2.1.1两条直线的位置关系

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北师大版七年级数学下册《二章相交线与平行线 1 两条直线的位置关系对顶角、余角和补角》公开课教案_11

北师大版义务教育课程标准实验教科书七年级下册2.1.1两直线的位置关系第1课时教学设计一、教材分析1、地位作用：本节课研究的相交线是平面内两条直线的两种位置关系中的其中一种情形，学生已经学习了直线、射线、线段和角的有关知识，因此，本节课是在学生已有知识和经验的基础上，来进一步研究平面内两条直线相交的情形。

在本节课中首先探究了两直线相交所成的角的位置和大小关系，给出了邻补角和对顶角的概念，得出了“对顶角相等”的结论；为接下来研究两条直线被第三条直线所截的情形，即同位角、内错角、同旁内角等概念的学习作了最基本的准备。

同时是后续学习垂直的基础。

2、目标和目标解析：1.理解邻补角和对顶角的概念;2.掌握“对顶角相等”的性质;3.理解对顶角相等的说理过程;4.经历质疑,猜想,归纳等数学活动,培养学生的观察,转化,说理能力和数学语言规范表达能力;5.通过师友互助、小组讨论,培养合作精神,让学生在探索问题的过程中,体验解决问题的方法和乐趣,增强学习兴趣。

3、教学重、难点教学重点：邻补角、对顶角的概念，对顶角的性质与应用。

教学难点：对顶角相等的性质的探索。

突破难点的方法：通过相关旧知的复习，按照猜想、推理的思维过程进行突破。

二、教学准备：多媒体课件、导学案、剪刀，纸。

三、教学过程教学内容师生活动设计意图一、创设情景，引入新知问题：在我们的生活的世界中，蕴涵着大量的相交线和平行线，大家对它们也不陌生，（播放图片）请找出图片中的相交线、平行线。

由此引入本节的主要内容。

（板书）课题学生观察图片，获得感性认识.让学生知道，相交线、平行线的概念是从实物中抽象出来的，通过学生熟悉的事物，激发学生的学习兴趣。

二、小组合作，探究新知1. 观察剪刀剪布的过程，引入两条相交直线所成的角问题1：张开地剪刀给人以什么形象？（出示一把张开的剪刀），张开的剪刀可看作两条相交直线。

（教师可以同时在黑板上画出几何图形）在用剪刀剪布的过程中，用力握紧把手引发了剪刀张角的变化，表演剪布过程，让学生仔细观察，提出问题问题2：两个把手之间的的角发生了什么变化？剪刀刀刃张开的口又怎么变化？握紧把手时,随着两个把手之间的角逐渐变小,剪刀刃之间的角边相应变小. 如果改变用力方向,随着两个把手之间的角逐渐变大,剪刀刃之间的角也相应变大.教师：如果把剪刀的构造看作两条相交的直线,以上就关系到两条相交直线所成的角的问题,本节课就是探讨两条相交线所成的角及其特征.2．认识邻补角和对顶角，探索它们性质（1）角的位置关系探究画直线AB、CD相交于点O问题：1 、两条相交直线.形成的小于平角的角有几个?2、两两相配共组成几对角？3、各对角存在怎样的位置关系？按位置关系对他们怎样进行分类?4、各对角的度数有什么关系？学生观察、思考、回答问题学生观察、思考、回答,得出结论学生思考并在小组内交流,全班交流.由实际问题引导学生初步感知相交线形成的角及特点，同时明确本节课要学习的内容用现实生活中的例子引出两线相交所成角的问题，自然而贴切，同时在这个过程中，让学生对两线相交所成角的关系有了初步的认识，这就为研究对顶角相等作了铺垫三．细心观察，归纳定义1、探究邻补角的定义问题：（1）∠1与∠2有怎样的位置关系？（2）∠1与∠2的顶点有什么特点？（3）∠1与∠2的边所在的位置有什么特点？邻补角定义：∠1和∠2有一条公共边OA，它们的另一边互为反向延长线（∠1和∠2互补），具有这种关系的两个角，互为邻补角。

2.1 两条直线的位置关系(第2课时)

自主探学
探究活动3 垂线段和点与直线的距离【活动内容3】体育课上老师是怎样测量跳远成绩的?能说出其中的道理吗? 与同伴交流.
解:体育课上,老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
合作研学
探究活动4 垂线的应用
1.如图所示,直线AB与直线CD相交于点O,OE⊥AB,垂足为O,
∠EOD＝40o,则∠BOC＝ 130° .
自主探学
探究活动2 垂线的画法 2.如果只有直尺,你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗?
说出你的画法和理由.
自主探学
探究活动2 垂线的画法
3.你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗,试试看!
自主探学
探究活动3 垂线段和点与直线的距离【活动内容1】如图(1)所示,点A在直线l上,过点A画直线l的垂线,你能画出多少条? 如图(2)所示,如果点A在直线l外呢?动手画一画,与同伴交流.
结论:平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
自主探学
探究活动3 垂线段和点与直线的距离【活动内容2】如图(1)所示,点P是直线l外一点,PO⊥l,点O是垂足.点A,B,C在直线l上,比较线段PO,PA,PB,PC的长短,你发现了什么?
结论:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短. 如图(2)所示,过点A作l的垂线,垂足为B,线段AB的长度叫做点A到直线l的距离.
3.点到直线的距离是指垂线段的长度,若点在直线上, 我们认为点到直线的距离为零.
检测评学
1.画一条直线l,在直线l上取一点A,在直线l外取一点B,分别经过点A , B用三角尺或量角器画直线l的垂线．
解:作图如下：
检测评学
2.分别找出下列图中互相垂直的线段．

2.1.1对顶角、余角和补角课件

课堂小结
理解对顶角需要注意的三点 1.对顶角是成对出现的，不能单独说一个角是对顶角. 2.对顶角反映两角相等的数量关系. 3.对顶角还反映两角的位置关系.
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理解余角与补角需要注意的四点 1.余角与补角是针对两个角而言，并且是相互的. 2.互为余角、互为补角的两个角，只与它们的大小有关，与它们的位置无关. 3.同一个角的补角比它的余角大90°. 4.互余的两个角必须是两个锐角，而互补的两个角可以是一个锐角和一个钝角，也可以是两个直角.
3.如图,在所标识的角中,互为对顶角的两个角是( ) (A)∠2和∠3 (B)∠1和∠3 (C)∠1和∠4 (D)∠1和∠2 【解析】选A.只有相交线才能构成对顶角,所以互为对顶角的两个角是∠2和∠3.
4.下列四个角中，最有可能与70°角互补的是( )
【解析】选D.如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角.根据定义可知，70°角的补角为 110°，110°的角是一个钝角(大于直角别提醒：对顶角的两边恰
……………………………………2分好组成两条直线,相等的角不
(2)因为∠AOC与∠BOD是
一定是对顶角.
对顶角, 所以∠BOD =∠AOC=50°……………………………4分
(3)因为∠DOE和∠COF是对顶角，
所以∠DOE=∠COF，
因为∠BOD+∠COF=140°，
所以∠BOD+∠DOE=140°,即∠BOE=140°……………………6
巩固训练 1.同一平面内有三条直线，如果只有两条互相平行，那么它们的交点个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【解析】选C.同一平面内有三条直线，如果只有两条互相平行，那么第三条直线与这两条直线相交,所以共有2个交点.

