高二下学期期中考试数学(理)Word版含答案

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高二数学下学期期中考试试卷含答案(共5套,word版)

高二下学期数学期中考试试卷时量：120分钟总分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设全集R I =，集合}1|{},3,log |{A 3-==>==x y x B x x y y ，则（）A ．B A ⊆ B ．A B A =⋃C ．φ=⋂B AD ．φ≠⋂)(B C A I 2.已知i 是虚数单位，复数z 满足i z i 2)1(=-，则z 的虚部是（） A ．1 B ．i C ．－1 D ．－i3. 函数x x f 3log )(=的图象与函数()sin g x x π=的图象的交点个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．54. 若向量,a b 的夹角为32π，且1||,2||==b a ，则向量b a 2+与向量a 的夹角为（） A ．6π B ．3π C. 23π D ．56π5. 已知0a >，0b >，若不等式313ma b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（）A ．9B ．12C ．18D ．246.已知21)4tan(=-πα，且0<<-απ，则αα2sin 22sin +等于（）A ．B ．25-C ．25D ．5127.已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，AB ⊥BC ，AB=BC=AA 1=2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A ．π48B ．π32C ．π12D ．π8 8. 已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记)3(log 5.0f a =,),2(),5(log 2m f c f b ==则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<9.直线02=++y x 分别与轴轴，y x 交于B A ,两点，点P 在圆2)2(22=+-y x 上，则ABP ∆面积的取值范围是（）A ．]6,2[B ．]8,4[ C. ]23,2[ D ．]23,22[ 10. 执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为（） A ．4B ．5C ．7D ．911.已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，设函数)(x f 的导数为)(x f '，若对任意的0>x 都有0)()(2>'+x f x x f 成立，则（）A ．)3(9)2(4f f <-B ． )3(9)2(4f f >-C ．)2(3)3(2->f fD ．)2(2)3(3-<-f f12.设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ，：的左、右焦点分别为1F 、2F 。

2021年高二(下)期中数学试卷(理科) Word版含解析

2021年高二（下）期中数学试卷（理科） Word版含解析一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）已知（i为虚数单位），则复数z的共轭复数是﹣1﹣i ．考复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．点：计算题．专题：把给出的等式的分母乘到右边，然后采用单项式乘以多项式化简复数z，则z的共轭复数可求．分析：解答：解：由，得z=i（1+i）=﹣1+i．所以复数z的共轭复数是﹣1﹣i．故答案为﹣1﹣i．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．（5分）从5名男生和4名女生中选出3名代表，代表中必须有女生，则不同的选法有74种（用数字作答）．考点：计数原理的应用．专题：计算题．分析：代表中没有女生的选法共有=10种，所有的选法共有=84种，由此求得代表中必须有女生时不同的选法种数．解答：解：代表中没有女生的选法共有=10种，所有的选法共有=84种，故代表中必须有女生，则不同的选法有84﹣10=74种，故答案为74．点评：本题主要考查组合问题、组合数公式的应用，用间接解法求解，属于中档题．3．（5分）若，则x=3或6．考点：组合数公式的推导；组合及组合数公式．专题：计算题．分析：由组合数公式，由C18x=C183x﹣6，找到其与x与3x﹣6的关系，即可得答案．解答：解：利用组合数的性质易得若C18x=C183x﹣6，则：x=3x﹣6或x+3x﹣6=18，则x=3或6故答案为：3或6．点评：本题考查组合数公式的运用本题主要考查组合数的性质的运用，属于基础题，须准确记忆公式．4．（5分）由1、2、3、4、5组成个位数字不是3的没有重复数字的五位奇数共有48个（用数字作答）．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：由题意，末尾数字为5或3，其余位置任意排列，从而可得结论解答：解：由题意，末尾数字为5或3，其余位置任意排列，所以奇数共有2×=48个故答案为：48点评：本题考查计数原理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．5．（5分）设n为奇数，则除以9的余数为7．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：所给的式子即（9﹣1）n﹣1 的展开式，除了最后2项外，其余的各项都能被9整除，故此式除以9的余数即最后2项除以9的余数．解答：解：由于n为奇数，=（1+7）n﹣1=（9﹣1）n﹣1=+++…++﹣1，显然，除了最后2项外，其余的各项都能被9整除，故此式除以9的余数即最后2项除以9的余数．而最后2项的和为﹣2，它除以9的余数为7，故答案为7．点评：本题主要考查二项式定理的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．6．（5分）已知复数乘法（x+yi）（cosθ+isinθ）（x，y∈R，i为虚数单位）的几何意义是将复数x+yi在复平面内对应的点（x，y）绕原点逆时针方向旋转θ角，则将点（6，4）绕原点逆时针方向旋转得到的点的坐标为．考点：旋转变换；复数乘法的棣莫弗公式．专题：计算题．分析：根据复数乘法（x+yi）（cosθ+isinθ）（x，y∈R，i为虚数单位）的几何意义是将复数x+yi在复平面内对应的点（x，y）绕原点逆时针方向旋转θ角，即可得所求点的坐标．解答：解：复数乘法（x+yi）（cosθ+isinθ）（x，y∈R，i为虚数单位）的几何意义是将复数x+yi在复平面内对应的点（x，y）绕原点逆时针方向旋转θ角，则将点（6，4）绕原点逆时针方向旋转得到的点的对应的复数为：（6+4i）（cos+isin）=（6+4i）（+i）=．∴得到的点的坐标为．故答案为：．点评：考查点的旋转问题；根据复数乘法的棣莫弗公式是解决本题的关键．7．（5分）展开式中有理项共有3项．考点：二项式定理．专题：计算题；概率与统计．分析：先求出展开式通项公式，当项为有理项时，x的次方应该为整数，由此得出结论．解答：解：展开式通项公式为T r+1==若为有理项时，则为整数，∴r=0、6、12，故展开式中有理项共有3项，故答案为：3点评：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．8．（5分）已知一个关于正整数n的命题P（n）满足“若n=k（k∈N*）时命题P（n）成立，则n=k+1时命题P（n）也成立”．有下列判断：（1）当n=xx时命题P（n）不成立，则n≥xx时命题P（n）不成立；（2）当n=xx时命题P（n）不成立，则n=1时命题P（n）不成立；（3）当n=xx时命题P（n）成立，则n≥xx时命题P（n）成立；（4）当n=xx时命题P（n）成立，则n=1时命题P（n）成立．其中正确判断的序号是（2）（3）．（写出所有正确判断的序号）考点：命题的真假判断与应用．专题：探究型．分析：利用归纳法的证明过程进行推理判断．解答：解：（1）根据条件只有命题成立时，才能推导出下一个命题成立，当命题不成立时，则不一定成立，所以（1）错误．（2）若n=1时，命题P（n）成立，则一定能推出当n=xx时命题P（n）成立，与当n=xx时命题P （n）不成立，所以（2）正确．（3）根据条件可知当n=xx时命题P（n）成立，则n≥xx时命题P（n）成立．（4）当n=xx时命题P（n）成立，只能推出n≥xx时命题P（n）成立，无法推出n=1时命题P（n）是否成立．所以正确的是（2）（3）．故答案为：（2）（3）．点评：本题主要考查学生的归纳与推理能力，综合性较强．9．（5分）已知复数z满足，则|z+i|（i为虚数单位）的最大值是．考点：复数求模．专题：计算题．分析：由复数模的几何意义可得复数z对应的点在以（2，0）为圆心，以为半径的圆周上，由此可得|z+i|的最大值是点（2，0）与点（0，﹣1）的距离加上半径．解答：解：由，所以复数z对应的点在以（2，0）为圆心，以为半径的圆周上，所以|z+i|的最大值是点（2，0）与点（0，﹣1）的距离加上半径，等于．故答案为．点评：本题考查了复数模的求法，考查了复数模的几何意义，体现了数形结合的解题思想方法，是基础题．10．（5分）已知扇形OAB，点P为弧AB上异于A，B的任意一点，当P为弧AB的中点时，S△OAP+S△OBP 的值最大．现有半径为R的半圆O，在圆弧MN上依次取点（异于M，N），则的最大值为2n﹣1R2sin．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用三角形的面积计算公式和数学归纳法即可得出．解答：解：=，设∠MOP1=θ1，∠P1OP2=θ2，…，．则．∵0＜θi＜π，∴sinθi＞0，猜想的最大值为．即⇔sinθ1+sinθ2+…+≤（）．下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，由扇形OAB，点P为弧AB上异于A，B的任意一点，当P为弧AB的中点时，S△OAP+S△OBP的值最大，可知成立．（2）假设当n=k（k∈N*）时，不等式成立，即sinθ1+sinθ2+…+≤．成立．（θ1+θ2+…+，θi＞0）则当n=k+1时，左边=即sinθ1+sinθ2+…+++…+∵，当且仅当θi=θi+1时取等号．∴左边++…+==右边，当且仅当θi=θi+1（i∈N*，且1≤i≤2k+1﹣1）时取等号．即不等式对于∀n∈N*都成立．故答案为．点评：熟练掌握三角形的面积计算公式和数学归纳法是解题的关键．11．（5分）从红桃2、3、4、5和梅花2、3、4、5这8张扑克牌中取出4张排成一排，如果取出的4张扑克牌所标的数字之和等于14，则不同的排法共有432种（用数字作答）．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：根据题意，分析可得，数字之和为14的情况有4，4，3，3；2，2，5，5；2，3，4，5；再依次求得每种情况下的排法数目，进而由加法原理，相加可得答案．解答：解：数字之和为10的情况有4，4，3，3；2，2，5，5；2，3，4，5；取出的卡片数字为4，4，3，3时；有A44种不同排法；取出的卡片数字为2，2，5，5时；有A44种不同排法；取出的卡片数字为2，3，4，5时；每个数字都有两种不同的取法，则有24A44种不同排法；所以共有2A44+24A44=18A44=432种不同排法．故答案为：432．点评：本题考查排列的应用，解题时注意数字可能来自一种卡片还是两种卡片．12．（5分）（2011•延安模拟）若，则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2的值为1．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：通过对x分别赋值1，﹣1，求出各项系数和和正负号交替出现的系数和，两式相乘得解．解答：解：对于，令x=1得=a0+a1+a2+a3+a4令x=﹣1得=a0﹣a1+a2﹣a3+a4两式相乘得1=（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2故答案为1点评：本题考查解决展开式的系数和问题的重要方法是赋值法．13．（5分）数列{a n}满足a n=，其中k∈N*，设f（n）=，则f（xx）﹣f（xx）等于4xx．考点：数列的求和．专题：计算题．分析：先计算前几项的值，根据所求的值寻求规律，即可求解解答：解：由题意可得，f（2）﹣f（1）=a1+a2+a3+a4﹣（a1+a2）=a3+a4=3+1=4f（3）﹣f（2）=a5+a6+a7+a8=5+3+7+1=42f（4）﹣f（3）=a9+a10+…+a16=9+5+11+3+13+7+15+1=64=43…f（xx）﹣f（xx）=4xx故答案为：4xx点评：本题主要考查了数列的求和，解题的关键是利用已知递推公式准确求出数列的项，进而发现项的规律14．（5分）我们常用构造等式对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如由等式（1+x）2n=（1+x）n （1+x）n可得，左边x n的系数为，而右边，x n的系数为，由（1+x）2n=（1+x）n（1+x）n恒成立，可得．利用上述方法，化简=．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：根据题意，构造等式（x﹣1）2n•（x+1）2n=（x2﹣1）2n，分别从等式的左边和等式的右边求得x2n 的系数，令其相等，即可求得原式的值．解答：解：根据题意，构造等式（x﹣1）2n•（x+1）2n=（x2﹣1）2n，由等式的左边可得x2n的系数为C2n2n•（﹣1）2n C2n0+C2n2n﹣1•（﹣1）2n﹣1C2n1+C2n2n﹣2•（﹣1）2n ﹣2C2n2+…+C2n0•（﹣1）0C2n2n，即（C2n0）2﹣（C2n1）2+（C2n2）2﹣（C2n3）2+…+（C2n2n）2，由右等式的右端可得x2n的系数为（﹣1）n C2n n，故有（C2n0）2﹣（C2n1）2+（C2n2）2﹣（C2n3）2+…+（C2n2n）2=（﹣1）n C2n n，故答案为（﹣1）n C2n n．点评：本题考查组合数公式的应用，涉及二项式定理的应用，关键要根据题意，充分利用组合数的性质，属于中档题．二、解答题（共6大题，共90分）15．（15分）设实部为正数的复数z，满足，且复数（1+2i）z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线，求复数z．考点：复数求模；复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：设出复数z，由，复数（1+2i）z的实部和虚部相等联立方程组即可求得复数z．解答：解：设z=a+bi，a，b∈R，a＞0，由题意：a2+b2=10①（1+2i）z=（1+2i）（a+bi）=a﹣2b+（2a+b）i，得a﹣2b=2a+b②①②联立，解得a=3，b=﹣1得z=3﹣i．点评：本题考查了复数的模，考查了复数的代数表示法和几何意义，是基础的运算题．16．（15分）4个男同学，3个女同学站成一排．（1）男生甲必须排在正中间，有多少种不同的排法？（2）3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？（3）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？（4）其中甲、乙两名同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？考点：排列、组合及简单计数问题．专题：应用题．分析：（1）男生甲位置确定，只要让其余6人全排（2）（捆绑法）先让3个女生“捆绑”成一个整体，内部排序，然后把女生看成一个整体，与其余的男生排序（3）先把4个男生排列，然后把3个女生向5个空档插孔（4）先把甲乙排好顺序，然后从余下的5人中选出3人站在甲乙中间，然后把甲乙及中间的5人看成一个整体，和其余的2人看着3个整体进行排序解答：（本题满分15分）解：（1）男生甲位置确定，只要让其余6人全排：；…（3分）（2）（捆绑法）先让3个女生“捆绑”成一个整体，内部排序有种，然后把女生看成一个整体，与其余的男生排列有，共有…（7分）（3）先把4个男生排练有种排法，然后把3个女生向5个空档插孔，有=1440…（11分）（4）先把甲乙排好顺序有种排序，然后从余下的5人中选出3人站在甲乙中间，有种，然后把甲乙及中间的5人看成一个整体，和其余的2人看着3个整体进行排序，有，共有．…（15分）点评：本题主要考查了排练中常见方法：特殊元素优先安排法，不相邻元素插孔法，相邻元素捆绑法的应用．17．（15分）已知（m是正实数）的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含x项的系数为112．（1）求m，n的值；（2）求展开式中奇数项的二项式系数之和；（3）求的展开式中含x2项的系数．考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．专题：计算题．分析：（1）由题意可得2n=256，由此解得n=8．再根据含x项的系数为，求得m的值．（2）展开式中奇数项的二项式系数之和为，再根据二项式系数的性质求得结果．（3），可得含x2的系数为，运算求得结果．解答：解：（1）由题意可得2n=256，解得n=8．…（3分）含x项的系数为，…（5分）解得m=2，或m=﹣2（舍去）．故m，n的值分别为2，8．…（6分）（2）展开式中奇数项的二项式系数之和为．…（9分）（3），…（11分）所以含x2的系数为．…（15分）点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于中档题．18．（15分）（xx•天津）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现在从甲、乙两个盒内各任取2个球．（I）求取出的4个球均为黑色球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．考点：等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列．分析：（1）取出的4个球均为黑色球包括从甲盒内取出的2个球均黑球且从乙盒内取出的2个球为黑球，这两个事件是相互独立的，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果．（2）取出的4个球中恰有1个红球表示从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红红，1个是黑球或从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球两种情况，它们是互斥的．（3）ξ为取出的4个球中红球的个数，则ξ可能的取值为0，1，2，3．结合前两问的解法得到结果，写出分布列和期望．解答：解：（I）设“从甲盒内取出的2个球均黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球为黑球”为事件B．∵事件A，B相互独立，且．∴取出的4个球均为黑球的概率为P（A•B）=P（A）•P（B）=．（II）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红红，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D．∵事件C，D互斥，且．∴取出的4个球中恰有1个红球的概率为P（C+D）=P（C）+P（D）=．（III）解：ξ可能的取值为0，1，2，3．由（I），（II）得，又，从而P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=3）=．ξ的分布列为ξ的数学期望．点评：本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．19．（15分）已知a i＞0（i=1，2，…，n），考查①；②；③．归纳出对a1，a2，…，a n都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明．考点：数学归纳法；归纳推理．专题：证明题．分析：依题意可归纳出：（a1+a2+…+a n）（++…+）≥n2；下面用数学归纳法证明：①当n=1时易证；②假设当n=k时，不等式成立，去证明当n=k+1时，不等式也成立即可，需注意归纳假设的利用与基本不等式的应用．解答：结论：（a1+a2+…+a n）（++…+）≥n2…（3分）证明：①当n=1时，显然成立；…（5分）②假设当n=k时，不等式成立，即：（a1+a2+…+a k）（++…+）≥k2…（7分）那么，当n=k+1时，（a1+a2+…+a k+a k+1）（++…++）=（a1+a2+…+a k）（++…+）+a k+1（++…+）+（a1+a2+…+a k）+1≥k2+（+）+（+）+…+（+）+1≥k2+2k+1=（k+1）2即n=k+1时，不等式也成立．…（14分）由①②知，不等式对任意正整数n成立．…（15分）点评：本题考查归纳推理与数学归纳法，着重考查归纳假设的利用与基本不等式的应用，考查推理证明的能力，属于难题．20．（15分）试用两种方法证明：（1）；（2）．考点：二项式定理的应用；组合数公式的推导．专题：证明题．分析：（1）方法1：在等式中，令x=1，可得成立．方法2：用数学归纳法进行证明．（2）方法1：根据组合数的计算公式可得k=n，所以，=n（++…+ ）=n2n﹣1．方法2：由（1+x）n=1+x+x2+…+x n（n≥2，且n∈N*），对等式两边求导，再令x=1，可得．解答：（1）证明：方法1：由令x=1，得．…（3分）方法2：数学归纳法：①当n=1时，显然成立；②假设当n=k时，，则当n=k+1时，由，=+，=，所以，+++…+=+（）+（）+…+（）+=2（+…+=2•2k=2k+1，由①②，等式对于任意n∈N*恒成立．…（7分）（2）方法1：由于k=k=，n=n=，∴k=n，…（9分）所以，=n+n+…+n=n（++…+ ）=n2n﹣1．…（11分）方法2：由（1+x）n=1+x+x2+…+x n（n≥2，且n∈N*），两边求导，得n（1+x）n﹣1=1+2x+3•x2+…+nx n﹣1，…（14分）令x=1，得．…（15分）点评：本题主要考查二项式定理的应用，组合数的计算公式、用数学归纳法证明等式，属于中档题．36854 8FF6 迶025777 64B1 撱25330 62F2 拲21311 533F 匿f2,26670 682E 栮36493 8E8D 躍T A。

高二理科数学下册期中检测试卷及答案

～第二学期期中考试高二数学试题（理科）注意事项：1．本试卷共4页，包含填空题（第1～14题，共14题）、解答题（第16～20题，共6题）二部分。

本次考试时间为120分钟，满分160分。

考试结束后，只需将答题纸交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号、班级等信息用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上。

3．作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

参考公式：线性回归方程系数公式：,)())((211^∑∑==---=ni i ni i ix x y y x xb x b y a ^^-=.样本相关系数公式：,)()())((21211∑∑∑===----=ni i ni ini i iy y x xy y x xr卡方统计量：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n ++++-=χ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸指定位置. 1.化简=+-ii11 ▲ . 2．=-3545C A .3．已知,11ni im-=-其中n m ,是实数，i 是虚数单位，则=+ni m . 4.在回归分析中，对于y x ,随机取到的n 对数据),,2,1)(,(n i y x i i =样本相关系数r 具有下列哪些性质：①;1≤r ②r 越接近于1，y x ,的线性相关程度越弱;③r 越接近于1，y x ,的线性相关程度越强；④r 越接近于0，y x ,的线性相关程度越强，请写出所有正确性质的序号： .5.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是 .①若2χ的观测值满足2χ≥6.635,我们有99％的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100人吸烟的人中必有99患有肺病;②从独立性检验可知有99％的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99％的可能患有肺病;③其从统计量中得知有95％的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5％的可能性使得推判出现错误.6.某地区的年财政收入x 与年支出y 满足线性回归模型ε++=bx a y （单位：亿元），其中.5.0,2,8.0≤==εa b 如果今年该地区财政收入10亿元，则年支出预计不会超过 .7.把4封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数共有种.8．类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AC AB ,互相垂直，则三角形边长之间满足关系：.222BC AC AB =+若三棱锥BCD A -的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为 .9．已知推理：“因为△ABC 三边长依次为3，4，5，所以△ABC 是直角三角形”.若将其恢复成完整的三段论，则大前提是 . 10.观察下列等式：,),4321(16941,321941),21(41,11 +++-=-+-++=+-+-=-=由此推测第n 个等式为 .（不必化简结果） 11.已知,12121=-==z z z z 则21z z +等于 .12.在复平面内，Ｏ是原点，,,表示的复数分别为,51,23,2i i i +++-那么表示的复数为 .13.设正数数列}{n a 的前n 项和为n S ，且),1(21nn n a a S +=推测出n a 的表达式为 . 14.将正奇数排列如右表所示，其中第i 行第j 个数表示为),,(**N j N i a ij ∈∈例如.932=a 若,2009=ij a 则=+j i .二、解答题：本大题共６小题，共90分.在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题14分）已知复数,)32()1(2i m m m m z -++-=当实数m 取什么值时，复数z 是：（１）零；（２）纯虚数；（３）.52i z +=16.（本小题１４分）先解答（１），再通过结构类比解答（２）（１）求证：;tan 1tan 1)4tan(xxx -+=+π（２）设R x ∈且,)(1)(1)1(x f x f x f -+=+试问：)(x f 是周期函数吗？证明你的结论.17.(本小题１４分)设有编号为１，２，３，４，５的五个球和编号为１，２，３，４，５的五个盒子，现将这五个球放入５个盒子内.（１）只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？（２）没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？18.（本小题１６分）设,1,*>∈n N n 用数学归纳法证明：.131211n n>++++19.(本小题16分)某电脑公司有６名产品推销员，其中５名推销员的工作年限与年推销金额数据如下表：（１）求年推销金额y 与工作年限x 之间的相关系数（精确到小数点后两位）；（２）求年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程；（３）若第６名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额. (参考数据：;02.104.1≈由检验水平0.01及,32=-n 查表得.59.001.0=r )20.（本小题16分０设Q P ,是复平面上的点集，{}{}.,2,05)(3P z iz Q z z i z z z P ∈===+-+⋅=ωω（１）Q P ,分别表示什么曲线？（２）设,,21Q z P z ∈∈求21z z -的最大值与最小值.2019－2019学年度第二学期期中考试高二数学答题纸一．填空题：（本题共14小题，每题5分，共70分）1. 2. 3. 4.5. 6. 7. 8.9. 10. 11. 12.13. 14.二．解答题：（本题共6题，共90分,请写出必要的解答或证明过程）15题：（本题14分）16题：（本题14分）17题.（本题14分）…18题：（本题16分）…19题：（本题16分）20题：（本题16分）高二理科数学参考答案一、填空题1. i -；2. 110；3. i +2；4. ①③；5. ③；6. 10.5亿元；7. 81； 8. 2222ACD ABC ABD BCD S S S S ∆∆∆∆++=；9. 一条边的平方等于其它两条边平方和的三角形是直角三角形； 10. )321()1()1(4321121222n n n n ++++-=⋅-++-+--- ；11.12. i 44-；13. 1--=n n a n ；14. 60二、解答题15. 解：（1）由⎩⎨⎧=-+=-0320)1(2m m m m 可得m=1； …………4分（2）由⎩⎨⎧≠-+=-0320)1(2m m m m 可得m=0； …………8分（3）由⎩⎨⎧=-+=-5322)1(2m m m m 可得m=2； …………12分综上：当m=1时，复数z 是0；当m=1时，复数z 是纯虚数；当m=2，复数z 是i 52+． …………14分 16. 解：（Ⅰ）xx x x x tan 1tan 14tantan 14tantan )4tan(-+=-+=+πππ； …………4分（Ⅱ）)(x f 是以4为其一个周期的周期函数． …………6分∵)(1)(1)(11)(1)(11)1(1)1(1)1)1(()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-+--++=+-++=++=+， …………10分 ∴)()2(1)2)2(()4(x f x f x f x f =+-=++=+， …………12分所以)(x f 是周期函数，其中一个周期为4． …………14分 17. 解：（1）只有一个盒子空着，则有且只有一个盒子中投放两个球，另外3只盒子中各投放一个球，先将球分成2，1，1，1的四组，共有25C 种分法， …………4分再投放到五个盒子的其中四个盒子中，共有45A 种放法，所以满足条件的投放方法共有4525A C =1200（种）； …………8分（2）五个球投放到五个盒子中，每个盒子中只有一个球，共有55A 种投放方法，而球的编号与盒子编号全相同的情况只有一种，所以球的编号与盒子编号不全相同的投放方法共有155-A =119（种）． …………14分18. 证明：记)(n f ＝+++31211…n1+（*N n ∈，n ＞1）， …………2分（1）当n ＝2时，211)2(+=f ＞2，不等式成立； …………6分（2）假设n ＝k （*N k ∈，k ≥2）时，不等式成立， …………8分即)(k f ＝+++31211…k1+＞k ，则当n ＝k +1时，有)1(+k f ＝)(k f +11+k ＞k +11+k ＝11)1(+++k k k＞11++k k ＝1+k …………12分∴当n ＝k +1时，不等式也成立. …………14分综合（1），（2）知，原不等式对任意的*N n ∈（n ＞1）都成立. …………16分 19. 解：(Ⅰ)由∑=--ni i iy y x x1))((=10，∑=-n i i x x 12)(=20，21)(∑=-ni i y y =5.2，可得98.02.52010≈⨯=r ， …………4分∴年推销金额y 与工作年限x 之间的相关系数约为0.98． …………6分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知，98.0=r ＞01.0959.0r =,∴可以认为年推销金额y 与工作年限x 之间具有较强的线性相关关系. …………8分设所求的线性回归方程为a bx y+=ˆ，则4.0,5.0==a b . …………10分 ∴年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程为4.05.0ˆ+=x y. …………12分 (Ⅲ) 由(Ⅱ) 可知，当11x =时, 4.05.0ˆ+=x y= 0.5×11+ 0.4 = 5.9万元， ∴可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元． …………16分 20. 解：（1）设yi x z +=（R y x ∈,）， …………2分则集合=P {),(y x ︱05622=+-+y y x }＝{),(y x ︱4)3(22=-+y x }，故P 表示以（0，3）为圆心，2为半径的圆； …………6分第11页共11页设yi x +=ω（R y x ∈,），P i y x z ∈+=00（R y x ∈00,）且iz 2=ω，…………8分则⎩⎨⎧=-=0022x y y x …………10分将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==x y y x 212100代入4)3(22=-+y x 得16)6(22=++y x ，故Q 表示以（－6，0）为圆心，4为半径的圆； …………12分（2）21z z -表示分别在圆Q P ,上的两个动点间的距离，又圆心距53=PQ ＞2+4，故21z z -最大值为6+35，最小值为35－6． …………16分。

