15.3 第2课时 分式方程的应用
渭南市实验中学八年级数学上册 第十五章 分式 15.3 分式方程 课时2 分式方程与实际问题的综合教
第十五章分式15.3 分式方程课时2 分式方程的应用【知识与技能】(1)进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程.(2)熟练地列可化为一元一次方程的分式方程解应用题.【过程与方法】建立分式方程模型的过程,体会建模思想.【情感态度与价值观】在探索分式方程解决实际问题的过程中,体会数学在实际生活中的广泛应用.在不同的实际问题中审清题意设未知数,列分式方程,解决实际问题.在不同的实际问题中,设未知数列分式方程.多媒体课件.教师出示问题:1.列方程解应用题的一般步骤是什么?(1)审;(2)设;(3)列;(4)解;(5)验;(6)答.(教师板书)2.由学生讨论,我们现在所学过的应用题有哪些类型?学生举手回答上面的两个问题,教师点评.在学生讨论的基础上,教师归纳、总结,基本上有五种:(出示投影)(1)行程问题:路程=速度×时间,而行程问题中又分相遇问题和追及问题.(2)数字问题:在数字问题中,要掌握十进制数的表示法.(3)工程问题:工作量=工作时间×工作效率.(4)顺水、逆水问题:v顺水=v静水+v水,v逆水=v静水-v水.(5)利润问题:售价-进价=利润率×进价.教师引入:有一些实际问题,我们可以通过列分式方程解决.(板书课题)教师:同学们,我们一起来看几个例子(教师依次出示教材P152例3、P153例4):例3两个工程队共同参与一项筑路工程,甲队单独施工1个月完成总工程的13,这时增加了乙队,两队又共同工作了半个月,总工程全部完成.哪个队的施工速度快?分析:甲队1个月完成总工程的,设乙队单独施工1个月能完成总工程的,那么甲队半个月完成总工程的(),乙队半个月完成总工程的(),两队半个月完成总工程的().教师引导学生在用式子表示上述的量之后,再根据“甲、乙两个工程队的工程总量=总工程量”这一相等关系建立方程.教师示范解答过程,强调必须检验这一过程.例4某次列车平均提速v km/h.用相同的时间,列车提速前行驶s km,提速后比提速前多行驶50 km,提速前列车的平均速度为多少?学生讨论,教师引导.先指导学生读题,理清速度、路程和时间所对应的式子,再抓住“相同的时间”这一关键词,得出相等的数量关系,即“提速前的路程÷提速前的速度=提速后的路程÷提速后的速度”,从而建立方程.学生自己独立完成解答过程,教师再演示解答过程.注意:教师帮助学生解决含有字母的计算问题,求出关于x的方程的解.教师提醒:表达问题时,用字母不仅可以表示未知数(量),也可以表示已知数(量).最后教师总结:(1)在实际问题中,有时题目中包含多个相等数量关系,在列方程时一定要选择一个能够体现全部(或大部分)题意的相等关系.(2)在检验过程中,不仅要检验所得的根是否为原分式方程的根,还要检验这个根在实际问题中是否具有实际意义,如时间非负、人数为正数等.(3)在一些实际问题中,有时直接设问题所求的量为未知数可能比较麻烦,可以间接地设未知数.接着教师让学生独立完成教材P154练习第1,2题,同桌之间互相检查.列分式方程解应用题按下列步骤进行:(1)审题,了解已知量与所求各量所表示的意义,弄清它们之间的数量关系;(2)设未知数;(3)找出能够表示题中全部(或大部分)含义的相等关系,列出分式方程;(4)解这个分式方程;(5)验根,检验所求得的根是不是增根,以及是否符合实际意义;(6)写出答案.第十一章检测题(时间:120分钟满分:120分)一、选择题(每小题3分,共30分)1.下列长度的三条线段能组成三角形的是( D )A.1,2,3 B.1, 2 ,3 C.3,4,8 D.4,5,62.正十边形的一个内角的度数是( D )A.108°B.120°C.135°D.144°3.已知△ABC中,∠B是∠A的2倍,∠C比∠A大20°,则∠A等于( A )A.40°B.60°C.80°D.90°4.如图,D,B,C,E四点共线,∠ABD+∠ACE=230°,则∠A的度数为( A )A.50°B.60°C.70°D.80°(第4题图)(第6题图)(第7题图)5.一个正多边形的外角等于45°,则这个正多边形的内角和是( B )A.1 440°B.1 080°C.900°D.720°6.如图,AD是△ABC的中线,已知△ABD的周长为22 cm,AB比AC长3 cm,则△ACD 的周长为( A )A.19 cm B.22 cm C.25 cm D.31 cm7.小明同学把自己的一副三角板(两个直角三角形)按如图所示的位置将相等的边叠放在一起,则α的度数为( C )A.135°B.120°C.105°D.75°8.已知n是正整数,若一个三角形的三边长分别是n+2,n+8,3n,则满足条件的n 的值有( D )A.4个B.5个C.6个D.7个9.如图,在△CEF中,∠E=80°,∠F=50°,AB∥CF,AD∥CE,连接BC,CD,则∠A的度数是( B )A.45°B.50°C.55°D.80°(第9题图)(第10题图)10.如图,在△ABC中,∠C=36°,将△ABC沿着直线l折叠,点C落在点D的位置,则∠1-∠2的度数是( B )A.36°B.72°C.50°D.46°二、填空题(每小题3分,共18分)11.工人师傅盖房子时,常将房梁设计成如图所示的图形,使其牢固不变形,这是利用三角形的稳定性.(第11题图) (第14题图) (第16题图)12.若三角形两边长分别是2,4,第三边长为偶数,则第三边长为4. 13.若一个n 边形的外角和与它的内角和之和为1 800°,则边数n =10.14.如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,AD 平分∠CAB,交边BC 于点D ,过点D 作DE⊥AB,垂足为点E.若∠CAD=20°,则∠EDB 的度数是40°.15.已知a ,b ,c 是三角形的三条边,则化简|a -b +c|-|c -a -b|=2c -2b .16.如图,在△ABC 中,∠A =84°,点O 是∠ABC,∠ACB 平分线的交点,点P 是∠BOC,∠OCB 平分线的交点,若∠P=100°,则∠ACB 的度数是56°.三、解答题(共72分)17.(6分)求图中∠α的度数.(1)解:∠α=360°-65°-70°-(180°-40°)=85°.(2)解:∠α=180°-(360°-90°-90°-40°)=40°.18.