2016年炜昊教育高二理科数学复习讲义排列组合和二项式定理

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2016届高二数学_期末备考专题排列组合、二项式定理_新人教A版选修2-3

2011届高二数学期末备考专题排列组合、二项式定理【备考提示】（1），特殊元素优先安排的策略：（2），合理分类与准确分步的策略；（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；（4 ）正难则反、等价转化的策略；（5）相邻问题捆绑处理的策略；（6 ）不相邻问题插空处理的策略。

【知识梳理】1 •分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有几类办法，在第一类中有m1种有不同的方法，在第2类中有m2种不同的方法……在第n类型有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N =叶■ m2亠亠m n种不同的方法。

2•分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有m种不同的方法……，做第n步有m种不同的方法；那么完成这件事共有N =叶m2：：：：g种不同的方法。

特别提醒：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏。

3•排列：从n个不同的元素中任取m（ms n）个元素，按照.一定顺序.排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.4•排列数：从n个不同元素中取出％斥"个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m 个元素的一个排列•从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号A；表示.5. 排列数公式：A m= n(n「1厂，(n —m 亠1) n! (m _ n, n, m：=N)(n _m)!特别提醒：（1）规定0! = 1（2）含有可重元素的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1, a2,…...a n其中限重复数为n1、n2 ............. n k,且n = n 1+n?+ .......... n k,则S的排列个数等于n卫.njn2!...n k!例如：已知数字3、2、2,求其排列个数n二旦=3又例如：数字5、5、5、求其排列个数？1!2!其排列个数n =? »•36. 组合：从n个不同的元素中任取m（ m^n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合.7.组合数公式：m A：n(n -1)^ (n _m • 1)m n!C n C n —A：m! m!(n _m)!&两个公式：①_匚£壮；②c m：4c m£nrn;特别提醒：排列与组合的联系与区别.联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系（2）典型例题考点一：排列问题例1,六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法?（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端.考点二：组合问题例2,男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人•选派5人外出比赛•在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；4）既要有队长，又要有女运动员.考点三：综合问题例3, 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？【精选练习】3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都），100 种 D ， 140 种2，2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（） A, 48 种 B ，12 种 C ，18 种 D36 种3，从 0，1，2，3，4，5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（） A,48B, 12C ，180 D，1624，甲组有 5 名男同学， 3名女同学；乙组有 6 名男同学， 2名女同学。

