平面直角坐标系中的面积法
在平面直角坐标系中三角形面积的求法
在平面直角坐标系中三角形面积的求法在平面直角坐标系中，三角形面积的求法是一种基本的几何计算方法。
本文将介绍两种常用的计算三角形面积的方法：海伦公式和向量法。
一、海伦公式海伦公式是一种通过三角形的三条边长来计算其面积的方法。
假设三角形的三条边长分别为a、b、c，则三角形的面积S可以通过以下公式来计算：S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))其中，s为三角形的半周长，可以通过以下公式求得：s = (a + b + c) / 2通过海伦公式，我们可以很方便地计算任意三角形的面积。
下面通过一个具体的例子来演示海伦公式的应用。
例：已知三角形的三个顶点坐标分别为A(1, 1)，B(2, 3)，C(4, 1)，求该三角形的面积。
计算三条边的长度：AB = √((2-1)^2 + (3-1)^2) = √5BC = √((4-2)^2 + (1-3)^2) = 2√2AC = √((4-1)^2 + (1-1)^2) = 3然后，计算半周长s：s = (AB + BC + AC) / 2 = (√5 + 2√2 + 3) / 2代入海伦公式求得三角形的面积：S = √(s(s-AB)(s-BC)(s-AC))将计算得到的数值代入公式，即可得到三角形的面积。
二、向量法向量法是另一种计算三角形面积的常用方法。
我们知道，三角形的面积可以通过任意两边的向量叉乘来计算。
假设三角形的两条边的向量分别为a和b，则三角形的面积S可以通过以下公式来计算：S = 1/2 * |a × b|其中，|a × b|表示向量a和向量b的叉乘的模。
通过向量法，我们可以将三角形的面积转化为向量的计算问题，进而简化计算过程。
下面通过一个具体的例子来演示向量法的应用。
例：已知三角形的三个顶点坐标分别为A(1, 1)，B(2, 3)，C(4, 1)，求该三角形的面积。
计算两条边的向量：AB = (2-1, 3-1) = (1, 2)AC = (4-1, 1-1) = (3, 0)然后，计算向量的叉乘：a ×b = AB × AC = (1 * 0 - 3 * 2) = -6代入向量法公式求得三角形的面积：S = 1/2 * |a × b| = 1/2 * |-6| = 3通过以上计算，我们可以得到三角形的面积为3。
如何求平面直角坐标系中三角形的面积
如何求平面直角坐标系中三角形的面积平面直角坐标系中的三角形，根据其位置的不同，我们可以将其分为两大类：第一类，三角形有边在坐标轴上或与一条坐标轴平行；第二类，三角形中没有边在坐标轴上或与一条坐标轴平行。
下面，我们就这两种情况来分析平面直角坐标系中三角形面积求法。
先看第一种情况：①三角形有边在坐标轴上如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(-2,0),B(4,0),C(3,4),求△ABC 的面积。
很明显，可以直接利用三角形面积公式求解：S △ABC =h AB ••21=4621⨯⨯=12②三角形的一边与一条坐标轴平行如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(-1,2),B(-1,-1),C(2,4),求△ABC 的面积。
这种情形，与①相比，只需利用顶点坐标求出底边AB 长及AB 边上的高h 的值，再代入三角形面积公式求解即可：S △ABC =h AB ••21=293321=⨯⨯以上①与②是坐标系中求三角形面积问题的基础。
位置无此特殊性的三角形可转化为该情况后再求解。
再看第二种情况：三角形中没有边在坐标轴上或与一条坐标轴平行。
例1：已知△ABC 三个顶点的坐标分别为：A(1,2)，B(4,6)，C(2,21)，求这个三角形的面积。
分析：如果用三角形面积公式进行求解，知道点的坐标，容易求得线段的长度，底的问题解决了，但底边上的高呢？有点麻烦。
我们不妨试试下面的方法。
分别过点A 、B 、C 作x 轴、y 轴的平行线，则所求三角形的面积S △ABC =S 矩形BDEF -S △ADB -S △AEC -S △BCF =4172112212312143212113=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯过点C 作y 轴的平行线交AB 边于点M ，将原三角形化作有边与一条坐标轴平行的问题来解决。
易知所求三角形面积S △ABC =S △AMC +S △BMC =)(2121212121h h MC h MC h MC +••=••+••=PQ MC ••21 其中，线段PQ 的长度可由A 、B 两点的横坐标求得，线段MC 的长度需知道点M 与点C 的纵坐标，所以，接下来主要是求得点M 的坐标的问题。
平面直角坐标系中三角形面积的求法(例题及对应练习)
例析平面直角坐标系中面积的求法我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题.解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧.现举例说明如下.一、有一边在坐标轴上例1 如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），（0，3），（0，－1），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，△ABC的边BC在y轴上，由图形可得BC＝4，点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离，也就是A点横坐标的绝对值3，然后根据三角形的面积公式求解.解：因为B(0,3),C(0,-1),所以BC=3-（-1）=4.因为A(-3,0),所以A点到y轴的距离，即BC边上的高为3，二、有一边与坐标轴平行例2 如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求三角形ABC的面积.分析：由A（4，1），B（4，5）两点的横坐标相同，可知边AB与y 轴平行，因而AB的长度易求.作AB边上的高CD，则D点的横坐标与A点的横坐标相同，也是4，这样就可求得线段CD的长，进而可求得三角形ABC的面积.解：因为A，B两点的横坐标相同，所以边AB∥y轴，所以AB=5-1=4. 作AB边上的高CD，则D点的横坐标为4，所以CD=4-（-1）=5，所以=.三、三边均不与坐标轴平行例3 如图2,平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，因此得另想办法.根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形围在一个梯形或长方形中，这个梯形（长方形）的上下底（长）与其中一坐标轴平行，高（宽）与另一坐标轴平行.这样，梯形（长方形）的面积容易求出，再减去围在梯形（长方形）内边缘部分的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积.解：如图，过点A、C分别作平行于y轴的直线，与过点B平行于x 轴的直线交于点D、E，则四边形ADEC为梯形.因为A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），所以AD＝4，CE=6，DB=4，BE=1，DE＝5.所以=（AD+CE）×DE-AD×DB-CE×BE=×（4+6）×5－×4×4－×6×1＝14.平面直角坐标系中的面积问题（提高篇）“割补法”的应用一、已知点的坐标，求图形的面积。
