空间直线与平面,平面与平面的位置关系

解析：过 作 平面 于点 ，连接 ，
∵ ，∴ 是正三角形 的外心，
设四面体的边长为 ，则 ，
∵ ，∴ 即为 与平面 所成角，
∴ ，所以， 与平面 所成角的余弦值为 ．
例2、如图，已知AP⊥BP，PA⊥PC，∠ABP=∠ACP=60º，PB=PC= BC，D是BC中点，求AD与平面PBC所成角的余弦值.
①如果两条直线a、b分别与直线l平行，那么a∥b
②如果一条直线a与平面β内的一条直线b平行，那么a∥β
③如果直线a与平面β内的两条直线b、c都有垂直，那么a⊥β
④如果平面β内的一条直线a垂直平面γ，那么β⊥γ
5、已知:二面角α-l-β等于120°，AB=10，A∈α，B∈β.A、B到l的距离分别等于2和4.
A.30° B.45° C.60°D.90
9、a、b表示直线，α、β、γ表示平面，有下列四个命题：(1)若α∩β=a,b α，a⊥b,则α⊥β；(2)若α⊥β，α∩γ=a,β∩γ=b,则a⊥b;(3)若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于α内的无数条直线；(4)若a⊥α，b⊥β,a∥ｂ，则α∥β，其中不正确命题的个数为
注：在求直角三角形斜边上的高时会利用上述的等积式来求斜边上的高．
【课堂小练】
1、过正方形ABCD的顶点A作线段A A′⊥平面ABCD，若A A′=AB，则平面A′A B与平面A′CD所成的角度是
A. 30°B.45° C. 60° D. 90°
2、在直二面角α-l-β中,直线m α,直线n β,且m、n均不与l垂直,则
答案：（1） （2） （3）
3．若P为⊿ABC所在平面外一点，且PA=PB=PC，求证点P在⊿ABC所在平面内的射影是⊿ABC的外心.
分析：斜线段长相等，则射影长也相等 从而由PA=PB=PC，点P的射影到⊿ABC的三个顶点的距离相等，所以射影为⊿ABC的外心.
例3、如图， 平面 ， ，若 ，求二面角 的正弦值。
（A）（0º,90º）（B）[0º,90º]（C）[0º,180º]（D）[0º,180º)
（2）两条平行直线在平面内的射影可能是①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④两个点.上述四个结论中，可能成立的个数是（）
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
（3）从平面外一点P引与平面相交的直线，使P点与交点的距离等于1，则满足条件的直线条数不可能是（）
A.m与n不可能垂直,但可能平行B.m与n可能垂直,但不可能平行
C.m与n可能垂直,也可能平行D.m与n不可能垂直,也不可能平行
3、设有不同的直线a、b和不同的平面α、β、γ,给出下列三个命题:
(1)若 , ,则 .(2)若 , ,则 .
(3)若 , ,则 。
其中正确的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
A.在β内必存在与m平行的直线B.在β内必存在与m垂直的直线
C.在β内必不存在与m平行的直线D.在β内不存在与m垂直的直线
12、下列命题中错误的是
A.如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β
B.如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β
C.如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β
D.如果平面α⊥平面 ，平面β⊥ ，α∩β＝l，那么l⊥
（2）EF与面A1C1所成的角；
（3）EF与面AC所成的角．
解析：（1）设正方体的边长为a，则在 中， .
∴ .
（2）45°．（3）45°．
解析：（1）
（2）作PE⊥AB于E，连CE则CE⊥AB．（三垂线定理的逆定理）PE就是P点到AB边的距离．
可用等积式CE·AB＝AC·CB，即斜边上的高与斜边的乘积等于两直角边的乘积．
因CE·AB是Rt△ABC面积的二倍，而AC·CB也是Rt△ABC面积的二倍，所以它们相等；也可用△BCE∽△ABC，对应边成比例推出这个等积式．
（A）0条或1条（B）0条或无数条
（C）1条或2条（D）0条或1条或无数条
答案：（1）B (2)C (3)D
2．填空题
（1）设斜线与平面所成角为θ，斜线长为 ，则它在平面内的射影长是.
（2）一条与平面相交的线段，其长度为10cm，两端点到平面的距离分别是2cm，3cm，这条线段与平面所成的角是.
（3）若（2）中的线段与平面不相交，两端点到平面的距离分别是2cm，3cm，则线段所在直线与平面所成的角是.
