北师大版七年级数学下册《二章 相交线与平行线 1 两条直线的位置关系 对顶角、余角和补角》公开课教案_4

2.1两条直线的位置关系1.通过观察、操作、推理、交流等过程,进一步培养空间观念、推理能力和表达能力.2.在具体情境中,了解余角、补角、对顶角,掌握同角或等角的余(补)角相等,对顶角相等,并能解决一些实际问题.1.引出对顶角的概念和“对顶角相等”的结论,并用结论来解决相关问题.2.从丰富的生活情境中抽象出几何模型,引入余角、补角及它们的性质.1.在探索和训练的过程中,培养学生细心严谨的学习态度,积极进取的探索精神,团结协作的良好品质.2.由实际问题引入,增强学生学习数学的兴趣,体会数学来源于生活又服务于生活,通过对对顶角的辨别,培养学生的批判性思维.【重点】1.对顶角定义和对顶角相等.2.余角、补角和它们的性质.【难点】同角或等角的余(补)角相等性质的应用.第课时对顶角、余角和补角在具体情境中了解相交线、平行线、补角、余角、对顶角的定义,知道同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等、对顶角相等,并能解决一些实际问题.经历操作、观察、猜想、交流、推理等获取信息的过程,进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力.激发学生学习数学的兴趣,认识到现实生活中蕴含着大量和图形有关的问题,这些问题可以抽象成数学问题,用数学方法予以解决.【重点】了解对顶角、余角、补角的概念及应用有关性质解决实际问题.【难点】应用对顶角、余角、补角的性质解决实际问题.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P38~39.导入：我们在生活中处处可见道路、房屋、山川、桥梁……在这些大自然的杰作和人类的创造物中,蕴含着大量的直线、射线、线段.下面我们就来欣赏一组生活中的图片.[处理方式]同学们观察图片,并与同伴交流观察几幅图片后的发现,得出图中的线有些是平行的,有些是相交的.由其中一个小组作展示,其余同学作补充.教师引入课题:本节课我们就共同学习与两条直线的位置关系相关的知识.[设计意图]通过学生熟悉的实物图片让学生发现数学知识,明白本节课要学习的主要内容.探究活动1两条直线的位置关系师：以上这些同学所画直线的位置关系可以分为几类?生：可以分为两类.分别为相交和平行.师：但是我们所展示的图形中有三种情况,如何解释呢?生：因为直线是无限延伸的,图(1)中把直线a和b画长点就变成了两条相交的直线.师：这位同学解释得非常好!这就是我们这节课要研究的两条直线的位置关系.师：通过大家的画图我们知道了两条直线的位置关系有相交和平行两种.但是在说两条直线的位置关系时,我们应强调什么问题呢?生：必须在同一平面内.师：很好!也就是说平面内两条直线的位置关系有两种:平行和相交.那么什么是相交线和平行线呢?生：若两条直线只有一个公共点,我们称这两条直线为相交线.生：在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.师：下面请同学们欣赏几幅生活中的图片,并指出图片中的相交线和平行线.(课件展示图片,找学生指出图片中的相交线和平行线)师：你还能举出生活中有关相交线和平行线的例子吗?(学生举出例子有窗户、黑板、学校的推拉门、教室的墙等等)[设计意图]让学生观察图片,不但可以体会到几何来源于生活,激发学生学习的兴趣,还可以更进一步地理解平行线、相交线的概念.探究活动2对顶角的定义与性质【活动内容】观察下面两个图形,思考以下几个问题.问题1观察上面图中的∠1与∠2、∠3与∠4的位置有什么关系,大小有何关系,为什么?问题2剪子在剪东西的过程中,∠1和∠2还保持相等吗?∠3和∠4呢?你有何结论?[处理方式]学生观察总结之后,教师予以补充确定.得到对顶角的概念和性质.【归纳总结】如图①所示,直线AB和CD相交于点O,∠1和∠2有公共点O,它们的两边互为反向延长线,具有这种位置关系的两个角叫对顶角.