2017九年级数学上册3.4.2第1课时相似三角形对应高中线角平分线的性质教案2
九年级数学上册3.4.2相似三角形的性质第1课时与相似三角形的高、中线、角平分线等有关的性质教学课件
（2）若AD、AD分别为BAC、BAC的角平分线,
则 AD 等于多少？ AD
（3）若AD、AD分别为BC、BC边上的中线,
则 AD 等于多少？
AD
第六页，共13页。
归纳小结 相似(xiānɡ sì)三角形的性质
相 对应(duìyìng)高的比
似
三
角
对应(duìyìng)中线的
比
都等于(děng相y似ú)比
A
BG
BC （相似三角形对应(duìyìng)角平
EH EF 线的比等于相似比）， B
即
4.8 EH
6 4
.
解得EH＝3.2(cm).
答：EH的长为3.2cm.
E
第八页，共13页。
G
C D
H F
（口答下列(xiàliè) 各题） 1
1s对ì．)比应两为中个线相的,似比则(x为对iā1n_应ɡ__s高ì_)三_的_12角_比_形_为. 的__相__似__(_x_2iā_n,ɡ则
3.4.2 相似三角形的性质 第1课时 与相似三角形的高、中线(zhōngxiàn)、角平分线
等有关的性质
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• 展开想象的翅膀(chìbǎng): • 相似三角形的对应角、对应边、 • 对应高、对应中线及对应角平分
线 • 有何关系？
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——对应角相等，对应边成比例 我们(wǒ men)来研究其它性质
AD，A’D’的2比：是3 .
第十页，共13页。
跟踪练习
2．若两个(liǎnɡ ɡè)相似三角形对应高 的比为1:3,则这两个(liǎnɡ ɡè。
跟踪练习
3．△ABC∽△A’B’C’，AD和A’D’是 它们(tā men)的对应角平分线，已知AD=4cm A’D’=10cm，那么对应高的比
湘教版数学九年级上册3.4.2《相似三角形的性质》教学设计
湘教版数学九年级上册3.4.2《相似三角形的性质》教学设计一. 教材分析《相似三角形的性质》是湘教版数学九年级上册3.4.2的内容。
本节内容是在学生已经掌握了相似三角形的定义和性质的基础上进行进一步学习的。
相似三角形的性质是初中学段几何知识的重要组成部分，也是解决实际问题的重要工具。
本节内容主要让学生了解相似三角形的对应边成比例，对应角相等的基本性质，并通过实际例题让学生掌握如何运用相似三角形的性质解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了相似三角形的定义，对几何图形的认知和操作能力较强。
但是，对于相似三角形的性质的理解和运用还需要进一步的引导和培养。
此外，学生对于解决实际问题的能力还需要加强，因此，在教学过程中，需要注重培养学生的实际问题解决能力。
三. 教学目标1.让学生掌握相似三角形的对应边成比例，对应角相等的性质。
2.培养学生运用相似三角形的性质解决实际问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
四. 教学重难点1.相似三角形的对应边成比例，对应角相等的性质。
2.如何运用相似三角形的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探究、发现、总结相似三角形的性质。
2.运用实例讲解，让学生直观地理解相似三角形的性质及其应用。
3.采用小组合作学习的方式，培养学生的团队合作能力和逻辑思维能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，包括相似三角形的性质及其应用的实例。
2.准备一些实际的数学问题，用于巩固和拓展学生的知识。
3.准备一些练习题，用于检测学生对相似三角形性质的掌握情况。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际的数学问题引入本节内容，让学生思考并尝试解决。
