浙江版2018年高考数学一轮复习(讲练测)：专题5.3平面向量的数量积及其应用(测)有解析
高考数学一轮复习(浙江版)专题5.3平面向量的数量积及应用(测)含解析
第03节平面向量的数量积及应用班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【2018届广西柳州高级中学5月模拟】已知向量，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先化简，再利用充要条件的定义判断是的什么条件.2.【2018届黑龙江省仿真模拟（四）】若向量，满足：，，，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用向量垂直的性质直接求解．【详解】∵向量，满足：，，，∴，解得=．故选：B ．3.【陕西省咸阳市2018年高考5月信息专递】已知两个向量和的夹角为，，则向量在方向上的正射影的数量为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D4. ,2,1==b 且⊥+)(，则与的夹角为（ ） A.30 B.60 C.120 D.150 【答案】C【解析】由⊥+)(知，()a b a +∙ =2a a b +∙ =0，所以2a b a ∙=- =-1，所以cos ,a b =||||a ba b ∙ =12-，所以与的夹角为120，故选C.5.【2018届山东省沂水县第一中学三轮考】设向量，且，则（ ）A ． 2B ．C ．D ． 4【答案】A【分析】6.【2018届北京市石景山区一模】已知平面向量满足，与的夹角为，若，则实数的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为与的夹角为，所以，因为，所以，解得，故选D．7.【2018届河北省武邑中学五模】非零向量满足：，，则与夹角的大小为( )A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据题意，设=，=，则﹣=﹣=，结合题意分析可得△OAB为等腰直角三角形，结合向量夹角的定义分析可得答案．根据题意，设=，=，则﹣=﹣=，若||=||，，即||=||，且⊥，则△OAB为等腰直角三角形，则与的夹角为180°﹣45°=135°，故选：A．8．【浙江省金华市浦江县2018年高考适应性考试】已知平面向量，满足且，则的最大值为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4【答案】B9．【2018届浙江省杭州市第二次检测】记的最大值和最小值分別为和.若平面向量满足则（）A． B．C． D．【答案】A10.【2018届浙江省台州市高三上学期期末】已知m ， n是两个非零向量，且1m = ， 23m n +=，则m n n ++的最大值为A ．． C ． 4 D ． 5 【答案】B 【解析】()221,23,24419m m n m n n m n =+=∴+=+⋅+= ,22n m n ∴+⋅=,()2222m n m m n n ∴+=+⋅+25n =- ,m n n n ∴++= ，令(()0,n x x f x x =<≤=,则()'1f x =+，令()'0f x =，得x =∴当0x << ()'0f x >x <<时， ()'0f x <， ∴当x =时， ()f x 取得最大值2f ⎛= ⎝⎭B. 二、填空题：本大题共7小题，共36分．11.【2018届安徽省六安市第一中学高三下学期适应性考试】已知平面向量，的夹角为，且，，则__________． 【答案】12.【2018届浙江省温州市一模】设向量，，且，，则的最大值是__________；最小值是__________． 【答案】9 1 【解析】设的夹角为，由，可得，化简得，可得，即的最大值是 ，最小值是 ，故答案为.13.【2018届浙江省名校协作体高三上学期考试】已知在ABC ∆中, 3AB =, BC =2AC =，且O是ABC ∆的外心，则AO AC ⋅= ___， AO BC ⋅=_____________【答案】2 52-【解析】设外接圆半径为,32R AB BC AC AO CO R == ＝，＝，224122R R cos OAC R R+-∠==⋅则122 AO AC AO AC cos CAO RR ⋅=⋅∠=⨯⨯=.14.【2018届浙江省教育绿色评价联盟5月适应性考试】已知，，则的最大值为______，最小值为______．【答案】615.【2018届黑龙江省仿真模拟（五）】已知向量，，则当时，的取值范围是__________．【答案】.【解析】【分析】，因此，其模为，根据的范围可求模的取值范围．【详解】，因此，故．因为，故，所以填．16.【2018届浙江省金丽衢十二校第二次联考】已知向量满足的夹角为，则=_____；与的夹角为_____．【答案】17.【2018届湖北省宜昌市一中考前训练2】在中，，点是所在平面内一点，则当取得最小值时，__________．【答案】24.【解析】分析：由，可得，可得，以为坐标原点建立坐标系，设，由展开后配方整理，可得当时取得最小值，求得，再由数量积的坐标运算求解.详解：三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.已知两个单位向量的夹角为60°.（1）若，且，求的值；（2）求向量在方向上的投影.【答案】（1）或；（2）【解析】分析：（1），求解即可；（2）向量在方向上的投影为，计算即可.详解：（1）,所以或；（2）向量在方向上的投影为..19.已知向量，，满足.（1）求的值；（2）求向量与向量夹角的余弦值.【答案】（1）4；（2）【解析】【分析】（1）运用向量的加减运算和向量垂直的条件：数量积为0，解方程可得；（2）求得向量与的模，由向量的夹角公式，计算即可得到所求值．【详解】20．已知两个非零向量.（Ⅰ）若向量是夹角为120°的单位向量，试确定实数，使和垂直；（Ⅱ）若，，，求证：三点共线.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】【分析】：（Ⅰ）令，可确定实数.（Ⅱ）由，，可得根据向量共线的条件建立等式关系即可得到结论．【详解】：（Ⅰ）∵和垂直21．已知是同一平面内的两个向量，其中.（1）若，求向量的坐标；（2）若，求与的夹角的值.【答案】(1)或.(2).【解析】【分析】⑴可设，根据条件建立关于的方程组，求出的值，从而得到向量的坐标⑵根据条件可以得到），根据可以求得的值，然后求出的值，最后得到结果【详解】（1）设，根据条件，则：解得或；∴或.（2）∴.解得∴∴∵∴.22．已知向量，，（1）若，求向量、的夹角；（2）若，求函数的最值以及相应的的取值. 【答案】（1）；（2）见解析所以所以，的最小值为，，的最小值为1.。
(浙江版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题5.3 平面向量的数量积及其应用(测)
第03节 平面向量的数量积及其应用班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。
）1.【北京卷】设a ，b 是非零向量，“a b a b ⋅=”是“//a b ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】||||cos ,a b a b a b ∙=∙<>，由已知得cos ,1a b <>=，即,0a b <>=，//a b .而当//a b 时，,a b <>还可能是π，此时||||a b a b ∙=-，故“a b a b ⋅=”是“//a b ”的充分而不必要条件，故选A.2.【福建卷】设(1,2)a =，(1,1)b =，c a kb =+．若b c ⊥，则实数k 的值等于（ ） A ．32-B ．53-C ．53D ．32【答案】A3.【2017浙江温州模拟】已知为单位向量，，则在的投影为A. B. C. D.【答案】C 【解析】由题设可得，即，则，即，又，故，应选答案C.4. ,2,1==b 且a b a ⊥+)(，则a 与b 的夹角为（ ） A.30 B.60 C.120 D.150【答案】C5.【重庆卷】已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且(23)a b c -⊥，则实数k =（ ）9.2A -.0B .C 3 D.152【答案】C【解析】因为()(),3,1,4,a k b ==所以()2323,6a b k -=--，又因为()23a b c -⊥，所以，()230a b c -⋅=，所以，()()22360k -+-=，解得：3k =，故选C.6.【辽宁卷】设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0a b ⋅=，0b c ⋅=，则0a c ⋅=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝ 【答案】A【解析】若0a b ⋅=，0b c ⋅=，则,a bb c ⊥⊥，故//a c ，故命题p 是假命题；若//,//a b b c ，则//a c ，故命题q 是真命题，由复合命题真假判断知，p q ∨是真命题，选A ．7.【2017四川宜宾二诊】若非零向量,a b ，满足a b =， ()20a b a -⋅=，则a 与b 的夹角为 A.6π B. 3π C. 23π D. 56π【答案】B【解析】 由()2220a b a a a b -⋅=-⋅=，即22aa b ⋅=，所以由向量的夹角公式可得1cos ,22a a b a b a aa b⋅〈〉===⋅⋅，又(),0,a b π〈〉∈，所以,3a b π〈〉=，故选B.8．【2017陕西师范附属二模】已知向量()1,1a =， ()24,2a b +=，则向量,a b 的夹角的余弦值为（ ）B.2D. 2- 【答案】C9．【2017四川成都二诊】已知平面向量a ， b 夹角为3π，且1a =， 12b =，则2a b +与b 的夹角是（ ）A.6π B. 56π C. 4π D. 34π【答案】A【解析】由题意可知： 111cos 234a b π⋅=⨯⨯= ， 则： ()2113222444a b b a b b +⋅=⋅+=+⨯= ，且： ()22222443a b a b a a b b +=+=+⋅+= ，设所求向量的夹角为θ ，有： ()23cos 2a b b a b bθ+⋅==+⨯ ，则2a b +与b 的夹角是6π .本题选择A 选项.10. 设a ，b ， c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，a⊥c ，|a |＝|c |，则||b c ⋅的值一定等于( )A ．以a ，b 为两边的三角形的面积B ．以b ，c 为两边的三角形的面积C ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积D ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积 【答案】C ．平行四边形的面积．11.【重庆卷】若非零向量a ，b 满足|a |=3|b |，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为 （ ） A 、4π B 、2π C 、34π D 、π 【答案】A【解析】由题意22()(32)320a b a b a a b b -⋅+=-⋅-=，即223cos 20a a b b θ--=，所以23()2033θ⨯--=，cos 2θ=，4πθ=，选A .12.【2017课标II ，理12】已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小是（ ）A.2-B.32-C. 43- D.1- 【答案】B 【解析】二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
【试题】测试题2018年高考数学一轮复习讲练测浙江版Word版含解析
【关键字】试题第五章平面向量、数系的扩充与复数的引入测试题班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。
）1．已知向量，，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因,,故.所以应选C.2.【2017浙江杭州4月二模】设（为虚数单位），则（）A. B. C. D. 2【答案】B3.已知向量的夹角为120°，且，则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，向量在向量方向上的投影为，选A.4.在中，点在边上，且，，则= （）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题设，又，所以，故选D.5.【2017浙江温州2月模拟】设单数，，其中为虚数单位，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因单数，，故，应选答案D.6.【2017广西陆川】若是所在平面内一点，且满足，则一定是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【答案】B7.是两个向量，,且,则与的夹角为（ ）A ．30° B.60° C.120° D.150° 【答案】C【解析】由知，==0，所以=-1，所以==，所以与的夹角为，故选C. 8.【2017黑龙江大庆三模】在平行四边形中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可知，点D 为线段AD 上靠近点D 的三等分点，点F 为线段BC 上靠近点B 的三等分点，取AE 的中点G ，则 ， 结合余弦定理可得： . 本题选择B 选项.9.已知点，，则与同方向的单位向量是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A.10.已知向量的夹角为，且，则（ ） A ．1B ．C ．D ．2【答案】A 【解析】由，解得，故选A ．11.已知两个单位向量的夹角为，且满足，则实数的值为（ ） A ．-2 B ．． D ．1 【答案】B 【解析】因,故,即，也即,所以,应选B.12.【2017黑龙江哈师大附中三模】已知AB AC ⊥， AB AC =，点M 满足()1AM t AB t AC =+-，若3BAM π∠=，则t 的值为（ ）1 【答案】C整理可得： t .本题选择C 选项. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
高考数学导与练一轮复习(浙江版)知识梳理第八章第三节平面向量的数量积及应用
第三节平面向量的数量积及应用一、数量积的定义及意义(1)定义已知两个非零向量a和b,作OA=a,OB=b,如图所示,则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角,也可记作<a,b>=θ.(2)范围向量夹角θ的范围是[0,π],a与b同向时,夹角θ=0;a与b反向时,夹角θ=π.(3)垂直关系如果非零向量a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作a⊥b. 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b.规定:零向量与任一向量的数量积为0.两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b=0.数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积.(1)在平面图形中运算向量的数量积要注意向量夹角的取值,注意区分平面图形中的角和向量夹角的区别.(2)理解数量积的概念可以和物理中功的公式相联系,加深对概念的理解.(3)向量a与b的夹角为锐角⇔a·b>0且a与b不共线,a,b夹角为钝角⇔a·b<0且a与b不共线..(1)a在b方向上的投影:|a|·cos θ或a bb(2)|a·b|≤|a||b|,“=”当且仅当a与b共线时取到.二、数量积的性质与运算律(1)e·a=a·e=|a|cos θ(e为单位向量,θ为a与e的夹角);(2)非零向量a,b,a⊥b⇔a·b=0;(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a 与b 反向时,a ·b=|a||b|,a ·a=|a|2,(4)cos θ=a b a b⋅(θ为a 与b 的夹角).(1)a ·b=b ·a(交换律);(2)(λa)·b=λ(a ·b)=a ·(λb)(λ为实数); (3)(a+b)·c=a ·c+b ·c.已知非零向量a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),θ为向量a,b 的夹角. (1)a ·b=x 1x 2+y 1y 2.(3)cos θ.(1)0·a=0,0·a=0.(2)a ·b=b ·c ⇔b=0或b ⊥(ac). A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则AB 的中点坐标为(122xx +,122yy +),AB 的两个三等分点坐标为(1223x x +,1223y y+)和(1223x x +,1223yy +).1.对于向量a,b,c 和实数λ,下列命题中正确的是( B ) (A)若a ·b=0,则a=0或b=0 (B)若λa=0,则λ=0或a=0 (C)若a 2=b 2,则a=b 或a=b (D)若a ·b=a ·c,则b=c解析:当a ⊥b 时,a ·b=0,故A 错;当a ⊥b,|a|=|b|=1时,a 2=b 2,故C 错;当a ⊥b,a ⊥c 时,a ·b=a ·c=0,故D 错.故选B.2.(2018·全国Ⅱ卷)已知向量a,b 满足|a|=1,a ·b=1,则a ·(2ab)等于( B )(A)4 (B)3 (C)2 (D)0解析:a·(2ab)=2a2a·b=2|a|2a·b.因为|a|=1,a·b=1,所以原式=2×12+1=3.故选B.AB与AC的夹角为120°,且|AB|=3,| AC AP=λAB+AC,且AP⊥BC,则实数λ的值为.解析:因为AP⊥BC,所以AP·BC=0,所以(λAB+AC)·(AC AB)=0,即2ACλ2AB+(λ1)AB·AC=0,又因为AB·AC=3×2×(12)=3,所以49λ3(λ1)=0.所以λ=712.答案:7124.(2019·江苏卷)如图,在△AB·AC=6AO·EC,则ABAC的值是.解析:如图,过点D作DF∥CE交AB于点F,由D是BC的中点,可知F为BE的中点.又BE=2EA,则知EF=EA,从而可得AO=OD,则有AO=12AD=14(AB+AC),EC=AC AE=AC13AB,所以6AO·EC=32(AB+AC)·(AC13AB)=3 2AC212AB+AB·AC=AB·AC,整理可得2AB=32AC,所以AB AC=3.答案:3考点一平面向量数量积的运算[例1] (2018·天津卷)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON= 120°,BM=2MA,CN=2NA,则BC·OM的值为( )(A)15 (B)9 (C)6 (D)0解析:如图,连接MN.因为BM=2MA,CN=2NA,所以AMAB =13=ANAC,所以MN∥BC,且MNBC =13,所以BC=3MN=3(ON OM),所以BC·OM=3(ON·OM2OM)=3(2×1×cos 120°12)=6.故选C.(1)求两个向量的数量积,有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义.