第三章第四节函数的极值
函数极值求法及应用
函数极值求法及应用本文将介绍函数极值求法及其应用。
一、函数极值的定义函数极值是指函数在某一区间内的最大值和最小值。
在函数的导数为0或不存在的点处，函数可能取得极值。
二、求函数极值的方法1. 导数法首先，将函数y=f(x)对x求导得到其导函数y'=f'(x)。
然后，解以下方程组：y'=0或y'不存在求得的解即为函数的极值点。
例如，对于函数y=x^2-2x+1，其导函数y'=2x-2。
令y'=0，得到x=1。
此时，函数取得极小值y=0。
注意：在求解时需要注意导数不存在的情况，例如绝对值函数。
2. 二次函数法对于二次函数y=ax^2+bx+c，当a>0时，该函数的最小值为c-b^2/(4a)，当a<0时，该函数的最大值也为c-b^2/(4a)。
例如，对于函数y=x^2-2x+1，其a=1，b=-2，c=1。
因为a>0，所以y的最小值为1-(-2)^2/(4×1)=0。
3. 边界法当函数在一定区间内连续时，其取得极值的点只可能在该区间的边界处或导数不存在的点处。
因此，我们只需要求出函数在该区间的两个端点处的函数值，再比较这两个值和导数不存在的值的大小即可确定极值点。
例如，对于函数y=x^3-3x，当x∈[-1,2]时，极值点只可能在x=-1、x=2或导数不存在的点处。
函数在端点处的值为y(-1)=-2和y(2)=2，导数不存在的点为x=0。
因此，函数在x=0处取得极大值y=0，而在x=-1处取得极小值y=-4。
三、应用函数极值可以在优化问题中起到重要作用。
例如，在最小化成本的问题中，需要确定产量x的大小使得成本最小化。
假设某企业的生产成本函数为y=3x^2-4x+8，其中x为产量，y为成本。
该问题可以转化为求函数y的最小值。
通过求出函数的导数为0的点，我们发现函数在x=2/3处取得最小值y=6.67。
因此，该企业应该保持产量在2/3时，成本会最小。
第四节 函数的极值与最值 复习讲义
第四节函数的极值与最值一、函数的极值与导数1.函数极小值的概念(1)函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小;(2)f′(a)=0;(3)在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0;则点x=a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.2.函数极大值的概念(1)函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大;(2)f′(b)=0;(3)在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0;则点x=b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值;极小值点与极大值点统称为极值点,极小值与极大值统称为极值.二、函数的最值与导数求函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤:(1)求y=f(x)在(a,b)内的极值;(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.1.概念理解(1)极值是一个局部性概念,反映的是函数在某个点附近的大小情况,并不意味它在函数的整个定义域内最大或最小;最值是一个整体性的概念,函数的最值是比较某个区间内的所有函数值得出的.(2)函数的极值点一定出现在区间内部,区间的端点不能成为极值点;连续函数在某一个闭区间上的最值必在极值点或区间端点处取得.(3)函数的极值个数不确定,而函数在某一闭区间上,最大值和最小值是唯一的.2.与极值、最值有关的结论(1)可导函数极值点处的导数值为0(变号零点),而导数值为0的点不一定是极值点;(2)若函数f(x)有多个极值点,则极大值点和极小值点是交替出现的; (3)函数的极大值与极小值无确定大小关系; (4)极值点是函数单增区间与单减区间的分界点;(5)若函数f(x)在定义域内只有一个极值点,则极值点是函数的最值点;(6)三次函数有两个极值点的充要条件是其导函数有两个零点,极大(小)值点在某一区间上的充要条件是较小(大)零点在这个区间上; (7)奇(偶)函数在x=x 0处取得极大值或最大值f(x 0),则在x=-x 0处取得极小值或最小值-f(x 0)(相同的极大值或最大值).1.函数y=2x-21x 的极大值为( C )(A)-1 (B)-2 (C)-3 (D)1 2.设函数f(x)=xe x ,则( D ) (A)x=1为f(x)的极大值点 (B)x=1为f(x)的极小值点 (C)x=-1为f(x)的极大值点 (D)x=-1为f(x)的极小值点解析:f ′(x)=e x +xe x =(1+x)e x ,令f ′(x)=0,解得x=-1,且当x<-1时,f ′(x)<0;当x>-1时,f ′(x)>0;函数f(x)=xe x 在x=-1处取得极小值,即x=-1是f(x)的极小值点.故选D.3.(2018·安徽六安月考)已知函数f(x)=-13x 3+bx 2+cx+bc 在x=1处有极值-43,则b 等于( A )(A)-1 (B)1 (C)1或-1 (D)-1或3解析:f ′(x)=-x 2+2bx+c,若f(x)在x=1处有极值-43,故()()120,141,33f x b c f b c bc '⎧=-++=⎪⎨=-+++=-⎪⎩解得b=-1且c=3,符合题意;或b=1且c=-1, 此时f ′(x)=-x 2+2bx+c=-(x-1)2≤0,f(x)=-13x 3+bx 2+cx+bc 单调递减,f(x)在x=1处不存在极值,故b=1且c=-1,不合题意,所以b=-1.故选A.4.如果函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列判断:①函数y=f(x)在区间(-3,-12)内单调递增; ②函数y=f(x)在区间(-12,3)内单调递减; ③函数y=f(x)在区间(4,5)内单调递增; ④当x=2时,函数y=f(x)有极小值; ⑤当x=-12时,函数y=f(x)有极大值. 则上述判断中正确的是( D ) (A)①② (B)②③ (C)③④⑤ (D)③解析:对于①,函数y=f(x)在区间(-3,-12)内有增有减,故①不正确; 对于②,函数y=f(x)在区间(-12,3)有增有减,故②不正确;对于③,函数y=f(x)当x ∈(4,5)时,恒有f ′(x)>0,故③正确; 对于④,当x=2时,函数y=f(x)有极大值,故④不正确; 对于⑤,当x=-12时,f ′(x)≠0,故⑤不正确.故选D.考点一 利用导数求函数的极值【例1】 设a>0,函数f(x)=12x 2-(a+1)x+a(1+ln x).(1)求曲线y=f(x)在(2,f(2))处与直线y=-x+1垂直的切线方程; (2)求函数f(x)的极值.