第1章 质点运动力学02
大学物理质点力学第一章 质点运动学 PPT
方向：
cosa
=
x r
cosβ=
y r
cosγ=
z r
路程:质点所经路径得总长度。
三、速度
描述位置矢量随时间变化快慢得物理量
1、平均速度
在移质为点r由）A，到单B的位过时程间中内（的所平用均时位间移为称为t该，质所点发在生该的过位
程中的平均速度。
v
=
Δ Δ
r t
=
Δx Δt
i
+ΔΔ
y t
j
+
Δ Δ
0
Δx
Δ t —割线斜率（平均速度）
dx —切线斜率（瞬时速度） dt
x~t图
t tt
1
2
2、 v ~ t 图
v ~ t图
割线斜率：
Δv Δt = a
v v2
切线斜率：
dv dt
=a
v1
v ~ t 图线下得面积(位移):
0 t1
t2
x2
dt dx x2 x1 x
t1
x1
t2 t
3、 a ~ t 图
=
dθ
dt
B
Δθ A
θ
0
x
(3)、角加速度
β =ΔΔωt
β
=
lim
Δt
Δω
0Δ t
=ddωt
=ddθt2 2
(4)、匀变速率圆周运动
0
t
1 2
t2
0 t
2
2 0
2
(5)、线量与角量得关系
Δ s = rΔθ
lim Δ s
Δt 0Δ t
=
lim
Δt 0
r
Δθ
大学物理第一章-质点运动学和第二章-质点动力学基础
i
k
j
这样：A B ( Ax i Ay j Az k ) ( Bx i B y j Bz k )
矢量的数积（数乘）： mA mAx i mAy j mAz k
z
Δr r ( A)
o
A
B
r ( B) y
x rA x Ai y A j rB xB i yB j 位移 r rB rA ( x x )i ( y y ) j B A B A 三维空间
r ( xB x A )i ( yB y A ) j ( zB z A )k 2 2 2 r x y z 位移的大小为
瞬时加速度 与瞬时速度的定义相类似，瞬时加速速度是一个 极限值 2 v
a lim
t 0
d r d v dt dt2 t
瞬时加速度简称加速度，它是矢量，在直角坐 标系中用分量表示:
2 d vx d x ax 2 dt dt d vy d2 y ay dt dt2 d vz d 2 z az dt dt2
§1-1
参考系与坐标系
时间
要定量描述物体的位臵与运动情况，就要运用 数学手段，采用固定在参考系上的坐标系。
常用的坐标系有直角坐标系 (x,y,z) ，极坐标系 (,)，球坐标系(R,, )，柱坐标系(R, ,z )。 z z
z y x o x
o
R y R
参考方向
2. 空间和时间
切向单位矢量
法向单位矢量 n
et
显然，轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断变化。
《大学物理教学课件》第1章 质点运动学
足右手定则：沿质点转动方向右
旋大拇指指向。
平均角加速度：β Δω Δt
角加速度：β
lim
t 0
Δω Δt
dω dt
d 2
dt 2
单位：rad/s2,
y
B
s
A
RO
x
29
匀变速圆周运动的基本公式
0 t
0
0t
1 2
t 2
2 02 2 ( 0 )
圆周运动线量和角量的关系：
与匀变速直线运动计 算公式有对应关系：
4
§1.2 质点运动的描述
1.2.1 位置矢量 运动方程
1.位置矢量（位矢）
从原点O向质点P所在位置画一矢
量来表示质点位置。
r称为位置矢量，简称位矢。
位矢 用坐标值表示为： r xi yj zk
z
xo
x
i , j , k表示沿x，y，z轴的单位矢量。
位矢的大小：r | r| x2 y2 z2
质点运动时在空间所经历的实际路径叫做运动轨道， 相应的曲线方程称为轨道方程。
在运动方程中，消去t即得轨道方程：f(x,y，z)=0。
6
1.2.2 位移 路程
z A
1.位移
t时刻，A点位矢为
r1
t+Δt时刻在B点位矢为 r2
r B
r1
r2
o
y
x
在t 时间内，位矢的变化量（即A到B的有向线
段）称为位移。
y
B
s
A
RO
x
角位置 ：质点所在的矢径与x 轴的夹角。
运动方程： (t)
角位移： 质点从A到B矢径转过的角度 。
规定： 逆时针转向为正 顺时针转向为负
第1章-质点运动学
位移
