九年级数学下册第7章锐角三角函数 7.4 由三角函数值求锐角同步练习苏科版 - 副本

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7.4 由三角函数值求锐角

7.4 由三角函数值求锐角
2016
7.4 由三角函数值求锐角
7.4 由三角函数值求锐角
试一试：
B
1．根据已知条件，有sinA＝
5．
13
.
利用科学计算器
A
C
依次按键
,
结果显示为22.619 864 95, 即∠A≈22.62°．
友情提醒：首先要把科学计算器调至DEG状态下，再进行操作．
7.4 由三角函数值求锐角
的
第二功能
．
基本步骤：
（1）按键 ,
（2）按函数名称键或或，
（3）按键输入已知的函数值,
（4）按键
即得所求角的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数，
（显示结果是以度为单位的）．
（5）按题目要求取近似值．
7.4 由三角函数值求锐角
课后作业：
1．完成课本习题7.4第1、2题．
7.4 由三角函数值求锐角
练一练：
1. 求满足下列条件的锐角A（精确到0.01°）：
（1）sinA＝ 1 ；（2）cosA＝ 0.23 ；（3）tanA＝ 10 ．
4
7.4 由三角函数值求锐角
练一练：
2. 如图，秋千的长OA为3.5m，当秋千摆动到 OA′位置时，点A ′相对于最低点A升高了1m，求 ∠AOA′(精确到0.1°) ．
想一想：
你知道为什么要先按
功能键吗？
7.4 由三角函数值求锐角
7.4 由三角函数值求锐角
做一做：
例求满足下列条件的锐角A（精确到0.01°）：
（1）cosA＝1 ；（2）tanA＝2 . 4
解：（1）依次按键
，
显示结果为75.522 487 81，即∠A≈75.52°．

7.4 由三角函数值求锐角

例 1 的 2 个小题考查的利用计算器求锐角的大小，比较简单，学生一般可独立完成。例 2 是一道简单的应用题，是对情境二的问题的复习和巩固。
四、小试牛刀
五、课堂小结
让学生进行小结，不仅有利于生：总结本节课的内容，对本节课所学本节课学习了哪些知识？并发言，其它学生补充的知识系统把 1、利用计算器由三角函数值求锐角；握，更能够培养师：在学生完成小结后 2、用所学知识解决实际问题。学生用简洁的给出完善的小结数学语言进行表达。
师：出示情境一。生：独立思考，小组交流，并作回答。师：你是如何求解的，说出你的方法。生：由三角函数值可以求出对应的锐角，从而可求出∠A、∠B 的度数，再通过三角形的内角和求出∠C=90°。师：本题中，∠A 的大
本情境是由两个问题组成。情境一的安排从两个方面考虑，既是对上节课知识的复习，更是让学生明白由三角函数值可以求出对应的锐角。情境二是从实际问题
3
2
六、拓展延伸
有一段倾斜角为 30°的斜道长 30m，为方便行人推车过桥，将斜道延长 10m，该斜道的倾斜角减少了多少度？
师：出示拓展题。生：独立思考后小组交流。师：请同学谈谈自己的做法，后师生共同总结。
这是一道综合题，综合运用所学知识，既巩固了近两节课所学知识，又能够培养学生分析问题和解决问题的能力。
教学重点教学难点教学程序设计
3 ，试判断△ 境中的两个问题。 3
一、情境创设
ABC 的形状。情境二：如图，小明沿斜坡 AB 行走了 13m，他的相对应的位置升高了 5m，你能知道这个斜坡的倾斜 A 的大小吗？

九年数学下册第7章锐角函数71正切712锐角三角函数的计算习题课件新版苏科版

(2) 锐角的正切函数值随角度的增大而__增__大____．
9 【2021·南京】如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D.测得CD＝80 m， ∠ACD＝90°，∠BCD＝45°，∠ADC＝19°17′， ∠BDC＝56°19′.设A、B、C、D在同一平面内，求A、 B两点之间的距离．(参考数据：，tan 56°19′≈1.50.)
∵∠ACD＝90°，BE⊥CD 于 E，AF⊥BE， ∴四边形 ACEF 是矩形． ∴AF＝CE≈48 m，EF＝AC≈28 m， ∴BF＝BE－EF≈20 m，在 Rt△ ABF 中， AB＝ AF2＋BF2＝ 482＋202＝52(m)．答：A、B 两点之间的距离是 52 m.
解：过B作BE⊥CD于E，过A作AF⊥BE于 F，如图． ∵∠BCD＝45°， ∴△BCE是等腰直角三角形．设CE＝x，则BE＝x， ∵CD＝80 m， ∴DE＝(80－x)m.
在 Rt△ BDE 中，∠BDC＝56°19′， ∴tan 56°19′＝DBEE，即80x－x≈1.5，解得 x≈48(m)． ∴BE＝CE≈48 m. 在 Rt△ ACD 中，∠ADC＝19°17′，CD＝80 m， ∴tan 19°17′＝CADC，即A8C0 ≈0.35，解得 AC≈28 m，
6 用计算器比较tan 25°，tan 27°，tan 26°的大小关系是( A ) A．tan 25°<tan 26°<tan 27° B．tan 25°<tan 27°<tan 26° C．tan 27°<tan 25°<tan 26° D．tan 26°<tan 25°<tan 27°
7 用计算器求 tan 10°，tan 20°，tan 30°，tan 40°，tan 50°，

初中数学《苏科版》教材目录(2003版)

初中数学《苏科版》目录七年级上册：第一章我们与数学同行⑴生活数学（6）1⑵活动思考（8）1第二章有理数⑴比0小的数（12）2⑵数轴（16）2⑶绝对值与相反数（20）3⑷有理数的加法与减法（26）4⑸有理数的乘法与除法（36）3⑹有理数的乘方（45）2⑺有理数的加减混合运算（50）2数学活动算“24”（54）1小结与思考（54）2复习题（55）第三章用字母表示数⑴字母表示什么数（62）1⑵代数式（66）1⑶代数式的值（70）2⑷合并同类项（75）2⑸去括号（79）2数学活动正方体涂色（84）1小结与思考（84）2复习题（85）第四章一元一次方程⑴从问题到方程（92）2⑵解一元一次方程（95）4⑶用方程解决问题（102）6数学活动一元一次方程应用的调查（111）1小结与思考（111）2复习题（112）第五章走进图形世界⑴丰富的图形世界（118）2⑵图形的变化（123）2⑶展开与折叠（128）2⑷从三个方向看（134）2数学活动设计包装纸箱（139）1小结与思考（139）1复习题（140）第六章平面图形认识（一）⑴线段、射线、直线（148）2⑵角（152）2⑶余角、补角、对顶角（158）2⑷平等（163）1⑸垂直（167）1数学活动测量距离（171）1小结与思考（171）2复习题（172）课题学习制作无盖长方体的长方体纸盒（175）1数学活动评价表（176）七年级下册：第七章平面图形的认识（二）⑴探索直线平行的条件（6）2⑵探索平行线的性质（11）1⑶图形的平移（14）2⑷认识三角形（20）2⑸三角形的内角和（25）4数学活动（32）1小结与思考（33）2复习题（34）第八章幂的运算⑴同底数幂的乘法（40）1⑵幂的乘方与积的乘方（43）2⑶同底数幂的除法（47）3数学活动（52）1小结与思考（52）2复习题（52）第九章从面积到乘法公式⑴单项式乘单项式（56）1⑵单项式乘多项式（58）1⑶多项式乘多项式（61）1⑷乘法公式（64）3⑸单项式乘多项式法则的再认识――因式分解（一）（70）1⑹乘法公式的再认识――因式分解（二）（72）3数学活动（77）1小结与思考（78）2复习题（79）第十章二元一次方程组⑴二元一次方程（84）1⑵二元一次方程组（86）2⑶解二元一次方程组（89）2⑷用方程组解决问题（93）3数学活动（99）1小结与思考（99）2复习题（100）第十一章图形的全等⑴全等图形（104）1⑵全等三角形（108）1⑶探索三角形全等的条件（111）5数学活动（125）1小结与思考（125）2复习题（126）第十二章数据在我们周围⑴普查与抽样调查（132）1⑵统计图的选用（133）3⑶频数分布表和频数分布直方图（145）2数学活动（152）1小结与思考（152）1复习题（153）第十三章感受概率⑴确定与不确定（160）1⑵可能性（162）2数学活动（169）1小结与思考（169）1复习题（170）课题学习丢弃了多少塑料袋（172）1数学活动评价表（173）八年级上册：第一章轴对称图形⑴轴对称与轴对称图形（6）1⑵轴对称的性质（10）1⑶设计轴对称图案（15）1⑷线段、角的轴对称性（18）2⑸等腰三角形的轴对称性（23）3⑹等腰梯形的轴对称性（31）2数学活动剪纸（35）1小结与思考（36）2复习题（37）第二章勾股定理与平方根⑴勾股定理（44）1⑵神秘的数组（48）1⑶平方根（51）2⑷立方根（55）1⑸实数（57）2⑹近似数与有效数字（62）1⑺勾股定理的应用（65）2数学活动关于勾股定理的研究（69）1小结与思考（69）2复习题（69）第三章中心对称图形（一）⑴图形的旋转（74）1⑵中心对称与中心对称图形（77）2⑶设计中心对称图案（82）1⑷平行四边形（85）3⑸矩形、菱形、正方形（92）5⑹三角形、梯形中位线（102）2数学活动平面图形的镶嵌（105）1小结与思考（106）2复习题（107）第四章数量、位置的变化⑴数量的变化（114）2⑵位置的变化（120）1⑶平面直角坐标系（123）3数学活动确定藏宝地（132）1小结与思考（132）2复习题（133）第五章一次函数⑴函数（140）2⑵一次函数（147）2⑶一次函数的图象（151）2⑶一次函数的应用（157）2⑷二元一次方程组的图象解法（161）1数学活动温度计上的一次函数（163）1小结与思考（164）2复习题（165）第六章数据的集中程度⑴平均数（170）2⑵中位数与众数（174）2⑶用计算器求平均数（179）1数学活动你是“普通”学生吗？（182）1小结与思考（183）2复习题（183）课题学习利用对称图形设计徽标（186）1数学活动评价表（187）第七章一元一次不等式⑴生活中的不等式（6）⑵不等式的解集（9）⑶不等式的性质（12）⑷解一元一次不等式（15）⑸用一元一次不等式解决问题（19）⑹一元一次不等式组（21）⑺一元一次不等式与一元一次方程、一次函数（26）数学活动（28）小结与思考（28）复习题（29）第八章分式⑴分式（34）⑵分式的基本性质（37）⑶分式的加减法（43）⑷分式的乘除法（46）⑸分式方程（54）数学活动（57）小结与思考（57）复习题（58）第九章反比例函数⑴反比例函数（62）⑵反比例函数的图象与性质（65）⑶反比例函数的应用（73）数学活动（76）小结与思考（77）复习题（77）第十章图形的相似⑴图上距离与实际距离（82）⑵黄金分割（85）⑶相似图形（89）⑷探索三角形相似的条件（94）⑸相似三角形性质（105）⑹图形的位似（110）⑺相似三角形的应用（113）数学活动（120）小结与思考（120）复习题（120）第十一章图形与证明（一）⑴你的判断对吗（126）⑵说理（129）⑶证明（134）⑷互逆命题（142）数学活动（146）小结与思考（147）复习题（148）第十二章认识概率⑴等可能性（154）⑵等可能条件下的概率（一）（157）⑶等可能条件下的概率（二）（165）数学活动（168）小结与思考（169）复习题（170）课题学习游戏公平吗？（173）1数学活动评价表（174）第一章图形与证明（二）⑴等腰三角形的性质与判定（6）1⑵直角三角形全等的判定（9）2⑶平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（13）8⑷等腰梯形的性质与判定（28）1⑸中位线（30）2数学活动折纸与证明（34）1小结与思考（36）2复习题（37）第二章数据的离散程度⑴极差（42）1⑵方差与标准差（45）1⑶用计算器求标准差和方差（49）1数学活动估计时间（53）1小结与思考（53）1复习题（54）第三章二次根式⑴二次根式（58）2⑵二次根式的乘除法（61）4⑶二次根式的加减法（69）2数学活动画画·算算（74）1小结与思考（74）1复习题（75）第四章一元二次方程⑴一元二次方程（80）1⑵一元二次方程的解法（83）6⑶用一元二次方程解决问题（94）4数学活动矩形绿地中的花圃设计（100）1小结与思考（101）2复习题（101）第五章中心对称图形（二）⑴圆（106）2⑵圆的对称性（111）2⑶圆周角（117）2⑷确定圆的条件（124）1⑸直线和圆的位置关系（127）4⑹圆和圆的位置关系（138）1⑺正多边形与圆（142）1⑻弧长及扇形的面积（145）1⑼圆锥的侧面积和全面积（148）2数学活动制作冰淇淋纸筒（151）1小结与思考（151）2复习题（152）课题学习制作“动画片”（156）1数学活动评价表（158）九年级下册：第六章二次函数⑴二次函数（6）1⑵二次函数的图象和性质（9）4⑶二次函数与一元二次方程（21）2⑷二次函数的应用（25）3数学活动（32）1小结与思考考（32）2复习题（33）第七章锐角三角函数⑴正切（38）1⑵正弦、余弦（41）2⑶特殊角的三角函数（46）1⑷由三角函数值求锐角（49）1⑸解直角三角形（51）1⑹锐角三角函数的简单应用（54）2数学活动（60）1小结与思考（60）2复习题（61）第八章统计的简单应用⑴货比三家（66）1⑵中学生的视力情况调查（70）3数学活动（77）1小结与思考（78）1复习题（79）第九章概率的简单应用⑴抽签方法合理吗（84）1⑵概率帮你做估计（86）1⑶保险公司怎样才能不亏本（88）1数学活动（90）1小结与思考（91）1复习题（91）课题学习探究等周长图形的最大面积（94）数学活动评价表（95）。