高二下期中考试数学参考答案

高二下期中考试数学参考答案及评分标准（理科）二、填空题（每题5分）13、33 14、－6 15、4216、2019三、解答题17、（1）茎叶图如下：所以甲的中位数为：=33，乙的中位数为：=33.5．.......................5分（2）甲的平均数为：=33，乙的平均数为：（28+29+33+34+36+38）=33，甲的方差为：，乙的方差为：，甲、乙的平均数相等，乙的方差更小，则乙的发挥更稳定，故乙参加比赛更合适．...10分18.（1）........................................................4分（2）故线性回归方程为...........................................................8分（3）当x＝10时，＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，即估计使用年限为10年时，维修费用约为12.38万元．...............12分19、（1）依题意，所求频率.....................4分（2）由（1）可知各组的中间值及对应的频率如下表：∴，即问卷调查的平均得分的估计值为70.5分.................................................................8分（3）依题意，.因为，故有的把握认为居民的学习态度与年龄相关..................................................12分20.（1），，，，，所以切线方程为................................................4分（2），当时，，在上单调递减，所以，；当时，，在上单调递增，所以，，舍去；当时，在上单调递增，在上单调递减，所以，.综上或..............................................................................................12分21.(1)分数在的频率为，由茎叶图知：分数在之间的频数为2，全班人数为．.........................................................................................4分(2)分数在之间的频数为；频率分布直方图中间的矩形的高为．.................................8分(3)将之间的3个分数编号为，，，之间的2个分数编号为，，在之间的试卷中任取两份的基本事件为：，，，，，，，，，共10个，其中，至少有一个在之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在之间的概率是．.............................................12分22（1）因为，，所以，令可知，当或时，当时，所以在，上单调递减，在上单调递增；...........................................................................................................................4分（2）由题可知下面对a的范围进行讨论：当时，设函数，则，因此在上单调递减，又因为，所以，所以；当时，设函数，则，所以在上单调递增，又，所以．因为当时，所以，取，则，所以，矛盾；当时，取，则，矛盾；综上所述，a的取值范围是．...............................12分(其他解法也相应给分)。

高二数学下学期期中试题理(含解析)

焦作市普通高中２０17—2018学年(下)高二期中考试数学(理科)试卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分、在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

１。

已知集合,,则=Ａ。

B、 C、 D。

【答案】Ｂ【解析】分析:先化简集合A,再求Ａ∩B、详解:由题得={x｜-2＜x〈３｝,∴A∩B＝。

故选B、点睛:本题考查集合的交集运算,属于基础题,注意表示的是正整数集,不包含0、、、、、。

、。

、、。

、。

、、、、、、。

、2。

复数的实部与虚部的和等于A、B。

Ｃ。

1 D。

3【答案】Ｄ【解析】分析:先化简复数z,再写出复数ｚ的实部与虚部,最后求事实上部与虚部的和、详解:由题得z＝1+2i因此复数ｚ的实部是1,虚部是２,因此事实上部与虚部的和为3、故选Ｄ。

点睛:本题主要考查复数的运算、复数的实部与虚部,属于基础题。

注意复数的虚部是“ｉ"的系数,不包含“i”、３、下列函数中,是奇函数且在区间上单调递增的是A。

B、 C。

D、【答案】D【解析】分析:利用函数的奇偶性的判断方法判断奇偶性,利用图像或函数单调性的性质判断函数的单调性、详解:关于A选项,,因此函数不是奇函数,因此不选A。

关于Ｂ选项,,因此函数是偶函数,不是奇函数,因此不选B。

关于C选项,因此函数是奇函数,然而函数在上不是单调递增的,因此不选C、关于D选项,,因此函数是奇函数,又因为其是上的增函数(增＋增＝增)、因此选D故选D。

点睛:本题主要考查函数的奇偶性的判断和函数单调性的判断,属于基础题、４、已知函数,则＝A、 1 B。

0 C。

D。

【答案】A【解析】分析:先求导,再求,再化简得解。

详解:由题得,∴、因为=,∴=1故选Ａ、点睛:本题主要考查导数的运算和导数的定义,属于基础题。

5。

已知某物体作变速直线运动,其速度单位:m/ｓ)关于时间(单位:)的关系是,则在第2s至第3s间经过的位移是A、 10ｍ B。

11m Ｃ、１2m Ｄ、１3m【答案】B【解析】分析:先利用定积分表示出在第２s至第3s间经过的位移,再求定积分即得在第2ｓ至第3s间经过的位移、详解:由题得在第2s至第3s间经过的位移为。

2019-2020学年高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析

2019—2020学年第二学期南昌市八一中学高二理科数学期中考试试卷第Ⅰ卷（选择题：共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足1i 1i z +=-，则||z =（） A. 2iB. 2C. iD. 1 【★答案★】D【解析】【分析】根据复数的运算法则，求得复数zi ，即可得到复数的模，得到★答案★．【详解】由题意，复数11i i z +=-，解得()()()()111111i i i z i i i i +++===--+，所以1z =，故选D ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的求解，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2. 已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【★答案★】B【解析】【分析】根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由面面垂直的定义知，当“l ⊥β”时，“α⊥β”成立，当αβ⊥时，l β⊥不一定成立，即“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，故选：B ．【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题.3. 已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC的面积是( )A. 3B. 22C.32D.34【★答案★】A【解析】【分析】先根据已知求出原△ABC的高为AO＝3，再求原△ABC的面积. 【详解】由题图可知原△ABC的高为AO＝3，∴S△ABC＝12×BC×OA＝12×2×3＝3，故★答案★为A【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A. 4B. 6C. 8D. 12【★答案★】A【解析】由三视图复原几何体，是如图所示的四棱锥，它的底面是直角梯形，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，棱锥的一条侧棱垂直底面高为2，所以这个几何体的体积：12422432V+=⨯⨯⨯=，故选A．【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.5. 下列命题中，正确的是（）A. 经过不同的三点有且只有一个平面B. 分别在两个平面的两条直线一定是异面直线C. 垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D. 垂直于同一个平面的两个平面平行【★答案★】C【解析】【分析】根据不在一条直线上的三点确定一个平面，来判断A是否正确；根据分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，来判断B是否正确；根据垂直于同一平面的两直线平行，来判断C是否正确；根据垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平行、相交或异面，来判断D是否正确．【详解】解：对A，当三点在一条直线上时，平面不唯一，∴A错误；对B，分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，∴B错误；对C，根据垂直于同一平面的两直线平行，∴C正确；对D，垂直于同一平面的两平面的位置关系是平行、相交，∴D错误．故选C．【点睛】本题考查了空间直线与直线的位置关系及线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象能力.6. 实数a 使得复数1a i i +-是纯虚数，10b xdx =⎰，1201c x dx =-⎰则a ，b ，c 的大小关系是（） A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. c b a <<【★答案★】C【解析】【分析】利用复数的乘除运算求出a ，再利用微积分基本定理以及定积分的定义即可求出b ，c ，从而比较其大小关系. 【详解】()()()()11111122a i i a i a a i i i i +++-+==+--+， 1a i i +-是纯虚数， 102a -∴=，1a ， 121001122b xdx x ⎛⎫===⎪⎝⎭⎰， 1201c x dx =-⎰表示是以()0,0为圆心，以1为半径的圆在第一象限的部分与坐标轴围成的14个圆的面积， 21144c ππ∴=⨯⨯=，所以b c a <<. 故选：C【点睛】本题考查了复数的乘除运算、微积分基本定理求定积分、定积分的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.7. 已知正四棱柱''''ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，若平面ABCD 内有且仅有1个点到顶点A '的距离为1，则异面直线,AA BC '' 所成的角为 ( ) A. 6π B. 4π C. 3π D. 512π 【★答案★】B【解析】由题意可知，只有点A 到'A 距离为1，即高为1，所以该几何体是个正方体，异面直线11,AA BC 所成的角是4π，故选B.8. 函数3xeyx=的部分图象可能是（）A. B.C. D.【★答案★】C【解析】分析：根据函数的奇偶性，及x=1和x=2处的函数值进行排除即可得解.详解：易知函数3xeyx=为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x=1时，y=＜1，排除A，当x=4时，4112ey=>，排除D，故选C．点睛：已知函数的解析式判断函数的图象时，可从以下几个方面考虑：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．9. 如图所示，三棱锥P ABC -的底面在平面α内，且AC PC ⊥，平面PAC ⊥平面PBC ，点P A B ，，是定点，则动点C 的轨迹是（）A. 一条线段B. 一条直线C. 一个圆D. 一个圆，但要去掉两个点【★答案★】D【解析】因为平面PAC⊥平面PBC ，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC=PC ，AC ⊂平面PAC ，所以AC⊥平面PBC.又因为BC ⊂平面PBC ，所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.所以动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点.选D.点睛：求轨迹实质是研究线面关系，本题根据面面垂直转化得到线线垂直，再根据圆的定义可得轨迹，注意轨迹纯粹性.10. 如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD ⊥AC ；②△BAC 等边三角形；③三棱锥D －ABC 是正三棱锥；④平面ADC ⊥平面AB C.其中正确的是（）A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④【★答案★】B【解析】【分析】根据翻折后垂直关系得BD ⊥平面ADC ，即得BD ⊥AC ，再根据计算得△BAC 是等边三角形，最后可确定选项.【详解】由题意知，BD ⊥平面ADC ，故BD ⊥AC ，①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高，平面ABD ⊥平面ACD ，所以AB ＝AC ＝BC ，△BAC 是等边三角形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．故选B .【点睛】本题考查线面垂直判定与性质，考查推理论证求解能力，属中档题.11. 如图所示，在正三棱锥S —ABC 中，M 、N 分别是SC ．BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱23SA =，则正三棱锥S —ABC 外接球的表面积是（）A. 12πB. 32πC. 36πD. 48π【★答案★】C【解析】分析】根据题目条件可得∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘，以SA ，SB ，SC 为棱构造正方体，即为球的内接正方体，正方体对角线即为球的直径，即可求出球的表面积.【详解】∵M ,N 分别为棱SC ,BC 的中点,∴MN ∥SB∵三棱锥S −ABC 为正棱锥，∴SB ⊥AC (对棱互相垂直)∴MN ⊥AC又∵MN ⊥AM ，而AM ∩AC =A ，∴MN ⊥平面SAC ，∴SB ⊥平面SAC∴∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘以SA ，SB ，SC 为从同一定点S 出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径. ∴236R SA ==，∴R =3，∴V =36π.故选：C【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力，由三棱锥构造正方体，它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键. 12. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率e 的取值范围为（） A. 2,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C. 23,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 36,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【★答案★】A【解析】【分析】根据直角三角形性质得A 在圆上，解得A 点横坐标，再根据条件确定A 横坐标满足条件，解得离心率.【详解】由题意得OA OB OF c ===，所以A 在圆222=x y c +上，与22221x y a b +=联立解得22222()Aa cb xc -=，因为ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22sin 22sin ()2sin [,]A A a a c a c a c AF c e x c x c e e eααα---=∴-=∴=∈因此2222222()()()a c a c b a c e c e---≤≤，解得22222222(2)()(2)2()a c c b a c a c c a a c -≤-≤--≤-≤-，，即222,20a c a c ac ≤--≥，即2212,120312e e e e ≤--≥∴≤≤-，选A. 【点睛】本题考查椭圆离心率，考查基本分析化简求解能力，属中档题.第Ⅱ卷（非选择题：共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将★答案★填在答题卡的相应位置.13. ()ππsin cos x x dx -+=⎰__________. 【★答案★】0【解析】【分析】求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限作差得出★答案★.【详解】()()ππsin cos cos sin x x dx x x ππ--+=-+⎰()()()cos sin cos sin 110ππππ=-+---+-=-=⎡⎤⎣⎦.故★答案★为：0【点睛】本题主要考查了定积分的计算，解题的关键是确定原函数，属于基础题.14. 在三棱锥P ABC -中，6,3PB AC ==，G 为PAC ∆的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为_________.【★答案★】8【解析】【分析】如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F ．过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ．可得四点EFMN 共面，进而得到23EF MN AC AC ==，根据比例可求出截面各边长度，进而得到周长．【详解】解：如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N .由作图可知：EN ∥FM ，∴四点EFMN 共面可得MN ∥AC ∥EF ，EN ∥PB ∥FM . ∴23EF MN AC AC == 可得EF =MN =2.同理可得：EN =FM =2.∴截面的周长为8.故★答案★为：8.【点睛】本题考查了三角形重心的性质、线面平行的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理，属于中档题．15. 已知一个正三棱柱，一个体积为4π3的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个正三棱柱的表面积是______. 【★答案★】183【解析】【分析】由球的体积可以求出半径，从而得到棱柱的高；由球体与棱柱的所有面均相切，得出球的半径和棱柱底面正三角形边长的关系，求出边长，即求出底面正三角形的面积，得出棱柱的表面积.【详解】由球的体积公式可得24433R ππ=，1R ∴=， ∴正三棱柱的高22h R ==，设正三棱柱的底面边长为a ，则其内切圆的半径为：13132a ⋅=，23a ∴=，∴该正三棱柱的表面积为：21333226183222a R a a a a ⋅+⨯⨯=+=. 故★答案★为：183【点睛】本题考查了球的体积公式、多面体的表面积求法，属于基础题.16. 如图，在矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成1A DE ∆.若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，正确的命题是______.（填序号）①BM 是定值；②点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使1DE A C ⊥；④一定存在某个位置，使MB平面1A DE .【★答案★】①②④【解析】【分析】取DC 中点N 再根据直线与平面的平行垂直关系判断即可.【详解】对①, 取DC 中点N ,连接,MN BN ,则1//MN A D ,//NB DE .因为MN NB N ⋂=,1A D DE D ⋂=,故平面1//MNB A DE .易得1MNB A DE ∠=∠为定值,故在ADE ∆翻转过程中MNB ∆的形状不变.故BM 是定值.故①正确.对②,由①得, 在ADE ∆翻转过程中MNB ∆沿着NB 翻折,作MO NB ⊥交NB 于O ,则点M 在以O 为圆心,半径为MO 的圆上运动.故②正确.对③,在DE 上取一点P 使得AP DE ⊥,则1A P DE ⊥,若1DE A C ⊥则因为111A P A C A ⋂=,故DE ⊥面1A CP ,故DE PC ⊥,不一定成立.故③错误.对④,由①有1//MNB A DE ,故MB平面1A DE 成立.综上所述,①②④正确.故★答案★为：①②④ 【点睛】本题主要考查了翻折中线面垂直平行的判定,需要画出对应的辅助线分析平行垂直关系,属于中等题型.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE ∶EA ＝BF ∶FD ，求证：EF ∥平面PBC .【★答案★】见解析【解析】试题分析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM ，因为AD ∥BC ，∴BF MF FD FA =，又BF PE FD EA =，∴PE MF EA FA=，所以EF ∥PM ，从而得证.试题解析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM .因为AD ∥BC ，所以＝. 又由已知＝，所以＝. 由平面几何知识可得EF ∥PM ，又EF ⊄平面PBC ，PM ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC .18. 如图所示，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点．证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【★答案★】证明见解析【解析】【分析】通过长方体的几何性质证得11BM A B ⊥，通过计算证明证得1BM B M ⊥，由此证得BM ⊥平面11A B M ，从而证得平面ABM ⊥平面11A B M .【详解】由长方体的性质可知A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，又BM ⊂平面BCC 1B 1，∴A 1B 1⊥BM ．又CC 1＝2，M 为CC 1的中点，∴C 1M ＝CM ＝1．在Rt△B 1C 1M 中，B 1M 2212C M CM =+=，同理BM 222BC CM =+=，又B 1B ＝2， ∴B 1M 2+BM 2＝B 1B 2，从而BM ⊥B 1M ．又A 1B 1∩B 1M ＝B 1，∴BM ⊥平面A 1B 1M ，∵BM ⊂平面ABM ，∴平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19. 以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为()1,0，若直线l 的极坐标方程为2cos 104ρθπ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是244x m y m ⎧=⎨=⎩，（m 为参数).（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11MA MB +. 【★答案★】（1）10x y --=，24y x =；（2）1【解析】【试题分析】(1) 2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭展开后利用公式直接转化为直角坐标方程.对C 消去m 后得到直角坐标方程.(2)求出直线l 的参数方程,代入抛物线,利用直线参数的几何意义求得11MA MB+的值. 【试题解析】（1）由2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，得cos sin 10ρθρθ--=，令cos x ρθ=，sin y ρθ=，得10x y --=.因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =，所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =.（2）点M 的直角坐标为()1,0，点M 在直线l 上. 设直线l 的参数方程为21222t x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入24y x =，得24280t t --=.设点,A B 对应的参数分别为1t ，2t ，则1242t t +=，128t t =-，所以121211t t MA MB t t -+== ()21212224323218t t t t t t +-+==. 20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，090ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，为AD 中点，M 是棱PC 上的点，．（1）求证：平面POB ⊥平面PAD ；（2）若点M 是棱的中点，求证：//PA 平面．【★答案★】（1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】（1）证明： ∵AD 中点，且，∴DO BC =又//AD BC ，090ADC ∠=，∴ 四边形BCDO 是矩形，∴BO OD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD OD =，BO ⊂平面ABCD ，∴BO ⊥平面PAD ，又BO ⊂平面POB ，∴ 平面POB ⊥平面PAD ．（2）如下图，连接AC 交BO 于点E ，连接EM ，由（1）知四边形BCDO 是矩形，∴//OB CD ，又为AD 中点，∴E 为AC 中点，又是棱AC 的中点，∴//EM PA ，又EM ⊂平面，平面， ∴//PA 平面21. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，223AB DC ==,AC BD F ⋂=.且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形,E 为AD 的中点，G 为PAD ∆重心.(1)求证：//GF 平面PDC ；(2)求异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值.【★答案★】(1)证明见解析；（2）33952. 【解析】试题分析：（1）连接AG 交PD 于H ，连接GH ，由重心性质推导出GFHC ，根据线面平行的判定定理可得GF 平面PDC ；（2）取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，可证GFQ ∠ 即是异面直线GF 与BC 的夹角，由余弦定理可得结果.试题解析：（1）方法一：连AG 交PD 于H ,连接CH .由梯形ABCD ，//AB CD 且2AB DC =，知21AF FC = 又E 为AD 的中点，G 为PAD ∆的重心，∴21AG GH =，在AFC ∆中，21AG AF GH FC ==,故GF //HC . 又HC ⊆平面PCD ,GF ⊄ 平面PCD ,∴GF //平面PDC .方法二：过G 作//GN AD 交PD 于N ,过F 作//FM AD 交CD 于M ,连接MN ,G 为PAD ∆的重心，23GN PG ED PE ==,22333GN ED ∴==,又ABCD 为梯形，//AB CD ,12CD AB =,12CF AF ∴=13MF AD ∴=,233MF ∴= ∴GN FM = 又由所作，//FM AD 得GN //FM ，GNMF ∴为平行四边形.//GN AD //,GF MN GF PCD MN PCD ⊄⊆面，面,∴ //GF 面PDC(2) 取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，连FQ ,则223FQ BC ==, 1013,33EF GF ==,1316,33EQ GQ == ,在GFQ ∆中 222339cos 2?52GF FQ GQ GFQ GF FQ +-∠== ，则异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值为33952. 角函数和等差数列综合起来命题，也正体现了这种命题特点.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、异面直线所成的角、余弦定理，属于中挡题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.22. 已知函数()1ln (2)(1),f x a x a a R x=+-+∈.(Ⅰ)试求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若不等式()(ln )x f x a x e ≥-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围. 【★答案★】(1) 见解析(2) 1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】【详解】（Ⅰ）因为()()1ln 21,(,0).f x a x a a R x x ⎛⎫=+-+∈> ⎪⎝⎭所以()()2211.ax a a a f x x x x'-++=-= ①若10a -≤≤，则()0f x '<，即()f x 在区间∞（0，+）上单调递减； ②若0a >，则当10a x a +<<时，()0f x '< ；当1a x a +>时，()0f x '>；所以()f x 在区间10,a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； ③若1a <-，则当10a x a +<<时，()0f x '>；当1a x a+>时，()0f x '<；所以函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减．综上所述，若10a -≤≤，函数在区间上单调递减；；若，函数在区间上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；若1a <-，函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减．（Ⅱ）依题意得()()()1ln 210x x f x a x e ae a x ⎛⎫≥-⇔+-+≥ ⎪⎝⎭，令()()121x h x ae a x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.因为()10h ≥，则()11a e -≥，即101a e ≥>-．于是，由()1210x ae a x ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭，得1201x a e a x +-≥+，即211x a x a xe-≥+对任意0x >恒成立. 设函数()21(0)x x F x x xe -=>，则()()()2211x x x F x x e +-='-. 当01x <<时，()0F x '>；当1x >时，()0F x '<；所以函数()F x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；所以()()max 11F x F e ⎡⎤==⎣⎦. 于，可知11a a e ≥+，解得11a e ≥-.故a 的取值范围是1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭感谢您的下载!快乐分享，知识无限！不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！。

高二下学期期中考试理科数学试卷含答案(共5套)

