2020届湖北省四地七校联盟高三第七次调研考试数学(文)试题

2020届湖北省四地七校联盟高三第七次调研考试高三 文科数学 ★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{1,2,6},{2,4},{1,2,3,4}A B C ===，则()AB C =( )A ． {2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{1,2,3,4,6} 2.若a 为实数，且2＋a i1＋i ＝3＋i ，则a ＝( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4 3.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )A ．x e y -=B ．x y =C ．x y ln =D ．3x y =4.已知命题p ：,x ∃∈R 210x x -+≥;命题q ：若22a b <,则a<b.下列命题为真命题的是( )A ．p q ∧ B.p q ∧⌝ C.p q ⌝∧ D.p q ⌝∧⌝ 5.已知54)cos(=-απ，且α为第三象限角，则α2tan 的值等于()A. 34 B ．－34 C .－247 D ．2476.已知函数⎩⎨⎧=x x x f 3log )(2)0()0(≤>x x ，则)]41([f f 的值是（ ）A.9B.91-C. 91D ．9-7.设x R ∈ ，向量(,1),(1,2),a x b ==-且a b ⊥ ，则||a b +=（ ）A.5B.10C.52D. 108.要得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34sin πx y 的图象，只需将函数x y 4sin =的图象()A ．向右平移π12个单位B ．向左平移π12个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位9.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为( )A.B.C.D.10.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A. 1盏 B.2盏 C ．3盏 D ．9盏 11.设曲线x x y sin cos 1+=在点)1,2(π处的切线与直线01=+-ay x 平行，则实数=a （ ）A ．1B -1C ．2D ．-2 12.已知函数()f x '是函数()f x 的导函数，1(1)f e=，对任意实数都有()()0f x f x '->，则不等式2()x f x e -<的解集为( ) A ．(1,)+∞B ．(,)e -∞C ．(1,)eD ．(,)e +∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知)(x f 是奇函数，且当0>x 时，12)(2-=x x f ，那么=-)1(f ________.14.已知向量a ，b 的夹角为2=1=,=________.15. 已知x ，y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z= -2x+y 的最大值是________.16. 已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时2()f x x =，那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点个数为________.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. (本题满分10分)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知71-=a ，153-=S .(1)求{}n a 的通项公式； (2)求n S ，并求n S 的最小值．18. (本题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c . ①求C ；②若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．19.(本题满分12分)已知是各项均为正数的等比数列，且，.(1)求数列的通项公式；(2)为各项非零的等差数列，其前项和为.已知，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 的前项和n T .20. (本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22,22，()x x cos ,sin =，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx . (1)若⊥，求x tan 的值； (2)若与的夹角为π3，求x 的值．21. (本题满分12分)已知e 是自然对数的底数，实数a 是常数，函数1)(--=ax e x f x 的定义域为(0，＋∞)． (1)设e a =，求函数f (x )的图象在点()()1,1f 处的切线方程； (2)判断函数)(x f 的单调性．22. (本题满分12分)已知常数0≠a，x x a x f 2ln )(+=.(1)当a ＝－4时，求)(x f 的极值；(2)当)(x f 的最小值不小于a -时，求实数a 的取值范围．高三数学答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)（文科）13.-1； 14.23; 15. -1; 16.10 （理科）13.3 14.23; 15. -1; 16.10 三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17. (本题满分10分)解 (1)设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15.由a 1＝－7得d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －9(n ∈N *)．………..5分(2)由(1)得S n ＝a 1＋a n2·n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16.所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16. ………..5分 18.(本题满分12分)[解] ①由已知及正弦定理得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ， 即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ， 故2sin C cos C ＝sin C .可得cos C ＝12，所以C ＝π3. ..............................................6分②由已知得12ab sin C ＝332. 又C ＝π3，所以ab ＝6.由已知及余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos C ＝7， 故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25.所以△ABC 的周长为5＋7. ……………………..12分 19. (本题满分12分)解：(1)设{a n }的公比为q ， 由题意知a 1(1＋q )＝6，a 21q ＝a 1q 2. 又a n ＞0，解得a 1＝2，q ＝2， 所以a n ＝2n . ………..5分 (2)由题意知，S 2n ＋1＝(2n ＋1)(b 1＋b 2n ＋1)2＝(2n ＋1)b n ＋1， 又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0， 所以b n ＝2n ＋1.令c n ＝b n a n ，则c n ＝2n ＋12n ，因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ， 又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1， 两式相减得12T n ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1 ＝32＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－2n ＋12n ＋1 ＝52－2n ＋52n ＋1，所以T n ＝5－2n ＋52n .………..12分 20. (本题满分12分)解 (1)因为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n . 所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12， 即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝12，因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12. 21. (本题满分12分)解：(1)∵a ＝e ，∴ f (x )＝e x－e x －1， ∴f ′(x )＝e x－e ，f (1)＝－1，f ′(1)＝0.∴当a ＝e 时，函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝－1. (2)∵f (x )＝e x －ax －1，∴f ′(x )＝e x －a . 易知f ′(x )＝e x －a 在(0，＋∞)上单调递增．∴当a ≤1时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞1时，由f ′(x )＝e x－a ＝0，得x ＝ln a ，∴当0＜x ＜ln a 时，f ′(x )＜0，当x ＞ln a 时，f ′(x )＞0， ∴f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． 综上，当a ≤1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． 22.(本题满分12分)解：(1)由已知得f (x )的定义域为x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ＋2＝a ＋2x x .当a ＝－4时，f ′(x )＝2x －4x .∴当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )单调递减； 当x >2时，f ′(x )>0，即f (x )单调递增．∴f (x )只有极小值，且在x ＝2时，f (x )取得极小值f (2)＝4－4ln 2，无极大值．…….6分(2)∵f ′(x )＝a ＋2xx ，∴当a >0，x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，即f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，没有最小值；当a <0时，由f ′(x )>0得，x >－a2，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增； 由f ′(x )<0得，0<x <－a2，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2上单调递减．∴当a <0时，f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2.根据题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2≥－a ，即a [ln(－a )－ln 2]≥0.∵a <0，∴ln(－a )－ln 2≤0，解得－2≤a ＜0，∴实数a的取值范围是[－2, 0)．……………………….12分。