(6分)若三角形的三边长分别是2,x ,10,且x 是不等式x +14 <1-1-x 5的正偶数解,试求第三边的长x.解:原不等式可化为5(x +1)<20-4(1-x),解得x <11,又根据三角形的三边关系,得10-2<x <10+2,解得8<x <12,∵x 是正偶数,∴x =10,∴第三边的长为10.19.(6分)如图,AD 是△ABC 的高,AE 是△ABC 的角平分线,若∠BAC∶∠B∶∠C=6∶3∶1,求∠DAE 的度数.解:∵∠BAC∶∠B∶∠C=6∶3∶1,∴设∠BAC=6α,则∠B=3α,∠C =α,∵∠BAC +∠B+∠C=180°,∴6α+3α+α=180°,解得α=18°,∴∠BAC =108°,∠B =54°,∠C =18°.∵AD 是△ABC 的高,∴∠ADB =90°,∴∠BAD =180°-90°-54°=36°,∵AE 是△ABC 的角平分线,∴∠BAE =12 ∠BAC=12×108°=54°,∴∠DAE =∠BAE -∠BAD=54°-36°=18°.20. (8分)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,∠A =34°,△ABC 的外角∠CBD 的平分线BE 交AC 的延长线于点E.(1)求∠CBE 的度数;(2)过点D 作DF∥BE,交AC 的延长线于点F ,求∠F 的度数.解:(1)∵∠ACB=90°,∠A =34°,∴∠CBD =∠ACB+∠A=124°,∵BE 是∠CBD 的平分线,∴∠CBE=12∠CBD=62°.(2)∵∠ECB=90°,∠CBE =62°,∴∠CEB =90°-∠CBE=28°,∵DF ∥BE ,∴∠F =∠CEB=28°.21.(8分)如图,D 是△ABC 的边BC 上的一点,且∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC =66°,求∠DAC 的度数.解:∵∠4=∠1+∠2,∠1=∠2,∴∠4=2∠1,∵∠3=∠4,∴∠3=2∠1,∵∠BAC =66°,∴180°-∠2-∠3=180°-∠1-2∠1=66°,解得∠1=38°,∴∠DAC =∠BAC-∠1=66°-38°=28°.22.(8分)如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB 于点D.(1)求证:∠ACD=∠B;(2)若AF 平分∠CAB,且分别交CD ,BC 于点E ,F ,求证:∠CEF=∠CFE.证明:(1)∵∠ACB=90°,∴∠ACD +∠DCB=90°,又∵CD⊥AB 于点D ,∴∠DCB +∠B=90°,∴∠ACD =∠B.(2)∵∠CEF=∠CAF+∠ACD,∠CFE =∠B+∠FAB,又∵AF 平分∠CAB,∴∠CAF =∠FAB,由(1)知∠ACD=∠B,∴∠CEF =∠CFE.23.(9分)当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时,我们称此三角形为“特征三角形”,其中α称为“特征角”.(1)已知一个“特征三角形”的“特征角”为100°,求这个“特征三角形”的最小内角的度数;(2)是否存在“特征角”为120°的三角形?若存在,请举例说明.解:设三角形的另一个内角为γ.(1)∵α=2β,且α+β+γ=180°,∴当α=100°时,β=50°,则γ=30°,∴这个“特征三角形”的最小内角的度数是30°.(2)不存在.∵α=2β,且α+β+γ=180°,∴当α=120°时,β=60°,则γ=0°,此时不能构成三角形,∴不存在“特征角”为120°的三角形.24.(9分)如图,在△ABC 中(AC >AB),AC =2BC ,BC 边上的中线AD 把△ABC 的周长分成60 cm 和40 cm 两部分,求边AC 和AB 的长.(提示:设CD =x cm )解:∵AD 是BC 边上的中线,∴BD =CD ,设BD =CD =x cm ,AB =y cm ,∵AC =2BC ,∴AC =4x cm ,分为两种情况:①若AC +CD =60 cm ,AB +BD =40 cm 时,则⎩⎪⎨⎪⎧4x +x =60,x +y =40, 解得⎩⎪⎨⎪⎧x =12,y =28, 即AC =4×12=48(cm ),AB =28 cm ,BC =2×12=24(cm ),此时符合AC >AB 和三角形三边关系;②若AC +CD =40 cm ,AB +BD =60 cm 时,则⎩⎪⎨⎪⎧4x +x =40,x +y =60, 解得⎩⎪⎨⎪⎧x =8,y =52,即AC =4×8=32(cm ),AB =52 cm ,不符合AC >AB ,舍去.综上所述,AC 的长为48 cm ,AB 的长为28 cm .25.(12分) “转化”是数学中的一种重要思想,即把陌生的问题转化成熟悉的问题,把复杂的问题转化成简单的问题,把抽象的问题转化成具体的问题.(1)请你根据已经学过的知识求出下面星形图①中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数;(2)若对图①中星形截去一个角,如图②,请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数;(3)若再对图②中的角进一步截去,你能由题(2)中所得的方法或规律,猜想图③中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗?(只需写出结论,不需要写出解题过程)解:(1)如图①,∵∠1=∠2+∠D=∠B+∠E+∠D,∠1+∠A+∠C=180°,∴∠A +∠B+∠C+∠D+∠E=180°.(2)如图②,∵∠1=∠2+∠F=∠B+∠E+∠F,∠1+∠A +∠C+∠D=360°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.(3)根据题(2)可得出规律:图①中,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°,每截去一个角则会增加180度,所以当截去5个角时增加了(180×5)度,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E +∠F+∠G+∠H+∠M+∠N=180°×5+180°=1 080°.2.5 等腰三角形的轴对称性同步测试题(满分120分;时间:120分钟)班级____________姓名___________成绩_________一、选择题(本题共计 9 小题,每题 3 分,共计27分,)1. 