论追龟辩的漏洞
高考古文主观题示例解读与训练
（选自《庄子》）
文本2
亡国之主不可以直言。不可以直言，则过无道闻，而善无自至矣。无自至则壅。秦缪公时，戎强大。秦缪公遗之女乐二八与良宰焉。戎王大喜，以其故数饮食，日夜不休。左右有言秦寇之至者，因扞弓而射之。秦寇果至，戎王醉而卧于樽下，卒生缚而禽之。齐攻宋，宋王使人候齐寇之所至。使者还，曰：“齐寇近矣，国人恐矣。”左右皆谓宋王曰：“以宋之强，齐兵之弱，恶能如此？”宋王因怒而诎杀之又使人往视齐寇使者报如前宋王又怒诎杀之如此者三其后又使人往视使者遇其兄曰：“国危甚矣，若将安适？”其弟曰：“为王视齐寇。不意其近而国人恐如此也。今又私患乡之先视齐寇者，皆以寇之近也报而死；今也报其情，死，不报其情，又恐死。将若何？”其兄曰：“如报其情，有且先夫死者死。”于是报于王曰：“殊不知齐寇之所在，国人甚安。”王大喜。左右皆曰：“乡之死者宜矣。”王多赐之金。寇至，王自投车上，驰而走。
（节选自《韩非子·难一》）
【注】①襄子：赵襄子。春秋末年，知、赵、韩、魏四家把持晋国国政，称“晋四卿”。晋阳之战，知氏（荀瑶）联合韩、魏攻赵，反被赵襄子联合韩、魏灭杀。
材料2
陈人有武臣，谓子鲋②曰：“韩子立法，其所以异夫子之论者纷如也。予每探其意而校其事，持久历远，遏奸劝善，韩氏未必非，孔氏未必得也。若韩非者，亦当世之圣人也。”子鲋曰：“今世人有言高者必以极天为称，言下者必以深渊为名。好事而穿凿者，必言经以自辅，援圣以自贤，欲以取信于群愚而度其说也。若诸子之书，其义皆然。请略说一隅，而君子审其信否焉。”武臣曰：“诺。”子鲋曰：“乃者赵、韩共并知氏，赵襄子之行赏，先加具臣而后有功。韩非书云夫子善之引以张本然后难之岂有不似哉？然实诈也。何以明其然？昔我先君以春秋哀公十六年四月己丑卒，至二十七年荀瑶与韩、赵、魏伐郑，遇陈恒而还，是时夫子卒已十一年矣，而晋四卿皆在也。后悼公十四年，知氏乃亡。此先后甚远，而韩非公称之，曾无怍意。是则世多好事之徒，皆非之罪也。故吾以是默口于小道，塞耳于诸子久矣。而子立尺表以度天，植寸指以测渊，矇大道而不悟，信诬说以疑圣，殆非所望也。”
破解“李约瑟难题”之二：中国为什么没有形式逻辑体系
第五节地理环境的差异影响三，形式逻辑体系题记：形式逻辑，一门以思维形式及其规律为主要研究对象，同时也涉及一些简单的逻辑方法的科学。
概念、判断、推理是形式逻辑的三大基本要素。
形式逻辑体系的萌芽“记得爱因斯坦说过，‘西方科学的发展是以两个伟大的成就为基础，那就是：希腊哲学家发明的形式逻辑体系以及发现通过系统的实验可以找出因果关系。
’”周秘书道，“中国为什么就没有形式逻辑体系和‘系统的实验’呢？”“说到‘实验’，中国古代一直有重视实验的传统。
”杨若水道，“比如说火药，‘一硝二硫三木炭’，火药的最佳配方怎么来的？还不是通过一次次做实验得来的？中国古代科学家都很重视科技实践，徐光启亲自种过豆类、甘薯，李时珍亲自栽培药材。
这样的例子很多很多。
而同时期欧洲的经院哲学家们‘可以就鼹鼠是否长眼睛的问题，引经据典，争论不休，却没有人亲自捉只鼹鼠来看个究竟。
’在‘实验’方面，我们比西方只强不弱。
”“爱因斯坦说的是‘系统’的实验，‘系统’的。
”周秘书强调道。
“所谓‘系统’的实验，就是一系列实验，实验和实验之间相互关联。
”杨若水道，“分析这些相互关联的实验结果，通过逻辑推理，就可以找出因果关系。
无论是实验的设计还是实验结果的分析、推理，考验的其实还是实验者的逻辑推理水平――换句话说，对已经有‘实验’传统的中国来说，爱因斯坦说的两个因素其实是一个因素――形式逻辑体系。
”“是啊，”周秘书道，“那为什么西方就能有形式逻辑体系呢？在形式逻辑学的帮助下，西方把相关的知识点‘串’了起来，构成了一套套理论体系；中国却没有做到这一点，中国人虽然取得了很多科技成果，但却没有把这些科技成果‘串’起来，上升为理论――甚至有人说，中国古代‘有技术，无科学’。
西方形式逻辑体系是怎么形成的呢？为什么中国就没有形式逻辑体系呢？”“西方形式逻辑体系的起源要从‘第一次数学危机’讲起，”杨若水道，“‘第一次数学危机’就是‘根号２’（√2）的发现。
大约公元前5世纪，古希腊的毕达哥拉斯发现了勾股定理，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。
浅析芝诺悖论
浅析芝诺悖论作者：梁舒娅来源：《卷宗》2016年第07期摘要：本文从哲学史的角度出发，力图回顾自亚里士多德开始，历代学人对于芝诺悖论的讨论，并尝试从亚里士多的逻辑学维度分析芝诺悖论，以寻求解决芝诺悖论的可能性。
关键词：芝诺悖论；亚里士多德；黑格尔；罗素；逻辑漏洞芝诺悖论之所以能为后人所知，离不开亚里士多德在《物理学》中对此悖论的记载与讨论。
居于埃利亚的芝诺为了捍卫老师巴门尼德关于“存在”不动、“存在”是一的学说，提出了著名的运动悖论和多悖论，以此来表明运动和多是不可能的。
根据现有材料，对芝诺悖论最早的批评来自亚里士多德。
其一，对于二分辩，亚里士多德从无限性入手来加以反驳。
他认为，关于一个事物的无限性包含两种意义：一是无限可分，二是无限宽广。
无限可分的长度或时间并不意味着无限宽广。
有限长度无限可分，有限时间同样无限可分，因此在有限时间内是可以通过有限长度。
其二，对于追龟辩，亚里士多德认为，如果乌龟在领先的情况下没有被阿喀琉斯追上，那么这个命题是正确的；但如果让二者跑一段有限的距离，那么乌龟就会被追上。
其三，对于飞矢不动，他认为：结论的产生是由于芝诺假定了时间是由瞬间组成的这一前提，如果没有这个假定，就不会得出这样的结论。
由此并不能看出亚里士多德是如何驳倒飞矢不动的。
最后，对于运动场，亚里士多德认为错误的原因在于：芝诺认为一个物体以相同的速度通过一个移动物体和一个同样大小的静止物体，所需时间是相等的，而这是不可能的。
