曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大;在对称轴的右边(x>0时)，曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小。

顶点是抛物线的最高点，在顶点处函数y取得最大值，即当x=0时，y最大值=k 。

3.二次函数(a≠0)的图像是一条抛物线，它的对称轴是平行于y轴或与y轴重合的直线x= h，顶点坐标是(h，0)，它与的图像形状相同，位置不同，函数(a≠0)的图像是由抛物线向右(或左)平移|h|个单位得到的。

画图时，x的取值一般为h和h左右两侧的值，然后利用对称性描点画图。

当a>0时，抛物线的开口向上，在对称轴的左边(xh时)，曲线自左向右上升，函数y 随x的增大而增大。

顶点是抛物线的最低点，在顶点处函数y取得最小值，即当x=h时，y最小值=0。

二次函数的图像和性质总结

二次函数的图像和性质总结二次函数的图像和性质总结二次函数的图像和性质一、二次函数的定义：形如的函数叫二次函数。

二、二次函数的解析式三种形式1一般式：；2顶点式：ya(xh)2k（a≠0），顶点坐标为（，），对称轴是。

3两点式：设x1、x2是抛物线与x轴的两个交点的横坐标，则ya(xx1)(xx2)对称轴为直线xx1x2。

2三、二次函数yax2bx+c（a≠0）的图象与性质二次函数1．开口大小。

由决定，越大，开口越。

2．开口方向：由决定。

当a>0时，函数开口方向向；当a若交点在X轴的上方，则c0；若交点在X轴的下方，则C0；（3）b的符号由对称轴来确定：b0知a、b同号；2ab若对称轴在Y轴的右侧,由0知a、b异号。

2a对称轴在Y轴的左侧,由7.缺项二次函数的特征2（1）抛物线yax（a≠0）的顶点在Y轴上时抛物bx+c线关于轴对称，=0；解析式为。

2（2）抛物线yax（a≠0）经过原点，则=0；bx+c解析式为。

2（3）抛物线yax（a≠0）顶点在原点，则b=bx+cc=，解析式为。

8.抛物线的平移和轴对称．左右平移在括号,记上反符号上下平移在末梢（1）抛物线yax2bx+c上（下）平移n(n0)个单位后的解析式求法：将原解析式中的不变，把转换为；（2）抛物线yax2bx+c左（右）平移n(n0)个单位后的解析式求法：将原解析式中的不变，把转换为。

2（3）抛物线yax关于x轴对称的抛物线解析式bx+c是（方法是将原yax2bx+c解析式中的不变，把转换为，再整理）2④物线yaxbx关于y轴对称的抛物线解析式是+c（方法是将原解析yax2bx+c式中的不变，把转换为，再整理）扩展阅读：二次函数的图像和性质总结二次函数的图像和性质1.二次函数的图像与性质：解析式a的取值开口方向函数值的增减顶点坐标对称轴图像与y轴的交点yax22当a0时；开口向上；在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的（0，0）x0（0，0）yaxkya(xh)2（0，c）x0（0，k）右侧y随x的增大而增大。

二次函数图像与性质完整归纳

二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：的性质：2y ax =a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 的性质：2y ax c =+上加下减。

