第五章 定积分及其应用

【教学内容】§5.1 定积分的概念和性质【教学目的】理解定积分的概念，掌握定积分的性质 【教学重点】定积分的概念 【教学难点】定积分概念的理解 【教学时数】4学时 【教学过程】一、组织教学，引入新课 实例1. 曲边梯形的面积 1、曲边梯形定义：由连续曲线()(()0)y f x f x =≥，直线,()x a x b a b ==< 及x 轴所围成的平面图形称为曲边梯形. 2、计算曲边梯形的面积(1) 分割——分曲边梯形为n 个小曲边梯形.在[],a b 任意插入1n -个分点011n n a x x x x b -=<<<<=把区间[],a b 分成n 个小区间[][][]01121,,,,n n x x x x x x -，每个小区间的长度是i x ∆=i x -1-i x ，1,2,i n =其中最长的小区间的长度记作x ∆， 即{}1max i i nx x ≤≤∆=∆，1,2,i n =.过各分点作x 轴的垂线，这样，原曲边梯形就被分成n 个小曲边梯形. 第i 个小曲边梯形的面积记作i A ∆，1,2,i n =.(2) 近似代替——用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积.在每一个小区间[]1,i i x x -，(1,2,i n =)上任选一点i ξ，用与小曲边梯形同底，以()i f ξ为高的小矩形面积()i i f x ξ∆近似代替小曲边梯形的面积.这时有(),1,2,i i i A f x i n ξ∆≈∆=.(3) 求和——求n 个小矩形面积之和.n 个小矩形构成的阶梯形的面积∑=∆ni i i x f 1)(ξ，是原曲边梯形面积的一个近似值，即有1n i i A A ==∆∑≈∑=∆ni i i x f 1)(ξ.(4) 取极限——由近似值过渡到精确值.分割区间[],a b 的点数越多，且每个小区间的长度i x ∆越短，即分割越细，和数∑=∆ni iixf 1)(ξ与曲边梯形面积A 的误差越小.将区间[],a b 无限地细分下去，并使每个小区间的长度i x ∆都趋于零，这时，和数的极限就是原曲边梯形面积的精确值：limx A ∆→=∑=∆ni iixf 1)(ξ.实例2. 变速直线运动的路程设某物体作变速直线运动，已知速度()v v t =是时间t 的连续函数， 现确定物体由时刻t a =到时刻t b =这一时间段内所经过的路程 (1) 分割在时间间隔[],a b 任意插入1n -个分点011n n a t t t t b -=<<<<=把时间间隔分成n 个小时间间隔[][][]01121,,,,n n t t t t t t -，每个小段时间间隔的长度是i t ∆=i t -1i t -，1,2,i n =其中最长的时间间隔的长度记作t ∆，即{}1max i i nt t ≤≤∆=∆，1,2,i n =.在第i 个小时间间隔所经过的路程记作,1,2,i s i n ∆=(2) 近似在每一个小时间间隔[]1,,1,2,i i t t i n -=上任取一时刻i τ，以该时刻的速度()i v τ来近似代替[]1,i i t t -上各个时刻的速度，得到物体在[]1,i i t t -内所经过的路程i s ∆的近似值()i i v t τ∆，即(),1,2,i i i s v t i n τ∆≈∆=.(3) 求和把各小段时间间隔内的路程的近似值加起来，就得到物体在[],a b 内经过的路程的近似值，即11()nni i i i i s s v t τ===∆≈∆∑∑(4) 取极限.当0t ∆→时，上述和式1()ni i i v t τ=∆∑的极限就是路程s 的精确值即01lim ()ni i t i s v t τ∆→==∆∑.总结：以上两个实际问题，其一是几何问题；其二是物理问题：这两个问题的内容虽然不同，但解决问题的方法却完全相同： 都是采取分割、近似代替、求和、取极限的方法.而最后都归结为同一种结构的和式的极限.事实上，很多实际问题的解决都采取这种方法，并且都归结为这种结构的和式的极限.现抛开问题的实际内容，只从数量关系上的共性加以概括和抽象，便得到了定积分概念. 二、讲授新课 （一）定积分概念1、定积分定义设函数()y f x =在闭区间[],a b 上有定义，在[],a b 任意插入1n -个分点011n n a x x x x b -=<<<<=把区间[],a b 分成n 个小区间[][][]01121,,,,n n x x x x x x -，每个小区间的长度是i x ∆=i x -1-i x ，1,2,i n =其中最长的小区间的长度记作，即{}1max i i nx x ≤≤∆=∆，1,2,i n =.