亚里士多德对芝诺的批判受到了来自黑格尔的质疑。
首先，黑格尔认为芝诺并没有否定运动，而是在考察运动的真理性，亚里士多德对芝诺的理解是有误的。
他在《哲学史讲演录》中解释道：“亚里士多德引证这点说，芝诺否定了运动，……但这话不可以了解为运动完全不存在，像我们说‘有象，没有犀牛’那样。
至于说有运动，说运动的现象是存在的，芝诺完全不反对运动。
问题乃在于考察运动的真理性。
”由此可知，黑格尔试图告诫人们注意在研究芝诺悖论时，应当像芝诺当初思维运动那样去思维运动，需要从是在的运动中抽象出概念，再用概念来表达运动。
芝诺-追龟悖论
追龟悖论
“追龟悖论”是古希腊人芝诺提出的多个悖论之一。
原话是“阿基里斯追不上乌龟”（阿基里斯是跑得最快的人）。
这个战士想要捉住一公里外的一只海龟。
M：当阿基里斯跑到海龟原来所在点时，海龟已向前爬了10米。
M：但是当阿基里斯跑到10米处时，海龟又爬到前面去了。
海龟：你别想抓住我，老朋友。
只要你一到我原先所在的地方，我就已经跑到前面一截；了，那怕这个距离比头发丝还小。
这个追龟悖论本身的假设就有问题：芝诺的假设就是阿基里斯追不上乌龟。
因为他总假设阿基里斯只追到乌龟当前在的那个点，而乌龟又往前走了一点……虽然他们之间的距离在不断缩小，乃至趋于零，但仍旧无法追上。
芝诺的假设存在问题之处就在于他去除了时间的概念（要知道阿基里斯的速度是比乌龟快的，有了速度，就是引入了时间，引入了时间，阿基里斯就一定能追上乌龟……事实也是如此），但芝诺的假设不考虑时间，只在空间（不含时间的空间）上考虑问题。
就如给你一条线段，首先截去1/2，然后把剩下的一半再截1/2，再取剩下的一半截1/2……如此重复下去。
最终的结果呢?线段能截玩吗？答案显而易见：截不完，无论剩的多么少，都截不完。
这和追龟悖论是一样的，只在空间上考虑问题，没有时间的概念。
综上，芝诺的追龟悖论本身的假设存在问题……在没有时间的空间里去讨论实际上存在时间约束问题的“阿基里斯追龟”是没有意义的。
个人见解
2013.10.15。
促进逻辑学发展的名家诡辩术
外 ，这便 是 “ 坚白石二 ”。这个观点当
关于邓他关于 石头不同属性 的 但邓析 自己的命运 也很惨 ，不论是 《 左 家 名称 的 翻译 上 ，有 个比 较好 玩 的事 认识 ，则是正确 的 ，只是他 太强 调感官 传 》 所说 的 “ 郑驷颛杀邓析而用 其 《 竹 情 ：名家译成英 文时 ， 有时译作诡辩家
的道路 。 篇重要篇章是 ＜ 坚白论 ＞，就矗
操两可 的视线中消失了 ，只有在提起庄子的时 除了 ＜ 白马论＞， ＜ 公孙龙子 ＞中另 就不得而知了 ，但这是邓析子 “
—
的 之说 ，设无穷之辞”的一件典型事例 ， 有时 人们 也 称之 为 “ 可说 ” 。写 作 两
候， 人们才会想起有个曾经凰 子抢自 蛀｜ 己相位、每每辩论总输 人的惠施； 在抚 摸自己的坐骑或看别人乘马时 ， 可能才会
由此 展现了他 “ 诡辞数万 ”的本领 ，按
子 》中有这样一句话 ： “ 夫水浊则无掉 尾之鱼 ， 政苛则无逸乐之士。” 这 难道是 “ 水至 清则无鱼 、人至察
则无徒”的前身吗？非也非也 ，请仔细 看 ，邓析是主张水要更清一些的。有点
尘封的名家
现 在给大家讲一个故事 ， 这个 故事
不必着 命—击便是 ，它忽略 了同—性自身也包 主意 。邓析给买家出主意说 ： “
如果 按 《 汉书 ・ 艺文 志 》的说 法 ， 曾有一位 名叫黄疵的 秦朝博士 ，是见于 史籍 中年代最晚 的名家 。其实算起来 ， 会比由战国而入秦的黄疵年长太多 。此
含着差异 性 ， 将逻辑 思路带 上了 “ 形而 急 ，没有人会去买这个尸体的 。”转 回
上学 （ 这本是道 家的一 个词语 ，后来几 乎被我们拿来用做 “ 死板”的代名词 ）”
浅析芝诺悖论中的无限思想
浅析芝诺悖论中的无限思想作者：杨旭曾丽来源：《现代职业教育·中职中专》2019年第08期［摘 ; ; ; ; ; 要］ ;悖论的产生可能引起数学危机，但是通过解决数学危机得以促进数学的发展。
结合芝诺悖论中的“二分法”与庄子的无限分割思想阐述有限与无限之间的辩证关系。
［关 ; ;键 ; 词］ ;芝诺悖论；二分法；一尺之锤；无限［中图分类号］ ;O173 ［文献标志码］ ;A ; ［文章编号］ ;2096-0603（2019）23-0172-02悖论通常是指它的结论实际上违背客观实际，但其推理过程却看似合情合理。
数学中某个悖论的提出在很长时期困扰着一些数学家及数学爱好者，但在其不断推理的过程中却推动了数学的发展。
如芝诺提出的“二分法”“追龟论”“飞矢不动”“二倍等于一半”四大悖论，其结果荒谬，但推理过程却又似乎合乎逻辑，引起广泛的争论。
根据亚里士多德的记载，芝诺四个悖论的主要内容有以下几点：1.“二分法”悖论是指运动不存在。
芝诺认为一位运动者要想从起点到达终点，在这一运动过程中，他必须要先走到原来路程的一半，才有可能抵达终点，而原来路程的一半还会有它的一半，这样每个一半都有它的一半，如此类推下去，以至无穷，那么运动者连动也不能动。
2.“追龟论”是指阿基里斯（古希腊神话中跑步非常快的人）永远都追不上他前方爬的较慢的乌龟。
芝诺提出，阿基里斯要想追上他前面慢跑的乌龟，必须要先追到乌龟爬行的起始位置，每一次当他追到乌龟的起始位置，乌龟又爬到了下一个起始位置，周而复始，纵使阿基里斯速度很快，他却永远追不上乌龟。
3.“飞矢不动悖论”是指射出去的箭矢是不动的。
芝诺介绍道，射出去的箭矢在某一瞬间，它占据着一个固定的位置，并且每一个瞬间它都占据着一个固定的位置。
运动是位置的变化，而箭矢在飞出之后由于任何时刻都待在一个固定的位置，因而飞矢不运动即飞矢在每个时刻都是静止的。
