广州市海珠区2013届高三上学期综合测试(二)数学理试题_word版

海珠区2012学年高三综合测试（二）数学(理科）本试卷共6页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4. 考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将答题卡一并交回。

参考公式：如果事件A、B互斥，那么若在每次试验中，事件A发生的概率为P，则在n次独立重复试验中，事件WA恰好发生k次的概率为.一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. i是虚数单位，复数对应的点位于A第一象限B第二象限 C.第二象限 D.第四象限2. 若集合.，集合，则“a = 3”是“.的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3. 已知函数，若，，则A. a < b < cB. c < a < bC. b < c < aD. a < c <b4. 已知函数的一部分图象如图1所示，则A. B.C. D.5. 已知正二棱柱（侧棱与底面垂直，底面是正二角形）的高与底面边长均为1，其直观图和正(主)视图如图2所示，则它的左(侧)视图的面积是A. B. 1 C. D.6. 已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=12x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为A. B. C. D.7. 已知各项不为O的等差数列满足：，数列是各项均为正值的等比数列，且b7=a7，则等于A. B. C. D.8. 用表示a，b两个数中的最大数，设，那么山函数的图象、X轴、直线和直线X = 2所围成的封闭图形的面积是A. B. C. D.二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分.（一）必做题（9～13 题9. 的二项展丌式的常数项为_______.(用数字作答）10. 公路部门对通过某路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按[40,50), [50,60), [60,70), [70,80]分组，绘制成如图3所示的频率分布直方图.图示中a的值等于_____；这300辆汽车中车速低于的汽车有_____辆.11. 已知实数X,满足约束条件，则目标函数Z = X -y的最小值等于______.12. 某程序框图如图4所示，该程序运行后输出的值依次为_____.13. 给出下列四个命题：①命题，则,②当时,不等式的解集为非空；③当X>1时，有④设有五个函数.，其中既是偶函数又在上是增函数的有2个.其中真命题的序号是_____.（二）选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点A的坐标为曲线c的方程为15.线与圆C交于A,B两点，AB = 2AP，PT与圆c相切于T点.已知圆C的半径为2，，则PT=_______.三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. (本小题满分12分）已知函数(1) 求f(X)的最小正周期；(2) 求函数在区间上的最大值和最小值,并求此时X的值.17. (本小题满分12分）现有3个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.约定：每个人将质地均匀的硬币抛掷2次决定自己去参加哪个游戏.2次抛出的硬币朝上的面均为正面的人去参加甲游戏，2次抛出的硬币朝上的面为其它情形的去参加乙游戏.(1) 求这3个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2) 求这3个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；18. 用;分别表示这3个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列和数学期望.(本小题满分14分）如图6，四棱锥P-ABCD中，PA丄底面ABCD，M，N分别是PB，PC的中点，PA = AB,在四边形ABCD中，AB丄 AD，AB丄 BC .(1)求证：MN//平面PAD,(2) 求证：平面MN丄平面PBC;(3)若AD－ AB = 1，，，求二面角P－AB－N的大小.19. (本小题满分14分）设椭圆的左、右顶点分别为A、B，点尸在椭圆上且异于A、B两点，O为坐标原点.(1) 若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；(2) 对于由(1)得到的椭圆C，过点P的直线l交X轴于点Q(-1,0)，交x轴于点M，若，求直线l的斜率.20. (本小题满分14分）已知点？在函数_的图象上.(1) 若数列是等差数列，求证数列是等比数列；(2) 若数列的前《项和是，过点的直线与两坐标轴所围二角形面积为C n，求最小的实数t使：恒成立；(3) 若数列为山（2)中{a」得到的数列，在与之间插入个3，得一新数列，问是杏存在这样的正整数m，使数列的前m项的和，如果存在，求出m的值，如果不存在，请说明理由21. (本小题满分14分）已知函数的最小值为0,其中a>0.