2019中考数学复习训练专题十综合性压轴题(含答案)
2019中考数学压轴题及答案40例(6)_0
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 2019中考数学压轴题及答案40例（6）02019 中考数学压轴题及答案 40 例（6 ）21.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B（4，0）、C（8，0）、D （8，8）．抛物线 y＝ax 2 ＋bx 过 A、C 两点．（1）直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）动点 P 从点 A 出发，沿线段AB 向终点 B 运动，同时点 Q 从点 C 出发，沿线段CD 向终点 D 运动，速度均为每秒 1 个单位长度，运动时间为 t 秒．过点 P 作PEAB 交 AC 于点 E．① 过点 E 作 EFAD 于点 F，交抛物线于点 G．当 t 为何值时，线段 EG 最长？② 连接 EQ，在点 P、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形？请直接写出相应的 t 值．解：（1）点 A 的坐标为（4，8）．1 分将 A（4，8）、C（8，0）两点坐标分别代入 y＝ax 2 ＋bx，得＝＋＝＋b ab a 解得 a＝－21，b＝4．抛物线的解析式为 y＝－21x 2 ＋4x．3 分（2）①在Rt△APE和Rt△ABC 中，tanPAE＝APPE＝ABBC，即APPE＝84＝21．PE＝21AP＝21t，PB＝8－t．点 E 的坐标为（4＋21t，8－t）．2点 G 的纵坐标为－21(4＋21t)2 ＋4(4＋21t)＝－81t 2 ＋8．5 分EG＝－81t 2 ＋8－(8－t)＝－81t 2 ＋t 1∵－81＜0，当 t ＝4 时，线段 EG 最长为 2．7 分②共有三个时刻．8 分t 1 ＝316，t 2 ＝1340，t 3 ＝40－ 5 16 ．11 分22.如图，抛物线y＝－x 2 ＋2x＋3 与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左1 / 10侧），与y 轴相交于点 C，顶点为 D．（1）直接写出 A、B、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结 BC，与抛物线的对称轴交于点 E，点 P 为线段 BC 上的一个动点，过点 P 作PF∥DE 交抛物线于点 F，设点 P 的横坐标为 m．①用含 m 的代数式表示线段 PF 的长，并求出当 m 为何值时，四边形 PEDF 为平行四边形？②设△BCF 的面积为 S，求 S 与 m 的函数关系式．解：（1）A（－1，0），B（3，0），C（0，3）．2 分抛物线的对称轴是：x＝1．3 分（2）①设直线 BC 的解析式为：y＝kx＋b．将 B（3，0），C（0，3）分别代入得：＝＝＋bb k 解得＝－＝bk直线 BC 的解析式为 y＝－x＋3．当 x＝1 时，y＝－1＋3＝2，E（1，2）．当x＝m 时，y＝－m＋3，P（m，－m＋3）．4 分将 x＝1 代入 y＝－x 2 ＋2x＋3，得 y＝4，D（1，4）．将 x＝m 代入 y＝－x 2 ＋2x＋3，得 y＝－m 2 ＋2m＋3．F（m，－m 2 ＋2m＋3）．5 分线段 DE＝4－2＝2，线段 PF＝－m 2 ＋2m＋3－(－m＋3)＝－m 2 ＋3m6 分∵PF∥DE，当 PF＝DE 时，四边形 PEDF 为平行四边形．由－m 2 ＋3m＝2，解得：m 1 ＝2，m 2 ＝1（不合题意，舍去）．当 m＝2 时，四边形 PEDF 为平行四边形．7 分②设直线 PF 与 x 轴交于点 M．xyDCA O BxyDCA O BFMPE 2由 B（3，0），O（0，0），可得：OB＝OM＋MB＝3．则 S＝S △ BPF ＋S △ CPF 8分＝21PFBM---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ ＋21PFOM ＝21PFOB ＝21(－m 2 ＋3m)3 ＝－23m 2 ＋29m（0m3）即 S 与 m 的函数关系式为：S＝－23m 2 ＋29m（0m3）．9 分23.如图，在矩形 OABC 中，已知 A、C 两点的坐标分别为 A（4，0）、C（0，2），D为 OA 的中点．设点 P 是AOC 平分线上的一个动点（不与点 O 重合）．（1）试证明：无论点 P 运动到何处，PC 总与 PD 相等；（2）当点 P 运动到与点 B 的距离最小时，试确定过 O、P、D 三点的抛物线的解析式；（3）设点 E 是（2）中所确定抛物线的顶点，当点 P 运动到何处时，△PDE 的周长最小？求出此时点 P 的坐标和△PDE 的周长；（4）设点 N 是矩形 OABC 的对称中心，是否存在点 P，使CPN＝90？若存在，请直接写出点 P 的坐标． 3解：（1）∵点 D 是 OA 的中点，OD＝2，OD＝OC．又∵OP 是COD 的角平分线，POC＝POD＝45．△POC≌POD，PC＝PD；3 分（2）如图，过点 B 作AOC 的平分线的垂线，垂足为 P，点 P 即为所求．易知点 F 的坐标为（2，2），故 BF＝2，作 PMBF．∵△PBF 是等腰直角三角形，PM＝21BF＝1．点 P 的坐标为（3，3）．∵抛物线经过原点可设抛物线的解析式为 y＝ax 2 ＋bx．又∵抛物线经过点 P（3，3）和点 D（2，0）＝＋＝＋b ab a 解得＝－＝ba过 O、P、D 三点的抛物线的解析式为 y＝x 2 －2x；7 分（3）由等腰直角三角形的对称性知 D 点关于AOC 的平分线的对称点即为 C点．连接 EC，它与AOC 的平分线的交点即为所求的 P 点3 / 10（因为 PE＋PD＝EC，而两点之间线段最短），此时△PED 的周长最小．∵抛物线 y＝x 2 －2x 的顶点 E 的坐标（1，－1），C 点的坐标（0，2） 4设 CE 所在直线的解析式为 y＝kx＋b则＝－＝＋bb k 解得＝－＝bkCE 所在直线的解析式为 y ＝－3x＋2．联立＝＋＝－ 2 3，解得＝＝ yx，故点 P 的坐标为（21，21）．△PED 的周长即是 CE＋DE＝ 2 10 ＋；11 分（4）存在点 P，使CPN＝90，其坐标为（21，21）或（2，2）．14 分24.如图 1，已知抛物线经过坐标原点 O 和 x 轴上另一点 E，顶点 M 的坐标为（2，4）；矩形 ABCD 的顶点 A 与点 O 重合，AD、AB 分别在 x 轴、y 轴上，且 AD＝2，AB＝3．（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）将矩形 ABCD 以每秒 1 个单位长度的速度从图 1 所示的位置沿 x 轴的正方向匀速平行移动，同时一动点 P 也以相同的速度．．．．．从点 A 出发向 B 匀速移动，设它们运动的时间为 t 秒（0t3），直线 AB 与该抛物线的交点为 N（如图 2 所示）．①当 t＝25时，判断点 P 是否在直线 ME 上，并说明理由；②设以 P、N、C、D 为顶点的多边形面积为 S，试问 S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．解：（1）∵因所求抛物线的顶点 M 的坐标为（2，4） 5可设其对应的函数关系式为 y＝a(x －2)2 ＋4．1 分又抛物线经过坐标原点 O （0，0），a(0－2) 2 ＋4＝0．2 分解得 a＝－1．3 分所求函数关系式为 y＝－(x －2)2 ＋4，即 y＝－x 2 ＋4x．4 分（2）①点 P 不---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 在直线 ME 上，理由如下：5 分根据抛物线的对称性可知 E 点的坐标为（4，0）．设直线 ME 的解析式为 y＝kx＋b，将 M（2，4），E（4，0）代入，得2＝＋＝＋b kb k 解得＝－＝bk．直线 ME 的解析式为 y＝－2x＋8．6 分当 t＝25时，OA＝AP＝25，P（25，25）．7 分∵点 P 的坐标不满足直线 ME 的解析式 y＝－2x＋8当 t＝25时，点 P 不在直线 ME 上．8 分②S 存在最大值，理由如下：9 分∵点 A 在 x 轴的非负半轴上，且 N 在抛物线上，OA＝AP ＝t．P（t，t），N（t，－t 2 ＋4t），AN＝－t 2 ＋4t（0 t 3）PN＝AN－AP＝－t 2 ＋4t－t＝－t 2 ＋3t＝t(3－t)010 分（ⅰ）当 PN＝0，即 t＝0 或 t＝3 时，以点 P，N，C，D 为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为 AD．S＝21DCAD＝2132＝3．11 分（ⅱ）当 PN0 时，以点 P，N，C，D 为顶点的多边形是四边形．∵PN∥CD，ADCD．S＝21(CD＋PN)AD＝21(3－t 2 ＋3t)2＝－t 2 ＋3t＋3＝－(t－23) 2＋421（0＜t＜3）．当 t＝23时，S 最大＝421．12 分 6综上所述，当 t＝23时，以点 P，N，C，D 为顶点的多边形面积 S 有最大值，最大值为421．13 分说明：（ⅱ）中的关系式，当 t＝0 和 t＝3 时也适合．25.如图 1，已知抛物线 y＝ax 2 －2ax－3 与 x 轴交于 A、B 两点，其顶点为C，过点 A 的直线交抛物线于另一点 D(2，－3)，且 tanBAD＝1．（1）求抛物线的解析式；（2）连结 CD，求证：5 / 10ADCD；（3）如图 2，P 是线段 AD 上的动点，过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线于点 E，求线段PE 长度的最大值；（4）点 Q 是抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 F，使以 A，D，F，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）如图 1，过点 D 作 DHx 轴于 H，则 OH＝2，DH＝3．∵tanBAD ＝1，AH＝DH＝3，AO＝3－2＝1．1 分 7A(－1，0)．2 分把 A(－1，0)代入 y＝ax 2 －2ax－3，得 a＋2a－3＝0．a＝1．3 分抛物线的解析式为 y＝x 2 －2x－3．4 分（2）∵y＝x 2 －2x－3＝(x－1) 2－4C(1，－4)．5 分连结 AC，则 AD 2 ＝3 2 ＋3 2 ＝18，CD 2 ＝(2－1) 2 ＋(－3＋4) 2 ＝2，AC 2 ＝(1＋1) 2 ＋4 2 ＝20．AD 2 ＋CD 2 ＝AC 2 ，△ACD 是直角三角形，且ADC＝90．7 分ADCD．8 分（3）设直线 AD 的解析式为 y＝kx＋b，把 A(－1，0)，D(2，－3)代入求得直线 BC 的解析式为 y＝－x－1．9 分设点 P 的横坐标为 x，则 P(x，－x－1)，E(x，x 2 －2x－3)．∵点 P 在点 E 的上方EP＝(－x－1)－(x 2 －2x－3)＝－x 2 ＋x＋2＝－(x－21) 2 ＋4910 分当 x＝21时，线段 PE 长度的最大值＝49．12 分（4）存在，点 F 的坐标分别为 F 1 (－3，0)，F 2 (1，0)，F 3 ( 7 4 －，0)，F 4 ( 7 4 ＋，0)．16 分 8关于点 F 坐标的求解过程（原题不作要求，本人添加，仅供参考）如图 3 ①若四边形 ADQ 1 F 1 为平行四边形，则 AF 1 ＝DQ 1 ，DQ 1 ∥AF 1 ．点 Q 1 的纵坐标为－3，代入 y＝x 2 －2x－3，得 x 2 －2x－3＝－3，x 1＝0，x 2---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ ＝2．∵D(2，－3)，Q 1 (0，－3)，DQ 1 ＝2，AF 1 ＝2．F 1 (－3，0)．②若四边形 AF 2 DQ 2 为平行四边形，同理可得 F 2 (1，0)．③若四边形 AQ 3 F 3 D 为平行四边形，则 AQ 3 ＝DF 3 ．点Q 3 的纵坐标为3，代入y＝x 2 －2x－3，得x 2 －2x－3＝3，x 3 ＝ 7 1 －，x 4 ＝ 7 1 ＋．－1－( 7 1 － )＝2 7 －，OF 3 ＝2－( 2 7 － )＝ 7 4 －．F 3 ( 7 4 －，0)．④若四边形 AQ 4 F 4 D 为平行四边形，则OF 4 ＝( 7 1 ＋ )－( 7 1 － )＋( 7 4 － )＝ 7 4 ＋ F 4 ( 7 4 ＋，0)．26.已知二次函数 y＝ax 2 ＋bx＋c（a0）的图象经过点 A（1，0），B（2，0），C（0，－2），直线 x＝m（m＞2）与 x 轴交于点 D．（1）求二次函数的解析式；（2）在直线 x＝m（m ＞2）上有一点 E（点 E 在第四象限），使得 E、D、B 为顶点的三角形与以 A、O、C 为顶点的三角形相似，求 E 点坐标（用含 m 的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点 F，使得四边形 ABEF 为平行四边形？若存在，请求出 m 的值及四边形ABEF 的面积；若不存在，请说明理由． 9解：（1）∵二次函数 y＝ax 2 ＋bx＋c 的图象经过点 A（1，0），B（2，0），C（0，－2）＝－＝＋＋＝＋＋cc b ac b a 解得＝－＝＝－cba二次函数的解析式y＝－x 2 ＋3x－2．2 分（2）当△EDB∽△AOC 时，有EDAO＝BDCO 或BDAO＝EDCO∵AO＝1，CO＝2，BD＝m－2．当EDAO＝BDCO时，得ED1＝22－ m，ED＝22 － m．∵点 E 在第四象限，E 1 （m，22 m －）．47 / 10分当BDAO＝EDCO时，得21－ m＝ED2，ED＝2m－4．∵点 E 在第四象限，E 2 （m，4－2m）．6 分（3）假设抛物线上存在一点 F，使得四边形 ABEF 为平行四边形，则EF＝AB＝1，点 F 的横坐标为 m－1．当点 E 1 的坐标为（m，22 m －）时，点 F 1 的坐标为（m－1，22 m －）．∵点 F 1 在抛物线的图象上，22 m －＝－(m－1) 2 ＋3(m－1)－2．2m 2 －11m＋14＝0，解得 m 1 ＝27，m 2 ＝2（不合题意，舍去）．F 1 （25，－43）．10S □ ABEF＝143＝43．9 分当点 E 2 的坐标为（m，4－2m）时，点 F 2 的坐标为（m－1，4－2m）．∵点 F 2 在抛物线的图象上，4－2m＝－(m－1) 2 ＋3(m－1)－2．m 2 －7m＋10＝0，解得 m 1 ＝5，m 2 ＝2（不合题意，舍去）．F 2 （4，－6）．S □ ABEF ＝16＝6．12 分注：其它解法可参照评分标准给分． 27.已知：t 1 ，t 2 是方程 t 2 ＋2t－24＝0，的两个实数根，且 t 1 ＜t 2 ，抛物线 y＝32x 2 ＋bx＋c 的图象经过点 A（t 1 ，0），B （0，t 2 ）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设点 P（x，y）是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形 OPAQ 是以 OA 为对角线的平行四边形，求□ OPAQ 的面积 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，当□ OPAQ 的面积为 24 时，是否存在这样的点 P，使□ OPAQ为正方形？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）由 t 2 ＋2t－24＝0，解得 t 1 ＝－6，t 2 ＝4．1 分∵t 1 ＜t 2 ，A（－6，0），B（0，4）．2 分∵抛物线 y＝32x 2 ＋---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------bx＋c 的图象经过点 A，B 两点＝＝＋ 4－cc b 解得＝＝cb 这个抛物线的解析式为 y＝32x 2＋314x＋4． 114 分（2）∵点 P（x，y）在抛物线上，且位于第三象限，y＜0，即－y＞0．又∵S＝2S △ APO＝221| OA|| y | ＝ | OA|| y |＝6| y | S＝－6y．6 分＝－6(32x 2 ＋314x＋4)＝－4(x 2 ＋7x＋6)＝－4(x＋27) 2 ＋25．7 分令 y＝0，则32x 2＋314x＋4＝0，解得 x 1 ＝－6，x 2 ＝－1．抛物线与 x 轴的交点坐标为（－6，0）、（－1，0）x 的取值范围为－6＜x＜－1．8 分（3）当 S＝24 时，得－4(x＋27) 2 ＋25＝24，解得：x 1 ＝－4，x 2 ＝－3．9 分代入抛物线的解析式得：y 1 ＝y 2 ＝－4．点 P 的坐标为（－3，－4）、（－4，－4）．当点 P 为（－3，－4）时，满足 PO＝PA，此时，□ OPAQ 是菱形．当点 P 为（－4，－4）时，不满足 PO＝PA，此时，□ OPAQ 不是菱形．10 分要使□ OPAQ 为正方形，那么，一定有 OAPQ，OA＝PQ，此时，点的坐标为（－3，－3），而（－3，－3）不在抛物线 y＝32x2 ＋314x＋4 上，故不存在这样的点 P，使□ OPAQ 为正方形．12 分免责声明 1. 用户明确同意其使用网络服务所存在的风险将完全由其本人承担；因其使用网络服务而产生的一切后果也由其本人承担。
2019年湖南省中考数学真题精选分类汇编：压轴题(含答案解析)
2019年湖南省各市中考数学真题精选汇编压轴题：1-16页2019年湖南省各市中考数学真题精选压轴题剖析：17-79页一．选择题（共10小题）1．（2019•长沙）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE 上的一个动点，则CD+BD的最小值是（）A．2B．4C．5D．10 2．（2019•永州）若关于x的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（）A．1B．2C．3D．4 3．（2019•衡阳）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，E是AB的中点，过点E作AC和BC的垂线，垂足分别为点D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，运动过程中四边形CDEF与△ABC的重叠部分面积为S．则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．4．（2019•娄底）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120°的多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒π米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P的纵坐标为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1 5．（2019•湘潭）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣x个物件，则可列方程为（）A．＝B．＝C．＝D．＝6．（2019•株洲）从﹣1，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作a k，b k）构成一个数组M K＝{a k，b k}（其中k＝1，2…S，且将{a k，b k}与{b k，a k}视为同一个数组），若满足：对于任意的M i＝{a i，b i}和M j＝{a j，b j}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有a i+b i≠a j+b j，则S的最大值（）A．10B．6C．5D．4 7．（2019•岳阳）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c 的取值范围是（）A．c＜﹣3B．c＜﹣2C．c＜D．c＜1 8．（2019•邵阳）某出租车起步价所包含的路程为0～2km，超过2km的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元．设这种出租车的起步价为x元，超过2km后每千米收费y元，则下列方程正确的是（）A．B．C．D．9．（2019•常德）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（）A．0B．1C．7D．8 10．（2019•郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，则正方形ADOF 的边长是（）A．B．2C．D．4二．填空题（共10小题）11．（2019•长沙）如图，函数y＝（k为常数，k＞0）的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则k＝2+；④若MF＝MB，则MD＝2MA．其中正确的结论的序号是．（只填序号）12．（2019•永州）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方（a+b）n的展开式（按b的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将（s+x）15的展开式按x的升幂排列得：（s+x）15＝a0+a1x+a2x2+…+a15x15．依上述规律，解决下列问题：（1）若s＝1，则a2＝；（2）若s＝2，则a0+a1+a2+…+a15＝．13．（2019•衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为．14．（2019•娄底）已知点P（x0，y0）到直线y＝kx+b的距离可表示为d＝，例如：点（0，1）到直线y＝2x+6的距离d＝＝．据此进一步可得两条平行线y＝x和y＝x﹣4之间的距离为．15．（2019•湘潭）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝（弦×矢+矢2）．孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径OC⊥弦AB时，OC平分AB）可以求解．现已知弦AB＝8米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为平方米．16．（2019•株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，在直线x＝1处放置反光镜Ⅰ，在y轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ，缺口为线段AB，其中点A（0，1），点B在点A上方，且AB＝1，在直线x＝﹣1处放置一个挡板Ⅲ，从点O发出的光线经反光镜Ⅰ反射后，通过缺口AB照射在挡板Ⅲ上，则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为．17．（2019•岳阳）如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①AM平分∠CAB；②AM2＝AC•AB；③若AB＝4，∠APE＝30°，则的长为；④若AC＝3，BD＝1，则有CM＝DM＝．18．（2019•邵阳）如图，将等边△AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B在第一象限，将等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，则点B′的坐标是．19．（2019•常德）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），P是二次函数y＝x2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y＝﹣1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是．（填序号）20．（2019•郴州）如图，点A，C分别是正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象的交点，过A点作AD⊥x轴于点D，过C点作CB⊥x轴于点B，则四边形ABCD的面积为．三．解答题（共19小题）21．（2019•长沙）已知抛物线y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）（b，c为常数）．（1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求b，c的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围；（3）在（1）的条件下，存在正实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好≤≤，求m，n的值．22．（2019•长沙）如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B 三点的⊙P相交于点C．（1）求点A的坐标；（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．①如图1，求证：CE＝DE；②如图2，连接AC，BE，BO，当a＝，∠CAE＝∠OBE时，求﹣的值．23．（2019•永州）某种机器使用若干年后即被淘汰，该机器有一易损零件，为调查该易损零件的使用情况，随机抽取了100台已被淘汰的这种机器，经统计：每台机器在使用期内更换的该易损零件数均只有8，9，10，11这四种情况，并整理了这100台机器在使用期内更换的该易损零件数，绘制成如图所示不完整的条形统计图．（1）请补全该条形统计图；（2）某公司计划购买一台这种机器以及若干个该易损零件，用上述100台机器更换的该易损零件数的频率代替一台机器更换的该易损零件数发生的概率．①求这台机器在使用期内共更换了9个该易损零件的概率；②若在购买机器的同时购买该易损零件，则每个200元；若在使用过程中，因备用该易损零件不足，再购买，则每个500元．请你帮该公司用花在该易损零件上的费用的加权平均数进行决策：购买机器的同时应购买几个该易损零件，可使公司的花费最少？24．（2019•永州）（1）如图1，在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AB＝6，AD＝8，将平行四边形ABCD分割成两部分，然后拼成一个矩形，请画出拼成的矩形，并说明矩形的长和宽．（保留分割线的痕迹）（2）若将一边长为1的正方形按如图2﹣1所示剪开，恰好能拼成如图2﹣2所示的矩形，则m的值是多少？（3）四边形ABCD是一个长为7，宽为5的矩形（面积为35），若把它按如图3﹣1所示的方式剪开，分成四部分，重新拼成如图3﹣2所示的图形，得到一个长为9，宽为4的矩形（面积为36）．问：重新拼成的图形的面积为什么会增加？请说明理由．25．（2019•衡阳）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E．（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．26．（2019•衡阳）如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．27．（2019•娄底）如图，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA（不包括端点）上运动，且满足AE＝CG，AH＝CF．（1）求证：△AEH≌△CGF；（2）试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．（3）请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由．28．（2019•娄底）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．29．（2019•湘潭）如图一，抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0）B（3.0）、C（0，）三点（1）求该抛物线的解析式；（2）P（x1，y1）、Q（4，y2）两点均在该抛物线上，若y1≥y2，求P点横坐标x1的取值范围；（3）如图二，过点C作x轴的平行线交抛物线于点E，该抛物线的对称轴与x轴交于点D，连结CD、CB，点F为线段CB的中点，点M、N分别为直线CD和CE上的动点，求△FMN周长的最小值．30．（2019•湘潭）如图一，在射线DE的一侧以AD为一条边作矩形ABCD，AD＝5，CD ＝5，点M是线段AC上一动点（不与点A重合），连结BM，过点M作BM的垂线交射线DE于点N，连接BN．（1）求∠CAD的大小；（2）问题探究：动点M在运动的过程中，①是否能使△AMN为等腰三角形，如果能，求出线段MC的长度；如果不能，请说明理由．②∠MBN的大小是否改变？若不改变，请求出∠MBN的大小；若改变，请说明理由．（3）问题解决：如图二，当动点M运动到AC的中点时，AM与BN的交点为F，MN的中点为H，求线段FH的长度．31．（2019•株洲）四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，线段AB是⊙O的直径，连结AC、BD．点H是线段BD上的一点，连结AH、CH，且∠ACH＝∠CBD，AD＝CH，BA的延长线与CD的延长线相交于点P．（1）求证：四边形ADCH是平行四边形；（2）若AC＝BC，PB＝PD，AB+CD＝2（+1）①求证：△DHC为等腰直角三角形；②求CH的长度．32．（2019•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）（1）若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1①求该二次函数图象的顶点坐标；②定义：对于二次函数y＝px2+qx+r（p≠0），满足方程y＝x的x的值叫做该二次函数的“不动点”．求证：二次函数y＝ax2+bx+c有两个不同的“不动点”．（2）设b＝c3，如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），其中x1＜0，x2＞0，与y轴相交于点C，连结BC，点D在y轴的正半轴上，且OC＝OD，又点E的坐标为（1，0），过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F，满足∠AFC＝∠ABC．F A的延长线与BC的延长线相交于点P，若＝，求二次函数的表达式．33．（2019•岳阳）操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处．点P为直线EF 上一动点（不与E、F重合），过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN．（1）如图1，求证：BE＝BF；（2）特例感知：如图2，若DE＝5，CF＝2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；（3）类比探究：若DE＝a，CF＝b．①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系．（不要求写证明过程）34．（2019•邵阳）如图1，已知⊙O外一点P向⊙O作切线P A，点A为切点，连接PO并延长交⊙O于点B，连接AO并延长交⊙O于点C，过点C作CD⊥PB，分别交PB于点E，交⊙O于点D，连接AD．（1）求证：△APO～△DCA；（2）如图2，当AD＝AO时①求∠P的度数；②连接AB，在⊙O上是否存在点Q使得四边形APQB是菱形．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．35．（2019•邵阳）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过原点，与x轴的另一个交点为（8，0）（1）求该二次函数的解析式；（2）在x轴上方作x轴的平行线y1＝m，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值；（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．过点P 向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．36．（2019•常德）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使△PNC的面积是矩形MNHG面积的？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．37．（2019•常德）在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，作CM⊥AB交AB于点M，BN⊥AC 交AC于点N．（1）在图1中，求证：△BMC≌△CNB；（2）在图2中的线段CB上取一动点P，过P作PE∥AB交CM于点E，作PF∥AC交BN于点F，求证：PE+PF＝BM；（3）在图3中动点P在线段CB的延长线上，类似（2）过P作PE∥AB交CM的延长线于点E，作PF∥AC交NB的延长线于点F，求证：AM•PF+OM•BN＝AM•PE．38．（2019•郴州）如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把△ADE沿DE翻折，点A的对应点为A1，延长EA1交直线DC于点F，再把∠BEF折叠，使点B的对应点B1落在EF上，折痕EH交直线BC于点H．（1）求证：△A1DE∽△B1EH；（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A1恰好落在直线MN上，试判断△DEF的形状，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，点G为△DEF内一点，且∠DGF＝150°，试探究DG，EG，FG的数量关系．39．（2019•郴州）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点F是线段AD上一个动点．①如图1，设k＝，当k为何值时，CF＝AD？②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．2019年湖南省中考数学真题精选分类汇编：压轴题（含答案解析）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2019•长沙）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE 上的一个动点，则CD+BD的最小值是（）A．2B．4C．5D．10【分析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．由tan A＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH＝BD，推出CD+BD＝CD+DH，由垂线段最短即可解决问题．【解答】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∵tan A＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，则有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，∴a＝2或﹣2（舍弃），∴BE＝2a＝4，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等））∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin∠DBH＝＝＝，∴DH＝BD，∴CD+BD＝CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4，∴CD+BD的最小值为4．方法二：作CM⊥AB于M，交BE于点D，则点D满足题意．通过三角形相似或三角函数证得BD＝DM，从而得到CD+BD＝CM＝4．故选：B．【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．2．（2019•永州）若关于x的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（）A．1B．2C．3D．4【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组有解，求出m＜4，然后分别取m＝2，0，﹣1，得出整数解的个数，即可求解．【解答】解：解不等式2x﹣6+m＜0，得：x＜，解不等式4x﹣m＞0，得：x＞，∵不等式组有解，∴＜，解得m＜4，如果m＝2，则不等式组的解集为＜x＜2，整数解为x＝1，有1个；如果m＝0，则不等式组的解集为0＜x＜3，整数解为x＝1，2，有2个；如果m＝﹣1，则不等式组的解集为﹣＜x＜，整数解为x＝0，1，2，3，有4个．故选：C．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．3．（2019•衡阳）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，E是AB的中点，过点E作AC和BC的垂线，垂足分别为点D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，运动过程中四边形CDEF与△ABC的重叠部分面积为S．则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据已知条件得到△ABC是等腰直角三角形，推出四边形EFCD是正方形，设正方形的边长为a，当移动的距离＜a时，如图1S＝正方形的面积﹣△EE′H的面积＝a2﹣t2；当移动的距离＞a时，如图2，S＝S△AC′H＝（2a﹣t）2＝t2﹣2at+2a2，根据函数关系式即可得到结论；【解答】解：∵在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵EF⊥BC，ED⊥AC，∴四边形EFCD是矩形，∵E是AB的中点，∴EF＝AC，DE＝BC，∴EF＝ED，∴四边形EFCD是正方形，设正方形的边长为a，如图1当移动的距离＜a时，S＝正方形的面积﹣△EE′H的面积＝a2﹣t2；当移动的距离＞a时，如图2，S＝S△AC′H＝（2a﹣t）2＝t2﹣2at+2a2，∴S关于t的函数图象大致为C选项，故选：C．【点评】本题考查动点问题的函数图象，正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型．4．（2019•娄底）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120°的多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒π米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P的纵坐标为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【分析】先计算点P走一个的时间，得到点P纵坐标的规律：以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环，再用2019÷4＝504…3，得出在第2019秒时点P的纵坐标为是﹣1．【解答】解：点运动一个用时为÷π＝2秒．如图，作CD⊥AB于D，与交于点E．在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠ACD＝∠ACB＝60°，∴∠CAD＝30°，∴CD＝AC＝×2＝1，∴DE＝CE﹣CD＝2﹣1＝1，∴第1秒时点P运动到点E，纵坐标为1；第2秒时点P运动到点B，纵坐标为0；第3秒时点P运动到点F，纵坐标为﹣1；第4秒时点P运动到点G，纵坐标为0；第5秒时点P运动到点H，纵坐标为1；…，∴点P的纵坐标以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环，∵2019÷4＝504…3，∴第2019秒时点P的纵坐标为是﹣1．故选：B．【点评】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出点P纵坐标的规律：以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环．也考查了垂径定理．5．（2019•湘潭）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣x个物件，则可列方程为（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据题意，可以列出相应的分式方程，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，，故选：B．【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．6．（2019•株洲）从﹣1，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作a k，b k）构成一个数组M K＝{a k，b k}（其中k＝1，2…S，且将{a k，b k}与{b k，a k}视为同一个数组），若满足：对于任意的M i＝{a i，b i}和M j＝{a j，b j}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有a i+b i≠a j+b j，则S的最大值（）A．10B．6C．5D．4【分析】找出a i+b i的值，结合对于任意的M i＝{a i，b i}和M j＝{a i，b j}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有a i+b i≠a j+b j，即可得出S的最大值．