例如：在三角形ABC中，AB=AC，BD是角ABC的平分线，求证：三角形ABD与三角形ACD相似。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现相似三角形的性质，包括对应边成比例，对应角相等。
三角形的角平分线与相似三角形综合
三角形的角平分线与相似三角形综合三角形是几何学中重要的概念，它具有许多特性和性质。
本文将探讨三角形中的角平分线和相似三角形之间的关系以及其综合应用。
一、角平分线的概念和性质角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。
在三角形中，角平分线有如下性质：1. 角平分线将角分为两个相等的角：设三角形ABC中，∠BAC的角平分线交边BC于点D，则∠BAD = ∠DAC。
2. 角平分线与对边的关系：设三角形ABC中，∠BAC的角平分线交边BC于点D，则BD/DC = AB/AC。
3. 角平分线的唯一性：在一个三角形中，每个角都有唯一的角平分线。
二、相似三角形的概念和性质相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。
在相似三角形中，角度相等且对应边的比例相等。
相似三角形的性质如下：1. AAA相似定理：如果两个三角形的对应角度相等，那么它们相似。
2. AA相似定理：如果两个三角形的两个对应角度相等，那么它们相似。
3. SSS相似定理：如果两个三角形的对应边的比例相等，那么它们相似。
三、角平分线与相似三角形的关系在三角形中，角平分线与相似三角形之间存在一定的关系。
具体如下：1. 角平分线分割相似三角形：设三角形ABC中，∠BAC的角平分线交对边BC于点D，令AD与角平分线交BC的延长线于点E。
则有∆ABD ∼ ∆ACE。
2. 相似三角形的角平分线：设∆ABD ∼ ∆ACE，∠BAD的角平分线交BD于点F，∠CAE的角平分线交CE于点G。
则有∆ABF ∼∆ACG。
通过以上关系，我们可以在解决三角形相关问题时应用角平分线和相似三角形的知识。
四、综合应用1. 证明角平分线的长度关系：设三角形ABC中，∠BAC的角平分线交对边BC于点D。
通过角平分线与对边的关系可得BD/DC =AB/AC。
进一步利用相似三角形的性质，我们可以得到如下结论：AD/DC = AB/BC。
2. 判断角平分线存在问题：当一个三角形的三个内角都被其角平分线平分时，可以推断该三角形是等边三角形。
3.4.2 相似三角形的性质课件(共18张PPT)湘教版 数学九年级上册
似比”列方程求解.
课堂新授
解：：∵△ABC与△DEF相似，△ABC的最长边为4， △DEF的最长边为12， ∴△ABC与△DEF的相似比为4∶ 12=1∶3， ∴△DEF的周长与△ABC的周长比为3∶1， ∴△DEF的周长为3×(2＋3＋4)＝27. 答案：C
感悟新知
2-1. [ 期末·嘉峪关 ] 两个三角形的相似比为1∶ 4，它 们的周长之差为 27 cm，则较小的三角形的周长为 __9_c_m___ ．
课堂新授
知识点 2 相似三角形面积的比
相似三角形面积的比：相似三角形面积的比等于相似比的 平方. 若△ABC∽△A′B′C′，且它们的相似比为k，则
SS△△AA′BB′CC′＝k2. 特别提醒：面积的比是相似比的平方，不要与对应线段的 比、周长的比等于相似比混淆.
课堂新授
活学巧记 两个相似三角形， 各角对应都相等， 各边对应成比例， 周长比等于相似比， 面积比等于相似比的平方.
3.4 相似三角形的判定与性质 第2课时
相似三角形的性质
课堂新授
知识点 1 相似三角形对应线段的比
1. 定理： 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线 的比都等于相似比. 即：相似三角形对应线段的比等于相似比. 深度理解 对应高、对应中线与对应角平分线分别是指相似 三角形对应边上的高、中线与对应内角的平分线.
感悟新知
例3 [中考·阜新] 如图 3.4-19，在矩形 ABCD 中， E 是 AD 边上一点，且 AE ＝ 2DE， BD 与 CE 相交于点 F， 若△ DEF 的面积是 3，则△ BCF 的面积是 ___2_7____．
感悟新知
解题秘方：利用“相似三角形面积的比等于相似 比的平方” 求解 .
