高二数学竞赛训练试卷(4)-2

75中高二数学竞赛训练试卷（4）
班级 姓名
一、选择题
1．设函数,86)(2++=x x x f 如果,15164)(2++=+x x c bx f 那么b c 2-的值等于（ ）
A ．3
B ．7
C ．-3
D ．-7
2．已知P 为四面体S-ABC 的侧面SBC 内的一个动点，且点P 与顶点S 的距离等于点P 到底面ABC 的距离，那么在侧面SBC 内，动点P 的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线是（ ）
A ．圆或椭圆
B ．椭圆或双曲线
C ．双曲线或抛物线
D ．抛物线或椭圆 3．给定数列{x n }，x 1=1，且x n+1=
n
n x x -+313，则
∑=2005
1
n n
x
=（ ）
A ，1
B ．-1
C ．2+3
D ．-2+3
4．已知=)(x f ⎪⎩
⎪⎨⎧∈-∈+]1,21[),1(2)21,0[,21x x x x ，定义)()()),(()(11x f x f x f f x f n n ==-其中，则等于)51(2007f （ ）
A ．51
B ．53
C ．54
D ．5
2
5．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别记为a 、b 、c(b ≠1)，且A C ，A
B
sin sin 都是方程log b x=log b (4x-4)的根，
则△ABC （ ） A ．是等腰三角形，但不是直角三角形 B ．是直角三角形，但不是等腰三角形 C ．是等腰直角三角形 D ．不是等腰三角形，也不是直角三角形 二、填空题
6．若log 4(x+2y)+log 4(x-2y)=1，则|x|-|y|的最小值是_________. 7．如果：（1）a, b, c, d 都属于{1, 2, 3, 4} （2）a ≠b, b ≠c, c ≠d, d ≠a （3）a 是a, b, c, d 中的最小数 那么，可以组成的不同的四位数abcd 的个数是________.
8．设,)6
5()3
2()2
1(x
x
x
t ++=则关于x 的方程0)3)(2)(1(=---t t t 的所有实数解之和为
9．若对|x|≤1的一切x ，t+1>(t 2-4)x 恒成立，则t 的取值范围是_______________. 10．边长为整数且面积（的数值）等于周长的直角三角形的个数为 。

11．对每一实数对(x, y)，函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。

若f(-2)=-2，试求满足f(a)=a 的所有整数a=__________.
三、解答题（每小题20分，共60分） 12．已知a, b, c ∈R +，且满足
c
b a kabc
++≥(a+b)2+(a+b+4c)2，求k 的最小值。

13．已知半径为1的定圆⊙P 的圆心P 到定直线l 的距离为2，Q 是l 上一动点，⊙Q 与⊙P 相外切，⊙Q 交l 于M 、N 两点，对于任意直径MN ，平面上恒有一定点A ，使得∠MAN 为定值。

求∠MAN 的度数。

14． 数列{}n a 定义如下：11a =，且当2n ≥时，2
1
1,1,n n n a n a n a -+⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩当为偶数时，当为奇数时．
已知30
19
n a =
，求正整数n ．
高二数学竞赛模拟试卷（4）答案
一、选择题
1．设函数,86)(2++=x x x f 如果,15164)(2++=+x x c bx f 那么b c 2-的值等于（ ）
A ．3
B ．7
C ．-3
D ．-7
解：取11521616)2(,2-=+⨯-=--=b c f x 有，而当31
862
-=-=++x x x 时有，所以32-=-b c ，故选C.
2．已知P 为四面体S-ABC 的侧面SBC 内的一个动点，且点P 与顶点S 的距离等于点P 到底面ABC 的距离，那么在侧面SBC 内，动点P 的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线是（ ）
A ．圆或椭圆
B ．椭圆或双曲线
C ．双曲线或抛物线
D ．抛物线或椭圆 解：把问题转化成动点P 到S 的距离与它到边BC 的距离比值问题，容易的出答案D 3．给定数列{x n }，x 1=1，且x n+1=
n
n x x -+313，则
∑=2005
1
n n
x
=（ ）
A ，1
B ．-1
C ．2+3
D ．-2+3
解：x n+1=n
n x x 3
3
133
-+
，令x n =tan αn ，∴x n+1=tan(αn +6π), ∴x n+6=x n , x 1=1，x 2=2+3, x 3=-2-3, x 4=-1, x 5
=-2+3, x 6=2-3, x 7=1，……，∴有
∑===2005
1
11n n
x x。