【解答】解：∵﹣1+1＝0，﹣1+2＝1，﹣1+4＝3，1+2＝3，1+4＝5，2+4＝6，∴a i+b i共有5个不同的值．又∵对于任意的M i＝{a i，b i}和M j＝{a j，b j}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有a i+b i≠a j+b j，∴S的最大值为5．故选：C．【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，找出a i+b i共有几个不同的值是解题的关键．7．（2019•岳阳）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c 的取值范围是（）A．c＜﹣3B．c＜﹣2C．c＜D．c＜1【分析】由函数的不动点概念得出x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个实数根，由x1＜1＜x2知△＞0且x＝1时y＜0，据此得，解之可得．【解答】解：由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c ＝x的两个不相等实数根，且x1＜1＜x2，整理，得：x2+x+c＝0，由x2+x+c＝0有两个不相等的实数根，且x1＜1＜x2，知△＞0，令y＝x2+x+c，画出该二次函数的草图如下：则，解得c＜﹣2，故选：B．【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于c的不等式．8．（2019•邵阳）某出租车起步价所包含的路程为0～2km，超过2km的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元．设这种出租车的起步价为x元，超过2km后每千米收费y元，则下列方程正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据津津乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元可列方程组．【解答】解：设这种出租车的起步价为x元，超过2km后每千米收费y元，则所列方程组为，故选：D．【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．9．（2019•常德）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（）A．0B．1C．7D．8【分析】首先得出尾数变化规律，进而得出70+71+72+…+72019的结果的个位数字．【解答】解：∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，∴个位数4个数一循环，∴（2019+1）÷4＝505，∴1+7+9+3＝20，∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字是：0．故选：A．【点评】此题主要考查了尾数特征，正确得出尾数变化规律是解题关键．10．（2019•郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，则正方形ADOF 的边长是（）A．B．2C．D．4【分析】设正方形ADOF的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，解方程即可．【解答】解：设正方形ADOF的边长为x，由题意得：BE＝BD＝4，CE＝CF＝6，∴BC＝BE+CE＝BD+CF＝10，在Rt△ABC中，AC2+AB2＝BC2，即（6+x）2+（x+4）2＝102，整理得，x2+10x﹣24＝0，解得：x＝2，或x＝﹣12（舍去），∴x＝2，即正方形ADOF的边长是2；故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质、一元二次方程的解法、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．二．填空题（共10小题）11．（2019•长沙）如图，函数y＝（k为常数，k＞0）的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则k＝2+；④若MF＝MB，则MD＝2MA．其中正确的结论的序号是①③④．（只填序号）【分析】①设点A（m，），M（n，），构建一次函数求出C，D坐标，利用三角形的面积公式计算即可判断．②△OMA不一定是等边三角形，故结论不一定成立．③设M（1，k），由△OAM为等边三角形，推出OA＝OM＝AM，可得1+k2＝m2+，推出m＝k，根据OM＝AM，构建方程求出k即可判断．④如图，作MK∥OD交OA于K．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．【解答】解：①设点A（m，），M（n，），则直线AC的解析式为y＝﹣x++，∴C（m+n，0），D（0，），∴S△ODM＝n×＝，S△OCA＝（m+n）×＝，∴△ODM与△OCA的面积相等，故①正确；∵反比例函数与正比例函数关于原点对称，∴O是AB的中点，∵BM⊥AM，∴OM＝OA，∴k＝mn，∴A（m，n），M（n，m），∴AM＝（n﹣m），OM＝，∴AM不一定等于OM，∴∠BAM不一定是60°，∴∠MBA不一定是30°．故②错误，∵M点的横坐标为1，∴可以假设M（1，k），∵△OAM为等边三角形，∴OA＝OM＝AM，1+k2＝m2+，∵m＞0，k＞0，∴m＝k，∵OM＝AM，∴（1﹣m）2+＝1+k2，∴k2﹣4k+1＝0，∴k＝2，∴k＝2+，故③正确，如图，作MK∥OD交OA于K．∵OF∥MK，∴＝＝，∴＝，∵OA＝OB，∴＝，∴＝，∵KM∥OD，∴＝＝2，∴DM＝2AM，故④正确．故答案为①③④．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构造平行线，利用平行线分线段成比例定理解决问题，属于中考填空题中的压轴题．12．（2019•永州）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方（a+b）n的展开式（按b的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将（s+x）15的展开式按x的升幂排列得：（s+x）15＝a0+a1x+a2x2+…依上述规律，解决下列问题：（1）若s＝1，则a2＝105；（2）若s＝2，则a0+a1+a2+…+a15＝315．【分析】（1）根据图形中的规律即可求出（1+x）15的展开式中第三项的系数为前14个数的和；（2）根据x的特殊值代入要解答，即把x＝1代入时，得到结论．【解答】解：（1）由图2知：（a+b）1的第三项系数为0，（a+b）2的第三项的系数为：1，（a+b）3的第三项的系数为：3＝1+2，（a+b）4的第三项的系数为：6＝1+2+3，…∴发现（1+x）3的第三项系数为：3＝1+2；（1+x）4的第三项系数为6＝1+2+3；（1+x）5的第三项系数为10＝1+2+3+4；不难发现（1+x）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），∴s＝1，则a2＝1+2+3+…+14＝105．故答案为：105；（2）∵（s+x）15＝a0+a1x+a2x2+…+a15x15．当x＝1时，a0+a1+a2+…+a15＝（2+1）15＝315，故答案为：315．【点评】本题考查了完全平方式，也是数字类的规律题，首先根据图形中数字找出对应的规律，再表示展开式：对应（a+b）n中，相同字母a的指数是从高到低，相同字母b 的指数是从低到高．13．（2019•衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，。
2019年全国中考数学真题精选分类汇编：压轴题+含答案解析
2019年全国中考数学真题精选分类汇编：压轴题含答案解析1．（2019•北京）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，图1中是△ABC的一条中内弧．（1）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC＝，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC中，D，E 分别是AB，AC的中点．①若t＝，求△ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．2．（2019•上海）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．（1）求证：∠E═∠C；（2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值；（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值．3．（2019•广州）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．4．（2019•深圳）已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（﹣3，0），C（﹣3，8），以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交⊙E于点D，连接OD．（1）求证：直线OD是⊙E的切线；（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交⊙E于点G，连接BG；①当tan∠ACF＝时，求所有F点的坐标（直接写出）；②求的最大值．5．（2019•武汉）在△ABC中，∠ABC＝90°，＝n，M是BC上一点，连接AM．（1）如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN．（2）过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q．①如图2，若n＝1，求证：＝．②如图3，若M是BC的中点，直接写出tan∠BPQ的值．（用含n的式子表示）6．（2019•武汉）已知抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4和C2：y＝x2（1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？（2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ．①若AP＝AQ，求点P的横坐标；②若P A＝PQ，直接写出点P的横坐标．（3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系．7．（2019•杭州）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．（1）若∠BAC＝60°，①求证：OD＝OA．②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值．（2）点E在线段OA上，OE＝OD，连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2＝0．8．（2019•天津）已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）点D（b，y D）在抛物线上，当AM＝AD，m＝5时，求b的值；（Ⅲ）点Q（b+，y Q）在抛物线上，当AM+2QM的最小值为时，求b的值．9．（2019•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′＝t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当≤S≤5时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．10．（2019•成都）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC'D，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D的坐标；（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式．11．（2019•安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°．（1）求证：△P AB∽△PBC；（2）求证：P A＝2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2•h3．12．（2019•长沙）如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C．（1）求点A的坐标；（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．①如图1，求证：CE＝DE；②如图2，连接AC，BE，BO，当a＝，∠CAE＝∠OBE时，求﹣的值．13．（2019•苏州）如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．（1）求a的值；（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠P AQ＝∠AQB，求点Q的坐标．14．（2019•青岛）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分A C．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE ⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：（1）当t为何值时，点E在∠BAC的平分线上？（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．15．（2019•枣庄）已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；（2）如图1，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求点M的坐标．16．（2019•陕西）问题提出：（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；问题探究：（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，求满足条件的点P到点A的距离；问题解决：（3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE＝120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计）17．（2019•恩施州）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和的值．（3）点F（0，y）是y轴上一动点，当y为何值时，FC+BF的值最小．并求出这个最小值．（4）点C关于x轴的对称点为H，当FC+BF取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QHF是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2019•黄冈）如图①，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣2，2），B（﹣2，0），C（0，2），D（2，0）四点，动点M以每秒个单位长度的速度沿B→C→D运动（M不与点B、点D重合），设运动时间为t（秒）．（1）求经过A、C、D三点的抛物线的解析式；（2）点P在（1）中的抛物线上，当M为BC的中点时，若△P AM≌△PBM，求点P的坐标；（3）当M在CD上运动时，如图②．过点M作MF⊥x轴，垂足为F，ME⊥AB，垂足为E．设矩形MEBF与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；（4）点Q为x轴上一点，直线AQ与直线BC交于点H，与y轴交于点K．是否存在点Q，使得△HOK为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q点的坐标；若不存在，请说明理由．19．（2019•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A，C两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式．（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当EF＝BF时，求sin∠EBA的值．（3）点N是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2019•连云港）问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由．问题探究：在“问题情境”的基础上．（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数；（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△APN沿着AN翻折，点P 落在点P'处，若正方形ABCD的边长为4，AD的中点为S，求P'S的最小值．问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点F．分别过点A、F作AG⊥MN，FH⊥MN，垂足分别为G、H．若AG＝，请直接写出FH的长．21．（2019•衢州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交BC 于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交DE，AC于点F、G．（1）求CD的长．（2）若点M是线段AD的中点，求的值．（3）请问当DM的长满足什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P，使得∠CPG＝60°？22．（2019•鞍山）在平面直角坐标系中，过点A（3，4）的抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点B（﹣1，0），与y轴交于点C，过点A作AD⊥x轴于点D．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，连接PD交AB于点Q，连接AP，当S△AQD ＝2S△APQ时，求点P的坐标．（3）如图2，G是线段OC上一个动点，连接DG，过点G作GM⊥DG交AC于点M，过点M作射线MN，使∠NMG＝60°，交射线GD于点N；过点G作GH⊥MN，垂足为点H，连接BH．请直接写出线段BH的最小值．2019年全国中考数学真题精选分类汇编：压轴题含答案解析参考答案与试题解析一．解答题（共22小题）1．（2019•北京）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，图1中是△ABC的一条中内弧．（1）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC＝，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC中，D，E 分别是AB，AC的中点．①若t＝，求△ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．【分析】（1）由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得DE＝2，最长中内弧即以DE为直径的半圆，的长即以DE为直径的圆周长的一半；（2）根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在DE的中垂线上，①当t＝时，要注意圆心P在DE 上方的中垂线上均符合要求，在DE下方时必须AC与半径PE的夹角∠AEP满足90°≤∠AEP＜135°；②根据题意，t的最大值即圆心P在AC上时求得的t值．【解答】解：（1）如图2，以DE为直径的半圆弧，就是△ABC的最长的中内弧，连接DE，∵∠A＝90°，AB＝AC＝，D，E分别是AB，AC的中点，∴BC＝＝＝4，DE＝BC＝×4＝2，∴弧＝×2π＝π；（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EG⊥AC交FP于G，①当t＝时，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1），F（，1），设P（，m）由三角形中内弧定义可知，圆心在线段DE上方射线FP上均可，∴m≥1，∵OA＝OC，∠AOC＝90°∴∠ACO＝45°，∵DE∥OC∴∠AED＝∠ACO＝45°作EG⊥AC交直线FP于G，FG＝EF＝根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求；∴m≤综上所述，m≤或m≥1．②如图4，设圆心P在AC上，∵P在DE中垂线上，∴P为AE中点，作PM⊥OC于M，则PM＝，∴P（t，），∵DE∥BC∴∠ADE＝∠AOB＝90°∴AE＝＝＝，∵PD＝PE，∴∠AED＝∠PDE∵∠AED+∠DAE＝∠PDE+∠ADP＝90°，∴∠DAE＝∠ADP∴AP＝PD＝PE＝AE由三角形中内弧定义知，PD≤PM∴AE≤，AE≤3，即≤3，解得：t≤，∵t＞0∴0＜t≤．如图5，设圆心P在BC上，则P（t，0）PD＝PE＝＝，PC＝3t，CE＝AC＝＝由三角形中内弧定义知，∠PEC＜90°，∴PE2+CE2≥PC2即+≥（3t）2，∵t＞0∴0＜t≤；综上所述，t的取值范围为：0＜t≤．【点评】此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题．2．（2019•上海）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．（1）求证：∠E═∠C；（2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值；（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值．【分析】（1）由题意：∠E＝90°﹣∠ADE，证明∠ADE＝90°﹣∠C即可解决问题．（2）延长AD交BC于点F．证明AE∥BC，可得∠AFB＝∠EAD＝90°，＝，由BD：DE＝2：3，可得cos∠ABC＝＝＝．（3）因为△ABC与△ADE相似，∠DAE＝90°，所以∠ABC中必有一个内角为90°因为∠ABC是锐角，推出∠ABC≠90°．接下来分两种情形分别求解即可．【解答】（1）证明：如图1中，∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∠E＝90°﹣∠ADE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC，同理∠ABD＝∠ABC，∵∠ADE＝∠BAD+∠DBA，∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C，∴∠ADE＝（∠ABC+∠BAC）＝90°﹣∠C，∴∠E＝90°﹣（90°﹣∠C）＝∠C．（2）解：延长AD交BC于点F．∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠E，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠E＝∠CBE，∴AE∥BC，∴∠AFB＝∠EAD＝90°，＝，∵BD：DE＝2：3，∴cos∠ABC＝＝＝．（3）∵△ABC与△ADE相似，∠DAE＝90°，∴∠ABC中必有一个内角为90°∵∠ABC是锐角，∴∠ABC≠90°．①当∠BAC＝∠DAE＝90°时，∵∠E＝∠C，∴∠ABC＝∠E＝∠C，∵∠ABC+∠C＝90°，∴∠ABC＝30°，此时＝2﹣．②当∠C＝∠DAE＝90°时，∠∠C＝45°，∴∠EDA＝45°，∵△ABC与△ADE相似，∴∠ABC＝45°，此时＝2﹣．综上所述，∠ABC＝30°或45°，＝2﹣或2﹣．【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．3．（2019•广州）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．【分析】（1）抛物线有最低点即开口向上，m＞0，用配方法或公式法求得对称轴和函数最小值．（2）写出抛物线G的顶点式，根据平移规律即得到抛物线G1的顶点式，进而得到抛物线G1顶点坐标（m+1，﹣m﹣3），即x＝m+1，y＝﹣m﹣3，x+y＝﹣2即消去m，得到y与x的函数关系式．再由m＞0，即求得x的取值范围．（3）法一：求出抛物线恒过点B（2，﹣4），函数H图象恒过点A（2，﹣3），由图象可知两图象交点P应在点A、B之间，即点P纵坐标在A、B纵坐标之间．法二：联立函数H解析式与抛物线解析式组成方程组，整理得到用x表示m的式子．由x与m的范围讨论x的具体范围，即求得函数H对应的交点P纵坐标的范围．【解答】解：（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，抛物线有最低点∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值为﹣m﹣3（2）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3∴平移后的抛物线G1：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3）∴x＝m+1，y＝﹣m﹣3∴x+y＝m+1﹣m﹣3＝﹣2即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣2∵m＞0，m＝x﹣1∴x﹣1＞0∴x＞1∴y与x的函数关系式为y＝﹣x﹣2（x＞1）（3）法一：如图，函数H：y＝﹣x﹣2（x＞1）图象为射线x＝1时，y＝﹣1﹣2＝﹣3；x＝2时，y＝﹣2﹣2＝﹣4∴函数H的图象恒过点B（2，﹣4）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3x＝1时，y＝﹣m﹣3；x＝2时，y＝m﹣m﹣3＝﹣3∴抛物线G恒过点A（2，﹣3）由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则y B＜y P＜y A∴点P纵坐标的取值范围为﹣4＜y P＜﹣3法二：整理的：m（x2﹣2x）＝1﹣x∵x＞1，且x＝2时，方程为0＝﹣1不成立∴x≠2，即x2﹣2x＝x（x﹣2）≠0∴m＝＞0∵x＞1∴1﹣x＜0∴x（x﹣2）＜0∴x﹣2＜0∴x＜2即1＜x＜2∵y P＝﹣x﹣2∴﹣4＜y P＜﹣3【点评】本题考查了求二次函数的最值，二次函数的平移，二次函数与一次函数的关系．解题关键是在无图的情况下运用二次函数性质解题，第（3）题结合图象解题体现数形结合的运用．4．（2019•深圳）已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（﹣3，0），C（﹣3，8），以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交⊙E于点D，连接OD．（1）求证：直线OD是⊙E的切线；（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交⊙E于点G，连接BG；①当tan∠ACF＝时，求所有F点的坐标，F2（5，0）（直接写出）；②求的最大值．【分析】（1）连接ED，证明∠EDO＝90°即可，可通过半径相等得到∠EDB＝∠EBD，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得DO＝BO＝AO，∠ODB＝∠OBD，得证；（2）①分两种情况：a）F位于线段AB上，b）F位于BA的延长线上；过F作AC的垂线，构造相似三角形，应用相似三角形性质可求得点F坐标；②应用相似三角形性质和三角函数值表示出＝，令y＝CG2（64﹣CG2）＝﹣（CG2﹣32）2+322，应用二次函数最值可得到结论．【解答】解：（1）证明：如图1，连接DE，∵BC为圆的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠BDA＝90°∵OA＝OB∴OD＝OB＝OA∴∠OBD＝∠ODB∵EB＝ED∴∠EBD＝∠EDB∴EBD+∠OBD＝∠EDB+∠ODB即：∠EBO＝∠EDO∵CB⊥x轴∴∠EBO＝90°∴∠EDO＝90°∵点D在⊙E上∴直线OD为⊙E的切线．（2）①如图2，当F位于AB上时，过F作F1N⊥AC于N，∵F1N⊥AC∴∠ANF1＝∠ABC＝90°∴△ANF∽△ABC∴∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝＝10，即AB：BC：AC＝6：8：10＝3：4：5∴设AN＝3k，则NF1＝4k，AF1＝5k∴CN＝CA﹣AN＝10﹣3k∴tan∠ACF＝＝＝，解得：k＝∴即F1（，0）如图3，当F位于BA的延长线上时，过F2作F2M⊥CA于M，∵△AMF2∽△ABC∴设AM＝3k，则MF2＝4k，AF2＝5k∴CM＝CA+AM＝10+3k∴tan∠ACF＝解得：∴AF2＝5k＝2OF2＝3+2＝5即F2（5，0）故答案为：F1（，0），F2（5，0）．②方法1：如图4，过G作GH⊥BC于H，∵CB为直径∴∠CGB＝∠CBF＝90°∴△CBG∽△CFB∴∴BC2＝CG•CF∴＝＝＝≤∴当H为BC中点，即GH＝BC时，的最大值＝．方法2：设∠BCG＝α，则sinα＝，cosα＝，∴sinαcosα＝∵（sinα﹣cosα）2≥0，即：sin2α+cos2α≥2sinαcosα∵sin2α+cos2α＝1，∴sinαcosα≤，即≤∴的最大值＝．【点评】本题是一道难度较大，综合性很强的有关圆的代数几何综合题，主要考查了圆的性质，切线的性质和判定定理，直角三角形性质，相似三角形性质和判定，动点问题，二次函数最值问题等，构造相似三角形和应用求二次函数最值方法是解题关键．5．（2019•武汉）在△ABC中，∠ABC＝90°，＝n，M是BC上一点，连接AM．（1）如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN．（2）过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q．①如图2，若n＝1，求证：＝．②如图3，若M是BC的中点，直接写出tan∠BPQ的值．（用含n的式子表示）【分析】（1）如图1中，延长AM交CN于点H．想办法证明△ABM≌△CBN（ASA）即可．（2）①如图2中，作CH∥AB交BP的延长线于H．利用全等三角形的性质证明CH＝BM，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．②如图3中，作CH∥AB交BP的延长线于H，作CN⊥BH于N．不妨设BC＝2m，则AB＝2mn．想办法求出CN，PN（用m，n表示），即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1中，延长AM交CN于点H．∵AM⊥CN，∴∠AHC＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠BAM+∠AMB＝90°，∠BCN+∠CMH＝90°，∵∠AMB＝∠CMH，∴∠BAM＝∠BCN，∵BA＝BC，∠ABM＝∠CBN＝90°，∴△ABM≌△CBN（ASA），∴BM＝BN．（2）①证明：如图2中，作CH∥AB交BP的延长线于H．∵BP⊥AM，∴∠BPM＝∠ABM＝90°，∵∠BAM+∠AMB＝90°，∠CBH+∠BMP＝90°，∴∠BAM＝∠CBH，∵CH∥AB，∴∠HCB+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABM＝∠BCH＝90°，∵AB＝BC，∴△ABM≌△BCH（ASA），∴BM＝CH，∵CH∥BQ，∴＝＝．②解：如图3中，作CH∥AB交BP的延长线于H，作CN⊥BH于N．不妨设BC＝2m，则AB＝2mn．则BM＝CM＝m，CH＝，BH＝，AM＝m，∵•AM•BP＝•AB•BM，∴PB＝，∵•BH•CN＝•CH•BC，∴CN＝，∵CN⊥BH，PM⊥BH，∴MP∥CN，∵CM＝BM，∴PN＝BP＝，∵∠BPQ＝∠CPN，∴tan∠BPQ＝tan∠CPN＝＝＝．方法二：易证：＝＝＝，∵PN＝PB，tan∠BPQ＝＝＝＝．【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．6．（2019•武汉）已知抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4和C2：y＝x2（1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？（2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ．①若AP＝AQ，求点P的横坐标；②若P A＝PQ，直接写出点P的横坐标．（3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系．【分析】（1）y＝（x﹣1）2﹣4向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到y＝x2；（2）①易求点A（3，0），b＝4，设D（0，4）关于x轴的对称点为D'，则D'（0，﹣4），则可求直线AD'的解析式为y＝x﹣4，联立方程，可得P点横坐标为；②同理可得P点横坐标为﹣；（3）设经过M与E的直线解析式为y＝k（x﹣m）+m2，∴，则可知△＝k2﹣4km+4m2＝（k﹣2m）2＝0，求得k＝2m，得出直线ME的解析式为y＝2mx﹣m2，同理：直线NE的解析式为y＝2nx﹣n2，则可求E（，mn），再由面积[（n2﹣mn）+（m2﹣mn）]×（m﹣n）﹣（n2﹣mn）×（﹣n）﹣（m2﹣mn）×（m﹣）＝2，可得（m﹣n）3＝8，即可求解；【解答】解：（1）y＝（x﹣1）2﹣4向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到y＝x2；（2）如图1，①设抛物线C1与y轴交于C点，直线AB与y轴交于D点，∵C1：y＝（x﹣1）2﹣4，∴A（3，0），C（0，﹣3），∵直线y＝﹣x+b经过点A，∴b＝4，∴D（0，4），∵AP＝AQ，PQ∥y轴，∴P、Q两点关于x轴对称，设D（0，4）关于x轴的对称点为D'，则D'（0，﹣4），∴直线AD'的解析式为y＝x﹣4，由，得x1＝3，x2＝，∴x Q＝，∴x P＝x Q＝，∴P点横坐标为；②P点横坐标为﹣；（3）设经过M与E的直线解析式为y＝k（x﹣m）+m2，∴，则有x2﹣kx+km﹣m2＝0，△＝k2﹣4km+4m2＝（k﹣2m）2＝0，∴k＝2m，∴直线ME的解析式为y＝2mx﹣m2，同理：直线NE的解析式为y＝2nx﹣n2，∴E（，mn），∴[（n2﹣mn）+（m2﹣mn）]×（m﹣n）﹣（n2﹣mn）×（﹣n）﹣（m2﹣mn）×（m﹣）＝2，∴（m﹣n）3﹣＝4，∴（m﹣n）3＝8，∴m﹣n＝2；【点评】本题考查二次函数的图象及性质；是二次函数的综合题，熟练掌握直线与二次函数的交点求法，借助三角形面积列出等量关系是解决m与n的关系的关键．7．（2019•杭州）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．（1）若∠BAC＝60°，①求证：OD＝OA．②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值．（2）点E在线段OA上，OE＝OD，连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2＝0．【分析】（1）①连接OB、OC，则∠BOD＝BOC＝∠BAC＝60°，即可求解；②BC长度为定值，△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，即可求解；（2）∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣mx﹣nx＝∠BOC＝∠DOC，而∠AOD＝∠COD+∠AOC＝180°﹣mx﹣nx+2mx＝180°+mx﹣nx，即可求解．【解答】解：（1）①连接OB、OC，则∠BOD＝∠BOC＝∠BAC＝60°，∴∠OBC＝30°，∴OD＝OB＝OA；②∵BC长度为定值，∴△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，当AD过点O时，AD最大，即：AD＝AO+OD＝，△ABC面积的最大值＝×BC×AD＝×2OB sin60°×＝；（2）如图2，连接OC，设：∠OED＝x，则∠ABC＝mx，∠ACB＝nx，则∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣mx﹣nx＝∠BOC＝∠DOC，∵∠AOC＝2∠ABC＝2mx，∴∠AOD＝∠COD+∠AOC＝180°﹣mx﹣nx+2mx＝180°+mx﹣nx，∵OE＝OD，∴∠AOD＝180°﹣2x，即：180°+mx﹣nx＝180°﹣2x，化简得：m﹣n+2＝0．【点评】本题为圆的综合运用题，涉及到解直角三角形、三角形内角和公式，其中（2），∠AOD＝∠COD+∠AOC是本题容易忽视的地方，本题难度适中．8．（2019•天津）已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）点D（b，y D）在抛物线上，当AM＝AD，m＝5时，求b的值；（Ⅲ）点Q（b+，y Q）在抛物线上，当AM+2QM的最小值为时，求b的值．【分析】（Ⅰ）将点A（﹣1，0）代入y＝x2﹣bx+c，求出c关于b的代数式，再将b代入即可求出c 的值，可进一步写出抛物线解析式及顶点坐标；（Ⅱ）将点D（b，y D）代入抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1，求出点D纵坐标为﹣b﹣1，由b＞0判断出点D（b，﹣b﹣1）在第四象限，且在抛物线对称轴x＝的右侧，过点D作DE⊥x轴，可证△ADE为等腰直角三角形，利用锐角三角函数可求出b的值；（Ⅲ）将点Q（b+，y Q）代入抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1，求出Q纵坐标为﹣﹣，可知点Q（b+，﹣﹣）在第四象限，且在直线x＝b的右侧，点N（0，1），过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，过点Q作QH⊥x轴于点H，则点H（b+，0），在Rt△MQH中，可知∠QMH＝∠MQH＝45°，设点M（m，0），则可用含b的代数式表示m，因为AM+2QM＝，所以[（﹣）﹣（﹣1）]+2[（b+）﹣（﹣）]＝，解方程即可．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y＝x2﹣bx+c经过点A（﹣1，0），∴1+b+c＝0，即c＝﹣b﹣1，当b＝2时，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣bx﹣b﹣1，∵点D（b，y D）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，∴y D＝b2﹣b•b﹣b﹣1＝﹣b﹣1，由b＞0，得b＞＞0，﹣b﹣1＜0，∴点D（b，﹣b﹣1）在第四象限，且在抛物线对称轴x＝的右侧，如图1，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，则点E（b，0），∴AE＝b+1，DE＝b+1，得AE＝DE，∴在Rt△ADE中，∠ADE＝∠DAE＝45°，∴AD＝AE，由已知AM＝AD，m＝5，∴5﹣（﹣1）＝（b+1），∴b＝3﹣1；（Ⅲ）∵点Q（b+，y Q）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，∴y Q＝（b+）2﹣b（b+）﹣b﹣1＝﹣﹣，可知点Q（b+，﹣﹣）在第四象限，且在直线x＝b的右侧，∵AM+2QM＝2（AM+QM），∴可取点N（0，1），如图2，过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，由∠GAM＝45°，得AM＝GM，则此时点M满足题意，过点Q作QH⊥x轴于点H，则点H（b+，0），在Rt△MQH中，可知∠QMH＝∠MQH＝45°，∴QH＝MH，QM＝MH，∵点M（m，0），∴0﹣（﹣﹣）＝（b+）﹣m，解得，m＝﹣，∵AM+2QM＝，∴[（﹣）﹣（﹣1）]+2[（b+）﹣（﹣）]＝，∴b＝4．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线上的点的坐标满足抛物线方程等，解题关键是能够根据给定参数判断点的位置，从而构造特殊三角形来求解．9．（2019•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′＝t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当≤S≤5时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．【分析】（Ⅰ）由已知得出AD＝OA﹣OD＝4，由矩形的性质得出∠AED＝∠ABO＝30°，在Rt△AED 中，AE＝2AD＝8，由勾股定理得出ED＝4，即可得出答案；（Ⅱ）①由平移的性质得：O′D′＝2，E′D′＝4，ME′＝OO′＝t，D′E′∥O′C′∥OB，得出∠E′FM＝∠ABO＝30°，在Rt△MFE′中，MF＝2ME′＝2t，FE′＝＝＝t，求出S△MFE′＝ME′•FE′＝×t×t＝，S矩形C′O′D′E′＝O′D′•E′D′＝2×4＝8，即可得出答案；②当S＝时，O'A＝OA﹣OO'＝6﹣t，由直角三角形的性质得出O'F＝O'A＝（6﹣t），得出方程，解方程即可；当S＝5时，O'A＝6﹣t，D'A＝6﹣t﹣2＝4﹣t，由直角三角形的性质得出O'G＝（6﹣t），D'F＝（4﹣t），由梯形面积公式得出S＝[（6﹣t）+（4﹣t）]×2＝5，解方程即可．【解答】解：（Ⅰ）∵点A（6，0），∴OA＝6，∵OD＝2，∴AD＝OA﹣OD＝6﹣2＝4，∵四边形CODE是矩形，∴DE∥OC，∴∠AED＝∠ABO＝30°，在Rt△AED中，AE＝2AD＝8，ED＝＝＝4，∵OD＝2，∴点E的坐标为（2，4）；（Ⅱ）①由平移的性质得：O′D′＝2，E′D′＝4，ME′＝OO′＝t，D′E′∥O′C′∥OB，∴∠E′FM＝∠ABO＝30°，∴在Rt△MFE′中，MF＝2ME′＝2t，FE′＝＝＝t，∴S△MFE′＝ME′•FE′＝×t×t＝，∵S矩形C′O′D′E′＝O′D′•E′D′＝2×4＝8，∴S＝S矩形C′O′D′E′﹣S△MFE′＝8﹣，∴S＝﹣t2+8，其中t的取值范围是：0＜t＜2；②当S＝时，如图③所示：O'A＝OA﹣OO'＝6﹣t，∵∠AO'F＝90°，∠AFO'＝∠ABO＝30°，∴O'F＝O'A＝（6﹣t）∴S＝（6﹣t）×（6﹣t）＝，解得：t＝6﹣，或t＝6+（舍去），∴t＝6﹣；当S＝5时，如图④所示：O'A＝6﹣t，D'A＝6﹣t﹣2＝4﹣t，∴O'G＝（6﹣t），D'F＝（4﹣t），∴S＝[（6﹣t）+（4﹣t）]×2＝5，解得：t＝，∴当≤S≤5时，t的取值范围为≤t≤6﹣．【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、直角三角形的性质、梯形面积公式等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质时是解题的关键．10．（2019•成都）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC'D，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D的坐标；（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式．【分析】（1）根据待定系数法，把点A（﹣2，5），B（﹣1，0），C（3，0）的坐标代入y＝ax2+bx+c 得到方程组求解即可；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），BH＝2，由翻折得C′B＝CB ＝4，求出C′H的长，可得∠C′BH＝60°，求出DH的长，则D坐标可求；（3）由题意可知△C′CB为等边三角形，分两种情况讨论：①当点P在x轴的上方时，点Q在x 轴上方，连接BQ，C′P．证出△BCQ≌△C′CP，可得BP垂直平分CC′，则D点在直线BP上，可求出直线BP的解析式，②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．同理可求出另一直线解析式．【解答】解：（1）由题意得：解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）∵抛物线与x轴交于B（﹣1，0），C（3，0），∴BC＝4，抛物线的对称轴为直线x＝1，如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），BH＝2，由翻折得C′B＝CB＝4，在Rt△BHC′中，由勾股定理，得C′H＝＝＝2，∴点C′的坐标为（1，2），tan，∴∠C′BH＝60°，由翻折得∠DBH＝∠C′BH＝30°，在Rt△BHD中，DH＝BH•tan∠DBH＝2•tan30°＝，∴点D的坐标为（1，）．（3）解：取（2）中的点C′，D，连接CC′，∵BC′＝BC，∠C′BC＝60°，∴△C′CB为等边三角形．分类讨论如下：①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，C′P．∵△PCQ，△C′CB为等边三角形，∴CQ＝CP，BC＝C′C，∠PCQ＝∠C′CB＝60°，∴∠BCQ＝∠C′CP，∴△BCQ≌△C′CP（SAS），∴BQ＝C′P．∵点Q在抛物线的对称轴上，∴BQ＝CQ，∴C′P＝CQ＝CP，又∵BC′＝BC，∴BP垂直平分CC′，由翻折可知BD垂直平分CC′，∴点D在直线BP上，设直线BP的函数表达式为y＝kx+b，则，解得，∴直线BP的函数表达式为y＝．②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．。