在每一个小区间[]1,i i x x -，(1,2,i n =)上任选一点i ξ，作乘积()i i f x ξ∆，并作和∑=∆ni i i x f 1)(ξ.如果不论对[],a b 怎样划分，也不论在小区间[]1,i i x x -上的点i ξ如何选取，当0x ∆→时，该和式趋于确定的极限I ，则称函数()f x 在区间[],a b 上是可积的，此极限I 是，记作()b af x dx ⎰，即01()lim ()nbi i ax i f x dx I f x ξ∆→===∆∑⎰.其中()f x 为被积函数，()f x dx 为被积表达式，x 称为积分变量, a 称为积分下限，b 为积分上限，[],a b 称为积分区间. 说明：（1）定积分()ba f x dx ⎰是一个数.（2）定积分与被积函数和积分区间有关，与积分变量无关，即()()bbaaf x dx f u du =⎰⎰（3）定积分与不定积分的区别 规定：（1）()()baabf x dx f x dx =-⎰⎰（2）()0aaf x dx =⎰.2、函数可积的条件 （1）函数可积的必要条件若函数()f x 在区间[],a b 上可积，则()f x 在区间[],a b 上有界 说明：有界是可积的必要条件；无界函数一定不可积.（2）函数可积的充分条件若函数()f x 在区间[],a b 上连续，则()f x 在区间[],a b 上可积.若函数()f x 在闭区间上[],a b 有界，且有有限个间断点，则()f x 在区间[],a b 上可积. 说明：上述条件是充分条件，但不是必要条件.（二） 定积分的几何意义1、若函数[]()0,,f x x a b ≥∈，定积分()ba f x dx ⎰表示由连续曲线()(()0)y f x f x =≥，直线,()x a x b a b ==<及x 轴所围成的平面图形的面积，即()ba f x dx A =⎰特别地，在区间[],a b 上，若()1f x ≡， 则()1bbaaf x dx dx b a ==-⎰⎰表示以区间[],a b 为底，高为1的矩形的面积 2、若函数[]()0,,f x x a b ≤∈，定积分()ba f x dx ⎰表示由连续曲线()(()0)y f x f x =≥，直线,()x a x b a b ==<及x 轴所围成的 平面图形的面积的负值.即()ba f x dx A =-⎰.3、一般地，定积分()baf x dx ⎰表示由连续曲线()(()0)y f x f x =≥，直线,()x a x b a b ==<及x 轴所围成的平面图形的面积的代数和. 若以记有阴影部分的面积，则 ()()()cdbacdA f x dx f x dx f x dx =-+⎰⎰⎰.【例1】在区间[],a b 上，若()0f x >，()0f x '>，试用几何图形说明下不等式成立：()()()()()baf a b a f x dx f b b a -<<-⎰.解：在区间[],a b 上，因()0f x >，()0f x '>，所以曲线()y f x =在x 轴上方且单调上升. 曲边梯形aABb 的面积＝()baf x dx⎰矩形aACb 的面积＝()()f a b a -,矩形aDBb 的面积＝()()f b b a -.显然，有()()()()()baf a b a f x dx f b b a -<<-⎰.【例2】用几何图形说明等式12π-=⎰成立.解：曲线[]1,1y x =∈-是单位圆在x 轴上方的部分，面积是2π.上半圆的面积是函数y =[]1,1-上的定积分.故有等式12π-=⎰（三）（以下总假设所讨论的函数在给定的区间上是可积的）性质1 ⎰ba dx x kf )(＝k⎰badx x f )(.性质2 ⎰±badx x g x f )]()([＝⎰badx x f )(⎰±badx x g )(.性质3 (定积分对积分区间的可加性)任意三个数a 、b 、c ，总有()()()bcbaacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰性质4 (比较性质)若在区间[],a b 上，有()()f x g x ≤， 则()()bbaaf x dxg x dx ≤⎰⎰，()a b <.