(2)解决涉及几何图形的数量积运算问题时,可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算,但要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.(2018·嘉兴模拟)如图,B,D是以AC为直径的圆上的两点,其中1t+2t+,则AC·BD等于( A )(A)1 (B)2(C)t (D)2t解析:AC·BD=AC·(AD AB)=AC·AD AC·AB=|AC||AD|cos ∠DAC|AC||AB|cos ∠BAC=2AD2AB=(t+2)(t+1)=1.考点二平面向量的夹角[例2] 已知单位向量e1,e2的夹角为α,且cos α=13,向量a=3e12e2与b=3e1e2的夹角为β,则cos β= .解析:由已知得e1·e2=1×1×13=13,a·b=(3e12e2)·(3e1e2)=9+29e1·e2=113=8.又因为a2=(3e12e2)2=9+412e1·e2=134=9, 得|a|=3,b2=(3e1e2)2=9+16e1·e2=102=8,得所以cos β=a ba b⋅=答案:223根据平面向量数量积的性质,若a,b 为非零向量,则cos<a,b>=a b a b⋅,a ⊥b ⇔a ·b=0等,可知利用平面向量的数量积可解决有关角度、垂直问题.1.(2019·金丽衢十二校第一次联考)已知向量a=(4, 3),b=3),则a 与b 的夹角为( C )(A)30° (B)45° (C)60° (D)90° 解析:cos<a,b>=a b a b⋅19219⋅=12, 所以<a,b>=60°.故选C.2.(2018·浙江台州期末统考)设非零向量a,b,则“a,b 的夹角为锐角”是“|a+b|>|ab|”的( A ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:由于|a+b|>|ab|等价于a ·b>0,若a,b 的夹角为锐角,则a ·b>0,所以|a+b|>|ab|成立,反之不一定成立,如a,b 夹角为0,不一定为锐角,所以“a,b 的夹角为锐角”是“|a+b|>|ab|”的充分不必要条件.故选A.考点三 平面向量的模[例3] (1)设a,b 为单位向量,若向量c 满足|c(a+b)|=|ab|,则|c|的最大值是( )(A)22 (B)2 (C)2 (D)1(2)(2018·π3,向量b 满足b 24e ·b+3=0,则|ab|的最小值是( ) (A)31 (B)3+1 (C)2 (D)23OA =a,OB =b,OC =c,则a+b=OD ,ab=BA , 由已知得|OC OD |=|BA |,又由|BA|=|OC OD|≥|OC||OD|得|c|=|OC|≤|OD |+|BA |=|a+b|+|ab|,由已知得|a+b|2+|ab|2=2(|a|2+|b|2)=4, 而2a b a b++-≤222a b a b++-=2,故|c|≤22.故选A. 解析:(2)由b 24e ·b+3=0得b 24e ·b+3e 2=(be)·(b3e)=0.设b=OB ,e=OE ,3e=OF , 所以be=EB ,b3e=FB ,所以EB ·FB =0,取EF 的中点为C,则B 在以C 为圆心,EF 为直径的圆上.如图,设a=OA ,作射线OA,使得∠AOE=π3,所以|ab|=|(a2e)+(2eb)|≥|a2e||2eb|=|CA ||BC |≥31.故选A.(1)求向量模的常用方法:利用公式|a|2=a 2,将模的运算转化为数量积的运算.(2)求模也可将向量置于特殊图形中,利用图形解决向量的模. (2019·温州2月模拟)在平面上,e 1,e 2是方向相反的单位向量,|a|= 2,(be 1)·(be 2)=0,则|ab|的最大值为( D )(A)1(D)3解析:由题意得(be1)·(be2)=0⇒b2b·(e1+e2)+e1·e2=0,e1,e2是方向相反的单位向量,所以e1+e2=0,e1·e2=1,b21=0⇒|b|=1,所以|ab|≤|a|+|b|=3,|ab|的最大值为3.故选D.考点四平面向量的应用[例4] (1)已知点O,N,P在△ABC所在平面内,且|OA|=|OB|=|OC|, NA+NB+NC=0,PA·PB=PB·PC=PC·PA,则点O,N,P依次是△ABC的( )(A)重心、外心、垂心(B)重心、外心、内心(C)外心、重心、垂心(D)外心、重心、内心(2)(2019·浙江卷)已知正方形A B C D的边长为1,当每个λi (i=1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+ λ6BD|的最小值是,最大值是.解析:(1)由|OA|=|OB|=|OC|知点O到A,B,C距离相等,为外心;由NA+NB+NC=0,即NA=(NB+NC)知N为△ABC三条中线交点即重心;由PA·PB=PB·PC,即PB·(PA PC)=0得PB·PC=0,即PB⊥PC,同理PC⊥AB,PA⊥BC,即P为垂心,故选C.解析:(2)如图,以A 为原点,AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,则AB =(1,0),AD =(0,1). 设a=λ1AB +λ2BC +λ3CD +λ4DA + λ5AC +λ6BD=λ1AB +λ2AD λ3AB λ4AD +λ5(AB +AD )+λ6(AD AB )=(λ1λ3+λ5λ6)AB +(λ2λ4+λ5+λ6)AD =(λ1λ3+λ5λ6,λ2λ4+λ5+λ6). 故|a|=2213562456()()λλλλλλλλ-+-+-++.因为λi (i=1,2,3,4,5,6)取遍±1,所以当λ1λ3+λ5λ6=0,λ2λ4+λ5+λ6=0时,|λ1AB +λ2BC +λ3CD +λ4DA +λ5AC +λ6BD |取得最小值0.考虑到λ5λ6,λ5+λ6有相关性,要确保所求模最大,只需使|λ1λ3+λ5λ6|,|λ2λ4+λ5+λ6|尽可能取到最大值,即当λ1λ3+λ5λ6=2,λ2λ4+λ5+λ6=4时可取到最大值,所以|λ1AB +λ2BC +λ3CD +λ4DA +λ5AC +λ6BD |的最大值为416+=25.答案:(1)C (2)0 25以向量为载体求相关变量的取值范围是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题,通过几何图形的分析,转化为不等式解集或函数值域等问题.已知圆O:x 2+y 2=4上有三个不同的点P,A,B,且满足AP =x OB 12OA (其中x>0),则实数x 的取值范围是 . 解析:因为AP =x OB12OA ,所以OP OA=x OB12OA,即x OB=OP12OA,两边平方得4x2=4+1OP·OA,设<OP,OA>=α,则4x2=54cos α, 因为1<cos α<1,所以1<54cos α<9,即1<4x2<9,因为x>0,所以12<x<32.即实数x的取值范围是(12,32).答案:(12,32)类型一平面向量数量积的运算1.(2019·衢州二中第一次模拟)在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AB=2AD=2DC=4,AC与BD相交于O,过点A作AE⊥BD于E,则AE·AC等于( C )解析:如图,由题意知BD⊥DC,∠ADC=120°,所以∠ADB=30°,∠ACD=30°,由题意得AE∥CD,所以∠EAO=30°,AC=2,AE=1,AE·AC=|AE|·|AC|·cos30°=1×故选C.类型二平面向量的夹角2.(2019·浙江省模拟)设θ是两个非零向量a,b的夹角,已知对任意实数t,|b+ta|的最小值为1,则( B )(A)若θ确定,则|a|唯一确定(B)若θ确定,则|b|唯一确定(C)若|a|确定,则θ唯一确定(D)若|b|确定,则θ唯一确定解析:|b+ta|2=b 2+2ta ·b+t 2a 2,令g(t)=b 2+2ta ·b+t 2a 2,二次函数图象开口向上,所以最小值为222244()4a b a b a -⋅=|b|2|b|2cos 2θ=|b|2sin 2θ=1,故当θ确定,则|b|唯一确定.故选B.3.(2019·余高、缙中、长中5月模拟)已知平面向量a,b 不共线,且|a|=1,a ·b=1,记b 与2a+b 的夹角是θ,则θ最大时,|ab|等于( C )(A)1解析:设|b|=x,则b ·(2a+b)=2a ·b+b 2=x 2+2,(2a+b)2=4a 2+4a ·b+b 2=x 2+8,cos θ=(2)2b a b b a b⋅+⋅+2所以cos 2θ=2222(2)(8)x x x ++ =22211241(2)2x x -++++ =2111412()263x --++,即当x 2=4,x=2时,cos 2θ取到最小值,则θ取到最大值,此时|ab|2= a 2-2a ·b+b 2=12+4=3,所以故选C.类型三 平面向量的模△ABC 中,|BC |=10,AB ·AC =16,D 为边BC 的中点,则|AD |等于( D )(A)6 (B)5 (C)4 (D)3解析:因为AB ·AC =16,BC = AC AB , 所以|BC |=|AC AB |, 所以|AC AB |2=|BC |2=100, 所以2AC +2AB 2AC ·AB =100,所以2AC +2AB =68, 又因为AD =12AB +12AC , 所以|AD |2=14(2AB +2AC +2AB ·AC ) =14×(6832) =9.所以|AD |=3.类型四 平面向量的应用5.(2019·浙江三校第一次联考)如图,圆O 是半径为1的圆,OA=12,设B,C 是圆上的任意2个点,则AC ·BC 的取值范围是( A ) (A)[18,3] (B)[1,3] (C)[1,1] (D)[18,1] 解析:由题意,设<OA ,BC >=θ, AC ·BC =(OC OA )·BC =OC ·BC OA ·BC=|OC |·|BC |cos ∠BCO|OA |·|BC |cos θ =212BC |OA |·|BC |cos θ=212BC 12|BC |cos θ,又因为cos θ≤1,所以212BC 12|BC |cos θ ≥212BC 12|BC |=12(|BC |12)218, 又因为|BC |∈[0,2],所以当|BC |=12时,AC ·BC 取到最小值为18, 当|BC |=2,cos θ=1,AC ·BC 取到最大值为3. 故选A.△ABC 满足|AB|=3,|AC|=4,O 是△ABC 的外心,且AO =λAB +12AC λ-(λ∈R),则△ABC 的面积是 . 解析:由AO =λAB +12AC λ-, 得221,21,2AO AB AB AC AB AO AC AB AC AC λλλλ-⎧⋅=+⋅⎪⎪⎨-⎪⋅=⋅+⎪⎩即()()9181,881,AC AB AB AC λλλλ⎧=+-⋅⎪⎨=-+⋅⎪⎩解方程组得8,1,10AB AC λ⎧⋅=⎪⎨=⎪⎩或0,9,AB AC λ=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩ 当AB ·AC =9时,cos A=34, 所以S △ABC =12×3×4当AB ·AC =8时,cos A=23所以S △ABC =12×3×4所以△ABC 的面积是.答案或。
高考数学一轮复习(浙江版)专题5.3平面向量的数量积及应用(讲)含解析
【考纲解读】【知识清单】1．平面向量的数量积及其运算一、两个向量的夹角1．定义已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．2．范围向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°. 3．向量垂直如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.二、平面向量数量积1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a 与b 的夹角． 规定0·a ＝0.当a ⊥b 时，θ＝90°，这时a ·b ＝0. 2．a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 三、向量数量积的性质1．如果e 是单位向量，则a ·e ＝e ·a . 2．a ⊥b ⇔a ·b ＝0. 3．a ·a ＝|a |2，|a 4．cos θ＝||||⋅a ba b .(θ为a 与b 的夹角)5．|a ·b |≤|a ||b |. 四、数量积的运算律 1．交换律：a ·b ＝b ·a .2．分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .3．对λ∈R ，λ(a ·b )＝(λa )·b ＝a ·(λb )． 五、数量积的坐标运算设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则： 1．a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2. 2．a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0. 3．|a |＝a 21＋a 22. 4．cos θ＝||||⋅a b a b.(θ为a 与b 的夹角)2．向量的夹角与向量的模 1. a ·a ＝|a |2，|a 2．cos θ＝||||⋅a ba b .(θ为a 与b 的夹角)3.|a ·b |≤|a ||b |. 3．平面向量垂直的条件a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0.【重点难点突破】考点1 平面向量数量积的运算【1-1】2018年理数全国卷II 】已知向量，满足，，则A. 4B. 3C. 2D. 0 【答案】B【1-2】【2018年天津卷文】在如图的平面图形中，已知,则的值为( )A.B.C.D. 0【答案】C【1-3】【2017天津，理13】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =，()AE AC AB λλ∈=-R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________.【答案】311【领悟技法】1.平面向量数量积的计算方法①已知向量a ，b 的模及夹角θ，利用公式a ·b ＝|a ||b|cos θ求解； ②已知向量a ，b 的坐标，利用数量积的坐标形式求解．(2)对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算． 【触类旁通】【变式一】【2017北京，理6】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】A【变式二】已知向量(2,3),(4,7)a b ==-，则a 在方向上的投影为（ ）A 、5C 、5【答案】D 【解析】因为(2,3),(4,7)a b ==-，所以1365,13a b a b ==⋅=，，则cos 5a θ=，则a 在b 方向上的投影既是a 在【变式三】在矩形ABCD中，3,2AB BC BE EC ===，点F 在边CD 上，若3AB AF ⋅=，则A E B F ⋅的值为（ ） A ．0 B．-4 D ．4 【答案】C 【解析】()233,2,23264BF AE BF =-⋅=-⨯=-=-，故选C.考点2 向量的夹角与向量的模【2-1】已知向量()2,8a b +=-，()8,16a b -=-，则a 与b 夹角的余弦值为（ ）A ．6365 B ． 6365- C ． 6365± D ． 513【答案】B.【解析】因为向量()2,8a b +=-，()8,16a b -=-，两式相加和相减可得，)4,3(-=→a 和)12,5(-=→b ；由数量积的定义式θcos →→→→=⋅b a b a 知，65631354815cos -=⨯--=⋅=→→→→ba b a θ. 故应选B.【2-2】【2018年浙江卷】已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是（ ） A. −1 B. +1 C. 2 D. 2− 【答案】A【2-3】【2018年理数天津卷】如图，在平面四边形ABCD中，，，，. 若点E为边CD上的动点，则的最小值为A. B. C. D.【答案】A【领悟技法】利用向量夹角公式、模公式，可将有关角度问题、线段长问题转化为向量的数量积来解决． 【触类旁通】【变式一】【2017山东，理12】已知12,e e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是 .【答案】3【解析】)()221212112122333e e e e e e e e e λλλλ-⋅+=+⋅-⋅-=，()2221233232e e e e e e e -=-=-⋅+=，()22221221e e e e e e e e λλλλ+=+=+⋅+=+，2cos601λ==+λ=． 【变式二】△ABC 中，,3=⋅△ABC 的面积BC AB S 与则],23,23[∈夹角的取值范围是（ ） A ．]3,4[ππ B ．]4,6[ππ C ．]3,6[ππ D ．]2,3[ππ 【答案】B【变式三】已知()2,λ=a ，()5,3-=b ，且与的夹角为锐角，则λ的取值范围是 . 【答案】310<λ且56-≠λ 【解析】由于与的夹角为锐角，0>⋅∴，且与不共线同向，由01030>+-⇒>⋅λ，解得310<λ，当向量与共线时，得65-=λ，得56-=λ，因此λ的取值范围是310<λ且56-≠λ.考点3平面向量垂直的条件【3-1】【2018届北京东城北京二中高三上学期期中】已知向量，，且，则等于（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】分析：由向量垂直可得，求得x ，及向量的坐标表示，再利用向量加法的坐标运算和向量模的坐标运算可求得模。
1高考数学一轮复习浙江专用课件：5 平面向量的数量积及其应用讲解部分
4.平面向量的数量积的坐标表示 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2. (2)若a=(x,y),则a·a=a2=|a|2=x2+y2,|a|= x2 y2 . (3)若A(x1,y1),B(x2,y2),则| AB|= (x2 -x1)2 (y2 -y1)2 ,这就是平面内两点间的距离 公式. (4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0. 5.向量中的重要不等式 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则-|a||b|≤a·b≤|a||b|⇔- x12 y12 · x22 y22 ≤x1x2+y1y2≤
高考数学 浙江专用
5.2 平面向量的数量积及其应用
考点清单
考点一 平面向量的数量积
考向基础 1.向量的数量积的定义 (1)向量a与b的夹角 已知两个非零向量a和b,过O点作OOAA=a, OB=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫 做向量a与b的夹角. 当θ=90°时,a与b垂直,记作a⊥b;当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向. (2)a与b的数量积 已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则把|a|·|b|·cos θ叫做a和b的数量积 (或内积),记作a·b=|a|·|b|·cos θ.