已知等腰三角形中,腰=,底=,则这个三角形的周长为()A. B. C. D.2. 的三边长分别,,,且=,则是()A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形3. 下列条件中,不能得到等边三角形的是()A.有两个内角是的三角形B.有两边相等且是轴对称的三角形C.有一个角是且是轴对称的三角形D.三边都相等的三角形4. 在等腰中,,、分别是底角的平分线,,图中等腰三角形有()A.个B.个C.个D.个5. 已知等腰三角形的一个外角等于,则这个三角形的三个内角的度数分别是()A.、、B.、、C.、、D.、、或、、6. 如图,在中,,,以为圆心,的长为半径作圆弧,交于点,连接,则等于()10A. B.C. D.7. 下列说法:①在中,若,则为等边三角形;②在中,若,则为等边三角形;③有两个角都是的三角形是等边三角形;④一个角为的等腰三角形是等边三角形.其中正确的个数为()A.个B.个C.个D.个8. 已知,,为的各边边长,当时,则的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形9. 如图,正方形网格中,网格线的交点称为格点,已知,是两格点,如果也是图中的格点,且使得为等腰三角形,则点的个数是()A. B. C. D.二、填空题(本题共计 8 小题,每题 3 分,共计24分,)10. 已知等腰三角形的一个外角为,则它的顶角的度数为________.11 已知一个等腰三角形的一个角是,其顶角的度数为________.12. 有一个角是________的等腰三角形是等边三角形.13. 如果一个三角形的两条角分线又是它的两条高线,则这个三角形是________三角形.14 如图,在的正方形网格中,点、分别在格点上,在图中确定格点,则以、、为顶点的等腰三角形有________个.15 如图,已知在矩形中,对角线,相交于点,且,,则图中长度为的线段有________条.16 如图,已知,,,,…,以此类推,若,则________.三、解答题(本题共计 8 小题,共计72分,)17. 画一个,在射线上任选一点,画,与交于点,试判断的形状.18. 如图,在中,=,于点,平分交于点,交于点,求证:=.19 如图,在中,,,,,求的度数.20. 如图,在等边中,点,分別在边,上,,过点作丄,交的延长线于点.求的度数;若,求,的长.21 如图,在中,=,点,点分别是,上一点,且.若=,=,求的度数.22. 如图,已知等边三角形,是边上一点,作交于点,交延长线于点,求证:=.23 如图,等边边长为,点是等边的中心,连接.将线段绕点顺时针旋转,设旋转角为._________;如图,当时,线段旋转到,求证在旋转过程中,当时,直接写出点经过的路径长.。
人教版八年级数学上册课件:15.3 分式方程(第二课时)
3.(2019新疆)两个小组同时从甲地出发,匀速步行到乙 地,甲乙两地相距7500米,第一组的步行速度是第二 组的1.2倍,并且比第二组早15分钟到达乙地.设第 二组的步行速度为x千米/小时,根据题意可列方程是 (D)
4.某学校食堂需采购部分餐桌,现有A、B两个商家,A
商家每张餐桌的售价比B商家的优惠13元.若该校花 费2万元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费1.8 万元采购款在A商家购买餐桌的张数,则A商家每张餐
(1)这两次各购进这种衬衫多少件?
(2)若第一批衬衫的售价是200元/件,老板想让这两批衬 衫售完后的总利润不低于1950元,则第二批衬衫每件 至少要售多少元? (2)设第二批衬衫每件售价y元.根据题意,得 30×(200-150)+15(y-140)≥1950, 解得y≥170. 答:第二批衬衫每件至少要售170元.
桌的售价为( A )
A.117元
B.118元
C.119元
D.120元
5.某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿 化,由于施工时增加了2名工人,结果比计划提前3小 时完成任务,若每人每小时绿化面积相同,求每人每 小时的绿化面积.设每人每小时的绿化面积为x平方
米,请列出满足题意的方程是
.
6.某校学生捐款支援地震灾区,第一次捐款总额为 6600元,第二次捐款的总额为7260元,第二次捐款的 总人数比第一次多30人,而且两次人均捐款额恰好相 等,则第一次捐款的总人数为 300 人.
15.3.2分式方程的实际应用——工程、行程问题+课件+2024-2025学年人教版数学八年级上册
拓展应用
解:设规定日期为x天,根据题意,得
1
x 3
1
3
1
x x4
x4
解得:x=12.
经检验:x=12是原方程的解且符合题意.
答:规定日期为12天.
回顾反思
1. 本节课探究了分式的哪些问题?
2. 在探寻分式方程的应用时,你经历了哪些数学活动?在
(2)数字问题:在数字问题中要掌握十进制数的表示法;
(3)工程问题:基本公式: 工作量=工时×工效以及它的两个变式 ;
回顾复习
(4)顺水逆水问题:顺水速度= 轮船速度+水流速度 ,
逆水速度= 轮船速度-水流速度 ;
(5)利润问题:基本公式: 利润=售价-进价,利润率=利润÷进价.
探究新知
学生活动一 【一起探究】
的工作效率比原计划提高20%,结果提前2天完成任务.设原计
划每天铺设x米,下面所列方程正确的是( A )
720
720
2
x
( x 20%) x
720
720
C.
2
(1 20%) x
x
A.
720
720
2
(1 20%) x
x
720
720
D.
x 2 (1 20%) x
B.
拓展应用
x
x 2x
解得x=30,
经检验x=30为原方程的根且符合题意.
∴2x=60.
答:甲队单独完成这项工程需30天,乙队单独完成这项工程
需60天.
课后作业
1.课本P154 习题15.3第3,5题.
2019秋人教版八年级数学上册习题课件:第15章 15.3 第2课时 分式方程的应用
解:在不耽误工期的情况下只能选择方案(1)或(3).设工期为 x 天,则甲队 单独完成需 x 天,乙队单独完成需(x+5)天,由题意得:4x+x+x 5=1,解得 x=20,经检验 x=20 是原方程的解,且符合题意,则方案(1)需工程款 1.5×20 =30(万元),方案(3)需工程款 1.5×4+1.1×20=28(万元),∵28<30,∴在 不耽误工期的情况下,方案(3)最省工程款.