3. 的性质：()2y a x h =-左加右减。

4. 的性质：()2y a x h k =-+的符号a 开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上()00，轴y 时，随的增大而增大；时，0x >y x 0x <随的增大而减小；时，有最小值y x 0x =y ．00a <向下()00，轴y 时，随的增大而减小；时，0x >y x 0x <随的增大而增大；时，有最大值y x 0x =y ．0的符号a 开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上()0c ，轴y 时，随的增大而增大；时，0x >y x 0x <随的增大而减小；时，有最小值y x 0x =y ．c 0a <向下()0c ，轴y 时，随的增大而减小；时，0x >y x 0x <随的增大而增大；时，有最大值y x 0x =y ．c 的符号a 开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上()0h ，X=h时，随的增大而增大；时，x h >y x x h <随的增大而减小；时，有最小值y x x h =y ．00a <向下()0h ，X=h时，随的增大而减小；时，x h >y x x h <随的增大而增大；时，有最大值y x x h =y ．0的符号a 开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上()h k ，X=h时，随的增大而增大；时，x h >y x x h <随的增大而减小；时，有最小值y x x h =y二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；()2y a x h k =-+()h k ，⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2y ax =()h k，【【【(h <0)【【【【【(h >0)【【【(h 【【|k|【【【2. 平移规律在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．h k 概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成c bx ax y ++=2y m c bx ax y ++=2（或）m c bx ax y +++=2m c bx ax y -++=2⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成c bx ax y ++=2m c bx ax y ++=2（或）c m x b m x a y ++++=)()(2c m x b m x a y +-+-=)()(2三、二次函数与的比较()2y a x h k =-+2y ax bx c =++从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过()2y a x h k =-+2y ax bx c =++配方可以得到前者，即，其中．22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2424b ac b h k a a -=-=，．k 0a <向下()h k ，X=h时，随的增大而减小；时，x h >y x x h <随的增大而增大；时，有最大值y x x h =y ．k四、二次函数图象的画法2y ax bx c =++五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确2y ax bx c =++2()y a x h k =-+定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点y ()0c ，()0c ，、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴()2h c ，x ()10x ，()20x ，x 对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.x y 五、二次函数的性质2y ax bx c =++ 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．0a >2bx a =-2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当2b x a <-y x 2bx a>-y x 时，有最小值．2b x a =-y 244ac b a- 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当0a <2bx a =-2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，2b x a <-y x 2b x a >-y x 2bx a=-有最大值．y 244ac b a-六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：（，，为常数，）；2y ax bx c =++a b c 0a ≠2. 顶点式：（，，为常数，）；2()y a x h k =-+a h k 0a ≠3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.12()()y a x x x x =--0a ≠1x 2x x 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以x 240b ac -≥用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数中，作为二次项系数，显然．2y ax bx c =++a 0a ≠ ⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越0a >a a 大；⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越0a <a a 大．总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决a a a 定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．a b ⑴ 在的前提下，0a >当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；0b >02ba-<y 当时，，即抛物线的对称轴就是轴；0b =02ba-=y 当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．0b <02ba->y ⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即0a <当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；0b >02ba->y 当时，，即抛物线的对称轴就是轴；0b =02ba-=y 当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．0b <02ba-<y 总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．a b 的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，ab abx 2-=y 0>ab y 0<ab 概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项c⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；0c >y x y⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；0c =y y 0 ⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为0c <y x y 负．总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．c y 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．a b c ，，二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；x 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于轴对称x关于轴对称后，得到的解析式是； 2y ax bx c =++x 2y ax bx c =---关于轴对称后，得到的解析式是；()2y a x h k =-+x ()2y a x h k =--- 2. 关于轴对称y关于轴对称后，得到的解析式是； 2y ax bx c =++y 2y ax bx c =-+关于轴对称后，得到的解析式是；()2y a x h k =-+y ()2y a x h k =++ 3. 关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是；2y ax bx c =++2y ax bx c =-+-关于原点对称后，得到的解析式是；()2y a x h k =-+()2y a x h k =-+- 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）关于顶点对称后，得到的解析式是；2y ax bx c =++222b y ax bx c a=--+-关于顶点对称后，得到的解析式是．()2y a x h k =-+()2y a x h k =--+ 5. 关于点对称()m n ，关于点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+()m n ，()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择a 合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：y=3(x+4)22y=3x 2十一、【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数的图象64212++=x x y 【解】)128(21642122++=++=x x x x y 2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x 以为中间值，取的一些值，列表如下：4-=x x x …-7-6-5-4-3-2-1…y …25023--223-025…【例2】求作函数的图象。