解:(1)由已知,得x>0,f ′(x)=x-(a+1)+a x , y=f(x)在(2,f(2))处切线的斜率为1, 所以f ′(2)=1,即2-(a+1)+2a =1, 所以a=0,此时f(2)=2-2=0, 故所求的切线方程为y=x-2. (2)f ′(x)=x-(a+1)+a x=()21x a x a x-++ =()()1x x a x--. ①当0<a<1时,若x ∈(0,a),f ′(x)>0,函数f(x)单调递增; 若x ∈(a,1),f ′(x)<0,函数f(x)单调递减; 若x ∈(1,+∞),f ′(x)>0,函数f(x)单调递增. 此时x=a 是f(x)的极大值点,x=1是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(a)=-12a 2+aln a, 极小值是f(1)=-12.②当a=1时,f ′(x)=()21x x- >0,所以函数f(x)在定义域(0,+∞)内单调递增, 此时f(x)没有极值点,故无极值.③当a>1时,若x ∈(0,1),f ′(x)>0,函数f(x)单调递增; 若x ∈(1,a),f ′(x)<0,函数f(x)单调递减; 若x ∈(a,+∞),f ′(x)>0,函数f(x)单调递增. 此时x=1是f(x)的极大值点,x=a 是f(x)的极小值点, 函数f(x)的极大值是f(1)=-12, 极小值是f(a)=-12a 2+aln a. 综上,当0<a<1时,f(x)的极大值是-12a 2+aln a, 极小值是-12; 当a=1时,f(x)没有极值;当a>1时,f(x)的极大值是-12,极小值是-12a 2+aln a.运用导数求可导函数y=f(x)的极值的步骤(1)先求函数的定义域,再求函数y=f(x)的导数f ′(x); (2)求方程f ′(x)=0的根;(3)检查f ′(x)在方程根的左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值,如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.如果左右符号相同,则此根处不是极值点.提醒:若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y=f(x)在(a,b)内不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值.1.设函数f(x)=(x3-1)2,下列结论中正确的是( C )(A)x=1是函数f(x)的极小值点,x=0是极大值点(B)x=1及x=0均是f(x)的极大值点(C)x=1是函数f(x)的极小值点,函数f(x)无极大值(D)函数f(x)无极值解析:f′(x)=2(x3-1)·3x2=6x2(x-1)(x2+x+1);x2+x+1=(x+12)2+34>0,令f′(x)=0得x1=0,x2=1;即f′(0)=0,f′(1)=0,x<0时,f′(x)<0;0<x<1时,f′(x)<0;x>1时,f′(x)>0.故x=1是函数f(x)的极小值点,函数f(x)无极大值.故选C.2.已知函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.(1)求a,b的值;(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.解:(1)f′(x)=e x(ax+a+b)-2x-4.由已知得f(0)=4,f′(0)=4.故b=4,a+b=8.从而a=4,b=4.(2)由(1)知,f(x)=4e x(x+1)-x2-4x,f′(x)=4e x(x+2)-2x-4=4(x+2)(e x-12).令f′(x)=0,得x=-ln 2或x=-2.从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)时,f′(x)>0;当x∈(-2,-ln 2)时,f′(x)<0.故f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln 2)上单调递减.当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).考点二利用导数求函数的最值【例2】 (2018·台州调研)已知函数f(x)=2x3-3(m+1)x2+6mx,m∈R.(1)若m=2,写出函数f(x)的单调递增区间;(2)若对于任意的x∈[-1,1],都有f(x)<4,求m的取值范围.解:(1)若m=2,则f(x)=2x3-9x2+12x,因为f′(x)=6x2-18x+12=6(x2-3x+2)=6(x-1)(x-2),令f′(x)>0,则x<1或x>2,所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,1),(2,+∞).(2)f(x)=2x3-3(m+1)x2+6mx,f′(x)=6x2-6(m+1)x+6m=6(x-1)(x-m),①当m≥1时,,f(x)在(-1,1)上递增,f(x)max=f(1)=3m-1<4,得m<53所以1≤m<5.3②当-1<m<1时,f(x)在(-1,m)上递增,在(m,1)上递减,f(x)max=f(m)=-m3+3m2<4,即m3-3m2+4>0,(m+1)(m-2)2>0恒成立,所以-1<m<1.③当m≤-1时,f(x)在(-1,1)上递减,f(x)max=f(-1)=-9m-5<4,得m>-1,舍去,.综上,m的取值范围为-1<m<53求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时,可判断函数在[a,b]上的单调性,若函数在[a,b]上单调递增或单调递减,则f(a),f(b)一个为最大值,一个为最小值.若函数在[a,b]上不单调,一般先求[a,b]上f(x)的极值,再与f(a),f(b)比较,最大的即为最大值,最小的即为最小值.提醒:求极值、最值时,要求步骤规范,表格齐全;含参数时,要讨论参数的大小.函数y=2x3-12x在区间[-1,3]上的最大值和最小值分别为( A )(B)54,-12令y′=0,则)当解析:y′=6x2x=-1时考点三由函数的极值或最值求参数(范围)【例3】 (1)函数f(x)=ln x-12ax 2+x 有极值且极值大于0,则a 的取值范围是( ) (A)(0,1) (B)(1,2) (C)(0,2) (D)(3,4)(2)已知函数f(x)=e 2x -e -2x -cx(c ∈R),若f(x)有极值,求c 的取值范围.(1)解析:f ′(x)=1x-ax+1=21ax x x-++(x>0), 当a ≤0时,f ′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值. 当a>0时,对于t=-ax 2+x+1. 因为Δ=1+4a>0,x 1·x 2=-1a<0,所以f ′(x)=0有且仅有一正根x 0且f(x)在x 0处取极大值.要使极大值大于0,即f(x 0)>0. 