专题04 排列组合与二项式定理(解析版)--高二数学专题解析

专题04排列组合与二项式定理--高二数学专题解析知识点一：排列1：排列≤)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不（1）定义：一般地,从n个不同元素中取出m(m n同元素中取出m个元素的一个排列.（2）相同排列：两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.2：排列数与排列数公式1：组合（1）定义：一般地：从n个不同的元素中取出m(m n≤)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合.（2）相同组合：只要两个组合的元素相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合.（3）组合与排列的异同≤)个元素”.相同点:组合与排列都是“从n个不同的元素中取出m(m n不同点:组合要求元素“不管元素的顺序合成一组”,而排列要求元素“按照一定的顺序排成一列”因此区分某一问题是组合问题还是排列问题,关键是看选出的元素是否与顺序有关,即交换某两个元素的位置对结果有没有影响,若有影响,则是排列问题，若无影响，则是组合问题.2：组合数与组合数公式（1）组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m n≤)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元3：组合数的性质b一、单选题1．在()5232x x ++的展开式中x 的系数是（）A ．160B ．180C ．240D ．210【答案】C【分析】根据二项式的定义可知有4个因式中取2，1个因式中取3x 项，即可得解.【详解】在()5232x x ++的展开式中，要得到含x 的项，则有4个因式中取2，1个因式中取3x 项，故x 的系数为445C 32240⨯⨯=．故选：C7．高三（一）班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有________种不同的排法．【答案】3600【答案】20【分析】根据题意，先对【详解】对于6盏不同的花灯进行取下，可先对因为取花灯每次只能取一盏，且只能从下往上取，又因为每串花灯先后顺序已经固定，所以除去重复的排列顺序，所以共有663333A20 A A=故答案为：20.13．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(4)6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．x16．（多选题）若()32+n x（=20．（多选题）有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（）A ．若丙在甲、乙的中间（可不相邻）排队，则不同的排法有20种B ．若五位同学排队甲不在最左端，乙不在最右端，则不同的排法共有78种C ．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且甲、丙不能相邻，则不同的排法有36种D ．若甲、乙、丙、丁、戊五位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每位同学只去一个社区，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有150种【答案】BCD【分析】对于A ：讨论甲、乙之间有几位同学，分析运算即可；对于B ：讨论甲、乙所在位置，分析运算即可；对于C ：先求甲、乙相邻的安排方法，再排除甲、乙相邻且甲、丙相邻的安排方法；对于D ：先将学生安排出去，再排除有小区没有人去的可能.【详解】对于选项A ：可知有三种可能：甲、乙之间只有一位同学，则不同的排法有2323A A 12=种；甲、乙之间有两位同学，则不同的排法有12222222C A A A 16=种；甲、乙之间有三位同学，则不同的排法有2323A A 12=种；不同的排法共有12161240++=种，故A 错误；对于选项B ：可知有四种可能：甲在最右端，乙在最左端，则不同的排法有33A 6=种；甲在最右端，乙不在最左端，则不同的排法有1333C A 18=种；甲不在最右端，乙在最左端，则不同的排法有1333C A 18=种；甲不在最右端，乙不在最左端，则不同的排法有2333A A 36=种；不同的排法共有618183678+++=种，故B 正确；对于选项C ：若甲、乙相邻，则不同的排法有2424A A 48=种；若甲、乙必须相邻且甲、丙相邻，则不同的排法有2323A A 12=种；不同的排法共有481236-=种，故C 正确；对于选项D ：若每位同学只去一个社区，则不同的排法有53243=种；若有小区没有人去，则有两种可能：所有人去了一个小区，则不同的排法有13C 3=种；所有人去了两个小区，则不同的排法有()25132C 2C 90-=种；不同的排法共有()243390150-+=种，故D 正确；故选：BCD.21．将5名学生分到A ，B ，C 三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A 宿舍的不同分法有__________．原理即可得出答案.【详解】首位是1，第二位是0，则后三位可以用剩下的数字全排列，共有33A 6=个，前两位是12，第三位是0，后两位可以用余下的两个数字进行全排列，共有22A 2=种结果.前三位是123，第四位是0，最后一位是4，只有1种结果，∴数字12340前面有6+2+1=9个数字，数字本身就是第十个数字.故答案为：10.27．重新排列1，2，3，4，5，6，7，8．(1)使得偶数在原来的位置上，而奇数不在原来的位置上，有多少种不同排法？(2)使得偶数在奇数的位置上，而奇数在偶数的位置上，有多少种不同的排法？(3)使得偶数在偶数位置上，但都不在原来的位置上；奇数在奇数位置上，但也都不在原来的位置上，有多少种不同的排法？(4)如果要有数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(5)如果只有4个数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(6)如果至少有4个数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(7)偶数在偶数位置上；但恰有两个数不在原来位置上，奇数在奇数位置上，但恰有两个数不在原来位置上，有多少种不同排法？(8)偶数在偶数位置上，且至少有两个数不在原来位置上；奇数在奇数位置上，也至少有两个数不在原来位置上，有多少种不同排法？【答案】(1)9；(2)576；(3)81；(4)25487；(5)630；(6)771；(7)36；(8)225.【分析】（1）利用匹配问题错排公式求解；（2）利用乘法分步原理求解；（3）利用匹配问题求解；（4）用排除法．对8个数进行全排列，再减去没有数在原来的位置上的排法，即得解；（5）利用乘法分步原理求解；（6）用排除法．先对8个数进行全排列，再去掉恰有i 个数在原来位置上的排法()0123i =,,,，即得解；（7）利用匹配问题和分步乘法原理得解；。

高中数学-排列组合二项式定理知识点

排列组合二项式定理知识点2、排列、组合3、二项式定理内容典型题定义①二项式定理：(a＋b)n＝C 0n a n＋C 1n a n－1b1＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n＝∑=nrrnCa n－rb r（n∈N＋）②二项式展开式第r＋1项通项公式：Tr－1＝C r n a n－r b r其中C r n（r＝0，1，2，…，n）叫做二项式系数.8.二项式8)1(-x的展开式中的第5项是( )A. 70x4B. 70x2C. 56x3D. －5623x9.二项式(x－2)12展开式中第3项的系数是( )A.264B.－264C.66D.－176010.(x－2)8 的展开式中, x6的系数是( )A. 56B. －56C. 28D. 22411.(x2＋)5展开式中的10x是( )A.第2项B.第3项C.第4项D.第5项12.二项式x－1x6的展开式中常数项是( )A. 1B. 6C. 15D. 2013.设(3－x)n＝nnxaxaxaa+⋅⋅⋅+++221,已知naaaa+⋅⋅⋅+++21＝64,则n＝.14.设二项式(3x＋5)10＝188991010axaxaxaxa++⋅⋅⋅+++,则18910aaaaa+-⋅⋅⋅-+-＝.15.二项式2x－1x6的展开式中二项式系数最大的项是.性质①在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等.②如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项的二项式系数相等并且最大.③二项式系数的和为n2，即nC＋1nC＋…＋rnC＋…＋nnC＝n2④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即nC＋2nC＋…＝1nC＋3nC＋…＝12-n。