对顶角有如下性质:对顶角相等.【即时练习】(多媒体显示)1.下列各图中,∠1和∠2是对顶角的是()〔答案〕 D2.如图所示,有一个破损的扇形零件,利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数.你能说出所量角是多少度吗?为什么?〔答案〕40°,理由:：对顶角相等.[设计意图]通过创设生动有趣的活动情境,为学生提供了观察、操作、推理、交流等丰富的活动素材,使学生在自主学习的过程中,学会对顶角的概念及其性质.同时通过有效的数学探究活动,使学生经历数学的发生、发展过程,概括归纳得到猜想和规律,并加以验证,也积累了数学活动的经验.利用学习过的有关事实解决实际问题,体会数学在生活中的应用,进一步巩固了对顶角的概念及其性质,激发学生的学习兴趣.探究活动3补角、余角的定义及性质1.补角和余角的定义.【问题】1.在右图中,∠1与∠3有什么数量关系?2.请同学们按下面的要求画图.(1)画出两个角,使它们的和为90°.(2)画出两个角,使它们的和为180°.[处理方式]针对问题2,学生思考后画图,教师巡视,选择学生展示所画图形,并作出补充.展示(1)：和为90°的两个角.展示(2)：和为180°的两个角.【归纳总结】补角定义:如果两个角的和是180°,那么称这两个角互为补角.(补充)两条直线相交所成的四个角中,有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角.余角定义：如果两个角的和是90°,那么称这两个角互为余角.[处理方式]学生动手画图,并相互交流结果.展示学生问题2的答案,教师并作补充,选择有代表性的图形,使所画两角在位置关系上都不同,但是它们在数量上两角的和都是90°(①②③)或180°(④⑤).特别是图③,利用了对顶角画出两个45°角,使它们的和等于90°,让学生理解互余与互补是指两个角之间的数量关系,与它们的位置无关.[设计意图]通过动手画图,可以加深学生对概念的理解,在相互交流中,初步形成评价与反思的意识,在相互补充、相互学习中,体验“互补、互余”仅仅表明了两个角的度量关系,并没有限制角的位置关系,在合作交流中,获得成功的乐趣,锻炼克服困难的意志,建立自信心,可以更好地掌握新知识.在集体展示时给部分同学展示的机会,可以极大地调动这部分学生的学习热情.【即时练习】(多媒体显示)下列说法中,正确的有.(填序号)①已知∠A=40°,则∠A的余角=50°;②若∠1+∠2=90°,则∠1和∠2互为余角;③若∠1+∠2+∠3=180°,则∠1,∠2和∠3互为补角;④若∠A=40°26',则∠A的补角=139°34';⑤一个角的补角必为钝角;⑥一个锐角的补角比这个角的余角大90°.[设计意图]这是针对学生的易错点而改编的一组判断题,这种形式能引导学生逐步加深对余角、补角的概念及其性质的理解和掌握.2.补角和余角的性质.如图(1)所示,打台球时,选择适当的方向,用白球击打红球,反弹后的红球会直接入袋,此时∠1=∠2,将图(1)抽象成图(2),ON与DC交于点O,∠DON=∠CON=90°,且∠1=∠2.在图(2)中:(1)有哪些角互为补角?有哪些角互为余角?(2)∠3与∠4有什么关系?为什么?(3)∠AOC与∠BOD有什么关系?为什么?【归纳总结】同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等.[处理方式]学生应有足够的时间和空间经历观察、猜测、推理、验证等活动过程.本环节的三个问题是环环紧扣、层层递进提出来的,前一个问题为下一个问题做好铺垫.在学习的过程中,时刻不能忘记学生是主体,一切教学活动都应当从学生已有的认知角度出发,问题环节设计跨越性不能太强,让学生在不断的探索过程中得到不同程度的感悟,自己能够主动地去探究问题的实质,体验成功的喜悦;教师要充分发散学生的思维,鼓励学生各抒己见,敢于质疑;上课要渗透合情说理的方法,进一步培养学生的推理能力.