故选A 。

4．已知=)(x f ⎪⎩
⎪⎨⎧∈-∈+]1,21[),1(2)21,0[,21x x x x ，定义)()()),(()(11x f x f x f f x f n n ==-其中，则等于)51(2007f （ ）
A ．51
B ．53
C ．54
D ．5
2
解：计算=======
)51
(,51)51(,109)51(,52)51(,54)51(,53)51(,107)51(7654321f f f f f f f 107 可知)51(n f 是最小正周期为６的函数。

即得)51()51(6n n f f =+，所以)5
1()51(32007f f =＝54
，故选C.
5．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别记为a 、b 、c(b ≠1)，且A C ，A
B
sin sin 都是方程log b x=log b (4x-4)的根，
则△ABC （ ） A ．是等腰三角形，但不是直角三角形 B ．是直角三角形，但不是等腰三角形
C ．是等腰直角三角形
D ．不是等腰三角形，也不是直角三角形
解：由log
b
x=log b (4x-4)得：x 2-4x+4=0，所以x 1=x 2=2，故C=2A ，sinB=2sinA ，因A+B+C=180°，所以3A+B=180°，
因此sinB=sin3A ，∴3sinA-4sin 3A=2sinA ，∵sinA(1-4sin 2A)=0，又sinA ≠0，所以sin 2A=41，而sinA>0，∴sinA=2
1。

因此A=30°,B=90°,C=60°。

故选B 。

二、填空题
6．若log 4(x+2y)+log 4(x-2y)=1，则|x|-|y|的最小值是_________.
答案：3。

⎩
⎨⎧=->⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧=-+>->+44||24)2)(2(020
22
2y x y x y x y x y x y x 由对称性只考虑y ≥0，因为x>0，∴只须求x-y 的最小值，令x-y=u ，代入x 2-4y 2=4，有3y 2-2uy+(4-u)2=0，这个关于y 的二次方程显然有实根，故△=16(u 2-3)≥0。

7．如果：（1）a, b, c, d 都属于{1, 2, 3, 4} （2）a ≠b, b ≠c, c ≠d, d ≠a （3）a 是a, b, c, d 中的最小数 那么，可以组成的不同的四位数abcd 的个数是________. 答案：46个。

abcd 中恰有2个不同数字时，能组成C 2
4=6个不同的数。

abcd 中恰有3个不同数字时，能组成
1212121213C C C C C +=16个不同数。

abcd 中恰有4个不同数字时，能组成A 44=24个不同数，所以符合要求的数共
有6+16+24=46个。

8．设,)6
5()3
2()2
1
(x
x
x
t ++=则关于x 的方程0)3)(2)(1(=---t t t 的所有实数解之和为
答案：4解：令
,)65()32()21()x x x x f ++=（变形为,)6
5
()64()63()(x x x x f ++=可以发现函数)(x f 是R
上的减函数。

又因为3)0(,2)1(,1)3(===f f f ，从而关于x 的方程0)3)(2)(1(=---t t t 的解分别为0、1、3，
9．若对|x|≤1的一切x ，t+1>(t 2-4)x 恒成立，则t 的取值范围是_______________. 答案：
2
1
21,2113+-。

解：①若t 2-4>0，即t<-2或t>2，则由412-+t t >x(|x|≤1)恒成立，得1412
>-+t t , t+1>t 2-4, t 2-t-s<0解得
2
2112211+<<-t ，从而2211-<t<-2或2<t<221
1+。

②若t 2-4=0，则t=2符合题意。

③若
t 2-4<0，即-2<t<2，则由
412-+t t <x(|x|≤1)恒成立，得1412
-<-+t t ，t+1>-t 2+4; t 2
+t-3>0，解得：t<2
131--或t>
2131+-，从而2
131+-<t<2。