高考数学二轮复习排列、组合、二项式定理教学案

2016高考数学二轮复习精品资料专题10 排列、组合、二项式定理教学案（学生版）【2016考纲解读】1.理解并运用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题；2.理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题；3.能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.【知识网络构建】【重点知识整合】 1．两个基本原理 (1)分类加法计数原理； (2)分类乘法计数原理； 2．排列 (1)定义；(2)排列数公式：A mn ＝n ！ n －m ！(n ，m ∈N，m ≤n )；3．组合(1)定义；(2)组合数公式；(3)组合数的性质：C m n ＝C n －m n (m ，n ∈N，且m ≤n )；C m n ＋1＝C mn ＋C m －1n (m ，n ∈N，且m ≤n )．4．二项式定理(a ＋b )n 展开式共有n ＋1项，其中r ＋1项T r ＋1＝C r n a n －r b r.5．二项式系数的性质二项式系数是指C 0n ，C 1n ，…，C nn 这n ＋1个组合数．二项式系数具有如下几个性质： (1)对称性、等距性、单调性、最值性； (2)C r r ＋C r r ＋1＋C r r ＋2＋…＋C r n ＝C r ＋1n ＋1； C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n； C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1；C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋n C n n＝n·2n－1等．【高频考点突破】考点一两个计数原理的应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．例1、给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：由此推断，当n＝6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有________种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有________种(结果用数值表示)．【变式探究】正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有 ( ) A．20 B．15C．12 D．10【方法技巧】1．在应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步．每一步当中又可能用到分类计数原理．2．对于较复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化.【变式探究】在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为________．【方法技巧】排列与组合综合应用问题的常见解法(1)特殊元素(特殊位置)优先安排法；(2)合理分类与准确分步法；(3)排列与组合混合问题先选后排法；(4)相邻问题捆绑法；(5)不相邻问题插空法；(6)定序问题缩倍法；(7)多排问题一排法；(8)“小集团”问题先整体后局部法；(9)构造模型法；(10)正难则反，等价转化法.考点三二项式定理1．二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n b0＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n.2．通项与二项式系数：T r＋1＝C r n a n－r b r，其中C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．3．各二项式系数之和：(1)C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.(2)C1n＋C3n＋…＝C0n＋C2n＋…＝2n－1.【变式探究】设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝__________.【方法技巧】在应用通项公式时，要注意以下几点(1)它表示二项展开式中的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定．(2)T r＋1是展开式中的第r＋1项而不是第r项．(3)二项式系数与项的系数不同，项的系数除包含二项式系数外，还与a、b中的系数有关．【难点探究】难点一计数原理例1、某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图18－1所示正方形ABCD(边长为3个单位)的顶点A 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i (i ＝1,2，…，6)，则棋子就按逆时针方向行走i 个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处的所有不同走法共有( )A ．22种B ．24种C ．25种D ．36种难点三二项式定理例3、若⎝⎛⎭⎪⎫3x －1x n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为________．【历届高考真题】【2012年高考试题】1.【2012高考真题重庆理4】821⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x x 的展开式中常数项为A.1635B.835C.435D.1052.【2012高考真题浙江理6】若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A.60种B.63种C.65种D.66种3.【2012高考真题新课标理2】将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）()A 12种 ()B 10种()C 9种 ()D 8种6.【2012高考真题陕西理8】两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）A. 10种B.15种C. 20种D. 30种7.【2012高考真题山东理11】现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为（A ）232 (B)252 (C)472 (D)4848.【2012高考真题辽宁理5】一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为(A)3×3！ (B) 3×(3！)3(C)(3！)4(D) 9！9.【2012高考真题湖北理5】设a ∈Z ，且013a ≤<，若201251a +能被13整除，则a = A ．0 B ．1 C ．11D ．1210.【2012高考真题北京理6】从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )A. 24B. 18C. 12D. 611.【2012高考真题安徽理7】2521(2)(1)x x +-的展开式的常数项是（） ()A 3- ()B 2- ()C 2 ()D 3[14.【2012高考真题全国卷理11】将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）36种15【2012高考真题重庆理15】某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）.16.【2012高考真题浙江理14】若将函数()5f x x =表示为()()()()250125111f x a a x a x a x =+++++++ ，其中0a ，1a ，2a ，…，5a 为实数，则3a ＝______________．17.【2012高考真题陕西理12】5()a x +展开式中2x 的系数为10，则实数a 的值为 .18.【2012高考真题上海理5】在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于。