(3)规定:0·a=0. (4)a·b的几何意义 a.一个向量在另一个向量方向上的投影 设θ是非零向量a与b的夹角,则|a|cos θ叫做a在b的方向上的投影,|b|cos θ叫 做b在a的方向上的投影.b在a的方向上的投影是一个实数,而不是向量.当0 °≤θ<90°时,它是正值;当90°<θ≤180°时,它是负值;当θ=90°时,它是0. b.a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积. 2.向量的数量积的性质 设a、b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的夹角,则 (1)e·a=a·e=|a|·cos θ. (2)a⊥b⇔a·b=0.
2018年高考数学(浙江专用)总复习教师用书：第5章 第3讲 平面向量的数量积及其应用 含解析
第3讲 平面向量的数量积及其应用最新考纲 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.知 识 梳 理1.平面向量数量积的有关概念【1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA→＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ【0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角.【2)数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos__θ 叫做a 与b 的数量积【或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.【3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos__θ的乘积.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a ＝【x 1，y 1)，b ＝【x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角.【1)数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2.【2)模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21.【3)夹角：cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 【4)两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.【5)|a ·b |≤|a ||b |【当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21·x 22＋y 22.3.平面向量数量积的运算律【1)a ·b ＝b ·a 【交换律).【2)λa ·b ＝λ【a ·b )＝a ·【λb )【结合律).【3)【a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c 【分配律).诊 断 自 测1.判断正误【在括号内打“√”或“×”)【1)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.【 ) 【2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.【 )【3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.【 )【4)若a ·b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角.【 )【5)a ·b ＝a ·c 【a ≠0)，则b ＝c .【 )解析 【1)两个向量夹角的范围是[0，π].【4)若a ·b >0，a 和b 的夹角可能为0；若a ·b <0，a 和b 的夹角可能为π.【5)由a ·b ＝a ·c 【a ≠0)得|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝|a ||c |cos 〈a ，c 〉，所以向量b 和c 不一定相等.答案 【1)× 【2)√ 【3)√ 【4)× 【5)×2.【2015·全国Ⅱ卷)向量a ＝【1，－1)，b ＝【－1，2)，则【2a ＋b )·a 等于【 )A.－1B.0C.1D.2解析 因为a ＝【1，－1)，b ＝【－1，2)，所以2a ＋b ＝2【1，－1)＋【－1，2)＝【1，0)，得【2a ＋b )·a ＝【1，0)·【1，－1)＝1，选C.答案 C3.【2017·湖州模拟)已知向量a ，b ，其中|a |＝3，|b |＝2，且【a －b )⊥a ，则向量a 和b 的夹角是________.解析 因为【a －b )⊥a ，所以【a －b )·a ＝|a |2－|a ||b |·cos 〈a ，b 〉＝3－23×cos〈a ，b 〉＝0，解得cos 〈a ，b 〉＝32，由于〈a ，b 〉∈[0，π].则向量a ，b 的夹角为π6.答案 π64.【2016·石家庄模拟)已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋b |＝________.解析 ∵|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝4＋2|a ||b |cos 2π3＋1＝4－2＋1＝3，∴|a ＋b |＝ 3.答案 35.【必修4P104例1改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________.解析 由数量积的定义知，b 在a 方向上的投影为|b |cos θ＝4×cos 120°＝－2.答案 －26.【2017·瑞安一中检测)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝【1，2)，|b |＝1，且a ＋b 与a －2b 垂直，则向量a ·b ＝________；a 与b 的夹角θ的余弦值为________.解析 ∵【a ＋b )⊥【a －2b )，∴【a ＋b )·【a －2b )＝0，即|a |2－a ·b －2|b |2＝0，∴5－a ·b －2＝0，∴a ·b ＝3，∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝355.答案 3 355考点一 平面向量的数量积及在平面几何中的应用【例1】 【1)【2015·四川卷)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB→|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM→等于【 ) A.20 B. 15 C.9 D.6【2)【2016·天津卷)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC→的值为【 ) A.－58 B.18 C.14 D.118解析 【1)取AB →，AD →为一组基底.∵BM →＝3MC →，∴AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →，∴AM →·NM →＝14【4AB →＋3AD →)·112【4AB →－3AD →)＝148【16AB →2－9AD →2)＝148【16×62－9×42)＝9，选C.【2)法一 如图所示，根据已知得，DF →＝34AC →，所以AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋34AC →，BC →＝AC →－AB →，则AF →·BC →＝错误!·【错误!－错误!)＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →＝34－12－14×1×1×cos 60°＝18.故选B. 法二 建立如图所示的平面直角坐标系.则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0， A ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，所以BC →＝【1，0). 易知DE ＝12AC ，∠FEC ＝∠ACE ＝60°，则EF ＝14AC ＝14，所以点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－38， 则AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－538， 所以AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－538·【1，0)＝18. 故选B.答案 【1)C 【2)B规律方法 【1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.【2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.【训练1】 【1)【2017·义乌市调研)在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝2，点D 为AC 的中点，点E 满足BE →＝13BC →，则AE →·BD →＝________.【2)【2017·宁波质检)已有正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC→的最大值为________. 解析 【1)法一 因为AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13【AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →，BD →＝BA →＋AD →＝－AB →＋12AC →.因为AB ⊥AC ，所以AB →·AC →＝0，所以AE →·BD →＝错误!·错误!＝－错误!|错误!|2＋ 16|AC →|2＝－23×22＋16×22＝－2. 法二 建立如图所示的平面直角坐标系，则A 【0，0)，B 【2，0)，D 【0，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23，所以AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23，BD →＝【－2，1)，所以AE →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23·【－2，1)＝43×【－2)＋23×1＝－2.【2)法一 如图，DE →·CB →＝【DA →＋AE →)·CB →＝DA →·CB →＋AE →·CB→＝DA →2＝1，DE →·DC →＝【DA →＋AE →)·DC→ ＝DA →·DC →＋AE →·DC→ ＝AE →·DC →＝|AE →|·|DC→|≤|DC →|2＝1. 法二 以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A 【0，0)，B 【1，0)，C 【1，1)，D 【0，1)，设E 【t ，0)，t ∈[0，1]，则DE→＝【t ，－1)，CB →＝【0，－1)， 所以DE →·CB →＝【t ，－1)·【0，－1)＝1.因为DC→＝【1，0)， 所以DE →·DC →＝【t ，－1)·【1，0)＝t ≤1，故DE →·DC →的最大值为1.法三 由图知，无论E 点在哪个位置，DE→在CB →方向上的投影都是CB ＝1，∴DE →·CB →＝|CB →|·1＝1.当E 运动到B 点时，DE→在DC →方向上的投影最大即为DC ＝1， ∴【DE →·DC →)max＝|DC →|·1＝1. 答案 【1)－2 【2)1 1考点二 平面向量的夹角与垂直【例2】 【1)【2016·全国Ⅱ卷)已知向量a ＝【1，m )，b ＝【3，－2)，且【a ＋b )⊥b ，则m ＝【 )A.－8B.－6C.6D.8【2)若向量a ＝【k ，3)，b ＝【1，4)，c ＝【2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.解析 【1)由题知a ＋b ＝【4，m －2)，因为【a ＋b )⊥b ，所以【a ＋b )·b ＝0， 即4×3＋【－2)×【m －2)＝0，解之得m ＝8，故选D.【2)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角，∴【2a －3b )·c <0，即【2k －3，－6)·【2，1)<0，解得k ＜3.又若【2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92.当k ＝－92时，2a －3b ＝【－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向.综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3. 答案 【1)D 【2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3 规律方法 【1)根据平面向量数量积的性质：若a ，b 为非零向量，cos θ＝a ·b |a ||b |【夹角公式)，a ⊥b ⇔a ·b ＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.【2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.【训练2】 【1)【2016·全国Ⅲ卷)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝【 )A.30°B.45°C.60°D.120°【2)【2016·全国Ⅰ卷)设向量a ＝【m ，1)，b ＝【1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________.解析 【1)|BA →|＝1，|BC →|＝1，cos ∠ABC ＝错误!＝错误!.由〈错误!，错误!〉∈[0°，180°]，得∠ABC ＝30°.【2)由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，得a ⊥b ，所以m ×1＋1×2＝0，得m ＝－2.答案 【1)A 【2)－2考点三 平面向量的模及其应用【例3】 【1)【2017·云南统一检测)已知平面向量a 与b 的夹角等于π3，若|a |＝2，|b |＝3，则|2a －3b |＝【 )A.57B.61C.57D.61【2)【2016·浙江卷)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________.解析 【1)由题意可得a ·b ＝|a |·|b |cos π3＝3，所以|2a －3b |＝（2a －3b ）2＝4|a |2＋9|b |2－12a ·b ＝16＋81－36＝61，故选B.【2)由已知可得：6≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e |＝|【a ＋b )·e |由于上式对任意单位向量e 都成立.∴6≥|a ＋b |成立.∴6≥【a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b .即6≥5＋2a ·b ，∴a ·b ≤12.答案 【1)B 【2)12规律方法 【1)求向量的模的方法：①公式法，利用|a |＝a ·a 及【a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；②几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.【2)求向量模的最值【范围)的方法：①代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；②几何法【数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.【训练3】 【1)在平面直角坐标系中，O 为原点，A 【－1，0)，B 【0，3)，C【3，0)，动点D 满足|CD→|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________. 【2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB→|的最小值为________. 解析 【1)设D 【x ，y )，由|CD→|＝1，得【x －3)2＋y 2＝1， 向量OA→＋OB →＋OD →＝【x －1，y ＋3)， 故|OA→＋OB →＋OD →|＝（x －1）2＋（y ＋3）2的最大值为圆【x －3)2＋y 2＝1上的动点到点【1，－3)距离的最大值，其最大值为圆【x －3)2＋y 2＝1的圆心【3，0)到点【1，－3)的距离加上圆的半径，即（3－1）2＋（0＋3）2＋1＝1＋7.【2)以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x 【0≤x ≤a )，∴D【0，0)，A 【2，0)，C 【0，a )，B 【1，a )，P 【0，x ).P A →＝【2，－x )，PB →＝【1，a －x )，32∴P A →＋3PB →＝【5，3a －4x )，|P A →＋3PB→|2＝25＋【3a －4x )2≥25，当x ＝3a 4时取等号.∴|P A →＋3PB→|的最小值为5. 答案 【1)1＋7 【2)5[思想方法]1.计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.2.求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.[易错防范]1.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c【a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量.2.两个向量的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a·b＜0，反之也不成立.基础巩固题组【建议用时：40分钟)一、选择题1.【2016·兰州诊断考试)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|a－b|＝【)A.0B.1C.2D. 5解析|a－b|＝（a－b）2＝a2－2a·b＋b2＝1＋4＝ 5.答案 D2.【2015·陕西卷)对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是【)A.|a·b|≤|a||b|B.|a－b|≤||a|－|b||C.【a＋b)2＝|a＋b|2D.【a＋b)·【a－b)＝a2－b2解析对于A，由|a·b|＝||a||b a，b≤|a||b|恒成立；对于B，当a，b均为非零向量且方向相反时不成立；对于C、D容易判断恒成立.故选B.答案 B3.已知a＝【1，－2)，b＝【x，2)，且a∥b，则|b|＝【)A.2 5B. 5C.10D.5解析∵a∥b，∴1x＝－22，解得x＝－1，∴b＝【－1，2)，∴|b|＝（－1）2＋22＝ 5.故选B.答案 B4.【2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝【1，－2)，AD →＝【2，1)，则AD →·AC→等于【 ) A.5 B.4 C.3 D.2解析 ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AC→＝AB →＋AD →＝【1，－2)＋【2，1)＝【3，－1).∴AD →·AC→＝2×3＋【－1)×1＝5，选A. 答案 A5.【2015·重庆卷)已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥【2a ＋b )，则a 与b 的夹角为【 )A.π3B.π2C.2π3D.5π6解析 因为a ⊥【2a ＋b )，所以a ·【2a ＋b )＝0，得到a ·b ＝－2|a |2，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－2|a |24|a |2＝－12，又0≤θ≤π，所以θ＝2π3，故选C.答案 C二、填空题6.【2016·全国Ⅰ卷)设向量a ＝【x ，x ＋1)，b ＝【1，2)，且a ⊥b ，则x ＝________.解析 由题意，得a ·b ＝0⇒x ＋2【x ＋1)＝0⇒x ＝－23.答案 －237.【2017·台州调研)已知向量OA→＝【3，－4)，OB →＝【6，－3)，OC →＝【5－m ，－3－m )，若∠ABC 为锐角，实数m 的取值范围是________；若∠ABC 为钝角时，实数m 的取值范围是________.解析 由已知得AB→＝OB →－OA →＝【3，1)， AC→＝OC →－OA →＝【2－m ，1－m ). 若AB →∥AC →，则有3【1－m )＝2－m ，解得m ＝12.由题设知，BA→＝【－3，－1)，BC →＝【－1－m ，－m ). 若∠ABC 为锐角，则由BA →·BC →＝3＋3m ＋m >0，可得m >－34；若∠ABC 为钝角，则m <－34.由题意知，当m ＝12时，AB→∥AC →，且AB →与AC →同向.故当∠ABC 为锐角时，实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，当∠ABC 为钝角时，实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－34. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－348.【2017·金华十校联考)已知平面向量a ，b 的夹角为π3，|a －b |＝6，向量c －a ，c －b 的夹角为2π3，|c －a |＝23，则a 与c 的夹角为________，a ·c 的最大值为________.解析 如图，设OA→＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则|AC →|＝|c －a |＝23，|AB→|＝|a －b |＝6，又∵∠AOB ＝π3，∠ACB ＝2π3，∴O ，A ，B ，C 共圆，由正弦定理得∠ABC ＝∠BAC ＝π6，在△ACO 中，∠AOC＝∠ABC ＝π6，由余弦定理得AC 2＝|a |2＋|c |2－2|a ||c |cos ∠AOC ，即12≥2|a ||c |－3|a ||c |⇒|a ||c |≤12【2＋3)，∴a ·c ＝|a ||c |·cos ∠AOC ≤18＋123，当|a |＝|c |＝32＋6时等号成立，即a ·c 的最大值为18＋12 3. 答案 π6 18＋12 3 三、解答题9.已知|a |＝4，|b |＝3，【2a －3b )·【2a ＋b )＝61， 【1)求a 与b 的夹角θ； 【2)求|a ＋b |；【3)若AB→＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积. 解 【1)∵【2a －3b )·【2a ＋b )＝61， ∴4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a ·b －27＝61，∴a ·b ＝－6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.【2)|a ＋b |2＝【a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2 ＝42＋2×【－6)＋32＝13，∴|a ＋b |＝13. 【3)∵AB→与BC →的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3. 又|AB→|＝|a|＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3.10.【2017·湖州一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝【cos 【A －B )，sin 【A －B ))，n ＝【cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35. 【1)求sin A 的值；【2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影. 解 【1)由m ·n ＝－35，得cos 【A －B )cos B －sin 【A －B )sin B ＝－35， 所以cos A ＝－35.因为0<A <π， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. 【2)由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ， 则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，且B 是△ABC 一内角，则B ＝π4. 由余弦定理得【42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1，c ＝－7舍去，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.能力提升题组 【建议用时：25分钟)11.【必修4P120 1【6)改编)若平面向量a ，b ，c 两两所成的角相等，且|a |＝1，|b |＝1，|c |＝3，则|a ＋b ＋c |等于【 ) A.2B.5C.2或5D.2或 5解析 由于平面向量a ，b ，c 两两所成的角相等，故每两个向量成的角都等于2π3或0°，|a ＋b ＋c |＝（a ＋b ＋c ）2 ＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c当夹角为0时，上式值为5；当夹角为2π3时，上式值为2.故选C. 答案 C12.【2015·山东卷)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →等于【 ) A.－32a 2B.－34a 2C.34a 2D.32a 2解析 在菱形ABCD 中，BA →＝CD →，BD →＝BA →＋BC →，所以BD →·CD →＝【BA →＋BC →)·CD →＝BA →·CD →＋BC →·CD →＝a 2＋a ×a ×cos 60°＝a 2＋12a 2＝32a 2. 答案 D13.【2015·浙江卷)已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12，若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －【x e 1＋y e 2)|≥|b －【x 0e 1＋y 0e 2)|＝1【x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________.解析 ∵e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos 〈e 1，e 2〉＝12，∴〈e 1，e 2〉＝π3.不妨设e 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，e 2＝【1，0，0)，b ＝【m ，n ，t ).由题意知⎩⎪⎨⎪⎧b ·e 1＝12m ＋32n ＝2，b ·e 2＝m ＝52，解得m ＝52，n ＝32，∴b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，t .∵b －【x e 1＋y e 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－12x －y ，32－32x ，t ，∴|b －【x e 1＋y e 2)|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x 2－y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－32x 2＋t 2＝x 2＋xy ＋y 2－4x －5y ＋t 2＋7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34【y －2)2＋t 2.由题意知，当x ＝x 0＝1，y ＝y 0＝2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34【y －2)2＋t 2取到最小值1.此时t 2＝1，故|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋t 2＝2 2. 答案 1 2 2 214.在直角坐标系xOy 中，已知点A 【1，1)，B 【2，3)，C 【3，2)，点P 【x ，y )在△ABC 三边围成的区域【含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →【m ，n ∈R ).【1)若m ＝n ＝23，求|OP→|；【2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值. 解 【1)∵m ＝n ＝23，AB →＝【1，2)，AC →＝【2，1)，∴OP→＝23【1，2)＋23【2，1)＝【2，2)，∴|OP→|＝22＋22＝2 2.【2)∵OP →＝m 【1，2)＋n 【2，1)＝【m ＋2n ，2m ＋n )，∴⎩⎨⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减，得m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B 【2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.15.【2017·杭州联考)已知平面上一定点C 【2，0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且错误!·错误!＝0. 【1)求动点P 的轨迹方程；【2)若EF 为圆N ：x 2＋【y －1)2＝1的任一条直径，求PE →·PF →的最值. 解 【1)设P 【x ，y )，则Q 【8，y ).由【PC →＋12PQ →)·【PC →－12PQ →)＝0， 得|PC→|2－14|PQ →|2＝0， 即【x －2)2＋y 2－14【x －8)2＝0， 化简得x 216＋y 212＝1.所以点P 在椭圆上，其方程为x 216＋y 212＝1.【2)因PE →·PF →＝【NE →－NP →)·【NF →－NP →)＝【－NF →－NP →)·【NF →－NP →)＝NP →2－NF →2＝NP→2－1， P 是椭圆x 216＋y 212＝1上的任一点，设P 【x 0，y 0)， 则有x 2016＋y 2012＝1， 即x 20＝16－4y 203，又N 【0，1)，所以NP →2＝x 20＋【y 0－1)2＝－13y 20－2y 0＋17＝－13【y 0＋3)2＋20. 因y 0∈[－23，23]，所以当y 0＝－3时，NP →2取得最大值20，故PE →·PF→的最大值为19； 当y 0＝23时，NP →2取得最小值为13－43【此时x 0＝0)， 故PE →·PF→的最小值为12－4 3.。
2018浙江新课改新人教版A高考一轮复习第三节 平面向量的数量积及其应用
2 7 25 1 2 29 2 ×4－1 8 ×2×1×2＋3＝1 8 . BA · BC ＋3| BC | ＝1 2
突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三
[答案]
29 18
课时达标检测
平面向量的数量积及其应用
结
束
[易错提醒]
(1 ) 解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时
结
束
3．平 面 向 量 数 量 积 的 运 算 律
· a ( 1a )· b＝_b _ __( _ 交换律 )．
a· (λb ( 2 λa ) · b＝_λ_ _ _ __ _ _ _) _( _ 结合律 )． (a · b )＝
· c_ ＋ c ( 3 )a( ＋b)· c＝_a_ _ _b _· __ ( 分配律 ).