空间中直线与直线之间的位置关系

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系一、空间两直线的位置关系 1．异面直线（1）异面直线的定义：我们把不同在的两条直线叫做异面直线. 即若a ,b 是异面直线，则不存在平面α，使a ⊂α且b ⊂α.（2）异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点,通常用一个或两个平面衬托,如图：2．空间两直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种：相交、平行和异面. （1） ——同一平面内,有且只有一个公共点；（2） ——同一平面内,没有公共点；学！科网（3） ——不同在任何一个平面内，没有公共点. 3．空间中两直线位置关系的分类空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式：（1）从有无公共点的角度分类：⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧⎨两条直线有且仅有一个公共点：相交直线平行直线两条直线无公共点：异面直线直线（2）从是否共面的角度分类：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线共面直线直线平行直线不共面直线：异面直线二、公理4与等角定理 1．公理4（1）自然语言：平行于同一条直线的两条直线互相 .（2）符号语言：a ,b ,c 是三条不同的直线, a ∥b ，b ∥c . （3）作用：判断或证明空间中两条直线平行. 公理4表述的性质也通常叫做空间平行线的传递性.用公理4证明空间两条直线,a c 平行的步骤（1）找到直线b ；（2）证明∥a b ，∥b c ；（3）得到∥a c .2．等角定理（1）自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 . （2）符号语言：如图（1）（2）所示，在∠AOB 与∠A ′O ′B ′中，OA ∥O ′A ′,OB ∥O ′ B ′，则∠AOB =∠A ′O ′B ′或∠AOB +∠A ′O ′B ′=180°.图（1）图（2）三、异面直线所成的角1．两条异面直线所成的角的定义如图,已知两异面直线a ,b ,经过空间任一点O ,分别作直线a ′∥a ,b ′∥b ,相交直线a ′，b ′所成的叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）.（1）在定义中,空间一点O 是任取的,根据等角定理,可以判定a ′，b ′所成的角的大小与点O 的位置无关.为了简便，点O 常取在两条异面直线中的一条上.（2）研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把求空间角问题转化为求平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路.2．异面直线所成的角的范围异面直线所成的角必须是锐角或直角，则这个角α的取值范围为 . 3．两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角是，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a ,b ,记作a ⊥b .4．构造异面直线所成角的方法（1）过其中一条直线上的已知点（往往是特殊点）作另一条直线的平行线；（2）当异面直线依附于某几何体，且直接平移异面直线有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点；（3）构造辅助平面、辅助几何体来平移直线.注意，若求得的角为钝角，则两异面直线所成的角应为其补角.学科*网5．求两条异面直线所成的角的步骤（1）平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，使其成为相交直线；（2）证明：证明作出的角就是要求的角；（3）计算：求角度（常利用三角形的有关知识）；（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．K 知识参考答案：一、1．（1）任何一个平面内2．（1）相交直线（2）平行直线（3）异面直线二、1．（1）平行（2）a ∥c 2．（1）相等或互补三、1．锐角（或直角） 2．090α<≤ 3．直角K—重点掌握公理4及等角定理，异面直线及其所成的角K—难点理解两异面直线所成角的定义，并会求两异面直线所成的角K—易错忽略异面直线所成的角的范围致误1．空间两直线的位置关系的判断空间两直线的位置关系有平行、相交、异面三种情形，因此对于空间两直线位置关系的判断，应由题意认真分析，进而确定它们的位置关系.【例1】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM 与DD1是异面直线．其中正确的结论为A．③④B．①②C．①③D．②④【答案】A【解析】∵A、M、C、C1四点不共面，∴直线AM与CC1是异面直线，故①错误；同理，直线AM与BN也是异面直线，故②错误．同理，直线BN与MB1是异面直线，故③正确；同理，直线AM与DD1是异面直线，故④正确.故选A．【方法技巧】判定或证明两直线异面的常用方法：1.定义法：不同在任何一个平面内的两条直线.2.定理法：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.3.推论法：一条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连成的两条直线为异面直线.4.反证法：证明立体几何问题的一种重要方法. 证明步骤有三步：第一步是提出与结论相反的假设；第二步是由此假设推出与已知条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果；第三步是推翻假设，从而原命题成立. 2．公理4的应用证明两条直线平行的方法：（1）平行线的定义；（2）利用平面几何的知识，如三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等；（3）利用公理4.【例2】如图,△ABC 的各边对应平行于111△A B C 的各边,点E ,F 分别在边AB ,AC 上,且1,3AE AB AF ==13AC ,试判断EF 与的位置关系,并说明理由.【解析】平行.理由如下： ∵11,33AE AB AF AC ==,∴∥EF BC . 又11∥B C BC ,∴11∥B C EF . 3.等角定理利用等角定理解题的关键是不要漏掉两个角互补的这种情况. 【例3】空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α=60°，则β为 A ．60° B ．120° C ．30°D ．60°或120°【答案】D【解析】∵空间两个角α，β的两边对应平行，∴这两个角相等或互补，∵α=60°，∴β=60°或120°．故选D ．【名师点睛】根据公理4知道当空间两个角α与β的两边对应平行时，得到这两个角相等或互补，根据所给的角的度数，即可得到β的度数．【例4】如图所示，已知棱长为a 的正方体中，M ，N 分别是棱的中点.（1）求证：四边形是梯形；（2）求证：（2）由（1）知MN ∥A 1C 1，又∵ND ∥A 1D 1，∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补，而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的锐角，∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1. 4．两异面直线所成的角通过平移直线至相交位置求两条异面直线所成的角，是数学中转化思想的运用，也是立体几何问题的一个难点.【例5】如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=，2BC AD =，PAB △和PAD △都是等边三角形，则异面直线CD 和PB 所成角的大小为A．90B．75C．60D．45【答案】A【方法点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征及空间中异面直线所成角的求解，其中根据空间几，放置在三角形中，利用何体的结构特征，把空间中异面直线CD和PB所成的角转化为平面角AEF解三角形的知识求解是解答本题的关键，着重考查了转化与化归思想和学生的推理、运算能力，试题属于基础题.5.忽略异面直线所成的角的范围致误【例6】如图，已知空间四边形ABCD中，AD=BC，M,N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30°，求BC与AD所成的角.【错因分析】在未判断出∠MEN 是锐角或直角还是钝角之前，不能断定它就是两异面直线所成的角，因为异面直线所成的角α的取值范围是090α<≤，如果∠MEN 为钝角，那么它的补角才是异面直线所成的角. 学#科网【正解】以上同错解，求得∠MEN =120°,即BC 与AD 所成的角为60°.【误区警示】求异面直线所成的角的时候，要注意异面直线所成的角α的取值范围是090α<≤.1．若,a b 为异面直线，直线c a ∥，则c 与b 的位置关系是 A ．相交 B ．异面 C ．平行 D ．异面或相交 2．已知∥AB PQ ，∥BC QR ，∠ABC ＝30°，则∠PQR 等于 A ．30° B ．30°或150° C ．150° D ．以上结论都不对 3．已知异面直线,a b 分别在平面,αβ内，且c αβ=，那么直线c 一定A ．与a b ，都相交B ．只能与a b ，中的一条相交C ．至少与a b ，中的一条相交D ．与a b ，都平行 4．如图所示，在三棱锥P ABC -的六条棱所在的直线中，异面直线共有A ．2对B ．3对C ．4对D ．6对5．如图，四面体ABCD 中，AD BC =，且AD BC ⊥，E F 、分别是AB CD 、的中点，则EF 与BC 所成的角为A ．30B ．45C ．60D ．906．如果OA //O A ''，OB //O B ''，那么AOB ∠和A O B '''∠的关系为． 7．下列命题中不正确的是________．（填序号）①没有公共点的两条直线是异面直线； ②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行； ④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．8．如图所示,两个三角形ABC 和A'B'C'的对应顶点的连线AA',BB',CC'交于同一点O , 且AO BO COOA OB OC =='''.求证：△∽△ABC A B C '''.9．空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为60°，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．10．分别和两条异面直线相交的两条不同直线的位置关系是A．相交B．异面C．异面或相交D．平行11．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为A．相交B．平行C ．异面而且垂直D ．异面但不垂直12．如图，正四棱锥ABCD P 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成的角的余弦值等于_________.ECDPAB13．如图,若P 是△ABC 所在平面外一点,PA ≠PB ,PN ⊥AB ,N 为垂足,M 为AB 的中点,求证：PN 与MC 为异面直线.14．（2016上海）如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是BC D E F A B 11D 1A ．直线AA 1B ．直线A 1B 1C ．直线A 1D 1 D ．直线B 1C 115．（2015广东）若直线l 1与l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是 A ．l 与l 1,l 2都不相交B ．l 与l 1,l 2都相交C ．l 至多与l 1,l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1,l 2中的一条相交16．（2015浙江）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面ABC .若AB =AC =AA 1=1，BC =2，则异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°17．（2014广东）若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足12l l ⊥，23l l ∥，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是A ．14l l ⊥B ．14l l ∥C ．1l 与4l 既不垂直也不平行D ．1l 与4l 的位置关系不确定1 2 3 4 5 10 11 14 15 16 17 DBCBBCDDDCD1．【答案】D【解析】c a ∥，a b ，为异面直线，所以c 与b 的位置关系是异面或相交.4．【答案】B【解析】根据异面直线的定义观察图形，可知有三对异面直线，分别是PB 与AC 、P A 与BC 、PC 与AB ，故选B. 5．【答案】B【解析】如图，设G 为AC 的中点，连接,EG FG .由中位线可知,∥∥EG BC GF AD ，所以GEF ∠就是EF 与BC 所成的角，且三角形GEF 为等腰直角三角形，所以45GEF ∠=.6．【答案】相等或互补【解析】根据等角定理的概念可知AOB ∠和A O B '''∠的关系为相等或互补. 7．【答案】①②8．【解析】∵AA'与BB'交于点O ,且AO BOOA OB='',∴AB ∥A'B'.同理,AC ∥A'C'.又∠BAC 与∠B'A'C'两边的方向相反,∴∠BAC =∠B'A'C'. 同理,∠ABC =∠A'B'C'. 因此,△∽△ABC A B C '''.9．【解析】如图，取AC 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥AB ，GF ∥CD ，且由AB ＝CD 知EG ＝FG ，∴∠GEF （或它的补角）为EF 与AB 所成的角，∠EGF （或它的补角）为AB 与CD 所成的角． ∵AB 与CD 所成的角为60°，∴∠EGF ＝60°或120°．由EG ＝FG 知△EFG 为等腰三角形，当∠EGF ＝60°时，∠GEF ＝60°；当∠EGF ＝120°时，∠GEF ＝30°．学@科网故EF 与AB 所成的角为60°或30°．10．【答案】C【解析】（1）若两条直线与两异面直线的交点有4个,如图（1）,两条直线异面;（2）若两条直线与两异面直线的交点有3个,如图（2）,两条直线相交.故选C.（1）（2）【误区警示】在判断两直线的位置关系时，要全面思考问题，可通过画出相关图形帮助分析，从而防止遗漏.本题中，没有明确指出直线交点的个数,两条直线分别与两异面直线相交,交点可能有4个,此时两条直线异面,也可能有3个,此时两条直线相交.11．【答案】D【解析】将展开图还原为正方体，如图所示．AB与CD所成的角为60°，故选D.13．【解析】假设PN与MC不是异面直线,则存在一个平面α,使得PN⊂α,MC⊂α,于是P∈α,C∈α,N∈α,M∈α.∵PA≠PB,PN⊥AB,N为垂足,M是AB的中点,∴M,N不重合.∵M∈α,N∈α,∴直线MN⊂α.∵A∈MN,B∈MN,∴A∈α,B∈α.即A,B,C,P四点均在平面α内,这与点P在平面ABC外相矛盾.∴假设不成立,则PN与MC是异面直线.16．【答案】C【解析】根据题意，得BC∥B1C1,故异面直线A1C与B1C1所成的角即BC与A1C所成的角.如图，连接A 1B ,在△A 1BC 中，BC =A 1C =A 1B =2,故∠A 1CB =60°,即异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为60°.故选C.17．【答案】D【解析】如下图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，取1AA 为2l ，1BB 为3l ，取AD 为1l ，BC 为4l ，则14l l ∥；取AD 为1l ，AB 为4l ，则14l l ⊥；取AD 为1l ，11A B 为4l ，则1l 与4l 异面，因此14,l l 的位置关系不确定，故选D.D 1C 1B 1A 1DCBA。

