2009年7月 00020 高等数学(一)真题答案
2009年全国高考文科数学试题及答案-全国1卷
2009年全国高考文科数学试题及答案-全国1卷2009年普通高等学校招生全国统一1卷考试文科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分．第卷1至2页，第卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作．．．．．．答无效．．．． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R = n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径 ()(1)(01,2)k k n k n n P k C P P k n -=-=，，，一、选择题（1）o585sin 的值为 (A) 22- (B)22 (C)32- (D) 32(2)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U AB =，则集合()U A B 中的元素共有 (A) 3个 （B ） 4个 （C ）5个 （D ）6个（3）不等式111<-+x x的解集为 （A ）{}}{011x x x x 〈〈〉 （B ）{}01x x 〈〈 （C ） }{10x x -〈〈 （D ）}{0x x 〈（4）已知tan a =4,cot β=13,则tan(a+β)= (A)711 (B)711- (C) 713 (D) 713-（5）设双曲线()222200x y a b a b －＝1＞，＞的渐近线与抛物线21y ＝x ＋相切，则该双曲线的离心率等于（A ）3 （B ）2 （C ）5 （D ）6（6）已知函数()f x 的反函数为()()10g x x ＝＋2lgx ＞，则=+)1()1(g f（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4（7）甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（A ）150种 （B ）180种 （C ）300种 （D ）345种（8）设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a ,（A ）150° （B ）120° （C ）60°（D ）30°（9）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为(A)34 (B) 54 (C) 74 (D) 34 (10) 如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3π中心对称，那么φ的最小值为 (A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π （11）已知二面角l αβ--为600 ，动点P 、Q 分别在面,αβ内，P 到β3Q 到α的距离为3则P 、Q 两点之间距离的最小值为（12）已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F,右准线l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B 。
2009年高考全国卷1数学真题(理科数学)(附答案)
2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分．第卷1至2页，第卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意： 1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式 如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B •=•球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B ，则集合[()u AB 中的元素共有（）（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个（2）已知1iZ＋=2+i,则复数z=（） （A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i (3) 不等式11X X +-＜1的解集为（ ）（A ）｛x }{}011x x x 〈〈〉 (B){}01x x 〈〈（C ）{}10x x -〈〈 (D){}0x x 〈(4)设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2+1相切，则该双曲线的离心率等于()（A （B ）2 （C （D(5) 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。
若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )（A ）150种 （B ）180种 （C ）300种 (D)345种 （6）设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()a c b c -•-的最小值为 ( )（A ）2- （B 2 （C ）1- (D)1（7）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）（A ）4 （B ）4 （C ）4 (D) 34（8）如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称，那么||ϕ的最小值为（A ）6π （B ）4π （C ）3π (D) 2π(9) 已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为( )(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2（10）已知二面角l αβ--为60，动点P 、Q 分别在面α、β内，PQ 到α的距离为P 、Q 两点之间距离的最小值为（ ）(A) (B)2 (C) （11）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则( )(A) ()f x 是偶函数 (B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ (D) (3)f x +是奇函数12.已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3FA FB =,则||AF =( )23第II 卷二、填空题：13. ()10x y -的展开式中，73x y 的系数与37x y 的系数之和等于 。
《高等数学(一)》(课程代码00020)
1、函数f(x)= 与g(x)=x表示同一函数，则它们的定义域是（）• A.• B.• C.• D.参考答案：B2、设函数f(x)在[-a, a](a>0)上是偶函数，则f(-x)在[-a, a]上是（）• A.奇函数• B.偶函数• C.非奇非偶函数• D.可能是奇函数，也可能是偶函数参考答案：B3、• A.1• B.0• C.∞• D.2参考答案：A4、设则m=（）• A.• B.2• C.-2• D.参考答案：C5、设f(x)= ,则（）• A.2• B.∞• C.1• D.4参考答案：D6、设是无穷大量，则x的变化过程是（）• A.x→0+• B.x→0-• C.x→+∞• D.x→-∞参考答案：B7、函数在一点附近有界是函数在该点有极限的（）• A.必要条件• B.充分条件• C.充分必要条件• D.无关条件参考答案：A8、定义域为[-1，1]，值域为（-∞，+∞）的连续函数（）• A.存在• B.不存在• C.存在但不唯一• D.在一定条件下存在参考答案：B9、下列函数中在x=0处不连续的是（）• A.f(x)=• B.f(x)=• C.f(x)=• D.f(x)=参考答案：A10、设函数f(x)=，则（） ,• A.-1• B.-∞• C.+∞• D.1参考答案：C11、设总收益函数R(Q)=40Q-Q2，则当Q=15时的边际收益是（）• A.0• B.10• C.25• D.375参考答案：B12、设函数f(x)=x(x-1)(x-3)，则f＇(0)=（）• A.0• B.1• C.3• D.3!参考答案：C13、• A.• B.• C.