高二下学期理科数学期中考试卷第I 卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}(){}2|560,|ln 1A x x x B x y x =--≤==-，则AB 等于（）A ．[]1,6-B ．(]1,6C ．[)1,-+∞D ．[]2,3 2．复数201811z i i=++在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知命题p ：存在实数α，β，sin()sin sin αβαβ+=+；命题q ：2log 2log 2a a +≥（0a >且1a ≠）. 则下列命题为真命题的是( )A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()p q ⌝∧D ．()p q ⌝∨ 4．已知平面向量,a b 满足3a =， 23b =，且a b +与a 垂直，则a 与b 的夹角为（）A.6π B. 3πC. 23πD. 56π5．设a R ∈，则“1a =”是“直线1l ：240ax y +-=与直线2l ：()120x a y +++=平行”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6．设实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-010101y x y y x ，则y x z -=2的最大值为（）A ．3-B ．2-C ．1D ．27．执行如图所示的程序框图，如果输入的a 依次为2，2，5时，输出的s 为17，那么在判断框中，应填入（） A ．?n k < B ．?n k > C ．?n k ≥ D ．?n k ≤8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A ．121B ．49C ．92D ．39．某城市关系要好的A ， B ， C ， D 四个家庭各有两个小孩共8人，分别乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中A 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（）A. 48种B. 36种C. 24种D. 18种 10．已知点D C B A ,,,在同一个球的球面上，2==BC AB ，2=AC ，若四面体ABCD 的体积为332，球心O 恰好在棱DA 上，则这个球的表面积为（）A ． π16B ．π8 C. π4 D ．425π11．P 为双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>上一点， 12,F F 分别为C 的左、右焦点， 212PF F F ⊥，若12PF F ∆的外接圆半径是其内切圆半径的2.5倍，则C 的离心率为（）A ．2或3B ．2或3C ．2D ．212．已知函数()f x 是定义在()0,+∞的可导函数，()'f x 为其导函数，当0x >且1x ≠ 时，()()2'01f x xf x x +>-，若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1-，则()1f =（）A. 12-B. 0C. 12D. 1第II 卷(非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．2-=⎰**** .14．5(2)(1)x x +-展开式中含3x 项的系数为 **** ．（用数字表示） 15．若sin 2cos 24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos2α= **** ． 16．对任一实数序列),,,(321 a a a A =，定义新序列),,,(342312 a a a a a a A ---=∆，它的第n 项为n n a a -+1，假设序列)(A ∆∆的所有项都是1，且02212==a a ，则=2a **** ．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(本小题满分10分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足()cos 2cos b C a c B =-. （1）求角B 的大小；（2）若b =，求ABC ∆面积的最大值．18．(本小题满分12分）某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按实现拟定的价格进行试销，得到一组检测数据),(i i y x （6,,2,1 =i ）如下表所示：已知变量,x y 具有线性负相关关系，且3961=∑=i ix，48061=∑=i i y ，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其回归直线方程为：甲：544+=x y ；乙：1064+-=x y ；丙：1052.4+-=x y ，其中有且仅有一位同学的计算是正确的.（1）试判断谁的计算结果正确？并求出,a b 的值；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据”.现从检测数据中随机抽取2个，求至少有一个检测数据为“理想数据”的概率．19．(本小题满分12分）已知数列{}n a 满足13a =， 121n n a a n +=-+，数列{}n b 满足12b =， 1n n n b b a n +=+-. （1）证明：{}n a n -是等比数列；（2）数列{}n c 满足()()111n n n n a nc b b +-=++，求数列{}n c 的前n 项的和n T ．20．(本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，,PD PB H =为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且//BD 平面AMHN ．（1）证明： MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点， 3PA PC AB ==， PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求二面角P AM N --的余弦值．21．（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点)22,1(P ，且离心率为22. （1）求椭圆C 的方程；（2）设21,F F 分别为椭圆C 的左、右焦点，不经过1F 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点B A ,，如果直线1AF 、l 、1BF 的斜率依次成等差数列，求焦点2F 到直线l 的距离d 的取值范围．22．（本小题满分12分）设函数e R a a x a e x f x,),ln(2)(∈+--=为自然对数的底数.（1）若0>a ，且函数)(x f 在区间),0[+∞内单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若320<<a ，判断函数)(x f 的零点个数并证明．高二下学期理科数学期中考试参考答案及评分标准13、2π； 14、10 ； 15、8； 16、100. 11、【解析】由于12PF F ∆为直角三角形，故外心在斜边中线上.由于22b PF a =，所以212b PF a a =+，故外接圆半径为21122b PF a a=+.设内切圆半径为r ，根据三角形的面积公式，有2221122222b b b c c a r a a a ⎛⎫⋅⋅=+++⋅ ⎪⎝⎭，解得2b r ac =+，故两圆半径比为22:2.52b b a a a c ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，化简得()()()1230e e e +--=，解得2e =或3e =.12、【解析】曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1-，所以()'11f =- ，当0x >且1x ≠时，()()2'01f x xf x x +>-，可得1x >时， ()()2'0,f x xf x +>01x <<时， ()()2'0f x xf x +<，令()()()2,0,,g x x f x x =∈+∞ ()()()()()2'2'2'g x xf x x f x x f x xf x ⎡⎤∴=+=+⎣⎦，可得1x >时，()'0,g x >01x <<时，()'0g x <，可得函数()g x 在1x =处取得极值， ()()()'121'10,g f f ∴=+=， ()()111'122f f ∴=-⨯=，故选C.17、【解析】 (1)由()cos 2cos b C a c B =-，得()sin cos 2sin sin cos B C A C B ⋅=-⋅sin()2sin cos sin B C A B A ∴+=⋅=，又sin 0A ≠, 1cos 2B ∴=，又0B π<<, 3B π∴=. （2）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，∴2212a c ac =+-，∵222a c ac +≥，∴12ac ≤，当且仅当a c ==∴11sin 12222ABC S ac B ∆=≤⨯⨯=即ABC ∆面积的最大值为.……………………10分18、解：（1）∵变量y x ,具有线性负相关关系， ∴甲是错误的. 又∵3961=∑=i ix，48061=∑=i i y ，∴80,5.6==y x ，满足方程1064+-=x y ，故乙是正确的.由3961=∑=i ix，48061=∑=i i y ，得8=a ，90=b . ……………………6分（2）由计算得不是“理想数据”有3个，即(5,84),(7,80),(9,68)，从6个检测数据中随机抽取2个，共有2615C =种不同的情形，其中这两个检测数据都不是“理想数据”有233C =中情形，故至少有一个检测数据为“理想数据”的概率为：341155P =-=.……………………12分19、【解析】（1）121n n a a n +=-+()()112n n a n a n +∴-+=-，又因为112a -=，所以{}n a n -是首项为2，公比为2的等比数列. …………………4分（2）由（1）得()11122n n n a n a --=-⋅=，又1n n n b b a n +=+-12n n n b b +∴-=()()()()121112*********n n n n n n n n b b b b b b b b n -----∴=-+-+-+=++++=≥12b =满足上式. 2nn b ∴=()()()()1112111121212121n n n n n n n n n a n c b b +++-===-++++++12231111111111212121212121321n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭………12分20、【解析】（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结PO ．因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，且O 为AC 、BD 的中点，因为PD PB =，所以PO BD ⊥，因为AC PO O =且AC PO ⊂、平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，因为PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥．因为//BD 平面AMHN ， BD ⊂平面PBD ，且平面AMHN平面PBD MN =，所以//BD MN ，所以MN PC ⊥． ………………4分（2）由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥，因为PA PC =，且O 为AC 的中点，所以PO AC ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠，所以，所以13,22AO PA PO PA ==，因为3PA AB =，所以36BO PA =．如图，分别以OA ， OB ， OP 为,,x y z 轴，建立所示空间直角坐标系，设6PA =，则()()()()0,0,0,3,0,0,0,3,0,3,0,0O A B C -，()0,3,0,D -()3330,0,33,,0,22P H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 所以()9330,23,0,,0,,22DB AH ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ ()()3,3,0,3,0,33AB AP =-=-．记平面AMHN 的法向量为()1111,,n x y z =，则11111230933022n DB y n AH x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令11x =，则110,3y z ==，所以()11,0,3n =，记平面PAB 的法向量为()2222,,n x y z =，则2222223303330n AB x y n AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令23x =，则223,1y z ==，所以()23,3,1n =，记二面角P AM N --的大小为θ，θ为锐角则1212122339cos cos ,13213n n n n n n θ⋅====⋅⋅ 所以二面角P AM N --的余弦值为3913．……………………12分21、解析：（1）由题意，知22111,22a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩考虑到222a b c =+，解得222,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为2212x y +=. ……………………3分（2）设直线l 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程2212x y +=，整理得222(12)42(1)0k x kmx m +++-=.由222(4)8(12)(1)0km k m ∆=-+->，得2221k m >-. ①设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122412kmx x k+=-+，21222(1)12m x x k -=+. 因为(1,0)F -，所以1111AF y k x =+，1221AF y k x =+. 因为1212211y yk x x =+++，且11y kx m =+，22y kx m =+，所以12()(2)0m k x x -++=.因为直线AB ：y kx m =+不过焦点(1,0)F -，所以0m k -≠，所以1220x x ++=，从而242014km k -+=+，即12m k k=+. ② 由①②得2212()12k k k>+-，化简得||2k > ③ 焦点2(1,0)F 到直线l ：y kx m =+的距离211|2|2k d ++===.令t =||2k >t ∈.于是23132()2t d t t t+==+.考虑到函数13()()2f t t t=+在上单调递减，则(1)f d f <<2d <<.所以d的取值范围为2). ……………………12分22、解：(1)∵函数()x f 在区间[)∞+，0内单调递增， ∴01)('≥+-=ax e x f x在区间[)∞+，0内恒成立. 即x ea x-≥-在区间[)∞+，0内恒成立. 记()x ex g x-=-，则01)('<--=-x e x g 恒成立，∴()x g 在区间[)∞+，0内单调递减, ∴()()10=≤g x g ，∴1≥a ，即实数a 的取值范围为[)∞+，1.…………………4分 (2)∵320<<a ，ax e x f x+-=1)('，记)(')(x f x h =，则()01)('2>++=a x e x h x，知)('x f 在区间()+∞-,a 内单调递增. 又∵011)0('<-=a f ，1'(1)01f e a=->+， ∴)('x f 在区间()+∞-,a 内存在唯一的零点0x ，即01)('000=+-=ax ex f x ，于是ax ex +=01，()a x x +-=00ln . 当0x x a <<-时，)(,0)('x f x f <单调递减；当0x x >时，)(,0)('x f x f >单调递增.∴()())ln(200min 0a x a ex f x f x +--==a a ax a x x a a x 3231210000-≥-+++=+-+=，当且仅当10=+a x 时，取等号. 由320<<a ，得032>-a ， ∴()()00min >=x f x f ，即函数()x f 没有零点. …………12分高二（下）理科数学期中考试试卷一、单选题（共12题；共60分）1．()()121-1x +=⎰A. 212+π B. 214+πC. 12+πD. 21+π2．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，以A 为顶点且过点C 的抛物线的一部分在矩形内.若在矩形ABCD 内随机地投一点，则此点落在阴影部分内的概率为（）A.12 B. 23 C. 35D. 34 3．设复数z 满足()11z i i +=-，则z =（） A. 2i -- B. 1i -- C. 2i -+ D. 1i -+4．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[42ππ，），则点P横坐标的取值范围为()A. 12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， B. []10-，C. []01， D. 12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， 5．已知函数，在区间（0，1）内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是A. （15，B. [15，C. （，6） D. （，66．若,则下列不等式恒成立的是 ( )A.B.C. D.7．函数f(x)＝x 3＋ax 2+bx ＋a 2在x=1处的极值为10，则数对（a,b ）为( )A. （-3,3）B. （-11,4）C. （4，-11）D.（-3,3）或（4，-11） 8.已知对于任意恒成立，则实数a 的最大值为（）A. 0B. 1C.D.9.函数f（x）= 的大致图象是（）A. B.C. D.10.已知函数，其导函数的图象如图，则函数的极小值为（）A. cB. a+b+cC. 8a+4b+cD. 3a+2b11.设函数的导函数为，且，，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.12.若函数在内无极值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（共4题；共20分）13.若，则= ________14.球的直径为，当其内接正四棱柱的体积最大时的高为________.15.已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是________.16.若函数在上有最小值，则实数的取值范围为________.三、解答题（共6题；共70分）17.已知．(满分10分) （1）若时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，求函数的单调区间．18.已知函数，．（满分10分）（1）若，判断函数是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；（2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围.19.已知三棱锥A BCD -如图所示，其中90BAD BDC ∠=∠=︒，ADB DBC ∠=∠，面ABD 垂直面CBD.（满分14分）（1）证明：AB DC ⊥；（2）若E 为线段BC 的中点，且1AD =，tan 6CAD ∠=，求二面角B AD E --的余弦值.20.已知椭圆C1的方程为+ =1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而以双曲线C2的左、右顶点分别是椭圆C1的左、右焦点．（满分12分）（1）求双曲线C2的方程；（2）记O为坐标原点，过点Q（0，2）的直线l与双曲线C2相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为2 ，求直线l的方程．21.已知椭圆E：+ =1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G 与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．（满分12分）22.已知函数f（x）=（a﹣）x2+lnx（a为实数）．（满分12分）（1）当a=0时，求函数f（x）在区间[ ，e]上的最大值和最小值；（2）若对任意的x∈（1，+∞），g（x）=f（x）﹣2ax＜0恒成立，求实数a的取值范围．19、（满分14分）20. （满分12分）21、（满分12分）答案解析部分1,B 2,B 3,A 4,D 5,B 6,C 7,C8.【答案】C【解析】【解答】依题意得令，则,当时，，当时，，所以函数先增后减，最小值为，所以.故答案为:C.9.【答案】C【解析】【解答】解：∵f（x）= ，当x=0时，f（0）=﹣3，故排除AB当x= 时，f（）=0，故排除D，故选：C10.【答案】C【解析】【解答】由导函数的图象可知，在处取得极小值，.f(2)=8a+4b+c故答案为：C。

2022-2023学年四川省成都市高二下学期期中考试数学(理)试题2【含答案】

2022-2023学年四川省成都市高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知i 为虚数单位，复数1iiz -=，则z =（）A ．1B ．2C ．3D ．2【答案】B【分析】由复数的四则运算可得1i z =--，再由复数模的计算公式求解即可.【详解】解：因为21i (1i)i(i i )1i i i iz --⋅===--=--⋅，所以22(1)(1)2z =-+-=.故选：B.2．如图茎叶图记录了甲乙两位射箭运动员的5次比赛成绩（单位：环），若两位运动员平均成绩相同，则运动员乙成绩的方差为（）A ．2B ．3C ．9D ．16【答案】A【分析】根据甲、乙二人的平均成绩相同求出x 的值，再根据方差公式求出乙的方差即可.【详解】因为甲乙二人的平均成绩相同，所以8789909193888990919055x+++++++++=，解得2x =，故乙的平均成绩8889909192905++++=，则乙成绩的方差222222[(8890)(8990)(9090)(9190)(9290)]25s -+-+-+-+-==.故选：A.3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．2C ．3D ．5【答案】D 【分析】先求得ba，进而求得双曲线的离心率.【详解】依题意，双曲线的一条渐近线方程为20,2x y y x -==，所以2222222,15b c c a b b e a a a a a +⎛⎫=====+= ⎪⎝⎭.故选：D4．已知m ，n 表示两条不同的直线，α表示平面．下列说法正确的是（）A ．若m α ，n α∥，则m n ∥B ．若m α⊥，n α⊥，则m n ∥C ．若m α⊥，m n ⊥，则n α∥D ．若m α ，m n ⊥，则n α⊥【答案】B【分析】根据空间直线与平面间的位置关系判断．【详解】对于A ，若m α ，n α∥，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误；对于B ，若m α⊥，n α⊥，由线面垂直的性质定理得m n ∥，故B 正确；对于C ，若m α⊥，m n ⊥，则n α∥或n ⊂α，故C 错误；对于D ，若m α ，m n ⊥，则n 与α相交、平行或n ⊂α，故D 错误．故选：B ．5．“4m =”是“直线()34420m x y -+-=与直线220mx y +-=平行”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由直线()34420m x y -+-=与直线220mx y +-=平行可求得m 的值，集合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】若直线()34420m x y -+-=与直线220mx y +-=平行，则()()23442342m mm m ⎧-=⎪⎨--≠-⎪⎩，解得4m =.因此，“4m =”是“直线()34420m x y -+-=与直线220mx y +-=平行”的充要条件.故选：C.6．执行该程序框图，若输入的a 、b 分别为35、28，则输出的=a （）A ．1B ．7C ．14D ．28【答案】B【分析】根据程序框图列举出循环的每一步，即可得出输出结果.【详解】第一次循环，35a =，28b =，a b ¹成立，a b >成立，则35287a =-=；第二次循环，7a =，28b =，a b ¹成立，a b >不成立，则28721b =-=；第三次循环，7a =，21b =，a b ¹成立，a b >不成立，则21714b =-=；第四次循环，7a =，14b =，a b ¹成立，a b >不成立，则1477b =-=.7a b ==，则a b ¹不成立，跳出循环体，输出a 的值为7.故选：B.7．函数()()22e xf x x x =-的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】由函数()f x 有两个零点排除选项A ，C ；再借助导数探讨函数()f x 的单调性与极值情况即可判断作答．【详解】由()0f x =得，0x =或2x =，选项A ，C 不满足，即可排除A ，C由()()22e x f x x x =-求导得()()22e xx x f '=-，当2x <-或2x >时，()0f x ¢>，当22x -<<时，()0f x '<，于是得()f x 在(),2-∞-和()2,+∞上都单调递增，在()2,2-上单调递减，所以()f x 在2x =-处取极大值，在2x =处取极小值，D 不满足，B 满足．故选：B8．已知曲线1cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数).若直线323x y +=与曲线C 相交于不同的两点,A B ，则AB 的值为A ．12B ．32C ．1D ．3【答案】C【详解】分析：消参求出曲线C 的普通方程：22(1)1x y -+=，再求出圆心(1,0)到直线的距离d ，则弦长222AB r d =-．详解：根据22cos sin 1θθ+=，求出曲线C 的普通方程为22(1)1x y -+=，圆心(1,0)到直线的距离3233231d -==+，所以弦长222AB r d =-321=14=-，选C.点睛：本题主要考查将参数方程化为普通方程，直线与圆相交时，弦长的计算，属于中档题．9．过椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>右焦点F 的直线l ：20x y --=交C 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为（）A ．22184x y +=B ．22195x y +=C ．22173x y +=D ．221106x y +=【答案】A【分析】由l 与x 轴交点横坐标可得半焦距c ，设出点A ，B 坐标，利用点差法求出22,a b 的关系即可计算作答.【详解】依题意，焦点(2,0)F ，即椭圆C 的半焦距2c =，设1122(,),(,)A x y B x y ，00(,)P x y ，则有2222221122222222b x a y a b b x a y a b⎧+=⎨+=⎩，两式相减得：2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=，而1201202,2x x x y y y +=+=，且0012y x =-，即有2212122()()0b x x a y y --+-=，又直线l 的斜率12121y y x x -=-，因此有222a b =，而2224a b c -==，解得228,4a b ==，经验证符合题意，所以椭圆C 的方程为22184x y +=.故选：A10．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是A ．413B ．21313C ．926D ．31326【答案】A【分析】根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可．【详解】在ABD ∆中，3AD =，1BD =，120ADB ∠=︒，由余弦定理，得222cos12013AB AD BD AD BD =+-⋅︒=，所以213DF AB =.所以所求概率为224=1313DEF ABC S S ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选A.【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．11．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，4=AD ，E 为PC 的中点，则面PCD 与直线BE 所成角的余弦值为（）A ．35B ．23015C ．2515D ．10515【答案】D【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得面PCD 与直线BE 所成角的余弦值.【详解】因为PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()2,0,0B 、()2,4,0C 、()0,4,0D 、()002P ,,、()1,2,1E ，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z = ，()2,0,0DC =uuu r，()0,4,2DP =-uuu r ，则20420n DC x n DP y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取1y =，可得()0,1,2n = ，()1,2,1BE =- ，所以，4230cos ,1565BE n BE n BE n⋅===⨯⋅，所以，22230105sin ,1cos ,11515BE n BE n ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，因此，面PCD 与直线BE 所成角的余弦值为10515.故选：D.12．已知函数()ln 1f x x ax =+-有两个零点1x 、2x ，且12x x <，则下列命题正确的个数是（）①01a <<；②122x x a +<；③121x x ⋅>；④2111x x a->-；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】由()0f x =可得1ln xa x+=，设()ln 1x g x x +=，其中0x >，则直线y a =与函数()g x 的图象有两个交点，利用导数分析函数()g x 的单调性与极值，数形结合可判断①；构造函数()()2h x f x f x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中10x a <<，分析函数()h x 的单调性，可判断②③；分析出1211e x x <<<、1210x x a<<<，利用不等式的基本性质可判断④.【详解】由()0f x =可得ln 1x a x+=，令()ln 1x g x x +=，其中0x >，则直线y a =与函数()g x 的图象有两个交点，()2ln xg x x '=-，由()0g x '>可得01x <<，即函数()g x 的单调递增区间为()0,1，由()0g x '<可得1x >，即函数()g x 的单调递减区间为()1,+∞，且当10e x <<时，()ln 10x g x x+=<，当1e x >时，()ln 10x g x x +=>，如下图所示：由图可知，当01a <<时，直线y a =与函数()g x 的图象有两个交点，①对；对于②，由图可知，1211ex x <<<，因为()11ax f x a x x -'=-=，由()0f x ¢>可得10x a<<，由()0f x '<可得1x a >，所以，函数()f x 的增区间为10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，则必有1210x x a <<<，所以，110x a <<，则121x a a->，令()()222ln ln h x f x f x x a x x ax a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=----+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中10x a <<，则()212112022a x a h x a x x x x a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-+=<⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则函数()h x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以，()110h x h a ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即()1120f x f x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，即()112f x f x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，又()20f x =，可得()212f x f x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，则212x x a >-，即122x x a +>，②错；对于③，由1122ln 1ln 1ax x ax x =+⎧⎨=+⎩，两式相加整理可得()1212ln 22x x x x a a ++=>，所以，()12ln 0x x >，可得121x x >，③对；对于④，由图可知1211ex x <<<，则11x ->-，又因为21x a >，所以，2111x x a->-，④对.故选；C.【点睛】证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法：（1）证明122x x a +<（或122x x a +>）：①首先构造函数()()()2g x f x f a x =--，求导，确定函数()y f x =和函数()y g x =的单调性；②确定两个零点12x a x <<，且()()12f x f x =，由函数值()1g x 与()g a 的大小关系，得()()()()()1112122g x f x f a x f x f a x =--=--与零进行大小比较；③再由函数()y f x =在区间(),a +∞上的单调性得到2x 与12a x -的大小，从而证明相应问题；（2）证明212x x a <（或212x x a >）（1x 、2x 都为正数）：①首先构造函数()()2a g x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求导，确定函数()y f x =和函数()y g x =的单调性；②确定两个零点12x a x <<，且()()12f x f x =，由函数值()1g x 与()g a 的大小关系，得()()()2211211a a g x f x f f x f x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与零进行大小比较；③再由函数()y f x =在区间(),a +∞上的单调性得到2x 与21a x 的大小，从而证明相应问题；（3）应用对数平均不等式12121212ln ln 2x x x xx x x x -+<<-证明极值点偏移：①由题中等式中产生对数；②将所得含对数的等式进行变形得到1212ln ln x x x x --；③利用对数平均不等式来证明相应的问题.二、填空题13．已知函数()sin cos f x x x =+，则π4f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭______．【答案】0【分析】求出()f x '，代值计算可得出π4f ⎛⎫' ⎪⎝⎭的值.【详解】因为()sin cos f x x x =+，则()cos sin f x x x '=-，故πππcos sin 0444f ⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭.故答案为：0.14．天府绿道是成都人民朋友圈的热门打卡地，经统计，天府绿道旅游人数x （单位：万人）与天府绿道周边商家经济收入y （单位：万元）之间具有线性相关关系，且满足回归直线方程为ˆ12.60.6yx =+，对近五个月天府绿道旅游人数和周边商家经济收入统计如下表：x23 3.5 4.57y26384360a则表中a 的值为___________.【答案】88【分析】根据样本平均值满足回归直线方程求解.【详解】样本平均值满足回归直线方程，x 的平均值为23 3.5 4.5745++++=，则y 的平均值2638436012.640.65a++++=⨯+，解得88a =，故答案为：88.15．已知函数f （x ）＝e x +ax ﹣3（a ∈R ），若对于任意的x 1，x 2∈[1，+∞）且x 1＜x 2，都有()()()211212x f x x f x a x x -<-成立，则a 的取值范围是__.【答案】（﹣∞，3]【分析】原不等式等价于()()1212f x a f x a x x ++＜，构造()()f x ah x x+=，由函数单调性的定义可知，h （x ）在[1，+∞）上单调递增，即有h '（x ）≥0在[1，+∞）上恒成立，亦即a ﹣3≤xe x ﹣e x 在[1，+∞）上恒成立，构造g （x ）＝x e x ﹣e x ，由导数求解函数g （x ）的最小值，即可得到a 的取值范围.【详解】原不等式等价于()()1212f x a f x a x x ++＜,令()()f x ah x x+=，则不等式等价于h （x 1）＜h （x 2）对于任意的x 1，x 2∈[1，+∞）且x 1＜x 2都成立，故函数h （x ）在[1，+∞）上单调递增，又函数f （x ）＝e x +ax ﹣3，则()e 3x ax a h x x +-+=，所以h '（x ）2e e 30x x x ax -+-=≥在[1，+∞）上恒成立，即x e x﹣e x +3﹣a ≥0在[1，+∞）上恒成立，即a ﹣3≤x e x ﹣e x 在[1，+∞）上恒成立，令g （x ）＝x e x ﹣e x ，因为g '（x ）＝x e x ＞0在[1，+∞）上恒成立，所以g （x ）在[1，+∞）上单调递增，则g （x ）≥g （1）＝0，所以a ﹣3≤0，解得a ≤3，所以实数a 的取值范围是（﹣∞，3].故答案为：（﹣∞，3].16．已知点F 为抛物线28y x =的焦点，()2,0M -，点N 为抛物线上一动点，当NFNM最小时，点N 恰好在以M 、F 为焦点的双曲线上，则该双曲线的渐近线的斜率的平方为______．【答案】222+【分析】作出图形，分析可知MN 与抛物线28y x =相切时，NFNM取最小值，设直线MN 的方程为2x my =-，将该直线的方程与抛物线的方程联立，求出m 的值，进而可求出点N 的坐标，利用双曲线的定义求出a 的值，结合c 的值可得出22221b ca a=-，即为所求.【详解】抛物线28y x =的焦点为()2,0F ，其准线为:2l x =-，如下图所示：过点N 作NE l ⊥，垂足为点E ，由抛物线的定义可得NF NE =，易知//EN x 轴，则NMF MNE ∠=∠，所以，cos cos NF NE MNE NMF MNMN==∠=∠，当NFNM取最小值时，NMF ∠取最大值，此时，MN 与抛物线28y x =相切，设直线MN 的方程为2x my =-，联立228x my y x=-⎧⎨=⎩可得28160y my -+=，则264640m ∆=-=，解得1m =±，由对称性，取1m =，代入28160y my -+=可得28160y y -+=，解得4y =，代入直线MN 的方程2x y =-可得2x =，即点()2,4N ，则224NF =+=，()2222442MN =++=，设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b -=>>，由双曲线的定义可得2424a MN NF =-=-，所以，()221a =-，又因为2c =，则()221221c a ==+-，所以，()222221211222b c a a =-=+-=+.故答案为：222+.三、解答题17．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ-=.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设()2,0M ，求MA MB 的值.【答案】(1)3230x y --=，24y x=(2)323【分析】（1）根据直线参数方程消掉参数t 即可得到直线的普通方程；（2）由直线参数方程中t 的几何意义即可求解.【详解】（1）∵直线l 的参数方程为12232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），∴消去t 可得直线l 的普通方程为:3230x y --=.∵曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ-=，即22sin 4cos 0ρθ-ρθ=，又∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为24y x =.（2）将12232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入24y x =，得238320t t --=，显然0∆>，即方程有两个不相等的实根，设点A ，B 在直线l 的参数方程中对应的参数分别是1t ，2t ，则1283t t +=，12323t t =-，∴12323MA MB t t ==.18．已知函数()32f x x x ax b =-++，若曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程为1y x =-+．(1)求a ，b 的值；(2)求函数()y f x =在[]22-,上的最小值．【答案】(1)1a =-；1b =(2)9-【分析】（1）根据函数的切线方程即可求得参数值；（2）判断函数在[]22-,上单调性，进而可得最值.【详解】（1）由已知可得()01f b ==．又()232f x x x a '=-+，所以()01f a '==-．（2）由（1）可知()321f x x x x =--+，()2321f x x x '=--，令()0f x ¢>，解得13x <-或1x >，所以()f x 在12,3⎡⎫--⎪⎢⎣⎭和[]1,2上单调递增，在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减．又()29f -=-，()10f =，所以函数()y f x =在[]22-,上的最小值为9-．19．某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50），[50，60），[60，70），……，[90，100]，统计结果如图所示：(1)试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；(2)现在按分层抽样的方法在[80，90）和[90，100]两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求两人都在[90，100]的概率．【答案】(1)70.5(2)110【分析】（1）根据频率分布直方图直接代入平均数的计算公式即可求解；（2）根据分层抽样在[)80,90分组中抽取的人数为15531015⨯=+人，在[]90,100分组中抽取的人数为2人，利用古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】（1）由频率分布直方图的数据，可得这100名学生得分的平均数：()450.01550.015650.02750.03850.015950.011070.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=分．（2）在[)80,90和[]90,100两组中的人数分别为：100×(0.015×10)=15人和100×(0.01×10)=10人，所以在[)80,90分组中抽取的人数为15531015⨯=+人，记为a ，b ，c ，在[]90,100分组中抽取的人数为2人，记为1，2，所以这5人中随机抽取2人的情况有：()()()()()()()()()(){},,,1,2,1,2,1,2,12ab ac bc a a b b c c Ω=，共10种取法，其中两人得分都在[]90,100的情况只有(){}12，共有1种，所以两人得分都在[]90,100的概率为110P =．20．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形ADPQ 是梯形，PD //QA ，PD ⊥平面ABCD ，且22PD QA ==．(1)求证：BC ⊥平面QAB ；(2)求平面PBQ 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)66【分析】（1）由PD ⊥平面ABCD ，PD //QA ，可得QA ⊥平面ABCD ，进而得到QA BC ⊥，结合BC AB ⊥，进而得证；（2）以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，D 为原点建立空间直角坐标系，找出平面PBQ 与平面PCD 的法向量，根据两面的法向量即可求解．【详解】（1）证明：∵PD ⊥平面ABCD ，PD //QA ，∴QA ⊥平面ABCD ．∵BC ⊂平面ABCD ，∴QA BC ⊥．在正方形ABCD 中，BC AB ⊥，又AB QA A ⋂=，AB ，QA ⊂平面QAB ，∴BC ⊥平面QAB ．（2）建立空间直角坐标系如图：以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，D 为原点，则有()2,2,0B ，()002P ,,，()2,0,1Q ，()0,2,1QB =- ，()2,0,1PQ =- ，设平面PBQ 的一个法向量为(),,m x y z = ，则有00m QB m PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得2020y z x z -=⎧⎨-=⎩，令2z =，则1x =，1y =，()1,1,2m = ，易知平面PCD 的一个法向量为()1,0,0n =r ，设平面PBQ 与平面PCD 所成二面角的平面角为α，则16cos 616m n m n α⋅===⨯⋅ ，即平面PBQ 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值66．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为C 的上顶点，且12PF F △的周长为423+．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过定点()0,2M 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．【答案】(1)2214x y +=(2)332,,222⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）由椭圆的定义以及离心率可得出a 、c 的值，进而可求得b 的值，由此可得出椭圆C 的方程；（2）分析可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2y kx =+，设()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由0∆>结合0OA OB ⋅> 可求得k 的取值范围.【详解】（1）设椭圆C 的半焦距为c ．因为12PF F △的周长为121222423PF PF F F a c ++=+=+，①因为椭圆C 的离心率为32，所以32c a =，②由①②解得2a =，3c =．则221b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）若直线l x ⊥轴，此时，直线l 为y 轴，则A 、O 、B 三点共线，不合乎题意，设直线l 的方程为2y kx =+，设()11,A x y 、()22,B x y ，联立()22221141612042x y k x kx y kx ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩，()()()222Δ164411216430k k k =-+⨯=->，解得234k >，由韦达定理可得1221641k x x k +=-+，1221241x x k =+，则()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++，又AOB ∠为锐角，A 、O 、B 不共线，则cos 0AOB ∠>，即()()()22221212121221213216412441k k k OA OB x x y y k x x k x x k +-++⋅=+=++++=+ 22164041k k -=>+，解得204k <<，所以，2344k <<，解得322k -<<-或322k <<，所以实数k 的取值范围为332,,222⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.22．已知函数()2ln f x x x ax a =-+.（1）若()f x a ≤，求a 的取值范围；（2）若()f x 存在唯一的极小值点0x ，求a 的取值范围，并证明()0210a f x -<<.【答案】（1）1[,)e +∞（2）12a <；证明见解析；【分析】（1）可利用分离参数法，将问题转化为ln x a x ≥恒成立，然后研究ln ()x g x x=的单调性，求出最大值；（2）通过研究()f x '在()0,∞+内的变号零点，单调性情况确定唯一极小值点；若不能直接确定()f x '的零点范围及单调性，可以通过研究()g x '的零点、符号来确定()f x '的单调性，和特殊点（主要是能确定()f x '符号的点）处的函数值符号，从而确定()f x 的极值点的存在性和唯一性．【详解】(1)()f x 的定义域为()0,∞+.由()f x a ≤，得ln x a x ≥在()0,x ∈+∞恒成立，转化为max ln ()x a x ≥令ln ()x g x x =，则21ln ()x g x x -'=，∴ln ()x g x x=在()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减，∴()g x 的最大值为1(e)g e=，∴1a e ≥.∴a 的取值范围是1[,)e+∞.(2)设()()g x f x '=，则()ln 12g x x ax =+-，1()2g x a x'=-，0x >.①当a<0时，()0g x '>恒成立，()g x 在()0,∞+单调递增，又()1120g a =->，212121()21122(1)0a a a g e a ae a e ---=-+-=-<所以()g x 存在唯一零点()10,1x ∈.当()10,x x ∈时，()()0f x g x '=<，当()1,1x x ∈时，()()0f x g x '=>.所以()f x 存在唯一的极小值点01x x =.②当0a =时，()ln 1g x x =+，()g x 在()0,∞+单调递增，1()0g e =，所以()g x 在()0,∞+有唯一零点1e.当1(0,)∈x e时，()()0f x g x '=<，当1(,1)x e∈时，()()0f x g x '=>.所以()f x 存在唯一的极小值点01x e =.③当0a >时，令()0g x '>，得1(0,)2x a ∈；令()0g x '<，得1(,)2x a ∈+∞，∴()g x 在1(0,)2a 单调递增，在1(,)2a+∞单调递减，所以()g x 的最大值为1()ln(2)2g a a =-④当102a <<时，1()0g e<，()1120g a =->，1()02g a >，21212()212(1)10l 1n g a a aa a =-+-<--+-=-<(或用11111()20a a g eae a --=-<)由函数零点存在定理知：()g x 在区间()0,1，()1,+∞分别有一个零点2x ，3x 当()20,x x ∈时，()()0f x g x '=<；当()23,x x x ∈时，()()0f x g x '=>；所以()f x 存在唯一的极小值点02x x =，极大值点3x .⑤当12a ≥时，102g a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，()()0f x g x '=≤所以()f x 在()0,∞+单调递减，无极值点.由①②④可知，a 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，当()00,x x ∈时，()0f x '<；所以()f x 在()00,x 单调递减，()0,1x 单调递增.所以()0(1)0f x f <=.由()000ln 120f x x ax '=+-=，得00ln 21x ax =-.所以20000ln ()f x x ax ax =-+2000(21)x ax ax a=--+200ax a x =+-2000()(21)1f x a ax a x --=--+[]00(1)(1)1x a x =-+-，因为0(0,1)x ∈，1,2a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，所以010x -<，()01112102a x +-<⨯-=所以()0(21)0f x a -->，即()021f x a >-；所以()0210a f x -<<.【点睛】本题通过导数研究函数的零点、极值点的情况，一般是先研究导函数的零点、单调性，从而确定原函数的极值点存在性和个数．同时考查学生运用函数思想、转化思想解决问题的能力和逻辑推理、数学运算等数学素养．。