4.“二倍等于一半”：假定时空由最小不可分单位“瞬时”与“此地”组成有两个物体，一物体在瞬时向左移一个单位，另一物体在这瞬时向右移动一个单位，这样，在这瞬间两物体相距了两个单位。
自然辩证法学习笔记-中科院刘二中老师
自然辩证法学习笔记-中科院刘二中老师科院刘二中自然辩证法学习笔记ChapⅠ绪论一什么是自然辩证法？自然辩证法是关于自然界、自然科学发展的普遍规律的科学，是马克思主义自然观和科学技术方法论，由恩格斯首先提出。
二发展过程恩格斯-> 列宁-> 于光远ChapⅡ自然观一古代自然观1. 中国古代自然观i>. 五行金，木，水，火，土；ii>. 八卦：乾，离，兑，震，巽，坎，艮，坤对应：天，泽，火，雷，风，水，山，地iii>. “元气”：宇宙天地和世界万物都是由“气”构成的。
iv>. “浑天”v>. “宣夜”2.赫拉特利特：认为火为本源。
罗格斯：“一个人不能走进同一条河流”。
认识到对立物的同一，转化和斗争；3.毕达哥拉斯：i>. 灵魂转世说；ii>. 数（有理数）即万物；补充：毕达哥拉斯发现了勾股定理之后，其一名弟子提出，等腰直角三角形的斜边与直角边之比，不是有理数。
毕达哥拉斯认为该弟子与其哲学观相左，将这名弟子扔进大海杀害。
iii>. 和谐说；4.诡辩学派，世界即“存在”。
存在是永恒的，唯一的，不运动的，不变化的。
代表人物：芝诺。
二分辨运动场辩追龟辩飞矢辩5.苏格拉底i>. 目的论世界之所以如此，是因为“神”有“目的”的安排。
为什么世界如此“和谐”？是因为神的特殊安排，不可能是随机的。
人无法也不应该研究事物的原因，而应当研究事物的目的，借此领会神的智慧和意志。
补充：苏格拉底从研究事物的起源开始，由于当时认知手段的局限性，在遇到困难后，转而向有神论妥协。
ii>. 辩证法(实际上是辩论法)双方一问一答，互相诘难，使对方陷入矛盾，承认自身的无知，逐步修正意见，从而导致真理。
——因为过程之痛苦，又被称为“催产术”。
6.柏拉图（师从苏格拉底）理念说/理念世界著作：《理想国》柏拉图：“人的正确思想是从哪里来的？”“为什么人的观念和世界事物一致？”i>. 存在一个纯粹的理念世界，无任何物质，只有精神；ii>. 感觉世界的事物，是理念世界的摹本或映像；iii>. 物质世界后于理念世界，从“善”出发，以理念世界为蓝图，将“混沌(chaos)的泥土”塑造成感觉世界的事物；iv>. 认知即回忆。
警惕墨子逻辑论证的“漏洞”
警惕墨子逻辑论证的“漏洞”作者：董健来源：《七彩语文·高中新语文学习》2022年第09期《兼爱》是墨子的代表作，共分为上、中、下三篇，教材选的是上篇。
在这一篇中，墨子提出了他的核心思想——“兼爱”，认为“天下兼相爱则治，交相恶则乱”。
春秋战国时期是中国社会的大转型、大变革时期，这时奴隶制度已经开始崩溃，封建制度正在逐步建立，礼崩乐坏、王权衰败、生灵涂炭，社会的动荡给人民带来极大的痛苦。
墨子对现实生活给予积极的关注与思考，站在平民的立场上，认为一切的灾难和邪恶都是人们不相爱带来的恶果，因而提出“兼爱”这一政治主张。
从这一点上说，墨子无疑是“中国的良心和灵魂”（墨学研究专家张知寒语）。
但是墨子的《兼爱》在逻辑论证上并不是很严密，甚至存在很大的“漏洞”，值得警惕。
我们不妨先来梳理一下《兼爱》的论证逻辑：墨子认为“圣人以治天下为事者也，必知乱之所自起，焉能治之”，“当察乱何自起？起不相爱”；接着墨子以父子、兄弟、君臣、盗贼、大夫、诸侯为例加以印证；再接着提出解决问题的方法——“若使天下兼相爱”，那么“不孝不慈亡”“盗贼有亡”“大夫之相乱家、诸侯之相攻国者有亡”，“则天下治”。
墨子的逻辑链非常简单：天下乱起自不相爱，相爱则天下太平。
在墨子看来，“兼爱”是一剂包治百病的良药，而且药到病除，功效卓著。
然而真正的逻辑和事实是这样吗？我们以其中的“父子之乱”来考察一下墨子的逻辑。
墨子说，“子自爱，不爱父，故亏父而自利”“父自爱也，不爱子，故亏子而自利”“是何也？皆起不相爱”。
墨子认为父亲与儿子之间产生矛盾都是因为不相爱，然而这样的逻辑显然是经不起推敲的。
我们看看身边，父子之间有矛盾的难道都是因为不相爱吗？“爱之愈深，恨之愈切”，因爱生恨的例子太多，我们发现父子之间的矛盾冲突大多不是因为不相爱，而是因为爱得太深。
父子之间产生矛盾的原因太多，可能因为观点不同，也可能因为理念不一，也可能因为沟通不畅……同样，兄弟、君臣、盗贼、大夫、诸侯之间“乱”的原因也是多种多样的。
国科大刘二中自然辩证法重点与考题
名词解释1.自然辩证法：是关于自然界、自然科学发展滴普遍规律滴科学，是马克思主义滴自然观，科学技术观和科学技术方法论。
它是由恩格斯首先提出来滴2.新颖性：指在申请日以前，没有同样滴发明或者实用新型在国内外出版物上公开发表过、在国内公开使用过、或者以其他方式为公开所知，也没有同样滴发明或实用新型由他人向专利局提出过申请，并且记载在申请日以后公布滴专利文件中。
3.创造性：同申请日以前已有滴技术相比，该发明有突出滴实质性特点和显著滴进步，该实用新型有实质性特点和进步。
4.实用性：该发明或实用新型能够制造或使用，并产生积极效果。
5.创造：是产生新颖，而且有特殊效果滴思想活动。
6.机遇：是在科学研究中偶然发现滴重要意外现象。
7.灵感：发散思维中自由联想产生出来滴具有特殊价值滴想法8.分析：在实验和观察滴基础上，用归纳法进行论证，从结果到原因，从特殊原因到普遍原因，一直到最普遍滴原因。
9.综合：假定原因已找到，并且找它们列为原理，再用这些原理解释由它们发生滴现象，并用观察和实验证明这些解释滴正确性。
10.发明：专利法所称滴发明，是指对产品、方法或者其改进所提出滴新滴技术方案。
11.实用新型：专利法所称滴实用新型，是指对产品滴形状、构造或者其结合所提出滴适于实用滴新滴技术方案。
12.观察：获取研究对象自然信息滴过程。