相似三角形中的角平分线性质
相似三角形中的角平分线性质在几何学中，相似三角形是非常重要的概念。
当两个三角形的对应角度相等时，它们被称为相似三角形。
在相似三角形中，有一个有趣且重要的性质，即角平分线性质。
本文将探讨相似三角形中的角平分线性质，并展示该性质的应用。
一、角平分线的概念角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角划分为两个相等角度的线段。
这条直线将角分成两个相等的部分，也就是将角的度数平均分配在两条线段上。
在相似三角形中，角平分线具有一些特殊的性质。
二、相似三角形中的角平分线性质1. 角平分线分割相似三角形的两个对应边成比例。
在相似三角形中，如果一条角平分线经过其中一个角，它将分割出与该角对应的两条边。
根据相似三角形的定义，这两条边与另一个相似三角形的两条对应边成比例。
因此，角平分线将相似三角形的两个对应边分割成相等的比例。
2. 相似三角形中的角平分线互相平行。
当两个三角形相似时，它们的对应角度相等。
通过一个角的平分线，将该角分割为两个相等的部分。
根据平行线的性质，这两条角平分线互相平行。
3. 角平分线的长度比例性质。
在相似三角形中，如果两条角平分线分别经过两个相似角的顶点，并交于一点，那么这两个角平分线最终交点与另一个相似角的顶点之间的长度比等于相似三角形两个对应边的比例。
三、角平分线性质的应用相似三角形中的角平分线性质在解决几何问题时具有重要的应用价值。
下面举例说明：例题一：已知三角形ABC和DEF相似，且∠A = ∠D。
若角平分线AE与DF相交于点G，求证：AG/DF = AE/DE。
解题思路：首先，根据相似三角形的定义，我们可得到AB/DE =BC/EF。
又由角平分线性质可知，AE/DE = AG/DF。
因此，我们可以通过证明AG/DF = AE/DE来验证这个结论。
由于三角形ABC与DEF相似，我们可以令AB/DE = BC/EF = x，然后根据角平分线的性质，得到AG/DF = AE/DE = x。
证毕。
例题二：已知三角形ABC和DEF相似，且∠A = ∠D。
课题：与相似三角形的高、角平分线、中线有关的性质
课题：与相似三角形的高、角平分线、中线有关的性质【学习目标】1．运用类比的思想方法，通过探索得出相似三角形对应线段(高、中线、角平分线)的比等于相似比．2．会运用相似三角形对应线段的比与相似比的性质解决有关问题．3．经历“操作—观察—探索—说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力．【学习重点】探索得出相似三角形，对应线段的比等于相似比．【学习难点】利用相似三角形对应线段的比与相似比的性质解决问题．一、情景导入 生成问题回顾：1．已知a b ＝c d ＝e f (k<0)＝2，求a ＋c ＋e b ＋d ＋f(b ＋d ＋f ≠0)． 解：原式＝2.2．相似三角形的判定定理有哪些？相似三角形有些什么性质？答：判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似．判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．判定定理3：三边成比例的两个三角形相似．相似三角形的对应角相等，对应边成比例．3．全等三角形的对应线段(如高、中线、角平分线)有怎样的关系？答：相等．4．相似三角形的对应线段有怎样的关系？答：对应线段的比等于相似比．二、自学互研 生成能力知识模块一 探究与相似三角形的高、中线、角平分线等有关的性质阅读教材P 85～P 87，完成下面的内容：如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k ，AD 与A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′的高，试证明AD A′D′＝k.证明：∵△ABC ∽△A′B′C′，AD 和A′D′分别是BC 和B′C′边上的高，∴∠B ＝∠B′，∠ADB ＝∠A′D′B′．∴△ABD ∽△A′B′D′．∴AD ∶A′D′＝AB ∶A′B′＝相似比k. 由此引出：相似三角形对应高的比等于相似比．想一想：相似三角形对应中线、角平分线的比与相似比有怎样的关系？师生合作探究、共同归纳相似三角形的高、中线、角平分线的性质归纳：相似三角形对应线段的关系：相似三角形对应线段(高、中线、角平分线)的比等于__相似比__． 