科学计算方法9(迭代法收敛性证明)

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计算方法-迭代法讲义

计算 xi(k1) 时,
x(k 1) j
(
j
i)的值已经算出
所以迭代公式可以修改成：
X (k1) D1LX(k1) D1UX (k) D1b
或写成分量形式
i1
n
x(k1) i
(bi
aij
x
( j
k 1)
aij x(jk) ) / aii
j 1
j i 1
7
把矩阵A 记为 A = D – L – U ，则方程组等价为 (D – L)X = ＵＸ＋b ，从而有：Ｘ = (D – L)-1 UX + (D – L)-1b
2
4.1、雅可比（Jacobi）迭代法
把矩阵A 记为 A = D – L – U ，则方程组等价为
DX = (Ｌ＋Ｕ)Ｘ＋b ，
若 det(D)0, 则有：
Ｘ = D-1(L + U)X + D-1b
得到雅可比迭代矩阵：
BJ = D-1(L + U)，b’= D-1b 从而，得到雅可比迭代公式：
注意：这里的对角矩阵的D-1是非常容易计算的。
（精度要求）
得到满足要求的近似解。
例子：p.55(p.52)例8 ，10-3的精度，迭代10 次。
3x1x12xx22
5 5
x( 1
k
1)
x(k) 2 3
5 3
x2( k
1)
x(k) 1
2
5 2
x(0 1
x2(0
) )
0 0
6
4.2、高斯-赛德尔迭代法雅可比方法中
X (k1) D1(L U) X (k) D1b
|| B || 0.62875, || B ||1 0.648065375,

7.2 迭代法及其收敛性

k4.1045
1/ 2
表 7.2.1 用不动点迭代法计算例7.2.1的结果
0 (a) 1.5 -0.625 6.447 -378.2 5.3697e7 -1.547e23 (b) 1.5 0.912871 2.454577 (c) (d) (e) 1.5 1.5 1.5 1.241638702 1.333333333 1.365079365 1.424290116 1.305205188 1.387624336 1.332682451 1.370291856 1.344991115 1.362217505 1.350582520 1.358732441 1.355350555 1.354767869 1.355301399 1.355384418 1.355301398 1.355288480 1.355303407 1.355301085 1.355301446 1.355301390
*
k
xk x L x0 x L max x0 a , b x0 ,
* k * k
从而 7.2.4 成立.
再由 7.2.3 , 对m k 1, 我们有
x m x k x m x m 1 x m 1 x m 2 x k 1 x k x m x m 1 x m 1 x m 2 x k 1 x k Lm 1 x1 x0 Lm 2 x1 x0 Lk x1 x0 Lk x1 x0 1 L L2 Lm k 1 .
(7.2.1)
其中 ( x )为连续函数,其取法不唯一,例如可取
方程(7.2.1)的解称为函数 ( x )的不动点, 求方程 (7.2.1)的解的问题称为不动点问题.

gauss-seidel迭代法收敛判断

Gauss-Seidel迭代法是一种用于求解线性方程组的迭代算法，该算法在科学计算和工程领域被广泛应用。

在使用该算法时，我们需要考虑其收敛性，以确保结果的准确性和可靠性。

下面我们将介绍Gauss-Seidel迭代法收敛判断的相关内容。

1. 收敛性定义在使用迭代法求解线性方程组时，迭代算法的收敛性是一个非常重要的问题。

一个迭代算法如果能够在有限步内得到一个接近于真实解的近似解，就称为收敛。

否则，如果迭代算法无法收敛或者收敛速度非常慢，就需要考虑改进算法或者选择其他更适合的算法。

2. Gauss-Seidel迭代法Gauss-Seidel迭代法是一种逐次逼近法，它通过不断地逼近线性方程组的解来求得近似解。

这种迭代算法的优点是简单易行，适用于各种情况。

然而，它的收敛性需要进行严格的判断。

3. 收敛条件对于Gauss-Seidel迭代法，我们可以使用以下收敛条件来进行判断：a) 对角占优条件：如果线性方程组的系数矩阵是严格对角占优的，那么Gauss-Seidel迭代法一定收敛。

