七年级数学下册第五章生活中的轴对称5.3简单的轴对称图形5.3.2简单的轴对称图形教案新版北师大版
北师大版数学七年级下册《 第五章 生活中的轴对称 5.3 简单的轴对称图形(第1课时)》教学课件
（ ×）
（2）等腰三角形的底角可能是锐角，也可能是直角、钝角.（ × ）
（3）钝角三角形不可能是等腰三角形.
（×）
（4）等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.
（√）
（5）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.
（ ×）
（6）等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.
（√）
探究新知
5.3 简单的轴对称图形/
(1)等腰三角形是轴对称图形.
(2)∠B =∠C
B
C
D
(3)∠BAD＝∠CAD，AD为顶角的平分线
(4)∠ADB=∠ADC=90°，AD为底边上的高
(5)BD=CD，AD为底边上的中线.
探究新知
5.3 简单的轴对称图形/
三线合一吗？
A
解：在ΔABC中，因为AD是角平分线,
所以∠BAD=∠CAD.
在ΔABD和ΔACD中,
所以BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）
探究新知
画出任意一个A等腰三
角形的底角平分线、 这个底角所对的腰上 的中线和高，看看它 们是否重合？
B
C
D
5.3 简单的轴对称图形/
A
E
D
F
B
C
探究新知
5.3 简单的轴对称图形/
“三线合一”的操作
探究新知
5.3 简单的轴对称图形/
判断对错
（1）等腰三角形的顶角一定是锐角.
探究新知
5.3 简单的轴对称图形/
Bபைடு நூலகம்
A
AB=AC
等腰三角形
C
探究新知
5.3 简单的轴对称图形/
折一折：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
七年级下册第五章生活中的轴对称复习(全)
第五章生活中的轴对称知识框架：1：轴对称图形与轴对称①一个图形沿某一条直线对折，直线两旁的部分能完成重合的图形叫做轴对称图形。
这条直线叫做对称轴。
②两个图形沿某一条直线折叠，这两个图形能完全重合，就说这两个图形关于这条直线成轴对称。
这条直线叫做对称轴。
③常见的轴对称图形：线段（两条对称轴），角，长方形，正方形，等腰三角形，等边三角形，等腰梯形，圆，扇形典型例题：例2、观察下图中各组图形，其中成轴对称的为（） .（只写序号）针对练习：（一）、判断题1.轴对称图形只有一条对称轴.（）2.轴对称图形的对称轴是一条线段.（）3.两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形.（）4.全等的两个图形一定成轴对称.（）（二）选一选：１. 下列图形中，是轴对称图形的为（）２．如图，下列轴对称图形中对称轴最多的是（）知识点2：简单的轴对称图形（角、线段、等腰三角形）1、角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
2∴ PB=PA①如下图，OC 平分∠AOB ，D 为OC 上任一点，DE ⊥OB 于E ，若DE=4 cm ，则D 到OA 的距离为_____.2、线段垂直平分线：①概念：垂直且平分线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。
简称：中垂线 ②性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
∵ OA=OB CD ⊥AB ∴ PA=PB③如图1所示，DE 是AB 的垂直平分线，交AC 于点D ，若AC ＝6 cm,BC =4 c 则△BDC 的周长是________.ABCDE3、等腰三角形1、等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
2、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等；（简称：等边对等角）（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），（3）等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。
3、等腰三角形的判定：（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。
七年级数学下册第五章生活中的轴对称5.3.2简单的轴对称图形教学设计新版北师大版
七年级数学下册第五章生活中的轴对称5.3.2简单的轴对称图形教学设计新版北师大版一. 教材分析本节课的主题是生活中的轴对称，5.3.2节主要介绍简单的轴对称图形。
通过本节课的学习，让学生理解轴对称的概念，能够识别和绘制简单的轴对称图形，并了解轴对称图形在生活中的应用。
教材通过实例引入轴对称的概念，让学生在实际情境中感受和理解轴对称的意义，培养学生的观察能力和实践能力。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的几何图形认知基础，对图形的变换也有一定的了解。
但是，对于轴对称这一概念，学生可能比较陌生，需要通过具体的实例和活动，让学生理解和掌握。
此外，学生对于生活中的轴对称现象可能有一定的感知，但缺乏系统的认识和总结。
三. 教学目标1.知识与技能：理解轴对称的概念，能够识别和绘制简单的轴对称图形。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的观察能力、实践能力和团队协作能力。
3.情感态度价值观：感受数学与生活的紧密联系，培养学生的学习兴趣和自信心。
四. 教学重难点1.重点：理解轴对称的概念，能够识别和绘制简单的轴对称图形。
2.难点：轴对称图形的性质和判定。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引入轴对称的概念，让学生在实际情境中感受和理解轴对称的意义。
2.操作教学法：让学生通过实际操作，绘制和识别轴对称图形，培养学生的实践能力。
3.小组讨论法：学生分组讨论，分享自己的观点和发现，培养学生的团队协作能力和交流能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的PPT，展示实例和练习题。
2.实例材料：准备一些生活中的轴对称实例，如剪纸、图片等。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固学生的学习效果。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些生活中的轴对称实例，如剪纸、图片等，引导学生观察和思考，让学生初步感受轴对称的意义。
2.呈现（10分钟）讲解轴对称的概念，让学生明确轴对称的定义和性质。
通过具体的实例，让学生理解轴对称图形的判定方法。
七年级数学下册第五章生活中的轴对称5.3简单的轴对称图形5.3.2简单的轴对称图形教案新版北师大版
A.（4，1）B.（4，－1）C.（－4，1）D.（－4，－1）
3.已知点P（1，a）与Q（b，2）关于x轴成轴对称，又有点Q（b，2）与
点M（m，n）关于y轴成轴对称，则m－n的值为（）
A.3 B.－3 C. 1 D.－1
4.等腰三角形的一个内角是50°，则另外两个角的度数分别为（）
导学方法
启发式教学、小组合作学习
导学步骤
导学行为（师生活动）
设计意图
回顾旧知，
引出新课
1．我们学过轴对称图形，这类图形因为具有轴对称的特征而显得匀称美丽．那么什么样的图形是轴对称图形？
2．我们学过的图形中，有哪些图形是轴对称图形？线段是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
从学生已有的知识入手，引入课题
A.65°，65°B.50°，80°C.65°，65°或50°，80°D.50°，50°
5.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角为（）
A. 30°B. 150°C. 30°或150°D.12°
6.等腰三角形底边长为6cm，一腰上的中线把它的周长分成两部分的差为2cm，则腰长为（）
解：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中点，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD；
(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.又∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.