• D.参考答案：D14、f＇(x)<0,x∈(a, b) ，是函数f(x)在(a, b)内单调减少的（）• A.充分条件• B.必要条件• C.充分必要条件• D.无关条件参考答案：A15、函数y=|x-1|+2的极小值点是（）• A.0• B.1• C.2• D.3参考答案：B16、函数y=2ln的水平渐近线方程为（）• A.y=2• B.y=1• C.y=-3• D.y=0参考答案：C17、设f(x)在[a, b](a<b)上连续且单调减少，则f(x)在[a, b]上的最大值是( )• A.f(a)• B.f(b)• C.• D.参考答案：A18、• A.• B.• C.• D.参考答案：D19、设f(x)在（-∞，+∞）上有连续的导数，则下面等式成立的是（）,• A.• B.• C.• D.参考答案：B20、• A.tgxlnsinx-x+C• B.tgxlnsinx+x+C• C.tgxlnsinx-• D.tgxlnsinx+参考答案：A21、• A.-1-3ln2• B.-1+3ln2• C.1-3ln2• D.1+3ln2参考答案：B22、• A.• B.• C.• D.参考答案：C23、经过变换，( )• A.• B.• C.• D.参考答案：D24、• A.• B.-• C.2e• D.-2e 参考答案：A25、• A.2• B.1• C.∞• D.参考答案：A26、级数的和等于 ( )• A.• B.-• C.5• D.-5参考答案：B27、下列级数中，条件收敛的是( )• A.• B.• C.• D.参考答案：C28、幂级数的收敛区间是（）• A.• B.• C.• D.参考答案：A29、点（－1，－1，1）在下面哪一张曲面上 ( )• A.• B.• C.• D.参考答案：D30、设 f(u,v)=(u+v)2，则 =( )• A.• B.• C.• D.参考答案：B31、设，则( )• A.• B.1• C.2• D.0参考答案：A32、设，则 ( )• A.6• B.3• C.-2• D.2参考答案：B33、下列函数中为微分方程的解的是( )• A.• B.-• C.• D.参考答案：C34、下列微分方程中可分离变量的是( )• A.• B.• C.• D.参考答案：B35、设D：0≤x≤1，0≤y≤2，则 =( )• A.ln2• B.2+ln2• C.2• D.2ln2参考答案：D36、函数f(x)=arcsin(2x-1)的定义域是（）• A.(-1,1)• B.[-1,1]• C.[-1,0]• D.[0,1]参考答案：D37、设f(x)= , 则（） ,• A.0• B.1• C.-1• D.不存在参考答案：B38、设函数f(x)满足=0, 不存在, 则（） ,• A.x=x0及x=x1都是极值点• B.只有x=x0是极值点• C.只有x=x1是极值点• D.x=x0与x=x1都有可能不是极值点参考答案：D39、设f(x)在[-a,a](a>0)上连续, 则（）• A.0• B.• C.• D.参考答案：C40、设供给函数S=S(p)(其中p为商品价格), 则供给价格弹性是（）• A.• B.• C.• D.参考答案：B41、设 ,则x=0是f(x)的（）• A.可去间断点• B.跳跃间断点• C.无穷间断点• D.连续点参考答案：A42、设函数y=f(x)在点x0的邻域V(x0)内可导，如果∀x∈V(x0)有f(x)≥f(x0)，则有（）• A.• B.• C.• D.参考答案：C43、已知某商品的成本函数为，则当产量Q=100时的边际成本为（） , ,• A.5• B.3• C.3.5• D.1.5参考答案：C44、在区间(-1,0)内，下列函数中单调增加的是（）• A.• B.• C.• D.参考答案：B45、无穷限积分（）• A.1• B.0• C.-• D.参考答案：D46、下列区间中,函数f (x)= ln (5x+1)为有界的区间是（） ,• A.(-1， )• B.(- ,5)• C.(0, )• D.( ,+参考答案：C47、设函数g (x)在x = a连续而f (x) = (x-a)g(x),则(a) =（）• A.0• B. (a)• C.f (a)• D.g (a)参考答案：D48、设函数f (x)定义在开区间Ｉ上， I,且点(x0, f (x0) )是曲线y= f (x)的拐点,则必有（）• A.在点(x0,f (x0))两侧,曲线y=f (x)均为凹弧或均为凸弧.• B.当xx0时,曲线y=f (x)是凸弧(或凹弧).• C.xx0时,f(x)>f(x0).• D.xf(x0) 而x>x0时,f(x)<f(x0).< li=""></f(x0).<>参考答案：B49、设某商品的需求函数为D(P)=475-10P-P2,则当P = 5时的需求价格弹性为（）• A.0.25• B.-0.25• C.100• D.-100参考答案：A50、,• A.-1• B.1• C.-• D.参考答案：B51、设，则f (x)=（）• A.• B.• C.• D.参考答案：B52、下列极限存在的是（）• A.• B.• C.• D.参考答案：D53、曲线上拐点的个数是（）• A.0• B.1• C.2• D.3参考答案：C54、• A.• B.0• C.• D.参考答案：B55、• A.• B.-• C.1• D.-1参考答案：A56、数列的极限是（）• A.0• B.• C.1• D.不存在参考答案：C57、广义积分（）• A.• B.• C.• D.0参考答案：B58、设函数f(x)的定义域为[0，4]，则函数f(x2)的定义域为（）• A.[0，2]• B.[0，16]• C.[-16，16]• D.[-2，2]参考答案：C59、=（）• A.0• B.1• C.-1• D.不存在参考答案：A60、设f(x)为可微函数，且n为自然数，则 =（）• A.0• B.• C.-• D.不存在参考答案：B61、设f(x)是连续函数，且f(0)=1，则（）• A.0• B.• C.1• D.2参考答案：C62、已知某商品的产量为x时，边际成本为，则使成本最小的产量是（）• A.23• B.24• C.25• D.26参考答案：B63、设f(x)=ln4,则（）• A.4• B.• C.0• D.参考答案：C64、• A.16!• B.15!• C.14!• D.0参考答案：D65、• A.• B.• C.• D.参考答案：B66、已知生产某商品x个的边际收益为30-2x，则总收益函数为（）• A.• B.• C.• D.参考答案：D67、函数y=1-cosx的值域是（）• A.[-1,1]• B.[0,1]• C.[0,2]• D.(-∞,+∞)参考答案：C68、• A.0• B.1• C.不存在• D.参考答案：D69、下列各式中，正确的是（）• A.• B.• C.• D.参考答案：D70、下列广义积分中，发散的是（）• A.• B.• C.• D.参考答案：A71、（） ,• A.• B.• C.• D.参考答案：B72、（）• A.|x|≤1• B.|x|<1• C.0<|x|≤1• D.0<|x|<1参考答案：C73、（）• A.• B.△y=0• C.dy=0• D.△y=dy参考答案：A74、（）• A.0• B.1• C.-1• D.不存在参考答案：A75、（）• A.• B.• C.• D.参考答案：D76、（）• A.• B.• C.• D.参考答案：C77、（）• A.[a,3a]• B.[a,2a]• C.[-a,4a]• D.[0,2a]参考答案：B78、（）• A.1• B.• C.不存在• D.0参考答案：D79、设D=D（p）是市场对某一商品的需求函数，其中p是商品价格，D是市场需求量，则需求价格弹性是（）• A.• B.• C.• D.参考答案：B80、（）• A.0• B.1• C.-1• D.参考答案：C81、（）• A.π• B.4• C.2π• D.2参考答案：C82、（）• A.• B.• C.• D.参考答案：D83、（）• A.• B.5• C.2• D.参考答案：A84、• A.0• B.1• C.-0.5• D.-4参考答案：C85、下列无穷限积分中，发散的是（）• A.• B.• C.• D.参考答案：B86、• A.• B.• C.• D.参考答案：D87、( )• A.• B.• C.(0,1]• D.(0,1)参考答案：D88、• A.无定义• B.无极限• C.不连续• D.连续参考答案：D89、• A.必要条件• B.充分条件• C.充分必要条件• D.既非充分条件又非必要条件参考答案：A90、• A.• B.• C.• D.参考答案：B91、下列广义积分中，收敛的是（）• A.• B.• C.• D.