因为-a 2x +x 0+1=0,所以a 20x =x 0+1,f(x 0)=ln x 0-12a 2x +x 0=ln x 0+02x -12, 令g(x)=ln x+2x -12.(x>0)g(x)在(0,+∞)上单调递增且g(1)=0, 所以x>1. 所以x 0>1,解得0<a<2.选C.(2)解:f ′(x)=2e 2x +2e -2x -c, 而2e 2x +2e -2x ≥当x=0时等号成立.下面分三种情况进行讨论.当c<4时,对任意x∈R,f′(x)=2e2x+2e-2x-c>0,此时f(x)无极值; 当c=4时,对任意x≠0,f′(x)=2e2x+2e-2x-4>0,此时f(x)无极值;当c>4时,令e2x=t,注意到方程2t+2t-c=0有两根t1,2>0,即f′(x)=0有两个根x1=12ln t1,x2=12ln t2.当x1<x<x2时,f′(x)<0;又当x>x2时,f′(x)>0,从而f(x)在x=x2处取得极小值.综上,若f(x)有极值,则c的取值范围为(4,+∞).(1)可导函数的极值点与其导函数的零点之间的关系是导函数的变号零点是函数的极值点,而不变号零点不是函数的极值点. (2)已知函数的极值、最值求参数,利用待定系数法列方程(组)求解.(2018·北京卷)设函数f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]e x.(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,求a;(2)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.解:(1)因为f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]e x,所以f′(x)=[ax2-(2a+1)x+2]e x.所以f′(1)=(1-a)e.由题设知f′(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1.此时f(1)=3e≠0.所以a的值为1.(2)由(1)得f′(x)=[ax2-(2a+1)x+2]e x=(ax-1)(x-2)e x.若a>12,则当x ∈(1a,2)时,f ′(x)<0;当x ∈(2,+∞)时,f ′(x)>0. 所以f(x)在x=2处取得极小值.若a ≤12,则当x ∈(0,2)时,x-2<0,ax-1≤12x-1<0,所以f ′(x)>0.所以2不是f(x)的极小值点. 综上可知,a 的取值范围是(12,+∞).利用导数研究函数的极值(点)问题【例题】 (2015·山东卷节选)设函数f(x)=ln(x+1)+a(x 2-x),其中a ∈R.讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由. 解:由题意知,函数f(x)的定义域为(-1,+∞), ① f ′(x)=11x ++a(2x-1)=2211ax ax a x +-++. ② 令g(x)=2ax 2+ax-a+1,x ∈(-1,+∞). (1)当a=0时,g(x)=1,此时f ′(x)>0,函数f(x)在(-1,+∞)上单调递增,无极值点; ③ (2)当a>0时,Δ=a 2-8a(1-a)=a(9a-8). a.当0<a ≤89时,Δ≤0,g(x)≥0,f′(x)≥0,函数f(x)在(-1,+∞)上单调递增,无极值点;b.当a>89时,Δ>0,设方程2ax2+ax-a+1=0的两根为x1,x2(x1<x2),因为x1+x2=-12,所以x1<-14,x2>-14.由g(-1)=1>0,可得-1<x1<-14.所以当x∈(-1,x1)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈(x1,x2)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(x2,+∞)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数f(x)单调递增.因此函数有两个极值点. ④c.当a<0时,Δ>0,由g(-1)=1>0,可得x1<-1.当x∈(-1,x2)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数f(x)单调递减.所以函数有一个极值点. ⑤综上所述,当a<0时,函数f(x)有一个极值点;当0≤a≤89时,函数f(x)无极值点;当a>89时,函数f(x)有两个极值点. ⑥规范要求:步骤①②③④⑤⑥这些关键步骤齐全.温馨提示:(1)求函数单调区间和极值点等问题应在定义域内进行,树立“定义域优先”原则,步骤①不可缺少.(2)步骤③是g(x)的二次项系数为零,即g(x)不为二次函数时,讨论了g(x)的符号,从而得f(x)的单调性及极值点情况,做题时容易忽视而失分.(3)步骤④⑤是分类讨论了a 的大小对g(x)及f ′(x)的符号的影响,从而得出各种情况下极值点的个数,难度较大. (4)对分类讨论问题,最后一般要总结,这样步骤才完整. 【规范训练】 (2018·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)=(2+x+ax 2)ln(1+x)-2x.(1)若a=0,证明:当-1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0; (2)若x=0是f(x)的极大值点,求a. (1)证明:当a=0时,f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x,f ′(x)=ln(1+x)-1xx+. 设函数g(x)=f ′(x)=ln(1+x)-1x x+, 则g ′(x)=()21xx +.当-1<x<0时,g ′(x)<0;当x>0时,g ′(x)>0, 故当x>-1时,g(x)≥g(0)=0, 当且仅当x=0时,g(x)=0,从而f ′(x)≥0,且仅当x=0时,f ′(x)=0. 所以f(x)在(-1,+∞)上单调递增. 又f(0)=0,故当-1<x<0时,f(x)<0; 当x>0时,f(x)>0. (2)解:①若a ≥0,由(1)知,当x>0时,f(x)≥(2+x)ln(1+x)-2x>0=f(0), 这与x=0是f(x)的极大值点矛盾. ②若a<0,设函数h(x)=()22f x x ax ++=ln(1+x)-222xx ax++.由于当时,2+x+ax 2>0,故h(x)与f(x)符号相同.又h(0)=f(0)=0,故x=0是f(x)的极大值点, 当且仅当x=0是h(x)的极大值点.h ′(x)=11x +-()()()222222122x ax x ax x ax ++-+++=()()()2222246112x a x ax a x ax x ++++++.若6a+1>0,则当0<x<-614a a+,且时,h ′(x)>0,故x=0不是h(x)的极大值点.