2019年山东省各市中考数学真题精选汇编：压轴题(含答案解析)
2019年山东省各市中考数学真题精选汇编：压轴题1-17页2019年山东省各市中考数学真题精选压轴题剖析18-93页一．选择题（共10小题）1．（2019•济南）关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一个根是﹣1，若二次函数y＝ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（）A．＜t＜B．﹣1＜t≤C．﹣≤t＜D．﹣1＜t＜2．（2019•德州）如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AF：FB＝1：2，CE⊥DF，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG＝BC，连接GM．有如下结论：①DE＝AF；②AN＝AB；③∠ADF＝∠GMF；④S△ANF：S四边形CNFB＝1：8．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．①②③D．②③④3．（2019•青岛）已知反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝ax2﹣2x和一次函数y＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．4．（2019•济宁）已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是（）A．﹣7.5B．7.5C．5.5D．﹣5.5 5．（2019•莱芜区）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于M、N，连按EN、EF、有以下结论：①AN＝EN②当AE＝AF时，＝2﹣③BE+DF＝EF④存在点E、F，使得NF＞DF其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．46．（2019•泰安）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2B．4C．D．7．（2019•潍坊）抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（）A．2≤t＜11B．t≥2C．6＜t＜11D．2≤t＜6 8．（2019•枣庄）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC 的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA′＝1，则A′D等于（）A．2B．3C．4D．9．（2019•烟台）如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足为点D，E，连接AC，BC，若AD＝，CE＝3，则的长为（）A．B．πC．πD．π10．（2019•淄博）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…均在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．则y1+y2+…+y10的值为（）A．2B．6C．4D．2二．填空题（共10小题）11．（2019•济南）如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P，若AD＝8，AB＝5，则线段PE的长等于．12．（2019•德州）如图，点A1、A3、A5…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A2、A4、A6……在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∠OA1A2＝∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝…＝∠α＝60°，且OA1＝2，则A n（n为正整数）的纵坐标为．（用含n的式子表示）13．（2019•青岛）如图，一个正方体由27个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何体．若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走个小立方块．14．（2019•济宁）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集是．15．（2019•莱芜区）定义：[x]表示不大于x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[1]＝1．有以下结论：①[﹣1.2]＝﹣2；②[a﹣1]＝[a]﹣1；③[2a]＜[2a]+1；④存在唯一非零实数a，使得a2＝2[a]．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）16．（2019•泰安）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是．17．（2019•潍坊）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中l0与y轴重合．若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，…，半径为n+1的圆与l n在第一象限内交于点P n，则点P n的坐标为．（n为正整数）18．（2019•枣庄）观察下列各式：＝1+＝1+（1﹣），＝1+＝1+（﹣），＝1+＝1+（﹣），…请利用你发现的规律，计算：+++…+，其结果为．19．（2019•烟台）如图，分别以边长为2的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径作弧，三段弧所围成的图形是一个曲边三角形，已知⊙O是△ABC的内切圆，则阴影部分面积为．20．（2019•淄博）如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF．如图1，当CD＝AC时，tanα1＝；如图2，当CD＝AC时，tanα2＝；如图3，当CD＝AC时，tanα3＝；……依此类推，当CD＝AC（n为正整数）时，tanαn＝．三．解答题（共20小题）21．（2019•济南）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．（一）猜测探究在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC 相等的角度，得到线段AN，连接NB．（1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是，NB与MC的数量关系是；（2）如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（二）拓展应用如图3，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，P是B1C1上的任意点，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旋转75°，得到线段A1Q，连接B1Q．求线段B1Q长度的最小值．22．（2019•济南）如图1，抛物线C：y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣1，3）两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；（2）如图2，直线l：y＝kx﹣经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m （m＜﹣2），连接DO并延长，交抛物线C′于点E，交直线l于点M，若DE＝2EM，求m 的值；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．23．（2019•德州）（1）如图1，菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD＝60°，请直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）（2）将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求HD：GC：EB；（3）把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且AD：AB＝AH：AE＝1：2，此时HD：GC：EB的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）；若无变化，请说明理由．24．（2019•德州）如图，抛物线y＝mx2﹣mx﹣4与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且x2﹣x1＝．（1）求抛物线的解析式；（2）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当a≤x1≤a+2，x2≥时，均有y1≤y2，求a的取值范围；（3）抛物线上一点D（1，﹣5），直线BD与y轴交于点E，动点M在线段BD上，当∠BDC ＝∠MCE时，求点M的坐标．25．（2019•青岛）问题提出：如图，图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张a×b的方格纸（a×b的方格纸指边长分别为a，b的矩形，被分成a×b个边长为1的小正方形，其中a≥2，b≥2，且a，b为正整数）．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．探究一：把图①放置在2×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图③，对于2×2的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有4种不同的放置方法．探究二：把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图④，在3×2的方格纸中，共可以找到2个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有2×4＝8种不同的放置方法．探究三：把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图⑤，在a×2的方格纸中，共可以找到个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有种不同的放置方法．探究四：把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图⑥，在a×3的方格纸中，共可以找到个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有种不同的放置方法．……问题解决：把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．）问题拓展：如图，图⑦是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到个图⑦这样的几何体．26．（2019•青岛）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC ＝8cm，OD垂直平分A C．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：（1）当t为何值时，点E在∠BAC的平分线上？（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．27．（2019•济宁）阅读下面的材料：如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．例题：证明函数f（x）＝（x＞0）是减函数．证明：设0＜x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＝．∵0＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0．∴＞0．即f（x1）﹣f（x2）＞0．∴f（x1）＞f（x2）．∴函数f（x）═（x＞0）是减函数．根据以上材料，解答下面的问题：已知函数f（x）＝+x（x＜0），f（﹣1）＝+（﹣1）＝0，f（﹣2）＝+（﹣2）＝﹣（1）计算：f（﹣3）＝，f（﹣4）＝；（2）猜想：函数f（x）＝+x（x＜0）是函数（填“增”或“减”）；（3）请仿照例题证明你的猜想．28．（2019•济宁）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．（1）求线段CE的长；（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DAM，设AM＝x，DN＝y．①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；②是否存在这样的点M，使△DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．29．（2019•莱芜区）如图，已知AB是⊙O的直径，CB⊥AB，D为圆上一点，且AD∥OC，连接CD，AC，BD，AC与BD交于点M．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若CD＝AD，求的值．30．（2019•莱芜区）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若△P AC面积为3，求点P的坐标；（3）如图2，D为抛物线的顶点，在线段AD上是否存在点M，使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．31．（2019•泰安）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）．（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y 轴的距离；若不存在，请说明理由．32．（2019•泰安）如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF＝90°，FG⊥AD，垂足为点G．（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．33．（2019•潍坊）如图1，菱形ABCD的顶点A，D在直线上，∠BAD＝60°，以点A为旋转中心将菱形ABCD顺时针旋转α（0°＜α＜30°），得到菱形AB′C′D′，B′C′交对角线AC于点M，C′D′交直线l于点N，连接MN．（1）当MN∥B′D′时，求α的大小．（2）如图2，对角线B′D′交AC于点H，交直线l与点G，延长C′B′交AB于点E，连接EH．当△HEB′的周长为2时，求菱形ABCD的周长．34．（2019•潍坊）如图，在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），△ABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．（1）求圆心M的坐标；（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；（3）在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD 于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF＝4时，求点P的坐标．35．（2019•枣庄）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段AM的长；（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN＝90°，求证：AB+AN＝AM．36．（2019•枣庄）已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；（2）如图1，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求点M的坐标．37．（2019•烟台）【问题探究】（1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B，D，E 在同一直线上，连接AD，BD．①请探究AD与BD之间的位置关系：；②若AC＝BC＝，DC＝CE＝，则线段AD的长为；【拓展延伸】（2）如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD为α（0°≤α＜360°），作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD的长．38．（2019•烟台）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y＝（x＞0）经过点D，连接MD，BD．（1）求抛物线的表达式；（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？（请直接写出结果）39．（2019•淄博）如图1，正方形ABDE和BCFG的边AB，BC在同一条直线上，且AB＝2BC，取EF的中点M，连接MD，MG，MB．（1）试证明DM⊥MG，并求的值．（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设∠EAB＝2α（0＜α＜90°），其它条件不变，问（1）中的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含α的式子表示）；若无变化，说明理由．40．（2019•淄博）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）问在y轴上是否存在一点P，使得△P AM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值．2019年山东省各市中考数学真题精选汇编：压轴题（含答案解析）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2019•济南）关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一个根是﹣1，若二次函数y＝ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（）A．＜t＜B．﹣1＜t≤C．﹣≤t＜D．﹣1＜t＜【分析】二次函数的图象过点（﹣1，0），则a﹣b+＝0，而t＝2a+b，则a＝，b＝，二次函数的图象的顶点在第一象限，则﹣＞0，﹣＞0，即可求解．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一个根是﹣1，∴二次函数y＝ax2+bx+的图象过点（﹣1，0），∴a﹣b+＝0，∴b＝a+，t＝2a+b，则a＝，b＝，∵二次函数y＝ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，∴﹣＞0，﹣＞0，将a＝，b＝代入上式得：＞0，解得：﹣1＜t＜，﹣＞0，解得：t为任意实数，故：﹣1＜t＜，故选：D．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用2．（2019•德州）如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AF：FB＝1：2，CE⊥DF，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG＝BC，连接GM．有如下结论：①DE＝AF；②AN＝AB；③∠ADF＝∠GMF；④S△ANF：S四边形CNFB＝1：8．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．①②③D．②③④【分析】①正确．证明△ADF≌△DCE（ASA），即可判断．②正确．利用平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质解决问题即可．③正确．作GH⊥CE于H，设AF＝DE＝a，BF＝2a，则AB＝CD＝BC＝3a，EC＝a，通过计算证明MH＝CH即可解决问题．④错误．设△ANF的面积为m，由AF∥CD，推出＝＝，△AFN∽△CDN，推出△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，推出△ADC的面积＝△ABC的面积＝12m，由此即可判断．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝CD＝BC，∠CDE＝∠DAF＝90°，∵CE⊥DF，∴∠DCE+∠CDF＝∠ADF+∠CDF＝90°，∴∠ADF＝∠DCE，在△ADF与△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（ASA），∴DE＝AF；故①正确；∵AB∥CD，∴＝，∵AF：FB＝1：2，∴AF：AB＝AF：CD＝1：3，∴＝，∴＝，∵AC＝AB，∴＝，∴AN＝AB；故②正确；作GH⊥CE于H，设AF＝DE＝a，BF＝2a，则AB＝CD＝BC＝3a，EC＝a，由△CMD∽△CDE，可得CM＝a，由△GHC∽△CDE，可得CH＝a，∴CH＝MH＝CM，∵GH⊥CM，∴GM＝GC，∴∠GMH＝∠GCH，∵∠FMG+∠GMH＝90°，∠DCE+∠GCM＝90°，∴∠FEG＝∠DCE，∵∠ADF＝∠DCE，∴∠ADF＝∠GMF；故③正确，设△ANF的面积为m，∵AF∥CD，∴＝＝，△AFN∽△CDN，∴△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，∴△ADC的面积＝△ABC的面积＝12m，∴S△ANF：S四边形CNFB＝1：11，故④错误，故选：C．【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．3．（2019•青岛）已知反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝ax2﹣2x和一次函数y＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】先根据抛物线y＝ax2﹣2过原点排除A，再反比例函数图象确定ab的符号，再由a、b的符号和抛物线对称轴确定抛物线与直线y＝bx+a的位置关系，进而得解．【解答】解：∵当x＝0时，y＝ax2﹣2x＝0，即抛物线y＝ax2﹣2x经过原点，故A错误；∵反比例函数y＝的图象在第一、三象限，∴ab＞0，即a、b同号，当a＜0时，抛物线y＝ax2﹣2x的对称轴x＝＜0，对称轴在y轴左边，故D错误；当a＜0时，b＜0，直线y＝bx+a经过第二、三、四象限，故B错误，C正确．故选：C．【点评】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想．4．（2019•济宁）已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是（）A．﹣7.5B．7.5C．5.5D．﹣5.5【分析】求出数列的前4个数，从而得出这个数列以﹣2，，依次循环，且﹣2++＝﹣，再求出这100个数中有多少个周期，从而得出答案．【解答】解：∵a1＝﹣2，∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝﹣2，……∴这个数列以﹣2，，依次循环，且﹣2++＝﹣，∵100÷3＝33…1，∴a1+a2+…+a100＝33×（﹣）﹣2＝﹣＝﹣7.5，故选：A．【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．5．（2019•莱芜区）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于M、N，连按EN、EF、有以下结论：①AN＝EN②当AE＝AF时，＝2﹣③BE+DF＝EF④存在点E、F，使得NF＞DF其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】①如图1，证明△AMN∽△BME和△AMB∽△NME，可得∠NAE＝∠AEN＝45°，则△AEN是等腰直角三角形可作判断；②先证明CE＝CF，假设正方形边长为1，设CE＝x，则BE＝1﹣x，表示AC的长为AO+OC 可作判断；③如图3，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，证明△AEF≌△AEH（SAS），则EF＝EH＝BE+BH＝BE+DF，可作判断；④在△ADN中根据比较对角的大小来比较边的大小．【解答】解：①如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴∠EBM＝∠ADM＝∠FDN＝∠ABD＝45°，∵∠MAN＝∠EBM＝45°，∠AMN＝∠BME，∴△AMN∽△BME，∴，∵∠AMB＝∠EMN，∴△AMB∽△NME，∴∠AEN＝∠ABD＝45°∴∠NAE＝∠AEN＝45°，∴△AEN是等腰直角三角形，∴AN＝EN，故①正确；②在△ABE和△ADF中，∵，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF，∵BC＝CD，∴CE＝CF，假设正方形边长为1，设CE＝x，则BE＝1﹣x，如图2，连接AC，交EF于H，∵AE＝AF，CE＝CF，∴AC是EF的垂直平分线，∴AC⊥EF，OE＝OF，Rt△CEF中，OC＝EF＝x，△EAF中，∠EAO＝∠F AO＝22.5°＝∠BAE＝22.5°，∴OE＝BE，∵AE＝AE，∴Rt△ABE≌Rt△AOE（HL），∴AO＝AB＝1，∴AC＝＝AO+OC，∴1+x＝，x＝2﹣，∴＝＝＝；故②不正确；③如图3，∴将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，则AF＝AH，∠DAF＝∠BAH，∵∠EAF＝45°＝∠DAF+∠BAE＝∠HAE，∵∠ABE＝∠ABH＝90°，∴H、B、E三点共线，在△AEF和△AEH中，，∴△AEF≌△AEH（SAS），∴EF＝EH＝BE+BH＝BE+DF，故③正确；④△ADN中，∠FND＝∠ADN+∠NAD＞45°，∠FDN＝45°，∴DF＞FN，故存在点E、F，使得NF＞DF，故④不正确；故选：B．【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造全等三角形，属于中考压轴题．6．（2019•泰安）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2B．4C．D．【分析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．【解答】解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2＝CE当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°∴∠DP2P1＝90°∴∠DP1P2＝45°∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2∴BP1＝2∴PB的最小值是2故选：D．【点评】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．7．（2019•潍坊）抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（）A．2≤t＜11B．t≥2C．6＜t＜11D．2≤t＜6【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为y＝x2﹣2x+3，将一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看做y＝x2﹣2x+3与函数y＝t的有交点，再由﹣1＜x＜4的范围确定y的取值范围即可求解；【解答】解：∵y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1，∴b＝﹣2，∴y＝x2﹣2x+3，∴一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看做y＝x2﹣2x+3与函数y＝t的有交点，∵方程在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，当x＝﹣1时，y＝6；当x＝4时，y＝11；函数y＝x2﹣2x+3在x＝1时有最小值2；∴2≤t＜11；故选：A．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，借助数形结合解题是关键．8．（2019•枣庄）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC 的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA′＝1，则A′D等于（）A．2B．3C．4D．【分析】由S△ABC＝16、S△A′EF＝9且AD为BC边的中线知S△A′DE＝S△A′EF＝，S△ABD ＝S△ABC＝8，根据△DA′E∽△DAB知（）2＝，据此求解可得．【解答】解：∵S△ABC＝16、S△A′EF＝9，且AD为BC边的中线，∴S△A′DE＝S△A′EF＝，S△ABD＝S△ABC＝8，∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，∴A′E∥AB，∴△DA′E∽△DAB，则（）2＝，即（）2＝，解得A′D＝3或A′D＝﹣（舍），故选：B．【点评】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．9．（2019•烟台）如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足为点D，E，连接AC，BC，若AD＝，CE＝3，则的长为（）A．B．πC．πD．π【分析】根据圆周角定理求得∠ACB＝90°，进而证得△ADC∽△CEB，求得∠ABC＝30°，根据切线的性质求得∠ACD＝30°，解直角三角形求得半径，根据圆周角定理求得∠AOC＝60°，根据弧长公式求得即可．【解答】解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，∵∠ADC＝∠CEB＝90°，∴△ADC∽△CEB，∴＝，即＝，∵tan∠ABC＝＝，∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC，∠AOC＝60°，∵直线DE与⊙O相切于点C，∴∠ACD＝∠ABC＝30°，∴AC＝2AD＝2，∴AB＝4，∴⊙O的半径为2，∴的长为：＝π，故选：D．【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角函数，30°角的直角三角形的性质等，求得∠ABC＝30°是解题的关键．10．（2019•淄博）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…均在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．则y1+y2+…+y10的值为（）A．2B．6C．4D．2【分析】根据点C1的坐标，确定y1，可求反比例函数关系式，由点C1是等腰直角三角形的斜边中点，可以得到OA1的长，然后再设未知数，表示点C2的坐标，确定y2，代入反比例函数的关系式，建立方程解出未知数，表示点C3的坐标，确定y3，……然后再求和．【解答】解：过C1、C2、C3…分别作x轴的垂线，垂足分别为D1、D2、D3…其斜边的中点C1在反比例函数y＝，∴C（2，2）即y1＝2，∴OD1＝D1A1＝2，设A1D2＝a，则C2D2＝a此时C2（4+a，a），代入y＝得：a（4+a）＝4，解得：a＝，即：y2＝，同理：y3＝，y4＝，……∴y1+y2+…+y10＝2+++……＝，故选：A．【点评】考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等知识，通过计算有一定的规律，推断出一般性的结论，得出答案．二．填空题（共10小题）11．（2019•济南）如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N 处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P，若AD＝8，AB＝5，则线段PE的长等于．【分析】根据折叠可得ABNM是正方形，CD＝CF＝5，∠D＝∠CFE＝90°，ED＝EF，可求出三角形FNC的三边为3，4，5，在Rt△MEF中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证△FNC∽△PGF，三边占比为3：4：5，设未知数，通过PG＝HN，列方程求出待定系数，进而求出PF的长，然后求PE的长．【解答】解：过点P作PG⊥FN，PH⊥BN，垂足为G、H，由折叠得：ABNM是正方形，AB＝BN＝NM＝MA＝5，CD＝CF＝5，∠D＝∠CFE＝90°，ED＝EF，∴NC＝MD＝8﹣5＝3，在Rt△FNC中，FN＝＝4，∴MF＝5﹣4＝1，在Rt△MEF中，设EF＝x，则ME＝3﹣x，由勾股定理得，12+（3﹣x）2＝x2，解得：x＝，∵∠CFN+∠PFG＝90°，∠PFG+∠FPG＝90°，∴△FNC∽△PGF，∴FG：PG：PF＝NC：FN：FC＝3：4：5，设FG＝3m，则PG＝4m，PF＝5m，∴GN＝PH＝BH＝4﹣3m，HN＝5﹣（4﹣3m）＝1+3m＝PG＝4m，解得：m＝1，∴PF＝5m＝5，∴PE＝PF+FE＝5+＝，故答案为：．【点评】考查折叠轴对称的性质，矩形、正方形的性质，直角三角形的性质等知识，知识的综合性较强，是有一定难度的题目．12．（2019•德州）如图，点A1、A3、A5…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A2、A4、A6……在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∠OA1A2＝∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝…＝∠α＝60°，且OA1＝2，则A n（n为正整数）的纵坐标为（﹣1）n+1（）．（用含n的式子表示）【分析】先证明△OA1E是等边三角形，求出A1的坐标，作高线A1D1，再证明△A2EF是等边三角形，作高线A2D2，设A2（x，﹣），根据OD2＝2+＝x，解方程可得等边三角形的边长和A2的纵坐标，同理依次得出结论，并总结规律：发现点A1、A3、A5…在x轴的上方，纵坐标为正数，点A2、A4、A6……在x轴的下方，纵坐标为负数，可以利用（﹣1）n+1来解决这个问题．【解答】解：过A1作A1D1⊥x轴于D1，∵OA1＝2，∠OA1A2＝∠α＝60°，∴△OA1E是等边三角形，∴A1（1，），∴k＝，∴y＝和y＝﹣，过A2作A2D2⊥x轴于D2，∵∠A2EF＝∠A1A2A3＝60°，∴△A2EF是等边三角形，设A2（x，﹣），则A2D2＝，Rt△EA2D2中，∠EA2D2＝30°，∴ED2＝，∵OD2＝2+＝x，解得：x1＝1﹣（舍），x2＝1+，∴EF＝＝＝＝2（﹣1）＝2﹣2，A2D2＝＝＝，即A2的纵坐标为﹣；过A3作A3D3⊥x轴于D3，同理得：△A3FG是等边三角形，设A3（x，），则A3D3＝，Rt△F A3D3中，∠F A3D3＝30°，∴FD3＝，∵OD3＝2+2﹣2+＝x，解得：x1＝（舍），x2＝+；∴GF＝＝＝2（﹣）＝2﹣2，A3D3＝＝＝（﹣），即A3的纵坐标为（﹣）；…∴A n（n为正整数）的纵坐标为：（﹣1）n+1（）；故答案为：（﹣1）n+1（）；【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，等边三角形的性质和判定，直角三角形30度角的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，并与方程相结合解决问题．13．（2019•青岛）如图，一个正方体由27个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何体．若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走16个小立方块．【分析】根据表面积不变，只需留11个，分别是正中心的3个和四角上各2个．【解答】解：若新几何体与原正方体的表面积相等，最多可以取走16个小正方体，只需留11个，分别是正中心的3个和四角上各2个，如图所示：故答案为：16【点评】本题主要考查了几何体的表面积．14．（2019•济宁）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集是x＜﹣3或x＞1．【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，∴﹣m+n＝p，3m+n＝q，∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于P（1，p），Q（﹣3，q）两点，观察函数图象可知：当x＜﹣3或x＞1时，直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+c的下方，∴不等式ax2+mx+c＞n的解集为x＜﹣3或x＞1．故答案为：x＜﹣3或x＞1．。
