九年级数学下册 第7章 锐角三角函数 7.4 由三角函数值求锐角同步练习 苏科版 - 副本

[7.4 由三角函数值求锐角]

一、选择题

1．已知α是锐角，cos α＝

3

2

，则α等于链接听课例1归纳总结( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 2．利用计算器求锐角A 的度数时，依次按键则计算器上

显示的结果是( )

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．75°

3．如果锐角α的正弦值为

3

3

，那么下列结论中正确的是( ) A ．α＝30° B ．α＝45°

C ．30°＜α＜45°

D ．45°＜α＜60° 4．在△ABC 中，若锐角∠A ，∠B 满足⎪⎪⎪⎪

⎪⎪

cos A －

32＋(1－tan B )2＝0，

则∠C 的大小是( ) A ．45° B ．60° C ．75° D ．105°

5．如图K －29－1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC .若BD ＝4，CD ＝1，则∠B 的度数是(精确到0.1°)( )

图K －29－1

A ．26.4°

B ．26.5°

C ．26.6°

D ．27.0° 二、填空题

6．如果△ABC 中，锐角∠A ，∠B 满足sin A ＝cos B ＝

2

2

，那么△ABC 是____________________．

7．已知α是锐角，若2cos α＝1，则α＝__________°；若tan(α＋15°)＝1，则tan α＝__________．

8．根据下列三角函数值，求锐角α的大小(精确到0.01°)： (1)若sin α＝0.6031，则α≈____________； (2)若cos α＝0.2，则α≈____________；

(3)若tan α＝3，则α≈____________.链接听课例1归纳总结

9．如图K－29－2，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8米，则∠A的度数为________(用科学计算器计算，结果精确到0.1°)．

图K－29－2

10．如图K－29－3，将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的一半(木条宽度忽略不计)，则这个平行四边形的一个最小内角为________度．

图K

三、解答题

11．如图K－29－4，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，已知∠BDC＝45°，BD＝10 2，AB＝20.求∠A的度数．

图K－29－4

12．在△ABC中，AB＝4，BC＝6，△ABC的面积为 6 3，求∠ABC的度数.链接听课例2归纳总结

建模思想如图K－29－5，在海岸边有一港口O，已知小岛A在港口O的北偏东30°方向上，小岛B在小岛A的正南方向上，OA＝60海里，OB＝20 3海里．

(1)求港口O到直线AB的距离；

(2)小岛B在港口O的什么方向上？

详解详析

[课堂达标]

1．[解析] A ∵cos 30°＝3

2，

∴α＝30°，故选A . 2．C

3．[解析] C 由12＜33＜2

2

，得30°＜α＜45°，故选C .

4．[解析] D 由题意得cos A ＝3

2，tan B ＝1，∴∠A ＝30°，∠B ＝45°，

∴∠C ＝180°－30°－45°＝105°.故选D . 5．C

6．[答案] 等腰直角三角形

[解析] ∵∠A ，∠B 是锐角，sin A ＝cos B ＝2

2，∴∠A ＝∠B ＝45°，∴△ABC 是等腰

直角三角形．

7．[答案] 60

33

[解析] ∵α是锐角，且2cos α＝1，∴cos α＝1

2，∴α＝60°.

∵tan (α＋15°)＝1，∴α＋15°＝45°， ∴α＝30°， ∴tan α＝tan 30°＝3

3

.

8．[答案] (1)37.09° (2)78.46° (3)71.57° [解析] 本题中的三角函数均为非特殊值，故要借助计算器进行求解，并按要求取近似值． 9．[答案] 27.8°

[解析] ∵tan A ＝BC AC ＝2.8

5.3

≈0.5283，

∴∠A ≈27.8°. 10．[答案] 30

[解析] 作▱ABCD 中BC 边上的高AE ，则由题意可知：AB ＝2AE. 在Rt △ABE 中，sin B ＝AE AB ＝1

2

，

∴∠B ＝30°.

11．解：在Rt △BDC 中，因为sin ∠BDC ＝BC

BD

，

所以BC ＝BD·sin ∠BDC ＝10 2×sin 45°＝10 2×

2

2

＝10. 在Rt △ABC 中，因为sin A ＝

BC AB ＝1020＝12

， 所以∠A ＝30°.

12．解：当∠ABC 为锐角时，如图①，过点A 作AD ⊥BC 于点D. ∵BC ＝6，△ABC 的面积为6 3，

∴AD ＝2

3，

∴sin ∠ABC ＝AD AB ＝3

2，

∴∠ABC ＝60°.

当∠ABC 为钝角时，如图②，过点A 作AD ⊥BC 交CB 的延长线于点D. ∵BC ＝6，△ABC 的面积为6 3，

∴AD ＝2

3，

∴sin ∠ABD ＝AD AB ＝3

2

，

∴∠ABD ＝60°，

∴∠ABC ＝120°.

综上，∠ABC 的度数为60°或120°. [素养提升]