排列组合与二项式定理知识点培训讲学

高中数学第十章-排列组合二项定理考试内容：分类计数原理与分步计数原理．排列．排列数公式．组合．组合数公式．组合数的两个性质．二项式定理．二项展开式的性质．考试要求：（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．（2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．（3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．（4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．§10. 排列组合二项定理知识要点一、两个原理.1. 乘法原理、加法原理.2. 可．以有．．重复．．元素．．的排列. 从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？（解：nm 种）二、排列.1. ⑴对排列定义的理解.定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列.如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.⑶排列数.从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号mn A 表示.⑷排列数公式： ),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--=Λ注意：!)!1(!n n n n -+=⋅ 规定0! = 1111--++=⋅+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 规定10==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．．的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!!...!!21k n n n n n =.例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3!2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!3!3==n .三、组合.1. ⑴组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.⑵组合数公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C mn mmm n mn-=+--==Λ ⑶两个公式：①;m n n mn CC -= ②m n m n m n C C C11+-=+①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.（或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有1m n 111m n C C C --=⋅一类是不含红球的选法有m n C ）②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素，所以有C1-m n ，如果不取这一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有C mn 种，依分类原理有mn m n m n C C C11+-=+.⑷排列与组合的联系与区别.联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. ⑸①几个常用组合数公式n n nn n n C C C 2210=+++Λλ 11111121153142011112++--++++++-+=+==++=+++=+++k n k n k n k n m n m m n m m m m m m n n n n n n n n C n C k nC kC C C C C C C C C C C C ΛΛΛ②常用的证明组合等式方法例.i. 裂项求和法. 如：)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n Λ（利用!1)!1(1!1n n n n --=-） ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.v. 递推法（即用m n m n m n C C C 11+-=+递推）如：413353433+=+++n n C C C C C Λ. vi. 构造二项式. 如：nn n n n n C C C C 222120)()()(=+++Λ证明：这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数，左边为22120022110)()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=⋅++⋅+⋅+⋅--ΛΛ，而右边nn C 2= 四、排列、组合综合.1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法. ②排除法.③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n 个不同元素排成一列，要求其中某)(n m m ≤个元素必相邻的排列有m m m n m n A A ⋅+-+-11个.其中11+-+-m n m n A 是一个“整体排列”，而m m A 则是“局部排列”.又例如①有n 个不同座位，A 、B 两个不能相邻，则有排列法种数为-2n A 2211A A n ⋅-. ②有n 件不同商品，若其中A 、B 排在一起有2211A A n n ⋅--. ③有n 件不同商品，若其中有二件要排在一起有112--⋅n n n A A . 注：①③区别在于①是确定的座位，有22A 种；而③的商品地位相同，是从n 件不同商品任取的2个，有不确定性.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？mm n m n m n A A 1+---⋅（插空法），当n – m+1≥m, 即m≤21+n 时有意义.⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n 个元素进行全排列有n n A 种，)(n m m π个元素的全排列有m m A 种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，共有m mn n A A 种排列方法.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n ！/ m ！；解法二：（比例分配法）mm nn A A /.⑦平均法：若把kn 个不同元素平均分成k 组，每组n 个，共有kkn nn n k n kn AC C C Λ)1(-⋅.例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有3!224=C （平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？（!2/102022818C C C P =）注意：分组与插空综合. 例如：n 个元素全排列，其中某m 个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有mm mm n mn m n A A A /1+---⋅，当n – m+1 ≥m, 即m≤21+n 时有意义.⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：124321=+++x x x x 的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,,,x x x x 显然124321=+++x x x x ，故（4321,,,x x x x ）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解),,,(4321y y y y ，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C .注意：若为非负数解的x 个数，即用n a a a ,...,21中i a 等于1+i x ，有A a a a A x x x x n n =-+-+-⇒=+++1...11...21321，进而转化为求a 的正整数解的个数为1-+n n A C .⑨定位问题：从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内，并且都排在某r 个指定位置则有rk r n r r A A --.例如：从n 个不同元素中，每次取出m 个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？固定在某一位置上：11--m n A ；不在某一位置上：11---m n m n A A 或11111----⋅+m n m m n A A A （一类是不取出特殊元素a ，有mn A 1-，一类是取特殊元素a ，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的） ⑩指定元素排列组合问题.i. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列（或组合），规定某r 个元素都包含在内。

高中数学排列组合二项式概率统计知识点归纳及常考题型

“排列、组合、二项式、概率、统计”复习资料一、基础知识和方法梳理（一）排列组合 1．计数两原理：分类计数原理：完成一件事情，有n 类方法，在第1类方法中又有m 1种不同的方式可以完成这件事情，在第2类方法中，又有m 2种方式，……第n 类方法中有m n 种方式可以完成，那么要完成这件事情的方法共有：n m m m N +++= 21分步计数原理：完成一件事情，需要分成n 步完成，在第1步中，有m 1种不同的方式可以完成这一步，在第2步中，有m 2种方式，……第n 步中，有m n 种方式可以完成这一步，那么要完成这件事情的方法共有：n m m m N ⨯⨯⨯= 21 2．排列：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