2019年全国各地中考数学压轴题汇编：几何综合(含答案)
2019年全国各地中考数学压轴题汇编几何综合(含答案)一．选择题（共10小题）1．（2019•上海）已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半径长是（）A．11B．10C．9D．8选：C．2．（2019•安徽）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E 在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF＝EG，则CD的长为（）A．3.6B．4C．4.8D．5解：作DH∥EG交AB于点H，则△AEG∽△ADH，∴，∵EF⊥AC，∠C＝90°，∴∠EF A＝∠C＝90°，∴EF∥CD，∴△AEF∽△ADC，∴，∴，∵EG＝EF，∴DH＝CD，设DH＝x，则CD＝x，∵BC＝12，AC＝6，∴BD＝12﹣x，∵EF⊥AC，EF⊥EG，DH∥EG，∴EG∥AC∥DH，∴△BDH∽△BCA，∴，即，解得，x＝4，∴CD＝4，故选：B．3．（2019•台湾）如图表示A、B、C、D四点在O上的位置，其中＝180°，且＝，＝．若阿超在上取一点P，在上取一点Q，使得∠APQ＝130°，则下列叙述何者正确？（）A．Q点在上，且＞B．Q点在上，且＜C．Q点在上，且＞D．Q点在上，且＜解：连接AD，OB，OC，∵＝180°，且＝，＝，∴∠BOC＝∠DOC＝45°，在圆周上取一点E连接AE，CE，∴∠E＝AOC＝67.5°，∴∠ABC＝122.5°＜130°，取的中点F，连接OF，则∠AOF＝67.5°，∴∠ABF＝123.25°＜130°，∴Q点在上，且＜，故选：B．4．（2019•安徽）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝9的点P的个数是（）A．0B．4C．6D．8解：如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H∵点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，∴EC＝8，FC＝4＝AE，∵点M与点F关于BC对称∴CF＝CM＝4，∠ACB＝∠BCM＝45°∴∠ACM＝90°∴EM＝＝4则在线段BC存在点H到点E和点F的距离之和最小为4＜9在点H右侧，当点P与点C重合时，则PE+PF＝12∴点P在CH上时，4＜PE+PF≤12在点H左侧，当点P与点B重合时，BF＝＝2∵AB＝BC，CF＝AE，∠BAE＝∠BCF∴△ABE≌△CBF（SAS）∴BE＝BF＝2∴PE+PF＝4∴点P在BH上时，4＜PE+PF＜4∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE+PF＝9，同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE+PF＝9．即共有8个点P满足PE+PF＝9，故选：D．5．（2019•台湾）如图的△ABC中，AB＞AC＞BC，且D为BC上一点．今打算在AB上找一点P，在AC上找一点Q，使得△APQ与△PDQ全等，以下是甲、乙两人的作法：（甲）连接AD，作AD的中垂线分别交AB、AC于P点、Q点，则P、Q两点即为所求（乙）过D作与AC平行的直线交AB于P点，过D作与AB平行的直线交AC于Q点，则P、Q 两点即为所求对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（）A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确解：如图1，∵PQ垂直平分AD，∴P A＝PD，QA＝QD，而PQ＝PQ，∴△APQ≌△DPQ（SSS），所以甲正确；如图2，∵PD∥AQ，DQ∥AP，∴四边形APDQ为平行四边形，∴P A＝DQ，PD＝AQ，而PQ＝QP，∴△APQ≌△DQP（SSS），所以乙正确．故选：A．6．（2019•福建）如图，P A、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于（）A．55°B．70°C．110°D．125°解：连接OA，OB，∵P A，PB是⊙O的切线，∴P A⊥OA，PB⊥OB，∵∠ACB＝55°，∴∠AOB＝110°，∴∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°．故选：B．7．（2019•台湾）如图，将一长方形纸片沿着虚线剪成两个全等的梯形纸片．根据图中标示长度与角度，求梯形纸片中较短的底边长度为何？（）A．4B．5C．6D．7解：过F作FQ⊥AD于Q，则∠FQE＝90°，∵四边形ABCD是长方形，∴∠A＝∠B＝90°，AB＝DC＝8，AD∥BC，∴四边形ABFQ是矩形，∴AB＝FQ＝DC＝8，∵AD∥BC，∴∠QEF＝∠BFE＝45°，∴EQ＝FQ＝8，∴AE＝CF＝×（20﹣8）＝6，故选：C．8．（2019•台湾）如图，将一张面积为14的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片．根据图中标示的长度，求平行四边形纸片的面积为何？（）A．B．C．D．解：如图，设△ADE，△BDF，△CEG，平行四边形DEGF的面积分别为S1，S2，S3和S，过点D作DH∥EC，则由DFGE为平行四边形，易得四边形DHCE也为平行四边形，从而△DFH ≌△EGC，∴S△DFH＝S3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，DE＝3，BC＝7，∴＝，∵S△ABC＝14，∴S1＝×14，故选：D．9．（2019•台湾）如图，直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点，根据图中标示的长度与角度，求AD的长度为何？（）A．B．C．D．解：设AD＝x，∵直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点，∴BD＝BE＝1，∴AB＝x+1，AC＝AD+CE＝x+4，在Rt△ABC中，（x+1）2+52＝（x+4）2，解得x＝，即AD的长度为．故选：D．10．（2019•台湾）如图，有一三角形ABC的顶点B、C皆在直线L上，且其内心为I．今固定C点，将此三角形依顺时针方向旋转，使得新三角形A'B'C的顶点A′落在L上，且其内心为I′．若∠A＜∠B＜∠C，则下列叙述何者正确？（）A．IC和I′A′平行，II′和L平行B．IC和I′A′平行，II′和L不平行C．IC和I′A′不平行，II′和L平行D．IC和I′A′不平行，II′和L不平行解：作ID⊥BA'于D，IE⊥AC于E，I'F⊥BA'于F，如图所示：则ID∥I'F，∵△ABC的内心为I，△A'B'C的内心为I′，∴ID＝IE＝IF，∠ICD﹣∠ACB，∠I'A'C＝∠B'A'C，∴四边形IDFI'是矩形，∴II'∥L，∵∠A＜∠B＜∠C，∴∠A'＜∠B'＜∠C，∴∠ICD＞∠I'A'C，∴IC和I'A'不平行，故选：C．二．填空题（共6小题）11．（2019•上海）如图，在正边形ABCDEF中，设＝，＝，那么向量用向量、表示为2+．解：连接CF．∵多边形ABCDEF是正六边形，AB∥CF，CF＝2BA，∴＝2，∵＝+，∴＝2+，故答案为2+．12．（2019•江西）如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD＝∠ABC＝40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE＝20°．解：∵∠BAD＝∠ABC＝40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，∴∠ADC＝40°+40°＝80°，∠ADE＝∠ADB＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠CDE＝100°﹣80°＝20°，故答案为：2013．（2019•上海）如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点．将△ABE沿直线BE翻折，点A 落在点F处，联结DF，那么∠EDF的正切值是2．解：如图所示，由折叠可得AE＝FE，∠AEB＝∠FEB＝∠AEF，∵正方形ABCD中，E是AD的中点，∴AE＝DE＝AD＝AB，∴DE＝FE，∴∠EDF＝∠EFD，又∵∠AEF是△DEF的外角，∴∠AEF＝∠EDF+∠EFD，∴∠EDF＝∠AEF，∴∠AEB＝∠EDF，∴tan∠EDF＝tan∠AEB＝＝2．故答案为：2．14．（2019•安徽）如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为．解：连接CO并延长交⊙O于E，连接BE，则∠E＝∠A＝30°，∠EBC＝90°，∵⊙O的半径为2，∴CE＝4，∴BC＝CE＝2，∵CD⊥AB，∠CBA＝45°，∴CD＝BC＝，故答案为：．15．（2019•上海）在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，点D、D1分别在边AB、A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的长是．解：如图，∵在△ABC和△A1B1C1中，∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，∴AB＝＝5，设AD＝x，则BD＝5﹣x，∵△ACD≌△C1A1D1，∴C1D1＝AD＝x，∠A1C1D1＝∠A，∠A1D1C1＝∠CDA，∴∠C1D1B1＝∠BDC，∵∠B＝90°﹣∠A，∠B1C1D1＝90°﹣∠A1C1D1，∴∠B1C1D1＝∠B，∴△C1B1D∽△BCD，∴＝，即＝2，解得x＝，∴AD的长为，故答案为．16．（2019•福建）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是π﹣1．（结果保留π）三．解答题（共14小题）17．（2019•上海）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD′E′的位置（如图2所示）．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．（1）求点D′到BC的距离；（2）求E、E′两点的距离．解：（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，如图3所示．由题意，得：AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFD′＝∠BHD′＝90°．在Rt△AD′F中，D′F＝AD′•sin∠DAD′＝90×sin60°＝45厘米．又∵CE＝40厘米，DE＝30厘米，∴FH＝DC＝DE+CE＝70厘米，∴D′H＝D′F+FH＝（45+70）厘米．答：点D′到BC的距离为（45+70）厘米．（2）连接AE，AE′，EE′，如图4所示．由题意，得：AE′＝AE，∠EAE′＝60°，∴△AEE′是等边三角形，∴EE′＝AE．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADE＝90°．在Rt△ADE中，AD＝90厘米，DE＝30厘米，∴AE＝＝30厘米，∴EE′＝30厘米．答：E、E′两点的距离是30厘米．18．（2019•江西）在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．（1）在图1中作弦EF，使EF∥BC；（2）在图2中以BC为边作一个45°的圆周角．解：（1）如图1，EF为所作；（2）如图2，∠BCD为所作．19．（2019•上海）已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，D是AO延长线上一点，联结BD并延长交⊙O于点E，联结CD并延长交⊙O于点F．（1）求证：BD＝CD；（2）如果AB2＝AO•AD，求证：四边形ABDC是菱形．证明：（1）如图1，连接BC，OB，OC，∵AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，∴A在BC的垂直平分线上，∵OB＝OA＝OC，∴O在BC的垂直平分线上，∴AO垂直平分BC，∴BD＝CD；（2）如图2，连接OB，∵AB2＝AO•AD，∴＝，∵∠BAO＝∠DAB，∴△ABO∽△ADB，∴∠OBA＝∠ADB，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB，∴∠OAB＝∠BDA，∴AB＝BD，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AB＝AC＝BD＝CD，∴四边形ABDC是菱形．20．（2019•江西）如图1，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作CD∥AB交AF于点D，连接BC．（1）连接DO，若BC∥OD，求证：CD是半圆的切线；（2）如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论．（1）证明：连接OC，∵AF为半圆的切线，AB为半圆的直径，∴AB⊥AD，∵CD∥AB，BC∥OD，∴四边形BODC是平行四边形，∴OB＝CD，∵OA＝OB，∴CD＝OA，∴四边形ADCO是平行四边形，∴OC∥AD，∵CD∥BA，∴CD⊥AD，∵OC∥AD，∴OC⊥CD，∴CD是半圆的切线；（2）解：∠AED+∠ACD＝90°，理由：如图2，连接BE，∵AB为半圆的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠EBA+∠BAE＝90°，∵∠DAE+∠BAE＝90°，∴∠ABE＝∠DAE，∵∠ACE＝∠ABE，∴∠ACE＝∠DAE，∵∠ADE＝90°，∴∠DAE+∠AED＝∠AED+∠ACD＝90°．21．（2019•上海）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE ⊥AD，交BD的延长线于点E．（1）求证：∠E═∠C；（2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值；（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值．（1）证明：如图1中，∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∠E＝90°﹣∠ADE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC，同理∠ABD＝∠ABC，∵∠ADE＝∠BAD+∠DBA，∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C，∴∠ADE＝（∠ABC+∠BAC）＝90°﹣∠C，∴∠E＝90°﹣（90°﹣∠C）＝∠C．（2）解：延长AD交BC于点F．∴∠AFB＝∠EAD＝90°，＝，∵BD：DE＝2：3，∴cos∠ABC＝＝＝．（3）∵△ABC与△ADE相似，∠DAE＝90°，∴∠ABC中必有一个内角为90°∵∠ABC是锐角，∴∠ABC≠90°．①当∠BAC＝∠DAE＝90°时，∵∠E＝∠C，∴∠ABC＝∠E＝∠C，∵∠ABC+∠C＝90°，∴∠ABC＝30°，此时＝2﹣．②当∠C＝∠DAE＝90°时，∠∠C＝45°，∴∠EDA＝45°，∵△ABC与△ADE相似，∴∠ABC＝45°，此时＝2﹣．综上所述，∠ABC＝30°或45°，＝2﹣或2﹣．22．（2019•江西）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B﹣A﹣O表示固定支架，AO 垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO＝6.8cm，CD＝8cm，AB＝30cm，BC＝35cm．（结果精确到0.1）．（1）如图2，∠ABC＝70°，BC∥OE．①填空：∠BAO＝160°．②求投影探头的端点D到桌面OE的距离．（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求∠ABC的大小．（参考数据：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60）解：（1）①过点A作AG∥BC，如图1，则∠BAG＝∠ABC＝70°，∵BC∥OE，∴AG∥OE，∴∠GAO＝∠AOE＝90°，∴∠BAO＝90°+70°＝160°，故答案为：160；②过点A作AF⊥BC于点F，如图2，则AF＝AB•sin∠ABE＝30sin70°≈28.2（cm），∴投影探头的端点D到桌面OE的距离为：AF+0A﹣CD＝28.2+6.8﹣8＝27（cm）；（2）过点DE⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，过A作AF⊥BM于点F，如图3，则∠MBA＝70°，AF＝28.2cm，DH＝6cm，BC＝30cm，CD＝8cm，∴CM＝AF+AO﹣DH﹣CD＝28.2+6.8﹣6﹣8＝21（cm），∴sin∠MBC＝，∴∠MBC＝36.8°，∴∠ABC＝∠ABM﹣∠MBC＝33.2°．23．（2019•安徽）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB＝41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离．（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）解：连接CO并延长，与AB交于点D，∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝3（米），在Rt△AOD中，∠OAB＝41.3°，∴cos41.3°＝，即OA＝＝＝4（米），tan41.3°＝，即OD＝AD•tan41.3°＝3×0.88＝2.64（米），则CD＝CO+OD＝4+2.64＝6.64（米）．24．（2019•江西）在图1，2，3中，已知▱ABCD，∠ABC＝120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE为边向上作菱形AEFG，且∠EAG＝120°．（1）如图1，当点E与点B重合时，∠CEF＝60°；（2）如图2，连接AF．①填空：∠F AD＝∠EAB（填“＞”，“＜“，“＝”）；②求证：点F在∠ABC的平分线上；（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求的值．解：（1）∵四边形AEFG是菱形，∴∠AEF＝180°﹣∠EAG＝60°，∴∠CEF＝∠AEC﹣∠AEF＝60°，故答案为：60°；（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＝180°﹣∠ABC＝60°，∵四边形AEFG是菱形，∠EAG＝120°，∴∠F AE＝60°，∴∠F AD＝∠EAB，故答案为：＝；②作FM⊥BC于M，FN⊥BA交BA的延长线于N，则∠FNB＝∠FMB＝90°，∴∠NFM＝60°，又∠AFE＝60°，∴∠AFN＝∠EFM，∵EF＝EA，∠F AE＝60°，∴△AEF为等边三角形，∴F A＝FE，在△AFN和△EFM中，，∴△AFN≌△EFM（AAS）∴FN＝FM，又FM⊥BC，FN⊥BA，∴点F在∠ABC的平分线上；（3）∵四边形AEFG是菱形，∠EAG＝120°，∴∠AGF＝60°，∴∠FGE＝∠AGE＝30°，∵四边形AEGH为平行四边形，∴GE∥AH，∴∠GAH＝∠AGE＝30°，∠H＝∠FGE＝30°，∴∠GAN＝90°，又∠AGE＝30°，∴GN＝2AN，∵∠DAB＝60°，∠H＝30°，∴∠ADH＝30°，∴AD＝AH＝GE，∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC＝AD，∴BC＝GE，∵四边形ABEH为平行四边形，∠HAE＝∠EAB＝30°，∴平行四边形ABEN为菱形，∴AB＝AN＝NE，∴GE＝3AB，∴＝3．25．（2019•安徽）如图，点E在▱ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE．（1）求证：△BCE≌△ADF；（2）设▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵AF∥BE，∴∠EBA+∠BAF＝180°，∴∠CBE＝∠DAF，同理得∠BCE＝∠ADF，在△BCE和△ADF中，∵，∴△BCE≌△ADF（ASA）；（2）∵点E在▱ABCD内部，∴S△BEC+S△AED＝S▱ABCD，由（1）知：△BCE≌△ADF，∴S△BCE＝S△ADF，∴S四边形AEDF＝S△ADF+S△AED＝S△BEC+S△AED＝S▱ABCD，∵▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，∴＝＝2．26．（2019•福建）已知△ABC和点A'，如图．（1）以点A'为一个顶点作△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且△A'B'C'的面积等于△ABC面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、C'A'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'．解：（1）作线段A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，得△A'B'C'即可所求．证明：∵A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，∴△ABC∽△A′B′C′，∴（2）证明：∵D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，∴DE＝，，，∴△DEF∽△ABC同理：△D'E'F'∽△A'B'C'，由（1）可知：△ABC∽△A′B′C′，∴△DEF∽△D'E'F'．27．（2019•台湾）在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的图柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为120公分．敏敏观察到高度90公分矮圆柱的影子落在地面上，其影长为60公分；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与墙面互相重直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题：（1）若敏敏的身高为150公分，且此刻她的影子完全落在地面上，则影长为多少公分？（2）若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为150公分，则高图柱的高度为多少公分？请详细解释或完整写出你的解题过程，并求出答案．解：（1）设敏敏的影长为x公分．由题意：＝，解得x＝100（公分），经检验：x＝100是分式方程的解．∴敏敏的影长为100公分．（2）如图，连接AE，作FB∥EA．∵AB∥EF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴AB＝EF＝150公分，设BC＝y公分，由题意BC落在地面上的影从为120公分．∴＝，∴y＝180（公分），∴AC＝AB+BC＝150+180＝330（公分），答：高图柱的高度为330公分．28．（2019•福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF＝DC，连接AF、CF．（1）求证：∠BAC＝2∠CAD；（2）若AF＝10，BC＝4，求tan∠BAD的值．解：（1）∵AB＝AC，∴＝，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ADB，∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣∠BAC，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°﹣∠CAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠BAC＝2∠CAD；（2）解：∵DF＝DC，∴∠DFC＝∠DCF，∴∠BDC＝2∠DFC，∴∠BFC＝∠BDC＝∠BAC＝∠FBC，∴CB＝CF，又BD⊥AC，∴AC是线段BF的中垂线，AB＝AF＝10，AC＝10．又BC＝4，设AE＝x，CE＝10﹣x，作DH⊥AB，垂足为H，∵AB•DH＝BD•AE，∴DH＝＝＝，∴BH＝＝，∴AH＝AB﹣BH＝10﹣＝，∴tan∠BAD＝＝＝．29．（2019•安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB ＝∠BPC＝135°．（1）求证：△P AB∽△PBC；（2）求证：P A＝2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2•h3．解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝BC，∴∠ABC＝45°＝∠PBA+∠PBC又∠APB＝135°，∴∠P AB+∠PBA＝45°∴∠PBC＝∠P AB又∵∠APB＝∠BPC＝135°，∴△P AB∽△PBC（2）∵△P AB∽△PBC∴在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∴∴P A＝2PC（3）如图，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E，∴PF＝h1，PD＝h2，PE＝h3，∵∠CPB+∠APB＝135°+135°＝270°∴∠APC＝90°，∴∠EAP+∠ACP＝90°，又∵∠ACB＝∠ACP+∠PCD＝90°∴∠EAP＝∠PCD，∴Rt△AEP∽Rt△CDP，∴，即，∴h3＝2h2∵△P AB∽△PBC，∴，∴∴．即：h12＝h2•h3．30．（2019•福建）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；（2）若α＝60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．（1）解：如图1，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上，∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠ADE＝90°﹣75°＝15°；（2）证明：如图2，∵点F是边AC中点，∴BF＝AC，∵∠ACB＝30°，∴AB＝AC，∴BF＝AB，∵△ABC绕点A顺时针旋转60得到△DEC，∴∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB，∴DE＝BF，△ACD和△BCE为等边三角形，∴BE＝CB，∵点F为△ACD的边AC的中点，∴DF⊥AC，易证得△CFD≌△ABC，∴DF＝BC，∴DF＝BE，而BF＝DE，∴四边形BEDF是平行四边形。
2019年全国中考数学真题精选分类汇编：压轴题+含答案解析
2019年全国中考数学真题精选分类汇编：压轴题含答案解析1．（2019•北京）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，图1中是△ABC的一条中内弧．（1）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC＝，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC中，D，E 分别是AB，AC的中点．①若t＝，求△ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．2．（2019•上海）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．（1）求证：∠E═∠C；（2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值；（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值．3．（2019•广州）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．4．（2019•深圳）已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（﹣3，0），C（﹣3，8），以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交⊙E于点D，连接OD．（1）求证：直线OD是⊙E的切线；（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交⊙E于点G，连接BG；①当tan∠ACF＝时，求所有F点的坐标（直接写出）；②求的最大值．5．（2019•武汉）在△ABC中，∠ABC＝90°，＝n，M是BC上一点，连接AM．（1）如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN．（2）过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q．①如图2，若n＝1，求证：＝．②如图3，若M是BC的中点，直接写出tan∠BPQ的值．（用含n的式子表示）6．（2019•武汉）已知抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4和C2：y＝x2（1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？（2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ．①若AP＝AQ，求点P的横坐标；②若P A＝PQ，直接写出点P的横坐标．（3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系．7．（2019•杭州）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．（1）若∠BAC＝60°，①求证：OD＝OA．②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值．（2）点E在线段OA上，OE＝OD，连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2＝0．8．（2019•天津）已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）点D（b，y D）在抛物线上，当AM＝AD，m＝5时，求b的值；（Ⅲ）点Q（b+，y Q）在抛物线上，当AM+2QM的最小值为时，求b的值．9．（2019•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′＝t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当≤S≤5时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．10．（2019•成都）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC'D，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D的坐标；（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式．11．（2019•安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°．（1）求证：△P AB∽△PBC；（2）求证：P A＝2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2•h3．12．（2019•长沙）如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C．（1）求点A的坐标；（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．①如图1，求证：CE＝DE；②如图2，连接AC，BE，BO，当a＝，∠CAE＝∠OBE时，求﹣的值．13．（2019•苏州）如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．（1）求a的值；（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠P AQ＝∠AQB，求点Q的坐标．14．（2019•青岛）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分A C．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE ⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：（1）当t为何值时，点E在∠BAC的平分线上？（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．15．（2019•枣庄）已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；（2）如图1，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求点M的坐标．16．（2019•陕西）问题提出：（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；问题探究：（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，求满足条件的点P到点A的距离；问题解决：（3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE＝120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计）17．（2019•恩施州）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和的值．（3）点F（0，y）是y轴上一动点，当y为何值时，FC+BF的值最小．并求出这个最小值．（4）点C关于x轴的对称点为H，当FC+BF取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QHF是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2019•黄冈）如图①，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣2，2），B（﹣2，0），C（0，2），D（2，0）四点，动点M以每秒个单位长度的速度沿B→C→D运动（M不与点B、点D重合），设运动时间为t（秒）．（1）求经过A、C、D三点的抛物线的解析式；（2）点P在（1）中的抛物线上，当M为BC的中点时，若△P AM≌△PBM，求点P的坐标；（3）当M在CD上运动时，如图②．过点M作MF⊥x轴，垂足为F，ME⊥AB，垂足为E．设矩形MEBF与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；（4）点Q为x轴上一点，直线AQ与直线BC交于点H，与y轴交于点K．是否存在点Q，使得△HOK为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q点的坐标；若不存在，请说明理由．19．（2019•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A，C两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式．（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当EF＝BF时，求sin∠EBA的值．（3）点N是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2019•连云港）问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由．问题探究：在“问题情境”的基础上．（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数；（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△APN沿着AN翻折，点P 落在点P'处，若正方形ABCD的边长为4，AD的中点为S，求P'S的最小值．问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点F．分别过点A、F作AG⊥MN，FH⊥MN，垂足分别为G、H．若AG＝，请直接写出FH的长．21．（2019•衢州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交BC 于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交DE，AC于点F、G．（1）求CD的长．（2）若点M是线段AD的中点，求的值．（3）请问当DM的长满足什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P，使得∠CPG＝60°？22．（2019•鞍山）在平面直角坐标系中，过点A（3，4）的抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点B（﹣1，0），与y轴交于点C，过点A作AD⊥x轴于点D．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，连接PD交AB于点Q，连接AP，当S△AQD ＝2S△APQ时，求点P的坐标．（3）如图2，G是线段OC上一个动点，连接DG，过点G作GM⊥DG交AC于点M，过点M作射线MN，使∠NMG＝60°，交射线GD于点N；过点G作GH⊥MN，垂足为点H，连接BH．请直接写出线段BH的最小值．2019年全国中考数学真题精选分类汇编：压轴题含答案解析参考答案与试题解析一．解答题（共22小题）1．（2019•北京）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，图1中是△ABC的一条中内弧．（1）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC＝，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC中，D，E 分别是AB，AC的中点．①若t＝，求△ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．【分析】（1）由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得DE＝2，最长中内弧即以DE为直径的半圆，的长即以DE为直径的圆周长的一半；（2）根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在DE的中垂线上，①当t＝时，要注意圆心P在DE 上方的中垂线上均符合要求，在DE下方时必须AC与半径PE的夹角∠AEP满足90°≤∠AEP＜135°；②根据题意，t的最大值即圆心P在AC上时求得的t值．【解答】解：（1）如图2，以DE为直径的半圆弧，就是△ABC的最长的中内弧，连接DE，∵∠A＝90°，AB＝AC＝，D，E分别是AB，AC的中点，∴BC＝＝＝4，DE＝BC＝×4＝2，∴弧＝×2π＝π；（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EG⊥AC交FP于G，①当t＝时，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1），F（，1），设P（，m）由三角形中内弧定义可知，圆心在线段DE上方射线FP上均可，∴m≥1，∵OA＝OC，∠AOC＝90°∴∠ACO＝45°，∵DE∥OC∴∠AED＝∠ACO＝45°作EG⊥AC交直线FP于G，FG＝EF＝根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求；∴m≤综上所述，m≤或m≥1．②如图4，设圆心P在AC上，∵P在DE中垂线上，∴P为AE中点，作PM⊥OC于M，则PM＝，∴P（t，），∵DE∥BC∴∠ADE＝∠AOB＝90°∴AE＝＝＝，∵PD＝PE，∴∠AED＝∠PDE∵∠AED+∠DAE＝∠PDE+∠ADP＝90°，∴∠DAE＝∠ADP∴AP＝PD＝PE＝AE由三角形中内弧定义知，PD≤PM∴AE≤，AE≤3，即≤3，解得：t≤，∵t＞0∴0＜t≤．