【例3】比较下列积分值的大小：(1)21ln xdx ⎰与221ln xdx ⎰； (2)10x e dx ⎰与210x e dx ⎰.解：(1) 在区间[]1,2上，0ln 1x ≤<，所以2ln ln x x ≥，故22211ln ln xdx xdx ≥⎰⎰.(2) 在区间[]0,1上，因2x x ≥，又xe 是增函数，则2xx e e ≥，故211x x e dx e dx ≥⎰⎰.性质5 (估值定理)若函数()f x 在区间[],a b 上的最大值与最小值分别为M 与m ,则()()()ba mb a f x dx M b a -<<-⎰.【例4】估计定积分的值.解：在区间[]1,3上，函数()21f x x =+单调增加，则()f x 在该区间上的最大值为f(3)=10；最小值为f(1)=2. 所以，有()()321231(1)1031x dx -≤+≤-⎰.即420I ≤≤.性质6(积分中值定理)若函数()f x 在区间[],a b 上连续，则至少存在一点[],a b ξ∈，使得()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰.证明: 因为函数()f x 在区间[],a b 上连续，由闭区间上连续函数的性质可知，函数()f x 在区间[],a b 上有最大值M 与最小值m . 于是有不等式()()()b am b a f x dx M b a -<<-⎰或1()ba m f x dx Mb a<<-⎰. 由闭区间上连续函数的介值定理可知， 至少存在一点[],a b ξ∈，使得()1()baf f x dx b a ξ=-⎰，即()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰.说明：该定理的几何意义是以区间[],a b 为底，()f ξ为高的矩形aCDb 的面积等于同底的曲边梯形aABb 的面积. 即把()f ξ看作是曲边梯形的平均高度. 通常称()f ξ为函数f(x)在闭区间[],a b 上的积分平均值.【例5】由定积分的几何意义，确定函数f(x)=24x -在区间[]2,2-上的平均值.解：函数f(x)在区间[]2,2-上的平均值为()22112.2(2)422f ππξ-⋅==⋅=--⎰【教学内容】§5.2 微积分基本公式【教学目的】了解微积分学基本定理，掌握微积分基本公式 【教学重点】微积分基本公式 【教学难点】微积分学基本定理 【教学时数】4学时 【教学过程】一、组织教学，引入新课计算函数()f x 在区间[],a b 上的定积分，可以从定积分的定义出发，用求和式极限的方法.但这种方法只能求出极少数函数的定积分，而且对于不同的被积函数要用不同的技巧.因此，这种方法远不能解决定积分的计算问题.本节通过揭示导数与定积分的关系，引出计算定积分的基本公式： 把求定积分的问题转化为求被积函数的原函数问题，从而把求不定积分的方法移植到计算定积分的方法中来. 二、讲授新课（一） 微积分学基本定理1、积分上限函数（1）定义：设函数()f x 在区间[],a b 上连续，若对[],x a b ∀∈，定积分()xa f t dt ⎰存在，且对每一个[],x a b ∈，都有一个积分值与之对应，则称()xaf t dt ⎰是积分上限x 的函数，记作，()F x 其定义域是区间[],a b . 即()()xaF x f t dt =⎰，[],x a b ∈.（2）几何意义积分上限函数()F x 表示右侧一边可以变动的曲边梯形aACx 的面积.它的面积随右侧一边的位置x 而改变.当x 给定后，这条边也就确定了，面积()F x 也随之 而定，因而()F x 是x 的函数.2、微积分学基本定理定理：若函数()f x 在区间[],a b 上连续，则积分上限函数()()x aF x f t dt =⎰，[],x a b ∈是()f x在区间[],a b 上的一个原函数. 即()()()xa d F x f t dt f x dx'==⎰，[],x a b ∈ 证明：由导数定义可知，)()(x F x x F -∆+＝()()x x xaaf t dt f t dt +∆-⎰⎰()()()x x xxaxaf t dt f t d f t dt +∆=+-⎰⎰⎰()x xxf t d +∆=⎰由积分中值定理得，()()()F x x F x f x ξ+∆-=∆，[],x x x ξ∈+∆)(lim )()(lim00ξf x x F x x F x x →∆→∆=∆-∆+.