13.归纳：由特称命题过渡到全称命题滴思维方式、非逻辑过程。
14.演绎：由全称命题过渡到特称命题滴思维方式、逻辑过程15.从众性：有意无意地保持和其他人一样。
是一种对创造力不利滴个性。
16.可证伪度：一种理论容易被证伪滴程度。
一种理论普遍度、精确度越高，可证伪度越高17.确认和确认度：一种理论被有限次"证实"滴程度--确认度（代表了波普证伪主义理论滴妥协）18.逼真度：一个理论中真实性内容与虚假性内容之差。
允许科学存在虚假性内容实际上允许了科学理论中真实性内容和虚假性内容共同性存在1.辩证唯物主义滴内容？产生滴背景？内容：一切僵硬滴东西融化了，一切固定滴东西消散了。
解析芝诺悖论内含的逻辑漏洞
・自然哲学・ 文章编号:1000-8934(2005)11-0001-04解析芝诺悖论内含的逻辑漏洞刘 二 中(中国科学院研究生院 人文学院,北京 100049) 摘要:本文回顾了亚里士多德等人对芝诺悖论的一些看法,指出寻找该悖论推理过程逻辑漏洞的必要性,并试图给出对追龟辩和飞矢辩不同于亚里士多德、罗素等人的分析。
关键词:芝诺悖论;诡辩;逻辑学;亚里士多德;罗素中图分类号:N031 文献标识码:A收稿日期:2005-08-03作者简介:刘二中(1949-),河北顺平人,数理硕士,中国科学院研究生院人文学院教授,主要研究方向:科技史、科学方法论。
芝诺(Zeno ,约公元前495-425年)提出的关于运动的四个著名悖论,在哲学史、数学史和逻辑学方面都具有重大影响。
其结论荒谬,推理又似乎合理,引起不少学者的关注。
而芝诺悖论是否能被破解,似乎仍有疑义〔1〕。
甚至有学者断言,芝诺悖论在逻辑上是正确的,尽管与事实不符。
另一方面,人们曾经试图从哲学的角度或是逻辑的角度对该悖论进行反驳或破解。
这种反驳或破解是否令人满意甚至是否可能,仍有争论。
下面本文将就此展开讨论。
1 芝诺的诡辩与亚里士多德的逻辑芝诺的悖论包括“二分辩”、“追龟辩”、“飞矢辩”、“运动场辩”。
需要指出的是,这些悖论实际上是一个否认运动的总的悖论的组成部分。
芝诺为了维护他的老师巴门尼德关于运动是不可能的论点,证明如果承认运动就会导致这四个悖论〔2〕〔3〕。
据希腊史学家普罗克修斯说,实际上芝诺从“多”和“运动”出发,曾一共导出过四十个悖论,留存下来的有八个,其中四个与运动有关。
按照克莱因(K line ,Morris )的看法,当时人们对于空间、时间和运动有两种对立的看法:一种认为空间和时间无限可分,这样的话运动将是连续而又平顺的;另一种认为空间和时间是由不可分的小段组成的,那样的话运动将是一连串的小跳动。
芝诺的二分辩和追龟辩针对的是前者,飞矢辩和运动场辩针对的是后者〔2〕〔3〕。
空间的连续性与离散性
调和级数通项公式的推导
• 由于调和级数中n为正整数的限制，所以如 果把数轴看作是一个一维的空间，那么这 个空间是离散的，表示数轴空间的最小空 间单元是S0=1，由这样的近似计算导致了 调和级数求和公式中欧拉常数的产生。
讨论时空的连续性的等价关系
• 讨论的前提：经典物理世界——宏观、低 速
• 对时间、空间概念的解释 • 对时间、空间的定量描述
紧随的之前的实数 • 2、任意两实数之间有无穷多个实数。
利用实数性质推证空间连续性
• 假定空间是离散的，既存在最小的长度单 元R0,对于任意的一个现实长度R,R=mR0(m 为整数）。也就是说，任意长度的线段都 可以表示为长度为R0线段的整数倍
• 问题的产生： • 毕达哥拉斯学派中“不可公度的线段”。 • 由此可见，最小的长度单元是不存在的，
空间的连续性与无理数的存在是等价的。
时间与空间的定性联系
• 问题的产生：芝诺悖论 • 时空的连续性： 二分辩：绝对运动的不存在
追龟辩：相对运动的不存在
• 时空的离散性： 飞失不动论：绝对运动的不存在
空间场辩：相对运动的不存在
为什么时间与空间是同时连 续或同时离散的？时空的连 续性是彼此等价的吗？
对时空连续的等价性的证明
• 证明二： • 如果是空间连续的而时间是离散的，那么匀速物
体以最小的时间单元T0运动所通过的空间为R0 ， 则R0以下的空间变量只能描述静止的物体而不能 描述运动的物体。但从经典的时空观开看，空间 是物质的存在载体，没有可以脱离空间而存在的 物质，却有可以脱离物质而存在的空间（真空）， 因此， R0以下的空间变量不能描述运动的物体的 观点本身同空间对物质的无依赖性相悖。——矛 盾的产生
对时间、空间的定量描述
虎兕出于柙龟玉毁于椟中论证方法
虎兕出于柙龟玉毁于椟中论证方法虎兕出于柙龟玉毁于椟中论证方法“虎兕出于柙，龟玉毁于椟中”，这句话告诉我们，任何珍贵的、有价值的事物若被长期禁锢或者保存不当，最终会无法保全。
这种论证方法被称为“柙龟玉毁于椟中”。
那么从这句话出发，我们可以对“柙龟玉毁于椟中”这种论证方法进行分析和探讨，以期更好地理解这种方法的含义和作用。
首先，什么是“柙龟玉毁于椟中”？这个成语本意是指珍贵的物品长时间被禁锢或者保存不当，最终会导致其价值丧失。
人们应该及时地将这些物品释放出来，让它们发挥出应有的作用。
在论证中，“柙龟玉毁于椟中”则类似于“时间会证明一切”或者“大道至简”的论证方法。
一方面，它强调了长时间作为一个变量对物品的影响。
另一方面，它也在某种程度上体现了争辩方对另一方主张的不信任。
只有等待时间的历练或者暴露真相的检验，才能真正地看清现实。
那么，“柙龟玉毁于椟中”这种论证方法的优点和缺点分别是什么呢？首先，它能够让争论双方摆脱主观想象和拟造情况的陷阱。
如果某一个观点被完全同意，它很可能出现类似于“玉镯腐朽，丝带断了”的局面，最终可能导致这个观点的价值丧失。
而如果不能取得统一，我们不妨按照“柙龟玉毁于椟中”的方法，给这个观点一定的时间和空间，等待其真实价值的显露。