方法总结：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，利用它可以证明线段相等．
北师大版七下册数学第五章生活中的轴对称知识点精讲
知识点总结要点一、轴对称1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.要求诠释：成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系要点诠释: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.要点诠释：线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.3.角平分线角平分线性质是：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等；反过来，在角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上.要点诠释：前者的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；后者则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.要点二、作轴对称图形1.作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.要点三、等腰三角形1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理．2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.复习要点一、轴对称1、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
七年级数学下册第五章生活中的轴对称5.3.3简单的轴对称图形教案新版北师大版_1113
（让学生通过看书,小组讨论,探索出角的对称轴及角平分线的性质。学生通过自己动手,动脑得出的结论记忆会更深刻,）
4、检测
1．下列图形中,不是轴对称图形的是（）．
A．角B．等边三角形C．线段D．平行四边形
2．如图,CD⊥OA,CE⊥ OB,D、E为垂足．
作业布置
课后练习
板书设计
课后反思
二次备课
复习
导入
课ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ讲授
自学指导1：
内容:课本P12 5
要求：1.找出角的对称轴及角平分线的性质,并完成下列填空
时间：3分钟后
1、角是轴对称图形,它的对称轴是________________,角的平分线上的点到
这个角的两边的距离 _________。
2、 如图,OC是∠AOB的 平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,
简单的轴对称图形
课题
5.3.1简单的轴对称图形
课型
新授课
教学目标
1、知道角是轴对称图形及其对称轴
2、会说出角的平分线的性质并会利用角的 平分线的有关性质解题。
重点
角的平分线的有关性质
难点
会利用角的平分线的有关性质解题
教学方法
自学加引导
教学环节
自学指导直接引入.课堂小结,布置作业、板书设计、课后反思。
（1）若∠1=∠2,则有___________;
（2）若CD=CE,则有___________．
五、自学指导2：
内容:课本P126例2
要求：能看懂例题的作图步骤
时间：2分钟后小组讨论总结方法
练习：1、作∠AOB的平分线 2、作△ABC的三个内角的平分线
北师大版七年级数学下册第五章 生活中的轴对称 小结与复习
2. 线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.
3. 角平分线的性质 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
考点讲练
轴对称 两个图形成轴对称，及其对称轴
生
现象
轴对称的性质
对称性
活
等腰三角形的性质 “三线合一”
中
底角相等
的 轴
简单的轴 对称图形
线段垂直平分线上的点到这条线段 两个端点的距离相等
对
角平分线上的点到这个角的两边的Leabharlann 称距离相等应用
图案设计 计算与推理
A
12 D
B
E
C
解：作∠BAC 的平分线 AE，交 BC 于点 E，如图.
因为 AB = AC，
所以
AE⊥BC，∠1
=
∠2
=
1 2
∠BAC.
所以∠AEC = 90°，∠2 +∠ACB = 90°.
因为 BD⊥AC，
所以∠BDC = 90°，∠DBC +∠ACB = 90°.
A
12 D
所以∠2 =∠DBC. 所以∠BAC = 2∠DBC.
七年级下册数学（北师版）
第五章 生活中的轴对称
小结与复习
知识要点 一. 轴对称图形与轴对称
1. 轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠后， 直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做 轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
2. 轴对称：如果两个平面图形沿一条直线对折后能够 完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫 做这两个图形的对称轴.