若6a+1<0,则a 2x 2+4ax+6a+1=0存在根x 1<0,故当x ∈(x 1,0),且时,h ′(x)<0,所以x=0不是h(x)的极大值点. 若6a+1=0,则h ′(x)=()()()322241612x x x x x -+--,则当x ∈(-1,0)时,h ′(x)>0;当x ∈(0,1)时,h ′(x)<0. 所以x=0是h(x)的极大值点,从而x=0是f(x)的极大值点. 综上,a=-16.类型一 极值或极值点的应用1.若函数f(x)=x 3-2cx 2+x 有极值点,则实数c 的取值范围为( C )∞)∞)(C)(-∞]∪,+∞)(D)(-∞)∪,+∞)解析:若函数f(x)=x 3-2cx 2+x 有极值点,则f ′(x)=3x 2-4cx+1=0有根,故Δ=(-4c)2-12≥0,从而c c ≤.故选C.2.已知函数f(x)=x 3+bx 2+cx 的图象如图所示,则21x +22x 等于( C )(A)23 (B)43 (C)83 (D)163解析:由图象可知f(x)的图象过点(1,0)与(2,0),x 1,x 2是函数f(x)的极值点,因此1+b+c=0,8+4b+2c=0, 解得b=-3,c=2,所以f(x)=x 3-3x 2+2x,所以f ′(x)=3x 2-6x+2,x 1,x 2是方程f ′(x)=3x 2-6x+2=0的两根, 因此x 1+x 2=2,x 1·x 2=23, 所以21x +22x =(x 1+x 2)2-2x 1·x 2=4-43=83,故选C. 3.已知函数f(x)=x 3+mx 2+(m+6)x+1既存在极大值,又存在极小值,则实数m 的取值范围是( D ) (A)(-6,3) (B)(-3,6)(C)(-∞,-6)∪(3,+∞) (D)(-∞,-3)∪(6,+∞)解析:f ′(x)=3x 2+2mx+m+6=0有两个不相等的实数根, 所以Δ=4m 2-12(m+6)>0, 解得m>6或m<-3. 故选D.类型二 求最值或范围 4.已知奇函数f(x)=()e 1,0,,0,xx xh x x ⎧->⎪⎨⎪<⎩则函数h(x)的最大值为 .解析:先求出x>0时,f(x)=e xx-1的最小值.当x>0时,f ′(x)=()2e 1x x x -,所以x ∈(0,1)时,f ′(x)<0,函数单调递减,x ∈(1,+∞)时,f ′(x)>0,函数单调递增,所以x=1时,函数取得极小值即最小值,为e-1,所以由已知条件得h(x)的最大值为1-e. 答案:1-e5.函数f(x)=xln x+ax 2(a ≠0)存在唯一极值点. (1)求a 的取值范围;(2)证明:函数y=f[f(x)]与y=f(x)的值域相同. (1)解:f ′(x)=ln x+1+2ax,f ″(x)=1x +2a, 当a>0时,f ″(x)>0,故f ′(x)在(0,+∞)上单调递增, 又x →0时,f ′(x)<0,f ′(1)=2a+1>0, 故f ′(x)=0在(0,+∞)内有唯一实根, 即f(x)在(0,+∞)内有唯一极值点;当a<0时,由f″(x)>0得x<-12a,故f′(x)在(0,-12a )上单增,在(-12a,+∞)上单减,若f′(-12a)≤0,则f′(x)≤0恒成立,此时f(x)无极值点,若f′(-12a)>0,又x→0时f′(x)<0,x→+∞时,f′(x)<0,此时f(x)有两个极值点;综上,a>0.(2)证明:由(1)知,a>0,设f′(x0)=0即ln x0+1+2ax0=0, 则f(x)在(0,x0)上单减,在(x0,+∞)上单增,所以f(x)的值域为[f(x0),+∞),要使y=f[f(x)]与y=f(x)的值域相同,只需f(x0)≤x0,即x0ln x0+a2x≤x0,即ln x0+ax0≤1,又ax0=-12(ln x0+1),故12ln x0-12≤1即x0≤e3,故只需证x0≤e3,又f′(x)单增, 所以要证x0≤e3,即证f′(e3)≥0, 而f′(e3)=3+1+2ae3>0,故得证.。
同济大学第五版高数第3章4节
64 x0
16
16)
0,
解得
x0
16 , 3
x0 16 (舍去).
s(16) 8 0. s(16) 4096 为极大值.
3
3 27
故 s(16) 4096为所有三角形中面积的最大者. 3 27
31
小结
1、单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用. 定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论 仍然成立.
应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实 根的个数和证明不等式.
32
2、极值是函数的局部性概念: 极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.
驻点和不可导点统称为临界点.
函数的极值必在临界点取得.
第一充分条件;
判别法
(注意使用条件)
第二充分条件;
33
3、注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤.
16
例2 求出函数 f ( x) x3 3x2 24x 20 的极值. 解 f ( x) 3x2 6x 24 3( x 4)(x 2) 令 f ( x) 0， 得驻点 x1 4, x2 2. f ( x) 6x 6, f (4) 18 0, 故极大值 f (4) 60,
但函数的驻点却不一定是极值点.
例如, y x3, y x0 0, 但x 0不是极值点.
11
定理2(第一充分条件)
(1)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 ),
有 f '( x) 0，则 f ( x)在x0处取得极大值.
(2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 )
第三章第四节 解析函数与调和函数
②刻划解析函数又一等价条件
f ( z) u iv在区域D内解析
定理3.18
定理 3.19
在区域D内,v是u 的共轭调和函数.
注7 由于任一二元调和函数都可作解析函数的实 部(或虚部),由解析函数的任意阶导数仍解析知,任 一二元调和函数的任意阶偏导数也是调和函数.
虽然在直线x 0上满足Laplace方程, 但直线不是区域,
即在z平面的任一区域, xy 2不能作为解析函数的实部.
y 例2 证明 : u( x, y) x y , v( x, y) 2 都是 2 x y
2 2
调和函数, 但f ( z ) u( x, y) iv( x, y)不是解析函数.
使u iv在D内解析.
u u 2 0, 方法一: 应用曲线积分 由于 2 x y u u 即 - 与 在D内具有连续的一阶偏导数, y x
2 2
u u u u 且 , 记 P , Q , 则Py Qx , y y x x y x
( x, y )
注4
对(3.22)分别对x, y求偏导数, 得
u v u v , x y y x
由定理3.15知, u iv在D内解析.
