[推荐学习]2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(六十一) 坐标系

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【通用版】2018-2019学年高中理数新创新一轮复习课时达标检测五函数的单调性与最值含解析

课时达标检测（五）函数的单调性与最值[小题对点练——点点落实]对点练(一) 函数的单调性1．(2018·阜阳模拟)给定函数①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：选B ①y ＝x 12在(0,1)上递增；②∵t ＝x ＋1在(0,1)上递增，且0<12<1，故y ＝log 12(x ＋1)在(0,1)上递减；③结合图象可知y ＝|x －1|在(0,1)上递减；④∵u ＝x ＋1在(0,1)上递增，且2>1，故y ＝2x ＋1在(0,1)上递增．故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.2．(2018·天津模拟)若函数f (x )满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝(x －1)2B ．f (x )＝e xC ．f (x )＝1xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C 根据条件知，f (x )在(0，＋∞)上单调递减．对于A ，f (x )＝(x －1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A ；对于B ，f (x )＝e x 在(0，＋∞)上单调递增，排除B ；对于C ，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，C 正确；对于D ，f (x )＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D.3．(2018·宜春模拟)函数f (x )＝log 3(3－4x ＋x 2)的单调递减区间为( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，1)，(3，＋∞) C ．(－∞，1)D ．(－∞，1)，(2，＋∞)解析：选C 由3－4x ＋x 2>0得x <1或x >3.易知函数y ＝3－4x ＋x 2的单调递减区间为(－∞，2)，函数y ＝log 3x 在其定义域上单调递增，由复合函数的单调性知，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，1)，故选C.4．(2018·贵阳模拟)下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是( ) A ．y ＝－2x ＋1 B ．y ＝1x C ．y ＝lg xD ．y ＝x 3解析：选B y ＝－2x ＋1在定义域上为单调递减函数；y ＝lg x 在定义域上为单调递增函数；y ＝x 3在定义域上为单调递增函数；y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为单调递减函数，但在定义域上不是单调函数．故选B.5．若函数f (x )＝8x 2－2kx －7在[1,5]上为单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，8]B ．[40，＋∞)C ．(－∞，8]∪[40，＋∞)D ．[8,40]解析：选C 由题意知函数f (x )＝8x 2－2kx －7的图象的对称轴为x ＝k8，因为函数f (x )＝8x 2－2kx －7在[1,5]上为单调函数，所以k 8≤1或k8≥5，解得k ≤8或k ≥40，所以实数k的取值范围是(－∞，8]∪[40，＋∞)．故选C.6．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 2－x x ＋3在(－∞，m )上单调递减，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．[－2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2]解析：选D ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，∴f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 2－x x ＋3＝(x －1)(x ＋3)－2×(－x )＝x 2＋4x －3＝(x ＋2)2－7，∴f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)， ∵函数f (x )在(－∞，m )上单调递减，∴(－∞，m )⊆(－∞，－2)，即m ≤－2.故选D. 对点练(二) 函数的最值1．已知a >0，设函数f (x )＝2 018x ＋1＋2 0162 018x ＋1(x ∈[－a ，a ])的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝( )A ．2 016B ．2 018C ．4 032D ．4 034解析：选D 由题意得f (x )＝2 018x ＋1＋2 0162 018x ＋1＝2 018－22 018x＋1.∵y ＝2 018x ＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，∴f (x )＝2 018－22 018x ＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，∴M ＝f (a )，N ＝f (－a )，∴M ＋N ＝f (a )＋f (－a )＝4 036－22 018a ＋1－22 018－a ＋1＝4 034.2．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x在区间(1，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解析：选D 由题意知a <1，又函数g (x )＝x ＋ax －2a 在[|a |，＋∞)上为增函数，故选D.3．(2018·湖南雅礼中学月考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(0,2]C ．[2，＋∞)D ．(1,2 2 ]解析：选A 当x ≤2时，－x ＋6≥4.当x >2时，⎩⎪⎨⎪⎧3＋log a x ≥4，a >1，∴a ∈(1,2]，故选A.4．(2018·安徽合肥模拟)已知函数f (x )＝(x 2－2x )·sin(x －1)＋x ＋1在[－1,3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝( )A ．4B ．2C ．1D ．0解析：选A 设t ＝x －1，则y ＝(x 2－2x )sin(x －1)＋x ＋1＝(t 2－1)sin t ＋t ＋2，t ∈[－2,2]．记g (t )＝(t 2－1)sin t ＋t ＋2，则函数y ＝g (t )－2＝(t 2－1)sin t ＋t 是奇函数．由已知得y ＝g (t )－2的最大值为M －2，最小值为m －2，所以M －2＋(m －2)＝0，即M ＋m ＝4.故选A.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x <1，则f (x )的最小值是________．解析：当x ≥1时，x ＋2x －3≥2x ·2x －3＝22－3，当且仅当x ＝2x ，即x ＝2时等号成立，此时f (x )min ＝22－3＜0；当x ＜1时，lg(x 2＋1)≥lg(02＋1)＝0，此时f (x )min ＝0.所以f (x )的最小值为22－3.答案：22－36．(2018·益阳模拟)已知函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤38，49，则函数g (x )＝f (x )＋1－2f (x )的值域为________．解析：∵38≤f (x )≤49，∴13≤1－2f (x )≤12.令t ＝1－2f (x )，则f (x )＝12(1－t 2)⎝⎛⎭⎫13≤t ≤12，令y ＝g (x )，则y ＝12(1－t 2)＋t ，即y ＝－12(t －1)2＋1⎣⎡⎦⎤13≤t ≤12.∴当t ＝13时，y 有最小值79；当t ＝12时，y 有最大值78.∴g (x )的值域为⎣⎡⎦⎤79，78. 答案：⎣⎡⎦⎤79，78[大题综合练——迁移贯通]1．已知函数f (x )＝ax ＋1a (1－x )(a >0)，且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值．解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫a －1a x ＋1a ，当a >1时，a －1a >0，此时f (x )在[0,1]上为增函数，∴g (a )＝f (0)＝1a ；当0<a <1时，a －1a<0，此时f (x )在[0,1]上为减函数，∴g (a )＝f (1)＝a ；当a ＝1时，f (x )＝1，此时g (a )＝1.∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0<a <1，1a ，a ≥1，∴g (a )在(0,1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，又a ＝1时，有a ＝1a＝1，∴当a ＝1时，g (a )取最大值1.2．(2018·衡阳联考)已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．解：(1)证明：设x 1>x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在R 上为减函数．(2)∵f (x )在R 上是减函数，∴f (x )在[－3,3]上也是减函数，∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)．而f (3)＝3f (1)＝－2，且f (0)＋f (0)＝f (0)，∴f (0)＝0，又f (－3)＋f (3)＝f(－3＋3)＝0，∴f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.3．已知f(x)＝xx－a(x≠a)．(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．解：(1)证明：任设x1<x2<－2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1＋2－x2x2＋2＝2(x1－x2)(x1＋2)(x2＋2).∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)上单调递增．(2)任设1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1－a－x2x2－a＝a(x2－x1)(x1－a)(x2－a).∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤1.综上所述知a的取值范围是(0,1]．。

2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测三角函数的图象与性质 Word版含解析

课时达标检测（二十）三角函数的图象与性质[小题对点练——点点落实]对点练(一) 三角函数的定义域和值域) (是的值a －b ，则]b ，a [，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π的定义域为x 2cos ＝y 已知函数)考安徽联·(2018．1 A ．2 B ．3 2＋3C.3－2．D －b ，所以2,1]－[的值域为x 2cos ＝y ，所以函数⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π的定义域为x 2cos ＝y 因为函数 B 选解析：a ＝1－(－2)＝3，故选B.)(为的最大值与最小值分别x 2sin －x 2cos ＝y ．函数2 A ．3，－1 B ．3，－2 C ．2，－1D ．2，－2 ＝y ，1,1]－[∈t ，则x sin ＝t ，令1＋x 2sin －x 2sin －＝x 2sin －x 2sin －1＝x 2sin －x 2cos ＝y D 选解析： 2.－，最小值为2为，所以最大值2＋21)＋t (－＝1＋t 2－2t － )(为的值ab ，则[5,8]的值域是)x (f 时，函数]π，0[∈x ，若b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos2x 2＋sin x a ＝)x (f ．已知函数3 224－42或51－215．A 15－215．B 224－42．C 224＋42或51＋215．D .b ＋a ＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4sin a 2＝b ＋)x sin ＋x cos ＋1(a ＝)x (f A 选解析：，5π4≤π4＋x ≤π4∴，π≤x ≤0∵ 0.≠a ，依题意知1≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4sin ≤22－∴ 5.＝b ，3－23＝a ∴⎩⎨⎧ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，时，0>a 当① 8.＝b ，23－3＝a ∴⎩⎨⎧2a ＋a ＋b ＝5，b ＝8，时，0<a 当② 8.＝b ，23－3＝a 或5＝b ，3－23＝a 综上所述， .224－42或51－215＝ab 所以)(1]如例⎩⎪⎨⎪⎧a ，a≤b，b ，a>b.＝b *a 定义运算：)考湖南衡阳八中月·(2018．4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22A. 1,1]－[．B ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1C. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22D. 解析：选D 根据三角函数的周期性，我们只看两函数在一个最小正周期内的情况即可．设x ∈[0,2π]，，x >sin x cos ，时π2≤x <5π4或π4<x ≤0当，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22∈)x (f ，x cos ＝)x (f ，x cos ≥x sin ，时5π4≤x ≤π4当.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22的值域为)x (f 综上知．]1,0－[∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，22∈)x (f ，x sin ＝)x (f ________________.＝x ，此时________为的最大值⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π42cos －3＝y ．函数5 ．)Z ∈k (πk 2＋3π4＝x ，即πk 2＋π＝π4＋x ，此时5＝2＋3为的最大值⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π42cos －3＝y 函数解析： )Z ∈k (πk 2＋3π45答案：对点练(二) 三角函数的性质) (为的单调递增区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 2sin ＝y )考安徽六安一中月·(2018．1 )Z ∈k (⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π12，kπ＋5π12A. )Z ∈k (⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋5π12，kπ＋11π12B. )Z ∈k (⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π3，kπ＋π6C. )Z ∈k (⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋π6，kπ＋2π3D. 5π12＋πk ，即)Z ∈k (3π2＋πk 2≤π3－x 2≤π2＋πk 2∴，⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32sin －＝y 函数可化为∵ B 选解析：．)Z ∈k (11π12＋πk ≤x ≤ 2．(2018·云南检测)下列函数中，存在最小正周期的是( )A ．y ＝sin|x |B ．y ＝cos|x | |x tan|＝y ．C01)＋2x (＝y ．D ＝T ，最小正周期x cos ＝|x cos|＝y ：B ；不是周期函数⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x≥0，－sin x ，x<0，＝|x sin|＝y ：A B 选解析：，无最小正周期．1＝01)＋2x (＝y ：D ；不是周期函数⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，x≥0，－tan x ，x<0，＝|x tan|＝y ：C ；π2 π12＝x 的图象关于直线)<14ω(1<⎝⎛⎭⎪⎫ωx－π43cos ＝)x (f 若函数)模辽宁抚顺一·(2018．3对称，则ω＝( )A ．2B ．3C ．6D ．9 ，即Z ∈k ，πk ＝π4－ωπ12∴对称，π12＝x 的图象关于直线)<14ω(1<⎝⎛⎭⎪⎫ωx－π43cos ＝)x (f ∵ B 选解析：ω＝12k ＋3，k ∈Z .∵1<ω<14，∴ω＝3.故选B.)(＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6f ，则)x －(f ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x f 都有x 对任意)φ＋x ω2sin(＝)x (f 若函数)考福建六校联·(2018．4 A ．2或0 B ．0 C ．－2或0D ．－2或2 ，可知函数图象的一条对称轴为)x －(f ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x f 都有x 对任意)φ＋x ω2sin(＝)x (f 由函数 D 选解析：－或2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6f ∴时，函数取得最大值或者最小值．π6＝x 根据三角函数的性质可知，当.π6＝π3×12＝x 直线 2.故选D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x f，都有x 对任意实数②是偶函数；)x (f ①同时具有以下两个性质：)x (f ．若函数5)(是的解析式可以)x (f 则.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x f ＝ xcos ＝)x (f ．A ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ＝)x (f ．B ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π2sin ＝)x (f ．Cx cos 6＝)x (f ．D 是偶函x cos ＝)x (f ∵对称，π4＝x 数，且它的图象关于直线是偶函)x (f 由题意可得，函数 C 选解析：sin －＝⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ＝)x (f 函数∵A.除对称，故排π4＝x ，不是最值，故不满足图象关于直线22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4f 数，，是最小值，1－＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4f 是偶函数，x cos 4＝⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π2sin ＝)x (f 函数∵B.除是奇函数，不满足条件，故排x 2，不是最值，故0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4f 是偶函数．x cos 6＝)x (f 函数∵满足条件．C 故对称，π4＝x 故满足图象关于直线 D.除对称，故排π4＝x 不满足图象关于直线∈x 对一切⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤)x (f 若.0≠ab ，R ∈b ，a ，其中x cos 2b ＋x sin 2a ＝)x (f 已知)考洛阳统·(2018．6) (是的单调递增区间)x (f ，则0＞⎝ ⎛⎭⎪⎫π2f 恒成立，且R ) Z ∈k (⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π3，kπ＋π6A. )Z ∈k (⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋π6，kπ＋2π3B. )Z ∈k (⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ，kπ＋π2C. )Z ∈k (⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π2，kπD. 是π6＝x ∴，⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤)x (f ∵.b a ＝φtan 中，其)φ＋x sin(2a2＋b2＝x cos 2b ＋x sin 2a ＝)x (f B 选解析：的取值可以φ∴，0＞⎝ ⎛⎭⎪⎫π2f ．又)Z ∈k (πk ＋π6＝φ，)Z ∈k (πk ＋π2＝φ＋π3的图象的一条对称轴，即)x (f 函数k (2π3＋πk ≤x ≤π6＋πk 得)Z ∈k (π2＋πk 2≤5π6－x 2≤π2－πk 2由，⎝⎛⎭⎪⎫2x －5π6sin a2＋b2＝)x (f ∴，5π6是－∈Z )，故选B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0的图象关于)π<θ)(0<θ＋x cos(2＋)θ＋x sin(23＝)x (f 若函数)检河北石家庄一·(2018．7) (是上的最小值⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6在)x (f 对称，则函数 1－．A 3．－B 12．－C 32．－D ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2f ，则由题意，知⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋θ＋π62sin ＝)θ＋x cos(2＋)θ＋x sin(23＝)x (f B 选解析：上是减函数，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4在)x (f ，x 2sin 2－＝)x (f ，所以5π6＝θ，所以π<θ0<又，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋θ＋π62sin B.选，故3＝－π32sin －＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6f 上的最小值为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6在)x (f 函数[大题综合练——迁移贯通].⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π222sin ＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3cos ＝)x (f 设函数)模湖南岳阳二·(2017．1 (1)求f (x )的最小正周期和对称轴方程；的值域．)x (f 时，求⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4∈x 当)(2)π＋x cos(2－1＋x sin 232＋x cos 212＝)x (f (1)解：，1＋⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3sin 3＝1＋x sin 232＋x cos 232＝所以f (x )的最小正周期T ＝π. ，Z ∈k ，π2＋πk ＝π3＋x 2由 .Z ∈k ，π12＋kπ2＝x 得对称轴方程为，5π6≤π3＋x 2≤π3，所以－π4≤x ≤π3因为－)(2 .⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3＋1的值域为)x (f 所以 1.－x 2 cos ＋2)x cos ＋x (sin ＝)x (f 已知函数)拟北京怀柔区模·(2018．2 (1)求函数f (x )的最小正周期；上的最大值和最小值．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4在区间)x (f 求函数)(2 ，⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4sin 2＝x cos2＋x sin 2＝x cos2＋x cos x 2sin ＝1－x cos 2＋2)x cos ＋x (sin ＝)x (f ∵(1)解： .π＝2π2＝T 的最小正周期)x (f 函数∴ .⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4sin 2＝)x (f 可知，)(1由)(2 ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4∈π4＋x 2∴，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4∈x ∵ 1.－，2上的最大值和最小值分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4在区间)x (f 故函数.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1∈⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4sin ∴ ．)R ∈x (x cos 23－x cos x 2sin ＝)x (f 已知函数)模辽宁葫芦岛普通高中二·(2017．3 的值；αcos 2求，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2π3∈α且12＝)α(f 若)(1 的最小值．a 上单调递增，求实数)b <a (]πb ，πa [在)x (f ，且函数b 上的最大值为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2在)x (f 记函数)(2 .⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32sin ＝x cos 23－x sin 2＝)x (f (1)解： .14＝⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3sin ∴，12＝)α(f ∵ ，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2π3∈α∵，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π∈π3－α2∴ .154＝－⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3cos ∴ 32×14－12×154＝－⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3＋π3cos ＝α2 cos ∴ .3＋158＝－∈k ，πk 2＋π2≤π3－x 2≤πk 2＋π2由－.2＝b ∴，[1,2]∈)x (f ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3∈π3－x 2，时⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2∈x 当)(2Z ，.Z ∈k ，πk ＋5π12≤x ≤πk ＋π12得－又∵函数f (x )在[a π，2π](a <2)上单调递增，，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋2π，5π12＋2π⊆]π2，πa [∴ ，π2<πa ≤π2＋π12－∴ .2312的最小值是a 实数∴，2<a ≤2312∴。