七年级数学下册课件(北师大版)两条直线的位置关系

3 如图，三条直线相交于点O，若CO⊥AB，∠1＝
56°，则∠2等于( B ) A．30° B．34° C．45° D．56°
4 如图，点O 在直线AB上，且OC⊥OD，若∠COA＝36°，则∠DOB 的大小为( B )
A．36° B．54° C．55° D．44°
5 如图，已知OA⊥OB，OC⊥OD，∠AOC＝27°，则∠BOD 的度数是( C )
2.1两条直线的位置关系
第2课时
复
习
回
顾
平面内，两条直线有哪些位置关系？
知识点 1 垂直的定义
当转动一木条的位置时，什么也随着发生了变化？
在同一平面内，如果两
条直线相交成直角，就说这 a
两条直线互相垂直.
b
垂足
垂线
垂线
定义：在两条直线AB 和CD 相交所成的4个角中，如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直；记作“AB⊥CD ”，读作“AB 垂直于CD ”；其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点O 叫做垂足．如图.
下列说法中正确的是___②__③___．(填序号) ①钝角与锐角互补；
②∠α 的余角是90°－∠α； ③∠β 的补角是180°－∠β；
④若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3互余．
易错点：对余角和补角的定义理解不透而致错
1 如图，将一张长方形纸对折三次，则产生的折痕
间的位置关系是( C )
1.顶点相同.
2.角的两边互为反向延长线.
B
对顶角是成对出现的
C
2
1O
A
D
对顶角的性质: 对顶角相等. 为什么?
∠1=∠3 （或 ∠2=∠4）
解：直线AB 与CD 相交于O 点