北师大数学7下第五章3《生活中的轴对称》全章复习知识讲解
《生活中的轴对称》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.认识和欣赏身边的轴对称图形，增进学习数学的兴趣.2.了解轴对称的概念，探索轴对称、轴对称图形的基本性质及它们的简单应用.3.探索线段的垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质以及判定方法.4.能按照要求，画出一些轴对称图形.【知识网络】【要点梳理】要点一、轴对称1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.要求诠释：成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系要点诠释: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.要点诠释：线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.3.角平分线角平分线性质是：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等；反过来，在角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上.要点诠释：前者的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；后者则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.要点二、作轴对称图形1.作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.要点三、等腰三角形1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠．（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理．2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.【典型例题】类型一、轴对称的判断与应用1、（泰安模拟）如图所示，把一个正方形对折两次后沿虚线剪下，展开后所得的图形是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】按照题意，动手操作一下，可知展开后所得的图形是选项B．【总结升华】对于一下折叠、展开图的问题，亲自动手操作一下，可以培养空间想象能力．举一反三：【变式】如图,是一只停泊在平静水面上的小船,它的“倒影”应是图中的（）.【答案】B ；提示：从水中看物体——上下颠倒2、如图，C、D、E、F是一个长方形台球桌的4个顶点，A、B•是桌面上的两个球，怎样击打A球，才能使A球撞击桌面边缘CF后反弹能够撞击B球？请画出A•球经过的路线，并写出作法．【答案与解析】解：作点A 关于直线CF 对称的点G ，连接BG 交CF 于点P ，则点P 即为A•球撞击桌面边缘CF 的位置，A•球经过的路线如下图.【总结升华】这道题利用了轴对称的性质，把AP 转化成了线段GP ，通过找A 点的对称点，从而确定点P 的位置. 举一反三：【变式】已知∠MON 内有一点P ，P 关于OM ，ON 的对称点分别是1P 和2P ，12P P 分别交OM,ON 与点A 、B ，已知12P P ＝15，则△PAB 的周长为（ ） A. 15 B 7.5 C. 10 D. 24【答案】A ；提示：根据轴对称的性质，PA=P1A ，PB=P2B ，△PAB 的周长等于12P P . 类型二、线段垂直平分线性质3、如图，已知AD 是线段BC 的垂直平分线，且BD=3cm ，△ABC 的周长为20cm ，求AC 的长．【思路点拨】根据线段垂直平分线的性质，可得AB=AC，BD=CD，然后根据等量代换，解答出即可．【答案与解析】解：∵AD是线段BC的垂直平分线，∴AB=AC，BD=CD，又∵BD=3cm，∴BC=6cm，又∵△ABC的周长=AB+BC+AC=20cm，∴2AC=14，AC=7cm．【总结升华】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．举一反三【变式】如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（）Ａ．ED=CDＢ．∠DAC=∠BＣ．∠C＞2∠BＤ．∠B+∠ADE=90°【答案】Ｄ；类型三、角平分线性质4、如图，点O到△ABC的两边AB，AC的距离相等，且OB=OC．求证：AB=AC．【思路点拨】根据题意过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足，则OE=OF，已知OB=0C，可证Rt△OEB≌Rt△OFC，从而得∠OBE=∠OCF，又由OB=OC得∠OBC=∠OCB，可得∠ABC=∠ACD，即AB=AC．【答案与解析】证明：过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足，由题意知，OE=OF．在Rt△OEB和Rt△OFC中，∵OE=OF，OB=OC，∴Rt△OEB≌Rt△OFC，∴∠OBE=∠OCF，又由OB=OC知∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACD，∴AB=AC．【总结升华】本题考查了三角形全等的判定与性质．关键是根据题意证明三角形全等，得出相等角，利用等角对等边证明结论．举一反三【变式】点D到△ABC的两边AB、AC的距离相等，则点D在（）A. BC的中线上B. BC边的垂直平分线上C.BC边的高线上D.∠A的平分线所在的直线上【答案】D；类型四、等腰三角形的性质与判定5、已知：一等腰三角形的两边长x，y满足方程组23328x yx y-=⎧⎨+=⎩，则此等腰三角形的周长为（）A.5B.4C.3D.5或4【思路点拨】通过解方程组算出等腰三角形的两边长，由于没有指定边长是腰还是底，所以需要分类讨论，最后还要注意检验能否构成三角形.【答案】A；【解析】解：解方程组23328x yx y-=⎧⎨+=⎩得21xy=⎧⎨=⎩，当腰为1，2为底时，1＋1＝2，不能构成三角形，当腰为2，1为底时，能构成三角形，周长为2＋2＋1＝5【总结升华】本题从边的方面考查等腰三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．举一反三：【变式】已知等腰三角形的一个内角为70°，则另两个内角的度数是（）A.55°，55°B.70°，40°C.55°，55°或70°，40°D.以上都不对【答案】C；提示：当70°为顶角时,另外两个角是底角，它们的度数是相等的，为（180°－70°）÷2＝55°，当70°为底角时,另外一个底角也是70°,顶角是180°－140°＝40°．6、（杨浦区期末）已知：如图，在△ABC中，AC=BC，点D在AB边上，DE∥AC交BC边于点E，DF⊥AB，垂足是D，交直线BC于点F，试说明△DEF是等腰三角形的理由．【思路点拨】由等边对等角和平行线的性质得：∠B=∠BDE=∠A，由DF⊥AB得△BDF是直角三角形，得∠BDE+∠EDF=90°和∠B+∠F=90°，则∠F=∠EDF，从而得出结论．【答案与解析】解：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵DE∥AC，∴∠BDE=∠A，∴∠B=∠BDE，∵FD⊥AB，∴∠BDF=90°，∴∠BDE+∠EDF=90°，∵∠B+∠F+∠BDF=180°，∴∠B+∠F=90°，∴∠F=∠EDF，∴DE=DF，即△DEF是等腰三角形．【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质和判定，是常考题型；熟练掌握等边对等角，等角对等边；以及直角三角形的两个锐角互余．举一反三：【变式1】如图，∠1＝∠2，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，请判断△AEC的形状，并说明理由．【答案】解：△AEC是等腰三角形．理由如下：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠3，即∠BAC＝∠DAE，又∵AB＝AD，∠B＝∠D，∴△ABC≌△ADE（ASA），∴AC＝AE．即△AEC是等腰三角形．【变式2】如图，∠BAC＝90°，以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中点，请你探究线段DE与AM之间的数量关系．【答案】ED＝2AM解：连接DE，∵∠BAC＝90°，M是BC的中点∴AM＝BM＝MC＝12 BC∠EAD＝∠BAC＝90°，AE＝AB，AC＝AD∴△ABC≌△AED∴ED＝BC∴ED＝2AM类型五、等边三角形的性质与判定7、如图，设Ｄ为等边△ABC内一点，且AD＝BD，BP＝AB, ∠DBP＝∠DBC.