b) 正定条件：如果线性方程组的系数矩阵是正定的，即所有的特征值都是正的，那么Gauss-Seidel迭代法也一定收敛。

c) 非奇异条件：如果线性方程组的系数矩阵是非奇异的，即行列式不为0，那么Gauss-Seidel迭代法也一定收敛。

4. 不收敛的情况尽管Gauss-Seidel迭代法在很多情况下能够收敛，但也存在一些情况下它不收敛的情况。

当线性方程组的系数矩阵不满足对角占优条件、正定条件或者非奇异条件时，Gauss-Seidel迭代法就可能不收敛。

此时，我们需要考虑改进算法或者选择其他更适合的迭代算法。

5. 收敛速度除了考虑Gauss-Seidel迭代法的收敛性外，还需要关注其收敛速度。

一般来说，Gauss-Seidel迭代法的收敛速度相对较快，特别是在满足对角占优条件、正定条件或非奇异条件的情况下。

然而，如果在实际使用中发现收敛速度较慢，也可以考虑使用加速方法如SOR方法等来提高收敛速度。

37第七节迭代法及其收敛性

x(k) x q x(k) x(k1) 1q
x(k) x qk x(1) x(0) 1q
证因 (B)||B||=q<1, 所以迭代格式收敛, 且有设 lim x (k) =x*，由 x(k+1) = Bx(k) + f ，得 x* = Bx* + f ，则
数学学院信息与计算科学系
又 || Bk|| ||B||k ，有 lim||Bk||=0 ，故 lim B k =0，由1）知，迭代格式收敛。
数学学院信息与计算科学系
三、迭代法的收敛速度
考察误差向量
e(k) =x(k) -x＊=Bk ·e(0)
设B有n个线性无关的特征向量及相应的特征值为
1 ,2 , ,n ,
1 , 2 , , n
数学学院信息与计算科学系
2）由1)知，迭代格式收敛 lim Bk=O ，即lim||Bk||=0 ，从而存在 k ，使 || B k || <1，由谱半径的性质有
[( B )]k = (B k ) ||B k ||<1，
故得
( B )<1，
因(B)=inf{||B||}且(B)<1，存在 >0及使 || B || ( B )+ <1，
取对数得定义3 称
k s ln10
ln (B)
R(B) ln (B)
为迭代法 x(k+1) = Bx(k) + f 的收敛速度。由此看出，当(B)<1愈小，速度R(B)就愈大，
所需要的迭代次数也就愈少。
数学学院信息与计算科学系
定理 2 若 ||B||=q<1，则对任意x(0) 迭代格式 x(k+1) = Bx(k) + f 收敛，且有误差估计式

牛顿迭代法收敛条件

牛顿迭代法收敛条件牛顿迭代法是数值计算的一种重要的技术，是一种利用牛顿迭代法求解非线性方程组的有效方法。

牛顿迭代法的实现不仅要求计算出一个收敛的迭代结果，还要通过特定条件来证明这个收敛结果。

考虑到这项技术的重要性，它的收敛条件也受到了广泛的关注与研究。

一、牛顿迭代法收敛性的定义在计算机科学和应用中，牛顿迭代法是一种迭代方法，用于计算方程组的解，其中包括非线性方程组。

求解这类方程组的迭代计算不是在停止点处终止，而是要求迭代收敛的条件，这就是收敛性的定义。

收敛性是指在迭代计算过程中，特定的算法和条件下迭代序列必须向某个点收敛，而不是把它的值无限接近某一值，或者只在特定的时间段内能收敛，而不是收敛到特定点。

二、牛顿迭代法收敛性的判定牛顿迭代法收敛性的判定分为两种，一是函数收敛条件，二是牛顿迭代法本身的收敛条件。

1.函数收敛条件牛顿迭代法收敛的函数收敛条件要求函数在一定范围内的变化率不能无限逼近某个值，即认为一个函数在某一范围内的值收敛了，收敛的标准是函数在收敛范围内的变化率小于某一阈值。

2.牛顿迭代法本身的收敛条件牛顿迭代法本身的收敛条件就是给定一个序列，该序列必须在一定条件下收敛，这个条件是这些给定的序列必须严格满足强半正定矩阵上的平方和半正定矩阵性质，以及有足够多的解。

三、牛顿迭代法收敛性的应用1.牛顿迭代法在求解非线性方程的应用牛顿迭代法在计算机科学和应用中用于求解非线性方程组的解，其特点是快速收敛、算法简单、可以实现精确的解等。

当特定的非线性方程组的求解要求接近精确解时，利用牛顿迭代法可以获得满足收敛性要求的精确解。

2.牛顿迭代法在最优化问题中的应用牛顿迭代法也是用于解决最优化问题的一种有效方法，如求解最小化最大化目标函数，求解最优化问题的极小值或极大值等。

与传统最优化算法相比，牛顿迭代法具有计算快、收敛性强等优点，经常被用于解决最优化问题，从而获得较为精确的最优解。

3.牛顿迭代法在深度学习算法的应用牛顿迭代法在深度学习算法中也有重要的应用，例如误差反向传播算法(Error Back propagation, EBP)中就采用了牛顿迭代法。

迭代法和其收敛性

(1) xk1 xk2 xk 3, g(x) x2 x 3,
g(x) 2x 1, g(x*) g( 3) 2 3 1 1.
3
3
(2)
xk 1
xk
,
g(x)
, x
g( x)
3 x2
,
g( x*)
1.
(3)
xk 1
xk
1 4
( xk2
3),
g(x)
x
1 4
(x2
3),
g(x) 1 1 x, g(x*) 1 3 0.134 1.
上g存(x在) [a, b]
因 a g，(x)下列b设
及 g(a) ，a定 g(b) b
义函数
f (x) g (x) x.
显然 f (x) C，[a且, b满] 足
f (a) g (a) a 0, f (b)
g(b) b，由0 连续函数性质可知存在
x使* (a, b)
f (x*) ， 0即
L xk1 x * Lk x0 x *.
因 0 L，故1 当 k时序列收敛{到xk } .
x*
再证明估计式（2.5），由李普希兹条件有
xk1 xk g(xk ) g(xk1) L xk xk1 .
（2.6）
反复递推得
xk 1 xk Lk x1 x0 .
于是对任意正整数 p有
g在(x区) 间3x2 中
[1,2] g(x) 1
10.3 局部收敛性与收敛阶
上面给出了迭代序列 {在xk区} 间上[旳a, b收]敛性，一般称为全局收敛性. 定理旳条件有时不易检验，实际应用时一般只在不动点 x *旳邻近考察其收敛性，即局部收敛性.
定义7.2.1 设有(x不) 动点，假x *如存在旳某x个* 邻域 R : x x ，* 对任意，迭x0 代（R 2.2）产生旳序列 {xk }，R且收敛到，x则*称迭代法（2.2）局部收敛.