空间中两直线的位置关系

平行直线不会相交于任何点，除非它们是同一条直线。
平行直线具有相同的方向向量，但长度可以不同。
平行直线的性质
平行直线之间的距离是恒定的，不会因为直线上的点而改变。
平行直线上的任意两点与另一条平行直线上的对应两点之间的距
离相等。
平行直线上的线段之比是恒定的，不会因为线段上的点而改变。
平行直线的判定条件
异面直线
异面直线的定义
异面直线是指不在同一个平面上且不相交的两条直线。
异面直线可以是平行的，也可以是相交的，但无论如何都不会共面。
异面直线的性质
异面直线不会相交于一点，即它们没有公共点。
异面直线可以无限延长而不相交。
异面直线所形成的角是锐角、直角或钝角。
异面直线所成的角
异面直线所成的角的取值范围是$0^circ$到$90^circ$，包括$0^circ$和$90^circ$。
空间中两直线的位置关系
目录
• 空间中两直线的位置关系概述 • 平行直线 • 相交直线 • 异面直线 • 两直线的位置关系应用
01
空间中两直线的位置关系概述
定义与分类
定义
空间中两直线的位置关系是指两条直线在同一平面或不同平面内的相对位置。
分类
根据两条直线的相对位置，可以分为平行、相交和异面三种关系。
参数式
通过直线上的一点和直线的方向向量，以及一个参数来表示直线方程。
定义
直线方程是描述直线位置和方向的数学表达式。
点向式
通过直线上的一点和直线的方向向量来表示直线方程。
一般式
通过直线上所有点的坐标满足的等式来表示直线方程。
02
平行直线
平行直线的定义

第二章 2.1.1空间点、直线、平面之间的位置关系

§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面学习目标 1.了解平面的表示方法，点、直线与平面的位置关系.2.掌握关于平面基本性质的三个公理.3.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系.知识点一平面 1.平面的概念(1)平面是最基本的几何概念，对它加以描述而不定义. (2)几何中的平面的特征：⎩⎪⎨⎪⎧绝对的平无限延展不计大小不计厚薄2.平面的画法常常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其锐角画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来3.平面的表示方法(1)用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ.(2)用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABCD .(3)用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC，平面BD.知识点二点、直线、平面之间的位置关系及其表示方法1.直线在平面内的概念如果直线l 上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.2.点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达文字语言符号语言图形语言A在l外A∉lA在l上A∈lA在α内A∈αA在α外A∉αl在α内l⊂αl在α外l⊄αl，m相交于A l∩m＝Al，α相交于A l∩α＝Aα，β相交于l α∩β＝l知识点三平面的基本性质公理文字语言图形语言符号语言作用公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α①确定直线在平面内的依据②判定点在平面内公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α①确定平面的依据②判定点线共面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l①判定两平面相交的依据②判定点在直线上1.两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.(×)2.两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A.(×)3.空间不同三点确定一个平面.(×)4.两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.(√)题型一图形语言、文字语言、符号语言的相互转换例1用符号表示下列语句，并画出图形.(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上.考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化解(1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图.(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图.反思感悟(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.跟踪训练1(1)若点A在直线b上，b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间的关系可以记作()A.A∈b∈βB.A∈b⊂βC.A⊂b⊂βD.A⊂b∈β(2)如图所示，用符号语言可表述为()A.α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝AB.α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC.α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂nD.α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化答案(1)B(2)A题型二点、线共面问题例2如图，已知a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α.考点平面的基本性质题点点线共面问题证明因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a⊂β，点P∈β.因为P∈b，b ⊂α，所以P∈α.又因为a⊂α，P∉a，所以α与β重合，所以PQ⊂α.引申探究将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内.证明已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c和l共面.证明：如图，∵a∥b，∴a与b确定一个平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴l⊂α.∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l⊂β.∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，由公理2的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面.反思感悟证明点、线共面问题的理论及常用方法(1)依据：公理1和公理2.(2)常用方法.①先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；②先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；③假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”.跟踪训练2如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.考点平面的基本性质题点点线共面问题证明方法一(纳入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内.方法二(辅助平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.证明点共线、线共点问题典例(1)如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点.证明∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB与CD必交于一点，设AB交CD于M.则M∈AB，M∈CD，又∵AB⊂α，CD⊂β，∴M∈α，M∈β，又∵α∩β＝l，∴M∈l，∴AB，CD，l共点.(2)如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线.证明∵AB∥CD，∴AB，CD确定一个平面β，∵AB∩α＝E，E∈AB，E∈α，∴E∈β，∴E在α与β的交线l上.同理，F，G，H也在α与β的交线l上，∴E，F，G，H四点必定共线.[素养评析](1)点共线与线共点的证明方法①点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.②三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.(2)通过证明题的学习，掌握推理的基本形式和规则，形成重论据，有条理，合乎逻辑的思维品质，培养逻辑推理的数学核心素养.1.有以下结论：①平面是处处平的面；②平面是无限延展的；③平面的形状是平行四边形；④一个平面的厚度可以是0.001 cm.其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.4考点平面的概念、面法及表示题点平面概念的应用答案 B解析平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，①②两种说法是正确的；③④两种说法是错误的.故选B.2.若一直线a在平面α内，则正确的作图是()考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化答案 A解析B中直线a不应超出平面α；C中直线a不在平面α内；D中直线a与平面α相交.3.如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为()A.A⊂a，a⊂α，B∈αB.A∈a，a⊂α，B∈αC.A⊂a，a∈α，B⊂αD.A∈a，a∈α，B∈α考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化答案 B解析点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，表示为A∈a，a⊂α，B∈α.4.能确定一个平面的条件是()A.空间三个点B.一个点和一条直线C.无数个点D.两条相交直线答案 D解析A项，三个点可能共线，B项，点可能在直线上，C项，无数个点也可能在同一条直线上.5.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________.考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题答案P∈直线DE解析因为P∈AB，AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC.又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言.文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚.2.在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想.一、选择题1.经过同一条直线上的3个点的平面()A.有且只有一个B.有且只有3个C.有无数个D.不存在答案 C2.满足下列条件，平面α∩平面β＝AB，直线a⊂α，直线b⊂β且a∥AB，b∥AB的图形是()答案 D3.如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则()A.l⊂αB.l⊄αC.l∩α＝MD.l∩α＝N答案 A解析∵M∈a，a⊂α，∴M∈α，又∵N∈b，b⊂α，∴N∈α，又M，N∈l，∴l⊂α.4.下列说法中正确的是()A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.两个不同平面α和β有不在同一条直线上的三个公共点考点平面的基本性质题点确定平面问题答案 C解析不共线的三点确定一个平面，故A不正确；四边形有时指空间四边形，故B不正确；梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确；两个平面如果相交，一定有一条交线，所有这两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确.故选C.5.下列图形中不一定是平面图形的是()A.三角形B.菱形C.梯形D.四边相等的四边形答案 D解析四边相等的四边形可能四边不共面.6.如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是()A.A，B，C，D四点中必有三点共线B.A，B，C，D四点中不存在三点共线C.直线AB与CD相交D.直线AB与CD平行考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题答案 B解析两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面.7.在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，若EF与HG交于点M，则()A.M一定在直线AC上B.M一定在直线BD上C.M可能在直线AC上，也可能在直线BD上D.M不在直线AC上，也不在直线BD上答案 A解析由题意得EF在平面ABC内，HG在平面ACD内，EF与HG交于点M，∴M一定落在平面ABC与平面ACD的交线AC上.8.空间不共线的四点可以确定平面的个数是()A.0B.1C.1或4D.无法确定答案 C解析若有三点共线，则由直线与直线外一点确定一个平面，得不共线的四点可以确定平面的个数为1；若任意三点均不共线，则空间不共线的四点可以确定平面的个数是4，故选C.二、填空题9.如图所示的图形可用符号表示为________.答案α∩β＝AB10.A，B，C为空间三点，经过这三点的平面有________个.答案1或无数解析当A，B，C不共线时，有一个平面经过三点；当A，B，C共线时，有无数个平面经过这三点.11.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”为________.答案A∈l，l⊄α三、解答题12.若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，求证：O，C，D三点共线.考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题证明∵AC∥BD，∴AC 与BD 确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD .∵l ∩α＝O ，∴O ∈α.又∵O ∈AB ⊂β，∴O ∈直线CD ，∴O ，C ，D 三点共线.13.如图在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是AB 的中点，F 是A 1A 的中点，求证：(1)E ，C ，D 1，F 四点共面；(2)直线CE ，D 1F ，DA 三线共点.考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题证明 (1)如图，连接EF ，D 1C ，A 1B .∵E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点，∴EF ∥A 1B ，且EF ＝12A 1B ，又∵A 1B ∥D 1C ，且A 1B ＝D 1C ，∴EF ∥D 1C ，且EF ＝12D 1C ，∴E，F，D1，C四点共面.(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈直线CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理，P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA.∴CE，D1F，DA三线共点.14.已知空间三条直线两两相交，点P不在这三条直线上，则由点P和这三条直线最多可以确定的平面个数为________.答案 6解析当三条直线共点但不共面相交时，这三条直线可以确定三个平面，而点P与三条直线又可以确定三个平面，故最多可以确定六个平面.15.如图，在直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线.考点平面的基本性质题点平面基本性质的其他简单应用解很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上.由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示，∵E∈AC，AC⊂平面SAC，∴E∈平面SAC.同理，可证E∈平面SBD.∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，则连接SE，直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线.。