其次，“柙龟玉毁于椟中”的方式也有一定的缺点。
其中最明显的一个是它需要时间和实证资料的支持。
这意味着，这种论证方法的可靠性和准确性很大程度上依赖于过程和结果。
再加上，它也比较适用于较为客观、不带主观判断的领域。
最后，怎么应用“柙龟玉毁于椟中”这种论证方法呢？首先，要对“柙龟玉毁于椟中”的含义进行充分理解。
只有这样，我们才能在日常的争论中运用它。
然后，要注意掌握时机。
在某些时候，需要及时展示事物真实面貌，而在另一些时候，需要给这段历史留出一定的时间和空间。
最后，我们也要尽量在过程中寻找实证资料。
从另一个方面来说，这也是一个不断验证、丰富和完善人类文化和智慧的过程。
211059693_司马错三招辩倒张仪
28人所缺乏的不是才干而是志向，不是成功的能力而是勤劳的意志。
《战国策·秦策一》中记有一个《司马错论伐蜀》的片段，记载了司马错与张仪的一场经典争论。
这是战国史上著名的辩论，张仪虽然贵为连横派的领袖，这次却败在同样滔滔雄辩、有理有力的司马错面前。
司马错跟张仪在秦惠王面前争论战事。
司马错主张先去攻打蜀国，张仪说：“不如先去攻打韩国。
”秦惠王说：“请你们各自说说理由。
”张仪说：“我们先跟楚、魏两国结盟，然后再出兵三川，堵住轘辕和缑氏山的关口，挡住屯留的孤道，这样魏国就能阻止韩国出兵南阳，使楚军进逼韩国都城南郑，这时我们秦兵再攻打新城、宜阳，兵临东西周城外，惩罚二周的罪过，占领楚、魏两国的土地。
周王自知无法解救，一定会交出九鼎等宝物。
我们据有九鼎之后，再按照地图和户籍，假借周天子的名义号令诸侯，天下没有敢不听我们命令的，这才是霸王之业。
现在的蜀国，只不过是西方一个边远小国，戎狄各族的首领，即使劳民伤财发兵前往攻打，也不能因此而建立霸业。
臣常听人说：‘争名的人要出入朝廷，争利的人要出入市场。
’现在三川、周室乃是天下的朝廷和市场，可是大王却不去争，反而争夺戎、狄等蛮夷之邦，这距离霸王之业实在太远了。
”司马错说：“不是这样的，我听说，要想使国家富强，务必先扩张领土；要想兵强马壮，必须先使人民富足；要想得到天下，一定要先广施仁政。
这三件事都做到以后，自然可以获得天下。
如今大王地盘小，百姓穷，所以臣希望大王先从容易的地方着手。
因为蜀国是一个偏僻小国，是戎狄各族的首领，并且有像夏桀、商纣一样的祸乱。
如果用秦国的兵力去攻打蜀国，就好像派狼群去驱逐羊群一样简单。
秦国得到蜀国的土地可以扩大版图，得到蜀国的财富可以使百姓富足；虽是用兵却不伤害一般百姓，并且又让蜀国自动屈服。
秦灭掉了蜀这样的小国，诸侯不会认为秦暴虐；即使秦抢走蜀国的一切珍宝，诸侯也不会认为秦国贪婪。
我们只要做伐蜀一件事，就可以名利双收，甚至还可以得到制止暴虐、平息骚乱的美名。
先秦名家与古希腊诡辩思想比较研究
先秦名家与古希腊诡辩思想比较研究先秦名家是中国古代哲学的重要流派之一，诡辩思想则是古希腊哲学中一种典型的辩证思想，两者在一些方面存在相似之处，也有不同之处。
本文将通过对两种思想的比较研究，探讨其异同点。
一、名家与诡辩的相似之处1.肯定变化性名家主张“变易”，即“万物变化皆属于同一规律”，而诡辩主张“相对主义”，即“世界上不存在固定不变的事物或真理，所有真理都是相对的”，均肯定了变化性。
2.强调言辞的力量和技巧名家强调言辞的力量和技巧，有“辞”之说，而诡辩也认为辞令很重要，追求言辞的优美和正确性，两者均强调强大的辞令技巧可以迷惑、欺骗人群。
3.批判传统观念名家在一定程度上批判了传统观念，其构建的“名实分立”思想，批判了传统儒家的“君子为学”说法，认为只有事实才是最重要的；而诡辩则试图通过批判传统哲学，挑战社会运作方式，对社会结构进行改革。
4.关注人性名家和诡辩都对人性关注甚密，即分别强调人性的欲望和智慧的本性和狡猾的本性。
名家中的“兼爱”说强调要尊重人性、照顾人类利益，诡辩的“恶辞斗争”则体现出人性的本质狡猾和渴望胜利。
5.都关注语言两者都强调语言的重要性，名家普遍重名重实，重视语言的意义和真实性；诡辩则通过辩论，思考语法、语言等方面的逻辑性。
二、名家与诡辩的不同之处1.名家追求安逸，诡辩追求辩论名家强调“德中积至，名彰于天下”，注重求得“名”，同时推崇“退而无输”、“安内强外”的境界。
而诡辩思想则是追求导出结论和辩论的过程本身，而不是结论。
对诡辩者而言，辩论其本身就是一项娱乐和认知的活动。
2.名家推崇实通过程，诡辩注重逻辑名家以“己所不欲，勿施于人”为道德原则，认为实践经验至为重要，诡辩则注重逻辑推理和发条的思考。
在名家看来，世间上不存在所谓的万能真理，而只有基于经验的推理；而对于诡辩则是将谦虚、灵活的态度转化为思维方法。
3.名家注重个体与社会的平衡，诡辩则是突破传统的思考方式名家认为个人的内在修养与社会的和谐平衡，是实现正常生活和判断能力的最佳途径。
2023晋城市九年级上册文言文语文试卷
2023晋城市九年级上册文言文语文试卷一、文言文1．阅读下面文章，完成下列小题。
古镜余于谯亳得一古镜，以手循①之，当其中心，则摘然如灼龟之声②。
人或曰：“此夹镜③也。
”然夹不可铸，须两重合之。
此镜甚薄，略无焊迹，恐非可合也。
若使焊之，则其声当铣塞④;今扣之，其声泠然纤远。
既因抑按而响，刚铜⑤当破，柔铜不能如此澄莹洞彻⑥。
历访镜工皆罔然不测。
——选自沈括《梦溪笔谈》（注释）①循：抚摸。
②摘然如灼龟之声：开裂似地发出像灼烤龟甲的声音。
③夹镜：带夹层的镜子。
④铣塞：滞涩不通畅。
⑤刚铜：硬铜。
⑥澄莹洞彻：澄明透亮。
（1）下面选项中符合“此镜甚薄”中“甚”字意思的一项是（）A.过分B.超过C.很；极D.什么（2）请用“/”为文中划线句断句。
历访镜工皆罔然不测（3）本文写“循”和“扣”时发出的声音引起了人们怎样的疑惑？突出了古镜什么特点？2．阅读《醉翁亭记》，回答下列小题。