排列数)!(!)1()1(m n n m n n n A mn -=+--=3．组合：从n 个不同的元素中不重复选取m 个元素组成一组，与顺序无关；组合公式：)!(!!!)1()1(m n m n m m n n n C mn -=+--=；组合数性质：m n n m n C C -=，mn m n m n C C C 11+-=+4．排列组合常用方法：分类讨论法：将0,1,2,3,4五个数字可以组成多少个无重复数字的五位偶数？间接法：100件产品含有5件次品，从中任取5件，则至少含有一件次品的取法有多少种？捆绑、插空法：将3本语文书，3本数学书，2本英语书排成一排，数学书必须排在一起，英语书不能相邻，则有多少中排列方式？特殊元素特殊位置优先考虑法：例如，将0,1,2,3可以组成多少个无重复数字的四位数分组法：将5个苹果分给甲、乙、丙三人，每人至少一个苹果，有多少种分配方案？隔板法：例如，将10个相同的小球装入3个编号为1,2,3的盒子(每次要把10个球装完),要求每个盒子里球的个数不少盒子的编号数,这样的装法总数有多少种？等可能性法：六个字母a 、r 、r 、r 、b 、c 排成一排，有多少种排列方式？（二）二项式定理1．二项式定理：nn n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110)(，其中rn C 为第1+r 项的二项式系数，=-nb a )(2．通项公式：rr n r n r b a C T -+=1,),1,0(n r =3．二项式定理的性质：（1）对称性，二项式系数是关于2n对称（2）增减性与最大值，当n 为偶数时，二项式系数最大项为第12+n项，最大值为2nn C当n 为奇数时，二项式系数最大项为第121+-n 项和第121++n 项，最大值为2121+-=n n n n C C （3）二项式系数之和nn n n n C C C 210=+++奇数项与偶数项的二项式系数之和相等131202-=++=++n n n n n C C C C（三）概率1．概率的定义：在大量重复进行同一试验时事件A 发生的频率nm总是接近于某个常数p ，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记做)(A P ．2．事件的和A+B ：表示事件A 和B 至少有一个发生；事件的积A ×B ：表示事件A 和B 同时发生B A B A B A B A ⋅=++=⋅,3．常见的几种类型的概率计算：（1）等可能事件：可预知的有限个结果，且每个结果出现的可能性相同计算方法：nm A P =)( （2）互斥事件：在一次试验中，事件A 发生了，则事件B 一定不会发生，事件B 发生了，事件A 不可能发生互斥事件有一个发生的概率计算方法：)()()(B P A P B A P +=+，特殊的，对立事件：1)()(=+A P A P（3）相互独立事件：在一次试验中，事件A 发生与否对事件B 发生的概率没有影响，同理，事件B 发生与否对事件A 发生的概率没有影响，若A 与B 是独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 都是独立事件独立事件同时发生的概率的计算方法：)()()(B P A P B A P ⋅=⋅（4）n 次独立重复事件恰有k 次发生的概率：kn k k n n p p C k P --=)1()(4．关于两个事件常见的概率计算：（若21)(,)(p B P p A P ==）5．注意事项（1）等可能事件的概率中，基本事件数目的计算可以分化得细致一点或粗略一点，这样虽然形式上有所差别，结果往往是一样的，通常有这样一些不同考虑：“整体考虑或局部考虑” 、“元素可辨或不可辨” 、“元素放回或不放回” 、“元素有序或无序”.（2）重视几种概率类型的混合，注意概率加法、乘法的混合运算，适当注意概率类型的突破. （3）准确理解文字（生活）语言，如“至少”、“至多”、“都”、“不都”、“都不”、“恰有几个”、“有几个”，“只有第几次”、“第几次”，“直到第几次”等等，然后等价转化为数学（概率）语言，并注意表述规范.（四）统计1．离散型随机变量的定义：若随机试验的结果可以用一个变量表示，这个变量叫做随机变量。

高中数学知识点归纳排列组合与二项式定理

高中数学知识点归纳排列组合与二项式定理在高中数学中，排列组合是一种重要的概念与工具，它涉及到对对象的选取和排列的方式。

而在排列组合的基础上，我们还能引出二项式定理，进一步探讨多项式的展开与计算。

本文将对这些数学知识点进行归纳总结和讨论。

一、排列组合的基本概念1.1 排列排列是从给定的一组对象中，按照一定的顺序选择若干个对象进行排列。

假设有n个不同的对象，要从中选择r个对象进行排列，可以得到的排列数记为P(n,r)。

P(n,r) = n!/(n-r)!1.2 组合组合是指从给定的一组对象中，无视其顺序，选择若干个对象。

同样假设有n个不同的对象，要从中选择r个对象进行组合，可以得到的组合数记为C(n,r)。

C(n,r) = n!/(r!(n-r)!)1.3 重复排列与重复组合当给定的一组对象中存在重复的元素时，我们可以计算可能的重复排列与重复组合。

计算公式如下：重复排列：P(n1,n2,...,nk) = n!/(n1!n2!...nk!)重复组合：C(n+r-1,r) = (n+r-1)!/(r!(n-1)!)二、排列组合的应用2.1 生日问题生日问题是指在一个房间里，至少有两个人生日相同的概率有多大。

利用排列组合的思想可以很方便地解决这个问题。

在一个房间里，有n 个人，假设有365天可以选作生日。

我们可以计算至少有两个人生日相同的概率，即为1减去没有人生日相同的概率。

P(at least two people have the same birthday) = 1 - P(no two people have the same birthday)= 1 - C(365,n)/365^n2.2 二项式定理与展开二项式定理是代数中的重要定理之一，它描述了两个数之和的幂展开后的表达式。

假设有实数a和b以及正整数n，根据二项式定理可以将(a+b)^n展开为：(a+b)^n = C(n,0)a^n*b^0 + C(n,1)a^(n-1)*b^1 + C(n,2)a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,n-1)a^1*b^(n-1) + C(n,n)a^0*b^n2.3 二项式系数与组合恒等式二项式系数指的是二项式展开中各项的系数。

