第六章 定积分的应用

第六章 定积分的应用

第一节 定积分的元素法

教学目的:理解和掌握用定积分去解决实际问题的思想方法即定积分的元素法 教学重点：元素法的思想 教学难点：元素法的正确运用 教学内容：

一、 再论曲边梯形面积计算

设

f x ()在区间],[b a 上连续,且0)(≥x f ，求以曲线y f x =()为曲边,底为]

,[b a 的曲边梯形的面积A 。

1.化整为零

用任意一组分点 b x x x x x a n i i =<<<<<<=- 110

将区间分成

n 个小区间[,]x x i i -1,其长度为

),,2,1(1n i x x x i i i =-=∆-

并记 },,,m ax {21n x x x ∆∆∆= λ

相应地，曲边梯形被划分成

n

个窄曲边梯形,第

i

个窄曲边梯形的面积记为

n

i A i ,,2,1, =∆。

于是 ∑=∆=

n

i i

A A 1

2.以不变高代替变高,以矩形代替曲边梯形，给出“零”的近似值

),,2,1(],[)(1n i x x x f A i i i i i i =∈∀∆≈∆-ξξ 3．积零为整，给出“整”的近似值 ∑=∆≈

n

i i

i

x

f A 1

)(ξ

4．取极限，使近似值向精确值转化

⎰∑=∆==→b

a

n

i i

i

dx x f x f A )()(lim

1

ξλ

上述做法蕴含有如下两个实质性的问题:

(１）若将],[b a 分成部分区间),,2,1(],[1n i x x i i =-，则

A 相应地分成部分量

),,2,1(n i A i =∆,而

∑=∆=n

i i A A 1

这表明：所求量A 对于区间],[b a 具有可加性。

(2）用i i x f ∆)(ξ近似i A ∆，误差应是i x ∆的高阶无穷小。 只有这样,和式

∑=∆n

i i

i

x

f 1

)(ξ的极限方才是精确值A 。故关键是确定

))()(()(i i i i i i i x o x f A x f A ∆=∆-∆∆≈∆ξξ

通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼， 我们可以给出用定积分计算某个量的条件与步骤。 二、元素法

1.能用定积分计算的量U ，应满足下列三个条件 (1) U 与变量x 的变化区间],[b a 有关； (２) U 对于区间],[b a 具有可加性;

(3) U 部分量i U ∆可近似地表示成i i x f ∆⋅)(ξ。

2．写出计算U 的定积分表达式步骤

（1) 根据问题，选取一个变量x 为积分变量,并确定它的变化区间[,]a b ； (２) 设想将区间[,]a b 分成若干小区间，取其中的任一小区间[,]x x dx +，

求出它所对应的部分量∆U 的近似值

dx x f U )(≈∆ (

f x ()为[,]a b 上一连续函数)

则称

f x dx ()为量U 的元素，且记作dx x f dU )(=。

(3） 以U 的元素dU 作被积表达式,以[,]a b 为积分区间,得

⎰=b

a

dx x f U )(

这个方法叫做元素法，其实质是找出U 的元素dU 的微分表达式

)()(b x a dx x f dU ≤≤=

因此，也称此法为微元法。

小结：元素法的提出、思想、步骤

（注意微元法的本质) 作业：作业卡

第二节 平面图形的面积

教学目的:学会用元素法计算平面图形的面积 教学重点：直角坐标系下平面图形的面积计算 教学难点:面积元素的选取 教学内容：

一、直角坐标的情形

由曲线)0)(()(≥=x f x f y 及直线 x a =与 x b = （ a b < ） 与 x 轴

所围成的曲边梯形面积A 。

A f x dx a

b

=⎰() 其中：f x dx ()为面积元素。

由曲线

y f x =() 与 y g x =() 及直线 x a =,x b =（ a b < )且

f x

g x ()()≥所围成的图形面积A 。

⎰⎰⎰-=-=

b

a

b

a

b

a

dx x g x f dx x g dx x f A ])()([)()(

其中:dx x g x f ])()([- 为面积元素。

例1 计算抛物线x y 22

=与直线4-=x y 所围成的图形面积。

解：1、先画所围的图形简图

解方程 ⎩⎨⎧-==4

22x y x

y ， 得交点:)2,2(- 和 )4,8(。

2. 选择积分变量并定区间 选取x 为积分变量，则08≤≤x

3. 给出面积元素

在20≤≤x 上，

dx

x dx x x dA 22])2(2[=--=

在82≤≤x 上,

dx

x x dx x x dA )24(])4(2[-+=--=

4． 列定积分表达式

18

2132243

24]24[22

8

2

223

20

2

38

2

2

=⎥

⎦⎤⎢⎣⎡-++=

-+

+=⎰⎰x x x x

dx

x x dx x A 另解:若选取

y 为积分变量,则 42≤≤-y

dy y y dA ]2

1)4([2

-

+= 18

642)2

14(4

2

322

4

2

=-

+=-

+=

--⎰y y y dy y y A

显然,解法二较简洁,这表明积分变量的选取有个合理性的问题。