rrrBArxBxBAii
rA
yA
yB
j j
y
yB A r
r y A A
rB
B
yB yA
(xB xA)i ( yB yA) j
xi yj
o
xA
xB x
xB xA
若质点r 在 (三x维B 空x间A中)i运动( yB
yA)
j
(zB
z A )k
位移的大小为 r x2 y2 z2
23
1-2 求解运动学问题举例
例3 有 一个球体在某液体中竖直下落, 其初速度
为 v0 10 j , 它的加速度为 a 1.0v j. 问:（1）经
过多少时间后可以认为小球已停止运动, （2）此球体
在停止运动前经历的路程有多长？
解：由加速度定义
v dv 1.0
t
dt
,
v v0
0
a dv 1.0v dt
v v2
位矢量
t
0,
t 0
0,
tv
rv
a
dv dt
v2 r
en
2ren
法向单 位矢量
vB
r
o
en
v
vB
vA et r
vA
31
1-3 圆周运动
三alitlami tm 变00速litdmdv圆vvvt0tt周nt运vtavt动dvdttrev2ttleeit切mntv向a0nn加aaevn速tntneen度t 和法向v加2v速tove度2vnrevtv1vn1
一 圆周运动的角速度和角加速度
角坐标 (t)
角速度 (t) d (t)
dt
速率
大学_理论力学教程第三版(周衍柏著)课后答案下载
理论力学教程第三版(周衍柏著)课后答案下载理论力学教程第三版内容简介绪论第一章质点力学1.1 运动的描述方法1.2 速度、加速度的分量表示式1.3 平动参考系1.4 质点运动定律1.5 质点运动微分方程1.6 非惯性系动力学(一)1.7 功与能1.8 质点动力学的基本定理与基本守恒定律1.9 有心力小结补充例题思考题习题第二章质点组力学2.1 质点组2.2 动量定理与动量守恒定律2.3 动量矩定理与动量矩守恒定律 2.4 动能定理与机械能守恒定律2.5 两体问题2.6 质心坐标系与实验室坐标系2.7 变质量物体的运动2.8 位力定理小结补充例题思考题习题第三章刚体力学3.1 刚体运动的分析3.2 角速度矢量3.3 欧拉角3.4 刚体运动方程与平衡方程3.5 转动惯量3.6 刚体的平动与绕固定轴的.转动3.7 刚体的平面平行运动3.8 刚体绕固定点的转动__3.9 重刚体绕固定点转动的解 __3.10 拉莫尔进动小结补充例题思考题习题第四章转动参考系4.1 平面转动参考系4.2 空间转动参考系4.3 非惯性系动力学(二)__4.5 傅科摆小结补充例题思考题习题第五章分析力学5.1 约束与广义坐标5.2 虚功原理5.3 拉格朗日方程5.4 小振动5.5 哈密顿正则方程5.6 泊松括号与泊松定理5.7 哈密顿原理5.8 正则变换__5.9 哈密顿-雅可比理论__5.10 相积分与角变数__5.11 刘维尔定理小结补充例题思考题习题附录主要参考书目理论力学教程第三版目录本书是在第二版的基础上修订而成的，适用于高等学校物理类专业的理论力学课程。
本书与第二版相比内容保持不变，仅将科学名词、物理量符号等按照国家标准和规范作了更新。
本书内容包括质点力学、质点组力学、刚体力学、转动参考系及分析力学等，每章附有小结、补充例题、思考题及习题。
第1章质点运动学
∆r = AB
•
•
r r = r (t + ∆t ) − r (t )
∆ ∆S S
•
r r(t) (t)
o o x x
∆r∆r
• B(t+ ∆ t) B(x2,y2,z2)
在直角坐标系中
r r r r r (t ) = x1i + y1 j + z1k, r r r r r (t + ∆t ) = x2i + y2 j + z2k
z
Y x
z
ϕ
r Y X (b)
θ
o
ϕ
(c)
r eθ
r o
r er
• P(r,θ ) o
v n
s • P (e)
τ
v
θ (d)
4
§1-2 理想模型
1. 质点模型 质点模型—— 如果物体的大小和形状在所研究的问题 中不起作用或作用很小, 中不起作用或作用很小 就可以把物体 抽象为只有质量的几何点。 抽象为只有质量的几何点。 在外力的作用下保持其大小、 2. 刚体模型 刚体模型—— 在外力的作用下保持其大小、形状不变 刚体。 的物体, 称为刚体 的物体 称为刚体。 以对理想模型的研究来代替对实际物体的研究, 以对理想模型的研究来代替对实际物体的研究 这是物 理学中常用的研究方法。 理学中常用的研究方法。