求∠BPD的度数.【答案与解析】解：如图，连接CD，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，又AD＝BD，DC是公共边，∴△BDC≌△ADC（SSS），∴∠DCB＝∠DCA＝12×60°＝30°，∠DBC＝∠DAC，∵∠DBP＝∠DBC，∴∠DAC＝∠DBP，又已知BP＝AB，∴BP＝AC，∴△DBP≌△DAC（SAS），∴∠P＝∠ACD＝30°．【总结升华】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．举一反三：【变式】（2015•营口）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°【答案】B．解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，∵△PMN周长的最小值是5cm，∴PM+PN+MN=5，∴DM+CN+MN=5，即CD=5=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°；故选：B．【巩固练习】一.选择题1. （河北）一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是（）A．B．C．D．2．直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的（）A.形内B.形外C.斜边的中点D.不能确定3. 以下叙述中不正确的是（）A．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线B．其中有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形C．等腰三角形一定是锐角三角形D．在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等4．下列条件①有一个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高与中线重合的三角形；④有一个角为60°的等腰三角形．能判定三角形为等边三角形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5. 如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，DE交AB于E, 且AB＝ BC，则下列结论中错误．．的是（）A．BD⊥AC B．∠A＝∠EDA C．BC＝2AD D．BE＝ED6. 如图，△ABC中∠ACB＝90°,CD是AB边上的高，∠BAC的角平分线AF交CD于E，则△CEF必为（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形7.下列说法中不正确的是（）A.等边三角形是轴对称图形B.若两个图形的对应点连线都被同一条直线垂直平分，则这两个图形关于这条直线对称C.若△ABC ≌△111C B A ,则这两个三角形一定关于一条直线对称D.直线MN 是线段AB 的垂直平分线，若P 点使PA ＝PB ，则点P 在MN 上，若11P A PB ，则1P 不在MN 上8．如图所示,Rt △ABC 中，∠C ＝90°,AB 的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AB 于点E ．当∠B ＝30°时，图中不一定相等的线段有（ ）A ．AC ＝AE ＝BEB ．AD ＝BDC ．CD ＝DE D ．AC ＝BD二.填空题9. 如图，O 是 △ABC 内一点，且 OA ＝OB ＝OC ，若∠OBA ＝20°,∠OCB ＝30°，则∠OAC ＝_________.10. （苏州期末）如图，将一个等腰三角形（底角大于60°）沿对称轴对折后，剪掉一个60°的角，展开后得到如图的形状，若∠ABD=15°，则∠A= ．11. 如图，△ABC 中，∠C ＝90°，D 是CB 上一点，且DA ＝DB ＝4，∠B ＝15°,则AC 的长为 ．12. 在△ABC 中，AB ＝AC ，若∠A －∠B ＝30°则∠A ＝________， ∠B ＝________.13. 点D、E分别在等边△ABC的边AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1、EB1分别交边AC于点F、G．若∠ADF＝80º，则∠CEG＝．14．（薛城区一模）一个汽车牌在水中的倒影为，则该车牌照号码______．15. 等腰三角形的两边长分别为10cm，6cm，则它的周长为_________.16. 三角形纸片ABC中，∠A＝60°，∠B＝80°，将纸片的一角折叠，使点C•落在△ABC内，如图所示∠1＝30°，则∠2＝_______．三.解答题17. 已知∠AOB，试在∠AOB内确定一点P，如图，使P到OA、OB的距离相等，并且到M、N两点的距离也相等.18.（绿园区期末）如图1是3×3的正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案是轴对称图形，（要求：绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图2中的四幅图就视为同一种图案），请在图3中的四幅图中完成你的设计．19．如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，•且AB＝AE，AC＝AD，求证：∠DBC＝12∠DAB．20．（蓬江区期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C．2. 【答案】C；【解析】直角三角形斜边的中点到三顶点的距离相等.3. 【答案】Ｃ；【解析】等腰三角形还有钝角三角形和直角三角形．4. 【答案】Ｂ；【解析】②④均能判定三角形为等边三角形.5. 【答案】C；【解析】因为BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，所以∠EBD＝∠DBC＝∠EDB，故B、D成立，由等腰三角形三线合一的性质知A成立.6. 【答案】A；【解析】∠CFA＝∠B＋∠BAF，∠CEF＝∠ECA＋∠EAC，而∠B＝∠ECA，∠BAF＝∠EAC，故△CEF为等腰三角形.7. 【答案】C；【解析】全等的两个三角形不一定关于一条直线对称.8. 【答案】D；【解析】由角平分线的性质结合∠B＝30°，可知A、B、C均成立.二.填空题9. 【答案】40°；【解析】△AOB与△BOC与△AOC均为等腰三角形,∠OAC＝180220302︒-⨯︒+︒（）＝40°.10.【答案】30°．【解析】连接AD，由题意可得出：∠ACD=∠B=15°，∠BDC=60°，则∠ADB+∠ADC=360°﹣60°=300°，∵∠B+∠BAC+∠ADB+∠ADC+∠C=360°，∴∠BAC=360°﹣300°﹣15°﹣15°=30°．11.【答案】2；【解析】∠ADC＝30°，122AC AD==.12.【答案】 80°，50°；【解析】∠A－∠B＝30°，∠A＋2∠B＝180°，解方程组得∠A＝80°，∠B＝50°.13.【答案】40°；【解析】∠BDE＝18080502︒-︒=︒，∠BED＝∠DEG＝180°－50°－60°＝70°，所以∠CEG＝40°.14.【答案】M17936【解析】只需将倒影沿垂直旋转180°即可，因此该车的牌照号码为：M17936.15.【答案】 26cm或22cm；【解析】没有指明腰和底边，要分类讨论.16.【答案】50°；【解析】∠C＝40°，根据折叠图形对应角相等及三角形内角和定理，∠2＝50°.三.解答题17.【解析】MN的中垂线与∠AOB 的平分线的交点即为所求；如图所示：18.【解析】解：如图所示．19.【解析】证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAE＝∠CAB在△DAE和△CAB中，,,,AD ACDAE CABAE AB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAE≌△CAB（SAS），∴∠BDA＝∠ACB，又∵∠AED＝∠CEB，∴∠ADE＋∠AED＝∠ACB＋∠CEB，∵∠DAE＝180°－（∠ADE＋∠AED），∠DBC＝180°－（∠ACB＋∠CEB），∴∠DAE＝∠DBC，∵∠DAE＝12∠DAB，∴∠DBC＝12∠DAB．20．