一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等 是互补． ( 2两 ) 向量 a ， b的 数 量 积 a· b与 代 数 中 a ， b的 乘 积 写 法 不 同 ， 不 能 漏 掉 其“ 中 · ”． 的
点
一
突
破
点
二
突
破
点
三
课时达标检测
平面向量的数量积及其应用
结
束
2．根 据 定 义 计 算 数 量 积 的 两 种 思 路 ( 1若 ) 两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得
定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通 使它们的起点重合，然后再计算． ( 2根 ) 据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹
[ 解析 ]
a ＋ 2b ＝ ( － 1 , 2＋ )2( m,1 ) ＝ ( － 1 ＋ 2m,4 ) ， 2a － b ＝
2( －1 , 2－ ) (m,1 ) ＝(－2－m,3 ) ，由题意得 3 ( －1＋2m)－4(－2－
2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题5.3 平面向量的数量积(练)
专题5.3 平面向量的数量积【基础巩固】一、填空题1．设向量a ＝(x ，x ＋1)，b ＝(1,2)，且a ⊥b ，则x ＝________. 【答案】－23【解析】由题意，得a ·b ＝0⇒x ＋2(x ＋1)＝0⇒x ＝－23.2．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为________． 【答案】π63．(2017·镇江期末)已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|a －b |＝________. 【答案】 5 【解析】|a －b |＝a －b2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋4＝ 5.4．对任意平面向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是________(填序号)． ①|a ·b |≤|a ||b |；②|a －b |≤||a |－|b ||； ③(a ＋b )2＝|a ＋b |2；④(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. 【答案】②【解析】对于①，由|a ·b |＝||a ||b |cos a ，b|≤|a ||b |恒成立；对于②，当a ，b 均为非零向量且方向相反时不成立；对于③④容易判断恒成立． 5．已知a ＝(1，－2)，b ＝(x,2)，且a ∥b ，则|b |＝________. 【答案】 5【解析】∵a ∥b ，∴1x ＝－22，解得x ＝－1，∴b ＝(－1,2)，∴|b |＝－12＋22＝ 5.6．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2,1)，则AD →·AC →＝________. 【答案】5【解析】∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)．∴AD →·AC →＝2×3＋(－1)×1＝5.7．已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为________． 【答案】2π3【解析】因为a ⊥(2a ＋b )，所以a ·(2a ＋b )＝0，得到a ·b ＝－2|a |2，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－2|a |24|a |2＝－12，又0≤θ≤π，所以θ＝2π3. 8．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞二、解答题9．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积． 解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，10．(2017·德州一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影． 解 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得asin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，且B 是△ABC 一内角，则B ＝π4.由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1，c ＝－7舍去，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.【能力提升】11．(2017·南通、扬州、泰州调研)如图，已知△ABC 的边BC 的垂直平分线交AC 于点P ，交BC 于点Q .若|AB →|＝3，|AC →|＝5，则(AP →＋AQ →)·(AB →－AC →)的值为________．【答案】－16【解析】(AP →＋AQ →)·(AB →－AC →)＝(2AQ →＋QP →)·CB →＝2AQ →·CB →＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝|AB →|2－|AC →|2＝32－52＝－16.12．已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为________． 【答案】－4【解析】∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t ·m ·n ＋n 2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0，由已知得t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4.13．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________． 【答案】514．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )． (1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ， y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． 解 (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)，。
(浙江专用)2018年高考数学一轮复习 第五章 平面向量与解三角形 5.2 平面向量的数量积及其应用
t
| m || n |
4m n =- 4 = 1 ,所以t=-4.故选B.
3 | n |2 3t 3
评析 本题主要考查了非零向量垂直的充要条件和夹角公式,属中档题.
8.(2015安徽,8,5分)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足 AB=2a, AC =2a+b,则下列结 论正确的是 ( ) A.|b|=1 B.a⊥b C.a·b=1 D.(4a+b)⊥ BC
=-λ2 OA(λ2>1),
从而I3= OC
·O D
=λ1λ2 OA
· OB
=λ1λ2I1,
又λ1λ2>1,I1<0,I3<0,∴I3<I1,∴I3<I1<I2.故选C.
2.(2017课标全国Ⅱ,12,5分)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则 PA·( PB
解法二:设P(x,y),则 AO· AP=(2,0)·(x+2,y)=2x+4,由题意知-1≤x≤1,∴x=1时, AO· AP取最大值6,∴ AO· AP的最大值为6.
13.(2017课标全国Ⅰ理,13,5分)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=
答案 D 当|a|=|b|≠0时,|a+b|=|a-b|⇔(a+b)2=(a-b)2⇔a·b=0⇔a⊥b,推不出|a|=|b|.同样,由|a|=|b|也 不能推出a⊥b.故选D.
解后反思 由向量加法、减法的几何意义知,当a、b不共线,且|a|=|b|时,a+b与a-b垂直;当a⊥b时, |a+b|=|a-b|.
4.(2016课标全国Ⅱ,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m= ( ) A.-8 B.-6 C.6 D.8
(浙江版)2018年高考数学复习： 专题5.3 平面向量的数量积及其应用(测)
第03节 平面向量的数量积及其应用班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。
）1.【北京卷】设a ，b 是非零向量，“a b a b ⋅= ”是“//a b ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】||||cos ,a b a b a b ∙=∙<> ，由已知得cos ,1a b <>= ，即,0a b <>= ，//a b .而当//a b 时，,a b <> 还可能是π，此时||||a b a b ∙=- ，故“a b a b ⋅= ”是“//a b ”的充分而不必要条件，故选A.2.【福建卷】设(1,2)a = ，(1,1)b = ，c a kb =+ ．若b c ⊥ ，则实数k 的值等于（ ）A ．32-B ．53-C ．53D ．32【答案】A3.【2017浙江温州模拟】已知为单位向量，，则在的投影为 A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题设可得，即，则，即，又，故，应选答案C.4. ,2,1==b 且a b a ⊥+)(，则与的夹角为（ ）A. 30B. 60C. 120D. 150【答案】C5.【重庆卷】已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c === ，且(23)a b c -⊥ ，则实数k =（ ）9.2A - .0B .C 3 D.152【答案】C【解析】因为()(),3,1,4,a k b == 所以()2323,6a b k -=-- ，又因为()23a b c -⊥ ，所以，()230a b c -⋅= ，所以，()()22360k -+-=，解得：3k =，故选C.6.【辽宁卷】设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0a b ⋅= ，0b c ⋅= ，则0a c ⋅= ；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝【答案】A【解析】若0a b ⋅= ，0b c ⋅= ，则,a b b c ⊥⊥ ，故//a c ，故命题p 是假命题；若//,//a b b c ，则//a c ，故命题q 是真命题，由复合命题真假判断知，p q ∨是真命题，选A ．7.【2017四川宜宾二诊】若非零向量,a b ，满足a b =， ()20a b a -⋅=，则a 与b 的夹角为 A. 6π B. 3π C. 23π D. 56π【答案】B【解析】 由()2220a b a a a b -⋅=-⋅= ，即22a ab ⋅= ，所以由向量的夹角公式可得1cos ,22a a b a b a a a b ⋅〈〉===⋅⋅ ，又(),0,a b π〈〉∈ ，所以,3a b π〈〉= ，故选B. 8．【2017陕西师范附属二模】已知向量()1,1a = ， ()24,2a b += ，则向量,a b的夹角的余弦值为（ ）B.-【答案】C9．【2017四川成都二诊】已知平面向量a ， b 夹角为3π，且1a = ， 12b = ，则2a b + 与b 的夹角是（ ） A. 6π B. 56π C. 4π D. 34π 【答案】A【解析】由题意可知： 111cos 234a b π⋅=⨯⨯= ， 则： ()2113222444a b b a b b +⋅=⋅+=+⨯= ， 且：2a b +== ， 设所求向量的夹角为θ ，有： ()2cos 22a b b a b b θ+⋅==+⨯ ，则2a b + 与b 的夹角是6π . 本题选择A 选项.10. 设a ，b ， c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，a ⊥c ，|a |＝|c |，则||b c ⋅ 的值一定等于( )。
【步步高】2018版高考数学(浙江·文理通用)大一轮教师文档讲义：第五章5.3平面向量的数量积
1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是[0，π]． 2．平面向量的数量积3.平面向量数量积的性质设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |； 当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |.特别地，a ·a ＝|a |2或|a |(4)cos θ＝a ·b |a ||b |.(5)|a ·b |≤|a ||b |.4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离AB ＝|AB →|(3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (4)若a ，b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 【知识拓展】1．两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a·b >0且a ，b 不共线； 两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a·b <0且a ，b 不共线． 2．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2.(2)(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( √ )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( √ ) (3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( × ) (4)(a ·b )c ＝a (b ·c )．( × )(5)两个向量的夹角的范围是[0，π2]．( × )1．(教材改编)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a·(2a －b )＝0，则k 等于( ) A ．－12 B ．6 C ．－6 D ．12答案 D解析 ∵2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k )， 由a ·(2a －b )＝0，得(2,1)·(5,2－k )＝0， ∴10＋2－k ＝0，解得k ＝12.2．(2016·临安质检)已知向量a 与b 的夹角为30°，且|a |＝1，|2a －b |＝1，则|b |等于( ) A. 6 B. 5 C. 3 D. 2答案 C解析 由题意可得a·b ＝|b |cos 30°＝32|b |,4a 2－4a·b ＋b 2＝1，即4－23|b |＋b 2＝1，由此求得|b |＝3，故选C.3．(2016·温州调研)若平面四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是( ) A ．直角梯形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形答案 C解析 由AB →＋CD →＝0得平面四边形ABCD 是平行四边形， 由(AB →－AD →)·AC →＝0得DB →·AC →＝0， 故平行四边形的对角线垂直， 所以该四边形一定是菱形，故选C.4．(2016·北京)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为________． 答案 π6解析 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a ||b |＝1×3＋1×312＋(3)2·12＋(3)2＝234＝32，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π6.题型一 平面向量数量积的运算例1 (1)(2016·天津)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( ) A ．－58B.18C.14D.118(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________． 答案 (1)B (2)1 1解析 (1) 如图，由条件可知BC →＝AC →－AB →，AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋32DE →＝12AB →＋34AC →， 所以BC →·AF →＝(AC →－AB →)·(12AB →＋34AC →)＝34AC →2－14AB →·AC →－12AB →2. 因为△ABC 是边长为1的等边三角形， 所以|AC →|＝|AB →|＝1，∠BAC ＝60°，所以BC →·AF →＝34－18－12＝18.(2)方法一 以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (t,0)，t ∈[0,1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1. 因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1， 故DE →·DC →的最大值为1. 方法二 由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，∴DE →·CB →＝|CB →|·1＝1， 当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大，即为DC ＝1， ∴(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1.思维升华 平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(3)利用数量积的几何意义求解．(1)(2016·全国丙卷)已知向量BA →＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°(2)(2015·天津)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF →的值为________．答案 (1)A (2)2918解析 (1)∵|BA →|＝1，|BC →|＝1， cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝32，又∵0°≤∠ABC ≤180°，∴∠ABC ＝30°.(2)在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1， ∠ABC ＝60°，∴CD ＝1，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋16DC →，∴AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋23BC →·⎝⎛⎭⎫AD →＋16DC →＝AB →·AD →＋AB →·16DC →＋23BC →·AD →＋23BC →·16DC →＝2×1×cos 60°＋2×16＋23×12×cos 60°＋23×16×12×cos 120°＝2918.题型二 平面向量数量积的应用 命题点1 求向量的模例2 (1)(2016·宁波模拟)已知平面向量a ，b 的夹角为π6，且|a|＝3，|b |＝2，在△ABC 中，AB→＝2a ＋2b ，AC →＝2a －6b ，D 为BC 的中点，则|AD →|＝________.(2)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________． 答案 (1)2 (2)7＋1 解析 (1)因为AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(2a ＋2b ＋2a －6b ) ＝2a －2b ，所以|AD →|2＝4(a －b )2＝4(a 2－2b·a ＋b 2) ＝4×(3－2×2×3×cos π6＋4)＝4，所以|AD →|＝2.(2)设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1，知(x －3)2＋y 2＝1，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆．又OA →＋OB →＋OD →＝(－1,0)＋(0，3)＋(x ，y )＝(x －1，y ＋3)，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝(x －1)2＋(y ＋3)2.问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值． ∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为(3－1)2＋(0＋3)2＝7，故(x －1)2＋(y ＋3)2的最大值为7＋1. 即|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是7＋1.命题点2 求向量的夹角例3 (1)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.(2)若向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________________．