数值计算方法迭代法的收敛性与稳定性 - 迭代法的收敛性与稳定性

稳
(2) G-S迭代法收敛 (G) 1 ，其中G (D L)1U .
定
性
(3) SOR迭代法收敛 (L ) 1 ，其中L (D L)1[(1 )D U].
一阶定常迭代法的基本定理
8 x1 3 x2 2 x3 20,
例4
考察用Jacobi方法解方程组
33,
的收敛性.
迭
代法的
n2
个数列极限存在且有
lim
k
a(k ij
)
aij
(i, j 1, 2,
记为 lim(k ).
, n) ，则{ Ak }称收敛于 A
收敛性
定理1
lim
k
Ak
A lim k
Ak
A
0,其中||·||为矩阵的任意一种
与算子范数.
稳
定性
定理2
lim
k
Ak
A
x
Rn
都有 lim k
迭代
6
x1
3 x2
12 x3
36.
法
因为方程组的矩阵A 及迭代矩阵J 为
的
收
8 3 2
0
3 / 8 2 / 8
敛
A 4 11 1, J D1(L U ) 4 / 11 0 1 / 11 .
性与
6 3 12
6 / 12 3 / 12 0
稳定
得迭代矩阵 J
的特征方程为
2 必存在一种范数 . ，使得
A ( A) 1 ( A) 1
2 lim A k 0
k
而 Ak A k ，于是
lim Ak ＝lim A k 0
k
k

牛顿迭代法原理

牛顿迭代法原理牛顿迭代法是一种用来求解方程近似解的方法，它是由伟大的数学家牛顿提出的。

牛顿迭代法的原理非常简单，但却非常有效，被广泛应用于科学计算、工程技术和金融领域。

本文将详细介绍牛顿迭代法的原理及其应用。

首先，我们来看一下牛顿迭代法的基本思想。

对于一个函数f(x)，我们希望找到它的根，即找到使得f(x)=0的x值。

假设我们已经有一个近似解x0，我们希望通过一些计算，得到一个更接近真实根的近似解x1。

那么，牛顿迭代法的思想就是利用函数f(x)在点x0处的切线来逼近真实根的过程。

具体来说，我们可以通过切线与x轴的交点来得到新的近似解x1，然后以x1为起点，再次利用函数f(x)在x1处的切线来得到更接近真实根的近似解x2，如此循环下去，直到满足我们的精度要求为止。

接下来，我们来具体推导一下牛顿迭代法的数学原理。

假设我们要求解方程f(x)=0，我们已经有一个近似解x0，那么我们可以利用函数f(x)在点x0处的切线来得到新的近似解x1。

根据切线的定义，我们可以得到切线方程为：f'(x0)(x-x0) + f(x0) = 0。

其中f'(x0)表示函数f(x)在点x0处的导数。

由于我们希望找到使得f(x)=0的x 值，因此我们可以将上述方程改写为：x = x0 f(x0)/f'(x0)。

这就是牛顿迭代法的迭代公式。

通过不断地使用这个迭代公式，我们可以逐步逼近真实根，直到满足我们的精度要求为止。

牛顿迭代法的收敛性是其最重要的性质之一。

在一定的条件下，牛顿迭代法可以保证收敛到方程的根。

具体来说，如果我们选择一个足够接近真实根的初始值x0，并且函数f(x)在x0附近具有连续的一阶导数，那么牛顿迭代法就可以保证收敛到方程的根。

这使得牛顿迭代法成为了一种非常有效的求解方程近似解的方法。

除了求解方程的近似解外，牛顿迭代法还被广泛应用于优化问题和数值微分方程的求解中。

在优化问题中，我们可以利用牛顿迭代法来求解函数的极值点，从而得到最优解。

牛顿迭代法的基本原理知识点

牛顿迭代法的基本原理知识点牛顿迭代法是一种求解方程近似解的数值计算方法，通过不断逼近方程的根，以获得方程的解。

它基于牛顿法则和泰勒级数展开，被广泛应用于科学和工程领域。

本文将介绍牛顿迭代法的基本原理和相关知识点。

一、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法的基本原理可以总结为以下几个步骤：1. 假设要求解的方程为 f(x) = 0，给定一个初始近似解 x0。

2. 利用泰勒级数展开，将方程 f(x) = 0 在 x0 处进行二阶近似，得到近似方程：f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x - x0) + 1/2 f''(x0)(x - x0)^23. 忽略近似方程中的高阶无穷小，并令f(x) ≈ 0，得到近似解 x1：0 ≈ f(x0) + f'(x0)(x1 - x0) + 1/2 f''(x0)(x1 - x0)^2求解上述方程，得到近似解 x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)。