综上所述，t 的取值范围是：2113-<t<21
21+。

10．边长为整数且面积（的数值）等于周长的直角三角形的个数为 。

解：设直角三角形的三边为a,b,22a b +,则有
ab 21=a+b+22a b +,=∴b -a -ab 2
1
22a b +,两边平方并
整理有ab-4a-4b+8=0, ∴(a-4)(b-4)=
8, a,b 都是正整数，∴a=5时b=12;a=6时b=8，所以满足题意的三角形有2个。

11．对每一实数对(x, y)，函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。

若f(-2)=-2，试求满足f(a)=a 的所有整数a=__________.
答案：1或-2。

令x=y=0得f(0)=-1；令x=y=-1，由f(-2)=-2得，f(-1)=-2，又令x=1, y=-1可得f(1)=1，再令x=1，得f(y+1)=f(y)+y+2 ①，所以f(y+1)-f(y)=y+2，即y 为正整数时，f(y+1)-f(y)>0，由f(1)=1可知对一切正整数y ，f(y)>0，因此y ∈N *时，f(y+1)=f(y)+y+2>y+1，即对一切大于1的正整数t ，恒有f(t)>t ，由①得f(-3)=-1, f(-4)=1。

下面证明：当整数t ≤-4时，f(t)>0，因t ≤-4，故-(t+2)>0，由①得：f(t)-f(t+1)=-(t+2)>0， 即f(-5)-f(-4)>0，f(-6)-f(-5)>0，……，f(t+1)-f(t+2)>0，f(t)-f(t+1)>0
相加得：f(t)-f(-4)>0，因为：t ≤4，故f(t)>t 。

综上所述：满足f(t)=t 的整数只有t=1或t=2。

三、解答题：
12．解：因为(a+b)2+(a+b+4c)2=(a+b)2+[(a+2c)+(b+2c)]2≥(2ab )2+(2ac 2+2bc 2)2=
4ab+8ac+8bc+16c ab 。

所以
)()4()(2
2c b a abc
c b a b a ++⋅++++ ≥100)2
5()215(8542
23222=⋅c b a c b a 。

当a=b=2c>0时等号成立。

故k 的最小值为100。

13．解：以l 为x 轴，点P 到l 的垂线为y 轴建立如图所示的直角坐标系，设Q 的坐标为(x, 0)，点A(k, λ)，⊙Q 的半径为r ，则：M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ=
222+x =1+r 。

所以x=±322-+r r , ∴tan ∠
MAN=
k
r x h o h r x h o h r x h
o h r x r o k k k k AM
AN AM AN ---⋅
-+-+----
-+-=⋅+-11
3
22232)32(2)(22222222222-++-+=---+±=+--=
r r k r k h rh
h r r r rh h r k x rh ，令2m=h 2+k 2-3，tan ∠MAN=
n
1
，所以m+r k 322-+r r =nhr ，∴m+(1-nh)r=322-+±r r k ，两边平方，得：
m 2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r 2=k 2r 2+2k 2r-3k 2，因为对于任意实数r ≥1，上式恒成立，所以⎪⎩
⎪⎨⎧=-=--=)3()1()2(2)1(2)1(3222
22k nh k nh m k m ，由（1）
（2）式，得m=0, k=0，由（3）式，得n=
h 1。

由2m=h 2+k 2-3得h=±3，所以tan ∠MAN=n
1
=h=±3。

所以∠MAN=60°或120°（舍）（当Q(0, 0), r=1时∠MAN=60°），故∠MAN=60°。

14．
解 由题设易知，0,1,2,n a n >= ．又由11a =，可得，当n 为偶数时，1n a >；当(1)n >是奇数时，
111n n a a -=
<． 由3019n a =1>，所以n 为偶数，于是2
3011111919n a =-=<，所以，2n 是奇数．于是依次可
得：1
2
19111n
a -=
>， 12n -是偶数，24198111111n a -=-=<，24n -是奇数，214
11
18n a --=>，64n -是偶数，
68
1131188n a -=
-=<，
68n -是奇数，618813n a --=>，148n -是偶数，1416
85
1133n a -=-=>，1416n -是偶数，
1432521133n a -=-=<，
1432n -是奇数， 14132312n a --=>，4632n -是偶数，4664
31
1122n a -=-=<，4664n -是奇数，
461
64
21n a --=>，
110
64
n -是偶数， 110128
211n a -=-=，
所以，110
1128
n -=，解得，n ＝238．。