(1)求a的值；（2)若对任意的，有成立,求实数k的最小值；(3)证明海珠区2012学年高三综合测试(二)理科数学参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．14~15题是选做题，考生只能选做一题．9. 160 10. 025.0,180 11. 1- 12. 34,55 13. ③④ 14. 22 15. 3(第10题第一空2分,第二空3分)三、解答题:本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)（本小题主要考查三角两角和的正余弦公式,三角特殊值的运算,函数()()()()()ϕωϕω+=+=x A x f x A x f cos sin 或的周期,最值等知识,考查化归、转化、换元的数学思想方法，以及运算求解能力） 解：（1）()cos 2cos 22sin cos 66f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 6sin2sin 6cos2cos ππx x -=+6sin2sin 6cos2cos ππx x +x x cos sin 2+…………2分x 2cos 232⨯=x 2sin +x 2cos 3=x 2sin + …………3分⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x 2sin 212cos 232 …………4分 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x 2sin 3cos 2cos 3sin 2ππ …………5分⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin 2πx …………6分∴()fx 的最小正周期为ππ==22T…………7分(2)由(1)知()x f ⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin 2πx , 由33ππ≤≤-x ,得πππ≤+≤-323x , ……8分∴当232ππ=+x ,即12π=x 时, ()f x 取得最大值2; …………10分 当332ππ-=+x ,即3π-=x 时, ()f x 取得最小值3-.…………12分17. (本小题满分12分)（本小题主要考查互斥事件,古典概型,独立重复试验，数学期望等知识，考查随机思想以及数据处理能力、抽象思维能力、运算求解能力和应用意识）解:将质地均匀的两枚硬币抛掷两次朝上的面有等可能的四种结果:()正正,,()反正,,()正反,,()反反,, …………1分所以3个人中,每个人去参加甲游戏的概率为41,去参加乙游戏的概率为43.…………2分设“这3个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件()3,2,1,0=i A i 则()iii i C A P -⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=334341. …………3分(1)这3个人中恰有2人去参加甲游戏的概率()6494341232232=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-C A P .…………5分(2)设“这3个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ,则23A A B ⋃=, 由于23A A 与互斥,故()()()23A P A P B P +==325649641434141223333=+=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛C C . 所以, 这3个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为325.………7分(3)ξ的所有可能取值为3,1, …………8分 由于1A 与2A ,0A 与3A 互斥,故()()()=+==211A P A P P ξ+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2134341C 16964964274341223=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛C ,…………9分()()()=+==303A P A P P ξ+⎪⎭⎫ ⎝⎛30343C 167641642741333=+=⎪⎭⎫⎝⎛C . …………10分 所以, ξ的分布列为……11分所以随机变量ξ的数学期望815163016731691==⨯+⨯=ξE . …………12分18. (本小题满分14分)（本小题主要考查空间线面关系、空间向量等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） 解: (1)证明: N M ,分别是PB ,MN ∴是PBC ∆的中位线,BC MN //∴, 又 AD AB ⊥，∴AD BC //,AD MN //∴, ⊂AD 平面PAD , ⊄MN 平面PAD , …………//MN 平面PAD . …………(2) AB PA =,M 是PB 的中点PB AM ⊥∴…………5分⊥PA 底面ABCD ， BC ⊂平面ABCD ， PA BC ⊥∴又 BC ⊥AB ，A AB PA =⋂，⊂PA 平面PAB ，⊂AB 平面PAB ，⊥∴BC 平面PAB ，⊂AM 平面PABBC AM ⊥∴. …………6分 B BC PB =⋂,⊂PB 平面PBC ,⊂BC 平面PBC⊥∴AM 平面PBC . …………7分又⊂AM 平面AMN …………8分∴平面AMN ⊥平面PBC . …………9分(3) ⊥PA 底面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， AD PA ⊥∴,又AB PA =222PD AD PA =+∴Q又AB PA =,,5=PD5222==+∴PDADAB联立⎩⎨⎧=+=-5122AD AB AB AD ,解得⎩⎨⎧==21AD AB . 