4. 通过反复迭代的方式，不断更新近似解，直到满足精度要求或收敛于方程的解。

二、牛顿迭代法的收敛性与收敛速度牛顿迭代法的收敛性与收敛速度与初始近似解 x0 的选择和方程本身的性质有关。

1. 收敛性：对于某些方程，牛顿迭代法可能无法收敛或者收敛到错误的解。

当方程的导数为零或者初始近似解离根太远时，迭代可能会发散。

因此，在应用牛顿迭代法时，需要对方程和初始近似解进行合理的选择和判断。

2. 收敛速度：牛顿迭代法的收敛速度通常较快，二阶收敛的特点使其在数值计算中得到广泛应用。

在满足收敛条件的情况下，经过每一次迭代，近似解的有效数字将至少加倍，迭代次数的增加会大幅提高精度。

三、牛顿迭代法的优点与局限性1. 优点：1) 收敛速度快：牛顿迭代法的二阶收敛特性决定了它在求解方程时的高效性和快速性。

2) 广泛适用：牛顿迭代法可以用于求解非线性方程、方程组和最优化问题等，具有广泛的应用领域。

线性方程组的迭代解法及收敛分析

2.8098
1.9583
0.8468
0.2974
9
1.0975
2.0954
2.8217
1.9788
0.8847
0.2533
10
1.0850
2.0738
2.8671
1.9735
0.8969
0.2041
11
1.0673
2.0645
2.8802
1.9843
0.9200
0.1723
12
1.0577
2.0509
2.9077
1.9828
0.9303
0.1400
13
1.0463
2.0437
2.9191
1.9887
0.9448
0.1174
14
1.0392
2.0350
2.9363
1.9886
0.9527
0.0959
15
1.0318
2.0297
2.9451
1.9920
0.9620
0.0801
16
1.0267
2.0241
Keywords：MATLAB,Mathematical model,Iterative method,ConvergenceSystem of linear equations
1
在实际生活中，存在着大量求解线性方程组的问题。这些方程组具有数据量大，系数矩阵稀疏，在一定精度保证下，只需要求解近似解等特点。线性方程组的迭代解法特别适合于这类方程组的求解，它具有程序设计简单，需要计算机的贮存单元少等特点，但也有收敛性与收敛速度问题。因此，研究线性方程组的迭代解法及收敛分析对于解决实际问题具有非常重要的作用。

牛顿迭代法的科学计算和工程应用

牛顿迭代法的科学计算和工程应用牛顿迭代法是一种用于求解非线性方程的数值计算方法，该方法以牛顿插值公式为基础，利用导数的概念，通过不断迭代来逼近函数的根。

牛顿迭代法在科学计算和工程应用中具有广泛的应用，例如在求解实际问题中的最优化问题、求解微分方程、图像处理等方面，牛顿迭代法都有着重要的地位。

牛顿迭代法的原理牛顿迭代法通过牛顿插值公式来逼近函数的根。

对于一个函数f(x)，在x=a处的一次近似为：f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)其中f'(a)为函数f(x)在x=a处的导数。

若f(x)=0，则有：x=a-(f(a)/f'(a))这便是牛顿迭代法的基本公式。

通过不断迭代即可逼近函数的根。

牛顿迭代法的优缺点牛顿迭代法具有收敛速度快的优点，通常情况下可以迅速地逼近函数的根。

但是在某些情况下，牛顿迭代法的收敛会比较慢，甚至会出现发散的情况。

此外，牛顿迭代法要求函数在根的附近具有一阶导数连续，否则无法适用。

牛顿迭代法的工程应用举例牛顿迭代法可以应用于求解实际问题中的最优化问题、求解微分方程、图像处理等领域。

下面简单介绍几个工程应用举例。

1. 最优化问题最优化问题在工程和科学领域中都有着很广泛的应用。

在求解最优化问题时，需要找到函数的极值点。

利用牛顿迭代法可以快速、准确地找到函数的极值点。

例如，利用牛顿迭代法可以求解f(x)=(1/2)x^2-2x+3的极值点。

首先求取函数的一阶和二阶导数：f'(x)=x-2f''(x)=1然后利用牛顿法进行迭代：x₁=x₀-(f'(x₀))/f''(x₀)=2x₂=2-(f'(2))/(f''(2))=1.5x₃=1.5-(f'(1.5))/(f''(1.5))=1.414可以看出，只需要进行三次迭代就可以求得函数的极值点。

这说明，牛顿迭代法对于求解最优化问题具有很大的优势。

迭代法的收敛性

谱半径分别是 ρ ( B ) =
30 15 , ρ ( M ) = 。均不收敛。 2 2
若交换方程的次序，得 Ax = b的同解方程组 Ax=b,
' '
3 − 10 9 −4 ' A= → A = 3 −10 9 −4 A '为严格对角占优阵，因而对方程组 A ' x = b '用 Jacobi与 Gauss − Seidel 迭代求解均收敛。
k →∞
x* = Mx* + g 由迭代公式有 x ( k ) − x* = Mx ( k −1) + g − Mx* − g = M ( x ( k −1) − x* ) = M 2 ( x ( k − 2) − x* ) = M k ( x (0) − x* ) 于是有 lim M k ( x (0) − x* ) = lim( x ( k ) − x* ) = 0
其特征方程
λ
1 λI − B = 2 1 2
1 2
λ
1 2 1 3 1 3 = λ − λ + 2 4 4
1 λ 2 1 2 = ( λ − ) ( λ + 1) = 0 2
1 , λ 3 = − 1, 因而 ρ ( B ) = 1 得λ1 = λ 2 = 2 ⇒ J a c o b i迭代法不收敛。
移项得代入得
(I − M ) x (k ) − x*
−1
1 ≤ 1− M
k
M ≤ 1− M
x (1 ) − x ( 0 ) 。
由误差估计式 x
(k )
−x
*
≤
M
k
1− M
x (1) − x ( 0 )