参考答案：C92、下列集合中为空集的是（）• A.• B.• C.• D.参考答案：D 93、• A.0• B.1• C.• D.-参考答案：C 94、• A.△x• B.• C.• D.0 参考答案：D 95、• A.• B.• C.• D.参考答案：C96、• A.• B.• C.• D.参考答案：D97、• A.• B.• C.• D.参考答案：D98、• A.x(x-1)• B.x(x+1)• C.• D.(x+1)(x-2)参考答案：B99、• A.• B.• C.• D.参考答案：C100、• A.5• B.3• C.3.5• D.1.5参考答案：C101、在区间(-1,0)内，下列函数中单调增加的是（）• A.y=-4x+1• B.y=5x-3• C.• D.y=|x|+2参考答案：B102、• A.1• B.0• C.• D.参考答案：D103、• A.0• B.1• C.-1• D.不存在参考答案：B104、• A.• B.• C.• D.参考答案：D105、设供给函数S=S(p)(其中p为商品价格), 则供给价格弹性是（）• A.• B.• C.• D.参考答案：B106、设函数y=f (x)的定义域为(1，2)，则f (ax)(a<0)的定义域是( )• A.• B.• C.(a，2a)• D.参考答案：B107、设f (x)=x|x|，则f ′(0)=( )• A.1• B.-1• C.0• D.不存在参考答案：C108、设f (x)是连续函数，且，则f (x)=( )• A.cos x—xsin x• B.cos x + xsin x• C.sin x—xcos x• D.sin x + xcos x参考答案：A109、函数f(x)=lnx— ln(x—1)的定义域是（）• A.(-1,+∞)• B.(0,+∞)• C.(1,+∞)• D.(0,1)参考答案：C110、极限（）• A.0• B.• C.• D.3参考答案：B111、x=0是函数f(x)= 的（）• A.零点• B.驻点• C.极值点• D.非极值点参考答案：D112、初值问题的隐式特解为（）• A.• B.• C.• D.参考答案：A113、函数f(x)=是（）• A.奇函数• B.偶函数• C.有界函数• D.周期函数参考答案：C114、函数f(x)= —x的极大值点为（）• A.x= —3• B.x= —1• C.x= 1• D.x= 3参考答案：B115、正弦曲线的一段与x 轴所围平面图形的面积为（）• A.1• B.2• C.3• D.4参考答案：B116、函数f(x)= 的定义域为（）• A.[-1,1]• B.[-1,3]• C.(-1,1)• D.(-1,3)参考答案：B117、设函数f(x)= 在x=0点连续，则k=（）• A.0• B.1• C.2• D.3参考答案：C118、曲线y=的渐近线的条数为（）• A.1• B.2• C.3• D.4参考答案：B119、设sin x 是f(x)的一个原函数，则（）• A.sin x+C• B.cos x+C• C.—cos x+C• D.—sin x+C参考答案：A120、下列反常积分收敛的是（）• A.• B.• C.• D.参考答案：D 121、• A.• B.• C.• D.参考答案：D。
da2009年高考数学全国卷Ⅰ(文)
A A3 · A4 + B3 · B4 .
由于各局比赛结果相互独立，故
P( A) P( A3 · A4 B3 · B4 ) P( A3 · A4 ) P( B3 · B4 )
= P( A3 ) P( A4 ) P( B3 ) P( B4 ) = 0.6 0.6 0.4 0.4 =0.52． （Ⅱ）记 B 表示事件：甲获得这次比赛的胜利． 因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜 2 局，从而 B A3 · A4 B3 · A4 · A3 A3 · B4 · A3 由于各局比赛结果相互独立，故
（Ⅰ）设 SM MC( >0)， 则 M 0， 又 AB (0， 2，， 0) MB， AB> 60° ，
2 2 2 2 ， ， MB 2， ， . 1 1 1 1
z S M
2
· AB MB· | AB|cos 60 °， 故 MB
2 2
所以 b 2c cos A 2. ①
b sin B ， c sin C sin B 4 cos A， 又由已知得 sin C 所以 b 4c cos A， ② 故由①、②解得 b 4. 19．解法一： （Ⅰ）作 ME ∥ CD 交 SD 于点 E ，则 ME ∥ AB，ME ⊥ 平面 SAD. 连接 AE， 则四边形 ABME 为直角梯形． S 作 MF ⊥ AB， 垂足为 F， 则 AFME 为矩形．
P( B) P( A3 · A4 ) P( B3 · A4 A3 ) P( A3 · B4 · A3 )
= P( A3 ) P( A4 ) P( B3 ) P( A4 ) P( A3 ) P( A3 ) P( B4 ) P( A3 ) = 0.6 0.6 0.4 0.6 0.6 0.6 0.4 0.6 =0.648． 21．解： （Ⅰ） f ( x) 4 x 6 x 4 x x
2009年全国高考文科数学试题及答案-全国1卷
2009年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分．第卷1至2页，第卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k k n kn n P k C P P k n -=-=，，， 一、选择题（1）o585sin 的值为(A) (C)- (D) (2)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U A B =，则集合()U AB ð中的元素共有(A) 3个 （B ） 4个 （C ）5个 （D ）6个（3）不等式111<-+x x 的解集为 （A ）{}}{011x x x x 〈〈〉 （B ）{}01x x 〈〈（C ） }{10x x -〈〈 （D ）}{0x x 〈 （4）已知tan a =4,cot β=13,则tan(a+β)= (A)711 (B)711- (C) 713 (D) 713-（5）设双曲线()222200x y a b a b－＝1＞，＞的渐近线与抛物线21y ＝x ＋相切，则该双曲线的离心率等于（A （B ）2 （C （D （6）已知函数()f x 的反函数为()()10g x x ＝＋2lgx ＞，则=+)1()1(g f（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4（7）甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（A ）150种 （B ）180种 （C ）300种 （D ）345种 （8）设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a ,（A ）150° （B ）120° （C ）60° （D ）30°（9）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为(A)4 (B) 4 (C) 4(D) 34(10) 如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3π中心对称，那么φ的最小值为 (A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π（11）已知二面角l αβ--为600 ，动点P 、Q 分别在面,αβ内，P 到βQ到α的距离为P 、Q 两点之间距离的最小值为（12）已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F,右准线l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B 。
2009级高等数学I(1)试卷(A)解答
f ( ) f ( x)dx.
1
唯一性. 因
( x) [ xf ( x) 2 f ( x)] 0, x (0,1),
故 ( x) 是 [0,1] 上的单调函数, 从而上述 是唯一的.
3
(A) ax 2 bx c dx 2e2 x .
.
dy dx x0
(B) ax 2 bx ce2 x . (D) ax 2 (bx 2 cx)e2 x . 〖 A 〗
x 2 ax b (1) 已知 lim 2 2, 则 ab x2 x x 2
(4) 计算定积分 2 ( x3 sin 2 x) cos 2 xdx.