2_1两条直线的位置关系教案

2.1 两条直线的位置关系教学目标：知识与技能：在具体情境中了解相交线、平行线、补角、余角、对顶角的定义，知道同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等、对顶角相等，并能解决一些实际问题。

过程与方法：经历操作、观察、猜想、交流、推理等获取信息的过程，进一步发展空间观点、推理水平和有条理表达的水平。

情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，理解到现实生活中蕴含着大量的数量和图形的相关问题，这些问题能够抽象成数学问题，用数学方法予以解决。

教学重点：（1）让学生了解同一平面，两条直线的位置关系（2）理解掌握对顶角的定义及其性质（3）理解掌握余角、补角的定义及其性质教学难点：补角、余角性质的应用教法与学法指导以学生活动为主线，通过精心设计的问题导语启发、点拨，引导学生观察、探究、讨论、对比、归纳、发现、创造等参与活动的综合形式教学.指导学生在课堂实践活动中，自主探索,合作交流,获得知识, 提升技能,培养创造意识.一、感受生活，引入课题请同学们欣赏幻灯片，同学们看到有一些相互平行的直线，也有纵横相交的直线。

--------由此引出课题。

二、自主学习，探究新知两条直线的位置关系：相交与平行1.一般地，在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：和 .2. _______________________________为相交线。

3. ________________________________叫做平行线.强调关键词“在同一平面内”的意义。

（结合反例）设计意图：独立思考、学会思考是创新的核心。

数学来源于生活，通过课前开放，引导学生从身边熟悉的图形出发，体会数学与生活的联系，总结出同一平面内两条直线的基本位置关系，体会本章内容的重要性和在生活中的广泛应用，为引入新课做好准备。

通过亲自经历提炼相关数学信息的过程，能够让学生在直观有趣的问题情境中学到有价值的数学。

充分利用现代化教学手段增强直观教学，引起学生学习的兴趣：通过师生互动，生生互动，增加学生之间的凝聚力，在相互探讨中激发学生学习积极性，提升学课堂效率。

数学(七下)2.1两条直线的位置关系(一)

2.如图2.1—14，点O在直线AB上，OC平分∠BOD，OE平分 ∠AOD，请找出∠COD的余角和补角，并说明理由。 3.学以致用：如图2.1—15：小颖想测量一堵拐角高墙在底面上所成的角∠AOB度数，人不能进入围墙内，你能帮小颖想出简单的测量方法吗？请简述你的方法。
D E C
A
A O B
O
动手实践三
D
O
2 1 34
C
图2.1—7
A N B 图2.1—8
打台球时，选择适当的方向，用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2，将图 2.1—7抽象成成图2.1—8，ON与DC交于点O， ∠DON=∠CON=900，∠1=∠2
动手实践三
D
O
2 1 34
C
A N B 图2.1—7 图2.1—8 小组合作交流，解决下列问题：在图2.1—8中问题1：哪些角互为补角？哪些角互为余角？问题2：∠3与∠4有什么关系？为什么？问题3：∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？你还能得到哪些结论？
动手实践、探究新知问题2:剪子可以看成图2.1—4，那么剪子在剪东西的过程中， ∠1和∠2还保持相等吗？∠3和 ∠4呢？你有何结论？
A
4 D
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3 1
C
2.1─5
对顶角相等
B
巩固练习 1.下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（D ）
1
2
1
2
1
1
A
B
C
2
2
D
2.如图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数吗？你能说出所量角的度数是多少吗？为什么？
C A B A C