答案 (1)223 (2)⎝⎛⎭⎫－∞，－92∪⎝⎛⎭⎫－92，3 解析 (1)因为a 2＝(3e 1－2e 2)2 ＝9－2×3×2×12×cos α＋4＝9， 所以|a |＝3，因为b 2＝(3e 1－e 2)2＝9－2×3×1×12×cos α＋1＝8， 所以|b |＝22，又a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22＝9－9×1×1×13＋2＝8， 所以cos β＝a ·b |a ||b |＝83×22＝223.(2)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角， ∴(2a －3b )·c ＜0， 即(2k －3，－6)·(2,1)＜0， ∴4k －6－6＜0， ∴k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92.当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向．综上，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－92∪⎝⎛⎭⎫－92，3. 思维升华 平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos θ＝a·b|a||b |，要注意θ∈[0，π]． (2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有①a 2＝a·a ＝|a |2或|a |＝a·a .②|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a·b ＋b 2.③若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.(1)(2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________.(2)(2016·绍兴二模)已知单位向量a 和b 满足|a ＋b |＝2|a －b |，则a 与b 夹角的余弦值为( ) A ．－13B ．－23C.13D.23(3)在△ABC 中，若A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是( ) A. 2 B ．2 C. 6D ．6答案 (1)9 (2)C (3)C解析 (1)因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0.所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·AB →＝|OA →|2＋0＝32＝9.(2)由|a |＝|b |＝1，|a ＋b |＝2|a －b |， 得2＋2a·b ＝2(1－2a·b ＋1)， 即a·b ＝13，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝13.(3)∵AB →·AC →＝－1， ∴|AB →|·|AC →|·cos 120°＝－1， 即|AB →|·|AC →|＝2，∴|BC →|2＝|AC →－AB →|2＝AC →2－2AB →·AC →＋AB →2 ≥2|AB →|·|AC →|－2AB →·AC →＝6， ∴|BC →|min ＝ 6.题型三 平面向量与三角函数例4 (2015·广东)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解 (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n . 所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0，所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1. (2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12， 所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12， 因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．(1)已知O 为坐标原点，向量OA →＝(3sin α，cos α)，OB →＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且OA →⊥OB →，则tan α的值为( ) A ．－43B ．－45C.45D.34(2)已知向量a ＝(－12，32)，OA →＝a －b ，OB →＝a ＋b ，若△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB 的面积为________． 答案 (1)A (2)1解析 (1)由题意知6sin 2α＋cos α·(5sin α－4cos α)＝0，即6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0，上述等式两边同时除以cos 2α，得6tan 2α＋5tan α－4＝0，由于α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， 则tan α＜0，解得tan α＝－43，故选A.(2)由题意得，|a |＝1，又△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，所以OA →⊥OB →，|OA →|＝|OB →|.由OA →⊥OB →得(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2＝0，所以|a |＝|b |， 由|OA →|＝|OB →|得|a －b |＝|a ＋b |，所以a·b ＝0. 所以|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＝2，所以|OB →|＝|OA →|＝2，故S △OAB ＝12×2×2＝1.5．利用数量积求向量夹角典例 已知直线y ＝2x 上一点P 的横坐标为a ，直线外有两个点A (－1,1)，B (3,3)．求使向量P A →与PB →夹角为钝角的充要条件． 错解展示现场纠错解 错解中，cos θ<0包含了θ＝π， 即P A →，PB →反向的情况，此时a ＝1，故P A →，PB →夹角为钝角的充要条件是0<a <2且a ≠1.纠错心得 利用数量积的符号判断两向量夹角的范围时，不要忽视两向量共线的情况．1．(2016·北师大附中模拟)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( ) A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0答案 D2．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a ＋b |等于( )A ．22＋ 3B ．2 3C ．4D ．12答案 B解析 |a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos 60°＝4＋4＋2×2×2×12＝12，|a ＋b |＝2 3.3．(2016·山西四校联考)已知平面向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 夹角的正弦值为( ) A ．－12 B ．－32 C.12 D.32答案 D解析 ∵a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝22＋2×1×cos 〈a ，b 〉＝4＋2cos 〈a ，b 〉＝3， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴sin 〈a ，b 〉＝1－cos 2〈a ，b 〉＝32. 4. 在△ABC 中，如图，若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 边的三等分点，则AE →·AF →等于( )A.89B.109C.259D.269 答案 B解析 若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝AB →2＋AC →2－2AB →·AC →， 即有AB →·AC →＝0.又E ，F 为BC 边的三等分点， 则AE →·AF →＝(AC →＋CE →)·(AB →＋BF →) ＝⎝⎛⎭⎫AC →＋13CB →·⎝⎛⎭⎫AB →＋13BC → ＝⎝⎛⎭⎫23AC →＋13AB →·⎝⎛⎭⎫13AC →＋23AB → ＝29AC →2＋29AB →2＋59AB →·AC → ＝29×(1＋4)＋0＝109.故选B. 5．(2016·驻马店质检)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形答案 C解析 因为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0， 即CB →·(AB →＋AC →)＝0，因为AB →－AC →＝CB →， 所以(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|， 所以△ABC 是等腰三角形，故选C.*6.若△ABC 外接圆的圆心为O ，半径为4，OA →＋2AB →＋2AC →＝0，则CA →在CB →方向上的投影为( ) A ．4 B.15 C.7 D ．1答案 C解析 如图所示，取BC 的中点D ，连接AD ，OD ，则由平面向量的加法的几何意义得 AB →＋AC →＝2AD →. 又由条件得，AB →＋AC →＝－12OA →＝12AO →，所以2AD →＝12AO →，即4AD →＝AO →，所以A ，O ，D 共线．所以OA ⊥BC ，所以CD 为CA →在CB →方向上的投影． 因为|AO →|＝|CO →|＝4，所以|OD →|＝3， 所以|CD →|＝|OC →|2－|OD →|2＝7.7．(2016·绍兴柯桥区二模)已知平行四边形ABCD 中，AC ＝3，BD ＝2，则AB →·AD →＝________. 答案 54解析 ▱ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，DB →＝AB →－AD →， ∴|AB →＋AD →|＝3，|AB →－AD →|＝2， ∴(AB →＋AD →)2－(AB →－AD →)2＝5， ∴AB →·AD →＝54.8．在△ABC 中，AB →·BC →＝3，△ABC 的面积S ∈[32，32]，则AB →与BC →夹角的取值范围是________．答案 [π6，π4]解析 由三角形面积公式及已知条件知 32≤S △ABC ＝12AB ·BC sin B ≤32， 所以3≤AB ·BC sin B ≤3，①由AB →·BC →＝3，知AB ·BC cos(π－B )＝3， 所以AB ·BC ＝－3cos B ，代入①得，3≤－3sin Bcos B≤3，所以－1≤tan B ≤－33，所以3π4≤B ≤5π6， 而AB →与BC →的夹角为π－B ，其取值范围为[π6，π4]．9．(2017·临安中学调研)已知在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，点P 是斜边AB 上的中点，则CP →·CB →＋CP →·CA →＝________. 答案 4解析 由题意可建立如图所示的坐标系，可得A (2,0)，B (0,2)，P (1,1)，C (0，0)，则CP →·CB →＋CP →·CA →＝CP →·(CB →＋CA →)＝2CP →2＝4.10．(2015·杭州模拟)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于________．答案 13解析 建立如图所示坐标系，则B ⎝⎛⎭⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝⎛⎭⎫1t ，0， AC →＝(0，t )，AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝⎛⎭⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1,4)，∴P (1,4)，PB →·PC →＝⎝⎛⎭⎫1t －1，－4·(－1，t －4) ＝17－⎝⎛⎭⎫1t ＋4t ≤17－21t·4t ＝13. 11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影．解 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0＜A ＜π， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a ＞b ，所以A ＞B ，则B ＝π4.由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35， 解得c ＝1，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22. 12．(2017·杭州高三第一次质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c .若A ＝π6，(1＋3)c ＝2b . (1)求C ；(2)若CB →·CA →＝1＋3，求a ，b ，c .解 (1)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝c sin C ， 得(1＋3)sin C ＝2sin B ，又因为2sin B ＝2sin(5π6－C )＝cos C ＋3sin C ， 所以sin C ＝cos C ，又C ∈(0，56π)，所以C ＝π4. (2)因为CB →·CA →＝22ab ，所以ab ＝2(1＋3)． 由正弦定理得2a ＝c ，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c 2＝a 2＋b 2－2ab ＝12c 2＋(1＋3)24c 2－2(1＋3) ＝3＋32c 2－2(1＋3)， 解得c ＝2，所以a ＝2，b ＝1＋ 3.*13.(2016·萧山中学模拟)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1,2)，又点A (8,0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )(0≤θ≤π2)．(1)若AB →⊥a ，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →；(2)若向量AC →与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求OA →·OC →.解 (1)由题设知AB →＝(n －8，t )，∵AB →⊥a ，∴8－n ＋2t ＝0.又∵5|OA →|＝|AB →|，∴5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，得t ＝±8.当t ＝8时，n ＝24；当t ＝－8时，n ＝－8，∴OB →＝(24,8)或OB →＝(－8，－8)．(2)由题设知AC →＝(k sin θ－8，t )，∵AC →与a 共线，∴t ＝－2k sin θ＋16，t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k (sin θ－4k )2＋32k. ∵k >4，∴0<4k<1， ∴当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k. 由32k＝4，得k ＝8， 此时θ＝π6，OC →＝(4,8)， ∴OA →·OC →＝(8,0)·(4,8)＝32.。
2018年高考数学浙江专用一轮复习练习：第4章 平面向量
第3讲 平面向量的数量积及应用举例1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角． (2)范围：设θ是向量a 与b 的夹角，则0°≤θ≤180°.(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a 与b 同向；若θ＝180°，则a 与b 反向；若θ＝90°，则a 与b 垂直．2．平面向量的数量积3．向量数量积的运算律 (1)a·b ＝b·a ； (2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ1．辨明三个易误点(1)①0与实数0的区别：0a ＝0≠0，a ＋(－a )＝0≠0，a ·0＝0≠0；②0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系． (2)a·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a·b ＝0时，有可能a ⊥b . (3)a·b ＝a·c (a ≠0)不能推出b ＝c ，即消去律不成立． 2．有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a 与b 的夹角为锐角，则有a·b >0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)； (2)两个向量a 与b 的夹角为钝角，则有a·b <0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．1．(2015·高考福建卷)设a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( )A ．－32B ．－53C.53D.32解析：选A.c ＝a ＋k b ＝(1＋k ，2＋k )，又b ⊥c ，所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0，解得k ＝－32.2．(2015·高考全国卷Ⅱ)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0C ．1D ．2解析：选C.法一：因为 a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，所以a 2＝2，a ·b ＝－3，从而(2a ＋b )·a＝2a 2＋a ·b ＝4－3＝1.法二：因为 a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)， 所以2a ＋b ＝(2，－2)＋(－1，2)＝(1，0)， 从而(2a ＋b )·a ＝(1，0)·(1，－1)＝1，故选C.3．已知向量a ，b 和实数λ，则下列选项中错误的是( ) A ．|a |＝a ·a B ．|a ·b |＝|a |·|b | C ．λ(a ·b )＝λa ·b D ．|a ·b |≤|a |·|b |解析：选B.|a ·b |＝|a ||b ||cos θ|，只有a 与b 共线时，才有|a ·b |＝|a ||b |，可知选项B 是错误的．4．(2016·太原模拟)已知向量a ，b 满足(2a －b )·(a ＋b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为________． 解析：因为(2a －b )·(a ＋b )＝6，所以2a 2＋a·b －b 2＝6，又|a |＝2，|b|＝1，所以a·b ＝－1，所以cos 〈a ，b 〉＝a·b|a|·|b |＝－12，所以a 与b 的夹角为2π3.答案：2π35．(必修4 P104例1改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________．解析：由数量积的定义知，b 在a 方向上的投影为|b |cos θ＝4×cos 120°＝－2. 答案：－2考点一 平面向量数量积的运算[学生用书P86](1)已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________． (2)(2015·高考天津卷)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF →的值为________．[解析] (1)b 1·b 2＝(e 1－2e 2)·(3e 1＋4e 2)＝3e 21－2e 1·e 2－8e 22＝3－2×1×1×cos π3－8＝－6.(2)法一：取BA →，BC →为一组基底，则AE →＝BE →－BA →＝23BC →－BA →，AF →＝AB →＋BC →＋CF →＝－BA →＋BC →＋512BA →＝－712BA →＋BC →，所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫23BC →－BA →·⎝⎛⎭⎫－712BA →＋BC → ＝712||BA →2－2518BA →·BC →＋23||BC →2 ＝712×4－2518×2×1×12＋23 ＝2918. 法二：以AB 所在直线为x 轴，A 为原点建立如图所示的坐标系，由于AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，所以CD ＝1，等腰梯形ABCD 的高为32，所以A (0，0)，B (2，0)，D ⎝⎛⎭⎫12，32，C ⎝⎛⎭⎫32，32，所以BC →＝⎝⎛⎭⎫－12，32，DC →＝(1，0)，又因为BE →＝23BC →，DF →＝16DC →，所以E ⎝⎛⎭⎫53，33，F ⎝⎛⎭⎫23，32，因此AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫53，33·⎝⎛⎭⎫23，32＝53×23＋33×32＝109＋12＝2918. [答案] (1)－6 (2)2918若本例(2)条件变为“BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →”，其他条件不变，求AE →·AF →的最小值．解：由本例(2)法二知：因为 BE →＝λBC →＝⎝⎛⎭⎫－12λ，32λ，所以E ⎝⎛⎭⎫2－12λ，32λ.