2022-2023学年陕西省西安市高二下学期期中数学(理)试题【含答案】

2022-2023学年陕西省西安市高二下学期期中数学（理）试题一、单选题1．某校有高三学生1200名，现采用系统抽样法从中抽取200名学生进行核酸检测，用电脑对这1200名学生随机编号1，2，3，…，1200，已知随机抽取的一个学生编号为10，则抽取的学生最大编号为（）A ．2004B ．1198C ．1192D ．1086【答案】B【分析】首先求出分段间隔，再根据系统抽样规则计算可得.【详解】根据系统抽样法可知，分段间隔为12006200=，编号共分为200段，编号10属于第2段，所以最大编号在第200段，号码为()10620021198+⨯-=．故选：B2．在下列各事件中，发生可能性最大的是（）A ．抛掷两枚质地均匀的硬币，至少有一枚正面朝上B ．抛掷一颗质地均匀的骰子，点数大于2C ．有1000张彩票，其中50张有奖，从中随机买1张中奖D ．一个袋子中有20个红球8个白球，从中摸出1个球是红球【答案】A【分析】根据概率的定义，逐个选项进行计算，比较大小即可得解.【详解】对于A ，抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果有（正正），（正反），（反正），（反反），所以至少有一枚正面朝上的概率34P =；对于B ，抛掷一颗质地均匀的骰子，点数可以为1，2，3，4，5，6，点数大于2的概率为4263P ==；对于C ，有1000张彩票，其中50张有奖，从中随机买1张中奖的概率501100020P ==；对于D ，袋子中共有28个球，红球有20个，摸出1个是红球的概率205287P ==；又352147320>>>，故发生可能性最大的是A ；故选：A3．给出以下四个问题，①输入一个数x ，输出它的相反数；②求面积为6的正方形的周长；③求三个数a ，b ，c 中的最大数；④求函数()1,02,0x x f x x x -≥⎧=⎨+<⎩的函数值.其中不需要用条件语句来描述其算法的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】对于①②，求值只需要代入相应的公式不需要用条件语句，对于③④，要分情况讨论，需要用条件语句来描述其算法，即可得正确答案.【详解】对于①：输入一个数x ，求它的相反数，只需代入y x =-求即可，是顺序结构，故①不需要用条件语句来描述其算法；对于②：求面积为6的正方形的周长，代入4c s =即可，是顺序结构，故②不需要用条件语句来描述其算法；对于③：求三个数a ，b ，c 中的最大数，必须先进行大小比较，需要用条件语句，对于④：求函数()1,02,0x x f x x x -≥⎧=⎨+<⎩的函数值，必须对x 进行条件判断，需要用条件语句，所以①②不需要用条件语句，③④需要用条件语句，要用条件语句来描述其算法的有2个，故选：B.4．某校举办了迎新年知识竞赛，将100人的成绩整理后画出的频率分布直方图如下，则根据频率分布直方图，下列结论不正确的是（）A ．中位数70B ．众数75C ．平均数68.5D ．平均数70【答案】D【分析】根据题意，由频率分布直方图分别计算，即可得到结果.【详解】[)40,50的频率为1(0.0150.0250.0350.005)100.12-+++⨯=因为最高小矩形的中点横坐标为75，显然众数是75，故B 正确；[)40,50的频率是0.1，[)50,60的频率是0.15，[)60,70的频率是0.25，其频率和为0.5，所以中位数为70，故A 正确；平均数450.1550.15650.25750.35850.1950.0568.5=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以C 正确.故选:D.5．某市商品房调查机构随机抽取n 名市民，针对其居住的户型结构和是否满意进行了调查，如图1，被调查的所有市民中二居室住户共100户，所占比例为29，四居室住户占13.如图2，这是用分层抽样的方法从所有被调查的市民对户型是否满意的问卷中，抽取20%的调查结果绘制成的统计图，则下列说法错误的是（）A ．450n =B ．被调查的所有市民中四居室住户共有150户C ．用分层抽样的方法抽取的二居室住户有20户D ．用分层抽样的方法抽取的市民中对三居室满意的有10户【答案】D【分析】根据饼图、直方图分析样本总量及四居室住户数，结合分层抽样的性质分析二居室、三居室住户数及满意度即可.【详解】因为被调查的所有市民中二居室住户共100户，所占比例为29，所以21004509n =÷=，四居室住户有14501503⨯=户，三居室住户有200户，故A ，B 正确；用分层抽样的方法抽取的二居室住户有1000.220⨯=户，故C 正确；用分层抽样的方法抽取的市民中对三居室满意的有2000.20.520⨯⨯=户，故D 错误.故选：D6．设a ∈N ，且17a <，若202252a +能被17整除，则a 等于（）A ．0B ．1C ．13D ．16【答案】D【分析】将()2022202252511a a +=++利用二项式定理展开，通过51能被17整除可得1a +能被17整除，进而可得a 的值.【详解】()2022202252511a a +=++0202212021220202021202220222022202220222022C 51C 51C 51C 51C a =++++++ ，202252a + 能被17整除，且02022120212202020212022202220222022C 51C 51C 51C 51++++ 能被17整除，故20222022C 1a a +=+能被17整除，观察选项可得16a =.故选：D.7．某高中调查学生对2022年冬奥会的关注是否与性别有关，随机抽样调查150人，进行独立性检验，经计算得()()()()()22 5.879n ad bc a b c d a c b d χ-=≈++++，临界值表如下：α0.150.100.050.0250.010x α2.0722.0763.8415.0246.635则下列说法中正确的是：（）A ．有97.5%的把握认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别无关”B ．有99%的把握认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别有关”C ．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别无关”【答案】C【分析】根据独立性检验的方法即可求解.【详解】由题意可知，()()()()()22 5.879 5.024n ad bc a b c d a c b d χ-=≈>++++，所以在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别有关”.故选：C.8．如图，用随机模拟方法近似估计在边长为e （e 2.718≈为自然对数的底数）的正方形中阴影部分的面积，先产生两组区间[]0,e 上的随机数1231000,,,x x x x 和1y ，2y ，3y ，…，1000y ，从而得到1000个点的坐标(),i i x y （1,2,3,1000i = ），再统计出落在该阴影部分内的点数为260个，则此阴影部分的面积约为（）A ．0.70B ．1.04C ．1.26D ．1.92【答案】D【分析】求出正方形的面积，利用落在阴影部分内的点数与总点数比值求出阴影部分面积.【详解】正方形面积为2e ，故此阴影部分的面积约为22260e 0.26 2.718 1.921000≈⨯≈故选：D9．如图，一圆形信号灯分成,,,A B C D 四块灯带区域，现有3种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（）A ．18B ．24C ．30D ．42【答案】A【分析】根据涂色问题，按照使用颜色种数进行分类，再结合分步计数原理，即可得总的方法数.【详解】若用3种不同的颜色灯带，故有两块区域涂色相同，要么,A C ，要么,B D 相同，有2种方案，则不同的信号数为332A 12=；若只用2种不同的颜色灯带，则,A C 颜色相同，,B D 颜色相同，只有1种方案，则不同的信号数为2232C A 6=；则不同的信号总数为12618+=.故选：A ．10．已知x 、y 的对应值如下表所示:x2468y 11m +21m +33m +11y 与x 具有较好的线性相关关系，可用回归直线方程 1.30.6y x =+近似刻画，则在y 的取值中任取两个数均不大于9的概率为（）A ．15B ．35C ．23D ．34【答案】B【分析】求出样本中心点的坐标，将其代入回归直线方程，求出m 的值，可得出y 的所有取值，然后利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由表格中的数据可得0246845x ++++==，()()()1121331161755m m m m y ++++++++==，所以这组数据的样本点的中心的坐标为6174,5m +⎛⎫⎪⎝⎭，又因为点(),x y 在回归直线上，所以6171.340.6 5.85m +⨯+==，解得2m =，所以y 的取值分别为1、3、5、9、11，在这5个数中，任取两个，取到的两个数都不大于9的概率为2425C 3C 5P ==.故选：B.11．已知()12nx -的展开式中，奇数项的二项式系数之和是64，则()()121nx x -+的展开式中，4x 的系数为（）A ．672-B ．672C ．280-D ．280【答案】D【分析】利用二项式系数的性质求出7n =，再将7(12)(1)x x -⋅+拆为()()771212x x x -+-，利用()712x -的展开式的通项可求得结果.【详解】因为奇数项二项式系数和为1264n -=，则7n =，7(12)(1)x x -⋅+()()771212x x x =-+-，()712x -的展开式的通项为1r T +=()()77C 22C r rr r rx x -=-(0,1,2,3,4,5,6,7)r =，所以()()771212x x x -+-展开式中含4x 项系数为377443C (2)C (2)280⋅-+⋅-=，故选：D.12．排成一排的8个座位，甲、乙、丙3人随机就座，要求甲乙必须在相邻两座位就座，但都与丙不相邻（即之间有空座位），则不同坐法种数为（）A ．30B ．60C ．120D ．336【答案】B【分析】将甲、乙（连同座位）看成一个整体，和丙去插5个座位形成6个空隙，即可得出答案.【详解】将甲、乙连同两个座位捆绑在一起看成一个元素，丙连同一个座位捆绑在一起看成一个元素，剩余5个座位形成6个空隙，从中选出2个空隙安排这两个元素，然后甲、乙可以交换顺序.所以2262A A 60=种不同坐法.故选：B二、填空题13．若221A C n n +=，则!n =______.【答案】6【分析】由221A C n n +=求得n ，由此求得!n .【详解】221A C n n +=，即()(1)12n nn n +-=，由题意可得，*210N n n n ≥⎧⎪-≥⎨⎪∈⎩，解得2n ≥且N n *∈，∴112n n +-=，解得3n =．∴!3216n =⨯⨯=．故答案为：6．14．一组样本数据：()11,b ，()22,b ，()33,b ，()44,b ，()5,a b ，由最小二乘法求得线性回归方程为34y x =-，若1234525b b b b b ++++=，则实数a 的值为______.【答案】5【分析】求出中心点，由线性回归方程过中心点列方程求解.【详解】1234555b b b b b y ++++==，41210535ax a +++++==，由线性回归方程过中心点得345y x a =-⇒=.故答案为：515．在1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数为___________【答案】70【分析】先由二项式系数最大确定n ,再由通项公式求含2x 项的系数即可.【详解】由只有第5项的二项式系数最大可得：8n =.∴通项公式()38821881C 1C rrr rrr r T xxx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令3822r -=，解得4r =.∴展开式中含2x 项的系数为()4481C =70-.故答案为：70.16．“二进制”来源于我国古代的《易经》，二进制数由数字0和1组成，比如：二进制数(2)011化为十进制的计算公式如下210(2)(10)0110212123=⨯+⨯+⨯=，若从二进制数(2)11、(2)00、(2)10、(2)01中任选一个数字，则二进制数所对应的十进制数大于2的概率为__________．【答案】14/0.25【分析】将二进制转化为十进制，再计算概率即可.【详解】()10(2)1211131=⨯+⨯=；()0(2)1000=；()0(2)1102=；()0(2)1011=，十进制数大于2的概率为14p =.故答案为：14三、解答题17．用0、1、2、3、4、5这六个数字.(1)可以组成多少个数字不重复的三位数；(2)可以组成多少个数字允许重复的三位数；(3)可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数.【答案】(1)100(2)180(3)131【分析】（1）分析可知，数字不重复的三位数中，首位数字不为零，个位和十位的数字无限制，利用分步乘法计数原理可得结果；（2）分析可知，数字允许重复的三位数中，首位数字不为零，个位和十位的数字无限制，利用分步乘法计数原理可得结果；（3）分三种情况讨论：个位数、两位数、三位数，分别计算出这三种情况下满足条件的自然数的个数，利用分类加法计数原理可得结果.【详解】（1）解：若组成的数字为数字不重复的三位数，则首位数字不为零，个位和十位的数字无限制，所以，数字不重复的三位数个数为554520100⨯⨯=⨯=.（2）解：若组成的数字为数字允许重复的三位数，则首位数字不为零，个位和十位的数字无限制，所以，数字允许重复的三位数的个数为256180⨯=个.（3）解：若组成的数字为数字不重复的小于1000的自然数，分以下三种讨论：①数字为个位数，共6个；②数字为两位数，则首位不能为零，个位无限制，共5525⨯=个；③数字为三位数，共有100个.综上所述，数字不重复的小于1000的自然数个数为625100131++=个.18．从某中学随机抽样1000名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的样本数据，整理得到样本数据的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[]0,2，(]2,4，(]4,6，(]6,8，(]8,10，(]10,12，(]12,14.(1)求该样本数据的平均数.（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）；(2)估计该校学生每周课外阅读时间超过8小时的概率.【答案】(1)7.3(2)0.4【分析】（1）利用频率分布直方图平均数的求法求解即可；（2）结合（1）中结论，求得(]8,10，(]10,12，(]12,14频率之和即可得解n.【详解】（1）依题意，结合频率分布直方图，该周课外阅读时间在(]8,10的频率为：12(0.0250.0500.0750.1500.0750.025)0.2-⨯+++++=，所以该样本数据的平均数为2(0.02510.05030.07550.15070.075110.02513)0.297.3⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）阅读时间超过8小时的概率为0.22(0.0750.025)0.4+⨯+=，所以估计该校学生每周课外阅读时间超过8小时的概率为0.4.19．2022年冬奥会在北京举办．现有如图所示“2022•北京冬梦之约”的四枚邮票供小明选择，依次记为A ，B ，C ，D ，背面完全相同．将这四枚邮票背面朝上，洗匀放好(1)小明从中随机抽取一枚，恰好抽到是B （冰墩墩）概率是_________（直接写出结果）(2)小颖从中随机抽取一枚不放回，再从中随机抽取一枚．请用列表或画树状图的方法，求小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B （冰墩墩）和C （雪容融）的概率．【答案】(1)14(2)16【分析】（1）直接运用概率的公式求解即可；（2）用列表法或树状图表示出所有可能的情况，再找出是B 和C 的情况，用概率公式求解即可【详解】（1）由题意可知，共有四种等可能的情况，∴小明从中随机抽取一枚，恰好抽到是B （冰墩墩）概率是14；（2）根据题意画树状图，如图所示，从上图可以看出，共有12种等可能的情况，其中小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B （冰墩墩）和C （雪容融）的情况有2种．∴小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B （冰墩墩）和C （雪容融）的概率为：21126P ==．20．基础学科招生改革试点，即强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域.某校在一次强基计划模拟考试后，从全体考生中随机抽取52名，获取他们本次考试的数学成绩（x ）和物理成绩（y ），绘制成如图散点图：根据散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，但图中有两个异常点A ，B .经调查得知，A 考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B 考生因故未能参加物理考试，为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：5015800i i x ==∑，5013900i i y ==∑，501462770i i i x y ==∑，()502128540i i x x=-=∑，()502118930i i y y=-=∑，其中i x ，i y 分别表示这50名考生的数学成绩、物理成绩，1,2,,50i =⋅⋅⋅，y 与x 的相关系数0.45r ≈.(1)若不剔除A ，B 两名考生的数据，用52组数据作回归分析，设此时y 与x 的相关系数为0r .试判断0r 与r 的大小关系（不必说明理由）；(2)求y 关于x 的线性回归方程（系数精确到0.01），并估计如果B 考生加了这次物理考试，物理成绩是多少？（精确到0.1）【答案】(1)0r r<(2)0.36 6.4ˆ32yx =+,81.2分【分析】（1）由题意结合相关系数的概念即可直接判断；（2）由题意计算出()()421,,i i i x y x x y y =--∑，代入公式计算出ˆˆ,ba ，即可得回归方程，再代入125x =即可估B 考生的物理成绩.【详解】（1）由题意,y 与x 成正相关关系，异常点,A B 会䅂低变量之间的相关程度，∴0r r <；（2）由题意，（1）及表得，5015800i i x ==∑，5013900i i y ==∑，501462770i i i x y ==∑，()502128540i i x x=-=∑，()502118930i i y y=-=∑，∴50501111116,785050i i i i x x y y ======∑∑，∴15050462770501167810370i i i x y x y =-⋅=-⨯⨯=∑，∴()()()15021510370ˆˆˆ0.36,780.3611636.2428540iii i i x x y y ba y bx x x ==--==≈=-=-⨯=-∑∑，∴0.36 6.4ˆ32yx =+，将125x =代入，得81.5y =，所以估计B 同学的物理成绩为81.2分.21．已知(21)nx -的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，求32n x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中：(1)所有二项式系数之和．(2)系数绝对值最大的项．【答案】(1)1024(2)415360x -【分析】（1）根据二项式系数相等关系可求得7n =，根据二项式系数和的结论可直接求得结果；（2）根据展开式通项公式，设第1r +项的系数的绝对值最大，采用不等式法可求得r 的取值，代入展开式通项公式即可求得结果.【详解】（1）因为(21)n x -的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，所以25C C n n =且5n ≥，解得7n =，所以31022n x x x x +=⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式的二项式系数之和为1021024=；（2）102x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()10102110102C 2C rr r r r r r T x x x --+⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭，设展开式第1r +项的系数的绝对值最大，则1110101110102C 2C 2C 2C r r r r r r r r --++⎧≥⎨≥⎩，解得192233r ≤≤，又因N r ∈，所以7r =，所以展开式中，系数绝对值最大的项为()771014104153602C xx --=-．22．已知关于x 的一元二次函数()241f x ax bx =-+.（1）设集合{}1,2,3P =和{}1,1,2,3,4Q =-，分别从集合P 和Q 中随机抽取一个数作为a 和b ，求函数()y f x =在区间[)1,+∞上是增函数的概率；（2）设点(),a b 是区域80{00x y x y +-≤>>内的随机点，求()y f x =在区间[)1,+∞上是增函数的概率.【答案】（1）13（2）13【详解】试题分析：（1）因为0a >，函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数，所以只需函数对称轴21bx a=≤，然后写出所有的基本事件，找出满足2b a ≤的基本事件，分别计算其个数，再利用古典概型的概率公式可得函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数的概率；（2）（a ，b ）是区域80{00x y x y +-≤>>内的随机点，由（1）知（a ，b ）满足0a >且2b a ≤时，函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数，所以满足条件的点应在800(,)|{020a b a a b b a b +-≤⎧⎫⎪⎪>⎪⎪⎨⎬>⎪⎪⎪⎪-≥⎩⎭区域内，因此这是几何概型问题，分别求这两个区域的面积，通过面积比可得所求概率．试题解析：（1）∵函数2()41f x ax bx =-+的图象的对称轴为2,bx a=要使2()41f x ax bx =-+在区间[1,)+∞上为增函数，当且仅当a >0且21,2bb a a≤≤即，若a =1则b =－1；若a =2则b =－1，1；若a =3则b =－1，1；∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5，∴所求事件的概率为51153=．（2）由（1）知当且仅当2b a ≤且a >0时，函数2()41f x ax bx =-+在区间[1,)+∞上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为，构成所求事件的区域为三角形部分．由80168{(,),332a b ab +-==得交点坐标为∴所求事件的概率为18812313882P ⨯⨯==⨯⨯．【解析】1、古典概型；2、几何概型．【方法点晴】本题主要考查的是古典概型和几何概型，属于中档题．解题时一定要分清问题是古典概型还是几何概型，对于古典概型通过列出所有基本事件数出基本事件个数15n =或通过分析得到基本事件个数15n =，然后确定满足所求条件的基本事件个数5m =，利用mp n=求解；几何概型要分清基本事件空间区域的度量是长度、面积、体积，然后分别求出对应的度量3232,3A u u Ω==利用Au p u Ω=计算，本题涉及到了线性区域面积的计算是难点．。