在平面直角坐标系中求几何图形的面积
如图所示，求△ OAB的面积。
y
方法三：
5 4 3 2 1
N
B(3,4)
•
M
s1 s3
1 2 3 4
s2
• A(5,2)
-2
o• -1 -1 -2
5P
x
S=S长方形OPMN– S1 – S2 –S3
二、坐标系中四边形面积的求法
例4.如图所示，则四边形AOBC的面积是
y
。
方法一：
5 4 3
•
C(3,4)
• s1 A(0,2)
2 1 -2 o• -1 -1 -2 1 2
s2
3
4
5
• B(5,0)
x
S=S1+S2
如图所示，则四边形AOBC的面积是
y
。
方法二：
5 4 3
•
C(3,4)
• A(0,2)
2 1 -2 o• -1 -1 -2 1
s1
2 3
H
s2
4 =9+4 =13 5
• B(5,0)
x
S=S1+S2
5 4 3 2 1
N
B(3,4)
•
M
s1
s2
• A(5,2)
-2
o• -1 -1 -2
1
2
3
4
5
x
S=S梯形OAMN– S1 –S2
如图所示，求△ OAB的面积。
y
方法二：
5 4 3 2 1
B(3,4)
•
M
s1
• A(5,2)
s2
1 2 3 4 5P x
-2
o• -1 -1 -2
在平面直角坐标系中,求三角形面积的求法
在平面直角坐标系中，求三角形面积的求法在平面直角坐标系中, 求三角形面积的求法1. 引言在平面直角坐标系中，我们经常需要计算三角形的面积。
三角形的面积是一个基本的几何概念，它用于很多实际应用中，比如计算土地面积、建筑物的面积或者计算图形的面积等。
在这篇文章中，我们将学习在平面直角坐标系中求解三角形面积的几种不同方法。
2. 方法一：行列式法使用行列式法求解三角形的面积是最常见的方法之一。
该方法基于行列式的性质，通过计算三个点的坐标来求解。
在平面直角坐标系中，设三角形的三个顶点分别为A（x1，y1）、B （x2，y2）和C（x3，y3）。
那么，三角形的面积可通过以下公式来计算：S = |(1/2) * (x1 * (y2-y3) + x2 * (y3-y1) + x3 * (y1-y2))|其中，竖线表示计算行列式的值。
3. 方法二：海伦公式海伦公式也是求解三角形面积的另一种常用方法。
该方法是基于三角形的三条边长来计算的。
假设三角形的三边长分别为a、b和c，半周长为s = (a+b+c)/2，那么三角形的面积可以用以下公式计算：S = √(s * (s-a) * (s-b) * (s-c))海伦公式的优点是在不知道三角形顶点坐标的情况下，只需知道边长即可计算三角形面积。
4. 方法三：向量法向量法是一种通过向量的运算来求解三角形面积的方法。
设三角形的两边向量为a和b，则三角形的面积S可以通过如下公式计算：S = (1/2) * |a × b|其中，× 表示向量的叉积。
叉积的结果是一个向量，其模表示平行四边形的面积，所以需要除以2来得到三角形的面积。
5. 总结和回顾在平面直角坐标系中，我们可以使用行列式法、海伦公式和向量法来求解三角形的面积。
根据不同的情况和已知条件，我们可以选择最合适的方法来计算。
行列式法基于三角形的顶点坐标，适用于已知三个顶点坐标的情况；海伦公式基于三角形的边长，适用于只知道边长的情况；向量法适用于已知两条边的向量的情况。
平面直角坐标系中三角形面积的计算
平面直角坐标系中三角形面积的计算设直角坐标系中的三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
我们可以利用向量的性质和行列式的方法求出三角形的面积。
首先，我们计算向量AB和向量AC的坐标分量分别为(u,v)和(w,z)。
则有：u=x2-x1v=y2-y1w=x3-x1z=y3-y1然后，根据向量的性质，可以计算向量AB与向量AC的叉积的大小，即面积的两倍：2*面积=，u*z-v*w最后，我们可以通过取绝对值并除以2来得到三角形的面积，即：面积=，u*z-v*w，/2这就是通过向量的方法计算三角形面积的基本公式。
下面我们通过一个具体的例子来演示一下计算三角形面积的过程。
设直角坐标系中的三角形的三个顶点分别为A(2,3)，B(5,6)，C(8,1)。
我们将依次计算向量AB和向量AC的坐标分量：u=5-2=3v=6-3=3w=8-2=6z=1-3=-2然后，根据公式面积=，u*z-v*w，/2，我们计算：面积=，3*(-2)-3*6，/2=，-6-18，/2=24/2=12所以，三角形ABC的面积为12平方单位。
除了向量方法，我们还可以使用行列式的方式来计算三角形的面积。
具体步骤如下：1.将三个顶点的坐标按照行列式的顺序排列，构成一个3×3的矩阵：x1y1x2y2x3y32.计算矩阵的行列式的值。
3.取行列式的绝对值并除以2，即为三角形的面积。
以上就是使用行列式方法计算三角形面积的基本步骤。
总结起来，平面直角坐标系中三角形的面积可以通过向量或行列式的方法进行计算。
这些方法都是基于向量叉积的性质和行列式的性质进行推导和计算的。
无论是哪一种方法，核心思想都是通过计算向量叉积的大小来获得三角形的面积。
专题05 平面直角坐标系中求图形面积(解析版)2021-2022学年八年级数学(北师大版,成都专用)