过点C 作AD CH ⊥于H , 在DHC Rt ∆中,1,450===∠AB CH CDH1=∴DH ,1==∴AH BC . …………10分方法一（向量法）：以A 为坐标原点,分别以直线AP AB AD ,,为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系xyz O -,如图所示. …………11分则()()()0,1,1,0,1,0,0,0,0C B A ,()⎪⎭⎫⎝⎛21,21,21,1,0,0N P , ()0,0,1=BC ，⎪⎭⎫⎝⎛=21,21,21AN ,()0,1,0=AB .由(2)知()0,0,1=BC 是平面PAB 的一个法向量; 设平面NAB 的法向量为()z y x n ,,=,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AB n AN n ,即⎪⎩⎪⎨⎧==++00212121y z y x ,得 ⎩⎨⎧=-=0y zx .取()1,0,1-=n . …………12分()()22101001100011cos 222222=-++⨯++-⨯+⨯+⨯==.…………13分结合图可知, 二面角N AB P --的大小为045. …………14分 方法二（几何法）由（2）知⊥BC 平面PAB ，⊂PB 平面PABB C P B ∴⊥,N 是直角三角形R t P B C ∆斜边上的中线，∴12B N PC =.同理易证12A N P C =.A NB N ∴=.取AB 的中点Q ,连AQ ,则AB NQ ⊥. 连MQ ,易知//M Q PA ,MQ AB ∴⊥.MQ ⊂平面PAB ,NQ ⊂平面NAB ,M QN ∴∠即是二面角N AB P --的平面角. …………11分在R t P B C ∆中,PB PC ==∴==2BN ∴=∴在Rt BQN ∆中,1N Q ===,1122M Q PA ==,1122M N B C ==, …………12分∴在MQN ∆中,222M Q M N N Q +=,又有MN MQ =, ∴MQN ∆是以NMQ ∠为直角的等腰直角三角形,M QN ∴∠045=. …………13分∴二面角N AB P --的大小为045. …………14分19.(本小题14分)（本小题主要考查直线斜率、椭圆的方程、离心率、向量的运算等知识，考查数形结合、化归与转化、方程的思想方法，考查综合运用能力以及运算求解能力）解:(1) 由已知()()0,,0,a B a A -,设()()a x y x P ±≠000,. …………1分 则直线AP 的斜率a x y k AP +=00,直线BP 的斜率ax y k AP -=00.由1220220=+y ax ,得()222202ax a y -=. …………2分∴⨯AP k AP k ax y +=00()()222220222020022ax aax a a x y ax y -=---=-=-⨯…………3分2122-=-∴a,得42=a , …………4分∴214242=-=e . …………5分∴椭圆的离心率22=e . …………6分(2) 由题意知直线l 的斜率存在. …………7分 设直线l 的斜率为k , 直线l 的方程为()1+=x k y …………8分 则有()k M ,0，设()()a x y x P ±≠000,，由于Q M P ,,= 根据题意，得()()0000,12,y x k y x +±=- …………9分 解得⎩⎨⎧-=-=k y x 002或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=33200k y x …………11分又点P 在椭圆上，又由（1）知椭圆C 的方程为12422=+yx所以()()124222=-+-k …………①或12343222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛-k …………②由①解得02=k，即0=k ,此时点P 与椭圆左端点A 重合, 0=∴k 舍去; …………12分由②解得162=k，即4±=k …………13分∴直线直线l 的斜率4±=k . …………14分20. (本小题满分14分)（本小题主要考查等差、等比数列的定义、通项、求和、对数的运算、直线方程与不等式等知识，考查化归、转化、方程的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力、创新能力和综合应用能力）解:（1）证明：数列{}n b 是等差数列，设公差为d ，则1n n b b d +-=对*n N ∈恒成立， ……………… 1分 依题意12log n n b a =，1()2nb n a =， ……………… 2分所以1111()()22n n b b dn na a +-+==是定值， ……………… 3分 从而数列{}n a 是等比数列． ……………… 4分 （2）解：当1n =时，112a =，当2n ≥时，11()2n n n n a S S -=-=，1n =也适合此式，即数列{}n a 的通项公式是1()2nn a =． ……………… 5分由12log n n b a =，数列{}n b 的通项公式是n b n =， ……………… 6分 所以1(,)2n nP n ，111(,1)2n n P n +++．