2022-2023学年陕西省咸阳市高二下学期期中数学(理)试题【含答案】

2022-2023学年陕西省咸阳市高二下学期期中数学（理）试题一、单选题1．根据偶函数定义可推得“函数2()f x x =在R 上是偶函数”的推理过程是A ．归纳推理B ．类比推理C ．演绎推理D ．非以上答案【答案】C【详解】分析：解决本题的关键是了解演绎推理的含义，演绎推理又称三段论推理，是由两个前提和一个结论组成，大前提是一般原理（规律），即抽象得出一般性、统一性的成果；小前提是指个别对象，这是从一般到个别的推理，从这个推理，然后得出结论．解答：解：根据偶函数定义可推得“函数f （x ）=x 2是偶函数”的推理过程是：大前提：对于函数y=f （x ），若对定义域内的任意x ，都有f （-x ）=f （x ），则函数f （x ）是偶函数；小前提：函数f （x ）=x 2满足对定义域R 内的任意x ，都有f （-x ）=f （x ）；结论：函数f （x ）=x 2是偶函数．它是由两个前提和一个结论组成，是三段论式的推理，故根据偶函数定义可推得“函数f （x ）=x 2是偶函数”的推理过程是演绎推理．故选C ．2．若211()f x x x =-，则()f x '=（）A ．2312x x--B ．23112x x+C ．23112x x-D ．2312x x -+【答案】D【分析】根据基本初等函数的导数运算法则，准确计算，即可求解.【详解】由函数12211()f x x x x x--=-=-，根据导数的运算法则，可得232312()(2)f x x x x x --'=---⋅=-+.故选：D.3．已知复数1z i =-，则21z z =-A ．2B ．-2C ．2iD ．2i-【答案】A【详解】解：因为1z i =-，所以22(1)21z i z i-==--，故选A4．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为()A ．2y x =-B ．y x=-C ．2y x=D ．y x=【答案】D【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得1a =，进而得到()f x 的解析式，再对()f x 求导得出切线的斜率k ，进而求得切线方程.详解：因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =，所以3()f x x x =+，2()31x f 'x =+，所以'(0)1,(0)0f f ==，所以曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为(0)'(0)y f f x -=，化简可得y x =，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线()y f x =在某个点00(,())x f x 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得'()f x ，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.5．下列等式成立的是（）A ．1110d 2d x x x x-=⎰⎰B ．1d 2ba x x =⎰C ．0d ba xb a=-⎰D ．(1)d d b b aax x x x+=⎰⎰【答案】A【分析】根据微积分基本定理一一计算可得.【详解】对于A ：()10011111d d d d d x x x x x x x x x x---=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰21200111||122x x -⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1121000112d 2d 2|2122x x x x x ⎡⎤⎛⎫===⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰，所以111d 2d x x x x -=⎰⎰，故A 正确；对于B ：222111d |222b b a a x x x b a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭⎰，故B 错误；对于C ：0d 0bax =⎰，故C 错误；对于D ：(1)d d d 1b b b aaax x x x x +=+⎰⎰⎰，其中d |1bb a ax x b a ==-⎰，所以(1)d d b baax x x x +≠⎰⎰，故D 错误；故选：A6．给出下面四个类比结论①实数a ，b ，若0ab =，则0a =或0b =；类比向量a ，b ，若0a b ⋅= ，则0a = 或0b = ②实数a ，b ，有222()2a b a ab b +=++；类比向量a ，b ，有222()2a b a a b b +=+⋅+③向量a ，有22a a =；类比复数z ，有22z z =④实数a ，b 有220a b +=，则0a b ==；类比复数1z ，2z 有22120z z +=，120z z ==，其中类比结论正确的命题个数为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【详解】①错误，因为若向量,a b互相垂直，则0a b ⋅= ；③错误，因为z 是复数的模是一个实数，而z 是个复数，比如若1i z =+，则()222211z =+2=，()22221i 1i 2i z =+=++2i =;④错误，若假设复数11z =，2i z =，则22120z z +=，但是10z ≠，20z ≠．②正确222()2cos ,a b a a b a b b +=+〈〉+222a a b b =+⋅+．故选B ．7．用数学归纳法证明1111112234n n n +++>++ 时，由k 到k+1，不等式左边的变化是（）A ．增加()121k +项B ．增加121k +和122k +两项C ．增加121k +和122k +两项同时减少11k +项D ．以上结论都不对【答案】C【详解】n k =时，左边11112k k k k=++⋯++++，1n k =+时，左边()()()()111111211k k k k =++⋯++++++++，由“n k =”变成“1n k =+”时，两式相减可得11121221k k k +-+++，故选C.点睛：本题主要考查了数学归纳法的应用，属于基础题；用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值n 0并验证真假．（必不可少）②“假设n=k 时命题正确”并写出命题形式．③分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．8．定义运算：,,x x yx y y x y ≥⎧⊗=⎨<⎩，例如344,⊗=则下列等式不能成立的是（）.A ．x y y x ⊗=⊗B ．()()x y z x y z ⊗⊗=⊗⊗C ．222()x y x y ⊗=⊗D ．()()()c x y c x c y ⋅⊗=⋅⊗⋅（其中0c >）【答案】C【分析】根据定义逐项分析即得.【详解】因为,,x x yx y y x y≥⎧⊗=⎨<⎩，它表示的是x y ⊗的结果为x 和y 中的较大数，对A ，x y ⊗和y x ⊗都是x 和y 中的较大数，故x y y x ⊗=⊗，正确；对B ，()()x y z x y z ⊗⊗=⊗⊗是x ，y ，z 中的较大数，正确；对C ，2()x y ⊗表示x 和y 中的较大数的平方，而22x y ⊗表示2x 和2y 中的较大数，例如4,1x y =-=时，2()1x y ⊗=，2216x y ⊗=等式就不成立，故错误；对D ，()c x y ⋅⊗和()()c x c y ⋅⊗⋅都表示c 与x 和y 中的较大数的乘积，故正确.故选：C.9．曲线2e 1x y -=+在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为A ．13B ．12C ．23D ．1【答案】A 【详解】202|2xx y ey -==-⇒'=-'，所以在点()0,2处的切线方程为22y x =-+，它与y x =的交点为22,33⎛⎫⎪⎝⎭，与0y =的交点为()1,0，所以三角形面积为1211233⨯⨯=故选：A 10．设1010101111112212221A =++++++- ，则下列结论正确的是（）A ．1A >B ．1A <C ．1A ≥D ．1A ≤【答案】B【分析】利用放缩法可得出结论.【详解】1010101010111010101010211111111121221222122222A =++++<++++=⨯=++-个，故选：B.11．设函数()x f x xe =，则A ．1x =为()f x 的极大值点B ．1x =为()f x 的极小值点C ．=1x -为()f x 的极大值点D ．=1x -为()f x 的极小值点【答案】D【详解】试题分析：因为()x f x xe =，所以()()()=+=+1,=0,x=-1x x xf x e xe e x f x 令得''．又()()()()()>0:>-1;<0<-1,--1-1+f x x f x x f x 由得由得：所以在，，在，∞'∞'，所以=1x -为()f x 的极小值点．【解析】利用导数研究函数的极值；导数的运算法则．点评：极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点．12．已知定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且()02f =，则不等式()2xf x e >的解集为（）A ．(),0∞-B ．()0,∞+C ．(),2-∞D ．()2,+∞【答案】B 【分析】令()()xf xg x =e ，利用导数说明函数的单调性，则不等式()2xf x e>，即()()0g x g >，根据单调性解得即可.【详解】令()()xf xg x =e ，则()()()()()2e e 0eex xxxf x f x f x f xg x ''--'==>，()g x ∴在R 上单调递增，()02f = ，()()002e f g ∴==则不等式()2xf x e>，即为()2g x >，即为()()0g x g >，0x ∴>，所以不等式()2x f x e>的解集为()0,∞+.故选：B二、填空题13．20122x dx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰____________.【答案】5【分析】找出被积函数的原函数，利用微积分基本定理可求出所求定积分的值.【详解】解：22200112522x dx x x ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰，故答案为：514．已知函数()ln f x a x x =+在区间[]2,3上单调递增，则实数a 的取值范围是______．【答案】[2,)-+∞【分析】直接求导，分离参数得max ()2a x ≥-=-.【详解】()ln f x a x x =+ ，()1af x x'=+又∵()f x 在[]2,3上单调递增，∴10ax+≥在[]2,3x ∈上恒成立，∴max ()2a x ≥-=-，∴[2,)a ∈-+∞．故答案为：[2,)-+∞.15．在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式．如从指数函数中可抽象出()()()1212f x x f x f x +=⋅的性质；从对数函数中可抽象出()()()1212f x x f x f x ⋅=+的性质．那么从函数______（写出一个具体函数即可）可抽象出()()()1212f x x f x f x +=+的性质．【答案】()2f x x =（答案不唯一）【分析】本题属于开放性问题，只需找到符合题意的解析式即可，不妨令()2f x x =，即可判断.【详解】令()2f x x =，则()()12122f x x x x +=+，()112f x x =，()222f x x =，所以()()()1212f x x f x f x +=+，符合题意.故答案为：()2f x x =（答案不唯一）16．若点P 是曲线2y x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =+的最小距离是______．【答案】728【分析】作直线2y x =+的平行线，使得与曲线2y x =-相切，设切点为00(,)P x y ，根据导数的几何意义求得切点为11(,)24P --，结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】作直线2y x =+的平行线，使得与曲线2y x =-相切，设切点为00(,)P x y ，因为函数2y x =-，可得2y x '=-，所以曲线在点00(,)P x y 处的导数为00|2x x y x ='=-，即切线的斜率为02k x =-令021x -=，解得012x =-，则014y =-，即切点为11(,)24P --，又由点到直线的距离公式，可得切线P 到直线的距离为22112722481(1)d -++==+-，即P 到直线2y x =+的最小距离为728.故答案为：728.三、解答题17．已知复数22(815)(918)z m m m m i =-++-+在复平面内表示的点为A ，实数m 取什么值时，（1）z 为实数？z 为纯虚数？（2）A 位于第三象限？【答案】（1）当m ＝3或m ＝6时，z 为实数；当m ＝5时，z 为纯虚数；（2）3＜m ＜5【分析】（1）当复数的虚部等于0时，复数z 为实数；当复数的实部等于0，且虚部不等于0时，复数z 为纯虚数；（2）当复数的实部和虚部都小于0时，复数对应点在第三象限，解不等式组求出实数m 的取值范围即可．【详解】复数22(815)(918)z m m m m i=-++-+（1）当m 2﹣9m +18＝0，解得m ＝3或m ＝6，故当m ＝3或m ＝6时，z 为实数．当2281509180m m m m ⎧-+=⎨-+≠⎩，解得m ＝5，故当m ＝5时，z 为纯虚数；（2）当2281509180m m m m ⎧-+<⎨-+<⎩即3536m m <<⎧⎨<<⎩，即3＜m ＜5时，对应点在第三象限．【点睛】本题主要考查复数的基本概念，复数代数表示法及其几何意义，属于基础题．18．已知两曲线3()f x x ax =+和2()g x x bx c =++都经过点()1,2P ，且在点P 处有公切线，试求a 、b 、c 的值．【答案】1a =，2b =，1c =-【分析】根据点()1,2P 在曲线()3f x x ax =+上，求出a ，再求出两函数的导函数，根据函数在点P 处有公切线求出b ，再根据点()1,2P 在曲线()g x 上求出c .【详解】∵点()1,2P 在曲线()3f x x ax =+上，∴21a =+，∴1a =，函数()3f x x ax =+和()2g x x bx c =++的导数分别为()23f x x a '=+和()2g x x b '=+，且在点P 处有公切线，∴23121a b ⨯+=⨯+，解得2b =，又由点()1,2P 在曲线()2g x x bx c =++上可得22121c =+⨯+，解得1c =-．综上，1a =，2b =，1c =-．19．已知()133x f x =+,分别求()()01f f +,()()12f f -+,()()23f f -+的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.【答案】详见解析.【详解】试题分析：将0,1,1,2,2,3x =--代入()133x f x =+，即可求得()()()()()()01,12,23f f f f f f +-+-+的值；观察()()()()()()01,12,23f f f f f f +-+-+，根据上一步的结果可以归纳出一般的结论：自变量的和为1，则函数值的和为33，根据结论的形式将()133x f x =+代入并化简求值即可完成证明.试题解析：由()133x f x =+，得()()011130133333f f +=+=++,()()121131233333f f --+=+=++,()()231132333333f f --+=+=++.归纳猜想一般性结论为()()313f x f x -++=证明如下：()()11113333x x f x f x -+-++=+=++()111313·313·313313·3333333313·3x x x xx xx x+++++=+==+++++【方法点睛】本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查函数的解析式及归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤:一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2)形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.20．已知0a >，用分析法证明：221122a a a a+-≥+-【答案】证明见解析【分析】根据分析法证明的步骤，逐步分析，即可求解.【详解】要证明221122a a a a+-≥+-，只需证221122a a a a ++≥++，只需证222211(2)(2)a a a a++≥++，只需证2222221111442222a a a a a a a a ⎛⎫++++≥+++++ ⎪⎝⎭，即221122a a a a ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭，只需证222211422a a a a ⎛⎫⎛⎫+≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2212a a +≥，显然成立，故原不等式成立.21．设函数()()2ln 23f x x x=++(1)讨论()f x 的单调性；(2)求()f x 在区间31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值．【答案】(1)函数()f x 在31,1,,22⎛⎫⎛⎫---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增；在11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减；(2)()f x 在区间31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为17ln 162+，最小值为1ln 24+.【分析】（1）先求函数的定义域，解不等式()0f x ¢>求出函数的单调递增区间，解不等式()0f x '<求出函数的单调递减区间；（2）根据函数的单调性求出函数的最值.【详解】（1）函数()()2ln 23f x x x =++的定义域为32⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，，又()()141232223232x x f x x x x x ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭'=+=>- ⎪++⎝⎭.令()0f x ¢>，解得12x >-或312x -<<-；令()0f x '<，解得112x -<<-.所以函数()f x 在31,1,,22⎛⎫⎛⎫---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增；在11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减；（2）由（1）可得：函数()f x 在区间31,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦内单调递减，在11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内单调递增.所以当12x =-时，函数()f x 取得最小值11ln 224f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，又393ln 4162f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，117ln 4162f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，而3193171311ln ln ln ln044162162272e f f ⎛⎫⎛⎫--=+--=+<+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当14x =时，函数()f x 取得最大值为：17ln 162+.即()f x 在区间31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为17ln 162+，最小值为1ln 24+.22．设函数()()32e 1x x ax f x =-+.(1)当13a =-时，求()f x 的单调区间；(2)若当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1)增区间为()2,-+∞，减区间为(),2-∞-(2)[)1,-+∞【分析】（1）当13a =-时，求得()()()2e 1xf x x x '=+-，利用导数与函数单调性的关系可求得函数()f x 的增区间和减区间；（2）分0x =、0x >两种情况讨论，在0x =时，直接验证即可；在0x >时，由()0f x ≥可得出()e 10x g x ax =+-≥，对实数a 的取值范围进行讨论，利用导数分析函数()g x 的单调性，验证()0g x ≥对任意的0x >能否恒成立，综合可得出实数a 的取值范围.【详解】（1）解：当13a =-时，函数()()231e 13xf x x x =--的定义域为R ，()()()()222e 22e 1x x f x x x x x x x '=+--=+-，当<2x -时，()0f x '<；当2x >-时，()0f x '≥，当且仅当0x =时，等号成立.因此，当13a =-时，函数()f x 的增区间为()2,-+∞，减区间为(),2-∞-.（2）解：因为当0x ≥时，()()00f x f ≥=恒成立.①当0x =时，不等式()0f x ≥显然成立，此时a ∈R ；②当0x >时，由()()23e 10x f x x ax =-+≥可得e 10x ax -+≥，令()e 1x g x ax =+-，其中0x >，则()e x g x a '=+，则函数()g x '在()0,∞+上单调递增，且()()01g x g a ''>=+.当10a +≥时，即当1a ≥-时，对任意的0x >时，()0g x '>，此时，函数()g x 在()0,∞+上单调递增，则()()00g x g >=，合乎题意；当10a +<时，即当1a <-时，令()0g x '=，可得()ln 0x a =->，当()0ln x a <<-时，()0g x '<，即函数()g x 在()()0,ln a -上单调递减，当()ln x a >-时，()0g x '>，即函数()g x 在()()ln ,a -+∞上单调递增，故当()()0,ln x a ∈-时，()()00g x g <=，不合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是[)1,-+∞.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则（1）恒成立：()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；（2）能成立：()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>；()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<.若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则（1）恒成立：()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<；（2）能成立：()()min a f x a f x >⇔>；()()max a f x a f x <⇔<.。

