2019学年高中数学第二章2.1椭圆2.1.2第2课时椭圆方程及性质的应用优化练习新人教A版选修1

2.1.2 第2课时 椭圆方程及性质的应用[课时作业] [A 组 基础巩固]1．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是( )A ．m >1B ．m ≥1或0<m <1C ．0<m <5或m ≠1D ．m ≥1且m ≠5解析：∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点， 若5>m ，则m ≥1，若5<m ，则必有公共点， ∴m ≥1且m ≠5. 答案：D2．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，若直线y ＝kx 与其一个交点的横坐标为b ，则k的值为( )A ．±1B ．± 2C ．±33D ．± 3 解析：因为椭圆的离心率为33，所以有c a ＝33，即c ＝33a ，c 2＝13a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝23a 2.当x ＝b 时，交点的纵坐标为y ＝kb ，即交点为(b ，kb )，代入椭圆方程b 2a 2＋k 2b 2b 2＝1，即23＋k2＝1，k 2＝13，所以k ＝±33，选C.答案：C3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是( ) A.32 B.22 C.13 D.12解析：由题意知：F (－c,0)，A (a,0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，±b 2a .∵BF ⊥x 轴，∴AP PB ＝ac.又∵AP →＝2PB →，∴a c ＝2即e ＝c a ＝12.答案：D4．若点(x ，y )在椭圆4x 2＋y 2＝4上，则yx －2，的最小值为( )A ．1B ．－1C ．－23 3D ．以上都不对解析：由题意知yx －2的几何意义是椭圆上的点(x ，y )与点 (2,0)两点连线的斜率，∴当直线y ＝k (x －2)与椭圆相切(切点在x 轴上方)时，yx －2＝k 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －4x 2＋y 2＝4 整理得(4＋k 2)x 2－4k 2x 2＋4k 2－4＝0.Δ＝(－4k 2)2－4(4＋k 2)(4k 2－4)＝16(4－3k 2)＝0，即k ＝－233(k ＝233舍去)时，符合题意． 答案：C5．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若FA →＝3FB →，则|AF →|＝( ) A. 2 B ．2 C. 3 D ．3 解析：设点A (2，n )，B (x 0，y 0)． 由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝1，即c ＝1.∴右焦点F (1,0)． 由FA →＝3FB →，得(1，n )＝3(x 0－1，y 0)． ∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0. ∴x 0＝43，y 0＝13n .将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1，得12×⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 2＝1. 解得n 2＝1， ∴|AF →|＝－2＋n 2＝1＋1＝ 2.故选A. 答案：A6．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x 轴上，且a －c ＝3，那么椭圆的方程是________．解析：若短轴的端点与两焦点组成一个正三角形，则a ＝2c ， 又a －c ＝3， 故c ＝3，a ＝23， ∴b 2＝(23)2－3＝9， 椭圆的方程为x 212＋y 29＝1.答案：x 212＋y 29＝17．设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是________．解析：如图所示，设以(0,6)为圆心，以r 为半径的圆的方程为x 2＋(y －6)2＝r 2(r ＞0)，与椭圆方程x 210＋y 2＝1联立得方程组，消掉x 2得9y 2＋12y ＋r 2－46＝0.令Δ＝122－4×9(r 2－46)＝0，解得r 2＝50， 即r ＝5 2.由题意易知P ，Q 两点间的最大距离为r ＋2＝6 2. 答案：6 28．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是________．解析：易知点A (3,0)是椭圆的右焦点． ∵PM →·AM →＝0， ∴AM →⊥PM →.∴|PM →|2＝|AP →|2－|AM →|2＝|AP →|2－1，∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小，故|AP →|min ＝2， ∴|PM →|min ＝ 3. 答案： 39．已知椭圆的短轴长为23，焦点坐标分别是(－1,0)和(1,0)． (1)求这个椭圆的标准方程；(2)如果直线y ＝x ＋m 与这个椭圆交于不同的两点，求m 的取值范围． 解析：(1)∵2b ＝23，c ＝1， ∴b ＝3，a 2＝b 2＋c 2＝4. ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y23＝1，消去y 并整理得7x 2＋8mx ＋4m 2－12＝0.若直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 23＝1有两个不同的交点，则有Δ＝(8m )2－28(4m 2－12)＞0，即m 2＜7，解得－7＜m ＜7.10．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求△OAB 的面积．