r ∆r = ∆x2 + ∆y2 + ∆z2
如果质点作直线运动 (如沿 轴运动 时 如沿x轴运动 如沿 轴运动)时
z
C A(x1,y1,z1)
•
∆S
•
r(t)
∆r
r r r r r (t ) = x1i , r (t + ∆t ) = x2i o r r r r ∆r = x2i − x1i = ∆xi
大学物理答案第1～2章
第一章 质点的运动1－1已知质点运动方程为t R x ω-=sin ，)cos 1(t R y ω-=，式中R ，ω为常量，试求质点作什么运动，并求其速度和加速度。
解：cos ,sin x y dx dy v Rw wt v Rw wt dt dt v Rw==-==-∴==222sin ,cos y xx y x dv dv a Rw wt a Rw wt dt dt a a Rw ====∴==sin ,(1cos )x R wt y R wt ==- 222()x y R R ∴+-=轨迹方程为质点轨迹方程以R 为半径，圆心位于（0，R ）点的圆的方程，即质点作匀速率圆周运动，角速度为ω；速度v = R ω；加速度 a = R ω21－2竖直上抛运动的物体上升到高度h 处所需时间为t 1，自抛出经最高点再回到同一高度h 处所需时间为t 2，求证：h =gt 1 t 2/2解：设抛出点的速度为v 0，从高度h 到最高点的时间为t 3，则012132012221201112()0,2()/2()1122212v g t t t t t v g t t t t h v t gt g t gt gt t -+=+=∴=++∴=-=-= 1－3一艘正以v 0匀速直线行驶的汽艇，关闭发动机后，得到一个与船速反向大小与船速平方成正比的加速度，即a ＝-kv 2，k 为一常数，求证船在行驶距离x 时的速率为v=v 0e -kx .解：取汽艇行驶的方向为正方向，则0200,,ln v xv kxdvdx a kv v dtdtdv dv kvdt kdx v v dv kdx v vkx v v v e -==-=∴=-=-∴=-=-∴=⎰⎰ 1－4行人身高为h ，若人以匀速v 0用绳拉一小车行走，而小车放在距地面高为H 的光滑平台上，求小车移动的速度和加速度。
解：人前进的速度V 0，则绳子前进的速度大小等于车移动的速度大小，22220222203/222220()()()l v t H h dldt H h v d l dt H h v t =+-∴=-=⎡⎤-+⎣⎦所以小车移动的速度220220)(tv h H tv v --=小车移动的加速度[]2/3220222)()(tv h H v h H a +--=1－5一质点由静止开始作直线运动，初始的加速度a 0，以后加速度以t ba a a 00+=均匀增加（式中b 为一常数），求经t 秒后，质点的速度和位移。
1.质点运动学
vA vB
vA vB
设质点沿一个圆心在O点、半径为R的圆周作匀速率圆周 运动，质点在t到t+△t时间内由A点运动到B点，则弦长AB 就是这段时间内质点经过的位移，弧长AB就是这段时间内 质点经过的路程。质点在两点的速度分别为vA和vB，如图所 示。
a lim v lim v AB t0 t R t0 t
v lim S v2 R t0 t R
a的方向可以这样确定：
在等腰三角形OAB中，A B 1 ，
2
当t趋于零时，也趋于零，所以有：A B ，
2 即v的极限位置与vA相垂直，而a的方向就是v在t趋 于零时的方向，可见a的方向沿着圆周的半径指向圆心，
有一共同的起点O。考虑到在匀速率圆周运动中速度 增量的特点，将这里的v分解为两个分量vn和v， 并使线段OC OA :
v vn v 显然，式中的vn相当于匀速率圆周运动中的v。
加速度可以写成：
v a lim
t0 t
lim vn t0 t
lim v t0 t
an a
当t趋于零时，vB的方向趋于vA的方向，因为v的方
故又称为向心加速度或法向加速度。
➢法向加速度只是反映速度方向变化的快慢。
2.变速率圆周运动的切向加速度和法向加速度
质点的速率在不断变化的圆周运动称为变速率圆周运动.