四川省德阳市中江县龙台中学2014-2021学年高二下学期期中考试数学(理)试卷 Word版含解析

四川省德阳市中江县龙台中学2022-2021学年高二下学期期中数学试卷（理科）一、选择题（50分）1．若向量=（﹣1，0，1），向量=（2，0，k），且满足向量∥，则k等于( )A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2考点：向量的数量积推断向量的共线与垂直．专题：空间位置关系与距离．分析：利用向量平行的性质求解．解答：解：∵向量=（﹣1，0，1），向量=（2，0，k），且满足向量∥，∴，解得k=﹣2．故选：D．点评：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，留意向量平行的性质的合理运用．2．在复平面内，复数3﹣4i，i（2+i）对应的点分别为A、B，则线段AB的中点C对应的复数为( ) A．﹣2+2i B．2﹣2i C．﹣1+i D．1﹣i考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：由复数代数形式的乘法运算化简i（2+i），求出A，B的坐标，利用中点坐标公式求得C的坐标，则答案可求．解答：解：∵i（2+i）=﹣1+2i，∴复数3﹣4i，i（2+i）对应的点分别为A、B的坐标分别为：A（3，﹣4），B（﹣1，2）．∴线段AB的中点C的坐标为（1，﹣1）．则线段AB的中点C对应的复数为1﹣i．故选：D．点评：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘法运算，是基础题．3．复数z=（1+i）2的实部是( )A．2 B．1 C．0 D．﹣1考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可．解答：解：z=（1+i）2=2i．所以复数z=（1+i）2的实部是0．故选：C．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，基本学问的考查．4．曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为( )A．y=x﹣1 B．y=﹣x+1 C．y=2x﹣2 D．y=﹣2x+2考点：利用导数争辩曲线上某点切线方程．专题：常规题型；计算题．分析：欲求在点（1，0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．解答：解：验证知，点（1，0）在曲线上∵y=x3﹣2x+1，y′=3x2﹣2，所以k=y′|x﹣1=1，得切线的斜率为1，所以k=1；所以曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为：y﹣0=1×（x﹣1），即y=x﹣1．故选A．点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数争辩曲线上某点切线方程等基础学问，考查运算求解力量．属于基础题．5．如图程序框图中，若输入m=4，n=10，则输出a，i的值分别是( )A．12，4 B．16，5 C．20，5 D．24，6考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序，依次写出每次循环得到的i，a的值，当a=20时，满足条件n整除a，退出循环，输出a的值为20，i的值为5．解答：解：模拟执行程序，可得m=4，n=10，i=1a=4，不满足条件n整除a，i=2，a=8不满足条件n整除a，i=3，a=12不满足条件n整除a，i=4，a=16不满足条件n整除a，i=5，a=20满足条件n整除a，退出循环，输出a的值为20，i的值为5．故选：C．点评：本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的i，a的值是解题的关键，属于基本学问的考查．6．函数y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象的大致外形是( )A ．B ．C ．D ．考点：函数的图象．专题：数形结合．分析：由原函数的单调性得到导函数的函数值的符号，由此逐一核对四个选项即可得到答案．解答：解：由于函数f（x）的图象先减后增然后为常数函数，所以对应的导函数的值先负后正，最终等于0，由此可得满足条件的图象是D．故选：D．点评：本题考查了函数的图象，考查了函数的单调性和导函数的函数值符号间的关系，是基础题．7．已知e为自然对数的底数，设函数f（x）=xe x，则( )A．1是f（x）的微小值点B．﹣1是f（x）的微小值点C．1是f（x）的极大值点D．﹣1是f（x）的极大值点考点：函数在某点取得极值的条件．专题：导数的综合应用．分析：求出f′（x），然后解不等式f′（x）＞0即可得到函数的单调增区间，解不等式f′（x）＜0即可得到函数的单调减区间，进而得到函数的极值．解答：解：f（x）=xe x⇒f′（x）=e x（x+1），令f′（x）＞0⇒x＞﹣1，∴函数f（x）的单调递增区间是[﹣1，+∞）；令f′（x）＜0⇒x＜﹣1，∴函数f（x）的单调递减区间是（﹣∞，﹣1），故﹣1是f（x）的微小值点．故选：B．点评：本题考查利用导数争辩函数单调性与极值问题，属基础题．8．曲线在点M （，0）处的切线的斜率为( )A ．B ．C ．D ．考点：利用导数争辩曲线上某点切线方程．专题：计算题；压轴题．分析：先求出导函数，然后依据导数的几何意义求出函数f（x）在x=处的导数，从而求出切线的斜率．解答：解：∵∴y'==y'|x==|x==故选B．点评：本题主要考查了导数的几何意义，以及导数的计算，同时考查了计算力量，属于基础题．9．函数f（x）的导数为f′（x），且满足关系式f（x）=x2+3xf′（2）+lnx，则f′（2）的值等于( ) A．﹣2 B．2 C ．D ．考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：首先对等式两边求导得到关于f'（2）的等式解之．解答：解：由关系式f（x）=x2+3xf′（2）+lnx，两边求导得f'（x）=2x+3f'（2）+，令x=2得f'（2）=4+3f'（2）+，解得f'（2）=；故选C．点评：本题考查了求导公式的运用；关键是对已知等式两边求导，得到关于f'（x）的等式，对x取2求值．10．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且A1A=3，则A1C的长为( )A ．B ．C ．D ．考点：棱柱的结构特征．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：用空间向量解答．解答：解：∵=+﹣；∴2=（+﹣）2；即2=•+•﹣•+•+•﹣•﹣（•+•﹣•）=1+0﹣3×1×cos60°+0+1﹣3×1×cos60°﹣（3×1×cos60°+3×1×cos60°﹣9）；=1﹣+1﹣﹣+9=5，∴A1C=．故选A．点评：本题考查了空间向量的应用，属于基础题．二、填空题（25分）11．若A（m+1，n﹣1，3），B （2m，n，m﹣2n），C（m+3，n﹣3，9）三点共线，则m+n=0．考点：三点共线．专题：计算题．分析：依据点A，B，C的坐标，分别求出的坐标，利用三点共线，可建立方程组，从而可求m+n的值解答：解：由题意，∵A（m+1，n﹣1，3），B （2m，n，m﹣2n），C（m+3，n﹣3，9）∴∵A（m+1，n﹣1，3），B （2m，n，m﹣2n），C（m+3，n﹣3，9）三点共线，∴∴（m﹣1，1，m﹣2n﹣3）=λ（2，﹣2，6）∴∴∴m+n=0故答案为：0点评：本题以点为载体，考查三点共线，解题的关键是求向量的坐标，利用向量共线的条件．12．i+i2+i3+…+i2022=0．考点：虚数单位i及其性质．专题：计算题．分析：利用虚数单位的性质，把i+i2+i3+…+i2022等价转化为503×（i+i2+i3+i4），由此能够求出结果．解答：解：i+i2+i3+…+i2022=503×（i+i2+i3+i4）=503×（i﹣1﹣i+1）=503×0=0．故答案为：0．点评：本题考查虚数单位的性质及其应用，是基础题．解题时要认真审题，认真解答．13．若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线x﹣y+1=0，则点P的坐标是（1，0）．考点：利用导数争辩曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：利用直线平行斜率相等求出切线的斜率，再利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率求出切线斜率，列出方程即得．解答：解：∵切线与直线x﹣y+1=0平行，∴斜率为1，∵y=xlnx，y'=1×lnx+x•=1+lnx∴y'（x0）=1∴1+lnx0=1，∴x0=1，∴切点为（1，0）．故答案为：（1，0）．点评：此题主要考查导数的计算，以及利用导数争辩曲线上某点切线方程，属于基础题．14．设f（x）=4x3+mx2+（m﹣3）x+n（m，n∈R）是R上的单调增函数，则m的值为6．考点：利用导数争辩函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：由函数为单调增函数可得f′（x）≥0，故只需△≤0即可．解答：解：依据题意，得f′（x）=12x2+2mx+m﹣3，∵f（x）是R上的单调增函数，∴f′（x）≥0，∴△=（2m）2﹣4×12×（m﹣3）≤0 即4（m﹣6）2≤0，所以m=6，故答案为：6．点评：本题考查函数的单调性，利用二次函数根的判别式小于等于0是解决本题的关键，属中档题．15．函数f（x）的导函数为f′（x），若对于定义域内任意x1、x2（x1≠x2），有恒成立，则称f（x）为恒均变函数．给出下列函数：①f（x）=2x+3；②f（x）=x2﹣2x+3；③f（x）=；④f（x）=e x；⑤f（x）=lnx．其中为恒均变函数的序号是①②．（写出全部满足条件的函数的序号）考点：导数的运算；命题的真假推断与应用．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：对于所给的每一个函数，分别计算和的值，检验二者是否相等，从而依据恒均变函数”的定义，做出推断．解答：解：对于①f（x）=2x+3，==2，=2，满足，为恒均变函数．对于②f（x）=x 2﹣2x+3，===x1+x2﹣2 =2•﹣2=x 1+x 2﹣2，故满足，为恒均变函数．对于③，==，=﹣=﹣，明显不满足，故不是恒均变函数．对于④f（x）=e x ，=，=，明显不满足，故不是恒均变函数．对于⑤f （x）=lnx，==，=，明显不满足，故不是恒均变函数．故答案为：①②．点评：本题主要考查函数的导数运算，“恒均变函数”的定义，推断命题的真假，属于基础题．三、解答题（75分）16．求函数y=（1+cos2x）3的导数．考点：简洁复合函数的导数．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：利用复合函数的导数公式计算即可．解答：解：∵y=（1+cos2x）3，∴y′=3（1+cos2x）2•（cos2x）′=3（1+cos2x）2•（﹣sin2x）•（2x）′=﹣6sin2x•（1+cos2x）2=﹣6sin2x•（2cos2x）2=﹣6sin2x•4cos4x=﹣48sinxcos5x．点评：本题考查复合函数的导数，考查正弦函数与余弦函数的二倍角公式，考查分析与运算力量，属于中档题．17．m 取何实数时，复数．（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：（1）由虚部等于0且实部分母不等于0列式求解m的值；（2）由虚部不等于0且实部分母不等于0列式求解m的值；（3）由实部等于0且虚部不等于0列式求解m的值．解答：解：（1）当，即，即m=5时，z的虚部等于0，实部有意义，∴m=5时，z是实数．（2）当，即时，z的虚部不等于0，实部有意义，∴当m≠5且m≠﹣3时，z是虚数．（3）当，即时，z为纯虚数，∴当m=3或m=﹣2时，z是纯虚数．点评：本题考查了复数的基本概念，考查了复数是实数、虚数、纯虚数的条件，关键是留意实部的分母不等于0，此题是基础的计算题．18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．（Ⅰ）求证：SB∥平面ACM；（Ⅱ）求证：平面SAC⊥平面AMN；（Ⅲ）求二面角D﹣AC﹣M的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）连结BD交AC于E，连结ME，由△DSB的中位线定理，得ME∥SB，由此能证明SB∥平面ACM．（Ⅱ）法一：由DC⊥SA，DC⊥DA，得DC⊥平面SAD，从而AM⊥DC，由等腰三角形性质得AM⊥SD，从而AM⊥平面SDC，进而SC⊥AM，由SC⊥AN，能证明平面SAC⊥平面AMN．法二：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能证明平面SAC⊥平面AMN．（Ⅲ）法一：取AD中点F，则MF∥SA．作FQ⊥AC于Q，连结MQ，由已知得∠FQM为二面角D﹣AC ﹣M的平面角，由此能求出二面角D﹣AC﹣M的余弦值．法二：分别求出平面ABCD的一个法向量和平面ACM的一个法向量，由此利用向量法能求出二面角D﹣AC ﹣M的余弦值．解答：（选修2一1第109页例4改编）（Ⅰ）证明：连结BD交AC于E，连结ME，∵ABCD是正方形，∴E是BD的中点．∵M是SD的中点，∴ME是△DSB的中位线．∴ME∥SB．…又ME⊂平面ACM，SB⊄平面ACM，∴SB∥平面ACM．…（Ⅱ）证法一：由条件有DC⊥SA，DC⊥DA，∴DC⊥平面SAD，且AM⊂平面SAD，∴AM⊥DC．又∵SA=AD，M是SD的中点，∴AM⊥SD．∴AM⊥平面SDC．SC⊂平面SDC，∴SC⊥AM．…由已知SC⊥AN，∴SC⊥平面AMN．又SC⊂平面SAC，∴平面SAC⊥平面AMN．…（Ⅱ）证法二：如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，由SA=AB，可设AB=AD=AS=1，则．∵，，∴，∴，即有SC⊥AM…又SC⊥AN且AN∩AM=A．∴SC⊥平面AMN．又SC⊂平面SAC，∴平面SAC⊥平面AMN．…（Ⅲ）解法一：取AD中点F，则MF∥SA．作FQ⊥AC于Q，连结MQ．∵SA⊥底面ABCD，∴MF⊥底面ABCD．∴FQ为MQ在平面ABCD内的射影．∵FQ⊥AC，∴MQ⊥AC．∴∠FQM为二面角D﹣AC﹣M的平面角．…设SA=AB=a，在Rt△MFQ 中，，∴．∴二面角D﹣AC﹣M 的余弦值为．…（Ⅲ）解法二：∵SA⊥底面ABCD，∴是平面ABCD 的一个法向量，．设平面ACM 的法向量为，，则即，∴令x=﹣1，则．…，由作图可知二面角D﹣AC﹣M为锐二面角∴二面角D﹣AC﹣M 的余弦值为．…点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，涉及到线线、线面、面面平行与垂直的性质的应用，考查向量法的合理运用，考查空间思维力量的培育，是中档题．19．已知复数z1=+（a2﹣3）i，z2=2+（3a+1）i（a∈R，i是虚数单位）．（1）若复数z1﹣z2在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；（2）若虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m=0的根，求实数m值．考点：复数代数形式的混合运算；复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：（1）由题设条件，可先通过复数的运算求出的代数形式的表示，再由其几何意义得出实部与虚部的符号，转化出实数a所满足的不等式，解出其取值范围；（2）实系数一元二次方程x2﹣6x+m=0的两个根互为共轭复数，利用根与系数的关系求出a的值，从而求出m的值．解答：解：（1）由条件得，z1﹣z2=（）+（a2﹣3a﹣4）i…由于z1﹣z2在复平面上对应点落在第一象限，故有…∴解得﹣2＜a＜﹣1…（2）由于虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m=0的根所以z1+==6，即a=﹣1，…把a=﹣1代入，则z1=3﹣2i ，=3+2i，…所以m=z1•=13…点评：本题考查复数的代数形式及其几何意义，解题的关键是依据复数的代数形式的几何意义得出参数所满足的不等式，同时考查了运算求解的力量，属于基础题．20．已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+b（a，b∈R）．（1）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a，b的值；（2）若f（x）为R上的单调递增函数，求a的取值范围．考点：利用导数争辩函数的单调性；利用导数争辩曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）由题意可得，解得即可．（2）由f（x）为R上的单调递增函数，可得f′（x）=3x2+2ax+a+6≥0在R上恒成立．可得△=4a2﹣12（a+6）≤0，解得即可解答：解：（1）由题意可得，解得．（2）∵f（x）为R上的单调递增函数，∴f′（x）=3x2+2ax+a+6≥0在R上恒成立．∴△=4a2﹣12（a+6）≤0，解得﹣3≤a≤6．∴a的取值范围是[﹣3，6]．点评：娴熟把握利用导数争辩函数的单调性及其导数的几何意义是解题的关键．21．已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）+，求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）若g（x）=﹣，在[1，e]（e=2.71828…）上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，求a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数争辩函数的单调性；利用导数争辩曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出切点（1，1），求出，然后求解斜率k，即可求解曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程．（Ⅱ）求出函数的定义域，函数的导函数，①a＞﹣1时，②a≤﹣1时，分别求解函数的单调区间即可．（Ⅲ）转化已知条件为函数在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0，利用第（Ⅱ）问的结果，通过①a≥e﹣1时，②a≤0时，③0＜a＜e﹣1时，分别求解函数的最小值，推出所求a的范围．解答：解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，f（1）=1，切点（1，1），∴，∴k=f′（1）=1﹣2=﹣1，∴曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．（Ⅱ），定义域为（0，+∞），，①当a+1＞0，即a＞﹣1时，令h′（x）＞0，∵x＞0，∴x＞1+a令h′（x）＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1+a．②当a+1≤0，即a≤﹣1时，h′（x）＞0恒成立，综上：当a＞﹣1时，h（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增．当a≤﹣1时，h（x）在（0，+∞）上单调递增．（Ⅲ）由题意可知，在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）≤0，即函数在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0．由第（Ⅱ）问，①当a+1≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，∴，∴，∵，∴；②当a+1≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，∴[h（x）]min=h（1）=1+1+a≤0，∴a≤﹣2，③当1＜a+1＜e，即0＜a＜e﹣1时，∴[h（x）]min=h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）≤0，∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，∴h（1+a）＞2此时不存在x0使h（x0）≤0成立．综上可得所求a 的范围是：或a≤﹣2．点评：本题考查函数的导数的综合应用，曲线的切线方程函数的单调性以及函数的最值的应用，考查分析问题解决问题得到力量．。

高二下学期期中数学(理)真题02-(试卷配答案)

寄语：亲爱的小朋友，在学习过程中，的挑战就是逐级攀升的难度。

即使每一级都很陡峭，只要我们一步一个脚印地向上攀登，一层又一层地跨越，最终才能实现学习的目标。

祝愿你在学习中不断进步！相信你一定会成功。

相信你是最棒的！期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}{}0,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,5,1,2,4,6U A B ===，则=⋃B A C U )( A ．{4,6} B ．{1,2,4,6,7}C ． {0,1,2,4,6,7}D ．{0,4,6,7}2．设复数,在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则 1z 2z 13z i =+12z z =A ．10B ．C ．D ．-109i --9i -+3．已知向量，若，则 )4,(),3,2(x b a ==)(b a a -⊥x = A ．B ．1C ．2D ．3214．等比数列{}的前n 项和为，已知，=9，，则=n a n S 32110S a a =+5a 1a A ．B ．C ．D ．131913-19-5．设，为两个平面，则的充要条件是 αβ//αβ()A ．内有无数条直线与平行 B ．内有两条相交直线与平行 αβαβC ．，平行于同一条直线 D ．，垂直于同一平面 αβαβ6. 设，则“”是“”的（）a ∈R 1a >2a a >A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则12,F F 22:13y C x -=O P C ||2OP =的面积为（）12PF F △A ．B ．2C ．D ．372528. 的展开式中的系数为252()x x+4x A ．10B ．20C ．40D ．8029．已知满足约束条件，若目标函数的最大值为3，y x ,⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤--≥++00202m y y x y x y x z -=2则实数m 的值为 A ．-1B ．0C ．1D ．210．设，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且面积为，A B C D ABC ∆93则三棱锥体积的最大值为 D ABC -()A ．B ．C ．D ．18312324354311．已知函数在区间上是增函数，且在)0(sin )42(cos sin 2)(22>--=ωωπωωx x x x f ]65,32[ππ-区间上恰好取得一次最大值，则的范围是 ],0[πωA ．B ．C ．D ．]53,0(]53,21[]43,21[)25,21[12．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，满足'()()f x f x <，且(2)f x +为偶函数，(4)1f =，则不等式()x f x e <的解集为 A ．(,0)-∞B ．()4,e +∞C ．()4,e-∞D ． (0,)+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．的内角的对边分别为，若，则__ __． ABC ∆C B A ,,c b a ,,1,135cos ,54cos ===a B A =b 14．已知函数,若,则__________．1)1ln()(2+++=x x x f 2)(=a f =-)(a f 15．古浪二中高二年级4名同学到土门3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种．16．已知四边形ABCD 为矩形，AB=2AD=4，M 为AB 的中点，将沿DM 折起，得到四棱ADM ∆锥，设的中点为N ，在翻折过程中，得到如下三个命题： DMBC A -1C A 1①，且的长度为定值； DM A //1平面BN BN 5②三棱锥的体积最大值为； DMC N -322③在翻折过程中，存在某个位置，使得 C A DM 1⊥其中正确命题的序号为__________．如，与交于点．将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，60BAD ∠= AC BD O ABCD AC B ACD -点是棱的中点，． M BC 62DM =（1）求证：平面⊥平面； ODM ABC （2）求二面角的余弦值． M AD C --如图，在四棱锥的取值范围.（2）∵f （A ）＝2sin （2A 6π-）＝2，∴sin （2A 6π-）＝1，∵A ∈（0，π），2A 6π-∈（6π-，116π），∴2A 62ππ-=，解得A 3π=，…8分∵C 4π=，c ＝2，∴由正弦定理a csinA sinC=，可得a 322622c sinA sinC ⨯⋅===， …10分∴由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，可得6＝b 2+4﹣2122b ⨯⨯⨯，解得b ＝13+，（负值舍去）， …11分 ∴S △ABC 12=ab sin C 162=⨯⨯（13+）23322+⨯=． …12分19.解：（1）证明：ABCD 是菱形，,OD AC ⊥ ………1分 AD DC ∴=ADC ∆中，12,120AD DC ADC ==∠= , ∴6OD =又M 是BC 中点， 16,622OM AB MD ∴=== ………3分 222,OD OM MD DO OM +=∴⊥ ,OM AC ⊂面,,ABC OM AC O OD =∴⊥ 面ABC ………5分又平面OD ⊂ODM 平面⊥平面………6分∴ODM ABC （2）由题意，, 又由（Ⅰ）知建立如图所示空间直角坐,OD OC OB OC ⊥⊥OB OD ⊥标系，由条件易知 ……7分()()()6,0,0,0,63,0,0,33,3D A M - 故设平面的法向量，则)0,36,6(),3,39,0(==AD AM MAD ),,(z y x m = 即令，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AD m AM m 93306630y z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩3y =-3,9x z == 所以， ………9分 )9,3,3(-=m 由条件易证平面，故取其法向量为 ………10分 OB ⊥ACD )1,0,0(=n 所以， ………11分31933||||,cos =⋅>=<n m n m n m20则有2222212c a ⎛⎫⎪⎝⎭+=，2234c a ∴=，又22222a b c c =+=+，28a ∴=，26c =，因此，椭圆C 的标准方程为22182x y +=；……4分（2）当AB x ⊥轴时，M 位于x 轴上，且OM AB ⊥，由2OM =可得6AB =，此时132AOB S OM AB ∆=⋅=； ……5分当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为y kx t =+，与椭圆交于()11,A x y ，()22,B x y ，由22182x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222148480k x ktx t +++-=. 122814kt x x k -∴+=+，21224814t x x k-=+，从而224,1414kt t M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭ ……7分已知2OM =，可得()2222214116k t k+=+. ……8分()()()22222212122284814141414kt t AB k x x x x k k k ⎡⎤--⎛⎫⎡⎤=++-=+-⨯⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()()222221682114k t k k -+=++.设O 到直线AB 的距离为d ，则2221t d k=+， ()()()222222221682114114AOBk t t S k k k ∆-+=+⋅++. …10分将()2222214116k t k+=+代入化简得()()2222219241116AOB k k S k ∆+=+.令2116k p +=，则()()()22222211211192414116AOBp p k k S p k ∆-⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭==+211433433p ⎡⎤⎛⎫=--+≤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.当且仅当3p =时取等号，此时AOB ∆的面积最大，最大值为2.综上：AOB ∆的面积最大，最大值为2. ……12分22.解（1）………1分)2)(1()1(2)1()('a e x x a e x x f x x ++=+++=（ⅰ）时，当时，；当时， 0≥a )1,(--∞∈x 0)('<x f ),1(+∞-∈x 0)('>x f 所以f(x)在单调递减，在单调递增； ……2分 )1,(--∞),1(+∞-（ⅱ）时 0<a ①若，则，所以f(x)在单调递增；……3分 ea 21-=))(1()('x x e e x x f --+=),(+∞-∞②若，则，故当时，， ea 21->1)2ln(-<-a ),1())2ln(,(+∞---∞∈ a x 0)('>x f ，；所以f(x)在单调递增，在 )1),2(ln(--∈a x 0)('<x f ),1()),2ln(,(+∞---∞a 单调递减； ………5分)1),2(ln(--a ③若，则，故当，， ea 21-<1)2ln(->-a )),2(ln()1,(+∞---∞∈a x 0)('>x f ，；所以f(x)在单调递增，在 ))2ln(,1(a x --∈0)('<x f )),2(ln(),1,(+∞---∞a 单调递减； ………6分))2ln(,1(a --（2）（ⅰ）当a>0,则由（1）知f(x)在单调递减，在单调递增， )1,(--∞),1(+∞-又，，取b 满足，且， 01)1(<-=-e f 0)0(>=a f 1-<b 2ln 2a b <-则，所以f(x)有两个零点；………8分 0)23()1()2(2)2(22>-=-+->-b b a b a b a b f （ⅱ）当a=0,则，所以f(x)只有一个零点 ………9分 x xe x f =)(（ⅲ）当a<0,①若,则由（1）知，f(x)在单调递增。