解析：椭圆的右焦点为F (1,0)，∴l AB ：y ＝2x －2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 25＋y24＝1，得3x 2－5x ＝0，∴x ＝0或x ＝53，∴A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43， ∴S △AOB ＝12|OF |(|y B |＋|y A |)＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋43＝53. [B 组 能力提升]1．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过F 1的直线与椭圆相交于A ，B 两点，若A B →·A F →2＝0，|A B →|＝|A F →2|，则椭圆的离心率为( ) A.6－ 3 B.3－ 2 C.3－1 D.2－1解析：在Rt △ABF 2中，设|AF 2|＝m ，则|AB |＝m ，|BF 2|＝2m ，所以4a ＝(2＋2)m .又在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|＝2a －m ＝22m ，|F 1F 2|＝2c ，所以(2c )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22m 2＋m 2＝32m 2，则2c ＝62m . 所以椭圆的离心率e ＝2c2a ＝621＋22＝6－ 3.答案：A2．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( ) A ．必在圆x 2＋y 2＝2内 B ．必在圆x 2＋y 2＝2上 C ．必在圆x 2＋y 2＝2外 D ．以上三种情形都有可能 解析： ∵e ＝12，∴a ＝2c ，∴a 2＝4c 2，b 2＝a 2－c 2＝3c 2， ∴b ＝3c ，方程ax 2＋bx －c ＝0， 可化为2cx 2＋3cx －c ＝0， 即2x 2＋3x －1＝0， ∴x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－12， x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝74<2， ∴P (x 1，x 2)必在圆x 2＋y 2＝2内．故选A. 答案：A3．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为________．解析：由x 24＋y 23＝1可得F (－1,0)．设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6. 答案：64．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程相减得x 1－x 2x 1＋x 2a2＋y 1－y 2y 1＋y 2b2＝0，根据题意有x 1＋x 2＝2×1＝2，y 1＋y 2＝2×1＝2，且y 1－y 2x 1－x 2＝－12，所以2a 2＋2b 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，得a 2＝2b 2，所以a 2＝2(a 2－c 2)，整理得a 2＝2c 2，得c a ＝22，所以e＝22. 答案：225．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程． 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得，ax 21＋by 21＝1，① ax 22＋by 22＝1.②②－①，得a (x 1＋x 2)(x 2－x 1)＋b (y 2＋y 1)(y 2－y 1)＝0.而y 2－y 1x 2－x 1＝k AB ＝－1，y 2＋y 1x 2＋x 1＝k OC ＝22， 则b ＝2a .又∵|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22， ∴|x 2－x 1|＝2.又由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0， ∴x 1＋x 2＝2b a ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b.∴|x 2－x 1|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4.将b ＝2a 代入，得a ＝13，b ＝23.∴所求椭圆方程为x 23＋23y 2＝1.6．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的离心率为22，F 1，F 2为其焦点，一直线过点F 1与椭圆相交于A ，B 两点，且△F 2AB 的最大面积为2，求椭圆的方程． 解析：由e ＝22得a ∶b ∶c ＝2∶1∶1， 所以椭圆方程设为x 2＋2y 2＝2c 2. 设直线AB ：x ＝my －c ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －c x 2＋2y 2＝2c 2，得(m 2＋2)y 2－2mcy －c 2＝0，Δ＝4m 2c 2＋4c 2(m 2＋2)＝4c 2(2m 2＋2) ＝8c 2(m 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1，y 2是方程的两个根． 得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2mc m 2＋2，y 1y 2＝－c2m 2＋2，所以|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝22c m 2＋1m 2＋2S △ABF 2＝12|F 1F 2||y 1－y 2| ＝c ·22c ·m 2＋1m 2＋2＝22c2m 2＋1＋1m 2＋1≤22c 2·12＝2c 2，当且仅当m ＝0时，即AB ⊥x 轴时取等号， ∴2c 2＝2，c ＝1，所以，所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1。