专题05 平面直角坐标系中求图形面积类型一、直接用公式求面积例1.如图，在平面直角坐标系中，点()0,4A b 为y 轴正半轴上一点，点()3,0B b 是x 轴正半轴上一点，其中b 满足()316b +=．（1）求点A ，B 的坐标．（2）点C 为x 轴上一点，且ABC 的面积为12，求C 点的坐标．【答案】（1）()0,4A ，()3,0B ；（2）点C 的坐标为 ()3,0- 或 ()9,0【解析】（1）由()316b +=得1b =，∴()04A ，，()30B ，． （2）设点C 的坐标为()0x ，，则3BC x =-， 由1（）可知4OA =，∴1432ABC S x =⨯⨯-=12，解得：9x =或3-． ∴点C 的坐标为 ()30-，或 ()90，． 【变式训练1】在平面直角坐标系中，已知点(),0A a ，(),0B b ，a 、b 满足方程组24a b a b +=-⎧⎨-=-⎩，（1）求A 、B 两点的坐标；（2）C 为y 轴正半轴上一点，且6ABC S =，请求出C 的坐标．【答案】（1）A （-3，0），B （1，0）；（2）C （0，3）【解析】（1）解方程组24a b a b +=-⎧⎨-=-⎩，解得：31a b =-⎧⎨=⎩，∴A （-3，0），B （1，0）； （2）由（1）可知：AB =4，∴S ∴ABC =12AB •OC =6，∴12×4×OC =6，解得OC =3，∴C （0，3）．故答案为：（1）A （-3，0），B （1，0）；（2）C （0，3）类型二、割补法求面积例1.如图，三角形ABC 的面积等于（ ）A ．12B ．1122 C ．13D ．1132【答案】D【解析】过点A 作AD x ⊥轴于D ，如图所示：由题意可得，3BO =，3OC =，6AD =，3CD =，∴6OD =，∴ABC BOC ACD BODA S S S S ∆∆∆=--梯形111()222BO AD OD BO OC CD AD =+⋅-⋅⋅-⋅⋅111(36)63336222=+⨯-⨯⨯-⨯⨯54918222=--272=， 即272ABC S ∆=，故选：D ．【变式训练1】如图，连接AB 、BC 、AC ，则∴ABC 的面积是（ ）A ．312B ．3C ．212D ．2【答案】C【解析】长方形AGDE 的面积为：3×2=6，AGC 的面积：3×1÷2=1.5，CDB △的面积：2×1÷2=1，ABE △的面积：2×1÷2=1，故ABC 的面积为：6-1.5-1-1=2.5，故答案为：C ；【变式训练2】如图，三角形ABO 中，()2,3A --，()2,1B -，A B O '''是ABO 平移之后得到的图形，并且O 的对应点O '的坐标为()5,4．（1）作出ABO 平移之后的图形A B O '''，并写出A '、B '两点的坐标分别为A '______，B '_____；（2）()00,P x y 为ABO 中任意一点，则平移后对应点P 的坐标为______．（3）求ABO 的面积；【解析】（1）如图，∴A 'B 'O '即为所求，A '、B '两点的坐标分别（3，1），（7，3）．故答案为：（3，1），（7，3）．（2）点P '的坐标为（x 0+5，y 0+4）．故答案为：（x 0+5，y 0+4）．（3）S ∴ABO =3×4-12×2×3-12×1×2-12×4×2=4． 【变式训练3】在平面直角坐标系xoy 中，∴ABC 的位置如图所示，点A ，B ，C 都在格点上．（1）分别写出下列顶点的坐标：A ________；B ________；（2）请在图中画出∴ABC 关于y 轴对称的图形∴A ′B ′C ′；（3）计算出∴ABC 的面积．【答案】（1）(-1,6)，(-2,0)；（2）见解析；（3）152【解析】（1）由图知，点A 的坐标为(-1,6)，点B 的坐标为(-2,0)，故答案为：(-1,6)，(-2,0)（2）由图得，点C 的坐标为(-4,3)，则点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A ′，B ′，C ′坐标分别为(1,6)，(2,0)，(4,3)，依次连接A ′，B ′，C ′，即得∴A ′B ′C ′，所得图形如图所示（3）过A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E则ABC AOD CED ADEC S S S S =--梯形111(36)31623222=⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯ 152=类型三、点的存在性问题例1.如图，在平面直角坐标系中，点B ，C 的坐标分别为(),2a a -、()3,2a a ，其中0a >，点A 为BC 的中点，若4BC =，解决下列问题：（1）BC 所在直线与x 轴的位置关系是 ；（2）求出a 的值，并写出点A ，C 的坐标；（3）在y 轴上是否存在一点P ，使得三角形PAC 的面积等于5？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）平行；（2）()1,2A ，()3,2C ；（3）存在，P 点坐标为()0,3-或()0,7【解析】（1）∴点B ，C 的坐标分别为(),2a a -、()3,2a a ，∴BC 所在直线与x 轴的位置关系是平行．故答案为：平行．（2）∴4BC =，∴()34a a --=，∴1a =，∴B （-1，2），C （3，2），∴A 为BC 的中点，∴()1,2A ．（3）存在点P ．设()0,P m ，∴2AC =，∴12252m ⨯⨯-=，∴3m =-或7.∴P 为()0,3-或()0,7．【变式训练1】如图，在直角坐标系中，已知()0,2A ，()3,0B ，()3,4C 三点．（1）求四边形AOBC 的面积；（2）是否存在点()0.5P x x ,，使2ABC AOBC S S =四边形？若存在，求出点P 的坐标．若不存在，请说明理由．【答案】（1）9；（2）存在，()189P --,或(18,9)【解析】如图，∴34C （，），∴33CD ==．∴()34C ，，30B （，），∴404CB =-=，∴4312DCBO S =⨯=四边形．∴()04D ，，()02A ，，∴422DA =-=，∴11236322DCA S =⨯⨯=⨯=． ∴DCA AOBC DCBO S S S =-四边形四边形，∴1239AOBC S =-=四边形．（2）由（1）得1239AOBC S =-=四边形设存在点()0.5P x x ，，使∴AOP 的面积为四边形AOBC 的面积的两倍． ∴∴AOP 的面积=122x x ⨯⨯= ， ∴29x =⨯， ∴18x =± ∴存在点P （18，9）或（-18，-9），使∴AOP 的面积为四边形AOBC 的面积的两倍．【变式训练2】如图，A （0，3）是直角坐标系y 轴上一点，动点P 从原点O 出发，沿x 轴正半轴运动，速度为每秒2个单位长度，以P 为直角顶点在第一象限内作等腰Rt ∴APB ．设P 点的运动时间为t 秒．（1）若AB ∴x 轴，求t 的值；（2）如图2，当t ＝2时，坐标平面内有一点M （不与A 重合）使得以M 、P 、B 为顶点的三角形和∴ABP 全等，请直接写出点M 的坐标．【答案】（1）t 的值为1.5；（2）点M 的坐标为（3，7），（8，﹣3），（11，1）．【解析】（1）过点B 作BC ∴x 轴于点C ，如图所示．