2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测函数与方程 Word版含解析

课时达标检测（十一）函数与方程[小题对点练——点点落实]对点练(一) 函数的零点问题1．(2018·河北武邑中学基础训练)方程ln(x ＋1)－2x ＝0(x >0)的根存在的大致区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(3,4)解析：选B 令f (x )＝ln(x ＋1)－2x ，则f (1)＝ln(1＋1)－2＝ln 2－2<0，f (2)＝ln 3－1>0，所以函数f (x )的零点所在大致区间为(1,2)．故选B.2．(2018·四川双流中学必得分训练)函数f (x )＝2x ＋2x 的零点所处的区间是( ) A ．[－2，－1] B ．[－1,0] C ．[0,1]D ．[1,2]解析：选B f (－2)＝2－2＋2×(－2)<0，f (－1)＝2－1＋2×(－1)<0，f (0)＝20＋0>0，由零点存在性定理知，函数f (x )的零点在区间[－1,0]上．故选B.3．(2018·云南大理州统测)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >0，－x (x ＋2)，x ≤0的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 当x >0时，令f (x )＝0可得x ＝1；当x ≤0时，令f (x )＝0可得x ＝－2或x ＝0.因此函数的零点个数为3.故选D.4．关于x 的方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ∵a >0，∴a 2＋1>1.而y ＝|x 2－2x |的图象如图所示，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有2个交点，即方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是2.5．函数f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：选B 令2sin πx －x ＋1＝0，得2sin πx ＝x －1，令h (x )＝2sin πx ，g (x )＝x －1，则f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数问题就转化为函数h (x )与g (x )的图象的交点个数问题．h (x )＝2sin πx 的最小正周期为T ＝2ππ＝2，画出两个函数的图象，如图所示，因为h (1)＝g (1)，h ⎝⎛⎭⎫52>g ⎝⎛⎭⎫52，g (4)＝3>2，g (－1)＝－2，所以两个函数图象的交点共5个，所以f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.对点练(二) 函数零点的应用问题1．已知函数f (x )＝log 3x ＋2x －a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1，－log 32) B ．(0，log 52) C ．(log 32,1)D ．(1，log 34)解析：选C ∵单调函数f (x )＝log 3x ＋2x －a 在区间(1,2)内有零点，∴f (1)·f (2)<0，即(1－a )·(log 32－a )<0，解得log 32<a <1，故选C.2．(2018·甘肃天水一中月考)已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋ax 恰有两个零点，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪{1}解析：选C 由题意，显然x ＝1是函数f (x )的一个零点，取a ＝－1，则f (x )＝ln x ＋x 2－x ，f ′(x )＝2x 2－x ＋1x ＝2⎝⎛⎭⎫x －142＋78x>0恒成立．则f (x )仅有一个零点，不符合题意，排除A 、D ；取a ＝1，则f (x )＝ln x －x 2＋x ，f ′(x )＝1－2x 2＋x x ＝(1＋2x )(1－x )x，f ′(x )＝0得x＝1，则f (x )在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，f (x )max ＝f (1)＝0，即f (x )仅有一个零点，不符合题意，排除B ，故选C.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 017x ，x >1，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a＋b ＋c 的取值范围是( )A ．(1,2 017)B ．(1,2 018)C ．[2,2 018]D ．(2,2 018)解析：选D 作出函数f (x )的图象与直线y ＝m ，如图所示，不妨设a <b <c ，当0≤x ≤1时，函数f (x )的图象与直线y ＝m 的交点分别为A ，B ，由正弦曲线的对称性，可得A (a ，m )与B (b ，m )关于直线x ＝12对称，因此a ＋b ＝1，当直线y ＝m ＝1时，由log 2 017x ＝1，解得x ＝2 017.若满足f (a )＝f (b )＝f (c )，且a ，b ，c 互不相等，由a <b <c 可得1<c <2 017，因此可得2<a ＋b ＋c <2 018，即a ＋b ＋c ∈(2，2 018)．故选D.4．(2018·孝感模拟)若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，14B.⎝⎛⎭⎫－14，12 C.⎝⎛⎭⎫14，12D.⎣⎡⎦⎤－14，12 解析：选C 依题意并结合函数f (x )的图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，[m －2－m ＋(2m ＋1)](2m ＋1)<0，[m －2＋m ＋(2m ＋1)][4(m －2)＋2m ＋(2m ＋1)]<0，解得14<m <12.5．(2018·广东七校联合体联考)若函数f (x )＝2x ＋a 2x －2a 的零点在区间(0,1)上，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，12 B ．(－∞，1) C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞D ．(1，＋∞)解析：选C 易知函数f (x )的图象连续，且在(0,1)上单调递增．∴f (0)f (1)＝(1－2a )(2＋a 2－2a )<0，解得a >12.6．已知x 0是f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1x 的一个零点，x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)>0，f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)<0，f (x 2)>0解析：选C 在同一坐标系下作出函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，f (x )＝－1x 的图象(图略)，由图象可知当x ∈(－∞，x 0)时，⎝⎛⎭⎫12x >－1x ；当x ∈(x 0,0)时，⎝⎛⎭⎫12x <－1x ，所以当x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)时，有f (x 1)>0，f (x 2)<0.7．(2018·龙岩质检)已知f (x )是奇函数，且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是________．解析：令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.答案：－788．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，转化为f (x )－m ＝0的根有3个，进而转化为y ＝f (x )，y ＝m 的交点有3个．画出函数y ＝f (x )的图象，则直线y ＝m 与其有3个公共点．又抛物线顶点为(－1,1)，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)[大题综合练——迁移贯通]1．已知a 是正实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a .如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，求a 的取值范围．解：f (x )＝2ax 2＋2x －3－a 的对称轴为x ＝－12a. ①当－12a ≤－1，即0<a ≤12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≤0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥1，∴无解．②当－1<－12a <0，即a >12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝⎛⎭⎫－12a ≤0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12a －3－a ≤0，a ≥1，解得a ≥1，∴a 的取值范围是[1，＋∞)．2．(2018·德州模拟)已知函数f (x )＝－x 2－2x .g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x >0，x ＋1，x ≤0.(1)求g [f (1)]的值；(2)若方程g [f (x )]－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围．解：(1)∵f (1)＝－12－2×1＝－3，∴g [f (1)]＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象，如图所示，由图象可知，当1≤a <54时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1，54. 3．(2018·信阳模拟)已知函数f (x )＝log 2(2x ＋1)． (1)求证：函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；(2)若g (x )＝log 2(2x －1)(x >0)，且关于x 的方程g (x )＝m ＋f (x )在[1,2]上有解，求m 的取值范围．解：(1)证明：∵函数f (x )＝log 2(2x ＋1)，任取x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝log 2(2x 1＋1)－log 2(2x 2＋1)＝log 22x 1＋12x 2＋1，∵x 1<x 2，∴0<2x 1＋12x 2＋1<1，∴log 22x 1＋12x 2＋1<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增． (2)∵g (x )＝m ＋f (x )， ∴m ＝g (x )－f (x )＝log 2(2x －1)－log 2(2x ＋1) ＝log 22x －12x ＋1＝log 2⎝⎛⎭⎫1－22x ＋1，∵1≤x ≤2，∴2≤2x ≤4， ∴log 213≤log 2⎝⎛⎭⎫1－22x ＋1≤log 235，故m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤log 213，log 235.。

2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测直线与圆锥曲线 Word版含解析

课时达标检测（四十七）直线与圆锥曲线[小题常考题点——准解快解]1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．0解析：选A 因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝ba x 平行，所以它与双曲线只有1个交点．2．已知直线y ＝22(x －1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，点M (－1，m )，若MA ―→MA ―→·MB ―→＝0，则m ＝( )A. 2B.22C.12D ．0解析：选B 由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得A (2,22)，B ⎝⎛⎭⎫12，－2，又∵M (－1，m )且MA ―→·MB ―→＝0，∴2m 2－22m ＋1＝0，解得m ＝22. 3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105D.8105解析：选C 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝x ＋t消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0.则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2· ⎝⎛⎭⎫－85t 2－4×4(t 2－1)5＝425·5－t 2，故当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b ＞0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y ＝ax 2上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，则m的值为( )A.32B.52 C ．2D ．3解析：选A 由双曲线的定义知2a ＝4，得a ＝2，所以抛物线的方程为y ＝2x 2.因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y ＝2x 2上，所以y 1＝2x 21，y 2＝2x 22，两式相减得y 1－y 2＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)，不妨设x 1＜x 2，又A ，B 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1，故x 1＋x 2＝－12，而x 1x 2＝－12，解得x 1＝－1，x 2＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝y 1＋y 22＝2x 21＋2x 222＝54，因为中点M 在直线y ＝x ＋m 上，所以54＝－14＋m ，解得m ＝32. 5．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________．解析：直线l 的方程为y ＝3x ＋1，由⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，得y 2－14y ＋1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝14，∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.答案：166．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为________．解析：双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线为y ＝ba x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，y ＝x 2＋1，消去y ，得x 2－b a x ＋1＝0有唯一解，所以Δ＝⎝⎛⎭⎫b a 2－4＝0，b a ＝2，所以e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 5.答案： 57．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA ―→·MB ―→＝0，则k ＝________.解析：如图所示，设F 为焦点，易知F (2，0)，取AB 的中点P ，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为G ，H ，连接MF ，MP ，由MA ―→·MB ―→＝0，知MA ⊥MB ，则|MP |＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AG |＋|BH |)，所以MP 为直角梯形BHGA 的中位线，所以MP ∥AG ∥BH ，由|MP |＝|AP |，得∠GAM ＝∠AMP ＝∠MAP ，又|AG |＝|AF |，AM 为公共边，所以△AMG ≌△AMF ，所以∠AFM ＝∠AGM ＝90°，则MF ⊥AB ，所以k ＝－1k MF＝2.答案：2[大题常考题点——稳解全解]1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2,0)，离心率为63.过点F 2的直线l (斜率不为0)与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线OD 交椭圆于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)当四边形MF 1NF 2为矩形时，求直线l 的方程．解：(1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝6，b ＝ 2.故椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1.(2)由题意可知直线l 的斜率存在．设其方程为y ＝k (x －2)，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，N (－x 3，－y 3)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，y ＝k (x －2)得(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0，所以x 1＋x 2＝12k 21＋3k 2，则y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－4)＝－4k 1＋3k 2，所以AB 的中点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 21＋3k 2，－2k 1＋3k 2，因此直线OD 的方程为x ＋3ky ＝0(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3ky ＝0，x 26＋y 22＝1解得y 23＝21＋3k 2，x 3＝－3ky 3.因为四边形MF 1NF 2为矩形，所以F 2M ―→·F 2N ―→＝0，即(x 3－2，y 3)·(－x 3－2，－y 3)＝0，所以4－x 23－y 23＝0.所以4－2(9k 2＋1)1＋3k2＝0.解得k ＝±33.故直线l 的方程为3x －3y －23＝0或3x ＋3y －23＝0.2．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其一个顶点是抛物线x 2＝－43y 的焦点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意得b ＝3，c a ＝12，解得a ＝2，c ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切，所以直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －2)＋1，得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0.① 因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)＝0，整理，得96(2k ＋1)＝0，解得k ＝－12.所以直线l 的方程为y ＝－12(x －2)＋1＝－12x ＋2.将k ＝－12代入①式，可以解得M 点的横坐标为1，故切点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32. 3．已知过点(2,0)的直线l 1交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于A ，B 两点，直线l 2：x ＝－2交x 轴于点Q .(1)设直线QA ，QB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值；(2)点P 为抛物线C 上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 交直线l 2于M ，N 两点，OM ―→·ON ―→＝2，求抛物线C 的方程．解：(1)设直线l 1的方程为x ＝my ＋2，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2px ，得y 2－2pmy －4p ＝0，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－4p . k 1＋k 2＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝y 1my 1＋4＋y 2my 2＋4＝2my 1y 2＋4(y 1＋y 2)(my 1＋4)(my 2＋4)＝－8mp ＋8mp(my 1＋4)(my 2＋4)＝0.(2)设点P (x 0，y 0)，直线PA ：y －y 1＝y 1－y 0x 1－x 0(x －x 1)，当x ＝－2时，y M ＝－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0，同理y N ＝－4p ＋y 2y 0y 2＋y 0.因为OM ―→·ON ―→＝2，所以4＋y N y M ＝2，即－4p ＋y 2y 0y 2＋y 0·－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0＝16p 2－4py 0(y 2＋y 1)＋y 20y 1y 2y 2y 1＋y 0(y 2＋y 1)＋y 20＝16p 2－8p 2my 0－4py 20－4p ＋2pmy 0＋y 20＝－4p (－4p ＋2pmy 0＋y 20)－4p ＋2pmy 0＋y 20＝－2，故p ＝12，所以抛物线C 的方程为y 2＝x .4.如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线l 的方程．解：(1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题设，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， ∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5.由d <1得|m |<52.(*) ∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y23＝1，得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3. ∴|AB |＝ ⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫－122[m 2－4(m 2－3)] ＝1524－m 2. 由|AB ||CD |＝534得 4－m 25－4m 2＝1，解得m ＝±33，均满足(*)．12x＋33或y＝－12x－33.∴直线l的方程为y＝－。