2018-2019学年河南省焦作市沁阳市第二初级中学初三(下)数学专题复习：锐角三角函数

2018-2019学年河南省焦作市沁阳市第二初级中学初三（下）数学专题复习：锐角三角函数一、选择题1. 如图，边长为的小正方形网格中，的圆心在格点上，则的值是( )A. B. C. D.2. 如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离为米，在点测得点的仰角，在点测得点的仰角为，测得甲、乙这两座建筑物的高度分别为（）米．A.，B.，C.，D. ，3. 小明想测一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为米，坡面上的影长为米．已知斜坡的坡角为，同一时刻，一根长为米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为米，则树的高度为（）A.米B.米C.米D.米4. 当时，以下结论正确的是（）A.B.C.D.以上都不对5. 如图，在某监测点处望见一艘正在作业的渔船在南偏西方向的处，若渔船沿北偏西方向以海里/小时的速度航行，航行半小时后到达处，在处观测到在的北偏东方向上，则，之间的距离为（）A.海里B.海里C.海里D.海里6. 下列式子错误的是（）A.B.C.D.7.已知的外接圆的半径为，，则 ( )A. B. C. D.8. 如图，从山顶望地面、两点，测得它们的俯角分别为和，已知米，点在上，则山高A.米B.米C.米D.米9. 已知为锐角，且的值小于，那么角的取值范围是（）A. B.C. D.10. 下列说法中，正确的是（）A.在中，锐角的两边都扩大倍，则也扩大倍B.若，则C.D.若为锐角，，则11. 正方形网格中，如图放置，则的值为（）A. B. C. D.二、填空题12. 在中，，，则________．13. 在中，，都是锐角，，，则的形状是________．14. 在中，已知的直径为，弦长为，弦长为，则________．15. 在中，，的垂直平分线与所在的直线相交于点，垂足为，连接．已知，，则________．16. 如图，正方形的边长为，过点作，，连接，则________．三、解答题17. 如图，在中，，点是边上一动点 (不与，重合)，，交于点，且．下列结论：①；②当时，与全等；③为直角三角形时，为或；④．其中正确的结论是________ (把你认为正确结论的序号都填上).18. 如图所示．是外一点．是的切线．是切点．是上一点．且，连接，，，并延长与切线相交于点．求证：是的切线；设，若，，求的长．19.如图．斜坡的坡度（铅直高度与水平宽度的比）为，斜坡上一棵与水平面垂直的大树在阳光的照射下，在斜坡上的影长米，此时光线与水平线恰好成角，求大树的高．（结果精确到米，参考数据：，）20. 两栋居民楼之间的距离米，楼和均为层，每层楼高米．上午某时刻，太阳光线与水平面的夹角为，此刻楼的影子落在楼的第几层？当太阳光线与水平面的夹角为多少度时，楼的影子刚好落在楼的底部？参考答案与试题解析2018-2019学年河南省焦作市沁阳市第二初级中学初三（下）数学专题复习：锐角三角函数一、选择题1.【答案】B【考点】圆周角定理圆心角、弧、弦的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：∵所对圆心角为，∴，∴，故选.2.【答案】D【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】在中可求得的长，即求得乙的高度，延长交于，则，求得，在中可求得，则可求得的长，即可求得甲的高度．【解答】解：延长交于，则，∵，，∴，∴．∴四边形为矩形，∴，．∵，∴，∴，在中，，∴，即甲建筑物的高为，乙建筑物的高为．故选．3.【答案】A【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】延长交延长线于点，则即为的影长，然后根据物长和影长的比值计算即可．【解答】解：延长交延长线于点，则，作于，在中，，，∴（米），（米），在中，∵同一时刻，一根长为米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为米，（米），，∴（米），∴（米），在中，（米）.故选．4.【答案】A【考点】特殊角的三角函数值锐角三角函数的增减性【解析】根据锐角三角函数的增减性：当角度在间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），据此即可判断．【解答】解：、∵，，∴当时，，故本选项正确；、∵，，∴当时，，故本选项错误；、∵，，∴当时，，故本选项错误；、正确，故本选项错误．故选．5.【答案】C【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解析】如图，根据题意易求是等腰直角三角形，通过解该直角三角形来求的长度．【解答】解：如图，∵，，∴，∴．又∵，，，∴．∴在中，，∴海里．故选．6.【答案】D【考点】特殊角的三角函数值互余两角三角函数的关系同角三角函数的关系【解析】根据正弦和余弦的性质以及正切、余切的性质即可作出判断．【解答】解：、，式子正确；、，式子正确；、，式子正确；、，，则错误．故选．7.【答案】D【考点】圆周角定理锐角三角函数的定义【解析】作辅助线（连接并延长交圆于，连）构造直角三角形，在直角三角形中根据锐角三角函数的定义求得角的正弦值；然后由同弧所对的圆周角相等知；最后由等量代换求得的正弦值，并作出选择．【解答】解：连接并延长交圆于，连．∴（直径所对的圆周角是直角）；在直角三角形中，，，∴；又∵（同弧所对的圆周角相等），∴．故选．8.【答案】D【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】直角与直角有公共边，若设，则在直角与直角就满足解直角三角形的条件，可以用表示出与的长，根据，即可列方程求解．【解答】解：设米，在直角中，，∴米．在直角中，，，∴，∵，∴，解得：．故选．9.【答案】B【考点】锐角三角函数的增减性【解析】根据特殊角的三角函数值，以及余弦函数随角度的增大而减小即可判断．【解答】解：由题意得，∵余弦函数随角度的增大而减小，∴．故选．10.【答案】D【考点】函数与直角三角形锐角三角函数的增减性锐角三角函数的定义【解析】根据三角函数的定义利用排除法求解．【解答】解：,在中，锐角的两边都扩大倍，但它们的比值不变，所以值不变，故本选项错误；,应为若，则，故本选项错误；,三角函数的度数不能直接相加，故本选项错误；,根据设两直角边为,，根据勾股定理得斜边为，所以，故本选项正确．故选．11.【答案】B【考点】特殊角的三角函数值勾股定理等腰直角三角形【解析】根据图形连接，分别求出、、的长度，可得为直角三角形，继而求出的值．【解答】解：如图，，，，∵，∴为直角三角形，∵，∴为等腰直角三角形，∴．故选．二、填空题12.【答案】【考点】解直角三角形同角三角函数的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：∵在中，，，∴，∴.故答案为：.13.【答案】等边三角形【考点】特殊角的三角函数值【解析】根据特殊角的三角函数值，分别求得、的度数，即可判断三角形的形状．【解答】解：∵，，∴，．∴．则是等边三角形．故答案为：等边三角形.14.【答案】或．【考点】圆周角定理特殊角的三角函数值【解析】首先根据题意作出图形，然后由圆周角定理，可得，又由直径为，弦长为，弦长为，即可求得与的度数，继而求得答案．【解答】解：如图，连结，，∵是的直径，∴，∵，，，∴，，∴，，如图，，∴；如图，，∴．故答案为：或．15.【答案】或【考点】解直角三角形等腰三角形的判定与性质线段垂直平分线的性质【解析】本题有两种情形，需要分类讨论．首先根据题意画出图形，由线段垂直平分线的性质，即可求得，又由三角函数的性质，求得的长，继而求得答案．【解答】解：①若为锐角，如图所示：∵的垂直平分线是，∴，，，∵，，∴，∴，∴，∴；②若为钝角，如图所示：同理可求得：．故答案为：或．16.【答案】【考点】全等三角形的性质与判定锐角三角函数的定义正方形的性质【解析】延长使，连接，过点作，垂足为，根据题干条件证明，得出，然后在中，求出的值，进而求出的值．【解答】解：延长使，连接，过点作，垂足为，∵四边形是正方形，∴，∴，∵，∴，∴，∵在和中，，∴，∴，∵正方形的边长为，∴，∵四边形是正方形，，∴是的中点，∴，∴在中，，即．故答案为：．三、解答题17.【答案】①②③【考点】全等三角形的性质与判定解直角三角形相似三角形的判定与性质等腰三角形的判定与性质【解析】根据等腰三角形的性质，由得，而，则，所以，于是可对①进行判断；作于，如图，先证明，再利用余弦定义计算出，则，当时，可得，则可判断，于是可对②进行判断；由于为直角三角形，分类讨论：当时，利用得到，即，易得，当，如图，利用得到，然后在中，根据余弦的定义可计算出，于是可对③进行判断；由于，而不是的平分线，可判断与不一定相等，因此与不一定相似，这样得不到，则可对④进行判断．【解答】解：∵，∴，而，∴，而，∴，所以①正确；作于，如图，∵，∴，而，∴，∵，∴，在中，∵，∴，∴，当时，，∴，∴，所以②正确；当时，∵，∴，即，∴点与点重合，此时，当，如图，∵，∴，在中，，∴，∴为直角三角形时，为或，所以③正确；∵，而不是的平分线，∴与不一定相等，∴与不一定相似，∴不成立，所以④错误．故答案为：①②③．18.【答案】证明：连接，与交于点，如图所示：在和中，，∴，∴，∵是的切线，是切点，∴，∴，∴是的切线.解：连并交于点，在中，∵，，∴，，∴；∵，，∴，∴，即，∴，∴，∴；∵，∴，∴，∴，即，∴，∴．【考点】解直角三角形相似三角形的判定与性质切线的判定与性质全等三角形的判定【解析】（1）连接，与交于点．欲证明是的切线，只需证明，证明即可；（2）连并交于点，先由三角函数求出、、，再证明，得出比例式、求出、，由勾股定理知，然后由三角形相似求出，即可得出的长．【解答】证明：连接，与交于点；如图所示：在和中，，∴，∴，∵是的切线，是切点，∴，∴，∴是的切线；解：连并交于点，在中，∵，，∴，，∴；∵，，∴，∴，即，∴，∴，∴；∵，∴，∴，∴，即，∴，∴．19.【答案】解：作于点，∵斜坡的坡度是：，，∴，∴在直角中，设，则．由勾股定理可得：，∴，解得：，∴，，在直角中，，∴，∴（米）．∴大树的高约为米．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】作于点，已知的坡度即可得到和的比值，则在直角中，利用勾股定理即可求得和的长度，然后在直角中利用三角函数求得的长，则，据此即可求解．【解答】解：作于点，∵斜坡的坡度是：，，∴，∴在直角中，设，则．由勾股定理可得：，∴，解得：，∴，，在直角中，，∴，∴（米）．∴大树的高约为米．20.【答案】解：延长，交于点，过作于，由图可知，，∵，在中，，，再用，所以在四层的上面，即第五层，答：此刻楼的影子落在楼的第层.连接，∵，∴，答：当太阳光线与水平面的夹角为°时，楼的影子刚好落在楼的底部．【考点】平行投影解直角三角形的应用【解析】（1）延长，交于点，过作于，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可；（2）连接，利用利用直角三角形的性质和三角函数解答即可．【解答】解：延长，交于点，过作于，由图可知，，∵，在中，，，再用，所以在四层的上面，即第五层，答：此刻楼的影子落在楼的第层.连接，∵，∴，答：当太阳光线与水平面的夹角为°时，楼的影子刚好落在楼的底部．第21页共22页◎第22页共22页。

九年级下册数学《锐角三角函数》同步测试及答案

九年级下册数学《锐角三角函数》同步测试及答案一、选择题（每小题3分，共30分）1．河堤的横断面如图所示，堤高BC 是5米，迎水斜坡AB 的长是13米，那么斜坡AB 的坡度i 是（）A ．1∶3B ．1∶2.6C ．1∶2.4D ．1∶22．如图，某渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东600方向，这艘渔船以28海里／小时的速度向正东航行半小时到B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东150方向，此时灯塔M 与渔船的距离是（） A ．27海里 B ．214海里 C ．7海里 D ．14海里3．如图，从山顶A 望地面C ．D 两点，测得它们的俯角分别为450和300，已知CD ＝100米，点C 在BD 上，则山高AB ＝（） A ．100米 B ．350米 C ．250米 D ．)13(50+米 4．重庆市“旧城改造”中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，以美化环境．已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要（） A ．a 450元 B ．a 225元 C ．a 150元 D ．a 300元5．如图，某地夏季中午，当太阳移至房顶上方偏南时，光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB =1.8 m ，要在窗子外面上方安装水平挡光板AC ，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板的宽度AC 为（） A ．1.8tan80°m B ．1.8cos80°m C ．︒80sin 8.1 mD ．︒80tan 8.1 m6．身高相同的三个小朋友甲．乙．丙放风筝，他们放出的线长分别为300 m ，250 m ，200 m ；线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝（）A ．甲的最高B ．乙的最低C ．丙的最低D ．乙的最高 7．如图，为了测量一河岸相对两电线杆A ．B 间的距离，在距A 点15米的C 处（AC ⊥AB ）测得∠ACB =50°，则A ．B 间的距离应为（）第1题第2题第3题第4题第5题第7题第8题A ．15sin50°米B ．15tan50°米C ．15tan40°米D ．15cos50°米8．如图，在离地面高度5 m 处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线AC 的长是（）A ．10 mB ．3310 m C ．225 m D ．53 m二、填空题9．如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC =3米，3cos 4BAC ∠=，则梯子长AB = 米. 10．小明要在坡度为53的山坡上植树，要想保证水平株距为5 m ，则相邻两株树植树地点的高度差应为_____m.11．有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6米，下底长为10米，高为23米，那么此拦水坝斜坡的坡度为_____，坡角为_____.12．如图，从楼顶A 点测得电视塔CD 的仰角为α，俯角为β，若楼房与电视塔之间的水平距离为m ，求电视塔的高度.将这个实际问题写成数学形式：已知在△ADC 中，AB _____CD 于B ，∠_____=α，∠_____=β，m =_____，求_____. 13．要把5米长的梯子上端放在距地面3米高的阳台边沿上，猜想一下梯子摆放坡度最小为______. 14．如图，某建筑物BC 直立于水平地面，AC =9米，要建造阶梯AB ，使每阶高不超过20 cm ，则此阶梯最少要建_____阶.(最后一阶的高度不足20 cm 时，按一阶算，3取1.732) 15．如图，小刚在一山坡上依次插了三根木杆，第一根木杆与第二根木杆插在倾斜角为30°，且坡面距离是6米的坡面上，而第二根与第三根又在倾斜角为45°，且坡面距离是8米的坡面上.则第一根与第三根木杆的水平距离是______. （精确到0.01米）16．如图，小明想测量电线杆AB 的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD =4 m ，BC =10 m ，CD 与地面成30°角，且此时测得1 m 杆的影子长为2 m ，则电线杆的高度约为_____m.(结果保留两位有效数字，2≈1.41，3≈1.73)第9题第12题第14题ABC第15题第16题第17题17．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝54，CD 是高．若BD ＝9，则CD ＝，S △ABC ＝．18．四边形ABCD 的对角线AC BD ，的长分别为m n ，，可以证明当AC BD ⊥时（如图1），四边形ABCD 的面积12S mn =，那么当AC BD ，所夹的锐角为θ时（如图2），四边形ABCD 的面积S = ．（用含m n θ，，的式子表示）三、解答题（共46分）19．（6分）某校在周一举行升国旗仪式，小明同学站在离旗杆20米处（如图所示），随着国旗响起，五星红旗冉冉升起，当小明同学目视国旗的仰角为37°（假设该同学的眼睛距地面的高度为1.6米），求此时国旗离地面的距离.20．（6分）如图，甲、乙两船同时从港口O 出发，甲船以16.1海里/时的速度向东偏西32°方向航行，乙船向西偏南58°方向航行，航行了两小时，甲船到达A 处并观测到B 处的乙船恰好在其正西方向，求乙船的速度(精确到0.1海里/时).21．（8分）如图，一勘测人员从B 点出发，沿坡角为15°的坡面以5千米/时的速度行至D处，用了12分钟，然后沿坡角为20°的坡面以3千米/时的速度到达山顶A 点处，用了10 分钟，求山高（即AC 的长度）及A ，B 两点间的水平距离（即BC 的长）（精确到0.01千米）.22．（8分）苏州的虎丘塔身倾斜，却经历千年而不例，被誉为“中国第一斜塔”，如图，BC是过塔底中心B 的铅垂线，AC 是塔顶A 偏离BC 的距离，据测量，AC 约为2.34m ，塔身AB 的长为47.9m ，求塔身倾斜的角度∠ABC 的度数.（精确到1′）.Ｂ图1图2第18题第19题 B O 东北A 第20题B 20︒D A 15︒CE第21题23．（8分）如图，在平面镜的同侧，有相隔15cm 的A ，B 两点，它们与平面镜的距离分别为5cm 和7cm ，现要使由A 点射出的光线经平面镜反射后通过点B ，求光线的入射角θ的度数.24．（10分）气象台发布的卫星云图显示，代号为W 的台风在某海岛（设为点O ）的南偏东45方向的B点生成，测得OB =．台风中心从点B 以40km/h 的速度向正北方向移动，经5h 后到达海面上的点C 处．因受气旋影响，台风中心从点C 开始以30km/h 的速度向北偏西60方向继续移动．以O 为原点建立如图所示的直角坐标系．（1）台风中心生成点B 的坐标为，台风中心转折点C 的坐标为；（结果保留根号）（2）已知距台风中心20km 的范围内均会受到台风的侵袭．如果某城市（设为点A ）位于点O 的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初．．侵袭该城要经过多长时间？θB 7515DAEF第23题BC6045第24题答案一、选择题1．C 2．A 3．D 4．C 5．D 6．D 7．B 8．B 二、填空题9．4 10．3 11．3 600 12．⊥ BAC BAD AB CD 13．4314．26 15．10.85 16．8.7 17．12、150 18．1sin 2mn θ 三、解答题19．约16.7米. 20．10.1海里/时 21．AC≈0.43（千米），BC≈1.44（千米） 22．2°48′23．θ≈51.1° 24．（1）B -，C -；（2）经过11小时．。