因为 DF →＝19λDC →＝⎝⎛⎭⎫19λ，0，所以F ⎝⎛⎭⎫12＋19λ，32.所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫2－12λ，32λ·⎝⎛⎭⎫12＋19λ，32＝⎝⎛⎭⎫2－12λ⎝⎛⎭⎫12＋19λ＋34λ＝1718＋29λ＋12λ ≥1718＋2 29λ·12λ＝2918.当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时取等号，符合题意．所以AE →·AF →的最小值为2918.向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解.1.(1)(2015·高考四川卷)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4.若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( ) A ．20 B ．15 C ．9 D ．6(2)(2016·嘉兴检测)如图，圆O 的内接△ABC 中，M 是BC 的中点，AC ＝3.若AO →·AM →＝4，则AB ＝________．解析：(1)法一：如图所示，由题设知：AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋34AD →，NM →＝13AB →－14AD →，所以AM →·NM →＝(AB →＋34AD →)·(13AB →－14AD →)＝13|AB →|2－316|AD →|2＋14AB →·AD →－14AB →·AD → ＝13×36－316×16＝9. 法二：(特殊法)若四边形ABCD 为矩形，建立如图所示坐标系，则A (0，0)，B (6，0)，C (6，4)，D (0，4)，M (6，3)，N (4，4)．所以AM →＝(6，3)，NM →＝(2，－1)，AM →·NM →＝12－3＝9.(2)因为O 是△ABC 的外心，所以O 在AB ，AC 边上的射影分别是AB ，AC 的中点，所以AO →·AB →＝12|AB →|2，AO →·AC →＝12|AC →|2＝92，所以AO →·AM →＝AO →·12(AB →＋AC →)＝14|AB →|2＋94＝4，解得AB ＝7.答案：(1)C (2)7考点二 平面向量的夹角与模(高频考点)[学生用书P86]平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题．高考对平面向量的夹角与模的考查常有以下四个命题角度： (1)求两向量的夹角； (2)求向量的模； (3)两向量垂直问题； (4)求参数值或范围．(1)(2015·高考重庆卷)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.3π4D ．π (2)(2015·高考浙江卷)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________．[解析] (1)由(a －b )⊥(3a ＋2b )得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a ·b －2b 2＝0.又因为 |a |＝223|b |，设〈a ，b 〉＝θ，即3|a |2－|a |·|b |·cos θ－2|b |2＝0，所以83|b |2－223|b |2·cos θ－2|b |2＝0.所以cos θ＝22.又因为 0≤θ≤π，所以θ＝π4. (2)因为 e 1·e 2＝12，所以|e 1||e 2|cos 〈e 1，e 2〉＝12，所以〈e 1，e 2〉＝60°.又因为 b ·e 1＝b ·e 2＝1>0，所以〈b ，e 1〉＝〈b ，e 2〉＝30°.由b ·e 1＝1，得|b ||e 1|cos 30°＝1，所以|b |＝132＝233.[答案] (1)A (2)233(1)利用数量积求解长度的方法 ①|a |2＝a 2＝a ·a ；②|a ±b |2＝a 2±2a ·b ＋b 2；③若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2. (2)求两个非零向量的夹角时要注意 ①向量的数量积不满足结合律；②数量积大于0说明不共线的两个向量的夹角为锐角；数量积等于0说明两个向量的夹角为直角；数量积小于0且两个向量不共线时两个向量的夹角就是钝角．2.(1)(2014·高考重庆卷)已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3 D.152(2)(2016·杭州萧山中学高三模拟)已知非零向量e 1，e 2不共线，且|e 1|＝|e 2|，则以下四个向量中，模最小的为( ) A.12e 1＋12e 2 B.13e 1＋23e 2 C.25e 1＋35e 2 D.14e 1＋34e 2 (3)(2016·北京海淀区质检)已知△ABC 是正三角形，若AC →－λAB →与向量AC →的夹角大于90°，则实数λ的取值范围是________．解析：(1)因为a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，所以2a －3b ＝2(k ，3)－3(1，4)＝(2k －3，－6)． 因为(2a －3b )⊥c ， 所以(2a －3b )·c ＝(2k －3，－6)·(2，1)＝2(2k －3)－6＝0，解得k ＝3.(2)e 1，e 2为不共线的非零向量，且|e 1|＝|e 2|，因此设e 1，e 2为单位向量，夹角为π2，则⎪⎪⎪⎪12e 1＋12e 2＝ 12，⎪⎪⎪⎪13e 1＋23e 2 ＝ 59，⎪⎪⎪⎪25e 1＋35e 2＝ 1325，⎪⎪⎪⎪14e 1＋34e 2＝ 58，因此四个向量中模最小的为 12，故选A.(3)因为AC →－λAB →与向量AC →的夹角大于90°，所以(AC →－λAB →)·AC →<0， 即|AC →|2－λ|AC →|·|AB →|cos 60°<0， 解得λ>2.答案：(1)C (2)A (3)(2，＋∞)考点三 向量数量积的综合应用[学生用书P87](2015·高考广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．[解] (1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0.由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0，所以tan x ＝1.(2)因为 m 与n 的夹角为π3，所以m ·n ＝|m |·|n |cos π3，即22sin x －22cos x ＝12， 所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12.又因为 x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.平面向量与三角函数的综合问题(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．3.(2016·广州海珠区摸底考试)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影．解：(1)由m·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝45.(2)由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，则B＝π4，由余弦定理得()422＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35，解得c ＝1. 故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.交汇创新——平面向量与不等式的交汇(2015·高考福建卷)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t，|AC →|＝t .若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( )A ．13B ．15C ．19D ．21 [解析]以点A 为原点，AB →，AC →所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图．则A (0，0)，B ⎝⎛⎭⎫1t ，0，C (0，t )，所以AB →|AB →|＝(1，0)，AC →|AC →|＝(0，1)，所以AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|＝(1，0)＋4(0，1)＝(1，4)，所以点P 的坐标为(1，4)，PB →＝⎝⎛⎭⎫1t －1，－4，PC →＝(－1，t －4)，所以PB →·PC →＝1－1t －4t ＋16＝－⎝⎛⎭⎫1t ＋4t ＋17≤－4＋17＝13.当且仅当1t＝4t ， 即t ＝12时取“＝”，所以PB →·PC →的最大值为13. [答案] A求平面向量数量积的最值(或取值范围)的常用方法有两种：一是“定义法”，即利用平面向量数量积的定义，把两个向量的数量积转化为关于参数的函数，再利用基本不等式或函数的单调性等求其最值(或取值范围)；二是“坐标法”，即把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋予具体的坐标，利用平面向量数量积的坐标表示，结合解析几何的思想方法求其最值(或取值范围)．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，若OA →＝(x ，1)，OB →＝(2，y )，且OA →·OB →的最大值是最小值的8倍，则实数a 的值是( ) A ．1 B.13 C.14D.18解析：选D.因为OA →＝(x ，1)，OB →＝(2，y )，所以OA →·OB →＝2x ＋y ，令z ＝2x ＋y ，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，观察图象可知，当目标函数z ＝2x ＋y 过点C (1，1)时，z max ＝2×1＋1＝3，目标函数z ＝2x ＋y 过点F (a ，a )时，z min ＝2a ＋a ＝3a ，所以3＝8×3a ，解得a ＝18.1．已知A ，B ，C 为平面上不共线的三点，若向量AB →＝(1，1)，n ＝(1，－1)，且n ·AC →＝2，则n ·BC →等于( )A ．－2B ．2C ．0D ．2或－2解析：选B.n ·BC →＝n ·(BA →＋AC →)＝n ·BA →＋n ·AC →＝(1，－1)·(－1，－1)＋2＝0＋2＝2.2．(2015·高考山东卷)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝( )A ．－32a 2B ．－34a 2C.34a 2D.32a 2 解析：选D.由已知条件得BD →·CD →＝BD →·BA →＝3a ·a cos 30°＝32a 2，故选D.3．(2016·宁波效实中学模拟)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(3，－6)，若向量c 满足c 与b 的夹角为120°，c ·(4a ＋b )＝5，则|c |＝( ) A ．1 B. 5 C ．2 D ．2 5 解析：选D.设c ＝(x ，y )，则c ·(4a ＋b )＝(x ，y )·(－1×4＋3，2×4－6)＝－x ＋2y ＝5.cos 〈c ，b 〉＝c·b |c|·|b |＝（x ，y ）·（3，－6）|c |·32＋（－6）2＝cos 120°＝－12，整理得2(2y －x )＝5|c |，即10＝5|c |，解得|c |＝25，故选D. 4．(2016·台州模拟)设a 、b 为向量，则 “a ·b >0”是“a ，b 的夹角是锐角”的________条件．( )A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要 解析：选B.若“a ·b >0，则cos 〈a ，b 〉>0，即向量a ，b 的夹角为锐角或0°；而向量a ，b 的夹角为锐角，则a ·b >0.所以“a ·b >0”是“a ，b 的夹角是锐角”的必要不充分条件．故选B.5．已知AB →，AC →是非零向量，且满足(AB →－2AC →)⊥AB →，(AC →－2AB →)⊥AC →，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选C.因为(AB →－2AC →)⊥AB →⇒(AB →－2AC →)·AB →＝0，即AB →·AB →－2AC →·AB →＝0. (AC →－2AB →)⊥AC →⇒(AC →－2AB →)·AC →＝0，即AC →·AC →－2AB →·AC →＝0，所以AB →·AB →＝AC →·AC →＝2AB →·AC →，即|AB →|＝|AC →|，而cos A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，所以∠A ＝60°，所以△ABC 为等边三角形． 6．(2016·浙江省名校联考)称d (a ，b )＝||a －b 为两个向量a ，b 间的“距离”，若向量a ，b 满足：(1)|b |＝1；(2)a ≠b ；(3)对任意的t ∈R ，恒有d ()a ，t b ≥d (a ，b )，则( ) A ．a ⊥b B ．b ⊥()a －b C ．a ⊥(a －b ) D ．(a ＋b )⊥(a －b )解析：选B.d (a ，t b )≥d (a ，b )即|a －t b |≥|a －b |⇔|a －t b |2≥|a －b |2，a 2＋t 2b 2－2t a ·b ≥a 2＋b 2－2a ·b ，因为|b |＝1，所以上式整理可得t 2－2t a ·b －1＋2a ·b ≥0.d (a ，t b )≥d (a ，b )恒成立即t 2－2t a ·b －1＋2a ·b ≥0恒成立．所以Δ＝(－2a ·b )2－4(－1＋2a ·b )≤0⇒(a ·b －1)2≤0，所以a ·b ＝1.b ·(a －b )＝a ·b －b 2＝1－1＝0，所以b ⊥(a －b )．7．(2016·云南省第一次统一检测)已知平面向量a 与b 的夹角等于2π3，如果|a |＝2，|b |＝3，那么|2a －3b |等于________．解析：|2a －3b |2＝(2a －3b )2＝4a 2－12a·b ＋9b 2＝4×22－12×2×3×cos 2π3＋9×32＝133，所以|2a －3b |＝133. 答案：133 8．(2016·唐山一模)已知向量a ＝(－1，3)，b ＝(1，t )，若(a －2b )⊥a ，则|b |＝________． 解析：因为a ＝(－1，3)，b ＝(1，t )，所以a －2b ＝(－3，3－2t )．因为(a －2b )⊥a ，所以(a －2b )·a ＝0，即(－1)×(－3)＋3(3－2t )＝0，即t ＝2，所以b ＝(1，2)，所以|b |＝12＋22＝ 5. 答案： 59．(2016·山西省第一次四校联考)已知圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若AB →＋AC →＝2AO →，且|OA →|＝|AC →|，则向量BA →在向量BC →方向上的投影为________．解析：因为AB →＋AC →＝2AO →，所以O 是BC 的中点，故△ABC 为直角三角形．在△AOC 中，有|OA →|＝|AC →|，所以∠B ＝30°.由定义知，向量BA →在向量BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝23×32＝3. 答案：310．(2015·高考安徽卷)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →；⑤(4a ＋b )⊥BC →.解析：因为AB →2＝4|a |2＝4，所以|a |＝1，故①正确；因为BC →＝AC →－AB →＝(2a ＋b )－2a ＝b ，又△ABC 为等边三角形，所以|BC →|＝|b |＝2，故②错误；因为b ＝AC →－AB →，所以a ·b ＝12AB →·(AC →－AB →)＝12×2×2×cos 60°－12×2×2＝－1≠0，故③错误；因为BC →＝b ，故④正确；因为(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝AC →2－AB →2＝4－4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC →，故⑤正确． 答案：①④⑤11．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )?解：由已知得，a·b ＝4×8×⎝⎛⎭⎫－12＝－16. (1)①因为|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－16)＋64＝48，所以|a ＋b |＝4 3.②因为|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768. 所以|4a －2b |＝16 3.(2)因为(a ＋2b )⊥(k a －b )， 所以(a ＋2b )·(k a －b )＝0， k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0.所以k ＝－7. 即k ＝－7时，a ＋2b 与k a －b 垂直． 12．(2016·南通检测)设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中0＜β＜α＜π. (1)若a ⊥b ，求|a ＋3b |的值；(2)设向量c ＝(0，3)，且a ＋b ＝c ，求α，β的值． 解：(1)因为a ＝(cos α，sin α)， b ＝(cos β，sin β)， 所以|a |＝1，|b |＝1. 因为a ⊥b ，所以a·b ＝0.于是|a ＋3b |2＝a 2＋3b 2＋23a·b ＝4. 故|a ＋3b |＝2.(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0，3)，所以⎩⎨⎧cos α＋cos β＝0，①sin α＋sin β＝ 3.②由①式得cos α＝cos(π－β)， 由0＜β＜π， 得0＜π－β＜π又0＜α＜π，故α＝π－β.代入②式，得sin α＝sin β＝32.而0＜β＜α＜π，所以α＝2π3，β＝π3.1．(2016·杭州严州中学第一次模拟)已知向量a ，b 满足：|a |＝13，|b |＝1，|a －5b |≤12，则b 在a 上的投影长度的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，113B.⎣⎡⎦⎤0，513C.⎣⎡⎦⎤113，1D.⎣⎡⎦⎤513，1 解析：选D.设向量a ，b 的夹角为θ， 因为|a |＝13，|b | ＝1，所以|a －5b |＝（a －5b ）2＝a 2－10a ·b ＋25b 2 ＝194－10a ·b ≤12， 所以a ·b ≥5，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝a ·b 13≥513，所以513≤cos θ≤1，所以b 在a 上的投影|b |cos θ＝cos θ∈⎣⎡⎦⎤513，1， 故选D.2．定义一种向量运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a·b ，当a ，b 不共线时，|a －b |，当a ，b 共线时 (a ，b 是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a ，b ，c ，e ，给出下列结论：①a ⊗b ＝b ⊗a ；②λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b (λ∈R )；③(a ＋b )⊗c ＝a ⊗c ＋b ⊗c ；④若e 是单位向量，则|a ⊗e |≤|a |＋1.以上结论一定正确的是________．(填上所有正确结论的序号)解析：当a ，b 共线时，a ⊗b ＝|a －b |＝|b －a |＝b ⊗a ，当a ，b 不共线时，a ⊗b ＝a·b ＝b ·a ＝b ⊗a ，故①是正确的；当λ＝0，b ≠0时，λ(a ⊗b )＝0，(λa )⊗b ＝|0－b |≠0，故②是错误的；当a ＋b 与c 共线时，则存在a ，b 与c 不共线，(a ＋b )⊗c ＝|a ＋b －c |，a ⊗c ＋b ⊗c ＝a·c ＋b·c ，显然|a ＋b －c |≠a·c ＋b·c ，故③是错误的；当e 与a 不共线时，|a ⊗e |＝|a·e|＜|a|·|e |＜|a |＋1，当e 与a 共线时，设a ＝u e ，u ∈R ，|a ⊗e |＝|a －e |＝|u e －e |＝|u －1|≤|u |＋1，故④是正确的．综上，结论一定正确的是①④.答案：①④3．(2016·安康模拟)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (0，2)、B (4，1)、C (－6，9)．(1)若AD 是BC 边上的高，求向量AD →的坐标；(2)若点E 在x 轴上，使△BCE 为钝角三角形，且∠BEC 为钝角，求点E 横坐标的取值范围．解：(1)设D (x ，y )，则AD →＝(x ，y －2)，BD →＝(x －4，y －1)，由题意知AD ⊥BC ，则AD →·BC →＝0，即－10x ＋8(y －2)＝0，即5x －4y ＋8＝0，①由BD →∥BC →，得8(x －4)＝－10(y －1)，即4x ＋5y －21＝0，②联立①②解得x ＝4441，y ＝13741，则AD →＝⎝⎛⎭⎫4441，5541. (2)设E (a ，0)则EB →＝(4－a ，1)，EC →＝(－6－a ，9)，由∠BEC 为钝角，得(4－a )·(－6－a )＋9＜0，解得－5＜a ＜3，由EB →与EC →不能共线，得9(4－a )≠－6－a ，解得a ≠214. 故点E 的横坐标的取值范围为(－5，3)．4．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1，0)．(1)求向量b ＋c 的长度的最大值；(2)设α＝π4，且a ⊥(b ＋c )，求cos β的值． 解：(1)法一：b ＋c ＝(cos β－1，sin β)，则|b ＋c |2＝(cos β－1)2＋sin 2β＝2(1－cos β)．因为－1≤cos β≤1，所以0≤|b ＋c |2≤4，即0≤|b ＋c |≤2.当cos β＝－1时，有|b ＋c |＝2，所以向量b ＋c 的长度的最大值为2.法二：因为|b |＝1，|c |＝1，|b ＋c |≤|b |＋|c |＝2.当cos β＝－1时，有b ＋c ＝(－2，0)，即|b ＋c |＝2，所以向量b ＋c 的长度的最大值为2.(2)法一：由已知可得b ＋c ＝(cos β－1，sin β)，a ·(b ＋c )＝cos αcos β＋sin αsin β－cos α＝cos(α－β)－cos α.因为a ⊥(b ＋c )，所以a ·(b ＋c )＝0，即cos(α－β)＝cos α.由α＝π4，得cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝cos π4，即β－π4＝2k π±π4(k ∈Z )， 所以β＝2k π＋π2或β＝2k π，k ∈Z ， 于是cos β＝0或cos β＝1.法二：若α＝π4，则a ＝⎝⎛⎫22，22. 又由b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1，0)得a ·(b ＋c )＝⎝⎛⎭⎫22，22·(cos β－1，sin β)＝22cos β＋22sin β－22. 因为a ⊥(b ＋c )，所以a ·(b ＋c )＝0， 即cos β＋sin β＝1，所以sin β＝1－cos β，平方后化简得cos β(cos β－1)＝0， 解得cos β＝0或cos β＝1.经检验cos β＝0或cos β＝1即为所求．。