[推荐学习]2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(十二) 函数模型及应用

课时达标检测（十二）函数模型及应用[小题对点练——点点落实]对点练(一) 基本初等函数模型1．(2018·贵州遵义期中)某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元．设该设备使用了n (n ∈N *)年后，盈利总额达到最大值(盈利总额等于总收入减去总成本)，则n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．7或8解析：选B 盈利总额为21n －9－⎣⎡⎦⎤2n ＋12×n (n －1)×3＝－32n 2＋412n －9.因为其对应的函数的图象的对称轴方程为n ＝416，所以当n ＝7时取最大值，即盈利总额达到最大值．故选B.2．(2018·湖北八校联考)有一组试验数据如表所示：A ．y ＝2x ＋1－1B ．y ＝x 2－1C ．y ＝2 log 2xD ．y ＝x 3解析：选B 由表格数据可知，函数的解析式应该是指数函数类型、二次函数类型、幂函数类型，选项C 不正确．取x ＝2.01，代入A 选项，得y ＝2x ＋1－1>4，代入B 选项，得y ＝x 2－1≈3，代入D 选项，得y ＝x 3>8；取x ＝3，代入A 选项，得y ＝2x ＋1－1＝15，代入B 选项，得y ＝x 2－1＝8，代入D 选项，得y ＝x 3＝27，故选B.3．(2018·德阳一诊)某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p (单位：毫克/升)不断减少，已知p 与时间t (单位：小时)满足p (t )＝p 02－t30，其中p 0为t ＝0时的污染物数量．又测得当t ∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，则p (60)＝( )A ．150毫克/升B ．300毫克/升C ．150ln 2毫克/升D ．300ln 2毫克/升解析：选C 因为当t ∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，所以－10ln 2＝12p 0－p 030－0，所以p 0＝600ln 2，因为p (t )＝p 02－t30，所以p (60)＝600ln 2×2－2＝150ln 2(毫克/升)．4．(2018·开封质检)用长度为24的材料设计一场地，场地为矩形，且中间用该材料加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )A ．3B ．4C ．6D ．12解析：选A 隔墙的长为x (0<x <6)，矩形面积为y ，则y ＝x ×24－4x2＝2x (6－x )＝－2(x－3)2＋18，∴当x ＝3时，y 最大．5．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的专家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为v ＝5log 2q10(m/s)，其中q 表示燕子的耗氧量，则燕子静止时的耗氧量为________个单位．当一只两岁燕子的耗氧量为80个单位时，其速度是________m/s.解析：由题意，燕子静止时v ＝0，即5log 2q 10＝0，解得q ＝10；当q ＝80时，v ＝5log 28010＝15(m/s)．答案：10 156．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到 3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时50%的速度减少，则至少经过________小时他才可以驾驶机动车．(精确到小时)解析：设n 小时后他才可以驾驶机动车，由题意得3(1－0.5)n ≤0.2，即2n ≥15，解得n ≥log 215，故至少经过4小时他才可以驾驶机动车．答案：47．(2018·漳州模拟)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程f i (x )(i ＝1,2,3,4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1)，有以下结论：①当x >1时，甲走在最前面； ②当x >1时，乙走在最前面；③当0<x <1时，丁走在最前面，当x >1时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中正确结论的序号为________．解析：甲、乙、丙、丁的路程f i (x )(i ＝1,2,3,4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．当x ＝2时，f 1(2)＝3，f 2(2)＝4，所以①不正确；当x ＝5时，f 1(5)＝31，f 2(5)＝25，所以②不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x ＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0<x <1时，丁走在最前面，当x >1时，丁走在最后面，所以③正确；指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以⑤正确；结合对数型函数和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，所以④正确．答案：③④⑤对点练(二) 两类特殊函数的模型1．(2018·嘉定模拟)某市环保研究所对市中心每天环境中放射性污染情况进行调查研究后发现，一天中环境综合放射性污染指数f (x )与时刻x (时)的关系为f (x )＝⎪⎪⎪⎪xx 2＋1－a ＋2a＋23，x ∈[0,24]，其中a 是与气象有关的参数，且a ∈⎣⎡⎦⎤0，12.如果以每天f (x )的最大值为当天的环境综合放射性污染指数，并记为M (a )，若规定当M (a )≤2时为环境综合放射性污染指数不超标，则该市中心的环境综合放射性污染指数不超标时，a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤0，14 B.⎣⎡⎦⎤0，49 C.⎣⎡⎦⎤14，49D.⎣⎡⎦⎤49，12解析：选B 设t ＝x x 2＋1，当x ≠0时，可得t ＝1x ＋1x ∈⎝⎛⎦⎤0，12，当x ＝0时，t ＝0，因而f (x )＝g (t )＝|t －a |＋2a ＋23＝⎩⎨⎧ －t ＋3a ＋23，0≤t ≤a ，t ＋a ＋23，a <t ≤12，从而有g (0)＝3a ＋23，g ⎝⎛⎭⎫12＝a ＋76，g (0)－g ⎝⎛⎭⎫12＝2⎝⎛⎭⎫a －14，因而M (a )＝⎩⎨⎧g ⎝⎛⎭⎫12，0≤a ≤14，g (0)，14<a ≤12，即M (a )＝⎩⎨⎧a ＋76，0≤a ≤14，3a ＋23，14<a ≤12，当0≤a ≤14时，M (a )<2，当14<a ≤49时，M (a )≤2，当49<a ≤12时，M (a )>2，所以该市中心的环境综合放射性污染指数不超标时，a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，49. 2.某人准备购置一块占地1 800平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图阴影部分所示)，大棚占地面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2，若要使S 最大，则y ＝________.解析：由题意可得xy ＝1 800，b ＝2a ，则y ＝a ＋b ＋3＝3a ＋3，S＝(x －2)a ＋(x －3)×b ＝(3x －8)a ＝(3x －8)×y －33＝1 808－3x －83 y ＝1 808－3x －83×1 800x ＝1 808－⎣⎡⎦⎤3x ＋4 800x ≤1 808－23x ×4 800x ＝1 808－240＝1 568，当且仅当3x ＝4 800x ，即x ＝40时取等号，所以当S 取得最大值时，y ＝1 80040＝45.答案：453．(2018·广西模拟)某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h 的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400 km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v 202km ，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是________h(车身长度不计)．解析：设全部物资到达灾区所需时间为t h ，由题意可知，t 相当于最后一辆行驶了⎝⎛⎭⎫36×⎝⎛⎭⎫v 202＋400km 所用的时间，因此，t ＝36×⎝⎛⎭⎫v 202＋400v ≥12，当且仅当36v 400＝400v ，即v ＝2003时取等号．故这些汽车以2003 km/h 的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12 h.答案：124．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v 的平方成正比，且比例系数为k ，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/小时时，总费用最小．解析：设每小时的总费用为y 元，则y ＝k v 2＋96，又当v ＝10时，k ×102＝6，解得k ＝0.06，所以每小时的总费用y ＝0.06v 2＋96，匀速行驶10海里所用的时间为10v 小时，故总费用为W ＝10v y ＝10v (0.06v 2＋96)＝0.6v ＋960v ≥20.6v ×960v ＝48，当且仅当0.6v ＝960v ，即v ＝40时等号成立．故总费用最小时轮船的速度为40海里/小时．答案：40[大题综合练——迁移贯通]1．(2018·江西抚州七校联考)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害．为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元到甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿、乙大棚种黄瓜．根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a (单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝14a ＋120.设甲大棚的投入为x (单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f (x )(单位：万元)．(1)求f (50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f (x )最大？解：(1)因为甲大棚投入50万元，所以乙大棚投入150万元．所以f (50)＝80＋42×50＋14×150＋120－200＝77.5.(2)f (x )＝80＋42x ＋14(200－x )＋120－200＝－14x ＋42x ＋50.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥20，200－x ≥20，解得20≤x ≤180，所以f (x )＝－14x ＋42x ＋50(20≤x ≤180)．令t ＝x ∈[25，6 5 ]，则f (x )＝g (t )＝－14t 2＋42t ＋50＝－14(t －82)2＋82.所以当t ＝82，即x ＝128时，f (x )max ＝82.所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为82万元． 2．(2018·山东德州期中)某地自来水苯超标，当地自来水公司对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m 的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y (毫克/升)满足y ＝mf (x )，其中f (x )＝⎩⎨⎧x 225＋2，0<x ≤5，x ＋192x －2，x >5.当药剂在水中的浓度不低于5(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中的浓度不低于5(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化．(1)如果投放的药剂的质量为m ＝5，试问自来水达到有效净化总共可持续几天？ (2)如果投放的药剂质量为m ，为了使在9天(从投放药剂算起包括9天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m 的最小值．解：(1)当m ＝5时，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋10，0<x ≤5，5x ＋952x －2，x >5.当0<x ≤5时，x 25＋10≥5，显然符合题意；当x >5时，由5x ＋952x －2≥5解得5<x ≤21.综上，0<x ≤21，所以自来水达到有效净化总共可持续21天．(2)y ＝mf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧mx 225＋2m ，0<x ≤5，m (x ＋19)2x －2，x >5.当0<x ≤5时，y ＝mx 225＋2m 在区间(0,5]上单调递增，所以2m <y ≤3m ；当x >5时，y ′＝－40m(2x －2)2<0，所以函数y ＝m (x ＋19)2x －2在(5,9]上单调递减，所以7m 4≤y <3m .综上可知7m4≤y ≤3m .为使5≤y ≤10恒成立，只要⎩⎪⎨⎪⎧7m 4≥5，3m ≤10，解得207≤m ≤103，所以应该投放的药剂质量m 的最小值为207.3．(2018·珠海模拟)某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p 与听课时间t 之间的关系满足如图所示的曲线．当t ∈(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t ∈[14,40]时，曲线是函数y ＝log a (t －5)＋83(a >0，且a ≠1)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p 大于等于80时听课效果最佳．(1)试求p ＝f (t )的函数关系式；(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理由．解：(1)当t ∈(0,14]时，设p ＝f (t )＝c (t －12)2＋82(c <0)，将点(14,81)代入得c ＝－14，∴当t∈(0,14]时，p ＝f (t )＝－14(t －12)2＋82；当t ∈(14,40]时，将点(14,81)代入y ＝log a (t －5)＋83，得a ＝13.所以p ＝f (t )＝⎩⎨⎧－14(t －12)2＋82，t ∈(0，14]，log 13(t －5)＋83，t ∈(14，40].(2)当t ∈(0,14]时，－14(t －12)2＋82≥80，解得12－22≤t ≤12＋22，所以t ∈[12－22，14]；当t ∈(14,40]时，log 13(t －5)＋83≥80，解得5<t ≤32，所以t ∈(14,32]，综上t ∈[12－22，32]，即老师在t ∈[12－22，32]时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳．。

2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(五十) 统计

课时达标检测（五十）统计[小题对点练——点点落实]对点练(一) 随机抽样1．某学校为了了解某年高考数学的考试成绩，在高考后对该校1 200名考生进行抽样调查，其中有400名文科考生，600名理科考生，200名艺术和体育类考生，从中抽取120名考生作为样本，记这项调查为①；从10名家长中随机抽取3名参加座谈会，记这项调查为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是( )A ．分层抽样法，系统抽样法B ．分层抽样法，简单随机抽样法C ．系统抽样法，分层抽样法D ．简单随机抽样法，分层抽样法解析：选B 在①中，文科考生、理科考生、艺术和体育类考生会存在差异，采用分层抽样法较好；在②中，抽取的样本个数较少，宜采用简单随机抽样法．2．某校高三年级共有学生900人，编号为1,2,3，…，900，现用系统抽样的方法抽取一个容量为45的样本，则抽取的45人中，编号落在[481,720]的人数为( )A ．10B ．11C ．12D ．13解析：选C 系统抽样，是抽多少人就把总体分成多少组，于是抽样间隔就是用总体数量除以样本容量：90045＝20.于是落在[481,720]内的人数为720－48020＝12，故选C. 3．某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为( )A ．93B ．123C ．137D ．167解析：选C 初中部的女教师人数为110×70%＝77，高中部的女教师人数为150×(1－60%)＝60，该校女教师的人数为77＋60＝137，故选C.4．高三(3)班共有学生56人，座号分别为1,2,3，…，56，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号、17号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是( )A ．30B ．31C ．32D ．33解析：选B 由系统抽样的特点，得到样本中的座号形成一个以3为首项，公差为17－3＝14的等差数列，则第三个座号是17＋14＝31.故选B.5．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000,001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号________________________________________________________________________ (下面摘取了随机数表第7行至第9行)．844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169556671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954解析：找到第8行第7列的数开始向右读，第一个数785，符合条件，第二个数916，舍去，第三个数955，舍去，第四个数667，符合条件，这样依次读出结果．故答案为：785,667,199,507,175.答案：785,667,199,507,1756．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：A类轿车10辆，则z的值为________．解析：由题意可得50100＋300＋150＋450＋z＋600＝10100＋300，解得z＝400.答案：4007．(2018·湖北重点中学适应模拟)某校高三年级共有30个班，学校心理咨询室为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到30，现用系统抽样的方法抽取5个班进行调查，若抽到的编号之和为75，则抽到的最小的编号为________．解析：系统抽样的抽取间隔为305＝6，设抽到的最小编号为x，则x＋(6＋x)＋(12＋x)＋(18＋x)＋(24＋x)＝75，所以x＝3.答案：3对点练(二)用样本估计总体1．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设所得分数的中位数为m e ，众数为m 0，平均值为x －，则( )A ．m e ＝m 0＝x －B ．m e ＝m 0<x －C ．m e <m 0<x －D ．m 0<m e <x －解析：选D 由图可知，30名学生的得分情况依次为2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15,16个数(分别为5,6)的平均数，即m e ＝5.5；5出现的次数最多，故m 0＝5；x －＝(3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×2)÷30≈5.97.于是得m 0<m e <x －.2．如图是某样本数据的茎叶图，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A.32 34 32B ．33 45 35C ．34 45 32D ．33 36 35解析：选B 观察茎叶图，16个数已经按大小顺序列出，从上往下数第8个数和第9个数是最中间两个数，它们是32和34，中位数是它们的平均数：33.再读茎叶图，45出现次数最多，共3次，故为众数．极差等于最大值减最小值：47－12＝35.故选B.3．(2017·九江二模)已知一组数据x 1，x 2，…，x n 的方差为2，若数据ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b (a >0)的方差为8，则a 的值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．4解析：选C 根据方差的性质可知，a 2×2＝8，故a ＝2.4．(2018·湖北黄冈质检)已知数据x 1，x 2，x 3，…，x n 是某市n (n ≥3，n ∈N *)个普通职工的年收入，设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入x n ＋1，则这(n ＋1)个数据中，下列说法正确的是( )A ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变解析：选B ∵数据x 1，x 2，x 3，…，x n 是某市n (n ≥3，n ∈N *)个普通职工的年收入，x n ＋1为世界首富的年收入，则x n ＋1远大于x 1，x 2，x 3，…，x n ，故这(n ＋1)个数据中，年收入平均数大大增大；中位数可能不变，也可能稍微变大；由于数据的集中程度受到x n ＋1的影响比较大，更加离散，则方差变大．5．为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 解析：选B ∵x 甲＝26＋28＋29＋31＋315＝29， x 乙＝28＋29＋30＋31＋325＝30， ∴x 甲<x 乙，又s 2甲＝9＋1＋0＋4＋45＝185，s 2乙＝4＋1＋0＋1＋45＝2， ∴s 甲>s 乙．故可判断结论①④正确.6.五一期间，某淘宝店趁势推出了“抢红包”的促销活动．已知每人有5次抢红包的机会，每次可得到1元至30元不等的红包．甲、乙二人在这5次抢红包活动中获得的红包金额的茎叶图如图所示．若甲5次获得的红包金额的均值为x 1，乙5次获得的红包金额的均值为x 2，则x 1－x 2＝________.解析：由茎叶图可知，甲获得的红包金额分别为1,2,12,20,30，乙获得的红包金额分别为1,2,5,10,30，所以甲获得的红包金额的均值x 1＝1＋2＋12＋20＋305＝13，乙获得的红包金额的均值x 2＝1＋2＋5＋10＋305＝9.6，所以x 1－x 2＝13－9.6＝3.4.答案：3.47．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．(1)直方图中x 的值为________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________．解析：(1)由频率分布直方图总面积为1，得(0.001 2＋0.002 4×2＋0.003 6＋x ＋0.006 0)×50＝1，解得x ＝0.004 4.(2)用电量在[100,250)内的频率为(0.003 6＋0.004 4＋0.006 0)×50＝0.7，故所求户数为100×0.7＝70.答案：(1)0.004 4 (2)708．已知x 是1,2,3，x,5,6,7这七个数据的中位数且1,2，x 2，－y 这四个数据的平均数为1，则y －1x 的最小值为________．解析：由题意1＋2＋x 2－y ＝4，所以y ＝x 2－1.由中位数定义知，3≤x ≤5，所以y －1x＝x 2－1－1x .当x ∈[3,5]时，函数y ＝x 2－1与y ＝－1x 均为增函数，所以y ＝x 2－1－1x在[3,5]上为增函数，所以⎝⎛⎭⎫y －1x min ＝8－13＝233. 答案：233[大题综合练——迁移贯通]1．(2018·湖北四校联考)某班级准备从甲、乙两人中选一人参加某项比赛，已知在一个学期10次考试中，甲、乙两人的成绩(单位：分)的茎叶图如图所示．你认为选派谁参赛更合适？并说明理由．解：根据茎叶图可知，甲的平均成绩x －甲＝79＋84＋85＋87＋87＋88＋93＋94＋96＋9710＝89，乙的平均成绩x －乙＝75＋77＋85＋88＋89＋89＋95＋96＋97＋9910＝89，甲、乙的平均成绩相等．又甲成绩的方差s2甲＝110[(79－89)2＋(84－89)2＋(85－89)2＋(87－89)2＋(87－89)2＋(88－89)2＋(93－89)2＋(94－89)2＋(96－89)2＋(97－89)2]＝30.4，乙成绩的方差s2乙＝110[(75－89)2＋(77－89)2＋(85－89)2＋(88－89)2＋(89－89)2＋(89－89)2＋(95－89)2＋(96－89)2＋(97－89)2＋(99－89)2]＝60.6，故甲成绩的方差小于乙成绩的方差，因此选派甲参赛更合适．2．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机应用软件层出不穷．现从使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下：(1)试估计使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数及平均数；(2)根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：①能否认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%?②如果你要从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？说明理由．解：(1)依题意可得，使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数为55.使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为15×0.06＋25×0.34＋35×0.12＋45×0.04＋55×0.4＋65×0.04＝40.(2)①使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家的比例估计值为0.04＋0.20＋0.56＝0.80＝80%>75%.故可以认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%.②使用B款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为15×0.04＋25×0.2＋35×0.56＋45×0.14＋55×0.04＋65×0.02＝35<40，所以选B款订餐软件．3．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．解：(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2，2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]中的频率分别为0.08，0.20，0.26,0.06,0.04,0.02.由0.04＋0.08＋0.5×a＋0.20＋0.26＋0.5×a＋0.06＋0.04＋0.02＝1，解得a＝0.30.(2)由(1)知100位居民每人的月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.(3)因为前6组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88＞0.85，而前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73＜0.85，所以2.5≤x＜3.由0.30×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9.所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．。