两条直线的位置关系

两条直线的位置关系1．两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1、l 2，若其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (ⅱ)当直线l 1、l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. ②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2. (2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 2．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2. (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.选择题：设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析充分性：当a ＝1时，直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0平行；必要性：当直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行时有a ＝－2或1；所以“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的充分不必要条件已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A. 2 B ．2－ 2 C.2－1 D.2＋1解析依题意得|a －2＋3|1＋1＝1，解得a ＝－1＋2或a ＝－1－2，∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.已知直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8平行，则实数m 的值为( )A ．－7B ．－1C ．－1或－7 D.133解析 l 1的斜率为－3＋m 4，在y 轴上的截距为5－3m 4，l 2的斜率为－25＋m ，在y 轴上的截距为85＋m .又∵l 1∥l 2，由－3＋m 4＝－25＋m得，m 2＋8m ＋7＝0，得m ＝－1或－7.m ＝－1时，5－3m 4＝85＋m ＝2，l 1与l 2重合，故不符合题意；m ＝－7时，5－3m 4＝132≠85＋m ＝－4，符合题意已知两条直线l 1：(a －1)·x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a 等于( ) A ．－1 B ．2 C ．0或－2 D ．－1或2解析若a ＝0，两直线方程为－x ＋2y ＋1＝0和x ＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a ≠0.当a ≠0时，若两直线平行，则有a －11＝2a ≠13，解得a ＝－1或a ＝2，选D.已知点O (0，0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( ) A ．b ＝a 3 B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 3－1a ＝0D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝0解析若以O 为直角顶点，则B 在x 轴上，则a 必为0，此时O ，B 重合，不符合题意；若∠A ＝π2，则b ＝a 3≠0，若∠B ＝π2，根据垂直关系可知a 2·a 3－b a ＝－1，所以a (a 3－b )＝－1，即b －a 3－1a ＝0，以上两种情况皆有可能，故只有C 满足条件．已知过点A (m ＋1，0)，B (－5，m )的直线与过点C (－4，3)，D (0，5)的直线平行，则m 的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．1 解析由题意得：k AB ＝m －0－5－(m ＋1)＝m－6－m ，k CD ＝5－30－(－4)＝12.由于AB ∥CD ，即k AB ＝k CD ，所以m－6－m＝12，所以m ＝－2当0＜k ＜12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k k －1，2k －1k －1，因为0＜k ＜12，所以k k －1＜0，2k －1k －1＞0，故交点在第二象限．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2经过定点( )A ．(0，4)B ．(0，2)C ．(－2，4)D ．(4，－2)解析直线l 1：y ＝k (x －4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2经过定点(0,2)．从点(2，3)射出的光线沿与向量a ＝(8，4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( ) A ．x ＋2y －4＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x ＋6y －16＝0 D ．6x ＋y －8＝0 解析由直线与向量a ＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A 正确．填空题：已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，则2a ＋3b 的最小值为_____解析由于直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，所以a (b －3)＝2b ，即2a ＋3b ＝1(a ，b 均为正数)，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ＝13＋6⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥13＋6×2b a ·a b ＝25(当且仅当b a ＝ab ，即a＝b ＝5时取等号)若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝________ 解析由两直线垂直的充要条件，得(3a ＋2)(5a －2)＋(1－4a )(a ＋4)＝0，解得a ＝0或a ＝1.已知两直线方程分别为l 1：x ＋y ＝1，l 2：ax ＋2y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝________. 解析 ∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，即a2＝－1，解得a ＝－2.已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________解析由方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－12x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k 2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1.(若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行)，∴交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋12k ＋1，又∵交点位于第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4k2k ＋1＞0，6k ＋12k ＋1＞0，解得－16＜k ＜12.直线l 过点P (－1，2)且到点A (2，3)和点B (－4，5)的距离相等，则直线l 的方程为______ 解析当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0. 由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意．过点P (0，1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________解析设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是________解析 l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则：|c ＋6|＝|c ＋32|，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x ＋8y －15＝0.已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，若l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a ＋b ＝________解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b (a －1)＝0，4a 2＋(－b )2＝|b |(a －1)2＋1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎨⎧a ＝23，b ＝2经检验，两种情况均符合题意，∴a ＋b 的值为0或83已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0，若直线l 1的倾斜角为π4，则a ＝______；若l 1⊥l 2，则a ＝________；若l 1∥l 2，则两平行直线间的距离为_______解析若直线l 1的倾斜角为π4，则－a ＝k ＝tan45°＝1，故a ＝－1；若l 1⊥l 2，则a ×1＋1×(－1)＝0，故a ＝1；若l 1∥l 2，则a ＝－1，l 1：x －y ＋1＝0，两平行直线间的距离d ＝|1－(－3)|1＋1＝2 2.已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为________解析设A ′(x ，y )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.解答题：已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x ·sin α＋y ＋1＝0，求α的值，使得： (1)l 1∥l 2； (2)l 1⊥l 2.解 (1)当sin α＝0时，直线l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，显然l 1不平行于l 2.当sinα≠0时，k1＝－1sinα，k2＝－2sinα，要使l1∥l2，需－1sinα＝－2sinα，即sinα＝±22.所以α＝kπ±π4，k∈Z，此时两直线的斜率相等．故当α＝kπ±π4，k∈Z时，l1∥l2.(2)因为A1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要条件，所以2sinα＋sinα＝0，即sinα＝0，所以α＝kπ，k∈Z. 故当α＝kπ，k∈Z时，l1⊥l2.如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：x－y－1＝0上，求其方程．解与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x＋2y－2＝0.设所求直线方程为(x＋2y－2)＋λ(x－y－1)＝0，即(1＋λ)x＋(2－λ)y－2－λ＝0.又直线过(－1,1)，∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0，解得λ＝－13.∴所求直线方程为2x＋7y－5＝0.正方形的中心为点C(－1,0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程解点C到直线x＋3y－5＝0的距离d＝|－1－5|1＋9＝3105.设与x＋3y－5＝0平行的一边所在直线的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)，则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离d＝|－1＋m|1＋9＝3105，解得m＝－5(舍去)或m＝7，所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0. 设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是3x－y＋n＝0，则点C到直线3x－y＋n＝0的距离d＝|－3＋n|1＋9＝3105，解得n＝－3或n＝9，所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0.已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程解在直线m 上任取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝613，b ＝3013，∴M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)．∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1，2)的直线l 的方程．解依题意，设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0 (c ≠1)，又因为直线过点(1，2)，所以3×1＋4×2＋c ＝0，解得c ＝－11. 因此，所求直线方程为3x ＋4y －11＝0.求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．解解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得P (0，2)．因为l 3的斜率为34，且l ⊥l 3，所以直线l 的斜率为－43，由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2，即4x ＋3y －6＝0.已知△ABC 的顶点A (5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解依题意知：k AC ＝－2，A (5，1)，∴l AC 为2x ＋y －11＝0，联立l AC 、l CM 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，∴C (4，3)．设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为(x 0＋52，y 0＋12)，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，∴B (－1，－3)，∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点． (1)若点A (5，0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5，0)到l 的距离的最大值．解 (1)易知l 不可能为l 2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， ∵点A (5,0)到l 的距离为3，∴|10＋5λ－5|(2＋λ)2＋(1－2λ)2＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2，或λ＝12，∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤P A (当l ⊥P A 时等号成立)．∴d max ＝P A ＝(5－2)2＋(0－1)2＝10.专项能力提升若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是 ( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．2 3 解析因为点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，所以4m ＋3n －10＝0.欲求m 2＋n 2的最小值可先求(m －0)2＋(n －0)2的最小值，而(m －0)2＋(n －0)2表示4m ＋3n －10＝0上的点(m ，n )到原点的距离，如图．当过原点的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n )的距离最小为2.所以m 2＋n 2的最小值为4.已知直线l ：y ＝12x －1，(1)求点P (3,4)关于l 对称的点Q ； (2)求l 关于点(2,3)对称的直线方程．解 (1)设Q (x 0，y 0)，由于PQ ⊥l ，且PQ 中点在l 上，有⎩⎪⎨⎪⎧y 0－4x 0－3＝－2，y 0＋42＝12·x 0＋32－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝295，y 0＝－85，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫295，－85.(2)在l 上任取一点，如M (0，－1)，则M 关于点(2,3)对称的点为N (4,7)．∵当对称点不在直线上时，关于点对称的两直线必平行，∴所求直线过点N 且与l 平行， ∴所求方程为y －7＝12(x －4)，即为x －2y ＋10＝0.。