高二下学期期中考试数学(理)答案

答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A={x|0＜x＜2}，B={x|x2≥1}={x|x≥1或x≤-1}，∴∁R B={x|-1＜x＜1}，∴A∩（∁R B）={x|0＜x＜1}．故选：B．根据补集、交集的定义即可求出．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.【答案】D【解析】解：∵（2a+i）（1+i）=（2a-1）+（2a+1）i在复平面内所对应的点在虚轴上，∴2a-1=0，即a=．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求得a值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】B【解析】解：设“从正方形ABCD中任取一点P，则点P落在该圆中“为事件A，由几何概型中的面积型可得：P（A）===，故选：B．由几何概型中的面积型及圆、正方形的面积公式得：P（A）===，得解．本题考查了几何概型中的面积型及圆、正方形的面积公式，属中档题．4.【答案】A【解析】解：函数f（-x）=-xcos（-x）-（-x）3=-xcosx+x3=-f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，f（）=cos-（）3=-（）3＜0，排除B，故选：A．判断函数的奇偶性和图象的对称性，利用特殊值进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系以及特殊值，结合排除法是解决本题的关键．5.【答案】B【解析】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若2a2为3a1和a3的等差中项，则有2×2a2=3a1+a3，变形可得4a1q=3a1+a1q2，即q2-4q+3=0，解得q=1或3；又a2-a1=2，即a1（q-1）=2，则q=3，a1=1，则a n=3n-1，则有a4=33=27；故选：B．根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，由2a2为3a1和a3的等差中项，可得2×2a2=3a1+a3，利用等比数列的通项公式代入化简为q2-4q+3=0，解得q，又a2-a1=2，即a1（q-1）=2，q≠1，分析可得a1、q的值，解可得数列{a n}的通项公式，将n=4代入计算可得答案．本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：由茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大，由茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为=0.1，=0.16，故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率得估计值分别为0.1，0.16，故A，B，C错误；由茎叶图知，50位市民对甲部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数是75，所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是75．50位市民对乙部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是66，68，故样本的中位数是=67，所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是67，故D正确；故选：D．根据茎叶图的知识以及样本来估计总体，进行合理的评价，恰当的描述即可．本题主要考查了茎叶图的知识，以及中位数，用样本来估计总体的统计知识，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象，可得A=1，•=-，∴ω=2．再利用五点法作图可得2•+φ=π，求得φ=，∴f（x）=sin（2x+）．为了得到g（x）=sin（ωx+）=sin（2x+）的图象，只需将f（x）的图象上所有点向右平移个单位长度，即可，故选：A．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）得解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由程序框图可得：m=2a-3，当i的值为1时，m=2（2a-3）-3=4a-9，当i的值为2时，m=2（4a-9）-3=8a-21，当i的值为3时，m=2（8a-21）-3=16a-45，当i的值为4时，m=2（16a-45）-3=32a-93，此时不满足循环条件，输出m=32a-93=67，解得：a=5．故选：C．模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出m值时对应a的值．本题考查了模拟实验法解程序框图的应用问题，是基础题．9.【答案】C【解析】解：该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，视图表示的是几何体水平放置时的情形，其表面积S=2π×12+π×12+π×2+2×2=4+5π．该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，利用三视图的数据求解几何体的表面积，然后推出结果．本题考查三视图求解几何体的表面积，考查空间想象能力以及计算能力．10.【答案】C【解析】解：当甲成立，即“相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内”时，若“l、m中至少有一条与平面β相交”，则“平面α与平面β相交”成立；若“平面α与平面β相交”，则“l、m中至少有一条与平面β相交”也成立故选：C．判断乙是丙的什么条件，即看乙⇒丙、丙⇒乙是否成立．当乙成立时，直线l、m中至少有一条与平面β相交，则平面α与平面β至少有一个公共点，故相交相交．反之丙成立时，若l、m中至少有一条与平面β相交，则l∥m，由已知矛盾，故乙成立．本题考查空间两条直线、两个平面的位置关系判断、充要条件的判断，考查逻辑推理能力．11.【答案】B【解析】解：由f（x）=2x-1+2x+3=0得2x-1=-2x-3，即2x=-4x-6，作出函数y=2x与y=-4x-6的图象如图，（黑色图象），由图象知两个图象交点的横坐标x1满足-2＜x1＜-1，由g（x）=x-x-1=0得x-1=x，作出y=x-1和y=x的图象如图（红色图象）由图象知两个图象交点的横坐标x2满足2作出h（x）=（）x和y=，的图象如图（蓝色图象）由图象知两个图象交点的横坐标x3满足1＜x2＜2，综上x1，x2，x3的大小关系为x1＜x3＜x2，故选：B．利用函数与方程的关系，分别转化为y=2x与y=-4x-6的图象，y=x-1和y=x的图象，h（x）=（）x和y=的图象，利用数形结合研究x1，x2，x3的范围即可得到结论．本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为两个函数图象交点问题，利用数形结合求出对应究x1，x2，x3的范围是解决本题的关键．12.【答案】B【解析】解：设MF1与圆相切于点E，因为|MF2|=|F1F2|=2c，所以△MF1F2为等腰三角形，N为MF1的中点，所以|F1E|=|MF1|，又因为在直角△F1EO中，|F1E|2=|F1O|2-a2=c2-a2，所以|F1E|=b=|MF1|①又|MF1|=|MF2|+2a=2c+2a ②，c2=a2+b2③由①②③可得c2-a2=（）2，即为4（c-a）=c+a，即3c=5a，b===a，则双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±x．故选：B．先设MF1与圆相切于点E，利用|MF2|=|F1F2|，及直线MF1与圆x2+y2=a2相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的渐近线方程．本题考查直线与圆相切，考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，注意运用平面几何的性质，考查运算能力，属于中档题．13.【答案】3【解析】解：∵||=2，是单位向量，且与夹角为60°，∴•（-）=-•=4-2×1×=3，故答案为：3．依题意，利用平面向量的数量积即可求得•（-）的值．本题考查平面向量数量积的运算，掌握平面向量的数量积的运算性质及定义是解决问题的关键，属于中档题．14.【答案】80【解析】解：（2x-）5的展开式中，通项公式T r+1=（2x）5-r=（-1）r25-r，令5-r=2，解得r=2．∴x2的系数=23=80．故答案为：80．利用通项公式即可得出．本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】（x-2）2+（y-√3）2=4【解析】解：∵抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，∴|PF|=|PA|，F（1，0），准线l的方程为：x=-1；设F在l上的射影为F′，又PA⊥l，依题意，∠AFF′=60°，|FF′|=2，∴|AF′|=2，PA∥x轴，∴点P的纵坐标为2，设点P的横坐标为x0，（2）2=4x0，∴x0=3，∴|PF|=|PA|=x0-（-1）=3-（-1）=4．故以PF为直径的圆的圆心为（2，），半径为2．以PF为直径的圆的标准方程为（x-2）2+（y-）2=4故答案为：（x-2）2+（y-）2=4．利用抛物线的定义，|PF|=|PA|，设F在l上的射影为F′，依题意，可求得|FF′|，|AF′|，从而可求得点P的纵坐标，代入抛物线方程可求得点P的横坐标，从而可求得|PA|．本题考查抛物线的简单性质，考查转化思想，考查解三角形的能力，属于中档题．16.【答案】200201【解析】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．则：，解得：a1=1，所以：a n=1+2（n-1）=2n-1，所以：b n=（-1）n-1=，所以：，==，故答案为：首项利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．17.【答案】解：（Ⅰ）∵∠BAD=60°，∠BAC=90°，∴∠DAC=30°，在△ADC中，由正弦定理可得：DCsin∠DAC =ACsin∠ADC，∴sin∠ADC=ACDC sin∠DAC=√32，∴∠ADC=120°，或60°，又∠BAD=60°，∴∠ADC=120°（Ⅱ）∵BD=2DC，∴BC=3DC，在△ABC中，由勾股定理可得：BC2=AB2+AC2，可得：9DC2=6+3DC2，∴DC=1，BD=2，AC=√3，令∠ADB=θ，由余弦定理：在△ADB中，AB2=AD2+BD2-2AD•BD•cosθ，在△ADC中，AC2=AD2+CD2-2AD•CD•cos（π-θ），可得：{3=AD2+1+2ADcosθ6=AD2+4−4ADcosθ，∴解得：AD2=2，可得：AD=√2.【解析】（Ⅰ）由已知可求∠DAC=30°，在△ADC 中，由正弦定理可得sin ∠ADC=，即可解得∠ADC=120°．（Ⅱ）由已知在△ABC 中，由勾股定理可得DC=1，BD=2，AC=，令∠ADB=θ，由余弦定理，即可解得AD 的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】证明：（1）∵平面四边形ABCD ，AB ⊥BD ，AB =BC =CD =2，BD =2√2，面ABD ⊥面BCD ，AB ⊥BD ，面ABD ∩平面BCD =BD ，∴AB ⊥面BCD ，∴AB ⊥CD ，又AC 2=AB 2+BC 2=8，AD 2=AB 2+BD 2=12，AD 2=AC 2+CD 2=12，∴AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，AC ⊥CD ，∵AC ∩AB =A ，∴CD ⊥平面ABC ．解：（2）AB ⊥面BCD ，如图以B 为原点，在平面BCD中，过B 作BD 的垂线为x 轴，以BD 为y 轴，以BA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则B （0，0，0），A （0，0，2），C （√2，√2，0），D （0，2√2，0），∵E 是AD 的中点，∴E （0，√2，1），∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（√2，√2，0），BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，√2，1），令平面BCE 的一个法向量为n⃗ =（x ，y ，z ），则{n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x +√2y =0n⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2y +z =0，取x =1，得n ⃗ =（1，-1，√2）， ∵CD ⊥面ABC ，∴平面ABC 的一个法向量为CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-√2，√2，0），∴cos ＜n ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞=n ⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√22， ∴二面角E -BC =A 的大小为45°．【解析】（1）推导出AB ⊥面BCD ，从而AB ⊥CD ，再求出AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，AC ⊥CD ，由此能证明CD ⊥平面ABC ．（2）以B 为原点，在平面BCD 中，过B 作BD 的垂线为x 轴，以BD 为y 轴，以BA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-BC=A 的大小．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意知X的可能取值为100，300，500，P（X=100）=2+16=0.2，90=0.4，P（X=300）=3690=0.4，P（X=500）=25+7+490∴X的分布列为：E（X）=100×0.2+300×0.4+500×0.4=340．（Ⅱ）由题意知六月份这种饮料的进货量n满足100≤n≤500，当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y=5n-3n=2n，若最高气温位于[20，25），则Y=5×300+2（n-300）-3n=900-n，若最高气温低于20，则Y=5×100+2（n-100）-3n=300-n，∴E（Y）=2n×0.4+（900-n）×0.4+（300-n）×0.2=420+0.2n，此时，n=500时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元，当100≤n≤300时，若最高气温不低于25，则Y=5n-3n=2n，若最高气温位于[20，25），则Y=5n-3n=2n，若最高气温低于20，则Y=5×100-（n-100）-300=300-n，∴E（Y）=2n×（0.4+0.4）+（300-n）×0.2=60+1.4n，此时，n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为480元，∴n=340时，Y的数学期望值为：420+0.2×340=488不是最大值，n=500时，y的数学期望达到最大值，最大值为520元．【解析】（Ⅰ）由题意知X的可能取值为100，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．（Ⅱ）六月份这种饮料的进货量n 满足100≤n≤500，当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y=5n-3n=2n ，若最高气温位于[20，25），则Y=5×300+2（n-300）-3n=900-n ，若最高气温低于20，则Y=5×100+2（n-100）-3n=300-n ，求出E （Y ）=420+0.2n ，当n=500时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元；当100≤n≤300时，若最高气温不低于25，则Y=5n-3n=2n ，若最高气温位于[20，25），则Y=5n-3n=2n ，若最高气温低于20，则Y=5×100-（n-100）-300=300-n ，E （Y ）=60+1.4n ，n=300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为480元．由此能求出n=500时，y 的数学期望达到最大值，最大值为520元．本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得{12c ×1=√34a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，解得a 2=6，b 2=3，故椭圆C 的方程为x 26+y 23=1，证明（Ⅱ）：设直线AP 的斜率为k ，则直线BP 的斜率为-k ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线PA 的方程为y +1=k （x -2），即y =kx +1-2k联立{y =kx +1−2k x 26+y 23=1，得（1+2k 2）x 2+4（k -2k 2）x +8k 2-8k -4=0．∴2x 1=8k 2−8k−41+2k 2，即x 1=4k 2−4k−21+2k 2设直线PB 的方程为y +1=-k （x -2），同理求得x 2=4k 2+4k−21+2k 2∴x 2-x 1=-8k 1+2k 2∴y 1-y 2=k （x 1+x 2）+2-4k =8k 1+2k 2，∴直线AB 的斜率k AB =y 2−y 1x 2−x 1=1，易知l 与在两坐标轴的截距绝对值相等且都不为0，∴直线AB 与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形【解析】（Ⅰ）由题意可得，解得a2=6，b2=3，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设直线PA的方程为y+1=k（x-2），联立直线方程和椭圆方程，求得A的横坐标，同理求得B的横坐标，进一步求得A、B的纵坐标的差，代入斜率公式得答案．本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．21.【答案】解：（1）∵f(x)=12x2−2x+mlnx+2，(x＞0)，∴f′(x)=x−2+mx =x2−2x+mx，令g（x）=x2-2x+m，∵m＜1，∴△=4-4m＞0，令f’（x）=0则x=1±√1−m，当1−√1−m≤0，即m≤0时，令f’（x）＜0则x∈(0，1+√1−m)；令f’（x）＞0则x∈(1+√1−m，+∞)．此时函数在(0，1+√1−m)上单调递减；在(1+√1−m，+∞)上单调递增．当1−√1−m＞0，即0＜m＜1时，令f’（x）＜0，则x∈(1−√1−m，1+√1−m)；令f’（x）＞0则x∈(0，1−√1−m)∪(1+√1−m，+∞)，此时函数在(1−√1−m，1+√1−m)上单调递减；在(0，1−√1−m)和(1+√1−m，+∞)上单调递增．（2）由（1）知，若f（x）有两个极值点，则0＜m＜1且x1=1−√1−m∈(0，1)，x2=1+√1−m∈(1，2)，又x1，x2是x2-2x+m=0的两个根，则x1+x2=2，m=2x1−x12，∴f(x1)x2=12x12−2x1+2+(2x1−x12)lnx12−x1=12(2−x1)+x1lnx1，令ℎ(t)=12(2−t)+tlnt，t∈(0，1)，则ℎ′(t)=lnt+12，令h’（t）＜0，则t∈(0√e )，令h’（t）＞0，则t∈(√e1)，所以h（t）在(0e )上单调递减；在(e1)上单调递增．∴ℎ(t)≥ℎ(√e )=1−√e，∵ℎ(1)=12；t→0，ℎ(t)→1，∴h（t）＜1，得证．【解析】（1）首先求得导函数，然后分类讨论确定函数的单调性即可；（2）首先确定x1，x2的范围，然后结合题意证明题中的不等式即可．本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的极值，利用导数证明不等式的方法等知识，属于中等题．22.【答案】解：（Ⅰ）当θ0=3π4时，联立{θ=3π4ρ=4cosθ得A（-2√2，3π4）；同理得B（2√6，3π4），由极径的几何意义有|AB|=2√6-（-2√2）=2√6+2√2．（Ⅱ）由已知令P（ρ，θ），A（ρ1，θ），B（ρ2，θ），∵ρ1=4cosθ，ρ2=4√3sinθ，P为AB的中点，∴ρ=ρ1+ρ22=2cosθ+2√3sinθ，即ρ2=2ρcosθ+2√3sinθ，所以P点的轨迹的直角坐标方程为x2+y2-2x-2√3y=0，因为直线l不与坐标轴重合，所以需去掉（1，0），（0，√3）．【解析】（Ⅰ）用直线l的极坐标方程分别代入C1，C2的极坐标方程，再根据极径的几何意义可得；（Ⅱ）先求出AB的中点的轨迹的极坐标方程，再化成直角坐标方程．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）f （x ）={3x −2，x ≥3x +4，−12＜x ＜32−3x ，x ≤−12，其图象为（2）关于x 的不等式f （x ）≥|x -m |的解集包含[4，5]，即|2x +1|+|x -3|≥|x -m |在x ∈[4，5]上恒成立，∴|x -m |≤3x -2，即2-3x ≤m -x ≤3x -2，∴2-2x ≤m ≤4x -2，x ∈[4，5]上恒成立，∴-6≤m ≤14，故m ∈[-6，14]．【解析】（1）f （x ）=，画图即可，（2）关于x 的不等式f （x ）≥|x -m|的解集包含[4，5]，可得|x-m|≤3x -2在x ∈[4，5]上恒成立，解得即可本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，数形结合思想，是一道常规题．。

高二下册期中考试数学试题(理)有答案

第二学期其中考试试卷高二数学理科第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、计算复数2(ii i-是虚数单位） A ．12i + B ．12i -+ C ．12i -- D ．12i -2、函数21y x =-的图象上一点(1,0)处的切线的斜率为A ．1B ．2C ．0D ．-13、由①上行的对角线互相垂直；②菱形的对角线互相垂直；③正方形是菱形，写出一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的分别为A ．②①③B ．③①②C ．①②③D ．②③① 4、设()ln f x x x =，若0(3)f x '=，则0x = A ．2e B ．e C ．ln 22D ．ln 2 5、20cos xdx π⎰等于A ．3-B ．12C ．3D ．12- 6、若()sin cos f x x α=-，则()f α'等于A ．sin αB ．cos αC ．sin cos αα+D ．2sin α 7、函数()(3)x f x x e =-的单调区间是A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．()1,4D ．()0,38、设函数()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是9、函数3239(04)y x x x x =--<<有A ．极大值5，极小值-27B ．极大值5，极小值-11C ．极大值5，无极小值D ．极小值-27，无极大值 10、已知函数()f x 在R 上满足()122(2)x f x f x e x -=-++，则()1f '=A ．2B ．3C ．-1D ．1第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

. 11、核黄素()sin 2f x x =，则函数的导函数为()f x '= 12、复数12,z i z =-=13、在ABC ∆中，不等式1119A B C π++≥成立，在四边形ABCD 中，不等式1111162A B C D π+++≥成立；在五边形ABCDE 中，不等式11111253A B C D E π++++≥成立，猜想在n 边形12n A A A 中，有不等式成立。

2021-2022年高二下学期期中统一考试数学(理)试题 Word版含答案

2021-2022年高二下学期期中统一考试数学（理）试题 Word 版含答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求的． 1．复数z 满足z ＝2－i1－i，则z 等于( ) A ．1＋3i B ．3－i C.32－12iD.12＋32i 2.函数的单调减区间是（）A ．(0，2) B. (0，3) C. (0，1) D. (0，5)3. 已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且BC 边经过椭圆的另外一个焦点，则△ABC 的周长是（）A ． B. C. D. 4. 变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.Z ＝yx，则Z 的最小值为（）A ．225B ．25 C ．1D ．5.在中，045,B c b ===，那么A ＝（） A ． B. C. 或 D.6.函数y ＝f (x )在定义域⎝⎛⎭⎫－32，3内可导，其图象如下图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为( )A. ⎣⎡⎦⎤－32，12∪[1,2)B.⎣⎡⎦⎤－1，12∪⎣⎡⎦⎤43，83 C. ⎝⎛⎦⎤－32，－1∪⎣⎡⎦⎤12，43∪⎣⎡⎦⎤83，3 D. ⎣⎡⎦⎤－13，1∪[2,3)7.“a ＞0”是“|a |＞0”的( )A ．充分不必要条件B.必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8.下图是一组有规律的图案，第（1）个图案由4个基础图形组成，第（2）个图案由7个基础图形组成，……，第（670）个图案中的基础图形个数有( ) A 、xx B 、xx C 、xx D 、xx二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9. 抛物线的焦点坐标是_ _ _10. 命题：，则11. 若平面α，β的法向量分别为＝(－1,2,4)，＝(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为 12.13. 已知等比数列．．．．的公比q=2，其前4项和，则等于__ __ 14.已知，则函数的最大值是。

高二下学期期中联考数学(理)试题Word版含答案

高二数学试题（理科）（本试卷满分150分，时间：120分钟）一.选择题（每小题5分，共60分）1. 若i 是虚数单位，则复数2018(23)z i i =⋅-的虚部等于（）A. 2B. 3C. 3iD. 3-2.61()2x x +的展开式中，常数项等于（）A. 52B. 1516 C. 20 D. 1603. 《论语·子路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足”，所以，名不正，则民无所措手足.上述推理过程用的是（）A. 类比推理B. 归纳推理C. 演绎推理D. 合情推理4. 某班准备从甲、乙、丙等6人中选出4人在班会上发言介绍学习经验，要求甲、乙、丙三人中至少有两人参加，那么不同的发言顺序有（）A ．18种B ．12种C ． 432种D ．288种5. 若纯虚数z 满足(12)z i a i -=+,其中a R ∈,i 是虚数单位，则实数a 的值等于（）A. 2-B.12-C. 2D. 126. 若函数2()1x a f x x -=+在2x =-取得极值，则函数()f x 的单调递减区间是（） A.(,2)-∞-和(0,)+∞ B.(2,0)- C.(2,1)--和(1,0)- D. (2,1)--7. 在等差数列{}n a 中，如果,,,m n p r N *∈，且3m n p r ++=，那么必有3m n p r a a a a ++=，类比该结论，在等比数列{}n b 中, 如果,,,m n p r N *∈，且3m n p r ++=，那么必有（）A ．3m n p rb b b b ++= B.3m n p r b b b b ++= C.3m n p rb b b b = D.3m n p r b b b b =8. 若一条曲线上任意一点处的切线的斜率均为正数，则称该曲线为“升曲线”.已知函数()f x 定义域为R ，且满足'()()f x f x >，则下列曲线中是“升曲线”的是（）A. ()y xf x =B.()xy e f x = C. ()f x y x =D. ()xf x y e =9. 利用数学归纳法证明不等式1111++1()232nn n N n *+++<∈-的过程中，由n k =到1n k =+时，不等式的左边增加的项数为（）A.1B.21k -C. 2kD. k10．已知函数3()3f x x x m =-+，若方程()0f x =有两个相异实根12,x x ，且120x x +<，则实数m 的值等于（）A. 2-或2B. 2-C. 2D. 011. 已知03cos()2m x dx ππ=-⎰，则23)mx y z -+(的展开式中，2m x yz -项的系数等于（）A. 180B. 180-C. 90-D. 1512. 若直线y ax b =+与曲线()ln 1f x x =-相切，则ba 的最小值为（）A.21e -B. 2e -C. e -D. 1e -二.填空题（每小题5分，共20分）13. 若i 是虚数单位，复数z 满足121zii =+-，则复数z 在复平面内对应点的坐标为________.14.观察下列各式：11=，141123+=+，1131121232++=+++，111811212312345+++=++++++，由此可猜想，若1111+12123123+10m+++=++++++，则m =__________.15. 在某班举行的“庆五一”联欢晚会开幕前已排好有8个不同节目的节目单，如果保持原来的节目相对顺序不变，临时再插进去,,A B C 三个不同的新节目，且插进的三个新节目按,,A B C 顺序出场，那么共有__________种不同的插入方法(用数字作答)．16. 若函数21()ln 22f x x ax x=--存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是——————.三.解答题（共6小题，满分70分）17. （本小题满分10分）已知i 是虚数单位，复数z 的共轭复数是z ，且满足521i z z i ++=+.（I ）求复数z 的模||z ；（II ）若复数(2)z mi -在复平面内对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围.18. （本小题满分12分）已知01a b <<<. （I ）试猜想ln a b +与ln b a +的大小关系；（II ）证明（I ）中你的结论.19. （本小题满分12分）若(21)nx -的展开式中第3项的系数是第5项的系数的4倍.（I ）求n 的值；（II ）若2012(21)(45)(45)(45)n nn x a a x a x a x -=+-+-++-，求024na a a a ++++的值.20. （本小题满分12分）已知函数ax x e x f x --=2)(的图像在0=x 处的切线方程为2y x b =+.（I ）求实数,a b 的值；（II ）若函数'()1()f x g x x -=，求()g x 在(0,)+∞上的极值.21. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S，且满足3(,,0)2n n S a b n N b R b *=+∈∈≠.（I ）求证：{}n a 是等比数列；（II ）求证：{}1n a +不是等比数列.22. （本小题满分12分）已知函数()()()2ln ,.f x a x xg x x =+=（I ）当2a =-时，求函数()()()h x f x g x =+的单调区间；（II ）当0a >时，若对于区间[]1,2上的任意两个不相等的实数12,x x ，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求实数a 的取值范围.高二数学试题（理科）参考答案及评分标准一.选择题1.B2. A3. C4. D5. C6. C7. D8. D9. B 10. C 11. B 12. C 二.填空题13.(3,1)- 14. 2011 15. 165 16. (1,)-+∞三.解答题17. 解析：（I ）设复数(,)z x yi x y R =+∈，则z x yi =-， ---------1分于是(5)(1)2()(1)(1)i i x yi x yi i i +-++-=+-，即332x yi i -=-， ---------3分所以332x y =⎧⎨-=-⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，即12z i =+. ---------5分故||z ==. ---------6分（II ）由（I ）得(2)(12)(2)(22)(4)z mi i mi m m i -=+-=++-， ---------8分由于复数(2)z mi -在复平面内对应的点在第一象限，所以22040m m +>⎧⎨->⎩，解得14m -<<. ---------10分 18. 解：（I ）取211,a b e e ==，则21ln 1a b e +=-，1ln 2b a e +=-，则有ln ln a b b a +>+；再取3211,a b e e ==，则31ln 2a b e +=-，21ln 3b a e +=-，则有ln ln a b b a +>+.故猜想ln ln a b b a +>+. ---------4分（II ）令()ln f x x x =-，则'1()1f x x =-，当01x <<时，'1()10f x x =-<，即函数()f x 在(0,1)上单调递减， ---------7分又因为01a b <<<，所以()()f a f b >，即ln ln a a b b ->-， ---------10分故ln ln a b b a +>+. ---------12分19. 解：（I ）(21)nx -展开式的通项1(2)(1)(1)2r n r r r r n r n r r n n T C x C x ---+=-=-⋅，0,1,2,,r n=.---------1分因此第3项的系数是222(1)2n n C --,第5项的系数444(1)2n n C --, ---------3分于是有222(1)2n n C --4444(1)2n nC -=-, ---------4分整理得24n nC C =，解得6n =. ---------6分（II ）由（I ）知6260126(21)(45)(45)(45)x a a x a x a x -=+-+-++-.令451x -=，即32x =，得60123456264a a a a a a a ++++++==， ---------8分令451x -=-，即1x =，得6012345611a a a a a a a -+-+-+==， ---------10分两式相加得02462()65a a a a +++=，故0246652a a a a +++=. ---------12分20. 解析：（I ）因为，a x e x f x --='2)(所以a f -='1)0(. -----------2分于是由题知12a -=，解得1a =-. -----------4分因此x x e x f x +-=2)(，而1)0(=f ，于是b +⨯=021，解得1=b . ----------6分（II ）由（I ）得'()12()x f x e x g x x x --==，所以'2(1)()x e x g x x -=， ----------8分令'()0g x =得1x =，当x 变化时，'(),()g x g x 的变化情况如下：x(0,1)1 (1,)+∞'()g x-0 +()g x递减极小值递增------------10分所以()g x 在1x =取得极小值(1)2g e =-，无极大值. ---------12分21. 证明：（I ）因为32n n S a b =+，所以当2n ≥时1132n n S a b--=+， ---------1分两式相减得1133()()22n n n n S S a b a b ---=+-+，即13322n n n a a a -=-， ---------3分因此13nn a a -=， ---------4分故{}n a 是公比为3q =的等比数列. ---------5分（II ）(方法一)假设{}1n a +是等比数列，则有211(1)(1)(1)n n n a a a -++=++，即21111211n n n n n n a a a a a a -+-+++=+++. ---------7分由（I ）知{}n a 是等比数列，所以211n n n a a a -+=，于是112n n n a a a -+=+，即11169n n n a a a ---=+，解得10n a -=，这与{}n a 是等比数列相矛盾， ---------11分故假设错误，即{}1n a +不是等比数列. ---------12分(方法二) 由（I ）知11132a S a b==+，所以12a b =-，因此123n n a b -=-⋅. ---------7分于是123112,116,1118a b a b a b+=-+=-+=-， ---------8分假设{}1n a +是等比数列，则有2213(1)(1)(1)a a a +=++， ---------10分即2(16)(12)(118)b b b -=--，解得0b =，这与0b ≠相矛盾， ---------11分故假设错误，即{}1n a +不是等比数列. ---------12分22. 解析：（I ）当2a =-时，22()()()2(ln )22ln h x f x g x x x x x x x =+=-++=--，定义域为(0,)+∞.2'2222()22x x h x x x x --=--=. -----------2分令'()0h x >得210x x -->，解得12x +>，令'()0h x <得210x x --<，解得102x <<，因此()h x的单调递增区间是)+∞，单调递减区间是. ---------4分（II ）不妨设1212x x ≤<≤.因为0a >，所以()'1(1)0f x a x =+>，因此()f x 在[1,2]上单调递增，即12()()f x f x <.又因为2()g x x =在[1,2]上也单调递增，所以12()()g x g x <.所以不等式()()()()1212f x f x g x g x -<-即为2121()()()()f x f xg x g x -<-，即2211()()()()f xg x f x g x -<-， ------------7分设()()()F x f x g x =-，即2()ln F x ax a x x =+-，则21()()F x F x <，因此()F x 在[1,2]上单调递减.于是'()20aF x a x x =+-≤在[1,2]上恒成立，即221x a x ≤+在[1,2]上恒成立. -------------9分令22()1x u x x =+，则2'224()0(1)x x u x x +=>+，即()u x 在[1,2]上单调递增，因此()u x 在[1,2]上的最小值为(1)1u =， ------------11分所以1a ≤，故实数a 的取值范围是01a <≤. ------------12分。