知识模块二 相似三角形性质的应用阅读教材P 86例9、例10，解决下列变例：【变例】如图所示，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高线，矩形EFGH 内接于△ABC ，其长边FG 在BC 上，矩形相邻两边长的比为1∶2，AD 交EH 于M ，若BC ＝30cm ，AD ＝10cm ，求矩形EFGH 的面积．解：∵四边形EFGH 是矩形，∴EH ∥FG ，即EH ∥BC ，∴∠AEH ＝∠B.又∵∠BAC ＝∠EAH ，∴△AEH ∽△ABC.∵AD ⊥BC ，EH ∥BC ，∴AD ⊥EH ，从而可知MD ＝EF.∵矩形两邻边之比为1∶2.∴设EF ＝x cm ，则EH ＝2x cm .由相似三角形对应高的比等于相似比得AM AD ＝EH BC .∴10－x 10＝2x 30，解得x ＝6，∴EF ＝6cm ，EH ＝12cm ，∴S 矩形EFGH ＝6×12＝72(cm 2)．二、自学互研 生成能力1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 探究与相似三角形的高、中线、角平分线等有关的性质知识模块二 相似三角形性质的应用四、检测反馈 达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
湘教九年级数学上册3.4.2相似三角形的性质课件
解：在△ABC和△DEF中，
A
∵ AB＝2DE，AC＝2DF
D
∴ DE DF 1 AB AC 2
B
又 ∠D＝∠A
CE
F
∴ △DEF∽△ABC，相似比为
归纳
对应角相等
相 似
对应边成比例
三 相似比等于对应边的比
角 形 的
对应高的比，对应中线的比、对应 角平分线的比都等于相似比.
性 质
周长的比等于相似比
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
S ACD k 2S A'C 'D'
S ABC S ACD k2
S S A'B'C'
A'C ' D'
C'
S四边形ABCD =k2 S四边形A'B'C'D'
相似多边形面积的比等于相似比的平方．
例题分析
例6.如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF， ∠A＝∠D，△ABC的周长是24，面积是48，求△DEF的周长 和面积．
探究
（2）如图，四边形ABCD相似于四边形A'B'C'D'，相似比为
k2，它们的面积A比是多少？
A'
D
D'
B
B'
C
分别连接AC，A'C'
则△ABC∽△A'B'C'，△ADC∽△A'C'D'，
S ABC k 2 S A'B'C '
S ABC k 2S A'B'C '
第3章图形的相似3.4相似三角形的判定与性质3.4.2相似三角形的性质第1课时相似三角形对应重要线段的性质教案
三：
开放
训练
体现
பைடு நூலகம்应用
【应用举例】
例1[教材P86例9]如图3－4－121，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，DE⊥AC，垂足为点E，已知CD＝2，AB＝6，AC＝4，求DE的长.
图3－4－121
解：在Rt△ABC与Rt△ACD中，
∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴△ABC∽△ACD.
又CD，DE分别为它们斜边上的高，
③[师生互动反思]
______________________________________________________________________________________________
④[习题反思]
______________________________________________________________________________________________
问题2：如何判定两个三角形相似？
问题3：相似三角形有何性质？
问题4：一个三角形有三条重要的线段，你们知道是哪三条吗？如果两个三角形相似，那么这些对应线段有什么关系呢？
学生回忆并回答，为本节课的学习提供迁移或类比方法.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题．如图3－4－119，小王依据图纸上的△ABC，以1∶2000的比例建造了模型房梁△A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的立柱.
【拓展提升】
三角形的内接矩形(正方形)问题
例2如图3－4－123，在△ABC中，内接矩形DEFG的一边DE在边BC上，AH是△ABC的边BC上的高，AH交GF于点K，若BC＝48，EF＝10，DE＝18.求AK的长.