【解析】（1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，在△DBE和△CEF中，∴△DBE≌△CEF，∴DE=EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△DBE≌△CEF，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=（180°﹣40°）=70°∴∠1+∠2=110°∴∠3+∠2=110°∴∠DEF=70°《生活中的轴对称》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1.认识和欣赏身边的轴对称图形，增进学习数学的兴趣.2.了解轴对称的概念，探索轴对称、轴对称图形的基本性质及它们的简单应用.3.探索线段的垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质以及判定方法.4.能按照要求，画出一些轴对称图形.【知识网络】【要点梳理】要点一、轴对称1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.要求诠释：成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系要点诠释: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.要点诠释：线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.3.角平分线角平分线性质是：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等；反过来，在角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上.要点诠释：前者的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；后者则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.要点二、作轴对称图形1.作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.要点三、等腰三角形1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A 是顶角，∠B、∠C是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠．（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理．2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.【典型例题】类型一、轴对称的性质与应用1、（阳谷县一模）若∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA、OB 的对称点P1，P2，连接OP1，OP2，则下列结论正确的是（）A．OP1⊥OP2B．O P1=OP2C．OP1≠OP2D．O P1⊥OP2且OP1=OP2【思路点拨】根据轴对称的性质求出OP1、OP2的数量与夹角即可得解．【答案】D；【解析】解：如图，∵点P关于直线OA、OB的对称点P1、P2，∴OP1=OP2=OP，∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，∴∠P1OP2=∠AOP+∠AOP1+∠BOP+∠BOP2，=2（∠AOP+∠BOP），=2∠AOB，∵∠AOB=45°，∴OP1⊥OP2成立．故选D．【总结升华】本题考查了轴对称的性质，是基础题，熟练掌握性质是解题的关键，利用图形更形象直观．举一反三：【变式】如图，△ABC的内部有一点P，且D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点．若△ABC的内角∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°，则∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝（）A.180°B.270°C.360°D.480°【答案】C ；解：连接AP ，BP ，CP ，∵D ，E ，F 是P 分别以AB ，BC ，AC 为对称轴的对称点 ∴∠ADB ＝∠APB ，∠BEC ＝∠BPC ，∠CFA ＝∠APC ，∴∠ADB ＋∠BEC ＋∠CFA ＝∠APB ＋∠BPC ＋∠APC ＝360°．2、已知∠MON ＝40°，P 为∠MON 内一定点，OM 上有一点A ，ON 上有一点B ，当△PAB 的周长取最小值时，求∠APB 的度数.【思路点拨】求周长最小，利用轴对称的性质，找到P 的对称点来确定A 、B 的位置，角度的计算，可以通过三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算. 【答案与解析】解：分别作P 关于OM 、ON 的对称点1P ，2P ，连接12P P 交OM 于A ，ON 于B.则△PAB 为符合条件的三角形. ∵∠MON ＝40° ∴∠12P PP ＝140°.∠1PPA ＝12∠PAB,∠2P PB ＝12∠PBA. ∴12(∠PAB ＋∠PBA)＋∠APB ＝140° ∴∠PAB ＋∠PBA ＋2∠APB ＝280°∵∠PAB ＝∠1P ＋∠1PPA , ∠PBA ＝∠2P ＋∠2P PB ∴∠1P ＋∠2P ＋∠12P PP ＝180° ∴∠APB ＝100°【总结升华】将实际问题抽象或转化为几何模型，将周长的三条线段的和转化为一条线段，这样取得周长的最小值.举一反三：【变式】（西城区期末）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，第一次碰到长方形的边时的位置为P1（3，0）．（1）画出点P从第一次到第四次碰到长方形的边的全过程中，运动的路径；（2）当点P第2014次碰到长方形的边时，点P的坐标为．【答案】解：（1）如图所示；（2）如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∵2014÷6=335…4，∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，∴点P的坐标为（5，0）．故答案为（5，0）．类型二、线段垂直平分线性质3、如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，DE是AC的垂直平分线，线段DE=1cm，求BD的长．【思路点拨】连接AD，根据等腰三角形的两底角相等求出∠B=∠C=30°，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD，然后求出∠CAD=30°，再求出∠BAD=90°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD=2DE，BD=2AD，代入数据进行计算即可得解．【答案与解析】解：连接AD，∵等腰△ABC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD，∴∠CAD=∠C=30°，∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=120°﹣30°=90°，在Rt△CDE中，CD=2DE，在Rt△ABD中，BD=2AD，∴BD=4DE，∵DE=1cm，∴BD的长为4cm．故答案为：4cm．【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．举一反三【变式】（2016春•芦溪县期中）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=50°，DE是腰AB的垂直平分线，求∠DBC的度数．【思路点拨】已知∠A=50°，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，再由线段垂直平分线的性质可求出∠ABC=∠A，易求∠DBC．【答案与解析】解：∵∠A=50°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣∠A）=65°又∵DE垂直且平分AB，∴DB=AD，∴∠ABD=∠A=50°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=65°﹣50°=15°．即∠DBC的度数是15°．【总结升华】本题考查的是等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质．垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．类型三、角平分线性质4、已知：如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE、CD相交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．