设质点沿一个圆心在O点、半径为R的圆周作变速率圆周
运动，质点在t到t+△t时间内由A点运动到B点，质点在两
点的速度分别为vA和vB，如图所示。将vA和vB平移，使二者
第1章质点运动学
2.几种典型的坐标系 几种典型的坐标系 (1).直角坐标系 直角坐标系
z P
r 直角坐标系中， 直角坐标系中，任意矢量 A 可表示为 r r r r A= A i + Ay j + A k x z
矢量的大小或模 矢量的大小或模表示为
x
γ
O
A
α
β
y
A = A2 + A2 + A2 x y z
方向余弦满足关系
cos2 α +cos2 β +cos2 γ =1
r dk =0 dt
直角坐标系中，坐标轴的单位矢量是常矢量， 直角坐标系中，坐标轴的单位矢量是常矢量，满足
r di =0 dt
r dj =0 dt
3
(2).自然坐标系 自然坐标系 为坐标原点， 在已知运动轨迹上任取一点O为坐标原点，用质点距离原点的轨 来确定质点任意时刻的位置， 道长度s来确定质点任意时刻的位置，以轨迹切向和法向的单位 矢量( 作为其独立的坐标方向，这样的坐标系，称为自然坐 矢量(τ、n)作为其独立的坐标方向，这样的坐标系，称为自然坐 称为自然坐标 自然坐标。 标系 s 称为自然坐标。
在第6章 狭义相对论中讲授 在第6
10
§1.3.2 描述一般曲线运动的线参量
线参量： 线参量： 位置矢量、位移矢量、 位置矢量、位移矢量、 速度矢量和加速度矢量
z P(x,y,z)
γ α
r
z
β
1.位置矢量与运动方程 1.位置矢量与运动方程
x x
o
y y
(1).位置矢量： 由坐标原点指向质点的有向线段。 (1).位置矢量：时刻t，由坐标原点指向质点的有向线段。 位置矢量
β
第1章：质点运动学
dr C） dt
dr B） dt
dx dy D） ( ) ( ) dt dt
2 2
1.3
1.3.1
加速度
加速度
v 平均加速度：a t a 与 v 同方向。
瞬时加速度：
y
A
O
vA
B
vB
v dv a lim t 0 t dt 2 d r 2 dt
x
vA
v
解：(1)由运动方程消去 时间 t 得质点轨迹方程：
R
x y R
2 2
2
质点的运动轨迹是一 个半径为 R 的园。
O r2
a r t r1
v
p1 x
r
p2
r xi yj R costi R sin tj dr v R sin ti R cos tj dt
ds 2 v 10t 0.3t dt dv 10 0.6t 切向加速度大小为 a dt
v (10t 0.3t ) 法向加速度大小 an R 300
2
2 2
总加速度矢量为
(10t 0.3t 2 ) 2 a (10 0.6t ) n 300 当t =1.0s 时 a 9.4 0.314 n
s vav t
无限短时间段中的平均速率可以定义为 质点在该时刻 t 的瞬时速率：
s ds v(t ) lim t 0 t dt
r d r 瞬时速度： v (t ) lim t 0 t dt d ( xi yj zk ) v (t ) dt dx dy dz i j k dt dt dt
dv v a a a dt
马文蔚_《物理学教程》教案chapter_01_质点运动学
第一章质点运动学的位置，随时间的变化过程。
在理解机械运动这个概念时应注意以下几点。
(1)机械运动的绝对性(2)机械运动的相对性力学范围：宇宙中天体的运动，火箭和人造卫星的轨道，导弹的弹道，以及气泡室中显示粒子径迹的分析和计算等。
在本章，我们只讨论质点运动的几种形式，而不涉及引起质点运动的原因，着重讨论质点的位移、速度和加速度的概念和计算方法。
§1-1质点运动的描述一、参考系质点1. 参考系—研究物体运动时被选作参考物的物体或物体群，称为参考系。
在大多数情况下，以地球为参考系——基本参考系。