当0x ∆→时，x x x +∆→，从而x ξ→，又函数()f x 在区间[],a b 上连续，故)(lim 0ξf x →∆＝)()(lim x f f x=→ξξ.因此，()()()xa d F x f t dt f x dx'==⎰，[],x a b ∈. 结论：(1) 连续函数()f x 一定有原函数，积分上限函数就是()f x 的一个原函数.(2) 求导数运算恰是求积分上限函数运算的逆运算.【例1】求下列积分上限函数()F x 的导数(1) 22()1xt F x dt t =+⎰； (2) ()25()1t x F x t e dt -=+⎰. 解：(1) 222()()11x t xF x dt t x''==++⎰. (2) ()()2255()11xt tx F x t e dt t e dt --=+=-+⎰⎰ ()()()22255()(1)(1)1xt t x xF x t e dt t e dt x e ---'''=+=-+=-+⎰⎰【例2】设231()1x aF x dt t =+⎰， 求dxx dF )(. 解： 注意到该例的上限是2x ，若设u =2x ，则函数可看成是由函数311ua dt t +⎰ 和2u x =复合而成.根据复合函数的导数法则得2331111x u a a d d du dt dt dx t du t dx =++⎰⎰()()233621122111x x x u x x '===+++.结论：若函数ϕ(x )可微，函数)(x f 连续，则()()(())()x a d f t dt f x x dxϕϕϕ'=⎰. 【例3】求2202limsin t x x e dt x-→⎰解：()22222200222limlimlimsin sin 2sin cos x t t x xx x x e dte dtexxxx x---→→→--==⎰⎰4lim()1cos sin x x e xx x-→-==-（二）微积分基本公式—— 牛顿-莱布尼茨公式 1、微积分基本公式定理：若函数)(x f 在区间[],a b 上连续，)(x F 是)(x f 在[],a b 上的一个原函数，则()()()ba f x dx Fb F a =-⎰.证明：已知 )(x F 是函数)(x f 的一个原函数，由微积分学基本定理知，()xa f t dt ⎰也是)(x f 的一个原函数，因此，它们之间仅相差一个常数C ，即()()xaf t dt F x C =+⎰.在上式中，令x =a 得, ()0F a C =+即常数()C F a =-，于是()()()xa f t dt F x F a =-⎰.在该式中，再令x b =，则有()()()baf t dt F b F a =-⎰即()()()baf x dx F b F a =-⎰.说明：公式阐明了定积分与原函数之间的关系： 定积分的值等于被积函数的任一个原函数在积分上限与积分下限的函数值之差.这样，就把求定积分的问题转化为求被积函数的原函数的问题.【例4】求12011dx x +⎰. 解： 因211x+的一个原函数是arctan x ， 由牛顿-莱布尼茨公式得，12011arctan arctan1arctan 0014x x π=-=+⎰.【例5】求3011dx x +⎰.解：因为⎰⎰++=++=+C x x d xdx x )1ln()1(1111， 所以3031ln(1)ln(13)ln1ln 401dx x x =+=+-=+⎰. 【例6】求24tan xdx π⎰.解：因为C x x dx x xdx +-=-=⎰⎰tan )1(sec tan 22，所以240tan (tan )(tan )(tan 00)14444xdx x x πππππ-=---=-⎰.【例7】求42x dx -⎰.解：因|x-2|＝2,0222,24x x x x x -≤≤⎧-=⎨-<≤⎩由定积分对区间的可加性得2242402242(2)(2)(2)(2)0222x x x dx x dx x dx x x -=-+-=-+-⎰⎰⎰＝(4-2)+(-2+4)＝4.【教学内容】§5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 【教学目的】掌握定积分的换元积分法与分部积分法 【教学重点】定积分的换元积分法与分部积分法 【教学难点】定积分的换元积分法 【教学时数】6学时 【教学过程】一、组织教学，引入新课牛顿-莱布尼茨公式已把计算定积分的问题归结为求原函数(或不定积分)的问题.