注5 (3.21)可由下式简便记忆
v v dv( x, y ) dx dy x y
C R方程
u u dx dy y x
第三章 复变函数的积分
第十二讲
第四节 解析函数与调和函数
1. Laplace算子与共轭调和函数 2. 解析函数的等价刻画 3. 调和函数的平均值定理与极值原理
函数的极值与最值知识点总结
函数的极值与最值知识点总结函数的极值和最值是数学中重要的概念，它们对于函数的图像和性质有着重要的影响。
本文将对函数的极值和最值进行详细总结。
1. 函数的极值函数的极值是指函数在某一区间内取得的最大值或最小值。
在函数图像上就是曲线的顶点或谷底。
1.1 极大值和极小值函数在区间内取得最大值的点称为极大值点，函数在区间内取得最小值的点称为极小值点。
极大值点和极小值点合称为极值点。
1.2 极值的必要条件函数的极值一定是函数的驻点（即函数的导数为0）或者是函数定义域的端点，这是极值的必要条件。
1.3 极值判定的充分条件若函数在某点的导数由正变负，则该点是函数的极大值点；若函数在某点的导数由负变正，则该点是函数的极小值点。
这是极值判定的充分条件。
2. 函数的最值函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。
2.1 最大值和最小值函数在定义域内取得的最大值称为最大值，函数在定义域内取得的最小值称为最小值。
2.2 最值的存在性当函数在闭区间上连续时，函数一定存在最大值和最小值。
但是当函数在开区间上连续时，函数不一定存在最大值和最小值。
2.3 最值的求解方法求函数的最值主要通过导数的方法进行。
首先求出函数的导数，然后求出导数的零点，即函数的极值点。
从这些极值点中选取函数值最大的点，即为函数的最大值；选取函数值最小的点，即为函数的最小值。
3. 案例分析接下来通过一个具体的案例来说明函数的极值和最值的求解过程。
3.1 求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 的极值和最值。
首先求导得到 f'(x) = 3x^2 - 6x，令 f'(x) = 0，解得 x = 0 或 x = 2。
当 x = 0 时，f''(0) = 0，无法判断极值情况；当 x = 2 时，f''(2) = 6 > 0，说明 x = 2 是极小值点。
计算 f(2) = 2^3 - 3(2)^2 = -4，可知函数的极小值为 -4。
大学数学_3_4 函数的最大值与最小值
例5 3 甲船以 20nmile / h 的速度向东行驶，同一时间 乙船在甲船的正北 82nmile 处以16nmile / h 的速度向南行 驶，问经过多少时间，甲乙两船相距最近. y 82 解 设在时刻 t 0 时甲船位于 O 点， 16t 乙船位于甲船正北82nmile 处，在时刻 t B （单位：h）甲船由点 O 出发向东行驶了 20t (单位：nmile)至Ａ点，乙船向南行驶 O 20t A x 了16t （单位：nmile）至Ｂ点（图 3-7） 图3-7 甲乙两船的距离为
内容小结
1. 最值点应在极值点和边界点上找
2. 应用题可根据问题的实际意义判别
作业
P134 1(1), (5), 2, 3, 4
由这个例子看出，为什么我们经常用n次测量值的算 术平均值作为所测量值的近似值. 例题中x-xi代表第i次的 测量值xi与真值x的误差，由于x-xi（i=1,2, …,n）可为正 也可为负，不能用它们的和作为n次测量值的总误差，以 免正负误差相抵消，因此一般采用n次测量误差的平方和 作为总误差，寻求如何取近似值能使这个总误差最小. 这 就是通常所谓的最小二乘法.
2 ( x 差平方和 1
x1 x2 n
xn
( x x2 )2 ( x xn ) 2 为最小. 2 2 2 y ( x x ) ( x x ) ( x x ) 证 记 1 2 n . 现求y的最小
值.
y 2[( x x1 ) ( x x2 ) ( x xn )] 2[nx ( x1 x2 xn )]. 令 y 0 得唯一驻点 1 x ( x1 x2 xn ). n 1 又y一定存在最小值，故当x ( x1 x2 xn ).时误差平 n 方和最小.
函数的极值,最大值与最小值
m
x1
x2
x3
x4
x5
例4. 求 y 2 x 3x 12 x 14 在 [3,4] 上的最大值与最小值. 2 解: y 6 x 6 x 12 6( x 2)( x 1), 令 y 0, 得驻点 x1 2, x2 1. 因为
3 2
f (3) 23, f (2) 34, f (1) 7, f (4) 142,
(1) 当x x0时, f ( x) 0,当x x0时, f ( x) 0，
则x0为f ( x)的极大值点.
(2) 当x x0时, f ( x) 0,当x x0时, f ( x) 0，
则x0为f ( x)的极小值点.
如果f(x)在x0的两侧保持相同符号, 则x0 不是f(x)的极值点.
x x0 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) lim 0, 当 x x0 时, x x x x0 f ( x) f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) 0, 0, 所以 f ( x0 ) lim x x x x0 x x0
(1) 当x x0时, f ( x) 0,当x x0时, f ( x) 0，
则x0为f ( x)的极大值点.
(2) 当x x0时, f ( x) 0,当x x0时, f ( x) 0，
则x0为f ( x)的极小值点.
说明: 对于情形(1)，由判别定理可知, 当 x x0 时, f(x)单调增加, 当 x x0 时, f(x)单调减少, 因此可知x0为f(x)的极大值点. 同理可说明情形(2).
特殊情况下的最大值与最小值: 若 f(x)在一区间(有限或无限 开或闭)内可导且 有且只有一个驻点x0 则： 当f(x0)是极大值时 f(x0)就是f(x)在该区间上的 最大值 当f(x0)是极小值时 f(x0)就是f(x)在该区 区间上的最小值
函数的极值,最大值与最小值PPT课件
(2) 找出f (x)的所有驻点和f (x)不存在的点
x1,, xk .
(3) 判定每个驻点和导数不存在的点
xi (i 1,2,, k) 两侧(在xi 较小的邻域内)
f (x)的符号, 依定理判定xi 是否为f(x)的 极值点.
例1.求y 3x4 8x3 6x2的极值与极值点.
2. 极值存在的必要条件
定理1 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取 得极值, 那么f (x0)0.
证明: 以f(x0)是极大值来证明.
因为f(x0)是极大值, 故在x0的某邻域内,
对任意的 x x0都有 f (x) f (x0 ), 所以,
当 x x0时,
f (x) f (x0 ) 0, x x0
(2)当f (x0 ) 0时，x0为f (x)的极小值点.
证: (1)
f
(
x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) lim f (x)
x x0
xx0 x x0
由 f (x0 ) 0 知, 存在x0的某邻域, 使
f (x) x x0
0,
故当 x x0 时，f (x) 0; 当 x x0时, f (x) 0,
则x0为f (x)的极大值点.
(2)当x x0时, f (x) 0,当x x0时, f (x) 0，
则x0为f (x)的极小值点. 如果f(x)在x0的两侧保持相同符号, 则x0 不是f(x)的极值点.
(1)当x x0时,f (x) 0,当x x0时,f (x) 0，
则x0为f (x)的极大值点.
令 0, 得驻点 x 2.4 (0, )
根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在, 驻点 又唯一, 因此他站在距墙 2.4 m 处看图最清楚 .