牛顿迭代法的收敛性分析和优化

牛顿迭代法的收敛性分析和优化牛顿迭代法是求解非线性方程的一种经典方法，其在科学计算和工程实践中具有广泛应用。

本文主要探讨牛顿迭代法的收敛性分析和优化。

一、基本原理牛顿迭代法是利用函数的一阶导数和二阶导数信息来快速逼近非线性方程的根。

假设我们要求解方程$f(x)=0$，其中$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$是连续可导函数，$x_0$是某个初始估计值。

根据泰勒展开公式，可以得到局部线性近似为$$f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2$$由于$f(x)$在$x=x_0$处为零，因此仅保留一阶项，可得到下面的一次方程$$f'(x_0)(x-x_0)=-f(x_0)$$解得$$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$$$x_1$即为$f(x)=0$的第一个近似根。

类似地，我们可以继续迭代得到第$k$步的近似根$$x_k=x_{k-1}-\frac{f(x_{k-1})}{f'(x_{k-1})}$$当$f'(x_k)\neq 0$时，该迭代公式是收敛的，并且收敛速度相当快，一般为二次收敛。

在实际应用中，牛顿法的迭代次数很少超过10次，速度比其他迭代法快得多。

二、收敛性分析然而，牛顿迭代法并不总是收敛的，尤其当$f'(x_k)=0$时，迭代公式会失效。

此时，我们可以通过对原函数进行曲率调整来解决这个问题。

具体来说，对于第$k$步，定义一个新的函数$g(x)=f(x)/f'(x_k)$，那么$g(x_k)=0$，并且$g'(x_k)\neq 0$。

因此，可以用牛顿迭代法求解$g(x)$的根，得到下面的迭代公式$$x_{k+1}=x_k-\frac{g(x_k)}{g'(x_k)}$$其中，$$g(x)=\frac{f(x)}{f'(x_k)},\hspace{1cm}g'(x)=\frac{f''(x_k)f(x)-[f'(x_k)]^2f'(x)}{[f'(x_k)]^2}$$这个方法称为改进的牛顿迭代法或牛顿-拉夫逊迭代法。

牛顿迭代法收敛证明

牛顿迭代法（Newton's method）是一种用于寻找方程的根的迭代方法。

它使用切线逼近根的思想。

设f(x) 是连续可微的函数，我们想要求解方程f(x) = 0 的根。

牛顿迭代法的步骤如下：选择一个初始值x_0。

计算函数 f 在x_0 处的导数f'(x_0)。

计算切线方程的截距 b = f(x_0) - x_0 * f'(x_0)。

由于切线过根，令切线方程为0，解得新的近似根x_1 = x_0 - f(x_0)/f'(x_0)。

重复步骤2～4，直到满足收敛条件。

牛顿迭代法的收敛证明涉及到一些数学分析的内容，下面简要说明其主要理论的基础。

首先，我们需要确保初始值x_0 足够接近根，使得切线法能够逼近根。

具体来说，既要保证f 在根附近是连续可微的，也要保证初始值x_0 足够接近根，使得切线法能够逼近根。

如果满足这些条件，牛顿迭代法可以收敛到一个根。

然后，我们需要证明牛顿迭代法的收敛性质。

这涉及到对迭代的误差进行分析。

可以证明，如果 f 在根的附近满足Lipshitz 条件，即存在一个常数L，使得在某个区间内，对于任意的x，y，有|f(x) - f(y)| <= L |x - y|，那么牛顿迭代法可以收敛到根，并且收敛速度是二次的。