知识点三:百分率问题
3.(舟山中考)甲、乙两个机器人检测零件,甲比乙每小时多检测 20 个,甲 检测 300 个比乙检测 200 个所用的时间少 10%,若设甲每小时检测 x 个, 则根据题意,可列出方程: 3x00=x2-0020×(1-10%) .
知识点四:商品销售问题 4.(广东中考)某公司购买了一批 A、B 型芯片,其中 A 型芯片的单价比 B 型芯片的单价少 9 元,已知该公司用 3120 元购买 A 型芯片的条数与用 4200 元购买 B 型芯片的条数相等. (1)求该公司购买的 A、B 型芯片的单价各是多少元? (2)若两种芯片共购买了 200 条,且购买的总费用为 6280 元,求购买了多少 条 A 型芯片?
【规范解答】(1)设 B 型机器人每小时搬运 x 千克材料,则 A 型机器人每小 时搬运(x+30)千克材料.根据题意,得x1+00300=8x00.解得 x=120.经检验,x =120 是原方程的解,且符合题意.当 x=120 时,x+30=150.答:A 型机 器人每小时搬运 150 千克材料,B 型机器人每小时搬运 120 千克材料; (2)设购进 A 型机器人 a 台,则购进 B 型机器人(20-a)台.根据题意,得 150a +120(20-a)≥2800.解得 a≥430.∵a 是整数,∴a≥14.答:至少购进 A 型机 器人 14 台.
八年级上册数学15.3第2课时列分式方程解决实际问题
课堂练习
7.为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作,某中学以 体育为突破口,准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球 ,用于学校球类比赛活动.每个足球的价格都相同,每个篮球的价 格也相同.已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元,用1200元购买 足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍. (1)足球和篮球的单价各是多少元?
.
甲队 乙队
工作时间(月) 工作效率
1 1
1
2
3
1
1
2
x
工作总量(1)
(1 1 ) 1 23
11 2x
探索新知
知识点 列分式方程解决实际问题
等量关系: 甲队完成的工作总量+乙队完成的工作总量=“1”
(1 1 ) 1
11
23
2x
列得分式方程:1 1 1 1 1 1.
2 3 2 x
探索新知
解得 x sv
.
50
检验:由v,s都是正数,得 x sv
时,x(x+v)≠0.
50
所以,原分式方程的解为 x sv
.
50
答:提速前列车的平均速度为 sv
50
km/h.
探索新知
知识点 列分式方程解决实际问题
列分式方程解决实际问题的一般步骤 1.审:审清题意,分清题中的已知量、未知量; 2.找:找出题中的相等关系, 3.设:设出恰当的未知数,注意单位和语言的完整性; 4.列:根据题中的相等关系,正确列出分式方程; 5.解:解所列分式方程;
.
﹣
=30
课堂练习
6.某网店开展促销活动,其商品一律按8折销售,促销期间用400元 在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件.问:该商品打折前每 件多少元?
15.3+分式方程第2课时+列分式方程解决实际问题课件2024-2025学年人教版八年级数学上册++
能力提升
7.某工厂急需生产一批健身器械共500台,送往销售点出售.当生产150台后,接到通知,要求提前完成任务,因而接下来的时间里每天生产的台数提高到原来的1.4倍,一共用8天刚好完成任务.
4.解题方法:可概括为“321”,即3指该类问题中三量关系,如工程问题有工作效率,工作时间,工作量;2指该类问题中的“两个主人公”如甲队和乙队,或“甲单独和两队合作”;1指该问题中的一个等量关系.如工程问题中等量关系是:两个主人公工作总量之和=全部工作总量.
3.弄清基本的数量关系.如本题中的“合作的工效=甲乙两队工作效率的和”.
解:设运输公司用大货车 辆,小货车 辆,依题意 由②得 ,把④代入③得 解得 .方案一:当 时, ,费用为 元;方案二:当 时, ,费用为 元, 方案二费用最低,最低运输费用是15 900元.
中考链接
8.(2022·北部湾经济区)《千里江山图》是宋代王希孟的作品,它的局部画面装裱前是一个长为 ,宽为 的矩形,装裱后,整幅画宽与长的比是 ,且四周边衬宽度相等,则边衬的宽度应是多少米?设边衬的宽度为 ,根据题意可列方程( ) .
5.某瓶装饮料每箱价格是26元,某商店对该饮料进行“买一送三”的促销活动,即买一箱送三瓶,这相当于每瓶比原价便宜了0.6元,该品牌饮料每瓶多少元?设该品牌饮料每瓶是 元,则可列方程为_ _____________.
6.自行车运动深受市民的喜爱.A地、B地间有一条自行车道.小明从A地出发骑行去B地,小军从B地出发骑行去A地.
(1)小明和小军相约上午8时同时从各自出发地出发,匀速骑行,到上午10时,他们相距 ,到中午12时,两人又相距 .求A,B两地间的自行车道的距离.
人教版数学八年级初二上册 15.3.2分式方程的应用---工程问题 名师教学教案 教学设计反思
(难点突破)
活动一:看谁算的快
1.甲车要运480方土需要6天,则甲车平均一天要运多少方土?( )
2.甲车要运一堆土需要6天,则甲平均一天要运这堆土的几分之几?( )
3.甲车要运一堆土需要x天,则甲平均一天要运这堆土的几分之几( )
活动二:典型例题
例3:两个工程队又共同参与了二期筑路工程,甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一,这时增加了乙队,两队又共同工作了半个月,总工程全部完成。
从学生角度分析为什么难
学生审题不清,找不到隐含条件,找等量关系比较困难,其次计算能力慢、弱,常常忘了检验。
难点敎學方法
引导式敎學法、自主式探究法
敎學环节
敎學过程
导入
1、用额敏火车站的效果图与建设中的额敏火车站引入。
2、工程问题基本量有哪些?有怎样的关系?