醉翁亭记环滁皆山也。
其西南诸峰，林壑尤美，望之蔚然而深秀者，琅琊也。
山行六七里，渐闻水声潺潺而泻出于两峰之间者，酿泉也。
峰回路转，有亭翼然临于泉上者，醉翁亭也。
作亭者谁？山之僧智仙也。
名之者谁？太守自谓也。
太守与客来饮于此，饮少辄醉，而年又最高，故自号曰醉翁也。
醉翁之意不在酒，在乎山水之间也。
山水之乐，得之心而寓之酒也。
若夫日出而林霏开，云归而岩穴暝，晦明变化者，山间之朝暮也。
野芳发而幽香，佳木秀而繁阴，风霜高洁，水落而石出者，山间之四时也。
朝而往，暮而归，四时之景不同，而乐亦无穷也。
至于负者歌于途，行者休于树，前者呼，后者应，伛偻提携，往来而不绝者，滁人游也。
临溪而渔，溪深而鱼肥。
酿泉为酒，泉香而酒洌；山肴野蔌，杂然而前陈者，太守宴也。
宴酣之乐，非丝非竹，射者中，弈者胜，觥筹交错，起坐而喧哗者，众宾欢也。
苍颜白发，颓然乎其间者，太守醉也。
已而夕阳在山，人影散乱，太守归而宾客从也。
树林阴翳，鸣声上下，游人去而禽鸟乐也。
然而禽鸟知山林之乐，而不知人之乐；人知从太守游而乐，而不知太守之乐其乐也。
古今中外善辩、奇辩、诡辩实战大观3
没等坤文才罗嗦完，徐文长就指着两条扬起的尾巴说：“两牛斗殴，劲都用在牛角上，往前一顶，尾巴就碍事，所以画斗牛，理应把尾巴画在两股中间，把尾巴夹起来。你们瞧，这两条牛都扬着尾巴顶角，怎么个斗法啊？”
嘻嘻……哈哈……众人拍手答赞徐文长指得好说笑中，徐文长早把《斗牛阵》摘下来。坤文才心痛得直“咳咳”。
有一天早晨，他到睡意朦胧的国王床前打扫卫生，他说："哎呀，弹提罗真大胆，竟敢拥抱皇后。"听到这话，国王一下子翻身起来，喝问："你说的是真话吗？"侍从说道："万岁爷呀，我在夜里一直醒着，掷骰子太累了，尽管我不停地打扫，却防止不住打盹，记不得我刚才说了些什么。"国王可吃起醋来，心想，这家伙和弹提罗都可以自由地进入我的房子，说不定他真看见那家伙拥抱皇后，才说了这样的话。
强盗这时吓得急忙求饶，情愿交代，发誓不敢再翻案，并在供词上签字画押，这件案子就此了结了。
那位书吏见状恍然大悟，对新太守张船三叹服不已。
5、“穷不怕”的故事
提起“穷不怕”，可能有不少人都感到陌生。其实，“穷不怕”是相声的创始人朱少文的绰号。
朱少文是穷秀才出身。他学问深，口才非凡，能够同一答十，对答如流。
一次，他进京赶考遇上了大雨，只好躲进一个门洞里暂避。不一会儿，又先后进来了十几个赶考的人。门洞的主人是个有学问的秀才，他开门一看，门洞里不少人，有些不满，但转念一想，我何不试试这些人当中准最有学问。
于是他对避雨的人们说了个上联：“天留过客谁是过客主？”上联刚说完，朱少文就对出了下联：“雨阻行人君即行人东。”主人一听，下联对得还蛮恰当，就把朱少文让到屋里并给沏了一碗茶，说：“且施清茶一碗。”朱少文心想，弄碗茶还说个上联，真够扒嗤人的了。于是，对了个下联：“更请便饭一餐。”主人一听，忙叫家人备饭。一会儿，饭菜摆到桌子上，主人又说了一个上联：“无甚佳肴只备园中青菜。”朱少文听了，往窗外一看，发现鸡笼里面有鸡。于是，他眼珠一转，说出下联：“何劳盛馔清烹笼内黄鸡。”
阿基里斯追龟悖论
10 ， 0 . 1， . 01 , L 1， 0
结论：永远追不上绕圈如何？悖论就源自等着被驳倒希尔伯特旅馆
无穷个房间，而且已经住满 无穷个房间，而且已经住满 这时又来了一位，怎么办呢？ 又来了n位 又来了无穷多位…
∞+1=∞，∞+n=∞，∞÷2=∞， ∞+∞=∞
哲学家的计算
步数上看：一直都比乌 龟少一步
任何一个东西待在一个地方那不叫运动可是飞动着的箭在任何时刻不也是呆在一个地方吗
阿基里斯追龟悖论
苏向军
芝诺悖论
1.阿基里斯追不上乌龟 阿基里斯追不上乌龟：让爬得很慢 阿基里斯追不上乌龟 的物归先行一段路程，那么阿基里斯将永 远追不上乌龟。论证如下：阿基里斯为了 追赶乌龟，必须要先到达乌龟的出发点A； 当同时乌龟已经前进到B，等阿基里斯到 达B，乌龟又前进到C，…如此下去，虽然 越来越近，但是永远也追不上。
结论：很快就追上 结论：永远追不上
无穷多项相加，结果一定无穷大？
无穷项相加，一定无穷吗？
一尺之槌 日取其半 万世不竭
哲学家的计算
1.路程上看： 10 + 1 + 0.1 + L
时间上看：1 + 0 . 1 + 0 . 01 + L
3.步数上看：比乌龟少一步
10 ， 0 . 1， . 01 L 1， 0
结论：永远追不上
哲学家的计算
时间上看： 1 + 0 . 1 + 0 . 01 + L
永远都追不上
1 1 10 时间：1 + 0 . 1 + 0 . 01 + L = = = s 1 − 0 .1 0 .9 9
并非永远
无穷多项相加，结果一定无穷？
对李斯提出逐客是错误的这一观点提出反对作文
对李斯提出逐客是错误的这一观点提出反对作文李斯写的《谏逐客书》，文章从秦国统一天下的高度立论，反复阐明驱逐客卿的错误，写得理足辞胜雄辩滔滔，确实为议论文之佳作。
文中只有只言片语涉及李斯想留在秦国继续为官的表述，文章中的正反论证都是以秦王的利益为出发点，从不同侧面反复论证了逐客给秦国带来的危害和不逐客对秦国的深远意义。
从而提出“逐客是错误的”这个论点的正确性。
表面上看李斯的观点合情合理，但实际上对此我有如下几点辩驳：一、举例的片面性文章一开头，李斯便开门见山地指出秦王逐客的错误。
然后用正反面事实列举出秦往昔纳客而获得的种种好处和不纳客的坏处，继而动摇了秦王拒客的决心。
看似举例十分妥帖，但他似乎忽略了秦王逐客的最初原因，是因为韩国派了一个叫郑国的水利专家到秦国修长达三百余里的灌溉渠，企图以此来消耗秦的国力，不东伐韩。
这可能对强大的秦国来说不是特别大的事情，但长远来看，如果纳谏之人多是别国谏客，心系别国，长久以往对于将要一统天下的秦国并不是一件好事。