这样，计算定积分仍然可以用第四章已学过的求不定积分的换元积分法和分部积分法，而且思路基本一致.但读者需注意计算定积分与计算不定积分的区别. 二、 讲授新课（一）定积分的换元积分法定理：若函数)(x f 在区间[],a b 上连续，设)(t x ϕ=，使之满足：(1))(t ϕ(2) ()a ϕα=，()bϕβ=(3) )(t ϕ在区间[],αβ上有连续的导数)(t ϕ'则()()(())()ba f x dx x t f t t dt βαϕϕϕ'=⎰⎰.说明：(1) 定积分的换元积分法与不定积分的换元积分法的不同之处在于：定积分换元必换限，换元之后按新变量进行积分，不必回代 .(2) 由()a ϕα=，()b ϕβ=确定的α、β大小不定，但顺序不变.(3) 若利用凑微分的方法未换元，也不必换限.【例1】 求40⎰.解：令2x t = (0t >)2dx tdt =.当0x =时，0t =；当4x =时，2t =.于是420021t dt t =+⎰⎰2212(1)2[ln(1)]01dt t t t =-=-++⎰＝ln3)-2(2.【例2】求1220⎰.解: 设t x sin =，cos dx tdt =.当0x =时，0t =；当12x =时，6t π=.于是1220⎰=26600sin 1cos 2cos cos 2t ttdt dt t ππ-=⎰⎰1sin 2624120t t ππ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦. 【例3】求ln 0⎰解：t =，则()222ln 1,1tx t dx dt t =+=+. 当0x =时，0t =；当ln 2x =时，1t =.于是ln 1122000212(1)11t t dt dt t t ==-++⎰⎰⎰ ()12arctan 202t t π=-=-【例4】求1201xdx x +⎰.解：令21u x =+，则2du xdx =.当0x =时，1u =；当1x =时，2u =.于是1220121111ln ln 211222x dx du u x u ===+⎰⎰. 若不写出新的积分变量，也就无须换限.可按下面方式书写：()()11222200111111ln 1ln 2012122x dx d x x x x =+=+=++⎰⎰. 【例5】求下列定积分的值(1) 420cos sin x xdx π⎰； (2) 1201xxedx e +⎰解: (1) 445220011cos sin cos cos cos 255x xdx xd x x πππ=-=-=⎰⎰.(2) ()1122001arctan arctan 0141x x x x x e de dx e e e e π===-++⎰⎰. 【例6】 设函数)(x f 在对称区间[](),0a a a ->上连续： (1) 若)(x f 是偶函数，则0()2()aaa f x dx f x dx -=⎰⎰；(2) 若)(x f 是奇函数，则()0aaf x dx -=⎰.证明: 由定积分的积分区间的可加性知()()()aaaaf x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰.对0()af x dx -⎰来说，令x t=-dx dt =-.当x a =-时，t a =；当0x =时，0t =.于是00()()()()a aaaf x dx f t dt f t dt f x dx -=--=-=-⎰⎰⎰⎰.(1) 当)(x f 为偶函数时，()()aaf x dx f x dx -=⎰⎰由此得00()()()2()aa aaaf x dx f x dx f x dx f x dx --=+=⎰⎰⎰⎰.(2) 当)(x f 为奇函数时，()()aaf x dx f x dx -=-⎰⎰，由此得00()()()0aaaaf x dx f x dx f x dx --=+=⎰⎰⎰.【例7】 计算下列定积分：(1)222x x dx -⎰；(2) 1-⎰(3)121ln(x x dx -+⎰；(4) 12⎰.解：(1) 因为被积函数2x x 是[]2,2-上的偶函数，所以有4222223200222802x x x dx x x dx x dx -====⎰⎰⎰(2)是[]1,1-上的奇函数，所以有10-=⎰.(3)因为被积函数2ln(x x +是[]1,1-上的奇函数，所以有121ln(0x x dx -=⎰.