第四节函数的极值及其求法
第四节函数的极值及其求法一、函数极值的定义定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.二、函数极值的求法定理1(必要条件)定义注意:例如,定理2(第一充分条件)(是极值点情形)(不是极值点情形)求极值的步骤:例1解列表讨论极小值极大值图形如下定理3(第二充分条件)证同理可证(2).图形如下例2解注意:注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.例3解三、小结极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点.函数的极值必在临界点取得.第一充分条件;(注意使用条件)判别法第二充分条件;思考题下命题正确吗？思考题解答不正确．例在–1和1之间振荡故命题不成立．练习题练习题答案设在点处具有导数,且在处取得极值,那末必定.(1)如果有而,有，则在处取得极大值.(2)如果有而有，则在处取得极小值.(3)如果当及时,符号相同,则在处无极值.设在处具有二阶导数,且,,那末(1)当时,函数在处取得极大值;(2)当时,函数在处取得极小值.所以，函数在处取得极大值．如果为的极小值点，那么必存在的某邻域，在此邻域内，在的左侧下降，而在的右侧上升.于是为的极小值点当时，当时，因而在的两侧都不单调.当时，填空题：极值反映的是函数的________性质.若函数在可导，则它在点处到得极值的必要条件中为___________.函数的极值点为________；的极值为__________.已知函数当时，小值；当，大值.二、求下列函数的极值：；；方程所确定的函数；.证明题：如果满足条，则函数无极值.2、设是有连续的二阶导数的偶函数，则为的极值点.一、1、局部；2、；3、(1,2),无；4、;二、1、极大值,极小值；2、极大值；3、极小值；4、极小值.。
《函数的极值》 讲义
《函数的极值》讲义一、函数极值的定义在数学中，函数的极值是一个非常重要的概念。
简单来说，极值就是函数在某个局部范围内的最大值或最小值。
具体而言，如果在函数定义域内的某个点 x₀处，函数值 f(x₀) 大于（或小于）其在 x₀附近的所有点的函数值，那么 f(x₀) 就是函数的一个极大值（或极小值）。
需要注意的是，极值是局部概念，也就是说一个函数在某一点取得极值，并不意味着它在整个定义域内都是最大或最小的。
二、函数极值的必要条件为了找到函数的极值，我们首先要了解一个重要的定理——费马定理。
费马定理指出：如果函数 f(x) 在点 x₀处可导，且 x₀为 f(x) 的极值点，那么 f'（x₀) ＝ 0。
这意味着，可导函数的极值点处的导数为 0。
但要注意，导数为 0 的点不一定是极值点，比如函数 f(x) ＝ x³，在 x ＝ 0 处导数为 0，但不是极值点。
三、函数极值的充分条件仅仅知道导数为 0 还不够，我们还需要一些充分条件来确定这个点到底是不是极值点。
第一种情况：如果在 x₀的左侧导数为正，右侧导数为负，那么 x₀是极大值点。
第二种情况：如果在 x₀的左侧导数为负，右侧导数为正，那么 x₀是极小值点。
第三种情况：如果在 x₀的两侧导数同号，那么 x₀不是极值点。
四、求函数极值的步骤接下来，我们来总结一下求函数极值的一般步骤：第一步，求出函数的定义域。
第二步，对函数求导。
第三步，令导数等于 0，求出导数为 0 的点（即驻点）以及导数不存在的点。
第四步，根据上述充分条件，判断这些点是否为极值点。
第五步，将极值点代入函数，求出相应的极值。
五、实例分析为了更好地理解函数极值，我们通过一些具体的例子来进行分析。
例 1：求函数 f(x) ＝ x² 4x ＋ 3 的极值。
首先，对函数求导得到 f'（x) ＝ 2x 4。
令 f'（x) ＝ 0，解得 x ＝ 2。
当 x ＜ 2 时，f'（x) ＜ 0；当 x ＞ 2 时，f'（x) ＞ 0。
函数的极值-课件
这份PPT课件介绍了函数的极值，包括引言、函数的极值点、函数的极值定理、 函数的极值应用等内容。通过本课件，你将深入了解这一重要数学概念的定 义、分类和应用。
一、引言
函数的极值是指函数在特定范围内的最大值或最小值。本节将讨论函数的极 值的定义以及不同类型的极值。
二、函数的极值点
极大值点和极小值点的定义
极大值点是函数在某个范围内的最大值，极小值点是函数在某个范围内的最小值。
函数求极值的步骤
求函数的极值需要确定函数的驻点和临界点，并通过对函数求导来判断是极大值还是极小值。
三、函数的极值定理
第一极值定理
如果函数在某个区间内连续且可导，那么在这个区 间内一定存在至少一个极值点。
六、参考文献
1 数学分册
数学分册中关于函数和极 值的相关章节提供了更深 入的理论和应用。
2 数学课程
数学课程中有关函数极值 的教材和讲义提供了更详 细的学习材料。
3 数学学习资料
网络上有很多关于函数的 极值的学习资料，可以进 一步加深对这一概念的理 解。
第二极值定理
如果函数在某个区间内可导，并且在驻点处的导数 不等于零，那么这个驻点必定不是极值点。
四、函数的极值应用
数学实际问题中的应 用
函数的极值在物理、经济学等 领域中的实际问题中有着广泛 的应用，如求解最大利润、最 小费用等。
OA题型解析
函数的极值常出现在各类OA题 目中，掌握函数的极值求解方 法有助于解答相关题目。
PSAT、SAT、GRE题 型解析
函数的极值是PSAT、SAT、GRE 等考试中经常出现的题型，熟 悉函数的极值概念和求解方法 对应试有帮助。
五、总结
1 函数的极值常见考点
《函数的极值》 讲义
《函数的极值》讲义在数学的广袤天地中，函数是一个极其重要的概念，而函数的极值问题则是其中一个关键且富有魅力的部分。
一、函数极值的定义首先，咱们得搞清楚啥是函数的极值。
简单来说，对于一个给定的函数，如果在某个点的附近，函数值比这个点的函数值都大（或者都小），那这个点对应的函数值就是函数的一个极值。
极大值就是在这点附近函数值最大，极小值就是在这点附近函数值最小。
比如说，有个函数 f(x)，在 x ＝ a 这点，它左边的函数值都比 f(a) 小，右边的函数值也都比 f(a) 小，那 f(a) 就是一个极小值。
要是左边右边的函数值都比 f(a) 大，那 f(a) 就是极大值。
二、如何判断函数的极值那怎么知道一个函数在某个点是不是有极值呢？这就得靠导数啦。
如果函数在某点的导数为 0，并且在这点的左侧导数为正，右侧导数为负，那这点就是极大值点；反过来，如果左侧导数为负，右侧导数为正，那这点就是极小值点。