角平分线的性质第1课时
角平分线定理的证明方法三
构造向量法
通过构造向量，利用向量的数量积和 向量的模的性质证明角平分线的性质 定理。
解析几何法
利用解析几何的方法，通过建立直角 坐标系，设出角的两个顶点坐标，然 后利用点到直线的距离公式进行证明 。
05习题与练习基础题基础习题1已知角平分线AD，点E在AD上，∠BAE = 20°，∠CAD = 30°， 求∠BAC的度数。
角平分线的作法
通过角的顶点，作一条与角的 一边平行且等于这边上某一点 到角的另一边的距离的射线。
将角的两边按相等的比例延长， 交于一点，该点所连的射线即 为角平分线。
利用角的对称性质，通过角的 顶点作任意一边的垂直平分线， 该垂直平分线即为角平分线。
02
角平分线的性质
角平分线与相对边成比例
定义
角平分线将一个角分为两个相等 的部分，与相对边所成的比例相
等。
证明
利用相似三角形的性质，通过构造 两个相似三角形并证明其对应边成 比例来证明角平分线与相对边成比 例。
应用
在几何证明和解题中，可以利用这 一性质来证明线段的比例关系或解 决与角平分线相关的问题。
角平分线上的点到角的两边距离相等
定义
角平分线上的任意一点到角的两 边的距离相等。
等。
证明
02
利用相似三角形的性质，通过构造两个相似三角形并证明其对
应边成比例来证明角平分线与邻边成比例。
应用
03
在几何证明和解题中，可以利用这一性质来证明线段的比例关
系或解决与角平分线相关的问题。
03
角平分线的应用
在几何证明中的应用
角平分线定理
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
湘教版初中数学九年级上册3.4.2 第1课时 相似三角形对应高、中线、角平分线的性质2
湘教版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！湘教版初中数学和你一起共同进步学业有成！3.4.2 相似三角形的性质第1课时相似三角形对应高、中线、角平分线的性质教学目标：1、运用类比的思想方法，通过实践探索得出相似三角形，对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比；2、会运用相似三角形对应高的比与相似比的性质解决有关问题；3、经历“操作—观察—探索—说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力。
教学重点：探索得出相似三角形，对应线段的比等于相似比教学难点：利用相似三角形对应高的比与相似比的性质解决问题教学设计：一、情境创设全等三角形的对应边上的高相等。
相似三角形的对应边上的高又有怎样的关系呢？二、探索活动：1、如图，△ABC∽△A′B′C′，相比为k，AD与A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，说明：AD/A′D′=k由此引出：相似三角形对应高的比等于相似比2、全等三角形的对应线段（中线、角平分线）有何关系？那么相似三角形的对应线段（中线、角平分线）又有怎样的关系呢？3、小结相似三角形对应线段的关系。
三、例题教学1、如图：已知梯形上下底边的长分别为36和60，高为32，这个梯形两腰的延长线的交点到两底的距离分别是多少？2、△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件EFGH，使正方形的一边HG在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是什么？变题1：若四边形EFGH为矩形，且EF：EH=2：1，求矩形EFGH的面积。
变题2：已知：直角三角形的铁片ABC的两条直角边BC、AC的长分别为3和3.如图所示，分别采用（1）（2）两种方法，剪出一块正方形铁片，为使剪去正方形铁片后剩下的边角料较少，试比较哪种剪法较为合理，并说明理由。
4、如图，在△ABC中，AB=5，BC=4，AC=3，PQ∥AB，P点在AC上（与点A、C不重合），点Q在B、C上。
初中数学《相似三角形的性质》教案_答题技巧