高三第一轮复习——排列、组合、二项式定理

3.（x-2)9的展开式中，第6项的二项式系数
1
3
5
7
9
11
10
是……………………………………（ C ）
A.4032 B.-4032 C.126 D.-126
一般来说，家居装修有四大块支出：装修部分（包括厨卫设备）；家具部分；家电部分；装饰部分。这四大部分在装修总投资里占有多大的分配比例，现今有很多说法。有的认为装修、厨卫占50%，家具占30%，家用电器及其他占20%；也有的认为，装修与家具、家电配套的投资比例应该在1:1或1:2之间。； https:/// 武汉装修公司 lgh91neh 其实这些分配比例都只是相对的，当今装修行业并没有一个统一、确定的标准。由于职业、个性、喜好等不同，因此消费者对装修投资的分配比例也不可能相同。但是，消费者依然可以把大家比较认可的比例，作为预计装修投资，控制装修总支出的一个计算依据。
乘法原理
做一件事，完成它可以有n个步骤，做第一步中有m1种不同的方法，做第二步中有m2种不同的方法……，做第n步中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m1· m2· m3·…·mn 种不同的方法.
定义相同点不同点
做一件事或完成一项工作的方法数
直接（分类）完成
间接（分步骤）完成
1.排列和组合的区别和联系：
练习1
1.书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书， ①从中任取一本，有多少中不同的取法？ ②从中任取数学书与语文书各取一本，有多少种不同的取法？ 6+5=11
6×5=30
2. 若x、y可以取1，2，3，4，5中的任一个，则点(x,y)的不同个数有多少？
5×5=25
练习2
1.计算： 4 p ③ 4 24 =

高中数学排列组合及二项式定理知识点

高中数学之排列组合二项式定理一、分类计数原理和分步计数原理：分类计数原理：如果完成某事有几种不同的方法，这些方法间是彼此独立的，任选其中一种方法都能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的和。

分步计数原理：如果完成某事，必须分成几个步骤，每个步骤都有不同的方法，而—个步骤中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接，只有依次完成所有各步，才能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。

区别：如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，则选用分类计数原理，即类与类之间是相互独立的，即“分类完成”；如果只有当n 个步骤都做完，这件事才能完成，则选用分步计数原理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即“分步完成”。

二、排列与组合：（1）排列与组合的区别和联系：都是研究从一些不同的元素中取出n 个元素的问题；区别：前者有顺序，后者无顺序。

（2）排列数、组合数：排列数的公式：)()!(!)1()2)(1(n m m n n m n n n n A m n ≤-=+---= 注意：①全排列：!n A n n =； ②记住下列几个阶乘数，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；排列数的性质：①11--=m n m n nA A （将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两步完成：第一步从n 个元素中选出1个排在指定的一个位置上；第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置上）②m n m n m n A mA A 111---+=（将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两类完成：第一类：m 个元素中含有a ，分两步完成：第一步将a 排在某一位置上，有m 不同的方法。

第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置上）即有11--m n mA 种不同的方法。

第二类：m 个元素中不含有a ，从1-n 个元素中取出m 个元素排在m 个位置上，有m n A 1-种方法。

二项式定理与排列组合的知识点总结

二项式定理与排列组合的知识点总结二项式定理是高中数学中的一个重要定理，它与排列组合有着密切的联系。

本文将对二项式定理和排列组合的知识点进行总结，希望能够为读者提供清晰明了的概念和理解。

一、排列组合的基本概念排列组合是数学中研究对象的一种组织方式。

排列是指将一组元素按照一定顺序进行布置，而组合是指从一组元素中取出若干元素组成一个集合。

1. 排列排列是指从一组元素中有序地选取若干个元素进行布置。

主要分为两种类型：有放回排列和无放回排列。

有放回排列是指在选择完元素后将其放回原处，元素可以被多次选取。

而无放回排列是指在选择完元素后不放回，下次选择时不能再选取。

2. 组合组合是指从一组元素中无序地选择若干个元素进行组合。

同样地，组合也可以分为有放回组合和无放回组合两种类型。

二、二项式定理的概念和公式二项式定理是代数学中的一个重要定理，用于展开二项式的幂。

它表述了如下公式：(a + b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n-1)ab^(n-1) + C(n,n)b^n其中，a，b是实数或者变量，n为非负整数。

C(n, k)表示从n个元素中取出k个元素的组合数，也称为二项系数。

具体计算公式如下：C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)三、二项式定理与排列组合的关系二项式定理中的二项系数C(n, k)正是组合数的计算公式，说明了二项式展开式中各项系数的求解方法。

1. 二项式系数的性质二项系数具有一些重要的性质，包括对称性、加法原理和乘法原理等。

这些性质在解决排列组合问题时具有重要的指导作用。

2. 应用举例利用二项式定理和排列组合的知识，可以解决一些实际问题。

比如，求解一组数的幂展开式中某一项的系数、计算某些特殊排列组合的总数等等。

四、应用示例在实际应用中，二项式定理与排列组合经常被用于解决一些概率、统计和计算问题。

2016届高考数学(理)二轮复习增分策略课件：7.1 排列、组合、二项式定理(人教版江苏专用)