2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(十一) 函数与方程 Word版含解析

课时达标检测（十一）函数与方程[小题对点练——点点落实]对点练(一) 函数的零点问题1．(2018·河北武邑中学基础训练)方程ln(x ＋1)－2x ＝0(x >0)的根存在的大致区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(3,4)解析：选B 令f (x )＝ln(x ＋1)－2x ，则f (1)＝ln(1＋1)－2＝ln 2－2<0，f (2)＝ln 3－1>0，所以函数f (x )的零点所在大致区间为(1,2)．故选B.2．(2018·四川双流中学必得分训练)函数f (x )＝2x ＋2x 的零点所处的区间是( ) A ．[－2，－1] B ．[－1,0] C ．[0,1]D ．[1,2]解析：选B f (－2)＝2－2＋2×(－2)<0，f (－1)＝2－1＋2×(－1)<0，f (0)＝20＋0>0，由零点存在性定理知，函数f (x )的零点在区间[－1,0]上．故选B.3．(2018·云南大理州统测)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >0，－x (x ＋2)，x ≤0的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 当x >0时，令f (x )＝0可得x ＝1；当x ≤0时，令f (x )＝0可得x ＝－2或x ＝0.因此函数的零点个数为3.故选D.4．关于x 的方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ∵a >0，∴a 2＋1>1.而y ＝|x 2－2x |的图象如图所示，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有2个交点，即方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是2.5．函数f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：选B 令2sin πx －x ＋1＝0，得2sin πx ＝x －1，令h (x )＝2sin πx ，g (x )＝x －1，则f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数问题就转化为函数h (x )与g (x )的图象的交点个数问题．h (x )＝2sin πx 的最小正周期为T ＝2ππ＝2，画出两个函数的图象，如图所示，因为h (1)＝g (1)，h ⎝⎛⎭⎫52>g ⎝⎛⎭⎫52，g (4)＝3>2，g (－1)＝－2，所以两个函数图象的交点共5个，所以f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.对点练(二) 函数零点的应用问题1．已知函数f (x )＝log 3x ＋2x －a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，－log 32)B ．(0，log 52)C ．(log 32,1)D ．(1，log 34)解析：选C ∵单调函数f (x )＝log 3x ＋2x －a 在区间(1,2)内有零点，∴f (1)·f (2)<0，即(1－a )·(log 32－a )<0，解得log 32<a <1，故选C.2．(2018·甘肃天水一中月考)已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋ax 恰有两个零点，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪{1}解析：选C 由题意，显然x ＝1是函数f (x )的一个零点，取a ＝－1，则f (x )＝ln x ＋x 2－x ，f ′(x )＝2x 2－x ＋1x ＝2⎝⎛⎭⎫x －142＋78x>0恒成立．则f (x )仅有一个零点，不符合题意，排除A 、D ；取a ＝1，则f (x )＝ln x －x 2＋x ，f ′(x )＝1－2x 2＋x x ＝(1＋2x )(1－x )x，f ′(x )＝0得x ＝1，则f (x )在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，f (x )max ＝f (1)＝0，即f (x )仅有一个零点，不符合题意，排除B ，故选C.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 017x ，x >1，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a＋b ＋c 的取值范围是( )A ．(1,2 017)B ．(1,2 018)C ．[2,2 018]D ．(2,2 018)解析：选D 作出函数f (x )的图象与直线y ＝m ，如图所示，不妨设a <b <c ，当0≤x ≤1时，函数f (x )的图象与直线y ＝m 的交点分别为A ，B ，由正弦曲线的对称性，可得A (a ，m )与B (b ，m )关于直线x ＝12对称，因此a ＋b ＝1，当直线y ＝m ＝1时，由log 2 017x ＝1，解得x ＝2 017.若满足f (a )＝f (b )＝f (c )，且a ，b ，c 互不相等，由a <b <c 可得1<c <2 017，因此可得2<a ＋b ＋c <2 018，即a ＋b ＋c ∈(2，2 018)．故选D.4．(2018·孝感模拟)若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，14B.⎝⎛⎭⎫－14，12 C.⎝⎛⎭⎫14，12D.⎣⎡⎦⎤－14，12 解析：选C依题意并结合函数f (x )的图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，[m －2－m ＋(2m ＋1)](2m ＋1)<0，[m －2＋m ＋(2m ＋1)][4(m －2)＋2m ＋(2m ＋1)]<0，解得14<m <12.5．(2018·广东七校联合体联考)若函数f (x )＝2x ＋a 2x －2a 的零点在区间(0,1)上，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，12 B ．(－∞，1) C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D ．(1，＋∞)解析：选C 易知函数f (x )的图象连续，且在(0,1)上单调递增．∴f (0)f (1)＝(1－2a )(2＋a 2－2a )<0，解得a >12.6．已知x 0是f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1x 的一个零点，x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)>0，f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)<0，f (x 2)>0解析：选C 在同一坐标系下作出函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，f (x )＝－1x 的图象(图略)，由图象可知当x ∈(－∞，x 0)时，⎝⎛⎭⎫12x >－1x ；当x ∈(x 0,0)时，⎝⎛⎭⎫12x <－1x ，所以当x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)时，有f (x 1)>0，f (x 2)<0.7．(2018·龙岩质检)已知f (x )是奇函数，且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是________．解析：令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.答案：－788．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，转化为f (x )－m ＝0的根有3个，进而转化为y ＝f (x )，y ＝m 的交点有3个．画出函数y ＝f (x )的图象，则直线y ＝m 与其有3个公共点．又抛物线顶点为(－1,1)，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)[大题综合练——迁移贯通]1．已知a 是正实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a .如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，求a 的取值范围．解：f (x )＝2ax 2＋2x －3－a 的对称轴为x ＝－12a.①当－12a ≤－1，即0<a ≤12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≤0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥1，∴无解．②当－1<－12a <0，即a >12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝⎛⎭⎫－12a ≤0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12a －3－a ≤0，a ≥1，解得a ≥1，∴a 的取值范围是[1，＋∞)．2．(2018·德州模拟)已知函数f (x )＝－x 2－2x .g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x >0，x ＋1，x ≤0.(1)求g [f (1)]的值；(2)若方程g [f (x )]－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围．解：(1)∵f (1)＝－12－2×1＝－3，∴g [f (1)]＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象，如图所示，由图象可知，当1≤a <54时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1，54. 3．(2018·信阳模拟)已知函数f (x )＝log 2(2x ＋1)． (1)求证：函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；(2)若g (x )＝log 2(2x －1)(x >0)，且关于x 的方程g (x )＝m ＋f (x )在[1,2]上有解，求m 的取值范围．解：(1)证明：∵函数f (x )＝log 2(2x ＋1)，任取x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝log 2(2x 1＋1)－log 2(2x 2＋1)＝log 22x 1＋12x 2＋1，∵x 1<x 2，∴0<2x 1＋12x 2＋1<1，∴log 22x 1＋12x 2＋1<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增． (2)∵g (x )＝m ＋f (x )， ∴m ＝g (x )－f (x )＝log 2(2x －1)－log 2(2x ＋1) ＝log 22x －12x ＋1＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1，∵1≤x ≤2，∴2≤2x ≤4，∴log 213≤log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1≤log 235，故m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤log 213，log 235.。

【通用版】2018-2019学年高中理数新创新一轮复习课时达标检测二命题及其关系、充分条件与必要条件含解析

课时达标检测（二）命题及其关系、充分条件与必要条件[小题对点练——点点落实]对点练(一) 命题及其关系1．命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( )A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数解析：选C 由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”，故选C.2．命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( ) A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题解析：选D 原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题． 3．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( )A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真解析：选D 对于原命题：“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集非空时，可以有a >0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题．故选D.4．(2018·德州一中模拟)下列命题中为真命题的序号是________．①若x ≠0，则x ＋1x ≥2；②命题：若x 2＝1，则x ＝1或x ＝－1的逆否命题为：若x ≠1且x ≠－1，则x 2≠1；③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件；④命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”．解析：当x <0时，x ＋1x≤－2，故①是假命题；根据逆否命题的定义可知，②是真命题；“a ＝±1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件，故③是假命题；根据否命题的定义知④是真命题．答案：②④5．“在△ABC 中，若∠C ＝90°，则∠A ，∠B 都是锐角”的否命题为：________________________________________________________________________. 解析：原命题的条件：在△ABC 中，∠C ＝90°，结论：∠A ，∠B 都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A ，∠B 不都是锐角”．答案：在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A ，∠B 不都是锐角对点练(二) 充分条件与必要条件1．(2016·山东高考)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由题意知a ⊂α，b ⊂β，若a ，b 相交，则a ，b 有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a ，b 的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.2．(2018·浙江名校联考)一次函数y ＝－m n x ＋1n 的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( )A ．m >1，且n <1B ．mn <0C ．m >0，且n <0D ．m <0，且n <0解析：选B 因为y ＝－m n x ＋1n 的图象经过第一、三、四象限，故－m n >0，1n <0，即m >0，n <0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn <0.3．(2018·河南豫北名校联盟精英对抗赛)设a ，b ∈R ，则“log 2a >log 2b ”是“2a －b >1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A log 2a >log 2b ⇔a >b >0,2a －b >1⇔a >b ，所以“log 2a >log 2b ”是“2a －b >1”的充分不必要条件．故选A.4．(2018·重庆第八中学调研)定义在R 上的可导函数f (x )，其导函数为f ′(x )，则“f ′(x )为偶函数”是“f (x )为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴[f (－x )]′＝[－f (x )]′，∴f ′(－x )·(－x )′＝－f ′(x )，∴f ′(－x )＝f ′(x )，即f ′(x )为偶函数；反之，若f ′(x )为偶函数，如f ′(x )＝3x 2，f (x )＝x 3＋1满足条件，但f (x )不是奇函数，所以“f ′(x )为偶函数”是“f (x )为奇函数”的必要不充分条件．故选B.5．(2018·山西怀仁一中期中)命题“∀x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )A ．a ≥4B ．a >4C ．a ≥1D ．a >1解析：选B x 2－a ≤0⇔a ≥x 2.因为x 2∈[1,4)，所以a ≥4.故a >4是已知命题的一个充分不必要条件．故选B.6．(2018·广东梅州质检)已知命题p ：“方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”，且綈p 为真命题的充分不必要条件为a >3m ＋1，则实数m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(0,1)解析：选B 命题p ：“方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”为真时，Δ＝16－4a ≥0，∴a ≤4.∴綈p 为真命题时，a >4.又∵綈p 为真命题的充分不必要条件为a >3m ＋1，∴(3m ＋1，＋∞)是(4，＋∞)的真子集，∴3m ＋1>4，解得m >1，故选B.7．(2018·福建闽侯二中期中)设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由|4x －3|≤1，得12≤x ≤1；由x 2－(2a ＋1)·x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1.∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件，∴p 是q 的充分不必要条件．∴⎣⎡⎦⎤12，1[a ，a ＋1]．∴a ≤12.且a ＋1≥1，两个等号不能同时成立，解得0≤a ≤12.∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 答案：⎣⎡⎦⎤0，12[大题综合练——迁移贯通]1．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：(1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2<4b ，为真命题．(3)逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a 2<4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，为真命题．2．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴716≤y ≤2，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 3．已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )<0}．(1)若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求a 的取值范围．(2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．解：A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}＝{x |2<x <4}， B ＝{x |(x －a )(x －3a )<0}．(1)当a ＝0时，B ＝∅，不合题意．当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，要满足题意，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ≥4，解得43≤a ≤2. 当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，要满足题意，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≤2，a ≥4，无解．综上，a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤43，2.(2)要满足A ∩B ＝∅，当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，则a ≥4或3a ≤2，即0<a ≤23或a ≥4. 当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，则a ≤2或a ≥43，即a <0. 当a ＝0时，B ＝∅，A ∩B ＝∅.综上，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，23∪[4，＋∞)．。

[推荐学习]2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(二) 命题及其关系、充

课时达标检测（二）命题及其关系、充分条件与必要条件[小题对点练——点点落实]对点练(一) 命题及其关系1．命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( )A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数解析：选C 由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”，故选C.2．命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( ) A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题解析：选D 原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题． 3．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( )A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真解析：选D 对于原命题：“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集非空时，可以有a >0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题．故选D.4．(2018·德州一中模拟)下列命题中为真命题的序号是________．①若x ≠0，则x ＋1x ≥2；②命题：若x 2＝1，则x ＝1或x ＝－1的逆否命题为：若x ≠1且x ≠－1，则x 2≠1；③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件；④命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”．解析：当x <0时，x ＋1x≤－2，故①是假命题；根据逆否命题的定义可知，②是真命题；“a ＝±1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件，故③是假命题；根据否命题的定义知④是真命题．答案：②④5．“在△ABC 中，若∠C ＝90°，则∠A ，∠B 都是锐角”的否命题为：________________________________________________________________________.解析：原命题的条件：在△ABC 中，∠C ＝90°，结论：∠A ，∠B 都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A ，∠B 不都是锐角”．答案：在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A ，∠B 不都是锐角对点练(二) 充分条件与必要条件1．(2016·山东高考)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由题意知a ⊂α，b ⊂β，若a ，b 相交，则a ，b 有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a ，b 的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.2．(2018·浙江名校联考)一次函数y ＝－m n x ＋1n 的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( )A ．m >1，且n <1B ．mn <0C ．m >0，且n <0D ．m <0，且n <0解析：选B 因为y ＝－m n x ＋1n 的图象经过第一、三、四象限，故－m n >0，1n <0，即m >0，n <0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn <0.3．(2018·河南豫北名校联盟精英对抗赛)设a ，b ∈R ，则“log 2a >log 2b ”是“2a －b >1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A log 2a >log 2b ⇔a >b >0,2a －b >1⇔a >b ，所以“log 2a >log 2b ”是“2a －b >1”的充分不必要条件．故选A.4．(2018·重庆第八中学调研)定义在R 上的可导函数f (x )，其导函数为f ′(x )，则“f ′(x )为偶函数”是“f (x )为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴[f (－x )]′＝[－f (x )]′，∴f ′(－x )·(－x )′＝－f ′(x )，∴f ′(－x )＝f ′(x )，即f ′(x )为偶函数；反之，若f ′(x )为偶函数，如f ′(x )＝3x 2，f (x )＝x 3＋1满足条件，但f (x )不是奇函数，所以“f ′(x )为偶函数”是“f (x )为奇函数”的必要不充分条件．故选B.5．(2018·山西怀仁一中期中)命题“∀x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )A ．a ≥4B ．a >4C ．a ≥1D ．a >1解析：选B x 2－a ≤0⇔a ≥x 2.因为x 2∈[1,4)，所以a ≥4.故a >4是已知命题的一个充分不必要条件．故选B.6．(2018·广东梅州质检)已知命题p ：“方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”，且綈p 为真命题的充分不必要条件为a >3m ＋1，则实数m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(0,1)解析：选B 命题p ：“方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”为真时，Δ＝16－4a ≥0，∴a ≤4.∴綈p 为真命题时，a >4.又∵綈p 为真命题的充分不必要条件为a >3m ＋1，∴(3m ＋1，＋∞)是(4，＋∞)的真子集，∴3m ＋1>4，解得m >1，故选B.7．(2018·福建闽侯二中期中)设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由|4x －3|≤1，得12≤x ≤1；由x 2－(2a ＋1)·x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1.∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件，∴p 是q 的充分不必要条件．∴⎣⎡⎦⎤12，1[a ，a ＋1]．∴a ≤12.且a ＋1≥1，两个等号不能同时成立，解得0≤a ≤12.∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 答案：⎣⎡⎦⎤0，12[大题综合练——迁移贯通]1．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：(1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2<4b ，为真命题．(3)逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a 2<4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，为真命题．2．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴716≤y ≤2，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 3．已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )<0}．(1)若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求a 的取值范围．(2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．解：A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}＝{x |2<x <4}， B ＝{x |(x －a )(x －3a )<0}．(1)当a ＝0时，B ＝∅，不合题意．当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，要满足题意，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ≥4，解得43≤a ≤2. 当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，要满足题意，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≤2，a ≥4，无解．综上，a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤43，2.(2)要满足A ∩B ＝∅，当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，则a ≥4或3a ≤2，即0<a ≤23或a ≥4. 当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，则a ≤2或a ≥43，即a <0. 当a ＝0时，B ＝∅，A ∩B ＝∅.综上，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，23∪[4，＋∞)．。