2
1 3 1 【解】原式 2 2 sin 2 x cos 2 xdx 2 2 (sin 2 x sin 4 x)dx 2 . 0 0 2 2 4 2 2 8
1e t 1 2tdt 1 1 t 1 1 ex 1 【解】原式 C ln C. dt ln 2 t 1 t 1 t 1 t 1 t 1 1 ex
3 2 ax bx 0, 且曲线 y f ( x) 与直线 2 x 1, y 0 所围平面图形 S 的面积为 2. 问 a 取何值时, 图形 S 绕 x 轴旋转一周所得
16
(C) ax 2 bx cxe2 x .
(2) 设 y f (e2 x ), f ( x) arctan x, 其中 f 可微, 则
2
本题 得分
三、计算下列各题(每小题 7 分, 共 28 分)
(3)
1
dx x (1 x 2 )
2009年数学一试题答案、解析
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1~8小题，每小题8分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。
（1）当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-等价无穷小，则（）（A ）11,6a b ==- （B ）11,6a b ==（C ）11,6a b =-=- （D ）11,6a b =-=【解析与点评】考点：无穷小量比阶的概念与极限运算法则。
参见水木艾迪考研数学春季基础班教材《考研数学通用辅导讲义》（秦华大学出版社）例 4.67，强化班教材《大学数学强化 299》16、17 等例题。
【答案】A22220000sin sin 1cos sin lim lim lim lim ln(1)()36x x x x x ax x ax a x a axx bx x bx bx bx→→→→---===---- 230sin lim 166.x a ax a b b axa →==-=- 36ab =-意味选项B ，C 错误。
再由21cos lim 3x a axbx →-=-存在，故有1cos 0(0)a ax x -→→，故a=1，D 错误，所以选A 。
（2）如图，正方形{(,)|||1,||1}x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域，(1,2,3,4),cos KK K D D k I y xdxdy ==⎰⎰，则14max{}K K I ≤≤=（）【解析与点评】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。
对称性与轮换对称性在几分钟的应用是水木艾迪考研数学重点打造的技巧之一。
参见水木艾迪考研数学春季班教材《考研数学通用辅导讲义----微积分》例 12.3、12.14、12.16、12.17，强化班教材《大学数学同步强化 299》117 题，以及《考研数学三十六技》例 18-4。
2009考研数学一试题及答案解析
一、选择题：（1）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，则()A 11,6a b ==-.()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=.【解析】2()sin ,()ln(1)f x x ax g x x bx =-=-为等价无穷小，则2222()sin sin 1cos sin limlimlimlimlim()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax g x x bx x bx bxbx→→→→→---==-⋅---洛洛23sin lim166x a ax ab baxa →==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除,B C 。
另外21cos lim3x a ax bx→--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排D 。
所以本题选A 。
（2）如图，正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为 四个区域()1,2,3,4k D k =，cos kk D I y xdxdy =⎰⎰，则{}14m ax kk I ≤≤=()A 1I .()B 2I .()C 3I .()D 4I .【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。
24,D D 两区域关于x 轴对称，而(,)cos (,)f x y y x f x y -=-=-，即被积函数是关于y 的奇函数，所以240I I ==;13,D D 两区域关于y 轴对称，而(,)cos()cos (,)f x y y x y x f x y -=-==，即被积函数是关于x 的偶函数，所以{}1(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ≥≤≤=>⎰⎰；{}3(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ≤-≤≤=<⎰⎰.所以正确答案为A.（3）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为： 则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为x()A ()B()C ()D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征： ①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减。
2009年考研数学一真题及答案
2009年考研数学一真题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=.【答案】 A【解析】2()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-为等价无穷小，则222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax g x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除,B C 。
另外201cos lim3x a axbx →--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排除D 。
所以本题选A 。
（2）如图，正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =，cos kk D I y xdxdy =⎰⎰，则{}14max k k I ≤≤=（ ）()A 1I .()B 2I . ()C 3I .()DI 【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。
24,D D 两区域关于x 轴对称，而(,)cos (,)f x y y x f x y -=-=-，即被积函数是关于y 的奇函数，所以240I I ==;13,D D 两区域关于y 轴对称，而(,)cos()cos (,)f x y y x y x f x y -=-==，即被积函数是关于x 的偶函数，所以{}1(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ≥≤≤=>⎰⎰； {}3(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ≤-≤≤=<⎰⎰.所以正确答案为A.x（3）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0x F x f t dt =⎰的图形为（ ）()A .()B .()C .()D .【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征：①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减。
2009年高考全国卷I数学(理科)试题及参考答案
2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国I 卷）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分．第卷1至2页，第卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意： 1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R = 如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ∙=∙球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B ，则集合[()u A B I中的元素共有（A ）（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个解：{3,4,5,7,8,9}A B = ，{4,7,9}(){3,5,8}U A B C A B =∴= 故选A 。
也可用摩根律：()()()U U U C A B C A C B =（2）已知1iZ＋=2+i,则复数z=（B ） （A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i 解：(1)(2)13,13z i i i z i =+⋅+=+∴=- 故选B 。
(3) 不等式11X X +-＜1的解集为（ D ）（A ）｛x }{}011x x x 〈〈〉 (B){}01x x 〈〈（C ）{}10x x -〈〈 (D){}0x x 〈 解：验x=-1即可。
全国2009年7月高等教育自学考试高等数学(一)试题
全国2009年7月高等教育自学考试高等数学（一）试题课程代码：00020一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.函数f (x )=21sin 2xx ++是（ ） A.奇函数B.偶函数C.有界函数D.周期函数 2.设f (x )=2x ,则f ″(x )=（ ）A.2x ·ln 22B.2x ·ln4C.2x ·2D.2x ·43.函数f (x )=33x -x 的极大值点为（ ） A.x =-3B.x =-1C.x =1D.x =3 4.下列反常积分收敛的是（ ） A.⎰∞+1d x x B.⎰∞+1d x x C.⎰∞++11d x x D.⎰∞++121d x x 5.正弦曲线的一段y =sin x ≤≤x 0(π)与x 轴所围平面图形的面积为（ ）A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.设f (x )=3x ,g (x )=x 2，则函数g [f (x )]-f [g (x )]=_______________.7.函数f (x )=xx x ++231间断点的个数为_______________. 8.极限x x x 20)21(lim -→-=________________.9.曲线y =x +ln x 在点（1，1）处的切线方程为________________.10.设函数y =ln x ,则它的弹性函数ExEy =_____________. 11.函数f (x )=x 2e -x 的单调增加区间为______________.12.不定积分⎰+32d x x =__________________.13.设f (x )连续且⎰+=xx x t t f 022cos d )(，则f (x )=________________.14.微分方程x d y -y d x =2d y 的通解为____________________.15.设z=x e xy,则y x z ∂∂∂2=______________________. 三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16.设函数f(x)=⎩⎨⎧≤+>-0130e x x x k x在x =0处连续，试求常数k . 17.求函数f(x)=xx2sin e +x arctan x 的导数. 18.求极限xx x x x sin e lim 20-→. 19.计算定积分⎰π202d 2sin x x . 20.求不定积分⎰++211x x d x .四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）21.求函数f (x )=x 3-6x 2+9x -4在闭区间[0，2]上的最大值和最小值.22.已知f (3x +2)=2x e -3x ,计算⎰52d )(x x f . 23.计算二重积分⎰⎰D y x y xd d 2，其中D 是由直线y =x ,x =1以及x 轴所围的区域.五、应用题（本大题9分）24.已知矩形相邻两边的长度分别为x,y ，其周长为4.将矩形绕其一边旋转一周得一旋转体（如图）.问当x,y 各为多少时可使旋转体的体积最大？题24图六、证明题（本大题5分）25.设z =y +F (u ),u =x 2-y 2,其中F 是可微函数.证明：y x y z x x z =∂∂+∂∂.。
2009考研数一真题答案及详细解析
f(t)dt
I: > �f'.J<t)dt+ 八 t)dt�f (x) dx.'