利用参考系来判断物体是否运动和如何运动（1）研究地球相对于太阳的运动，常选择太阳作参考系；（2）研究人造地球卫星的运动，常选择地球作参考系；（3）研究河水的流动，常选择河岸作参考系等。
坐标系——为了定量地确定质点的空间位置而固定在参考系上的一个计算系统。
参考系与坐标系的区别——对物体运动的描述决定于参考系而不是坐标系。
参考系选定后，选用不同的坐标系对运动的描述是相同的。
用坐标系有：①直角坐标系；②自然坐标系；③球坐标系；④柱面坐标系；⑤极坐标系。
2. 质点：力学中的质点，是没有体积和形状，只具有一定质量的理想物体。
——有质量的点质点是一个理想模型，是力学中的一个十分重要的概念。
质点概念的重要性：（1）首先表现在，当物体的大小和形状对于所研究的问题无关紧要时，可以把物体当成一个质点，使问题简化；任何实际物体, 大至宇宙中的天体，小至原子、原子核、电子以及其他微观粒子，都具有一定的体积和形状。
如果在所研究的问题中，物体的体积和形状是无关紧要的，我们就可以把它看作为质点。
（2）质点概念的重要性还表现在，在不能把物体看作为一个质点的问题中，可以把该物体分割成很多体元，而每个体元都足够小，以至在所讨论的问题中可以看作为质点。
对于每个这样的体元，我们可以运用质点力学的规律，把得到的所有体元的运动规律叠加起来就可以得出整个物体的运动规律。
理论力学(第三版)第1章第2节速度、加速度的分量形式
P
s
et en
s
O
en
Q
et
e 规定：切向坐标轴沿质点前进方向的切向为正，单位矢量为 t
e 法向坐标轴沿轨迹的法向凹侧为正，单位矢量为 n
因为 dr
速度：v
ds
dr dt
ds dt
et
速率：v ds dt
加速度：
v vt vn
lim lim
a
vt
vn
t0 t t0 t
以及初始条件求质点的运动方程、轨道方程
v
t
dv adt , dv adt
v0
t0
r
t
dr vdt , dr vdt
r0
t0
例1
已知质点的运动方程
r 2ti
19 2t2
j
求(1)轨道方程；(2)t=2s时质点的位置、速度以及加速 度；(3)什么时候位矢恰好与速度矢垂直？
,
rb
v0t
1 2
gt 2
v0 d
h0
o
击中的条件 rc rb , r0 v0t
rc rb , r0 v0t
这说明只要开始瞄准就可以击
v0
中猴子。 但是有没有限制条件? o
d
分析击中需要的时间和击中时的竖直位置
t
d 2 h02 , v0
hc
h0 1
g
(h02 d 2h0v02
2
)
以 dx2 hv0 代入 dt h l
得
v lv0
hl
例3 设椭圆规尺AB的端点A和B沿直线导槽Ox及Oy滑
动，而B以匀速度c运动.求尺规上M点的轨道方程，速度
及加速度.其中MA＝a， MB＝b，角OBA为.
第1章 质点力学(1-3)
1-1 运动的描述
一. 参照系和坐标系 参照系 为了描述一个物体的运动，必须选择另一个 物体作为参考，被选作参考的物体称为参照系。 Z 日心系
地面系
o 地心系 X
Y
因此，参照系的选择是任意的，不一定是静止的物体。 坐标系 为了定量地确定物体的运动，须在参照系上选
用 一个坐标系。
二、位置矢量
运动方程
ห้องสมุดไป่ตู้
Δ r r r
1
Δs
B Г
2
r Δ x 2 Δ y 2 Δ z 2
位移方向由A指向B. 路程 s :质点在t时间内运动的弧长.是标量.
r a ) r 为标量，r 与 都为矢量
b ) r r2 r1 r r2 r1 r r2 r1 r r
R地球 6.4 102 km, R太阳地球 1.5 108 km
;
但研究地球自转时就不能把地球视为质点了)
第一章
质点力学
本章基本内容
●位矢、位移、速度、加速度
●运动的叠加原理
●牛顿运动定律及动力学问题 ●功、动能、势能、动能定理及机械能守恒定律
●冲量、动量、动量定理及其守恒定律
减速转动
方向相反
由于在定轴转动中轴 的方位不变,故、只 有沿轴的正负两个方 向,可以用标量代替.