简单来说，牛顿迭代法的收敛性取决于函数 f 在根附近的连续可微性和Lipshitz 条件的满足程度。

如果满足这些条件，那么迭代过程中的误差会趋向于零，并且收敛速度还会比较快。

需要注意的是，牛顿迭代法也可能出现不收敛的情况，特别是当初始值选择不当或者函数 f 不满足上述条件时。

因此，在使用牛顿迭代法时，需要仔细选择初始值，并对于特定的方程，可能需要做一些特殊处理来保证收敛性。

数值计算中的迭代法与收敛性分析

数值计算中的迭代法与收敛性分析数值计算是现代科学技术中不可或缺的一部分，主要解决数学问题的计算和应用问题的模拟。

其中，在数学问题的计算中，经常需要使用迭代法。

本文将从迭代法的基本概念、应用、收敛的定义和分类、收敛性分析以及优化中的迭代法等几个方面论述迭代法与收敛性分析。

一、迭代法的基本概念和应用迭代法是指通过对一个初值的反复迭代求解来逼近某个方程的解或某个函数的极值的方法。

通常来说，迭代法都需要给出迭代序列的计算公式，将初值代入迭代公式计算，得到下一项的迭代结果，不断迭代，直到达到预定的迭代次数或满足收敛精度要求为止。

在数值计算中，迭代法的应用十分广泛，例如求解非线性代数方程、求解常微分方程初值问题、解方程组、求解最优化问题等。

二、收敛的定义和分类在迭代方法求解问题时，我们需要考虑其迭代序列的收敛性问题。

收敛是指迭代序列随着迭代次数的增加，逐渐逼近欲求解的精确解。

在数值计算中，可以用迭代序列中后面几项的误差与该序列最后一项的关系来描述收敛情况。

如果迭代序列中的误差随着迭代次数的增加而逐渐趋于零，那么该迭代序列就是收敛的；反之，如果误差在某个阶段始终无法收敛，那么该迭代序列就是发散的。

按照算法的不同，迭代可以分为简单迭代和牛顿迭代等多种迭代方法。

而根据问题的不同性质，迭代的收敛性可以分为线性收敛和非线性收敛两种情况。

在常见的迭代算法中，如牛顿迭代等，通常都需要对迭代的收敛性进行分析，并根据问题特点选择适当的算法。

三、收敛性分析收敛性分析是数值计算中非常重要的一部分，其主要目的就是分析迭代序列的收敛性，找到迭代公式使其遵循收敛性的要求。

对于某些特定的迭代算法，分析收敛的方法也不相同。

下面我们以简单迭代法和牛顿迭代法两种常见的迭代算法为例，简单分析一下如何对其进行收敛性分析。

（1）简单迭代法的收敛性分析对于简单迭代法，其基本的思路就是对于方程f(x)=0，在x_0处展开泰勒公式，得到x_(k+1)和x_k間的关系式，根据其收敛的条件来选择迭代公式。

数值分析9(迭代法收敛性证明)

X (k1) X *
B( X (k) X * ) B2 ( X (k1) X * ) L Bk1( X (0) X * )
由X(0) 的任意性知
B* =lim Bk O (B) 1。
k
05:00
8/34
充分性 k
X (k1) BX (k) f B(BX (k1) f ) f L Bk1 X (0) B j f j0 则(I B)(I B B2 L Bk ) I Bk1,
(B) 1 lim Bk 0 k (I B)-1 = B j。 j0
lim X (k) (I B)1 f 说明迭代法产生的序列收敛。
k
05:00
9/34
谱半径小于1是迭代收敛的充要条件,但它不易计算,所以在实际使用中通常并不好用。
由性质( A) A ,我们有如下推论 :
推论4.1 若||B||<1,则对任意的f和任意的初始向量 X(0)迭代法 X(k+1) =B X(k) +f 收敛。
是实对称正定矩阵时, Gauss-Seidel迭代法收敛。
定理方程组 Ax=b 中, 若 A 是实对称正定矩阵,则
Jacobi迭法收敛？(反例)
05:00
20/34
定理4.5 设BJ元素均非负, 则下列关系有且只有一个成立:
(1) (BJ ) (BGS ) 0; (2) 0<(BGS ) (BJ ) 1; (3) (BJ ) (BGS ) 1; (4) 1<(BJ ) (BGS )。
1 || B ||
证 X(k+1)–X* =B(X(k) – X* )
|| X(k+1) – X* || ≤ ||B(X(k) – X*) || ≤ ||B|| || X(k) – X* ||

简化牛顿迭代法收敛证明

简化牛顿迭代法收敛证明牛顿迭代法是求解方程的一种常用方法，它通过不断逼近方程的根来得到精确解。

本文将简化牛顿迭代法的收敛证明，介绍其基本原理及应用。

牛顿迭代法是由英国科学家艾萨克·牛顿于17世纪提出的一种求根方法。

它基于一个重要的观察：如果函数f(x)在某一点x0附近有一个根，那么可以通过一条切线来逼近这个根，切线与x轴的交点就是新的近似解。

重复这个过程，我们就可以逐渐趋近于方程的精确解。

在牛顿迭代法中，我们首先猜测一个初始解x0，然后通过切线来逼近方程f(x)=0的根。

假设切线与x轴的交点为x1，那么x1可以通过以下公式得到：x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)其中f'(x0)是函数f(x)在点x0处的导数。

将x1作为新的初始解，再次应用上述公式，可以得到一个新的逼近解x2。

不断重复这个过程，直到逼近解足够精确为止。

迭代公式即为：xn+1 = xn - f(xn)/f'(xn)牛顿迭代法的基本原理是利用函数在某一点处的一阶导数来实现逼近，因此公式的可行性与方程f(x)的光滑性有关。

如果f(x)在解附近具有良好的光滑性，牛顿迭代法往往能够快速收敛到精确解附近。

下面我们将简化牛顿迭代法的收敛证明。

假设方程f(x)=0的根为x\*，那么在x\*附近，我们可以将函数f(x)用泰勒级数展开：f(x) = f(x\*) + f'(x\*)(x - x\*) + O((x - x\*)^2)其中O((x - x\*)^2)是高阶无穷小。

由于x\*是方程的根，所以f(x\*)=0，于是上述公式可以简化为：f(x) = f'(x\*)(x - x\*) + O((x - x\*)^2)牛顿迭代法的迭代公式为xn+1 = xn - f(xn)/f'(xn)，代入上述近似公式，得到：xn+1 = xn - (f'(xn)(xn - x\*) + O((xn - x\*)^2))/f'(xn)简化后得到：xn+1 - x\* = (xn - x\*) - f(xn)/f'(xn)上式可以进一步化简为：xn+1 - x\* = (xn - x\*) - (f(xn) - f(x\*))/f'(xn)这就是牛顿迭代法的简化公式，它说明每一次迭代的误差与上一次迭代的误差平方成正比。

