大学数学--微积分2011

A． [ a,2 a ] 答：D．
分析：本题主要考查了函数定义域的概念与集合的运算．
0 x a 2, a x 2 a , 根据题意可知 即 所以当 0 a 1 时，定义域 0 x a 2, a x 2 a ,
为 [ a,2 a ] ，当 a 1 时，定义域为空集．故正确选项为 D．
第1章 函数 极限 连续—典型例题
例 2． lim
x1
sin( x 1) x 1
（
） ． C． 2 D． 2
A． 0 答：C．
B． 1
分析：本题主要考查了重要极限与常用的简单代数变形方法． 因为
lim
x 1
sin( x 1) x 1
lim
sin( x 1)
x 1)( x 1) sin( x 1) lim ( x 1) x 1 x 1 1 2 2 ，
分析：本题是简单函数题，考查了函数求值问题． 因为 f ( x )
x 0, x, 易知 f ( x) 0 ，所以 1 x, x 0, f ( x) 0, f ( x) ．故正确选项为 B． f ( x) 0
f ( x), f ( f ( x)) 1 f ( x),
( x 1) 1 lim lim 1 ； x 1 sin x x 1 cos x cos
或
lim
( x 1) t t lim lim 1 ． x 1 sin x t 0 sin (t 1) t 0 sin t
分析： 考查极限概念及其基本性质． 根据极限定义，lim f ( x) 4 存在不要求函数 f ( x)
x 1
在点 x0 1 有定义, 因此 A, B 都不一定成立；根据极限定义可知，若有 lim f ( x) 4 ,
x 1
则对任意的正数 ,在 x 1 某邻域( x 1 )内，恒有 4 f ( x) 4 , 今取 2 即可，因此 C 成立, 由此亦可知 D 不成立．
注：利用特殊值代入法与排除法更简单．取 x 2 ，则 f (2) 2, f ( f (2)) f (2) 2 ，这时选项 A, C, Ｄ都不成立．故正确选项为 B．
第1章 函数 极限 连续—典型例题
例 5． （2009．16）若 f ( x ) max{ x 2 , x } ，则函数 f ( x ) 的最小值等于 （ A． 0 ） ．
正确选项为 C． 注：本题用验证法更为简单．
第1章 函数 极限 连续—典型例题
二、极限问题（4）
★1.200716 极限概念与性质： lim f ( x) 4 ，则必定 ( C )
x 1
A． f (1) 4 C．在 x 1 某邻域 ( x 1) ， f ( x ) 2
B． f ( x ) 在 x 1 处无定义 D．在 x 1 某邻域 ( x 1) ， f ( x ) 4
第1章 函数 极限 连续—典型例题
★例 2． （200516）设函数 f x 的定义域是 0,1 ，则函数
g x 1 x f sin x 1 x f 1 cos x 的定义域是 （
A. x 1 B. 0 x 1 C. x 0.5 D. 0.5 x 1
正确选项为 B．
第1章 函数 极限 连续—典型例题
2x2 1 2 ★4.（2010.16） lim sin （ x x 2 x
A． 0 答：C． B． 2
） ． C． 4 D．
2x2 1 2 2x2 1 2 分析： lim sin lim x x 2 x x x 2 x
sin 2 x
2 x 4．
第1章 函数 极限 连续—典型例题
xa ★5．设 lim 2 ，则 a, b 满足（ x x b
x
） ． D． e a eb 2
A． a b 2 答：D．
B． 2a b
C．e a e b 2
分析：本题主要考查了重要极限与常用的简单代数变形方法． 根据题意，
小 【分析】本题是微积分中极限部分的无穷小比较问题，考查了极限四则运算及高阶无穷 小的概念． 因为 lim
g ( x) x g ( x) x g ( x) x 所以 lim lim 即 g ( x) 1， 1 1 0 ， x 0 sin x x 0 sin x x 0 sin x sin x
第1章 函数 极限 连续—常见问题
3．连续 问题 1：讨论函数在一点连续性的问题； 问题 2：找出函数间断点并对其分类的问题； *问题 3：利用连续函数性质（最值存在性、介值存在定 理、零点存在定理）处理的问题．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第1章 函数 极限 连续—典型例题
一、函数问题（3） 例 1．设函数 y f ( x ) 的定义域为[0,2]， a 0 ，则 y f ( x a ) f ( x a ) 的定 义域为（ ） ． B． [ a,2 a ] C． [ a,2 a ] D． 与 a 的取值有关