锐角三角函数值与锐角关系(专项练习)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)

专题28.7锐角三角函数值与锐角关系（专项练习）一、单选题1．在Rt ABC ∆中，∠C=90°，3sin 5A =，则tanB 的值为（）A ．45B ．35C ．34D ．432．已知：22sin 32cos α1+= ，则锐角α等于（）A ．32B ．58C ．68D ．以上结论都不对3．在Rt ABC ，90C ∠=，3sin 5B =，则sin A 的值是（）A ．35B ．45C ．53D ．544．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则tanA·tanB 等于()A ．0B ．1C ．－1D ．不确定5．如图，△ABC 中，AB=25，BC=7，CA=24．则sinA 的值为（）A ．725B ．2425C ．724D ．2476．⊿ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，下列比值中不等于tan A 的是（）A ．BC ACB ．CD ADC ．BD CDD ．AC AB7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝35，则sin B 的值为()A ．54B ．45C ．53D ．358．在ABC 中，90C ∠=，3sin 5A =，那么cosB 的值等于（）A ．35B ．45C ．34D ．439．如图，在平面直角坐标系系中，直线y=k 1x+2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，与反比例函数y=2k x在第一象限内的图象交于点B ，连接BO ．若S △OBC =1，tan ∠BOC=13，则k 2的值是（）A ．﹣3B ．1C ．2D ．310．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在BC 的延长线上，连接DE ，点F 是DE 的中点，连接OF 交CD 于点G ，连接CF ，若4CE =，6OF =．则下列结论：①2GF =；②OD =；③1tan 2CDE ∠=；④90ODF OCF ∠=∠=︒；⑤点D到CF 的距离为5．其中正确的结论是（）A ．①②③④B ．①③④⑤C ．①②③⑤D ．①②④⑤二、填空题11．已知α∠为锐角，且5sin 13α=，则cos α=______．12．已知：∠A +∠B ＝90°，若sin A =35，则cos B ＝__________.13．如图，ABC 的顶点B C 、的坐标分别是(1,0)、，且90,30ABC A ∠=︒∠=︒，则顶点A 的坐标是_____．14．已知：tanx=2，则sin 2cos 2sin cos x xx x+-＝____.15．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AD ⊥BC ，垂足为D ．给出下列四个结论：①sinα=sinB ；②sinβ=sinC ；③sinB=cosC ；④sinα=cosβ.其中正确的结论有_____.16．如图，在菱形ABCD 中，10AB AC ==，对角线AC 、BD 相交于点O ，点M 在线段AC 上，且3AM =，点P 为线段BD 上的一个动点，则12MP PB +的最小值是______．17．如图，在Rt ABC △中．90,2,4ABC AB BC ∠=︒==，点D 是边AC 上一动点．连接BD ，将ABD △沿BD 折叠，点A 落在A '处，当点A '在ABC 内部（不含边界）时，AD 长度的取值范围是___________．18．如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB V 斜边上的高为1，30AOB ∠=︒，将Rt OAB V 绕原点顺时针旋转90︒得到Rt OCD △，点A 的对应点C 恰好在函数(0)ky k x=≠的图象上，若在ky x=的图象上另有一点M 使得30MOC ∠=︒，则点M 的坐标为_________．三、解答题19．求值：(1)260453456 cos sin tan tan+-⋅；()2已知2tanA=，求245sinA cosAsinA cosA-+的值．20．（1）已知3tanα﹣2cos30°=0，求锐角α；（2）已知2sinα﹣3tan30°=0，求锐角α．21．如图，在△ABC中，BA=BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE=DF，连接AE，CE，AF，CF．(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若BA⊥AF，AD=4，BC=BD和AE的长．22．如图，已知BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高，联结EF．（1）求证：△AEF∽△ABC；（2）如果sin AAEF ABCS S ∆∆的值．23．如图，点P 为函数112y x =+与函数(0)m y x x =>图象的交点，点P 的纵坐标为4，PB x ⊥轴，垂足为点B．（1）求m 的值；（2）点M 是函数(0)my x x=>图象上一动点，过点M 作MD BP ⊥于点D ，若1tan 2PMD ∠=，求点M 的坐标．24．如图所示，已知正方形OEFG 的顶点O 为正方形ABCD 对角线AC BD 、的交点，连接CE DG 、．（1）求证：DOG COE ∆∆≌；（2）若DG BD ⊥，正方形ABCD 的边长为2，线段AD 与线段OG 相交于点M ，12AM =，求正方形OEFG 的边长．参考答案1．D【分析】根据锐角三角函数的定义和勾股定理求解即可．解：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∵sinA=BC AB =35，设BC=3x ，则AB=5x ，∵BC 2+AC 2=AB 2∴AC=4x ．∴tanB=AC BC ＝4x 3x＝43．故选D ．【点拨】本题考查了求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．2．A解：∵sin 2α+cos 2α=1，α是锐角，∴α=32°．故选A ．3．B【分析】根据互余两角三角函数的关系：sin 2A+sin 2B=1解答．解：∵在Rt △ABC 中,∠C =90︒，∴∠A +∠B =90︒，∴sin 2A+sin 2B=1，sin A >0，∵sin B =35，∴sin A =45.故选B.【点拨】本题考查互余两角三角函数的关系.4．B【分析】根据正切函数的定义，利用△ABC 的边表示出两个三角函数，即可求解．解：•.1a b tanA tanB b a==故选B ．【点拨】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．5．A【分析】根据勾股定理逆定理推出∠C=90°，再根据sin =BCA AB进行计算即可；解：∵AB=25，BC=7，CA=24，又∵22225=247+，∴222=AB BC AC +，∴△ABC 是直角三角形，∠C=90°，∴sin =BC A AB =725；故选A.【点拨】本题主要考查了锐角三角函数的定义，勾股定理逆定理，掌握锐角三角函数的定义，勾股定理逆定理是解题的关键.6．D【分析】根据题意，画出图形，根据正切的定义和同角的正切值相同即可得出结论．解：如下图所示在Rt ABC 中，tan A =BC AC，故A 不符合题意；在Rt ACD △中，tan A =CDAD，故B 不符合题意；∵∠A ＋∠ACD=90°，∠BCD ＋∠ACD=90°∴∠A=∠BCD ∴tan A =tan ∠BCD=BDCD，故C 不符合题意；tan A ≠ACAB，故D 符合题意．故选D ．【点拨】此题考查的是正切，掌握正切的定义和同角的正切值相同是解决此题的关键．7．D【分析】根据互为余角的两个角的三角形函数之间的关系求解．解：因为∠A ＋∠B ＝90°，所以sinB ＝cosA ，所以sinB ＝35．故选D【点拨】本题考查了互为余角的三角函数间的关系，如果∠A ＋∠B ＝90°，则sinA ＝cosB ，sinB ＝cosA8．A【分析】根据∠A +∠B =90°得出cos B =sin A ，代入即可．解：∵∠C =90°，sin A =35．又∵∠A +∠B =90°，∴cos B =sin A =35．故选A ．【点拨】本题考查了互余两角三角函数的关系，注意：已知∠A +∠B =90°，能推出sin A =cos B ，cos A =sin B ，tan A =cotB ，cotA =tan B ．9．D解：试题分析：先求得直线y=k 1x+2与y 轴交点C 的坐标为（0，2），然后根据△BOC 的面积求得BD 的长为1，然后利用∠BOC 的正切求得OD 的长为3,，从而求得点B 的坐标为（1，3），代入y=2k x求得k 2=3．故答案选D.考点：反比例函数与一次函数的交点问题．10．C【分析】由题意易得,,45,90BC CD BO OD OA OC BDC BCD DCE ====∠=︒∠=∠=︒，①由三角形中位线可进行判断；②由△DOC 是等腰直角三角形可进行判断；③根据三角函数可进行求解；④根据题意可直接进行求解；⑤过点D 作DH ⊥CF ，交CF 的延长线于点H ，然后根据三角函数可进行求解．解：∵四边形ABCD 是正方形，∴,,45,90BC CD BO OD OA OC BDC BCD DCE ====∠=︒∠=∠=︒，AC BD ⊥，∵点F 是DE 的中点，∴1,//2OF BE OF BE =，∵6OF =，4CE =，∴12BE =，则8CD BC ==，∵OF ∥BE ，∴△DGF ∽△DCE ，∴12DG GF CD CE ==，∴2GF =，故①正确；∴点G 是CD 的中点，∴OG ⊥CD ，∵∠ODC =45°，∴△DOC 是等腰直角三角形，∴OD =，故②正确；∵CE =4，CD =8，∠DCE =90°，∴1tan 2CE CDE CD ∠==，故③正确；∵1tan 12CDE ∠=≠，∴45CDE ∠≠︒，∴90ODF ∠≠︒，故④错误；过点D 作DH ⊥CF ，交CF 的延长线于点H ，如图所示：∵点F 是CD 的中点，∴CF =DF ，∴∠CDE =∠DCF ，∴1tan tan 2CDE DCF ∠=∠=，设DH x =，则2CH x =，在Rt △DHC 中，22464x x +=，解得：5x =±，∴DH =∴正确的结论是①②③⑤；故选C ．【点拨】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．11．1213【分析】根据5sin 13α=，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出cos α的值．解：∵22sin cos 1αα+=，5sin 13α=，∴12cos 13α=±，又∵α∠为锐角，∴12cos 13α=.故答案为：1213.【点拨】此题考查了同角三角函数的知识，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．12．35【分析】根据∠A +∠B ＝90°，判定三角形ABC 为直角三角形，则根据互余两角的三角函数的关系求解即可.解：由∠A +∠B ＝90°，sin A ＝35，得：cos B ＝sin A ＝35，故答案为35．【点拨】本题考查了互余两角的三角函数的关系的应用，注意：在△ACB 中，∠A +∠B ＝90°，则∠C=90°，则sinA=cosB ，cosA=sinB ，tanA=cotB ，cotA=tanB ．13．【分析】根据B C 、的坐标求得BC 的长度,60CBO ∠=︒，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半，求得AC 的长度，即点A 的横坐标，易得//AC x 轴，则C 的纵坐标即A 的纵坐标．解：B C 、的坐标分别是(1,0)、2BC ∴=tan OC CBOOB∴∠==60CBO ∴∠=︒90,30ABC A ∠=︒∠=︒60,24ACB AC BC ∴∠=︒==//AC x ∴轴A ∴．故答案为：．【点拨】本题考查了含30°角的直角三角形，用到的知识点有特殊角的三角函数，在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，熟记特殊角的三角函数是解题的关键．14．43解：分子分母同时除以cosx ，原分式可化为：221tanx tanx +-，当tanx=2时，原式=2242213+=⨯-．故答案为43．15．①②③④【分析】根据∠A=90°，AD ⊥BC ，可得∠α=∠B ，∠β=∠C ，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断．解：∵∠A=90°，AD ⊥BC ，∴∠α+∠β=90°，∠B+∠β=90°，∠B+∠C=90°，∴∠α=∠B ，∠β=∠C ，∴sinα=sinB ，故①正确；sinβ=sinC ，故②正确；∵在Rt △ABC 中sinB=AC BC ，cosC=AC BC，∴sinB=cosC ，故③正确；∵sinα=sinB ，cos ∠β=cosC ，∴sinα=cos ∠β，故④正确；故答案为①②③④．【点拨】本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系．16【分析】过M 点作MH 垂直BC 于H 点，与OB 的交点为P 点，此时12MP PB +的长度最小为MH ，再算出MC 的长度，在直角三角形MPC 中利用三角函数即可解得MH解：过M 点作MH 垂直BC 于H 点，与OB 的交点为P 点，此时12MP PB +的长度最小∵菱形ABCD 中，10AB AC ==∴AB =BC =AC =10，△ABC 为等边三角形∴∠PBC =30°，∠ACB =60°∴在直角△PBH 中，∠PBH =30°∴PH =12PB ∴此时12MP PB +得到最小值，1=2MP PB MP PH MH ++=∵AC =10，AM =3,∴MC =7又∠MPC =60°∴MH =MC【点拨】本题主要考查了菱形的性质与三角函数，能够找到最小值时的P 点是解题关键.17．53AD <<【分析】分别求出当A '落在AC 和BC 上时AD 的长度即可.解：∵∠ABC =90°，AB =2，BC =4，∴AC ===当点A '落在AC 上时，如图，∵将△ABD 沿BD 折叠，点A 落在A '处，∴∠ADB =A DB '∠=90°，∵AD AB cosA AB AC==，∴2AB AD AC ==当点A '落在BC 上时，如图，过点D 作DH ⊥AB 于H ，∵将△ABD 沿BD 折叠，点A 落在A '处，∴∠ABD =∠DBC =45°，∵DH ⊥AB ，∴∠HDB =∠HBD =45°，∴BH =DH ，∵2HD BC tanA AH AB===，∴HD =2AH =BH ，∵AB =AH +BH =2AH +AH =2，∴23AH =，43BH DH ==，∴3AD ===，∴当点A '在△ABC 内部（不含边界）时，ADAD <<．【点拨】本题考查折叠问题，解题的关键是考虑两种极端情况．还可以利用相似来解题．18．【分析】利用30°的正切可以求出C 点坐标，再利用C 、M 在(0)k y k x =≠上，设M 的坐标，最后通过30MOF ∠=︒可以求出M 点的坐标．解：如图，过点C 作CE y ⊥轴，过点M 作MF x ⊥轴，由题意可知30EOC MOF ∠=∠=︒，1CE =则tan 30CE OE ==︒C在0)y k ≠上，k ∴=设()M m m(0)m >30MOF ∠=︒tan 3MOF ∴∠==解得1,1m m ==-（不符合题意，舍去）所以M故答案为：．【点拨】本题考查了直角三角形的性质，特殊角的锐角三角函数，反比例函数性质，正确理解题意，求出C 点的坐标是解决问题的关键．19．（1）0；（2）313.【分析】（1）根据特殊角的三角函数值及互余两角三角函数值相互间的关系计算．（2）根据同角三角函数值相互间的关系计算．解：（1）原式12=+（2）2﹣11122=+-1=0；（2）∵tan A =2，∴sin cos A A =2，∴sin A =2cos A ，∴原式=22cos 42cos 5A cosA A cosA ⨯-⨯+=3cos 13cos A A =313．【点拨】本题考查了特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．20．（1）α=30°；（2）α=60°．【分析】（1）先求出tanα的值，然后求出角的度数；（2）先求出sinα解：（1）解得：则α=30°；（2）解得：sinα=2，则α=60°．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．21．(1)见分析(2)8,BD AE ==【分析】（1）由等腰三角形的性质得到,AD CD BD AC =⊥，再由菱形的判定定理即可得到结论；（2）先求出AB =，由勾股定理得出BD 的长度，解直角三角形求出AF 的长度，再由菱形的性质即可求解．解：（1） BA =BC ，BD 平分∠ABC,AD CD BD AC∴=⊥ DE =DF∴四边形AECF 是菱形；（2）BD AC ⊥ ，BA ⊥AF90ADB BAF ∴∠=∠=︒BC = ，BA =BCAB ∴= AD =4∴在Rt ABD ∆中，BD 8==tan AD AF ABD BD AB∠== 48∴=AF ∴=四边形AECF 是菱形AE AF ∴==【点拨】菱形的判定和性质、勾股定理及利用同角的三角函数关系求值，熟练掌握知识点是解题的关键．22．（1）见分析；（2）14【分析】（1）先求证AEB AFC △∽△，得到AE AB AF AC =，再根据A A ∠=∠，即可求证；（2）根据三角函数的定义以及关系，求得AE AB的值，即可求解．解：（1）∵BE 、CF 分别是△ABC 的边AC 、AB 上的高∴90AFC AEB ∠=∠=︒又∵A A∠=∠∴AEB AFC△∽△∴AE AB AF AC =，即AE AF AB AC=又∵A A ∠=∠∴AEF ABC∽（2）在Rt ABE △，sin 2BE A AB ==，cos AE A AB =由锐角三角函数关系可得：1cos 2A ==，即12AE AB =由（1）得，AEF ABC∽∴21(4AEF ABC S AE S AB ∆∆==【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角函数的定义和关系，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及三角函数的定义和关系是解题的关键．23．（1）24；（2）M 点的坐标为(8,3)【分析】(1)根据交点坐标的意义，求得点P 的横坐标，利用k =xy 计算m 即可；（2）利用分类思想，根据正切的定义，建立等式求解即可.解：（1）∵点P 纵坐标为4，∴1412x =+，解得6x =，(6,4)P ∴∴4=6m ，∴24m =．（2）∵1tan 2PMD ∠=，∴12PD PM =，设(0)PD t t =>，则2DM t =，当M 点在P点右侧，∴M 点的坐标为(62,4)t t +-，∴（6+2t ）（4-t ）=24，解得：11t =，20t =（舍去），当11t =时，(8,3)M ，∴M 点的坐标为(8,3)，当M 点在P 点的左侧，∴M 点的坐标为(62,4)t t -+，∴（6-2t ）（4+t ）=24，解得：10t =，21t =-，均舍去．综上，M 点的坐标为(8,3)．【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数解析式的确定，三角函数，一元二次方程的解法，熟练掌握函数图像交点的意义，灵活运用三角函数的定义，构造一元二次方程并准确解答是解题的关键．24．(1)见分析;(2)【分析】（1）由正方形ABCD 与正方形OEFG ，对角线AC BD 、，可得90DOA DOC ∠=∠=︒，90GOE ∠=︒，即可证得GOD COE ∠=∠，因,DO OC GO EO ==，则可利用“边角边”即可证两三角形全等（2）方法一：过点M 作MH DO ⊥交DO 于点H ，由于45MDB ∠=︒，由可得,DH MH 长，从而求得HO ，即可求得MO ，再通过MH DG ∥，易证得D OHM O G △∽△，则有OH MO OD GO =，求得GO 即为正方形OEFG 的边长方法二：因为DG ⊥BD ，利用同旁内角互补证DG ∥OA ，进而得△DMG ∽△AMO 。