更何况历史上，卧底毁灭国家的事情屡见不鲜，商汤老师伊尹到夏朝去卧底。
摸清夏朝各种机密。
商汤抓住机会果断发兵，一举打败夏桀。
灭掉夏朝。
虽良禽择木而栖，但能背叛自己国家的人大部分也为精致的利己主义者，须审慎任用。
二、类比的不恰当性第二段里，李斯笔峰一转，设下了多种多样比喻，说秦王喜欢外来的音乐、器物等，用来说明秦王对不是秦国产的物品十分喜爱，对人却持另一种态度是不对的。
这些类比看似通情，其实并不恰当。
将活生生的人和物件作比对本身就是大错特错。
如果人与物件等同，那“科学无国界，科学家有国界”又是什么意思呢？三、李斯谏言的目的不纯最后，李斯“乘胜追击”，把攻心术运用到最彻底:指出秦只有纳客才不会有敌，否则不但得不到天下而且会危天下，正是这段话给了秦王思想上致命一击，令秦王的逐客思想防线彻底崩溃，不得不改变逐客的初衷。
这确实是李斯的高明之处，但我们也必须正视他谏言时刻的处境，正是他将要被驱逐的时刻，在这种“生死”攸关的重要时刻，他有理有据，把个人的私利隐藏在为秦王好、为秦国好的大义之下，这样准确揣度君王心理的别国人，难道不可怕吗？其实，身为楚国人的李斯向秦王进谏的目的十分明确，就是要继续留在秦国为秦王效力。
诡辩故事
诡辩故事：故事1：有两个15岁的中学生找到教他们希腊文教师的办公室，问道：“老师，请问：究竟什么叫诡辩呢？”这位精通希腊文且又精通希腊哲学的老师并没有直接回答这个问题。
他稍稍地考虑了一下，然后说：“有两个人到我这里来作客，一个人很干净，另一个很脏。
我请这两个人去洗澡。
你们想想，他们两个人中谁会去洗呢？”“那还用说，当然是那个脏人。
”学生脱口而出。
“不对，是干净人。
”老师反驳说，“因为他养成了洗澡的习惯；脏人认为没什么好洗的。
再想想看，是谁洗了澡呢？”“干净人。
”两个青年人改口说。
“不对，是脏人，因为他需要洗澡；而干净人身上干干净净的，不需要洗澡。
”老师又反驳说。
然后，他再次问道：“如此看来，我的客人中谁洗了澡呢？”“脏人！”学生重复了第一次的回答。
“又错了，当然是两个人都洗了。
”老师说：“干净人有洗澡习惯，而脏人需要洗澡。
怎么样？他们两人到底谁洗澡了呢？”“那看来就是两人都洗了。
”青年人犹豫不决地回答。
“不对，两人谁都没洗。
”老师解释说：“因为脏人没有洗澡地习惯，干净人不需要洗澡。
”“有道理，但是我们究竟该怎样解释呢？”两个学生不满地说，“你讲的每次都不一样，而又总是对的！”“正是如此，你们看，这就是诡辩。
”故事2：《艾子杂说》中有如下一个故事。
有个营丘人，很不通事理，却喜欢跟人家瞎争。
有一天，他去找艾子问：“大车下面和骆驼的颈项上都挂着铃，这是为什么？”艾子说：“大车和骆驼都是很大的东西。
如果它们在夜里行车，有人突然狭路迎面而来，来不及让路就会出事。
有了铃，叮当叮当地响着，双方就能准备互相让路了。
”营丘人说：“塔的上面也挂着铃，难道也是为了叫人准备让路吗？”艾子笑着说：“你这个人不通事理到这个地步！鸟雀喜欢在高的地方做巢，鸟粪会把高塔弄得很脏。
塔上挂了铃，风一吹，叮当一响，鸟雀就会被吓散。
你怎能拿它跟大车和骆驼比呢？”营丘人还要争辩：“猎人养的鹞鹰尾巴下也挂着铃，哪有鸟雀到鹞鹰的尾巴上去做窝呢？”艾子大笑说：“你这个人呀，不通事理得太奇怪了！鹞鹰出去捉鸟雀，它脚上系着绳子，有时会在树枝上缠住，如果它一扑翅膀，铃就会叮当响起来，人们就可以朝着铃声去寻。
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课程论文
COURSE PAPER
论追龟辩的漏洞
学院社区学院
专业汉语言文学大类
学号 13123605
学生姓名屠胡清
课程时间的辩白
打印日期 2014年4月16日
论追龟辩的漏洞
摘要：本文对芝诺提出的勇士与乌龟的作了历史上的回顾，也作出了经验上的反驳，并在逻辑学和数学方面总结了先人的探究结果，试着指出这一佯谬中所含的漏洞。
关键词：追龟辩逻辑学亚里士多德诡辩
芝诺(Zeno，约公元前495-425年)关于运动的悖论流传下来的有4个：二分辩、追龟辩、飞矢辩和运动场辩。
多年来，在如何看待和解释这些悖论所引起的矛盾方面，众多学者提出了各不相同的见解。
本文试着综合前人的见解并结合个人分析，以指出这一佯谬的漏洞。
1.芝诺的诡辩
芝诺的悖论悖论实际上是一个否认运动的总的悖论的组成部分。
芝诺为了维护他的老师巴门尼德关于运动是不可能的论点，证明如果承认运动就会导致这四个悖论。
按照克莱因( Kline, Morris )的看法，当时人们对于空间、时间和运动有两种对立的看法：一种认为空间和时间无限可分，这样的话运动将是连续而又平顺的；另一种认为空间和时间是由不可分的小段组成的，那样的话运动将是一连串的小跳动。
芝诺的追龟辩针对的是前者。
实际上，希腊数学家在发展数学的过程中已经形成了逻辑的基础。
在巴门尼德和芝诺活跃的年代，雄辩与推理风行一时。
然而，严密的逻辑学尚未形成,雄辩常常变成诡辩。
诡辩论是形而上学和主观主义的思想形式之一，是一切利用似是而非的推理和论断否认真理或阻碍探索真理的思维方式的总称。
例如，如果你同意你身上不可能有位于远处的东西这一判断，就只能得出你身上没有头的结论。
因为远处有只狗，狗有头，头在远处，而你已经承认身上不可能有位于远处的东西，所以你身上没有头。
由于人们往往不能指出这些雄辩的毛病，所以诡辩成为包括芝诺在内许多学者所向披靡令人无可奈何的法宝。
这种情形直到亚里士多德的时代才得到改变。
2.经验的反驳
听到这个悖论，我们很容易就可以安排一个实验，证明跑得快的可以追上跑得慢的。
其实最早的经验反驳提出者是古希腊时代犬儒学派的创始人第奥根尼。
据说当他的学生向他请教如何反驳芝诺时，他一言不发，在房间走来走去，学生还是不理解，他说，芝诺说运动不存在，我这不是正在证明他是错的吗？显然，所谓的经验反驳者并没有真正理解悖论的实质。