二次函数的图像和性质总结精心整理

二次函数的图像和性质总结
一、二次函数的定义
一般地，形如的函数叫作二次函数。
二、二次函数的五种形式：
①y=ax （a≠0） ②y=ax +c （a≠0）
③y=a(x-h) （a≠0） ④y=a(x-h) +k （a≠0）顶点式
⑤y=ax +bx+c （a≠0）一般式
三、y=ax （a≠0）的图像和性质：
⑥采用五点法画y=a(x-h) +k的图像
首选顶点（h,k），以顶点（h,k）为中心，往两边对称性的取两对点。
⑦平移
抛物线的图像是由抛物线的图像上下平移个单位，左右平移个单位而得到的。当时向上平移；当时向下平移；当时向左平移；当时向右平移。（上加下减，左加右减）
⑧利用待定系数法求的解析式
当a＜0时，在对称轴左侧（或x＜）,x↑y↑;
在对称轴右侧（或x＞）,x↑y↓;
在对称轴右侧（或x＞0）,x↑y↑;
此时，二次函数有最低点，即二次函数y=ax 有最小值，当x=0时，y最小值=0;
当a＜0时，在对称轴左侧（或x＜0）,x↑y↑;
在对称轴右侧（或x＞0）,x↑y↓;
此时，二次函数有最高点，即二次函数y=ax 有最大值，当x=0时，y最大值=0;
⑥采用五点法画y=ax 的图像
也可以是两组对应值,当x=a时，y=b. 当x=c时，y=d.
六、y=a(x-h) +k （a≠0）的图像和性质：
①它的图像是一条顶点在任意位置的抛物线。
②顶点（h,k），对称轴是直线x=h。
③a的符号确定抛物线的开口方向。
a＞0,开口向上；a＜0，开口向下；
④︳a︳的值确定抛物线开口大小。

二次函数图像与性质复习课件

二次函数图像与性质复习课件
这个课件将会回顾和讲解二次函数的定义和性质，标准形式，基本图像特征，平移、伸缩和反转，最简化形式，以及二次函数在实际问题中的应用。
二次函数的定义和性质
定义
二次函数是一个具有形如 y = ax^2 + bx + c 的方程的函数。
性质
二次函数的图像是一个平滑的弯曲线，可能开口向上或向下。
二次函数的标准形式
标准形式方程
二次函数的标准形式方程是 y = a(x - h)^2 + k，其中 (h, k) 是顶点的坐标。
二次函数的一些基本图像特征
1 凹向上还是凹向下？
当二次函数的系数 a 大于 0 时，图像凹向上；当 a 小于 0 时，图像凹向下。
2 零点和顶点是什么？
二次函数的零点是函数图像与 x 轴交点的 x 坐标，顶点是函数图像的最低点或最高点。
二次函数的平移、伸缩和反转
1
平移
改变二次函数的顶点位置，使图像在
伸缩
2
二维平面上上下左右移动。
改变二次函数的系数 a 的值，使图像
在纵轴上拉伸或压缩，改变开口的尖
锐程度。
3
反转
改变二次函数的系数 a 的符号，使图像关于 x 轴或 y 轴进行翻转。
二次函数的最简化形式
最简化形式ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程
通过完成平方将二次函数方程转化为顶点形式的方程，例如 y = a(x - h)^2 + k。
二次函数和实际问题的应用
桥的设计
二次函数被广泛应用于桥梁设计，以确定最优弧线形状。
反射望远镜
二次函数的图像形状被用于反射望远镜的曲面设计，以聚集光线到焦点。
总结和复习要点