(4) 因为被积函数221)(arcsin x x -是]21,21[-上的偶函数，所以有11122222022(arcsin )arcsin dx x d x==⎰⎰⎰33333112122(arcsin )[(arcsin )(arcsin 0)]().233236324x ππ=⋅=-==（二）定理：设函数()(),u u x v v x ==在区间[],a b 上有连续的导数，则bbaab uv dx uv u vdx a ''=-⎰⎰， 或b ba ab udv uv vdu a =-⎰⎰.这就是定积分的分部积分法公式.【例7】求40cos 2x xdx π⎰解：44400011cos 2sin 2[(sin )sin 2]422x xdx xd x x x xdx ππππ==-⎰⎰⎰1111(cos 2)()42422484x ππππ=+==-【例8】求1x xe dx-⎰解：111010x x xxxe dx xde xe e dx ----=-=-+⎰⎰⎰ 111110(1)12xe e e e e -----=--=--=-.【例8】求120arcsin xdx ⎰.解：120arcsin xdx⎰111220arcsin (arcsin )12x xxd x π=-=-⎰⎰12201(1)11221212x πππ=+-=+=+⎰. 【例9】1⎰解:t =，则 2x t =2dx tdt =.当0x =时，0t =；当1x =时，1t =.于是()1111000011222222200t t t t t te dt tde te te dt e e ===-=-=⎰⎰⎰⎰【教学内容】§5.4无限区间的广义积分【教学目的】掌握无限区间的广义积分的敛散性的判定 【教学重点】无限区间的广义积分的定义 【教学难点】无限区间的广义积分的敛散性的判定 【教学时数】2学时 【教学过程】一、组织教学，引入新课在讲定积分时，我们假设函数)(x f 在区间[],a b ，即积分区间是有限的，被积函数是有界的.现将有限区间推广到无限区间，即有界函数在无限区间上的广义积分.本节我们假设被积函数)(x f 有界，特别)(x f 为连续函数；而积分区间为[,)a +∞，(,]b -∞，(,)-∞+∞.例：计算由曲线x y e -=，直线0x =，0y =所围图形的面积. 解：由右图看出，该图形有一边是开口的.由于直线0y =是曲线x y e -=的水平渐近线， 图形向右无限延伸，且愈向右开口愈小， 可以认为曲线y ＝x e -在无穷远点与x 轴相交.为了求得该图形的面积，取0b >，先作直线x b =.由定积分的几何意义，图中有阴影部分(曲边梯形)的面积是bx e dx -⎰＝-.10b b xe e ---=显然，当直线x b =愈向右移动，有阴影部分的图形愈向右延伸，从而愈接近我们所求的面积.按我们对极限概念的理解，自然应认为所求的面积是：lim lim (1)1bx b b b e dx e --→+∞→+∞=-=⎰.这里，先求定积分，再求极限得到了结果.仿照定积分的记法，所求面积可形式地记作x e dx +∞-⎰.这就是无穷区间上的广义积分.二、讲授新课（一）无限区间[,)a +∞的广义积分1、无限区间[,)a +∞的广义积分定义设函数)(x f 在无限区间[,)a +∞上连续，则称()af x dx +∞⎰为[,)a +∞上的广义积分.2、无限区间[,)a +∞的广义积分敛散性定义取b a >，若极限lim ()b ab f x dx →+∞⎰存在，则称广义积分()af x dx +∞⎰收敛，并且这一极限值为()af x dx +∞⎰的值，即()lim ()baab f x dx f x dx +∞→+∞=⎰⎰.若上述极限不存在，则称广义积分()af x dx +∞⎰发散.（二）无限区间(,]b -∞的广义积分 1、无限区间(,]b -∞的广义积分定义设函数)(x f 在无限区间(,]b -∞上连续，则称()bf x dx -∞⎰为(,]b -∞上的广义积分.2、无限区间(,]b -∞的广义积分敛散性定义取a b >，若极限lim ()baa f x dx →-∞⎰存在，则称广义积分()bf x dx -∞⎰收敛，并且这一极限值为()bf x dx -∞⎰的值，即()lim ()b baa f x dx f x dx -∞→-∞=⎰⎰.若上述极限不存在，则称广义积分()b f x dx -∞⎰发散.说明：()()()ccf x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰，其中c 是任一有限数.