又由定积分的几何意义知，『 g (x)dx>O,故 2<x<3 时 F(x)>O.故应选 D.
(4) C
解
I; 若令
an= bn=
(-l)n
嘉,则nl-im= a
n
=
O, n=
l
从收敛，却有
co
nI=;l a
n从
=
nI=;l — n1
1,1],
和函数为—
ln(l+x).
因为5 (x)=
= I;
(—l)n
X
n=
X
— ln(l+x),令
x= l,得
n= 2 n
S 2= n�= la 加一1 = S(1)= 1- ln 2.
(17) 解
(I)
椭球面 S1
的方程为X— 42
+
沪
+z 3
2 =
1.
。 设切点为
(x
口 Yo),
则
X—+
4
— y
y2dxdyd乏 ＝ 』之2dxdyd之，
{l
所以
w 上�+ ill f I I z'dxd:
。 。 。 上 2
六
(x' 二三） dxdydz� 3
亢 d0
sin钊'P'r'dr�±. 穴． 15
{l
03) 2
n 解 设入是P矿的非零特征值， 是属于入的特征向量，从而p矿T/=入1
由于入=/=-0, TJ =/=-0,故a可=l=-0.
2009年考研数学一真题及答案
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）1. 当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-.()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-.()D 11,6a b =-=.2. 如图，正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =，cos kk D I y xdxdy =⎰⎰，则{}14maxk k I ≤≤=（ ） ()A 1I .()B 2I . ()C 3I .()D 4I .3.设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0xFx f t dt =⎰的图形为（ ） ()A .()B .x()C .()D .4.设有两个数列{}{},n n a b ，若lim 0n n a →∞=，则（ ） ()A 当1n n b ∞=∑收敛时，1n n n a b ∞=∑收敛.()B 当1n n b ∞=∑发散时，1n n n a b ∞=∑发散.()C 当1nn b ∞=∑收敛时，221n n n a b∞=∑收敛.()D 当1nn b ∞=∑发散时，221n n n a b∞=∑发散.5. 设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基，则由基12311,,23ααα到基122331,,αααααα+++的过渡矩阵为（ ）()A 101220033⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.()B 120023103⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.()C 111246111246111246⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. ()D 111222111444111666⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 6. 设,A B 均为2阶矩阵，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若2,3A B ==，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为（ ）()A **32O B AO ⎛⎫⎪⎝⎭.()B **23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭. ()C **32O A BO ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()D **23OA B O ⎛⎫⎪⎝⎭. 7.设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ ⎪⎝⎭，其中()x Φ为标准正态分布函数，则EX =（ ）()A 0.()B 0.3. ()C 0.7.()D 1.8.设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布()0,1N ，Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====，记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()Z F z 的间断点个数为（ ） ()A 0.()B 1. ()C 2.()D 3.二、填空题（9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.）9.设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数，(),z f x xy =，则2zx y∂=∂∂ 。
2009年高考全国卷1文科数学试题及答案
2009年高考全国卷1文科数学试题及答案2009年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答．．．．．．．无效．．． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =g g 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k kn k n n P k C P P k n -=-=L ，，，一、选择题 （1）sin585的值为 (A)22- (B)22 (C)32- (D) 32(2)设集合A=｛4，5，6，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U =A U B ，则集合［u （A I B ）中的元素共有(A) 3个 （B ） 4个 （C ）5个 （D ）6个（3）不等式111x x +〈-的解集为 （A ）{}}{011x x x x 〈〈〉U （B ）{}01x x 〈〈 （C ） }{10x x -〈〈 （D ）}{0x x 〈（4）已知tan a =4,cot β=13,则tan(a+β)= (A)711 (B)711- (C)713(D)713-（5）设双曲线()222200x y a b a b－＝1＞，＞的渐近线与抛物线21y ＝x ＋相切，则该双曲线的离心率等于（A ）3 （B ）2 （C ）5 （D ）6（6）已知函数()f x 的反函数为()()10g x x ＝＋2lgx ＞，则(1)(1)f ＋g ＝（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4（7）甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（A ）150种 （B ）180种 （C ）300种 （D ）345种（8）设非零向量a b c 、、满足a b c ＝＝，a ＋b ＝c ，则a b ，＝（A ）150°B ）120° （C ）60° （D ）30°（9）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为(A)3 (B)5 (C)7 (D)34(10) 如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3π中心对称，那么φ的最小值为(A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π（11）已知二面角αιβ--为600 ，动点P 、Q 分别在面,αβ内，P 到β3Q 到α的距离为3则P 、Q 两点之间距离的最小值为 (A)2(B) 2 (C)3(D) 3（12）已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F,右准线l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B 。
2009—数一真题标准答案及解析
③ x ∈[2,3] 时， F (x) 为常函数.
④ x ∈[−1, 0] 时， F (x) ≤ 0 为线性函数，单调递增.
⑤由于 F(x)为连续函数
结合这些特点，可见正确选项为（D）.
（4）设有两个数列{an},{bn} ，若
lim
n→∞
an
=
0
，则
∞
∞
∑ ∑ （A）当 bn 收敛时， anbn 收敛.
【答案】 A.
(B) a = 1,b = 1 . 6
(D) a = −1,b = 1 . 6
【解析】 f (x) = x − sin ax, g(x) = x2 ln(1− bx) 为等价无穷小，则
lim f (x) = lim x − sin ax = lim x − sin ax 洛 lim 1− a cos ax 洛 lim a2 sin ax
x→0 g(x) x→0 x2 ln(1− bx) x→0 x2 ⋅ (−bx) x→0 −3bx2
x→0 −6bx
= lim a2 sin ax = − a3 = 1 x→0 − 6b ⋅ ax 6b a
∴a3 = −6b 故排除(B)、(C).
另外
lim
x→0
1
− a cos −3bx2
ax
存在，蕴含了1 −
（Ⅱ）求二维随机变量 ( X ,Y ) 概率分布.