2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题5.3 平面向量的数量积(讲)
专题5.3 平面向量的数量积【考纲解读】内 容要 求备注A B C平面向量平面向量的数量积√1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角．5．会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．【直击考点】题组一 常识题1．已知在△ABC 中，B 是最大内角，AB →·BC →<0，则△ABC 的形状是____________． 【解析】设AB →与BC →的夹角为θ，则AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos θ<0，得cos θ <0，所以cos B ＝cos(π－θ)>0，所以B 为锐角．又B 是三角形的最大内角，所以△ABC 为锐角三角形．2．在平行四边形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝2，∠ABC ＝60°，则AB →·AD →＝________．3．已知向量a ＝(4，2)，b ＝(1，－1)，则向量b 在向量a 上的投影为______． 【解析】∵向量a ＝(4，2)，b ＝(1，－1)，∴向量b 在向量a 上的投影为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ·b |a |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4－216＋4＝55. 4．已知力F 1和F 2的合力为12 N ，F 1为24 N ，力F 2与合力F 的夹角为90°，则力F 1与F 2的夹角的大小为________．【解析】由向量加法的平行四边形法则知，α＝β＝90°，|F |＝12 N ，|F 1|＝24 N ，所以θ＝60°，所以β＋θ＝150°.题组二 常错题5．在△ABC 中，若AC →·AB→|AB →|＝1，BC →·BA→|BA →|＝2，则AB 边的长度为________．6．已知 AB →＝(2，－1)，CD →＝(3，3)，则向量AB →在CD →上的投影为________． 【解析】向量AB →在CD →上的投影为AB →·CD →|CD →|＝2×3＋（－1）×332＝22.题组三 常考题7． 已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，则∠ABC ＝________．【解析】因为cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝－32，所以∠ABC ＝150°.8．已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝1，|2a ＋b |＝7，则|b |＝________． 【解析】由|2a ＋b |＝7，两边同时平方得4a 2＋4a ·b ＋b 2＝7，即|b |2＋2|b |－3＝0，解得|b |＝1或|b |＝－3(舍去)．9． 已知向量a ＝(3，4)，b ＝(x ，1)，且(a ＋b )·b ＝|a |，则实数x ＝________．【知识清单】考点1 平面向量数量积的运算一、两个向量的夹角 1．定义已知两个非零向量a 和b ，作OA u u u r ＝a ，OB u u u r＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角．2．范围向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a 与b 同向时，夹角θ＝0°；a 与b 反向时，夹角θ＝180°.3．向量垂直如果向量a 与b 的夹角是90°，则a 与b 垂直，记作a ⊥b . 二、平面向量数量积1．已知两个非零向量a 与b ，则数量|a ||b |·cos θ叫做a 与b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，其中θ是a 与b 的夹角．规定0·a ＝0.当a ⊥b 时，θ＝90°，这时a ·b ＝0. 2．a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 三、向量数量积的性质1．如果e 是单位向量，则a ·e ＝e ·a . 2．a ⊥b ⇔a ·b ＝0. 3．a ·a ＝|a |2，|⋅a a a 4．cos θ＝||||⋅a ba b .(θ为a 与b 的夹角)5．|a ·b |≤|a ||b |. 四、数量积的运算律 1．交换律：a ·b ＝b ·a .2．分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .3．对λ∈R，λ(a ·b )＝(λa )·b ＝a ·(λb )． 五、数量积的坐标运算设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则： 1．a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2. 2．a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0. 3．|a |＝a 21＋a 22.4．cos θ＝||||⋅a b a bθ为a 与b 的夹角)考点2 向量的夹角与向量的模 1. a ·a ＝|a |2，|a 2．cos θ＝||||⋅a ba b .(θ为a 与b 的夹角)3. a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0.4.|a ·b |≤|a ||b |.考点3 向量数量积的综合应用 1. a ·a ＝|a |2，|a 2．cos θ＝||||⋅a ba b .(θ为a 与b 的夹角)3. a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0.【考点深度剖析】这部分知识是向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本最重要的位置关系，而向量的夹角、长度是向量的数量特征，是必考的重要内容之一．【重点难点突破】考点1 平面向量数量积的运算【1-1】已知||5,||3,12,a b a b ==⋅=-r r r r且则向量a r 在向量b r 上的投影等于 .【答案】4-【解析】∵=|a|||cos<,>a b b a b ⋅⋅⋅r r r r r r ，而a r 在b r 上的投影为-12|a|cos<,>===-43|b|a b a b ⋅⋅r rr r r r .【1-2】已知平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB u u u r＝(2,4)，AC u u u r ＝(1,3)，则AD u u u r ·BD u u u r＝ .【答案】8【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB u u u r ＋AD u u u r ＝AC u u u r ，∴AD u u u r ＝AC u u u r －AB u u u r＝(－1，－1)．又BD u u u r ＝AD u u u r －AB u u u r ＝(－3，－5)，∴AD u u u r ·BD u u u r＝(－1)×(－3)＋(－1)×(－5)＝8．【思想方法】1.平面向量数量积的计算方法①已知向量a ，b 的模及夹角θ，利用公式a·b ＝|a ||b|cos θ求解； ②已知向量a ，b 的坐标，利用数量积的坐标形式求解．2.对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算 【温馨提醒】平面向量的数量积计算问题，往往有有两种形式，一是利用数量积的定义式；二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平直角坐标系，可起到化繁为简的妙用.考点2 向量的夹角与向量的模【2-1】b a ,是两个向量，2,1==b a 且a b a ⊥+)(，则a 与b 的夹角为 . 【答案】ο120【解析】由a b a ⊥+)(知，()a b a +⋅r r r =2a a b +⋅r r r=0，所以2a b a ⋅=-r r r =-1，所以cos ,a b r r =||||a ba b ⋅r vr r =12-，所以a 与b 的夹角为ο120.【2-2】若同一平面内向量a r ，b r ，c r 两两所成的角相等，且1a =r ，1b =r ，3c =r，则a b c ++r r r等于 .【答案】2或5【2-3】△ABC 中,|AB |=5,|AC |=8,AB ·AC =20,则|BC |为 . 【答案】7【解析】由||=5,|AC |=8,·AC =20,1cos 2AB AC A AB AC ⋅==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，又0A π<<，3A π∴=，由余弦定理得222cos 7BC AB AC AB AC A =+-=u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r【思想方法】利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．【温馨提醒】涉及几何图形问题，灵活应用勾股定理、余弦定理等，有助于模的确定. 考点3 向量数量积的综合应用【3-1】已知O 为坐标原点，向量()3sin ,cos OA αα=u u u r，()2sin ,5sin 4cos OB ααα=-u u u r ，3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且OA OB ⊥u u u r u u u r ，则tan α值为 .【答案】43-【3-2】已知A ，B ，C 三点的坐标分别是A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，α∈3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭，若AC BC ⋅u u u r u u u r＝－1，则21tan 2sin sin 2ααα++的值为 . 【答案】－95 【解析】由AC u u u r＝(cos α－3，sin α)，BC uuu r＝(cos α，sin α－3)，得AC BC ⋅u u u r u u u r＝(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，∴sin α＋cos α＝23，∴2sin αcos α＝－59， 21tan 2sin sin 2ααα++＝2sin 1cos 2sin 2sin cos ααααα++⋅＝12sin cos αα⋅＝－95. 【3-3】已知函数()xxf x e e -=-，实数x ，y 满足22(2)(2)0f x x f y y -+-≥，若点()1,2M ，(),N x y ，则当14x ≤≤时，OM ON ⋅u u u u r u u u r的最大值为 (其中O 为坐标原点)【答案】12【思想方法】对向量与三角函数的综合问题，可通过向量的数量积运算把向量问题转化为三角问题，从而可利用三角公式求解．【温馨提醒】在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．【易错试题常警惕】(1)在求△ABC的三边所对应向量的夹角时，要注意是三角形的内角还是外角.如在等边三角形ABC中，与的夹角应为120°而不是60°.(2)在平面向量数量积的运算中，不能从a·b＝0推出a＝0或b＝0成立.实际上由a·b＝0可推出以下四种结论：①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，a⊥b.(3)实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a.在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c.(4)实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线.。
(浙江专用)新高考数学一轮复习 第五章 平面向量、复数 3 第3讲 平面向量的数量积及应用举例高效演
第3讲 平面向量的数量积及应用举例[基础题组练]1．已知A ，B ，C 为平面上不共线的三点，若向量AB →＝(1，1)，n ＝(1，－1)，且n ·AC →＝2，则n ·BC →等于( )A ．－2B ．2C ．0D ．2或－2解析：选B.n ·BC →＝n ·(BA →＋AC →)＝n ·BA →＋n ·AC →＝(1，－1)·(－1，－1)＋2＝0＋2＝2.2．(2020·某某市十校联合体期初)设正方形ABCD 的边长为1，则|AB →－BC →＋AC →|等于( )A ．0 B. 2 C ．2 D ．2 2解析：选C.正方形ABCD 的边长为1，则|AB →－BC →＋AC →|2＝|DB →＋AC →|2＝|DB →|2＋|AC →|2＋2DB →·AC →＝12＋12＋12＋12＝4，所以|AB →－BC →＋AC →|＝2，故选C.3．(2020·某某市十校联合体期初)已知平面向量a ，b ，c 满足c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，且a ·c >0，b ·c >0.( )A ．若a·b <0则x >0，y >0B ．若a·b <0则x <0，y <0C ．若a·b >0则x <0，y <0D ．若a·b >0则x >0，y >0解析：选A.由a ·c >0，b ·c >0，若a ·b <0， 可举a ＝(1，1)，b ＝(－2，1)，c ＝(0，1)， 则a ·c ＝1>0，b ·c ＝1>0，a ·b ＝－1<0， 由c ＝x a ＋y b ，即有0＝x －2y ，1＝x ＋y ， 解得x ＝23，y ＝13，则可排除B ；若a·b >0，可举a ＝(1，0)，b ＝(2，1)，c ＝(1，1)， 则a ·c ＝1>0，b ·c ＝3>0，a ·b ＝2>0，由c ＝x a ＋y b ，即有1＝x ＋2y ，1＝y ，解得x ＝－1，y ＝1， 则可排除C ，D.故选A.4．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选 C.由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0，所以2AC →·BA →＝0，所以AC →⊥AB →.所以∠A ＝90°，又因为根据条件不能得到|AB →|＝|AC →|.故选C.5．已知正方形ABCD 的边长为2，点F 是AB 的中点，点E 是对角线AC 上的动点，则DE →·FC →的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.以A 为坐标原点，AB →，AD →方向分别为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则F (1，0)，C (2，2)，D (0，2)，设E (λ，λ)(0≤λ≤2)，则DE →＝(λ，λ－2)，FC →＝(1，2)，所以DE →·FC →＝3λ－4≤2.所以DE →·FC →的最大值为2.故选B.6．(2020·某某市东阳二中高三月考)若a ，b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝λ|a ＋b |，λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1，则b 与a －b 的夹角的取值X 围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π 解析：选B.因为|a |＝|b |＝λ|a ＋b |，λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1， 不妨设|a ＋b |＝1，则|a |＝|b |＝λ.令OA →＝a ，OB →＝b ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ， 则平行四边形OACB 为菱形．故有△OAB 为等腰三角形，故有∠OAB ＝∠OBA ＝θ， 且0<θ<π2.而由题意可得，b 与a －b 的夹角， 即OB →与BA →的夹角，等于π－θ，△OAC 中，由余弦定理可得|OC |2＝1＝|OA |2＋|AC |2－2|OA |·|AC |·cos 2θ＝λ2＋λ2－2·λ·λcos 2θ，解得cos 2θ＝1－12λ2.再由33≤λ≤1，可得12≤12λ2≤32，所以－12≤cos 2θ≤12，所以π3≤2θ≤2π3，所以π6≤θ≤π3，故2π3≤π－θ≤5π6，即b 与a －b 的夹角π－θ的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6.7．(2020·某某市十校联合体期初)已知平面向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么|a －2b |＝________．解析：因为平面向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，所以a ·b ＝4·4·cos 120°＝－8，所以|a －2b |＝（a －2b ）2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝16－4·（－8）＋4·16＝112＝47.答案：478．(2020·某某一中高考适应性考试)设e 1，e 2为单位向量，其中a ＝2e 1＋e 2，b ＝e 2，且a 在b 上的投影为2，则a ·b ＝________，e 1与e 2的夹角为________．解析：设e 1，e 2的夹角为θ，因为a 在b 上的投影为2， 所以a ·b |b |＝（2e 1＋e 2）·e 2|e 2|＝2e 1·e 2＋|e 2|2＝2|e 1|·|e 2|cos θ＋1＝2，解得cos θ＝12，则θ＝π3. a ·b ＝(2e 1＋e 2)·e 2＝2e 1·e 2＋|e 2|2＝2|e 1|·|e 2|cos θ＋1＝2. 答案：2π39.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点Q 为边CD 上一个动点，CQ →＝λQD →，点P 为线段BQ (含端点)上一个动点．若λ＝1，则PA →·PD →的取值X 围为________．解析：当λ＝1时，Q 为CD 的中点． 设AB →＝m ，AD →＝n ，BP →＝μBQ →(0≤μ≤1)．易知BQ →＝－12m ＋n ，AP →＝AB →＋BP →＝m ＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12μm ＋μn ，DP →＝AP →－AD →＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12μm ＋μn －n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12μm ＋(μ－1)n ，所以PA →·PD →＝AP →·DP →＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12μm ＋μn ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12μm ＋（μ－1）n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12μ2＋4μ(μ－1)＝5μ2－8μ＋4.根据二次函数性质可知，当μ＝45时上式取得最小值45；当μ＝0时上式取得最大值4.所以PA →·PD →的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，4.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，4 10．(2020·某某市十五校联合体联考)已知坐标平面上的凸四边形ABCD 满足AC →＝(1，3)，BD →＝(－3，1)，则凸四边形ABCD 的面积为________；AB →·CD →的取值X 围是________． 