如图5，设圆心P在BC上，则P（t，0）PD＝PE＝＝，PC＝3t，CE＝AC＝＝由三角形中内弧定义知，∠PEC＜90°，∴PE2+CE2≥PC2即+≥（3t）2，∵t＞0∴0＜t≤；综上所述，t的取值范围为：0＜t≤．【点评】此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题．2．（2019•上海）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．（1）求证：∠E═∠C；（2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值；（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值．【分析】（1）由题意：∠E＝90°﹣∠ADE，证明∠ADE＝90°﹣∠C即可解决问题．（2）延长AD交BC于点F．证明AE∥BC，可得∠AFB＝∠EAD＝90°，＝，由BD：DE＝2：3，可得cos∠ABC＝＝＝．（3）因为△ABC与△ADE相似，∠DAE＝90°，所以∠ABC中必有一个内角为90°因为∠ABC是锐角，推出∠ABC≠90°．接下来分两种情形分别求解即可．【解答】（1）证明：如图1中，∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∠E＝90°﹣∠ADE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC，同理∠ABD＝∠ABC，∵∠ADE＝∠BAD+∠DBA，∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C，∴∠ADE＝（∠ABC+∠BAC）＝90°﹣∠C，∴∠E＝90°﹣（90°﹣∠C）＝∠C．（2）解：延长AD交BC于点F．∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠E，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠E＝∠CBE，∴AE∥BC，∴∠AFB＝∠EAD＝90°，＝，∵BD：DE＝2：3，∴cos∠ABC＝＝＝．（3）∵△ABC与△ADE相似，∠DAE＝90°，∴∠ABC中必有一个内角为90°∵∠ABC是锐角，∴∠ABC≠90°．①当∠BAC＝∠DAE＝90°时，∵∠E＝∠C，∴∠ABC＝∠E＝∠C，∵∠ABC+∠C＝90°，∴∠ABC＝30°，此时＝2﹣．②当∠C＝∠DAE＝90°时，∠∠C＝45°，∴∠EDA＝45°，∵△ABC与△ADE相似，∴∠ABC＝45°，此时＝2﹣．综上所述，∠ABC＝30°或45°，＝2﹣或2﹣．【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．3．（2019•广州）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．【分析】（1）抛物线有最低点即开口向上，m＞0，用配方法或公式法求得对称轴和函数最小值．（2）写出抛物线G的顶点式，根据平移规律即得到抛物线G1的顶点式，进而得到抛物线G1顶点坐标（m+1，﹣m﹣3），即x＝m+1，y＝﹣m﹣3，x+y＝﹣2即消去m，得到y与x的函数关系式．再由m＞0，即求得x的取值范围．（3）法一：求出抛物线恒过点B（2，﹣4），函数H图象恒过点A（2，﹣3），由图象可知两图象交点P应在点A、B之间，即点P纵坐标在A、B纵坐标之间．法二：联立函数H解析式与抛物线解析式组成方程组，整理得到用x表示m的式子．由x与m的范围讨论x的具体范围，即求得函数H对应的交点P纵坐标的范围．【解答】解：（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，抛物线有最低点∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值为﹣m﹣3（2）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3∴平移后的抛物线G1：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3）∴x＝m+1，y＝﹣m﹣3∴x+y＝m+1﹣m﹣3＝﹣2即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣2∵m＞0，m＝x﹣1∴x﹣1＞0∴x＞1∴y与x的函数关系式为y＝﹣x﹣2（x＞1）（3）法一：如图，函数H：y＝﹣x﹣2（x＞1）图象为射线x＝1时，y＝﹣1﹣2＝﹣3；x＝2时，y＝﹣2﹣2＝﹣4∴函数H的图象恒过点B（2，﹣4）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3x＝1时，y＝﹣m﹣3；x＝2时，y＝m﹣m﹣3＝﹣3∴抛物线G恒过点A（2，﹣3）由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则y B＜y P＜y A∴点P纵坐标的取值范围为﹣4＜y P＜﹣3法二：整理的：m（x2﹣2x）＝1﹣x∵x＞1，且x＝2时，方程为0＝﹣1不成立∴x≠2，即x2﹣2x＝x（x﹣2）≠0∴m＝＞0∵x＞1∴1﹣x＜0∴x（x﹣2）＜0∴x﹣2＜0∴x＜2即1＜x＜2∵y P＝﹣x﹣2∴﹣4＜y P＜﹣3【点评】本题考查了求二次函数的最值，二次函数的平移，二次函数与一次函数的关系．解题关键是在无图的情况下运用二次函数性质解题，第（3）题结合图象解题体现数形结合的运用．4．（2019•深圳）已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（﹣3，0），C（﹣3，8），以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交⊙E于点D，连接OD．（1）求证：直线OD是⊙E的切线；（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交⊙E于点G，连接BG；①当tan∠ACF＝时，求所有F点的坐标，F2（5，0）（直接写出）；②求的最大值．【分析】（1）连接ED，证明∠EDO＝90°即可，可通过半径相等得到∠EDB＝∠EBD，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得DO＝BO＝AO，∠ODB＝∠OBD，得证；（2）①分两种情况：a）F位于线段AB上，b）F位于BA的延长线上；过F作AC的垂线，构造相似三角形，应用相似三角形性质可求得点F坐标；②应用相似三角形性质和三角函数值表示出＝，令y＝CG2（64﹣CG2）＝﹣（CG2﹣32）2+322，应用二次函数最值可得到结论．【解答】解：（1）证明：如图1，连接DE，∵BC为圆的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠BDA＝90°∵OA＝OB∴OD＝OB＝OA∴∠OBD＝∠ODB∵EB＝ED∴∠EBD＝∠EDB∴EBD+∠OBD＝∠EDB+∠ODB即：∠EBO＝∠EDO∵CB⊥x轴∴∠EBO＝90°∴∠EDO＝90°∵点D在⊙E上∴直线OD为⊙E的切线．（2）①如图2，当F位于AB上时，过F作F1N⊥AC于N，∵F1N⊥AC∴∠ANF1＝∠ABC＝90°∴△ANF∽△ABC∴∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝＝10，即AB：BC：AC＝6：8：10＝3：4：5∴设AN＝3k，则NF1＝4k，AF1＝5k∴CN＝CA﹣AN＝10﹣3k∴tan∠ACF＝＝＝，解得：k＝∴即F1（，0）如图3，当F位于BA的延长线上时，过F2作F2M⊥CA于M，∵△AMF2∽△ABC∴设AM＝3k，则MF2＝4k，AF2＝5k∴CM＝CA+AM＝10+3k∴tan∠ACF＝解得：∴AF2＝5k＝2OF2＝3+2＝5即F2（5，0）故答案为：F1（，0），F2（5，0）．②方法1：如图4，过G作GH⊥BC于H，∵CB为直径∴∠CGB＝∠CBF＝90°∴△CBG∽△CFB∴∴BC2＝CG•CF∴＝＝＝≤∴当H为BC中点，即GH＝BC时，的最大值＝．方法2：设∠BCG＝α，则sinα＝，cosα＝，∴sinαcosα＝∵（sinα﹣cosα）2≥0，即：sin2α+cos2α≥2sinαcosα∵sin2α+cos2α＝1，∴sinαcosα≤，即≤∴的最大值＝．【点评】本题是一道难度较大，综合性很强的有关圆的代数几何综合题，主要考查了圆的性质，切线的性质和判定定理，直角三角形性质，相似三角形性质和判定，动点问题，二次函数最值问题等，构造相似三角形和应用求二次函数最值方法是解题关键．5．（2019•武汉）在△ABC中，∠ABC＝90°，＝n，M是BC上一点，连接AM．（1）如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN．（2）过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q．①如图2，若n＝1，求证：＝．②如图3，若M是BC的中点，直接写出tan∠BPQ的值．（用含n的式子表示）【分析】（1）如图1中，延长AM交CN于点H．想办法证明△ABM≌△CBN（ASA）即可．（2）①如图2中，作CH∥AB交BP的延长线于H．利用全等三角形的性质证明CH＝BM，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．②如图3中，作CH∥AB交BP的延长线于H，作CN⊥BH于N．不妨设BC＝2m，则AB＝2mn．想办法求出CN，PN（用m，n表示），即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1中，延长AM交CN于点H．∵AM⊥CN，∴∠AHC＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠BAM+∠AMB＝90°，∠BCN+∠CMH＝90°，∵∠AMB＝∠CMH，∴∠BAM＝∠BCN，∵BA＝BC，∠ABM＝∠CBN＝90°，∴△ABM≌△CBN（ASA），∴BM＝BN．（2）①证明：如图2中，作CH∥AB交BP的延长线于H．∵BP⊥AM，∴∠BPM＝∠ABM＝90°，∵∠BAM+∠AMB＝90°，∠CBH+∠BMP＝90°，∴∠BAM＝∠CBH，∵CH∥AB，∴∠HCB+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABM＝∠BCH＝90°，∵AB＝BC，∴△ABM≌△BCH（ASA），∴BM＝CH，∵CH∥BQ，∴＝＝．②解：如图3中，作CH∥AB交BP的延长线于H，作CN⊥BH于N．不妨设BC＝2m，则AB＝2mn．则BM＝CM＝m，CH＝，BH＝，AM＝m，∵•AM•BP＝•AB•BM，∴PB＝，∵•BH•CN＝•CH•BC，∴CN＝，∵CN⊥BH，PM⊥BH，∴MP∥CN，∵CM＝BM，∴PN＝BP＝，∵∠BPQ＝∠CPN，∴tan∠BPQ＝tan∠CPN＝＝＝．方法二：易证：＝＝＝，∵PN＝PB，tan∠BPQ＝＝＝＝．【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．6．（2019•武汉）已知抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4和C2：y＝x2（1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？（2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ．①若AP＝AQ，求点P的横坐标；②若P A＝PQ，直接写出点P的横坐标．（3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系．【分析】（1）y＝（x﹣1）2﹣4向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到y＝x2；（2）①易求点A（3，0），b＝4，设D（0，4）关于x轴的对称点为D'，则D'（0，﹣4），则可求直线AD'的解析式为y＝x﹣4，联立方程，可得P点横坐标为；②同理可得P点横坐标为﹣；（3）设经过M与E的直线解析式为y＝k（x﹣m）+m2，∴，则可知△＝k2﹣4km+4m2＝（k﹣2m）2＝0，求得k＝2m，得出直线ME的解析式为y＝2mx﹣m2，同理：直线NE的解析式为y＝2nx﹣n2，则可求E（，mn），再由面积[（n2﹣mn）+（m2﹣mn）]×（m﹣n）﹣（n2﹣mn）×（﹣n）﹣（m2﹣mn）×（m﹣）＝2，可得（m﹣n）3＝8，即可求解；【解答】解：（1）y＝（x﹣1）2﹣4向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到y＝x2；（2）如图1，①设抛物线C1与y轴交于C点，直线AB与y轴交于D点，∵C1：y＝（x﹣1）2﹣4，∴A（3，0），C（0，﹣3），∵直线y＝﹣x+b经过点A，∴b＝4，∴D（0，4），∵AP＝AQ，PQ∥y轴，∴P、Q两点关于x轴对称，设D（0，4）关于x轴的对称点为D'，则D'（0，﹣4），∴直线AD'的解析式为y＝x﹣4，由，得x1＝3，x2＝，∴x Q＝，∴x P＝x Q＝，∴P点横坐标为；②P点横坐标为﹣；（3）设经过M与E的直线解析式为y＝k（x﹣m）+m2，∴，则有x2﹣kx+km﹣m2＝0，△＝k2﹣4km+4m2＝（k﹣2m）2＝0，∴k＝2m，∴直线ME的解析式为y＝2mx﹣m2，同理：直线NE的解析式为y＝2nx﹣n2，∴E（，mn），∴[（n2﹣mn）+（m2﹣mn）]×（m﹣n）﹣（n2﹣mn）×（﹣n）﹣（m2﹣mn）×（m﹣）＝2，∴（m﹣n）3﹣＝4，∴（m﹣n）3＝8，∴m﹣n＝2；【点评】本题考查二次函数的图象及性质；是二次函数的综合题，熟练掌握直线与二次函数的交点求法，借助三角形面积列出等量关系是解决m与n的关系的关键．7．（2019•杭州）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．（1）若∠BAC＝60°，①求证：OD＝OA．②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值．（2）点E在线段OA上，OE＝OD，连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2＝0．【分析】（1）①连接OB、OC，则∠BOD＝BOC＝∠BAC＝60°，即可求解；②BC长度为定值，△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，即可求解；（2）∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣mx﹣nx＝∠BOC＝∠DOC，而∠AOD＝∠COD+∠AOC＝180°﹣mx﹣nx+2mx＝180°+mx﹣nx，即可求解．【解答】解：（1）①连接OB、OC，则∠BOD＝∠BOC＝∠BAC＝60°，∴∠OBC＝30°，∴OD＝OB＝OA；②∵BC长度为定值，∴△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，当AD过点O时，AD最大，即：AD＝AO+OD＝，△ABC面积的最大值＝×BC×AD＝×2OB sin60°×＝；（2）如图2，连接OC，设：∠OED＝x，则∠ABC＝mx，∠ACB＝nx，则∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣mx﹣nx＝∠BOC＝∠DOC，∵∠AOC＝2∠ABC＝2mx，∴∠AOD＝∠COD+∠AOC＝180°﹣mx﹣nx+2mx＝180°+mx﹣nx，∵OE＝OD，∴∠AOD＝180°﹣2x，即：180°+mx﹣nx＝180°﹣2x，化简得：m﹣n+2＝0．【点评】本题为圆的综合运用题，涉及到解直角三角形、三角形内角和公式，其中（2），∠AOD＝∠COD+∠AOC是本题容易忽视的地方，本题难度适中．8．（2019•天津）已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）点D（b，y D）在抛物线上，当AM＝AD，m＝5时，求b的值；（Ⅲ）点Q（b+，y Q）在抛物线上，当AM+2QM的最小值为时，求b的值．【分析】（Ⅰ）将点A（﹣1，0）代入y＝x2﹣bx+c，求出c关于b的代数式，再将b代入即可求出c 的值，可进一步写出抛物线解析式及顶点坐标；（Ⅱ）将点D（b，y D）代入抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1，求出点D纵坐标为﹣b﹣1，由b＞0判断出点D（b，﹣b﹣1）在第四象限，且在抛物线对称轴x＝的右侧，过点D作DE⊥x轴，可证△ADE为等腰直角三角形，利用锐角三角函数可求出b的值；（Ⅲ）将点Q（b+，y Q）代入抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1，求出Q纵坐标为﹣﹣，可知点Q（b+，﹣﹣）在第四象限，且在直线x＝b的右侧，点N（0，1），过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，过点Q作QH⊥x轴于点H，则点H（b+，0），在Rt△MQH中，可知∠QMH＝∠MQH＝45°，设点M（m，0），则可用含b的代数式表示m，因为AM+2QM＝，所以[（﹣）﹣（﹣1）]+2[（b+）﹣（﹣）]＝，解方程即可．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y＝x2﹣bx+c经过点A（﹣1，0），∴1+b+c＝0，即c＝﹣b﹣1，当b＝2时，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣bx﹣b﹣1，∵点D（b，y D）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，∴y D＝b2﹣b•b﹣b﹣1＝﹣b﹣1，由b＞0，得b＞＞0，﹣b﹣1＜0，∴点D（b，﹣b﹣1）在第四象限，且在抛物线对称轴x＝的右侧，如图1，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，则点E（b，0），∴AE＝b+1，DE＝b+1，得AE＝DE，∴在Rt△ADE中，∠ADE＝∠DAE＝45°，∴AD＝AE，由已知AM＝AD，m＝5，∴5﹣（﹣1）＝（b+1），∴b＝3﹣1；（Ⅲ）∵点Q（b+，y Q）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，∴y Q＝（b+）2﹣b（b+）﹣b﹣1＝﹣﹣，可知点Q（b+，﹣﹣）在第四象限，且在直线x＝b的右侧，∵AM+2QM＝2（AM+QM），∴可取点N（0，1），如图2，过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，由∠GAM＝45°，得AM＝GM，则此时点M满足题意，过点Q作QH⊥x轴于点H，则点H（b+，0），在Rt△MQH中，可知∠QMH＝∠MQH＝45°，∴QH＝MH，QM＝MH，∵点M（m，0），∴0﹣（﹣﹣）＝（b+）﹣m，解得，m＝﹣，∵AM+2QM＝，∴[（﹣）﹣（﹣1）]+2[（b+）﹣（﹣）]＝，∴b＝4．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线上的点的坐标满足抛物线方程等，解题关键是能够根据给定参数判断点的位置，从而构造特殊三角形来求解．9．（2019•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′＝t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当≤S≤5时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．【分析】（Ⅰ）由已知得出AD＝OA﹣OD＝4，由矩形的性质得出∠AED＝∠ABO＝30°，在Rt△AED 中，AE＝2AD＝8，由勾股定理得出ED＝4，即可得出答案；（Ⅱ）①由平移的性质得：O′D′＝2，E′D′＝4，ME′＝OO′＝t，D′E′∥O′C′∥OB，得出∠E′FM＝∠ABO＝30°，在Rt△MFE′中，MF＝2ME′＝2t，FE′＝＝＝t，求出S△MFE′＝ME′•FE′＝×t×t＝，S矩形C′O′D′E′＝O′D′•E′D′＝2×4＝8，即可得出答案；②当S＝时，O'A＝OA﹣OO'＝6﹣t，由直角三角形的性质得出O'F＝O'A＝（6﹣t），得出方程，解方程即可；当S＝5时，O'A＝6﹣t，D'A＝6﹣t﹣2＝4﹣t，由直角三角形的性质得出O'G＝（6﹣t），D'F＝（4﹣t），由梯形面积公式得出S＝[（6﹣t）+（4﹣t）]×2＝5，解方程即可．【解答】解：（Ⅰ）∵点A（6，0），∴OA＝6，∵OD＝2，∴AD＝OA﹣OD＝6﹣2＝4，∵四边形CODE是矩形，∴DE∥OC，∴∠AED＝∠ABO＝30°，在Rt△AED中，AE＝2AD＝8，ED＝＝＝4，∵OD＝2，∴点E的坐标为（2，4）；（Ⅱ）①由平移的性质得：O′D′＝2，E′D′＝4，ME′＝OO′＝t，D′E′∥O′C′∥OB，∴∠E′FM＝∠ABO＝30°，∴在Rt△MFE′中，MF＝2ME′＝2t，FE′＝＝＝t，∴S△MFE′＝ME′•FE′＝×t×t＝，∵S矩形C′O′D′E′＝O′D′•E′D′＝2×4＝8，∴S＝S矩形C′O′D′E′﹣S△MFE′＝8﹣，∴S＝﹣t2+8，其中t的取值范围是：0＜t＜2；②当S＝时，如图③所示：O'A＝OA﹣OO'＝6﹣t，∵∠AO'F＝90°，∠AFO'＝∠ABO＝30°，∴O'F＝O'A＝（6﹣t）∴S＝（6﹣t）×（6﹣t）＝，解得：t＝6﹣，或t＝6+（舍去），∴t＝6﹣；当S＝5时，如图④所示：O'A＝6﹣t，D'A＝6﹣t﹣2＝4﹣t，∴O'G＝（6﹣t），D'F＝（4﹣t），∴S＝[（6﹣t）+（4﹣t）]×2＝5，解得：t＝，∴当≤S≤5时，t的取值范围为≤t≤6﹣．【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、直角三角形的性质、梯形面积公式等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质时是解题的关键．10．（2019•成都）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC'D，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D的坐标；（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式．【分析】（1）根据待定系数法，把点A（﹣2，5），B（﹣1，0），C（3，0）的坐标代入y＝ax2+bx+c 得到方程组求解即可；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），BH＝2，由翻折得C′B＝CB ＝4，求出C′H的长，可得∠C′BH＝60°，求出DH的长，则D坐标可求；（3）由题意可知△C′CB为等边三角形，分两种情况讨论：①当点P在x轴的上方时，点Q在x 轴上方，连接BQ，C′P．证出△BCQ≌△C′CP，可得BP垂直平分CC′，则D点在直线BP上，可求出直线BP的解析式，②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．同理可求出另一直线解析式．【解答】解：（1）由题意得：解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）∵抛物线与x轴交于B（﹣1，0），C（3，0），∴BC＝4，抛物线的对称轴为直线x＝1，如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），BH＝2，由翻折得C′B＝CB＝4，在Rt△BHC′中，由勾股定理，得C′H＝＝＝2，∴点C′的坐标为（1，2），tan，∴∠C′BH＝60°，由翻折得∠DBH＝∠C′BH＝30°，在Rt△BHD中，DH＝BH•tan∠DBH＝2•tan30°＝，∴点D的坐标为（1，）．（3）解：取（2）中的点C′，D，连接CC′，∵BC′＝BC，∠C′BC＝60°，∴△C′CB为等边三角形．分类讨论如下：①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，C′P．∵△PCQ，△C′CB为等边三角形，∴CQ＝CP，BC＝C′C，∠PCQ＝∠C′CB＝60°，∴∠BCQ＝∠C′CP，∴△BCQ≌△C′CP（SAS），∴BQ＝C′P．∵点Q在抛物线的对称轴上，∴BQ＝CQ，∴C′P＝CQ＝CP，又∵BC′＝BC，∴BP垂直平分CC′，由翻折可知BD垂直平分CC′，∴点D在直线BP上，设直线BP的函数表达式为y＝kx+b，则，解得，∴直线BP的函数表达式为y＝．②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．。
【中考专题】2019年 中考数学压轴题分类练习(含答案)
2019年中考数学压轴题分类练习类型一线段和最小值问题1.如图，抛物线y=ax2-5ax+c与坐标轴分别交于A、C、E三点，其中A(-3，0),C(0，4)，点B 在x轴上，AC=BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN.（1）求抛物线的解析式并求D点坐标；（2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；（3）试求出AM+AN的最小值.2.如图，已知抛物线y=0.5x2﹣1.5x﹣2图象与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧）．若C（m，1﹣m）是抛物线上位于第四象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），过点D分别作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F．（1）求点A和点B的坐标；（2）求证：四边形DECF是矩形；（3）连接EF，线段EF的长是否存在最小值？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由．3.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(4,-),且与y轴交于点C(0,2),与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边)．（1）求抛物线的解析式及A、B两点的坐标；（2）在(1)中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在,求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；（3）以AB为直径的⊙M相切于点E,CE交x轴于点D,求直线CE的解析式．4.如图1，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C．若tan∠ABC=3，一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为﹣8、2．（1）求二次函数的解析式；（2）直线l绕点A以AB为起始位置顺时针旋转到AC位置停止，l与线段BC交于点D，P是AD 的中点．①求点P的运动路程；②如图2，过点D作DE垂直x轴于点E，作DF⊥AC所在直线于点F，连结PE、PF，在l运动过程中，∠EPF的大小是否改变？请说明理由；（3）在（2）的条件下，连结EF，求△PEF周长的最小值．5.如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．（1）求AD的长及抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？（3）在抛物线的对称轴上有一点M，使MD+ME的值最小，试求出点M的坐标，并求MD+ME的最小值．类型二动点有关的面积问题6.如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（2，0），与y轴相交于点C.（1）求二次函数的解析式；（2）若点E是第一象限的抛物线上的一个动点，当四边形ABEC的面积最大时，求点E的坐标，并求出四边形ABEC的最大面积；（3）若点M在抛物线上，且在y轴的右侧.⊙M与y轴相切，切点为D.以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出点M的坐标.7.如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点.抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点.（1）求抛物线的表达式；（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值.8.已知抛物线L的解析式为y=ax2﹣11ax+24a（a＜0），如图1抛物线L与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线L上另有一点A在第一象限内，且∠BAC=90°．（1）求点B、点C的坐标；（2）连接OA，若OA=AC．①求此时抛物线的解析式；②如图2，将抛物线L沿x轴翻折后得抛物线L′，点M为抛物线LA、C两点之间一动点，且点M的横坐标为m，过动点M作x轴的垂线h与抛物线L′交于点M′．设四边形AMCM′的面积为S．试确定S与m之N的函数关系式，并求出当m为何值时．S有最大值，最大值为多少？9.如图1，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4．（1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标；（2）如图2，若AE上有一动点P（不与A，E重合）自A点沿AE方向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒（0＜t＜5），过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE平行线交DE于点N．求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式；当t取何值时，s有最大值，最大值是多少？（3）在（2）的条件下，当t为何值时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标？10.如图，关于y=﹣x2+bx+c的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，点E在x轴上．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）在图中求一点G，使以G、A、E、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点G的坐标；（3）在抛物线A、C两点之间有一点F，使△FAC的面积最大，求该点坐标；（4）直线DE上是否存在点P到直线AD的距离与到轴的距离相等？若存在，请求出点P，若不存在，请说明理由．类型二动点有关的相似问题11.已知，在平行四边形OABC中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°．动点P从0点出发沿射线OA方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q从A点出发沿射线AB方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时间为t秒．（1）求直线AC的解析式；（2）求经过0，A，B三点的抛物线的解析式；（3）试求出当t为何值时，△OAC与△PAQ相似？（4）是否存在某一时刻，使△PAQ为等腰三角形？若能，请直接写出t的所有可能的值；若不能，请说明理由．12.如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（0，4），B（3，0）两点，与x轴负半轴交于点C，连接AC、AB．（1）求该抛物线的解析式；（2）D、E分别为AC、AB的中点，连接DE，P为DE上的动点，PQ⊥BC，垂足为Q，QN⊥AB，垂足为N，连接PN．①当△PQN与△ABC相似时，求点P的坐标；②是否存在点P，使得PQ=NQ，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．14.如图，抛物线y=﹣0.5x2﹣1.5x+（6﹣4k）（其中k为正整数）与x轴相交于两个不同的点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，连结AC、BC．（1）求k的值；（2）如图①，设点D是线段AC上的一动点，作DE⊥x轴于点F，交抛物线于点E，求线段DE长度的最大值；（3）如图②，抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点15.如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连结AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A(3，0)，D(-1，0)，E(0，3)．(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标；(2)求证：CB是△ABE外接圆的切线；(3)试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(4)设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(0＜t≤3)时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s 与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围.参考答案1.解：2.解：（1）当y=0时，0.5x2﹣1.5x﹣2=0，解方程，得 x=﹣1，x2=4．1∵点A在点B的左侧，∴点A、B的坐标分别是（﹣1，0），（4，0）；（2）证明：把C（m，1﹣m）代入y=0.5x2﹣1.5x﹣2得0.5m2﹣1.5m﹣2=1﹣m，解方程，得m=3或m=﹣2．∵点C位于第四象限，∴m＞0，1﹣m＜0，即m＞1，∴m=﹣2舍去，∴m=3，∴点C的坐标为（3，﹣2）．过点C作CH⊥AB于H，则∠AHC=∠BHC=90°．∴AH:CH=CH:BH=2．又∵∠AHC=∠CHB=90°，∴△AHC∽△CHB，∴∠ACH=∠CBH．∵∠CBH+∠BCH=90°，∴∠ACH+∠BCH=90°，∴∠ACB=90°，∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DECF是平行四边形，∴平行四边形DECF是矩形；（3）存在．理由如下：连接CD．∵平行四边形DECF是矩形，∴EF=CD．当CD⊥AB时，CD的值最小．∵C（3，2），∴DC的最小值是2，∴EF的最小值是2．3.4.5.解：（1）∵四边形ABCO为矩形，∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．由题意，△BDC≌△EDC．∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD．由勾股定理易得EO=6．∴AE=10﹣6=4，设AD=x，则BD=ED=8﹣x，由勾股定理，得x2+42=（8﹣x）2，解得，x=3，∴AD=3．∵抛物线y=ax2+bx+c过点D（3，10），C（8，0），O（0，0）∴，解得∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x．（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，∴∠DEA=∠OCE，由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．而CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t．当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，∴=，即=，解得：t=．当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，∴=，即=，解得：t=．∴当t=或时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似．（3）如图所示：作点D（3，10）关于对称轴x=4的对称点D1（5，10），连接D1E交对称轴x=4于点M，此时MD+ME的值最小，设直线D1E的解析式为：y=kx+b（k≠0），将E（0，6），D1（5，10）代入得：，解得：，故直线D1E的解析式为：y=x+6（0≤x≤5），令x=4，解得：y=，∴M（4，），此时，MD+ME=ME+MD1=D1E==．6.解：（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0），B（2，0），∴，∴，∴二次函数的解析式为y=﹣x2+x+2.（2）如图1.设 E（a，b），且a＞0，b＞0.∵A（﹣1，0），B（2，0），∴OA=1，OB=2，OC=2.则S四边形ABEC=×1×2+（2+b）•a+（2﹣a）•b=1+a+b，∵点 E（a，b）是第一象限的抛物线上的一个动点，∴b=﹣a2+a+2，∴S四边形ABEC=﹣a2+2a+3=﹣（a﹣1）2+4，当a=1时，b=2，∴当四边形ABEC的面积最大时，点E的坐标为（1，2），且四边形ABEC的最大面积为4. （3）点M的坐标为（，），（，），（3，﹣4），理由如下：如图2设M（m，n），且m＞0.∵点M在二次函数的图象上，∴n=﹣m2+m+2.∵⊙M与y轴相切，切点为D，∴∠MDC=90°.∵以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，∴==，或==2.①当n＞2时，=或=2，解得 m1=0（舍去），m2=，或m3=0（舍去），m4=﹣1（舍去）.②同理可得，当n＜2时，m1=0（舍去），m2=，或m3=0（舍去），m4=3.综上，满足条件的点M的坐标为（，），（，），（3，﹣4）.7.解：（1）由题意，可得C（1，3），D（3，1）.∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y=ax2+bx.∴，解得，∴抛物线的表达式为：y=﹣x2+x.（2）存在.设直线OD解析式为y=kx，将D（3，1）代入，求得k=，∴直线OD解析式为y=x.设点M的横坐标为x，则M（x， x），N（x，﹣ x2+x），∴MN=|y M﹣y N|=|x﹣（﹣x2+x）|=|x2﹣4x|.由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3.∴|x2﹣4x|=3.若x2﹣4x=3，整理得：4x2﹣12x﹣9=0，解得：x=或x=；若x2﹣4x=﹣3，整理得：4x2﹣12x+9=0，解得：x=.∴存在满足条件的点M，点M的横坐标为：或或.（3）∵C（1，3），D（3，1）∴易得直线OC的解析式为y=3x，直线OD的解析式为y=x.如解答图所示，设平移中的三角形为△A′O′C′，点C′在线段CD上. 设O′C′与x轴交于点E，与直线OD交于点P；设A′C′与x轴交于点F，与直线OD交于点Q.设水平方向的平移距离为t（0≤t＜2），则图中AF=t，F（1+t，0），Q（1+t， +t），C′（1+t，3﹣t）.设直线O′C′的解析式为y=3x+b，将C′（1+t，3﹣t）代入得：b=﹣4t，∴直线O′C′的解析式为y=3x﹣4t.∴E（t，0）.联立y=3x﹣4t与y=x，解得x=t，∴P（t， t）.过点P作PG⊥x轴于点G，则PG=t.∴S=S△OFQ﹣S△OEP=OF•FQ﹣OE•PG=（1+t）（+t）﹣•t•t=﹣（t﹣1）2+当t=1时，S有最大值为.∴S的最大值为.8.解：（1）当y=0时，ax2﹣11ax+24a=0，解得x1=3，x3=8，而点B在点C的左侧，所以B（3，0），C（8，0）；（2）①作AD⊥BC于D，如图1，∵AO=AC，∴OD=CD=OC=4，∴BD=OD﹣OB=4﹣3=1，∵∠BAC=90°，∴∠ABD+∠ACB=90°，而∠ABD+∠BAD=90°，∴∠BAD=∠ACB，∴Rt△ABD∽Rt△CAD，把A （4，2）代入y=ax 2﹣11ax+24a 得16a ﹣44a+24a=2，解得a=﹣，∴抛物线解析式为y=﹣x 2+x ﹣12；②作AD ⊥BC 于D ，如图2，设M （m ，﹣m 2+m ﹣12），∵抛物线L 沿x 轴翻折后得抛物线L ′，且过点M 作x 轴的垂线h 与抛物线L ′交于点M ′，∴M 点和M ′关于x 轴对称，MM ′交x 轴于点E ， ∴MM ′=2ME=﹣m 2+11m ﹣24，∴S=S △AMM ′+S △CMM ′=CD •MM ′=•4•（﹣m 2+11m ﹣24）=﹣2m 2+22m ﹣48=﹣2（m ﹣）2+，当x=时，S 有最大值，最大值为．9.解：（1）依题意可知，折痕AD 是四边形OAED 的对称轴，∴在Rt △ABE 中，AE=AO=5，AB=4．BE==3．∴CE=2．∴E 点坐标为（2，4）．在Rt △DCE 中，DC 2+CE 2=DE 2，又∵DE=OD ．∴（4﹣OD ）2+22=OD 2．解得：OD=．∴D 点坐标为（0，）．（2）如图②∵PM ∥ED ，∴△APM ∽△AED ．∴，又知AP=t ，ED=，AE=5，PM=×=， 又∵PE=5﹣t ．