【人教版】九年级下册数学《锐角三角函数》全章知识点复习及同步习题

c ，则有： s in A = a = cos B ， cos A = = sin B ， tan A = ，这就是锐角三角函数所以 cos B = sin(90 - B) = sin A = ．在 Rt△BCD 中， cos B = ，所以 = ．， cos A = ， =（sin 2A 、cos 2A 分别表示 sin A 、cos A 2 2锐角三角函数我们知道，在 Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为 a 、b 、b ac c b的定义．根据锐角三角函数的定义，再结合直角三角形的性质，我们可以探索出锐角三角函数之间的三个特殊关系．一、余角关系由上面的定义我们已得到 sin A =cos B ，cos A =sin B ，而在直角三角形中，∠A＋∠B ＝90°，即∠B ＝90°－∠A ．因此有：sin A =cos （90°-A ），cos A =sin （90°-A ）．应用这些关系式，可以很轻松地进行三角函数之间的转换．例１如图，在 Rt△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于 D ，已知 sin A =＝2，求 BC 的长．解：由于∠A ＋∠B ＝90°，12BD 2 1BC BC 2所以 BC ＝4．二、平方关系a b 由定义知 sin A = c c1 2 ，BD所以 sin 2 A + cos 2 A = a 2 b 2 a 2 + b 2+ c c c 2的平方）．又由勾股定理，知 a 2+b 2=c 2，所以 sin 2A +cos 2A = c 2 c 2=1．应用此关系式我们可以进行有关锐角三角函数平方的计算．例 2 计算：sin256°+sin245°+sin234°．=⎪⎪ + 1 = 由定义中 sin A = a， cos A = ，得 = c = ⨯ = = tan A ．所以原式 = = =- ．5 12 5 12所以 sin B = = ．应选(B)．5解：由余角关系知 sin56°=cos（90°-56°）=cos34°．所以原式＝sin245°+（sin234°+cos234°）⎛ 2 ⎫2 ⎝ 2 ⎭3 2 ．三、相除关系b c casin A a c a cos A b c b bc利用这个关系式可以使一些化简求值运算过程变得简单．例 3 已知 α 为锐角，tan α =2，求 3sin α + cos α 4cos α - 5sin α的值．解：因为 tan α = sin α cos α= 2 ，所以 sin α =2cos α ，6cos α + cos α 6 + 1 74cos α - 10cos α 4 - 10 6求三角函数值的方法较多，且方法灵活．是中考中常见的题型．我们可以根据已知条件结合图形选用灵活的求解方法．四、设参数法例 4 如图 △1，在 ABC 中，∠C =90°，如果 t a n A =(A)(B) (C) (D)13 13 12 55 12 ，那么 sin B 等于（）分析：本题主要考查锐角三角函数的定义及直角三角形的有关性质．因为 tan A = a 5 =b 12，所以可设 a =5k ，b =12k (k >0)，根据勾股定理得 c =13k ，图 1b 12c 13五、等线段代换法例 5如图 2，小明将一张矩形的纸片 ABC D 沿 C E 折叠，B 点恰好落在 A D 边上，设此点为 F ，若 BA ：BC =4：，则 c os∠DCF 的值是______．分析：根据折叠的性质可知 E △B C ≌ EF C ，所以 C F=CB ，又 C D=AB ，AB ：BC =4：5，所以 C D ：C F=4：5，图 2=．113911，即=，所以C E=，在Rt△A E C中，tan∠CA E==3=．所以tanα=．C3445所以DB==，所以tanα=，选(A)．在Rt D△C F中，c os∠D C F=DC4 CF5六、等角代换法例6如图3，C D是平面镜，光线从A点出发经C D上点E反射后照射到B点，若入射角为α（入射角等于反射角），AC⊥C D，B D⊥C D，垂足分别为C、D，且AC＝3，B D＝6，C D＝11，则tanα的值为（）B（A）（B）（C）（D）311119A分析：根据已知条件可得∠α=∠CA E，所以只需求出tan∠CA E．α根据条件可知△A C E∽B DE，所以AC CE3CE=BD ED611-CEC E图3D11311CE11AC39119七、等比代换法例7如图4，在Rt△ABC中，ACB=90，D⊥AB于点D，BC=3，AC=4，设BC D=α，tanα的值为（）(A)(B)(C)(D)435分析：由三角形函数的定义知tanα=DB DC，由Rt△C D△B∽Rt ACB，BC33DC AC44图4（：锐角三角函数测试1．比较大小：sin41°________sin42°． 2．比较大小：cot30°_________cot22°． 3．比较大小：sin25°___________cos25°． 4．比较大小：tan52°___________cot52°． 5．比较大小：tan48°____________cot41°． 6．比较大小：sin36°____________cos55°．7、下列命题①sin α 表示角α 与符号 sin 的乘积；② 在△ABC 中，若∠C=90°，则 c=α sinA 成立；③任何锐角的正弦和余弦值都是介于 0 和 1 之间实数.其正确的为（）A 、②③B.①②③C.②D. ③8、若 △R t ABC 的各边都扩大 4 倍得到 △R t A ′B ′C ′,那么锐角 A 和锐角 A ′正切值的关系为()A.tanA ′=4tanA B.4tanA ′=tanAC.tanA ′=tanAD.不确定.9（新疆中考题） 1）如图（1）、 2），锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化．试探索随着锐角度数的增大．它的正弦值和余弦值变化的规律．（2）根据你探索到的规律，试比较 18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小。

2022-2023学年苏科版九年级数学下册《第7章锐角三角函数》单元达标测试题(附答案)

2022-2023学年苏科版九年级数学下册《第7章锐角三角函数》单元达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分32分）1．在Rt△ABC中，如果各边的长度同时扩大2倍，那么锐角A的正弦值和余弦值（）A．都扩大2倍B．都缩小2倍C．都不变D．不能确定2．若∠A为锐角，且sin A＝，则cos A等于（）A．1B．C．D．3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tan A的值是（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AD⊥BC交BC于点D，若AB＝4，tan∠CAD＝，则BC＝（）A．6B．6C．7D．75．在△ABC中，BC＝+1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（）A．B．+1C．D．+16．如图，AB表示一条跳台滑雪赛道，在点A处测得起点B的仰角为40°，底端点C与顶端点B的距离为50米，BC⊥AC于点C，则赛道AB的长度为（）A．米B．米C．50sin40°米D．50cos40°米7．如图，河堤横断面迎水坡AB坡比是1：2，堤高BC＝4m，则坡面AB的长度是（）mA．8B．16C．4D．48．如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则sin∠BAC的值是（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题，满分32分）9．比较大小：tan50°tan60°．10．若（3tan A﹣）2+|2sin B﹣|＝0，则以∠A、∠B为内角的△ABC的形状是．11．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，P是网格线交点，则tan∠P AB+tan∠PBA ＝．12．如图所示，某河提的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB长13米，且AB边的坡度为，则河堤的高BE为米．13．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），以点A 为圆心，AB的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，连接BC，则∠C的正弦值为．14．如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO＝，则点F的坐标是．15．如图，在△ABC中，AH⊥BC于点H，在AH上取一点K，连接CK，使得∠HKC+∠HAC＝90°，在CK上取一点N，使得CN＝AC，连接BN，交AH于点M，若tan∠ABC ＝2，BN＝15，则CH的长为．16．如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为．三．解答题（共7小题，满分56分）17．计算：﹣2（1+sin60°）18．（1）在△ABC中，∠C＝90°．已知c＝8，∠A＝60°，求∠B，a，b；（2）如图，在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，D为AC上一点，∠BDC＝45°，CD ＝6．求AD的长．19．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，tan A＝．求：（1）S△ABC；（2）∠B的余弦值．20．如图，楼房AB后有一假山CD，CD的坡度为i＝1：2，测得B与C的距离为24米，山坡坡面上E点处有一休息亭，与山脚C的距离CE＝8米，小丽从楼房房顶A处测得E的俯角为45°．（1）求点E到水平地面的距离；（2）求楼房AB的高．21．某海港南北方向上有两个海岸观测站A，B，距离为10海里．从港口出发的一艘轮船正沿北偏东30°方向匀速航行，某一时刻在观测站A，B两处分别测得此轮船正好航行到南偏东30°和北偏东75°方向上的C处．经过0.5时轮船航行到D处，此时在观测站A 处测得轮船在北偏东75°方向上，求轮船航行的速度（结果精确到0.1海里/时，参考数据：≈1.414，＝1.732）22．如图，为测量某建筑物BC的高度，采用了如下方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD（坡度i＝1：2.4）行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，底端B 的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内．根据测量数据，计算出建筑物BC 的高度．（参考数据：）23．阅读以下材料，并解决相应问题：在学习了直角三角形的边角关系后，我们可以继续探究任意锐角三角形的边角关系，在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．如图1，过点A作AD⊥BC于点D，则根据定义得sin B＝，sin C＝，于是AD＝c sin B，AD＝b sin C，也就是c sin B ＝b sin C，即．同理有，，即最终得到．即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论就可以求出其余三个未知元素．（1）在锐角△ABC中，若∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，求AB．（2）仿照证明过程，借助图2或图3，证明和中的其中一个．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：∵锐角A的正弦值是对边和斜边的比，余弦值是邻边和斜边的比，∴边长同时扩大2倍对于锐角A的正弦值和余弦值没有影响，∴锐角A的正弦值和余弦值没有改变．故选：C．2．解：∵∠A为锐角，且sin A＝，∴∠A＝60°，∴cos A＝cos60°＝，故选：D．3．解：∵AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，∴tan A＝＝，故选：D．4．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，AB＝4，∠B＝45°，∴AD＝AB sin45°＝4×＝4，BD＝AB cos45°＝4×＝4，在Rt△ADC中，tan∠CAD＝，∴CD＝AD tan∠CAD＝4×＝3，∴BC＝BD+DC＝4+3＝7，故选：C．5．解：过A点作AD⊥BC于点D，∵∠B＝45°，∴∠BAD＝45°＝∠B，∴AD＝BD，设BD＝x，则AD＝x，∵∠C＝30°，∴tan C＝，∴，∵BC＝+1，∴x+x＝+1，∴x＝1，即AD＝1，∴．故选：A．6．解：在Rt△ABC中，∵∠A＝40°，BC＝50米，∴sin40°＝，∴AB＝＝米，故选：A．7．解：Rt△ABC中，BC＝4m，tan A＝1：2；∴AC＝＝8m，∴AB＝＝＝4（m）．故选：C．8．解：延长AC到D，连接BD，如图：∵AD2＝20，BD2＝5，AB2＝25，∴AD2+BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，∴sin∠BAC＝．故选：A．二．填空题（共8小题，满分32分）9．解：∵50°＜60°，∴tan50°＜tan60°，故答案为：＜．10．解：∵（3tan A﹣）2+|2sin B﹣|＝0，∴3tan A﹣＝0，2sin B﹣＝0，则tan A＝，sin B＝，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴以∠A、∠B为内角的△ABC的形状是直角三角形．故答案为：直角三角形．11．解：设小正方形的边长是a，∵tan∠P AB＝＝＝，tan∠PBA＝＝＝，∴tan∠P AB+tan∠PBA＝+＝．12．解：由已知斜坡AB的坡度，得：BE：AE＝12：5，设AE＝5x米，则BE＝12x米，在直角三角形AEB中，根据勾股定理得：132＝5x2+（12x）2，即169x2＝169，解得：x＝1或x＝﹣1（舍去），5x＝5，12x＝12即河堤高BE等于12米．故答案为：12．13．解：∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），∴BO＝3，AO＝4，∴AB＝＝5，∵以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，∴CO＝5﹣4＝1，BC＝＝，∴sin∠C＝＝＝，故答案为：．14．解：过点F作直线F A∥OG，交y轴于点A，过点G作GH⊥F A于点H，则∠F AE＝90°，∵F A∥OG，∴∠FGO＝∠HFG．∵∠EFG＝90°，∴∠FEA+∠AFE＝90°，∠HFG+∠AFE＝90°，∴∠FEA＝∠HFG＝∠FGO，∵cos∠FGO＝，∴cos∠FEA＝，在Rt△AEF中，EF＝10，∴AE＝EF cos∠FEA＝10×＝6，∴根据勾股定理得，AF＝8，∵∠F AE＝90°，∠AOG＝90°，∠GHA＝90°，∴四边形OGHA为矩形，∴AH＝OG，∵OG＝17，∴AH＝17，∴FH＝17﹣8＝9，∵在Rt△FGH中，＝cos∠HFG＝cos∠FGO＝，∴FG＝9÷＝15，∴由勾股定理得：HG＝＝12，∴F（8，12）．故答案为：（8，12）．15．解：如图，过点N作NJ⊥BC于J．设HJ＝x．∵AH⊥BC，∴∠AHB＝∠AHC＝90°，∵tan∠ABH＝＝2，∴可以假设BH＝k，2k，∵∠HKC+∠HAC＝90°，∠HKC+∠KCH＝90°，∴∠HAC＝∠KCH，∵NJ⊥BC，∴∠AHC＝∠CJN＝90°，∴△AHC∽△CJN，∴＝＝＝2，∴CJ＝k，∴CH＝x+k，JN＝（x+k），∴tan∠NBJ＝＝，设NJ＝y，BJ＝2y，∵BN＝15，∴5y2＝152，∴y＝3，∴NJ＝3，∴CH＝2NJ＝6．16．解：连接CM，DN，由题意得：CM∥AB，∴∠APD＝∠NCD，由题意得：CN2＝12+12＝2，DN2＝32+32＝18，CD2＝22+42＝20，∴CN2+DN2＝CD2，∴△CND是直角三角形，∴tan∠NCD＝＝＝3，∴∠APD的正切值为：3，故答案为：3．三．解答题（共7小题，满分56分）17．解：原式＝﹣2（1+）＝+﹣2﹣＝﹣2．18．解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∴b＝c＝4，∵tan A＝，∴a＝b tan A，∴a＝4×＝12；（2）∵∠C＝90，∠BDC＝45°，∴△BDC是等腰直角三角形，∴BC＝CD＝6，∵sin A＝，∴AB＝＝10，∵AC2＝AB2﹣BC2，∴AC2＝102﹣62，∴AC＝8，∴AD＝AC﹣DC＝2．19．解：（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ABC中，tan A＝＝，∴设CD＝4k，则AD＝3k，∴AC＝＝＝5k，∵AC＝15，∴5k＝15，∴k＝3，∴AD＝9，CD＝12，∴S△ABC＝AB•CD＝×15×12＝90，∴S△ABC＝90；（2）在Rt△BCD中，BD＝AB﹣AD＝15﹣9＝6，CD＝12，∴BC＝＝＝6，∴cos B＝＝＝，∴∠B的余弦值为．20．解：（1）过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于F，∵CD的坡度i＝EF：CF＝1：2，∴设EF＝a米，则CF＝2a米，在Rt△CEF中，根据勾股定理得：CE＝＝＝a（米），∵CE＝8米，∴a＝8，∴a＝8，∴EF＝8米，CF＝2a＝16（米），∴点E到水平地面的距离为8米；（2）如图：延长FE交AG于点H，由题意得：∠HAE＝45°，AH＝BF＝BC+CF＝24+16＝40（米），AB＝FH，在Rt△AHE中，HE＝AH•tan45°＝40×1＝40（米），∴AB＝HF＝HE+EF＝40+8＝48（米），∴楼房AB的高为48米．21．解：作AE⊥CD于E，∵∠ACB＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴∠ABC＝∠ACB，∴AC＝AB＝10海里，∵向北的方向线是平行的，∴∠ACF＝∠CAB＝30°，∴∠ACD＝60°，∴∠CAE＝30°，∴CE＝AC＝5海里，AE＝AC＝5海里，∵∠DAC＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴∠DAE＝75°﹣30°＝45°，∴DE＝AE＝5海里，∴CD＝5+5≈13.66（海里），轮船航行的速度为：13.66÷＝27.3（海里/时），答：轮船航行的速度是27.3海里/时，22．解：如图，过D作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．则四边形DHBF是矩形，∴BF＝DH，在RtADH中，AD＝130米，DH：AH＝1：2.4，∴DH＝50（米），∴BF＝DH＝50米），在Rt△EFB中，∠BEF＝45°，∴△EFB是等腰直角三角形，∴EF＝BF＝50（米），在Rt△EFC中，∠CEF＝60°，tan∠CEF＝tan60°＝＝，∴CF＝EF＝50＝86.6（米），∴BC＝BF+CF＝136.6（米）．答：建筑物BC的高度约为136.6米．23．解：（1）根据阅读材料可知，，∵∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，∴＝，∴AB＝＝2；（2）证明．理由如下：如图，连接CO并延长交⊙O于D，连接AD、BD，则∠DAC＝∠DBC＝90°，∠BAC＝∠BDC，∠ABC＝∠ADC．在Rt△ADC中，sin∠ADC＝，∴CD＝．在Rt△BDC中，sin∠BDC＝，∴CD＝，∴＝，∴＝，即在△ABC中，．。