所谓悖论，就是指从公认的或者假定的同样前提出发，经过正确的逻辑推理，得出相互矛盾或者与前提矛盾的结论。
当论证出现悖论时，只有两种解释：要么推理出现错误，要么前提不成立。
芝诺当然清楚，其推理与经验事实矛盾。
他以运动存在为前提，导出追龟辩的荒谬结果。
既然其推理没有毛病，只能得出一个结论：运动是不存在的，只是假象。
我们知道，他的老师巴门尼德曾争论说运动或变动是不可能的，而据说芝诺为之辩护也是合情合理。
3.亚里士多德的逻辑
芝诺诡辩毕竟是靠逻辑导出的，对其彻底破解必须找出它推理过程中的逻辑漏洞。
正是亚里士多德(Aristotle，公元前384-322年)创立了严密的逻辑学，使之成为科学。
他提出了逻辑学的三大基本规律：同一律、矛盾律、排中律。
同一律是指“推理或思想的内容必须是确定的”。
甲就是甲，甲代表的内容不能在推理过程中改变，否则就是“偷换概念”。
矛盾律是指“一个命题不能既是真的又是假的”。
排中律是指“一个命题必然是真的或者是假的”。
亚里士多德的逻辑学为科学研究提供了最根本的分析工具，也是戳穿诡辩的利器。
亚里士多德在其《物理学》中提出，时间、距离以及任何连续的东西通常被称为“无穷的”实际上包含了两种涵义：一是划分( divisibility )的无穷，二是延展( extrimeties )的无穷；其针对芝诺悖论提出的潜无穷( potential infinite )和实无穷( actual infinite )的区別也正是这两种涵义的区别。
穆勒认为，芝诺的这一悖论假定了穿过“无穷可划分的”空间需要“无穷的”时间，但“无穷可划分的”空间并不意味着“无穷的”空间，仅意味着“有穷”空间的无穷可划分，而穿过有穷的空间只需要有穷的时间；另一方面，这一悖论仅仅表明了穿过“无穷可划分的”空间需要“无穷可划分的”时间而不是“无穷的”时间，因为“无穷可划分的”时间本身可以是“有穷的”，实际上，无论多么短的有穷时间都是“无穷可划分的”；因而，阿基里斯会极短的时间内追上乌龟。
此外，在其《逻辑体系》一书中，穆勒对这一悖论也作了简单讨论。
穆勒认为，结论中的“永远”即“阿基里斯将永远追不上乌龟”中的“永远”的意思是指所能设想的任意长时间，而前提中的“永远”即“就这样永远下去”中的“永远”的意思并不是指任意长时间，而是指时间任意多次的再划分，因而芝诺这一悖论所表明的仅仅是穿过“有穷的”空间需要“无穷可划分的”时间而不是“无穷的”时间。
穆勒显然认为“阿基里斯”悖论不过是歪曲了“无穷”和“无穷可划分”这两个语词的意思，纯粹属于语词混淆和不相干结论的谬误。
无疑，穆勒这里对“无穷”与“无穷可划分”的区分完全是沿袭亚里士多德对此二者的区分。
4.数学的形象解释
按照追龟辩的追赶方法，无数次地追过越来越小的距离也不可能追上被追者。
然而，无数次就意味着“永远”吗？我们知道，在追赶过程中，一个又一个的出发点分割出一段段越来越短的距离，相邻段距离之比以及经由相应所需时间之比同为被追者与追赶者速度之比，其中，设最初两者距离为S，追赶者跑过最初距离的时间为t1；那么追赶者跑过n段距离的总长S所需时间为t n；
t n= t1(1+ q1+ q2+……+ q n-1)
t n= t1(1- q n)/(1- q)
由于1- q n<1，即使n趋于无穷大
t n= t1(1- q n)/(1- q) < t1/(1- q)
t n< t1/(1- q)
显然，t1/(1- q)为常量，因此，即使n趋于无穷大，t n仍然小于一个常量。
可以看出，按照追龟辩规定的追赶方法，无数次的追赶所用的时间实际上是被限定在特定值以内的。
时间短到一定限度，阿基里斯当然追不上乌龟。
可是在追龟辩里，在“无数次”掩盖下的限定时间(t n)被偷换为“永远”，违反了亚里士多德逻辑学的同一律，因而其推理是错误的。
由此我们可以清楚地看到，芝诺的第二悖论——追龟辩的逻辑漏洞确实已被锁定。
此外应该提及，吴国盛在《芝诺悖论今昔谈》中谈到人们可以利用无穷数列的方法证明，追赶者所走的空间距离并不是一个无限量但是算出了距离是有限的并未解决问题，因为在这个方法中有一个前提，那就是勇士最终追上了乌龟。
这个假定说明，数学所告诉我们的不过是，如果能的话，需要多少时间，但数学不解决“是否能”的问题。
这里证明的仅仅是芝诺追龟辩的逻辑推理本身是否包含逻辑错误，是“能否成立”的问题，而不是去解决“能否追上”的全面论证问题。
5.结语
由上文我们可以看出，对芝诺悖论的经验反驳未能抓住其的要害，因而是无用的。
作为文科生，我认为追龟辩毕竟是靠逻辑导出的，对其彻底破解必须找出它推理过程中的逻辑缺陷。
因此，数学方法仅仅更形象地解释了追龟辩中的逻辑漏洞，而对亚里士多德逻辑学的准
确把握和严密运用更为重要。
芝诺在2400年前提出的悖论，跨越了时间的长河，如今仍然为我们所着迷称道。
追龟辩的逻辑破解，或许会压缩某些哲学戏说的空间，但对芝诺概念的借用、转化和升华不会终止。
思辨更多转向更尖锐的前沿领域，也许是哲学发展新的契机。
从古今至未来，人类提出的一个个问题与回答，正如一颗颗明珠，而时间的线将它们串连在一起，通往更加灿烂的未来。
参考文献
①刘二中.解析芝诺悖论内含的逻辑漏洞[J].自然辩证法研究, 2005.11.
②克莱因.古今数学思想:第一册[M].上海:上海科学技术出版社,1979:40.
③亚里士多德.物理学[M].徐开来译.北京:中国人民大学出版社, 2003.
④吴国盛.芝诺悖论今昔谈[J].哲学动态,1992(12).
⑤张兴.芝诺悖论的结构[J].自然辩证法研究, 2004.11.
⑥吴允曾.关于形式化的几个问题[J].哲学研究,1998(12).
⑦樊映川1高等数学讲义[M].北京:高等教育出版社,1964.7.。