初中数学《相似三角形的性质》教案_答题技巧29.5相似三角形的性质一、教学目标知识目标：1．使学生进一步理解相似比的概念，掌握相似三角形的性质定理1．能力目标：2．进一步培养学生类比的数学思想．情感目标：3．通过学习，养成严谨科学的学习品质二、教学重点、难点、疑点及解析1．重点是性质定理的应用．2．难点是相似三角形的判定与性质等有关知识的综合运用．3．疑点是要向学生讲清什么是对应高、对应中线、对应角平分线，它不是一个三角形中两条高、中线、角平分线的比等于相似比．另外，在定理的证明过程中，要向学生讲清由已知两三角形相似(性质)去证另外两个三角形相似(判定)的思维过程，即相似三角形性质与判定的综合运用．三、教学方法新授课．四、教学过程(一)复习提问1．三角形中三种主要线段是什么？2．到目前为止，我们学习了相似三角形的哪些性质？3．什么叫相似比？(二)讲解新课根据相似三角形的定义，我们已经学习了相似三角形的对应角相等，对应边成比例．下面我们研究相似三角形的其他性质(见图5-45，图5-46，图5-47)．建议让学生类比“全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线相等”来得出性质定理1．性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．∵∵ABC∵∵ABC，ADBC，ADBC，教师启发学生自己写出“已知、求证”，然后教师分析证题思路，这里需要指出的是在寻找判定两三角形相似所欠缺的条件时，是根据相似三角形的性质得到的，这种综合运用相似三角形判定与性质的思维方法要向学生讲清楚，而证明过程可由学生自己完成．分析示意图：结论∵(欠缺条件)∵(已知)∵ ∵ABC∵∵ABC，BM=MC，BM=MC，∵ ∵ABC∵∵ABC，2，4，以上两种情况的证明可由学生完成．小结：本节主要学习了性质定理1的证明，重点掌握综合运用相似三角形的判定与性质的思维方法．(三)练习课后练习节选(四)作业同步练习(五)板书设计(略)。
相似三角形的角平分线和中线
相似三角形的角平分线和中线相似三角形是高中数学中的重要概念，它在几何学的研究中具有广泛的应用。
本文将讨论相似三角形中的两个重要线段：角平分线和中线。
通过研究它们的性质和关系，我们可以深入理解相似三角形的特点和性质。
一、角平分线的性质和定理角平分线是指将一个角分成两个等角的线段。
在相似三角形中，角平分线具有以下重要性质和定理：1. 定理一：相似三角形的两个相应角的角平分线互相平行。
证明：设两个相似三角形ABC和DEF，∠A和∠D为相应角。
分别连接∠A和∠D的角平分线，分别为AM和DN。
由角平分线的性质可知，∠BAM=∠DAN，∠ACM=∠DFN。
又因为相似三角形的对应角相等，所以∠BAM=∠DFN。
根据等角的性质，可知AM和DN是平行的。
由此可得，相似三角形的相应角的角平分线互相平行的结论。
2. 定理二：相似三角形的角平分线与对边成比例。
证明：设两个相似三角形ABC和DEF，∠A和∠D为相应角。
分别连接∠A和∠D的角平分线，分别为AM和DN。
根据定理一，可知AM∥DN。
通过平行线性质可得以下比例关系：AB/DE = AC/DF = BC/EF由此可得，相似三角形的角平分线与对边成比例的结论。
二、中线的性质和定理中线是指连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。
在相似三角形中，中线具有以下重要性质和定理：1. 定理三：相似三角形的两个相应角的中线互相平行。
证明：设两个相似三角形ABC和DEF，∠A和∠D为相应角。
分别连接∠A和∠D的中线，分别为AM和DN。
由中线的性质可知，AM平分BC，DN平分EF。
又因为相似三角形的对应角相等，所以∠BAM=∠DFN。
根据等角的性质，可知AM和DN是平行的。
由此可得，相似三角形的相应角的中线互相平行的结论。
2. 定理四：相似三角形的中线与对边成比例。
证明：设两个相似三角形ABC和DEF，∠A和∠D为相应角。
分别连接∠A和∠D的中线，分别为AM和DN。
根据定理三，可知AM∥DN。
九年级数学上册3.4.2第1课时相似三角形对应高中线角平分线的性质教案1新版湘教版06013100【精品教案】