(设计意图:教师点明了本节课的学习内容同时提出了问题,引发学生注意与思考,并自然过渡到新课。)
问 1:甲队单独完成需要几个月?
2:乙队单独完成需要几个月?
3:哪个队的施工速度快?
分析:可以借助表格,搞清楚各各量,找出等量关系。
类比整式方程解决实际问题归纳总结方式方程解决实际问题的一般步骤,
审:审清题意,找出数量关系和相等关系;
设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整;
列:根据数量和相等关系,正确列出方程;
小结
我的收获我来讲
1、工作量=工作效率×工作时间
2、列分式方程解决实际问题的一般步骤为:审、设、列、解、
单位名称
额敏县第六中学
填写时间
2020年6月29日
学科
数学
年级/册
八年级(上)
教材版本
人教版
人教版八年级数学上册教案:15.3.2 列分式方程解决实际问题
在数字问题中要掌握十进制数的表示法.
(3)工程问题
基本公式:________________;
(4)顺水逆水问题
顺水速度=____________;逆水速度=____________.
温故知新,唤醒学生的已有知识体系,为本节课作知识的铺垫.
活动
一:
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】问题:一艘轮船顺水航行40千米所用的时间与逆水航行30千米所用的时间相同,若水流速度为3千米/时,求轮船在静水中的速度.分析:设轮船在静水中的速度为x千米/时,则顺水航行的速度为________千米/时,逆水航行的速度为________千米/时,顺水航行的时间为________时,逆水航行的时间为________时,根据题意,可得方程________________________________.1.利用课件提出实际应用问题:求出车速.
解得x=1.
检验:当x=1时,6x≠0.所以,原分式方程的解为x=1.
由上可知,若乙队单独施工1个月可以完成全部任务,对比甲队1个月完成任务的 ,可知乙队的施工速度快.
1.通过例题教学使学生掌握基础知识、基本的运算方法,掌握解决数学问题的基本技能,增强学生解决问题的能力.2.通过例题教学使学生掌握基本的数学语言、规范其解题书写格式.3.通过例题教学提高学生分析问题解决问题的能力.
(4)列车提速前行驶skm所用的时间与列车提速后行驶(s+50)km所用的时间相同;(5) , ;(6) =
解:设提速前这次列车的平均速度为xkm/h,则提速前它行驶skm所用时间为 h;提速后列车的平均速度为(x+v)km/h,提速后它行驶(s+50)km所用时间为 h.根据行驶时间的等量关系,得 = .
第1套人教初中数学八上 15.3 分式方程(第2课时)分式方程的应用课件 【通用,最新经典教案】
2
3
4
5
6
).
B.a7
C.a6
D.a12
关闭
B
答案
1
2
3
4
5
6
2.下列计算正确的是(
).
A.b4·
b2=b8
B.x3+x2=x6
C.a4+a2=a6
D.m3·
m=m4
关闭
选项 A 和 D 都是同底数幂的乘法,底数不变,指数相加;选项 B 和 D 的左边都不是同类项,
不能合并.
关闭
D
解析
答案
6
.
关闭
2 187
答案
1
2
3
4
5
6
6.计算:
(1)-36×37;
(2)y5·
y4·
y;
(3)a3·
a5-a2·
a6;
(4)29×28×23.
关闭
(1)-36×37=-36+7=-313;
(2)y5·y4·y=y5+4+1=y10;
(3)a3·a5-a2·a6=a8-a8=0;
(4)29×28×23=29+8+3=220.
40
30
程为 + 3 = -3 .
5.列分式方程解应用题的基本步骤
(1) 审 ——仔细审题,找出等量关系;
(2) 设 ——合理设未知数;
(3) 列 ——根据等量关系列出方程(组);
(4) 解 ——解出方程(组);
(5) 验 ——检验;
(6) 答 ——写出答案.
新课早知
学前温故
6.小兰的妈妈在供销大厦用 12.50 元买了若干瓶酸奶,但她在百
15.3第2课时 分式方程的实际应用
•
15、一年之计,莫如树谷;十年之计,莫如树木;终身之计,莫如树人。2021年9月下午5时34分21.9.1217:34September 12, 2021
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16、教学的目的是培养学生自己学习,自己研究,用自己的头脑来想,用自己的眼睛看,用自己的手来做这种精神。2021年9月12日星期日5时34分2秒17:34:0212 September 2021
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇,谁就心想事成。21.9.1221.9.1217:34:0217:34:02September 12, 2021
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14、谁要是自己还没有发展培养和教育好,他就不能发展培养和教育别人。2021年9月12日星期日下午5时34分2秒17:34:0221.9.12
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17、儿童是中心,教育的措施便围绕他们而组织起来。下午5时34分2秒下午5时34分17:34:0221.9.12
•
You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己,这是成功的秘诀。
•
遵义学练考 数学 8上【R】
第十五章
15.3 分式方程
第2课时 分式方程的实际应用
பைடு நூலகம் •
9、要学生做的事,教职员躬亲共做;要学生学的知识,教职员躬亲共学;要学生守的规则,教职员躬亲共守。21.9.1221.9.12Sunday, September 12, 2021
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。17:34:0217:34:0217:349/12/2021 5:34:02 PM
思南县第八中学八年级数学上册第十五章分式15.3分式方程第2课时分式方程的应用教案新版新人教版8