（23）（本题满分 11 分）
设总体
X
的概率密度为
f
(
x)
=
⎧λ 2 xe−λx
⎨ ⎩0,
其他
,
x
>
0
，
其
中
参
数
λ(λ > 0) 未知， X1 ， X 2 ,… X n 是来自总体 X 的简单随机样本.
2009年高考全国卷I数学(理科)试题及参考答案
2009年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II 卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式如果事件相互独立，那么其中表示球的半径球的体积公式如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率其中表示球的半径一、选择题（1）的值为(A) (B) (C) (D)(2)设集合A=｛4，5，6，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集=AB，则集合［u （AB）中的元素共有(A) 3个（B）4个（C）5个（D）6个（3）不等式的解集为（A）（B）（C）（D）（4）已知tan=4,cot=,则tan(a+)=(A) (B) (C) (D)（5）设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于（A）（B）2 （C）（D）（6）已知函数的反函数为，则（A）0 （B）1 （C）2 （D）4（7）甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（A）150种（B）180种（C）300种（D）345种（8）设非零向量满足，则（A）150°B）120°（C）60°（D）30°（9）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为(A) (B) (C) (D)(10) 如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为(A) (B) (C) (D)（11）已知二面角为600 ，动点P、Q分别在面内，P到的距离为，Q到的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（12）已知椭圆的右焦点为F,右准线，点，线段AF交C于点B。
2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国Ⅰ.理)含详解
2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第错误！未找到引用源。
卷（选择题）和第错误！未找到引用源。
卷（非选择题）两部分．第错误！未找到引用源。
卷1至2页，第错误！未找到引用源。
卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R = 如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R = n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B ，则集合[()u AB I 中的元素共有（A ）（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个解：{3,4,5,7,8,9}A B = ，{4,7,9}(){3,5,8}U A B C A B =∴= 故选A 。
也可用摩根律：()()()U U U C A B C A C B =（2）已知????i 则复数z ??（B ??）w w w k s ??u c o m ?????????????? （A ）????i?????????? B??????i?????????????????? C????i?????????????????? D????i 解：(1)(2)13,13z i i i z i =+⋅+=+∴=- 故选B 。
专升本高等数学(一)真题2009年
，其中σ为区域D的面积．由于积分区域D是边长为2的正方形，其面积 为4，可知
． 20．设y=f(x)可导，点x0=2为f(x)的极小值点，且f(2)=3．则曲线y=f(x)
在点(2，3)处的切线方程为______． [答案] y=3． [解题指导] 本题考查的知识点为：极值的必要条件、切线方程． 由于y=f(x)可导，点x0=2为f(x)的极值点，由极值的必要条件知
．因此
解法2
． 17．设z=sin(y-x2)，则
=______． [答案] COS(y-x2)． [解题指导] 本题考查的知识点为偏导数运算． 求
时，只需将x认定为常量．z=sin(y-x2)，因此
． 18．过点M0(1，-1，0)且与平面x-y+3z=1平行的平面方程为______． [答案] (x-1)-(y+1)+3z=0(或x-y+3z=2)． [解题指导] 本题考查的知识点为平面方程． 已知平面π1：x-y+3z=1的法线向量n1=(1，-1，3)．所求平面π与π1，平
[答案] B [解题指导] 本题考查的知识点为复合函数求导运算，在某点处的导数 值．
故选B． 6．设f(x)为连续函数，
( )． A．f(2x) B．2f(x) C．-f(2x) D．-2f(x) [答案] A [解题指导] 本题考查的知识点为可变上限积分求导：若f(x)为连续函
数，则F'(x)=
=( )． A．2x+1 B．2xy+1 C．x2+1 D．2xy [答案] B．
[解题指导] 本题考查的知识点为偏导数计算． 求 时，只需将y认定为常量，依一元函数求导法则运算．由于z=x2y+x-3， 因此
2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)(含解析版)
、 、 A ．B ．2009 年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1．（5 分）设集合 A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集 U=A ∪B ，则集合∁U （A ∩B ）中的元素共有（ ）A ．3 个B ．4 个C ．5 个D ．6 个2．（5 分）已知=2+i ，则复数 z=（ ） A ．﹣1+3i B ．1﹣3iC ．3+iD ．3﹣i 3．（5 分）不等式＜1 的解集为（ ）A ．{x |0＜x ＜1}∪{x |x ＞1}B ．{x |0＜x ＜1}C ．{x |﹣1＜x ＜0}D ．{x |x ＜0}4．（5 分）已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与抛物线 y=x 2+1 相切，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．5．（5 分）甲组有 5 名男同学，3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学．若 从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有（ ）A ．150 种B ．180 种C ．300 种D ．345 种 6．（5 分）设 是单位向量，且，则•的最小值为（ ）A ．﹣2B ．﹣2C ．﹣1D ．1﹣7．（5 分）已知三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1 的侧棱与底面边长都相等，A 1 在底面 ABC 上的射影 D 为 BC 的中点，则异面直线 AB 与 CC 1 所成的角的余弦值为（）C ．D ．8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．9．（5 分）已知直线y=x+1 与曲线y=ln（x+a）相切，则a 的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣210．（5 分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q 分别在面α、β内，P 到β的距离为，Q 到α的距离为，则P、Q 两点之间距离的最小值为（）A．1 B．2 C．D．411．（5 分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2）D．f（x+3）是奇函数12．（5 分）已知椭圆C：+y2=1 的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C 于点B，若=3，则||=（）A．B．2 C．D．3二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）13．（5 分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于．14．（5 分）设等差数列{a n}的前n 项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8=．15．（5 分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1 的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于．16．（5 分）若，则函数y=tan2xtan3x 的最大值为．三、解答题（共6 小题，满分70 分）17．（10 分）在△ABC 中，内角A、B、C 的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．18．（12 分）如图，四棱锥S﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M 在侧棱SC 上，∠ABM=60°（I）证明：M 是侧棱SC 的中点；（II）求二面角S﹣AM﹣B 的大小．19．（12 分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2 局中，甲、乙各胜1 局．（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（II）设ξ表示从第3 局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．20．（12 分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n 项和S n．21．（12 分）如图，已知抛物线E：y2=x 与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D 四个点．（I）求r 的取值范围；（II）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线AC、BD 的交点P 的坐标．22．（12 分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx 有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．（1）求b、c 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：．2009 年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）1．（5 分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）A．