证明：∵AO平分∠BAC，∴OB=OC（角平分线上的点到角的两边距离相等）上述解答不正确，请你写出正确解答．【思路点拨】由角平分线的性质可得OD=OE，然后证明△DOB≌△EOC，可得证OB=OC．【答案与解析】证明：∵AO平分∠BAC，CD⊥AB，BE⊥AC，∴OD=OE，在△DOB和△EOC中，∠DOB=∠EOC，OD=OE，∠ODB=∠OEC，∴△DOB≌△EOC（ASA），∴OB=OC．【总结升华】此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，注意点到直线的距离是垂线段的长．举一反三【变式】如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，对于结论：①DE=DF；②BD=CD；③AD上任一点到AB、AC的距离相等；④AD上任一点到B、C的距离相等．其中正确的是（）A．仅①②B．仅③④C．仅①②③D．①②③④【答案】D；类型四、等腰三角形的综合应用5、如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：如图①，连接AP ．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB， ∴ABP S △=12AB•PE，ACP S △=12AC•PF，ABC S △=12AB•CH． 又∵ABP ACP ABC S S S +=△△△， ∴12AB•PE+12AC•PF=12AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH． （1）如图②，P 为BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE 、PF 、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC 的面积为49，点P 在直线BC 上，且P 到直线AC 的距离为PF ，当PF=3时，则AB 边上的高CH=______.点P 到AB 边的距离PE=________. 【答案】7；4或10； 【解析】解：（1）如图②，PE=PF+CH ．证明如下：∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH ⊥AB，∴ABP S △=12AB•PE，ACP S △=12AC•PF，ABC S △=12AB•CH， ∵ABP S △=ACP S △+ABC S △， ∴12AB•PE=12AC•PF+12AB•CH， 又∵AB=AC， ∴PE=PF+CH；（2）∵在△ACH 中，∠A=30°，∴AC=2CH．。
七年级数学下册 第五章 生活中的轴对称 5.3 简单的轴对称图形 5.3.3 简单的轴对称图形课件
2、角的平分线的性质：
111角的平分线上的点到角的两边(liǎngbiān)的距离相等。
几何语言:
∵ OC是∠AOB的平分线,
又 PD⊥OA,PE⊥OB
O
∴ PD=PE
(角的平分线上的点
A D
C P
E
B
到角的两边距离(jùlí)相等).
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证明(zhèngmíng)：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
∠ PDO= ∠ PEO ∠ AOC= ∠ BOC
OP=OP
O
∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS）
A D
C
P
EB
20∴21/12P/1D2 =PE（全等三角形的对应边相等）
第十页，共二十四页。
∵
OC是∠AOB的平分线，
又 _P_D_⊥__O_A_，___P_E_⊥__O_B_
角的平∴分P线D上=P的E点 (
A D
到角的两边(liǎngbiān)的距离相等
)
C P
O
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B
E
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2、在Rt△ABC中，BD是角平分线，
DE⊥AB，垂足(chuí zú)为E，DE与DC相等
思考
(sī4kǎ、o)：已知△ABC中, ∠C=900,AD平分(píngfēn)∠ CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
C
D
你会吗？
A
EB
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七年级数学下册 第五章 生活中的轴对称 5.3 简单的轴对称图形 5.3.3 角平分线课件
2021/12/6
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学以致用(xué
yǐ zhì yòng)
1.如图是一块三角形的草坪(cǎopíng)，现要在草坪(cǎopíng)上建一凉 亭供大家休息，要使凉亭到草坪(cǎopíng)三条边的距离相等，凉亭 的位置应选在D （ ）
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三边的中垂线的交点
∴QE=QF．
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学以致用(xué
yǐ zhì yòng)
6.已知△ABC，请你在下列各图中判断点P到△ABC三边的距离( jùlí)
是否相等，并明你的结论．
（1）如图①，已知内角∠ABC，∠ACB的平分线交于点P； （2）如图②，已知内角∠ABC的平分线与外角∠ACE的平分线交于 点P； （3）如图③，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线BP，CP交于
边的距离相等，。∴点P到AB，BC，CA三边的距离相等。解：（2）∵点P到AB，CA两边的距 离相等，。∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上
Image
12/6/2021
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OB的距离也相等，用尺规作出加油站P点的位置。
解：作∠AOB的平分线，再作线段CD的垂直平分线，两线的交点
( jiāodiǎn)P就是所求。
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新课学习(xuéxí)
如图，在Rt△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB,垂足(chuí zú)为E，
DE与DC相等吗？为什么？
证明(zhèngmíng)：∵AD是角平分线，DE⊥AB， ∠C=90°，
∴DC=DE， 角平分线的性质
七年级数学下册 第五章 生活中的轴对称 5.3 简单的轴对称图形(第1课时)课件_1
C
2021/12/12
A
B
第十七页，共十八页。
内容 总结 (nèiróng)
第1课时 等腰三角形的性质。C。作顶角的平分线AD. 在△BAD和△CAD中，。在△BAD和 △CAD中，。在Rt△BAD和Rt△CAD中，。（简写成“等边对等角”）。注意：等边对等角是指。
No 等边对等角。等边对等角。2、等腰三角形一个(yī ɡè)底角为70°,它的顶角为______.。55°，
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例1 如图，在△ ABC中，AB=AC，点D在AC上， 且BD=BC=AD。求△ ABC各角的度数(dùshu)。
A
解：∵ AB=AC BD=BC=AD ∴ ∠ABC= ∠ C= ∠ 3
∠ A= ∠1(等边对等角)
设 ∠ A=x，则
∠ 3= ∠ A+ ∠ 1=2x
AD是顶角平分线
AD是BC的中线
12
AD是底边(dǐ biāAD是底边(dǐ biān)上的
高
性质2:
B
D
C
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互
(xiānghù)重合。(等腰三角形三线合一)
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根据(gēnjù)等腰三角形性质定理2,在△ABC中， AB=AC
∴ ∠B=∠C ( 等边对等角）
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A C
1、等腰三角形一个顶角为70°,其它两个角为_________. 55°，55°
2、等腰三角形一个(yī ɡè)底角为70°,它的顶角为 _4_0__°__.