初三数学家庭作业由三角函数值求锐角

初三数学家庭作业第七章锐角三角函数7.4 由三角函数值求锐角一、知识要点1、利用计算器，可以由一个锐角的三角函数值求这个角的＿＿＿＿＿＿.2、已知sinA ＝135，用计算器求∠A 的大小，依次按键为：＿＿＿、＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿、＿＿＿、＿＿＿、＿＿＿、＿＿＿，则∠A ＝＿＿＿＿°.二、基础训练1、若α为锐角，tan α＝0.2，则α＝＿＿＿＿＿＿2、若α为锐角，cos α＝0.5127，则α＝＿＿＿＿＿＿3、已知斜坡AB 的高为3m ，长为15m ，则斜坡AB 的倾斜角为＿＿＿＿＿＿4、用计算器比较两个锐角α，β的大小（1）sin α＝0.55，tan β＝0.68，α＿＿＿＿＿β（2）sin α＝0.47，cos β＝0.89，α＿＿＿＿＿β5、一架梯子斜靠在一面墙上，已知梯长5m ，梯子位于地面上的一端离墙壁25m ，则梯子与地面所成的锐角为＿＿＿＿＿＿6、如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若AD ＝4，BD ＝1，则∠A ＝＿＿（精确到0.1°）7、如图，桌球台上有一只小球A ，按图中的路线击打小球，撞击台边C 后反弹入B 洞，则小球撞击台边时的入射角θ＝＿＿＿＿＿＿（精确到0.1°）8、已知sinA ＝0.6820，利用计算器求出锐角∠A 的值约为（）A 、43°B 、42°C 、41°D 、44°9、若三个锐角α、β、γ，满足sin α＝0.8480，cos β＝0.4540，tan γ＝1.8040，则α、β、γ的大小关系是（）A 、β＜α＜γB 、α＜β＜γC 、α＜γ＜βD 、β＜γ＜α10、比较tan10°，sin10°，cos10°的大小关系为（）A 、tan10°＜sin10°＜cos10°B 、tan10°＞sin10°＞cos10°C 、sin10°＜tan10°＜cos10°D 、sin10°＞tan10°＞cos10°11、大楼每层的高度为6m ，若选用长14m 的直型手扶电梯通向上一层，则电梯的倾斜角约为（）A 、62°B 、28°C 、25°D 、65°12、如图，在距离高为30m 的灯塔48m 处观察灯塔，塔顶的仰角为（）A 、39°B 、32°C 、51°D 、58°13、用计算器求下列各式中的锐角α（精确到0.1°）（1）sin α＝0.8936 （2）cos α＝0.0794 （3）tan α＝0.86314、如图，在离旗杆6m 的A 处，用测角仪测得旗杆顶端C 的仰角为50°，已知测角仪高AD ＝1.5m ，求旗杆BC 的高（结果是近似数，请你自己选择合适的精确度）.如果你没有带计算器，也可选用如下：sin50°≈0.7660 cos50≈0.6428 tan50°≈1.192三、能力提升1、用计算器探索：按一定规律排列的一组数：201,191,,121,111,101 ，如果从中选出若干个数，使它们的和大于0.5，那么至少要选＿＿＿＿＿个数.2、用计算器探索规律：3、如图，小明准备测量学校旗杆AB 的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB 的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，测得水平地面上的影长BC ＝20米，斜坡坡面上的影长CD ＝8米，太阳光线AD 与水平地面成26°角，斜坡CD 与水平地面所成的锐角为30°，求旗杆AB 的高度.（精确到1米）4、已知：如图，C为半圆上一点，，过点C作直径AB的垂线CP，P为垂足，弦AE分别交PC，CB于点D，F.（1）求证：AD＝CD；5、如图，H是⊙O的内接锐角△ABC的高线AD、BE的交点，过点A引⊙O的切线，与BE的延长线相交于点P，若AB的长是关于x的方程x2－63x＋36（cos2C－cosC＋1）＝0的实数根.（1）求：∠C＝＿＿＿＿度；AB的长等于＿＿＿＿（直接写出结果）.★（2）若BP＝9，试判断△ABC的形状，并说明理由.四、预习感知1、阅读课本P51-522、如图，在直角三角形中，∠C为直角，除直角外三边之间的关系是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿锐角之间的关系是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿边角之间的关系是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿3、由直角三角形的＿＿＿＿＿＿＿，求出＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，叫做解直角三角形.4、已知条件中至少有一个是＿＿＿＿＿＿，才能求出其它未知元素.5、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，b＝3，解这个直角三角形.。