∴AO∴x轴，BC∴x轴，且AB∴x轴，∴四边形ABCO为矩形，∴AO=BC=3，∴∴APB为等腰直角三角形，∴AP=BP，∴PAB=∴PBA=45°，∴∴OAP=90°-∴PAB=45°，∴∴AOP为等腰直角三角形，∴OA=OP=3，∴t=3÷2=1.5（秒），故t的值为1.5；（2）当t=2时，OP=4，①如图3，若∴ABP∴∴MBP，则AP=PM，过点M作MD∴OP于点D，∴∴AOP=∴PDM，∴APO=∴DPM，∴∴AOP∴∴MDP（AAS），∴OA=DM=3，OP=PD=4，∴M（8，-3）；②如图，若∴ABP∴∴MPB，连接AM，则AP=PB=BM，∴APB=∴MBP=90︒，∴AP∴MB，且AP=MB，∴四边形APBM是平行四边形，又∴APB=∴MBP=90︒，∴四边形APBM是正方形，∴AP=AM，过点M作ME∴y轴于点E，同理可证∴AOP∴∴MEA（AAS），∴OA=EM=3，OP=AE=4，∴M（3，7）；③如图，若∴ABP∴∴MPB，则AP=BP=BM，过点M 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为点F 、G ，过点M 作MH ∴BF 于点H ， ∴四边形FGMH 是矩形，∴MH =FG ，MG =HF ，同理可证∴AOP ∴∴PFB ∴∴BHM （AAS ），∴OA =PF =BH =3，OP =BF =MH =4，∴MG =HF =BF -BH =1，OG =OP +PF +FG =11，∴M （11，1）；综合以上可得点M 的坐标为（3，7），（8，-3），（11，1）．【变式训练3】在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为()1,0，点D 的坐标为()0,2．延长CB 交x 轴于点1A ，作第1个正方形111A B C C ；延长11C B 交x 轴于点2A ，作第2个正方形2221A B C C ，…，按这样的规律进行下去，第2021个正方形的面积是______．【答案】404235()2⨯ 【解析】()()1,0,0,2,A D 正方形ABCD ，1,2OA OD ∴==,,AD AB === 190,DAO ADO DAO BAA ∠+∠=︒=∠+∠ 1,ADO BAA ∴∠=∠190,DOA ABA ∠=∠=︒ 1,AOD A BA ∴∽ 1,AO OD A B AB ∴= 15,2AO AB A B OD ∴==正方形111A B C C ，1113222A B AC ∴====同理可得：22232A B ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 33332A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭ (2021)2021202132A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 所以第2021个正方形的面积是22021404233=5.22⎡⎛⎫⎛⎫⨯⎢ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎣ 故答案为：404235.2⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭。
如何求平面直角坐标系中三角形的面积
如何求平面直角坐标系中三角形的面积在平面直角坐标系中，求解三角形的面积是几何学中的基本问题之一。
下面将介绍两种求解平面直角坐标系中三角形面积的方法。
方法一：行列式法行列式法是一种常用的求解三角形面积的方法。
设三角形的顶点为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)。
首先将三个顶点的坐标依次排列成行：A(x1, y1) B(x2, y2) C(x3, y3)然后将A点的坐标复制到下方形成两行：A(x1, y1) B(x2, y2) C(x3, y3)A(x1, y1) B(x2, y2) C(x3, y3)接下来按照主对角线往右上方的方向连线，并将相乘的结果写在对应的线上：A(x1, y1) B(x2, y2) C(x3, y3)A(x1, y1) B(x2, y2) C(x3, y3)计算两条斜线上的乘积之和，再减去两条副对角线上的乘积之和，最后除以2即可得到三角形的面积。
行列式法的计算较为繁琐，但是适用于所有类型的三角形。
方法二：海伦公式海伦公式是通过三角形的边长来求解三角形面积的一种方法。
假设三角形的三边长度分别为a、b、c，半周长为p。
首先计算半周长p：p = (a + b + c) / 2然后套用海伦公式进行计算：面积S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))海伦公式较为简单，适用于已知三边长度的情况。
根据不同的题目要求和数据提供的形式，可以选择适合的方法进行计算。
总之，无论使用哪种方法，都可以准确求解平面直角坐标系中三角形的面积。
三角形的面积计算在实际生活中有着广泛的应用。
例如，在建筑工程中，需要计算地基的面积以确定施工方案；在地理测量学中，需要求解地理图形的面积和边长，以准确描述地理实体特征。
因此，掌握求解三角形面积的方法是十分重要的。
总结起来，通过行列式法和海伦公式，我们可以准确求解平面直角坐标系中的三角形面积。
无论是使用繁琐的行列式法，还是简便的海伦公式，都能满足求解三角形面积的需求。
专题07 一次函数中的面积问题精讲(解析版)
专题07 一次函数中的面积问题精讲一、平面直角坐标系中面积的几种求法面积问题是中考的一个重点知识点，考查方式灵活多样，很多题目有创新性，能很好考查学生的灵活运用知识的能力.我们除了要熟知常见图形的面积公式外，在平面直角坐标系中还要懂得以下几种面积的方法： 方法一、割补法割补方法不仅仅只有一种，要灵活使用.方法二、铅垂高、水平宽法=21=2ABC ABC S CD OAS CE OB⨯⨯⨯⨯△△ 二、典型例题选讲题1. 如图1-1所示，把Rt △ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB =90°，BC =5，点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y =2x ﹣6上时，线段BC 扫过的面积为（ ）图1-1A ．4B ．8C ．16D ．12 【答案】C .【解析】如图1-2所示．图1-2设C 点移动到直线y =2x ﹣6上的点为C ’. ∵点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0）， ∴AB =3．∵∠CAB =90°，BC =5，∴在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC =4． ∴A ′C ′=4．∵点C ′在直线y =2x -6上， ∴2x -6=4，解得 x =5．即OA ′=5， ∴CC ′=5-1=4．∴四边形BB ’C ’C 是平行四边形，面积 =4×4=16． 即线段BC 扫过的面积为16，故答案为：C .题2. 已知一次函数2y x a =+与y x b =-+的图象都经过A （2-，0），且与y 轴分别交于B 、C 两点，则△ABC 的面积为 （ ）．