第2课时 分式方程的应用1.进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程.2.使学生能较熟练地列可化为一元一次方程的分式方程解应用题.重点在不同的实际问题中审明题意设未知数,列分式方程,解决实际问题. 难点在不同的实际问题中,设未知数列分式方程.一、复习引入 1.解下列方程:(1)3-x x +1=4+x x +1-2;(2)2x +3+32=72x +6. 2.列方程解应用题的一般步骤:(1)审;(2)设;(3)列;(4)解;(5)答.[概括] 这些解题方法与步骤,对于解分式方程应用题也适用.这节课,我们将学习列分式方程解应用题.二、探究新知例 1 某校招生录取时,为了防止数据输入出错,2 640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍,然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知甲的输入速度是乙的2倍,结果甲比乙少用了2小时输完.问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩?[分析] (1)如何设元?(2)题目中有几个相等关系?(3)怎样列方程? 本题有两个相等关系: (1)甲速=2乙速 (2)甲时+120=乙时其中(1)用来设,(2)用来列方程.[概括] 列分式方程解应用题的一般步骤: (1)审清题意;(2)设未知数(要有单位);(3)根据题目中的数量关系列出式子,找出相等关系,列出方程; (4)解方程,并验根,还要看方程的解是否符合题意; (5)写出答案(要有单位).例2 A ,B 两地相距135千米,两辆汽车从A 开往B ,大汽车比小汽车早出发5小时,小汽车比大汽车晚到30分钟,已知小汽车与大汽车的速度之比为5∶2,求两车的速度.练习:(1)甲乙两人同时从A 地出发,骑自行车到B 地,已知AB 两地的距离为30 km ,甲每小时比乙多走3 km ,并且比乙先到40分钟.设乙每小时走x km ,则可列方程为( )A .30x -30x -3=23B .30x -30x +3=23C .30x +3-30x =23 D .30x -3-30x =23(2)我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务,由于情况发生了变化,急行军速度必须是原计划的1.5倍,才能按要求提前2小时到达,求急行军的速度.例3(教材例3) 两个工程队共同参与一项筑路工程,甲队单独施工1个月完成总工程的13,这时增加了乙队,两队又共同工作了半个月,总工程全部完成.哪个队的施工速度快?分析:甲队1个月完成工程的13,设乙队单独施工1个月能完成总工程的1x ,那么甲队半个月完成总工程的________,乙队半个月完成总工程的________,两队半个月完成总工程的________.本题是工程问题,注意基本公式是:工作量=工时×工效. 等量关系为:甲、乙两个工程总量总工程量.列方程:13+16+12x=1.例4(教材例4) 某次列车平均提速v km /h ,用相同的时间,列车提速前行驶s km ,提速后比提速前多行驶50 km ,提速前列车的平均速度为多少?分析:这里的字母v ,s 表示已知数据,设提速前列车的平均速度为x km /h ,那么提速前列车行驶s km 所用时间为________h ,提速后列车的平均速度为________km /h ,提速后列车运行(s +50)km 所用时间为________h .本题是列含字母系数的分式方程,解这个方程并且检验是难点,在解题过程中注意把s ,v 当作已知数.等量关系:提速前行驶50 km 所用的时间=提速后行驶(s +50) km 所用的时间.列方程:sx=错误!.练习:教材第154页练习第1,2题. 三、课堂小结1.列分式方程解应用题的一般步骤: (1)审:审清题意;(2)设:设未知数(要有单位);(3)列:根据题目中的数量关系找出相等关系,列出方程; (4)解:解方程,并验根,还要看方程的解是否符合题意; (5)答:写出答案(要有单位). 2.几种基本题型: (1)行程问题; (2)数字问题; (3)工程问题; (4)顺水逆水问题; (5)利润问题. 四、布置作业教材第154~155页习题15.3第3,4,5题.本节课结合具体的数学内容采用“问题情境——建立数学模型——解释应用与拓展”的模式展开,选择有现实意义的,对学生具有一定挑战性的内容,使学生在自主探索和合作交流的过程中建立数学模型,让学生能够自觉的用数学的眼光观察世界,提高发现问题、分析问题、解决问题的能力.第2课时 线段的垂直平分线的有关作图1.作出轴对称图形的对称轴,即线段垂直平分线的尺规作图.(重点)2.依据轴对称的性质找出两个图形成轴对称及轴对称图形的对称轴.(重点)一、情境导入有时我们感觉两个平面图形成轴对称,如何验证呢?不折叠图形,你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗?二、合作探究探究点一:作线段的垂直平分线【类型一】 作某条线段的垂直平分线如图,点A 和点B 关于某条直线成轴对称,你能作出这条直线吗?(注:作一对对应点的对称轴就是作线段AB 的垂直平分线)解析:本题其实就是作线段AB 的垂直平分线,根据线段垂直平分线的作法作出即可. 解:作法:(1)分别以点A 、B 为圆心,以大于12AB 的长为半径作弧,两弧相交于E 、F两点;(2)作直线EF ,EF 即为所求的直线.同样,对于轴对称图形,只要找到任意一组对应点,作出对应点所连线段的垂直平分线,就得到此图形的对称轴.方法总结:要熟练掌握线段垂直平分线的作法,作出的图形中的作图痕迹要保留.【类型二】 垂直平分线的作法与垂直平分线的性质的综合如图,已知点A 、点B 以及直线l .(1)用尺规作图的方法在直线l 上求作一点P ,使PA =PB .(保留作图痕迹,不要求写出作法);(2)在(1)中所作的图中,若AM =PN ,BN =PM ,求证:∠MAP =∠NPB .解析:(1)利用线段垂直平分线的作法作出即可;(2)利用全等三角形的判定方法以及利用其性质得出即可.解:(1)如图所示:(2)在△AMP 和△BNP 中,∵⎩⎪⎨⎪⎧AM =PN ,PM =BN ,AP =BP ,∴△AMP ≌△PNB (SSS),∴∠MAP =∠NPB .方法总结:解决此类问题首先要正确作出图形,然后运用相关的知识解决其他问题.