例4：一质点运动轨迹为抛物线
(SI) (SI)
求：x= 4m时（t>0)，粒子的速度、加速度。
解：
(SI) 4 t 2 t 2s (t 0) (SI)
vv 2 44i 24 jm / / s t t 2 i 24 j m s
第1章 质点运动学
dr υ= dt
方向： 方向：切线方向
速度是位置矢量对时间的一阶导数
第一章 质点运动学 9
3) 平均速率和瞬时速率 平均速率
S υ= t
S dS υ = lim = dt 0 t → t
运动路径
P (t1 )
瞬时速率 讨论
υ
r
s
Q(t2 )
速度的矢量性、瞬时性和相对性。 1) 速度的矢量性、瞬时性和相对性。 2) 速度和速率的区别
∫
∫
第一章 质点运动学
18
§1-4 用自然坐标表示平面曲线运 动中的速度和加速度
自然坐标系 （用自然坐标 表示质点位置） 用自然坐标S表示质点位置 表示质点位置）
设质点作曲线运动，且轨迹已知， 设质点作曲线运动，且轨迹已知，则 选参考点和正方向即可建立自然坐标。 选参考点和正方向即可建立自然坐标。运 动方程为： 动方程为： s = s(t) 单位切向量τ ： 长度为 ，沿切向指向运动方向 长度为1， 单位法向量 n： 长度为 ，沿法向指向凹的一侧 长度为1，
S = Rωt
第一章 质点运动学 7
§1-2 质点的位移、速度和加速度 质点的位移、
一、位移
描述质点位置变化的物理量 几何描述： 几何描述： PQ 数学描述： 数学描述： r
= r ( t + t ) r ( t )
r( t )
P S Q r
r ( t + t )
r
讨论 (1) 位移是矢量（有大小，有方向） 位移是矢量（有大小，有方向） 位移不同于路程 r ≠ S (2) 位移与坐标选取无关 (3) 由质点的始末位置确定， 由质点的始末位置确定， 与中间运动过程无关 (4) 分清 r 与r 的区别
第一,二,三 ,四章
v
t
dx ( 2) v dt
物理学
第五版
选题目的： 掌握自然坐标系下对运动的描述
1-17 质点在Oxy平面内运动，其运动方程为
-1 -2 2 r (2.0m s )ti [19.0m (2.0m s )t ] j
求：（1）质点的轨迹方程； （2）在t1=1.0s到t2=2.0s时间内的平均速度； （3） t1=1.0s时的速度及切向和法向加速度． （4） t=1.0s时质点所在轨道的曲率半径 ρ
α 3 s x x0 v0t t 467 m 6m
物理学
第五版
选择题答案：P48-49
2-1 D 2-5 A
2-2 A
2-3 C 2-4 B
第 三 章
动量守恒定律和 能量守恒定律
物理学
第五版
本章目录
3- 1 3- 2 * 3- 3 3- 4 3- 5 3- 6 3- 7 3- 8
基础
牛顿运动定律
力的空间累积
瞬时效果
力的时间累积
动量定理 动量守恒定律
动能定理 机械能守恒定律
物理学
第五版
第 一 章
质 点 运 动 学
物理学
第五版
本章目录
1-1 质点运动的描述 1-2 圆周运动 1-3 相对运动
物理学
第五版
第01章 质点运动学
1. 运动的描述
三种坐标系下描述运动的物理量
2. 运动学的两类问题
注意变力、矢量 2. 力的空间累积效应——动能、功、动能定理、 功能原理机械能守恒定律
注意变力的功
物 理 学
物理学
第五版
选题目的： 掌握一维运动下处理变力问题
力学舒幼生第一章质点运动学
P
yj
r(t tx)i
O
x
加速度 a d d v td d2r 2 td dxv i td dyv tjr
15
例 空心入篮
抛射角 12
xvct o2s1 2g2tsin1
yvst in21 2g2tco1s
y0
t 2vsin2 g cos1
第一章 质点运动学
0
1.1 空间和时间
时间和空间的测量
绝对时空观 绝对空间，就其本性来说，与任何外在的情况无关，
始终保持着相似和不变。 绝对的、纯粹的数学的时间，就其本性来说，均匀地
流逝而与任何外在的情况无关。 牛顿——《自然哲学的数学原理》
时间和空间的测量与物体的存在和运动没有任何关系
参考系
参考物：选取的一个有固定大小和形状的物体。 相对参考物，可以确定其它物体的位置。
9
vv0a0(tt0)1 2b(tt0)2
再求 t 时刻的位置
微分关系式 dxvdt