为啥是这样呢？咱们可以这么想，导数为正的时候，函数是上升的；导数为负的时候，函数是下降的。
所以从上升到下降的转折点就是极大值点，从下降到上升的转折点就是极小值点。
举个例子，函数 f(x) ＝ x²，它的导数是 f'（x) ＝ 2x。
当 x ＝ 0 时，导数为 0。
在 x ＜ 0 时，导数为负，函数下降；在 x ＞ 0 时，导数为正，函数上升。
所以 x ＝ 0 就是极小值点，极小值是 f(0) ＝ 0。
但是要注意哦，导数为 0 的点不一定都是极值点。
比如说函数 f(x)＝ x³，它的导数 f'（x) ＝ 3x²，当 x ＝ 0 时，导数为 0，但是在 x ＝ 0的两侧，导数的符号是一样的，都是正的，所以 x ＝ 0 不是极值点。
三、函数极值的求法知道了怎么判断极值，那咱们来看看怎么求函数的极值。
第一步，先求出函数的导数。
第二步，令导数等于 0，解出这些方程的根。
第三步，根据上面说的判断方法，判断这些根是不是极值点。
函数的极值与导数 课件
分析:求f'(x)→建立关于a,b的方程组→求解a,b→将a,b代入原函
数验证极值情况→根的取舍
解:因为f(x)在x=-1时有极值0,
'(-1) = 0,
且 f'(x)=3x +6ax+b,所以
(-1) = 0,
(7)如果函数f(x)在[a,b]上有极值,那么它的极值点的分布是有规
律的.相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样,相邻两个极
小值点之间必有一个极大值点.一般地,当函数f(x)在[a,b]上连续且
有有限个极值点时,函数f(x)在[a,b]上的极大值点、极小值点是交
替出现的.
2.如何求f(x)的极值?
f'(x)
+
0
f(x)
↗
↘
1
e
故当 x=e 时函数取得极大值,且极大值为 f(e)= , 函数无极小值.
反思求函数的极值应注意以下几点:
(1)在讨论可导函数f(x)在定义域内的极值时,若方程f'(x)=0的实
根较多时,应注意使用表格,使极值点一目了然.
(2)讨论函数的性质要遵循定义域优先的原则.
已知极值求参数
所以当x∈(-∞,-3)时,f(x)为增函数;
当x∈(-3,-1)时,f(x)为减函数;
当x∈(-1,+∞)时,f(x)为增函数.
所以f(x)在x=-1时取得极小值,
因此a=2,b=9.
极值的综合运用
【例3】 求函数f(x)=x3-3x2-a(a∈R)的极值,并讨论a为何值时函数
f(x)恰有一个零点.
函数的极值与导数 课件
[典例] 已知函数 f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)．若函数 f(x) 在 x＝－1 处取得极值，直线 y＝m 与 y＝f(x)的图象有三个 不同的交点，求 m 的取值范围．
[解] 因为 f(x)在 x＝－1 处取得极值且 f′(x)＝3x2－3a， 所以 f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，所以 a＝1. 所以 f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3， 由 f′(x)＝0，解得 x＝－1 或 x＝1.
当 x<－1 时，f′(x)>0； 当－1<x<1 时，f′(x)<0； 当 x>1 时，f′(x)>0. 所以由 f(x)的单调性可知，f(x)在 x＝－1 处取得极大值 f(－1)＝1，在 x＝1 处取得极小值 f(1)＝－3. 作出 f(x)的大致图象及直线 y＝m 如图所示：
因为直线 y＝m 与函数 y＝f(x)的图象有三个不同的交点， 结合图象可知，m 的取值范围是(－3,1)．
[点睛] 如何理解函数极值的概念 (1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它 附近点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函 数的整个定义域内是最大值或最小值． (2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以 不止一个． (3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系． (4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能 成为极值点． (5)单调函数一定没有极值．
2．[变条件]若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的 交点”结果如何？改为“一个交点”呢？ 解：由例题解析可知：当 m＝－3 或 m＝1 时， 直线 y＝m 与 y＝f(x)的图象有两个不同的交点； 当 m<－3 或 m>1 时， 直线 y＝m 与 y＝f(x)的图象只有一个交点．
函数的极值ppt课件
●
四 、不含参数的函数求极值
变式训练 求下列函数的极值：
(1)f(x)=x²e-×;
[解析](1)函数f(X) 的定义域为R,
f(x)=2xe-×+x²·e-×.(-x)'=2xe-×-x²e-×=x(2-x)e-×.
令f'(x)=0,得x(2-x)e-×=0,解得x=0 或x=2. 当x变化时，f'(x),f(x) 的变化情况如表所示：
2.对极值概念的再理解 (1 )极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是 最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值；
(2 ) 一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个； (3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系； (4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点； (5)单调函数一定没有极值.
e
f'(x)
十
0
f(x)
1
e
故当- 时，函数(x)取得极大值，且极大值为
●
(e,+0)
《
3求含参函数的极值
例2 已知函数f(x)=x-aln x(a∈R) ,求函数f(x)的极值.