） ．
1 x 0, 1 x 1, 1 x 0, 分析：考虑 得 0 sin x 1, 解得 0.5 x 1 ．即正确 1 cos x 0, 0 sin x 1, 0 1 cos x 1
数学基础能力测验
微积分部分 扈志明
大学数学--微积分（考试情况总结） • • • • • • • • • • • • • • • 第四部分 一元微积分共46题 一、函数（3道） 1.定义域（1道） 2.函数求值（2道） 二、极限（4道） 三、连续（1道） 四、导数与微分（9道） 1．导数与微分的概念（5道） 2．导数与微分的运算（4道） 五、导数的应用（13道） 1．中值定理（2道） 2．单调性与凹凸性、极值点与拐点（4道） 3．不等式问题（1道） 4．最值问题（3道） 5．方程根的问题（2道） 6．渐近线问题（1道） 六、不定积分（1道） 七、定积分（15道） 1．概念与性质（4道） 2．定积分运算（8道） 3．定积分应用（3道）
2 y Value 4
B．
1 2
C． 1
D． 2
1 2 3 4 5 6 x Value
分析：本题是微积分中函数部分的问题，考查了函数求值问题及简单函数的 图形． 如图，函数 f ( x) 的最小值在直线 y 2 x 与曲线 y 到．由 2 x
2
x 的交点处取
4
x 得 x 1 ，所以要求的最小值为 1．
第1章 函数 极限 连续—常见问题
1．函数 问题 1：求函数定义域的问题； 问题 2：讨论函数简单性质的问题（单调性、奇偶性、周期性） ； 问题 3：求函数值或求函数表达式的问题． 2．极限 问题 1：讨论极限存在性的问题； 问题 2：利用极限性质（保序性）处理的问题； 问题 3：利用重要极限求极限的问题； 问题 4：利用无穷小的比较（等价无穷小）处理的问题．
是 sin x 的高阶无穷小 ( x 0) ，从而是 x 的高阶无穷小． 正确选项为 D．
注 1：本题利用排除法非常简单．根据极限概念，函数在一点的极限与 函数在这一点的情况无关，而选项 A，B，C 都牵扯到了 g ( x ) 在 x 0 处的值，所以不会成立．
2 x , x 0, 注 2：特殊值代入法．取 g ( x) 即可． A, x 0
xa lim lim 1 x b x b x x
第1章 函数 极限 连续—内容综述
第 1 章 函数 极限 连续 1．函数 函数概念、函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、有界性） 、分 段函数、隐函数、反函数、复合函数、基本初等函数（常函数、幂 函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数） 、初等函数．
第1章 函数 极限 连续—内容综述
2．极限 极限的概念、极限的性质（极限的唯一性、函数的局部有界性、极 限的保序性） 、极限的四则运算与复合函数的极限、两个重要极限 sin x 1 x （ lim 、无穷小量的概念与性质（与有界变 1 lim(1 ) e ） x 0 x x x 量的乘积仍是无穷小量、无穷大量与无穷小量的关系等） 、无穷小 量的比较（高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小）与等价无穷小 代换．
x 1 (
( x 1)
所以正确选项为 C．
第1章 函数 极限 连续—典型例题
( x 1) ★3． （2009．17） lim （ ） ． x 1 sin x A． B． 1 C． 0
D． 1 【分析】本题是微积分中极限部分的极限运算问题，既可以利用罗比达法则求 值，也可以利用重要极限求值．
D． g[ g ( x )]
故 f [ f ( x )] 是奇函数．即正确选项为 C． 注：作为选择题，若取 f ( x ) x, g ( x ) x 2 ，则 f [ g ( x )] x 2 ， g[ f ( x )] x 2 ， f [ f ( x )] x ，
g [ g ( x )] x 4 ，显然只有 f [ f ( x )] x 是奇函数．这样处理就是特殊值带入法的思想．
第1章 函数 极限 连续—内容综述
3．连续 连续概念、左右连续与连续的关系、间断点及其分类(第一类： 左、右极限都存在的间断点，包括可去型与跳跃型两种；第二 类：左、右极限中至少有一个不存在的间断点） 、连续函数的四 则运算、反函数的连续性与复合函数的连续性、初等函数的连 续性（初等函数在其定义域区间上连续） 、闭区间上连续函数的 性质（有界性；最大、最小值定理；零点存在定理；介值定理） ．
选项为 D． 注： x 1 也在 g ( x ) 的定义域内。