锐角三角函数的计算——特殊角的三角函数值(专项练习)-2022-2023学年九年级数学下册知识讲练

专题1.5 锐角三角函数的计算——特殊角的三角函数值（专项练习）一、单选题 1．tan45°＝（） A ．1B ．22C 3D 323）． A ．cos30︒B ．tan30︒C ．cos45︒D ．sin30︒3．点()sin60,cos30︒︒关于y 轴对称的点的坐标是（）． A ．132⎛- ⎝⎭B ．13,2⎛ ⎝⎭C ．33⎛ ⎝⎭D ．33⎝⎭4．已知()3tan 903α︒-=α的度数是（）A ．60°B ．45°C ．30°D ．75°5．在△ABC 中，∠C =90°，AB 2BC =1，则∠A 的度数为（） A ．30B ．45︒C ．60︒D ．75︒6．关于三角函数有如下的公式：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-，由该公式可求得sin15︒的值是（）A 62+B 62-C 32-D 31-7．若)23A 32cos B 30-+=，则ABC 的形状是（）A ．含有60°直角三角形B ．等边三角形C ．含有60°的任意三角形D ．等腰直角三角形82x 0（x ≠0），cos30°38 ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，30BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠，DF AB ⊥交AB 于F ，DE DF ⊥交AC 于E ．若8AE =，则DF 等于（）A ．5B ．4C ．3D ．210．如果∠A 为锐角，cos A 3∠A 取值范围是（） A ．0°＜∠A ≤30° B ．30°＜∠A ≤45° C ．45°<∠A<60° D ．60°＜∠A ＜90°二、填空题11．如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则cos∠AOB 的值等于______12．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A 、B 、O 都在格点上，则AOB ∠的正切值是______．13．两块全等的等腰直角三角形如图放置，90,A DE ∠=︒交AB 于点P ，E 在斜边BC 上移动，斜边EF 交AC 于点Q ，32,10BP BC ==，当BPE 是等腰三角形时，则AQ 的长为___________．14．如图，平行四边形ABCD 的边AB 在x 轴正半轴上，5BC =，4sin 5CBA ∠=，一次函数4y x =-的图象经过点A 、C ，反比例函数ky x=的图象经过点D ，则k =________．15．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝8，∠B ＝120°，点O 是对角线AC 的中点，OE ∠CD 于点E ，则OE 的长为 __．16．如图，在∠ABC 中，AB =4，BC =7，∠B =60°，点D 在边BC 上，CD =3，联结AD ．如果将∠ACD 沿直线AD 翻折后，点C 的对应点为点E ，那么点E 到直线BD 的距离为____．17．如图，在矩形ABCD 中，10BC =，30ABD ∠=︒，若点M 、N 分别是线段DB 、AB 上的两个动点，则AM MN +的最小值为___________________．18．如图，已知线段4AB =，O 是AB 的中点，直线l 经过点O ，160∠=，P 点是直线l 上一点，当APB ∆为直角三角形时，则BP =_____．三、解答题19．计算：(1) 3tan30tan 452sin30︒+︒+︒； (2) 2cos 30tan 30sin 60245︒︒︒︒+⨯． 20．计算 (1) 013131(2007)()3tan 3084π-+---︒(2) 2cos 6045tan 30cos30︒+︒+︒⋅︒．21．计算与化简题(1) 计算：11351220224sin 603-⎛⎫-⨯++︒ ⎪⎝⎭(2) 先化简，再求代数式21691224a a a a -+⎛⎫-÷⎪--⎝⎭的值，其中4cos303tan 45a =︒+︒．22．如图，已知等边三角形ABC 的边长为6cm ，点P 从点A 出发，沿A →C →B 的方向以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿B→A的方向以1cm/s的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为t，请解决下列问题：(1)若点P在边AC上，当t为何值时，APQ为直角三角形？(2)是否存在这样的t值，使APQ的面积为3 2 ？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．23．四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，E是对角线BD上的一个动点，连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转120°得到线段AF，连接EF，DF．（1）如图1，求∠BDF的度数；（2）如图2，当DB＝3DF时，连接EC，求证：四边形FECD是矩形；（3）若G为DF中点，连接EG，当线段BD与DF满足怎样的数量关系时，四边形AEGF 是菱形，并说明理由．24．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将∠BCD沿直线BD翻折得到∠BC′D，若点C′恰好落在抛物线的对称轴上，求点C′和点D的坐标；参考答案1．A【分析】根据直角三角形中45°角的正切值计算并判断即可．解：tan45°＝1，故选：A ．【点拨】本题考查直角三角形中45°角的正切值，能够牢记直角三角形中特殊度数的角的正切值，正弦值，余弦值是解决此类题型的关键．2．A【分析】根据特殊角的三角函数值解答．解：A 、cos30︒3B 、tan30︒3C 、cos45︒＝22，不符合题意； D 、sin30︒＝12，不符合题意；故选A ．【点拨】本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握常见的特殊角的三角函数值是解题的关键．3．C【分析】先利用特殊角的三角函数值得出点的坐标，再写出其关于y 轴对称的坐标即可．解：∠sin60°3cos30°3∠33y 轴对称的点的坐标是（33．故选：C ．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值和关于坐标轴对称的点的特征，掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．4．A【分析】根据3tan 30︒=9030α︒-=︒即可求解．解：∠()3tan 903α︒-=，α为锐角，∠9030α︒-=︒， ∠60α=︒，故选：A ．【点拨】本题考查根据特殊角三角函数值求角的度数，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．5．B【分析】直接利用已知画出直角三角形，再利用锐角三角函数关系得出答案．解：∠∠C =90°，AB 2BC =1，∠sin A =22BC AB = ∠∠A =45°．故选：B ．【点拨】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 6．B【分析】根据()sin15sin 4530sin45cos30cos45sin30︒=︒-︒=︒︒-︒︒，代入特殊三角函数值计算即可．解：()sin15sin 4530︒=︒-︒sin45cos30cos45sin30=︒︒-︒︒23212=62-=故选：B ．【点拨】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，灵活运用公式把一般角转化为特殊角的和或者差是解题的关键．7．A333,cos A B ==，从而得到60,30A B ∠=︒∠=︒，即可求解．解：解∠∠)23A 32cos B 30-+=，330,2cos 30A B -==，333,cos A B =， ∠60,30A B ∠=︒∠=︒， ∠∠C =90°，∠ABC 是含有60°直角三角形．故选：A【点拨】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值，绝对值和平方的非负性，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键．8．B【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的意义，即可解答． 2x 0（x ≠0）=1，3cos30°382382，x 0=1，所以，有理数的个数是2，故选：B ．【点拨】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，实数，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．9．B【分析】过D 点作DG ∠AC 于G 点，通过DF ∠AB ，DE ∠DF ，可得AB ED ∥，进而有∠BAD =∠ADE ，∠DAE =∠ADE =15°，即可得AE =DE =8，易证得AFD AGD ≅△△，即可求解DF =DG =4．解：过D 点作DG ∠AC 于G 点，如图，∠AD 平分∠BAC ，∠BAC =30°， ∠∠BAD =∠CAD =15°，又∠DF ∠AB ，DE ∠DF ，∠AB ED ∥，∠AFD =∠AGD =90°， ∠∠BAD =∠ADE ， ∠∠DAE =∠ADE =15°， ∠∠AED 是等腰三角形，∠AE=DE=8，∠DEC=∠EDA+∠EAD=30°，在Rt∠DEG中，有1sin sin302 DGDEGDE=∠==，∠DG=4，∠∠AFD=∠AGD，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∠AFD AGD≅△△，∠DF=DG=4，故选：B．【点拨】本题考查了角平分线的性质、平行的相关的性质、等腰三角形的判定和性质以及特殊角的三角函数等知识，利用角平分线的性质是解答本题的关键．10．C【分析】分别求出60°和45°角的余弦值，由此得到答案．解：∠cos60°＝12，cos45°2，且1322∠45°＜∠A＜60°．故选C．【点拨】此题考查了角度的余弦公式，余弦值随着角度的增大而减小的性质，熟记公式是解题的关键．11．1 2解：∠OA=OB=AB，∠∠ABC是等边三角形，∠∠AOB=60°，∠cos∠AOB=cos60°=12．故答案是：12．12．1【分析】连接AB，由勾股定理求得AB、AO、BO的长，判断△ABO是等腰直角三角形，即可求得答案．解：连接AB，由勾股定理得：AB 221310+AO 221310+OB 222425+= ∠AB ＝AO ，(22222101020OA AB OB +=+==，∠△ABO 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，∠tan tan 451AOB ∠︒=＝，故答案为：1．【点拨】此题考查了勾股定理在网格中的应用、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．13．8210322【分析】解答时，分BE =PE ，PB =PE 和BP =BE 三种情况求解即可．解：当BE =PE 时，∠∠B =∠C =∠DEF =∠DFE =45°，∠∠BPE =45°，∠BEP =90°，∠QEC =45°，∠EQC =90°，∠PE =BE =BPsin 45°=232，EQ =CQ =ECsin 45°=272(103)- ∠ BC =10，∠AC =BCsin 45°=210=52 ∠AQ =AC -QC =723252= 当PB =PE 时，根据前面计算，得到BH =PH =3，∠BH =HE =3，∠∠B =∠C =∠DEF =∠DFE =45°，∠∠EQC =45°，∠CEQ =90°，EC =EQ =BC -BE =10-6=4，∠CQ =4=42sin 452CQ =， ∠ BC =10，∠AC =BCsin 45°=210=52 ∠AQ =AC -QC =52422当BP =BE 时，∠∠B =∠C =∠DEF =∠DFE =45°，∠∠BPE =∠BEP =∠QEC =∠EQC ，∠PE =BE =32EQ =CQ =BC -BE =(1032)-，∠ BC =10，∠AC =BCsin 45°=210=522⨯ ∠AQ =AC -QC =52(1032)8210-=，综上所述AQ 的长为8210232，故答案为：8210232【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，熟练掌握等腰直角三角形的性质和准确进行等腰三角形的等腰分类，灵活运用特殊角的三角函数值是解题的关键．14．4【分析】根据平行四边形的性质、三角函数值，结合一次函数求出D 的坐标即可求解；解：如图，过点D 作DE ∠AB将y =0代入y =x -4中记得x =4∠A (4，0)在平行四边形ABCD 中，∠∠OAD =∠CBA∠4sin 5DE OAD AD ∠== ∠AD =BC =5∠DE =4，AE =3∠OE =OA -AE =4-3=1∠D （1，4）∠144k x y =⋅=⨯=故答案为：4【点拨】本题主要考查反比例函数、平行四边形、三角函数值、一次函数，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．15．23【分析】连接OB ，由菱形的性质得BC ＝AB ＝8，BO ∠AC ，再由等腰三角形的性质得∠ACB ＝∠ACD ＝30°，然后由锐角三角函数定义求出OC ＝3最后由含30°角的直角三角形的性质求解即可．解：连接OB，如图所示：∠四边形ABCD为菱形，点O是对角线AC的中点，∠BC＝AB＝8，BO∠AC，∠∠ACB＝∠ACD12=（180°﹣120°）＝30°，在Rt∠BOC中，OC＝cos30°•BC3=8＝3∠OE∠CD，∠∠CEO＝90°，在Rt∠COE中，OE12=OC12=⨯33故答案为：3【点拨】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数定义以及含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质．1633【分析】过E点作EH∠BC于H，证明∠ABD是等边三角形，进而求得∠ADC=120°，再由折叠得到∠ADE=∠ADC=120°，进而求出∠HDE=60°，最后在Rt∠HED中使用三角函数即可求出HE的长．解：如图，过点E作EH∠BC于H，∠BC=7，CD=3，∠BD=BC-CD=4，∠AB=4=BD，∠B=60°，∠∠ABD是等边三角形，∠∠ADB =60°，∠∠ADC =∠ADE =120°，∠∠EDH =60°，∠EH ∠BC ，∠∠EHD =90°．∠DE =DC =3，∠EH =DE 333 ∠E 到直线BD 33 33 【点拨】本题考查了折叠问题，解直角三角形，点到直线的距离，本题的关键点是能求出∠ADE=∠ADC=120°，另外需要重点掌握折叠问题的特点：折叠前后对应的边相等，对应的角相等．17．15【分析】如图，过A 作AG BD ⊥于G ，延长AG ，使AG EG =，过E 作EN AB ⊥于N ，交BD 于M ，则AM MN EN +=最短，再利用矩形的性质与锐角三角函数求解EN 即可得到答案．解：如图，过A 作AG BD ⊥于G ，延长AG ，使AG EG =，过E 作EN AB ⊥于N ，交BD 于M ，则AM MN EN +=最短，四边形ABCD 为矩形，10BC =，30ABD ∠=︒，10,20,cos303,AD BD AB BD ∴===•︒= ,AG BD AD AB •=•2010103,AG ∴=⨯53,2103,AG AE AG ∴===,,,AE BD EN AB EMG BMN ⊥⊥∠=∠30,E ABD ∴∠=∠=︒3cos3010315,EN AE ∴=•︒== 15,AM MN ∴+=即AM MN +的最小值为15.故答案为：15.【点拨】本题考查的是矩形的性质，锐角三角函数的应用，同时考查利用轴对称与垂线段最短求线段和的最小值问题，解题的关键是掌握以上知识． 18．2或2327【分析】分90APB ∠=、90PAB ∠=、90PBA ∠=三种情况，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．解：如图：∠2AO OB ==，160∠=∠当2BP =时，90APB ∠=，当90PAB ∠=时，∠60AOP ∠=，∠tan 23AP OA AOP =⋅∠=， ∠2227BP AB AP +=当90PBA ∠=时，∠60AOP ∠=，∠tan 123BP OB =⋅∠=故答案为2或2327【点拨】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么222+=a b c ．19．3 2 (2)14【分析】（1）根据特殊角的三角函数值解决此题．（2）根据特殊角的三角函数值及二次根式的乘法进行计算即可解决此题．（1）解：原式＝331+212⨯ 3=1+13=2；（2）解：原式＝23⎝⎭33223142=+-1 14=．【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值及二次根式的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．20．(1)2-；(2)32【分析】（1）先化简绝对值、计算零指数幂与负整数指数幂、特殊角的正切值、立方根，再计算二次根式的乘法与加减法即可得；（2）先计算特殊角的三角函数值，再计算二次根式的乘法与加减法即可得．（1）解：原式3311432=+-- 323=2=-．（2）解：原式122332=111222=++ 32=．【点睛】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算、二次根式的乘法与加减法、零指数幂与负整数指数幂等知识点，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．21．(1)3-(2)23a -3【分析】（1）根据负整数指数幂，胡加绝对值，零次幂，特殊角的三角函数值，进行计算求解即可；（2）先去括号，把除法变为乘法把分式化简，再把数代入求值．(1) 解：原式＝3335314-⨯+-+951=-++ 3=-；(2)21691224a a a a -+⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭()()2222123a a a a ---=⨯-- ()()222323a a a a --=⨯-- 23a =-； 4cos303tan 45a =︒+︒3431=⨯ 33=；原式323333==+-．【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，正确的计算是解题的关键．22．(1)1.2s 或3s ； (2)存在，(35)s 或4s【分析】（1）当APQ 为直角三角形时，∠A =60度，所以可能只有∠APQ =90°或∠AQP =90°，当∠APQ =90°时，∠AQP =30°，AP =12AQ ，求出t =1.2秒；当∠AQP =90°时，∠APQ =30°，AQ =12AP ，求得t =3秒；（2）当点P 在AC 上时，边AQ =6-t ，算出AQ 上的高PD 3t ，即可写出12（6-t ）3t =23t =35P 在BC 上时，算出AQ 边上的高PF )36t -，即可写出12（6-t ）)36t -=23t =4．（1）解：∠∠ABC 是等边三角形，∠AB =BC =CA =6，∠A =∠B =∠C =60°，当点P 在边AC 上时，由题意知，AP =2t ，AQ =6-t ，当∠APQ =90°时，AP =12AQ ，即2t =12（6-t ），解得t =1.2，当∠AQP =90°时，AQ =12AP ，即6-t =12×2t ，解得t =3，所以，点P 在边AC 上，当t 为1.2s 或3s 时，∠APQ 为直角三角形；（2）存在∠当点P 在边AC 上时，此时0≤t ≤3，过点P 作PD ∠AB 于点D ，在Rt∠APD 中，∠A =60°，AP =2t ， ∠sin A =PD AP ，即sin60°=2PD t 3 ∠PD 3t ，S △APQ =12AQ ●PD =12（6-t ）3t ，由12（6-t ）3t =23135t =，235t =∠当点P 在边BC 上时，此时3≤t ≤6，如图，过点P 作PF ∠AB 于点F ，在Rt∠BPF 中，∠B =60°，BP =12-2t ， ∠sin B =PF BP，即sin60°=122PF t -3 ∠PF )36t -，S △APQ =12AQ ●PF =12（6-t ）)36t -，由12（6-t ）)36t -=3()1248t t ==，不合题意，舍去因此，当t 为(35s 或4s 时，∠APQ 的面积为3【点睛】本题主要考查了直角三角形的存在性和三角形的面积的存在性，解决问题的关键是熟练掌握直角三角形的直角三个角都有可能，要分类讨论；面积是同一个值的三角形不可能只有一个，全面考虑，分类讨论．23．（1）60︒；（2）证明见解析；（3）32BD DF =，理由见解析【分析】（1）先证明,BAE DAF ≌可得,ABE ADF ∠=∠再证明30,30,ABE ADB 从而可得答案；（2）先证明2,DEDF 再证明90,EFD FDC ∠=∠=︒90,FEC ∠=︒ 从而可得结论；（3）先证明2,DF DE 结合,BE DF = 可得3,BD DE 从而可得答案.【详解】解（1）四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，120BAD ∴∠=︒,由旋转可得：120,,EAF AE AF120,BAD EAF ,,BADBAE EAD EAF EAD DAF ,BAE DAF又∠四边形ABCD 是菱形，,AB AD ∴=,BAE DAF ≌,ABE ADF ∴∠=∠又∠四边形ABCD 是菱形，60,ABC ∠=︒30,30,ABE ADBBDC30,ADF ∴∠=︒ 60.BDF ADB ADF （2）由（1）可得：60,BDF30,CDB90,CDF ∴∠=︒由（1）可得：,BAE DAF ≌,BE DF ∴= 33,DB DF BE DE BE2,DE DF60,30,BDF BDC 90,FDC ∴∠=︒1cos cos60,2EDF ∠=︒= 1cos ,2DF EDF DE ∴∠== EDF ∴是直角三角形，90,EFD180906030,FED ∴∠=︒-︒-︒=︒120,,EAF AE AF ∠=︒=30,AEF AFE ∴∠=∠=︒60,AED ∴∠=︒由菱形的对称性可得：60,DEC DEA ∠=∠=︒306090,FEC ∴∠=︒+︒=︒ 而90,EFD FDC ∠=∠=︒∴ 四边形ABCD 为矩形.（3）3,2BD DF 理由如下：如图，四边形AEGF 是菱形，120,EAF ∠=︒1120,302EGF EAF FEG GFE AEG 60,BDF 90,FED2,DF DE,BE DF =2,BE DE3,BD DE 3,2BD DF3.2BD DF 【点睛】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，锐角三角函数的应用，灵活的应用以上知识解题是解题的关键.24．（1）y =x 2﹣2x ﹣3；（2）点C ′的坐标为（1，3，点D 的坐标为（123）【分析】（1）根据抛物线2y ax bx c =++经过点(2,5)A -，与x 轴相交于(1,0)B -，(3,0)C 两点，利用待定系数法求得该抛物线的解析式即可；（2）先确定二次函数对称轴，BC 长度，根据题意和翻折的性质，得到B C′长度，利用三角函数求出∠C′BC ，再根据角平分线求出∠DBC ，解直角三角形可以求得点C '和点D 的坐标，本题得以解决．【详解】解：（1）∠抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A （﹣2，5），与x 轴相交于B （﹣1，0），C （3，0）两点，∠4250930a b c a b c a b c -+=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，即抛物线的函数表达式是y =x 2﹣2x ﹣3；（2）∠与x 轴相交于B （﹣1，0），C （3，0）两点，∠BC =3﹣（﹣1）=3+1=4，该抛物线的对称轴是直线x =132-+=1，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为H ，则点H 的坐标为（1，0），∠BH =2，∠将∠BCD 沿直线BD 翻折得到∠BC ′D ，点C ′恰好落在抛物线的对称轴上，∠BC =BC ′=4，∠C ′HB =90°，∠C ′BD =∠DBC ，∠OC 2242-3cos∠C ′BH ='BH BC =24=12， ∠C ′的坐标为（1，3，∠C ′BH =60°，∠∠DBC =30°，∠BH =2，∠DBH =30°，∠OD =BH 323 ∠点D 的坐标为（123），由上可得，点C ′的坐标为（1，3，点D 的坐标为（123）．【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，图形翻折变化、二次函数的性质、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．。

(完整word版)苏科版九年级数学下册第七章《锐角三角函数》教学案

课题7.1正切(1) 自主空间学习目标知识与技能:1.理解正切的概念, 能通过画图求出一个角的正切的近似值。

能运用正切解决与直角三角形有关的简单问题。

过程与方法:1.经历探索表示物体倾斜程度, 形成正切的概念的过程, 练就创造性解决问题的能力。

1.经历探索表示物体倾斜程度，形成正切的概念的过程，练就创造性解决问题的能力。

学习重点理解并掌握正切的含义, 会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。

学习难点计算一个锐角的正切值的方法。

教学流程预习导航观察回答: 如图某体育馆, 为了方便不同需求的观众设计了多种形式的台阶。

下列图中的两个台阶哪个更陡？你是怎么判断的？图（1）图（2）[点拨]可将这两个台阶抽象地看成两个三角形答: 图的台阶更陡, 理由合作探究一、新知探究:1.思考与探索一:除了用台阶的倾斜角度大小外, 还可以如何描述台阶的倾斜程度呢？可通过测量BC与AC的长度,再算出它们的比, 来说明台阶的倾斜程度。

（思考: BC与AC长度的比与台阶的倾斜程度有何关系？）答: _________________. 讨论: 你还可以用其它什么方法？能说出你的理由吗？答: ________________________. 2.思考与探索二:（1）如图, 一般地, 如果锐角A的大小已确定,我们可以作出无数个相似的RtAB1C1, RtAB2C2, RtAB3C3……, 那么有: Rt△AB1C1∽_____∽____……根据相似三角形的性质,得: ＝_________＝_________＝……（2）由上可知：如果直角三角形的一个锐角的大小已确定, 那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也_________。

3.正切的定义如图, 在Rt △ABC 中, ∠C ＝90°, a 、b 分别是∠A 的对边和邻边。

我们将∠A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A_______, 记作______。

即: tanA ＝________＝__________（你能写出∠B 的正切表达式吗？）试试看.4．思考: 当锐角α越来越大时, α的正切值有什么变化？二. 例题分析:例1：⑴某楼梯的踏板宽为30cm, 一个台阶的高度为15cm, 求楼梯倾斜角的正切值。

苏科版九下数学第7章《锐角三角函数》导学案（共10课时）

第七章锐角三角函数（1）正切函数班级_________姓名_________学习目标1、认识锐角的正切的概念。

2、会求一个锐角的正切值。

3、经历操作观察思考求解等过程，感受数形结合的数学思想方法。

学习重点：锐角的正切的概念学习难点：锐角的正切的概念，感受数形结合的数学思想方法知识要点在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作一、情境创设问题1. 我们从家到学校，免不了要爬坡，有些坡好爬，有些坡爬起来很累，这是为什么？观察斜坡的倾斜程度，你有什么发现？如何刻画斜坡的倾斜程度？如上图，这两个直角三角形中，∠C=∠C′=90°，且有一条直角边相等，但斜边不相等，哪个坡更陡？①本节课我们研究两直角边的比值与锐角的关系，因此同学们首先应思考：当锐角固定时，两直角边的比值是否也固定？tan.②给出正切概念：如图，在Rt△ABC中，，把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作：ABCA二、典型例题例1．根据下列图中所给条件分别求出下列图中∠A、∠B的正切值。