而显然四边形PMNE 为矩形．S 矩形PMNE =PM •PE=×（5﹣t ）=﹣t 2+t ；∴S 四边形PMNE =﹣（t ﹣）2+，又∵0＜＜5．∴当t=时，S 矩形PMNE 有最大值．（3）（i ）若以AE 为等腰三角形的底，则ME=MA （如图①） 在Rt △AED 中，ME=MA ，∵PM ⊥AE ，∴P 为AE 的中点，∴t=AP=AE=．又∵PM ∥ED ，∴M 为AD 的中点．过点M 作MF ⊥OA ，垂足为F ，则MF 是△OAD 的中位线，∴MF=OD=，OF=OA=，∴当t=时，（0＜＜5），△AME 为等腰三角形．此时M 点坐标为（，）．（ii ）若以AE 为等腰三角形的腰，则AM=AE=5（如图②）在Rt △AOD 中，AD===．过点M 作MF ⊥OA ，垂足为F ．∵PM ∥ED ，∴△APM ∽△AED ．∴．∴t=AP===2，∴PM=t=．∴MF=MP=，OF=OA ﹣AF=OA ﹣AP=5﹣2，∴当t=2时，（0＜2＜5），此时M 点坐标为（5﹣2，）．综合（i ）（ii ）可知，t=或t=2时，以A ，M ，E 为顶点的三角形为等腰三角形，相应M 点的坐标为（，）或（5﹣2，）．10.解：（1）把A （﹣3，0），C （0，3）代入y=﹣x 2+bx+c 得，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3，∵y=﹣x 2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴D （﹣1，4）；（2）抛物线的对称轴为直线x=﹣1，则E （﹣1，0），如图1，∴AE=2，当把C 点向右平移2个单位得到G 点，则四边形AEGC 为平行四边形，此时G （2，3）；当把C 点向左平移2个单位得到G ′点，则四边形AECG ′为平行四边形，此时G （﹣2，3）； 由于点C 向下平移3个单位，向左平移1个单位得到E 点，则点A 向下平移3个单位，向左平移1个单位得到G ″点，则四边形ACEG ″为平行四边形，此时G ″（﹣4，﹣3）， 综上所述，G 点坐标为（﹣2，3）或（2，3）或（﹣4，﹣3）；（3）如图2，作FQ ∥y 轴交AC 于Q ，设直线AC 的解析式为y=mx+n ，把A（﹣3，0），C（0，3）代入得，解得，∴直线AC的解析式为y=x+3，设F（x，﹣x2﹣2x+3），则Q（x，x+3），∴FQ=﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）=﹣x2﹣3x，∴S△FAC=•3•FQ=•（﹣x2﹣3x）=﹣x2﹣x=﹣（x+）2+，当x=﹣时，△FAC的面积最大，此时F点坐标为（﹣，）；（4）存在．∵D（﹣1，4），A（﹣3，0），E（﹣1，0），∴AD==2，设P（﹣1，t），则PE=PH=|t|，DP=4﹣t，∵∠HDP=∠EDA，∴Rt△DHP∽Rt△DEA，∴PH：AE=DP：DA，即|t|：2=（4﹣t）：2，当t＞0时，t：2=（4﹣t）：2，解得t=﹣1；当t＜0时，﹣t：2=（4﹣t）：2，解得t=﹣﹣1，综上所述，满足条件的P点坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣﹣1）．11.解：（1）过C点作x轴的垂线，垂足为D点，在平行四边形OABC中，由OA=5，AB=4，∠OCA=90°，得AC=3，由面积法，得CD×OA=OC×AC，解得CD==，在Rt△OCD中，由勾股定理得OD==，∴C（，），又∵A（5，0），∴直线AC解析式为：y=﹣x+；（2）∵C（，），∴B（，），∵O（0，0），A（5，0），设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，代入得，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x．（3）当0≤t≤2.5时，P在OA上，∠OAQ≠90°，故此时△OAC与△PAQ不可能相似．当t＞2.5时，①若∠APQ=90°，则△AQP∽△OAC，故==，∴=，∴t=，∵t＞2.5，∴t=符合条件．②若∠AQP=90°，则△APQ∽△OAC，故==，∴=，∴t=，∵t＞2.5，∴t=符合条件．综上可知，当t=或时，△OAC与△APQ相似．（4）有四种情况：①点P在A左侧：AP=AQ时，t=，②点P在A右侧：AP=AQ时，t=5，③点P在A右侧：QA=QP时，t=，④点P在A右侧：PA=PQ时，t=．12.解：（1）将A（0，4），B（3，0）代入抛物线的解析式得：，解得；b=，c=4．∴抛物线的解析式为y=﹣+x+4．（2）①如图1所示：∵令y=0，解得x1=﹣1，x2=3，∴C（﹣1，0）．∴BC=4，AB==5．∵D、E分别为AC、AB的中点，∴DE∥BC．∴=1．∴PQ=DO=2．∵PQ⊥BC，QN⊥AB，∴∠PQN+∠NQB=90°，∠NQB+∠QBN=90°．∴∠PQN=∠QBN．∴当或时，△PQN与△ABC相似．∵当时，，解得；QN=．∵=，∴QB=QN=×=2．∴OQ=3﹣2=1．∴点P的坐标为（1，2）．当时，，解得；QN=2.5．∵=，∴QB=QN=×=．∴OB﹣BQ=﹣．∴点P的坐标为（﹣，2）．综上所述点P的坐标为（1，2）或（﹣，2）．②如图2所示：∵PQ=QN，PQ=2，∴QN=2．∵QN⊥AB，∴∠QNB=90°．∵由（2）可知OA=4，AB=5，∴sin∠ABO=．∴，即，解得；QB=．∴OQ=OB﹣QB=3﹣=．∴P（，2）．13.解：14.15. (1)解：由题意，设抛物线解析式为y=a(x－3)(x＋1)．将E(0，3)代入上式，解得：a=－1．∴y=－x2＋2x＋3．则点B(1，4)．(2)如图6，证明：过点B作BM⊥y于点M，则M(0，4)．在Rt△AOE中，OA=OE=3，∴∠1=∠2=45°，AE==3．在Rt△EMB中，EM=OM－OE=1=BM，∴∠MEB=∠MBE=45°，BE==．∴∠BEA=180°-∠1-∠MEB=90°．∴AB是△ABE外接圆的直径．在Rt△ABE中，tan∠BAE===tan∠CBE，∴∠BAE=∠CBE．在Rt△ABE中，∠BAE＋∠3=90°，∴∠CBE＋∠3=90°．∴∠CBA=90°，即CB⊥AB．∴CB是△ABE外接圆的切线(3)P1(0，0)，P2(9，0)，P3(0，－)．(4)解：设直线AB的解析式为y=kx＋b．将A(3，0)，B(1，4)代入，得解得∴y=－2x＋6．过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x=1.5，∴F(1.5，3)．情况一：如图7，当0＜t≤1.5时，设△AOE平移到△DNM的位置，MD交AB于点H，MN交AE于点G．则ON=AD=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．由△AHD∽△FHM，得．即．解得HK=2t．∴S阴=S△MND－S△GNA－S△HAD=0.5×3×3－0.5 (3－t)2－0.5t·2t=－1.5t2＋3t．情况二：如图，当1.5＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V．由△IQA∽△IPF，得．即．解得IQ=2(3－t)．∴S阴=S△IQA－S△VQA=0.5×(3－t)×2(3－t)－0.5 (3－t)2=0.5 (3－t)2=0.5t2－3t＋4.5．综上所述：s=。
2019年全国各地中考数学压轴题汇编(含答案)
2019年全国各地中考压轴题汇编（含答案）1．（2019•北京）在ABC ∆中，D ，E 分别是ABC ∆两边的中点，如果DE 上的所有点都在ABC ∆的内部或边上，则称DE 为ABC ∆的中内弧．例如，图1中DE 是ABC ∆的一条中内弧．（1）如图2，在R t A B C∆中，AB AC ==D ，E 分别是AB ，AC 的中点，画出ABC ∆的最长的中内弧DE ，并直接写出此时DE 的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点(0,2)A ，(0,0)B ，(4C t ，0)(0)t >，在ABC ∆中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．①若12t =，求ABC ∆的中内弧DE 所在圆的圆心P 的纵坐标的取值范围； ②若在ABC ∆中存在一条中内弧DE ，使得DE 所在圆的圆心P 在ABC ∆的内部或边上，直接写出t 的取值范围．2．（2019•上海）如图1，AD 、BD 分别是ABC ∆的内角BAC ∠、ABC ∠的平分线，过点A 作AE AD ⊥，交BD的延长线于点E ．（1）求证：12E C ∠==∠； （2）如图2，如果AE AB =，且:2:3BD DE =，求cos ABC ∠的值；（3）如果ABC ∠是锐角，且ABC ∆与ADE ∆相似，求ABC ∠的度数，并直接写出ADEABCS S ∆∆的值．3．（2019•河北）如图，若b 是正数，直线:l y b =与y 轴交于点A ；直线:a y x b =-与y 轴交于点B ；抛物线2:L y x bx =-+的顶点为C ，且L 与x 轴右交点为D ．（1）若8AB =，求b 的值，并求此时L 的对称轴与a 的交点坐标； （2）当点C 在l 下方时，求点C 与l 距离的最大值；（3）设00x ≠，点0(x ，1)y ，0(x ，2)y ，0(x ，3)y 分别在l ，a 和L 上，且3y 是1y ，2y 的平均数，求点0(x ，0)与点D 间的距离；（4）在L 和a 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出2019b =和2019.5b =时“美点”的个数．4．（2019•天津）已知抛物线2(y x bx c b =-+，c 为常数，0)b >经过点(1,0)A -，点(,0)M m 是x 轴正半轴上的动点．（Ⅰ）当2b =时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）点(,)D D b y 在抛物线上，当AM AD =，5m =时，求b 的值；（Ⅲ）点1(2Q b +，)Q y 2QM +时，求b 的值．5．（2019•山西）综合与探究如图，抛物线26y ax bx =++经过点(2,0)A -，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<．连接AC ，BC ，DB ，DC ． （1）求抛物线的函数表达式；（2）BCD ∆的面积等于AOC ∆的面积的34时，求m 的值； （3）在（2）的条件下，若点M 是x 轴上一动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2019•呼和浩特）已知二次函数2y ax bx c =-+且a b =，若一次函数4y kx =+与二次函数的图象交于点(2,0)A ．（1）写出一次函数的解析式，并求出二次函数与x 轴交点坐标；（2）当a c >时，求证：直线4y kx =+与抛物线2y ax bx c =-+一定还有另一个异于点A 的交点；（3）当3c a c <+…时，求出直线4y kx =+与抛物线2y ax bx c =-+的另一个交点B 的坐标；记抛物线顶点为M ，抛物线对称轴与直线4y kx =+的交点为N ，设259AMN BMN S S S ∆∆=-，写出S 关于a 的函数，并判断S 是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．7．（2019•哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线443y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线BC 与x 轴交于点C ，且点C 与点A 关于y 轴对称； （1）求直线BC 的解析式；（2）点P 为线段AB 上一点，点Q 为线段BC 上一点，BQ AP =，连接PQ ，设点P 的横坐标为t ，PBQ ∆的面积为(0)S S ≠，求S 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点E 在线段OA 上，点R 在线段BC 的延长线上，且点R 的纵坐标为25-，连接PE 、BE 、AQ ，AQ 与BE 交于点F ，APE CBE ∠=∠，连接PF ，PF 的延长线与y 轴的负半轴交于点M ，连接QM 、MR ，若24tan 23QMR ∠=，求直线PM 的解析式．8．（2019•吉林）如图，抛物线2(1)y x k =-+与x 轴相交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点(0,3)C -．P 为抛物线上一点，横坐标为m ，且0m >．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点P 位于x 轴下方时，求ABP ∆面积的最大值；（3）设此抛物线在点C 与点P 之间部分（含点C 和点)P 最高点与最低点的纵坐标之差为h ． ①求h 关于m 的函数解析式，并写出自变量m 的取值范围； ②当9h =时，直接写出BCP ∆的面积．9．（2019•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线22(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线经过点(2,3)D --和点(3,2)E ，点P 是第一象限抛物线上的一个动点．（1）求直线DE 和抛物线的表达式；（2）在y 轴上取点(0,1)F ，连接PF ，PB ，当四边形OBPF 的面积是7时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P 在抛物线对称轴的右侧时，直线DE 上存在两点M ，N （点M 在点N 的上方），且MN =，动点Q 从点P 出发，沿P M N A →→→的路线运动到终点A ，当点Q 的运动路程最短时，请直接写出此时点N 的坐标．10．（2019•南京）【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy ，对两点1(A x ，1)y 和2(B x ，2)y ，用以下方式定义两点间距离：1212(,)||||d A B x x y y =-+-．【数学理解】（1）①已知点(2,1)A -，则(,)d O A = ．②函数24(02)y x x =-+剟的图象如图①所示，B 是图象上一点，(,)3d O B =，则点B 的坐标是 ．（2）函数4(0)y x x=>的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C ，使(,)3d O C =． （3）函数257(0)y x x x =-+…的图象如图③所示，D 是图象上一点，求(,)d O D 的最小值及对应的点D 的坐标．【问题解决】（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M 为起点，先沿MN 方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）11．（2019•杭州）如图，已知锐角三角形ABC 内接于圆O ，OD BC ⊥于点D ，连接OA ． （1）若60BAC ∠=︒，①求证：12OD OA =． ②当1OA =时，求ABC ∆面积的最大值．（2）点E 在线段OA 上，OE OD =，连接DE ，设ABC m OED ∠=∠，(ACB n OED m ∠=∠，n 是正数），若ABC ACB ∠<∠，求证：20m n -+=．12．（2019•济南）如图1，抛物线:2C y ax bx =+经过点(4,0)A -、(1,3)B -两点，G 是其顶点，将抛物线C 绕点O 旋转180︒，得到新的抛物线C '．（1）求抛物线C 的函数解析式及顶点G 的坐标；（2）如图2，直线12:5l y kx =-经过点A ，D 是抛物线C 上的一点，设D 点的横坐标为(2)m m <-，连接DO 并延长，交抛物线C '于点E ，交直线l 于点M ，若2DE EM =，求m 的值； （3）如图3，在（2）的条件下，连接AG 、AB ，在直线DE 下方的抛物线C 上是否存在点P ，使得DEP GAB ∠=∠？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．13．（2019•江西）特例感知（1）如图1，对于抛物线211y x x =--+，2221y x x =--+，2331y x x =--+，下列结论正确的序号是 ； ①抛物线1y ，2y ，3y 都经过点(0,1)C ；②抛物线2y ，3y 的对称轴由抛物线1y 的对称轴依次向左平移12个单位得到； ③抛物线1y ，2y ，3y 与直线1y =的交点中，相邻两点之间的距离相等．形成概念（2）把满足21(n y x nx n =--+为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”．知识应用在（2）中，如图2．①“系列平移抛物线”的顶点依次为1P ，2P ，3P ，⋯，n P ，用含n 的代数式表示顶点n P 的坐标，并写出该顶点纵坐标y 与横坐标x 之间的关系式；②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：1C ，2C ，3C ，⋯，n C ，其横坐标分别为1k --，2k --，3k --，⋯，(k n k --为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．③在②中，直线1y =分别交“系列平移抛物线”于点1A ，2A ，3A ，⋯，n A ，连接n n C A ，11n n C A --，判断n n C A ，11n n C A --是否平行？并说明理由．14．（2019•安徽）如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，P 为ABC ∆内部一点，且135APB BPC ∠=∠=︒． （1）求证：PAB PBC ∆∆∽； （2）求证：2PA PC =；（3）若点P 到三角形的边AB ，BC ，CA 的距离分别为1h ，2h ，3h ，求证2123h h h =．15．（2019•福建）已知抛物2(0)y ax bx c b =++<与x 轴只有一个公共点． （1）若抛物线与x 轴的公共点坐标为(2,0)，求a 、c 满足的关系式；（2）设A 为抛物线上的一定点，直线:1l y kx k =+-与抛物线交于点B 、C ，直线BD 垂直于直线1y =-，垂足为点D ．当0k =时，直线l 与抛物线的一个交点在y 轴上，且ABC ∆为等腰直角三角形． ①求点A 的坐标和抛物线的解析式；②证明：对于每个给定的实数k ，都有A 、D 、C 三点共线．16．（2019•广东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2y =与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 右侧），点D 为抛物线的顶点，点C 在y 轴的正半轴上，CD 交x 轴于点F ，CAD ∆绕点C 顺时针旋转得到CFE ∆，点A 恰好旋转到点F ，连接BE ． （1）求点A 、B 、D 的坐标；（2）求证：四边形BFCE 是平行四边形；（3）如图2，过项点D 作1DD x ⊥轴于点1D ，点P 是抛物线上一动点，过点P 作PM x ⊥轴，点M 为垂足，使得PAM ∆与△1DD A 相似（不含全等）． ①求出一个满足以上条件的点P 的横坐标； ②直接回答这样的点P 共有几个？17．（2019•河南）如图，抛物线212y ax x c =++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ．直线122y x =--经过点A ，C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线上一动点，过点P 作x 轴的垂线，交直线AC 于点M ，设点P 的横坐标为m ． ①当PCM ∆是直角三角形时，求点P 的坐标；②作点B 关于点C 的对称点B '，则平面内存在直线l ，使点M ，B ，B '到该直线的距离都相等．当点P 在y 轴右侧的抛物线上，且与点B 不重合时，请直接写出直线:l y kx b =+的解析式．(k ，b 可用含m 的式子表示）18．（2019•天门）在平面直角坐标系中，已知抛物线2:21(0)C y ax x a =+-≠和直线:l y kx b =+，点(3,3)A --，(1,1)B -均在直线l 上．（1）若抛物线C 与直线l 有交点，求a 的取值范围；（2）当1a =-，二次函数221y ax x =+-的自变量x 满足2m x m +剟时，函数y 的最大值为4-，求m 的值； （3）若抛物线C 与线段AB 有两个不同的交点，请直接写出a 的取值范围．19．（2019•长沙）如图，抛物线26(y ax ax a =+为常数，0)a >与x 轴交于O ，A 两点，点B 为抛物线的顶点，点D 的坐标为(t ，0)(30)t -<<，连接BD 并延长与过O ，A ，B 三点的P 相交于点C ．（1）求点A 的坐标；（2）过点C 作P 的切线CE 交x 轴于点E ． ①如图1，求证：CE DE =；②如图2，连接AC ，BE ，BO ，当a =，CAE OBE ∠=∠时，求11OD OE-的值．20．（2019•海南）如图，已知抛物线25y ax bx =++经过(5,0)A -，(4,3)B --两点，与x 轴的另一个交点为C ，顶点为D ，连结CD ．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P 为该抛物线上一动点（与点B 、C 不重合），设点P 的横坐标为t ． ①当点P 在直线BC 的下方运动时，求PBC ∆的面积的最大值；②该抛物线上是否存在点P ，使得PBC BCD ∠=∠？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（2019•广西）如果抛物线1C 的顶点在拋物线2C 上，抛物线2C 的顶点也在拋物线1C 上时，那么我们称抛物线1C 与2C “互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线2111:4C y x x =+与222:C y ax x c =++是“互为关联”的拋物线，点A ，B 分别是抛物线1C ，2C 的顶点，抛物线2C 经过点(6,1)D -． （1）直接写出A ，B 的坐标和抛物线2C 的解析式；（2）抛物线2C 上是否存在点E ，使得ABE ∆是直角三角形？如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，点(6,3)F -在抛物线1C 上，点M ，N 分别是抛物线1C ，2C 上的动点，且点M ，N 的横坐标相同，记AFM ∆面积为1S （当点M 与点A ，F 重合时10)S =，ABN ∆的面积为2S （当点N 与点A ，B 重合时，20)S =，令12S S S =+，观察图象，当12y y …时，写出x 的取值范围，并求出在此范围内S 的最大值．22．（2019•成都）如图，抛物线2y ax bx c =++经过点(2,5)A -，与x 轴相交于(1,0)B -，(3,0)C 两点． （1）求抛物线的函数表达式；（2）点D 在抛物线的对称轴上，且位于x 轴的上方，将BCD ∆沿直线BD 翻折得到△BC D '，若点C '恰好落在抛物线的对称轴上，求点C '和点D 的坐标； （3）设P 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q 在抛物线的对称轴上，当CPQ ∆为等边三角形时，求直线BP 的函数表达式．23．（2019•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ，点D 为抛物线的顶点，对称轴与x 轴交于点E ． （1）连结BD ，点M 是线段BD 上一动点（点M 不与端点B ，D 重合），过点M 作MN BD ⊥，交抛物线于点N （点N 在对称轴的右侧），过点N 作NH x ⊥轴，垂足为H ，交BD 于点F ，点P 是线段OC 上一动点，当MN 取得最大值时，求13HF FP PC ++的最小值；（2）在（1）中，当MN 取得最大值，13HF FP PC ++取得最小值时，把点P 个单位得到点Q ，连结AQ ，把A O Q ∆绕点O 顺时针旋转一定的角度(0360)αα︒<<︒，得到△A OQ ''，其中边A Q ''交坐标轴于点G ．在旋转过程中，是否存在一点G ，使得Q Q OG ''∠=∠？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q '的坐标；若不存在，请说明理由．24．（2019•重庆）在平面直角坐标系中，抛物线23323y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点Q ．（1）如图1，连接AC ，BC ．若点P 为直线BC 上方抛物线上一动点，过点P 作//PE y 轴交BC 于点E ，作PF BC ⊥于点F ，过点B 作//BG AC 交y 轴于点G ．点H ，K 分别在对称轴和y 轴上运动，连接PH ，HK ．当PEF ∆的周长最大时，求3PH HK KG ++的最小值及点H 的坐标． （2）如图2，将抛物线沿射线AC 方向平移，当抛物线经过原点O 时停止平移，此时抛物线顶点记为D '，N 为直线DQ 上一点，连接点D '，C ，N ，△DC N '能否构成等腰三角形？若能，直接写出满足条件的点N 的坐标；若不能，请说明理由．25．（2019•云南）如图，AB 是O 的直径，M 、D 两点AB 的延长线上，E 是C 上的点，且2DE DB DA =，延长AE 至F ，使得AE EF =，设10BF =，4cos 5BED ∠=．（1）求证：DEB DAE ∆∆∽； （2）求DA ，DE 的长；（3）若点F 在B 、E 、M 三点确定的圆上，求MD 的长．26．（2019•贵阳）（1）数学理解：如图①，ABC ∆是等腰直角三角形，过斜边AB 的中点D 作正方形DECF ，分别交BC ，AC 于点E ，F ，求AB ，BE ，AF 之间的数量关系；（2）问题解决：如图②，在任意直角ABC ∆内，找一点D ，过点D 作正方形DECF ，分别交BC ，AC 于点E ，F ，若AB BE AF =+，求ADB ∠的度数；（3）联系拓广：如图③，在（2）的条件下，分别延长ED ，FD ，交AB 于点M ，N ，求MN ，AM ，BN 的数量关系．27．（2019•西藏）已知：如图，抛物线23y ax bx =++与坐标轴分别交于点A ，(3,0)B -，(1,0)C ，点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线解析式；（2）当点P 运动到什么位置时，PAB ∆的面积最大？（3）过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 作//PE x 轴交抛物线于点E ，连接DE ，请问是否存在点P 使PDE ∆为等腰直角三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．28．（2019•陕西）问题提出：（1）如图1，已知ABC ∆，试确定一点D ，使得以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形； 问题探究： （2）如图2，在矩形ABCD 中，4AB =，10BC =，若要在该矩形中作出一个面积最大的BPC ∆，且使90BPC ∠=︒，求满足条件的点P 到点A 的距离； 问题解决：（3）如图3，有一座草根塔A ，按规定，要以塔A 为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的草根景区BCDE ．根据实际情况，要求顶点B 是定点，点B 到塔A 的距离为50米，120CBE ∠=︒，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE ？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE 的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A 的占地面积忽略不计）29．（2019•宁夏）如图，在ABC ∆中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，点M ，Q 分别是边AB ，BC 上的动点（点M 不与A ，B 重合），且MQ BC ⊥，过点M 作BC 的平行线MN ，交AC 于点N ，连接NQ ，设BQ 为x ． （1）试说明不论x 为何值时，总有QBM ABC ∆∆∽；（2）是否存在一点Q ，使得四边形BMNQ 为平行四边形，试说明理由； （3）当x 为何值时，四边形BMNQ 的面积最大，并求出最大值．30．（2019•兰州）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，将斜边AB 绕点A 顺时针旋转90︒得到AD ，过点D 作DE AC ⊥于点E ，可以推理得到ABC DAE ∆≅∆，进而得到AC DE =，BC AE =． 我们把这个数学模型成为“K 型”． 推理过程如下：【模型迁移】二次函数22y ax bx =++的图象交x 轴于点(1,0)-，(4,0)B 两点，交y 轴于点C ．动点M 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB 方向运动，过点M 作MN x ⊥轴交直线BC 于点N ，交抛物线于点D ，连接AC ，设运动的时间为t 秒．（1）求二次函数22y ax bx =++的表达式；（2）连接BD ，当32t =时，求DNB ∆的面积； （3）在直线MN 上存在一点P ，当PBC ∆是以BPC ∠为直角的等腰直角三角形时，求此时点D 的坐标；（4）当54t =时，在直线MN 上存在一点Q ，使得90AQC OAC ∠+∠=︒，求点Q 的坐标．31．（2019•青海）如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点(1,0)A 、(5,0)B 、(0,4)C 三点．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）P 是抛物线对称轴上的一点，求满足PA PC +的值为最小的点P 坐标（请在图1中探索）；（3）在第四象限的抛物线上是否存在点E ，使四边形OEBF 是以OB 为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E 坐标，若不存在请说明理由（请在图2中探索）32．（2019•新疆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A -，(4,0)B ，(0,4)C 三点． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）将（1）中的抛物线向下平移154个单位长度，再向左平移(0)h h >个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点D '在ABC ∆内，求h 的取值范围；（3）点P 为线段BC 上一动点（点P 不与点B ，C 重合），过点P 作x 轴的垂线交（1）中的抛物线于点Q ，当PQC ∆与ABC ∆相似时，求PQC ∆的面积．2019年全国各地中考压轴题汇编答案解析1．（2019•北京）在ABC ∆中，D ，E 分别是ABC ∆两边的中点，如果DE 上的所有点都在ABC ∆的内部或边上，则称DE 为ABC ∆的中内弧．例如，图1中DE 是ABC ∆的一条中内弧．（1）如图2，在R t A B C∆中，AB AC ==D ，E 分别是AB ，AC 的中点，画出ABC ∆的最长的中内弧DE ，并直接写出此时DE 的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点(0,2)A ，(0,0)B ，(4C t ，0)(0)t >，在ABC ∆中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．①若12t =，求ABC ∆的中内弧DE 所在圆的圆心P 的纵坐标的取值范围； ②若在ABC ∆中存在一条中内弧DE ，使得DE 所在圆的圆心P 在ABC ∆的内部或边上，直接写出t 的取值范围．【分析】（1）由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得2DE =，最长中内弧即以DE 为直径的半圆，DE 的 长即以DE 为直径的圆周长的一半；（2）根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在DE 的中垂线上，①当12t =时，要注意圆心P 在DE 上方的中垂线上均符合要求，在DE 下方时必须AC 与半径PE 的夹角AEP ∠满足90135AEP ︒∠<︒…；②根据题意，t 的最大值即圆心P 在AC 上时求得的t 值．【解答】解：（1）如图2，以DE 为直径的半圆弧DE ，就是ABC ∆的最长的中内弧DE ，连接DE ，90A ∠=︒，AB AC ==D ，E 分别是AB ，AC 的中点，4sin sin 45AC BC B ∴===︒，114222DE BC ==⨯=，∴弧122DE ππ=⨯=；（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE 的垂直平分线上，连接DE ，作DE 垂直平分线FP ，作EG AC ⊥交FP 于G ，①当12t =时，(2,0)C ，(0,1)D ∴，(1,1)E ，1(2F ，1)，设1(2P ，)m 由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE 上方射线FP 上均可，1m ∴…，OA OC =，90AOC ∠=︒ 45ACO ∴∠=︒， //DE OC45AED ACO ∴∠=∠=︒作EG AC ⊥交直线FP 于G ，12FG EF ==根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G 的下方（含点)G 直线FP 上时也符合要求；12m ∴…综上所述，12m …或1m …． ②如图4，设圆心P 在AC 上，P 在DE 中垂线上，P ∴为AE 中点，作PM OC ⊥于M ，则32PM =，3(,)2P t ∴，//DE BC90ADE AOB ∴∠=∠=︒AE ∴==PD PE =， AED PDE ∴∠=∠90AED DAE PDE ADP ∠+∠=∠+∠=︒， DAE ADP ∴∠=∠12AP PD PE AE ∴===由三角形中内弧定义知，PD PM … ∴1322AE …，3AE …3，解得：t … 0t >0t ∴<…【点评】此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新 定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题．2．（2019•上海）如图1，AD 、BD 分别是ABC ∆的内角BAC ∠、ABC ∠的平分线，过点A 作AE AD ⊥，交BD的延长线于点E ．（1）求证：12E C ∠==∠； （2）如图2，如果AE AB =，且:2:3BD DE =，求cos ABC ∠的值；（3）如果ABC ∠是锐角，且ABC ∆与ADE ∆相似，求ABC ∠的度数，并直接写出ADEABCS S ∆∆的值． 【分析】（1）由题意：90E ADE ∠=︒-∠，证明1902ADE C ∠=︒-∠即可解决问题．（2）延长AD 交BC 于点F ．证明//AE BC ，可得90AFB EAD ∠=∠=︒，BF BDAF DE=，由:2:3B D D E =，可得2cos 3BF BF ABC AB AE ∠===．（3）因为ABC ∆与ADE ∆相似，90DAE ∠=︒，所以ABC ∠中必有一个内角为90︒因为ABC ∠是锐角，推出90ABC ∠≠︒．接下来分两种情形分别求解即可．【解答】（1）证明：如图1中，AE AD ⊥，90DAE ∴∠=︒，90E ADE ∠=︒-∠， AD 平分BAC ∠，12BAD BAC ∴∠=∠，同理12ABD ABC ∠=∠，ADE BAD DBA ∠=∠+∠，180BAC ABC C ∠+∠=︒-∠，11()9022ADE ABC BAC C ∴∠=∠+∠=︒-∠，1190(90)22E C C ∴∠=︒-︒-∠=∠．（2）解：延长AD 交BC 于点F ．AB AE =， ABE E ∴∠=∠， BE 平分ABC ∠， ABE EBC ∴∠=∠， E CBE ∴∠=∠， //AE BC ∴，90AFB EAD ∴∠=∠=︒，BF BDAF DE=， :2:3BD DE =，2cos 3BF BF ABC AB AE ∴∠===．（3）ABC ∆与ADE ∆相似，90DAE ∠=︒， ABC ∴∠中必有一个内角为90︒ ABC ∠是锐角， 90ABC ∴∠≠︒．①当90BAC DAE ∠=∠=︒时，12E C ∠=∠，12ABC E C ∴∠=∠=∠，90ABC C ∠+∠=︒，30ABC ∴∠=︒，此时2ADE ABCSS ∆∆=②当90C DAE ∠=∠=︒时，1452E C ∠=∠=︒， 45EDA ∴∠=︒，ABC ∆与ADE ∆相似，45ABC ∴∠=︒，此时2ADE ABCSS ∆∆=综上所述，30ABC ∠=︒或45︒，2ADEABCS S ∆∆=2． 【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数等知识， 解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．3．（2019•河北）如图，若b 是正数，直线:l y b =与y 轴交于点A ；直线:a y x b =-与y 轴交于点B ；抛物线2:L y x bx =-+的顶点为C ，且L 与x 轴右交点为D ．（1）若8AB =，求b 的值，并求此时L 的对称轴与a 的交点坐标； （2）当点C 在l 下方时，求点C 与l 距离的最大值；（3）设00x ≠，点0(x ，1)y ，0(x ，2)y ，0(x ，3)y 分别在l ，a 和L 上，且3y 是1y ，2y 的平均数，求点0(x ，0)与点D 间的距离；（4）在L 和a 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出2019b =和2019.5b =时“美点”的个数．【分析】（1）当0x =吋，y x b b =-=-，所以B (0,)b -，而8AB =，而(0,)A b ，则()8b b --=，4b =．所以2:4L y x x =-+，对称轴2x =，当2x =，42y x =-=-，于是L 的对称轴与a 的交点为(2，2- )；（2）22()24b b y x =--+，顶点2(,)24b b C 因为点C 在l 下方，则C 与l 的距离221(2)1144b b b -=--+…，所以点C 与1距离的最大值为1；（3）由題意得1232y y y +=，即1232y y y +=，得20002()b x b x bx +-=-+解得00x =或012x b =-．但0#0x ，取012x b =-，对于L ，当0y =吋，20x bx =-+，即0()x x b =--，解得10x =，2x b =，右交点(,0)D b ．因此点0(x ，0)与点D 间的距离11()22b b --=（4）①当2019b =时，抛物线解析式2:2019L y x x =-+直线解析式:2019a y x =-，美点”总计4040个点，②当2019.5b =时，抛物线解析式2:2019.5L y x x =-+，直线解析式:2019.5a y x =-，“美点”共有1010个．【解答】解：（1）当0x =吋，y x b b =-=-，B ∴ (0,)b -，8AB =，而(0,)A b ， ()8b b ∴--=， 4b ∴=．2:4L y x x ∴=-+， L ∴的对称轴2x =，当2x =吋，42y x =-=-，L ∴的对称轴与a 的交点为(2，2- )；（2）22()24b b y x =--+，L ∴的顶点2(,)24b b C点C 在l 下方，C ∴与l 的距离221(2)1144b b b -=--+…，∴点C 与1距离的最大值为1；（3）由題意得1232y y y +=，即1232y y y +=，得20002()b x b x bx +-=-+ 解得00x =或012x b =-．但0#0x ，取012x b =-，对于L ，当0y =吋，20x bx =-+，即0()x x b =--， 解得10x =，2x b =， 0b >，∴右交点(,0)D b ．∴点0(x ，0)与点D 间的距离11()22b b --=（4）①当2019b =时，抛物线解析式2:2019L y x x =-+ 直线解析式:2019a y x =-联立上述两个解析式可得：11x =-，22019x =，∴可知每一个整数x 的值 都对应的一个整数y 值，且1-和2019之间（包括1-和2019)-共有2021个整数；另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线， ∴线段和抛物线上各有2021个整数点 ∴总计4042个点，这两段图象交点有2个点重复重复， ∴美点”的个数：404224040-=（个)； ②当2019.5b =时，抛物线解析式2:2019.5L y x x =-+， 直线解析式:2019.5a y x =-，联立上述两个解析式可得：11x =-，22019.5x =，∴当x 取整数时，在一次函数2019.5y x =-上，y 取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0， 在二次函数2019.5y x x =+图象上，当x 为偶数时，函数值y 可取整数，可知1-到2019.5之 间有1009个偶数，并且在1-和2019.5之间还有整数0，验证后可知0也符合 条件，因此“美点”共有1010个．