当且仅当等式右端的两个广义积分都收敛时，广义积分()f x dx +∞-∞⎰才收敛.【例1】计算广义积分2211sin dx x xπ+∞⎰. 解：按广义积分敛散性的定义，取2b π>，则22221111sin lim sin b b dx dx x x x x ππ+∞→+∞=⎰⎰. 先计算定积分2211sin bdx x xπ⎰ 222111111sin sin cos cos 2bb b dx d x x x x x b πππ=-==⎰⎰ 再取极限222211111sin lim sin lim cos 1b b b dx dx x x x x b ππ+∞→+∞→+∞===⎰⎰. 【例2】计算广义积分⎰∞-0sin xdx .解：取0a <，则0sin lim sin lim (cos )lim (cos 1)a aa a a xdx xdx x a -∞→-∞→-∞→-∞==-=-⎰⎰.显然，上述极限不存在，所以⎰∞-0sin xdx 发散.说明：为书写方便，计算广义积分时，可采取牛顿-莱布尼茨公式的记法.即()()()()af x dx F x F F a a+∞+∞==+∞-⎰， 其中()F x 是()f x 的一个原函数. 这里，()F +∞F(+∞)为极限记号，即F(+∞)＝()()lim x F F x →+∞+∞=. 【例3】计算广义积分211dx x +∞-∞+⎰.解：按无限区间(,)-∞+∞上广义积分敛散性的定义，取0c =，则022200111arctan arctan 0111dx dx dx x x x x x +∞+∞-∞-∞+∞=+=+-∞+++⎰⎰⎰()22πππ=--+=.【例4】讨论广义积分11dx xα+∞⎰，α取何值时收敛，取何值时发散?解： 当1α=时，1111ln 1dx dx x xxα+∞+∞+∞===+∞⎰⎰；当1α≠时，取1b >， 因1111111(1)11bbdx x b x ααααα--==---⎰， 故11,1,11lim (1)11, 1.1b dx bx αααααα+∞-→+∞+∞<⎧⎪=-=⎨->⎪-⎩⎰若若 综上所述，所给广义积分，当1α>时收敛，其值为11-α；当1α≤时发散.【教学内容】§5.5定积分的应用【教学目的】理解定积分的微元法，掌握定积分的应用 【教学重点】定积分的应用 【教学难点】定积分的微元法的理解 【教学时数】2学时 【教学过程】一、组织教学，引入新课定积分是一种实用性很强的数学方法，应用很广泛，那么什么问题可用定积分来解决？如何解决？ 二、讲授新课 （一）定积分的微元法1、可用定积分表示的量A 的特点： （1）A 与一个变量的变化区间[,]a b 有关； （2）A 对于区间[,]a b 具有可加性；（3）部分量i A ∆的近似值可表示为(),i i f x ξ∆这里()f x 是实际问题选择的函数. 若A 满足上述条件，由定积分的定义可知()ba A f x dx =⎰2、用定积分求解实际问题的步骤： （1）分割区间，写出微元.分割区间[,]a b ，取具有代表性的任意一个小区间，记作[,]x x dx +,设相应的部分量为A ∆，分析部分量A ∆，选择函数()f x ，写出近似等式：()A dA f x dx ∆≈= （2）第二步 求定积分得整体量.令0x ∆→对微元求和取极限，得到的定积分就是要求的整体量()b baaA dA f x dx ==⎰⎰.此方法称为微元法. （二）定积分应用 1、（1）由连续曲线)(x f y =(()0f x ≥)，直线,x a x b ==(a b <)和x 轴所围成的图形面积为⎰⎰==bab aydx dx x f A )(.（2）由连续曲线)(x f y =，直线,x a x b ==(a b <)和x 轴所围成的图形面积为⎰⎰==babadx y dx x f A )(.（3）一般地，由连续曲线)(x g y =，)(x f y =及直线b x a x ==,(a b <)围成的图形 面积为⎰-=ba dxx g x f A )()(（4）由连续曲线)(y x ϕ=(()0y ϕ≥)，直线,y c y d == (c d <)和y 轴围成的 图形面积为⎰=dc dy y A )(ϕ.（5）由连续曲线)(y x ϕ=，)(y x ψ=及直线d y c y ==,(c d <)围成的图形 面积为⎰-=dc dy y y A )()(ψϕ.【例1】求由曲线2xy =与直线3x y +=围称图形的面积. 