3 个B．4 个C．5 个D．6 个【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据交集含义取A、B 的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，A∩B={4，7，9}∴∁U（A∩B）={3，5，8}故选A．也可用摩根律：∁U（A∩B）=（∁U A）∪（∁U B）故选：A．【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．2．（5 分）已知=2+i，则复数z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i【考点】A1：虚数单位i、复数．【分析】化简复数直接求解，利用共轭复数可求z．【解答】解：，∴z=1﹣3i故选：B．【点评】求复数，需要对复数化简，本题也可以用待定系数方法求解．3．（5 分）不等式＜1 的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值．【解答】解：∵＜1，∴|x+1|＜|x﹣1|，∴x2+2x+1＜x2﹣2x+1．∴x＜0．∴不等式的解集为{x|x＜0}．故选：D．【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题．解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方．4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1 相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a 和b 的关系，从而推断出a 和c 的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，即，故选：C．、 、 【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题．5．（5 分）甲组有 5 名男同学，3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学．若 从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有（ ）A ．150 种B ．180 种C ．300 种D ．345 种【考点】D1：分类加法计数原理；D2：分步乘法计数原理． 【专题】5O ：排列组合．【分析】选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法，1 名女同学来自甲组和乙组两类型．【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有 C 51•C 31•C 62=225 种选法； （2）乙组中选出一名女生有 C 52•C 61•C 21=120 种选法．故共有 345 种选法．故选：D ．【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步！6．（5 分）设 是单位向量，且，则• 的最小值为（ ）A ．﹣2B ．﹣2C ．﹣1D ．1﹣【考点】9O ：平面向量数量积的性质及其运算． 【专题】16：压轴题． 【分析】由题意可得=，故要求的式子即﹣（）•+=1﹣cos=1﹣cos，再由余弦函数的值域求出它的最小值． 【解答】解：∵、、 是单位向量，，∴， =．∴•=﹣（）•+ =0﹣（）•+1=1﹣cos=1﹣cos ≥．故选：D．【点评】考查向量的运算法则；交换律、分配律但注意不满足结合律．7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A1 在底面ABC 上的射影D 为BC 的中点，则异面直线AB 与CC1 所成的角的余弦值为（）C．D．A．B．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】首先找到异面直线AB 与CC1 所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B 的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．【解答】解：设BC 的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ=∠A1AB 即为异面直线AB 与CC1 所成的角；并设三棱柱ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cosθ==．故选：D．【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【考点】HB：余弦函数的对称性．【专题】11：计算题．【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选：A．【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．9．（5 分）已知直线y=x+1 与曲线y=ln（x+a）相切，则a 的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+a），又∵∴x0+a=1∴y0=0，x0=﹣1∴a=2．故选：B．【点评】本题考查导数的几何意义，常利用它求曲线的切线10．（5 分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q 分别在面α、β内，P 到β的距离为，Q 到α的距离为，则P、Q 两点之间距离的最小值为（）A．1 B．2 C．D．4【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l 于C，PB⊥β于B，PD⊥l 于D，连CQ，BD 则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ 中将PQ 表示出来，再研究其最值即可．【解答】解：如图分别作QA⊥α于A，AC⊥l 于C，PB⊥β 于B，PD⊥l 于D，连CQ，BD 则∠ACQ=∠PDB=60°，，又∵当且仅当AP=0，即点A 与点P 重合时取最小值．故选：C．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．11．（5 分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2）D．f（x+3）是奇函数【考点】3I：奇函数、偶函数．【专题】16：压轴题．【分析】首先由奇函数性质求f（x）的周期，然后利用此周期推导选择项．【解答】解：∵f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，∴函数f（x）关于点（1，0）及点（﹣1，0）对称，∴f（x）+f（2﹣x）=0，f（x）+f（﹣2﹣x）=0，故有f（2﹣x）=f（﹣2﹣x），函数f（x）是周期T=[2﹣（﹣2）]=4 的周期函数．∴f（﹣x﹣1+4）=﹣f（x﹣1+4），f（﹣x+3）=﹣f（x+3），f（x+3）是奇函数．故选：D．【点评】本题主要考查奇函数性质的灵活运用，并考查函数周期的求法．12．（5 分）已知椭圆C：+y2=1 的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C 于点B，若=3，则||=（）A．B．2 C．D．3【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】过点B 作BM⊥x 轴于M，设右准线l 与x 轴的交点为N，根据椭圆的性质可知FN=1，进而根据，求出BM，AN，进而可得|AF|．【解答】解：过点B 作BM⊥x 轴于M，n n n nn r +1 n 10 10 10 10 10 10并设右准线 l 与 x 轴的交点为 N ，易知 FN=1．由题意，故 FM=，故 B 点的横坐标为，纵坐标为±即 BM=， 故 AN=1， ∴．故选：A ．【点评】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题．二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13．（5 分）（x ﹣y ）10 的展开式中，x 7y 3 的系数与 x 3y 7的系数之和等于 ﹣240 ．【考点】DA ：二项式定理． 【专题】11：计算题．【分析】首先要了解二项式定理：（a +b ）n =C 0a n b 0+C 1a n ﹣1b 1+C 2a n ﹣2b 2++C r a n ﹣ r b r ++C n a 0b n ，各项的通项公式为：T =C r a n ﹣r b r ．然后根据题目已知求解即可． 【解答】解：因为（x ﹣y ）10 的展开式中含 x 7y 3 的项为 C 3x 10﹣3y （3 含 x 3y 7 的项为 C 7x 10﹣7y 7（﹣1）7=﹣C 7x 3y 7． 由 C 3=C 7=120 知，x 7y 3 与 x 3y 7 的系数之和为﹣240．故答案为﹣240．﹣1）3=﹣C 3x 7y 3， 【点评】此题主要考查二项式定理的应用问题，对于公式：（a +b ）n =C n 0a n b 0+C n 1a n﹣1b1+C 2a n﹣2b2++C r a n﹣r b r++C n a0b n，属于重点考点，同学们需要理解记忆．n n n14．（5 分）设等差数列{a n}的前n 项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8= 27 ．【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n 项和．【分析】由s9 解得a5 即可．【解答】解：∵∴a5=9∴a2+a5+a8=3a5=27故答案是27【点评】本题考查前n 项和公式和等差数列的性质．15．（5 分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1 的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于20π．【考点】LR：球内接多面体．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】通过正弦定理求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：在△ABC 中AB=AC=2，∠BAC=120°，可得由正弦定理，可得△ABC 外接圆半径r=2，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，易得球半径，故此球的表面积为4πR2=20π故答案为：20π【点评】本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．16．（5 分）若，则函数y=tan2xtan3x 的最大值为﹣8 ．【考点】3H：函数的最值及其几何意义；GS：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】见到二倍角2x 就想到用二倍角公式，之后转化成关于tanx 的函数，将tanx 看破成整体，最后转化成函数的最值问题解决．【解答】解：令tanx=t，∵，∴故填：﹣8．