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课时达标检测（一）集合[小题对点练——点点落实]对点练(一) 集合的概念与集合间的基本关系 1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，则( )A ．A ＝BB ．A ∩B ＝∅C ．A BD ．B A 解析：选D ∵A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，∴B A .⊆C |C {＝B ，}0≤3－x 2＋2x |N ∈x {＝A 已知集合)拟莱州一中模·(2018．2A }，则集合B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 B个子集，因此集合4＝22有，共}{0,1＝}1≤x ≤3－|N ∈x {＝}0≤1)－x 3)(＋x |(N ∈x {＝A C 选解析：中元素的个数为4，选C.3．(2018·广雅中学测)(是图n Ven 的关系}0＝x ＋2x |x {＝N 和}1,0,1－{＝M ，则正确表示集合R ＝U 若全集)试B.选，故M N ，所以}1,0,1－{＝M ，而}1,0－{＝}0＝x ＋2x |x {＝N 由题意知， B 选解析：．________为的值m ，则A ∈3若，}m ＋2m 2,2＋m {＝A ．已知集合4 ，3＝m ＋2m 2且3＝2＋m 时，1＝m ，当32＝－m 或1＝m ，则3＝m ＋2m 2或3＝2＋m 由题意得解析：.32＝－m ，故3＝m ＋2m 2则，12＝2＋m 时，32＝－m 根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当 32－答案：．________是的取值范围 b －a ，则实数B ⊆A ，若]b ，a [＝B ，}16≤x 2≤|4x {＝A ．已知集合5，所4≥b ，2≤a ，所以B ⊆A ，因为[2,4]＝}4≤x ≤|2x {＝}42≤x 2≤2|2x {＝}16≤x 2≤|4x {＝A 集合解析：以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]对点练(二) 集合的基本运算)(＝N ∪M ，则}0≤x |lg x {＝N ，}x ＝2x |x {＝M ．设集合1 A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(－∞，1] ．][0,1＝N ∪M ，}1≤x ＜0|x {＝}0≤x |lg x {＝N ，}{0,1＝}x ＝2x |x {＝M A 选解析： )(＝B ∩A ，则}A ∈x ，2x ＝y |y {＝B ，}1,0,1－{＝A ．若集合2 A ．{0}B ．{1}C ．{0,1}D ．{0，－1} ．}{0,1＝B ∩A ，所以}{0,1＝}A ∈x ，2x ＝y |y {＝B 因为 C 选解析： )(＝B ∪)A U ∁(则，}3≤y ≤|1y {＝B ，}2≤x ≤|0x {＝A ，集合R ＝U 设全集)考中原名校联·(2018．3 A ．(2,3]B ．(－∞，1]∪(2，＋∞)C ．[1,2)D ．(－∞，0)∪[1，＋∞)．)∞，＋1[∪0)，∞－(＝B ∪)A U ∁(以，所}3≤y ≤|1y {＝B ，}<0x 或2>x |x {＝A U ∁因为 D 选解析： 4．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉)(＝Q －P ，那么}2|<1－x ||x {＝Q ，}<1x 2|log x {＝P ，如果}Q A ．{x |0<x <1}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |1≤x <2}D ．{x |2≤x <3} ．由}<3x |1<x {＝Q ，所以3<x 1<得，12|<－x |由；}<2x |0<x {＝P ，所以2<x 0<得，1<x 2log 由 B 选解析：题意，得P －Q ＝{x |0<x ≤1}．∪P ．若}0≤b ＋ax ＋2x |x {＝Q ，}2>0－y －2y |y {＝P 已知集合)考河北正定中学月·(2018．5Q ＝R ，且P ∩Q ＝(2,3]，则a ＋b ＝( )A ．－5B ．5C ．－1D ．1 ，所以1,3]－[＝Q ，得](2,3＝Q ∩P 及R ＝Q ∪P ．由}1－<y 或2>y |y {＝}2>0－y －2y |y {＝P A 选解析：－a ＝－1＋3，b ＝－1×3，即a ＝－2，b ＝－3，a ＋b ＝－5，故选A.6．(2018·唐山统一考) (是，则图中阴影部分表示的集合}<1x |2x {＝B ，}6<0－x 5－2x |x {＝A ，集合R ＝U 若全集)试A ．{x |2<x <3}B ．{x |－1<x ≤0}C ．{x |0≤x <6}D ．{x |x <－1} ＝B ，所以0<x ，解得1<x 2由．}<6x 1<－|x {＝A ，所以6<x 1<－，解得06<－x 5－2x 由 C 选解析： C.选，故}<6x ≤|0x {＝A ∩)B U ∁(以，所}0≥x |x {＝B U ∁，A ∩)B U ∁(为．又题图中阴影部分表示的集合}<0x |x { )(是的取值范围m ，则实数}>4x |x {＝B ∩A ．若}m ≥x |x {＝B ，}12>0－x －2x |x {＝A ．已知集合7 A ．(－4,3)B ．[－3,4]C ．(－3,4)D ．(－∞，4] 解析：选B 集合A ＝{x |x <－3或x >4}，∵A ∩B ＝{x |x >4}，∴－3≤m ≤4，故选B.)(为}{1,4,7合，则集}0＝21＋x 8－2x |x {＝N ，}{2,3,5＝M ，集合}<8x |0<Z ∈x {＝U ．已知全集8 )N U ∁(∩M ．A)N ∩M (U ∁．B )N ∪M (U ∁．C N ∩)M U ∁(．D ＝N ∩M ，}{3,5＝}{1,3,4,5,7∩{2,3,5}＝)N U ∁(∩M ，}{2,6＝N ，}{1,2,3,4,5,6,7＝U 由已知得 C 选解析：选，}{6＝}{2,6∩{1,4,6,7}＝N ∩)M U ∁(，}{1,4,7＝)N ∪M (U ∁，}{2,3,5,6＝N ∪M ，},3,4,5,6,7{1＝)N ∩M (U ∁，}{2 C.[大题综合练——迁移贯通]．}R ∈m ，R ∈x ，0≤4－2m ＋mx 2－2x |x {＝B ，}0≤3－x 2－2x |x {＝A ．已知集合1 (1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值；的取值范围．m ，求实数B R ∁⊆A 若)(2 解：由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)因为A ∩B ＝[0,3]，2.＝m 所以⎩⎪⎨⎪⎧ m －2＝0，m ＋2≥3.所以，}2＋m >x 或2－m <x |x {＝B R ∁(2) ，1－<2＋m 或32>－m ，所以B R ∁⊆A 因为即m >5或m <－3. 因此实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)． 2．已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，集合B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}，则A ∪B ＝{x |－2<x <3}．，2－≤m 解得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＞2m ，2m≤1，1－m≥3，知B ⊆A 由)(2 即实数m 的取值范围为(－∞，－2]． (3)由A ∩B ＝∅，得，符合题意；∅＝B 时，13≥m ，即m －1≥m 2若① ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜13，2m≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜13，1－m≤1时，需13＜m ，即m －1＜m 2若② .13＜m ≤0即，∅或13＜m ≤0得综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．．}>1x 2|log x {＝B ，}27≤x 3≤|3x {＝A 已知集合)考江西玉山一中月·(2018．3；A ∪)B R ∁(，B ∩A 分别求)(1 (2)已知集合C ＝{x |1<x <a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围．，33≤x 3≤13即，72≤x 3≤3∵(1)解： ∴1≤x ≤3，∴A ＝{x |1≤x ≤3}．，22>log x 2log 即，1>x 2log ∵ ∴x >2，∴B ＝{x |x >2}． ∴A ∩B ＝{x |2<x ≤3}．B R∁∴，x|x{＝}2≤A)B R∁(∴＝∪≤．}3x|x{(2)由(1)知A＝{x|1≤x≤3}，C⊆A.当C为空集时，满足C⊆A，a≤1；当C为非空集合时，可得1<a≤3.综上所述，a≤3.实数a的取值范围是{a|a≤3}.。

2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(三十) 数列的综合问题含解析-

课时达标检测（三十）数列的综合问题[小题常考题点——准解快解]1．(2018·安徽六安一中月考)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝5－n ，其前n 项和为S n ，将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n .若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，S n ≤T m ＋λ恒成立，则实数λ的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选D 依题意得S n ＝(4＋5－n )n 2＝n (9－n )2，根据二次函数的性质，n ＝4,5时，S n 取得最大值为10.另外，根据通项公式得数列{a n }的前4项为a 1＝4，a 2＝3，a 3＝2，a 4＝1，观察易知抽掉第二项后，余下的三项可组成等比数列．所以数列{b n }中，b 1＝4，公比q ＝12，所以T n ＝4⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝8⎝⎛⎭⎫1－12n ，所以4≤T n <8.因为存在m ∈N *，对任意n ∈N *，S n ≤T m ＋λ恒成立，所以10<8＋λ，所以λ>2.故选D.2．(2018·北京景山学校段测)已知数列{a n }满足a 1＝1，P (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －y ＋1＝0上，如果函数f (n )＝1n ＋a 1＋1n ＋a 2＋…＋1n ＋a n(n ∈N *，n ≥2)，那么函数f (n )的最小值为( ) A.13 B ．14C.712D ．512解析：选C 将点P 的坐标代入直线方程，得a n ＋1－a n ＝1，所以{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，所以a n ＝n ，所以f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n ，f (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n ＋n ＋2，所以f (n ＋1)－f (n )＝1n ＋n ＋1＋1n ＋n ＋2－1n ＋1>12n ＋2＋12n ＋2－1n ＋1＝0，所以f (n )单调递增，故f (n )的最小值为f (2)＝712，故选C.3．(2018·江西金溪一中月考)据统计测量，已知某养鱼场，第一年鱼的质量增长率为200%，以后每年的增长率为前一年的一半．若饲养5年后，鱼的质量预计为原来的t 倍．下列选项中，与t 值最接近的是( )A ．11B ．13C ．15D ．17解析：选B 设鱼原来的质量为a ，饲养n 年后鱼的质量为a n ，q ＝200%＝2，则a 1＝a (1＋q )，a 2＝a 1⎝⎛⎭⎫1＋q2＝a (1＋q )⎝⎛⎭⎫1＋q 2，…，a 5＝a (1＋2)×(1＋1)×⎝⎛⎭⎫1＋12×⎝⎛⎭⎫1＋122×⎝⎛⎭⎫1＋123＝40532a ≈12.7a ，即5年后，鱼的质量预计为原来的12.7倍，故选B.4．(2018·湖北襄阳四校联考)我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n .①第二步：将数列①的各项乘以n2，得到一个新数列a 1，a 2，a 3，…，a n .则a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n －1a n ＝( ) A.n 24 B ．(n －1)24C.n (n －1)4D ．n (n ＋1)4解析：选C 由题意知所得新数列为1×n 2，12×n 2，13×n 2，…，1n ×n2，所以a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n －1a n ＝n 24⎣⎢⎡⎦⎥⎤11×2＋12×3＋13×4＋…＋1(n －1)×n ＝n 24⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎣⎡⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎣⎢⎡⎭⎪⎫1n －1－1n ＝n 24⎣⎡⎭⎫1－1n ＝n (n －1)4，故选C.5．(2018·辽宁盘锦高中月考)数列{a n }满足a 1＝14，a n ＋1＝14－4a n ，若不等式a 2a 1＋a 3a 2＋…＋a n ＋2a n ＋1<n ＋λ对任何正整数n 恒成立，则实数λ的最小值为( )A.74 B ．34C.78D ．38解析：选A 因为数列{a n }满足a 1＝14，a n ＋1＝14－4a n，所以反复代入计算可得a 2＝26，a 3＝38，a 4＝410，a 5＝512，…，由此可归纳出通项公式a n ＝n 2(n ＋1)，经验证，成立．所以a n ＋1a n ＝1＋1n (n ＋2)＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，所以a 2a 1＋a 3a 2＋…＋a n ＋2a n ＋1＝n ＋1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋2－1n ＋3＝n ＋74－12⎣⎢⎡⎭⎪⎫1n ＋2＋1n ＋3.因为要求a 2a 1＋a 3a 2＋…＋a n ＋2a n ＋1<n ＋λ对任何正整数n 恒成立，所以λ≥74.故选A.6．已知数列{a n }满足a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，n ∈N *，且a 5＝π2，若函数f (x )＝sin 2x ＋2cos 2x 2，记y n ＝f (a n )，则数列{y n }的前9项和为( )A ．0B ．－9C ．9D ．1解析：选C 由已知可得，数列{a n }为等差数列，f (x )＝sin 2x ＋cos x ＋1，∴f ⎝⎛⎭⎫π2＝1.∵f (π－x )＝sin(2π－2x )＋cos(π－x )＋1＝－sin 2x －cos x ＋1，∴f (π－x )＋f (x )＝2.∵a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝…＝2a 5＝π，∴f (a 1)＋…＋f (a 9)＝2×4＋1＝9，即数列{y n }的前9项和为9.7．(2018·四川成都石室中学模拟)若f (x )＝x m ＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )(n ∈N *)的前n 项和为( )A.n n ＋1 B ．n ＋2n ＋1C.n n －1D ．n ＋1n解析：选A 因为f (x )＝x m ＋ax ，所以f ′(x )＝mx m －1＋a .又因为f ′(x )＝2x ＋1，所以m ＝2，a ＝1，所以f (n )＝n 2＋n ＝n (n ＋1)，所以1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )的前n 项和为1f (1)＋1f (2)＋…＋1f (n )＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.故选A.8．(2018·河南新乡模拟)若数列{a n ＋1－a n }是等比数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝5，则a n ＝________. 解析：∵a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，∴q ＝3，∴a n ＋1－a n ＝3n －1，∴a n －a 1＝a 2－a 1＋a 3－a 2＋…＋a n －1－a n －2＋a n－a n －1＝1＋3＋…＋3n －2＝3n －1－12，∵a 1＝1，∴a n ＝3n －1＋12.答案：3n －1＋129．(2018·广东潮州模拟)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a n ＝2·3n －1(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝________.解析：由a n ＝2·3n －1可知数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列，所以S n ＝2(1－3n )1－3＝3n－1，则b n＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1S 1－1S 2＋⎝⎛⎭⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝12－13n ＋1－1.答案：12－13n ＋1－110．(2018·安徽六安一中段测)已知f (x )是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x ，y ∈R 都有f (xy )＝xf (y )＋yf (x )成立，数列{a n }满足a n ＝f (3n )(n ∈N *)，且a 1＝3，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：因为a n ＝f (3n )，所以a n ＋1＝f (3n ＋1)且a 1＝3＝f (3)．又因为对于任意的x ，y ∈R 都有f (xy )＝xf (y )＋yf (x )成立，所以令x ＝3n，y ＝3，则f (3n ＋1)＝3n f (3)＋3f (3n )，所以a n ＋1＝3a n ＋3·3n，所以a n ＋13n ＋1－a n 3n ＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a n3n ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n ·3n .答案：n ·3n[大题常考题点——稳解全解]1．(2018·山西八校联考)已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝1，且2a 2，a 4,3a 3成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝2na n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由2a 2，a 4,3a 3成等差数列可得2a 4＝2a 2＋3a 3，即2a 1q 3＝2a 1q ＋3a 1q 2，又q >1，a 1＝1，故2q 2＝2＋3q ，即2q 2－3q －2＝0，得q ＝2，因此数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)b n ＝2n ×2n －1＝n ×2n ，T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，① 2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1.② ①－②得－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1，－T n ＝2(2n －1)2－1－n ×2n ＋1，T n ＝(n －1)×2n ＋1＋2.2．(2017·山东高考)已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1＋x 2＝3，x 3－x 2＝2. (1)求数列{x n }的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1，1)，P 2(x 2,2)，…，P n ＋1(x n ＋1，n ＋1)得到折线P 1P 2…P n ＋1，求由该折线与直线y ＝0，x＝x 1，x ＝x n ＋1所围成的区域的面积T n .解：(1)设数列{x n }的公比为q ，由已知得q >0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 1q ＝3，x 1q 2－x 1q ＝2.所以3q 2－5q －2＝0.因为q >0，所以q ＝2，x 1＝1，因此数列{x n }的通项公式为x n ＝2n －1.(2)过P 1，P 2，…，P n ＋1向x 轴作垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，…，Q n ＋1.由(1)得x n ＋1－x n ＝2n －2n －1＝2n －1，记梯形P n P n ＋1Q n ＋1Q n 的面积为b n ，由题意得b n ＝(n ＋n ＋1)2×2n －1＝(2n ＋1)×2n －2，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n －1)×2n －3＋(2n ＋1)×2n －2.①又2T n ＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n －1)×2n －2＋(2n ＋1)×2n －1.② ①－②得－T n ＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n －1)－(2n ＋1)×2n －1＝32＋2(1－2n －1)1－2－(2n ＋1)×2n －1. 所以T n ＝(2n －1)×2n ＋12.3．(2018·河北二市联考)在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N *)，a 1a 3＝4，且a 3＋1是a 2和a 4的等差中项，若b n＝log 2a n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式； (2)若数列{c n }满足c n ＝a n ＋1＋1b 2n －1·b 2n ＋1，求数列{c n }的前n 项和．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，且q >0，在等比数列{a n }中，由a n >0，a 1a 3＝4得，a 2＝2，① 又a 3＋1是a 2和a 4的等差中项，所以2(a 3＋1)＝a 2＋a 4，②把①代入②得，2(2q ＋1)＝2＋2q 2，解得q ＝2或q ＝0(舍去)，所以a n ＝a 2q n －2＝2n －1，则b n ＝log 2a n ＋1＝log 22n ＝n . (2)由(1)得，c n ＝a n ＋1＋1b 2n －1·b 2n ＋1＝2n ＋1(2n －1)(2n ＋1)＝2n＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以数列{c n }的前n 项和S n ＝2＋22＋ (2)＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1－13)＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝2(1－2n )1－2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1 ＝2n ＋1－2＋n2n ＋1.4．(2018·河北定州中学阶段性检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 22＋3n2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝a n ＋2－a n ＋1a n ＋2·a n ，且数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <2n ＋512.解：(1)因为S n ＝n 22＋3n2，①所以当n ≥2时，S n －1＝(n －1)22＋3(n －1)2，②所以由①②两式相减得a n ＝S n －S n －1＝n 22＋3n 2－(n －1)22－3(n －1)2＝n ＋1.又因为n ＝1时，a 1＝S 1＝2适合a n ＝n ＋1，所以a n ＝n ＋1.(2)证明：由(1)知b n ＝n ＋3－(n ＋1)＋1(n ＋3)(n ＋1)＝2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋3，所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝2n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋13－15＋…＋1n ＋1－1n ＋3 ＝2n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13－1n ＋2－1n ＋3＝2n ＋512－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2＋1n ＋3<2n ＋512.。