3.4.2 相似三角形的性质第1课时相似三角形对应高、中线、角平分线的性质1.理解并掌握相似三角形的基本性质.（重点）2.学会运用相似三角形的高，中线和角平分线解题.（难点）一、情境导入下面几组图形，探究其中规律.（各图中△ABC∽△A′B′C′）试探求ADA′D′与ABA′B′（△ABC与△A′B′C′的相似比）间的关系.二、合作探究探究点一：相似三角形对应高的比等于相似比如图所示，在△ABC中，点E，F 在BC边上，点D，G分别在AB，AC边上，四边形DEFG是矩形，若矩形DEFG的面积与△ADG的面积相等，设△ABC的BC边上的高AH与DG相交于点K，求DGBC的值.解析：由矩形DEFG的面积与△ADG的面积相等，可以得到AH与AK的比，由矩形的对边平行，则可找到两个三角形相似，而DG 与BC刚好是对应边，进而求解.解：∵矩形DEFG的面积与△ADG的面积相等，∴KHAK＝12，∴KH＋AKAK＝32，即AHAK＝32，又由DG∥BC可得△ADG∽△ABC，∴DGBC＝AKAH＝23.方法总结：本题考查相似三角形对应高的性质的应用，将已知面积关系转化成相似三角形的对应高的比，进而求解.探究点二：相似三角形对应中线的比等于相似比如图所示，已知△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC 的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，求证：AD·B′E′＝BE·A′D′.解析：由△ABC∽△A′B′C′，可以得到ADA′D′，BEB′E′都等于相似比，即可得证.证明：∵△ABC∽△A′B′C′，设△ABC 和△A′B′C′的相似比为k，∵AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，∴ADA′D′＝k，BEB′E′＝k，∴ADA′D′＝BEB′E′，∴AD·B′E′＝BE·A′D′.方法总结：本题考查相似三角形对应高和中线的性质，解题时应从三角形的相似出发，寻找对应的比例关系解题.探究点三：相似三角形对应角平分线的比等于相似比如图所示，△ABC∽△DEF，AG，DH分别是△ABC和△DEF的角平分线，BC＝6cm，EF＝4cm，AG＝4.8cm，求DH的长.解析：由△ABC∽△DEF，可以得到角平分线，AG∶DH等于相似比，已知BC、EF、AG的长，代入比例式，可求得DH.解：∵△ABC∽△DEF，AG，DH分别是△ABC和△DEF的角平分线，∴BCEF＝AGDH，又∵BC＝6cm，EF＝4cm，AG＝4.8cm，∴DH＝AG·EFBC＝4.8cm×4cm6cm＝3.2cm.方法总结：本题考查相似三角形对应角平分线的性质，找准相似三角形，运用对应角平分线的比等于相似比解题.三、板书设计相似三角形的性质⎩⎪⎨⎪⎧相似三角形对应高的比等于相似比相似三角形对应角平分线的比等于相似比相似三角形对应边上的中线的比等于相似比教学过程中，就前几课时所学习的理论知识进行进一步深入探讨.要求学生能够灵活运用，因此在自主探究过程中要帮助学生完善思考，形成正确的数学思维和严密的逻辑性，进一步提升学生自主探究和创新的能力.。
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3.4.2 相似三角形的性质
第1课时相似三角形对应高、中线、角平分线的性质
（一）教学知识点
相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系.
（二）能力训练要求
1.经历探索相似三角形中对应线段比值与相似比的关系的过程，理解相似多边形的性质.
2.利用相似三角形的性质解决一些实际问题.
（三）情感与价值观要求
1.通过探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系，培养学生的探索精神和合作意识.
2.通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识.
●教学重点
1.相似三角形中对应线段比值的推导.
2.运用相似三角形的性质解决实际问题.
●教学难点
相似三角形的性质的运用.
●教学方法
引导启发式
●教具准备
投影片两张
第一张：（记作§4.8.1 A）
第二张：（记作§4.8.1 B）
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
［师］在前面我们学习了相似多边形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，相似三角形是相似多边形中的一种，因此三对对应角相等，三对对应边成比例.那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将进行研究相似三角形的其他性质.