【类型三】 垂直平分线作法的应用如图,某地由于居民增多,要在公路l 边增加一个公共汽车站,A ,B 是路边两个新建小区,这个公共汽车站C 建在什么位置,能使两个小区到车站的路程一样长(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写画法)?解析:作线段AB 的垂直平分线,由垂直平分线的定理可知,垂直平分线上的点到A ,B 的距离相等.解:连接AB ,作AB 的垂直平分线交直线l 于O ,交AB 于E .∵EO 是线段AB 的垂直平分线,∴点O 到A ,B 的距离相等,∴这个公共汽车站C 应建在O 点处,才能使到两个小区的路程一样长.方法总结:对于作图题首先要理解题意,弄清问题中对所作图形的要求,结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图.【类型四】 线段垂直平分线与角平分线作法的综合运用如图,某地有两所大学和两条交叉的公路.图中点M ,N 表示大学,OA ,OB 表示公路,现计划修建一座物资仓库,希望仓库到两所大学的距离相同,到两条公路的距离也相同,你能确定出仓库P应该建在什么位置吗?请在图中画出你的设计.(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)解析:到两条公路的距离相等,在这两条公路的夹角的平分线上;到两所大学的距离相等,在这两所大学两个端点的连线的垂直平分线上,所画两条直线的交点即为所求的位置.解:如图,点P为所求.方法总结:通过本题要熟练地掌握角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法.探究点二:对称轴的画法【类型一】画出已知图形的对称轴画出下列轴对称图形的所有对称轴(不考虑颜色).解析:利用轴对称图形的性质分别得出其对称轴即可.解:如图所示:方法总结:画轴对称图形的对称轴,先找出对称点,然后作对称点的垂直平分线即可.【类型二】补全图形,并画出对称轴如图,在4×3的正方形网格中,阴影部分是由4个正方形组成的一个图形,请你用两种方法分别在如图方格内填涂2个小正方形,使这6个小正方形组成的图形是轴对称图形,并画出其对称轴.解析:根据轴对称的性质画出图形即可.解:如图所示:方法总结:解答此类问题,一般要先设计出轴对称图形,然后根据图形的特点,画出对称轴.三、板书设计线段的垂直平分线的有关作图1.线段垂直平分线的作法.2.作轴对称图形的对称轴的方法.本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法,从而有效地增强了学生的感性认识,提高了学生对新知识的理解与感悟,因而本节课的教学效果较好,学生对所学的新知识掌握较好,达到了教学的目的.不足之处是少数学生对线段垂直平分线性质定理的逆定理理解不透彻,还需在今后的教学和作业中进一步进行巩固和提高.[菱形]说课稿一、教材分析1、在教材中的作用与地位[菱形]紧接[矩形]一节之后。
人教版八年级数学上册教案:15.3分式方程-分式方程的应用
我也注意到,在解决分式方程的难点部分,如去分母和移项,学生们的操作还不够熟练。这提示我,在接下来的课程中,需要设计更多的练习来加强这一部分的训练。
3.成果分享:每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果,这些成果将被记录在黑板上或投影仪上。
(五)总结回顾(用时5分钟)
今天的学习,我们了解了分式方程的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论,我们加深了对分式方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点,并在日常生活中灵活运用。如果有任何疑问或不明白的地方,请随时向我提问。
人教版八年级数学上册教案:15.3分式方程分式方程的应用。本节课将围绕以下内容展开:
1.掌握分式方程在实际问题中的应用;
2.学会列出分式方程解决实际问题;
3.能够运用等式性质和分式运算解决分式方程相关问题;
4.举例说明分式方程在生活中的应用,如速度、浓度、比例等问题。
(二)新课讲授(用时10分钟)
1.理论介绍:首先,我们要了解分式方程的基本概念。分式方程是含有分式的方程,它能够帮助我们解决涉及比例、速度、浓度等实际问题。
2.案例分析:接下来,我们来看一个具体的案例。假设有两人合作完成一项工作,甲工作效率是乙的两倍,他们合作3天完成了任务。我们可以通过分式方程来计算他们各自完成的工作量。
举例:在浓度问题中,若将5克盐溶解在水中得到20%的盐水,求所需水的质量。难点在于如何将“20%的盐水”这一描述转化为数学表达式,并建立正确的分式方程。
在教学过程中,需要针对以上难点进行详细讲解和反复练习,确保学生能够透彻理解分式方程的核心知识,并在实际问题中能够灵活应用。通过对重点和难点的强调,帮助学生建立起分式方程的解题框架,提高解题能力。
八年级数学人教版(上册)第2课时分式方程的实际应用——工程问题
解:根据题意,得 m×1180+n×1120=1. 整理,得 n=120-23m. ∵m<46,n<92,∴120-23m<92. 解得 42<m<46.
∵m 为正整数,∴m=43,44,45. 又∵n=120-23m 为正整数,∴m=45,n=90.
答:A,B 两个工程公司分别施工了 45 天、90 天.
箱药品,则下面所列方程正确的是( D )
A.6 0x00=x4+550000
B.x6-050000=4
500 x
C.6 0x00=x4-550000
D.x6+050000=4
500 x
2.(2021·东营)某地积极响应“把绿水青山变成金山银山,用绿 色杠杆撬动经济转型”发展理念,开展荒山绿化,打造美好家园, 促进旅游发展.某工程队承接了 90 万平方米的荒山绿化任务,为了 迎接雨季的到来,实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 25%, 结果提前 30 天完成了任务.设原计划每天绿化的面积为 x 万平方米,
解:设八年级捐书人数是 x,则七年级捐书人数是(x-150),依 题意,得
1 8x00×1.5=x1-810500,解得 x=450. 经检验,x=450 是原方程的解,且符合题意. 答:八年级捐书人数是 450.