3、等腰三角形一个角为70°,它的另外(lìnɡ wài)两个角为 7_0_°__,4_0_°__或__5_5°__,_5_5_°__.
七年级数学下册 第五章 生活中的轴对称 5.3 简单的轴对称图形(第3课时)课件
的距离(jùlí)
CD1来自2BEA
2021/12/10
第十页，共十二页。
2、已知Rt△ABC中，BD平分∠ABC,DE⊥AB于点E，则图中 与DE相等的线段是____,理由(lǐyóu)是______________.若 AB=10,BC=8,AC=6,则BE=____AE= ____△AED的周长=_____
A D
且PD⊥OA,PE⊥OB ∴PD=PE
O
C P
(角的平分线上的点到角的两边(liǎngbiān)距离相等)
EB
温馨提示：角平分线的性质作用通过角平分线证明线段相
等，不必再证明三角形全等而走弯路，但推理过程中不要
垂直关系的书写。
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已知：PD OA于D，PE OB于E，且PD=PE
∴ QD＝QE
角的平分线的判定(pàndìng)：角的内部到角的两边的距离相等的点在 角的平分线上。
用数学(shùxué)语言表示为：
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
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巩固训练
1、 已知∠C=900， ∠1= ∠2，若BC=8，BD=5，求点D到AB
角分成_______两个角的射线叫做这个角的角平分线。
3、点到直线的距离(jùlí)是这个点到这条直线的______的长度。
●A
D
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O
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C ●A
D
合作探究
1、思考为什么OC是这个角的平分线？ 2、亲自用尺规作图作一个角的平分线，并思考
在作法的第二步中，去掉(qùdià12o)“大于 MN的 长”这个条件行吗？ 3、角的平分线的性质是什么？如何证明？ 4、对于一个几何命题进行证明 的一般步骤是什么？
七年级数学下册 第五章 生活中的轴对称 5.3 简单的轴对称图形(第2课时)课件
世纪金
(1)AB,AC,CE的长度有什么(shén me)关系?为什么?
(2)AB+BD与DE有什么关系?为什么?
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解:(1)结论:AB=AC=CE. 理由(lǐyóu):因为AD⊥BC,BD=DC,所以AB=AC. 因为点C在AE的垂直平分线上,所以AC=CE,所以AB =AC=CE. (2)结论:AB+BD=DE. 理由:因为AB=AC=CE,BD=CD,所以AB+BD=CE+CD,所以
AB+BD=DE.
第二十一页，共四十七页。
知识点二 角平分线的性质(xìngzhì)
【典例2】如图,在△ABC中,∠C=90°. (1)作∠BAC的平分线AD,交BC于点D. (2)若AB=10 cm,CD=4 cm,求△ABD的面积.
第二十二页，共四十七页。
【尝试(chángshì)解答】(1)如图所示, AD即为所求; ………………角平分线作法
A.SSS
B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等
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★3.如图,已知在△ABC中,CD是AB边上(biān shànɡ)的高线,BE平分
∠ABC,交CD于点E,BC=5,DE=2,则△BCE的面积等于
( )C
A.10
B.7
C.5
D.4
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系,并说明理由.
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问题(二)
研究(3):将问题(一)推广,如图③,将四边形ABCD纸片沿EF折叠 (zhédié),使点A,B落在四边形EFCD的内部时,∠1+∠2与∠A,∠B之 间的数量关系是________.(直接写出结论)
七年级数学下册第五章生活中的轴对称5.3.2简单的轴对称图形教案新版北师大版
课题
5.3.2简单的轴对称图形
课型
教学目标
1本节通过实践操作与思考的有机结合,帮助我们认识简单的轴对称图形。经历探索简单图形轴对称性的过程,进一步体验轴对称 的特征,发展空间观念．
重点
探索简单图形轴对称性的过程。
难点
进一步体验轴对Байду номын сангаас的特征,发展空间观念．
教学用具
教学环节
说明
二次备课
复习
第四环节 结合所学,拓展思维
活动内容：
1如图,点C在直线l上,试过点C画出直线l的垂线．能否利用画线段垂直平分线的方法解决呢？试试看,完成整个作图．
2如图,如果点C不在直线l上,试和同学讨论,应采取怎样的步骤,过点C画出直线l的垂线？
第五环节提高练习,学以致用
小结
本课内容
作业布置
板书设计
课后反思
⑴MO与AB具有怎样的位置 关系？
⑵AO与BO相等吗？MA与MB呢？能说明你的理由吗？
⑶在折痕上移动M的位置,结果会怎样？
注意事项：教师鼓励学生在 操作中尽可能多的探索等腰三角形线段的特征,并尽量运用自己的语言说明理由。既可以根据折叠过程中某些 线段或角重合说明,也可以运用全等来 说明。教师适时的引导,学生的动手操作,有利于培养学生的观察和概括能力；充分体现了教师为主导 ,学生为主体的教学思想。
实验结论：
⑴线段是 轴对称图形,它的对称轴有两条：一条是线段AB本身所在的直线；另一条是CD,它垂直于AB又平分AB,称作AB的垂直平分线．
⑵无论M点取在直线的何处,线段MA和MB都重合．
⑶线段垂直平分线的概念：垂直且平分一条线段的直线叫这条线段的垂直平分线．
⑷线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 相等．
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如图，某地由于居民增多，要在公路l边增加一个公共汽车站，A，B是路边两个新建小区，这个公共汽车站C建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法)?