计算方法第六章迭代法

计算方法第六章迭代法迭代法是一种重要的数值计算方法，在数学和计算机科学中有广泛的应用。

本章将介绍迭代法的基本概念、原理和应用，以及相关的数学原理和计算技巧。

首先，我们来了解迭代法的基本概念。

迭代法是通过逐步逼近的方式得到一个问题的解。

迭代法的基本思路是从一个初始值开始，通过重复计算和更新，得到更加接近最终解的近似值。

迭代法的优点是简单和灵活，但需要注意选择合适的迭代公式和初始值，以及控制迭代的停止条件。

迭代法的原理可以用以下的一般形式表示：```x_(n+1)=f(x_n)```其中，x_n表示第n次迭代得到的近似值，x_(n+1)表示第(n+1)次迭代的近似值，f是一个函数，表示迭代公式。

迭代法的思想是通过不断迭代更新x的值，直到满足一些停止条件为止。

迭代法的应用非常广泛，特别是在求解非线性方程和优化问题方面有重要的应用。

在求解非线性方程时，我们可以将方程转化为形式为f(x)=0的等式，然后通过迭代法逼近方程的根。

在优化问题中，我们可以通过最小化或最大化一个函数来寻找最优解，也可以使用迭代法逐步逼近最优解。

在迭代法的实际应用中，我们需要注意一些数学原理和计算技巧。

首先，迭代法的收敛性是关键的，即通过迭代公式逐步逼近的值是否趋于问题的解。

在评估迭代法的收敛性时，常用的方法有判断迭代序列的极限是否存在和是否满足一些收敛条件。

其次，选择合适的迭代公式和初始值对于迭代法的成功应用非常重要。

迭代公式应该是简单和有效的，能够在迭代过程中逐步逼近问题的解。

初始值的选择也会直接影响迭代的结果，通常需要根据问题的特点和经验进行选择。

另外，迭代法的计算精度和计算效率也是需要考虑的问题。

在迭代过程中，我们需要根据问题的要求不断调整迭代的次数和迭代的停止条件，以达到较高的计算精度。

同时，我们也需要通过优化迭代公式和使用更加高效的计算技巧来提高计算的效率。

最后，迭代法的应用还可以进一步扩展到其他领域。

例如，在图像处理中，我们可以使用迭代法逐步改进图像的质量；在机器学习中，我们可以使用迭代法来调整模型的参数，以求得更好的拟合效果。

[doc]迭代法的收敛阶的定义和应用

迭代法的收敛阶的定义和应用第23卷增刊V ol_23四川教育学院JOURNALOFSICHUANCOUJEGEOFEDUCA~ON2007年10月0ct.2007迭代法的收敛阶的定义和应用张志斌(山西大同大学工学院,山西大同037003)摘要:分析不同版本数值计算教材中的收敛阶的不同表述之间的关系,并对两个定义分别给出了应用.关键词:迭代法;收敛阶;定义分析;应用TheIterativeMethodConvergenceOrderDefinitionandApplication Abstract:Betweenanalyzesinthedifferenteditionvaluecomputationteachin gmaterialtorestrainthestepdifferentlytoindicatetherelations,andhasseparatelyproducedtheapplicationtotwodefinitions. Keywords:herativemethod;Restrainself~ordertheanalysisofthedefinition ;application中图分类号:013文献标识码:A文章编号:1000-5757(2007)10-0209-02近几年,人们逐步认识到科学计算的重要性,许多理工科大学已将计算方法列为大学生和硕士研究生的必修课程.当然,关于这门课的教材也就多了起来,各教材对于同一概念,定理的表述就可能不同,其中,在求非线性方程的根内容中,为了刻画由迭代法产生的数列的收敛速度,教材中进一步引进迭代法的收敛阶这个概念,这是评价不同迭代法产生的不同收敛数列的收敛快慢程度的一个量化标准,在迭代法的收敛性讨论上起重要作用.因此,有必要探讨迭代法的收敛阶这一概念.下面就两个定义的不同表述进行分析,并给出其简单的应用.1两个定义的比较教材[1]中定义如下:定义1设数列{}收敛于’,令误差e=一’,如果存在某个实数P≥1及正常数c,使1.1e+ll丁则称数列{}为P阶收敛,也称相应的迭代法是P阶方法,当P=1且0<c<1时,称数列{}为线性收敛,当P=2时,称数列{}为平方收敛(或二阶收敛),当P>1时,称数列{}为超线性收敛.教材[2]中定义如下:设迭代过程=()收敛于方程=()的根‘,如果迭代误差e=一’,当k一*时成立下列渐近关系式一c(c≠0常数)eI则称该迭代过程P是阶收敛的,特别地,P=1时线性收敛,P>1时称超线性收敛,P=2时平方收敛.下面讨论两个定义的两个重要区别.1.1两个定义中,对参数P的表述不同定义1中指出P≥1,而定义2中未指出P的范围,这一点在定义1中给人明确的概念,收敛阶至少是1阶的,而定义2中没有这样的表述,这是为什么?定义1的这个限制来源何处,是否有道理?结论1若迭代过程+.=()产生的迭代数列{}收敛,则在两个定义下均有迭代数列{}至少是1阶收敛.证明:设’为迭代函数()在’的附近存在至少一阶的导数,从而()在’处的泰勒展开式为()=(‘)+()(—’),其中介于,’之间,“.=()=(‘)+()(一’),其中介于,’之间,整理得I+l一‘=()(I一’)从而在定义1下(‘)l在定义2下!im竽=!im:!im,():,(‘)hh’一‘h∞…当(.)