2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(十) 函数的图象及其应用含解析

课时达标检测（十）函数的图象及其应用[小题对点练——点点落实]对点练(一) 函数的图象1．(2018·陕西汉中教学质量检测)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x sin x 的图象大致是( )解析：选D 令f (x )＝0可得x ＝±1，或x ＝k π(k ≠0，k ∈Z)，又f (－x )＝⎝⎛⎭⎫－x ＋1x sin(－x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x sin x ＝f (x )，即函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x sin x 是偶函数，且经过点(1,0)，(π，0)，(2π，0)，(3π，0)，…，故选D.2．(2018·甘肃南裕固族自治县一中月考)已知函数f (x )＝－x 2＋2，g (x )＝log 2|x |，则函数F (x )＝f (x )·g (x )的图象大致为( )解析：选B f (x )，g (x )均为偶函数，则F (x )也为偶函数，由此排除A ，D.当x >2时，－x 2＋2<0，log 2|x |>0，所以F (x )<0，排除C ，故选B.3．(2018·安徽蚌埠二中等四校联考)如图所示的图象对应的函数解析式可能是( )A ．y ＝2x －x 2－1B ．y ＝2x sin x 4x ＋1C ．y ＝x ln xD ．y ＝(x 2－2x )e x解析：选D A 中，y ＝2x －x 2－1，当x 趋于－∞时，函数y ＝2x 的值趋于0，y ＝x 2＋1的值趋于＋∞，所以函数y ＝2x －x 2－1的值小于0，故A 中的函数不满足．B 中，y ＝sin x 是周期函数，所以函数y ＝2x sin x4x ＋1的图象是以x 轴为中心的波浪线，故B 中的函数不满足．C中，函数y ＝x ln x的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，故C 中的函数不满足．D 中，y ＝x 2－2x ，当x <0或x >2时，y >0，当0<x <2时，y <0，且y ＝e x >0恒成立，所以y ＝(x 2－2x )e x 的图象在x 趋于＋∞时，y 趋于＋∞，故D 中的函数满足．4．(2018·昆明模拟)如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成的，它们的圆心分别是O ，O 1，O 2，动点P 从A 点出发沿着圆弧按A →O →B →C →A →D →B 的路线运动(其中A ，O ，O 1，O 2，B 五点共线)，记点P 运动的路程为x ，设y ＝|O 1P |2，y 与x 的函数关系式为y ＝f (x )，则y ＝f (x )的大致图象是( )解析：选A 当x ∈[0，π]时，y ＝1.当x ∈(π，2π)时， O 1P ―→＝O 2P ―→－O 2O 1―→，设O 2P ―→与O 2O 1―→的夹角为θ，因为|O 2P ―→|＝1，|O 2O 1―→|＝2，θ＝x －π，所以y ＝|O 1P ―→|2＝(O 2P ―→－O 2O 1―→)2＝5－4cos θ＝5＋4cos x ，x ∈(π，2π)，此时函数y ＝f (x )的图象是曲线，且单调递增，排除C ，D.当x ∈[2π，4π)时，因为O 1P ―→＝OP ―→－OO 1―→，设OP ―→，OO 1―→的夹角为α，因为|OP ―→|＝2，|OO 1―→|＝1，α＝2π－12x ，所以y ＝|O 1P ―→|2＝(OP ―→－OO 1―→)2＝5－4cos α＝5－4cos 12x ，x ∈[2π，4π)，此时函数y ＝f (x )的图象是曲线，且单调递减，排除B.故选A.对点练(二) 函数图象的应用问题1．(2018·福建厦门双十中学期中)已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，1e B ．(－∞， e)。

[推荐学习]2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(二十七) 数列的概念与

课时达标检测（二十七）数列的概念与简单表示[小题对点练——点点落实]对点练(一) 数列的通项公式 1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n a n ＋2(n ∈N *)，则14是这个数列的( )A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项解析：选B 由a n ＋1＝2a na n ＋2可得1a n ＋1＝1a n ＋12，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，12为公差的等差数列，故1a n ＝1＋(n －1)×12＝12n ＋12，即a n ＝2n ＋1，由2n ＋1＝14，解得n ＝7，故选B.2．(2018·南昌模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A.1516B ．158 C.34 D ．38解析：选C 由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，∴2a 3＝2＋(－1)3，a 3＝12，∴12a 4＝12＋(－1)4，a 4＝3，∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝12×32＝34.3．(2018·河南郑州一中考前冲刺)数列{a n }满足：a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 018＝( )A.2 0172 018 B ．2 0182 019 C.4 0342 018D ．4 0362 019解析：选D ∵a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，∴a n ＋1＝a n ＋n ＋1，即a n ＋1－a n ＝n ＋1，用累加法可得a n ＝a 1＋(n －1)(n ＋2)2＝n (n ＋1)2，∴1a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 018＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋12 018－12 019＝4 0362 019，故选D. 4．(2018·甘肃天水检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1B ．12n －1C.⎝⎛⎭⎫23n －1D ．⎝⎛⎭⎫32n －1解析：选D 因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ，所以S n ＝2a n ＋1＝2(S n ＋1－S n )，所以S n ＋1S n ＝32，所以数列{S n }是以S 1＝a 1＝1为首项，32为公比的等比数列，所以S n ＝⎝⎛⎭⎫32n －1.故选D. 5．(2018·兰州模拟)在数列1,2，7，10，13，…中219是这个数列的第________项．解析：数列1,2，7，10，13，…，即数列1，3×1＋1，3×2＋1，3×3＋1，3×4＋1，…，∴该数列的通项公式为a n ＝3(n －1)＋1＝3n －2，∴3n －2＝219＝76，∴n ＝26，故219是这个数列的第26项．答案：266．(2018·河北冀州中学期中)已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则a 3＝________，a n ＝________.解析：由a n ＝n (a n ＋1－a n )，可得a n ＋1a n ＝n ＋1n ，则a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 2a 1·a 1＝nn －1×n －1n －2×n －2n －3×…×21×1＝n (n ≥2)，∴a 3＝3.∵a 1＝1满足a n ＝n ，∴a n ＝n .答案：3 n7．(2018·福建晋江季延中学月考)已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________________．解析：已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋1，将n ＝1代入，得a 1＝2；当n ≥2时，将n －1代入得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n ，两式相减得na n ＝(n ＋1)－n ＝1，∴a n ＝1n，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，1n ，n ≥2.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，1n ，n ≥2对点练(二) 数列的性质1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1(n ∈N *)．则下列说法正确的是( ) A ．这个数列的第10项为2731B.98101是该数列中的项 C ．数列中的各项都在区间⎣⎡⎭⎫14，1内 D ．数列{a n }是单调递减数列解析：选C a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1.令n ＝10，得a 10＝2831.故选项A 不正确，令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300，此方程无正整数解，故98101不是该数列中的项．因为a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N *，所以数列{a n }是单调递增数列，所以14≤a n <1，所以数列中的各项都在区间⎣⎡⎭⎫14，1内，故选项C 正确，选项D 不正确，故选C.2．(2018·湖北黄冈中学期中)已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1＋a n 1－a n ，则a 2 018＝( )A ．－2B ．12C ．－13D ．3解析：选D ∵a 1＝12，∴a 2＝1＋a 11－a 1＝3，a 3＝1＋a 21－a 2＝－2，a 4＝1＋a 31－a 3＝－13，a 5＝1＋a 41－a 4＝12，…，∴数列{a n }是周期数列且周期T ＝4，∴a 2 018＝a 2＝3，故选D. 3．(2018·河南郑州质量预测)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝m ，a 2＝n ，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 017的值为( )A ．2 017n －mB ．n －2 017mC ．mD ．n解析：选C 根据题意计算可得a 3＝n －m ，a 4＝－m ，a 5＝－n ，a 6＝m －n ，a 7＝m ，a 8＝n ，…，因此数列{a n }是以6为周期的周期数列，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝0，所以S 2 017＝S 336×6＋1＝a 1＝m .故选C.4．(2018·安徽淮南模拟)已知{a n }中，a n ＝n 2＋λn ，且{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．[－2，＋∞)C ．(－3，＋∞)D ．[－3，＋∞)解析：选C ∵{a n }是递增数列，∴∀n ∈N *，a n ＋1>a n ，∴(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn ，化简得λ>－(2n ＋1)，∴λ>－3.故选C.5．(2018·北京海淀区模拟)数列{a n }的通项为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n ≤4，－n 2＋(a －1)n ，n ≥5(n ∈N *)，若a 5是{a n }中的最大值，则a 的取值范围是________．解析：当n ≤4时，a n ＝2n －1单调递增，因此n ＝4时取最大值，a 4＝24－1＝15.当n ≥5时，a n ＝－n 2＋(a －1)n ＝－⎝⎛⎭⎪⎫n －a －122＋(a －1)24.∵a 5是{a n}中的最大值，∴⎩⎨⎧a －12≤5.5，－25＋5(a －1)≥15，解得9≤a ≤12.∴a 的取值范围是[9,12]．答案：[9,12][大题综合练——迁移贯通]1．(2018·东营模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n＝2S n －n 2，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)令n ＝1，T 1＝2S 1－1， ∵T 1＝S 1＝a 1，∴a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. (2)n ≥2时，T n －1＝2S n －1－(n －1)2，则S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2] ＝2(S n －S n －1)－2n ＋1 ＝2a n －2n ＋1.因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝1也满足上式，所以S n ＝2a n －2n ＋1(n ≥1)，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2(n －1)＋1，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1－2，所以a n ＝2a n －1＋2(n ≥2)，所以a n ＋2＝2(a n －1＋2)，因为a 1＋2＝3≠0，所以数列{a n ＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列．所以a n ＋2＝3×2n －1，所以a n ＝3×2n －1－2，当n ＝1时也成立，所以a n ＝3×2n －1－2.2．(2018·浙江舟山模拟)已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)可得，a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1，a 1＝0(舍)．S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2(负值舍去)；同理可得a 3＝3，a 4＝4. (2)因为S n ＝12a 2n ＋a n 2，① 所以当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋a n －12，②①－②得a n ＝12(a n －a n －1)＋12(a 2n －a 2n －1)，所以(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0.由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1，又由(1)知a 1＝1，所以数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，所以a n ＝n . 3．(2018·山西太原月考)已知等比数列{a n }是递增数列，a 2a 5＝32，a 3＋a 4＝12，又数列{b n }满足b n ＝2log 2a n ＋1，S n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求S n;(2)若对任意n ∈N *，都有S n a n≤S ka k成立，求正整数k 的值．解：(1)因为{a n }是等比数列，则a 2a 5＝a 3a 4＝32，又a 3＋a 4＝12，且{a n }是递增数列，所以a 3＝4，a 4＝8，所以q ＝2，a 1＝1，所以a n ＝2n －1.所以b n ＝2log 2a n ＋1＝2log 22n ＝2n . 所以S n ＝2＋4＋…＋2n ＝n (2＋2n )2＝n 2＋n . (2)令c n ＝S n a n ＝n 2＋n2n －1，则c n ＋1－c n ＝S n ＋1a n ＋1－S n a n ＝(n ＋1)(n ＋2)2n －n (n ＋1)2n －1＝(n ＋1)(2－n )2n .所以当n ＝1时，c 1<c 2；当n ＝2时，c 3＝c 2；当n ≥3时，c n ＋1－c n <0，即c 3>c 4>c 5>…，所以数列{c n }中最大项为c 2和c 3.所以存在k ＝2或3，使得任意的正整数n ，都有S k a k ≥S na n.。