过这两点的直线方程是：11211(1)22nn nx y n n n+--=+--，可得与坐标轴的交点是12(,0)2n n n A ++和(0,2)n B n +． ……………… 7分221(2)22n n n n n c OA OB ++=⨯⨯=，……………… 8分由于22221233(2)(3)2(2)(3)222n n n n n n n n n c c +++++++-+-=-=232102n n n ++-=>……………9分即数列{}n c 的各项依次单调递减，所以198t c ≥=． ……………… 10分（3）数列{}n d 中，k b （含k b 项）前的所有项的和是121(12)(333)k k -+++++++ ()13322kk k +-=+……………… 11分估算知，当7k =时，其和是73328112020082-+=<， ……………… 12分当8k =时，其和是83336331520082-+=>，又因为20081120888-==⨯，是3的倍数，故存在这样的m ，使得2008m S =， ……………… 13分此时257(1333)296667m =++++++= ． ……………… 14分21. (本小题满分14分)（本小题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、不等式等基础知识，考查函数思想，分类讨论思想，以及抽象概括能力、运算求解能力、创新能力和综合应用能力） 解（Ⅰ）解：)(x f 的定义域为()+∞-,a ……………… 1分ax a x ax x f +-+=+-=111)('. ……… 2分由.0)('=x f 得a a x ->-=1当x 变化时，)(),('x f x f 的变化情况如下表：……………… 3分因此，)(x f 在a x -=1处取得最小值，故由题意,01)1(=-=-a a f 所以.1=a ……………… 5分(2)解:当0≤k 时,取1=x ,有().02ln 11>-=f 故0≤k 不合题意. ……………… 6分当0>k 时,令()(),2kx x f x g -=即()().1ln 2kx x x x g -+-=()()[].121221'+---=-+=x k kx x kx x x x g 令()0'=x g ,得.1221,021->-==k k x x ……………… 7分①当21≥k 时,0221≤-kk . ()0'<x g 在()+∞,0上恒成立,因此,()x g 在[)+∞,0上单调递减.从而对于任意的的[)+∞∈,0x ,总有()(),00=≤g x g 即()2kx x f ≤在()+∞,0上恒成立. 故21≥k 符合题意. ……………… 8分②当210<<k 时,,0221>-kk 对于()0,221,0'>⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈x g k k x ,故()x g 在⎪⎭⎫⎝⎛-k k 221,0内单调递增.因此当⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈k k x 221,00时,()(),000=>g x g 即()200kx x f ≤不成立. 故210<<k 不合题意. ……………… 9分综上,k 的最小值为21. ……………… 10分(3)证明:当1=n 时,不等式左边=<-=23ln 2右边.所以不等式成立. ……………… 11分 当2≥n 时,∑∑==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ni ni i i i f 111221ln 122122 ()()[]∑∑==--+--=ni ni i i i 1112ln 12ln 122()12ln 1221+--=∑=n i ni ……………… 12分在(2)中取21=k ,得()()022≥≤x xx f ,从而()()()(),2,123221221222≥∈--<-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-*i N i i i i i f ……………… 13分 所以有()()()()∑∑∑∑====--+-<⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+--ni ni ni ni i i i f f i f n i 2211123223ln 2122212212ln 122212113ln 21213213ln 22<--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-=∑=n i i ni 综上, ()()*=∈<+--∑Nn n i ni 212ln 1221……… 14分。