二次函数专题复习讲义

二次函数专题复习专题一：二次函数的图象与性质本专题涉及二次函数概念,二次函数的图象性质,抛物线平移后的表达式等.试题多以填空题、选择题为主,也有少量的解答题出现.考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标二次函数的图象是一条抛物线,它的对称轴是直线x=-2b a ,顶点坐标是-2b a,244ac b a -.例1 已知,在同一直角坐标系中,反比例函数5y x=与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，． 1求m 、c 的值；2求二次函数图像的对称轴和顶点坐标. 考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系抛物线y=ax 2+bx+c 中,当a>0时,开口向上,在对称轴x=-2ba的左侧y 随x 的增大而减小,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大；当a<0时,开口向下,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而减小.例2 已知2y ax bx =+的图象如图1所示,则y ax b =-的图象一定过A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限考点3、二次函数的平移当k>0k<0时,抛物线y=ax 2+ka ≠0的图象可由抛物线y=ax 2向上或向下平移|k|个单位得到；当h>0h<0时,抛物线y=ax-h 2a ≠0的图象可由抛物线y=ax 2向右或向左平移|h|个单位得到. 例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位,得到的抛物线是=3x+22=3x-22=3x 2+2 =3x 2-2 专题练习11.对于抛物线y=13-x 2+103x 163-,下列说法正确的是A.开口向下,顶点坐标为5,3B.开口向上,顶点坐标为5,3C.开口向下,顶点坐标为-5,3D.开口向上,顶点坐标为-5,3 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为0,-3,则下列说法不正确的是 A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时,y 的最大值为-4 D.抛物线与x 轴交点为-1,0,3,03.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度后,所得图象的函数表达式是________. 4.小明从上图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中,观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->,你认为其中正确信息的个数有_______.填序号专题复习二：二次函数表达式的确定图1图2本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题目的特点灵活选用方法确定二次函数的表达式.题型多以解答题为主.考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式例1、如图1,用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙墙的长度不限的矩形菜园ABCD ,设AB 边长为x 米,则菜园的面积y 单位：米2与x 单位：米的函数关系式为不要求写出自变量x 的取值范围．考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式1.若已知抛物线上三点的坐标,则可用一般式：y=ax 2+bx+ca ≠0；2.若已知抛物线的顶点坐标或最大小值及抛物线上另一个点的坐标,则可用顶点式：y=ax-h 2+ka ≠0； 3.若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点,则可用交点式：y=ax-x 1x-x 2a ≠0. 例2 已知抛物线的图象以A-1,4为顶点,且过点B2,-5,求该抛物线的表达式.例3 已知一抛物线与x 轴的交点是A-2,0、B1,0,且经过点C2,8.1求该抛物线的解析式； 2求该抛物线的顶点坐标.专项练习21.由于世界金融危机的不断蔓延,世界经济受到严重冲击.为了盘活资金,减少损失,某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x,降价后的价格为y 元,原价为a 元,则y 与x 之间的函数表达式为 =2ax-1 =2a1-x =a1-x 2=a1-x22.如图2,在平而直角坐标系xOy 中,抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点,点A 在x 轴负半轴,点B 在x 轴正半轴,与y 轴交于点C,且tan∠ACO=12,CO=BO,AB=3,则这条抛物线的函数解析式是． 3.对称轴平行于y 轴的抛物线与y 轴交于点0,-2,且x=1时,y=3；x=-1时y=1, 求此抛物线的关系式.4.推理运算：二次函数的图象经过点(03)A -，,(23)B -，,(10)C -，．1求此二次函数的关系式； 2求此二次函数图象的顶点坐标；3填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移个单位,使得该图象的顶点在原点．专题三：二次函数与一元二次方程的关系本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根,由图象判断一元二次方程根的情况,由一元二次方程根的情况判断抛物线与x 轴的交点个数等,题型主要填空题、选择题和解答题. 考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值,确定方程根的范围一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2+bx+c 当函数y 的值为0时的情况.ABC D图1菜园墙图2例1 根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值,判断方程ax 2+bx+c=0a ≠0,a,b,c,为常数的一个解x 的范围是Ａ．6 6.17x << Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x <<Ｄ．6.19 6.20x <<考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值,即一元二次方程ax 2+bx+c=0的根.例2 已知二次函数y=-x 2+3x+m 的部分图象如图1所示,则关于x 的一元二次方程-x 2+3x+m=0的解为________. 考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点时,则一元二次方程ax 2+bx+c=0的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有一个交点时,则一元二次方程ax 2相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴没有交点时,则一元二次方程ax 2实数根.反之亦然.例3 在平面直角坐标系中,抛物线21y x =-与x 轴的交点的个数是专项练习31.抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有交点,则k 的取值范围是________.2.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图2所示,则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为．3.已知函数2y ax bx c =++的图象如图3所示,那么关于x 的方程220ax bx c +++= 的根的情况是A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示,根据图象解答下列问题：1写出方程20ax bx c ++=的两个根．2写出不等式20ax bx c ++>的解集．3写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．4若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根,求k 的取值范围．图2专题四：利用二次函数解决实际问题本专题主要涉及从实际问题中建立二次函数模型,根据二次函数的最值解决实际问题,能根据图象学习建立二次函数模型解决实际问题.解决实际问题的基本思路：1理解问题；2分析问题中的变量和常量；3用函数表达式表示出它们之间的关系；4利用二次函数的有关性质进行求解；5检验结果的合理性,对问题加以拓展等.例1某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台．1假设每台冰箱降价x元,商场每天销售这种冰箱的利润是y元,请写出y与x之间的函数表达式；不要求写自变量的取值范围2商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元3每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高最高利润是多少专题训练41.小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地,矩形面积S单位：平方米随矩形一边长x单位：米的变化而变化．1求S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；2当x是多少时,矩形场地面积S最大最大面积是多少2.某旅行社有客房120间,每间客房的日租金为50元,每天都客满.旅社装修后要提高租金,经市场调查发现,如果每间客房的日租金每增加5元时,则客房每天出租数就会减少6间,不考虑其他因素,旅社将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高3.一座拱桥的轮廓是抛物线型如图1所示,拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m．1将抛物线放在所给的直角坐标系中如图2所示,求抛物线的解析式；2求支柱EF的长度；3拱桥下地平面是双向行车道正中间是一条宽2m的隔离带,其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车汽车间的间隔忽略不计请说明你的理由．x图1。