2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测对数与对数函数 Word版含解析

课时达标检测（九）对数与对数函数[小题对点练——点点落实]对点练(一) 对数的运算1．(2018·山西重点协作体模拟)已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x -12＝( )A.13B.36C.33D.24解析：选D 由条件知，log 3(log 2x )＝1，∴log 2x ＝3，∴x ＝8，∴x -12＝24.故选D. 2．(2018·德阳模拟)计算：⎝⎛⎭⎫278-13＋log 2(log 216)＝________.解析：原式＝⎝⎛⎭⎫23－3×⎛⎫⎪⎝⎭13-＋log 24＝23＋2＝83.答案：833．(2018·江西百校联盟模拟)已知14a ＝7b ＝4c ＝2，则1a －1b ＋1c＝________.解析：14a ＝7b ＝4c ＝2，则a ＝log 142，b ＝log 72，c ＝log 42，∴1a ＝log 214，1b ＝log 27，1c ＝log 24，∴1a －1b ＋1c ＝log 214－log 27＋log 24＝log 28＝3.答案：34．(2018·成都外国语学校模拟)已知2x ＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为________．解析：由2x ＝3，log 483＝y 得x ＝log 23，y ＝log 483＝12log 283，所以x ＋2y ＝log 23＋log 283＝log 28＝3.答案：35．若lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则xy 的值为________．解析：∵lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )， ∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0，即(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y . 又x >0，y >0，x －2y >0，故x ＝y 不符合题意，舍去． ∴x ＝4y ，即xy ＝4.答案：4对点练(二) 对数函数的图象及应用1．(2018·广东韶关南雄模拟)函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4，那么函数g (x )＝|log a (x ＋1)|的图象大致为( )解析：选C 法一：∵f (2)＝4，∴2a ＝4，解得a ＝2，∴g (x )＝|log 2(x ＋1)|＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，－log 2(x ＋1)，－1<x <0，∴当x ≥0时，函数g (x )单调递增，且g (0)＝0；当－1<x <0时，函数g (x )单调递减．故选C.法二：由f (2)＝4，即2a ＝4得a ＝2，∴g (x )＝|log 2(x ＋1)|，函数g (x )是由函数y ＝|log 2x |向左平移一个单位得到的，只有C 项符合，故选C.2．(2018·深圳模拟)已知函数f (x )＝|lg x |.若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是( )A ．(22，＋∞)B ．[22，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：选C f (x )＝|lg x |的图象如图所示，由题知f (a )＝f (b )，则有0<a <1<b ，∴f (a )＝|lg a |＝－lg a ，f (b )＝|lg b |＝lg b ，即－lg a ＝lg b ，则a ＝1b ，∴a ＋2b ＝2b ＋1b .令g (b )＝2b ＋1b ，g ′(b )＝2－1b2，显然当b∈(1，＋∞)时，g ′(b )>0，∴g (b )在(1，＋∞)上为增函数，∴g (b )＝2b ＋1b>3，故选C.3.设平行于y 轴的直线分别与函数y 1＝log 2x 及函数y 2＝log 2x ＋2的图象交于B ，C 两点，点A (m ，n )位于函数y 2＝log 2x ＋2的图象上，如图，若△ABC 为正三角形，则m ·2n ＝________.解析：由题意知，n ＝log 2m ＋2，所以m ＝2n －2.又BC ＝y 2－y 1＝2，且△ABC 为正三角形，所以可知B (m ＋3，n －1)在y 1＝log 2x 的图象上，所以n －1＝log 2(m ＋3)，即m ＝2n －1－3，所以2n ＝43，所以m ＝3，所以m ·2n ＝3×43＝12.答案：124．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a >1.答案：(1，＋∞)对点练(三) 对数函数的性质及应用 1．(2018·湖北孝感统考)函数f (x )＝1ln (3x ＋1)的定义域是( )A.⎝⎛⎭⎫－13，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－13，0∪(0，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫－13，＋∞ D ．[0，＋∞)解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1>0，ln (3x ＋1)≠0，解得x >－13且x ≠0，故选B.2．(2018·河南新乡模拟)设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a解析：选B ∵a ＝60.4>1，b ＝log 0.40.5∈(0,1)，c ＝log 80.4<0，∴a >b >c .故选B. 3．若log a 23<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，23 B ．(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，23∪(1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫23，1解析：选C 当0<a <1时，log a 23<log a a ＝1，∴0<a <23；当a >1时，log a 23<log a a ＝1，∴a >1.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，23∪(1，＋∞)． 4．(2018·郴州模拟)设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：选A 由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x1－x ，定义域为(－1,1)．由f (x )<0，可得0<1＋x1－x<1，∴－1<x <0.5．(2018·长沙模拟)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为( )A ．[1,2)B ．[1,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选A 令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，其图象的对称轴为x＝a ，要使函数f (x )在(－∞，1]上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a∈[1,2)，故选A.6．(2018·商丘模拟)已知f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2，则f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值为( ) A ．4 B ．2 C ．6D ．8解析：选B ∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2，f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈[0,1]时， f (x )是增函数；当x ∈⎝⎛⎦⎤1，32时，f (x )是减函数．故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f (1)＝2. 7．(2018·辽宁沈阳模拟)已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm ＝________.解析：∵f (x )＝|log 3x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，∴－log 3m ＝log 3n ，∴mn ＝1.∵f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，函数f (x )在[m 2,1)上是减函数，在(1，n ]上是增函数，∴－log 3m 2＝2或log 3n ＝2.若－log 3m 2＝2，得m ＝13，则n ＝3，此时log 3n ＝1，满足题意．那么n m ＝3÷13＝9.同理，若log 3n ＝2，得n ＝9，则m ＝19，此时－log 3m 2＝4>2，不满足题意．综上可得nm ＝9.答案：9[大题综合练——迁移贯通]1．已知函数f (x )＝log 21＋axx －1(a 为常数)是奇函数．(1)求a 的值与函数f (x )的定义域；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋log 2(x －1)>m 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)∵函数f (x )＝log 21＋axx －1是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴log 21－ax －x －1＝－log 21＋ax x －1，即log 2ax －1x ＋1＝log 2x －11＋ax ，∴a ＝1，f (x )＝log 21＋xx －1.令1＋xx －1>0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x >0，x －1>0，或⎩⎪⎨⎪⎧1＋x <0，x －1<0，解得x <－1或x >1.∴函数f (x )的定义域为{x |x <－1或x >1}． (2)∵f (x )＋log 2(x －1)＝log 2(1＋x )，当x >1时，x ＋1>2，∴log 2(1＋x )>log 22＝1. ∵当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋log 2(x －1)>m 恒成立， ∴m ≤1.∴m 的取值范围是(－∞，1]．2．(2018·枣庄模拟)设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求实数a 的值．解：f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)＝12[(log a x )2＋3log a x ＋2] ＝12⎝⎛⎭⎫log a x ＋322－18. 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32.∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)． ∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8处取得．若12⎝⎛⎭⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝2-13，此时f (x )取得最小值时，x ＝（2-13）-23＝2∉[2,8]，舍去；若12⎝⎛⎭⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝⎛⎭⎫12－32＝22∈[2,8]，符合题意．∴a ＝12. 3．(2018·江西师大附中诊断)已知函数f (x )＝log a x ＋m (a >0且a ≠1)的图象过点(8,2)，点P (3，－1)关于直线x ＝2的对称点Q 在f (x )的图象上．(1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝2f (x )－f (x －1)，求g (x )的最小值及取得最小值时x 的值．解：(1)点P (3，－1)关于直线x ＝2的对称点Q 的坐标为(1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ f (8)＝2，f (1)＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋log a 8＝2，m ＋log a 1＝－1，解得m ＝－1，a ＝2，故函数f (x )的解析式为f (x )＝－1＋log 2x .(2)g (x )＝2f (x )－f (x －1)＝2(－1＋log 2x )－[－1＋log 2(x －1)]＝log 2x 2x －1－1(x >1)，∵x 2x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋1x －1 ＝(x －1)＋1x －1＋2≥2(x －1)·1x －1＋2＝4，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，“＝”成立，而函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，则log 2x 2x －1－1≥log 24－1＝1，故当x ＝2时，函数g (x )取得最小值1.。

2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(四) 函数及其表示

课时达标检测（四）函数及其表示[小题对点练——点点落实]对点练(一) 函数的定义域1．(2018·吉林省实验中学模拟)下列函数中，与函数y ＝13x的定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln xx C ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx解析：选D 函数y ＝13x 的定义域为{x |x ≠0}；y ＝1sin x的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }；y＝ln x x 的定义域为{x |x >0}；y ＝x e x 的定义域为R ；y ＝sin x x的定义域为{x |x ≠0}．故选D.2．(2018·河南南阳一中月考)函数f (x )＝－x 2－3x ＋4lg (x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,0)∪(0,1]B ．(－1,1]C ．(－4，－1]D ．(－4,0)∪(0,1]解析：选A 要使函数f (x )有意义，应有⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4≥0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0或0<x ≤1.故选A.3．(2018·山东枣庄期末)已知函数f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )＋8－2x 的定义域为( )A ．[0,1]B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[1,3]解析：选A 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，8－2x≥0，解得0≤x ≤1.故选A. 4．(2018·山西名校联考)设函数f (x )＝lg(1－x )，则函数f [f (x )]的定义域为( ) A ．(－9，＋∞) B ．(－9,1) C ．[－9，＋∞)D ．[－9,1)解析：选B f [f (x )]＝f [lg(1－x )]＝lg[1－lg(1－x )]，其定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，1－lg (1－x )>0的解集，解得－9<x <1，所以f [f (x )]的定义域为(－9,1)．故选B.5．函数y ＝ln(x 2－x －m )的定义域为R ，则m 的范围是________．解析：由条件知，x 2－x －m >0对x ∈R 恒成立，即Δ＝1＋4m <0，∴m <－14.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－14 对点练(二) 函数的表示方法1．设函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1＋x ，则f (x )的解析式为( )A.21＋xB.21＋x 2C.1－x 21＋x 2D.1－x 1＋x解析：选A 令1－x 1＋x ＝t ，则x ＝1－t 1＋t ，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1＋x ，得f (t )＝1＋1－t 1＋t ＝21＋t ，故选A.2．如果f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1－x ，则当x ≠0且x ≠1时，f (x )＝( ) A.1x B.1x －1 C.11－xD.1x －1 解析：选B 令1x ＝t ，得x ＝1t ，∴f (t )＝1t1－1t＝1t －1，∴f (x )＝1x －1.3．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. 解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7.答案：2x ＋74．(2018·洛阳质检)若函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则函数g (x )的解析式为________________．解析：令x ＋2＝t ，则x ＝t －2.因为f (x )＝2x ＋3, g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3，所以g (t )＝2(t －2)＋3＝2t －1.故函数g (x )的解析式为g (x )＝2x －1.答案：g (x )＝2x －1对点练(三) 分段函数1．(2018·湖北襄阳四校联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx 2，x ≤0，f (x －1)＋1，x >0，则f (2)＝( )A.12 B ．－12C ．－3D ．3解析：选D f (2)＝f (1)＋1＝f (0)＋2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2×0＋2＝1＋2＝3.故选D.2．(2017·山东高考)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ，∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ，解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.当a ≥1时，a ＋1≥2，∴f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ，∴2(a －1)＝2a ，无解．综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.3．(2018·江西师范大学附属中学月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2(3－x )，x <2，2x －2－1，x ≥2.若f (2－a )＝1，则f (a )＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选A 当2－a ≥2，即a ≤0时，f (2－a )＝22－a －2－1＝1，解得a ＝－1，则f (a )＝f (－1)＝－log 2[3－(－1)]＝－2；当2－a <2，即a >0时，f (2－a )＝－log 2[3－(2－a )]＝1，解得a ＝－12，舍去．综上，f (a )＝－2.故选A.4．(2018·福建泉州质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0.若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：选D 根据题意，当a >0时，f (a )－f (－a )>0，即a 2＋a －[－3(－a )]>0，∴a 2－2a >0，解得a >2；当a <0时，f (a )－f (－a )<0，即－3a －[(－a )2＋(－a )]<0，∴a 2＋2a >0，解得a <－2.综上，实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．故选D.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.答案：(－1,3)[大题综合练——迁移贯通]1．(1)已知f (2x ＋1)＝4x 2＋2x ＋1，求f (x )的解析式；(2)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的解析式．解：(1)令t ＝2x ＋1，则x ＝12(t －1)，所以f (t )＝4⎣⎡⎦⎤12(t －1)2＋2×12(t －1)＋1＝(t －1)2＋(t －1)＋1＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1.(2)当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，① 以－x 代替x 得2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．②由①②消去f (－x )，得f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．2．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1)，且f (x )在区间[0,1]上有解析式f (x )＝x 2.(1)求f (－1)，f (1.5)；(2)写出f (x )在区间[－2,2]上的解析式．解：(1)由题意知f (－1)＝－2f (－1＋1)＝－2f (0)＝0， f (1.5)＝f (1＋0.5)＝－12f (0.5)＝－12×14＝－18.(2)当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2；当x ∈(1,2]时，x －1∈(0,1]，f (x )＝－12f (x －1)＝－12(x －1)2；当x ∈[－1,0)时，x ＋1∈[0,1)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2(x ＋1)2；当x ∈[－2，－1)时，x ＋1∈[－1,0)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4(x ＋2)2，x ∈[－2，－1)，－2(x ＋1)2，x ∈[－1，0)，x 2，x ∈[0，1]，－12(x －1)2，x ∈(1，2].3.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数解析式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎨⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0，∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．。

2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测二项式定理 Word版含解析

课时达标检测（五十三）二项式定理[小题对点练——点点落实]对点练(一) 二项式的通项公式及应用) (是的展开式中的常数项10⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x2．二项式1 A ．180 B ．90 C ．45D ．360 得，0＝k 52－5令，k 52－5x k 10C k 2＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x2k －01)x ·(k 10C ＝1＋k T 的展开式的通项为10⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x2A 选：解析180.＝210C 22故常数项为，2＝k ()＝a 则，03的项的系数为32x 的展开式中含5⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 已知．2 3A. 3．－B C ．6D ．－6 －＝a 得，03＝)a －(15C 由1.＝r 解得，32＝5－2r 2由，5－2r2x r)a －(r5C ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a x ·r －5)x (r 5C ＝1＋r T D 选：解析 6.故选D.) (为项的系数3x 的展开式中，含6)x ＋1(x 在．3 A ．30 B ．20 C ．15D ．10 ＝3x 26C 为的项3x 的展开式中含6)x ＋1(x ，则r x r 6C ＝1＋r T 项为1＋r 的展开式的第6)x ＋1( C 选解析：15.为，所以系数3x 15 ) (为项的系数3x 展开式中101)＋x －2x (．4 A ．－210 B ．210 C ．30D ．－30 －x (10C ＋91)－x (2x 910C －…＋)1－x (9)2x (10C －10)2x (010C ＝101)]－x (－2x [＝101)＋x －2x ( A 选解析： A.选，故021－＝)710C －(10C ＋89C 910C －项的系数为：3x ，所以含101) ________.＝n ，则45是项的系数2x 的展开式中含有n )x 3＋1(知已)考山东高·(2017．5 4.＝n ∴，45＝232n C 为项的系数2x 含有∴，r x r 3r n C ＝1＋r T 的展开式的通项n )x 3＋1(解析：答案：4．________为的值x d 2x ⎠⎛a －2，则3的展开式的第二项的系数为－6⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋366. ＝x d 22x －⎠⎛a ，因此1－＝a 得，解3＝－5a 16C 36，由5a 16C 36该二项展开式的第二项的系数为解析：.73＝83＋13＝－1－2|x33＝x d 2x ⎠⎛－2－1 73答案：．________是的项的系数3x 含的展开式中，8x)－1(＋7x)－1(＋6x)－1(＋5x)－1(在．7 121.－＝31)－(38C ＋31)－(37C ＋31)－(36C ＋31)－(35C 项的系数为3x 含展开式中解析：答案：－121)案用数字填写答(．________为的系数7y 2x 中的展开式8y)＋x y)(－x (．8 82－8＝68C －78C 的系数为7y 2x ∴，68C ，其系数为－)6y 2y·(x ＝7y 2x ，78C ，其系数为)7x·(xy ＝7y 2x 解析：＝－20.答案：－20对点练(二) 二项式系数的性质及应用)(为的值m 数，则实36＝6a ＋…＋2a ＋1a 且，6x 6a ＋…＋2x 2a ＋x 1a ＋0a ＝6mx)＋1(若．1 A ．1或3 B ．－3 C ．1D ．1或－3 …＋3a ＋2a ＋1a 又.6a ＋…＋2a ＋1a ＋0a ＝6m)＋1(得，1＝x 令.1＝60)＋1(＝0a 得，0＝x 令 D 选解析： 3.－＝m 或1＝m ∴，62＝46＝6m)＋1(∴，36＝6a ＋ )(＝7a ＋…＋2a ＋1a 则，8x 8a ＋…＋2x 2a ＋x 1a ＋0a ＝72x)－1x)(＋1(若．2 A ．－2 B ．－3 C ．125D ．－131 以，所812－＝72)－(7C ＝8a 又.1＝0a 则，0＝x 令，2－＝8a ＋…＋2a ＋1a ＋0a 则，1＝x 令 C 选解析：125.＝)128－(－1－2－＝7a ＋…＋2a ＋1a 3．(2018·河北省“五校联盟”质量检)(为，则展开式的中间项的系数812为的展开式中，偶数项的二项式系数之和n 2x)－1(式在二项)测 A ．－960 B ．960 C ．1 120D ．1 680 的展开式中，二项式系n 2x)－1(在，所以812为根据题意，奇数项的二项式系数之和也应 C 选解析：，41 120x ＝4x 42)－(48C ＝5T 且项，5第的展开式的中间项为82x)－1(则，8＝n ，625＝n 2即，625为数之和即展开式的中间项的系数为1 120，故选C .) (是，则展开式中常数项314的展开式中第三项与第五项的系数之比为n ⎝⎛⎭⎪⎫x2－1x ．若4 A ．－10 B ．10 C ．－45D ．45，314＝C2n C4n ，所以5r 2－n x2r 1)－(r n C ＝r 2－x r 1)－(·r －n )2·(x r n C ＝1＋r T 为因为展开式的通项公式 D 选解析：45.＝81)－(810C ＝9T 为常数项∴8.＝r ∴，0＝5r2－02令，5r 2－0·x2r 1)－(·r 10C ＝1＋r T ∴，01＝n ∴ ⎝⎛⎭⎪⎪⎫9x －133x ．在二项式5．________为的系数x 中，则展开式625为的展开式中，偶数项的二项式系数之和n 所.9＝n 得，解625＝1－n 2以因为二项式展开式中，偶数项与奇数项的二项式系数之和相等，所解析：，1＝r 43－9令.r 43－9x r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13·r －99r 9C ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－133x ·r －9(9x)r 9C ＝1＋r T 为的展开式中，通项9⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫9x －133x 以二项式84.＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×39×69C 的系数为x 中，所以展开式6＝r 得解答案：84⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ．在二项式6．________是项的系数2x 含项的二项式系数最大，则展开式中5第的展开式中恰好n 的展开式的通8⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ∵8.＝n ∴项的二项式系数最大，5第的展开式中恰好n ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 在二项式∵解析：56.－＝38C 项的系数是－2x 含展开式中∴，3＝r 则，2＝r 2－8令，2r －8x r 8C r 1)－(＝1＋r T 为项答案：－56．____________于的值可能等n 则项系数最大，7第的展开式中，若n y)＋x (在．7 系数相等且6T 与7T 若②；21＝n ，项31有系数最大，则共7T 仅若①根据题意，分三种情况：解析：11,12,13.于的值可能等n 以所.13＝n ，项41有系数相等且最大，则共8T 与7T 若③；11＝n ，项21有最大，则共答案：11,12,13[大题综合练——迁移贯通]，求：7x 7a ＋…＋2x 2a ＋x 1a ＋0a ＝72x)－1(知．已1 ；7a ＋…＋2a ＋1(1)a ；7a ＋5a ＋3a ＋1(2)a ；6a ＋4a ＋2a ＋0(3)a |.7|a ＋…＋|2|a ＋|1|a ＋|0(4)|a 解：令x ＝1，①1.－＝7a ＋6a ＋5a ＋4a ＋3a ＋2a ＋1a ＋0a 则令x ＝－1，②.73＝7a －6a ＋5a －4a ＋3a －2a ＋1a －0a 则，1＝07C ＝0a ∵(1) 2.－＝7a ＋…＋3a ＋2a ＋1a ∴ 1 094.－＝－1－372＝7a ＋5a ＋3a ＋1a 得，2)÷②－①(2)( 1 093.＝－1＋372＝6a ＋4a ＋2a ＋0a 得，2)÷②＋①)((3 |7|a ＋…＋|2|a ＋|1|a ＋|0|a ∴小于零，7a ，5a ，3a ，1a 而大于零，6a ，4a ，2a ，0a 中展开式72x)－1(∵(4) )7a ＋5a ＋3a ＋1(a －)6a ＋4a ＋2a ＋0(a ＝＝1 093－(－1 094)＝2 187.112.为项的系数x 含，展开式中625为的展开式的二项式系数之和)数是正实m (n )x m ＋1(知．已2 (1)求m ，n 的值；(2)求展开式中奇数项的二项式系数之和；项的系数．2x 含的展开式中)x －1(n )x m ＋1(求)(3 m或2＝m 得，解211＝2m 28C 项的系数为x 含，r2x r m r n C ＝1＋r 8.T ＝n 得，解625＝n 2得由题意可)(1解：＝－2(舍去)．故m ，n 的值分别为2,8.128.＝1－82＝8C ＋68C ＋48C ＋28C ＋08C 展开式中奇数项的二项式系数之和为)(2 ，8)x 2＋1x(－8)x 2＋1(＝)x －1(8)x 2＋1(3)( 1 008.＝2228C －4248C 的系数为2x 含所以 11.为的系数x 的展开式中)*N ∈n ，m (n 2x)＋1(＋m x)＋1(＝)f(x 知．已3 的值；n 的系数取最小值时2x 求)(1 的奇次幂项的系数之和．x 展开式中)x (f 的系数取得最小值时，求2x 当)(2 11.＝n 2＋m ∴，11＝1n 2C ＋1m C 得由已知)(1解： .错误!＋2错误!＝错误!)m －1(1＋错误!＝)1－n (n 2＋错误!＝2n C 22＋2m C 为的系数2x 3.＝n ，此时22值的系数取得最小2x 时，5＝m ∴，*N ∈m ∵ 3.＝n ，5＝m 的系数取得最小值时，2x 知，当)(1由)(2 .3)x 2＋1(＋5)x ＋1(＝)x (f ∴ ，5x 5a ＋…＋2x 2a ＋x 1a ＋0a ＝)x (f 的展开式为)x (f 设，95＝33＋52＝5a ＋4a ＋3a ＋2a ＋1a ＋0a ，1＝x 令，1－＝5a －4a ＋3a －2a ＋1a －0a ，1－＝x 令 30.为的奇次幂项的系数之和x ，故展开式中06＝)5a ＋3a ＋1a 2(得两式相减。