解析：作线段AB的垂直平分线，由垂直平分线的定理可知，垂直平分线上的点到A，B的距离相等．
A.4cmB.8cmC.4cm或8cmD.以上都不对
7.已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，点P1和点P关于OA对称，点P2和点P关于OB对称，则P1、O、P2三点构成的三角形是（）
A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形
【类型四】线段垂直平分线的性质与全等三角形的综合
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.试说明：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.
解析：(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答；(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF即可解答．
解：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中点，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD；
(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.又∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.
方法总结：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，利用它可以证明线段相等．
解：连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于O，交AB于E.
∵EO是线段AB的垂直平分线，∴点O到A，B的距离相等，∴这个公共汽车站C应建在O点处，才能使到两个小区的路程一样长．
方法总结：对于作图题首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
引出研究本节课要学习知识的必要性，清楚新知识的引出是由于实际生活的需要
方法总结：AB是CD的垂直平分线，它包含两个方面的含义：一是AB与CD垂直，二是AB把CD分成相等的两部分．“垂直”是相互的，而“平分”是“单向”的．
【类型三】与线段垂直平分线有关的计算
如图，DE是AC的垂直平分线，AB＝12厘米，BC＝10厘米，则△BCD的周长为()
A．22厘米B．16厘米
C．26厘米D．25厘米
新知探索
例题
精讲
合作探究
探究点一：线段垂直平分线的性质
【类型一】利用线段垂直平分线的性质进行证明
如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，连接AF.试说明：∠B＝∠CAF.
解析：由EF垂直平分AD，则可得AF＝DF，进而再转化为角之间的关系，通过角之间的关系转化，最终得出结论．
解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵EF垂直平分AD，∴AF＝DF，∴∠ADF＝∠DAF.∵∠ADF＋∠ADB＝180°，∠BAD＋∠B＋∠ADB＝180°，∴∠ADF＝∠B＋∠BAD.又∵∠DAF＝∠CAF＋∠CAD，∠BAD＝∠CAD，∴∠B＝∠CAF.
5.3.2简单的轴对称图形
年级
七年级
学科
数学
主题
轴对称
主备教师
课型新授课Βιβλιοθήκη 课时1时间
教学目标
1．理解线段的垂直平分线的概念；
2．掌握线段的垂直平分线的性质定理及逆定理；
3．能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算．
教学
重、难点
重点：掌握线段的垂直平分线的性质定理及逆定理；
难点：能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算．
解析：要求△BCD的周长，已知BC的长度，只要求出BD＋CD即可．根据线段垂直平分线的性质得CD＝AD，故△BCD的周长为BD＋DC＋BC＝AD＋BD＋BC＝AB＋BC＝12＋10＝22(厘米)．故选A.
方法总结：此题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．对相等的线段进行转化是解答本题的关键．
学生积极参与学习活动，为学生动脑思考提供机会，发挥学生的想象力和创造性
体现教师的主导作用
学以致用，
举一反三
教师给出准确概念，同时给学生消化、吸收时间，当堂掌握
例2由学生口答，教师板书，
课堂检测
1.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（）
A.过顶点的直线B.底边上的高C.底边的中线D.顶角平分线所在的直线.
导学方法
启发式教学、小组合作学习
导学步骤
导学行为（师生活动）
设计意图
回顾旧知，
引出新课
1．我们学过轴对称图形，这类图形因为具有轴对称的特征而显得匀称美丽．那么什么样的图形是轴对称图形？
2．我们学过的图形中，有哪些图形是轴对称图形？线段是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
从学生已有的知识入手，引入课题
方法总结：解题时，往往利用线段垂直平分线的性质得出线段相等，进而得出角相等，这体现了数学的转化思想．
【类型二】利用线段垂直平分线的性质进行判断
如图，已知AB是CD的垂直平分线，下列结论：①CO＝DO；②AO＝BO；③AB⊥CD；④CD⊥AB.正确的有()
A．1个B．2个C．3个D．4个
解析：因为AB是CD的垂直平分线，所以AB垂直于CD，且把CD分成相等的两部分．所以①CO＝DO，③AB⊥CD，④CD⊥AB都正确，只有②AO＝BO错误．故选C.
A.65°，65°B.50°，80°C.65°，65°或50°，80°D.50°，50°
5.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角为（）
A. 30°B. 150°C. 30°或150°D.12°
6.等腰三角形底边长为6cm，一腰上的中线把它的周长分成两部分的差为2cm，则腰长为（）
2.已知点A（－2，1）与点B关于直线x＝1成轴对称，则点B的坐标为（）
A.（4，1）B.（4，－1）C.（－4，1）D.（－4，－1）
3.已知点P（1，a）与Q（b，2）关于x轴成轴对称，又有点Q（b，2）与
点M（m，n）关于y轴成轴对称，则m－n的值为（）
A.3 B.－3 C. 1 D.－1
4.等腰三角形的一个内角是50°，则另外两个角的度数分别为（）