[设计意图]先给出台球桌面的实景图,再给出由实景图抽象出的几何图形,引导学生了解抽象的必要性和抽象的过程,并通过问题串,引导学生探索出“同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等”的结论.【即时训练】(多媒体显示)1.因为∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,所以∠1=,理由是.〔答案〕∠3同角的余角相等2.因为∠1+∠2=180°,∠2+∠3=180°,所以∠1=,理由是.〔答案〕∠3同角的补角相等3.(1)画一个直角三角形ABC,使∠C=90°,如图(1)所示,则∠A是∠B的.(2)在(1)的基础上,作∠CDA=90°,如图(2)所示,则∠A的余角有哪几个?为什么?请找出互补的角,并说明理由.解:(1)余角(2)因为∠A+∠ACD=90°,∠A+∠B=90°,所以∠A的余角为∠ACD,∠B.因为∠ADC+∠BDC=180°,所以∠ADC和∠BDC互为补角.[设计意图]通过练习,即时巩固所学知识,提高学生用数学解决实际问题的能力.[知识拓展]1.在同一平面内,两条直线的位置关系只有相交和平行两种,相交时两条直线只有一个公共点,平行指的是两条直线平行,而不是线段或射线.2.对顶角必须具备的两个要素:①有公共顶点;②两边互为反向延长线.3.互为余角、互为补角是指两个角之间的关系,是成对出现的.两角互为补角并不一定一个是钝角一个是锐角,也有可能是两个直角.(1)相交线的定义.(2)平行线的定义.(3)对顶角的定义及性质.(4)互为余角、互为补角的定义及性质.1.如图所示,直线AB与CD交于点O,∠EOD=90°,回答下列问题:(1)∠AOE的余角是,补角是.(2)∠AOC的余角是,补角是,对顶角是.答案:(1)∠BOD和∠AOC∠BOE(2)∠AOE∠AOD和∠BOC∠BOD2.如图所示,点O在直线AB上,∠DOC和∠BOE都等于90°.请找出图中互余的角、互补的角、相等的角.解:互余的角:∠AOD和∠EOD,∠EOD和∠EOC,∠EOC和∠COB,∠AOD和∠BOC;互补的角:∠AOD和∠BOD,∠AOE和∠BOE,∠AOC和∠BOC,∠AOC和∠DOE,∠EOC和∠BOD;相等的角:∠AOD=∠EOC,∠EOD=∠BOC.3.如图所示,小颖想测量一堵拐角高墙在地面上所成的角∠AOB的度数,人不能进入围墙内,你能帮小颖想出简单的测量方法吗?请简述你的方法,并说明理由.解：延长BO到C,测量出∠AOC的度数,在用180°减去∠AOC的度数,即可得出∠AOB 的度数.理由：∠AOC和∠AOB互为补角.(答案不唯一)4.如图所示,点O在直线AB上,OC平分∠BOD,OE平分∠AOD,请找出∠COD的余角和补角,并说明理由.解：因为OC平分∠BOD,OE平分∠AOD,所以∠BOC=∠COD,∠DOE=∠AOE,所以∠EOC=∠EOD+∠DOC=90°.所以∠COD的余角是∠DOE,∠AOE,∠COD的补角是∠AOC.第1课时对顶角、余角和补角探究活动1两条直线的位置关系探究活动2对顶角的定义与性质探究活动3补角、余角的定义及性质一、教材作业【课内作业】P40 习题2.1 13【课外作业】一、P40 习题2.1 2、4、5题二、完成课辅书三、预习新课二、课后作业【基础巩固】1.如果∠α+∠β=90°,而∠β与∠γ互余,那么∠α与∠γ的关系为()A.互余B.互补C.相等D.不能确定2.如图所示,∠1与∠2是对顶角的是()【能力提升】3.如图所示,直线AB,CD相交于点O,且∠1=∠2.(1)指出∠1的对顶角;(2)若∠2和∠3的度数比是2∶5,求∠4和∠AOC的度数.4.已知一个角的补角加上10°后等于这个角的余角的3倍,求这个角的余角.【拓展探究】5.如图所示,点O为直线AB上一点,OC为一射线,OE平分∠AOC,OF平分∠BOC.(1)若∠BOC=50°,试探究∠FOE的度数;(2)若∠BOC为任意角α(0°<α<180°),则∠FOE的度数是多少?【答案与解析】1.C(解析:因为∠β与∠γ互余,所以∠β+∠γ=90°,又因为∠α+∠β=90°,所以∠α=∠γ.