二次函数的图像和性质总结

二次函数的图像和性质1.二次函数的图像与性质：解析式a 的取值开口方向函数值的增减顶点坐标对称轴图像与y轴的交点y = ax2当a0时；开口向上；在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而增大。

当a0时；开口向下；在对称轴的左侧y随 x 的增大而增大，在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而减小。

（0，0）x=0（0，0）y = ax2+ k（0，c）x =0 (0，k）y = a( x + h)2（- h，0）x = - h(0，ah2）y=a(x+h)2+k（- h，k）x = - h(0，ah2+ k)y = ax2+bx+c b 4ac - b2 (- , )2a4a b x=-2a（0，c）2.抛物线的平移法则：（1）抛物线y = ax2+ k的图像是由抛物线y = ax2的图像平移k个单位而得到的。

当k 0时向上平移；当k0时向下平移。

（2）抛物线y = a（x + h）2的图像是由抛物线y = ax2的图像平移h个单位而得到的。

当h0时向左平移；当h0时向右平移。

（3）抛物线的y = a（x + h）2+ k图像是由抛物线y = ax2的图像上下平移k个单位，左右平移h个单位而得到的。

当k0时向上平移；当k0时向下平移；当h0时向左平移；当h0 时向右平移。

3.二次函数的最值公式：形如y =ax + bx + c的二次函数。

当a0时，图像有最低点，函数有最小值4ac-b24ac-b2y最小值=4a；当a0时，图像有最高点，函数有最大值，y最大值=4a；4.抛物线y =ax + bx + c与y轴的交点坐标是（0，c）5.抛物线的开口大小是由a决定的，a越大开口越小。

6.二次函数y =ax + bx + c的最值问题：（1）自变量的取值范围是一切实数时求最值的方法有配方法、公式法、判别式法。

（2）自变量的取值范围不是一切实数：b 自变量的取值范围不是一切实数时，应当抓住对称轴x = -2a ,把他与取值范围相比较，再进行求最值。

二次函数的图像和性质复习

顶点
二次函数的图像的顶点是图像的最高点或最低点。
最值
对于某些二次函数，它可以有最小值或最大值。
二次函数的根
根是函数与 x 轴相交的点，也就是函数的解。通过求解方程 ax^2 + bx + c = 0 可以找到根。
二次函数的判别式
判别式是二次函数的 b^2 - 4ac，它表示了根的性质和图像与 x 轴的交点个数。
商业决策
二次函数可以用于分析成本、利润和销售量之间的关系，以优化商业决策。
二次函数的重要性总结
二次函数是数学中一个重要的概念，它的图像和性质广泛应用于各个领域，让我们能更好地理解和解决现实生活中的问题。
ห้องสมุดไป่ตู้
2
通过增大或减小二次函数的系数，可
以改变图像的形状和大小。
3
平移
二次函数的平移可以水平或垂直方向上改变其位置。
翻转
可以对二次函数的图像进行翻转，以改变其凹凸性。
二次函数在现实生活中的应用
曲线道路设计
二次函数可以用来设计平滑曲线道路，以提高驾驶安全性。
抛物线运动
二次函数可以描述抛物线运动的轨迹，如投掷物体的轨迹或抛物线形的棚顶。
二次函数的图像和性质复习
从二次函数的基本形式开始，探索它的图像以及与之相关的性质，如轴对称、顶点、最值、根、判别式等等。
二次函数的基本形式
二次函数的基本形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 分别代表二次项、一次项和常数项的系数。
二次函数的图像
对称性
二次函数的图像关于它的轴对称，这意味着它的左右两侧是对称的。
用配方法求解二次方程
配方法是一种求解二次方程的方法，通过将二次方程转化成完全平方的形式来求解。

二次函数图象和性质知识点总结

二次函数的图象和性质知识点总结一、知识点回顾1. 二次函数解析式的几种形式：①一般式：（a、b、c为常数，a≠0）②顶点式：（a、h、k为常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标。