2022-2023学年四川省成都市高二下学期期中联考数学(理)试题【含答案】

2022-2023学年四川省成都市高二下学期期中联考数学（理）试题一、单选题1．AB BC BA ++=（）A ．AC B ．BCC ．ABD ．0【答案】B【分析】利用向量加法的运算法则求解即可．【详解】AB BC BA AC BA BC ++=+=，故选：B ．2．函数()2sin x f x x =+的导函数为（）A ．)2cos x f x x '(=-B ．)2ln2cos x f x x '(=-C ．)2cos x f x x '(=+D ．)2ln2cos x f x x'(=+【答案】D【分析】根据给定条件，利用求导公式及导数运算法则求解作答.【详解】函数()2sin x f x x =+，求导得)2ln2cos x f x x '(=+.故选：D3．若可导函数()f x 满足()()11lim 3x f x f x∆→+∆-=∆，则()1f '=（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据导数定义可直接得到结果.【详解】由导数的定义知：()()()111lim 3x f x f f x∆→+∆-'==∆.故选：C.4．已知直线l 的方向向量为1,2,4)m (-= ，平面α的法向量为,1,2)n x =(-，若直线l 与平面α平行，则实数x 的值为（）A ．12B ．12-C ．10D ．10-【答案】C【分析】依题意可得m n ⊥ ，即可得到0m n ⋅=，从而得到方程，解得即可.【详解】因为直线l 的方向向量为1,2,4)m (-= ，平面α的法向量为,1,2)n x =(-，若直线l 与平面α平行，则m n ⊥ ，即0m n ⋅=，即280x --=，解得10x =.故选：C ．5．若定义在R 上的函数()f x 的导数()f x '的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 在区间(),0∞-上单调递减，在区间()0,∞+上单调递增B ．函数()f x 在区间(),1-∞上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减C ．函数()f x 在1x =处取极大值，无极小值D ．函数()f x 在0x =处取极大值，无极小值【答案】A【分析】根据导函数的正负可确定()f x 单调性，结合极值点定义可确定正确选项.【详解】对于AB ，由()f x '图象可知：当(),0x ∈-∞时，()0f x '<；当()0,x ∈+∞时，()0f x ¢>；()f x \在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，A 正确，B 错误；对于CD ，由单调性可知：()f x 在0x =处取得极小值，无极大值，CD 错误.故选：A.6．若函数()ln f x x x =在点00(,())x f x 处的切线斜率为1，则0x =（）A ．e -B ．eC ．1-D ．1【答案】D【分析】先求出()f x '，由已知得0()1f x '=列出方程，求解即可．【详解】因为()ln 1f x x '=+，所以()f x 在点00(,())x f x 处的切线斜率为00()ln 11k f x x '==+=，解得01x =，故选：D ．7．若关于x 的不等式e 0x x a -->恒成立，则a 的取值范围为（）A ．()e,+∞B ．(),1-∞C ．[)1,+∞D ．(],0-∞【答案】B【分析】令()e xf x x a =--，将问题转化为()min 0f x >，利用导数可求得()f x 单调性，从而得到()min f x ，解不等式即可求得结果.【详解】令()e xf x x a =--，则()0f x >恒成立，()min 0f x ∴>；()e 1x f x '=- ，∴当(),0x ∈-∞时，()0f x '<；当()0,x ∈+∞时，()0f x ¢>；()f x \在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，()()min 010f x f a ∴==->，解得：1a <，即a 的取值范围为(),1-∞.故选：B.8．已知正四面体A BCD -的棱长为2，若M 、N 分别是AB 、CD 的中点，则线段MN 的长为（）A ．2B ．2C ．3D ．62【答案】B【分析】以AC 、AB、AD 作为一组基底表示出MN ，再根据数量积的运算律求出MN ，即可得解.【详解】111222MN MA AN AB AC AD =+=-++，又AC 、AB、AD 两两的夹角均为π3，且2AB AC AD === ，22111222MN AB AC AD ⎛⎫∴=-++ ⎪⎝⎭ ()22212224AB AC AD AB AC AB AD AD AC =++-⋅-⋅+⋅2221πππ2cos 2cos 2cos 24333AB AC AD AB AC AB AD AD AC ⎛⎫=++-⋅-⋅+⋅= ⎪⎝⎭ ，22MN MN ∴== .故选：B ．9．函数e ()1xf x x =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据图象结合函数定义域、单调性判断B ，C 错误；由函数在0x <时函数值的符号可判断D.【详解】由定义域为{1}x |x ≠，∴排除B ；又2e 2))1)x x f x x (-'(=(-，令)0f x '(>，得2x >，()f x ∴的单增区间为2,)(+∞，∴排除C ；当0x <时，()0f x <，∴排除D ；故选：A ．10．若函数()2ln f x x ax x =-+有两个极值点，则a 的取值范围为（）A ．022a <<B ．2222a -<<C ．22a <-或22a >D ．22a >【答案】D【分析】函数有两个不同的极值点，则()0f x '=在()0,∞+上有两个不同的实数解，转化为二次方程在()0,∞+有两个不同的实数解，求解即可.【详解】由题意可得()f x 的定义域为()0,x ∈+∞，()21212x ax f x x a x x-+'=-+=，因为函数()f x 有两个极值点，所以2210x ax -+=在()0,∞+上有两个不同的实数解，所以28002a a ⎧->⎪⎨>⎪⎩，解得22a >，故选：D11．如图，半径为1的球O 是圆柱12O O 的内切球，线段AB 是球O 的一条直径，点P 是圆柱12O O 表面上的动点，则PA PB ⋅的取值范围为（）A ．[0,1]B ．[0,3]C ．[0,2]D ．[1,2]【答案】A【分析】先把,PA PB 都用PO 表示，再根据PO的模长的范围求出数量积的范围即可.【详解】))PA PB PO OA PO OB ⋅=(+⋅(+，因为线段AB 是球O 的一条直径，,1OA OB OA OB ∴-=== ,222))1PA PB PO OA PO OA PO OA PO ⋅=(+⋅(-=-=- ，又min1PO = ，max2PO =，[0,1]PA PB ∴⋅∈，故选：A ．12．若关于x 的不等式2(2)ln 1k x x x +≤+的解集中恰有2个整数，则k 的取值范围是（）A ．113k <≤B ．ln21183k +<≤C ．ln31ln21158k ++<≤D ．ln41ln312415k ++<≤【答案】C【分析】将不等式变形为ln 1(2)x k x x ++≤，令()f x =ln 1x x+，)2)g x k x (=(+，数形结合，转化为两个函数图象相交情况分析.【详解】0x >，∴不等式2(2)ln 1k x x x +≤+可化为ln 1(2)x k x x++≤，令()f x =ln 1x x+，2ln ()xf x x -∴='，由()0f x '>解得01x <<，由()0f x '<解得1x >，()f x ∴在0,1)(为增函数，()f x 在,)(1+∞为减函数，令)2)g x k x (=(+，则()g x 的图象恒过2,0)(-，若解集恰有2个整数，当0k ≤时，有无数个整数解，不满足题意；当0k >时，如图，2满足不等式且3不满足不等式，即8ln21k ≤+且15ln31k >+，ln31ln21158k ++∴<≤.故选：C ．二、填空题13．已知2,1,3)OA =(- ，1,2,4)OB =(- ，则AB =______．【答案】3,3,1)(-【分析】利用空间向量的坐标运算求解作答.【详解】因为2,1,3)OA =(- ，1,2,4)OB =(- ，所以3,3,1)AB OB OA =-=(-.故答案为：3,3,1)(-14．11)d x x -(2+1=⎰______．【答案】2【分析】利用微积分基本定理直接运算求值.【详解】()1211(21)d 2021x x x x -+=+=+=-⎰，故答案为：2．15．若函数()cos f x kx x =-在区间()0,π上单调递减，则k 的取值范围是______．【答案】(],1-∞-【分析】根据函数的单调性与导函数的关系，利用分离参数法解决恒成立问题，结合三角函数的性质即可求解.【详解】由题意可知，()sin f x k x '=+，因为()f x 在区间()0,π单调递减，所以()sin 0f x k x '=+≤在()0,π上恒成立，等价于()()min sin ,0,πk x x ≤-∈即可，因为()0,πx ∈，所以0sin 1x ≤≤，即1sin 0x -≤-≤，于是有1k ≤-，所以k 的取值范围是(],1-∞-.故答案为：(],1-∞-．16．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，若空间中的动点P 满足1AP AB AD AA λμν=++，[0,1]λμν∈，，，则下列命题正确的是______．（请用正确命题的序号作答）①若12λμν===，则点P 到平面1AB C 的距离为233；②若12λμν===，则二面角P AB C --的平面角为π4；③若12λμν++=，则三棱锥1P BDA -的体积为2；④若12λμν+-=，则点P 的轨迹构成的平面图形的面积为33．【答案】②④【分析】分别以AB ，AD ，0AA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，对于①：直接应用点到平面距离的向量公式，即可判断；对于②：直接应用面面角的向量公式，即可判断；对于③：先求出点P 到平面1BDA 的距离，即可计算出1P BDA V -，得出判断；对于④：延长1A A 至点0A ，使得102A A AA =，取AB 中点0B ，AD 中点0D ，连接00A B ，00A D ，作出平面000B D A 与正方体的截面，并说明该截面为边长为2的正六边形，由条件得00022122)0B P D P A P λμλμ++(--=，根据空间向量共面定理得点P 在平面000B D A 上，即可作出判断．【详解】对于①：由空间向量的正交分解及其坐标表示可建立如图空间直角坐标系，所以1,1,1)P (，1(2,0,2)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,2)A ，向量1,1,1)AP =( ，设平面1AB C 的法向量1111,,)n x y z =(，由1(2,0,2)AB =，(2,2,0)AC =uuu r，则11100AB n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1111220220x z x y +=⎧⎨+=⎩，取11x =-则11,1,1)n =(- ，则点P 与平面1AB C 的距离为111333|AP n |d |n |⋅===，故①错误；对于②：设平面ABP 的法向量2222,,)n x y z =(，又1,1,1)AP =(，1,0,0)AB =(，2200AP n AB n ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩即2222=00x y z x ++⎧⎨=⎩，取21y =-，则20,1,1)n =(- ，易得平面ABC 的一个法向量3(0,0,1)n =，设二面角P AB C --的平面角为θ，则323212cos 22n n |n ||n |θ⋅===⋅ ，θ 是锐角，∴二面角P AB C --的平面角为π4，故②正确；对于③：1AP AB AD AA λμν=++ ，(2,0,0)AB = ，(0,2,0)AD = ，1(0,0,2)AA =，2,2,2)AP λμν∴=(，则112,2,22)A P AP AA λμν=-=(- ，设平面1BDA 的法向量为4444,,)n x y z =(，由(2,2,0)BD =-，1(2,0,2)BA =- ，则4444220220x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取41x =则41,1,1)n =( ，则点P 到平面1BDA 的距离为1442()23A P n d n λμν⋅++-== ，由12λμν++=得2()2333d λμν++-==易知12322)234BDA S =⨯(=△，则三棱锥111233P BDA BDA V S d -=⋅=△，故③错误；对于④：延长1A A 至点0A ，使得102A A AA =，取AB 中点0B ，AD 中点0D ，连接00A B ，00A D 并延长，交棱1BB ，1DD 于点E ，F ，交11A B ，11A D 延长线于点M ，N ，连接MN ，交棱11B C ，11C D 于点G ，H ，连接EG ，HF ，如图所示，则平面000B D A 与正方体的截面为六边形00B D FHGE ，22220000112B D AB AD =+=+=，在平面11ABB A 中，01//AA BB ，点0B 为AB 中点，000B A A B EB ∴∠=∠，00AB BB =，在00AB A 和0BB E 中00000000AA B BEB AB A BB E AB BB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ，000()AB A BB E AAS ∴≅ ，01AA BE ∴==，1B E BE ∴=，即点E 为1BB 中点，22002B E BE BB =+=，同理可得，02EG GH HF D F ====，∴六边形00B D FHGE 为正六边形，且边长为2，则其面积2362)4S =⨯⨯(33=，12λμν+-= ，1AP AB AD AA λμν=++，10001)22122)2AP AB AD AA AB AD AA λμλμλμλμ∴=++(+-=++(-- ，整理得00022122)0B P D P A P λμλμ++(--=，∴点P 在平面000B D A 上，∴当12λμν+-=，点P 的轨迹构成的平面图形的面积为33，故④正确．故答案为：②④．三、解答题17．已知空间向量1,0,1)a =(，2,1,0)b =(- ，4,,)c λλλ=(+-．(1)若(a b )//c +，求λ；(2)若ka b + 与2a b -相互垂直，求k ．【答案】(1)2λ=(2)12k =【分析】（1）根据空间向量共线公式列式求参即可；（2）根据空间向量垂直数量积为0列式求参即可.【详解】（1）311a b (,,)+=- ，()//a b c + (a b )c μ∴+=，R μ∈，即34)μλ=(+，且1μλ-=-，1μλ=，解得2λ=；（2）(2,1,)ka b k k +=+- ，2012a b (,,)-= ，又2210(ka b )(a b )k +⋅-=-= ，解得12k =．18．已知函数3215()2333f x x x x =-++．(1)求曲线()y =f x 在点1,1))f ((处的切线方程；(2)求函数在区间[1,4]-的最大值与最小值．【答案】(1)3y =(2)max )3f x (=；min 11)3f x (=-【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，并结合切点得到切线方程；（2）先利用导数求得()f x 在区间[1,4]-上的单调区间，进而求得()f x 在区间[1,4]-上的最大值与最小值.【详解】（1）1)3f (= ，∴切点为1,3)(，又2)43f x x x '(=-+ ，1)0f '∴(=，∴切线方程为301)y x -=(-，即3y =，即曲线()y =f x 在点1,1))f ((处的切线方程为3y =；（2）由（1）知2)43f x x x '(=-+，令)0f x '(>，得1x <或3x >，令)0f x '(<，得13x <<，∴函数()f x 在区间[1,1)-，3,4](为增函数，在区间[1,3]为减函数，又1)3f (= ，4)3f (=，max )1)4)3f x f f ∴(=(=(=；又111)3f (-=- ，53)3f (=，min 11)1)3f x f ∴(=(-=-.19．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1323AA AC ==，D 是1BB 的中点．(1)求异面直线1A D 与BC 所成角的余弦值；(2)证明：平面11A DC ⊥平面ADC ．【答案】(1)77；(2)证明见解析.【分析】（1）分别作AC ，11AC 的中点O ，1O ，连接OB ，1OO ，以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，1OO 所在直线为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系，求出直线1A D 与BC 的空间向量，即可利用线线角的公式求解.（2）分别求出平面11A DC 和平面ADC 的法向量，利用法向量数量积为0，即可证明.【详解】（1）如图，分别作AC ，11AC 的中点O ，1O ，连接OB ，1OO ，在正三棱柱111ABC A B C -中，1OO ⊥底面ABC ，且BO AC ⊥，则OA ，OB ，1OO 互相垂直，以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，1OO 所在直线为x y z ，，轴，建立如图空间直角坐标系，已知1323AA AC ==，则11,0,23)A (，0,3,3)D (，0,3,0)B (，1,0,0)C (-，设异面直线1A D 与BC 所成角为θ，2]π(0,θ∈，11,3,3)A D =(-- ，1,3,0)BC =(-- ，11137cos 772|A D BC ||||A D ||BC |θ⋅-∴===⨯⋅uuur uuu r uuur uuu r ；（2）由题可知1,0,0)A (，11,0,23)C (-，112,0,0)A C =(- ，1,3,3)AD =(- ，2,0,0)AC =(-，设平面11A DC 的法向量为()111,,m x y z =r ，则111111133020m A D x y z m A C x ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令11y =，0,1,1)m ∴=(r ，设平面ADC 的法向量为222,,)n x y z =(r，则222233020n AD x y z n AC x ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令21y =，0,1,1)n ∴=(-r ，110m n ⋅=-=r r Q ，∴平面11A DC ⊥平面ADC .20．制作一个容积为V 的圆柱体容器（有底有盖，不考虑器壁的厚度），设底面半径为r ．(1)把该容器外表面积S 表示为关于底面半径r 的函数；(2)求r 的值，使得外表面积S 最小．【答案】(1)()222πV S r r r=+，()0,r ∈+∞(2)32πVr =【分析】（1）根据圆柱体积公式可表示出圆柱的高h ，结合圆柱表面积公式可表示出()S r ；（2）利用导数可求得()S r 的单调性，进而确定最值点.【详解】（1）设圆柱体水杯的高为h ，则2πV h r =，∴表面积()2222π2π2πV S r r rh r r =+=+，即()222πV S r r r=+，()0,r ∈+∞.（2）由（1）得：()224πV S r r r'=-；令()0S r '=，解得：32πV r =；则当302πV r <<时，()0S r '<，()S r 单调递减；当32πV r >时，()0S r '>，()S r 单调递增；∴当32πV r =时，表面积()S r 取得最小值．21．在如图①所示的长方形ABCD 中，3AB =，2AD =，E 是DC 上的点且满足3DC EC =，现将三角形ADE 沿AE 翻折至平面APE ⊥平面ABCD （如图②），设平面PAE 与平面PBC 的交线为l．(1)求二面角B l A --的余弦值；(2)求l 与平面ABCE 所成角的正弦值．【答案】(1)66(2)55．【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角B l A --的余弦值；（2）设直线AE 与BC 相交于点F ，PF 即为l ，PFO ∠是l 与平面ABCE 所成角，计算求解即可．【详解】（1）如图，取AE 的中点O ，连接PO ，2AD DE ==，则PO AE ⊥，又平面PAE ⊥平面ABCE ，又平面PAE 平面ABCE AE =，又PO ⊂平面PAEPO ∴⊥平面ABCE ，延长DO 交AB 于点G ，由DE AB ∥，O 为AE 的中点，则2AG DE ==，OG AE ⊥，2OG OA ==，分别以OA OG OP ，，所在直线为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，()2,0,0A ,()0,2,0G ，()0,2,0D -，()2,0,0E -，()0,0,2P ，232,,022B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，PO ⊥ 平面ABCE ，OG ⊂平面ABCE ，OG OP ∴⊥，又OG AE ⊥ ，AE OP O = ，,AE OP ⊂平面PAE ，所以OG ⊥平面PAE ，∴平面PAE 的法向量为OG ，且(0,2,0)OG =，又(2,2,0)CB DA == ，232(,,2)22PB =-- ，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z = ，则2202322022CB n x y PB n x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，令1y =，则(1,1,2)n =- ，设二面角B l A --的平面角为θ，26cos ,626OG n OG n OG n⋅===⨯ ，由题知π(0,)2θ∈，二面角B l A --的余弦值为66；（2）设直线AE 与BC 相交于点F ，F BC ∈ ，F ∈平面PBC ，同理F ∈平面PAE ，由平面公理3可得∈F l ，又P l ∈，PF ∴即为l ，PO ⊥ 平面ABCE ，OF ∴是PF 在平面ABCE 内的投影，PFO ∴∠是l 与平面ABCE 所成角，由2PO =，又22OF =，2210PF PO OF ∴=+=，25sin 510PO PFO PF ∠===，l ∴与平面ABCE 所成角的正弦值为55．22．已知函数()ln 1)f x x =(+，)e )x g x f x (=(．(1)求函数()g x 的导函数在0,)(+∞上的单调性；(2)证明：0,)a b ∀∈(+∞，，有)))g a b g a g b (+>(+(．【答案】(1)()g x '在0,)(+∞上单调递增；(2)证明见解析.【分析】（1）直接对函数求导，利用导数与函数间的关系即可求出结果；（2）构造函数()()()(00)F x g x a g x x a =+->>，，将求证结果转化判断函数值大小，再利用函数的单调性即可求出结果.【详解】（1）因为)e ()e ln(1)x x g x f x x (==+，所以e 1)e ln(1)+=e [ln(1)]11x xx g x x x x x '(=+++++，令))h x g x '(=(，即1)=e [ln(1)]1x h x x x (+++，又因为222121)e [ln(1)]=e [ln(1)]11)1)x x x h x x x x x x +'(=++-+++(+(+，又因为0,)x ∈(+∞，所以11,)x +∈(+∞，即有221ln(1)0,0(1)x x x ++>>-，所以()0h x '>，所以)h x (在区间0,)(+∞上单调递增，即()g x '在0,)(+∞上单调递增；（2）由题知(0)0g =，要证)))g a b g a g b (+>(+(，即证)))0)g a b g b g a g (+-(>(-(，令()()()(00)F x g x a g x x a =+->>，，则()()()F b g b a g b =+-，(0)()(0)F g a g =-即证)0)F b F (>(，由（1）知()g x '在区间0,)(+∞上单调递增，又因为x a x +>，所以)))0F x g x a g x '''(=(+-(>，所以))()F x g x a g x (=(+-在区间0,)(+∞上单调递增，因为0b >，所以)0)F b F (>(，故命题得证．。

2021-2022年高二下学期期中考数学(理)试题含答案

2021-2022年高二下学期期中考数学（理）试题含答案一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z=的虚部为（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i2．利用数学归纳法证明“11113212224(,)n n Nn n n++>≥∍++”的过程中，由“n=k”变到“n=k＋1”时，不等式左边的变化是 ( ) A.增加 B.增加和C.增加，并减少D.增加和，并减少3．若个人报名参加项体育比赛，每个人限报一项，则不同的报名方法的种数有（）A． B． C． D．4．若，则等于（）A．－2 B．－4 C．2 D．05．的展开式中，的系数等于，则等于（）A． B． C． D．6．3位数学家，4位物理学家，站成两排照像.其中前排3人后排4人，要求数学家要相邻，则不同的排队方法共有（）A. 5040种B. 840种 C . 720种 D. 432种7．甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以的比分获胜的概率为（）A． B． C． D．8．已知展开式中常数项为5670，其中是常数，则展开式中各项系数的和是A．2 B．4 C．2或4 D．1或29．从中任取个不同的数，事件＝“取到的个数之和为偶数”，事件＝“取到的个数均为偶数”，则＝（）A． B． C． D．10．在小语种提前招生考试中，某学校获得5个推荐名额，其中俄语2名，日语2名，西班牙语1名.并且日语和俄语都要求必须有男生参加.学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（）A．20种 B．22 种C．24种D．36种11．现有三个小球全部随机放入三个盒子中，设随机变量为三个盒子中含球最多的盒子里的球数，则的数学期望为（）A． B． C．2 D．12．设函数．若存在的极值点满足，则m的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题. （每小题5分，共20分）13．若，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a+bi|= ．14．将标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子，每个盒子至少有一个球，则一共有__________种放法.15.．的展开式中含的项的系数是_______．16．已知可导函数的导函数满足，则不等式的解集是．三、解答题：17. （本题满分10分）已知函数，其中为常数．（1）当时，求的极值；（2）若是区间内的单调函数，求实数的取值范围．18. （本题满分12分）求由曲线，直线及轴所围成的图形的面积19.（本题满分12分）已知二项式展开式中各项系数之和是各项二项式系数之和的16倍；（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中所有的有理项.20.（本题满分12分）9．某工厂在试验阶段大量生产一种零件.这种零件有A,B 两项技术指标需要检测,设各项技术指标达标与否互不影响.若有且仅有一项技术指标达标的概率为,至少一项技术指标达标的概率为.按质量检验规定:两项技术指标都达标的零件为合格品.（1）求一个零件经过检测为合格品的概率是多少？（2）任意依次抽出5个零件进行检测,求其中至多3个零件是合格品的概率是多少？（3）任意依次抽取该种零件4个,设ξ表示其中合格品的个数,求Eξ与Dξ.21．（本小题满分12分）甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球.（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手依次各取两球为两次取球）的成功取法次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.22. （本题满分12分）已知函数．（1）若，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）若，求证：．1．B 2．D 3．C 4．B 5．A 6．D7．A 8．C 9．B 10．C 11. A 12．C 13. 14. 150 15. 128 16.17. （1）当时，212x x1(2x1)(x1)f(x)2x1(x0)x x x--+-'=--==>所以在区间内单调递减，在内单调递增于是有极小值，无极大值（2）易知在区间内单调递增，所以由题意可得在内无解即或解得实数的取值范围是18. 由，得交点为，由定积分的几何意义得，曲线，直线及轴所围成的图形的面积为．19.（1）由已知得：，（2）通项，展开式中系数最大的项是第3项（r=2）：（3）由（2）得：，即所以展开式中所有的有理项为：（1）设、两项技术指标达标的概率分别为、由题意得：1212125(1)(1)12111(1)(1)12P P P P P P ⎧⋅-+-⋅=⎪⎪⎨⎪--⋅-=⎪⎩ 解得：或， ∴.即，一个零件经过检测为合格品的概率为1/2（2）任意抽出5个零件进行检查，其中至多3个零件是合格品的概率为554555111312216C C ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （3）依题意知～B(4,1/2)，，21.（1）设事件为“两手所取的球不同色”，则32993433321)(=⨯⨯+⨯+⨯-=A P . （2）依题意，的可能取值为0,1,2.左手所取的两球颜色相同的概率为，右手所取的两球颜色相同的概率为，24134318134111851)0(=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-==X P ， 18741)1851()411(185)1(=⨯-+-⨯==X P ，，所以Ｘ的分布列为：36197252187124130)(=⨯+⨯+⨯=X E .22.（1）由条件得ln 1x a x a x x ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩在上恒成立．设，则．当时，；当时，，所以，．要使恒成立，必须．另一方面，当时，，要使恒成立，必须．所以，满足条件的的取值范围是．（2）当时，不等式等价于112212222ln ()1x x x x x x ->-．令，设，则，在上单调递增，，所以，原不等式成立．28296 6E88 溈21430 53B6 厶40629 9EB5 麵i27319 6AB7 檷32230 7DE6 緦h 38759 9767 靧/38397 95FD 闽21876 5574 啴23747 5CC3 峃=。