5.某市开发区在一项工程招标时,接到甲、乙两个工程队的投标书,工
程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算,可有三种施工方案:①甲队单独完
成这项工程,刚好如期完工;②乙队单独完成此项工程,要比规定工期多用 5
天;③
,剩下的工程由乙队单独完成,也正好如期完工.某同学设规
定的工期为 x 天,根据题意列出了方程:4x+x+x 5=1,则方案③中被墨水污染
的部分应该是( B )
八年级数学上册 15.3 分式方程 第2课时 分式方程的实际应用教学设计 (新版)新人教版
八年级数学上册 15.3 分式方程第2课时分式方程的实际应用教学设计(新版)新人教版一. 教材分析本节课是人教版八年级数学上册第15.3节分式方程的实际应用。
分式方程是初中数学中的重要内容,是解决实际问题的基础。
本节课通过实际应用引出分式方程的概念,让学生在解决实际问题的过程中,体会分式方程的作用,培养学生的数学应用意识。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了分式的基本概念和性质,对分式有一定的理解。
但解决实际问题的能力还不够强,需要通过实际应用来提高。
学生在学习过程中,需要教师的引导和启发,才能将理论知识与实际问题相结合。
三. 教学目标1.理解分式方程的概念,掌握分式方程的解法。
2.能够将实际问题转化为分式方程,并解决问题。
3.培养学生的数学应用意识,提高解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.分式方程的概念和解法。
2.如何将实际问题转化为分式方程。
五. 教学方法采用问题驱动法,引导学生从实际问题中发现问题,提出问题,通过合作交流,解决问题。
教师在这个过程中,起到引导和启发的角色。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题,用于导入和巩固环节。
2.准备分式方程的解法,用于讲解和操练环节。
七. 教学过程1.导入(5分钟)通过一个实际问题,引出分式方程的概念。
例如:一个长方形的长是宽的2倍,长方形的面积是36平方厘米,求长方形的宽。
让学生尝试解决这个问题,引出分式方程的概念。
2.呈现(15分钟)讲解分式方程的解法,并通过例题进行演示。
让学生跟随教师一起解题,巩固分式方程的解法。
3.操练(15分钟)让学生独立完成一些分式方程的练习题,检验学生对分式方程解法的掌握程度。
教师在这个过程中,给予学生个别化的指导。
4.巩固(10分钟)通过一些实际问题,让学生运用分式方程解决问题。
例如:一个水池,注水速度是每分钟1.2立方米,排水速度是每分钟0.8立方米,问多少时间才能注满水池?让学生运用分式方程解决这个问题。
5.拓展(10分钟)让学生尝试解决一些更复杂的实际问题,提高学生解决实际问题的能力。
15.3 第2课时 分式方程的应用
他们正好同时到达,请问小轿车提速多少km/h?
路程 速度
面包 车
s-200
100
小轿 车
s-180
90+x
时间
s 200 100
s 180 x 90
0
180 200
S
解:设小轿车提速为x千米/小时,依题意得
s 200 s 180
100
x 90
解得x=
10s s 200
经检验: x 10s 是原方程的解,且x 10s 满足题意。
当ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ练习
当堂练习
1.几名同学包租一辆面包车去旅游,面包车的 租价为180元,出发前,又增加两名同学,结果 每个同学比原来少分摊3元车费,若设原来参加 旅游的学生有x人,则所列方程为( A )
2.一轮船往返于A、B两地之间,顺水比逆水快1小时到 达.已知A、B两地相距80千米,水流速度是2千米/小
方法
321法
15 15 2 . 3x x 3
解得
x=15.
经检验,x=15是原方程的根.
由x=15得3x=45.
答:自行车的速度是15千米/时,汽车的速度是45千米/时.
4.某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼,派王老 师和李老师去购买一些篮球和排球.回校后,王 老师和李老师编写了一道题:
同学们,请求出篮球和排球的单价各是多少元?
解:设小轿车提速为x千米/小时, 依题意得
s s 50 v xv
方程两边乘以xx v,得 sx v xx 50
解得x sv 50
检验:由s, v都是正数,得x sv 时,xx v 0,
50 所以,原分式方程的解为x sv
50
答:小轿车的提速为sv km/ h. 50
八年级数学上册教学课件《分式方程(第2课时)》
片的单价少9元,已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与
用4200元购买B型芯片的条数相等.
(1)求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元?
(2)若两种芯片共购买了200条,且购买的总费用为6280元,
求购买了多少条A型芯片?
课堂检测
15.3 分式方程
当x= –3时,(k+1)(–3)=4k,
所以当k=3或
时,原分式方程无解.
巩固练习
15.3 分式方程
如果关于x的方程
A. –3
无解,则m的值等于( B )
B. –2
C. –1
D. 3
解析:方程的两边都乘x–3,得2=x–3–m,移项并合并同类项
得,x=5+m,由于方程无解,此时x=3,即5+m=3,
探究新知
15.3 分式方程
归纳总结
列分式方程解应用题的一般步骤:
1. 审:分析题意,找出数量关系和相等关系.
2. 设:选择恰当的未知数,注意单位统一.
3. 列:根据数量和相等关系,正确列出方程.
4. 解:解这个分式方程.
5. 验:检验.既要检验所求的解是不是分式方程的解,又要检验是否符
合实际意义.
∴m = –2.
连接中考
15.3 分式方程
甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行,甲船
从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇,水流的
速度为6km/h,若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h,则求
两船在静水中的速度可列方程为( A )
A.
=
+
−
15.3.2复杂分式方程的解法 正式稿2
x=a
检验
最简公分母不为0
最简公分母为0 x a不是分 式方程的解。
32 4 x 1 x 1 x2 1 解:方程两边乘( x 1)(x 1), 得
3(x 1) 2(x 1) 4
解得
x 1
检验:当x 1时。(x 1)(x 1) 0
所以原分式方程无解。
(1) x
2
5
解: 方程两边分别通分
得,x 7 x 4 x 6 x 3 (x 4)( x 7) (x 3)( x 6)
即, 3
3
(x 4)( x 7) (x 3)( x 6)
所以 x 3x 6 x 4x 7 解得 x 5 经检验 x 5 是原方程的根
∴原方程的根是 x 5 .
八年级 上册
15.3 分式方程 (第2课时)
复杂分式方程的解法
复习
分式方程的概念: 分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
解分式方程的 一般步骤:
一去
去分母,两边同乘以最简公分母.
二解
解整式方程.
三验 四写
检验.代入最简公分母。 写出原分式方程的解。
解分式方程的思路是:
分式 方程
去分母
整式方程
目 标
1 1 1 1. x6 x8 x9 x5
x 7
课堂小结
1、解较复杂分式方程时 ,先变形整理,能约的 先约分,可方便确定最 简公分母。 2、注意每一步变形都要 有依据,去分母时, 不要漏乘不含分母的项 。
3、互为相反数的多项式 ,可通过对其中一 个提取负号实现统一。
4、分母过复杂时,最好 是左右两边通分, 不要两边同时除以含未 知数的项,否则是会少 根。
5、解分式方程一定要检验。