故2019b =时“美点”的个数为4040个，2019.5b =时“美点”的个数为1010个．【点评】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式是解题的关键．4．（2019•天津）已知抛物线2(y x bx c b =-+，c 为常数，0)b >经过点(1,0)A -，点(,0)M m 是x 轴正半轴上的动点．（Ⅰ）当2b =时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）点(,)D D b y 在抛物线上，当AM AD =，5m =时，求b 的值；（Ⅲ）点1(2Q b +，)Q y 2QM +时，求b 的值．【分析】（Ⅰ）将点(1,0)A -代入2y x bx c =-+，求出c 关于b 的代数式，再将b 代入即可求出c 的值，可进一步写出抛物线解析式及顶点坐标；（Ⅱ）将点(,)D D b y 代入抛物线21y x bx b =---，求出点D 纵坐标为1b --，由0b >判断出点(,1)D b b --在第四象限，且在抛物线对称轴2bx =的右侧，过点D 作DE x ⊥轴，可证ADE ∆为等腰直角三角形，利用锐角三角函数可求出b 的值； （Ⅲ）将点1(2Q b +，)Q y 代入抛物线21y x bx b =---，求出Q 纵坐标为324b --，可知点1(2Q b +，3)24b --在第四象限，且在直线x b =的右侧，点(0,1)N ，过点Q 作直线AN 的垂线，垂足为G ，QG 与x 轴相交于点M ，过点Q 作QH x ⊥轴于点H ，则点1(2H b +，0)，在Rt MQH ∆中，可知45QMH MQH ∠=∠=︒，设点(,0)M m ，则可用含b 的代数式表示m 24QM +=，1112[()(1)])()]242244b b b ---++--=，解方程即可．【解答】解：（Ⅰ）抛物线2y x bx c =-+经过点(1,0)A -，10b c ∴++=， 即1c b =--， 当2b =时，2223(1)4y x x x =--=--， ∴抛物线的顶点坐标为(1,4)-；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线的解析式为21y x bx b =---， 点(,)D D b y 在抛物线21y x bx b =---上，211D y b b b b b ∴=---=--，由0b >，得02bb >>，10b --<，∴点(,1)D b b --在第四象限，且在抛物线对称轴2bx =的右侧， 如图1，过点D 作DE x ⊥轴，垂足为E ，则点(,0)E b ， 1AE b ∴=+，1DE b =+，得AE DE =， ∴在Rt ADE ∆中，45ADE DAE ∠=∠=︒，AD ∴=，由已知AM AD =，5m =，5(1)1)b ∴--=+，1b ∴=；（Ⅲ）点1(2Q b +，)Q y 在抛物线21y x bx b =---上， 2113()()12224Q b y b b b b ∴=+-+--=--，可知点1(2Q b +，3)2b --在第四象限，且在直线x b =的右侧，2)QM AM QM +=+，∴可取点(0,1)N ，如图2，过点Q 作直线AN 的垂线，垂足为G ，QG 与x 轴相交于点M ，由45GAM ∠=︒GM =， 则此时点M 满足题意，过点Q 作QH x ⊥轴于点H ，则点1(2H b +，0)， 在Rt MQH ∆中，可知45QMH MQH ∠=∠=︒，QH MH ∴=，QM ， 点(,0)M m ，310()()242b b m ∴---=+-，解得，124b m =-，2QM +=，∴1112[()(1)])()]24224b b b ---++--，4b ∴=．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线上的点的坐标满足抛物线方程等，解题关键是能够根据给定参 数判断点的位置，从而构造特殊三角形来求解．5．（2019•山西）综合与探究如图，抛物线26y ax bx =++经过点(2,0)A -，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<．连接AC ，BC ，DB ，DC ． （1）求抛物线的函数表达式；（2）BCD ∆的面积等于AOC ∆的面积的34时，求m 的值； （3）在（2）的条件下，若点M 是x 轴上一动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由抛物线交点式表达，即可求解；（2）利用12BDC S HB OB ∆=⨯，即可求解； （3）分BD 是平行四边形的一条边、BD 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）由抛物线交点式表达式得：22(2)(4)(28)28y a x x a x x ax ax a =+-=--=--，即86a -=，解得：34a =-，故抛物线的表达式为：233642y x x =-++；（2）点(0,6)C ，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC 的表达式为：362y x =-+，如图所示，过点D 作y 轴的平行线交直线BC 与点H ，设点233(,6)42D m m m -++，则点3(,6)2H m m -+ 22133332(66)324224BDC S HB OB m m m m m ∆=⨯=-+++-=-+，3319624422ACO S ∆=⨯⨯⨯=， 即：239342m m -+=，解得：1m =或3（舍去1)， 故3m =；（3）当3m =时，点15(3,)4D ，①当BD 是平行四边形的一条边时， 如图所示：M 、N 分别有三个点，设点233(,6)42N n n n -++ 则点N 的纵坐标为绝对值为154， 即23315|6|424n n -++=，解得：1n =-或3（舍去）或1故点(N N '、)N ''的坐标为15(1,)4-或(1+15)4-或(115)4-，当点15(1,)4N -时，由图象可得：点(0,0)M ，当N '的坐标为(1+，15)4-，由中点坐标公式得：点M '，0)，同理可得：点M ''坐标为(，0)，故点M 坐标为：(0,0)或，0)或(0)； ②当BD 是平行四边形的对角线时， 点B 、D 的坐标分别为(4,0)、15(3,)4设点(,0)M m ，点(,)N s t ，由中点坐标公式得：4315004m st +=+⎧⎪⎨+=+⎪⎩，而233642t s s =-++，解得：154t =，1s =-，8m =，故点M 坐标为(8,0)；故点M 的坐标为：(0,0)或，0)或(0)或(8,0)．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等，其中（3）， 要主要分类求解，避免遗漏．6．（2019•呼和浩特）已知二次函数2y ax bx c =-+且a b =，若一次函数4y kx =+与二次函数的图象交于点(2,0)A ．（1）写出一次函数的解析式，并求出二次函数与x 轴交点坐标；（2）当a c >时，求证：直线4y kx =+与抛物线2y ax bx c =-+一定还有另一个异于点A 的交点；（3）当3c a c <+…时，求出直线4y kx =+与抛物线2y ax bx c =-+的另一个交点B 的坐标；记抛物线顶点为M ，抛物线对称轴与直线4y kx =+的交点为N ，设259AMN BMN S S S ∆∆=-，写出S 关于a 的函数，并判断S 是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由． 【分析】（1）把点A 坐标代入一次函数解析式即求得k 的值；把点A 坐标代入二次函数解析式，且把a b =代入，求得2c a =-，所有二次函数解析式为22y ax ax a =--，令0y =即求得与x 轴交点的坐标． （2）由（1）得直线解析式为24y x =-+，抛物线解析式为22y ax ax a =--，两方程联立消去y 后，得到关于x 的一元二次方程，求得其△2(32)a =+．由于a c >，2c a =-，求得0a >，故△2(32)0a =+>，方程有两个不相等实数根，即直线与抛物线除了点A 还有另一个交点．（3）由3c a c <+…和2c a =-求得01a <…，故抛物线开口向上，可画出抛物线与直线的大致图象．联立直线与抛物线解方程即求得点B 坐标（用a 表示）．将抛物线解析式配方求得顶点M 和对称轴，求抛物线对称轴与直线交点N 的坐标，点N 纵坐标减去点M 纵坐标得MN 的长，进而能用含a 的式子表示AMN S ∆与BMN S ∆，代入即写出S 关于a 的函数关系式．由01a <…得到当1a =时，S 能有最大值，并能求出最大值．【解答】解：（1）把点(2,0)A 代入4y kx =+得：240k +=2k ∴=-∴一次函数的解析式为24y x =-+二次函数2y ax bx c =-+的图象过点(2,0)A ，且a b =420a a c ∴-+=解得：2c a =-∴二次函数解析式为22(0)y ax ax a a =--≠。
中考数学压轴题专项训练十套(含答案)
做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题23.（11分）如图，在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A(1，1)，B(3，1)．动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过点P作PQ⊥OA，垂足为Q．设点P移动的时间为t秒（0<t<4），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟 日 期：_____月_____日三、解答题23. （11分）如图，抛物线22++=bx ax y 与x 轴交于A (-1，0)，B (4，0)两点，与y 轴交于点C ，与过点C 且平行于x 轴的直线交于另一点D ，点P 是抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式及点D 的坐标．（2）点E 在x 轴上，若以A ，E ，D ，P 为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P 的坐标．（3）过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ．若将△CPQ 沿CP 翻折，点Q 的对应点为Q ′，是否存在点P ，使点Q ′恰好在x 轴上？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．备用图做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题23.（11分）如图，已知直线112y x=-+与坐标轴交于A，B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线的另一个交点为E．（1）请直接写出C，D两点的坐标，并求出抛物线的解析式；（2个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止，设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积．备用图做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题23.（11分）如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A(-3，0)，点B(1，0)，交y轴于点E(0，-3)．点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行．直线y=-x+m过点C，交y轴于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线，交直线CD于点H，交抛物线于点G，求线段HG长度的最大值；（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．备用图做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟 日 期：_____月_____日三、解答题23. （11分）如图，在平面直角坐标系中，直线3342y x =-与抛物线214y x bx c =-++交于A ，B 两点，点A 在x 轴上，点B 的横坐标为-8．（1）求抛物线的解析式．（2）点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点（不与点A ，B 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为C ，交直线AB 于点D ，作PE ⊥AB 于点E ． ①设△PDE 的周长为l ，点P 的横坐标为x ，求l 关于x 的函数关系式，并求出l 的最大值．②连接PA ，以PA 为边作图示一侧的正方形APFG ．随着点P 的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F 或G 恰好落在y 轴上时，直接写出对应的点P 的坐标．备用图做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟 日 期：_____月_____日三、解答题23. （11分）如图1，点A 为抛物线C 1：2122y x =-的顶点，点B 的坐标为(1，0)，直线AB 交抛物线C 1于另一点C ．（1）求点C 的坐标；（2）如图1，平行于y 轴的直线x =3交直线AB 于点D ，交抛物线C 1于点E ，平行于y 轴的直线x =a 交直线AB 于点F ，交抛物线C 1于点G ，若FG :DE =4:3，求a 的值；（3）如图2，将抛物线C 1向下平移m （m >0）个单位得到抛物线C 2，且抛物线C 2的顶点为P ，交x 轴负半轴于点M ，交射线AB 于点N ，NQ ⊥x 轴于点Q ，当NP 平分∠MNQ 时，求m 的值．图1 图2做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题23.（11分）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A(0，，点B在x轴正半轴上，且∠ABO=30°．动点P在线段AB上，从点A向点B个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒．在x轴上取两点M，N作等边三角形PMN．（1）求直线AB的解析式；（2）求等边三角形PMN的边长（用含有t的代数式表示），并求出当等边三角形PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值；（3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上．设等边三角形PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2时S与t的函数关系式，并求出S的最大值．图2图1做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题23.（11分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为( 2，2)，点B的坐标为(6，6)，抛物线经过A，O，B三点．连接OA，OB，AB，线段AB交y 轴于点E．（1）求点E的坐标；（2）求抛物线的函数解析式；（3）点F为线段OB上的一个动点（不与点O，B重合），直线EF与抛物线交于M，N两点（点N在y轴右侧），连接ON，BN，当点F在线段OB 上运动时，求△BON面积的最大值，并求出此时点N的坐标；（4）连接AN，当△BON面积最大时，在坐标平面内求使得△BOP与△OAN 相似（点B，O，P分别与点O，A，N对应）的点P的坐标．做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题23.（11分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B，C的坐标分别为( 1，0)，(5，0)，(0，2)．（1）求过A，B，C三点的抛物线解析式．（2）点P从点A出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向点B移动，连接PC并延长到点E，使CE=PC，将线段PE绕点P顺时针旋转90°得到线段PF，连接FB．设点P运动的时间为t（0≤t≤6）秒，△PBF的面积为S．①求S与t的函数关系式；②当t为何值时，△PBF的面积最大？最大面积是多少？（3）点P在移动的过程中，△PBF能否成为直角三角形？若能，直接写出点F的坐标；若不能，请说明理由．备用图做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题23.（11分）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是(-4，0)，点B的坐标是(0，b)（b>0）．P是直线AB上的一个动点，作PC ⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P′（点P′不在y轴上），连接PP′，P′A，P′C．设点P的横坐标为a．（1）当b=3时，①求直线AB的解析式；②若点P′的坐标是(-1，m)，求m的值．（2）若点P在第一象限，记直线AB与P′C的交点为D．当P′D:DC=1:3时，求a的值．（3）是否同时存在a，b，使△P′CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由．23．（1）21433y x x =-+； （2）22102412311143422tt S t t t t t ⎧<⎪⎪=-<⎨⎪⎪-+-<<⎩≤≤（）（）（）； （3）存在，t =1或2．中考数学压轴题专项训练（二）参考答案23．（1）213222y x x =-++，(3 2)，D ； （2）123(0 2) 2) 2)，，，P P P --； （3）存在，点P的坐标为 (或．中考数学压轴题专项训练（三）参考答案中考数学压轴题专项训练（四）参考答案中考数学压轴题专项训练（六）参考答案中考数学压轴题专项训练（七）参考答案中考数学压轴题专项训练（八）参考答案中考数学压轴题专项训练（十）参考答案。
中考专题】2019年 中考数学压轴题分类练习(含答案)
中考专题】2019年中考数学压轴题分类练习(含答案)2019年中考数学压轴题分类练类型一：线段和最小值问题1.如图，抛物线$y=ax^2-5ax+c$与坐标轴分别交于$A$、$C$、$E$三点，其中$A(-3,0)$，$C(0,4)$，点$B$在$x$轴上，$AC=BC$，过点$B$作$BD\perp x$轴交抛物线于$D$，点$M$，$N$分别是线段$CO$，$BC$上的动点，且$CM=BN$，连接$MN$，$AM$，$AN$。
1) 求抛物线的解析式并求$D$点坐标；2) 当$\triangle CMN$是直角三角形时，求点$M$的坐标；3) 试求出$AM+AN$的最小值。
2.如图，已知抛物线$y=0.5x^2-1.5x-2$图象与$x$轴相交于$A$，$B$两点（点$A$在点$B$的左侧），若$C(m,1-m)$是抛物线上位于第四象限内的点，$D$是线段$AB$上的一个动点（不与$A$，$B$重合），过点$D$分别作$DE\parallel BC$交$AC$于$E$，$DF\parallel AC$交$BC$于$F$。
1) 求点$A$和点$B$的坐标；2) 求证：四边形$DECF$是矩形；3) 连接$EF$，线段$EF$的长是否存在最小值？若存在，求出$EF$的最小值；若不存在，请说明理由。
3.如图，已知抛物线$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$的顶点坐标为$(4,-1)$，且与$y$轴交于点$C(0,2)$，与$x$轴交于$A$，$B$两点（点$A$在点$B$的左边）。
1) 求抛物线的解析式及$A$、$B$两点的坐标；2) 在(1)中抛物线的对称轴$l$上是否存在一点$P$，使$AP+CP$的值最小？若存在，求$AP+CP$的最小值，若不存在，请说明理由；3) 以$AB$为直径的$\odot M$相切于点$E$，$CE$交$x$轴于点$D$，求直线$CE$的解析式。
4.如图1，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴分别交于$A$、$B$两点，与$y$轴交于点$C$。
2019年 中考数学压轴题分类练习(含答案)
2019年中考数学压轴题分类练习类型一线段和最小值问题1.如图，抛物线y=ax2-5ax+c与坐标轴分别交于A、C、E三点，其中A(-3，0),C(0，4)，点B 在x轴上，AC=BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN.（1）求抛物线的解析式并求D点坐标；（2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；（3）试求出AM+AN的最小值.2.如图，已知抛物线y=0.5x2﹣1.5x﹣2图象与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧）．若C（m，1﹣m）是抛物线上位于第四象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），过点D分别作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F．（1）求点A和点B的坐标；（2）求证：四边形DECF是矩形；（3）连接EF，线段EF的长是否存在最小值？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由．3.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(4,-),且与y轴交于点C(0,2),与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边)．（1）求抛物线的解析式及A、B两点的坐标；（2）在(1)中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在,求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；（3）以AB为直径的⊙M相切于点E,CE交x轴于点D,求直线CE的解析式．4.如图1，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C．若tan∠ABC=3，一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为﹣8、2．（1）求二次函数的解析式；（2）直线l绕点A以AB为起始位置顺时针旋转到AC位置停止，l与线段BC交于点D，P是AD 的中点．①求点P的运动路程；②如图2，过点D作DE垂直x轴于点E，作DF⊥AC所在直线于点F，连结PE、PF，在l运动过程中，∠EPF的大小是否改变？请说明理由；（3）在（2）的条件下，连结EF，求△PEF周长的最小值．5.如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．（1）求AD的长及抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？（3）在抛物线的对称轴上有一点M，使MD+ME的值最小，试求出点M的坐标，并求MD+ME的最小值．类型二动点有关的面积问题6.如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（2，0），与y轴相交于点C.（1）求二次函数的解析式；（2）若点E是第一象限的抛物线上的一个动点，当四边形ABEC的面积最大时，求点E的坐标，并求出四边形ABEC的最大面积；（3）若点M在抛物线上，且在y轴的右侧.⊙M与y轴相切，切点为D.以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出点M的坐标.7.如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点.抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点.（1）求抛物线的表达式；（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值.8.已知抛物线L的解析式为y=ax2﹣11ax+24a（a＜0），如图1抛物线L与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线L上另有一点A在第一象限内，且∠BAC=90°．（1）求点B、点C的坐标；（2）连接OA，若OA=AC．①求此时抛物线的解析式；②如图2，将抛物线L沿x轴翻折后得抛物线L′，点M为抛物线LA、C两点之间一动点，且点M的横坐标为m，过动点M作x轴的垂线h与抛物线L′交于点M′．设四边形AMCM′的面积为S．试确定S与m之N的函数关系式，并求出当m为何值时．S有最大值，最大值为多少？9.如图1，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4．（1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标；（2）如图2，若AE上有一动点P（不与A，E重合）自A点沿AE方向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒（0＜t＜5），过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE平行线交DE于点N．求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式；当t取何值时，s有最大值，最大值是多少？（3）在（2）的条件下，当t为何值时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标？10.如图，关于y=﹣x2+bx+c的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，点E在x轴上．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）在图中求一点G，使以G、A、E、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点G的坐标；（3）在抛物线A、C两点之间有一点F，使△FAC的面积最大，求该点坐标；（4）直线DE上是否存在点P到直线AD的距离与到轴的距离相等？若存在，请求出点P，若不存在，请说明理由．类型二动点有关的相似问题11.已知，在平行四边形OABC中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°．动点P从0点出发沿射线OA方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q从A点出发沿射线AB方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时间为t秒．（1）求直线AC的解析式；（2）求经过0，A，B三点的抛物线的解析式；（3）试求出当t为何值时，△OAC与△PAQ相似？（4）是否存在某一时刻，使△PAQ为等腰三角形？若能，请直接写出t的所有可能的值；若不能，请说明理由．12.如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（0，4），B（3，0）两点，与x轴负半轴交于点C，连接AC、AB．（1）求该抛物线的解析式；（2）D、E分别为AC、AB的中点，连接DE，P为DE上的动点，PQ⊥BC，垂足为Q，QN⊥AB，垂足为N，连接PN．①当△PQN与△ABC相似时，求点P的坐标；②是否存在点P，使得PQ=NQ，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．14.如图，抛物线y=﹣0.5x2﹣1.5x+（6﹣4k）（其中k为正整数）与x轴相交于两个不同的点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，连结AC、BC．（1）求k的值；（2）如图①，设点D是线段AC上的一动点，作DE⊥x轴于点F，交抛物线于点E，求线段DE长度的最大值；（3）如图②，抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．15.如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连结AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A(3，0)，D(-1，0)，E(0，3)．(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标；(2)求证：CB是△ABE外接圆的切线；(3)试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接(4)设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(0＜t≤3)时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s 与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围.参考答案1.解：2.解：（1）当y=0时，0.5x2﹣1.5x﹣2=0，解方程，得 x=﹣1，x2=4．1∵点A在点B的左侧，∴点A、B的坐标分别是（﹣1，0），（4，0）；（2）证明：把C（m，1﹣m）代入y=0.5x2﹣1.5x﹣2得0.5m2﹣1.5m﹣2=1﹣m，解方程，得m=3或m=﹣2．∵点C位于第四象限，∴m＞0，1﹣m＜0，即m＞1，∴m=﹣2舍去，∴m=3，∴点C的坐标为（3，﹣2）．过点C作CH⊥AB于H，则∠AHC=∠BHC=90°．∴AH:CH=CH:BH=2．又∵∠AHC=∠CHB=90°，∴△AHC∽△CHB，∴∠ACH=∠CBH．∵∠CBH+∠BCH=90°，∴∠ACH+∠BCH=90°，∴∠ACB=90°，∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DECF是平行四边形，∴平行四边形DECF是矩形；（3）存在．理由如下：连接CD．∵平行四边形DECF是矩形，∴EF=CD．当CD⊥AB时，CD的值最小．∵C（3，2），∴DC的最小值是2，∴EF的最小值是2．3.4.5.解：（1）∵四边形ABCO为矩形，∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．由题意，△BDC≌△EDC．∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD．由勾股定理易得EO=6．∴AE=10﹣6=4，设AD=x，则BD=ED=8﹣x，由勾股定理，得x2+42=（8﹣x）2，解得，x=3，∴AD=3．∵抛物线y=ax2+bx+c过点D（3，10），C（8，0），O（0，0）∴，解得∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x．（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，∴∠DEA=∠OCE，由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．而CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t．当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，∴=，即=，解得：t=．当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，∴=，即=，解得：t=．∴当t=或时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似．（3）如图所示：作点D（3，10）关于对称轴x=4的对称点D1（5，10），连接D1E交对称轴x=4于点M，此时MD+ME的值最小，设直线D1E的解析式为：y=kx+b（k≠0），将E（0，6），D1（5，10）代入得：，解得：，故直线D1E的解析式为：y=x+6（0≤x≤5），令x=4，解得：y=，∴M（4，），此时，MD+ME=ME+MD1=D1E==．6.解：（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0），B（2，0），∴，∴，∴二次函数的解析式为y=﹣x2+x+2.（2）如图1.设 E（a，b），且a＞0，b＞0.∵A（﹣1，0），B（2，0），∴OA=1，OB=2，OC=2.则S四边形ABEC=×1×2+（2+b）•a+（2﹣a）•b=1+a+b，∵点 E（a，b）是第一象限的抛物线上的一个动点，∴b=﹣a2+a+2，∴S四边形ABEC=﹣a2+2a+3=﹣（a﹣1）2+4，当a=1时，b=2，∴当四边形ABEC的面积最大时，点E的坐标为（1，2），且四边形ABEC的最大面积为4. （3）点M的坐标为（，），（，），（3，﹣4），理由如下：如图2设M（m，n），且m＞0.∵点M在二次函数的图象上，∴n=﹣m2+m+2.∵⊙M与y轴相切，切点为D，∴∠MDC=90°.∵以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，∴==，或==2.①当n＞2时，=或=2，解得 m1=0（舍去），m2=，或m3=0（舍去），m4=﹣1（舍去）.②同理可得，当n＜2时，m1=0（舍去），m2=，或m3=0（舍去），m4=3.综上，满足条件的点M的坐标为（，），（，），（3，﹣4）.7.解：（1）由题意，可得C（1，3），D（3，1）.∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y=ax2+bx.∴，解得，∴抛物线的表达式为：y=﹣x2+x.（2）存在.设直线OD解析式为y=kx，将D（3，1）代入，求得k=，∴直线OD解析式为y=x.设点M的横坐标为x，则M（x， x），N（x，﹣ x2+x），∴MN=|y M﹣y N|=|x﹣（﹣x2+x）|=|x2﹣4x|.由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3.∴|x2﹣4x|=3.若x2﹣4x=3，整理得：4x2﹣12x﹣9=0，解得：x=或x=；若x2﹣4x=﹣3，整理得：4x2﹣12x+9=0，解得：x=.∴存在满足条件的点M，点M的横坐标为：或或. （3）∵C（1，3），D（3，1）∴易得直线OC的解析式为y=3x，直线OD的解析式为y=x.如解答图所示，设平移中的三角形为△A′O′C′，点C′在线段CD上.设O′C′与x轴交于点E，与直线OD交于点P；设A′C′与x轴交于点F，与直线OD交于点Q.设水平方向的平移距离为t（0≤t＜2），则图中AF=t，F（1+t，0），Q（1+t， +t），C′（1+t，3﹣t）.设直线O′C′的解析式为y=3x+b，将C′（1+t，3﹣t）代入得：b=﹣4t，∴直线O′C′的解析式为y=3x﹣4t.∴E（t，0）.联立y=3x﹣4t与y=x，解得x=t，∴P（t， t）.过点P作PG⊥x轴于点G，则PG=t.∴S=S△OFQ﹣S△OEP=OF•FQ﹣OE•PG=（1+t）（+t）﹣•t•t=﹣（t﹣1）2+当t=1时，S有最大值为.∴S的最大值为.8.解：（1）当y=0时，ax2﹣11ax+24a=0，解得x1=3，x3=8，而点B在点C的左侧，所以B（3，0），C（8，0）；（2）①作AD⊥BC于D，如图1，∵AO=AC，∴OD=CD=OC=4，∴BD=OD﹣OB=4﹣3=1，∵∠BAC=90°，∴∠ABD+∠ACB=90°，而∠ABD+∠BAD=90°，∴∠BAD=∠ACB，∴Rt△ABD∽Rt△CAD，把A （4，2）代入y=ax 2﹣11ax+24a 得16a ﹣44a+24a=2，解得a=﹣，∴抛物线解析式为y=﹣x 2+x ﹣12；②作AD ⊥BC 于D ，如图2，设M （m ，﹣m 2+m ﹣12），∵抛物线L 沿x 轴翻折后得抛物线L ′，且过点M 作x 轴的垂线h 与抛物线L ′交于点M ′， ∴M 点和M ′关于x 轴对称，MM ′交x 轴于点E ，∴MM ′=2ME=﹣m 2+11m ﹣24，∴S=S △AMM ′+S △CMM ′=CD •MM ′=•4•（﹣m 2+11m ﹣24）=﹣2m 2+22m ﹣48=﹣2（m ﹣）2+，当x=时，S 有最大值，最大值为．9.解：（1）依题意可知，折痕AD 是四边形OAED 的对称轴，∴在Rt △ABE 中，AE=AO=5，AB=4．BE==3． ∴CE=2．∴E 点坐标为（2，4）．在Rt △DCE 中，DC 2+CE 2=DE 2，又∵DE=OD ．∴（4﹣OD ）2+22=OD 2．解得：OD=．∴D 点坐标为（0，）．（2）如图②∵PM ∥ED ，∴△APM ∽△AED ．∴，又知AP=t ，ED=，AE=5，PM=×=，S 矩形PMNE =PM •PE=×（5﹣t ）=﹣t 2+t ；∴S 四边形PMNE =﹣（t ﹣）2+，又∵0＜＜5．∴当t=时，S 矩形PMNE 有最大值． （3）（i ）若以AE 为等腰三角形的底，则ME=MA （如图①）在Rt △AED 中，ME=MA ，∵PM ⊥AE ，∴P 为AE 的中点，∴t=AP=AE=．又∵PM ∥ED ，∴M 为AD 的中点．过点M 作MF ⊥OA ，垂足为F ，则MF 是△OAD 的中位线，∴MF=OD=，OF=OA=，∴当t=时，（0＜＜5），△AME 为等腰三角形．此时M 点坐标为（，）． （ii ）若以AE 为等腰三角形的腰，则AM=AE=5（如图②）在Rt △AOD 中，AD===．过点M 作MF ⊥OA ，垂足为F ．∵PM ∥ED ，∴△APM ∽△AED ．∴．∴t=AP===2，∴PM=t=．∴MF=MP=，OF=OA ﹣AF=OA ﹣AP=5﹣2，∴当t=2时，（0＜2＜5），此时M 点坐标为（5﹣2，）．综合（i ）（ii ）可知，t=或t=2时，以A ，M ，E 为顶点的三角形为等腰三角形，相应M 点的坐标为（，）或（5﹣2，）．10.解：（1）把A （﹣3，0），C （0，3）代入y=﹣x 2+bx+c 得，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴D（﹣1，4）；（2）抛物线的对称轴为直线x=﹣1，则E（﹣1，0），如图1，∴AE=2，当把C点向右平移2个单位得到G点，则四边形AEGC为平行四边形，此时G（2，3）；当把C点向左平移2个单位得到G′点，则四边形AECG′为平行四边形，此时G（﹣2，3）；由于点C向下平移3个单位，向左平移1个单位得到E点，则点A向下平移3个单位，向左平移1个单位得到G″点，则四边形ACEG″为平行四边形，此时G″（﹣4，﹣3），综上所述，G点坐标为（﹣2，3）或（2，3）或（﹣4，﹣3）；（3）如图2，作FQ∥y轴交AC于Q，设直线AC的解析式为y=mx+n，把A（﹣3，0），C（0，3）代入得，解得，∴直线AC的解析式为y=x+3，设F（x，﹣x2﹣2x+3），则Q（x，x+3），∴FQ=﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）=﹣x2﹣3x，∴S△FAC=•3•FQ=•（﹣x2﹣3x）=﹣x2﹣x=﹣（x+）2+，当x=﹣时，△FAC的面积最大，此时F点坐标为（﹣，）；（4）存在．∵D（﹣1，4），A（﹣3，0），E（﹣1，0），∴AD==2，设P（﹣1，t），则PE=PH=|t|，DP=4﹣t，∵∠HDP=∠EDA，∴Rt△DHP∽Rt△DEA，∴PH：AE=DP：DA，即|t|：2=（4﹣t）：2，当t＞0时，t：2=（4﹣t）：2，解得t=﹣1；当t＜0时，﹣t：2=（4﹣t）：2，解得t=﹣﹣1，综上所述，满足条件的P点坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣﹣1）．11.解：（1）过C点作x轴的垂线，垂足为D点，在平行四边形OABC中，由OA=5，AB=4，∠OCA=90°，得AC=3，由面积法，得CD×OA=OC×AC，解得CD==，在Rt△OCD中，由勾股定理得OD==，∴C（，），又∵A（5，0），∴直线AC解析式为：y=﹣x+；（2）∵C（，），∴B（，），∵O（0，0），A（5，0），设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，代入得，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x．（3）当0≤t≤2.5时，P在OA上，∠OAQ≠90°，故此时△OAC与△PAQ不可能相似．当t＞2.5时，①若∠APQ=90°，则△AQP∽△OAC，故==，∴=，∴t=，∵t＞2.5，∴t=符合条件．②若∠AQP=90°，则△APQ∽△OAC，故==，∴=，∴t=，∵t＞2.5，∴t=符合条件．综上可知，当t=或时，△OAC与△APQ相似．（4）有四种情况：①点P在A左侧：AP=AQ时，t=，②点P在A右侧：AP=AQ时，t=5，③点P在A右侧：QA=QP时，t=，④点P在A右侧：PA=PQ时，t=．12.解：（1）将A（0，4），B（3，0）代入抛物线的解析式得：，解得；b=，c=4．∴抛物线的解析式为y=﹣+x+4．（2）①如图1所示：∵令y=0，解得x1=﹣1，x2=3，∴C（﹣1，0）．∴BC=4，AB==5．∵D、E分别为AC、AB的中点，∴DE∥BC．∴=1．∴PQ=DO=2．∵PQ⊥BC，QN⊥AB，∴∠PQN+∠NQB=90°，∠NQB+∠QBN=90°．∴∠PQN=∠QBN．∴当或时，△PQN与△ABC相似．∵当时，，解得；QN=．∵=，∴QB=QN=×=2．∴OQ=3﹣2=1．∴点P的坐标为（1，2）．当时，，解得；QN=2.5．∵=，∴QB=QN=×=．∴OB﹣BQ=﹣．∴点P的坐标为（﹣，2）．综上所述点P的坐标为（1，2）或（﹣，2）．②如图2所示：∵PQ=QN，PQ=2，∴QN=2．∵QN⊥AB，∴∠QNB=90°．∵由（2）可知OA=4，AB=5，∴sin∠ABO=．∴，即，解得；QB=．∴OQ=OB﹣QB=3﹣=．∴P（，2）．13.解：14.15. (1)解：由题意，设抛物线解析式为y=a(x－3)(x＋1)．将E(0，3)代入上式，解得：a=－1．∴y=－x2＋2x＋3．则点B(1，4)．(2)如图6，证明：过点B作BM⊥y于点M，则M(0，4)．在Rt△AOE中，OA=OE=3，∴∠1=∠2=45°，AE==3．在Rt△EMB中，EM=OM－OE=1=BM，∴∠MEB=∠MBE=45°，BE==．∴∠BEA=180°-∠1-∠MEB=90°．∴AB是△ABE外接圆的直径．在Rt△ABE中，tan∠BAE===tan∠CBE，∴∠BAE=∠CBE．在Rt△ABE中，∠BAE＋∠3=90°，∴∠CBE＋∠3=90°．∴∠CBA=90°，即CB⊥AB．∴CB是△ABE外接圆的切线(3)P1(0，0)，P2(9，0)，P3(0，－)．(4)解：设直线AB的解析式为y=kx＋b．将A(3，0)，B(1，4)代入，得解得∴y=－2x＋6．过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x=1.5，∴F(1.5，3)．情况一：如图7，当0＜t≤1.5时，设△AOE平移到△DNM的位置，MD交AB于点H，MN交AE于点G．则ON=AD=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．由△AHD∽△FHM，得．即．解得HK=2t．∴S阴=S△MND－S△GNA－S△HAD=0.5×3×3－0.5 (3－t)2－0.5t·2t=－1.5t2＋3t．情况二：如图，当1.5＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V．由△IQA∽△IPF，得．即．解得IQ=2(3－t)．∴S阴=S△IQA－S△VQA=0.5×(3－t)×2(3－t)－0.5 (3－t)2=0.5 (3－t)2=0.5t2－3t＋4.5．综上所述：s=。