③交点式：，其中是抛物线与x轴交点的横坐标，即一元二次方程的两个根，且a≠0，（也叫两根式）。

2. 二次函数的图象①二次函数的图象是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。

②任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。

③在画的图象时，可以先配方成的形式，然后将的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将配成的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。

然后取图象与y轴的交点（0，c），及此点关于对称轴对称的点（2h，c）；如果图象与x轴有两个交点，就直接取这两个点（x1，0），（x2，0）就行了；如果图象与x轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。

(1)抛物线开口向(1)抛物线开口向(1)抛物线(1)抛物线4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法①配方法：将解析式化为的形式，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线，若a＞0，y有最小值，当x＝h时，；若a＜0，y有最大值，当x＝h时，。

②公式法：直接利用顶点坐标公式（），求其顶点；对称轴是直线，若若，y有最大值，当5. 抛物线与x轴交点情况：对于抛物线①当时，抛物线与x轴有两个交点，反之也成立。

②当时，抛物线与x轴有一个交点，反之也成立，此交点即为顶点。

③当时，抛物线与x轴无交点，反之也成立。

二、考点归纳考点一求二次函数的解析式例1.已知二次函数f（x）满足f（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）的最大值是8，试求f（x）。

第10讲二次函数的图像与性质--基础版

第10讲函数的图象及其性质知识点1二次函数的定义与列二次函数关系式一般地，形如(a、b、c是常数，)的函数叫做x的二次函数. 其中：x的最高次数为2且a≠0。

【典例】1.下列函数中，其中是以x为自变量的二次函数是（）A. y=x（x﹣3）B. y=（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2C. y=x2+D. y=2.函数y=（a﹣1）x+x﹣3是二次函数时，则a的值是______3.下列关系中，是二次函数关系的是（）A. 当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系B. 在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系C. 圆的面积S与圆的半径r之间的关系D. 正方形的周长C与边长a之间的关系【方法总结】1.本知识点需要掌握：（1）知道二次函数的一般表达式.（2）会利用二次函数的概念分析解题.2.注意：“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。

“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在一定范围内任意取值。

在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。

从函数的定义也可看出二者的差别。

3. 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．【随堂练习】1．（2018•南关区校级一模）若y=（m+2）x+3x﹣2是二次函数，则m的值是____．2．（2017秋•颍泉区校级月考）已知函数y=（m2﹣m）x2+mx+（m+1），m是常数．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，求m的值．知识点2二次函数图象与基本性质1.2.二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=， 3.二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.4. 二次函数2y ax bx c =++的性质（1）当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a=-时，y 有最小值244ac b a-．（2）当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a=-时，y 有最大值244ac b a-．【典例】1.用配方法将二次函数y=x 2﹣8x ﹣9化为y=a （x ﹣h ）2+k 的形式为_______2.下列关于抛物线y=（x+2）2+6的说法，正确的是（）A. 抛物线开口向下B. 抛物线的顶点坐标为（2，6）C. 抛物线的对称轴是直线x=6D. 抛物线经过点（0，10）【方法总结】1. 把一般形式化成顶点式有利于思考2. 顶点式令(x-h)²中x-h=0，x=h,即顶点的横坐标，例y=（x+2）²顶点坐标,x+2=0推出x=-2,y=0,顶点坐标为（-2，0）.【随堂练习】1（2018•松江区一模）我们定义：关于x 的函数y=ax 2+bx 与y=bx 2+ax （其中a≠b ）叫做互为交换函数．如y=3x2+4x与y=4x2+3x是互为交换函数．如果函数y=2x2+bx 与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，那么b=____．2．（2018•陵城区二模）如图，抛物线y=ax2+1与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y=4x2于点B、C，则线段BC的长为____．3．（2018•黄浦区一模）用配方法把二次函数y=﹣2x2+6x+4化为y=a（x+m）2+k 的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．知识点3 二次函数图象与系数之间的关系二次函数y= ax2+bx+c的图象与字母系数之间的关系：a:开口方向向上则a>0,向下则a<0 ｜a｜越大，开口越小；b:对称轴位置，与a联系一起，用“左同右异”判断，b=0时，对称轴是y轴；c:与y轴的交点：交点在y轴正半轴上，则c>0；负半轴上则c<0；当c=0时，抛物点过原点。

二次函数图像和性质总结(附答案解析)