两边积分 tt0 d x tt0 v dtt0[v t0 a 0 (t t0 ) 1 2 b (t t0 )2 ]d
x x 0 v 0 (t t0 ) 1 2 a 0 (t t0 )2 1 6 b (t t0 )3
a心 d d vtvddtR ddtR 2 a切dd/vt/Rd dt R
与速度垂直，改变速度方向
与速度平行，改变速度大小
18
无限小角位移矢量
ddk
r(tt)
d r(t)
⊙k
初、末态矢量与转动正方向满足右手螺旋法则
无限小角位移与有限角位移的区别？
19
有限角位移不是矢量
不满足矢量加法的交换律
大学物理习题答案
大学物理习题答案大学物理习题答案Final revision by standardization team on December 10, 2020.B 班级学号姓名第1章质点运动学1-2 已知质点的运动方程为r i 3j 6k e e t t -=++。
(1)求：自t =0至t =1质点的位移。
(2)求质点的轨迹方程。
解：(1) ()k j i r 630++= ()k j i r 6e 3e 1-1++=质点的位移为()j i r-+-=3e31e ?(2) 由运动方程有t x e =，t y -=e 3， 6=z 消t 得轨迹方程为1=xy 且6=z1-3运动质点在某瞬时位于矢径()y x,r 的端点处，其速度的大小为( D )(A)dt dr (B)dt d r(C)dt d r (D)22+??? ??dt dy dt dx1-5某质点的运动方程为k j i r 251510t t ++-=，求：t =0，1时质点的速度和加速度。
解：由速度和加速度的定义得k j r v t dt d 1015+==， k va 10==dtd 所以 t =0，1时质点的速度和加速度为 015==t jv 11015=+=t kj v 1010,ka ==t1-8 一质点在平面上运动，已知质点的运动方程为j i r 2235t t +=，则该质点所作运动为[ B ](A) 匀速直线运动 (B) 匀变速直线运动 (C) 抛体运动 (D) 一般的曲线运动*1-6一质点沿Ox 轴运动，坐标与时间之间的关系为t t x 233-=(SI)。
则质点在4s 末的瞬时速度为142m ·s -1 ，瞬时加速度为72m ·s -2 ；1s 末到4s 末的位移为 183m ，平均速度为61m ·s -1 ，平均加速度为45m ·s -2。
解题提示：瞬时速度计算dt dxv =，瞬时加速度计算22dtx d a =；位移为()()14x x x -=?，平均速度为()()1414--=x x v ，平均加速度为 ()()1414--=v v a1-11 已知质点沿Ox 轴作直线运动，其瞬时加速度的变化规律为t a x 3=2s m -?。
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二、圆周运动的角速度和角加速度
1. 角位移 微小角位移矢量 角坐标（角位置） (t ) 经过 t 时间角位置变 化的大小为 tB t A 当 t o 时，角位置 变化的大小为 d
y
B
r
o
A
x
d 为微小角位移矢量 d
的大小。
d 的方向为角度增加的右手
n0
0
为 d s 其中 为曲率半径， v 为切向速度， n0 r0 d
法向单位矢量。
例一. 一质点沿半径为 0.10 m 的圆周运动，其角位置 θ = 2 + 4t3 (SI)， 问： （1） t=2s 时质点的法向加速度和切向加速度各是多少？ （2） 当切向加速度的大小恰是总加速度的一半时，θ值是多少？ （3） 在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？
切向加速度（速度大小变化引起）
dv a r dt
v an r v r
2 2
法向加速度（速度方向变化引起）
圆周运动加速度
a a 0 an r0
a a a
2 2 n
a a 0 an r0
切向加速度
t 3s
A
vA
B
在点 B 的加速度
2 a a2 an 109m s 2
r a n
a
a 与法向之间夹角 为
vB
o
a
a arctan 12.4 an
已知：vA 1940km h
1
vB 2192km h 1
三、圆周运动的加速度
1. 匀速率圆周运动的加速度
质点作匀速率圆周运动时，
v2
const.