≠0时,迭代数列{}为1阶收敛.当(‘)≠0时,迭代数列{}为至少1阶收敛.综上有结论1成立.证毕1.2线性收敛的表述不同在定义1中,当P=1且0<c<1时,称数列{}为线性收敛,定义2中,P=1时线性收敛,显然,定义1中多了0<c<1这一条件,下面分析为什么要提到这一条件. 结论2若迭代过程=()产生的迭代数列{}仅为线性收敛,则在定义1中有0<c<1成立.证明由迭代过程=()产生的迭代数列仅为线结合结论的证明el(‘)l=c≠0h∞lLl作者简介:张志斌(1969一),男,山西临猗人,讲师,研究方向:计算数学.四川教育学院2007年10月假若I妒x)I每(0,1),则应有I妒()I≥1,从而妒()在’的某领域U(x,)上有妒x)>M≥1o从而当足够大时,即存在自然数k,当k>ko时,∈U(‘,),故有I+一’I=I妒()一妒(‘)I=I妒()(一’)I.>MI一’I.对于足够大的自然数P有I+一’I>M1,I0一I>1.这与迭代数列{}收敛相矛盾,故假设不成立,从而有0<c<1成立.证毕由上可知,定义1和定义2实质是等价的,定义1在表述上比定义2更准确,严谨些,在应用中,可以根据具体情2两个定义的应用例1试证用二分法得到的序列{}线性收敛. 证明(用定义1来证明):二分法产生的序列{}满足一≤,++≤等,从而:I二I:II:I1+IeI’一’’I一’’’.+t一I●o一结合二分法原理有若>’,则+1<;若<,则+1>.从而有<0(:0,1,2,￡).一故由收敛阶的定义1有,limII:mI1+I:l_Ih∞ehI一’一=号(6一Ⅱ)结合收敛阶的定义1,知由二分法产生的序列{}线性收敛.例2设是方程)=0的二重根,证明牛顿法仅为线性收敛.证明(用定义2来证明)由’是方程)=0的二重根,则)可以表示为)=(—’)h(),h()≠0,从而厂()=2(—’)h(x)+(—’)h().又由牛顿迭代格式=一(=.,1,2,￡)得到..(—’)h(x)“一一一芝:—二—:——_i_==_—LI一L十L一L, .(一)h()一一芝i——:—二而)(1一等)故=hlim(一警丽)=一号一综上可知x是方程f(x)=0的二重根时,牛顿法仅为线性收敛.参考文献:[1]肖筱南主编.现代数值计算方法[M].北京:北京大学出版社,2003.[2]李庆扬.数值分析[M].武汉:华中科技大学出版埘1赢赢哪in(2一).lim+arcsin(2一)++2丌仃解法二:令=sint,则dx=2sintcostdt,=0时,t=0.=t时手,这时志?原式=I_—一2sint?costdt=2?要=丌.JoSlnt’cost情形四:计算定积分』三=?解:令=sect,则dx=2sect?tantdt,=1时.t=21OO;x=2时子,这时志原式=Isec㈧antd2Isectd21nIsect+rantIf=2In(+1).参考文献:[1]龚德恩编.经济数学基础[M].四川人民出版社, 2oo5.[2]华东师范大学数学系编.数学分析[M].高等教育出版社,2O01.[3]许绍溥等编.数学分析教程[M].南京大学出版社, 1990.[4]赵树螈编.微积分[M].中国人民大学出版社, 1988.[5]朱来义编.微积分[M].高等教育出版社,2000.。

牛顿迭代法收敛定理

关于牛顿迭代法的课程设计实验指导非线性方程（或方程组）问题可以描述为求 x 使得f (x ) = 0。

在求解非线性方程的方法中，牛顿迭代法是求非线性方程（非线性方程组）数值解的一种重要的方法。

牛顿是微积分创立者之一，微积分理论本质上是立足于对世界的这种认识：很多物理规律在微观上是线性的。

近几百年来，这种局部线性化方法取得了辉煌成功，大到行星轨道计算，小到机械部件设计。

牛顿迭代法正是将局部线性化的方法用于求解方程。

一、牛顿迭代法及其收敛速度牛顿迭代法又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method ），是一种在实数域和复数域上通过迭代计算求出非线性方程的数值解方法。

方法的基本思路是利用一个根的猜测值x 0做初始近似值，使用函数f (x )在x 0处的泰勒级数展式的前两项做为函数f (x )的近似表达x 1。

即将方程f (x ) = 0在x 0处局部线性化计算出近似解x 1，重复这一过程，将方程f (x ) = 0在x 1处局部线性化计算出x 2，求得近似解x 2，……。

详细叙述如下：假设方程的解x *在x 0附近（x 0是方程解x *的近似），函数f (x )在点x 0处的局部线化表达式为)()()()(000x f x x x f x f '-+≈由此得一次方程 0)()()(000='-+x f x x x f求解，得 )()(0001x f x f x x '-= 如图1所示，x 1比x 0更接近于x *。

该方法的几何意义是：用曲线上某点（x 0，y 0）的切线代替曲线，以该切线与x 轴的交点（x 1，0）作为曲线与x 轴的交点（x *，0）的近似（所以牛顿迭代法又称为切线法）。

设x n 是方程解x *的近似，迭代格式 )()(1n n n n x f x f x x '-=+ ( n = 0，1，2，……) 就是著名的牛顿迭代公式，通过迭代计算实现逐次逼近方程的解。