北师大版七年级数学下册2.1两条直线的位置关系(第二课时)课件

直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
ZYT
探究新知
如图，过点 A 作 l 的垂线，垂足为 B，线段AB的长度叫做点 A 到直线 l的距离．
ZYT
探究新知
你知道体育课上老师是怎样测量跳远成绩的？你能说说其中的道理吗？
线段PO的长度即为所求
O P
ZYT
典例精析
例2 在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由.
探究新知
垂线的性质：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 提示： 1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外； 2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.
ZYT
探究新知
知识点 3 点到直线的距离
如图，点 P 是直线 l 外一点，PO⊥l，点 O 是垂足．点 A，B，C 在直线 l 上，比较线段 PO，PA，PB，PC 的长短，你发现了什么？
A
M
B ∴直线MF为所求垂线.
D CNF
ZYT
典例精析
例2 如图,量出（1）村庄A与货场B的距离, （2）货场B到铁道的距离.
C
8m B
0m 10m 20m 30m
A 25m
ZYT
巩固练习
马路两旁两名同学A、B，若A同学到马路对边怎样走最近？若
A同学到B同学处怎样走最近？
解：过点A作AC⊥BC，垂足为C，A
ZYT
探究新知
知识点 1 垂线的定义
观察下面图片，你能找出其中相交的线吗？它们有什么特殊的位置关系？
a
b
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.

北师大版初中数学一年级下2.1两条直线的位置关系课件(共34张PPT)

动手实践二
DO
C
12
34
图2-2
AN B 图2-3
打台球时，选择适当的方向，用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2，将图 2-2抽象成成图2-3，ON与DC交于点O， ∠DON=∠CON=900，∠1=∠2
DO
C
12
34
AN B
图2-2
图2-3
小组合作交流，解决下列问题：在图2-3中
通常用“⊥”表示两直线垂直。
C
A OB D
记作AB⊥CD，垂足为点O.
m
O
记作l⊥m，垂足为点O.
动手画一画1
工具1:你能借助三角尺或者量角器，在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？工具2:如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？请说出你的画法和理由. 工具3:你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗，试试看吧！请说明理由。
问题1:
①你能借助三角尺，在一张白纸上画出两条互相垂直的直线？
②怎样用量角器画出两条互相垂直的直线
问题2:如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？说说你的画法和理由.
问题3: 你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗，试试看吧！请说明理由。
动手画一画2
问题1：请画出直线m和点A，你有几种画法？问题2：过点A画直线m的垂线你能画出多少条？请用你自己的语言概括你的发现。
E
D
A
O
B
C
2.1─11
你学到了哪些知识？一、定义： 1、对顶角 2、互为补角，余角
二、性质：对顶角相等同角或等角的余角相等同角或等角的补角相等
（二）
问题：
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两条直线的位置关系(含答案)