BCA113A2C1BB AC35通过上述计算，你有什么发现？互余两角的正切值．例2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AC=3,AB=5，求∠ACD 、∠BCD的正切值。

结论：等角的正切值．例3．如图（1），∠A=30°，∠C=90°，根据三角函数定义求出30°、45°、60°的正切值．BCA（1）（2）（3）例4．如图，∠A=15°，∠C=90°，求出15°正切值．例5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若BD：AD=1：4，试求tan∠BCD的值。

例6、如图，△ABC中，AE⊥BC于E，D是AC边上的一点，DH⊥BC于H，BD交AE于F。

已知DH：BD=3：4，求∠BFE的正切值．分析求tan∠BFE，在△BFE任何一边长都不知的情况下，很是困难。

初中数学锐角三角函数的技巧及练习题附答案

A．3B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据同角的余角相等求出∠ADE=∠ACD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ACD，然后求出AC．
【详解】
解：∵DE⊥AC，
∴∠ADE+∠CAD=90°，
∵∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠ACD=∠ADE=α，
∵矩形ABCD的对边AB∥CD，
【答案】B
【解析】
【分析】
画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可.
【详解】
如图，∠C＝90°，∠A＝α，BC＝a，
∵cotα ，
∴AC＝BC•cotα＝a•cotα，
故选：B．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义的应用，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；余弦是角的邻边与斜边的比；正切是对边与邻边的比；余切是邻边与对边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键.
12．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，点B的坐标是（0，4），点D的坐标是（8 ，4），点M和点N是两个动点，其中点M从点B出发，沿BA以每秒2个单位长度的速度做匀速运动，到点A后停止，同时点N从点B出发，沿折线BC→CD以每秒4个单位长度的速度做匀速运动，如果其中一个点停止运动，则另一点也停止运动，设M，N两点的运动时间为x，△BMN的面积为y，下列图象中能表示y与x的函数关系的图象大致是（）
过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，通过解直角三角形可求出BM，AM，CN，DE的长，再结合CD＝CN＋EN−DE即可求出结论．
【详解】
解：过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，如图所示．
在Rt△ABE中，AB＝10米，∠BAM＝30°，

苏科版九年级数学下册由三角函数值求锐角课件

3 3
,则A=
300
(4)2sinA- 3 =0,则A= 600
3.已知sinα·cos300= 3 ,求锐角α. 4
4. 一梯子斜靠在一面墙上,已知梯子长4m,梯子位于地面上的一端离墙壁2.5m,求梯子与地面所成的锐角.
5 . 一个人由山底爬到山顶,需先爬400的山坡300m, 再爬300 的山坡100m,求山高(结果精确到0.01m).
300 tanA =
3 ∠A= 600
tan A = 1 ∠A= 450
练一练
1.sin700= 0.9397
cos500= 0.6428
2.(1)sinA=0.3475 ,则A= 20020'4" (精确到1")
(2)cosA=0.4273,则A= 64042'13"(精确到1")
(3)tanA=
解 :Q tan ∠ACD= AD = 10 0.5208,
CD 19.2
∴∠ACD≈27.50 . ∴∠ACB=2∠ACD≈2×27.50 =550.
∴V型角的大小约550.
例２:如图，一段公路弯道Ａ⌒Ｂ两端的距离为200m, A⌒B的半径为1000m,求弯道的长（精确到0.1m）。
Ｂ
Ｏ
Ｃ
Ａ
课内练习:
A
例如，已知sin α＝０.２９７４，求锐角α．
按键顺序如下：
SHIFT sin 0 . 2 9 7 4 =
即α=17.30150783
17.30150783
例1 根据下面的条件,求锐角β的大小(精确到 1)
(1)sinβ=0.4511；
SHIFT sin 0 . 4 5 1 1 =

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第5章二次函数2020来自科版九年级数学下册电子课本课件【全册】
5.2 二次函数的图象和性质
2020苏科版九年级数学下册电子课本课件【全册】
5.3 用待定系数法确定二次函数的表达式
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2020苏科版九年级数学下册电子课本课件【全册】目录
0002页 0046页 0061页 0063页 0133页 0148页 0211页 0251页 0281页 0345页 0385页 0445页 0489页
第5章二次函数 5.3 用待定系数法确定二次函数的表达式第6章图形的相似 6.2 黄金分割 6.4 探索三角形相似的条件 6.6 图形的位似第7章锐角函数 7.2 正弦、余弦 7.4 由三角函数值求锐角 7.6 用锐角三角函数解决问题 8.1 中学生的视力情况调查 8.3 统计分析帮你做预测 8.5 概率帮你做估计

九年级数学锐角三角函数(带答案)