二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质：上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、2-32y=3(x+4)22y=3x 2【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。

二次函数的图像与性质【十大题型】(原卷版)—2024年中考数学一轮复习【举一反三】系列(全国通用)

二次函数的图像与性质【十大题型】【题型1 根据二次函数解析式判断其性质】 (3)【题型2 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质】 (4)【题型3 二次函数平移变换问题】 (5)【题型4 根据二次函数的对称性求字母的取值范围】 (6)【题型5 根据二次函数的性质求最值】 (6)【题型6 根据二次函数的最值求字母的取值范围】 (7)【题型7 根据二次函数自变量的情况求函数值的取值范围】 (7)【题型8 根据二次函数的增减性求字母的取值范围】 (8)【题型9 二次函数图象与各项系数符号】 (8)【题型10 二次函数与三角形相结合的应用方法】 (11)【知识点二次函数的图像与性质】1.定义：一般的，形如y =ax 2+bx +c (a .b .c 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数。

其中x 是自变量，a .b .c 分别是函数解析式的二次项系数.一次项系数.常数项。

二次函数解析式的表示方法(1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (其中a ，b ，c 是常数，a ≠0)；(2)顶点式：y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，它直接显示二次函数的顶点坐标是(h ，k )；(3)交点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1，x 2是图象与x 轴交点的横坐标．注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -³时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.2.二次函数的图象是一条抛物线。

当a ＞0时，抛物线开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下。

|a |越大，抛物线的开口越小；|a |越小，抛物线的开口越大。

y =ax 2y =ax 2+k y =a (x -h )2y =a (x -h )2+k y =ax 2+bx +c 对称轴y 轴y 轴x =h x =h abx 2-=(0，0)(0，k )(h ，0)(h ，k )⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22顶点a >0时，顶点是最低点，此时y 有最小值；a <0时，顶点是最高点，此时y 有最大值。

(完整版)二次函数图像与性质专题复习

二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质：上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)2【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象【例2】求作函数342+--=x x y 的图像。

《二次函数的图像与性质》常见考点

《二次函数的图像与性质》常见考点一．二次函数的图像与性质知识梳理：1. 一般式: 2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数,且0a ≠）2. 顶点式：2()y a x m k =++ (0)a ≠其中对称轴是直线x m =-，顶点坐标为(,)m k -.3. 交点式（两点式）：12()()y a x x x x =-- (0)a ≠其中：12,x x 为抛物线与x 轴交点的横坐标（一元二次方程20ax bx c ++=的两根） 4. 二次函数2y ax bx c =++用配方法可化成：224()24b ac b y a x a a -=++的形式其中对称轴是直线2b x a=-, 顶点坐标为24(,)24b ac b a a --.二．抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点 1. a 决定开口方向及开口大小，当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 越大,开口越小；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同2. a 和b 共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线ab x 2-=， i. 0=b 时，对称轴为y 轴ii.0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧 iii.0<a b （即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧（左同右异） 3. c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ） i.0=c ，抛物线经过原点 ii.0>c ，抛物线与y 轴交于正半轴 iii. 0<c ，抛物线与y 轴交于负半轴三. 待定系数法求二次函数的解析式一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. 顶点式：()k h x a y +-=2. 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 交点式：()()21x x x x a y --=. 已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式.一般地，对于抛物线2y ax bx c =++，沿着x 轴正方向看，可见它的变化情况如下：当0a >时，抛物线在对称轴（即直线2b x a =-）左侧的部分是下降的，在对称轴右侧的部分是上升的；当0a <时，抛物线在对称轴（即直线2b x a=-）左侧的部分是上升的，在对称轴右侧的部分是下降的.【例1】画出函数21212y x x =-+的图象，并指出图象顶点坐标、对称轴及函数最值．【变式1】画出函数2288y x x =-+-的图象，并指出图象顶点坐标、对称轴及函数最值．【例2】指出二次函数2264y x x =--+图像的开口方向、顶点坐标和对称轴，并画出这个函数的图像.【变式2】已知函数(1)(3)y x x =-+-.（1）指出这个函数图像的开口方向、顶点坐标和对称轴，以及它的变化情况；（2）画出这个函数的图像.【例3】已知一个二次函数的图像经过(0,1)(1,3)(1,1)A B C -、、三点，求这个函数的解析式.【变式3】已知抛物线2，将这条抛物线平移，当它的顶点移到点(2,4)y x3M的位置时，所得新抛物线的表达式是什么？。