解析：由AC →＝(1，3)，BD →＝(－3，1)得AC →⊥BD →，且|AC →|＝2，|BD →|＝2，所以凸四边形ABCD 的面积为12×2×2＝2；因为ABCD 为凸四边形，所以AC 与BD 交于四边形内一点，记为M ，则AB →·CD →＝(MB →－MA →)·(MD →－MC →)＝MB →·MD →＋MA →·MC →－MB →·MC →－MA →·MD →，设AM →＝λAC →，BM →＝μBD →，则λ，μ∈(0，1)，且MA →＝－λAC →，MC →＝(1－λ)AC →， MB →＝－μBD →，MD →＝(1－μ)BD →，所以AB →·CD →＝－4μ(1－μ)－4λ(1－λ)∈[－2，0)，所以有λ＝μ＝12时，AB →·CD →取到最小值－2.答案：2 [－2，0)11．已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，1，n ＝(cos x ，1)．(1)若m ∥n ，求tan x 的值；(2)若函数f (x )＝m ·n ，x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间．解：(1)由m ∥n 得，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－cos x ＝0，展开变形可得，sin x ＝3cos x ， 即tan x ＝ 3.(2)f (x )＝m ·n ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋34，由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z 得，－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z .又x ∈[0，π]，所以当x ∈[0，π]时，f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π.12．(2020·某某市东阳二中高三月考)设O 是△ABC 的三边中垂线的交点，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对应的边，已知b 2－2b ＋c 2＝0，求BC →·AO →的取值X 围．解：因为O 是△ABC 的三边中垂线的交点，故O 是三角形外接圆的圆心， 如图所示，延长AO 交外接圆于点D .因为AD 是⊙O 的直径，所以∠ACD ＝∠ABD ＝90°. 所以cos ∠CAD ＝AC AD ，cos ∠BAD ＝AB AD. 所以AO →·BC →＝12AD →·(AC →－AB →)＝12AD →·AC →－12AD →·AB → ＝12|AD →||AC →|·cos ∠CAD －12|AD →||AB →|·cos ∠BAD ＝12|AC →|2－12|AB →|2 ＝12b 2－12c 2 ＝12b 2－12(2b －b 2)(因为c 2＝2b －b 2) ＝b 2－b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122－14.因为c 2＝2b －b 2>0，解得0<b <2.令f (b )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122－14.所以当b ＝12时，f (b )取得最小值－14.又f (0)＝0，f (2)＝2. 所以－14≤f (b )<2.即AO →·BC →的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，2.[综合题组练]1．(2020·某某市高考模拟)已知平面向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝12，若向量c满足|a －b ＋c |≤1，则|c |的最大值为( )A ．1 B. 2 C.3D ．2解析：选D.由平面向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝12，可得|a|·|b |·cos 〈a ，b 〉＝1·1·cos 〈a ，b 〉＝12，由0≤〈a ，b 〉≤π，可得〈a ，b 〉＝π3，设a ＝(1，0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，c ＝(x ，y )，则|a －b ＋c |≤1，即有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ，y －32≤1，即为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322≤1，故|a －b ＋c |≤1的几何意义是在以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32为圆心，半径等于1的圆上和圆内部分，|c |的几何意义是表示向量c 的终点与原点的距离，而原点在圆上，则最大值为圆的直径，即为2.2．(2020·某某市高考模拟)记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b b ，a ＜b，已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，c ＝λa ＋μb (λ，μ≥0，且λ＋μ＝1)，则当max{c ·a ，c ·b }取最小值时，|c |＝ ( )A.255 B.223C ．1 D.52解析：选A.如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，则a ＝(1，0)，b ＝(0，2)，因为λ，μ≥0，λ＋μ＝1，所以0≤λ≤1.又c ＝λa ＋μb ，所以c ·a ＝(λa ＋b －λb )·a ＝λ；c ·b ＝(λa ＋b －λb )·b ＝4－4λ.由λ＝4－4λ，得λ＝45.所以max{c ·a ，c ·b }＝⎩⎪⎨⎪⎧λ，45≤λ≤14－4λ，0≤λ＜45.令f (λ)＝⎩⎪⎨⎪⎧λ，45≤λ≤14－4λ，0≤λ＜45.则f (λ)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，1.所以f (λ)min ＝45，此时λ＝45，μ＝15，所以c ＝45a ＋15b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，25. 所以|c |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝255.故选A.3．(2020·瑞安市龙翔高中高三月考)向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈(0，π)，①若m ∥n ，则tan x ＝________；②若m 与n 的夹角为π3，则x ＝________．解析：m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈(0，π)，①由m ∥n ，得22cos x ＋22sin x ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝0，因为0<x <π，所以π4<x ＋π4<5π4，则x ＋π4＝π，x ＝34π.所以tan x ＝－1.②由m 与n 的夹角为π3，得cos π3＝22sin x －22cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222·sin 2x ＋cos 2x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝12，因为0<x <π，所以－π4<x －π4<3π4，则x －π4＝π6，x ＝5π12.答案：①－1 ②5π124．(2020·某某市余姚中学高三期中)已知向量OA →，OB →的夹角为60°，|OA →|＝2，|OB →|＝23，OP →＝λOA →＋μOB →.若λ＋3μ＝2，则|OP →|的最小值是________，此时OP →，OA →夹角的大小为________．解析：向量OA →，OB →的夹角为60°，|OA →|＝2，|OB →|＝23，即有OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos 60°＝2×23×12＝23，若λ＋3μ＝2，可得λ＝2－3μ，则|OP →|＝|λOA →＋μOB →| ＝λ2OA →2＋μ2OB →2＋2λμOA →·OB →＝4λ2＋12μ2＋43λμ＝4（λ＋3μ）2－43λμ ＝16－43（2－3μ）μ＝12⎝⎛⎭⎪⎫μ－332＋12≥23，当μ＝33，λ＝1时，|OP →|的最小值为2 3. 由OP →＝OA →＋33OB →，可得OP →·OA →＝OA →2＋33OA →·OB →＝4＋33·23＝6，则cos 〈OP →，OA →〉＝OP →·OA →|OP →|·|OA →|＝623·2＝32，由0°≤〈OP →，OA →〉≤180°，可得〈OP →，OA →〉＝30°. 答案：2 3 30°5．(2020·某某市柯桥区高三期中检测)已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝4，|b |＝3，|c |＝2，b ·c ＝3，求(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2的最大值．解：设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，a －b 与a －c 所成夹角为θ，则(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2＝|AB |2|AC |2－|AB |2|AC |2cos 2θ＝|AB |2|AC |2sin 2θ＝|AB |2|AC |2sin 2∠CAB ＝4S 2△ABC ， 因为|b |＝3，|c |＝2，b ·c ＝3，所以b ，c 的夹角为60°， 设B (3，0)，C (1，3)，则|BC |＝7， 所以S △OBC ＝12×3×2×sin 60°＝332，设O 到BC 的距离为h ，则12·BC ·h ＝S △OBC ＝332，所以h ＝3217， 因为|a |＝4，所以A 点落在以O 为圆心，以4为半径的圆上，所以A 到BC 的距离最大值为4＋h ＝4＋3217.所以S △ABC 的最大值为12×7×⎝⎛⎭⎪⎫4＋3217＝27＋332，所以(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2的最大值为4⎝⎛⎭⎪⎫27＋3322＝(47＋33)2.6.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1，0)和点B (－1，0)，|OC →|＝1，且∠AOC ＝θ，其中O 为坐标原点．(1)若θ＝34π，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC →＋OD →|的最小值；(2)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，向量m ＝BC →，n ＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m ·n 的最小值及对应的θ值．解：(1)设D (t ，0)(0≤t ≤1)， 由题意知C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22， 所以OC →＋OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋t ，22，所以|OC →＋OD →|2＝12－2t ＋t 2＋12＝t 2－2t ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫t －222＋12，所以当t ＝22时，|OC →＋OD →|最小，为22. (2)由题意得C (cos θ，sin θ)，m ＝BC →＝(cos θ＋1，sin θ)，则m ·n ＝1－cos 2θ＋sin 2θ－2sin θcos θ＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4， 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以π4≤2θ＋π4≤5π4，所以当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4取得最大值1. 所以m ·n 的最小值为1－2，此时θ＝π8.。
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第03节 平面向量的数量积及其应用班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。
） 1.【北京卷】设a ，b 是非零向量，“a b a b ⋅=”是“//a b ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】||||cos ,a b a b a b ∙=∙<>，由已知得cos ,1a b <>=，即,0a b <>=，//a b .而当//a b 时，,a b <>还可能是π，此时||||a b a b ∙=-，故“a b a b ⋅=”是“//a b ”的充分而不必要条件，故选A. 2.【福建卷】设(1,2)a =，(1,1)b =，c a kb =+．若b c ⊥，则实数k 的值等于（ ） A ．32-B ．53-C ．53D ．32【答案】A3.【2017浙江温州模拟】已知为单位向量，，则在的投影为A. B. C. D.【答案】C 【解析】由题设可得，即，则，即，又，故，应选答案C.4. ,2,1==b a 且a b a ⊥+)(，则与的夹角为（ ） A.30 B.60 C. 120 D.150 【答案】C5.【重庆卷】已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且(23)a b c -⊥，则实数k =（ ） 9.2A -.0B .C 3 D.152【答案】C【解析】因为()(),3,1,4,a k b ==所以()2323,6a b k -=--，又因为()23a b c -⊥，所以，()230a b c -⋅=，所以，()()22360k -+-=，解得：3k =，故选C.6.【辽宁卷】设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0a b ⋅=，0b c ⋅=，则0a c ⋅=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝ 【答案】A【解析】若0a b ⋅=，0b c ⋅=，则,a b b c ⊥⊥，故//a c ，故命题p 是假命题；若//,//a b b c ，则//a c ，故命题q 是真命题，由复合命题真假判断知，p q ∨是真命题，选A ．7.【2017四川宜宾二诊】若非零向量,a b ，满足a b =， ()20a b a -⋅=，则a 与b 的夹角为 A.6π B. 3π C. 23π D. 56π【答案】B【解析】 由()2220a b a a a b -⋅=-⋅=，即22aa b ⋅=，所以由向量的夹角公式可得1cos ,22a a b a b a aa b⋅〈〉===⋅⋅，又(),0,a b π〈〉∈，所以,3a b π〈〉=，故选B.8．【2017陕西师范附属二模】已知向量()1,1a =， ()24,2a b +=，则向量,a b 的夹角的余弦值为（ ）B. 3101022 D. 22- 【答案】C9．【2017四川成都二诊】已知平面向量a ， b 夹角为3π，且1a =， 12b =，则2a b +与b 的夹角是（ ）A.6π B. 56π C. 4π D. 34π【答案】A【解析】由题意可知： 111cos 234a b π⋅=⨯⨯= ， 则： ()2113222444a b b a b b +⋅=⋅+=+⨯= ，且： ()22222443a b a ba ab b +=+=+⋅+= ，设所求向量的夹角为θ ，有： ()23cos 2a b b a b bθ+⋅==+⨯ ，则2a b +与b 的夹角是6π .本题选择A 选项.10. 设a ，b ， c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，a ⊥c ，|a |＝|c |，则||bc ⋅的值一定等于( )A ．以a ，b 为两边的三角形的面积B ．以b ，c 为两边的三角形的面积C ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积D ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积 【答案】C ．平行四边形的面积．11.【重庆卷】若非零向量a ，b 满足|a |=223|b |，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为 （ ） A 、4π B 、2πC 、34πD 、π【答案】A【解析】由题意22()(32)320a b a ba ab b -⋅+=-⋅-=，即223cos 20a a b b θ--=，所以2223(cos 2033θ⨯--=，2cos 2θ=，4πθ=，选A . 12.【2017课标II ，理12】已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小是（ ）A.2-B.32-C. 43- D.1- 【答案】B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
把答案填在题中的横线上。
）13.已知不共线的平面向量满足若向量,且,，则__________．【答案】14.【2017福建4月质检】设向量()()1,3,,3a b m ==，且,a b 的夹角为3π，则实数m =__________． 【答案】-1【解析】由题得： cos a b a b θ⋅=得13212m m +=⇒=- 15.已知,AD BE 分别是ABC ∆的中线，若1AD BE ==，且23AB AC ⋅=，则AD 与BE 的夹角为 . 【答案】0120由题设222AD AB AC BE AC AB⎧=+⎪⎨=-⎪⎩,解之得2()32(2)3AB AD BE AC AD BE ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,因23AB AC ⋅=,即42()(2)93AD BE AD BE -+=,也即22322AD BE AD BE --⋅=,故12AD BE ⋅=-,即21cos -=α,所以0120,>=<BE AD ,应填0120.16.【2017浙江台州中学10月】在ABC ∆中，16AB AC ⋅=，sin sin cos A B C =，D 线段AB 上的动点（含端点），则DA DC ⋅的取值范围是 ． 【答案】[4,0]-. 【解析】三、解答题 （本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC ∆中，点M 是边BC 的中点.若1120,2A AB AC ∠=⋅=-，求AM 的最小值. 【答案】21 【解析】试题分析：设,AB c AC b ==，由1120,2A A B A C ∠=⋅=-，即有1cos1202bc =-，得1bc =，点M 是BC的中点，则()12AM AB AC =+，()()22222112144AM AB AC AB AC c b =++⋅=+- ()()11121211444bc ≥-=⨯-=．当且仅当1b c ==取得最小值，且为14．则AM 的最小值为12． 18.已知向量(cos ,sin )a αα=，(1+cos ,sin )b ββ=-. （1）若3πα=，(0,)βπ∈，且a b ⊥，求β； （2）若=βα，求a b ⋅的取值范围. 【答案】（1）3πβ=；（2）a b ⋅的取值范围为9[,2]8-.整理得1cos()32πβ+=- 3分 ∴2233k ππβπ+=+过42,33k k z ππβπ+=+∈ 4分 ∵(0,)βπ∈∴3πβ=6分 （2）222cos cos sin cos 2cos 1a b ααααα⋅=+-=+- 8分令[]cos ,1,1t t α=∈- 2219212()48a b t t t ⋅=+-=+-9分 ∴当1t =时，max 2a b ⋅=，当14t =-时，98mina b ⋅=- 11分 ∴a b ⋅的取值范围为9[,2]8-. 12分 19.已知向量)7,1(1-=a ，)1,1(=，对任意*N n ∈都有a a n n +=+1. （1）求||n a 的最小值； （2）求正整数,m n ,使m n a a ⊥【答案】（1）|n a |的最小值为2（2）212m n =⎧⎨=⎩或320m n =⎧⎨=⎩ 122m n =⎧⎨=⎩ 203m n =⎧⎨=⎩．【解析】(1)设(),n n n a x y =,由1n a +=n a +d 得 1111n n n n x x y y ++=+⎧⎨=+⎩∴{x n }、{y n }都是公差为1的等差数列 .3分∵1a =（1，7）∴,8n n x n y n ==-, (),8n a n n =-||n a ==≥|n a |的最小值为分∴212m n =⎧⎨=⎩或320m n =⎧⎨=⎩ 122m n =⎧⎨=⎩ 203m n =⎧⎨=⎩． ..12分20.已知→→b a ,是两个单位向量．（1）若323=-→→b a ，试求→→+b a 3的值；（2）若→→b a ,的夹角为o60，试求向量→→→+=b a m 2与→→→-=a b n 2的夹角的余弦.【答案】（1）23；.（2）3212cos 14||||3m n m n θ⋅==⋅ 【解析】试题分析：（1）由题为,a b →→单位向量，且323a b →→-=，可利用向量乘法运算的性质；22a a →→=，化为向量的乘法运算，求出13a b ⋅=，进而可求得3a b →→+229||124||9a a b b ∴-⋅+=，即13a b ⋅=．22|3|9||6||91a b a a b b ∴+=+⋅+=⨯=（2222||(2)4||4||41m a b a a b b =+=+⋅+=⨯222||(2)4||4||41-4n b a b a b a =-=-⋅+=⨯223(2)(2)2||32||m n a b b a b a b a ⋅=+⋅-=+⋅-=， 32||||7m nm n ⋅=⋅。