两直线的位置关系【知识清单】：1．两条直线位置关系的判定（1）易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．（2）比例式A 1A 2与B 1B 2，C 1C 2的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答．2．两条直线的交点的求法：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B2y ＋C 2＝0的解．3．距离注意：运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件，盲目套用公式导致出错．【考点突破】：考点一两条直线的位置关系 (基础送分型考点——自主练透)1．(2016·重庆巴蜀中学模拟)若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，那么a 的值等于( ) A ．1 B ．－13C ．－23D ．－2解析：选D 由a ·1＋2·1＝0得a ＝－2，故选D.2．(2016·金华十校模拟)“直线ax －y ＝0与直线x －ay ＝1平行”是“a ＝1”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由直线ax －y ＝0与x －ay ＝1平行得a 2＝1，即a ＝±1，所以“直线ax －y ＝0与x －ay ＝1平行”是“a ＝1”的必要不充分条件．3．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选A 依题意，设所求的直线方程为x －2y ＋a ＝0，由于点(1,0)在所求直线上，则1＋a ＝0，即a ＝－1，则所求的直线方程为x －2y －1＝0.考点二距离问题(重点保分型考点——师生共研)已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2.解：设点P 的坐标为(a ，b )． ∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)．而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上， ∴a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2，∴|4a ＋3b －2|5＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎨⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87. [由题悟法]处理距离问题的2大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式．(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|PA |＝|PB |这一条件的转化处理．[即时应用](2016·绵阳一诊)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( ) A ．95B ．185 C ．2910D ．295解析：选C 因为36＝48≠－125，所以两直线平行，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.考点三对称问题(常考常新型考点——多角探明)[命题分析]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型．常见的命题角度有：角度一：点关于点的对称问题1．(2016·蚌埠期末)点P (3,2)关于点Q (1,4)的对称点M 为( ) A ．(1,6) B ．(6,1) C ．(1，－6)D ．(－1,6)解析：选D 设M (x ，y )，则⎩⎨⎧3＋x2＝1，2＋y2＝4，∴x ＝－1，y ＝6，∴M (－1,6)．角度二：点关于线的对称问题2．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为________．解析：设A ′(x ，y )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. 答案：A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413 角度三：线关于线的对称问题3．直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是( ) A ．x －2y ＋3＝0 B ．x －2y －3＝0 C ．x ＋2y ＋1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选A 设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－(y －y 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0. 角度四：对称问题的应用4．(2016·淮安一调)已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －(－3)·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. 答案：6x －y －6＝0[方法归纳]：1．中心对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 2．轴对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称：若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋B ⎝⎛⎭⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)． (2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．【三维演练】：一抓基础，多练小题做到眼疾手快[小题纠偏]1．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( ) A ．1710B ．175C ．8D ．2解析：选D ∵63＝m 4≠14－3，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d＝|－3－7|32＋42＝2.2．已知p ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，q ：a ＝－1，则p 是q 的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由于直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行的充要条件是1×a －(－1)×1＝0，即a ＝－1.1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直D ．不能确定解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋m ＝0，x ＋2y ＋n ＝0，可得3x ＋2m －n ＝0，由于3x ＋2m －n ＝0有唯一解，故方程组有唯一解，故两直线相交，两直线的斜率分别为－2，－12，斜率之积不等于－1，故不垂直．2．已知直线(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，那么k 的值为( ) A ．1或3 B ．1或5 C ．3或5D ．1或2解析：选C 法一：把k ＝1代入已知两条直线，得－2x ＋3y ＋1＝0与－4x －2y ＋3＝0，此时两条直线的斜率不相等，所以两条直线不平行，所以k ≠1，排除A ，B ，D.法二：因已知两条直线平行，所以k ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧k ≠3，k －32(k －3)＝4－k －2≠13，解得k ＝3或k ＝5. 3．平行线3x ＋4y －9＝0和6x ＋8y ＋2＝0的距离是( ) A ．85B ．2C ．115D ．75解析：选B 依题意得，所求的距离等于|－18－2|62＋82＝2.4．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝0解析：选D 设所求直线上任一点(x ，y )，则它关于直线x ＝1的对称点(2－x ，y )在直线x －2y ＋1＝0上，即2－x －2y ＋1＝0，化简得x ＋2y －3＝0.5．已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．解析：由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0,10]．答案：[0,10]二保高考，全练题型做到高考达标1．(2015·大连二模)已知直线l 1：(3＋a )x ＋4y ＝5－3a 和直线l 2：2x ＋(5＋a )y ＝8平行，则a ＝( ) A ．－7或－1 B ．－7 C ．7或1D ．－1解析：选B 由题意可得a ≠－5，所以3＋a 2＝45＋a≠5－3a 8，解得a ＝－7(a ＝－1舍去)． 3．(2016·宜春统考)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为( ) A ．2x ＋3y －18＝0 B ．2x －y －2＝0C ．3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0解析：选D 依题意，设直线l ：y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，则有|－5k ＋2|k 2＋1＝|k ＋6|k 2＋1，因此－5k ＋2＝k ＋6，或－5k ＋2＝－(k ＋6)，解得k ＝－23或k ＝2，故直线l 的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0.4．(2015·合肥一模)已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( ) A ．x －2y ＋1＝0 B ．x －2y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选B 因为l 1与l 2关于l 对称，所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设它关于l 的对称点为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即(1,0)，(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2的方程为x －2y －1＝0.6．(2015·成都检测三)已知直线l 1：ax ＋(3－a )y ＋1＝0，l 2：2x －y ＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________．解析：由2×a ＋(3－a )×(－1)＝0，解得a ＝1. 答案：17．已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为________．解析：由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或－79. 答案：－13或－798．(2016·江西八校联考)已知点P (x ，y )到A (0,4)和B (－2,0)的距离相等，则2x ＋4y 的最小值为________．解析：由题意得，点P 在线段AB 的中垂线上，则易得x ＋2y ＝3，∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x＋2y＝42，当且仅当x ＝2y ＝32时等号成立，故2x ＋4y 的最小值为4 2.答案：4 29．已知光线从点A (－4，－2)射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C . 故BC 所在的直线方程为 y －6－4－6＝x －1－2－1，即10x －3y ＋8＝0.10．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)． (1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标． (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，∴直线l 恒过定点(－2,3)．(2)设直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大．又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15，∴直线l 的斜率k l ＝－5.故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·湖北七市三联)设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )A ．24，14B ．2，22C ．2，12D ．22，12解析：选D 依题意得|a －b |＝(a ＋b )2－4ab ＝1－4c ，当0≤c ≤18时，22≤|a －b |＝1－4c ≤1.因为两条直线间的距离等于|a －b |2，所以两条直线间的距离的最大值与最小值分别是22，22×12＝12.2．已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R)． (1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围； (2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．解：(1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0，即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－⎝⎛⎭⎫a 2＋122＋14，因为a 2≥0，所以b ≤0.又因为a 2＋1≠3，所以b ≠－6.故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]．(2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0，显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a ，|ab |＝⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝±1时等号成立，因此|ab |的最小值为2.【拓展延伸】：1、设a 、b 、c 分别是ABC ∆中角A 、B 、C 的对边的长，则直线sin y+c=0A x a + 与直线sin y+sinC=0bx B - 的位置关系为2、在平面直角系xoy 中，已知圆C ：222(62)4560x y m x my m m +---+-=，直线l 经过点(1,0) .若对任意的实数m ，定直线l 被圆C 截得的弦长为定值，则直线l 的方程为 . 3、（1）如果直线+2y+2=0ax 与直线3y 2=0x -- 平行，则a = . （2）直线1+ay+6=0l x ：与直线2:(2)3y+2=0l a x a -+ 平行，则a = ．（3）已知直线1+2ay 1=0l x -：与直线2:(31)y 1=0l a x a --- 平行，则a = . 4、（1）若直线m +y=0x 与直线+2y+1=0x 互相垂直，则m =（2）直线1+y =0l x a a -：与直线2:(23)y 1=0l ax a ---垂直，则a = ． 5、已知m 为实数，直线1m +y+3=0l x ：与直线2:(3m 2)+my+2=0l x -，则：（1）当12l l 时，m 的值为；（2）当12l l ⊥时，m 的值为6、求过点A （2,3），分别满足下列条件的直线的方程：（1）与直线2+y 5=0x -平行；（2）与直线2+y 5=0x -垂直7、（1）已知直线l 与直线+3y 5=0m x -：2平行，且在两坐标轴上的截距之和为1，求直线l 方程.（2）求与直线5+3y 1=0x -垂直，且在两坐标轴上的截距之和为4的直线方程.8、（1）两条直线13y 15=0l x --：与直线2:3y 6=0l kx --与两坐标轴正向围成的四边形有一个外接圆，则实数k 的值为（2）若点A （-1,1）在直线p y+4=0x q +m:上，且直线m 与直线n :(p 1)y+q=0x -+互相垂直，当p 、q 同号时，求直线m 的方程.。