锐角三角函数与解直角三角形之杨若古兰创作【考纲请求】锐角三角函数的定义、性质及利用，特殊角三角函数值的求法，应用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际成绩.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的常识解决成绩.【常识收集】【考点梳理】考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B 所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA aAc∠==的对边斜边；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA bAc∠==的邻边斜边；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA aAA b∠==∠的对边的邻边.同理sinB bBc∠==的对边斜边；cosB aBc∠==的邻边斜边；tanB bBB a∠==∠的对边的邻边．ab要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变更时，比值也随之变更．(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完好的数学符号，是一个全体，不克不及写成，，，不克不及理解成sin与∠A，cos与∠A，tan 与∠A的乘积．书写时习气上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母暗示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不克不及写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有响应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变更时，，，tanA ＞0．考点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下：要点诠释：(1)通过该表可以方便地晓得0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个利用就是：如果晓得了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)细心研讨表中数值的规律会发现：sin0︒、、、、sin90︒的值顺次为0、、、、1，而cos0︒、、、、cos90︒的值的顺序正好相反，、、的值顺次增大，其变更规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变更时，①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常利用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值. (2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包含其他关系(如不等关系). (3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的罕见类型及解法已知条件解法步调Rt△两两直角边(a，b) 由求∠A，∠B=90°－ABC 边∠A，斜边，不断角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角不断角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在碰到解直角三角形的实际成绩时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算. 2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即请求出所有的未知元素，已知条件中至多有一个条件为边.考点六、解直角三角形的利用解直角三角形的常识利用很广泛，关键是把实际成绩转化为数学模型，善于将某些实际成绩中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际利用成绩的关键. 解这类成绩的普通过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型. (2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际成绩转化为解直角三角形的成绩. (3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学成绩的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际成绩的解.拓展：在用直角三角形常识解决实际成绩时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母暗示. 坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母暗示，则，如图，坡度通常写成=∶的方式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指南方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别暗示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东南方向指的是北偏东45°，东北方向指的是南偏西45°，东北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角常识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图. 2．非直接解直角三角形的成绩，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：3．解直角三角形的利用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后准确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】类型一、锐角三角函数的概念与性质1．(1)如图所示，在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，则BC的长为( )．A．10·tan50° B．10·cos50° C．10·sin50° D．10 sin50°(2)如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝35，求cosA+tanB的值．(3)如图所示的半圆中，AD是直径，且AD＝3，AC＝2，则sinB的值等于________．【思路点拨】(1)在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义，可以用某个锐角的三角函数值和一条边暗示其他边．(2)直角三角形中，某个内角的三角函数值即为该三角形中两边之比．晓得某个锐角的三角函数值就晓得了该角的大小，可以用比例系数k暗示各边．(3)请求sinB的值，可以将∠B转化到一个直角三角形中．【答案与解析】(1)选B．(2)在△ABC，∠C＝90°，3sin5 BCAAB==．设BC＝3k，则AB＝5k(k＞0)．由勾股定理可得AC＝4k，∴4432 cos tan5315k kA Bk k+=+=．(3)由已知，AD是半圆的直径，连接CD，可得∠ACD＝90°∠B＝∠D，所以sinB＝sinD＝23 ACAD=．【总结升华】已知一个角的某个三角函数值，求同角或余角的其他三角函数值时，经常使用的方法是：利用定义，根据三角函数值，用比例系数暗示三角形的边长；(2)题求cosA时，还可以直接利用同角三角函数之间的关系式sin2 A+cos2 A＝1，读者可本人测验考试完成．举一反三：【变式】Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，那么c等于( )(A) a cos A bsin B+ (B)a sin A bsin B+(C)a bsin A sin B+(D)a bcos A sin B+【答案】选B.过点C作CD⊥AB于D,在Rt△ACD中,AD ADcos AAC b==,所以AD=bcosA,同理,BD=acosB,所以c=AB=AD+BD=bcosA+acosB,又∠A+∠B=90°,所以cosA=sinB,cosB=sinA,所以c=asinA+bsinB.类型二、特殊角的三角函数值2．解答以下各题：(1)化简求值：tan60tan45sin45sin30sin60cos30cos45--++°°°°°°°；(2)在△ABC中，∠C＝9012sin cosA A-【思路点拨】第(2)题可以先利用关系式sin2A+cos2A＝1对根号内的式子进行变形，配成完好平方的方式．【答案与解析】解 (1)tan60tan45sin45sin30 sin60cos30cos45--++°°°°°°°(2)12sin cosA A-2(sin cos)|sin cos|A A A A=-=-，12sin cosA A -cos sin(045)sin cos(4590)A A AA A A-<⎧=⎨-<<⎩°≤°°°．由第(2)题可得到今后经常使用的一个关系式：1±2sin αcos α=(sin α±cos α)2．例如，若设sin α+cos α＝t ，则21sin cos (1)2t αα=-．举一反三：【变式】若3sin 22α=，cos sin βα=，(2α，β为锐角)，求2tan()3β的值. 【答案】∵3sin 22α，且2α为锐角，∴2α＝60°，α＝30°．∴12cos sin 22βα===，∴β＝45°．∴23tan()tan 3033β==°． 3．(1)如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝105°，∠A ＝30°，AC ＝8，求AB 和BC 的长；(2)在△ABC 中，∠ABC ＝135°，∠A ＝30°，AC ＝8，如何求AB 和BC 的长?(3)在△ABC 中，AC ＝17，AB ＝26，锐角A 满足12sin 13A =，如何求BC的长及△ABC 的面积？若AC ＝3，其他条件不变呢?第(1)题的条件是“两角一夹边”．由已知条件和三角形内角和定理，可知∠B ＝45°；过点C 作CD ⊥AB 于D ，则Rt △ACD 是可解三角形，可求出CD 的长，从而Rt △CDB 可解，由此得解；第(2)题的条件是“两角一对边”；第(3)题的条件是“两边一夹角”，均可用类似的方法解决．【答案与解析】解： (1)过点C 作CD ⊥AB 于D ．∵∠A ＝30°，∠ACD ＝105°，∴∠B ＝45°．∵AC ·sinA ＝CD ＝BC ·sin B ，∴sin 8sin 30sin sin 45AC A BC B ===°°∴AB ＝AD+BD ＝AC ·cosA+BC ·cosB ＝8cos30°+cos45°＝4+(2)作CD ⊥AB 的耽误线于D ，则AB ＝4，BC =(3)作BD ⊥AC 于D ，则BC ＝25，ABC S =△204．当AC ＝3时，∠ACB 为钝角，BC ＝25，36ABC S =△．【总结升华】对一个斜三角形，通常可以作一条高，将它转化为两个直角三角形，而且要尽量使直角三角形中含有特殊的锐角(如30°、45°、60°的角)，然后通过解直角三角形得到本来斜三角形的边、角的大小．类型三、解直角三角形及利用4．如图所示，D 是AB 上一点，且CD ⊥AC 于C ，:2:3ACD CDB S S =△△，4cos 5DCB ∠=，AC+CD ＝18，求tanA 的值和AB 的长．【思路点拨】解题的基本思路是将成绩转化为解直角三角形的成绩，转化的目标次要有两个，一是构造可解的直角三角形；二是利用已知条件通过设参数列方程．【答案与解析】解：作DE ∥AC 交CB 于E ，则∠EDC ＝∠ACD ＝90°． ∵4cos 5CD DCE CE=∠=，设CD ＝4k(k ＞0)，则CE ＝5k ，由勾股定理得DE ＝3k ．∵△ACD 和△CDB 在AB 边上的高不异，∴AD:DB ＝:2:3ACD CDB S S =△△．即553533AC DE k k ==⨯=． ∴44tan 55CD k A AC k ===．∵AC+CD ＝18， ∴5k+4k ＝18，解得k ＝2． ∴2241241AD AC CD k += ∴AB ＝AD+DB ＝AD+32AD ＝541【总结升华】在解直角三角形时，经常使用的等量关系是：勾股定理、三角函数关系式、相等的线段、面积关系等．专题总结及利用一、常识性专题专题1：锐角三角函数的定义【专题解读】锐角三角函数定义的考查多以选择题、填空题为主．例1 如图28－123所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则以下结论准确的是 ( )A．sin A＝32 B．tan A＝12C．cos B＝32 D．tan B＝3分析 sin A＝BCAB＝12，tan A＝BCAC＝33，cos B＝BCAB＝12．故选D.例2 在△ABC中，∠C＝90°，cos A＝35,则tan A等于 ( )A．35 B．45 C．34 D．43分析在Rt△ABC中，设AC＝3k，AB＝5k，则BC＝4k，由定义可知tan A＝4433BC kAC k==．故选D.分析在Rt△ABC中，BC＝222254AB AC-=-＝3，∴sin A＝35BCAB =．故填35．专题2 特殊角的三角函数值【专题解读】要熟记特殊角的三角函数值．例4 计算|－3|＋2cos 45°－(3－1)0．分析 cos 45°＝2 2．解：原式＝3＋2×22－1＝2＋2．例5 计算－12⎛⎫- ⎪⎝⎭＋9＋(－1)2007－cos 60°．分析 cos 60°＝1 2．解：原式＝12＋3＋(－1)－12＝3－1＝2．例6 计算|－2|＋(cos 60°－tan 30°)0＋8．分析cos 60°＝12，tan 30°＝33，∴cos 60°－tan 30°≠0，∴(cos60°－tan 30°)0＝1，解：原式＝2＋1十＋22＝32＋1．例7 计算312-⎛⎫⎪⎝⎭－(π－3.14)0－|1－tan 60°|－132-.分析 tan 60°＝3.解：原式＝8－1－3＋1＋3＋2＝10.专题3 锐角三角函数与相干常识的综合应用【专题解读】锐角三角函数常与其他常识综合起来应用，考查综合应用常识解决成绩的能力.例8 如图28－124所示，在△ABC中，AD是BC 边上的高，E为AC边的中点，BC＝14，AD＝12，sin B＝4 5．(1)求线段DC的长；(2)求tan∠EDC的值.分析在Rt△ABD中，由sin B＝ADAB，可求得BD，从而求得CD．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得DE＝12AC＝EC，则∠EDC＝∠C，所以求tan∠EDC可以转化为求tan C.解：(1)∵AD是BC边上的高，∴AD⊥BC在Rt△ABD中，sin B＝AD AB．∵AD＝12，sin B＝45，∴AB＝15，∴BD＝22AB AD-＝221512-＝9．∵BC＝14，∴CD＝5．(2)在Rt△ADC中，∵AE＝EC，∴DE＝12AC＝EC，∴∠EDC＝∠C∵tan C＝ADDC＝125,∴tan∠EDC＝tan C＝125．例9 如图28－125所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，tan B＝cos∠DAC.(1)求证AC＝BD；(2)若sin C＝1213，BC＝12，求AD的长．分析(1)利用锐角三角函数的定义可得AC＝BD．(2)利用锐角三角函数与勾股定理可求得AD的长．证实：(1)∵AD是BC边上的高，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∠ADC＝90°．在Rt△ABD和Rt△ADC中，∵tan B＝ADBD，cos∠DAC＝ADAC，tan B＝cos∠DAC，∴ADBD＝ADAC，∴AC＝BD.解：(2)在Rt△ADC中，sin C＝1213，设AD＝12k，AC＝13k，∴CD＝22AC AD-＝5k．∵BC＝BD＋CD，AC＝BD，∴BC＝13k＋5k＝18k．由已知BC＝12，∴18k＝12，k＝2 3，∴AD＝12k＝12×23＝8．例10 如图28－126所示，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，BC＝30＋303，求AB的长．分析过点A作AD⊥BC于D，把斜三角形转化为直角三角形，利用AD是两个直角三角形的公共边，设AD＝x，把BD，DC用含x的式子暗示出来，再由BD＋CD＝BC这一等量关系列方程，求得AD，则AB可在Rt△ABD中求得．解：过点A作AD⊥BC于D，设AD＝x.在Rt△ADB中，tan B＝ADBD，∴BD＝tan tan45AD ADB=︒＝x，在Rt△ADC中，tan C＝ADCD，∴CD＝tanADC＝tan30AD︒＝3x．又∵BD＋CD＝BC，BC＝30＋303，∴x ＋3x＝30＋303 ,∴x＝30．在Rt△ABD中，sin B＝AD AB，∴AB＝30sin sin45ADB=︒＝3022＝302.专题4 用锐角三角函数解决实际成绩【专题解读】加强数学与实际生活的联系，提高数学的利用认识，培养利用数学的能力是当今数学改革的方向，环绕本章内容，纵观近几年各地的中考试题，与解直角三角形有关的利用成绩慢慢成为命题的热点，其次要类型有轮船定位成绩、堤坝工程成绩、建筑测量成绩、高度测量成绩等，解决各类利用成绩时要留意掌控各类图形的特征及解法．例13 如图28－131所示，我市某中学数学课外活动小组的同学利用所学常识去测量沱江流经我市某段的河宽．小凡同学在点A处观测到对岸C点，测得∠CAD＝45°，又在距A处60米远的B处测得∠CBA＝30°，请你根据这些数据算出河宽是多少?(结果保存小数点后两位)分析本题可作CE⊥AB，垂足为E，求出CE的长即为河宽．解：如图28－131所示，过点C作CE⊥AB于E，则CE即为河宽，设CE＝x(米)，则BE＝x＋60(米)．在Rt△BCE中，tan30°＝CEEB，即33＝60xx+,解得x＝30(3＋1)≈81.96(米)．答：河宽约为81．96米．【解题计谋】解本题的关键是设CE＝x，然后根据BE＝AB＋AE 列方程求解．例14 如图28－132所示，某边防巡查队在一个海滨浴场岸边的A点处发现海中的B点有人求救，便立即派三名救生员前去救援．1号救生员从A点直接跳入海中；2号救生员沿岸边(岸边可以看成是直线)向前跑到C点再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑300米到离B点比来的D点，再跳入海中，救生员在岸上跑的速度都是6米／秒，在水中泅水的速度都是2米/秒．若∠BAD＝45°，∠BCD＝60°，三名救生员同时从A点出发，请说明谁先到达救援地点B．(参考数据2≈1.4，3≈1.7)分析在Rt△ABD中，已知∠A＝45°和AD，可求AB，BD，在Rt △BCD中，可利用求出的BD和∠BCD＝60°求出BC，然后根据计算出的数据判断谁先到达．解：在Rt△ABD中，∠A＝45°，∠D＝90°，AD＝300，∴AB＝AD300cos4522=︒＝3002.BDAD＝tan 45°，即BD＝AD·tan 45°＝300．在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，∠D＝90°，∴BC＝300sin6032BD=︒＝2003，CD＝tan60BD︒＝3003＝1003 .1号救生员到达B点所用的时间为30022＝1502≈210(秒)，2号救生员到达B点所用的时间为3001003200362-+＝50＋25033≈192(秒)，3号救生员到达B点所用的时间为3006＋3002＝200(秒)．∵192＜200＜210.∴2号求生员先到达救援地点B.【解题计谋】本题为浏览理解题，题目中的数据比较多，准确分析题意是解题的关键．例15 如图28－133所示，某货船以24海里/时的速度将一批次要物质从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在它的北偏东60°方向上，该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在它的北偏东30°方向上；已知在C 岛四周9海里的区域内有暗礁，若货船继续向正东方向航行，该货船有没有触礁风险?试说明理由．分析本题可作CD⊥AM于点D，在Rt△BCD中求出CD即可．解：过点C作CD⊥AM，垂足为点D，由题意得∠CBD＝60°，∠CAB＝30°,∴∠ACB＝30°，∠CAB＝∠ACB，∴BC＝AB＝24×12＝12(海里)．在Rt△BCD中，CD＝BC×sin 60°＝63(海里)．∵63＞9，∴货船继续向正东方向航行无触礁风险．【解题计谋】此题实际上是通过⊙C(半径为9海里)与直线AM相离判断出无触礁风险.例16 如图28－134所示，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲、乙两人分别在相距8米的A，B两处测得D点和C点的仰角分别为45°和60°，且A，B，F三点在一条直线上，若BE＝15米，求这块广告牌的高度．(3≈1.73，结果保存整数)分析因为CD＝CE－DE，所以可分别在Rt△AED和Rt△BEC中求DE，CE的长，从而得出结论．解：∵AB＝8，BE＝15，∴AE＝23．在Rt△AED中，∠DAE＝45°，∴DE＝AE＝23．在Rt△BEC中，∠CBE＝60°，∴CE＝BE·tan 60°＝153，∴CD＝CE－DE＝153－23≈3，即这块广告牌的高度约为3米．例17 如图28－135所示，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽AD＝2.5m，坝高4 m，背水坡的坡度是1：1，迎水坡的坡度是1：1.5，求坝底宽BC.分析坡度即坡角的正切值，所以分别过A，D两点向坝底引垂线，把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形．解：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，由题意可知tan B＝1，tan C＝1 1.5，在Rt△ABE中，AE＝4，tan B＝AEBE＝1，∴BE＝AE＝4，在Rt△DFC中，DF＝AE＝4，tan C＝11.5 DFCF，∴CF ＝1．5DF ×4＝6．又∵EF ＝AD ＝2.5，∴BC ＝BE ＋EF ＋FC ＝4＋2.5＋6＝12．5．答：坝底宽BC 为12．5 m ．【解题计谋】背水坡是指AB ，而迎水坡是指CD .例18 如图28－136所示，山顶建有一座铁塔，塔高CD ＝30m ，某人在点A 处测得塔底C 的仰角为20°，塔顶D 的仰角为23°，求此人距CD 的水平距离AB ．(参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，tan 20°≈0.364，sin 23°≈0.391，cos 23°≈0.921，tan 23°≈0.424)分析请求AB 的值，因为两个直角三角形中都只要角的已知条件，不克不及直接求解，所以设AB 为未知量，即用AB 暗示BD 和BC ，根据BD －BC ＝CD ＝30，列出关于AB 的方程．解：在Rt △ABC 中，∠CAB ＝20°，∴BC ＝AB tan ∠CAB ＝AB tan 20°．在Rt △ABD 中，∠DAB ＝23°，∴BD ＝AB tan ∠DAB ＝AB tan 23°．∴CD ＝BD －BC ＝AB tan 23°－AB tan 20°＝AB (tan 23°－tan 20°)．∴AB ＝tan 23tan 20CD ︒-︒≈300.4240.364-＝500(m)．答：此人距CD 的水平距离AB 约为500 m ．二、规律方法专题专题5 公式法【专题解读】本章的公式很多，熟练把握公式是解决成绩的关键．例19 当0°＜α＜90的值．分析由sin 2α＋cos 2α＝1，可得1－sin 2α＝cos 2α解：∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝1－sin 2α．|cos |cos αα=.∵0°＜a ＜90°，∴cos α＞0． ∴原式＝cos cos αα＝1．【解题计谋】以上解法中，利用了关系式sin 2α＋cos 2α＝1(0°＜α＜90°)，这一关系式在解题中经经常使用到，该当牢记，并灵活应用．三、思想方法专题专题6 类比思想【专题解读】求方程中未知数的过程叫做解方程，求直角三角形中未知元素的过程叫做解直角三角形，是以对解直角三角形的概念的理解可类比解方程的概念．我们可以像解方程(组)一样求直角三角形中的未知元素．例20 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，解这个直角三角形．分析已知两直角边长a ，b ，可由勾股定理c c ，再利用sin A ＝a c 求出∠A ，进而求出∠B ＝90°－∠A ．解：∵∠C ＝90°，∴a 2＋b 2＝c 2．∴c ＝222515+522a b +==2（）（）.又∵sin A ＝51225a c ==，∴∠A ＝30°．∴∠B ＝90°－∠A ＝60°．【解题计谋】除直角外，求出Rt △ABC 中的所有未知元素就是解直角三角形．专题7 数形结合思想【专题解读】由“数”思“形”，由“形”想“数”，两者巧妙结合，起到互通、互译的感化，是解决几何成绩经常使用的方法之一．例21 如图28－137所示，已知∠α的终边OP ⊥AB ，直线AB 的方程为y ＝－33x ＋33，则cos α等于 ( ) A ．12 B ．22 C ．32 D ．33 分析∵y ＝－33x ＋33，∴当x ＝0时，y ＝33，当y ＝0时，x ＝1，∴A (1，0)，B 30,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴OB ＝33，OA ＝1，∴AB ＝22OB OA +＝233，∴cos ∠OBA ＝12OB AB =. ∴OP ⊥AB ，∴∠α＋∠OAB ＝90°，又∵∠OBA＋∠OAB＝90°，∴∠α＝∠OBA．∴cosα＝cos∠OBA＝12．故选A.专题8 分类讨论思想【专题解读】当结果不克不及确定，且有多种情况时，对每一种可能的情况都要进行讨论．例22 一条东西走向的高速公路上有两个加油站A，B，在A的北偏东45°方向上还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30 km，B，C间的距离是60 km．要经过C修一条笔挺的公路与高速公路订交，使两路交叉口P到B，C的距离相等，求交叉口P与加油站A的距离．(结果可保存根号)解：①如图28－138(1)所示，在Rt△BDC中，∵CD＝30，CB＝60，∴∠B＝30°．又PC＝PB，∴∠CPD＝60°，∴DP＝103．故AP＝AD＋DP＝(30＋103)km．②同理，如图28－138(2)所示，可求得AP＝(30－103)km，故交叉口P与加油站A的距离为(30＋103)km或(30－103)km．【解题计谋】此题针对P点的地位分两种情况进行讨论，即点P 在线段AB上或点P在线段BA的耽误线上．专题9 转化思想例24 如图28－140所示，A，B两城市相距100 km．现计划在这两座城市两头构筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林呵护中间P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林呵护区的范围在以P点为圆心，50 km为半径的圆形区域内．请问计划构筑的这条高速公路会不会穿越呵护区．为何?(参考数据：3≈1.732，2≈1.414)解：过点P作PC⊥AB，C是垂足，则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AC＝PC·tan 30°，BC＝PC·tan 45°，∵AC＋BC＝AB，∴PC·tan 30°＋PC·tan 45°＝100，∴(33＋1)PC＝100，∴PC＝50(3－3)≈50×(3－1.732)≈63．4＞50．答：森林呵护区的中间与直线AB的距离大于呵护区的半径，所以计划构筑的这条高速公路不会穿越呵护区．例25 小鹃学完解直角三角形常识后，给同桌小艳出了一道题：“如图28－141所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12 mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上．已知α＝36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．(结果保存整数；参考数据：sin 36°≈0．6，cos 36°≈0．8，tan 36°≈0.7)解：作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．∵α＋∠DAF＝180°－∠BAD＝180°－90°＝90°，∠ADF＋∠DAF＝90°，∴∠ADF＝α＝36°．根据题意，得BE ＝24 mm ，DF ＝48 mm ．在Rt △ABE 中，sin α＝BE AB ， ∴AB ＝sin36BE ︒≈240.6＝40(mm)．在Rt △ADF 中，cos ∠ADF ＝DFAD ，∴AD ＝cos36DF ︒≈480.8＝60(mm)．∴矩形ABCD 的周长＝2(40＋60)＝200(mm)．例26 如图28－142所示，某居民楼I 高20米，窗户朝南．该楼内一楼住户的窗台离地面距离CM 为2米，窗户CD 高1．8米．现计划在I 楼的正南方距1楼30米处新建一居民楼Ⅱ．当正午时刻太阳光线与地面成30°角时，要使Ⅱ楼的影子不影响I 楼所有住户的采光，新建Ⅱ楼最高只能盖多少米?解：设正午时光线正好照在I 楼的一楼窗台处，此时新建居民楼Ⅱ高x 米．过C 作CF ⊥l 于F ，在Rt △ECF 中，EF ＝(x －2)米，FC ＝30米，∠ECF ＝30°，∴tan 30°＝230x -,∴＝103＋2．答：新建居民楼Ⅱ最高只能建(103＋2)米．。

九年级数学锐角三角函数用计算器求锐角三角函数值课后作业新人教版

28.1锐角三角函数第4课时用计算器求锐角三角函数值1. 求cos42°，对下列按键正确的是( )A．cos,4,2，＝B．cos，SHIFT,4,2，＝C．cos，＝，4,2 D．cos，°，＝，4,22．用计算器求sin20°＋tan54°33′的结果等于(结果精确到0.01)( )A．2.25 B．1.55 C．1.73 D．1.753. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，且3a＝4b，则∠A等于( )A．53.7°B．53.13°C．53°13′D．53°48′4. 已知sinα＝0.2476，用计算器求锐角α，在屏幕显示D的情况下，下列按键顺序正确的是( )A.SHIFT sin0.2476＝B．SHIFT0.2476sin＝C.sin SHIFT0.2476＝D．0.2476sin SHIFT＝5. 为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道(如图所示)，我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是( )A.2ndF sin 0 . 2 5 ＝B.sin2ndF 0 . 2 5 ＝C.sin 0 . 2 5 ＝D.2ndF cos 0 . 2 5 ＝6. 用计算器求tan25°，sin27°，cos26°的值，他们的大小关系是( )A．tan25°＜cos26°＜sin27°B．tan25°＜sin27°＜cos26°C．sin27°＜ta n25°＜cos26°D．cos26°＜tan25°＜sin27°7. 用计算器求得：sin40°≈_____，cos50°≈_____，用计算器求得：tan35°≈_____.8．用计算器计算cos10°，cos20°，cos30°，…，cos90°的值，总结规律，并用此规律比较当0°＜α＜β＜90°时，cosα与cosβ的大小，即cosα_____cosβ.9. 如果∠A是锐角，c osA＝0.618，那么sin(90°－A)的值为_______.10．已知α、β都是锐角，且sinα＋cosβ＝1.1176，cosβ－sinα＝0.0580，则α≈______，β≈______(结果保留整数)．11. 用计算器求下列各式的值：(1)sin47°；(2)sin12°30′；(3)cos25°18′；(4)tan44°59′59″.12. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求出其相应的锐角：(1)sinA＝0.6275，sinB＝0.0547；(2)cosA＝0.6252，cosB＝0.1659；(3)tana＝4.8425，tanB＝0.8816.13. 如图所示，某校自行车车棚的人字架顶棚为等腰三角形，D是AB的中点，中柱CD ＝1米，∠A＝27°，求跨度AB的长(精确到0.1米)．14. (1)如图1、2，锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化．试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值及余弦值的变化规律；(2)根据你探索到的规律，试分别比较18°、34°、50°、62°、88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小；(3)比较大小，(在空格处填写“＜”“＞”或“＝”)；若α＝45°，则sinα________cosα；若α＜45°，则sinα________cosα；若α＞45°，则sinα________cosα；(4)利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比较下列正弦值和余弦值的大小：sin10°、cos30°、sin50°、cos70°。

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