A ． 4B ． 5C ． 6D ． 7 【答案】C .【解析】因为y =2x +a 与y =-x +b 的图象都经过A (-2,0), 所以0=2×（-2）+a ， 解得：a =4， 又因为0=2+b 解得：b =-2y =2x +4、y =-x -2与y 轴分别交于B 、C 两点 ∴B (0.4)，C (0,-2)，三角形ABC 的面积=2×6÷2=6. 故答案为：C .题3. (河北中考)如图3-1所示，在平面直角坐标系xOy 中，A (0，5)，直线x ＝－5与x 轴交于点D ，直线y ＝－38x －398与x 轴及直线x ＝－5分别交于点C ，E .点B ，E 关于x 轴对称，连接AB . (1)求点C ，E 的坐标及直线AB 的解析式； (2)若S ＝S △CDE ＋S 四边形ABDO ，求S 的值；(3)在求(2)中S 时，嘉琪有个想法：“将△CDE 沿x 轴翻折到△CDB 的位置，而△CDB 与四边形ABDO 拼接后可看成△AOC ，这样求S 便转化为直接求△AOC 的面积，如此不更快捷吗？”但大家经反复验算，发现S △AOC ≠S ，请通过计算解释他的想法错在哪里．图3-1【答案】见解析【解析】解：（1）y ＝－38x －398，令y ＝0，有0＝－38x －398，解得：x ＝－13，即C (－13，0)．令x ＝－5，则有y ＝－38×(－5)－398＝－3，即E (－5，－3)．∵点B ，E 关于x 轴对称， ∵B (－5，3)． ∵A (0，5)，∵设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋5， ∵－5k ＋5＝3， ∵k ＝25，∵直线AB 的解析式为y ＝25x ＋5.（2）由（1）知E (－5，－3)， ∵DE ＝3. ∵C (－13，0)，∵CD ＝－5－(－13)＝8， ∵S ∵CDE ＝12CD ·DE ＝12.由题意知OA ＝5，OD ＝5，BD ＝3， ∵S 四边形ABDO ＝12(BD ＋OA )·OD ＝20，∵S ＝S ∵CDE ＋S 四边形ABDO ＝12＋20＝32.（3）由（2）知S ＝32，在∵AOC 中，OA ＝5，OC ＝13， ∵S ∵AOC ＝12OA ·OC ＝652＝32.5，∵S ≠S ∵AOC .理由：由(1)知直线AB 的解析式为y ＝25x ＋5，令y ＝0，则0＝25x ＋5，∵x ＝－252≠－13，∵点C 不在直线AB 上，即点A ，B ，C 不在同一条直线上， ∵S ∵AOC ≠S .题4. 已知一次函数的图象过点(0,3)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为3, 则其表达式为( ) A . y ＝1.5x ＋3B . y ＝－1.5x ＋3C . y ＝1.5x ＋3或y ＝－1.5x ＋3D . y ＝1.5x －3或y ＝－1.5x －3【答案】C .【解析】解：设该一次函数与x 轴的交点坐标为（a ,0）， 由题意得：1332a ⨯⨯=， 解得：a =±2， 当a =2时，设直线解析式为y =kx +3，将（2,0）代入，求得k =-1.5； 同理求得，当a =-2时，k =1.5.所以函数解析式为：y ＝1.5x ＋3或y ＝－1.5x ＋3，故答案为C .题5. 如图5-1所示，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过A (－2，－1)，B (1，3)两点，并且交x 轴于点C ，交y 轴于点D .图5-1(1)求该一次函数的解析式；(2)求∵AOB 的面积． 【答案】见解析.【解析】解：(1)把A (－2，－1)，B (1，3)代入y ＝kx ＋b ，得：⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝－1，k ＋b ＝3. 解得⎩⎨⎧k ＝43，b ＝53.∵一次函数的解析式为y ＝43x ＋53.(2)把x ＝0代入y ＝43x ＋53，得y ＝53，∵D 点坐标为(0，53)．∵S ∵AOB ＝S ∵AOD ＋S ∵BOD ＝12×53×2＋12×53×1＝52.题6. 已知，一次函数y kx b =+的图像与正比例函数13y x =交于点A ，并与y 轴交于点(0,4)B -，△AOB 的面积为6，则kb = 【答案】203-或4. 【解析】解：因为一次函数y kx b =+的图像与y 轴交于点(0,4)B -， ∴b =－4，OB =4， 设A 点横坐标为a ， 因为△AOB 的面积为6， 所以162a OB ⨯⨯=, 即a =3或－3，点A 的坐标为（3,1）或（－3，－1） 将A 点坐标代入4y kx =-，得： k =53或－1 所以kb = 203-或4. 故答案为：203-或4.题7. 如图7-1所示,点G ，D ，C 在直线a 上,点E ,F ,A ,B 在直线b 上,若a ∥b ,Rt △GEF 从如图所示的位置出发,沿直线b 向右匀速运动,直到EG 与BC 重合.运动过程中△GEF 与矩形ABCD 重合部分的面积（S ）随时间（t ）变化的图象大致是（ ）图7-1A B C D【解析】根据题意可得：①F、A重合之前没有重叠面积；②F、A重叠之后，重叠部分面积逐渐增大，且增加的速度越来越快；③△EFG完全进入且F与B重合之前，重叠部分的面积是三角形的面积，不变，④F与B重合之后，重叠部分的面积逐渐减小，减小的速度越来越慢，直至最后重叠部分的面积为0．综上所述，只有B选项图形符合．故答案为：B．题8. 如图8-1所示，已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1.(1)求两直线交点C的坐标;(2)求∵ABC的面积.(3)在直线BC上能否找到点P,使得S∵APC=6，若能，请求出点P的坐标，若不能请说明理由。
平面直角坐标系中的面积问题