配到一人组有 C35C22A22C12＝ 40(种)，王教练分配到三人组有 C25C23C12A22＝120(种)，王教练分配到两人组有 C15C12C34A22＝80(种)，所以第二种情况共有 40＋80＋120＝240(种). (3)对于第三种情况，共有 C15C12C24C22＝60(种). 综上所述，共有60＋240＋60＝360(种)分配方案. 答案 360
跟踪演练1 (1)(2014·大纲全国改编)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有___7_5____种. 解析由题意知，选 2 名男医生、1 名女医生的方法有 C26C15
＝75(种).
(2)已知函数f(x)＝ln(x2＋1)的值域为{0,1,2}，则满足这样条件的函数的个数为________. 解析因为值域为{0,1,2}，即ln(x2＋1)＝0⇒x＝0， ln(x2＋1)＝1⇒x＝± e－1， ln(x2＋1)＝2⇒x＝± e2－1，
解析可分三步：第一步，最后一个排商业广告有 A12种；第二步，在前两个位置选一个排第二个商业广告有 A12种；第三步，余下的两个排公益宣传广告有 A22种. 根据分步计数原理，可得不同的播放方式共有 A12A12A22＝8(种). 答案 8
12 34
2.为配合足球国家战略，教育部特派6名相关专业技术人员到甲、乙、丙三所足校进行专业技术培训，每所学校至少一人，其中王教练不去甲校的分配方案种数为_______.
所以定义域取值即在这5个元素中选取，
①当定义域中有 3 个元素时，C11C12C12＝4， ②当定义域中有 4 个元素时，C11C34＝4， ③当定义域中有 5 个元素时，有一种情况. 所以共有4＋4＋1＝9(个)这样的函数. 答案 9

排列组合、二项式定理复习纲要优秀课件

m 1 n 1
m 1 n
三、七类典型的排列组合问题
1、有特殊元素或特殊位置的排列问题：一般地，分步处理，优先（第一步）处理特殊元素或特殊位置。 2、相邻的排列问题：一般地，（分两步）先将相邻的元素合并（看成一个元素）与其它元素一起排列好，再处理好合并的元素间的位置关系。
3、不相邻的排列问题
最好是先分堆（遇到平均分堆就除以堆数的排列数），再分配（排列）
（1）注意分“堆”与分给“人”的区别；（2）注意均匀分配与不均匀分配的区别；
（3）注意分给“人”的不均匀分配时有对某些人指定量与不指定量的区别。
练习： 1、6本不同的书均分成3堆，有多少种不同的分法？ 2、6本不同的书，均分给3个人，有多少种分法？
2、二项式展开式的通项：
rn r r n
n n n
T C a b ,r 0 , 1 , 2 , n r 1
3、二项式系数的性质：
（1）在展开式中，与两端距离相等的二项式系数相等；（2）当n为奇数的时候，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数的时候，中间项的二项式系数最大。
n ! P n ( n 1 )( n 2 ) ( n m 1 ) ( n m )!
从n个不同的元素中任取m个不同的元素的组合数为
P n ! C P m !(n m )!
m n
m n m m
组合性质 C C
m n n m n
C C C
m n
4、二项式定理的应用：
（1）整除性的证明、求余数；
（2）近似计算|x|<<1时， ( 1 x ) 1 nx
n
要注意误差绝对值应小于精确度的一半，否则应该加项。

高二数学排列、组合、二项式定理章节复习人教版知识精讲

高二化学复习《化学必修1》第1章第2节鲁教版【本讲教育信息】一. 教学内容：高考第一轮复习《化学必修1》第1章认识化学科学第2节研究物质性质的方法和程序二. 教学目的1. 初步掌握研究物质性质的方法和程序，能设计并实验简单的研究物质性质的程序。

2. 掌握钠及其化合物的重要性质和用途3. 掌握氯及其化合物的性质、用途以及氯气的制法三. 教学重点、难点钠及氯气的性质四. 知识分析（一）研究物质性质的方法和程序研究物质性质的方法常见的有：观察、实验、分类、比较。

研究物质性质的基本程序是：观察物质的外观性质→预测物质的性质→实验和观察→解释及结论。

（二）钠及化合物的性质1. 原子结构原子结构示意图；电子式Na最易失去最外层的一个电子，因此性质活泼。

2. 物理性质：银白色固体，硬度小，熔点低，密度小，导电，导热。

3. 化学性质：易失去电子，表现还原性。

（1）与非金属反应与O2反应：4Na+ O2=2Na2O（切开钠表面很快变暗）2Na+O2点燃Na2O2（燃烧生成淡黄色固体）与S反应：2Na+ S=Na2S（研磨易爆炸）与Cl2反应：2Na+Cl2点燃2NaCl（燃烧冒白烟）（2）钠与水反应（滴有酚酞）2Na+ 2H2O=2NaOH+H2↑反应现象可以概括为五个字：“浮、游、熔、响、红”。