o
v1
dv d a r dt dt d dr dr r dt dt dt (d r ) r dt 2 r r r
即
z
v0
v
F m a ma ' F
——经典力学相对性原理
注意
当 u 接近光速时，伽利略速度变换不成立！
例3 如图示，一实验者 A 在以 10 m/s 的速率沿水平轨道前进的 平板车上控制一台射弹器, 此射弹器以与车前进方向呈 60 度角 斜向上射出一弹丸。 此时站在地面上的另一实验者 B 看到弹丸 铅直向上运动, 求弹丸上升的高度 。 解： 地面参考系为 S 系 平板车参考系为 S'系
oo'
yy'
p p ' *
zz'
y
o
v0
t 0
xx'
位移关系
r r0 r
速度关系：
yy ''
r
v v0 v
加速度关系：
v0 p t *pt
a a0 a
o' r0 z '
p p'
r r
x'
x
z
2 3 14.4t 4 2.4t
, 3.15rad
解得 t= 0.55 (s)
例2 如图一超音速歼击机在高空 A 时的水平速率为 1940 km/h ,
沿近似于圆弧的曲线俯冲到点 B ,其速率为 2192 km/h , 所经历的 时间为 3s , 设圆弧 AB 的半径约为 3.5km , 且飞机从A 到B 的俯 冲过程可视为匀变速率圆周运动 , 若不计重力加速度的影响, 求: (1) 飞机在点B 的加速度; (2)飞机由点A 到点B 所经历的路程 。
v' y v' y '
B
60
v
u
tan
速度变换
v'y v'x
A
u
x'
o
o'
x
v x u v'x v y v'y
vx 0
v'x u 10m s
1
1
v y v'y v'x tan
v y 17.3m s
弹丸上升高度
A
vA
B
解（1）因飞机作匀变速率运动所 以
a 和
为常量。
r a n
at
dv a dt
o
a
vB
分离变量有
vB
vA
dv a dt
0
t
已知： vA 1940km h 1
vB 2192km h 1
AB 3.5km vB t vB v A 2 a 23.3m s dv a dt vA 0 t 2 vB 106m s 2 在点 B 的法向加速度 an r
r
r
v2 2 2 an r r r0 r0 ——称为法向加速度。
ˆ 称为径向单位方向矢量 。 r0 r
2 变速率圆周运动的加速度
质点作变速率圆周运动时， const.
dv d dr d a r r dt dt dt dt 2 v dr 2 2 an r r r0 r0 v r0 dt r
t 3s
（2）在时间
t
内矢径
所转过的角度 r
AB 3.5km
为
1 2 At t 2
A
vA
B
飞机经过的路程为
r a n
a
1 2 s r v At a t 2
代入数据得
o
a
vB
s 1722m
§3 相对运动
一、时间与空间
小车以较低的速度 v 沿水平轨道先后通过点 A 和点
d
单位：弧度/秒（rads-1）
3. 圆周运动的角加速度
平均角加速度
y
B
B A t t
瞬时角加速度大小（角加速度）
r
o
A
d lim t 0 t dt
x
角加速度矢量 的方向与角速度矢量的变化有关：当 角速度增加时， 与 同方向；当角速度减小时， 与 反方向。
2. 匀变速率圆周运动 如 t 0 时,
0, 0
0 t
0 0t 1 t 2
2 2 02 2 ( 0 )
四、一般曲线运动的描述
一般曲线运动（自然坐标）
ds v 0 dt
dv v2 a 0 n0 dt
v' y v' y '
B
60
v
u
y
v2 y 2g
15.3m
A
u
x'
o
o'
x
xx'
v0
*
x'
p
动系
2 dv0 d r0 a0 = 2 dt dt
o
z'
o'
x
z
t t
相对运动：运动主体相对于动系的运动称为相对运动，相应的 物理量称为相对量。如：
r 相对位矢：
dr 相对速度： v dt
相对位移： r
2 dv d r 相对加速度：a = 2 dt dt
动系： (O' x' y' z ' )
运动主体：静系中 p 或动系中 p 牵连运动：动系相对于静系 的运动称为牵连运动，相应 的物理量称为牵连量。如：
yy'
牵连位矢：r0
牵连位移：r0 dr0 牵连速度：v0 dt
牵连加速度：
pp ' * oo' zz' y'
y
静系
v0
t 0
d 12t 2 （1）角速度 dt d 角加速度 24t dt 1 （2）据题意 a a 2
an 2 R 14.4t 4 a R 2.4t
1 2.4t (2.4t ) 2 (14.4t 4 ) 2 2解得 （ 3） 由t源自31a an
an tan a
1
dv a r dt
a
0, 0 π, v 增大 2 0, π, v常量 2 0, π π, v 减小 2
a
y
o a x a
v
说明：
1. 匀速率圆周运动：速率
a 0
const.
v 和角速度 都为常量 。 2 2 a an r v / r
单位：弧度/秒2（rads-2）
d dt
4. 圆周运动的角量和线量的关系
d r d r
上式两侧除以
ds AB rd
z
d
有：
O
vr
r
dt
d r
x
A
B dr
y
v r v
v 称为切向速度的大小。
d r r r 0 a dt
ˆ 称为切向单位方向矢量 。 0
——法向加速度。
v2
v1
o
dv a r 0 0 dt