突破数学压轴题解题策略平面直角坐标系中的面积问题解题策略1【专题攻略】面积问题是初中常考内容，一般应用以下几种方法解决：一是“直接法”，即套用求面积的公式.二是常用“割补法”.割：分割，把图形分割成几部分容易求解的图形，分别求解，然后相加即可.补：补齐，把图形补成一个容易求解的图形，然后再减去补上的那些部分.三是“平行线转化法”，即利用平行线之间的距离处处相等，同底等高模型转化面积来解决.在平面直角坐标系中求面积时，必然会用到线段长度，这里会涉及到利用两点之间的距离公式来求距离.在平面直角坐标系中有两点A（x1,y1）、B（x2,y2），则AB2=（x 1- x2）2 + （y1– y2）2 .若两点平行于坐标轴，则两点之间的距离可以直接用横或纵坐标的差来求.【复习回顾】：例1如图Δ ABC的三个顶点的坐标分别是A（4，0），B（-2，0），C（2，4），求ΔABC的面积.例2如图2，点C为平面直角坐标系中的任意一点，已知点A （-5，0），点B （3, 0）Δ ABC的面积为12，试说明点C的坐标特点.例3如图Δ ABC三个顶点的坐标分别为A （4，1），B （4，5），C （-1，2），求Δ ABC的面积.y >6 -5 - D4 - 3 - 2 - 1 -x-1 01 2 3 4 5 6 7 -1- -2 - 图4图5例4如图4，在四边形ABCD 中，A 、B 、C 、D 的四个点的坐标分别为（0，2），（1，0），（6，2）（2, 4）求四边形 ABCD 的面积.类型3 三边均不与坐标轴平行例5在图5的直角坐标系中，Δ ABC 的顶点都在网格点上，其中，A 点坐标为 （2，一 1），则Δ ABC 的面积为 ________________________ .y,:4(?1)〆o123 4 1例6如图，已知Δ ABC中，A（4，1），B （4，5），C （-1，2），求Δ ABC的面积.例7如图，以O A为边的ΔOAB的面积为2，试找出符合条件得且顶点是第一象限格点的点C，你能找出几个这样的例8已知：A（0,1）,B（2,0）,C（4，3）.（1）在坐标系中描出各点，画出ΔABC（2）求ΔABC的面积；（3）设点P在坐标轴上，且ΔABP与ΔABC的面积相等，求点P的坐标.。
【初一方法归纳专题】平面直角坐标系中图形面积的求法
1.面积公式：（1）三角形的面积：S三角形＝1/2×底×高（2）梯形的面积：S梯形＝1/2×（上底+下底）×高2.两点间的距离：（1）当两点横坐标相同时，两点间的距离为这两点纵坐标差的绝对值（2）当两点纵坐标相同时，两点间的距离为这两点横坐标差的绝对值基础篇——三角形面积的求法题型1 三角形有一边在坐标轴上【例1】如图，平面直角坐标系中，已知三角形ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（-4，0），C（4，0），求三角形ABC的面积.温馨提示：【思路及解答】请观看视频【方法归纳】当三角边有一边在坐标轴上时，将此边作为底边，那么高便垂直于坐标轴，底和高就能通过两点间的距离很快求出.题型2 三角形有一边与坐标轴平行【例2】如图，平面直角坐标系中，已知三角形ABC的三个顶点的坐标分别是A（-1，-4），B（2，0），C（-4，-4），求三角形ABC 的面积.温馨提示：【思路及解答】请观看视频【方法归纳】当三角边有一边与坐标轴平行时，将此边作为底边，那么高便垂直于坐标轴，底和高就能通过两点间的距离很快求出.根据图形特殊，我们通常把平行于坐标轴的一边作为底边.题型3 三角形三边均不与坐标轴平行【例3】在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的单位长度均为1，三角形ABC的三个顶点恰好是正方形网格的格点.（1）写出图中所示各顶点的坐标；（2）求三角形ABC的面积.温馨提示：【思路及解答】请观看视频【方法归纳】当三角边的三边均不与坐标轴平行时：（1）将原三角形围在一个梯形或长方形中，用长方形或梯形的面积，减去长方形或梯形边缘的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积，这种方法叫做补形法；（2）若三角形内一割线长度已知，并且它平行于坐标轴，那么可将其作为底边，把原三角形拆分为两个三角形，则两高的长度可得，面积即可求得，这种方法叫做分割法.以上两种方法就是数学几何图形运算中常用的割补法.例题讲授视频三角形面积的求法同学们，例题看明白了吗？方法掌握了吧！快来试试下面的变式训练吧！变式训练【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别为A(－3，0)，B(0，3)，C(0，－1)，则三角形ABC的面积为．。
初中数学八年级上册第三章 位置与坐标平面直角坐标系中的面积问题
平面直角坐标系中求面积问题教学目标：1、会求以坐标轴为底或有一边平行于坐标轴的三角形的面积。
2、在平面直角坐标系中，会用割补法求图形的面积。
3、树立把不好直接求解的图形转化求面积的意识。
教学重点：在平面直角坐标系中，会用割补法求图形面积。
教学难点：能综合应用面积和差法解决与面积有关的问题，尝试用等积变形法解决问题。
教学过程：一、回顾复习1、已知P（x1,y1）,Q(x2,y2),PQ∥x轴，则。
2、已知P（x1,y1）,Q(x2,y2),PQ∥y轴，则。
3、图形面积公式：矩形面积；三角形面积；梯形面积。
二、探究新知问题1如图，△AOB的面积是多少？问题２如图，△AOB1的面积是多少？通过计算，我们发现了什么？三、典例讲解例1 已知A(-2,0)，B（4，0），C（x,y),若点C在第二象限，且|x|=4,|y|=4。
求：（1）点C的坐标；（2）三角形ABC的面积。
方法归纳：当三角形有一边与坐标轴平行（或重合）时，以这一边为底，再确定这一边上的高，直接套三角形的面积公式计算。
例2.已知：点A（4，2），B（-2，3）。
求△AOB的面积（O为坐标原点）例3.已知：A（-1，-2）、B（6,2）、C（1,3）。
求：△ABC的面积。
例4.已知：如图，点A（4,0）、B（3,5）、C（0,3）。
求：四边形OABC的面积。
四、探究应用在图中，以OA为边的△OAB 的面积为2，试找出符合条件的且顶点是格点的点B，你能找到几个这样的点？并写出点B的坐标。
(在图中现有的网格中找)五、学习感悟六、作业（分三个层次）1、练习：正方形ABCD的边长是6，如果以B为坐标原点，以BC所在的直线为x轴，建立坐标系。
若M的坐标为（7,2），你能求出SΔBCM吗？追问1：能求出SΔADM吗？追问2：还能求出SΔAOM和SΔCDM吗？2、思考：已知四边形ABCD中，A(1,-2), B(4,0), C(6,8), D(1,4),求四边形ABCD的面积.能否有不同的方法呢？完成后，大家交流。
例谈平面直角坐标系内图形面积的求法
象上的任意一点 分别作 轴 ， Ｙ轴 的垂线可得 矩形 ， 矩形 的长 ， 宽为 ， ｌ矩形 面积 为 Ｉ ・Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ而 ｌ ， ｙ Ｉ Ｙ ＝ｌ ＝ｌ ｋ， 图象上任 意一点 与原点的连线 ， 和过 点所作 坐标 轴 的垂 线段 与坐标轴 围成的直三角形面积 为
图 ３
Ｒ ＡＡ Ｂ 积 为 Ｓ ， ｔ Ｃ Ｄ面 ｔ Ｏ 面 。Ｒ Ａ Ｏ
Ｊ
三角形 的一 边在 Ｙ轴上时 ，两个顶点纵坐 标差 的绝对值 ， 这边上 的高就 等 于另一个 顶点横坐标 的绝对值．
—√ Ｂ ０
图
例 ３ 如 图 ３ ＡＡ Ｃ 三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为 ， Ｂ
Ａ ２２ ， 一 ， ３ ， （ ，） ＡＡ Ｃ的面积． （一 ）日（ ２ 一 ） ｃ ２ １ ， Ｂ
，
积为５， 则
Ａ． Ｓｌ＞Ｓ２
Ｂ． ＜ Ｓ Ｓｌ ２
ｌ Ｖ
）
４