2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(五) 函数的单调性与最值

课时达标检测（五）函数的单调性与最值[小题对点练——点点落实]对点练(一) 函数的单调性1．(2018·阜阳模拟)给定函数①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：选B ①y ＝x 12在(0,1)上递增；②∵t ＝x ＋1在(0,1)上递增，且0<12<1，故y ＝log 12(x ＋1)在(0,1)上递减；③结合图象可知y ＝|x －1|在(0,1)上递减；④∵u ＝x ＋1在(0,1)上递增，且2>1，故y ＝2x＋1在(0,1)上递增．故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.2．(2018·天津模拟)若函数f (x )满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝(x －1)2B ．f (x )＝e xC ．f (x )＝1xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C 根据条件知，f (x )在(0，＋∞)上单调递减．对于A ，f (x )＝(x －1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A ；对于B ，f (x )＝e x 在(0，＋∞)上单调递增，排除B ；对于C ，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，C 正确；对于D ，f (x )＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D.3．(2018·宜春模拟)函数f (x )＝log 3(3－4x ＋x 2)的单调递减区间为( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，1)，(3，＋∞) C ．(－∞，1)D ．(－∞，1)，(2，＋∞)解析：选C 由3－4x ＋x 2>0得x <1或x >3.易知函数y ＝3－4x ＋x 2的单调递减区间为(－∞，2)，函数y ＝log 3x 在其定义域上单调递增，由复合函数的单调性知，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，1)，故选C.4．(2018·贵阳模拟)下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是( ) A ．y ＝－2x ＋1 B ．y ＝1x C ．y ＝lg xD ．y ＝x 3解析：选B y ＝－2x ＋1在定义域上为单调递减函数；y ＝lg x 在定义域上为单调递增函数；y ＝x 3在定义域上为单调递增函数；y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为单调递减函数，但在定义域上不是单调函数．故选B.5．若函数f (x )＝8x 2－2kx －7在[1,5]上为单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，8]B ．[40，＋∞)C ．(－∞，8]∪[40，＋∞)D ．[8,40]解析：选C 由题意知函数f (x )＝8x 2－2kx －7的图象的对称轴为x ＝k8，因为函数f (x )＝8x 2－2kx －7在[1,5]上为单调函数，所以k 8≤1或k8≥5，解得k ≤8或k ≥40，所以实数k的取值范围是(－∞，8]∪[40，＋∞)．故选C.6．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 2－x x ＋3在(－∞，m )上单调递减，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．[－2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2]解析：选D ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，∴f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 2－x x ＋3＝(x －1)(x ＋3)－2×(－x )＝x 2＋4x －3＝(x ＋2)2－7，∴f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)， ∵函数f (x )在(－∞，m )上单调递减，∴(－∞，m )⊆(－∞，－2)，即m ≤－2.故选D. 对点练(二) 函数的最值1．已知a >0，设函数f (x )＝2 018x ＋1＋2 0162 018x ＋1(x ∈[－a ，a ])的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝( )A ．2 016B ．2 018C ．4 032D ．4 034解析：选D 由题意得f (x )＝2 018x ＋1＋2 0162 018x ＋1＝2 018－22 018x＋1.∵y ＝2 018x ＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，∴f (x )＝2 018－22 018x ＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，∴M ＝f (a )，N ＝f (－a )，∴M ＋N ＝f (a )＋f (－a )＝4 036－22 018a＋1－22 018－a ＋1＝4 034. 2．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在区间(1，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解析：选D 由题意知a <1，又函数g (x )＝x ＋ax －2a 在[|a |，＋∞)上为增函数，故选D.3．(2018·湖南雅礼中学月考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log ax ，x >2(a >0且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(0,2]C ．[2，＋∞)D ．(1,2 2 ]解析：选A 当x ≤2时，－x ＋6≥4.当x >2时，⎩⎪⎨⎪⎧3＋log a x ≥4，a >1，∴a ∈(1,2]，故选A.4．(2018·安徽合肥模拟)已知函数f (x )＝(x 2－2x )·sin(x －1)＋x ＋1在[－1,3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝( )A ．4B ．2C ．1D ．0解析：选A 设t ＝x －1，则y ＝(x 2－2x )sin(x －1)＋x ＋1＝(t 2－1)sin t ＋t ＋2，t ∈[－2,2]．记g (t )＝(t 2－1)sin t ＋t ＋2，则函数y ＝g (t )－2＝(t 2－1)sin t ＋t 是奇函数．由已知得y ＝g (t )－2的最大值为M －2，最小值为m －2，所以M －2＋(m －2)＝0，即M ＋m ＝4.故选A.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x <1，则f (x )的最小值是________．解析：当x ≥1时，x ＋2x －3≥2x ·2x －3＝22－3，当且仅当x ＝2x ，即x ＝2时等号成立，此时f (x )min ＝22－3＜0；当x ＜1时，lg(x 2＋1)≥lg(02＋1)＝0，此时f (x )min ＝0.所以f (x )的最小值为22－3.答案：22－36．(2018·益阳模拟)已知函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤38，49，则函数g (x )＝f (x )＋1－2f (x )的值域为________．解析：∵38≤f (x )≤49，∴13≤1－2f (x )≤12.令t ＝1－2f (x )，则f (x )＝12(1－t 2)⎝⎛⎭⎫13≤t ≤12，令y ＝g (x )，则y ＝12(1－t 2)＋t ，即y ＝－12(t －1)2＋1⎣⎡⎦⎤13≤t ≤12.∴当t ＝13时，y 有最小值79；当t ＝12时，y 有最大值78.∴g (x )的值域为⎣⎡⎦⎤79，78. 答案：⎣⎡⎦⎤79，78[大题综合练——迁移贯通]1．已知函数f (x )＝ax ＋1a (1－x )(a >0)，且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值．解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫a －1a x ＋1a ，当a >1时，a －1a >0，此时f (x )在[0,1]上为增函数，∴g (a )＝f (0)＝1a ；当0<a <1时，a －1a <0，此时f (x )在[0,1]上为减函数，∴g (a )＝f (1)＝a ；当a ＝1时，f (x )＝1，此时g (a )＝1.∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0<a <1，1a ，a ≥1，∴g (a )在(0,1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，又a ＝1时，有a ＝1a＝1，∴当a ＝1时，g (a )取最大值1.2．(2018·衡阳联考)已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．解：(1)证明：设x 1>x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在R 上为减函数．(2)∵f (x )在R 上是减函数，∴f (x )在[－3,3]上也是减函数，∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)．而f (3)＝3f (1)＝－2，且f (0)＋f (0)＝f (0)，∴f (0)＝0，又f (－3)＋f (3)＝f (－3＋3)＝0，∴f (－3)＝－f (3)＝2.∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.3．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增．(2)任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1.综上所述知a 的取值范围是(0,1]．。

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课时达标检测（二十四）平面向量的概念及线性运算[小题对点练——点点落实]对点练(一) 平面向量的有关概念1．若向量a 与b 不相等，则a 与b 一定( ) A ．有不相等的模 B ．不共线C ．不可能都是零向量D ．不可能都是单位向量解析：选C 若a 与b 都是零向量，则a ＝b ，故选项C 正确．2．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.3．已知a ，b 是非零向量，命题p ：a ＝b ，命题q ：|a ＋b |＝|a |＋|b |，则p 是q 的____________条件．解析：若a ＝b ，则|a ＋b |＝|2a |＝2|a |，|a |＋|b |＝|a |＋|a |＝2|a |，即p ⇒q .若|a ＋b |＝|a |＋|b |，由加法的运算知a 与b 同向共线，即a ＝λb ，且λ>0，故q ⇒/ p ．∴p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要对点练(二) 平面向量的线性运算1.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB ―→＝a ，AD ―→＝b , 则BE ―→＝( )A.12b －a B.12a －b C ．－12a ＋bD.12b ＋a 解析：选C BE ―→＝BA ―→＋AD ―→＋12DC ―→＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a ，故选C.2．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 反向共线，则实数λ的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：选B 由于c 与d 反向共线，则存在实数k 使c ＝k d (k ＜0)，于是λa ＋b ＝k []a ＋(2λ－1)b .整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k ＜0，所以λ＜0，故λ＝－12.3．(2018·江西八校联考)在△ABC 中，P ，Q 分别是边AB ，BC 上的点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC .若AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，则PQ ―→＝( )A.13a ＋13b B ．－13a ＋13bC.13a －13b D ．－13a －13b解析：选A PQ ―→＝PB ―→＋BQ ―→＝23AB ―→＋13BC ―→＝23AB ―→＋13(AC ―→－AB ―→)＝13AB ―→＋13AC ―→＝13a ＋13b ，故选A.4．(2017·郑州二模)如图，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足BD ＝12DC ，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AM ―→＝m AB ―→，AN ―→＝n AC ―→，则( )A ．m ＋n 是定值，定值为2B ．2m ＋n 是定值，定值为3 C.1m ＋1n是定值，定值为2 D.2m ＋1n 是定值，定值为3解析：选D 法一：如图，过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E .由AN ―→＝n AC ―→可得AC AN ＝1n ，所以AE EM ＝AC CN ＝1n －1，由BD ＝12DC 可得BM ME ＝12，所以AMAB＝nn ＋n －12＝2n 3n －1，因为AM ―→＝m AB ―→，所以m ＝2n3n －1，整理可得2m ＋1n ＝3. 法二：因为M ，D ，N 三点共线，所以AD ―→＝λAM ―→＋(1－λ)·AN ―→.又AM ―→＝m AB ―→，AN ―→＝n AC ―→，所以AD ―→＝λm AB ―→＋(1－λ)·n AC ―→.又BD ―→＝12DC ―→，所以AD ―→－AB ―→＝12AC ―→－12AD ―→，所以AD ―→＝13AC ―→＋23AB ―→.比较系数知λm ＝23，(1－λ)n ＝13，所以2m ＋1n ＝3，故选D.5．(2018·银川一模)设点P 是△ABC 所在平面内一点，且BC ―→＋BA ―→＝2BP ―→，则PC ―→＋PA ―→＝________.解析：因为BC ―→＋BA ―→＝2BP ―→，由平行四边形法则知，点P 为AC 的中点，故PC ―→＋PA ―→＝0.答案：06．(2018·衡阳模拟)在如图所示的方格纸中，向量a ，b ，c 的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c 与x a ＋y b (x ，y 为非零实数)共线，则xy 的值为________．解析：设e 1，e 2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c ＝e 1－2e 2，a ＝2e 1＋e 2，b ＝－2e 1－2e 2，由c 与x a ＋y b 共线，得c ＝λ(x a ＋y b )，所以e 1－2e 2＝2λ(x －y )e 1＋λ(x －2y )e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ(x －y )＝1，λ(x －2y )＝－2，所以⎩⎨⎧x ＝3，y ＝52λ，则x y 的值为65. 答案：657．(2018·盐城一模)在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD ―→＝14AC ―→＋λAB ―→(λ∈R )，则AD 的长为________．解析：因为B ，D ，C 三点共线，所以14＋λ＝1，解得λ＝34，如图，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN ―→＝14AC ―→，AM ―→＝34AB ―→，经计算得AN ＝AM ＝3，AD ＝3 3.答案：3 38．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB ―→＝2DC ―→. ∵点E 在线段CD 上，∴DE ―→＝λDC ―→(0≤λ≤1)． ∵AE ―→＝AD ―→＋DE ―→，又AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→＝AD ―→＋2μDC ―→＝AD ―→＋2μλDE ―→， ∴2μλ＝1，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12，即μ的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 答案：⎣⎡⎦⎤0，12[大题综合练——迁移贯通]1.在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，试用a ，b 表示AD ―→， AG ―→.解：AD ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)＝12a ＋12b .AG ―→＝AB ―→＋BG ―→＝AB ―→＋23BE ―→＝AB ―→＋13(BA ―→＋BC ―→)＝23AB ―→＋13(AC ―→－AB ―→)＝13AB ―→＋13AC ―→＝13a ＋13b . 2．已知a ，b 不共线，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ， OC ―→＝c ， OD ―→＝d ， OE ―→＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c ,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD ―→＝d －c ＝2b －3a ，CE ―→＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE ―→＝k CD ―→，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．3.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ―→＝23AD ―→，AB ―→＝a ，AC ―→＝b .(1)用a ，b 表示向量AD ―→，AE ―→，AF ―→，BE ―→，BF ―→； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．解：(1)延长AD 到G ，使AD ―→＝12AG ―→，连接BG ，CG ，得到▱ABGC ，如图，所以AG ―→＝AB ―→＋AC ―→＝a ＋b ，AD ―→＝12AG ―→＝12(a ＋b )，AE ―→＝23AD ―→＝13(a ＋b )，AF ―→＝12AC ―→＝12b ，BE ―→＝AE ―→－AB ―→＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )，BF ―→＝AF ―→－AB ―→＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)证明：由(1)可知BE ―→＝23BF ―→，又因为BE ―→，BF ―→有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线.。

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