Ⅱ.新课讲解
1.做一做
投影片（§4.8.1 A）
钳工小王准备按照比例尺为3∶4的图纸制作三角形零件，如图4－38，图纸上的△ABC 表示该零件的横断面△A ′B ′C ′，CD 和C ′D ′分别是它们的高.
（1）B A AB '',C B BC '',C A AC
''各等于多少？
（2）△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？如果相似，请说明理由，并指出它们的相似比.
（3）请你在图4－38中再找出一对相似三角形.
（4）D C CD
''等于多少？你是怎么做的？与同伴交流.
图4－38
［生］解：（1）B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=43
（2）△ABC ∽△A ′B ′C ′ ∵B A AB ''=C B BC ''=C A AC
''
∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为3∶4.
（3）△BCD ∽△B ′C ′D ′.（△ADC ∽△A ′D ′C ′）
∵由△ABC ∽△A ′B ′C ′得
∠B =∠B ′
∵∠BCD =∠B ′C ′D ′
∴△BCD ∽△B ′C ′D ′（同理△ADC ∽△A ′D ′C ′）
（4）D C CD ''=43
∵△B DC ∽△B ′D ′C ′
∴D C CD ''= C B BC ''=43
2.议一议
已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k .
（1）如果CD 和C ′D ′是它们的对应高，那么D C CD
''等于多少？
（2）如果CD 和C ′D ′是它们的对应角平分线,那么D C CD
''等于多少？如果C D 和C ′D ′是它们的对应中线呢？
［师］请大家互相交流后写出过程.
［生甲］从刚才的做一做中可知，若△ABC ∽△A ′B ′C ′，CD 、C ′D ′是它们的对应高，那么D C CD ''=C B BC
''=k .
［生乙］如4－39图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，CD 、C ′D ′分别是它们的对应角平分线，那么D C CD ''= C A AC
''=k .
图4－39
∵△ABC ∽△A ′B ′C ′
∴∠A =∠A ′,∠ACB =∠A ′C ′B ′
∵CD 、C ′D ′分别是∠ACB 、∠A ′C ′B ′的角平分线.
∴∠ACD =∠A ′C ′D ′
∴△ACD ∽△A ′C ′D ′ ∴D C CD ''= C A AC
''=k .
［生丙］如图4－40中，CD 、C ′D ′分别是它们的对应中线，则D C CD ''= C A AC
''=k
.
图4－40
∵△ABC ∽△A ′B ′C ′
∴∠A =∠A ′，C A AC ''= B A AB
''=k .
∵CD 、C ′D ′分别是中线 ∴D A AD ''=B A AB
''21
21=B A AB
''=k .
∴△ACD ∽△A ′C ′D ′ ∴D C CD ''= C A AC
''=k .
由此可知相似三角形还有以下性质.
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.
3.例题讲解
投影片（§4.8.1 B ）
图4－41
如图4－41所示，在等腰三角形ABC 中，底边BC =60 cm,高AD =40 cm ，四边形PQRS 是正方形.
（1）△ASR 与△ABC 相似吗？为什么？
（2）求正方形PQRS 的边长.
解：（1）△ASR ∽△ABC ，理由是：
四边形PQRS 是正方形 SR ∥BC
（2）由（1）可知△ASR ∽△AB C.
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得
BC SR AD AE =
设正方形PQRS 的边长为x cm ，则AE =（40－x ）cm ，
所以
604040x x =-
解得：
x =24
所以，正方形PQRS 的边长为24 cm.
Ⅲ.课堂练习
如果两个相似三角形对应高的比为4∶5,那么这两个相似三角形的相似比是多少？对应中线的比，对应角平分线的比呢？
（都是4∶5）.
Ⅳ.课时小结
本节课主要根据相似三角形的性质和判定推导出了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.。