二次函数图像与性质复习课ppt课件

火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去
考点4 二次函数与一元二次方程、不等式的关系
二次函数y＝ ax2＋bx＋c 与x轴交点
二次函数图象与x轴交点的个数
二次函数图象与不等式
交点横坐标是一元二次方程ax2＋bx ＋c＝0的解
b2－4ac＞0
二次函数图象与x轴有 __两____个交点
b2－4ac＝0
二次函数图象与x轴有 __一____个交点
b2－4ac＜0
二次函数图象与x轴 _没__有___交点
利用图象求不等式ax2＋bx＋c＞0或
ax2＋bx＋c＜0的解集
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去
[解析]①∵x＝－3 和 x＝5 时，y＝7，∴对称轴 x＝－32＋5＝1；②x ＝2 的点关于对称轴 x＝1 对称的点为 x＝0，∵x＝0 时，y＝－8，
∴x＝2 时，y＝－8.
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去
考点3 待定系数法求二次函数解析式
方法 1.一般式
2.顶点式
适用条件及求法若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为y＝ax2＋bx＋c，将已知条件代入，求出a、
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去

二次函数的图像和性质总结

二次函数的图像和性质总结二次函数（Quadratic Function）是高中数学中重要的一个部分，是指一种形式为y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。

二次函数的图像是一条抛物线，其性质包括：开口方向、顶点、对称轴、最值、零点、增减性等。

下面将对二次函数的图像和性质进行详细总结。

一、图像特征：1.开口方向：-当a>0时，抛物线开口向上；-当a<0时，抛物线开口向下。

2.顶点：-对于抛物线开口向上的情况，顶点是抛物线的最低点；-对于抛物线开口向下的情况，顶点是抛物线的最高点。

3.对称轴（y轴）：- 对于一般的二次函数y=ax²+bx+c，其对称轴的方程为x=-b/2a；-对于抛物线开口向上的情况，对称轴是抛物线的最低点；-对于抛物线开口向下的情况，对称轴是抛物线的最高点。

4.最值：-对于抛物线开口向上的情况，最小值为顶点的纵坐标；-对于抛物线开口向下的情况，最大值为顶点的纵坐标。

5.零点：- 零点是指二次函数y=ax²+bx+c与x轴的交点；-二次函数可能有0个、1个或2个零点；- 当判别式D=b²-4ac>0时，有两个不相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac=0时，有两个相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac<0时，无实数根。

6.增减性：-当a>0时，抛物线开口向上，函数在对称轴两侧递增；-当a<0时，抛物线开口向下，函数在对称轴两侧递减。

二、性质总结：1.函数的解析式：- 二次函数的解析式一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0；-通过解析式可以得到函数的图像特征。

2.零点：-零点是指函数与x轴的交点；- 零点可以通过解二次方程ax²+bx+c=0来求解；- 当判别式D=b²-4ac>0时，有两个不相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac=0时，有两个相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac<0时，无实数根。

(完整版)二次函数图象和性质知识点总结

二次函数的图象和性质知识点总结一、知识点回顾1. 二次函数解析式的几种形式：①一般式：（a 、b 、c 为常数，a ≠0） ②顶点式：（a 、h 、k 为常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标。

③交点式：，其中是抛物线与x 轴交点的横坐标，即一元二次方程的两个根，且a ≠0，（也叫两根式）。

2. 二次函数的图象 ①二次函数的图象是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a 相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。

②任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。

然后取图象与y 轴的交点（0，c ），及此点关于对称轴对称的点（2h ，c ）；如果图象与x 轴有两个交点，就直接取这两个点（x 1，0），y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y a x x x x =--()()12x x 12，ax bx c 20++=y ax bx c =++2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y ax =2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y ax =2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2（x 2，0）就行了；如果图象与x 轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y 轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。

a ＞0 a ＜0 a ＞0 a ＜0(1)抛物线开口向上，(1)抛物线开口向下，(1)抛物线开口(1)抛物线开4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法①配方法：将解析式化为的形式，顶点坐标为y ax bx c =++2y a x h k =-+()2（h ，k ），对称轴为直线，若a ＞0，y 有最小值，当x ＝h 时，；若a ＜0，y 有最大值，当x ＝h 时，。

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