【点评】本题主要考查二倍角的正切，二次函数的方法求最大值等，最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各块知识点，各个知识水平层面．以最值为载体，可以考查中学数学的所有知识点．三、解答题（共6 小题，满分70 分）17．（10 分）在△ABC 中，内角A、B、C 的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．【考点】HR：余弦定理．【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC 化成边的关系，再根据a2﹣c2=2b 即可得到答案．【解答】解：法一：在△ABC 中∵sinAcosC=3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：，化简并整理得：2（a2﹣c2）=b2．又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2．解得b=4 或b=0（舍）；法二：由余弦定理得：a2﹣c2=b2﹣2bccosA．又a2﹣c2=2b，b≠0．所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC 由正弦定理得，故b=4ccosA②由①，②解得b=4．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题．18．（12 分）如图，四棱锥S﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M 在侧棱SC 上，∠ABM=60°（I）证明：M 是侧棱SC 的中点；（II）求二面角S﹣AM﹣B 的大小．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（Ⅰ）法一：要证明M 是侧棱SC 的中点，作MN∥SD 交CD 于N，作NE⊥AB 交AB 于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，解RT△MNE 即可得x 的值，进而得到M 为侧棱SC 的中点；法二：分别以DA、DC、DS 为x、y、z 轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，并求出S 点的坐标、C 点的坐标和M 点的坐标，然后根据中点公式进行判断；法三：分别以DA、DC、DS 为x、y、z 轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明．（Ⅱ）我们可以以D 为坐标原点，分别以DA、DC、DS 为x、y、z 轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B 的大小．【解答】证明：（Ⅰ）作MN∥SD 交CD 于N，作NE⊥AB 交AB 于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，在RT△MEB 中，∵∠MBE=60°∴．在RT△MNE 中由ME2=NE2+MN2∴3x2=x2+2解得x=1，从而∴M 为侧棱SC 的中点M．（Ⅰ）证法二：分别以DA、DC、DS 为x、y、z 轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则．设M（0，a，b）（a＞0，b＞0），则，，由题得，即解之个方程组得a=1，b=1 即M（0，1，1）所以M 是侧棱SC 的中点．（I）证法三：设，则又故，即，解得λ=1，所以M 是侧棱SC 的中点．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，设分别是平面SAM、MAB 的法向量，则且，即且分别令得z1=1，y1=1，y2=0，z2=2，即，∴二面角S﹣AM﹣B 的大小．【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；19．（12 分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2 局中，甲、乙各胜1 局．（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（II）设ξ表示从第3 局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题．【分析】（1）由题意知前2 局中，甲、乙各胜1 局，甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，根据各局比赛结果相互独立，根据相互独立事件的概率公式得到结果．（2）由题意知ξ表示从第3 局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3，由于各局相互独立，得到变量的分布列，求出期望．【解答】解：记A i 表示事件：第i 局甲获胜，（i=3、4、5）B i 表示第j 局乙获胜，j=3、4（1）记B 表示事件：甲获得这次比赛的胜利，∵前2 局中，甲、乙各胜1 局，∴甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，∴B=A3A4+B3A4A5+A3B4A5由于各局比赛结果相互独立，∴P（B）=P（A3A4）+P（B3A4A5）+P（A3B4A5）=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648（2）ξ表示从第3 局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3由于各局相互独立，得到ξ的分布列P（ξ=2）=P（A3A4+B3B4）=0.52 P（ξ=3）=1﹣P（ξ=2）=1﹣0.52=0.48∴Eξ=2×0.52+3×0.48=2.48．【点评】认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很可惜的，主要原因在于没读懂题．另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节．20．（12 分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n 项和S n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】11：计算题；15：综合题．=b n+，由此能够推导出所求的通【分析】（1）由已知得=+，即b n+1项公式．（2）由题设知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，由错位相减法能求出T n=4﹣．从而导出数列{a n}的前n 项和S n．【解答】解：（1）由已知得b1=a1=1，且=+，即b n=b n+，从而b2=b1+，+1b3=b2+，b n=b n﹣1+（n≥2）．于是b n=b1+++…+=2﹣（n≥2）．又b1=1，故所求的通项公式为b n=2﹣．（2）由（1）知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，①T n=+++…++，②①﹣②得，T n=1++++…+﹣= ﹣=2﹣﹣，∴T n=4﹣．∴S n=n（n+1）+﹣4．【点评】本题考查数列的通项公式和前n 项和的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用．21．（12 分）如图，已知抛物线E：y2=x 与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D 四个点．（I）求r 的取值范围；（II）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线AC、BD 的交点P 的坐标．【考点】IR ：两点间的距离公式；JF ：圆方程的综合应用；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去 y ，得到 x 的二次方程，根据抛物线E ：y 2=x 与圆 M ：（x ﹣4）2+y 2=r 2（r ＞0）相交于 A 、B 、C 、D 四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出 r 的范围．（2）先设出四点 A ，B ，C ，D 的坐标再由（1）中的 x 二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点 P 的坐标．【解答】解：（Ⅰ）将抛物线 E ：y 2=x 代入圆 M ：（x ﹣4）2+y 2=r 2（r ＞0）的方程，消去 y 2，整理得 x 2﹣7x +16﹣r 2=0（1）抛物线 E ：y 2=x 与圆 M ：（x ﹣4）2+y 2=r 2（r ＞0）相交于 A 、B 、C 、D 四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根．（II ） 设四个交点的坐标分别为、 、 、 ．∴ 即 ．解这个方程组得，则直线AC、BD 的方程分别为y﹣= •（x﹣x1），y+=（x﹣x1），解得点P 的坐标为（，0），则由（I）根据韦达定理有x1+x2=7，x1x2=16﹣r2，则∴令，则S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．由三次均值有：当且仅当7+2t=14﹣4t，即时取最大值．经检验此时满足题意．故所求的点P 的坐标为．【点评】本题主要考查抛物线和圆的综合问题．圆锥曲线是高考必考题，要强化复习．22．（12 分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx 有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．（1）求b、c 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；7B：二元一次不等式（组）与平面区域；R6：不等式的证明．【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．【分析】（1）根据极值的意义可知，极值点x1、x2 是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域即可；（2）先用消元法消去参数b，利用参数c 表示出f（x2）的值域，再利用参数c 的范围求出f（x2）的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3x2+6bx+3c，（2分）依题意知，方程f'（x）=0 有两个根x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]等价于f'（﹣1）≥0，f'（0）≤0，f'（1）≤0，f'（2）≥0．由此得b，c 满足的约束条件为（4 分）满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分．（6分）（Ⅱ）由题设知f'（x2）=3x22+6bx2+3c=0，则，故．（8 分）由于x2∈[1，2]，而由（Ⅰ）知c≤0，故．又由（Ⅰ）知﹣2≤c≤0，（10 分）所以．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及二元一次不等式（组）与平面区域和不等式的证明，属于基础题．。