13、过平面外的两个点A、B有无穷多个平面都与α垂直，则一定有
A.直线AB∥αB.直线AB与α成60°角
C.A、B两点在α的一条垂线上D.A、B两点到α的距离相等
14、A为直二面角α－l－β的棱上的一点，两条长度都等于a的线段AB、AC分别在α、β内并且都与l成45°角，则BC的长为
A.aB.a或 aC.a或 aD.a或 a
A.φ＜θB.φ＞θC.φ=θD.以上三种关系均有可能
7、如图,等腰直角△ABC,沿其斜边AB边上的高CD对折,使△ACD与△BCD所在的平面垂直,此时∠ACB等于
A.45°B.60° C.90° D.120°
8、正方形纸片ABCD,沿对角线AC对折,使D点在面ABC外,这时DB与面ABC所成的角一定不等于
解析：∵AP⊥BP，PA⊥PC，∴AP⊥PBC
连PD，则PD就是AD在平面PBC上的射影
∴∠PDA就是AD与平面PBC所成角
又∵∠ABP=∠ACP=60º，PB=PC= BC，D是BC中点，
∴PD= , PA= BC∴AD=
∴
∴AD与平面PBC所成角的余弦值为
巩固练习：
1 选择题
（1）一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是（）
2、已知m、l是直线,α、β是平面,给出下列命题:
①若l垂直于α内的两条相交直线,则l⊥α;
②若l平行于α,则l平行于α内的所有直线;
③若m α,l β,且l⊥m,则α⊥β;
④若l β,且l⊥α,则α⊥β;
⑤若m α,l β,且α∥β,则m∥l.
其中正确的命题的序号是____①④_______.(注:把你认为正确的命题的序号都填上)
（1）P到三角形各边的距离相等．
（2）P到三角形各顶点的距离相等．
（3）PA、PB、PC两两垂直．
解析：设P在平面M内的射影是O．
（1）O是△ABC的内心；
（2）O是△ABC的外心；
（3）O是△ABC的垂心．
例6、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：
（1）A1C⊥平面C1DB于G；
（2）垂足G为正△C1DB的中心；
2、直线与平面所称的角的取值范围是
3、直线与平面平行
判定定理：；
性质定理：；
4、直线与平面垂直
（1）定义：
（2）判定定理：
（3）性质定理：
5、二面角的概念：
6、二面角的取值范围：
【典型例题分析】
例1、如图，在正方体 中，求面对角线 与对角面 所成的角
解析：法一：连结 与 交于 ，连结 ，
∵ ， ，∴ 平面 ，
（3）A1G＝2GC．
解析：（1）连AC，对平面ABCD来说，A1A是垂线，A1C是斜线，AC是A1C在平面ABCD上的射影，因为AC⊥DB（正方形的性质），所以A1C⊥DB．
同理可证A1C⊥BC1．
因为A1C⊥平面C1DB（直线与平面垂直的判定理）
（2）因为A1B＝A1C1＝A1D，所以BG＝GC1＝DG，故G是正△C1DB的外心，正三角形四心合一，所以G是正△C1DB的中心．
解析：（1）∵ 面 ∴
∴ 为 与面 所成角
∵ ∴
∴ ∴ ∴
即 与平面 所成角的大小为
（2）取 中点 ，连接 ∴
∵ ∴
又∵ 面 ∴
∴ 为二面角 的平面角
又∵
∵ ∴ ∴
即二面角 的大小为
（3）取 的中点 ，连接 ，则
∴ 与 所成的锐角或直角即为异面直线 和 所成角
易求得
即异面直线 和 所成角为
例5、设P是△ABC所在平面M外一点，当P分别满足下列条件时，判断点P在M内的射影的位置．
（3）在正方体的对角面A1ACC1内，由平面几何可知△A1GC1∽△OGC，且A1C1∶OC＝A1G∶GC，所以A1G∶GC＝2∶1，因此A1G＝2GC．
变式练习：
已知：Rt△ABC在平面α内，PC⊥平面α于C，D为斜边AB的中点，CA＝6，CB＝8，PC＝12．求：
（1）P，D两点间的距离；
（2）P点到斜边AB的距离．
∴ 是 与对角面 所成的角，
在 中， ，∴ ．
法二：由法一得 是 与对角面 所成的角，
又∵ ， ，
∴ ，∴ ．
说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影，后求斜线与其射影的夹角 另外，在条件允许的情况下，用公式 求线面角显得更加方便
变式练习：
已知空间四边形 的各边及对角线相等，求 与平面 所成角的余弦值
15、如果直线l、m与平面α、β、γ满足：l＝β∩γ，l∥α，m α和m⊥γ，那么必有
A.α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥mD.α∥β且α⊥γ
【课堂总结】
1、如何求直线与平面所成的角？
2、如何证明线面垂直？一般的做题步骤是什么？
3、两个平面有哪些位置关系？
……
【课后练习】
1、正方形ABCD与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD和BF所成角的余弦值为__________________ __________.
解析：过 作 于 ，过 作 交 于 ，连结 ，
则 垂直于平面 ， 为二面角 的平面角，
∴ ，又 平面 ，
∴ ， ，∴ 平面 ，∴ ， ，
又∵ ， ，∴ 平面 ，∴ ，设 ，则 ，
在 中， ，∴ ，
同理， 中， ，∴ ，
所以，二面角 的正弦值为 ．
例4、设 在平面 内的射影是直角三角形 的斜边 的中点 ， ，求（1） 与平面 所成角的大小；（2）二面角 的大小；（3）异面直线 和 的大小