故选C.)2.C(解析:A.∠1与∠2有一条边在同一条直线上,另一条边不在同一条直线上,不是对顶角;B.∠1与∠2没有公共顶点,不是对顶角;C.∠1与∠2的两边互为反向延长线,且有公共顶点,是对顶角;D.∠1与∠2有一条边在同一条直线上,另一条边不在同一条直线上,不是对顶角.故选C.)3.解:(1)∠1的对顶角是∠AOC.(2)因为∠1=∠2,∠2和∠3的度数比是2∶5,所以∠1∶∠2∶∠3=2∶2∶5,设∠2=2x,则∠1=2x,∠3=5x,由题意得2x+2x+5x=180°,解得x=20°,所以∠1=40°,∠2=40°,∠3=100°,根据对顶角相等,得∠4=∠BOC=∠2+∠3=140°,∠AOC=∠1=40°.4.解:设这个角为x,则180°- x+10°=3(90°- x),解得x=40°,所以90°- 40°=50°.所以这个角的余角为50°.5.解:(1)因为∠BO C=50°,所以∠AOC=180°- 50°=130°,因为OE平分∠AOC,OF平分∠BOC,所以∠EOC=65°,∠COF=∠COB=25°,所以∠E OF=65°+25°=90°.(2)因为∠BOC=α,所以∠AO C=180°- α,因为OE平分∠AOC,OF平分∠BOC,所以∠EOC=∠AOC=90°- α,∠COF=∠COB=α,所以∠EOF=90°- α+α=90°.所以∠EOF=90°.本课时注重创设“开放”的教学环境,引导学生从身边熟悉的情境出发,使学生经历从现实生活中抽象出数学模型的过程,体会知识的重要性和在生活中的广泛应用.通过课堂开放,让学生在直观有趣的问题情境中学到有价值的数学,同时也为学生搭建了一个充分展示自我的舞台,在活动中提高与他人合作交流的能力,激发了学生的潜能,使学生成为课堂的主人,提高了学生分析问题、解决问题的能力.讨论时,应该留给学生充分的独立思考的时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问.再教时应注重学生几何语言的培养,对课堂生成的问题,应予以重视,教师可以激励学生课后继续探究,将课内学习延伸到课外,不断开阔学生的视野.随堂练习(教材第39页)解：40°,对顶角相等.习题2.1(教材第40页)知识技能1.解：因为∠1=38°,所以∠3=38°(对顶角相等),∠2=180°- ∠1=180°- 38°=142°.因为∠4=∠2,所以∠4=142°.数学理解2.解：互为补角的两个角不可以都是锐角,也不可以都是钝角,可以都是直角.问题解决3.提示：∠1=32°.4.提示: 60°或120°.联系拓广5.提示：不是.1.怎样理解互为余角和互为补角?余角和补角都是指两个角之间的一种特殊的数量关系.即如果两个角互为余角,那么它们的和为90°;如果两个角互为补角,那么它们的和为180°.强调两个角中,一个角是另一个角的余角,或者两个角互为余角.补角同样如此.另外,对余角和补角有两个非常重要且常用的结论:同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等.2.怎样理解对顶角的特点和性质?特点:(1)有公共顶点;(2)一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线.性质:对顶角相等.3.互余与互补是指两个角之间的数量关系,与它们的位置无关.如图所示,将一个长方形纸片沿着直线EF折叠,点A落在点A'处;再沿着GE折叠,顶点B落在EA'上的B'点处.∠FEA'与∠GEB'互余吗?为什么?〔解析〕要判断∠FEA'与∠GEB'是否互余,需要求出∠A'EF+∠B'EG是否为90°,由已知可得∠AEF=∠A'EF,∠BEG=∠B'EG,所以不难得出结论.解:由已知得∠AEF=∠A'EF,∠BEG=∠B'EG,而∠AEF+∠A'EF+∠BEG+∠B'EG=180°,所以∠A'EF+∠B'EG=90°,由互为余角定义可知∠A'EF与∠B'EG互为余角。