Ｃ． Ｓｌ＝Ｓ ２
３
Ｄ Ｓ 与 ． 的大 小关 系 无 法 确 定 ． ｓ
丁 一 １： 一 ．
当三 角形有一边 在 轴上 时 ， 以 轴 上 的 则
点评
边为底边 ， 长 等 于 轴上 两 个 顶 点 横坐 标 差 的 绝对 其
的 图象 上 任 意 两点 ， Ａ 过
＼
／
ｃ Ｄ
值， 这边上 的 高就等 于另 一个顶 点纵 坐标 的绝对 值 ； 当
一
作 轴 的垂 线 ， 足 为 Ｂ， Ｃ 垂 过 作 Ｙ轴 的 垂 线 ， 足 为 Ｄ， 垂 记
［ ｋ＋ｂ＝ 一３． ２
Ｅ
‘
．
．
Ｙ＝ 一６ ＋９ ．
．
．
平面直角坐标系中三角形面积的求法
平面直角坐标系中三角形面积的求法嘿，伙计们！今天我们来聊聊一个很有趣的话题——平面直角坐标系中三角形面积的求法。
你们知道吗，三角形可是我们生活中无处不在的东西，从房子到衣服再到冰淇淋，都离不开三角形。
而我们要学的就是如何计算这些三角形的面积。
别着急，我会用最简单的语言和你们分享这个知识点，让我们一起来看看吧！我们要知道什么是三角形。
三角形是由三条线段相互连接而成的图形，这三条线段叫做三角形的边。
我们可以用三个顶点来表示一个三角形，这三个顶点分别是A、B和C。
现在我们要用平面直角坐标系来表示这个三角形。
在平面直角坐标系中，每个点都有一个坐标。
比如说，A点的坐标是(x1, y1),B点的坐标是(x2, y2),C点的坐标是(x3, y3)。
我们就可以用这三个坐标来表示这个三角形了。
我们要做的就是计算这个三角形的面积。
说到计算三角形的面积，我们首先要知道一个概念——底和高。
底是指三角形的一条边，而高是指从这条边的对顶点垂直于这条边的线段。
有了底和高，我们就可以用一个公式来计算三角形的面积了。
这个公式叫做“海伦公式”，它的名字来源于古希腊数学家海伦。
海伦公式是这样的：面积 = sqrt(p * (p a) * (p b) * (p c)),其中a、b、c分别是三角形的三条边的长度，p是半周长，即(a + b + c) / 2。
有了这个公式，我们就可以轻松地计算出任何一个三角形的面积了。
我们现在就来试试看吧！假设我们要计算一个三角形的面积，它的三条边的长度分别是3、4和5。
我们要计算半周长p:p = (3 + 4 + 5) / 2 = 6。
我们把这个值代入海伦公式：面积 = sqrt(6 * (6 3) * (6 4) * (6 5)) = sqrt(6 * 3 * 2 * 1) = 6。
这个三角形的面积就是6平方单位。
我们在实际生活中遇到的三角形可能会更复杂一些，但是只要我们掌握了海伦公式，就可以轻松地计算出它们的面积。
平面直角坐标系中三角形面积的求法
平面直角坐标系中三角形面积的求法大家好，今天我们来聊聊一个看似复杂但其实挺简单的数学问题：如何在平面直角坐标系中求三角形的面积。
听起来有点儿抽象？没关系，我们一步步来，保证让你觉得简单又有趣。
1. 理解坐标系中的三角形1.1 三角形的基本概念首先，啥是三角形呢？说白了，三角形就是由三条线段围成的形状。
这个形状在平面直角坐标系中，大家都知道坐标系嘛，就是有一条横轴和一条纵轴交汇的那种图。
三角形的三个角，两个角在坐标轴上，一个角在坐标轴的另一边。
1.2 坐标系中的点我们得知道三角形的三个点在坐标系中的位置。
这些点通常是这样的格式：(x_1, y_1)，(x_2, y_2)，(x_3, y_3)。
每个点的坐标就像是它在地图上的位置，告诉你它在“横向”和“纵向”的位置。
2. 计算三角形面积的方法2.1 使用坐标公式那么，如何计算这些点围成的三角形的面积呢？其实有个特别简单的公式，你只需要记住。
假设三角形的三个顶点分别是(x_1, y_1)，(x_2, y_2)，和(x_3, y_3)。
面积的公式是：[ text{面积} = frac{1}{2} left| x_1(y_2 y_3) + x_2(y_3 y_1) + x_3(y_1 y_2) right| ]。
听起来有点绕，其实不难！这个公式就像是一个“秘密武器”，帮助你轻松找到三角形的面积。
2.2 公式的由来这公式的由来其实跟几何学的基础知识有关。
它通过计算三角形的三个顶点之间的距离，间接地得出三角形的实际面积。
想象一下，我们是在一个“棋盘”上，用这个公式去找出“三角形”占据的“格子”的数量。
明白了吧？3. 举个例子3.1 实际计算我们来做个实际的例子吧。
假设你有一个三角形，它的三个顶点坐标分别是(1, 1)，(4, 1)，和(2, 5)。
按照刚才的公式，你可以代入这些数值来计算：[text{面积} = frac{1}{2} left| 1(1 5) + 4(5 1) + 2(1 1) right|。
平面直角坐标系三角形面积万能公式
平面直角坐标系三角形面积万能公式在平面直角坐标系中，我们常常会遇到三角形这个家伙。
说实话，三角形就像个小明星，形状简单，却又能带来不少麻烦。
你知道吗？三角形的面积其实可以通过一个万能公式轻松搞定，那就是“面积等于底乘以高再除以二”。
简单吧？但是，咱们今天要聊的可不仅仅是公式本身，更是如何在实际生活中用好它。
想象一下，你和朋友在公园里画一个三角形，底边就是你们在草地上放的毯子，高度嘛，就是你们之间的距离。
想一想，这样一来，草地的面积就显现出来了，简直像打开了新世界的大门。
当你开始深入探讨这个公式时，哇，真是惊喜不断。
公式简单易懂，但实际运用却能让你刮目相看。
比如说，想象你在家里画画，画了个三角形的房子，底边是五米，高度是三米。
根据公式，面积就是五乘三再除以二，也就是七点五平方米。
嘿，这时候你可能会想，“这面积还不够我放一个沙发。
”没问题，咱们再想办法调整一下底和高。
人生就像调配三角形面积，灵活应对，总能找到满意的方案。
生活中，我们常常会遇到各种三角形的情况。
比如说，你在搭建一个花坛，想设计成一个三角形，这个时候就得考虑面积了。
用万能公式一算，哇，心中有数，做事也就心里有底。
这个时候，底和高就成了你设计的基石。
你可以随意发挥，改变底边的长度，调整高度，最终得到的面积总是让人满意的。
像是做饭，想做什么菜，得先知道材料够不够。
就这样，生活中的每一件事，都可以用这个简单的公式来解决，绝对是一剂良方。
碰到不规则的三角形也别慌。
可以把它拆分成几个规则的三角形，再分别计算它们的面积，最后加起来就是你想要的结果。
这就像解谜，分步进行，最后拼凑出完美的答案。
就像生活中遇到的困难，有时需要把问题拆解开，逐个击破，才能找到解决之道。
记得有次朋友说他家的阳台要改造，形状不规则，他一开始愁眉苦脸，后来我给他讲了拆分的方法，结果他兴奋得像小孩子一样，感觉找到了新大陆。
在学校里，老师也常常用这个公式来教学生。
三角形的面积是个基础知识，打好基础，才能后续学习更复杂的内容。
坐标法计算面积公式
坐标法计算面积公式在我们学习数学的漫长道路上，坐标法计算面积公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开许多难题的大门。