（3）钠与酸反应2Na+2H+====2Na+ +H2↑注意钠与酸反应后若有剩余，还应考虑与水反应。

（4）与盐溶液反应钠与盐溶液反应先考虑与水反应，再由生成的氢氧化钠与盐反应。

Na与CuCl2溶液：2Na+2H2O=2NaOH+H2↑2NaOH +CuCl2=2NaCl+Cu（OH）2↓Na与FeCl3溶液：2Na+2H2O=2NaOH+H2↑3NaOH +FeCl3=3NaCl+Fe（OH）3↓（5）与有机物反应与醇反应2CH3CH2OH+2Na→2CH3CH2ONa+ H2↑与酚反应：与羧酸反应：2CH3COOH+2Na→2CH3COONa+ H2↑4. 钠的实验室贮存：根据钠的性质，钠的贮存应符合与空气、水隔绝的要求。

第六讲：排列、组合、二项式定理.doc

一、知识回顾(Ⅰ)排列、组合问题几大解题方法： ①直接法; ②排除法;③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”;④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则. ⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n 个元素进行全排列有n n A 种，()m m n <个元素的全排列有m m A 种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，共有m mn n A A 种排列方法.(Ⅱ)排列组合常见解题策略：①特殊元素优先安排策略； ②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）； ④正难则反，等价转化策略； ⑤相邻问题插空处理策略； ⑥不相邻问题插空处理策略； ⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略； ⑨ “小集团”排列问题中先整体后局部的策略； ⑩构造模型的策略. 9、二项式定理:⑴对于n N *∈，00110()n n n r n r rn nn n n n a b C a b C a b C a b C a b --+=+++++,这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做()n a b +的展开式.注:展开式具有以下特点：项数：共有1+n 项；系数：依次为组合数;,,,,,,210n n rn n n n C C C C C且每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幂排列，b 的升幂排列展开. ⑵二项展开式的通项：()n a b +的展开式第r+1为1(0,)r n r r r n T C a b r n r Z -+=∈≤≤.⑶二项式系数的性质.①二项展开式中的(0,1,2,,)rn C r n =叫做二项式系数．．．．．②在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；即011,,,.n n r n rn n n n n n C C C C C C --===③二项展开式的中间项二项式系数．．．．．最大且当12n +k <时，二项系数是逐渐增大，当12n +k >时，二项式系数是逐渐减小的． (Ⅰ)当n 是偶数时,中间项是第12n+项,它的二项式系数2nn C 最大;(Ⅱ)当n 是奇数时,中间项为两项,即第12n +项和第112n ++项,它们的二项式系数1122n n n n C C -+=最大. ④系数和：所有二项式系数的和：012nn n n n C C C +++=;奇数项二项式系数的和＝偶数项而是系数的和:0241312n n n n n n C C C C C -+++=++= .⑤1121m m mmm m m m m n m n C C C CC ++++++++=⑸二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。

高二理科数学复习讲义排列组合和二项式定理

2016年炜昊教育高二理科数学复习讲义排列组合和二项式定理1．二项式定理：011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。

②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅.③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。

用1r n r r r nT C a b -+=表示。

⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2nn C 取得最大值。

如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数12n n C -,12n nC +同时取得最大值。

⑥系数的最大项：求()n a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法。

设展开式中各项系数分别为121,,,n A A A +⋅⋅⋅，设第1r +项系数最大，应有112r r r r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩，从而解出r 来题型一：二项式定理的逆用；例：12321666 .n n n n n n C C C C -+⋅+⋅++⋅= 练：1231393 .n n n n n n C C C C -++++=题型二：利用通项公式求n x 的系数；例：在二项式n 的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x 的项的系数？练：求291()2x x-展开式中9x 的系数？题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式210(x 的展开式中的常数项？练：求二项式61(2)2x x-的展开式中的常数项？题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式9展开式中的有理项？题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若n 展开式中偶数项系数和为256-，求n .题型六：最大系数，最大项；例：已知1(2)2n x +，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？题型七：含有三项变两项；例：求当25(32)x x ++的展开式中x 的一次项的系数？练：求式子31(2)x x +-的常数项？题型八：两个二项式相乘；例：342(12)(1)x x x +-求展开式中的系数..练：610(1(1求展开式中的常数项.题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例：2006(,,,_____.x x S x S ==在的二项展开式中含的奇次幂的项之和为当题型十：赋值法；例：设二项式1)n x的展开式的各项系数的和为p ，所有二项式系数的和为s ,若272p s +=,则n 等于多少？练：若n x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为多少？例：200912320092009120123200922009(12)(),222a a a x a a x a x a x a x x R -=+++++∈++⋅⋅⋅+若则的值为练：55432154321012345(2),____.x a x a x a x a x a x a a a a a a -=+++++++++=若则题型十一：整除性；例：证明：22*389()n n n N +--∈能被64整除高考试题1.二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（）A ．4B ．5C ．6D ．72.25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( )（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）603.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）（A ）144个（B ）120个（C ）96个（D ）72个4.已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A.122 B ．112 C ．102 D ．925.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）6.53x ⎛+ ⎝的展开式中8x 的系数是________(用数字作答). 7.在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为 .8.在5(21)x -的展开式中，含2x 的项的系数是（用数字作答） 9.在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 . 10.371()x x +的展开式中5x 的系数是 .（用数字填写答案）11.4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________．12.已知5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（）B. C.6 D-613.在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为（结果用数值表示）．14.在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．。