第六章 定积分及其应用 总结

置如何，都有=+。 性质 4 如果在区间上1，则==。 性质 5 如果在区间上,则。 推论1。2 定积分的可比性 如果在区间上，，则 ，
。 用通俗明了的话说，就是定积分保持不等号。 性质 6 积分的有界性 上连续，且对任意的，都有，则。 性质 7 积分中值定理 在闭区间上连续，则在积分区间上至少存在一点，使下式成立
一类特殊的反常积分 6.5 定积分的几何应用
一、定积分的元素法 面积表示为定积分的步骤如下 （1）把区间分割成个长度为的小区间，相应的曲边梯形被分为个小窄 曲边梯形，第个小窄曲边梯形的面积为，则. （2）取出的近似值 （3） 求和，得A的近似值 （4） 取极限，得A的精确值 二、平面图形的面积 (1) 由连续曲线 y = f (x) ( f (x) 0), 直线 x=a, x=b (a<b)及x轴所围成的平
=， 这时也称反常积分收敛；如果上述极限不存在，就称反常积分发散。
定义 设函数在区间上连续，如果反常积分和都收敛，则称上述反常积 分之和为函数在无穷区间上的反常积分，记作，即
=+ =+ 这时也称反常积分收敛；否则就称反常积分发散。
二、无界函数的反常积分
定义 无界函数反常积分 设函数 在半开闭区间 上连续,且 ,
设在区间上有界，且只有有限个间断点，则在区间上可积。 三．定积分的性质 两个特殊的定积分 （1）如果在点有意义，则； （2）如果在上可积，则。 . 定积分的线性性
设函数和在上都可积，是常数，则和+都可积，并且 （1）=;
(2) =+ (3) =-. 性质3 定积分对于积分区间的可加性 设在区间上可积，且，和都是区间内的点，则不论，和的相对位
。 记，如果不论对怎样分法，也不论在小区间上点怎样取法，只要当 时，和总趋于确定的极限，这时我们称这个极限为函数在区间上的定积 分（简称积分），记作，即
==, 其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分下 限，叫做积分上限，叫做积分区间。
定理1 可积性定理 设在区间上连续，则在上可积。 定理2 可积性定理
则
如果等式右边的极限存在且为有限值,此时称反常积分收敛,否则称反常 积分发散.
无界函数的反常积分 定义 设函数在半开半闭区间上连续,且, 则
,
如果等式右边的极限存在且为有限值,此时称反常积分收敛,否则称反常 积分发散.
积分函数在内点极限为∞的反常积分
设函数在在上除点 外连续,且 , 则定义
如果等式右边的两个反常积分都收敛，否则称反常积分发散.
三、定积分在经济学中的简单应用 设总成本函数为C=C(Q)，总收益函数为R=R(Q)， 边际成本为，边际收益为，其中Q为产量，C(0)称为固定成本 则总成本函数为
则总收益函数为 所以总利润函数为
面图形的面积 面积微元:
面积 (2) 由连续曲线 y=f(x), y=g(x), 直线 x=a, x=b (a<b)所围成的平面图形的 面积:
及y轴围成的平面 图形的面积为
及y轴围成 的平面图形的面积为： 二、立体的体积 1、旋转体的体积 一般地, 如果旋转体是由连续曲线、直线、及x轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的立体，体积为：
一.无穷限的反常积分 定义1 设函数在区间上连续,取,如果极限存在且为有限值,则此极限 为函数在无穷区间上的反常积分,记作,即
=. 这时也称反常积分收敛; 如果上述极限不存在,函数在无穷区间上的反常积分 就没有意义,习惯上称为反常积分发散.
设函数在区间上连续，取，如果极限存在且为有限值，则此极限为函数 无穷区间上的反常积分，记作，即
第六章 定积分
6.1 定积分的概念和性质 一、定积分问题举例
设在区间上非负、连续，由，，以及曲线所围成的图形称为曲边梯Biblioteka Baidu形，其中曲线弧称为曲边。 二、定积分的定义
定义 定积分 设函数在区间上有界，在中任意插入若干个分点，把区间分成个小 区间： 各个小区间的长度依次为，，…，。在每个小区间上任取一点，作函数 与小区间长度的乘积（），并作出和
= 称上面的公式为牛顿-莱布尼茨公式.
.3 定积分的换元法和分部积分法 一、定积分的换元法 假设函数在区间上连续,函数满足条件 (1),; (2) 在(或)上具有连续导数,且其值域,则有
=, 上面的公式叫做定积分的换元公式.
二、定积分的分部积分法 根据不定积分的分部积分法,有
简写为 =
=. 6.4 反常积分
=，
= 称为函数在区间上的平均值。
微积分基本定理 一．积分上限的函数及其导数 定理1 微积分基本定理
如果函数在区间上连续,则积分上限函数=在上可导,并且它的导数是 ==.
定理 2 原函数存在定理 如果函数在区间上连续,则函数=就是在上的一个原函数.
二.牛顿-莱布尼茨公式 定理3 微积分第一基本定理 如果函数是连续函数在区间上的一个原函数,