2019年 中考数学压轴题分类练习(含答案)
2019年中考数学压轴题分类练习类型一线段和最小值问题1.如图，抛物线y=ax2-5ax+c与坐标轴分别交于A、C、E三点，其中A(-3，0),C(0，4)，点B 在x轴上，AC=BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN.（1）求抛物线的解析式并求D点坐标；（2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；（3）试求出AM+AN的最小值.2.如图，已知抛物线y=0.5x2﹣1.5x﹣2图象与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧）．若C（m，1﹣m）是抛物线上位于第四象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），过点D分别作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F．（1）求点A和点B的坐标；（2）求证：四边形DECF是矩形；（3）连接EF，线段EF的长是否存在最小值？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由．3.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(4,-),且与y轴交于点C(0,2),与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边)．（1）求抛物线的解析式及A、B两点的坐标；（2）在(1)中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在,求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；（3）以AB为直径的⊙M相切于点E,CE交x轴于点D,求直线CE的解析式．4.如图1，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C．若tan∠ABC=3，一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为﹣8、2．（1）求二次函数的解析式；（2）直线l绕点A以AB为起始位置顺时针旋转到AC位置停止，l与线段BC交于点D，P是AD的中点．①求点P的运动路程；②如图2，过点D作DE垂直x轴于点E，作DF⊥AC所在直线于点F，连结PE、PF，在l运动过程中，∠EPF的大小是否改变？请说明理由；（3）在（2）的条件下，连结EF，求△PEF周长的最小值．5.如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．（1）求AD的长及抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？（3）在抛物线的对称轴上有一点M，使MD+ME的值最小，试求出点M的坐标，并求MD+ME的最小值．类型二动点有关的面积问题6.如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（2，0），与y轴相交于点C.（1）求二次函数的解析式；（2）若点E是第一象限的抛物线上的一个动点，当四边形ABEC的面积最大时，求点E的坐标，并求出四边形ABEC的最大面积；（3）若点M在抛物线上，且在y轴的右侧.⊙M与y轴相切，切点为D.以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出点M的坐标.7.如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点.抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点.（1）求抛物线的表达式；（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值.8.已知抛物线L的解析式为y=ax2﹣11ax+24a（a＜0），如图1抛物线L与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线L上另有一点A在第一象限内，且∠BAC=90°．（1）求点B、点C的坐标；（2）连接OA，若OA=AC．①求此时抛物线的解析式；②如图2，将抛物线L沿x轴翻折后得抛物线L′，点M为抛物线LA、C两点之间一动点，且点M的横坐标为m，过动点M作x轴的垂线h与抛物线L′交于点M′．设四边形AMCM′的面积为S．试确定S与m之N的函数关系式，并求出当m为何值时．S有最大值，最大值为多少？9.如图1，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4．（1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标；（2）如图2，若AE上有一动点P（不与A，E重合）自A点沿AE方向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒（0＜t＜5），过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE平行线交DE于点N．求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式；当t取何值时，s有最大值，最大值是多少？（3）在（2）的条件下，当t为何值时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标？10.如图，关于y=﹣x2+bx+c的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，点E在x轴上．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）在图中求一点G，使以G、A、E、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点G的坐标；（3）在抛物线A、C两点之间有一点F，使△FAC的面积最大，求该点坐标；（4）直线DE上是否存在点P到直线AD的距离与到轴的距离相等？若存在，请求出点P，若不存在，请说明理由．类型二动点有关的相似问题11.已知，在平行四边形OABC中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°．动点P从0点出发沿射线OA方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q从A点出发沿射线A B方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时间为t秒．（1）求直线AC的解析式；（2）求经过0，A，B三点的抛物线的解析式；（3）试求出当t为何值时，△OAC与△PAQ相似？（4）是否存在某一时刻，使△PAQ为等腰三角形？若能，请直接写出t的所有可能的值；若不能，请说明理由．12.如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（0，4），B（3，0）两点，与x轴负半轴交于点C，连接AC、AB．（1）求该抛物线的解析式；（2）D、E分别为AC、AB的中点，连接DE，P为DE上的动点，PQ⊥BC，垂足为Q，QN⊥AB，垂足为N，连接PN．①当△PQN与△ABC相似时，求点P的坐标；②是否存在点P，使得PQ=NQ，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．14.如图，抛物线y=﹣0.5x2﹣1.5x+（6﹣4k）其中k为正整数）与x轴相交于两个不同的点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，连结AC、BC．（1）求k的值；（2）如图①，设点D是线段AC上的一动点，作DE⊥x轴于点F，交抛物线于点E，求线段DE长度的最大值；（3）如图②，抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．15.如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连结AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A(3，0)，D(-1，0)，E(0，3)．(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标；(2)求证：CB是△ABE外接圆的切线；(3)试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(4)设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(0＜t≤3)时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s 与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围.参考答案1.解：2.解：（1）当y=0时，0.5x2﹣1.5x﹣2=0，解方程，得x=﹣1，x=4．12∵点A在点B的左侧，∴点A、B的坐标分别是（﹣1，0），（4，0）；（2）证明：把C（m，1﹣m）代入y=0.5x2﹣1.5x﹣2得0.5m2﹣1.5m﹣2=1﹣m，解方程，得m=3或m=﹣2．∵点C位于第四象限，∴m＞0，1﹣m＜0，即m＞1，∴m=﹣2舍去，∴m=3，∴点C的坐标为（3，﹣2）．过点C作CH⊥AB于H，则∠AHC=∠BHC=90°．由A（﹣1，0），B（4，0），C（3，﹣2）得到：AH=4，CH=2，BH=1，AB=5，∴AH:CH=CH:BH=2．又∵∠AHC=∠CHB=90°，∴△AHC∽△CHB，∴∠ACH=∠CBH．∵∠CBH+∠BCH=90°，∴∠ACH+∠BCH=90°，∴∠ACB=90°，∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DECF是平行四边形，∴平行四边形DECF是矩形；（3）存在．理由如下：连接CD．∵平行四边形DECF是矩形，∴EF=CD．当CD⊥AB时，CD的值最小．∵C（3，2），∴DC的最小值是2，∴EF的最小值是2．3.4.或5.解：（1）∵四边形ABCO 为矩形，∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．由题意，△BDC≌△EDC．∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD ． 由勾股定理易得EO=6．∴AE=10﹣6=4，设AD=x ，则BD=ED=8﹣x ，由勾股定理，得x 2+42=（8﹣x ）2，解得，x=3，∴AD=3． ∵抛物线y=ax 2+bx+c 过点D （3，10），C （8，0），O （0，0）∴ ，解得 ∴抛物线的解析式为：y=﹣ x 2+ x ．（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，∴∠DEA=∠OCE， 由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．而CQ=t ，EP=2t ，∴PC=10﹣2t ．当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，∴ =，即 = ，解得：t= ．当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，∴= ，即 = ，解得：t= ．∴当t=时，以P 、Q 、C 为顶点的三角形与△ADE 相似．（3）如图所示：作点D （3，10）关于对称轴x=4 的对称点D 1（5，10），连接D 1E 交对称轴x=4 于 点M ，此时MD+ME 的值最小，设直线D 1E 的解析式为：y=kx+b （k≠0），将E （0，6），D 1（5，10）代入得： ，解得： ，故直线D 1E 的解析式为：y= x+6（0≤x≤5），令x=4，解得：y=此时，MD+ME=ME+MD 1=D 1E==．，∴M（4， ），6.解：（1）∵二次函数 y=﹣x 2+bx+c 的图象与 x 轴相交于点 A （﹣1，0），B （2，0），∴，∴ ，∴二次函数的解析式为 y=﹣x 2+x+2.（2）如图 1.∵二次函数的解析式为 y=﹣x 2+x+2 与 y 轴相交于点 C ，∴C（0，2）.设E（a，b），且a＞0，b＞0.∵A（﹣1，0），B（2，0），∴OA=1，OB=2，OC=2.则S四边形ABEC=×1×2+（2+b）•a+（2﹣a）•b=1+a+b，∵点E（a，b）是第一象限的抛物线上的一个动点，∴b=﹣a2+a+2，∴S四边形ABEC=﹣a2+2a+3=﹣（a﹣1）2+4，当a=1时，b=2，∴当四边形ABEC的面积最大时，点E的坐标为（1，2），且四边形ABEC的最大面积为4.（3）点M的坐标为（，），（，），（3，﹣4），理由如下：如图2设M（m，n），且m＞0.∵点M在二次函数的图象上，∴n=﹣m2+m+2.∵⊙M与y轴相切，切点为D，∴∠MDC=90°.∵以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，∴==，或==2.①当n＞2时，=或=2，解得m1=0（舍去），m2=，或m3=0（舍去），m4=﹣1（舍去）.②同理可得，当n＜2时，m1=0（舍去），m2=，或m3=0（舍去），m4=3.综上，满足条件的点M的坐标为（，），（，），（3，﹣4）.7.解：（1）由题意，可得C（1，3），D（3，1）.∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y=ax2+bx.∴，解得，∴抛物线的表达式为：y=﹣x2+（2）存在.设直线OD解析式为y=kx，将D（3，1）代入，求得k=，∴直线OD解析式为y=x.x.=设点 M 的横坐标为 x ，则 M （x ，∴MN=|y M ﹣y N |=|x ﹣（﹣ x 2+x ），N （x ，﹣x ）|=| x 2+x 2﹣4x|.x ），由题意，可知 MN∥AC，因为以 A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有 MN=AC=3.∴|x 2﹣4x|=3.若x 2﹣4x=3，整理得：4x 2﹣12x ﹣9=0，解得：x=或 x=；若x 2﹣4x=﹣3，整理得：4x 2﹣12x+9=0，解得：x=.∴存在满足条件的点 M ，点 M 的横坐标为：或或（3）∵C（1，3），D （3，1）∴易得直线 OC 的解析式为 y=3x ，直线 OD 的解析式为 y=x.如解答图所示，设平移中的三角形为△A′O′C′，点 C′在线段 CD 上. 设 O′C′与 x 轴交于点 E ，与直线 OD 交于点 P ； 设 A′C′与 x 轴交于点 F ，与直线 OD 交于点 Q. 设水平方向的平移距离为 t （0≤t＜2），则图中 AF=t ，F （1+t ，0），Q （1+t ，+ t ），C′（1+t ，3﹣t ）.设直线 O′C′的解析式为 y=3x+b ，将 C′（1+t ，3﹣t ）代入得：b=﹣4t ，∴直线 O′C′的解析式为 y=3x ﹣4t.∴E（t ，0）.联立 y=3x ﹣4t 与 y=x ，解得 x= t ，∴P（ t ，t ）.过点 P 作 PG⊥x 轴于点 G ，则 PG=t.∴S=SOFQ△﹣S O EP OF•FQ﹣ OE•PG= （1+t ）（ + t ）﹣ •=﹣ （t ﹣1）2+当 t=1 时，S 有最大值为.∴S 的最大值为 .8.解：（1）当 y=0 时，ax 2﹣11ax+24a=0，解得 x 1=3，x 3=8， 而点 B 在点 C 的左侧，所以 B （3，0），C （8，0）；（2）①作 AD⊥BC 于 D ，如图 1，∵AO=AC，∴OD=CD=OC=4，∴BD=OD﹣OB=4﹣3=1，∵∠BAC=90°，∴∠ABD+∠ACB=90°，而∠ABD+∠BAD=90°，∴∠BAD=∠ACB，∴Rt△ABD∽Rt△CAD， ∴BD：AD=AD ：CD ，即 1：AD=AD ：4，解得 AD=2，∴A（4，2），.t• tm2+△+S=．把A（4，2）代入y=ax2﹣11ax+24a得16a﹣44a+24a=2，解得a=﹣，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣12；②作AD⊥BC于D，如图2，设M（m，﹣m﹣12），∵抛物线L沿x轴翻折后得抛物线L′，且过点M作x轴的垂线h与抛物线L′交于点M′，∴M点和M′关于x轴对称，MM′交x轴于点E，∴MM′=2ME=﹣m2+11m﹣24，∴S=SAMM′CMM′CD•MM′=•4•（﹣m2+11m﹣24）=﹣2m2+22m﹣48=﹣2（m﹣）2+，当x=时，S有最大值，最大值为．9.解：（1）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，∴在Rt△ABE中，AE=AO=5，AB=4．BE=∴CE=2．∴E点坐标为（2，4）．在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，=3．又∵DE=OD．∴（4﹣OD）2+22=OD2．解得：OD=．∴D点坐标为（0，（2）如图②∵PM∥ED，∴△APM∽△AED．∴，又知AP=t，ED=，AE=5，PM=×=，又∵PE=5﹣t．而显然四边形PMNE为矩形．）S 矩形 PMNE =PM•PE= ×（5﹣t ）=﹣ t 2+t ；∴S 四边形 PMNE =﹣（t ﹣ ）2+ ，又∵0＜＜5．∴当 t= 时，S 矩形 PMNE 有最大值．（3）（i ）若以 AE 为等腰三角形的底，则 ME=MA （如图①） 在 Rt△AED 中，ME=MA ，∵PM⊥AE，∴P 为 AE 的中点，∴t=AP=AE= ．又∵PM∥ED，∴M 为 AD 的中点．过点 M 作 MF⊥OA，垂足为 F ，则 MF 是△OAD 的中位线，∴MF=OD= ，OF= OA= ，∴当 t=时，（0＜＜5），△AME 为等腰三角形．此时 M 点坐标为（，）．（ii ）若以 AE 为等腰三角形的腰，则 AM=AE=5（如图②）在 Rt△AOD 中，AD== = ．过点 M 作 MF⊥OA，垂足为 F ．∵PM∥ED，∴△APM∽△AED．∴．∴t=AP=∴MF=MP= ∴当 t=2= =2 ，∴PM= t= ．，OF=OA ﹣AF=OA ﹣AP=5﹣2 ， 时，（0＜2 ＜5），此时 M 点坐标为（5﹣2， ）．综合（i ）（ii ）可知，t= 或 t=2 时，以 A ，M ，E 为顶点的三角形为等腰三角形，相应 M 点的坐标为（，）或（5﹣2， ）．10.解：（1）把 A （﹣3，0），C （0，3）代入 y=﹣x 2+bx+c 得，，解得=∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴D（﹣1，4）；（2）抛物线的对称轴为直线x=﹣1，则E（﹣1，0），如图1，∴AE=2，当把C点向右平移2个单位得到G点，则四边形AEGC为平行四边形，此时G（2，3）；当把C点向左平移2个单位得到G′点，则四边形AECG′为平行四边形，此时G（﹣2，3）；由于点C向下平移3个单位，向左平移1个单位得到E点，则点A向下平移3个单位，向左平移1个单位得到G″点，则四边形ACEG″为平行四边形，此时G″（﹣4，﹣3），综上所述，G点坐标为（﹣2，3）或（2，3）或（﹣4，﹣3）；（3）如图2，作FQ∥y轴交AC于Q，设直线AC的解析式为y=mx+n，把A（﹣3，0），C（0，3）代入得∴直线AC的解析式为y=x+3，设F（x，﹣x2﹣2x+3），则Q（x，x+3），∴FQ=﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）=﹣x2﹣3x，，解得，△∴SFAC•3•FQ=•（﹣x2﹣3x）=﹣x2﹣x=﹣（x+）2+，当x=﹣时，△FAC的面积最大，此时F点坐标为（﹣，）；（4）存在．∵D（﹣1，4），A（﹣3，0），E（﹣1，0），∴AD=设P（﹣1，t），则PE=PH=|t|，DP=4﹣t，∵∠HDP=∠EDA，∴Rt△DHP∽Rt△DEA，∴PH：AE=DP：DA，即|t|：2=（4﹣t）：2，当t＞0时，t：2=（4﹣t）：2，解得t=﹣1；当t＜0时，﹣t：2=（4﹣t）：2，解得t=﹣﹣1，综上所述，满足条件的P点坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣=2，﹣1）．11.解：（1）过C点作x轴的垂线，垂足为D点，在平行四边形OABC中，由OA=5，AB=4，∠OCA=90°，得AC=3，由面积法，得CD×OA=OC×AC，解得CD==，在Rt△OCD中，由勾股定理得OD==，∴C（，），又∵A（5，0），∴直线AC解析式为：y=﹣（2）∵C（，），∴B（，x+；），∵O（0，0），A（5，0），设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，代入得，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x．（3）当0≤t≤2.5时，P在OA上，∠OAQ≠90°，故此时△OAC与△PAQ不可能相似．当t＞2.5时，①若∠APQ=90°，则△AQP∽△OAC，故==，∴=，∴t=，∵t＞2.5，∴t=符合条件．②若∠AQP=90°，则△APQ∽△OAC，故==，∴综上可知，当t==，∴t=或，∵t＞2.5，∴t=时，△OAC与△APQ相似．符合条件．（4）有四种情况：①点P在A左侧：AP=AQ时，t=，②点P在A右侧：AP=AQ时，t=5，③点P在A右侧：QA=QP时，t=④点P在A右侧：PA=PQ时，t=，．12.解：（1）将 A （0，4），B （3，0）代入抛物线的解析式得：，解得；b=，c=4．∴抛物线的解析式为 y=﹣+x+4．（2）①如图 1 所示：∵令 y=0，解得 x 1=﹣1，x 2=3，∴C（﹣1，0）．∴BC=4，AB==5．∵D、E 分别为 AC 、AB 的中点，∴DE∥BC．∴=1．∴PQ=DO=2．∵PQ⊥BC，QN⊥AB，∴∠PQN+∠NQB=90°，∠NQB+∠QBN=90°．∴∠PQN=∠QBN．∴当或时，△PQN 与△ABC 相似．∵当时， ，解得；QN= ．∵=，∴QB=QN=×=2．∴OQ=3﹣2=1．∴点 P 的坐标为（1，2）．当时，，解得；QN=2.5．∵= ，∴QB= QN=×=．∴OB﹣BQ=﹣．∴点 P 的坐标为（﹣，2）．综上所述点 P 的坐标为（1，2）或（﹣，2）．②如图 2 所示：∵PQ=QN，PQ=2，∴QN=2．∵QN⊥AB，∴∠QNB=90°．∵由（2）可知 OA=4，AB=5，∴sin∠ABO=．∴，即 ，解得；QB=．∴OQ=OB﹣QB=3﹣=．∴P（2）．，13.解：14.15. (1)解：由题意，设抛物线解析式为 y=a(x －3)(x ＋1)．将E(0，3)代入上式，解得：a=－1．∴y=－x 2＋2x ＋3．则点B(1，4)．(2)如图 6，证明：过点B 作BM⊥y 于点M ，则M(0，4)．在Rt△AOE 中，OA=OE=3，∴∠1=∠2=45°，AE=∴∠MEB=∠MBE=45°，BE==3△ ．在Rt EMB 中，EM=OM －OE=1=BM ，= ．∴∠BEA=180°-∠1-∠MEB=90°．∴AB 是△ABE 外接圆的直径． 在Rt△ABE 中，tan∠BAE= = =tan∠CBE，∴∠BAE=∠CBE．在Rt△ABE 中，∠BAE＋∠3=90°，∴∠CBE＋∠3=90°．∴∠CBA=90°，即CB⊥AB．∴CB 是△ABE 外接圆的切线(3)P 1(0，0)，P 2(9，0)，P 3(0，－ )．(4)解：设直线AB 的解析式为y=kx ＋b ．将A(3，0)，B(1，4)代入，得 解得∴y=－2x ＋6．过点E 作射线EF∥x 轴交AB 于点F ，当y=3 时，得x=1.5，∴F(1.5，3)．情况一：如图 7，当 0＜t≤1.5 时，设△AOE 平移到△DNM 的位置，MD 交AB 于点H ，MN 交AE 于点G ． 则ON=AD=t ，过点H 作LK⊥x 轴于点K ，交EF 于点L ．由△AHD∽△FHM，得．即 ．解得HK=2t ．∴S 阴△=S MND △－S G NA △－S H AD =0.5×3×3－0.5 (3－t)2－0.5t·2t=－1.5t 2＋3t ． 情况二：如图，当 1.5＜t≤3 时，设△AOE 平移到△PQR 的位置，PQ 交AB 于点I ，交AE 于点V ．由△IQA∽△IPF，得．即 ．解得IQ=2(3－t)．∴S 阴△=S IQA △－S V QA =0.5×(3－t)×2(3－t)－0.5 (3－t)2=0.5 (3－t)2=0.5t 2－3t ＋4.5．综上所述：s=。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题十综合性压轴题姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2018·广东东莞中考)如图，已知顶点为C(0，－3)的抛物线y＝ax2＋b(a≠0)与x轴交于A，B两点，直线y＝x＋m过顶点C和点B.(1)求m的值；(2)求函数y＝ax2＋b(a≠0)的表达式；(3)抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．(2017·贵州黔东南州中考)如图，⊙M的圆心M(－1，2)，⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线l表达式为y＝－12x＋4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D(2，0)和点C(－4，0)．(1)求抛物线的表达式；(2)求证：直线l是⊙M的切线；(3)点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E；PF∥y轴，交直线l于点F.是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小，若存在，请求出此时点P 的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．3．(2017·山东烟台中考)如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC ＝12 cm，BD＝16 cm，动点N从点D出发，沿线段DB以2 cm/s的速度向点B 运动，同时动点M从点B出发，沿线段BA以1 cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止．设运动时间为t(s)(t>0)，以点M为圆心，MB长为半径的⊙M与射线BA，线段BD分别交于点E，F，连结EN.(1)求BF的长(用含有t的代数式表示)，并求出t的取值范围；(2)当t为何值时，线段EN与⊙M相切？(3)若⊙M与线段EN只有一个公共点，求t的取值范围．4．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，B(9，0)和C(0，4)．CD⊥y轴，交抛物线于点D，DE⊥x轴，垂足为E，l是抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．(1)求出该二次函数的表达式以及点D的坐标；(2)若Rt△AOC沿x轴向右平移到其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形的面积；(3)若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度(0<t≤6)得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分的图形面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．5．(2017·湖北宜昌中考)正方形ABCD的边长为1，点O是BC边上的一个动点(与B，C不重合)，以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON＝90°.(1)当MO经过点A时，①请直接填空：ON________(可能，不可能)过D点；(图1仅供分析)②如图2，在ON上截取OE＝OA，过E点作EF垂直于直线BC，垂足为点F，EH⊥CD于H，求证：四边形EFCH为正方形；(2)当OM不过点A时，设OM交边AB于G，且OG＝1.在NO上存在点P，过P点作PK垂直于直线BC，垂足为点K，使得S△POK＝4S△OGB，连结GP，求四边形PKBG 的最大面积．图1 图26．(2017·吉林中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AB＝4 cm.点P从点A出发，以2 cm/s的速度沿边AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB 交折线ACB于点Q，D为PQ中点，以DQ为边向右侧作正方形DEFQ.设正方形DEFQ 与△ABC重叠部分图形的面积是y(cm2)，点P的运动时间为x(s)．(1)当点Q在边AC上时，正方形DEFQ的边长为________cm(用含x的代数式表示)；(2)当点P不与点B重合时，求点F落在边BC上时x的值；(3)当0<x<2时，求y关于x的函数表达式；(4)求出边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围．参考答案1．解：(1)将(0，－3)代入y ＝x ＋m 得m ＝－3. (2)将y ＝0代入y ＝x －3得x ＝3， ∴点B 的坐标为(3，0)，将(0，－3)，(3，0)代入y ＝ax 2＋b 中得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，9a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝－3，∴二次函数的表达式为y ＝13x 2－3.(3)存在．分以下两种情况：①若M 在B 上方，设MC 交x 轴于点D ，则∠ODC＝45°＋15°＝60°， ∴OD＝OC·tan 30°＝ 3.设DC 为y ＝kx －3，代入(3，0)得k ＝3， 联立两个方程可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝13x 2－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝－3，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝33，y 2＝6，∴M 1(33，6)．②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ，则∠OEC＝45°－15°＝30°， ∴OE＝OC·tan 60°＝3 3.设EC 为y ＝kx －3，把(33，0)代入得k ＝33， 联立两个方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x －3，y ＝13x 2－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝－3，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝－2， ∴M 2(3，－2)，综上所述，M 的坐标为(33，6)或(3，－2)．2．解：(1)设抛物线的表达式为y ＝a(x －2)(x ＋4)，将M(－1，2)代入y ＝a(x －2)(x ＋4)得a ＝－29，∴y＝－29(x －2)(x ＋4)，∴化简得y ＝－29(x ＋1)2＋2.(2)如图，连结AM.∵y＝－12x ＋4过点A ，点B ，∴当x ＝0时，y ＝4，即A(0，4)，当y ＝0时，x＝8，即B(8，0)． 又∵M(－1，2)，∴AM＝5，AB ＝80，BM ＝85， ∴AM 2＋AB 2＝BM 2，∴∠MAB＝90°， ∴直线l 是⊙M 的切线．(3)要使△PEF 的面积最小，即要使PF 线段最短． 设F(m ，－12m ＋4)，P(m ，－29(m ＋1)2＋2)，∴PF＝－12m ＋4－[－29(m ＋1)2＋2]＝29(m －18)2＋7132， ∴当m ＝18时，PF 最小＝7132.∵PF∥y 轴，∴∠OAB＝∠EFP. 又∵∠AOB＝∠FEP ，∴△AOB∽△FEP， ∴EF∶EP∶FP＝1∶2∶5， ∴EF＝71325，EP ＝71165，∴S △PEF ＝12EF·EP＝12×71325×71165＝5 0415 120，∴存在点P ，使△PEF 的面积最小，此时P(18，5532)，S △PEF ＝5 0415 120. 3．解：(1)如图，连结MF.∵四边形ABCD 是菱形，∴AB＝AD ，AC⊥BD，OA ＝OC ＝6，OB ＝OD ＝8. 在Rt△AOB 中，AB ＝62＋82＝10. ∵MB＝MF ，AB ＝AD ， ∴∠ABD＝∠ADB＝∠MFB， ∴MF∥AD，∴BM BA ＝BF BD ，∴t 10＝BF16，∴BF＝85t(0<t≤8)．(2)当线段EN 与⊙M 相切时，易知△BEN∽△BOA， ∴BE OB ＝BN AB ，∴2t 8＝16－2t 10，∴t＝329， ∴t＝329s 时，线段EN 与⊙M 相切．(3)由题意可知，当0<t≤329时，⊙M 与线段EN 只有一个公共点．当点N 在⊙M 内部时，也满足条件，当F 与N 重合时85t ＋2t ＝16，解得t ＝409(s)，∴409<t<8时，⊙M 与线段EN 只有一个公共点． 综上所述，满足条件的t 的范围为0<t≤329或409<t<8. 4．解：(1)∵点A(－3，0)，B(9，0)，C(0，4)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋c ＝0，81a ＋9b ＋c ＝0，c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－427，b ＝89，c ＝4，∴二次函数表达式为y ＝－427x 2＋89x ＋4.∵CD 垂直于y 轴，∴C，D 关于抛物线对称轴对称． 设D(x ，4)，∵抛物线对称轴为x ＝－892×（－427）＝3，∴x＋0＝2×3，解得x ＝6，∴D(6，4)．(2)如图，易知平移后A 1落在y 轴上，设A 1F 交CD 于点I ，O 1F 交CD 于点H.当x ＝3时，y ＝－427x 2＋89x ＋4＝163，∴F(3，163)，HF ＝43，O 1F ＝OC ＝4.由平移的性质知，O 1A 1∥x 轴， ∵CD∥x 轴，∴HI∥O 1A 1， ∴△FHI∽△FO 1A 1， ∴S △FHI ∶S△FO 1A 1＝HF 2O 1F 2＝19，∴S 四边形A 1O 1HI ＝89S △AOC ＝89×12×3×4＝163.(3)如图，当0＜t≤3时，C 2O 2交OD 于点H ，O 2(t ，0)，则△A 2O 2C 2与△ODE 重叠部分的图形是△OO 2H. 由(1)知，D(6，4)，设直线OD 的表达式是y ＝kx ， ∴4＝6k ，∴k＝23，∴直线OD 的表达式是y ＝23x.当x ＝t 时，y ＝23t ，即H(t ，23t)．∴S△OO 2H ＝12OO 2·O 2H ＝12t·23t ＝13t 2.如图，当3＜t≤6时，C 2O 2交OD 于点K ，C 2A 2交OD 于点M ，则O 2(t ，0)，A 2(t －3，0)，C 2(t ，4)，Rt△A 2O 2C 2与Rt△ODE 重叠部分的图形是四边形A 2MKO 2.∵直线OD 的表达式是y ＝23x ，∴当x ＝t 时，y ＝23t ，即K(t ，23t)．设直线A 2C 2的表达式是y ＝kx ＋b.∵点A 2，C 2在该直线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧（t －3）k ＋b ＝0，tk ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝43，b ＝4－43t.∴直线A 2C 2的表达式是y ＝43x ＋4－43t.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43x ＋4－43t ，y ＝23x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －6，y ＝43t －4，∴点M 的坐标为(2t －6，43t －4)，∴C 2K ＝4－23t ，点M 到C 2K 的距离为t －(2t －6)＝6－t ，∴S 四边形A 2MKO 2＝S△A 2O 2C 2－S△MKC 2＝12×3×4－12×(4－23t)×(6－t)＝－13t2＋4t －6.综上所述，S ＝⎩⎪⎨⎪⎧13t 2，0＜t≤3，－13t 2＋4t －6，3＜t≤6.5．解：(1)①不可能 ②∵∠MON＝90°， ∴∠EOF＝90°－∠AOB.在Rt△AOB 中，∠BAO＝90°－∠AOB， ∴∠EOF＝∠BAO. 又∵EH⊥CD，EF⊥CB， ∴∠EHC＝∠EFC＝90°.而∠HCF＝90°，∴四边形EFCH 为矩形． 又∠EOF＝∠BAO，∠EFO＝∠B，OE ＝OA ， ∴△EOF≌△OAB，∴EF＝BO ，OF ＝AB. 又OF ＝OC ＋CF ＝AB ＝BC ＝BO ＋CO ＝FE ＋CO ∴CF＝EF ，∴四边形EFCH 为正方形， (2)由∠POK＝∠OGB，∠PKO＝∠OBG， 得△POK∽△OGB.∵S △POK ＝4S △OGB ，有S △POK ∶S △OGB ＝(OP OG)2＝4， ∴OP＝2.方法一：∵OG＝1为定值，如图， Rt△OGB 内接于⊙Q(设OB ＝a ，BG ＝b)．过B 作BT⊥OG，垂足为T ， 则ab ＝BT·OG.当BT 为半径时，ab 最大，即为12，这时△OGB 最大面积为14.∴四边形PKBG 的最大面积为1＋14＋1＝94.方法二：由完全平方公式(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2≥0，此题中ab≤12(a 2＋b 2)．又∵a 2＋b 2＝1，∴ab≤12，∴ab 的最大值为12，∴△OGB 最大面积为14，∴四边形PKBG 的最大面积为1＋14＋1＝94.方法三：S △OGB ＝12ab ＝12a －1－a 2＝12－a 4＋a 2＝12－（a 2－12）2＋14，当a 2＝12时，△OGB 的最大面积为14，∴四边形PKBG 的最大面积为1＋14＋1＝94.6．解： (1)x(2)如图，延长FE 交AB 于G ，由题意得AP ＝2x.∵D 为PQ 中点，∴DQ＝x ， ∴GP＝x ，∴2x＋x ＋2x ＝4，∴x＝45.(3)如图，当0<x≤45时，y ＝S 正方形DEFQ ＝DQ 2＝x 2，∴y＝x 2.如图，当45<x≤1时，过C 作CH⊥AB 于H ，交FQ 于K ，则CH ＝12AB ＝2.∵PQ＝AP ＝2x ，CK ＝2－2x ，∴MQ＝2CK ＝4－4x ，FM ＝x －(4－4x)＝5x －4， ∴y＝S 正方形DEFQ －S △MNF ＝DQ 2－12FM 2，∴y＝x 2－12(5x －4)2＝－232x 2＋20x －8，∴y＝－232x 2＋20x －8.如图，当1<x<2时，PQ ＝4－2x ，∴DQ＝2－x ，∴y＝S △DEQ ＝12DQ 2，∴y＝12(2－x)2，∴y＝12x 2－2x ＋2.(4)当Q 与C 重合时，E 为BC 的中点，即2x ＝2， ∴x＝1.当Q 为BC 的中点时，BQ ＝2，PB ＝1， ∴AP＝3，∴2x＝3，∴x＝32，∴边BC 的中点落在正方形DEFQ 内部时x 的取值范围为1<x<32.。