解：首先，画出草图.其次，平面图形由曲线2y x=与直线3y x =-围成. 选x 作积分变量由⎪⎩⎪⎨⎧-==xy x y 32可解得2,121==x x ； 则积分下限是1，积分上限是2. 最后，用公式求面积2ln 223)ln 223(]2)3[(21221-=--=--=⎰x x x dx x x A .【例2】求由曲线sin y x =，cos y x =及直线0x =，2x π=围成的图形的面积.解：首先，画出草图.其次，选x 为积分变量， 积分下限为0x =，上限为2x π=.最后，应用公式求面积， 用直线4x π=把图形分成两块.⎰⎰⎰-+-=-=244020)cos (sin )sin (cos cos sin ππππdx x x dx x x dx x x A )12(2)sin cos ()cos (sin 2440-=--+-=πππx x x x .【例3】求由抛物线2y x =及直线20x y +-=所围成的图形的面积. 解：首先，画出草图.其次，为确定积分限，解方程组⎩⎨⎧-==xy x y 22，得两组解1111x y =⎧⎨=⎩；2242x y =⎧⎨=-⎩，即交点为()1,1P ，()4,2Q -.选取y 为积分变量，则图形介于直线2y =-和1y =之间， 在这两条直线之间有两条曲线x =2y 和2x y =-=2-y . 最后由面积公式得29)322(])2[(1232122=--=--=--⎰y y y dy y y A若选取x 为积分变量，显然，图形介于直线0x =和4x =之间；而在这两条直线之间有三条曲线y ，y =和2y x =-，因此，图形必须分块.以直线1x =将图形分块，由面积公式得1412019([(2)(2A A A dx x dx =+=+--=⎰⎰.说明：计算时要适当选择积分变量，应综合考察下列因素： （1）被积函数的原函数易求；（2）较少的分割区域； （3）积分上、下限比较简单.【例4】求由曲线22,x y x y ==所围成图形的面积. 解: 首先,作出草图其次,确定积分限，为此解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧==22xy xy 得, 交点为(0,0)和(1,1)选取x 为积分变量，图形在直线0=x 及1=x 之间.最后，由公式得所求面积为3123201211)()0333A x dx x x ==-=⎰.【例5】求抛物线x y 22=和直线4+-=x y 所围成的图形的面积.解：先求抛物线和直线的交点，解方程组:⎩⎨⎧+-==422x y xy 得 ，交点为)2,2(和)4,8(-1）选x 为积分变量，积分区间为[0，8],面积为⎰⎰+-+=2082)42(22dx x x dx x A822232023]421)2(31[])2[(32x x x x +-+=18=.2）选y 作积分变量，则积分区间为[-4，2]，所求的面积为⎰---=242)24(dy y y A 2432]61214[---=y y y 18=. 2、旋转体的体积（1）旋转体一平面图形绕其平面内一条直线旋转一周 所形成的立体图形 其中的直线为旋转轴 （2）旋转体的体积x①由连续曲线()(()0)y f x f x =≥与直线b x a x ==,及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转，所得的旋转体体积为⎰=badx x f V )(2π.显然过点x )(b x a ≤≤且垂直于x 轴的截面是以)(x f 为半径的圆，其面积是)()(2x f x S π=,于是得旋转体的体积⎰=badx x f V )(2π.②由连续曲线)(y x ϕ=和直线d y c y ==,及y 轴所围成曲边梯形绕y 轴旋转所生成的旋转体的体积为⎰=dcdy y V )(2ϕπ.【例6】求椭圆12222=+by a x 分别绕x 轴和y 轴旋转所得旋转体的体积.解 1）绕x 轴旋转由半个椭圆aby =22x a -及x 轴围成的图形绕x 轴旋转而成的立体，所以⎰--=aa x dx x a ab V )(2222π22321()3a b a x x a a π=--234ab π=. 2）绕y 轴旋转⎰--=bb y dy y b b a V )(2222π22321()3b a b y y b b π=--b a 234π=. 当b a =时，得半径为a 的球体体积: 334a V π=.。