第一章一元函数的极限

第一章 一元函数的极限

§1.1 利用定义及迫敛性定理求极限

设R 表示实数集合,*R 表示扩张的实数集,即*R {}+∞∞-⋃=,R . 例1 若*lim R a a n n ∈=+∞

→.证明*21lim

R a n

a a a n

n ∈=++++∞→ (算术平均值收敛公式).

证明 (1)设R a ∈,由a a n n =+∞

→lim ,0>∀ε,01>∃N ,当1N n >时, 2

ε<

-a a n .

因此

a n

a a a n

-+++ 21

n a a a a a a n )

()()(21-++-+-=

n

a

a a a a a N -++-+-≤121 n

a

a a a n N -++-+

+ 11

21ε⋅-+≤

n N n n A 2

ε+N ,当2N n >时,

2

ε

时,

a n

a a a n -+++ 21εε

ε=+<22.

（2）设+∞=+∞

→n n a lim ,则0>∀M ,01>∃N ,当1N n >时,M a n 3>.

因此

n

a a a n

+++ 21

n a a a N 121+++= n a a a n N N ++++++ 2111M n

N n n A 31⋅-+>,

其中121N a a a A +++= .由于0→n

A

,11→-n N n )(+∞→n ,所以存在02>N ,当2

N n >时, 2M n A <,211>-n N n .因此n a a a n +++ 21M M M =-⋅>2

1321.

(3) 当-∞=+∞

→n n a lim 时,证明是类似的.(或令n n a b -=转化为(2)).

注 例1的逆命题是不成立的.反例()n n a 1-=),2,1( =n ,容易看出0lim 21=++++∞→n

a a a n

n ,

但是极限n n a +∞

→lim 不存在.

例2 设}{n a 为单调递增数列, n

a a a n

n +++=

21σ.证明若a n n =+∞→σlim ,则a a n n =+∞→lim ．

证明 由}{n a 为单调递增数列,当n m >时有n m a a ≥.固定n ,则有

m a a a n m +++=

21σm a a a m n n ++++++ 21n a m

n

m m A -+≥,

其中n a a a A +++= 21.令+∞→m ,则n m m a a ≥=+∞

→σlim . 又由于n a a a n n +++=

21σn n

a n

na =≤

所以a a n n ≤≤σ.令+∞→n ,由迫敛性定理得a a n n =+∞

→lim ． 注 当}{n a 为单调递减数列时,上述结论也成立.

例3 设数列}{n a 收敛,且0>n a ),2,1( =n ,证明n

n n a a a 21lim

+∞

→n n a +∞

→=lim .(几何平均值收敛公式).

证明 设a a n n =+∞

→lim ,则由极限的不等式性质得0≥a .

(1)若0>a ,则a a n n ln ln lim =+∞

→,

由例1,a a a a n

n n ln )ln ln (ln 1

lim 21=++++∞→ . 因此n

n n a a a 21lim

+∞

→()n a a a n

n e

ln ln ln 1

21lim ++++∞

→= a e a ==ln

(2)若0=a ,则-∞=+∞

→n n a ln lim .因此

-∞=++++∞→)ln ln (ln 1

lim

21n n a a a n , n

n n a a a 21lim

+∞

→()n a a a n

n e

ln ln ln 1

21lim ++++∞

→= 0=.

注 可以证明当±∞=a 时结论也成立.

例4 设0>n a ),2,1( =n ,证明:若n n n a a 1lim

++∞→存在,则n n n a +∞→lim 也存在且n n n a +∞→lim n

n n a a

1lim ++∞→=.

证明 令11a b =,12

2a a b =,…,1

-=n n n a a b ,…. 由例3得, n

n n b b b 21lim

+∞

→n n b +∞

→=lim .

所以n

n n a +∞

→lim

1lim

-+∞→=n n n a a n

n n a a 1lim ++∞→=.