先来说说啥是坐标法计算面积公式吧。
简单来讲，就是通过在平面直角坐标系中给定一些点的坐标，然后利用特定的公式和方法来算出图形的面积。
比如说，有一个三角形，它的三个顶点坐标分别是 A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)，那这个三角形的面积就可以用行列式的方法来计算。
听起来是不是有点晕乎？别着急，我给您慢慢道来。
就拿我之前教过的一个学生小明来说吧。
有一次上课，我刚讲到这个坐标法计算面积公式，他一脸迷茫，完全不知道我在说啥。
下课后，他怯生生地来找我，说：“老师，我咋觉得这个坐标法这么难啊，我怎么都搞不懂。
”我笑着跟他说：“别着急，咱们一起来看看。
”于是，我拿出纸和笔，画了一个简单的三角形，标上坐标，一步一步地给他讲解。
“你看啊，小明，咱们先把这几个坐标写下来，然后按照公式来算。
”我一边说，一边带着他计算。
经过几次反复的练习和讲解，小明终于露出了恍然大悟的表情，兴奋地说：“老师，我懂了，原来也没有那么难嘛！”看着他那开心的样子，我心里也特别欣慰。
其实坐标法计算面积公式在很多实际问题中都能派上用场。
比如在建筑设计中，设计师要计算一块不规则土地的面积，就可以通过建立坐标系，测量几个关键位置的坐标，然后用这个公式算出面积，从而更好地规划建筑布局。
再比如说，在地理测量中，要计算某个山区的面积，也能用到这个方法。
测量人员在地图上确定一些关键点的坐标，再进行计算，就能得到相对准确的面积数据。
坐标法计算面积公式还能帮助我们解决一些有趣的数学谜题。
想象一下，有一个形状奇特的多边形，通过给出它各个顶点的坐标，我们就能算出它的面积，是不是感觉很神奇？总之，坐标法计算面积公式虽然看起来有点复杂，但只要我们掌握了它的窍门，多做一些练习，就能在数学的世界里畅游，解决各种各样的难题。
就像小明一样，只要不放弃，总会有豁然开朗的那一刻。
坐标的面积公式
坐标的面积公式在数学中，我们经常需要计算平面上各种图形的面积。
当图形的边界由坐标轴上的点确定时，我们可以使用坐标的面积公式来计算图形的面积。
坐标的面积公式是一个基础且实用的数学工具，在几何学、物理学以及工程学等领域都有广泛的应用。
1. 点与坐标轴在平面直角坐标系中，我们将平面分成四个象限，我们通常用两个数来表示一个点在坐标系中的位置。
这两个数分别为x坐标和y坐标，分别对应横轴和纵轴的位置。
例如，点A的坐标为(x, y)。
2. 矩形的面积公式首先，让我们以矩形为例来介绍坐标的面积公式。
矩形是由四条边界分割的图形，两条边界分别与x轴和y轴平行。
假设矩形的两个顶点坐标分别为(Ax, Ay)，(Bx, By)，(Cx, Cy)和(Dx, Dy)。
则矩形的面积可以通过以下公式计算：面积 = |(Bx - Ax) * (Cy - Ay)|上述公式表示矩形的面积为矩形两条边长之积的绝对值。
3. 三角形的面积公式接下来，我们来介绍计算三角形面积的公式。
假设三角形的三个顶点坐标分别为(Ax, Ay)，(Bx, By)和(Cx, Cy)。
三角形的面积可以通过以下公式计算：面积 = |(Ax * (By - Cy) + Bx * (Cy - Ay) + Cx * (Ay - By)) / 2|上述公式使用了行列式的概念来计算三角形的面积，其中绝对值保证了面积的正值。
4. 多边形的面积公式除了矩形和三角形，我们还可以使用坐标的面积公式计算更复杂的多边形的面积。
对于n边形，我们可以将其划分为若干个三角形，然后使用三角形的面积公式分别计算每个三角形的面积，再将这些面积相加得到多边形的面积。
这个方法被称为三角剖分。
三角剖分方法的基本思想是找到多边形中一个顶点和相邻的两个顶点形成的三角形，计算该三角形的面积，并将它加入到总面积中。
然后，我们再移动到下一个顶点，重复相同的计算过程，直到遍历完所有的顶点。
最后，将得到的所有三角形的面积相加即可得到多边形的面积。
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平面直角坐标系中的面积法
1. 已知如图，矩形OABC的长OC=1，将△AOC沿AC翻折得△APC。
（1）填空：∠PCB=____度，P点坐标为（，）；
（2）若P，A两点在抛物线y=－4
3
x2+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上；
（3）在（2）中的抛物线CP段（不包括C，P点）上，是否存在一点M，使得四边形MCAP 的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由。
2．已知：二次函数y=ax 2
-x+c 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴
交于点C ，对称轴是直线x=
2
1
，且图象向右平移一个单位后经过坐标原点O. （1）求这个二次函数的解析式；
（2）求△ABC 的外接圆圆心D 的坐标及⊙D 的半径； （3）设⊙D 的面积为S,在抛物线上是否存在点M ，使得S △ACM =
12
5S
，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
3．如图，已知抛物线y ＝x 2
＋bx ＋c 与x 轴交于点A （1，0）和点B ，与y 轴交于点C （0，－3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图（1），已知点H （0，－1）．问在抛物线上是否存在点G （点G 在y 轴的左侧），使得S △GHC ＝S △GHA ？若存在，求出点G 的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图（2），抛物线上点D 在x 轴上的正投影为点E （－2，0），F 是OC 的中点，连接DF ，P 为线段BD 上的一点，若∠EPF ＝∠BDF ，求线段PE 的长．
图（2）
图（1）
4. 已知二次函数的图象经过A （2，0）、C (0，12)两点，且对称轴为直线x =4. 设顶点为
点P ，与x 轴的另一交点为点B .
（1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；
（2）如图1，在直线y=2x 上是否存在点D ，使四边形OPBD 为等腰梯形？若存在，求出
点D 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M 是线段OP 上的一个动点（O 、P 两点除外），以每秒2个单位长度
的速度由点P 向点O 运动，过点M 作直线MN ∥x 轴，交PB 于点N.将△PMN 沿直线MN 对折，得到△P 1MN. 在动点M 的运动过程中，设△P 1MN 与梯形OMNB 的重叠部分的面积为S ，运动时间为t 秒. 求S 关于t 的函数关系式.
O P
C B
A
x
y
图1。