①当a ≤0时，f(x)>0, 函数f(x)为(0,+0)上的增函数，函数f(x)无极值； ②当a>0 时，令f'(x)=0, 解得x=a,
课堂小结
y
f'(x₀)=0
f'(x)>0
f'(x)<0
y
f'(x <0
f'(x,)=0 f(x)
>0
a Xo b
函数的极值
函数的极值
求函数的极值是高等教育中的一种基本的数学技能。
这是一种求解函数的特殊
情况，即在函数变化的特定条件下，使函数达到最大或者最小值，这就是极值。
为了得到函数极值，可以通过偏导数的概念，它是用来表示函数关于某一变量的变化量的方法。
极值的求解方法有多种，最常用的就是求解局部极值的斜率判别法。
总的来说，其思想是通过比较函数在特定点处的一阶导数或二阶导数来求解局部极值。
通过讨论函数点处一阶导数或二阶导数的大小情况，可以实现求解函数极值的主要步骤，最终得到极值的正确结果。
此外，在求解极值时还可以采用几何图形方法来求解，即通过函数图像中的变
化形态来观察其单调性，确定函数在某些区域内的极值，有助于解决复杂的函数极值求解问题。
总的来说，函数极值既是高等教育中的一项重要数学技能，也是结构复杂的非
线性优化问题中的重要分支，其理论研究和方法的开发，为解决复杂的优化问题奠定了坚实的基础。
函数的极值
29-5
定义 称 f x 0 的点为函数 f x 的驻点或稳定点．
驻点和不可导点为函数可能极值点．
如何判断其极值情况？
29-6
1.极值第一判别法
(1)极小值点与极小值
若函数 y＝f (x)在点 x＝a 的函数值 f (a)比它在点 x＝a 附近其他
x0 为函数 f x 的一个极大值点
（2） f x f x0 ，则称 f x0 为函数 f x 的一个极小值，
x0 为函数 f x 的一个极小值点
极大值与极小值统称为函数的极值．
极大值点与极小值点统称为函数的极值点．
29-3
函数的极值反映了函数在一点及其邻近的一个局部性态．
求得驻点为1 = −1, 2 = 3
又 ′′ = 6 − 6，
当1 = −1时， ′′ < 0,
当2 = 3时， ′′ > 0,
14
5：求
解：
极值
作业
(1)求函数 f (x)＝3x －3x＋1 的极值．
3
3
3
[解] f ′(x)＝9x －3，令 f ′(x)＝0，得 x1＝－ 3 ，x2＝ 3 .
定理如果函数 f x 在点 x0 处可导，且取得极值 f x0 ，则 f x0 0 ．
逆命题不成立．
如在点 x x6 处曲线 y f x 虽然有水平切线
[即 f x6 0 ]，但不取得极值．
因此导数为零只是函数在相应点处取得极值
的必要条件，而不是充分条件．
函数的极值
极值
思考：“山势有什么特点？”
连绵起伏形成好多的“峰点”与“谷点”．
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§3.4 函数的极值
一、函数极值的定义
定义3.2 设函数()f x 在点0x 的某邻域内有定义，若对此邻域内每一点x (0x x ≠)，恒有0()()f x f x <，则称0()f x 是函数()f x 的一个极大值，0x 称为函数()f x 的一个极大值点；
若对此邻域内每一点x (0x x ≠)，恒有0()()f x f x >，则称0()f x 是函数
()f x 的一个极小值，
0x 称为函数()f x 的一个极小值点.
极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点.
注意：
(1)极值是一个局部性的概念，它只是与极值点邻近点的函数值相比较而言，并不意味着它在整个定义区间最大或最小.
a b上可以
(2)某个函数在区间(,)
有多个极大值和极小值.
(3)极大值不一定要比极小值大.
(4)极值不能在定义区间端点取得.
图
定理 3.4 (必要条件)如果函数()f x 在点0x 处有极值0()f x ,且0()f x '存在,则0()0f x '=.(证明略)
该定理表明,0()0f x '=是点0x 为极值点的必要条件,而不是充分条件.
例如,3
()(1)1f x x =-+,
2()3(1)f x x '=-,且(1)0f '=,但
()f x 在1x =处没有极值. 图对于导数不存在的点,函数可能有极值,也可能没有极值. 图
二、极值的判别方法一
定理 3.5 设函数()f x 在点0x 的某个邻域内有定义,且0()0f x '=(或0()f x '不存在),那么
(1)如果在0x 左侧某个邻域内有()0f x '>,在0x 右侧某个邻域内有()0f x '<,则0x 为()f x 的一个极大值点.
(2)如果在0x 左侧某个邻域内有()0f x '<,在0x 右侧某个邻域内有()0f x '>,则0x 为()f x 的一个极小值点.
(3)如果在0x 左右两侧邻域内()f x '符号相同,则0x 不是()f x 的极值点.
图
求函数极值的步骤：
(1)确定函数定义域;
(2)求出()f x ',令()0f x '=,求出()f x 的所有驻点;
(3)找出()f x 在其定义域内的所有导数不存在的点;
在这些点的左右两
(4)考察()
f x
侧的符号,根据定理3.5判断这些点是否是极值点,若是,是极大值点还是极小值点.
(5)求出极值点处的函数值,即极值.
例1 求函数32()34f x x x =-+的极值. 解：定义域(,)D =-∞+∞
2
()36f x x x '=-.
令()0f x '=,即2
360x x -=,得驻点10x =,22x =;()f x 没有不可导的点;
x (,0)-∞ 0 (0,2) 2 (2,)+∞
()f x ' +
0 - 0 + ()f x ↗ 极大值 4
↘ 极小值 0 ↗
0x =时()f x 有极大值(0)4f =; 2x =时()f x 有极小值(2)0f =.
图
例2 求函数233()2
f x x x =-的极值. 解：定义域(,)D =-∞+∞，
13()1f x x -'=-.
令()0f x '=,即13
10x --=,得驻点1x =；0x =时()f x '无定义,()f x 不可导;
x (,0)-∞ 0 (0,1) 1 (1,)+∞ ()f x ' + 不存在 - 0 + ()f x ↗ 极大值0 ↘ 极小值12- ↗
0x =时()f x 有极大值(0)0f =;
1x =时()f x 有极小值1(1)2f =-.
图
三、极值判别方法二
定理3.6 若点0x 是函数()f x 的驻点且函数()f x 在点0x 处有二阶导数0()f x '',那么
(1)如果0()0f x ''<,则点0x 为()f x 的一个极大值点;
(2)如果0()0f x ''>,则点0x 为()f x 的一个极小值点;
注意：如果0()0f x ''=,此定理失效,这时要改用定理3.5来判定.
例3 求函数3
()35f x x x =-+的极值. 解：定义域(,)D =-∞+∞
2()33
f x x '=-.
令()0f x '=，即2330x -=
得驻点11x =-，21x = 又()6f x x ''= 因为(1)60f ''-=-<,所以(1)7
f -=为极大值；
因为(1)60f ''=>,所以(1)3f =为
极小值. 图。